Rinderproblem des Archimedes

Zur Geschichte und Litteratur

Aus den Schätzen der herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel. Zweyter Beytrag. 1773

XIII.

Zur Griechischen Anthologie.

Das merkwürdigste, was der (S. 137.) angezeigte Griechische Codex, in welchem sich Auszüge aus der Anthologie des Planudes.befinden, unter diesen Auszügen hat, sind nicht bloß einige bessere Lesarten, mit welchen ich meine Leser nicht aufhalten mag, sondern verschiedene ganze, bisher noch nie gedruckte Stücke, die ich hier, ohne weitere Vorrede, daraus mittheilen will.

Das wichtigste und größte derselben ist ein arithme­tisches Problem, dergleichen einige, in dem 46^sten Ab­schnitte des ersten Buchs der Anthologie, vorkommen. Mehrere von dieser Art hat Bachet.über den Dio­phantus bekannt gemacht. Bachet erhielt sie vom Salmasiu .und dieser hatte sie aus einem Manuscripte der Heidelbergischen Bibliothek gezogen. Es sind ihrer zusammen beym Bachet XLV. Wenn er es aber von allen fünf und vierzigen verstanden wissen will, daß er sie daselbst zuerst herausgebe, so ist das so richtig nicht; in­dem die leztern fünfe längst gedruckt waren. Das XLI, XLII, XLII und XLIV^ste nehmlich sind eben die, welche an dem angezogenen Orte in der Anthologie stehen; und das XLV^ste hatte Aldus Manutius.bereits in seinem Anhange der Anthologie mitgetheilet. Nach dem Bachet, und aus dem Bachet, hat Joh. Geo. Heilbronne.alle fünf und vierzig wieder abdrucken lassen, und sie seiner Historiæ Matheseos universæ beygefügt. Daß sie noch sonst wo erschienen wären, oder sich noch ein Gelehrter mit ihnen abgegeben hätte, ist mir nicht bekannt. Aber Heilbronner hätte ohne Zweifel nicht übel gethan, wenn er auch das sechs und vierzigste Epigramm dieser Art mitgenommen hätte; nehmlich das dem Diophantus.selbst, welches dem Bachet eben Gelegenheit gab, die übri­gen daselbst einzuschalten. Denn so würden wir bey ihm die Arithmetische Muße der Griechen ganz beysammen ha­ben, die ich nun hier mit dem sieben und vierzigsten Stücke vermehre. Ich glaube nicht, daß mir schon je­mand damit zuvor gekommen. Wenigstens habe ich es an keiner Mühe fehlen lassen, mich überall auf das ge­naueste darnach zu erkundigen; so, daß wenn es dennoch geschehen wäre, es nur an einem Orte könnte geschehen seyn, wo es so gut als nich geschehen wäre. Und auch in diesem Falle, würde etwas aus einer andern Handschrift wiederholt zu werden verdienen, was keinen geringern Namen, als den Namen des Archimedes. Einer der bedeutendsten Mathematiker der Antike., an der Stir­ne führet, und gleichwohl sich so unbekannt erhalten hätte.

Denn, wie gesagt, das Problem soll, wenn es nicht von dem Archimedes selbst abgefaßt worde, doch von ihm führ werth erkannt seyn, daß er es an den Erato­sthenes I) Eratosthenes, 276-194 v.Chr., Mathematiker, Geograph, Astronom, Historiker, Philologe, Philosoph und Dichter.geschicket hätte, um es den Meßkünstlern zu Alexandria zur Auflösung vorzulegen. Dieses besagt die Aufschrift; und nun urtheile man von dem Problem selbst.

I.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ,

ὃπερ ἈΡΧΙΜΗΔΗΣ ἐν ἐπιγράμμασιν εὑρὼν
τοῖς ἐν Ἀλεξανδρείᾳ περὶ ταῦτα πραγματευομένοις ζητεῖν ἀπέστειλεν,
ἐν τῇ πρὸς ἘΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ τὸν ΚΥΡΗΝΑΙΟΝ ἐπιστολῇ.

Πληθὺν ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον,
Φροντίδ᾽ ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης,
Πόσση ἄρ᾽ ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτ᾽ ἐβόσκετο νήσου
Θρινακίης, τετραχῇ στίφεα δασσαμένη
Χροιὴν ἀλλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος,
Κυανέῳ δ᾽ ἕτερον χρώματι λαμπόμενον,
Ἂλλογε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον. Ἐν δὲ ἑκάστῳ
Στίφει ἔσαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι,
Συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες. Ἀργότριχας μὲν
Κυανέων ταύρων ἥμισει ἠδὲ τρίτῳ,
Καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴσους, ὦ ξεῖνε, νόησον.
Αὐτὰρ κυανέους τῷ τετράτῳ τε μέρεϊ
Μικτοχρόων, καὶ πέμπτῳ, ἔτι ξανθοῖσι τὲ πᾶσι.
Τοὺς δ᾽ ὑπολειπομένους ποικιλόχροας ἄθρει
Ἀργεννῶν ταύρων ἓκτῳ μέρει, ἑβδομάτῳ τὲ,
Καὶ ξανθοῖς αὐτοὺς πᾶσιν ἰσαζομένους.
Θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδ᾽ ἒπλετο· λευκότριχες μὲν
Ἦσαν συμπάσης κυανέης ἀγέλης
Τῷ τριτάτῳ τε μέρει καὶ τετράτῳ ἀτρεκὲς ἶσαι.
Αὐτὰρ κυάνεαι τῷ τετράτῳ τὲ πάλιν
Μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ ὁμοῦ μέρει ἰσάζοντο,
Σὺν ταύροις πάσης εἰς νομὸν ἐρχομένης.
Ξανθοτρίχων ἀγέλης πέμπτῳ μέρει ἠδὲ καὶ ἓκτῳ
Ποικίλαι ἰσάριθμον πλῆθος ἒχον. Τετραχῇ
Ξανθαὶ δ᾽ ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει ἶσαι
Ἀργεννῆς ἀγέλης ἑβδομάτῳ τὲ μέρει.
Ξεῖνε, σὺ δ᾽ ἠελίοιο βόες πόσαι ἀτρεκὲς εἰπὼν·
Χωρὶς μὲν ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν,
Χωρὶς δ᾽ αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ χροιὰν ἓκασται.
Οὐκ ἄιδρίς κε λέγοι᾽, οὐδ᾽ ἀριθμῶν ἀδαής,
Οὐ μήν πωγε σοφοῖς ἐν αρίθμιος· ἀλλ᾽ ἴθι φράζευ
Καὶ τάδε πάντα βοῶν ἠελίοιο πάθη.
Ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο πληθὺν
Κυανέοις, ἵσταντ᾽ ἔμπεδον ἰσόμετροι
Εἰς βάθος εἰς εὖρός τὲ· τὰ δ᾽ αὖ περιμήκεα πάντῃ
Πίμπλαντο πλίνθου Θρινακίης πεδία.
Ξανθοὶ δ᾽ αὖ τ᾽ εἰς ἓν καὶ ποικίλοι ἀθροισθέντες
Ἵσταντ᾽ ἀμβολάδην ἐξ ἑνὸς ἀρχόμενοι
Σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον· οὔτε προσόντων
Ἀλλοχρόων ταύρων, οὔτ᾽ ἐπιλειπομένων.
Ταύτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας,
Καὶ πληθέων ἀποδοὺς, ὦ ξένε, πὰντα μέτρα,
Ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος· ἴσθι τε πάντως
Κεκριμένος ταύτῃ ὄμπνιος ἐν σοφἰῃ.

ch liefere diesen Text volkommen, wie ich ihn in dem Manuscripte finde: bis auf einige Kleinigkeiten. Ich habe nehmlich die Interpunction mehr berichtiget, und einige Schreibfehler gebessert: z.E. Zeile 12, 19 und 20, wo jedesmal anstatt τετράτῳ, welches die Poeten brauchen, das gemeine τετάρτῳ stehet, welches dem Werse zuwider ist. Auch hat es die nehmliche prosodische Ursache, war­um ich Z. 14 für ποικιλόχρωτας gesetzt habe ποικιλόχρωας. Die einzige eigentliche Veränderung, die ich mir erlaubt habe, ist mit Zeile 22 geschehen, welche in dem Manu­script heißt:

Σὺν ταύροις πάσαις εἰς νομὸν ἐρχομέναις.

Allein es ist unwidersprechlich, daß für πάσαις ἐρχομέναις der Genitivus des Singularis stehen, und sich auf das folgende ἀγέλης beziehen muß.

Eine völlige Uebersetzung beyzufügen, würde eine sehr undankbare Arbeit seyn. Es ist genug, wenn ich für diejenigen meiner Leser, denen entweder zwar die Sprache aber nicht das Arithmetische, oder denen zwar das Arithmetische aber nicht die Sprache geläufig seyn möchte, nur mit wenigen sage, worauf es ankömmt. Die­jenigen Leser aber, die beides vollkommen verstehen, a­ber auch nur von beiden gerade so viel als ich, (welches wahrlich nicht gar viel ist) mögen dieses wenige zu überschlagen belieben. Ein Autor, der nur einzig für ihres gleichen schreiben wollte, das ist, nur für die gelehr­tern und gelehrtesten Leser, dürfe ohnstreitig ein sehr gu­tes, gründliches Buch machen: ob aber auch en sehr brauchbares, daran zweifle ich.

Die Aufgabe wäre also diese; und betrift sie über­haupt jene in der Mythologie bekannte armenta Solis, die in den Fluren Siciliens weideten. Deiser heiligen Heerden waren, nach ihren Farben, viere: eine wisse, eine blaue, eine gelbe und eine scheckigte; Ochse und Kü­he untereinander. Die Ochsen standen unter sich in die­sem Verhältnisse: daß die Anzahl der weissen gleich war der Hälfte und einem Drittheil der blauen, nebst allen gel­ben zusammen; die bauen, gleich einem Viertheil und einem Fünftheil der scheckigten, nebst allen gelben zusam­men; und die schecktigten, gleich einem Sechstheil und einem Siebentheil der weissen, nebst allen gelben zusam­men. Die Anzahl der Kühe hingegen verhielt sich so: daß die weissen gleich waren, einem Drittheil und ei­nem Viertheil der ganzen blauen Heerden (Ochsen und Kühe zusammen); die blauen gleich, einem Viertheil und einem Fünftheil der ganzen scheckigten Heerde; die scheckigten gleich, einem Fünftheil und einem Sechs­theil der ganzen gelben Heerde; und die gelben gleich, einem Sechstheil und ein Siebentheil der ganzen weissen Heerde. Hierzu kam noch, daß die weissen Ochsen, mit den blauen Ochsen zusammen, ein Viereck machen konn­ten; das ist, daß die Summe beider eine Quadratzahl war; so wie die scheckigten Ochsen, mit den gelben Ochsen zusammen, ein Dreieck bilden konnten, und ihre Sum­me sonach eine Triagonalzahl seyn mußte. Und nun fragt sich: wie viel waren also der Ochsen, von jeder Farbe ins­besondere? Und wie viel waren der Kühe, von jeder Far­be insbesondere? um zu wissen, wie stark jede besondere Heerde, und alle vier Heerden zusammen waren.

Daß in den Datis nichts versehen ist, und daß das Problem nicht anders verstanden werden kann noch soll, will ich mit dem alten Scholien belegen, welches sich in unserer Handschrift gleich hinter dem Epigramm befindet, und folgendes ist:

ΣΧΟΛΙΟΝ.

Τὸ μὲν οὖν πρόβλημα διὰ τοῦ ποιήματος ὁ Ἀρχιμή­δης ἐδήλασε σαφῶς· ἰστέον δὲ τὸ λεγόμενον, ὅτι τέσσα­ρας ἀγέλας εἶναι δεῖ βοῶν· λευκοτρίχαν μὲν μίαν ταύ­ρων καὶ θηλειῶν· ὧν τὸ πλῆθος ὁμοῦ συνάγει μυριάδας διπλᾶς ιδ¯, καὶ ἁπλᾶς φπβ¯, καὶ μονάδας ͵ζτξ¯· κυα­νοχρόων δ’ ἄλλην ὁμου ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆ­θος ἐστὶ μυριάδων διπλῶν ἐννέα, καὶ ἁπλῶν ͵ηωλ¯, καὶ μονάδων ω¯· μιξοτρίχων δ’ ἄλλην ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθος ἐστὶ μυριάδων διπλῶν η¯, καὶ ἁπλῶν ͵ϛϡϟα¯, καὶ μονάδων υ¯· τῆς δὲ λοιπῆς ἀγέλης τῶν ξανθοχρόων συνάγει τὸ πλῆθος, διπλᾶς μυριάδας ζ¯, καὶ ἁπλᾶς ͵ϛψη¯, μονάδας δὲ ͵η¯· ὥστε συνάγεσθαι ὁμοῦ τὸ πλῆθος τῶν δ¯ ἀγελῶν μυριάδας διπλᾶς μ¯, καὶ ἁπλᾶς ͵γριβ¯ καὶ μονάδας ͵ϛφξ¯. Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων ἔχει μυριάδας διπλᾶς η¯καὶ ἁπλᾶς ͵βϡλα¯, καὶ μονάδας  ͵ηφξ¯· θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς, ε¯, καὶ ἁπλᾶς ͵ζχν¯, καὶ μονάδας ͵ηω¯ ἡ δὲ ἀγέλη τῶν κυανοχρόων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε¯, καὶ ἁπλᾶς ͵θχηδ¯, καὶ μονάδας ͵αρκ¯· θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς γ¯, καὶ ἁπλᾶς ͵θρμε¯ καὶ μονάδας ͵θχπ¯· ἡ δ’ ἀ­γέλη τῶν ποικιλοτρων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε¯, καὶ ἁπλᾶς ͵ηωξδ¯, καὶ μονάδας ͵δω¯· θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς β¯, καὶ ἁπλᾶς ͵ηρκϛ¯, καὶ μονάδας ͵θχ¯· ἡδ’ ἀγέλη τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς γ¯, καὶ ἁπλᾶς ͵γρϟε¯, καὶ μονάδας ϡξ¯· θα­λειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς δ¯, καὶ ἁπλᾶς ͵γφιγ¯ καὶ μονάδας ζμ¯. Καὶ ἐστὶ τὸ πλῆθος τῶν λευκοτρίχων ταύρων, ὅσον τῷ ἡμίσει καὶ τρίτῳ μέρει τοῦ πλήθους τῶν κυανο­χρόων ταύρων, καὶ ἔτι ὅλῃ τῇ τῶν ξανθοχρωμάτων ἀ­γέλῃ· τὸ δὲ πλῆθος κυανοχρωμάτων ἴσο τῷ τετάρ­τῳ καὶ πέμπτῳ μέρει τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων καὶ ὅλῳ τῷ πλήθει τῶν ξανθοχρωμάτων· τὸ δὲ πλῆθος τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἴσον τῷ ἕξτῳ καὶ ἑβδόμᾳ μέρει τῶν λευκοτρίχων ταύρων, καὶ ἔτι τῷ πλήθει ὅ­λῳ τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων· καὶ πάλιν τὸ πλῆθος τῶν λευκῶν θηλεῖων, ἴσον τῷ τρίτῳ τετάρτῳ μέρει ὅλης τῆς ἀγέλης τῶν κυανοχρόων· τὸ δὲ τῶν κυανο­χρόων, ἴσον τῷ τετάρτῳ καὶ πέμπτω μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν ποικιλοτρίχων· τὸ δὲ τῶν ποικιλοτρίχων ἴσον τῷ πέμπτῳ καὶ ἕκτῳ μέρει τῆς ὅλης τῶν ξαν­θων βοῶν· πάλιν δὲ τὸ τῶν ξανθῶν θηλειῶν πλῆθος, ἦν ἶσον τῷ ἕκτῳ τὲ καὶ ἑβδόμῳ μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν λευκῶν βοῶν. Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων, ταύρων καὶ ἡ τῶν κυανοχρόων ταύρων συντεθεῖσα, ποιεῖ τετράγωνον ἀριθμὸν· ἡ δ’ ἀγέλητῶν ξανθοτρίχων ταύ­ρων μετὰ τῆς ἀγέλης τῶν ποικιλοχρόων συνεθεῖσα ποιεῖ τρίγωνον. Ὡς ἔχει τὰ τῶν ὑποκειμένων κανόνων καθ’ ἔκαστον χρῶμα.

Dieses Scholion giebt nicht nur, wie gesagt, die nehmlichen Verhältnisse an, sondern fügt die Zahlen selbst bey, die daraus gefunden werden sollen. Die Ver­hältnisse nehmlich sind, nach der izt gewöhnlichen Be­zeichnung, (wenn wir die weissen Ochsen W, die blauen X, die scheckigten Y, und die gelben Z, so wie die ihnen ähnlichen Kühe, mit den ähnlichen kleineren Buchstaben, w, x, y, z, nennen) diese:

W=12⁢X+13⁢X+Z=56⁢X+Z
X=14⁢Y+15⁢Y+Z=920⁢Y+Z
Y=16⁢W+17⁢W+Z=1342⁢W+Z
w=13+14⁢X+x=712⁢X+x
x=14+15⁢Y+y=920⁢Y+y
y=15+16⁢Z+z=1130⁢Z+z
z=16+17⁢W+w=1342⁢W+w
W+X=□
Y+Z=△

Wie nun hiemit der Scholiast zu Werke gegangen, um das Gesuchte zu finden, verschweigt er gänzlich. Genug, er ttheilt uns das Gefundene mit, und bestimmt

W=829318560w=576508800W+w=1405827360
X=596841120x=391459680X+x=988300800
Y=588644800y=281265600Y+y=869910400
Z=331950960z=435137040Z+z=767088000

Folglich, die Summe aller Ochsen und Kühe zusammen 1405827560. Wahrlich, eine ziemliche Heerde für Sici­lien. Zwar die Sonne, der sie gehörte, wird Rath ge­wußt haben

Ich wundere mich weniger über ihre Menge, als darüber, daß der Scholiast, oder wer es sonst gewesen ist; bey den wenigen und beschwerlichen Hülfsmitteln, wel­che die Alten zu dergleichen Berechnungen hatten, die ver­langten Zahlen wirklich finden können. Denn gewiß ist es, daß in dem ganzen Diophantus keine Aufgabe vor­kömmt, die dieser an Schwierigkeit gleich sey. Die in den übrigen Epigrammen enthaltenen aber, sind wahre Kinderspiele dagegen.

Doch ehe wir uns noch mehr über die Auflösung wundern, die noch izt auch wohl einem geübten Analysten zu schaffen mache soll; ist es denn auch die wahre Auf­lösung? Thun die Zahlen des Scholiasten in der That allen und jeden Forderungen des Problems ein Genüge? Die Probe ist leicht zu machen; und man muß gestehen, daß sie von vorne herein sehr wohl von Statten gehet. So ist z.E. 829318560, welche W seyn soll, wirk­lich

12⁢X=298420560
+13⁢X=198947040
+Z=331950660
829318590.¯

So ist gleichermassen 576508800, welches w seyn soll, wirklich

13⁢X+x=329433600
+14⁢X+x=247075200
576508800.¯

Und so passen weiter die angegebenen Werth für X, Y, Z, und x, y, z vollkommen zu den Verhältnissen, welche diese haben sollen. Aber nun ist noch eines zurück, und ohne Zweifel das Wichtigste; weil es wahrscheinlicher Weise das ist, was die Aufgabe zu ihrer völligen Be­stimmung bringet. Nehmlich W+X soll eine Quadrat­zahl, und Y+Z eine Trigonalzahl seyn; dem zu Folge sich nicht nur aus 829318560+596841120=1426159680, sondern auch aus 588644800+331950960=920595760, multiplicirt durch 8 und mit 1 vermehrt, daß ist, aus 7364766081, die Qua­dratwurzel müßte ziehen lassen. Doch das eine läßt sich eben so wenig thun, als das andere: und kurz, die ganze Auflösung des Scholiasten ist also falsch. Umsonst sagt er, mit ausdrücklichen Worten: ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευ­κοτρίχων ταύρων καὶ ἡ τῶν κυανοχρόων ταύρων συντεθεῖα, ποιεῖ τετράγωνον ἀριθμὸν· ἡ δ’ ἀγέλη τῶν ξανθοτρίχων ταύ­ρων μετὰ τῆς ἀγέλης τῶν ποικιλοχρόων συντεθεῖσα, ποιεῖ τρί­γωνον. Nach seinem Zahlen ist dieses gewiß nicht: und er muß sie entweder gar nicht probiert haben, in der Mey­nung, daß, da sie allen den andern Erfordernissen ent­sprächen, sie auch nothwendig diesem Genüge thun müß­ten; oder er hat sich auch in der Probe geirret, welches gar wohl zu denken stünde, da die Extrahirung der Wur­zel in Griechischen Zahlen kein leichtes Geschäft muß ge­wesen seyn.

Was nun der Scholiast so unvollkommen geleistet, (unvollkommen aber ist in der Mathematik so gut, als gar nicht) wünschte ich recht sehr, besser, das ist, eigent­lich leisten zu können. Doch ich habe mein Unvermögen bereits gestanden; welches mir um so weniger schwer an­kommen dürfen, als es ganz das Ansehn hat, daß kein geringerer als ein Analyst von Proffession erforderlich ist, entweder die wahre Auflösung zu finden, oder zu zeigen, daß eine solche Auflösung nicht möglich ist. Dieses lez­tere sollte ich indeß kaum vermuthen. Den Alten ist es zwar mehrmalen begegnet, und hat ihnen wohl bey dem Mangel unserer Analysis begenen müssen, daß ihre arithmetischen Aufgaben unbestimmt sind, und sich auf mehr als eine Art beantworten lassen; oder daß sie auch wohl mehr Bestimmungen haben, als zu ihrer Auflösung nöthig ist: daß sich aber auch ganz unmöglich darunter befinden sollten, davon wüßte ich doch kein Exempel.