Elementas Bok IX

Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω. ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί, τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας· ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός. καί ἐστι τετράγωνος ὁ Δ· τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α och Β vara två likformiga plana tal och låt Α multiplicerat med Β resultera i Γ. Jag säger, att Γ är en kvadrat.

Ty låt Α multiplicerat med sig självt resultera i Δ. Alltså är Δ en kvadrat. Eftersom då Α multiplicerat med sig självt har resulterat i Δ och multiplicerat med Β resulterat i Γ, alltså som Α är till Β, så är Δ till Γ. Och eftersom Α och Β är likformiga plana tal, faller alltså in emellan Α och Β ett tal i mellersta proportionen. Om mellan två tal tal faller i sammanhängande proportion, att så många som faller mellan dem, så många faller också mellan dem, som har samma förhållande. Så att in emellan Δ och Γ faller ett tal i mellersta proportionen. Och Δ är en kvadrat, alltså är även Γ en kvadrat. Vilket skulle visas.

βʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσι τετράγωνον, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.

Om två tal multiplicerade med varandra resulterar i en kvadrat, är de likformiga plana tal.

Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τετράγωνον τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.

Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ὁ Γ, οἱ Δ, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. τῶν Δ, Γ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει. καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀριθμοί· οἱ ἄρα Α, Β ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α och Β vara två tal och låt Α multiplicerat med Β resultera i kvadraten Γ. Jag säger, att Α och Β är likformiga plana tal.

Ty låt Α multiplicerat med sig självt resultera i Δ, alltså är Δ en kvadrat. Och eftersom Α multiplicerat med sig självt har resulterat i Δ och multiplicerat med Β resulterat i Γ, alltså som Α är till Β, så Δ till Γ. Och eftersom Δ är en kvadrat, men också Γ, är alltså Δ och Γ likformiga och plana. Alltså faller in emellan Δ och Γ ett tal i mellersta proportionen.Och som Δ är till Γ, så är Α till Β. Och alltså faller ett tal in emellan Α och Β i mellersta proportionen. Om in emellan två tal ett tal faller i mellersta proportionen, är talen likformiga och plana Alltså är Α och Β likformiga och plana. Vilket skulle visas.

γʹ.

Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.

Om ett kubtal multiplicerat med sig självt resulterar i något, skall produkten vara en kub.

Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν.

Εἰλήφθω γὰρ τοῦ Α πλευρὰ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω. φανερὸν δή ἐστιν, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Α. ἀλλ᾿ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· καὶ ὡς ἄρα ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Α. τῆς ἄρα μονάδος καὶ τοῦ Α ἀριθμοῦ δύο μέσοι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Β. τῆς δὲ μονάδος καὶ τοῦ Α δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται. καί ἐστιν ὁ Α κύβος· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt kubtalet Α multiplicerat med sig självt resultera i Β. Jag säger, att Β är en kub.

Ty låt ha tagit Α:s sida Γ och låt Γ multiplicerat med sig självt resultera i Δ. Det är uppenbart, att Γ multiplicerat med Δ har resulterat i Α. Och eftersom Γ multiplicerat med sig självt har resulterat i Δ, alltså mäter Γ Δ med enheterna i Men också enheten mäter Γ med enheterna i alltså som enheten är till Γ, så är Γ till Δ. Åter, eftersom Γ multiplicerat med Δ har resulterat i Α och alltså mäter Δ Α med enheterna i Γ. Och enheten mäter Γ med enheterna i det, alltså som enheten är till Γ, så är Δ till Α. Men som enheten är till Γ, så är Γ till Δ. Och alltså som enheten är till Γ, så är Γ till Δ och Δ till Α. Alltså har in emellan enheten och talet Α har två tal, Γ och Δ, i mellersta proportionen fallit i sammanhängande proportion. Åter, eftersom Α multiplicerat med sig självt har resulterat i Β, mäter alltså Α Β med enheterna i det. Också enheten mäter Α med enheterna i det. Alltså som enheten är till Α, så är Α till Β. In emellan enheten och Α har två tal i mellersta proportionen fallit och alltså skall in emellan Α och Β två tal i mellersta proportionen falla.Om in emellan två tal två tal i mellersta proportionen faller och det första är en kub, skall också det andra vara en kub.Och Α är en kub, alltså är även Β en kub. Vilket skulle visas.

δʹ.

Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.

Om ett kubtal multiplicerat med ett kubtal resulterar i något, skall produkten vara en kub.

Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ κύβος ἐστίν.

Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ Α, Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί· ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί. καί ἐστι κύβος ὁ Δ· κύβος ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt kubtalet Α multiplicerat med kubtalet Β resultera i Γ. Jag säger, att Γ är en kub.

Ty låt Α multiplicerat med sig självt resultera i Δ, alltså är Δ en kub.Och eftersom Α multiplicerat med sig självt har resulterat i Δ och multiplicerat med Β resulterat i Γ, alltså som Α är till Β, så är Δ till Γ.Och eftersom Α och Β är kuber, är Α och Β likformiga kroppar, alltså faller in emellan Α och Β två tal i mellersta förhållandet,därför faller också in emellan Δ och Γ två tal i mellersta förhållandet.Och Δ är en kub, alltså är också Γ en kubVilket skulle visas.

εʹ.

Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ ὁ πολλαπλασιασθεὶς κύβος ἔσται.

Om ett kubtal multiplicerat med något tal resulterar i en kub, skall också det som multiplicerats vara en kub.

Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν.

Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· κύβος ἄρα ἐστίν ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἀρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Δ, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν. τῶν Δ, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. καί ἐστι κύβος ὁ Α· κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[5]

Ty låt talet Α multiplicerat med något tal Β resultera i kuben Γ. Jag säger, att Β är en kub.

Ty låt Α multiplicerat med sig självt resultera i Δ, alltså är Δ en kub. Och eftersom Α multiplicerat med sig självt har resulterat i Δ och multiplicerat med Β resulterat i Γ, alltså som Α är till Β, så är Δ till Γ.Och eftersom Δ och Γ är kuber, är de likformiga kroppar. Alltså faller in emellan Δ och Γ två tal i mellersta förhållandet.Och som Δ är till Γ, så är Α till Β. Och alltså faller in emellan Α och Β två tal i mellersta förhållandet.Prop. 8.8 Och Α är en kub, alltså är också Β en kub.Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται.

Om ett tal multiplicerat med sig självt resulterar i en kub, skall det självt vara en kub.

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β ποιείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α κύβος ἐστίν.

Ὁ γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω. ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα κύβος ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας. μετρεὶ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ. ἀλλ᾿ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν. τῶν Β, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί. καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί. καί ἐστιν κύβος ὁ Β· κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α· ὅπερ ἔδει δεὶξαι.

Ty låt talet Α multiplicerat med sig självt resultera i kuben Β. Jag säger, att också Α är en kub.

Ty låt Α multiplicerat med Β resultera i Γ. Eftersom då Α multiplicerat med sig självt har resulterat i Β och multiplicerat med Β resulterat i Γ, alltså är Γ en kub. Och eftersom Α multiplicerat med sig självt har resulterat i Β, mäter alltså Α Β med enheterna i det. Även enheten mäter Α med enheterna i det. Alltså som enheten är till Α, så är Α till Β. Och eftersom Α multiplicerat med Β har resulterat i Γ, mäter alltså Β Γ med enheterna i Α. Enheten mäter även Α med enheterna i det. Alltså som enheten är till Α, så är Β till Γ. Men som enheten är till Α, så är Α till Β och alltså som Α är till Β, så är Β till Γ. Och eftersom Β och Γ är kuber, är de likformiga kroppar. Alltså mellan Β och Γ finns två tal i mellersta förhållan.Och som Β är till Γ, så är Α till Β. Och mellan Α och Β finns alltså två tal i mellersta förhållan. Och Β är en kub, alltså är också Α en kub.Vilket skulle visas.

ζʹ.

Ἐὰν σύνθετος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος στερεὸς ἔσται.

Om ett sammansatt tal multiplicerat med något tal resulterar i något, skall produkten vara en kropp.

Σύνθετος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ στερεός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α σύνθετός ἐστιν, ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος μετρηθήσεται. μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Ε ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ δὲ Α ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε, ὁ ἄρα ἐκ τῶν Δ, Ε τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ὁ Γ ἄρα στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Δ, Ε, Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[7]

Ty låt ett sammansatt tal Α multiplicerat med något tal Β resultera i Γ. Jag säger, att Γ är en kropp.

Ty eftersom Α är sammansatt, skall det mätas av något tal. Låt det mätas av Δ, Och så många gånger Δ mäter Α, låt så många enheter vara i Ε. Eftersom då Δ mäter Α med enheterna i Ε, har alltså Ε multiplicerat med Δ resulterat i Α.Och eftersom Α multiplicerat med Β har resulterat i Γ och Α produkten av Δ och Ε, alltså har produkten av Δ och Ε multiplicerat med Β resulterat i Γ. Alltså är Γ en kropp och dess sidor är Δ, Ε och Β. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος τετράγωνος ἔσται καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες, ὁ δὲ τέταρτος κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες.

Om det från enheten finns så många proportionellt sammanhängande tal, skall det tredje från enheten samt de överhoppande ett vara kvadrater, det fjärde samt alla de överhoppande två kuber och det sjunde samt de överhoppande fem kuber och samtidigt kvadrater.

Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ· λέγω, ὅτι ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος ὁ Ζ κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας. ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· τετράγωνος ἄρα ἐστὶν ὁ Β. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Β τετράγωνός ἐστιν, καὶ ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ τετράγωνός ἐστιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες τετράγωνοί εἰσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας· ὁ Α ἄρα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, κύβος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ, Ε, Ζ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Γ κύβος ἐστίν, καὶ ὁ Ζ ἄρα κύβος ἐστίν. ἐδείχθη δὲ καὶ τετράγωνος· ὁ ἄρα ἕβδομος ἀπὸ τῆς μονάδος κύβος τέ ἐστι καὶ τετράγωνος. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες κύβοι τέ εἰσι καὶ τετράγωνοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α, Β, Γ, Δ, Ε och Ζ vara så många från enheten proportionellt sammanhängande tal. Jag säger, att det tredje från enheten Β samt alla de överhoppande ett är kvadrater, det fjärde Γ samt alla de överhoppande två är kuber och det sjunde Ζ samt alla de överhoppande fem är kuber och samtidigt kvadrater.

Ty eftersom som enheten är till Α, så är Α till Β, alltså mäter enheten talet Α lika många gånger som Α mäter Β.Och enheten mäter talet Α med enheterna i det. Och alltså mäter Α Β med enheterna i Α. Alltså har Α multiplicerat med sig självt resulterat i Β, alltså är Β en kvadrat. Och eftersom Β, Γ och Δ är proportionellt sammanhängande, är Β en kvadrat och alltså är Δ en kvadrat.Av samma skäl bör även Ζ vara en kvadrat. På samma sätt skall vi visa, att också de överhoppande ett alla är kvadrater. Jag säger så, även att det fjärde från enheten Γ samt alla de överhoppande två är kuber. Ty då som enheten är till Α, så är Β till Γ, alltså mäter enheten talet Α lika många gånger som Β mäter Γ. Och enheten mäter talet Α med enheterna i Α. Och alltså mäter Β Γ med enheterna i Α. Alltså har Α multiplicerat med Β resulterat i Γ. Eftersom då Α multiplicerat med sig självt har resulterat i Β och multiplicerat med Β resulterat i Γ, är alltså Γ en kub. Och eftersom Γ, Δ, Ε och Ζ är proportionellt sammanhängande, är Γ en kub och alltså är också Ζ en kub.Det har även visats vara en kvadrat. Alltså är det sjunde från enheten en kub och en kvadrat. På samma sätt skall vi visa, att också de överhoppande fem alla är kuber och kvadrater. Vilket skulle visas.

θʹ.

Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἑξῆς κατὰ τὸ συνεχὲς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα τετράγωνος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται. καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι ἔσονται.

Om från enheten det finns så många tal efter varandra och det efter enheten är en kvadrat, skall alla de resterande också vara kvadrater. Och om det efter enheten är en kub, skall också alla de resterande vara kuber.

Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α τετράγωνος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται.

Ὅτι μὲν οὖν ὁ τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαπλείποντες πάντες, δέδεικται· λέγω δή, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος, καὶ ὁ Γ ~~ἄρα~~ τετράγωνος ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ ~~καὶ~~ οἱ Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Β τετράγωνος, καὶ ὁ Δ ~~ἄρα~~ τετράγωνός ἐστιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν.

Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ Α κύβος· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν.

Ὅτι μὲν οὖν ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, δέδεικται· λέγω δή, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἀρα ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας· ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. καί ἐστιν ὁ Α κύβος. ἐὰν δὲ κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἐστίν· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν. καὶ ἐπεὶ τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α κύβος, καὶ ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε κύβος ἐστίν, καὶ ὁμοίως οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α, Β, Γ, Δ, Ε och Ζ vara så många proportionellt sammanhängande tal från enheten och det efter enheten Α vara en kvadrat. Jag säger, att också alla de resterande också skall vara kvadrater.

Att det tredje efter enheten Β är en kvadrat samt alla de överhoppande ett är kvadrater, har faktiskt visats.Jag säger så, att också de resterande är kvadrater. Ty eftersom Α, Β och Γ är proportionellt sammanhängande, är också Α en kvadrat och ~~alltså~~ är Γ en kvadrat.Åter, eftersom ~~även~~ Β, Γ och Δ är proportionellt sammanhängande, är också Β en kvadrat och ~~alltså~~ är Δ en kvadrat.På samma sätt skall vi visa, att också alla de resterande är kvadrater.

Men låt så Α vara en kub. Jag säger, att också alla de resterande är kuber.

Att det fjärde efter enheten Γ är en kub samt alla de överhoppande två är kuber, har faktiskt visats. Jag säger så, att också de resterande är kuber. Ty då som enheten är till Α, så är Α till Β, alltså mäter enheten Α lika många gånger som Α mäter Β. Och enheten mäter Α med enheterna i det, alltså mäter också Α Β med enheterna i det. Alltså har Α multiplicerat med sig självt resulterat i Β och Α är en kub. Om ett kubtal multiplicerat med sig självt resulterar i något, är produkten en kub.Och alltså är Β en kub. Och eftersom Α, Β, Γ och Δ är fyra proportionellt sammanhängande tal, är även Α en kub, och alltså är Δ en kub. Av samma skäl bör även Ε vara en kub och på samma sätt är även alla resterade tal kuber. Vilket skulle visas.

ιʹ.

Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ~~ἑξῆς~~ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα μὴ ᾖ τετράγωνος, οὐδ᾿ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων πάντων. καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος μὴ ᾖ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων πάντων.

Om det från enheten finns så många proportionellt sammanhängande tal och det efter enheten är inte en kvadrat, skall heller inte något annat vara en kvadrat, förutom det tredje från enheten och alla av dem, som hoppar över ett. Och om det efter enheten inte är en kub, skall inte heller något annat vara en kub, förutom det fjärde från enheten och alla av dem, som hoppar över två.

Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α μὴ ἔστω τετράγωνος· λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τὴς μονάδος ~~καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων~~.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Γ τετράγωνος. ἔστι δὲ καὶ ὁ Β τετράγωνος· οἱ Β, Γ ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β· οἱ Α, Β ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ὥστε οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. καί ἐστι τετράγωνος ὁ Β· τετράγωνος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α· ὅπερ οὐχ ὑπέκειτο. οὐκ ἄρα ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ᾿ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνός ἐστι χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων.

Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ Α κύβος. λέγω, ὅτι οὐδ᾿ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Δ κύβος. ἔστι δὲ καὶ ὁ Γ κύβος· τέταρτος γάρ ἐστιν ἀπὸ τῆς μονάδος. καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Β πρὸς τὸν Γ· καὶ ὁ Β ἄρα πρὸς τὸν Γ λόγον ἔχει, ὃν κύβος πρὸς κύβον. καί ἐστιν ὁ Γ κύβος· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας· ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β πεποίηκεν. ἐὰν δὲ ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται. κύβος ἄρα καὶ ὁ Α· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ὁ Δ κύβος ἐστίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ᾿ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἐστὶ χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α, Β, Γ, Δ, Ε och Ζ vara så många proportionellt sammanhängande tal från enheten och det efter enheten Α inte vara en kvadrat. Jag säger, att inte heller något annat skall vara en kvadrat, förutom det tredje från enheten ~~och alla av dem, som hoppar över ett~~.

Ty om möjligt, låt Γ vara en kvadrat. Då är även Β en kvadrat.Alltså har Β och Γ ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och som Β är till Γ, så är Α till Β. Alltså har Α och Β ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Så att Α och Β är likformiga plana tal.Och Β är en kvadrat, alltså är även Α en kvadrat. Vilket inte antagits. Alltså är Γ inte en kvadrat. På samma sätt skall vi visa, att inte heller något annat tal är en kvadrat, förutom det tredje från enheten och alla av dem, som hoppar över ett.

Men låt så Α inte vara en kub. Jag säger, att inte heller något annat är en kub, förutom det fjärde från enheten och alla av dem, som hoppar över två.

Ty om möjligt, låt Δ vara en kub. Då är även Γ en kub, ty det är det fjärde från enheten.Och som Γ är till Δ, så är Β till Γ. Och alltså har Β ett förhållande till Γ, som en kub till en kub. Och Γ är en kub, alltså är även Β en kub.Och då som enheten är till Α, så är Α till Β och enheten mäter Α med enheterna i det, alltså mäter Α Β med enheterna i det. Alltså har Α multiplicerat med sig självt resulterat i Β. Om ett tal multiplicerat med sig självt resulterar i en kub, skall det också själv vara en kub.Alltså är även Α en kub. Vilket inte antagits. Alltså är Δ inte en kub. På samma sätt skall vi visa, att inte heller något annat tal är en kvadrat, förutom det fjärde från enheten och alla av dem, som hoppar över två. Vilket skulle visas.

ιαʹ.

Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα μετρεῖ κατά τινα τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.

Om det från enheten finns så många proportionellt sammanhängande tal, mäter ett mindre ett större med något av dem, som hör till de proportionella talen.

Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς Α ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Β, Γ, Δ, Ε· λέγω, ὅτι τῶν Β, Γ, Δ, Ε ὁ ἐλάχιστος ὁ Β τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα τῶν Γ, Δ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε· ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Ε. ἡ δὲ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας· ὥστε ὁ ἐλάσσων ὁ Β τὸν μείζονα τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα ἀριθμὸν τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.

Πόρισμα.

Καὶ φανερόν, ὅτι ἣν ἔχει τάξιν ὁ μετρῶν ἀπὸ μονάδος, τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ὁ καθ᾿ ὃν μετρεῖ ἀπὸ τοῦ μετρουμένου ἐπὶ τὸ πρὸ αὐτοῦ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Β, Γ, Δ och Ε vara så många proportionellt sammanhängande tal från enheten Α. Jag säger, att det minsta av Β, Γ, Δ och Ε, Β, mäter Ε med något av Γ och Δ.

Ty då som enheten Α är till Β, så är Δ till Ε, alltså mäter enheten Α talet Β och Δ mäter Ε. Alltså, alternerat, lika många gånger mäter enheten Α Δ som Β mäter Ε. Enheten Α mäter Δ med enheterna i det, alltså mäter Β Ε med enheterna i Δ, så mäter det mindre Β det större Ε med något tal, som hör till de proportionella talen.

Följdsats.

Och det är uppenbart, att den plats det mätande har från enheten, samma har också det med vilket det mäts från det mätta till det före sig. Vilket skulle visas.

ιβʹ.

Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὑφ᾿ ὅσων ἂν ὁ ἔσχατος πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ τὴν μονάδα μετρηθήσεται.

Om från enheten det finns så många proportionellt sammanhängande tal, av så många prima tal, som det sista mäts, skall också det vid enheten mätas av desamma.

Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι ὑφ᾿ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται.

Μετρείσθω γὰρ ὁ Δ ὑπό τινος πρώτου ἀριθμοῦ τοῦ Ε· λέγω, ὅτι ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ. μὴ γάρ· καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος, ἅπας δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν· οἱ Ε, Α ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Γ. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η· ὁ Ε ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν διὰ τὸ πρὸ τούτου καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Η. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Β. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ· ὁ Ε ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Θ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Α ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον. ἀλλὰ μὴν καὶ οὐ μετρεῖ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Ε, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. σύνθετοι ἄρα. οἱ δὲ σύνθετοι ὑπὸ ~~πρώτου~~ ἀριθμοῦ τινος μετροῦνται. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρῶτος ὑπόκειται, ὁ δὲ πρῶτος ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ οὐ μετρεῖται ἢ ὑφ᾿ ἑαυτοῦ, ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Ε μετρεῖ· ὥστε ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Δ· ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Δ μετρεῖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὑφ᾿ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[12]

Låt Α, Β, Γ och Δ vara så många proportionella tal från enheten . Jag säger, att av så många prima tal som Δ mäts, av samma tal skall också Α mätas.

Ty låt Δ mätas av något primt tal Ε. Jag säger, att Ε mäter Α. Ty om inte, är även Ε primt, då alla prima tal är prima till alla, vilka de inte mäter.Alltså är Ε och Α prima till varandra. Och eftersom Ε mäter Δ, låt det mäta det med Ζ, alltså har Ε multiplicerat med Ζ resulterat i Δ. Åter, eftersom Α mäter Δ med enheterna i Γ,. har alltså Α multiplicerat med Γ resulterat i Δ. Men även Ε har multiplicerat med Ζ resulterat i Δ, alltså är produkten av Α och Γ lika med produkten av Ε och Ζ. Alltså som Α är till Ε, så är Ζ till Γ.Och Α och Ε är prima till varandra och de prima till varandra är även minst.De minsta mäter dem, som har samma förhållande lika många gånger, det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande.Alltså mäter Ε Γ. Låt det mäta det med Η. Alltså har Ε multiplicerat med Η resulterat i Γ. Men, på grund av satsen före denna, har även Α multiplicerat med Β resulterat i Γ.Alltså är produkten av Α och Β lika med produkten av Ε och Η. Alltså som Α är till Ε, så är Η till Β.Α och Ε är prima till varandra, och de prima till varandra är även minst.De minsta mäter dem, som har samma förhållande lika många gånger, det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande.Alltså mäter Ε Β. Låt det mäta det med Θ. Alltså har Ε multiplicerat med Θ resulterat i Β. Men även Α multiplicerat med sig självt har resulterat i Β.Alltså är är produkten av Ε och Θ lika med kvadraten av Α. Alltså som Ε är till Α, så är Α till Θ.Α och Ε är prima till varandra och de prima till varandra är även minst.De minsta mäter dem, som har samma förhållande lika många gånger, det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande.Alltså mäter Ε Α som det föregående det föregående. Men det mäter också inte, vilket är omöjligt. Alltså är Ε och Α inte prima till varandra. Alltså är de sammansatta med varandra. Och de sammansatta mäts av något ~~primt~~ tal.Och eftersom Ε antagits vara primt och ett primt inte mäts av något annat tal än av sig självt,mäter alltså Ε Α och Ε. Så att Ε mäter Α. Det mäter även Δ. Alltså mäter Ε Α och Δ. På samma sätt skall vi visa, att av så många prima tal som Δ mäts, skall även Α mätas av desamma. Vilket skulle visas.

ιγʹ.

Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα πρῶτος ᾖ, ὁ μέγιστος ὑπ᾿ οὐδενὸς ~~ἄλλου~~ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.

Om från enheten det finns så många proportionellt sammanhängande tal och det efter enheten är primt, skall det största mätas av inget ~~annat~~ tal utom de befintliga bland de proportionella talen.

Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτος ἔστω· λέγω, ὅτι ὁ μέγιστος αὐτῶν ὁ Δ ὑπ᾿ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ.^AA) Här har Heiberg för en gångs skull figuren i den grekiska texten.

Εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἔστω ὁ αὐτός. φανερὸν δή, ὅτι ὁ Ε πρῶτος οὔκ ἐστιν. εἰ γὰρ ὁ Ε πρῶτός ἐστι καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ Ε πρῶτός ἐστιν. σύνθετος ἄρα. πᾶς δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὁ Ε ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. λέγω δή, ὅτι ὑπ᾿ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου μετρηθήσεται πλὴν τοῦ Α. εἰ γὰρ ὑφ᾿ ἑτέρου μετρεῖται ὁ Ε, ὁ δὲ Ε τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει· ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ὁ Α ἄρα τὸν Ε μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ. λέγω, ὅτι ὁ Ζ οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. εἰ γὰρ ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτὸς καὶ μετρεῖ τὸν Δ κατὰ τὸν Ε, καὶ εἷς ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατά τὸν Ε. ἀλλὰ εἷς τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατά τινα τῶν Α, Β, Γ· καὶ ὁ Ε ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι μετρεῖται ὁ Ζ ὑπὸ τοῦ Α, δεικνύντες πάλιν, ὅτι ὁ Ζ οὔκ ἐστι πρῶτος. εἰ γὰρ, καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα πρῶτός ἐστιν ὁ Ζ· σύνθετος ἄρα. ἅπας δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὁ Ζ ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. λέγω δή, ὅτι ὑφ᾿ ἑτέρου πρώτου οὐ μετρηθήσεται πλὴν τοῦ Α. εἰ γὰρ ἕτερός τις πρῶτος τὸν Ζ μετρεῖ, ὁ δὲ Ζ τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει· ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ὁ Α ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ζ, ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ. ὁ δὲ Α τὸν Ε μετρεῖ· καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Γ μετρεῖ. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β ἐστιν ὁ αὐτός, καὶ ὅτι μετρεῖται ὑπὸ τοῦ Α. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Η, ὁ Ζ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ζ, Η. ἀνάλογον ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ζ, ὁ Η πρὸς τὸν Β. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Ζ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Η τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Θ τῷ Α οὐκ ἔστιν ὁ αὐτός. καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Θ, ὁ Η ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· ὁ ἄρα ὑπὸ Θ, Η ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α τετραγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Η. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Η· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Θ τὸν Α πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ μέγιστος ὁ Δ ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α, Β, Γ och Δ vara från enheten så många proportionellt sammanhängande tal och låt det efter enheten Α vara primt. Jag säger, att det största av dem Δ skall mätas av inget ~~annat~~ tal utom Α, Β och Γ.

Ty om möjligt, låt det mätas av Ε och låt Ε inte vara samma som något av Α, Β och Γ. Det är då uppenbart, att Ε inte är primt. Ty om Ε är primt och mäter Δ, skall det också mäta Α, som är primt och inte detsamma som det,vilket är omöjligt. Alltså är Ε inte primt. Alltså är det sammansatt. Och alla sammansatta tal mäts av något primt tal.Alltså mäts Ε av något primt tal. Jag säger så, att det inte mäts av något annat primt tal förutom Α. Ty om Ε mäts av något annat och Ε mäter Δ, skall alltså detta tal mäta Δ. Så att det också skall mäta Α, som är primt och ej detsamma som det,vilket är omöjligt. Alltså mäter Α Ε. Och eftersom Ε mäter Δ, låt det mäta det med Ζ. Jag säger, att Ζ är inte detsamma som något av Α, Β och Γ. Ty om Ζ är detsamma som ett av Α, Β och Γ och mäter Δ med Ε, mäter alltså ett av Α, Β och Γ Δ med Ε. Men ett av Α, Β och Γ mäter Δ med något av Α, Β och Γ,alltså är Ε detsamma som ett av Α, Β och Γ, vilket inte antagits. Alltså är Ζ inte detsamma som något av Α, Β och Γ. På samma sätt skall vi visa, att Ζ mäts av Α, åter visande, att Ζ inte är primt. Ty om, mäter det också Δ, skall det också mäta Α, som är primt och ej detsamma som det, vilket är omöjligt. Alltså är Ζ inte primt. Alltså är det sammansatt. Och alla sammansatta tal mäts av något primt tal.Alltså mäts Ζ av något primt tal. Jag säger så, att det inte mäts av något annat primt tal förutom Α. Ty om något annat primt tal mäter Ζ, mäter Ζ Δ, skall alltså detta tal mäta Δ. Så att det också skall mäta Α, som är primt och ej detsamma som det,vilket är omöjligt. Alltså mäter Α Ζ. Och eftersom Ε mäter Δ med Ζ, har alltså Ε multiplicerat med Ζ resulterat i Δ. Men även Α multiplicerat med Γ har resulterat i Δ. Alltså är produkten av Α och Γ lika med produkten av Ε och Ζ. Alltså proportionellt som Α är till Ε, så är Ζ till Γ.Och Α mäter Ε, alltså mäter Ζ även Γ. Låt det mäta det med Η. På samma sätt skall vi visa, att Η inte är detsamma som något av Α och Β samt att det mäts av Α. Och eftersom Ζ mäter Γ med Η, har alltså Ζ multiplicerat med Η resulterat i Γ. Men också Α multiplicerat med Β har resulterat i Γ. Alltså är produkten av Α och Β lika med produkten av Ζ och Η. Alltså proportionellt som Α är till Ζ, så är Η till Β.Och Α mäter Ζ, alltså mäter även Η Β. Låt det äta det med Θ. På samma sätt skall vi visa, att Θ inte är detsamma som Α. Och eftersom Η mäter Β med Θ, har alltså Η multiplicerat med Θ resulterat i Β. Men Α har också multiplicerat med sig självt resulterat i Β.Alltså är produkten av Θ och Η lika med kvadraten på Α. Alltså som Θ är till Α, så är Α till Η.Och Α mäter Η, alltså mäter Θ också Α, som är primt och och inte detsamma som det, vilket är orimligt. Alltså skall det största talet inte mätas Δ av ett annat tal utom ett av Α, Β och Γ. Vilket skulle visas.

ιδʹ.

Ἐὰν ἐλάχιστος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπ᾿ οὑδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρούντων.

Om ett minsta tal mäts av prima tal, skall det inte mätas av något annat primt tal utom de ursprungligt mätande.

Ἐλάχιστος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ μετρείσθω· λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπ᾿ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ.

Εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ἔστω ὁ αὐτός. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. καὶ μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει· οἱ Β, Γ, Δ ἄρα ἕνα τῶν Ε, Ζ μετρήσουσιν. τὸν μὲν οὖν Ε οὐ μετρήσουσιν· ὁ γὰρ Ε πρῶτός ἐστι καὶ οὐδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ὁ αὐτός. τὸν Ζ ἄρα μετροῦσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Α· ὅπερ ἀδύνατον. ὁ γὰρ Α ὑπόκειται ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Β, Γ, Δ μετρούμενος. οὐκ ἄρα τὸν Α μετρήσει πρῶτος ἀριθμὸς παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[14]

Ty låt Α vara det minsta tal som mäts av de prima talen Β, Γ och Δ. Jag säger, att Α inte skall mätas av något annat primt tal utom Β, Γ och Δ.

Ty om möjligt, låt det mätas av Ε och låt Ε inte vara detsamma som något av Β, Γ och Δ. Och eftersom Ε mäter Α, låt det mäta med Ζ, alltså har Ε multiplicerat med Ζ resulterat i Α. Och Α mäts av de prima talen Β, Γ och Δ. Och om två tal multiplicerade med varandra resulterar i något och något primt tal mäter produkten av dem, skall det också mäta ett av de ursprungliga.Alltså skall Β, Γ och Δ mäta ett av Ε och Ζ. Men de mäter inte Ε, ty Ε är primt och är inte detsamma som något av Β, Γ och Δ. Alltså mäter de Ζ, som är mindre än Α, vilket är omöjligt. Ty Α antas vara minst av dem, som mäts av Β, Γ och Δ. Alltså skall Α inte mätas av ett primt tal utom Β, Γ och Δ. Vilket skulle visas.

ιεʹ.

Ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν.

Om tre proportionellt sammanhängande tal är minst av dem med samma förhållande som de, är två vilkasomhelst sammansatta prima till resten.

Ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοι εἰσιν, οἱ μὲν Α, Β πρὸς τὸν Γ, οἱ δὲ Β, Γ πρὸς τὸν Α καὶ ἔτι οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β.

Εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ δύο οἱ ΔΕ, ΕΖ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν ΔΕ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ ΕΖ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, καὶ ἔτι ὁ ΕΖ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ ἐλάχιστοί εἰσιν, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον πρῶτός ἐστιν· καὶ ὁ ΔΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν· οἱ ΔΖ, ΔΕ ἄρα πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτοί εἰσιν. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτός ἐστιν· ὥστε ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν· ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν. ἐὰν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτός ἐστιν. ἀλλ᾿ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΕ ἐστι μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ· ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΔΕ μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν. καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ· οἱ Α, Β ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Γ πρῶτοί εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ Β, Γ πρὸς τὸν Α πρῶτοί εἰσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν. ἐπεὶ γὰρ ὁ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν, καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΖ πρὸς τὸν ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΔΖ ἴσοι εἰσὶν οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ· καὶ οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί ~~εἰσι~~. διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν. ἔτι διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν. καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ. οἱ Α, Γ ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α, Β och Γ vara de tre minsta proportionellt sammanhängande talen av dem med samma förhållande som de. Jag säger, att två vilkasomhelst sammansatta av Α, Β och Γ är prima till resten, Α och Β till Γ, Β och Γ till Α samt dessutom Α och Γ till Β.

Ty låt ha tagit de minsta talen av dem, som har samma förhållande som Α, Β och Γ, de två ΔΕ och ΕΖ. Det är uppenbart, att ΔΕ multiplicerat med sig självt har resulterat i Α och multiplicerat med ΕΖ har resulterat i Β samt dessutom att ΕΖ multiplicerat med sig självt har resulterat i Γ.Och eftersom ΔΕ och ΕΖ är minst, är de prima till varandra.Och om två tal är prima till varandra, är också sammansättningen prima till vart och ett.Och alltså är ΔΖ primt till vart och ett av ΔΕ och ΕΖ. Men också ΔΕ är primt till ΕΖ, alltså är ΔΖ och ΔΕ prima till ΕΖ. Och om två tal är prima till något tal, skall också produkten av dem vara primt till det resterande.Så att produkten av ΖΔ och ΔΕ är primt till ΕΖ samt att produkten av ΖΔ och ΔΕ är primt till kvadraten på ΕΖ ~~Ty om två tal är prima till varandra, är kvadraten på ett av dem primt till det kvarvarande~~. Men produkten av ΖΔ och ΔΕ är kvadraten på ΔΕ plus produkten av ΔΕ och ΕΖ,alltså är kvadraten på ΔΕ plus produkten av ΔΕ och ΕΖ prima till kvadraten på ΕΖ. Och kvadraten på ΔΕ är Α och produkten av ΔΕ och ΕΖ är Β, alltså är kvadraten på ΕΖ Γ. Alltså är Α och Β sammansatta prima till Γ. På samma sätt skall vi visa, att även Β och Γ är prima till Α. Jag säger så, att även Α och Γ sammansatta är prima till Β. Ty eftersom ΔΖ är primt till vart och ett av ΔΕ och ΕΖ, är också kvadraten på ΔΖ prima till produkten av ΔΕ och ΕΖ.Men kvadraten på ΔΖ är lika med kvadraterna på ΔΕ och ΕΖ plus två gånger produkten av ΔΕ och ΕΖ.Och alltså är kvadraterna på ΔΕ och ΕΖ plus två gånger rektangeln av ΔΕ och ΕΖ prima till rektangeln av ΔΕ och ΕΖ. Genom separation är kvadraterna på ΔΕ och ΕΖ plus en gång rektangeln av ΔΕ och ΕΖ prima till rektangeln av ΔΕ och ΕΖ.Alltså är genom separation dessutom kvadraterna på ΔΕ och ΕΖ prima till rektangeln av ΔΕ och ΕΖ. Kvadraten på ΔΕ är Α, rektangeln av ΔΕ och ΕΖ är Β samt kvadraten på ΕΖ är Γ. Alltså är Α och Γ sammantagna prima till Β. Vilket skulle visas.

ιϛʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς ἄλλον τινά.

Om två tal är prima till varandra, skall som det första är till det andra så skall det andra inte vara till något annat.

Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς ἄλλον τινά.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt två tal Α och Β vara prima till varandra. Jag säger, att som Α är till Β så skall Β inte vara till något annat.

Ty om möjligt, låt Α vara till Β, som Β är till Γ. Α och Β är prima till varandra och de som är prima är också minst. Och de minsta talen mäter dem, som har samma förhållande, lika många gånger, det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande.Alltså mäter Α Β som det föregående det föregående. Det mäter även sig självt, alltså mäter Α Α och Β, som är prima till varandra, vilket är orimligt. Alltså skall Α inte vara till Β, som Β är till Γ. Vilket skulle visas.

ιζʹ.

Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ ἔσχατος πρὸς ἄλλον τινά.

Om så många tal är proportionellt sammanhängande och de yttersta av dem är prima till varandra, skall inte det första vara till det andra som det sista är till något annat.

Ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, ὁ Β πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον. μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ· ὥστε καὶ ὁ Α τὸν Γ μετρεῖ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Γ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ. ἀλλ᾿ ὁ Α τὸν Γ ἐμέτρει· ὥστε ὁ Α καὶ τὸν Δ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν. ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Δ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α, Β, Γ och Δ vara proportionellt sammanhängande tal och låt de yttersta, Α och Δ, vara prima till varandra. Jag säger, att som Α är till Β så skall Δ inte vara till något annat tal.

Ty om möjligt, låt som Α är till Β, så Δ vara till Ε· Alltså är, alternerat, som Α är till Δ, så är Β till Ε.Α och Δ är prima till varandra och de prima är också minst.De minsta talen mäter dem med samma förhållande lika många gånger, det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande.Alltså mäter Α Β. Och som Α är till Β, så är Β till Γ. Och alltså mäter Β Γ. Så att Α också mäter Γ.Och då som Β är till Γ, så är Γ till Δ, mäter Β Γ, alltså mäter också Γ Δ.Men Α mätte Γ, så att Α också mäter Δ och mäter även sig självt. Alltså mäter Α Α och Δ, som är prima till varandra, vilket är omöjligt. Alltså skall som Α är till Β, Δ inte vara till något tal. Vilket skulle visas.

ιηʹ.

Δύο ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.

Att för två givna tal undersöka, om det är möjligt, att finna ett tredje proportionellt till dem.

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.

Οἱ δὴ Α, Β ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ. καὶ εἰ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.

Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ὁ Β ἑαυτον πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω. ὁ Α δὴ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον κατὰ τὸν Δ· ὁ Α ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Δ· τοῖς Α, Β ἄρα τρίτος ἀριθμὸς ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Δ.

Ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Γ· λέγω, ὅτι τοῖς Α, Β ἀδύνατόν ἐστι τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν. εἰ γὰρ δυνατόν, προσηυρήσθω ὁ Δ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐστιν ὁ Γ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Δ. ἀλλὰ μὴν ὑπόκειται καὶ μὴ μετρῶν· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α, Β τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμὸν, ὅταν ὁ Α τὸν Γ μὴ μετρῇ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α och Β vara två givna tal och låt det vara påkallat, att om möjligt finna ett tredje proportionellt till dem.

Α och Β är antingen prima till varandra eller inte. Och om de är prima till varandra, har det vistats, att det är omöjligt, att finna ett tredje proportionellt till dem.

Men låt så Α och Β inte vara prima till varandra och låt Β multiplicerat med sig självt resultera i Γ. Då antingen mäter Α Γ, eller mäter inte. Låt det först mäta med Δ. Alltså har Α multiplicerat med Δ resulterat i Γ. Men också Β multiplicerat med sig självt har resulterat i Γ. Alltså är produkten av Α och Δ lika med kvadraten på Β. Alltså som Α är till Β, så är Β till Δ.Alltså har ett tredje tal Δ proportionellt till Α och Β funnits.

Men låt så Α inte mäta Γ. Jag säger, att det är omöjligt, att finna ett tredje tal proportionellt till Α och Β. Ty om möjligt, låt ha funnit det och låt det vara Δ. Alltså är produkten av Α och Δ lika med kvadraten på Β.Och kvadraten på Β är Γ. Alltså är produkten av Α och Δ lika med kvadraten på Γ. Så att Α multiplicerat med Δ har resulterat i Γ. Alltså mäter Α Γ med Δ. Men det har antagits att det inte mäter, vilket är orimligt. Alltså är det inte möjligt, att finna ett tredje tal proportionellt till Α och Β, så att Α inte mäter Γ. Vilket skulle visas.

ιθʹ.

Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.

Att för tre givna tal undersöka, huruvida det är möjligt, att finna ett fjärde proportionellt till dem.

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, καὶ δέον ἔστω επισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.

Ἤτοι οὖν οὔκ εἰσιν ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἢ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, ἢ οὕτε ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, οὔτε οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἢ καὶ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.

Εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν. μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον τῶν ἀκρῶν πάλιν ὄντων πρώτων πρὸς ἀλλήλους. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν. εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Δ, ὥστε εἶναι ὡς τὸν Α πρὸς τὸν Β, τὸν Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Γ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον. μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Γ ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοῖς Α, Β, Γ δυνατόν ἐστι τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.

Ἀλλά δὴ πάλιν ἔστωσαν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ Α, Γ μὴ ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν. ὁ γὰρ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· ὁ Α ἄρα τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω αὐτὸν πρότερον κατὰ τὸν Ε· ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀνάλογον ἄρα ~~ἐστὶν~~ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Ε· τοὶς Α, Β, Γ ἄρα τέταρτος ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Ε.

Ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Δ· λέγω, ὅτι ἀδύνατόν ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν. εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Ε· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀλλὰ ὁ ἑκ τῶν Β, Γ ἐστιν ὁ Δ· καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Ε ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ Δ. ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε· ὥστε μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ. ἀλλὰ καὶ οὐ μετρεῖ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα δυνάτον ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Δ μὴ μετρῇ. ἀλλὰ δὴ οἱ Α, Β, Γ μήτε ἑξῆς ἔστωσαν ἀνάλογον μήτε οἱ ἄκροι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι εἰ μὲν μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ, δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς ἀνάλογον προσευρεῖν, εἰ δὲ οὐ μετρεῖ, ἀδύνατον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α, Β och Γ vara tre givna tal och låt det vara påkallat, huruvida det är möjligt att finna ett tredje proportionellt till dem.Denna sats är till del uppenbart felaktig, vilket redan Theon noterade. Se vidare Opera Omnia. Euclidis Elementa. Vol. 2, Libri 5-9, ed. Heiberg, s. 384-389, The thirteen books of Euclid’s Elements, tr. Heath, ss. 409-411 och Les éléments. Volume II, tr. Vitrac, s. 443.

Antingen är de inte proportionellt sammanhängande och de yttersta av dem är prima till varandra eller så är de proportionellt sammanhängande och de yttersta av dem är inte prima till varandra eller så är de varken proportionellt sammanhängande eller är de yttersta av dem prima till varandra eller så är de både proportionellt sammanhängande och de yttersta av dem är prima till varandra.

Om så Α, Β och Γ är proportionellt sammanhängande och de yttersta av dem Α och Γ är prima till varandra, har det visats, att det är omöjligt att finna ett fjärde tal proportionellt till dem.Låt så Α, Β och Γ inte vara proportionellt sammanhängande och i stället ha de yttersta prima till varandra. Jag säger, att även i detta fall är det omöjligt, att finna ett fjärde tal proportionellt till dem. Ty om möjligt, låt ha funnit det och låt det vara Δ, så att Α är till Β, som Γ är till Δ samt låt det ha blivit, att som Β är till Γ, så är Δ till Ε. Och då som Α är till Β, så är Γ till Δ och som Β är till Γ, så är Δ till Ε. Alltså, ex aequali, som Α är till Γ, så är Γ till Ε.Α och Γ är prima till varandra. Och de prima är också minst och de minsta mäter dem, som har samma förhållande, lika många gånger, det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande. Alltså mäter Α Γ, som det föregående det föregående. Det mäter också sig självt, Α mäter alltså Α och Γ, som är prima till varandra, vilket är omöjligt. Alltså är det omöjligt att finna ett fjärde proportionellt tal till Α, Β och Γ.

Men låt så Α, Β och Γ åter vara proportionellt sammanhängande men låt Α och Γ inte vara prima till varandra. Jag säger, att det är möjligt, att finna ett fjärde tal proportionellt till dem. Ty låt Β multiplicerat med Γ resultera i Δ. Alltså mäter eller mäter inte Α Δ. Låt det först mäta det med Ε. Alltså har Α multiplicerat med Ε resulterat i Δ. Men också Β multiplicerat med Γ har resulterat i Δ. Alltså är produkten av Α och Ε lika med produkten av Β och Γ. Alltså proportionellt som Α är till Β, så är Γ till Ε.Alltså har ett fjärde tal Ε proportionellt till Α, Β och Γ funnits.

Men låt så Α inte mäta Δ. Jag säger, att det är omöjligt att finna ett fjärde tal proportionellt till Α, Β och Γ. Ty om möjligt, låt ha funnit det och låt det vara Ε, alltså är produkten av Α och Ε lika med produkten av Β och Γ. Men produkten av Β och Γ är Δ. Och alltså är produkten av Α och Ε lika med Δ. Alltså har Α multiplicerat med Ε resulterat i Δ. Α mäter alltså Δ med Ε, så att Α mäter Δ. Men det mäter också inte, vilket är orimligt. Alltså är det omöjligt, att finna ett fjärde tal proportionellt till Α, Β och Γ, där Α inte mäter Δ. Men låt så Α, Β och Γ varken vara proportionellt sammanhängande eller de yttersta vara prima till varandra. Och låt Β multiplicerat med Γ resultera i Δ. På samma sätt skall vi så visa, att om Α mäter Δ, är det möjligt, att att finna ett fjärde tal proportionellt till dem och om det inte mäter, är det omöjligt. Vilket skulle visas.

κʹ.

Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν.

De prima talen är fler än alla utvalda mängder av prima tal.

Ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί.

Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον πρῶτος· εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ.

Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος· ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η· λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν· καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ· καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν· ὄπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. καὶ ὑπόκειται πρῶτος. εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt låt Α, Β och Γ vara utvalda prima tal. Jag säger, att de prima talen är fler än Α, Β och Γ.

Ty låt ha tagit det minsta talet som mäts av Α, Β och Γ och låt det vara ΔΕ. Lägg ΔΖ till ΔΕ. ΕΖ är antingen primt eller ej. Låt det först vara primt, alltså är de funna prima talen Α, Β, Γ och ΕΖ fler än Α, Β och Γ.

Men låt så ΕΖ ej vara primt, alltså mäts det av något primt tal.Låt det mätas av det prima talet Η. Jag säger, att Η inte är detsamma som något av Α, Β och Γ. Ty om möjligt, låt det vara så. Α, Β och Γ mäter då ΔΕ och alltså skall också Η mäta ΔΕ. Det mäter även ΕΖ. Och talet Η skall också mäta resten, enheten ΔΖ, vilket är orimligt. Alltså är Η inte detsamma som en av Α, Β och Γ. Och det har antagits vara primt. Alltså är de funna prima talen Α, Β, Γ och Η fler än de utvalda Α, Β och Γ. Vilket skulle visas.

καʹ.

Ἐὰν ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν.

Om så många jämna tal är sammantagna, är helheten jämn.

Συγκείσθωσαν γὰρ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ· λέγω, ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ ἄρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυ· ὥστε καὶ ὅλος ὁ ΑΕ ἔχει μέρος ἥμισυ. ἄρτιος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος· ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΕ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty lägg samman så många jämna tal ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΕ. Jag säger, att helheten ΑΕ är jämn.

Ty eftersom varje tal av ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΕ är jämnt, har det en halv del. Sålunda har också hela ΑΕ en halv del. Och det som kan delas i hälften, är ett jämnt tal. Alltså är ΑΕ jämnt. Vilket skulle visas.

κβʹ.

Ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ᾖ, ὁ ὅλος ἄρτιος ἔσται.

Om så många udda tal är sammantagna och deras antal är jämnt, skall helheten vara jämn.

Συγκείσθωσαν γὰρ περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁσοιδηποτοῦν ἄρτιοι τὸ πλῆθος οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ· λέγω, ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ περιττός ἐστιν, ἀφαιρεθείσης μονάδος ἀφ᾿ ἑκάστου ἕκαστος τῶν λοιπῶν ἄρτιος ἔσται· ὥστε καὶ ὁ συγκείμενος ἐξ αὐτῶν ἄρτιος ἔσται. ἔστι δὲ καὶ τὸ πλῆθος τῶν μονάδων ἄρτιον. καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty lägg samman så många, ett jämnt antal, udda tal ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΕ. Jag säger, att helheten ΑΕ är jämn.

Ty eftersom vart och ett av ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΕ är udda, skall, med en enhet borttagen från vart och ett, varje rest vara jämn.Sålunda skall det sammantagna av dem vara jämnt och mängden av enheterna är jämn. Och alltså är hela ΑΕ jämnt. Vilket skulle visas.

κγʹ.

Ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν περισσὸν ᾖ, καὶ ὁ ὅλος περισσὸς ἔσται.

Om så många udda tal lagts samman och deras antal är udda, skall helheten vara udda.

Συγκείσθωσαν γὰρ ὁποσοιοῦν περισσοὶ ἀριθμοί, ὧν τὸ πλῆθος περισσὸν ἔστω, οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ὅλος ὁ ΑΔ περισσός ἐστιν.

Ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΓΔ μονὰς ἡ ΔΕ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΕ ἄρτιός ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΓΑ ἄρτιος· καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν. καί ἐστι μονὰς ἡ ΔΕ. περισσὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty lägg samman så många udda tal ΑΒ, ΒΓ och ΓΔ samt låt antalet vara udda. Jag säger, att helheten ΑΔ är udda.

Låt enheten ΔΕ tagits bort från ΓΔ, alltså är resten ΓΕ jämn.Också ΓΑ är jämnt.Och alltså är hela ΑΕ jämnt.Och ΔΕ är en enhet. Alltså är ΑΔ udda.Vilket skulle visas.

κδʹ.

Ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται.

Om ett jämnt tal tagits bort från ett jämnt tal, skall resten vara jämn.

Ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ ἄρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΒΓ ἔχει μέρος ἥμισυ· ὥστε καὶ λοιπὸς ~~ὁ ΓΑ ἔχει μέρος ἥμισυ~~ ἄρτιος ~~ἄρα~~ ἐστὶν ὁ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt ha tagit bort det jämna ΒΓ från det jämna ΑΒ. Jag säger, att resten ΓΑ är jämn.

Ty eftersom ΑΒ är jämnt, har det en halv del.Av samma skäl bör även ΒΓ ha en halv del. Sålunda också resten ~~ΓΑ har en halv del~~, ~~alltså~~ är ΑΓ jämnt. Vilket skulle visas.

κεʹ.

Ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται.

Om ett udda tal tagits bort från ett jämnt tal, skall resten vara udda.

Ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν.

Ἀφῃρήσθω γὰρ ἀπὸ τοῦ ΒΓ μονὰς ἡ ΓΔ· ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΒ ἄρτιος· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν. καί ἐστι μονὰς ἡ ΓΔ· ὁ ΓΑ ἄρα περισσός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[25]

Ty låt ha tagit bort det udda ΒΓ från det jämna ΑΒ. Jag säger, att resten ΓΑ är udda.

Ty låt ha tagit bort enheten ΓΔ från ΒΓ, alltså är ΔΒ jämnt.Också ΑΒ är jämnt, alltså är också resten ΑΔ jämn.Och ΓΔ är en enhet. Alltså är ΓΑ uddaVilket skulle visas.

κϛʹ.

Ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται.

Om ett udda tal tagits bort från ett udda tal, skall resten vara jämn.

Ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν, ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΒΔ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν· ὥστε καὶ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt ha tagit det udda talet ΒΓ från det udda ΑΒ. Jag säger, att resten ΓΑ är jämn.

Ty eftersom ΑΒ är udda, låt ha tagit bort enheten ΒΔ, alltså är resten ΑΔ jämn.Av samma skäl bör också ΓΔ vara jämnt. Sålunda är också resten ΓΑ jämn.Vilket skulle visas.

κζʹ.

Ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται.

Om ett jämnt tal har tagits bort från ett udda tal, skall resten vara udda.

Ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν.

Ἀφῃρήσθω ~~γὰρ~~ μονὰς ἡ ΑΔ· ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΒΓ ἄρτιος· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν. περισσὸς ἄρα ὁ ΓΑ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt ha tagit bort det jämna talet ΒΓ från det udda ΑΒ. Jag säger, att resten ΓΑ är udda.

Ty låt ha tagit bort enheten ΑΔ från ΑΒ, alltså är ΔΒ jämnt.Även ΒΓ är jämnt. Och alltså är resten ΓΔ jämn.Alltså är ΓΑ udda.Vilket skulle visas.

κηʹ.

Ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος ἄρτιος ἔσται.

Om ett udda tal multiplicerat med ett jämnt resulterar i något, skall produkten vara jämn.

Περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ ἄρτιός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες. καί ἐστιν ὁ Β ἄρτιος· ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐξ ἀρτίων. ἐὰν δὲ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν. ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[28]

Ty låt det udda talet Α multiplicerat med det jämna Β resultera i Γ. Jag säger, att Γ är jämnt.

Ty eftersom Α multiplicerat med Β har resulterat i Γ. Alltså sätts Γ samman av dem, lika stora som Β, och så många, som det är enheter i Α.Och Β är jämnt, alltså sätts Γ samman av jämna tal. Och om så många jämna tal lagts samman, är det hela jämnt.Alltså är Γ jämnt. Vilket skulle visas.

κθʹ.

Ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς περισσὸν ἀριθμὸν πολλαπλασιάςας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος περισσὸς ἔσται.

Om ett udda tal multiplicerat med ett udda tal resulterar i något, skall produkten vara udda.

Περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α περισσὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ περισσός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες. καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν Α, Β περισσός· ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν. ὥστε ὁ Γ περισσός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt det udda talet Α multiplicerat med det udda talet Β resultera i Γ. Jag säger, att Γ är udda.

Ty eftersom Α multiplicerat med Β har resulterat i Γ, alltså sätts Γ samman av dem, lika stora som Β, och så många, som det är enheter i Α.Och vart och ett av Α och Β är udda, alltså sätts Γ samman av udda tal, vilka till antalet är udda. Sålunda är Γ udda.Vilket skulle visas.

λʹ.

Ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει.

Om ett udda tal mäter ett jämnt, skall det också mäta dess hälft.

Περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Γ· λέγω, ὅτι ὁ Γ οὐκ ἔστι περισσός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Γ, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ὁ Β ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν. ὁ Β ἄρα περισσός ἐστιν· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ ἄρτιος. οὐκ ἄρα ὁ Γ περισσός ἐστιν· ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Β μετρεῖ ἀρτιάκις. διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt det udda talet Α mäta det jämna Β. Jag säger, att det även skall mäta dess hälft.

Ty eftersom Α mäter Β, låt det mäta med Γ. Jag säger, att Γ inte är udda. Ty om möjligt, låt det vara udda. Och eftersom Α mäter Β med Γ, har alltså Α multiplicerat med Γ resulterat i Β. Alltså sätts Β samman av udda tal, vilka är udda till antalet. Alltså är Β udda,vilket är orimligt. Det har antagits vara jämnt. Alltså är Γ inte udda. Det är alltså jämnt. Sålunda mäter Α Β ett jämnt antal gånger. Av samma skäl bör det även mäta dess hälft. Vilket skulle visas.

λαʹ.

Ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτος ᾖ, καὶ πρὸς τὸν διπλασίονα αὐτοῦ πρῶτος ἔσται.

Om ett udda tal är primt till något tal, skall det även vara primt till det dubbla av det.

Περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Β πρῶτος ἔστω, τοῦ δὲ Β διπλασίων ἔστω ὁ Γ· λέγω, ὅτι ὁ Α ~~καὶ~~ πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν.

Εἰ γὰρ μή εἰσιν ~~οἱ Α, Γ~~ πρῶτοι, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. καί ἐστιν ὁ Α περισσός· περισσὸς ἄρα καὶ ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ περισσὸς ὢν τὸν Γ μετρεῖ, καί ἐστιν ὁ Γ ἄρτιος, καὶ τὸν ἥμισυν ἄρα τοῦ Γ μετρήσει ~~ὁ Δ~~. τοῦ δὲ Γ ἥμισύ ἐστιν ὁ Β· ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Α. ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτος οὔκ ἐστιν. οἱ Α, Γ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt talet Α var primt till något tal Β och låt Γ vara dubbla Β. Jag säger, att Α ~~även~~ är primt till Γ.

Ty om ~~Α och Γ~~ inte är prima till varandra, skall något tal mäta dem. Låt det mäta och låt det vara Δ. Och Α är udda, alltså är även Δ udda. Och eftersom Δ, som är udda, mäter Γ och Γ är jämnt, alltså skall Δ även mäta Γ:s hälft.Β är Γ:s hälft, alltså mäter Δ Β. Det mäter även Α. Alltså mäter Δ Α och Β, som är prima till varandra, vilket är omöjligt. Alltså är inte Α icke-primt till Γ. Alltså är Α och Γ prima till varandra. Vilket skulle visas.

λβʹ.

Τῶν ἀπὸ δύαδος διπλασιαζομένων ἀριθμων ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον.

Vart och ett av de dubblade talen från en tvåfald endast är jämnt jämna.

Ἀπὸ γὰρ δύαδος τῆς Α δεδιπλασιάσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ, Δ ἀρτιάκις ἄρτιοί εἰσι μόνον.

Ὅτι μὲν οὖν ἕκαστος ~~τῶν Β, Γ, Δ~~ ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστιν, φανερόν· ἀπὸ γὰρ δυάδος ἐστὶ διπλασιασθείς. λέγω, ὅτι καὶ μόνον. ἐκκείσθω γὰρ μονάς. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτός ἐστιν, ὁ μέγιστος τῶν Α, Β, Γ, Δ ὁ Δ ὑπ᾿ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καί ἐστιν ἕκαστος τῶν Α, Β, Γ ἄρτιος· ὁ Δ ἄρα ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ~~καὶ~~ ἑκάτερος τῶν Β, Γ ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt ha dubblat så många tal Β, Γ och Δ från tvåfalden Α. Jag säger, att Β, Γ och Δ endast är jämnt jämna.

Att så vart och ett ~~av Β, Γ och Δ~~ är jämnt jämna, är uppenbart. Ty de har dubblats från en tvåfald.Jag säger, att de endast är det. Ty sätt upp enheten. Eftersom då från enheten så många tal är proportionellt sammanhängande och det första efter enheten Α är primt, skall det största av Α, Β, Γ och Δ, Δ, inte mätas av något annat tal, utom Α, Β och Γ.Och vart och ett av Α, Β och Γ är jämnt, alltså är Δ endast jämnt jämnt.På samma sätt skall vi visa, att ~~även~~ vart och ett av Β och Γ är jämnt jämna. Vilket skulle visas.

λγʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον.

Om ett tal har en udda hälft, är det endast jämnt udda.

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν· λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον.

Ὅτι μὲν οὖν ἀρτιάκις περισσός ἐστιν, φανερόν· ὁ γὰρ ἥμισυς αὐτοῦ περισσὸς ὢν μετρεῖ αὐτὸν ἀρτιάκις, λέγω δή, ὅτι καὶ μόνον. εἰ γὰρ ἔσται ὁ Α καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος, μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν· ὥστε καὶ ὁ ἥμισυς αὐτοῦ μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ὤν· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt talet Α ha en udda hälft. Jag säger, att Α är endast jämnt udda.

Att så det är jämnt udda, är uppenbart. Ty dess hälft, som är udda, mäter det ett jämnt antal gånger.Jag säger så, att det endast är jämnt udda. Ty om Α också är jämnt jämnt, skall det mätas av något jämnt tal med ett jämnt tal.Sålunda skall även dess hälft, som är udda, mätas av ett jämnt tal, vilket är orimligt. Alltså är Α endast jämnt udda. Vilket skulle visas.

λδʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ᾖ, μήτε τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός.

Om ett tal varken är ett av dem dubblade från en tvåfald eller har en udda hälft, är det både jämnt jämnt och jämnt udda.

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἔστω μήτε τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν· λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις τέ ἐστιν ἄρτιος καὶ ἀρτιάκις περισσός.

Ὅτι μὲν οὖν ὁ Α ἀρτιάκις ἐστὶν ἄρτιος, φανερόν· τὸν γὰρ ἥμισυν οὐκ ἔχει περισσόν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἀρτιάκις περισσός ἐστιν. ἐὰν γὰρ τὸν Α τέμνωμεν δίχα καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιῶμεν, καταντήσομεν εἴς τινα ἀριθμὸν περισσόν, ὃς μετρήσει τὸν Α κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. εἰ γὰρ οὔ, καταντήσομεν εἰς δυάδα, καὶ ἔσται ὁ Α τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. ὥστε ὁ Α ἀρτιάκις περισσόν ἐστιν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος. ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt talet Α varken vara ett av dem dubblade från en tvåfald eller ha en udda hälft. Jag säger, att Α är både jämnt jämnt och jämnt udda.

Att Α så är jämnt jämnt, är uppenbart.Ty det har inte en udda hälft. Jag säger så, att det också är jämnt udda. Ty om vi delar Α i hälften och dess hälft och vi gör detta oupphörligen, skall vi nå fram till något udda tal, som skall mäta Α med ett jämnt tal. Ty om inte, skall vi nå fram till en tvåfald och Α skall vara ett av dem dubblade från tvåfalden, vilket inte antogs. Sålunda är Α jämnt udda.Det har även visats vara jämnt jämnt. Alltså är Α både jämnt jämnt och jämnt udda. Vilket skulle visas.

λεʹ.

Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ἀφαιρεθῶσι δὲ ἀπό τε τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ ἐσχάτου ἴσοι τῷ πρώτῳ, ἔσται ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας.

Om så många tal är proportionellt sammanhängande och tal lika med det första tagits bort från det andra och det yttersta, skall vara som det andras skillnad till det första, så är det ytterstas skillnad till alla dem före detta.

Ἔστωσαν ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, ΒΓ, Δ, ΕΖ ἀφχόμενοι ἀπὸ ἐλαχίστου τοῦ Α, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΒΓ καὶ τοῦ ΕΖ τῲ Α ἴσος ἑκάτερος τῶν ΒΗ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΓ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Α, ΒΓ, Δ.

Κείσθω γὰρ τῷ μὲν ΒΓ ἴσος ὁ ΖΚ, τῷ δὲ Δ ἴσος ὁ ΖΛ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΖΚ τῷ ΒΓ ἴσος ἐστίν, ὧν ὁ ΖΘ τῷ ΒΗ ἴσος ἐστίν, λοιπὸς ἄρα ὁ ΘΚ λοιπῷ τῷ ΗΓ ἐστιν ἴσος. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν ΒΓ καὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Α, ἴσος δὲ ὁ μὲν Δ τῷ ΖΛ, ὁ δὲ ΒΓ τῷ ΖΚ, ὁ δὲ Α τῷ ΖΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν ΖΛ, οὕτως ὁ ΛΖ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸς τὸν ΖΘ. διελόντι, ὡς ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ, οὕτως ὁ ΛΚ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ, οὕτως οἱ ΕΛ, ΛΚ, ΚΘ πρὸς τοὺς ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ. ἴσος δὲ ὁ μὲν ΚΘ τῷ ΓΗ, ὁ δὲ ΖΘ τῷ Α, οἱ δὲ ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ τοὶς Δ, ΒΓ, Α· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Δ, ΒΓ, Α. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Låt Α, ΒΓ, Δ och ΕΖ vara så många proportionellt sammanhängande tal börjande från det minsta, Α, och låt ha tagit bort från ΒΓ och från ΕΖ vart och ett av ΒΗ och ΖΘ, lika med Α. Jag säger, att som ΗΓ är till Α, så är ΕΘ till Α, ΒΓ och Δ.

Ty låt ha satt ΖΚ lika med ΒΓ och ΖΛ lika med Δ. Och eftersom ΖΚ är lika med ΒΓ, vars ΖΘ är lika med ΒΗ, alltså är resten ΘΚ lika med resten ΗΓ. Och då som ΕΖ är till Δ, så är Δ till ΒΓ och ΒΓ till Α samt Δ är lika med ΖΛ, ΒΓ med ΖΚ och Α med ΖΘ, alltså som ΕΖ är till ΖΛ, så är ΛΖ till ΖΚ och ΖΚ till ΖΘ. Genom separation, som ΕΛ är till ΛΖ, så är ΛΚ till ΖΚ och ΚΘ till ΖΘ.Alltså är även som en av de föregående är till en av de efterföljande, så är alla föregående till alla efterföljande, alltså som ΚΘ är till ΖΘ, så är ΕΛ, ΛΚ och ΚΘ till ΛΖ, ΖΚ och ΘΖ. Och ΚΘ är lika med ΓΗ, ΖΘ med Α samt ΛΖ, ΖΚ och ΘΖ med Δ, ΒΓ och Α, alltså som ΓΗ är till Α, så är ΕΘ till Δ, ΒΓ och Α. Alltså som det andras skillnad är till det första, så är det ytterstas skillnad till alla dem före detta. Vilket skulle visas.

λϛʹ.

Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐκτεθῶσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, καὶ ὁ σύμπας ἐπὶ τὸν ἔσχατον πολλαπλασιασθ εὶς ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος τέλειος ἔσται.

Om från enheten så många tal satts ut i följd i dubbel proportion, tills summan sammantagen blir prim och summan multiplicerad med det yttersta resulterat i något, skall resultatet vara perfekt.

Ἀπὸ γὰρ μονάδος ἐκκείσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, οἱ Α, Β, Γ, Δ, καὶ τῷ σύμπαντι ἴσος ἔστω ὁ Ε, καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ ποιείτω. λέγω, ὅτι ὁ ΖΗ τέλειός ἐστιν.

Ὅσοι γάρ εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει, τοσοῦτοι ἀπὸ τοῦ Ε εἰλήφθωσαν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ οἱ Ε, ΘΚ, Λ, Μ· δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Μ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α, Μ. καί ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ ὁ ΖΗ· καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ. ὁ Α ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν· ὁ Μ ἄρα τὸν ΖΗ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας. καί ἐστι δυὰς ὁ Α· διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ τοῦ Μ. εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Μ, Λ, ΘΚ, Ε ἑξῆς διπλάσιοι ἀλλήλων· οἱ Ε, ΘΚ, Λ, Μ, ΖΗ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ. ἀφῃρήσθω δὴ ἀπὸ τοῦ δευτέρου τοῦ ΘΚ καὶ τοῦ ἐσχάτου τοῦ ΖΗ τῷ πρώτῳ τῷ Ε ἴσος ἑκάτερος τῶν ΘΝ, ΖΞ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΝΚ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ ΞΗ πρὸς τοὺς Μ, Λ, ΚΘ, Ε. καί ἐστιν ὁ ΝΚ ἴσος τῷ Ε· καὶ ὁ ΞΗ ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Μ, Λ, ΘΚ, Ε. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΖΞ τῷ Ε ἴσος, ὁ δὲ Ε τοῖς Α, Β, Γ, Δ καὶ τῇ μονάδι. ὅλος ἄρα ὁ ΖΗ ἴσος ἐστὶ τοῖς τε Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τοῖς Α, Β, Γ, Δ καὶ τῇ μονάδι· καὶ μετρεῖται ὑπ᾿ αὐτῶν. λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΖΗ ὐπ᾿ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆς μονάδος. εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείτω τις τὸν ΖΗ ὁ Ο, καὶ ὁ Ο μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ ἔστω ὁ αὐτός. καὶ ὁσάκις ὁ Ο τὸν ΖΗ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Π· ὁ Π ἄρα τὸν Ο πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Π, ὁ Ο πρὸς τὸν Δ. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα ὑπ᾿ οὐδενὸς ἄλλου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καὶ ὑπόκειται ὁ Ο οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ὁ αὐτός· οὐκ ἄρα μετρήσει ὁ Ο τὸν Δ. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Ο πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Π· οὐδὲ ὁ Ε ἄρα τὸν Π μετρεῖ. καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος· πᾶς δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ~~ἐστιν~~. οἱ Ε, Π ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Π, ὁ Ο πρὸς τὸν Δ. ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ. ὁ δὲ Δ ὑπ᾿ οὐδενὸς ἄλλου μετρεῖται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ· ὁ Π ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός. ἔστω τῷ Β ὁ αὐτός. καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε οἱ Ε, ΘΚ, Λ. καί εἰσιν οἱ Ε, ΘΚ, Λ τοῖς Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγω· δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Λ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Β, Λ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Δ, Ε· ἀλλ᾿ ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Π, Ο· καὶ ὁ ἐκ τῶν Π, Ο ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Λ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Β, ὁ Λ πρὸς τὸν Ο. καί ἐστιν ὁ Π τῷ Β ὁ αὐτός· καὶ ὁ Λ ἄρα τῳ Ο ἐστιν ὁ αὐτός· ὅπερ ἀδύνατον· ὁ γὰρ Ο ὑπόκειται μηδενὶ τῶν ἐκκειμένων ὁ αὐτός· οὐκ ἄρα τὸν ΖΗ μετρήσει τις ἀριθμὸς παρὲξ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆς μονάδος. καὶ ἐδείχθη ὁ ΖΗ τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῇ μονάδι ἴσος. τέλειος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν· τέλειος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ty låt sätt ut från enheten så många tal, Α, Β, Γ och Δ, i dubbel proportion, tills summan sammantagen blir prim, låt Ε vara lika med summan och låt Ε multiplicerat med Δ resultera i ΖΗ. Jag säger, att ΖΗ är perfekt.

Ty så låt ha tagit så många, som antalet av Α, Β, Γ och Δ, Ε, ΘΚ, Λ och Μ av dem, som är i dubbel proportion från Ε. Alltså, ex aequali, som Α är till Δ, så är Ε till Μ.Alltså är produkten av Ε och Δ lika med produkten av Α och Μ. Och ΖΗ är produkten av Ε och Δ. Och alltså är produkten av Α och Μ ΖΗ.Alltså har Α multiplicerat med Μ resulterat i ΖΗ och alltså mäter Μ ΖΗ med enheterna i Α. Och Α är en tvåfald, alltså är Μ dubbla ΖΗ. Och Μ, Λ, ΘΚ och Ε är i följd dubbla till varandra. Alltså är Ε, ΘΚ, Λ, Μ och ΖΗ proportionellt sammanhängande i dubbelt förhållande. Låt ha tagit från det andra ΘΚ och det yttersta ΖΗ, lika med det första Ε, vart och ett av ΘΝ och ΖΞ, alltså som det andra talets skillnad är till det första, så är det ytterstas skillnad till alla före det.Alltså som ΝΚ är till Ε, så är ΞΗ till Μ, Λ, ΚΘ och Ε. Och ΝΚ är lika med Ε. Och alltså är ΞΗ lika med Μ, Λ, ΘΚ och Ε. Också ΖΞ är lika med Ε samt Ε med Α, Β, Γ, Δ och en enhet. Alltså är hela ΖΗ lika med både Ε, ΘΚ, Λ och Μ samt Α, Β, Γ, Δ och en enhet och mäts av dem. Jag säger, även att ΖΗ inte skall mätas av något annat tal, utom Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ och en enhet. Ty om möjligt, låt något tal Ο mäta ΖΗ och låt Ο inte vara detsamma som något av Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ och Μ. Och så många gånger Ο mäter ΖΗ, låt så många enheter vara i Π. Alltså har Π multiplicerat med Ο resulterat i ΖΗ. Men även Ε multiplicerat med Δ har resulterat i ΖΗ, alltså som Ε är till Π, så är Ο till Δ.Och eftersom Α, Β, Γ och Δ är proportionellt sammanhängande från enheten, skall alltså Δ inte mätas av något annat tal, utom Α, Β och Γ.Och det har antagits, att Ο inte är detsamma som något av Α, Β och Γ, alltså skall Ο inte mäta Δ. Men som Ο är till Δ, så är Ε till Π och alltså mäter inte heller Ε Π.Och Ε är primt. Och alla prima tal är prima till alla, som det inte mäter.Alltså är Ε och Π prima till varandra. De prima är de minsta av dem, som har samma förhållande som de och de minsta mäter dem, som har samma förhållande, lika många gånger, det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande.Och som Ε är till Π, så är Ο till Δ. Alltså mäter Ε Ο lika många gånger som Π mäter Δ. Och Δ mäts inte av något annat tal, utom Α, Β och Γ. Alltså är Π detsamma som en av Α, Β och Γ. Låt det vara detsamma som Β. Och låt ha tagit så många, som antalet av Β, Γ och Δ, Ε, ΘΚ och Λ från Ε. Och Ε, ΘΚ och Λ har samma förhållande som Β, Γ och Δ. Alltså, ex aequali, som Β är till Δ, så är Ε till Λ.Alltså är produkten av Β och Λ lika med produkten av Δ och Ε.Men produkten av Δ och Ε är lika med produkten av Π och Ο. Och alltså är produkten av Π och Ο lika med produkten av Β och Λ. Alltså som Π är till Β, så är Λ till Ο.Och Π är detsamma som Β. Och alltså är Λ detsamma som Ο, vilket är omöjligt. Ty Ο har antagits, att inte vara detsamma som något av de utsatta. Alltså skall ΖΗ inte mätas av något tal, utom Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ och en enhet. Och ΖΗ har visats inte vara lika med Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ och enheten. Ett perfekt tal är lika med sina delar.Alltså är ΖΗ perfekt. Vilket skulle visas.