Archimedes
Ἐπιπέδων ἰσορροπιῶν ἢ κέντρα βαρῶν ἐπιπέδων αʹ.
Plans jämvikt eller plans tyngdpunkter I.
Original
αʹ. Αἰτούμεθα τὰ ἴσα βάρεα ἀπὸ ἴσων μακέων ἰσορροπεῖν, τὰ δὲ ἴσα βάρεα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων μὴ ἰσορροππεῖν, ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος μάκεος.
βʹ. εἴ κα βαρέων ἰσορροπεόντων ἀπὸ τινων μακέων ποτὶ τὸ ἕτερον τῶν βαρέων ποτιτεθῇ, μὴ ἰσορροπεῖν, ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος ἐκεῖνο, ᾦ ποτετέθη.
γʹ. ὁμοίος δὲ καί, εἴ κα ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν βαρέων ἀφαιρεθῇ τι, μὴ ἰσορροπεῖν, ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος, ἀφ’ οὖ οὐκ ἀφῃρέθη.
δʹ. τῶν ἴσων καὶ ὁμοίων σχημάτων ἐπιπέδων ἐφαρμοζομένων ἐπ’ ἄλλαλα καὶ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐφαρμόζει ἐπ’ ἄλλαλα.
εʹ. τῶν δὲ ἀνίσων, ὁμοίων δὲ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως ἐσσείται κείμενα. ὁμοίως δὲ λέγομες σαμεῖα κεέσθαι ποτὶ τὰ ὁμοῖα σχήματα, ἀφ’ ὧν ἐπὶ τὰς ἴσας γωνίας ἀγομέναι εὐθείαι ποιέοντι γωνίας ἴσας ποτὶ τὰς ὁμολόγουθς πλευράς.
H.144ϛʹ. εἴ κα μεγέθεα ἀπὸ τινων μακέων ἰσορροπέωντι, καὶ τὰ ἴσα αὐτοῖς ἀπὸ τῶν αὐτῶν μακέων ἰσορροπήσει.
ζʹ. παντὸς σχήματος, οὗ κα ἁ περίμετρος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλα ᾖ, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐντὸς εἶμεν δεί τοῦ σχήματος. — τούτων δὲ ὑποκειμένων.
αʹ.
Τὰ ἀπὸ ἴσων μακέων ἰσορροπέοντα βάρεα ἰσα ἐντὶ.
εἴπερ γὰρ ἄνισα ἐσσείται, ἀφαιρεθείσας ἀπὸ τοῦ μείζονος τᾶς ὑπεροχᾶς τὰ λοιπὰ οὐκ ἰσορροπησοῦντι, ἐπειδὴ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀφῃρήται. ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων βάρεα ἰσορροπέοντα ἴσα ἐντί.
βʹ.
Τὰ ἀπὸ ἴσων μακέων ἄνισα βάρεα οὐκ ἰσορροπησοῦντι, ἀλλὰ ῥέψει ἐπὶ τὸ μεῖζον.
ἀφαιρεθείσας γὰρ τᾶς ὑπερχᾶς ἰσορροπησοῦντι, ἐπειδὴ τὰ ἴσα ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων ἰσορροπέοντι. ποτιτεθέντος οὖν τοῦ ἀφαιρεθέντος ῥέψει ἀπὶ τὸ μεῖζον, ἐπεὶ ἰσορροπεόντων τῷ ἑτέρῳ ποτετέθη.
γʹ.
Τὰ ἄνισα βάρεα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων ἰσορροπησοῦντι, καὶ τὸ μεῖζον ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος.
ἔστω ἄνισα βάρεα τὰ Α, Β, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ Α, καὶ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μακέων. δεικτέον, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἁ ΑΓ τᾶς ΓΒ.
μὴ γὰρ ἔστω ἐλὰσσων. ἀφαιρεθείσας δὴ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Β, ἐπειδὴ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀφῃρήται, ῥέψει ἐπὶ τὸ Β. οὐ ῥέψει δέ. εἴτε γὰρ ἴσα ἐστὶν ἁ ΓΑ τᾷ ΓΒ, ἰσορροπησοῦντι· τὰ γὰρ ἴσα ἀπὸ τῶν ἴσων μακρέων ἰσορροπέοντι· εἴτε μείζων ἁ ΓΑ τᾶς ΓΒ, ῥέπει ἐπὶ τὸ Α· τὰ γὰρ ἴσα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων οὐκ ἰσορροπέοντι, ἀλλὰ ῥέπει ἐπὶ τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος μάκεος. διὰ δὴ ταῦτα ἐλάσσων ἐστὶν ἁ ΑΓ τᾶς ΓΒ. — φανερὸν δέ, ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων ἰσορροπέοντα ἄνισά ἐντι, καὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ ἐλασσονος.
δʹ.
Εἴ κα δύο ἴσα μεγέθεα μὴ τὸ αὐτο κέντρον τοῦ βάρεος ἔχωντι, τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγεθέων συγκειμένου H.148μεγέθεος κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ μέσον τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τῶν μεγεθέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος.
ἔστω τοῦ μὲν Α κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Α, τοῦ δε Β τὸ Β. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΑΒ τετμάσθω δίχα κατὰ τὸ Γ. λέγω, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τὸ Γ.
εἰ γὰρ μή, ἔστω τοῦ ἐξ ἀμφφοτέρων τῶν Α, Β μεγεθέων κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Δ, εἰ δυνατόν. ὅτι γάρ ἐστιν ἀπὶ τᾶς ΑΒ, προδεδείκται. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ σαμεῖον κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρεος τοῦ ἐκ τῶν Α, Β συγκειμένου μεγέθεος, κατεχομένου τοῦ Δ ἰσορροπήσει. τὰ ἄρα Α, Β μεγέθεα ἰσορροπησοῦντι ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μακέων· ὅπερ ἀδύνατον· τὰ γὰρ ἴσα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων οὐκ ἰσορροπέοντι. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ Γ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ἐκ τῶν Α, Β συγκειμένου μεγέθεος.
εʹ.
Εἴ κα τριῶν μεγεθέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἐπ’ εὐθείας ἔωντι κείμενα, καὶ τὰ μεγέθεα ἴσον βάρος ἔχοντι, καὶ αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων εὐθείαι ἴσαι ἔωντι, τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον, ὃ καὶ τοῦ μέσου τὸ αὐτὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος.H.150
ἔστω τρία μεγέθεα τὰ Α, Β, Γ, κέντρα δὲ αὐτῶν τοῦ βάρεος τὰ Α, Β, Γ σαμεῖα ἐπ’ εὐθείας κείμενα. ἔστω δὲ τά τε Α, Β, Γ ἴσα, καὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εὐθείαι. λέγω, ὅτι τοῦ ἐκ πάντων τῶν μγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Γ σαμεῖον.
ἐπεὶ γὰρ τὰ Α, Β μεγέθεα ἴσον βάρος ἔχει, κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ Γ σαμεῖον, ἐπειδὴ ἴσαι ἐντὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ. ἔστιν δὲ καὶ τοῦ Γ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ σαμεῖον. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον, ὃ καὶ τοῦ μέσου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος.
ϛʹ.
ὰ σύμμετρα μεγέθεα ἰσορροπέοντι ἀπὸ μακέων ἀντιπεπονθότως.
ἔστω σύμμετρα μεγέθεα τὰ Α, Β, ὧν κέντρα τὰ Α, Β· καὶ μᾶκος ἔστω τι τὸ ΕΔ, καὶ ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ Β, οὕτως τὸ ΔΓ μᾶκος ποτὶ τὸ ΓΕ μᾶκος· δεικτέον, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέροων τῶν Α, Β συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Γ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ Β, οὕτως τὸ ΔΓ ποτὶ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ Α τῷ Β σύμμετρον, καὶ τὸ ΓΔ ἄρα τῷ ΓΕ σύμμετρον, τουτέστν εὐθεῖα H.154τᾷ εὐθείᾳ, ὥστε τῶν ΕΓ, ΓΔ ἐστι κοινὸν μέτρον. ἔστω δὴ τὸ Ν, καὶ κείσθω τᾷ μὲν ΕΓ ἴσα ἑκατέρα τᾶν ΔΗ, ΔΚ, τᾷ δὲ ΔΓ ἴσα ἁ ΕΛ. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἁ ΔΗ τᾷ ΓΕ, ἴσα καὶ ἁ ΔΓ τᾷ ΕΗ. ὥστε καὶ ἁ ΔΕ ἴσα τᾷ ΕΗ. διπλασία ἄρα ἁ μὲν ΛΗ τᾶς ΔΓ, ἁ δὲ ΗΚ τᾶς ΓΕ. ὥστε τὸ Ν καὶ ἑκατέραν τᾶν ΛΗ, ΗΚ μετρεῖ, ἐπειδήπερ καὶ τὰ ἡμίσεα αὐτᾶν. καὶ ἐπεὶ ἐστιν, ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ Β, οὕτως ἁ ΔΓ ποτὶ ΓΕ, ὡς δὲ ἁ ΔΓ ποτὶ ΓΕ, οὕτως ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ· διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας· καὶ ὡς ἄρα τὸ Α ποτὶ τὸ Β, οὕτως ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ. ὁσαπλασίων δέ ἐστιν ἁ ΛΗ τᾶς Ν, τοσαυταπλασίων ἔστω τὸ Α τοῦ Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ἁ ΛΗ ποτὶ Ν, οὕτως τὸ Α τοῦ Ζ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἁ ΚΗ ποτὶ ΛΗ, οὕτως τὸ Β ποτὶ Α. δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἁ ΚΗ ποτὶ Ν, οὕτως τὸ Β ποτὶ Ζ. ἰσάκις ἄρα πολλαπλασίων ἐστὶν ἁ ΚΗ τᾶς Ν καὶ τὸ Β τοῦ Ζ. ἐδείχθη δὲ τοῦ Ζ καὶ τὸ Α πολλαπλάσιον ἐόν. ὥστε τὸ Ζ τῶν Α, Β κοινόν ἐστι μέτρον. διαιρεθείσας οὗν τᾶς μὲν ΛΗ εἰς τᾶς τᾷ Ν ἴσας, τοῦ δὲ Α εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα, τὰ ἐν ΛΗ τμάματα ἰσομεγέθεα τᾷ Ν ἴσα ἐσσείται τῷ πλήθει τοῖς ἐν τῷ Α τμαμάτεσσιν H.156ἴσοις ἐοῦσιν τῷ Ζ. ὥστε ἄν ἐφ’ ἕκαστον τῶν τμαμάτων τῶν ἐν τᾷ ΛΗ ἐπιτεθῇ μέγεθος ἴσον τῷ Ζ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἔχον ἐπὶ μέσου τοῦ τμάματος, τά τε πάντα μεγέθεα ἴσα ἐντὶ τῷ Α, καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ Ε. ἄρτιά τε γάρ ἐστι τὰ πάντα τῷ πλήθει, καὶ τὰ ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Ε ἴσα τῷ πλήθει διὰ τὸ ἴσαν εἶμεν τὰν ΛΕ τᾷ ΗΕ. ὁμοίος δὲ δειχθησέται, ὅτι καὶ εἴ κα ἐφ’ ἕκαστον τῶν ἐν τᾷ ΚΗ τμαμάτων ἐπιτεθῇ μέγεθος ἴσον τῷ Ζ κέντρον τοῦ βάρεος ἔχον ἐπὶ τοῦ μεσου τοῦ τμάματος, τά τε πάντα μεγέθεα ἴσα ἐσσείται τῷ Β, καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται τὸ Δ. ἐσσείται οὖν τὸ μὲν Α ἐπικείμενον κατὰ τὸ Ε, τὸ δὲ Β κατὰ τὸ Δ. ἐσσείται δὴ μεγέθεα ἴσα ἀλλάλοις ἐπ’ εὐθείας κείμενα, ὧν τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἴσα ἀπ’ ἀλλάλων διέστακεν, συγκείμενα ἄρτια τῷ πλήθει. δῆλον οὖν, ὅτι τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἁ διχοτομία τᾶς εὐθείας τᾶς ἐχούσας τὰ κέντρα τῶν μέσων μεγεθέων. ἐπεὶ δ’ ἴσαι ἐντὶ ἁ μὲν ΛΕ τᾷ ΓΔ, ἁ δὲ ΕΓ τᾷ ΔΚ, καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΛΓ ἴσα τᾷ ΓΚ. ὥστε τοῦ ἐκ πάντων μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεος H.158τὸ Γ σαμεῖον. τοῦ μὲν ἄρα Α κειμένου κατὰ τὸ Ε, τοῦ δὲ Β κατὰ τὸ Δ ἰσορροπησοῦντι κατὰ τὸ Γ.
ζʹ.
Καὶ τοίνυν εἴ κα ἀσύμμετρα ἔωντι τὰ μεγέηεα, ὁμοίως ἰσορροπησοῦντι ἀπὸ μακέων ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς μεγέθεσιν.
ἔστω ἀσύμμετρα μεγέθεα τὰ ΑΒ, Γ, μάκεα δὲ τὰ ΔΕ, ΕΖ. ἐχέτω δὲ τὸ ΑΒ ποτὶ τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν καὶ τὸ ΕΔ ποτὶ τὸ ΕΖ μᾶκος. λέγω, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΒ, Γ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε.
εἰ γὰρ μὴ ἰσορροπήσει τὸ ΑΒ τεθὲν ἀπὶ τῷ Ζ τῷ Γ τεθέντι ἐπὶ τῷ Δ, ἤτοι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν τῷ Γ, ἢ οὔ. ἔστω μεῖζον. καὶ ἀφῃσήθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ μεῖζοόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν, ὥστε τὸ λοιπὸν τὸ Α σύμμετρον εἶμεν τῷ Γ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Γ μεγέθεα, καὶ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ Α ποτὶ τὸ Γ, ἢ ἁ ΔΕ ποτὶ ΕΖ, οὐκ ἰσορροπησοῦντι τὰ Α, Γ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μακέων, τεθέντος H.160τοῦ μὲν Α ἐπὶ τῷ Ζ, τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τῷ Δ. διὰ ταὐτὰ δ’ οὐδ’ εἰ τὸ Γ μεῖζόν ἐστιν ἤ ὥστε ἰσορροπεῖν τῷ ΑΒ.
ηʹ.
Εἴ κα ἀπό τινος μεγέθεος ἀφαιρεθῇ τι μέγεθος μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχον τῷ ὅλῳ, τοῦ λοιποῦ μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος, ἐκβληθείσας τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τῶν βαρέων τοῦ τε ὅλου μεγέθεος καὶ τοῦ ἀφῃσημένου ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐφ’ ἃ τὸ κέντρον τοῦ ὅλου μεγέθεος, καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς ἀπὸ τᾶς ἐκβληθείσας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ εἰρημένα κέντρα, ὥστε τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ποτὶ τὰν μεταξὶ τῶν κέντρων, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ ἀφῃρημένου μεγέθεος ποτὶ τὸ τοῦ λοιποῦ βάρος, τὸ πέρας τᾶς ἀπολαφθείσας.
ἔστω μεγέθεός τινος τοῦ ΑΒ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ. καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ τὸ ΑΔ, οὗ κέντρον τοῦ βάρεος ἔστω τὸ Ε. ἐπιζευχθείσας δὲ τᾶς ΕΓ καὶ ἀκβληθείσας ἀπολελάφθω ἁ ΓΖ ποτὶ τὰν ΓΕ λόγον ἔχουσα τὸν αὐτόν, ὃν ἔχει τὸ ΑΔ μέγεθος ποτὶ τὸ ΔΗ. δεικτέον, ὃτι τοῦ ΔΗ μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ζ σαμεῖον.
μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ σαμεῖον. ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν ΑΔ μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε, τοῦ δὲ ΔΗ τὸ Θ σαμεῖον, τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΔ, ΔΗ μεγεθέων κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται H.162ἐπὶ τᾶς ΕΘ τμαθείσας ὥστε τὰ τμάματα αὐτᾶς ἀντιπεπονθέμεν κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τοῖς μεγέθεσιν. ὥστε οὐκ ἐσσείται τὸ Γ σαμεῖον κατὰ τὰν ἀνάλογον τομὰν τᾷ εἰρημένᾳ. οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ Γ κέντρον τοῦ ἐκ τῶν ΑΔ, ΔΗ συγκειμένου μεγέθεος, τουτέστι τοῦ ΑΒ. ἔστι δέ· ὑπέκειτο γάρ. οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ Θ κέντρον βάρεος τοῦ ΔΗ μεγέθεος.
θʹ.
Παντὸς παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἀπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς διχοτομίας τᾶν κατ’ ἐναντίον τοῦ παραλληλογράμμου πλευρᾶν.
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, ἐπὶ δὲ τὰν διχοτομίαν τᾶν ΑΒ, ΓΔ ἁ ΕΖ. φαμὶ δή, ὅτι τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται ἐπὶ τᾶς ΕΖ.
μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ, καὶ ἄχθω παρὰ τὰν ΑΒ ἁ ΘΙ. τᾶς δὲ δὴ ΕΒ διχοτομουμένας αἰεὶ ἐσσείται ποκὰ ἁ καταλειπομένα ἐλάσσων τᾶς ΙΘ. καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα τᾶν ΑΕ, ΕΒ εἰς τὰς τᾷ ΕΚ H.164ἴσας, καὶ ἀπὸ τῶν κατὰ τὰς διαιρεσίας σαμείων ἄχθωσαν παρὰ τὰν ΕΖ. διαιρεθησέται δὴ τὸ ὅλον παραλληλόγραμμον εἰς παραλληλόγραμμά τινα ἴσα καὶ ὁμοῖα τῷ ΚΖ. τῶν οὖν παραλληλογράμμων τῶν ἴσων καὶ ὁμμοίων τῷ ΚΖ ἐφαρμοζομένων ἐπ’ ἄλλαλα καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεοϛ αὐτῶν ἐπ’ ἄλλαλα πεσούνται. ἐσσούνται δὴ μεγέθεά τινα, παραλληλόγραμμα ἴσα τῷ ΚΖ, ἄρτια τῷ πλήθει, καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν ἐπ’ εὐθείας κείμενα, καὶ τὰ μέσα ἴσα, καὶ πάντα τὰ ἐφ’ ἑκάτερα τῶν μέσων αὐτά τε ἴσα ἐντί, καὶ αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων εὐθείαι ἴσαι. τοῦ ἐκ πάντων αὐτῶν ἄρα συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ βάρεος τῶν μέσων χωρίων. οὐκ ἔστι δέ· τὸ γὰρ Θ ἐκτός ἐστι τῶν μέσων παραλληλογράμμων. φανερὸν οὖν, ὅτι ἐπὶ τᾶς ΕΖ εὐθείας τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου.
ιʹ.
Παντὸς παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ σαμεῖον, καθ’ ὃ αἱ διαμέτροι συμπίπτοντι.
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ ἁ ΕΖ δίχα τέμνουσα τὰς ΑΒ, ΓΔ, ἁ δὲ ΚΛ τὰς ΑΓ, H.166ΒΔ. ἔστιν δὴ τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΕΖ· δεδείκται γὰρ τοῦτο. διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἐπὶ τᾶς ΚΛ. τὸ Θ ἄρα σαμεῖον κέντρον τοῦ βάρεος. κατὰ δὲ τὸ αἰ διαμέροι τοῦ παραλληλογράμμου πίπτοντι. ὥστε δεδείκται τὸ προτεθέν.
ιαʹ.
Ἐὰν δύο τρίγωνα ὁμοῖα ἀλλάλοις ᾖ καὶ ἐν αὐτοῖς σαμεῖα ὁμοίως κείμενα ποτὶ τὰ τρίγωνα, καὶ τὸ ἓν σαμεῖον τοῦ, ἐν ᾧ ἐστι, τριγώνου κέντρον ᾖ τοῦ βάρεος, καὶ τὸ λοιπὸν σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ, ἐν ᾧ ἐστι, τριγώνου. ὁμοίως δὲ λέγομες σαμεῖα κεέσθαι ποτὶ τὰ ὁμοῖα σχήματα, ἀφ’ ὧν αἱ ἐπὶ τὰς ἴσας γωνίας ἀγομέναι εὐθείαι ἴσας ποιέοντι γωνίας ποτὶ ταῖς ὁμολόοις πλευραῖς.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἔστω ὡς ἁ ΑΓ ποτὶ ΔΖ, οὕτως ἅ τε ΑΒ ποτὶ ΔΕ, καὶ ἁ ΒΓ ποτὶ ΕΖ, καὶ ἐν τοῖς εἰρημένοις τριγώνοις σαμεῖα ὁμοίως κείμενα ἔστω τὸ Θ, Ν ποτὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, καὶ ἔστω τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ H.170τριγώνου. λέγω, ὅτι καὶ τὸ Ν κέντρον βάρεός ἐστι τοῦ ΔΕΖ τριγώνου.
μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Η κέντρον βάρεος τοῦ ΔΕΖ τριγώνου. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ, ΔΝ, ΕΝ, ΖΕ, ΔΗ, ΕΗ, ΖΗ. ἑπεὶ οὖν ὁμοῖόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ κέντρα τῶν βαρέων ἐστὶ τὰ Θ, Η σαμεῖα, τῶν δὲ ὁμοίων σχημάτων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως ἐντὶ κείμενα, ὥστε ἴσας ποιησοῦντι γωνίας ποτὶ ταῖς ὁμολόγοις πλευραῖς ἕκαστον ἑκάσταις, ἴσα ἄρα ἁ ὑπὸ ΗΔΕ γωνία τᾷ ὑπὸ ΘΑΒ. ἀλλὰ ἁ ὑπὸ ΘΑΒ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΕΔΝ διὰ τὸ ὁμοίως κείσθαι τὰ Θ, Ν σαμεῖα. καὶ ἁ ὑπὸ ΕΔΝ γωνία ἄρα ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΕΔΗ, ἁ μείζων τᾷ ἐλάσσονι· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οὔκ ἐστι κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΔΕΖ τριγώνου τὸ Ν σαμεῖον. ἔστιν ἄρα.
ιβʹ.
Εἴ κα δύο τρωνα ὁμοῖα ἔωντι, τοῦ δὲ ἑνὸς τριγώνου κέντρον ᾖ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐντι ἀπό τινος γωνίας ἐπὶ μέσαν τὰν βάσιν ἀγομένα, καὶ τοῦ λοιποῦ τριγώνου τὸ κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ὁμοίως ἀγομένας γραμμᾶς.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἔστω ὡς ἁ ΑΓ ποτὶι ΔΖ, οὕτως ἅ τε ΑΒ ποτὶ ΔΕ, καὶ ἁ ΒΓ ποτὶ ΖΕ. καὶ τμαθείσας τᾶς ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Η ἐπεζεύχθω ἁ ΒΗ, καὶ ἔστω τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ H.172ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τᾶς ΒΗ τὸ Θ. λέγω, ὅτι καὶ τοῦ ΕΔΖ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἀπὶ τᾶς ὁμίως ἀγομένας εὐθείας.
τετμάσθω ἁ ΔΖ δίχα κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΕΜ, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἁ ΒΗ ποτὶ ΒΘ, οὕτως ἁ ΜΕ ποτὶ ΕΝ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΘΓ, ΔΝ, ΝΖ. ἐπεί ἐστι τᾶς μὲν ΓΑ ἡμίσεια ἁ ΑΗ, τᾶς δὲ ΔΖ ἡμίσεια ἁ ΔΜ, ἔστιν ἄρα καί, ὡς ἁ ΒΑ ποτὶ ΕΔ, οὕτως ἁ ΑΗ ποτὶ ΔΜ· καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν ἐντι. ἴσα τε ἄρα ἐστὶν ἁ ὑπὸ ΑΗΒ γωνία τᾷ ὑπὸ ΔΜΕ, καὶ ἐστιν ὡς ἁ ΑΗ ποτὶ ΔΜ, οὕτως ἁ ΒΗ ποτὶ ΕΜ. ἔστιν δὲ καί, ὡς ἁ ΒΗ ποτὶ ΒΘ, οὕτως ἁ ΜΕ ποτὶ ΕΝ. καὶ δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἁ ΑΒ ποτὶ ΔΕ, οὕτως ἁ ΒΘ ποτὶ ΕΝ· καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν ἐντι. εἰ δὲ τοῦτο, ἴσα ἐστὶν ἁ ὑπὸ ΒΑΘ γωνία τᾷ ὑπὸ ΕΔΝ. ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΝΔΖ γωνίᾳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὲ ὑπὸ ΘΓΗ τᾷ ὑπὸ ΝΖΜ ἴσα. ἐδείχθη H.174δὲ καὶ ἁ ὑπὸ ΑΒΘ τᾷ ὑπὸ ΔΕΜ ἴσα. ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ὑπὸ ΘΒΓ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΝΕΖ. διὰ ταῦτα δὴ πάντα ὁμοίως κείται τὰ Θ, Ν σαμεῖα ποτὶ τὰς ὁμολόγους πλευρὰς ἴσας γωνίας ποιεῖ. ἐπεὶ οὖν ὁμοίως κείται τὰ Θ, Ν σαμεῖα, καί ἐστι τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, καὶ τὸ Ν ἄρα κέντρον βάρεος τοῦ ΔΕΖ.
ιγʹ.
Παντὸς τριγώνου τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐστιν ἔκ τινος γωνίας ἐπὶ μέσαν ἀγομένα τὰν βάσιν.
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ ἁ ΑΔ ἐπὶ μέσαν τὰν ΒΓ βάσιν. δεικτέον, ὅτι ἐπὶ τᾶς ΑΔ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ.
μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ, καὶ διὰ τούτου παρὰ τὰν ΒΓ ἄχθω ἁ ΘΙ. ἀεὶ δὴ δίχα τεμνομένας τᾶς ΔΓ ἐσσείται ποκὰ ἁ καταλειπομένα ἐλάσσων H.176τᾶς ΘΙ· καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα τᾶν ΒΔ, ΔΓ ἐς τᾶς ἴσας, καὶ διὰ τᾶν τομᾶν παρὰ τὰν ΑΔ ἄχθωσαν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΗΚ, ΛΜ. ἐσσούνται δὴ αὐταὶ παρὰ τὰν ΒΓ. τοῦ δὴ παραλληλογράμμου τοῦ μὲν ΜΝ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΥΣ, τοῦ δὲ ΚΞ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΤΥ, τοῦ δὲ ΖΟ ἐπὶ τᾶς ΤΔ. τοῦ ἄρα ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΣΔ εὐθείας. ἔστω δὴ τὸ Ρ, καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΡΘ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἄχθω παρὰ τὰν ΑΔ ἁ ΓΦ. τὸ δὴ ΑΔΓ τρίγωνον ποτὶ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τῷ ΑΔΓ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΓΑ ποτὶ ΑΜ, διὰ τὸ ἴσας εἶμεν τὰς ΑΜ, ΜΚ, ΖΓ, ΚΖ. ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ ΑΔΒ τρίγωνον ποτὶ πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΛ, ΛΗ, ΗΕ, ΕΒ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τρίγωνα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ ΒΑ ποτὶ ΑΛ, τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ πάντα τὰ εἰρημένα τρίγωνα τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΓΑ ποτὶ ΑΜ. ἀλλὰ ἁ ΓΑ ποτὶ ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἁ ΦΡ ποτὶ ΡΘ. ὁ γὰρ τᾶς ΓΑ ποτὶ ΑΜ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ ὅλας τᾶς ΦΡ ποτὶ ΡΠ διὰ τὸ ὁμοῖα εἶμεν τὰ τρίγωνα. καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον ποτὶ τὰ εἰρημένα μείζονα λόγον H.178ἔχει, ἤπερ ἁ ΦΡ ποτὶ ΡΘ. ὥστε καὶ διελόντι τὰ ΜΝ, ΚΞ, ΖΟ παραλληλόγραμμα ποτὶ τὰ καταλειπόμενα τρίγωνα μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἁ ΦΟ ποτὶ ΘΡ. γεγονέτω οὖν ἐν τῷ τῶν παραλληλογράμμων ποτὶ τὰ τρίγωνα λόγῳ ἁ ΧΘ ποτὶ ΘΡ. ἐπεὶ οὖν ἐστί τι μέγεθος τὸ ΑΒΓ, οὗ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐστι τὸ Θ, καὶ ἀφῃρήται ἀπ’ αὐτοῦ μέγεθος τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ΜΝ, ΚΞ, ΖΟ παραλληλογράμμων, καί ἐστιν τοῦ ἀφῃρημένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ρ σαμεῖον, τοῦ ἄρα λοιποῦ μεγέθεος τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν περιλειπομένων τριγώνων κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΡΘ εὐθείας ἐκβληθείσας εὐθείας ἀπολαφθείσας ποτὶ τὰν ΘΡ τοῦτον ἐχούσας τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ ἀφαρεθὲν μέγεθος ποτὶ τὸ λοιπόν. τὸ ἄρα Χ σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ συγκειμένου μεγέθεος ἐκ τῶν περιλειπομένων· ὅπερ ἀδύνατον. τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Χ εὐθείας παρὰ τὰν ΑΔ ἀγομένας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐπὶ ταὐτὰ πάντα ἐντί, τουτέστιν ἑπὶ θάτερον μέρος. δῆλον οὖν τὸ προτεθέν
ιδʹ.
Παντὸς τριγώνου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον, καθ’ ὃ συμπίπτοντι τοῦ τριγώνου αἱ ἐκ τᾶν γωνιᾶν ἐπὶ μέσας τὰς πλευρὰς ἀγομέναι εὐθείαι.
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἄχθω ἁ μὲν ΑΔ ἐπὶ μέσαν τὰν ΒΓ, ἁ δὲ ΒΕ ἐπὶ μέσαν τὰν ΑΓ. ἐσσείται δὴ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐφ’ ἑκατέρας τᾶν ΑΔ, ΒΕ· δεδείκται γὰρ τοῦτο. ὥστε τὸ Θ σαμεῖον κέντρον τοῦ βάρεος ἐστιν.
ιεʹ.
Παντὸς τραπεζίου τὰς δύο πλευρὰς ἔχοντος παραλλήλους ἀλλάλαις τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς διχοτομίας τᾶν H.184παραλλήλων διαιρεθείσας, ὥστε τὸ τμᾶμα αὐτᾶς τὸ πέρας ἔχον τἁν διχοτομίαν τᾶς ἐλάσσονος τᾶν παραλλήλων ποτὶ τὸ λοιπὸν τμᾶμα τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος ἁ ἴσα τᾷ διπλασίᾳ τᾶς μείζονος μετὰ τᾶς ἐλάσσονος ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς ἐλάσσονος μετὰ τᾶς μείζονος τᾶν παραλλήλων.
ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓΔ παραλλήλους ἔχον τὰς ΑΔ, ΒΓ, ἁ δὲ ΕΖ ἐπιζευγνυέτω τᾶς διχοτομίας τᾶν ΑΔ, ΒΓ. ὅτι οὖν ἐπὶ τᾶς ΕΖ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ τραπεζίου, φανερόν. ἐὰν γὰρ ἐκβαλῇς τὰς ΓΔΗ, ΖΕΗ, ΒΑΗ, δῆλον, ὅτι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σαμεῖον ἐρχόνται. ἐσσείται οὖν τοῦ ΗΒΓ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΗΖ, καὶ ὁμοίως τοῦ ΑΗΔ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΕΗ. καὶ λοιποῦ ἄρα τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται ἐπὶ τᾶς ΕΖ. ἐπιζευψθεῖσα δὲ ἁ ΒΔ διῃρήσθω εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Κ, Θ σαμεῖα, καὶ δι’ αὐτῶν παρὰ τὰν H.186ΒΓ ἄχθωσαν αἱ ΛΘΜ, ΝΚΤ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΖ, ΒΕ, ΟΞ. ἐσσείται δὴ τοῦ μὲν ΔΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΘΜ, ἐπειδήπερ τρίτον μέρος ἁ ΘΒ τᾶς ΒΔ, καὶ διὰ τοῦ Θ σαμεῖου παράλληλος τᾷ βάσει ἄκται ἁ ΜΘ. ἔστιν δὲ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΔΒΓ τριγώνου καὶ ἐπὶ τᾶς ΔΖ. ὥστε τὸ Ξ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ εἰρημένου τριγώνου. διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ τὸ Ο σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΔ τριγώνου. τοῦ ἄρα ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΒΔ, ΒΔΓ τριγώνων συγκειμένου μεγέθεος, ὅπερ ἐστὶ τὸ τραπέζιον, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΟΞ εὐθείας. ἔστιν δὲ τοῦ εἰρημένου τραπεζίου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος καὶ ἐπὶ τᾶς ΕΖ. ὥστε τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Π σαμεῖον. ἔχοι δ’ ἂν τὸ ΒΔΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ ΑΒΔ λόγον, ὃν ἁ ΟΠ ποτὶ ΠΞ. ἀλλ’ ὡς τὸ ΒΔΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, οὕτως ἐντὶ ἁ ΒΓ ποτὶ ΑΔ, ὡς δὲ ἁ ΟΠ ποτὶ ΠΞ, οὕτως ἁ ΡΠ ποτὶ ΠΣ. καὶ ὡς ἄρα ἁ ΒΓ ποτὶ ΑΔ, οὕτως ἁ ΡΠ ποτὶ ΠΣ. ὥστε καὶ ὡς δύο αἱ ΒΓ μετὰ τᾶς ΑΔ ποτὶ δύο τὰς ΑΔ μετὰ τᾶς ΒΓ, οὕτως δύο αἱ ΡΠ μετὰ τᾶς ΠΣ ποτὶ δύο τὰς ΠΣ μετὰ τᾶς ΠΡ. ἀλλὰ δύο μὲν αἱ ΡΠ μετὰ τᾶς ΠΣ συναμφότερός ἐστιν ἁ ΣΡΠ, τουτέστιν ἁ ΠΕ· δύο δὲ αἱ ΠΣ μετὰ τᾶς ΠΡ συναμφότερός ἐστιν ἁ ΡΣΠ, τουτέστιν ἁ ΠΖ. δεδείκται ἄρα τὰ προτεθέντα.
Översättning
1. Vi hävdar, att lika vikter.på lika avstånd är i jämvikt, medan lika vikter på olika avstånd ej är i jämvikt, utan väger över mot den vikt på större avstånd.
2. Om vikter är i jämvikt på vissa avstånd och en annan vikt läggs till en av vikterna, är dessa ej i jämvikt, utan väger över mot den vikt, som lagts till.
3. Och på samma sätt, om från den ena av vikterna något tas bort, är de ej i jämvikt, utan väger över mot vikten, från vilken den inte tagits bort.
4. Då lika och likformiga plana figurer sammanfaller med varandra, sammanfaller även tyngdpunkterna med varandra.
5. Olika, men likformiga, plana figurer, skall tyngdpunkterna vara lagda på samma sätt. Vi säger även, att punkter är placerade på samma sätt med likadana figurer, då räta linjer, dragna med samma vinklar från dessa, gör lika vinklar mot motsvarande sidor.
6. Om storheter är i jämvikt på vissa avstånd, skall även de lika med dessa vara i jämvikt på samma avstånd.
7. För varje figur, vars omkrets är konkav. — Detta har antagits.
αʹ.
Vikter i jämvikt på samma avstånd är lika.
Ty eftersom de skall vara olika, sedan överskottet tagits bort från den större, skall de kvarvarande inte vara i jämvikt, eftersom något har tagits bort från den ena i jämvikt.
.
βʹ.
Olika vikter på samma avstånd skall ej vara i jämvikt, utan skall väga över mot den större.
Ty sedan överskottet tagits bort skall de vara i jämvikt, eftersom lika vikter på samma avstånd är i jämvikt.
.
γʹ.
Olika vikter skall vara i jämvikt på olika avstånd, nämligen den större vikten med det mindre avståndet. Låt Α och Β vara två olika vikter,låt Α vara den större, och de är i jämvikt på avstånden ΑΓ och ΓΒ. Det skall visas, att ΑΓ är mindre än ΓΒ.
Ty låt den inte vara mindre och tag så bort överskottet, med vilket Α överstiger Β. Eftersom något tagits bort från den ena, av dem i jämvikt, skall det väga över mot Β. Ty antingen är ΓΑ lika med ΓΒ och de skall vara i jämvikt – ty lika vikter på samma avstånd är i jämvikt.
.
.
.
δʹ.
Om två lika storheter inte har samma tyngdpunkt, skall de båda storheternas sammanlagda storhets tyngdpunkt vara mitten av den räta linjen, som förbinder de båda storheternas tyngdpunkter.
Låt Α vara Α:s tyngdpunkt och Β Β:s. Låt dessutom ha förbundit ΑΒ och låt ha delat denna vid Γ. Jag säger, att de båda storheternas sammanlagda storhets tyngdpunkt är Γ.
Ty om inte, låt, om möjligt, de båda storheterna Α och Β:s sammanlagda storhets tyngdpunkt vara Δ. Ty, att den ligger på ΑΒ, det har visats.Eftersom sålunda punkten Δ är Α och Β:s sammanlagda storhets tyngdpunkt, skall dessa hållas i jämvikt vid punkten Δ. Alltså skall storheterna Α och Β vara i jämvikt på avstånden ΑΔ och ΔΒ, vilket är omöjligt. Ty lika vikter på olika avstånd är inte i jämvikt.
.
.
εʹ.
Låt viktcentrumen vara av tre storlekar på de raka linjerna, och storlekarna är lika stora, och de mellan mitten är raka linjer, eftersom, av alla storlekar, har mitten av motsvarande storlek samma vikt, och den i mitten är av vikt.H.150
Låt det finnas tre storlekar A, B, C, och deras viktcentrum A, B, C är desamma på raka linjer. Låt A, B, C vara lika och AG, GB vara raka linjer. Jag säger att tyngdpunkten är den största av alla storlekar.
För eftersom A, B är lika stora är C samma tyngdpunkt, eftersom det är mellan AG, GB. och tyngdpunkten för C är också tyngdpunkten för C. Det är alltså sant att även i det största centret av alla ting finns samma tyngd, som i mitten centrerar tyngden.
.
ϛʹ.
Kommensurabla storheter är i jämvikt på avstånd som omvänt har samma förhållande som vikterna.
Låt Α och Β vara kommensurabla storheter, vars tyngdpunkter är Α och Β. Låt även ΕΔ vara någon sträcka och som Α är till Β, så är sträckan ΔΓ till sträckan ΓΕ. Det skall visas, att den av Α och Β sammanlagda storhetens tyngdpunkt är Γ.
Ty då som Α är till Β, så är ΔΓ till ΓΕ och Α är kommensurabel med Β, alltså är även ΓΔ kommensurabel med ΓΕ,Euc.Prop.10.11 det vill säga en rät linje med en rät linje, sålunda har ΕΓ och ΓΔ ett gemensamma mått. Låt den vara Ν och låt ha satt ΕΓ lika med var och en av ΔΗ och ΔΚ samt ΕΛ lika med ΔΓ. Och eftersom ΔΗ är lika med ΓΕ är även ΔΓ lika med ΕΗ. Sålunda är även ΔΕ lika med ΕΗ. Alltså är ΛΗ dubbla ΔΓ och ΗΚ dubbla ΓΕ. Sålunda mäter Ν även var och en av ΛΗ och ΗΚ, eftersom den också mäter deras hälfter.Euc.Prop.10.12 Och då som Α är till Β, så är ΔΓ till ΓΕ och som ΔΓ är till ΓΕ, så är ΛΗ till ΗΚ, ty var och en är dubbla var och en, alltså som Α är till Β, så är ΛΗ till ΗΚ. Och så många gånger ΛΗ är av Ν, låt Α vara så många gånger av Ζ. Alltså som ΛΗ är till Ν, så är Α till Ζ.Euc.Def.5.5 Och som ΚΗ är till ΛΗ, så är Β till Α.Euc.Prop.5.7cor. Alltså, ex æquali Euc.Prop.5.22, som ΚΗ är till Ν, så är Β till Ζ. Alltså lika många gånger ΚΗ är av Ν, är även Β av Ζ. Och Α har visats vara lika många gånger av Ζ. Sålunda är Ζ Α och Β:s gemensamma mått. Alltså har ΛΗ delats i lika delar vid Ν och Α i lika delar vid Ζ, skall delarna lika med Ν i ΛΗ vara lika många som antalet delar lika med Α i Ζ. Om sålunda på var och en av delarna i ΛΗ en storhet lika med Ζ lagts med tyngdpunkten på mitten av delen, är alla storheterna tillsammans lika med Α och Ε skall vara den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt. Ty tillsammans utgör de ett jämnt antal och de är på var sida av Ε lika till antalet, eftersom ΛΕ är lika med ΗΕ.Prop.1.5cor.2 Det skall visas, att även om på var och en av delarna i ΚΗ en storhet lika med Ζ lagts med tyngdpunkten på mitten av delen, är alla storheterna tillsammans lika med Β och Δ skall vara den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt. Alltså skall storheten Α ligga kring Ε och storheten Β vid Δ. Och storheterna skall vara lika med varandra liggande i linje, deras tyngdpunkter skall ligga lika långt från varandra, samt sammantagna utgöra ett jämnt antal. Alltså är det uppenbart, att den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt är mitten av den räta linjen, som innehåller de mellersta storheternas mittpunkter. Eftersom också ΛΕ är lika med ΓΔ och ΕΓ med ΔΚ, är alltså även hela ΛΓ lika med ΓΚ. Därför är den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt punkten Γ. Alltså skall Α placerad vid Ε och Β vid Δ vara i jämvikt vid Γ
ζʹ.
Och härav följer, att om storheterna är inkommensurabla, skall de på samma sätt vara i jämvikt på avstånd, som omvänt har samma förhållande som storheterna.
Låt ΑΒ och Γ vara inkommmensurabla storheter samt ΔΕ och ΕΖ avstånden. Låt även ΑΒ ha samma förhållande till Γ, som också ΕΔ har till avståndet ΕΖ. Jag säger, att tyngdpunkten av storheten av de båda ΑΒ och Γ är Ε.
Ty om ΑΒ inte lagts vid Ζ i jämvikt med Γ vid Δ, är ΑΒ antingen större än Γ, än att på detta sätt vara i jämvikt med Γ, eller inte. Låt den vara större. Låt ha tagit bort mindre än skillnaden från ΑΒ, som ΑΒ är större än Γ, och som sålunda är i jämvikt, så att resten, Α, är kommensurabel med Γ. Eftersom då storheterna Α och Γ är kommensurabla och Α har ett förhållande till Γ, mindre än ΔΕ till ΕΖ, skall Α och Γ inte vara i jämvikt på avstånden ΔΕ och ΕΖ, då Α satts vid Ζ och Γ vid Δ.
ηʹ.
Om från någon storhet någon storhet tas bort, vilken inte har samma tyngdpunkt som det hela, är resterande storhets tyngdpunkt – sedan den utdragna räta linjen, som binder samman hela storhetens och den borttagnas tyngdpunkter på samma sida, på vilken hela storhetens tyngdpunkt ligger och sedan något tagits bort från den utdragna räta linjen, som binder samman de nämnda tyngdpunkterna, så att detta har samma förhållande till sträckan mellan tyngdpunterna, som vikten av den borttagna storheten har till vikten av den resterande – änden efter det borttagna.
Låt Γ vara någon storhets tyngdpunkt och låt ha tagit bort ΑΔ från ΑΒ, vars tyngdpunkt är Ε. Låt, sedan ΕΓ har förbundits och dragits ut, ha tagit bort ΓΖ, som skall ha samma förhållande till ΓΕ, som storheten ΑΔ har till ΔΗ. Det skall visas, att storheten ΔΗ tyngdpunkt är punkten Ζ.
Ty om inte, utan om möjligt, låt den vara punkten Θ. Eftersom då storheten ΑΔ:s tyngdpunkt är Ε och ΔΗ:s punkten Θ, skall tyngdpunkten av båda storheterna ΑΔ och ΔΗ vara på snittet ΕΘ, så att dess delsnitt har omvänt fått samma förhållande som storheterna.
.
.
θʹ.
Varje parallellograms tyngdpunkt ligger på den räta linjen, som förbinder mittpunkten med den på parallellogrammens motsatta sida.
Låt ΑΒΓΔ vara en parallellogram och ΕΖ en rät linje på ΑΒ och ΓΔ:s mittpunkter. Jag säger så, att parallellogrammen ΑΒΓΔ:s tyngdpunkt skall ligga på ΕΖ.
Ty om inte, utan om möjligt, låt den vara Θ och låt ha dragit ΘΙ parallellt med ΑΒ. Och halveras ΕΒ därpå oupphörligen, skall det kvarlämnade någon gång vara mindre än ΙΘ. Och låt ha delat var och en av ΑΕ och ΕΒ i delar lika med ΕΚ samt låt ha dragit linjer från mittpunkterna parallell med ΕΖ. Sålunda skall hela parallellogrammen delas i ett antal parallellogrammer lika och likformiga med ΚΖ. Alltså sedan parallellogrammerna, lika och likformiga med ΚΖ, sammanfaller med varandra skall även deras tyngdpunkter hamna på varandra.
.
.
.
.
.
ιʹ.
Alla parallellogrammers tyngdpunkt är punkten, vid vilken diametrarna möts.
Låt ΑΒΓΔ vara en parallellogram och i denna delar ΕΖ ΑΒ och ΓΔ i hälften samt ΚΛ ΑΓ och ΒΔ. Låt även parallellogrammen ΑΒΓΔ:s tyngdpunkt ligga på ΕΖ, ty detta har visats.
.
ιαʹ.
Om två trianglar är likformiga med varandra och det i dem finns, relativt trianglarna, likformigt placerade punkter samt en punkt är tyngdpunkt till triangeln, i vilken den ligger, är även resterande punkt tyngdpunkt till triangeln, i vilken den ligger. Vi säger även, att punkter placerade på samma sätt med likadana figurer, då räta linjer, dragna med samma vinklar från dessa, gör lika vinklar mot motsvarande sidor.
Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara två trianglar och låt som ΑΓ är till ΔΖ, så ΑΒ vara till ΔΕ och ΒΓ till ΕΖ. Låt i de nämnda trianglarna också punkterna Θ och Ν vara likformigt placerade relativt trianglarna ΑΒΓ och ΔΕΖ och låt Θ vara triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt. Jag säger, att även Ν är triangeln ΔΕΖ:s tyngdpunkt.
Ty om inte, utan om möjligt, låt Η vara triangeln ΔΕΖ:s tyngdpunkt. Låt även ha förbundit ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ, ΔΝ, ΕΝ, ΖΕ, ΔΗ, ΕΗ och ΖΗ. Eftersom triangeln ΑΒΓ då är likformig med triangeln ΔΕΖ och deras tyngdpunkter är punkterna Θ och Η. Och likformiga figurers tyngdpunkter är likformigt placerade.
.
.
.
ιβʹ.
Det finns också två liknande troner, men mitten av en triangel är vikten på de raka linjerna, och mitten av den andra triangeln är vikten på de likadant ritade linjerna.
låt ABC, DEZ vara två trianglar, och låt som AG skär ZZ, så skär AB DE, och BG skär ZE. och efter att ha delat linjerna AG längs H-linjen, låt tyngdpunkten för triangeln H.172ABG på linjerna BE vara T. Jag säger att tyngdpunkten för triangeln EDZ också är från de raka linjerna.
Jag är bunden av DZ genom M, och jag korsar EM, och jag är övertygad, som i BH gånger BTH, så i ME gånger EN. och ATH, THG, DN, NZ bad. eftersom GA delar AH och ZZ delar DM i två delar, därför är BA gånger ED så AH gånger DM och sidorna är proportionella mot varandra. Därför är vinkeln under AEB lika med vinkeln under DME, och som AH gånger DM, så är BH gånger EM. och det är också, som ḍ BH gånger BTH, så ḥ ME gånger EN. Och med samma mått är därför som AB gånger DE, så BTH gånger EN och ungefär samma vinkel sidorna proportionella mot; om detta är vinkeln under BATH lika med vinkeln under EDN. så att vinkeln under THAG är lika med vinkeln under NDZ. för dessa, under THGI och under NZM lika. H.174 visades såväl som under ABTH och under DEM. och så vidare, vinkeln under THBG är lika med vinkeln under NEZ. av denna anledning ligger T, N inte alltid på samma sätt som de homologa sidorna av samma vinkel. på den ligger likaledes punkterna T, N och T är tyngdpunkten för triangeln ABC, och N är därför tyngdpunkten för DEZ.
.
.
ιγʹ.
I vilken triangel som helst är mitten vikten på den räta linjen, vilket är kisningen av vinkeln på insidan av baserna.
Låt ABC vara en triangel, och i den låt AD vara basen för BG. index, att på AD är tyngdpunkten för ABG.
inte för, men om det är möjligt, låt det vara TH, och därför, förutom BG, sidan av THI. Åh, genom att skära genom SW, det finns bara resterna av den mindre H.176 THI och jag kommer att dela NW, SW, båda, och genom dem skars EZ, EK, LM isär från SW; . De saknas också från BG. i det andra parallellogrammet av MN är tyngdpunkten på YS, för KX tyngdpunkten på TY och för ZO på TD. därför ligger tyngdpunkten på SD:s räta linje. Låt det vara R, och jag kommer att gå till PTH och jag kommer att utvisas, och jag kommer att gå till AD i FG. triangeln ADG när alla trianglar från AM, MK, KZ, ZG är inskrivna på samma sätt som ADG har samma förhållande som GA när AM, så vi har AM, MK, ZG, KZ. Och på triangeln ADB, när alla liknande trianglar inskrivna från AL, LI, HE, EB har samma förhållande, vilket BA gånger AL, har triangeln ABC, när alla trianglar är delade, samma förhållande, som har på GA när AM. men GA när AM har ett större skäl, än FR när RTH. Eftersom GA gånger AM är samma orsak till alla FR gånger RP eftersom vi är trianglar på samma sätt. Och ABC är därför en triangel som har förhållandet H.178, större än FR gånger RTH. så att MN, KX, ZO är parallellogram som har ett större förhållande än de saknade trianglarna, mer än FO gånger THR. Därför, i fallet med parallellogram, hur många trianglar är förhållandet mellan XTH när THR. vad är då storleken på ABC, där tyngdpunkten är T, och storleken i parallellogrammen MN, KX, ZO subtraheras från den, och tyngdpunkten för den abstrakta storleken är summan av R, därav storleken på mitten av summan av de återstående trianglarna det är en belastning på PTH direkt utvisas direkt förlorade när du hade detta tal i THR, som har den borttagna storleken när det är därför. Låt X vara samma centrum av föremålets vikt, det största av de återstående är omöjligt. för de är genom X:et rakare än AD, på nivån för alla dessa saker istället, alltså på höger sida. dῆlon av den föreslagna
.
.
ιδʹ.
Varje triangels tyngdpunkt är punkten, vid vilken de räta linjerna i triangeln dragna från vinklarna till mitten av motstående bas sammanfaller.
Låt ΑΒΓ vara en triangel och låt ha dragit ΑΔ till mitten av ΒΓ samt ΒΕ till mitten av ΑΓ. Då skall triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt ligga på båda två av ΑΔ och ΒΕ, ty detta har visats.
.
ιεʹ.
Varje trapets vars två sidor är parallella men vars centrum är vikten på de räta linjerna som skär halvledarna för H.184-parallellerna uppdelade så att ändsegmentet har halvledarna för de mindre parallellerna när resten av detta avsnitt har förhållandet, som har den mest kongruenta lika med dubbleringen av dur och moll som fördubbling av moll och dur av parallellerna.
Låt ABCD vara en trapets, AD, BG är parallella, och låt EZ skära halvledarna av AD, BG. för då på EZs är mitten av bordet, uppenbarligen. För om du tar fram GDI, ZEI, BAH, Dillon, eftersom de kommer till samma plats. därför är tyngdpunkten för triangeln HBG på EZ, och likaså för triangelns AED är tyngdpunkten på EH. Och så är tyngdpunkten för ABCD-trapetsen på EZs. Jag steg upp till NW och delade i tre lika delar enligt K, T, och på grund av dem korsades förutom H.186BG, LTHM, NKT och ZZ, BE, OX. Tyngdpunkten för triangeln DBG är belägen på THM, genom den tredje delen av THB NW, och genom TH samma parallell med basen av MTH. och det är tyngdpunkten för triangeln DBG och på DZ. så att X är tyngdpunkten för den delade triangeln. och på grund av detta är O samma tyngdpunkt i triangeln ABD. därför, från båda trianglarna ABD, BDG av samma storlek, eftersom trapets är tyngdpunkten på den räta linjen OX. och tyngdpunkten för den upphängda trapetsen är också på EZ. så att mitten av trapets ABCD är vikten av P. ἔχοι d’ om BGD är en triangel och ABD är ett förhållande, ἁ ἁ OP och PX. men som triangeln BDG gånger triangeln ABD, så som BG gånger AD, som OP gånger PX, så RP gånger PS. Och precis som BG ibland AD, så RP ibland PS. samt två BG med AD gånger två AD med BG, alltså två RP med PS gånger två PS med PR. men två gånger är RP med PS lika omfattande med SRP, dvs med PE och två PS med PR är lika omfattande med RSP, dvs med PZ. därför visas de föreslagna.