Plans jämvikt I

Archimedes

H.142

Ἐπιπέδων ἰσορροπιῶν ἢ κέντρα βαρῶν ἐπιπέδων αʹ.

Plans jämvikt eller plans tyngdpunkter I.

αʹ. Αἰτούμεθα τὰ ἴσα βάρεα ἀπὸ ἴσων μακέων ἰσορ­ροπεῖν, τὰ δὲ ἴσα βάρεα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων μὴ ἰσορροππεῖν, ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος τὸ ἀπὸ τοῦ μεί­ζονος μάκεος.
βʹ. εἴ κα βαρέων ἰσορροπεόντων ἀπὸ τινων μα­κέων ποτὶ τὸ ἕτερον τῶν βαρέων ποτιτεθῇ, μὴ ἰσορ­ροπεῖν, ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος ἐκεῖνο, ᾦ ποτετέθη.
γʹ. ὁμοίος δὲ καί, εἴ κα ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν βα­ρέων ἀφαιρεθῇ τι, μὴ ἰσορροπεῖν, ἀλλὰ ῥέπειν ἐπὶ τὸ βάρος, ἀφ' οὖ οὐκ ἀφῃρέθη.
δʹ. τῶν ἴσων καὶ ὁμοίων σχημάτων ἐπιπέδων ἐφαρ­μοζομένων ἐπ' ἄλλαλα καὶ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐφαρμόζει ἐπ' ἄλλαλα.
εʹ. τῶν δὲ ἀνίσων, ὁμοίων δὲ τὰ κέντρα τῶν βα­ρέων ὁμοίως ἐσσείται κείμενα. ὁμοίως δὲ λέγομες σαμεῖα κεέσθαι ποτὶ τὰ ὁμοῖα σχήματα, ἀφ' ὧν ἐπὶ τὰς ἴσας γωνίας ἀγομέναι εὐθείαι ποιέοντι γωνίας ἴσας ποτὶ τὰς ὁμολόγουθς πλευράς.
H.144 ϛʹ. εἴ κα μεγέθεα ἀπὸ τινων μακέων ἰσορροπέωντι, καὶ τὰ ἴσα αὐτοῖς ἀπὸ τῶν αὐτῶν μακέων ἰσορρο­πήσει.
ζʹ. παντὸς σχήματος, οὗ κα ἁ περίμετρος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλα ᾖ, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐντὸς εἶμεν δεί τοῦ σχήματος. — τούτων δὲ ὑποκειμένων.

1. Vi hävdar, att lika vikterA A) Här används vikt och betydelsen är tyngd, snarare än massa - jämför Krans­problemet. på lika avstånd är i jämvikt, medan lika vikter på olika avstånd ej är i jämvikt, utan väger över mot den vikt på större avstånd.
2. Om vikter är i jämvikt på vissa avstånd och en annan vikt läggs till en av vikterna, är dessa ej i jämvikt, utan väger över mot den vikt, som lagts till.
3. Och på samma sätt, om från den ena av vikterna något tas bort, är de ej i jämvikt, utan väger över mot vikten, från vilken den inte tagits bort.
4. Då lika och likformiga plana figurer sammanfaller med varandra, sammanfaller även tyngdpunkterna med varandra.
5. Olika, men likformiga, plana figurer, skall tyngdpunkterna vara lagda på samma sätt. Vi säger även, att punkter är placerade på samma sätt med likadana figurer, då räta linjer, dragna med samma vinklar från dessa, gör lika vinklar mot motsvarande sidor.
6. Om storheter är i jämvikt på vissa avstånd, skall även de lika med dessa vara i jämvikt på samma avstånd.
7. För varje figur, vars omkrets är konkav,B B) Definitionen av konkav återfinns i Archimedes' Om sfären och cylindern som definition två. måste tyngdpunkten vara i figuren. — Detta har antagits.

αʹ.

Τὰ ἀπὸ ἴσων μακέων ἰσορροπέοντα βάρεα ἰσα ἐντὶ.

εἴπερ γὰρ ἄνισα ἐσσείται, ἀφαιρεθείσας ἀπὸ τοῦ μείζονος τᾶς ὑπεροχᾶς τὰ λοιπὰ οὐκ ἰσορροπησοῦντι, ἐπειδὴ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀφῃρήται. ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων βάρεα ἰσορροπέοντα ἴσα ἐντί.

1.

Vikter i jämvikt på samma avstånd är lika.

Ty eftersom de skall vara olika, sedan överskottet tagits bort från den större, skall de kvarvarande inte vara i jämvikt, eftersom något har tagits bort från den ena i jämvikt.Def.3 Därför är vikter i jämvikt på samma avstånd lika.

βʹ.

Τὰ ἀπὸ ἴσων μακέων ἄνισα βάρεα οὐκ ἰσορ­ροπησοῦντι, ἀλλὰ ῥέψει ἐπὶ τὸ μεῖζον.

ἀφαιρεθείσας γὰρ τᾶς ὑπερχᾶς ἰσορροπησοῦντι, ἐπειδὴ τὰ ἴσα ἀπὸ τῶν ἴσων μακέων ἰσορροπέοντι. ποτιτεθέντος οὖν τοῦ ἀφαιρεθέντος ῥέψει ἀπὶ τὸ μεῖ­ζον, ἐπεὶ ἰσορροπεόντων τῷ ἑτέρῳ ποτετέθη.

2.

Olika vikter på samma avstånd skall ej vara i jämvikt, utan skall väga över mot den större.

Ty sedan överskottet tagits bort skall de vara i jämvikt, eftersom lika vikter på samma avstånd är i jämvikt.Def.1 Alltså skall, sedan det borttagna lagts till, de väga över mot den större, eftersom, då de är i jämvikt, något lagts till den andra.Def.2

H.146

γʹ.

Τὰ ἄνισα βάρεα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων ἰσορρο­πησοῦντι, καὶ τὸ μεῖζον ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος.

ἔστω ἄνισα βάρεα τὰ Α, Β, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ Α, καὶ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μακέων. δεικτέον, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἁ ΑΓ τᾶς ΓΒ.

μὴ γὰρ ἔστω ἐλὰσσων. ἀφαιρεθείσας δὴ τᾶς ὑπερ­οχᾶς, ᾇ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Β, ἐπειδὴ ἰσορροπεόντων ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀφῃρήται, ῥέψει ἐπὶ τὸ Β. οὐ ῥέψει δέ. εἴτε γὰρ ἴσα ἐστὶν ἁ ΓΑ τᾷ ΓΒ, ἰσορροπησοῦντι· τὰ γὰρ ἴσα ἀπὸ τῶν ἴσων μακρέων ἰσορροπέοντι· εἴτε μείζων ἁ ΓΑ τᾶς ΓΒ, ῥέπει ἐπὶ τὸ Α· τὰ γὰρ ἴσα Objects are not supported by your browser! ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων οὐκ ἰσορροπέοντι, ἀλλὰ ῥέπει ἐπὶ τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος μάκεος. διὰ δὴ ταῦτα ἐλάσ­σων ἐστὶν ἁ ΑΓ τᾶς ΓΒ. — φανερὸν δέ, ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων ἰσορροπέοντα ἄνισά ἐντι, καὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ ἐλασσονος.

3.

Olika vikter skall vara i jämvikt på olika avstånd, nämligen den större vikten med det mindre avståndet. Låt Α och Β vara två olika vikter,låt Α vara den större, och de är i jämvikt på avstånden ΑΓ och ΓΒ. Det skall visas, att ΑΓ är mindre än ΓΒ.

Ty låt den inte vara mindre och tag så bort överskottet, med vilket Α överstiger Β. Eftersom något tagits bort från den ena, av dem i jämvikt, skall det väga över mot Β.Def.3 Men det kommer inte att väga över. Ty antingen är ΓΑ lika med ΓΒ och de skall vara i jämvikt - ty lika vikter på samma avstånd är i jämvikt,Def.1 eller så är ΓΑ större än ΓΒ och det väger över mot Α - ty lika vikter på olika avstånd är inte i jämvikt, men den väger över mot vikten på det större avståndet.Def.1 Just på grund av detta är ΑΓ mindre än ΓΒ. — Sålunda är det uppenbart, att vikter i jämvikt på olika avstånd också är olika samt att den större vikten är den på det mindre avståndet.

δʹ.

Εἴ κα δύο ἴσα μεγέθεα μὴ τὸ αὐτο κέντρον τοῦ βάρεος ἔχωντι, τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγεθέων συγ­κειμένου H.148 μεγέθεος κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ μέσον τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τῶν μεγεθέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος.

ἔστω τοῦ μὲν Α κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Α, τοῦ δε Β τὸ Β. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΑΒ τετμάσθω δίχα κατὰ τὸ Γ. λέγω, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγε­θέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τὸ Γ.

Objects are not supported by your browser!

εἰ γὰρ μή, ἔστω τοῦ ἐξ ἀμφφοτέρων τῶν Α, Β με­γεθέων κέντρον τοῦ βά­ρεος τὸ Δ, εἰ δυνατόν. ὅτι γάρ ἐστιν ἀπὶ τᾶς ΑΒ, προδεδείκται. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ σαμεῖον κέν­τρον ἐστὶν τοῦ βάρεος τοῦ ἐκ τῶν Α, Β συγκειμένου μεγέθεος, κατεχομένου τοῦ Δ ἰσορροπήσει. τὰ ἄρα Α, Β μεγέθεα ἰσορρο­πησοῦντι ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μακέων· ὅπερ ἀδύνατον· τὰ γὰρ ἴσα ἀπὸ τῶν ἀνίσων μακέων οὐκ ἰσορροπέοντι. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ Γ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ἐκ τῶν Α, Β συγκειμένου μεγέθεος.

4.

Om två lika storheter inte har samma tyngdpunkt, skall de båda storheternas sammanlagda storhets tyngdpunkt vara mitten av den räta linjen, som förbinder de båda storheternas tyngdpunkter.

Låt Α vara Α:s tyngdpunkt och Β Β:s. Låt dessutom ha förbundit ΑΒ och låt ha delat denna vid Γ. Jag säger, att de båda storheternas sammanlagda storhets tyngdpunkt är Γ.

Ty om inte, låt, om möjligt, de båda storheterna Α och Β:s sammanlagda storhets tyngdpunkt vara Δ. Ty, att den ligger på ΑΒ, det har visats.C C) Utan tvekan i Archimedes' förlorade Περὶ ζυγῶν. Eftersom sålunda punkten Δ är Α och Β:s sammanlagda storhets tyngdpunkt, skall dessa hållas i jämvikt vid punkten Δ. Alltså skall storheterna Α och Β vara i jämvikt på avstånden ΑΔ och ΔΒ, vilket är omöjligt. Ty lika vikter på olika avstånd är inte i jämvikt.Def.1 Alltså är det uppenbart, att Γ är de båda storheterna Α och Β:s sammanlagda storhets tyngdpunkt.

4.

εʹ.

Εἴ κα τριῶν μεγεθέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἐπ' εὐθείας ἔωντι κείμενα, καὶ τὰ μεγέθεα ἴσον βάρος ἔχοντι, καὶ αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων εὐθείαι ἴσαι ἔωντι, τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον, ὃ καὶ τοῦ μέσου τὸ αὐτὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος.

H.150

ἔστω τρία μεγέθεα τὰ Α, Β, Γ, κέντρα δὲ αὐτῶν τοῦ βάρεος τὰ Α, Β, Γ σαμεῖα ἐπ' εὐθείας κείμενα. ἔστω δὲ τά τε Α, Β, Γ ἴσα, καὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εὐθείαι. λέγω, ὅτι τοῦ ἐκ πάντων τῶν μγεθέων συγ­κειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Γ σαμεῖον.

ἐπεὶ γὰρ τὰ Α, Β μεγέθεα ἴσον βάρος ἔχει, κέν­τρον Objects are not supported by your browser! ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ Γ σαμεῖον, ἐπειδὴ ἴσαι ἐντὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ. ἔστιν δὲ καὶ τοῦ Γ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ σαμεῖον. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον, ὃ καὶ τοῦ μέσου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος.

ΠΟΡΙΣΜΑ Αʹ.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ὁπόσων κα τῷ πλήθει περισσῶν μεγεθέων τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἐπ' εὐθείας ἔωντι κείμενα, εἴ κα τά τε ἴσον ἀπέχοντα ἀπὸ τοῦ μέσου μεγέθεα ἴσον βάρος ἔχοντι, καὶ αἱ εὐθείαι αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων αὐτῶν ἴσαι ἔωντι, τοῦ ἐκ πάν­των τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσ­σείται τοῦ βάρεος τὸ σαμεῖον, ὃ καὶ τοῦ μέσου αὐτῶν κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος.

ΠΟΡΙΣΜΑ Βʹ.

Εἴ κα καὶ ἄρτια ἔωντι τῷ πλήθει τὰ μεγέθεα, καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν ἐπ' εὐθείας ἔωντι Objects are not supported by your browser! κείμενα, καὶ τὰ μέσα αὐτῶν καὶ τὰ ἴσα ἀπέχοντα ἀπ' αὐτῶν ἴσον βάρος ἔχωντι, καὶ αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων εὐθείαι ἴσαι ἔωντι, τοῦ ἐκ πάντων τῶν μεγεθέων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ μέσον τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ βάρεος τῶν μγεθέων, ὡς ὑπογεγράπται.

5.

Om tre storheters tyngdpunkter ligger längs en rät linje, storheterna har samma vikt oc hde räta linjerna mellan tyngdpunkterna är lika, skall den av alla storheters sammanlagda storhets tyngdpunkt vara punkten, vilken är densamma som mellersta storhetens tyngdpunkt.

Låt Α, Β och Γ vara tre storheter och deras tyngdpunkter punkterna Α, Β och Γ, som ligger längs en rät linje. Låt även Α, Β och Γ vara lika samt ΑΓ och ΓΒ vara lika räta linjer. Jag säger, att den av alla storheters sammanlagda storhets tyngdpunkt är punkten Γ.

Ty eftersom storheterna Α och Β har samma vikt, skall tyngdpunkten vara punkten Γ, eftersom ΑΓ och ΓΒ är lika.Prop.1.4 Punkten Γ är även storheten Γ:s tyngdpunkt. Alltså är det uppenbart, att punkten skall avar den av alla storheters sammanlagda storhets tyngdpunkt, vilken också är den mellersta storhetens tyngdpunkt.

Följdsats I.

Av detta är det sålunda uppenbart, att varje udda antal storheters tyngdpunkter, som ligger längs en rät linje, om de på samma avstånd från den mellersta storheten har samma vikt och de räta linjerna mellan tyngdpunkterna är lika, skall den av alla storheters sammanlagda storhets tyngdpunkt vara punkten, vilken är densamma som mellersta storhetens tyngdpunkt.

Följdsats II.

Om storheterna har ett jämnt antal, tyngdpunkterna ligger längs en rät linje, de mellersta av dem och de på samma avstånd från dem har samma vikt samt de räta linjerna mellan tyngdpunkterna är lika, skall den av alla storheters sammanlagda storhets tyngdpunkt vara mitten av den räta linnjen som förbinder storheternas tyngdpunkter, så som det har beskrivits.

ϛʹ.

Τὰ σύμμετρα μεγέθεα ἰσορροπέοντι ἀπὸ μακέων ἀντιπεπονθότωςD D) Adverb bildat av ἀντιπάσχω. τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς βά­ρεσιν.

ἔστω σύμμετρα μεγέθεα τὰ Α, Β, ὧν κέντρα τὰ Α, Β· καὶ μᾶκος ἔστω τι τὸ ΕΔ, καὶ ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ Β, οὕτως τὸ ΔΓ μᾶκος ποτὶ τὸ ΓΕ μᾶκος· δεικ­τέον, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέροων τῶν Α, Β συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Γ.

ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ Β, οὕτως τὸ ΔΓ ποτὶ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ Α τῷ Β σύμμετρον, καὶ τὸ ΓΔ ἄρα τῷ ΓΕ σύμμετρον, τουτέστν εὐθεῖα H.154 τᾷ εὐθείᾳ, ὥστε τῶν ΕΓ, ΓΔ ἐστι κοινὸν μέτρον. ἔστω δὴ τὸ Ν, καὶ κείσθω τᾷ μὲν ΕΓ ἴσα ἑκατέρα τᾶν ΔΗ, ΔΚ, τᾷ δὲ ΔΓ ἴσα ἁ ΕΛ. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἁ ΔΗ Objects are not supported by your browser! τᾷ ΓΕ, ἴσα καὶ ἁ ΔΓ τᾷ ΕΗ. ὥστε καὶ ἁ ΔΕ ἴσα τᾷ ΕΗ. διπλασία ἄρα ἁ μὲν ΛΗ τᾶς ΔΓ, ἁ δὲ ΗΚ τᾶς ΓΕ. ὥστε τὸ Ν καὶ ἑκατέραν τᾶν ΛΗ, ΗΚ μετρεῖ, ἐπειδήπερ καὶ τὰ ἡμίσεα αὐτᾶν. καὶ ἐπεὶ ἐστιν, ὡς τὸ Α ποτὶ τὸ Β, οὕτως ἁ ΔΓ ποτὶ ΓΕ, ὡς δὲ ἁ ΔΓ ποτὶ ΓΕ, οὕτως ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ· διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας· καὶ ὡς ἄρα τὸ Α ποτὶ τὸ Β, οὕτως ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ. ὁσαπλασίων δέ ἐστιν ἁ ΛΗ τᾶς Ν, τοσαυταπλασίων ἔστω τὸ Α τοῦ Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ἁ ΛΗ ποτὶ Ν, οὕτως τὸ Α τοῦ Ζ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἁ ΚΗ ποτὶ ΛΗ, οὕτως τὸ Β ποτὶ Α. δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἁ ΚΗ ποτὶ Ν, οὕτως τὸ Β ποτὶ Ζ. ἰσάκις ἄρα πολλαπλασίων ἐστὶν ἁ ΚΗ τᾶς Ν καὶ τὸ Β τοῦ Ζ. ἐδείχθη δὲ τοῦ Ζ καὶ τὸ Α πολλαπλάσιον ἐόν. ὥστε τὸ Ζ τῶν Α, Β κοινόν ἐστι μέτρον. διαιρεθεί­σας οὗν τᾶς μὲν ΛΗ εἰς τᾶς τᾷ Ν ἴσας, τοῦ δὲ Α εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα, τὰ ἐν ΛΗ τμάματα ἰσομεγέθεα τᾷ Ν ἴσα ἐσσείται τῷ πλήθει τοῖς ἐν τῷ Α τμαμά­τεσσιν H.156 ἴσοις ἐοῦσιν τῷ Ζ. ὥστε ἄν ἐφ' ἕκαστον τῶν τμαμάτων τῶν ἐν τᾷ ΛΗ ἐπιτεθῇ μέγεθος ἴσον τῷ Ζ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἔχον ἐπὶ μέσου τοῦ τμάματος, τά τε πάντα μεγέθεα ἴσα ἐντὶ τῷ Α, καὶ τοῦ ἐκ πάν­των συγκειμένου κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος τὸ Ε. ἄρτιά τε γάρ ἐστι τὰ πάντα τῷ πλήθει, καὶ τὰ ἐφ' ἑκάτερα τοῦ Ε ἴσα τῷ πλήθει διὰ τὸ ἴσαν εἶμεν τὰν ΛΕ τᾷ ΗΕ. ὁμοίος δὲ δειχθησέται, ὅτι καὶ εἴ κα ἐφ' ἕκαστον τῶν ἐν τᾷ ΚΗ τμαμάτων ἐπιτεθῇ μέγε­θος ἴσον τῷ Ζ κέντρον τοῦ βάρεος ἔχον ἐπὶ τοῦ με­σου τοῦ τμάματος, τά τε πάντα μεγέθεα ἴσα ἐσσείται τῷ Β, καὶ τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται τὸ Δ. ἐσσείται οὖν τὸ μὲν Α ἐπι­κείμενον κατὰ τὸ Ε, τὸ δὲ Β κατὰ τὸ Δ. ἐσσείται δὴ μεγέθεα ἴσα ἀλλάλοις ἐπ' εὐθείας κείμενα, ὧν τὰ κέντρα τοῦ βάρεος ἴσα ἀπ' ἀλλάλων διέστακεν, συγ­κείμενα ἄρτια τῷ πλήθει. δῆλον οὖν, ὅτι τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βά­ρεος ἁ διχοτομία τᾶς εὐθείας τᾶς ἐχούσας τὰ κέντρα τῶν μέσων μεγεθέων. ἐπεὶ δ' ἴσαι ἐντὶ ἁ μὲν ΛΕ τᾷ ΓΔ, ἁ δὲ ΕΓ τᾷ ΔΚ, καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΛΓ ἴσα τᾷ ΓΚ. ὥστε τοῦ ἐκ πάντων μεγέθεος κέντρον τοῦ βά­ρεος H.158 τὸ Γ σαμεῖον. τοῦ μὲν ἄρα Α κειμένου κατὰ τὸ Ε, τοῦ δὲ Β κατὰ τὸ Δ ἰσορροπησοῦντι κατὰ τὸ Γ.

6.

Kommensurabla storheter är i jämvikt på avstånd som omvänt har samma förhållande som vikterna.

Låt Α och Β vara kommensurabla storheter, vars tyngdpunkter är Α och Β. Låt även ΕΔ vara någon sträcka och som Α är till Β, så är sträckan ΔΓ till sträckan ΓΕ. Det skall visas, att den av Α och Β sammanlagda storhetens tyngdpunkt är Γ.

Ty då som Α är till Β, så är ΔΓ till ΓΕ och Α är kommensurabel med Β, alltså är även ΓΔ kommensurabel med ΓΕ,Euc.Prop.10.11 det vill säga en rät linje med en rät linje, sålunda har ΕΓ och ΓΔ ett gemensamma mått. Låt den vara Ν och låt ha satt ΕΓ lika med var och en av ΔΗ och ΔΚ samt ΕΛ lika med ΔΓ. Och eftersom ΔΗ är lika med ΓΕ är även ΔΓ lika med ΕΗ. Sålunda är även ΔΕ lika med ΕΗ. Alltså är ΛΗ dubbla ΔΓ och ΗΚ dubbla ΓΕ. Sålunda mäter Ν även var och en av ΛΗ och ΗΚ, eftersom den också mäter deras hälfter.Euc.Prop.10.12 Och då som Α är till Β, så är ΔΓ till ΓΕ och som ΔΓ är till ΓΕ, så är ΛΗ till ΗΚ, ty var och en är dubbla var och en, alltså som Α är till Β, så är ΛΗ till ΗΚ. Och så många gånger ΛΗ är av Ν, låt Α vara så många gånger av Ζ. Alltså som ΛΗ är till Ν, så är Α till Ζ.Euc.Def.5.5 Och som ΚΗ är till ΛΗ, så är Β till Α.Euc.Prop.5.7cor. Alltså, ex æqualiEuc.Prop.5.22, som ΚΗ är till Ν, så är Β till Ζ. Alltså lika många gånger ΚΗ är av Ν, är även Β av Ζ. Och Α har visats vara lika många gånger av Ζ. Sålunda är Ζ Α och Β:s gemensamma mått. Alltså har ΛΗ delats i lika delar vid Ν och Α i lika delar vid Ζ, skall delarna lika med Ν i ΛΗ vara lika många som antalet delar lika med Α i Ζ. Om sålunda på var och en av delarna i ΛΗ en storhet lika med Ζ lagts med tyngdpunkten på mitten av delen, är alla storheterna tillsammans lika med Α och Ε skall vara den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt. Ty tillsammans utgör de ett jämnt antal och de är på var sida av Ε lika till antalet, eftersom ΛΕ är lika med ΗΕ.Prop.1.5cor.2 Det skall visas, att även om på var och en av delarna i ΚΗ en storhet lika med Ζ lagts med tyngdpunkten på mitten av delen, är alla storheterna tillsammans lika med Β och Δ skall vara den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt. Alltså skall storheten Α ligga kring Ε och storheten Β vid Δ. Och storheterna skall vara lika med varandra liggande i linje, deras tyngdpunkter skall ligga lika långt från varandra, samt sammantagna utgöra ett jämnt antal. Alltså är det uppenbart, att den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt är mitten av den räta linjen, som innehåller de mellersta storheternas mittpunkter. Eftersom också ΛΕ är lika med ΓΔ och ΕΓ med ΔΚ, är alltså även hela ΛΓ lika med ΓΚ. Därför är den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt punkten Γ. Alltså skall Α placerad vid Ε och Β vid Δ vara i jämvikt vid Γ.

ζʹ.

Καὶ τοίνυν εἴ κα ἀσύμμετρα ἔωντι τὰ μεγέηεα, ὁμοίως ἰσορροπησοῦντι ἀπὸ μακέων ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς μεγέθεσιν.

ἔστω ἀσύμμετρα μεγέθεα τὰ ΑΒ, Γ, μάκεα δὲ τὰ ΔΕ, ΕΖ. ἐχέτω δὲ τὸ ΑΒ ποτὶ τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν καὶ τὸ ΕΔ ποτὶ τὸ ΕΖ μᾶκος. λέγω, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΒ, Γ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε.

εἰ γὰρ μὴ ἰσορροπήσει τὸ ΑΒ τεθὲν ἀπὶ τῷ Ζ τῷ Γ τεθέντι ἐπὶ τῷ Δ, ἤτοι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ Objects are not supported by your browser! ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν τῷ Γ, ἢ οὔ. ἔστω μεῖζον. καὶ ἀφῃσήθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ μεῖζοόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ἢ ὥστε ἰσορροπεῖν, ὥστε τὸ λοιπὸν τὸ Α σύμμετρον εἶμεν τῷ Γ. ἐπεὶ οὖν σύμ­μετρά ἐστι τὰ Α, Γ μεγέθεα, καὶ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ Α ποτὶ τὸ Γ, ἢ ἁ ΔΕ ποτὶ ΕΖ, οὐκ ἰσορροπη­σοῦντι τὰ Α, Γ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μακέων, τεθέντος H.160 τοῦ μὲν Α ἐπὶ τῷ Ζ, τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τῷ Δ. διὰ ταὐτὰ δ' οὐδ' εἰ τὸ Γ μεῖζόν ἐστιν ἤ ὥστε ἰσορροπεῖν τῷ ΑΒ.

7.

Och härav följer, att om storheterna är inkommensurabla, skall de på samma sätt vara i jämvikt på avstånd, som omvänt har samma förhållande som storheterna.

Låt ΑΒ och Γ vara inkommmensurabla storheter samt ΔΕ och ΕΖ avstånden. Låt även ΑΒ ha samma förhållande till Γ, som också ΕΔ har till avståndet ΕΖ. Jag säger, att tyngdpunkten av storheten av de båda ΑΒ och Γ är Ε.

Ty om ΑΒ inte lagts vid Ζ i jämvikt med Γ vid Δ, är ΑΒ antingen större än Γ, än att på detta sätt vara i jämvikt med Γ, eller inte. Låt den vara större. Låt ha tagit bort mindre än skillnaden från ΑΒ, som ΑΒ är större än Γ, och som sålunda är i jämvikt, så att resten, Α, är kommensurabel med Γ. Eftersom då storheterna Α och Γ är kommensurabla och Α har ett förhållande till Γ, mindre än ΔΕ till ΕΖ, skall Α och Γ inte vara i jämvikt på avstånden ΔΕ och ΕΖ, då Α satts vid Ζ och Γ vid Δ.Prop.1.6 På grund av detta skall de inte heller vara i jämvikt, om Γ är större, än att på detta sätt vara i jämvikt med ΑΒ.

ηʹ.

Εἴ κα ἀπό τινος μεγέθεος ἀφαιρεθῇ τι μέγεθος μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχον τῷ ὅλῳ, τοῦ λοιποῦ μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος, ἐκβληθείσας τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τῶν βαρέων τοῦ τε ὅλου μεγέθεος καὶ τοῦ ἀφῃσημένου ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐφ' ἃ τὸ κέντρον τοῦ ὅλου μεγέθεος, καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς ἀπὸ τᾶς ἐκβληθείσας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ εἰρημένα κέντρα, ὥστε τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ποτὶ τὰν μεταξὶ τῶν κέντρων, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ ἀφῃρημένου μεγέ­θεος ποτὶ τὸ τοῦ λοιποῦ βάρος, τὸ πέρας τᾶς ἀπο­λαφθείσας.

ἔστω μεγέθεός τινος τοῦ ΑΒ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ. καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ τὸ ΑΔ, οὗ κέν­τρον τοῦ βάρεος ἔστω τὸ Ε. ἐπιζευχθείσας δὲ τᾶς ΕΓ καὶ ἀκβληθείσας ἀπολελάφθω ἁ ΓΖ ποτὶ τὰν ΓΕ λόγον ἔχουσα τὸν αὐτόν, ὃν ἔχει τὸ ΑΔ μέγεθος ποτὶ τὸ ΔΗ. δεικτέον, ὃτι τοῦ ΔΗ μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ζ σαμεῖον.

μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ σαμεῖον. ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν ΑΔ μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε, τοῦ δὲ ΔΗ τὸ Θ σαμεῖον, τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΔ, ΔΗ μεγεθέων κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται H.162 ἐπὶ τᾶς ΕΘ τμαθείσας ὥστε τὰ τμάματα αὐτᾶς ἀντι­πεπονθέμεν κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τοῖς μεγέθεσιν. ὥστε οὐκ ἐσσείται τὸ Γ σαμεῖον κατὰ τὰν ἀνάλογον Objects are not supported by your browser! τομὰν τᾷ εἰρημένᾳ. οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ Γ κέντρον τοῦ ἐκ τῶν ΑΔ, ΔΗ συγκειμένου μεγέθεος, τουτέστι τοῦ ΑΒ. ἔστι δέ· ὑπέκειτο γάρ. οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ Θ κέν­τρον βάρεος τοῦ ΔΗ μεγέθεος.

8.

Om från någon storhet någon storhet tas bort, vilken inte har samma tyngdpunkt som det hela, är resterande storhets tyngdpunkt - sedan den utdragna räta linjen, som binder samman hela storhetens och den borttagnas tyngdpunkter på samma sida, på vilken hela storhetens tyngdpunkt ligger och sedan något tagits bort från den utdragna räta linjen, som binder samman de nämnda tyngdpunkterna, så att detta har samma förhållande till sträckan mellan tyngdpunterna, som vikten av den borttagna storheten har till vikten av den resterande - änden efter det borttagna.

Låt Γ vara någon storhets tyngdpunkt och låt ha tagit bort ΑΔ från ΑΒ, vars tyngdpunkt är Ε. Låt, sedan ΕΓ har förbundits och dragits ut, ha tagit bort ΓΖ, som skall ha samma förhållande till ΓΕ, som storheten ΑΔ har till ΔΗ. Det skall visas, att storheten ΔΗ tyngdpunkt är punkten Ζ.

Ty om inte, utan om möjligt, låt den vara punkten Θ. Eftersom då storheten ΑΔ:s tyngdpunkt är Ε och ΔΗ:s punkten Θ, skall tyngdpunkten av båda storheterna ΑΔ och ΔΗ vara på snittet ΕΘ, så att dess delsnitt har omvänt fått samma förhållande som storheterna.Prop.1.6 Prop.1.7 Sålunda skall punkten Γ inte ligga enligt nämnda motsvarande snitt. Alltså är Γ inte tyngdpunkt till den sammanlagda storheten av ΑΔ och ΔΗ, det vill säga ΑΒ. Men det är den, ty det har antagits. Alltså är Θ inte storheten ΔΗ:s tyngdpunkt.

θʹ.

Παντὸς παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἀπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς διχο­τομίας τᾶν κατ' ἐναντίον τοῦ παραλληλογράμμου πλευρᾶν.

ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, ἐπὶ δὲ τὰν διχοτομίαν τᾶν ΑΒ, ΓΔ ἁ ΕΖ. φαμὶ δή, ὅτι τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται ἐπὶ τᾶς ΕΖ.

μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ, καὶ ἄχθω παρὰ τὰν ΑΒ ἁ ΘΙ. τᾶς δὲ δὴ ΕΒ διχοτομουμένας αἰεὶ ἐσσείται ποκὰ ἁ καταλειπομένα ἐλάσσων τᾶς ΙΘ. καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα τᾶν ΑΕ, ΕΒ εἰς τὰς τᾷ ΕΚ H.164 ἴσας, καὶ ἀπὸ τῶν κατὰ τὰς διαιρεσίας σαμείων ἄχθω­σαν παρὰ τὰν ΕΖ. διαιρεθησέται δὴ τὸ ὅλον παρ­αλληλόγραμμον εἰς παραλληλόγραμμά τινα ἴσα καὶ Objects are not supported by your browser! ὁμοῖα τῷ ΚΖ. τῶν οὖν παραλληλογράμμων τῶν ἴσων καὶ ὁμμοίων τῷ ΚΖ ἐφαρμοζομένων ἐπ' ἄλλαλα καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεοϛ αὐτῶν ἐπ' ἄλλαλα πεσούνται. ἐσσούνται δὴ μεγέθεά τινα, παραλληλόγραμμα ἴσα τῷ ΚΖ, ἄρτια τῷ πλήθει, καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐ­τῶν ἐπ' εὐθείας κείμενα, καὶ τὰ μέσα ἴσα, καὶ πάντα τὰ ἐφ' ἑκάτερα τῶν μέσων αὐτά τε ἴσα ἐντί, καὶ αἱ μεταξὺ τῶν κέντρων εὐθείαι ἴσαι. τοῦ ἐκ πάντων αὐτῶν ἄρα συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ βάρεος τῶν μέσων χωρίων. οὐκ ἔστι δέ· τὸ γὰρ Θ ἐκτός ἐστι τῶν μέσων παραλληλογράμμων. φανερὸν οὖν, ὅτι ἐπὶ τᾶς ΕΖ εὐθείας τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου.

9.

Varje parallellograms tyngdpunkt ligger på den räta linjen, som förbinder mittpunkten med den på parallellogrammens motsatta sida.

Låt ΑΒΓΔ vara en parallellogram och ΕΖ en rät linje på ΑΒ och ΓΔ:s mittpunkter. Jag säger så, att parallellogrammen ΑΒΓΔ:s tyngdpunkt skall ligga på ΕΖ.

Ty om inte, utan om möjligt, låt den vara Θ och låt ha dragit ΘΙ parallellt med ΑΒ. Och halveras ΕΒ därpå oupphörligen, skall det kvarlämnade någon gång vara mindre än ΙΘ. Och låt ha delat var och en av ΑΕ och ΕΒ i delar lika med ΕΚ samt låt ha dragit linjer från mittpunkterna parallell med ΕΖ. Sålunda skall hela parallellogrammen delas i ett antal parallellogrammer lika och likformiga med ΚΖ. Alltså sedan parallellogrammerna, lika och likformiga med ΚΖ, sammanfaller med varandra skall även deras tyngdpunkter hamna på varandra.Def.4 Skall det finnas några storheter, parallellogrammer lika med ΚΖ - ett jämnt antal, deras tyngdpunkter ligger på en rät linje, de i mitten är lika, alla på var sida om dem i mitten är lika och de räta linjerna mellan mittpunkterna är lika. Alltså skall den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt ligga på den räta linje sammanbindande mellersta områdenas tyngpunkter.Prop.1.5cor.2 Men det gör den inte, Ty Θ ligger utanför parallellogrammerna i mitten. Alltå är det uppenbart, att parallellogrammen ΑΒΓΔ:s tyngdpunkt ligger på den räta linjen ΕΖ.

ιʹ.

Παντὸς παραλληλογράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ σαμεῖον, καθ' ὃ αἱ διαμέτροι συμπίπτοντι.

ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ ἁ ΕΖ δίχα τέμνουσα τὰς ΑΒ, ΓΔ, ἁ δὲ ΚΛ τὰς ΑΓ, H.166 ΒΔ. ἔστιν δὴ τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου τὸ κέν­τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΕΖ· δεδείκται γὰρ τοῦτο. διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἐπὶ τᾶς ΚΛ. τὸ Θ ἄρα σαμεῖον Objects are not supported by your browser! κέντρον τοῦ βάρεος. κατὰ δὲ τὸ αἰ διαμέροι τοῦ παραλληλογράμμου πίπτοντι. ὥστε δεδείκται τὸ προ­τεθέν.

ΑΛΛΩΣ.

ἔστιν δὲ καὶ ἄλλως τὸ αὐτὸ δείξαι.

Objects are not supported by your browser!

ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἁ ΔΒ. τὰ ἄρα ΑΒΔ, ΒΔΓ τρίγωνα ἴσα ἐντὶ καὶ ὁμοῖα ἀλλάλοις, ὥστε ἐφαρμοζομένων ἐπ' ἄλλαλα τῶν τριγώνων καὶ τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐ­τῶν ἐπ' ἄλλαλα πεσεούνται. ἔστω δὴ τοῦ ΑΒΔ τρι­γώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ε σαμεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΕΘ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἀπολελάφθω ἁ ΖΘ ἴσα τᾷ ΘΕ. ἐφαρμοζομένου δὴ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΒΒΔΓ τρίγωνον καὶ τιθεμένας τᾶς μὲν ΑΒ πλευ­ρᾶς ἐπὶ τὰν ΔΓ, τᾶς δὲ ΑΔ ἐπὶ τὰν ΒΓ ἐφαρμόζει καὶ ἁ ΘΕ εὐθεῖα ἐπὶ τὰν ΖΘ, καὶ τὸ Ε σαμεῖον ἐπὶ τὸ Ζ πεσείται· ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος H.168 τοῦ ΒΔΓ τριγώνου. ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν ΑΒΔ τρι­γώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ε σαμεῖον, τοῦ δὲ ΔΒΓ τὸ Ζ, δῆλον, ὡς τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ μέ­σον τᾶς ΕΖ εὐθείας, ὅπερ ἐστὶ τὸ Θ σαμεῖον.

10.

Alla parallellogrammers tyngdpunkt är punkten, vid vilken diametrarna möts.

Låt ΑΒΓΔ vara en parallellogram och i denna delar ΕΖ ΑΒ och ΓΔ i hälften samt ΚΛ ΑΓ och ΒΔ. Låt även parallellogrammen ΑΒΓΔ:s tyngdpunkt ligga på ΕΖ, ty detta har visats.Prop.1.9 På grund av detta ligger den även på ΚΛ. Alltså är punkten Θ tyngdpunkten. På punkten där parallellogrammens diametrar möts. Sålunda har försatsenE E) Se Proklos' terminologi. visats.

ANNORLUNDA.

Det finns även ett annat sätt, att ha visat detta på.

Låt ΑΒΓΔ vara en parallellogram och låt ΔΒ vara dess diameter. Alltså är trianglarna ΑΒΔ och ΒΔΓ lika och likformiga med varandra,Euc.Prop.1.34 så att då trianglarna sammanfaller med varandra skall även deras tyngdpunkter hamna på varandra.Prop.1.4 Låt punkten Ε vara triangeln ΑΒΔ:s tyngdpunkt samt låt ha delat ΔΒ i hälften vid ΘF F) Från editio princeps Basel 1544., ha förbundit ΕΘ, ha dragit ut linjen och ha skurit av ΖΘ, lika med ΘΕ. Sedan triangeln ΑΒΔ sammanfallit med triangeln ΒΔΓ och sidan ΑΒ lagts på ΔΓ, ΑΔ sammanfaller med ΒΓ, den räta linjen ΘΕ på ΖΘ och punkten Ε skall ligga på Ζ, men dessutom på triangeln ΒΔΓ:s tyngdpunkt.Def.4 G G) Heiberg vill lägga till itaque punctum Ζ centrum gravitatis est trianguli ΒΔΓ. Eftersom då punkten Ε är triangeln ΑΒΔ:s tyngdpunkt och Ζ ΔΒΓ:s, är det uppenbart, att som de båda trianglarnas sammanlagda storhets tyngdpunkt ligger mitt på den räta linjen ΕΖ, vilket är punkten Θ.

ιαʹ.

Ἐὰν δύο τρίγωνα ὁμοῖα ἀλλάλοις ᾖ καὶ ἐν αὐτοῖς σαμεῖα ὁμοίως κείμενα ποτὶ τὰ τρίγωνα, καὶ τὸ ἓν σαμεῖον τοῦ, ἐν ᾧ ἐστι, τριγώνου κέντρον ᾖ τοῦ βά­ρεος, καὶ τὸ λοιπὸν σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ, ἐν ᾧ ἐστι, τριγώνου. ὁμοίως δὲ λέγομες σαμεῖα κεέσθαι ποτὶ τὰ ὁμοῖα σχήματα, ἀφ' ὧν αἱ ἐπὶ τὰς ἴσας γωνίας ἀγομέναι εὐθείαι ἴσας ποιέοντι γωνίας ποτὶ ταῖς ὁμολόοις πλευραῖς.

ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἔστω ὡς ἁ ΑΓ ποτὶ ΔΖ, οὕτως ἅ τε ΑΒ ποτὶ ΔΕ, καὶ ἁ ΒΓ Objects are not supported by your browser! ποτὶ ΕΖ, καὶ ἐν τοῖς εἰρημένοις τριγώνοις σαμεῖα ὁμοίως κείμενα ἔστω τὸ Θ, Ν ποτὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, καὶ ἔστω τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ H.170 τριγώνου. λέγω, ὅτι καὶ τὸ Ν κέντρον βάρεός ἐστι τοῦ ΔΕΖ τριγώνου.

μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Η κέντρον βά­ρεος τοῦ ΔΕΖ τριγώνου. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ, ΔΝ, ΕΝ, ΖΕ, ΔΗ, ΕΗ, ΖΗ. ἑπεὶ οὖν ὁμοῖόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ κέντρα τῶν βαρέων ἐστὶ τὰ Θ, Η σαμεῖα, τῶν δὲ ὁμοίων σχημάτων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως ἐντὶ κείμενα, ὥστε ἴσας ποιησοῦντι γωνίας ποτὶ ταῖς ὁμο­λόγοις πλευραῖς ἕκαστον ἑκάσταις, ἴσα ἄρα ἁ ὑπὸ ΗΔΕ γωνία τᾷ ὑπὸ ΘΑΒ. ἀλλὰ ἁ ὑπὸ ΘΑΒ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΕΔΝ διὰ τὸ ὁμοίως κείσθαι τὰ Θ, Ν σαμεῖα. καὶ ἁ ὑπὸ ΕΔΝ γωνία ἄρα ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΕΔΗ, ἁ μείζων τᾷ ἐλάσσονι· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οὔκ ἐστι κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΔΕΖ τριγώνου τὸ Ν σαμεῖον. ἔστιν ἄρα.

11.

Om två trianglar är likformiga med varandra och det i dem finns, relativt trianglarna, likformigt placerade punkter samt en punkt är tyngdpunkt till triangeln, i vilken den ligger, är även resterande punkt tyngdpunkt till triangeln, i vilken den ligger. Vi säger även, att punkter placerade på samma sätt med likadana figurer, då räta linjer, dragna med samma vinklar från dessa, gör lika vinklar mot motsvarande sidor.

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara två trianglar och låt som ΑΓ är till ΔΖ, så ΑΒ vara till ΔΕ och ΒΓ till ΕΖ. Låt i de nämnda trianglarna också punkterna Θ och Ν vara likformigt placerade relativt trianglarna ΑΒΓ och ΔΕΖ och låt Θ vara triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt. Jag säger, att även Ν är triangeln ΔΕΖ:s tyngdpunkt.

Ty om inte, utan om möjligt, låt Η vara triangeln ΔΕΖ:s tyngdpunkt. Låt även ha förbundit ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ, ΔΝ, ΕΝ, ΖΕ, ΔΗ, ΕΗ och ΖΗ. Eftersom triangeln ΑΒΓ då är likformig med triangeln ΔΕΖ och deras tyngdpunkter är punkterna Θ och Η. Och likformiga figurers tyngdpunkter är likformigt placerade,Def.4 så att de gör lika vinklar mot motsvarande sidor, var och en med var och en,Def.5 är alltså vinkeln ΗΔΕ lika med vinkeln ΘΑΒ. Men vinkeln ΘΑΒ är lika med ΕΔΝ, eftersom punkterna Θ och Ν är likformigt placerade.Def.5 Och vinkeln ΕΔΝ är alltså lika med ΕΔΗ, den större med den mindre, vilket är omöjligt. Alltså är inte triangeln ΔΕΖ:s tyngdpunkt inte punkten Ν. Alltså är den det.

ιβʹ.

Εἴ κα δύο τρωνα ὁμοῖα ἔωντι, τοῦ δὲ ἑνὸς τρι­γώνου κέντρον ᾖ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐντι ἀπό τινος γωνίας ἐπὶ μέσαν τὰν βάσιν ἀγομένα, καὶ τοῦ λοιποῦ τριγώνου τὸ κέντρον ἐσσείται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ὁμοίως ἀγομένας γραμμᾶς.

ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἔστω ὡς ἁ ΑΓ ποτὶι ΔΖ, οὕτως ἅ τε ΑΒ ποτὶ ΔΕ, καὶ ἁ ΒΓ ποτὶ ΖΕ. καὶ τμαθείσας τᾶς ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Η ἐπεζεύχθω ἁ ΒΗ, καὶ ἔστω τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ H.172 ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τᾶς ΒΗ τὸ Θ. λέγω, ὅτι καὶ τοῦ ΕΔΖ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἀπὶ τᾶς ὁμίως ἀγομένας εὐθείας.

τετμάσθω ἁ ΔΖ δίχα κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω Objects are not supported by your browser! ἁ ΕΜ, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἁ ΒΗ ποτὶ ΒΘ, οὕτως ἁ ΜΕ ποτὶ ΕΝ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΘΓ, ΔΝ, ΝΖ. ἐπεί ἐστι τᾶς μὲν ΓΑ ἡμίσεια ἁ ΑΗ, τᾶς δὲ ΔΖ ἡμίσεια ἁ ΔΜ, ἔστιν ἄρα καί, ὡς ἁ ΒΑ ποτὶ ΕΔ, οὕτως ἁ ΑΗ ποτὶ ΔΜ· καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν ἐντι. ἴσα τε ἄρα ἐστὶν ἁ ὑπὸ ΑΗΒ γωνία τᾷ ὑπὸ ΔΜΕ, καὶ ἐστιν ὡς ἁ ΑΗ ποτὶ ΔΜ, οὕτως ἁ ΒΗ ποτὶ ΕΜ. ἔστιν δὲ καί, ὡς ἁ ΒΗ ποτὶ ΒΘ, οὕτως ἁ ΜΕ ποτὶ ΕΝ. καὶ δι' ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἁ ΑΒ ποτὶ ΔΕ, οὕτως ἁ ΒΘ ποτὶ ΕΝ· καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν ἐντι. εἰ δὲ τοῦτο, ἴσα ἐστὶν ἁ ὑπὸ ΒΑΘ γωνία τᾷ ὑπὸ ΕΔΝ. ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΝΔΖ γωνίᾳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὲ ὑπὸ ΘΓΗ τᾷ ὑπὸ ΝΖΜ ἴσα. ἐδείχθη H.174 δὲ καὶ ἁ ὑπὸ ΑΒΘ τᾷ ὑπὸ ΔΕΜ ἴσα. ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ὑπὸ ΘΒΓ γωνία ἴσα ἐστὶ τᾷ ὑπὸ ΝΕΖ. διὰ ταῦτα δὴ πάντα ὁμοίως κείται τὰ Θ, Ν σαμεῖα ποτὶ τὰς ὁμολόγους πλευρὰς ἴσας γωνίας ποιεῖ. ἐπεὶ οὖν ὁμοίως κείται τὰ Θ, Ν σαμεῖα, καί ἐστι τὸ Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, καὶ τὸ Ν ἄρα κέν­τρον βάρεος τοῦ ΔΕΖ.

12.

Om två likformiga trianglar är givna och den ena triangelns tyngdpunkt ligger på den räta linjen, vilken är dragen från någon av vinklarna till mitten av motstående bas, skall även den resterande triangelns tyngdpunkt ligga på en linje dragen på motsvarande sätt.

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara två trianglar och som ΑΓ är till ΔΖ, så är ΑΒ till ΔΕ och ΒΓ till ΖΕ. Låt även, sedan ΑΓ har delats i hälften vid Η, ha dragit ΒΗ samt låt triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt Θ ligga på ΒΗ. Jag säger, att även triangeln ΕΔΖ:s tyngdpunkt ligger på en rät linje dragen på motsvarande sätt.

Låt ΔΖ ha delats i hälften vid Μ och låt ΕΜ ha förbundits och låt, som ΒΗ är till ΒΘ, så ΜΕ vara till ΕΝ. Låt även ΑΘ, ΘΓ, ΔΝ och ΝΖ ha förbundits. Eftersom ΑΗ är halva ΓΑ och ΔΜ halva ΔΖ, är alltså även, som ΒΑ är till ΕΔ, ΑΗ till ΔΜ och sidorna vid lika vinklar är proportionella. Alltså är även vinkeln ΑΗΒ lika med vinkeln ΔΜΕEuc.Prop.6.6 och som ΑΗ är till ΔΜ, så är ΒΗ till ΕΜ.Euc.Prop.6.4 Och även som ΒΗ är till ΒΘ, så är ΜΕ till ΕΝ. Och alltså ex aequali som ΑΒ är till ΔΕ, så är ΒΘ till ΕΝ och sidorna vid lika vinklar är proportionella. Om det är så, är vinkeln ΒΑΘ lika med vinkeln ΕΔΝ.Euc.Prop.6.6 Därför är även resterande vinkeln ΘΑΓ lika med vinkeln ΝΔΖ. På grund av detta är även vinkeln ΘΓΗ lika med vinkeln ΝΖΜ. Vinkleln ΑΒΘ har även visats vara lika med vinkeln ΔΕΜ. Sålunda är även resterande vinkeln ΘΒΓ lika med vinkeln ΝΕΖ. På grund av allt detta är punkterna Θ och Ν placerade på samma sätt ty de gör samma vinklar till motsvarande sidor. Eftersom sålunda punkterna Θ och Ν är placerade på samma sätt, är även Θ triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt och alltså är Ν ΔΕΖ:s tyngdpunkt.Prop.1.11

ιγʹ.

Παντὸς τριγώνου τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐστιν ἔκ τινος γωνίας ἐπὶ μέσαν ἀγο­μένα τὰν βάσιν.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ ἁ ΑΔ ἐπὶ μέσαν τὰν ΒΓ βάσιν. δεικτέον, ὅτι ἐπὶ τᾶς ΑΔ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ.

μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ, καὶ διὰ τού­του Objects are not supported by your browser! παρὰ τὰν ΒΓ ἄχθω ἁ ΘΙ. ἀεὶ δὴ δίχα τεμνο­μένας τᾶς ΔΓ ἐσσείται ποκὰ ἁ καταλειπομένα ἐλάσ­σων H.176 τᾶς ΘΙ· καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα τᾶν ΒΔ, ΔΓ ἐς τᾶς ἴσας, καὶ διὰ τᾶν τομᾶν παρὰ τὰν ΑΔ ἄχθωσαν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΗΚ, ΛΜ. ἐσσούνται δὴ αὐταὶ παρὰ τὰν ΒΓ. τοῦ δὴ παραλληλογράμμου τοῦ μὲν ΜΝ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΥΣ, τοῦ δὲ ΚΞ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΤΥ, τοῦ δὲ ΖΟ ἐπὶ τᾶς ΤΔ. τοῦ ἄρα ἐκ πάντων συγκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΣΔ εὐθείας. ἔστω δὴ τὸ Ρ, καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΡΘ καὶ ἐκ­βεβλήσθω, καὶ ἄχθω παρὰ τὰν ΑΔ ἁ ΓΦ. τὸ δὴ ΑΔΓ τρίγωνον ποτὶ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τῷ ΑΔΓ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΓΑ ποτὶ ΑΜ, διὰ τὸ ἴσας εἶμεν τὰς ΑΜ, ΜΚ, ΖΓ, ΚΖ. ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ ΑΔΒ τρίγωνον ποτὶ πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΛ, ΛΗ, ΗΕ, ΕΒ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τρίγωνα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ ΒΑ ποτὶ ΑΛ, τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγω­νον ποτὶ πάντα τὰ εἰρημένα τρίγωνα τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΓΑ ποτὶ ΑΜ. ἀλλὰ ἁ ΓΑ ποτὶ ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἁ ΦΡ ποτὶ ΡΘ. ὁ γὰρ τᾶς ΓΑ ποτὶ ΑΜ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ ὅλας τᾶς ΦΡ ποτὶ ΡΠ διὰ τὸ ὁμοῖα εἶμεν τὰ τρίγωνα. καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον ποτὶ τὰ εἰρημένα μείζονα λόγον H.178 ἔχει, ἤπερ ἁ ΦΡ ποτὶ ΡΘ. ὥστε καὶ διελόντι τὰ ΜΝ, ΚΞ, ΖΟ παραλληλόγραμμα ποτὶ τὰ καταλειπόμενα τρίγωνα μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἁ ΦΟ ποτὶ ΘΡ. γεγονέτω οὖν ἐν τῷ τῶν παραλληλογράμμων ποτὶ τὰ τρίγωνα λόγῳ ἁ ΧΘ ποτὶ ΘΡ. ἐπεὶ οὖν ἐστί τι μέ­γεθος τὸ ΑΒΓ, οὗ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐστι τὸ Θ, καὶ ἀφῃρήται ἀπ' αὐτοῦ μέγεθος τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ΜΝ, ΚΞ, ΖΟ παραλληλογράμμων, καί ἐστιν τοῦ ἀφῃρημένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ρ σα­μεῖον, τοῦ ἄρα λοιποῦ μεγέθεος τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν περιλειπομένων τριγώνων κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΡΘ εὐθείας ἐκβληθείσας εὐθείας ἀπο­λαφθείσας ποτὶ τὰν ΘΡ τοῦτον ἐχούσας τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ ἀφαρεθὲν μέγεθος ποτὶ τὸ λοιπόν. τὸ ἄρα Χ σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ συγκειμένου μεγέθεος ἐκ τῶν περιλειπομένων· ὅπερ ἀδύνατον. τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Χ εὐθείας παρὰ τὰν ΑΔ ἀγομένας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐπὶ ταὐτὰ πάντα ἐντί, τουτέστιν ἑπὶ θά­τερον μέρος. δῆλον οὖν τὸ προτεθέν.

ΑΛΛΩΣ ΤΟ ΑΥΤΟ.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἄχθω ἁ ΑΔ ἐπὶ μέ­σαν τὰν ΒΓ. λέγω, ὅτι ἐπὶ τᾶς ΑΔ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.

μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχ­θωσαν αἵ τε ΑΘ, ΘΒ, ΘΓ καὶ αἱ ΕΔ, ΖΕ ἐπὶ μέ­σας H.180 τὰς ΒΑ, ΑΓ, καὶ παρὰ τὰν ΑΘ ἄχθωσαν αἱ ΕΚ, ΖΛ, καὶ ἐκεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, ΛΔ, ΔΚ, ΔΘ, ΜΝ. Objects are not supported by your browser! ἐπεὶ ὁμοῖόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΖΓ τρίγώνῳ διὰ τὸ παράλληλον εἶμεν τὰν ΒΑ τᾷ ΖΔ, καὶ ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Θ σαμεῖον, καὶ τοῦ ΖΔΓ ἄρα τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐστι τὸ Λ σαμεῖον. ὁμοῖως γάρ ἐντι κεί­μενα τὰ Θ, Λ σαμεῖα ἐν ἑκατερῳ τῶν τριγώνων, ἐπει­δήπερ ποτὶ τᾶς ὁμολόγους πλευρὰς ἴσας ποιέοντι γωνίας· φανερὸν γὰρ τοῦτο. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῦ ΕΒΔ κέν­τρον τοῦ βάρεος ἐστι τὸ Κ σαμεῖον. ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφο­τέρων τῶν ΕΒΔ, ΖΔΓ τριγώνων συγκειμένου μεγέ­θεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ μέσας τᾶς ΚΛ εὐθείας, ἐπειδήπερ ἴσα ἐντὶ τὰ ΕΒΔ, ΖΔΓ τρίγωνα. καί ἐστιν τᾶς ΚΛ μέσον τὸ Ν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἁ ΒΕ ποτὶ ΕΑ, οὕτως ἁ ΒΚ ποτὶ ΘΚ, ὡς δὲ ἁ ΓΖ ποτὶ ΖΑ, οὕτως ἁ ΓΛ ποτὶ ΛΘ. εἰ δὲ τοῦτο, ἔστιν ἁ ΒΓ τᾷ ΚΛ παράλληλος. καὶ ἐπεζεύκται ἁ ΔΘ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἁ ΒΔ ποτὶ ΔΓ, οὕτως ἁ ΚΝ ποτὶ τὰν ΝΛ. ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν εἰρημένων τριγώνων συγ­κειμένου H.182 μεγέθεος κέντρον ἐστὶ τὸ Ν. ἔστιν δὲ καὶ τοῦ ΑΕΔΖ παραλληλογράμμου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ σαμεῖον. ὥστε τοῦ ἐκ πάντων συγκειμένου με­γέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΜΝ εὐ­θείας. ἔστιν δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Θ σαμεῖον. ἁ ΜΝ ἄρα ἐκβαλλομένα πορευέται διὰ τοῦ Θ σαμείου· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου οὔκ ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΑΔ εὐθείας. ἔστιν ἄρα ἐπ' αὐτᾶς.

13.

Varje triangels tyngdpunkt ligger på den räta linje, som är dragen från någon av vinklarna till mitten av motstående bas.

Låt ΑΒΓ vara en triangel och låt ha dragit ΑΔ i den till mitten av basen ΒΓ. Det skall visas, att ΑΒΓ:s tyngdpunkt ligger på ΑΔ.

Ty om inte, utan om möjligt, låt den vara Θ och låt ha dragit ΘΙ genom denna parallell med ΒΓ. Och delas ΔΓ därpå oupphörligen i hälften, skall det kvarlämnade någon gång vara mindre än ΘΙ. Låt ha delat var och en av ΒΔ och ΔΓ i delar lika med detta, låt ha dragit linjerna genom snitten parallella med ΑΔ samt ha förbundit ΕΖ, ΗΚ och ΛΜ. Dessa skall vara parallella med ΒΓ. Sålunda ligger parallellogrammen ΜΝ:s tyngdpunkt på ΥΣ, ΚΞ:s tyngdpunkt på ΤΥ och ΖΟ:s på ΤΔ.Prop.1.9 Alltså ligger den av alla sammanlagda storhetens tyngdpunkt på den räta linjen ΣΔ.Prop.1.4 Låt den vara Ρ, låt ha förbundit ΡΘ och ha dragit ut den samt låt ha dragit ΓΦ parallell med ΑΔ. Sålunda har triangeln ΑΔΓ ett förhållande till alla trianglar, vilka är beskrivna på ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ och ΖΓ samt likformiga med ΑΔΓ, som ΓΑ till ΑΜ, eftersom ΑΜ, ΜΚ, ΖΓ och ΚΖ är lika. Eftersom triangeln ΑΔΒ även har samma förhållande till alla trianglar, vilka är beskrivna på ΑΛ, ΛΗ, ΗΕ och ΕΒ samt likformiga, som ΒΑ har till ΑΛ, har alltså triangeln ΑΒΓ till alla nämnda trianglar ett förhållande, som ΓΑ har till ΑΜ. Men ΓΑ har ett större förhållande till ΑΜ, än ΦΡ till ΡΘ. Ty ΓΑ:s förhållande till ΑΜ är detsamma till hela ΦΡ till ΡΠ, eftersom trianglarna är likformiga. Och alltså har triangeln ΑΒΓ ett större förhållande till de nämnda, än ΦΡ till ΡΘ. Så att, genom separation, även parallellogrammerna ΜΝ, ΚΞ och ΖΟ har ett större förhållande till resterande trianglar, än ΦΟ till ΘΡ. Låt alltså ΧΘ vara i det förhållande till ΘΡ som parallellogrammernas till trianglarna. Eftersom då någon storhet ΑΒΓ, vars tyngdpunkt är Θ, och från denna storhet har tagits bort det sammanlagda av parallellogrammerna ΜΝ, ΚΞ och ΖΟ, och punkten Ρ är den borttagna storhetens tyngdpunkt, alltså ligger resterande storhets, sammansatt av de kvarvarande tringlarna, tyngdpunkt på den utdragna räta linjen ΡΘ, från vilken en rät linje skurits av, som har ett förhållande till ΘΡ, som den borttagna storheten har till den resterande.Prop.1.8 Alltså är punkten Χ resterande storhets, sammansatt av de kvarvarande tringlarna, tyngdpunkt, vilket är omöjligt. Ty linjen dragen parallell med ΑΔ genom Χ ligger i planet i vilket alla trianglar är, det vill säga på ena sidan. Alltså är försatsen uppenbar.

DETTA ANNORLUNDA.

Låt ΑΒΓ vara en triangel och i den låt ha dragit ΑΔ till mitten av basen ΒΓ. Jag säger, att ΑΒΓ:s tyngdpunkt ligger på ΑΔ.

Ty om inte, utan om möjligt, låt den vara Θ och låt ha förbundit ΑΘ, ΘΒ och ΘΓ samt ΕΔ och ΖΕ till mitten av ΒΑ och ΑΓ. Låt även ha dragit ΕΚ och ΖΛ parallella med ΑΘ samt ha förbundit ΚΛ, ΛΔ, ΔΚ, ΔΘ och ΜΝ. Eftersom triangeln ΑΒΓ är likformig med triangeln ΔΖΓ, då ΒΑ är parallell med ΖΔ, och punkten Θ är triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt, är alltså även punkten Λ triangeln ΖΔΓ:s tyngdpunkt.Prop.1.11 Ty punkterna Θ och Λ är likformigt placerade i var och en av trianglarna, eftersom de gör lika vinklar mot motsvarande sidor, ty detta är uppenbart. Av samma skäl är sålunda även punkten Κ triangeln ΕΒΔ:s tyngdpunkt. Så att den av de båda trianglarna ΕΒΔ och ΖΔΓ sammansatta storhetens tyngdpunkt ligger mitt på den räta linjen ΚΛ, eftersom trianglarna ΕΒΔ och ΖΔΓ är lika.Prop.1.4 Och Ν är mitten av ΚΛ, då som ΒΕ är till ΕΑ, så är ΒΚ till ΘΚ och som ΓΖ är till ΖΑ, så är ΓΛ till ΛΘ. Om så är fallet, är ΒΓ parallell med ΚΛ. Och ΔΘ har förbundits. Alltså som ΒΔ är till ΔΓ, så är ΚΝ till ΝΛ. Så att punkten Ν är den av de båda nämnda trianglarna sammansatta storhetens tyngdpunkt. Men även parallellogrammen ΑΕΔΖ:s tyngdpunkt är punkten Μ.Prop.1.10 Så att den av alla sammansatta storhetens tyngdpunkt ligger på den räta linjen ΜΝ. Men punkten Θ är även triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt. Alltså går ΜΝ utdragen genom punkten Θ, vilket är omöjligt. Alltså ligger inte triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt inte på den räta linjen ΑΔ. Alltså ligger den på den.

ιδʹ.

Παντὸς τριγώνου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ σα­μεῖον, καθ' ὃ συμπίπτοντι τοῦ τριγώνου αἱ ἐκ τᾶν γωνιᾶν ἐπὶ μέσας τὰς πλευρὰς ἀγομέναι εὐθείαι.

Objects are not supported by your browser!

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἄχθω ἁ μὲν ΑΔ ἐπὶ μέσαν τὰν ΒΓ, ἁ δὲ ΒΕ ἐπὶ μέσαν τὰν ΑΓ. ἐσσείται δὴ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ κέν­τρον τοῦ βάρεος ἐφ' ἑκατέρας τᾶν ΑΔ, ΒΕ· δεδείκται γὰρ τοῦτο. ὥστε τὸ Θ σαμεῖον κέν­τρον τοῦ βάρεος ἐστιν.

14.

Varje triangels tyngdpunkt är punkten, vid vilken de räta linjerna i triangeln dragna från vinklarna till mitten av motstående bas sammanfaller.

Låt ΑΒΓ vara en triangel och låt ha dragit ΑΔ till mitten av ΒΓ samt ΒΕ till mitten av ΑΓ. Då skall triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt ligga på båda två av ΑΔ och ΒΕ, ty detta har visats.Prop.1.13 Därför är punkten Θ tyngdpunkten.

ιεʹ.

Παντὸς τραπεζίου τὰς δύο πλευρὰς ἔχοντος παρ­αλλήλους ἀλλάλαις τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰς διχοτομίας τᾶν H.184 παραλλήλων διαιρεθείσας, ὥστε τὸ τμᾶμα αὐτᾶς τὸ πέρας ἔχον τἁν διχοτομίαν τᾶς ἐλάσσονος τᾶν παραλ­λήλων ποτὶ τὸ λοιπὸν τμᾶμα τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος ἁ ἴσα τᾷ διπλασίᾳ τᾶς μείζονος μετὰ τᾶς ἐλάσσονος ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς ἐλάσσονος μετὰ τᾶς μείζονος τᾶν παραλλήλων.

ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓΔ παραλλήλους ἔχον τὰς ΑΔ, ΒΓ, ἁ δὲ ΕΖ ἐπιζευγνυέτω τᾶς διχοτομίας τᾶν ΑΔ, ΒΓ. ὅτι οὖν ἐπὶ τᾶς ΕΖ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ Objects are not supported by your browser! τραπεζίου, φανερόν. ἐὰν γὰρ ἐκβαλῇς τὰς ΓΔΗ, ΖΕΗ, ΒΑΗ, δῆλον, ὅτι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σαμεῖον ἐρχόνται. ἐσ­σείται οὖν τοῦ ΗΒΓ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΗΖ, καὶ ὁμοίως τοῦ ΑΗΔ τριγώνου τὸ κέν­τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΕΗ. καὶ λοιποῦ ἄρα τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται ἐπὶ τᾶς ΕΖ. ἐπιζευψθεῖσα δὲ ἁ ΒΔ διῃρήσθω εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Κ, Θ σαμεῖα, καὶ δι' αὐτῶν παρὰ τὰν H.186 ΒΓ ἄχθωσαν αἱ ΛΘΜ, ΝΚΤ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΖ, ΒΕ, ΟΞ. ἐσσείται δὴ τοῦ μὲν ΔΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΘΜ, ἐπειδήπερ τρίτον μέρος ἁ ΘΒ τᾶς ΒΔ, καὶ διὰ τοῦ Θ σαμεῖου παρ­άλληλος τᾷ βάσει ἄκται ἁ ΜΘ. ἔστιν δὲ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΔΒΓ τριγώνου καὶ ἐπὶ τᾶς ΔΖ. ὥστε τὸ Ξ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ εἰρημένου τριγώνου. διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ τὸ Ο σαμεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΔ τριγώνου. τοῦ ἄρα ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΒΔ, ΒΔΓ τριγώνων συγκειμένου μεγέθεος, ὅπερ ἐστὶ τὸ τραπέζιον, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΟΞ εὐθείας. ἔστιν δὲ τοῦ εἰρημένου τραπεζίου τὸ κέν­τρον τοῦ βάρεος καὶ ἐπὶ τᾶς ΕΖ. ὥστε τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Π σαμεῖον. ἔχοι δ' ἂν τὸ ΒΔΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ ΑΒΔ λόγον, ὃν ἁ ΟΠ ποτὶ ΠΞ. ἀλλ' ὡς τὸ ΒΔΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, οὕτως ἐντὶ ἁ ΒΓ ποτὶ ΑΔ, ὡς δὲ ἁ ΟΠ ποτὶ ΠΞ, οὕτως ἁ ΡΠ ποτὶ ΠΣ. καὶ ὡς ἄρα ἁ ΒΓ ποτὶ ΑΔ, οὕτως ἁ ΡΠ ποτὶ ΠΣ. ὥστε καὶ ὡς δύο αἱ ΒΓ μετὰ τᾶς ΑΔ ποτὶ δύο τὰς ΑΔ μετὰ τᾶς ΒΓ, οὕτως δύο αἱ ΡΠ μετὰ τᾶς ΠΣ ποτὶ δύο τὰς ΠΣ μετὰ τᾶς ΠΡ. ἀλλὰ δύο μὲν αἱ ΡΠ μετὰ τᾶς ΠΣ συναμφότερός ἐστιν ἁ ΣΡΠ, τουτέστιν ἁ ΠΕ· δύο δὲ αἱ ΠΣ μετὰ τᾶς ΠΡ συναμφότερός ἐστιν ἁ ΡΣΠ, τουτέστιν ἁ ΠΖ. δεδείκται ἄρα τὰ προτεθέντα.[1]

15.

I varje trapets, som har två sidor parallellla med varandra, ligger tyngdpunkten på den räta linje, som förbinder mittpunkterna där de parallella sidorna delats i två, så att snittet, som har änden vid mittpunkten på den mindre av de parallella sidorna, har ett förhållande till resterande snitt, vilket summan av den lika med dubbla av den större med den mindre har till det dubbla av den mindre med den större av de parallella sidorna.

Låt ΑΒΓΔ vara en trapets, som har sidorna ΑΔ och ΒΓ parallella, och låt ha dragit ut ΕΖ från mittpunkterna ΑΔ och ΒΓ. Att trapetsens tyngdpunkt då ligger på ΕΖ är uppenbart. Ty, om ΓΔΗ, ΖΕΗ och ΒΑΗ dragits ut, är det tydligt, att de möts i samma punkt. Alltså skall triangeln ΗΒΓ:s tyngdpunkt ligga på ΗΖProp.1.13 och på samma sätt triangeln ΑΗΔ:s tyngdpunkt på ΕΗ.Prop.1.13 Alltså skall den resterande trapetsen ΑΒΓΔ:s tyngdpunkt ligga på ΕΖ.Prop.1.8 Låt även ha delat den förbundna ΒΔ i tre lika delar vid punkterna Κ och Θ, låt genom dessa ha dragit ΛΘΜ och ΝΚΤ parallella med ΒΓ samt låt ha förbundit ΔΖ, ΒΕ och ΟΞ. Då skall triangeln ΔΒΓ:s tyngdpunkt ligga på ΘΜ, eftersom ΘΒ är en tredjedel av ΒΔProp.1.14 och ΜΘ har dragits genom punkten Θ parallell med basen. Men även triangeln ΔΒΓ:s tyngdpunkt ligger på ΔΖ.Prop.1.13 Därför är Ξ nämnda triangels tyngdpunkt. På grund av detta är även punkten Ο triangeln ΑΒΔ:s tyngdpunkt. Alltså är den av båda trianglarna ΑΒΔ och ΒΔΓ sammanlagda storhetens tyngdpunkt, som är trapetsens, ligga på den räta linjen ΟΞ. Men nämnda trapets tyngdpunkt ligger även på ΕΖ. Därför ligger trapetsen ΑΒΓΔ:s tyngdpunkt på punkten Π. Och triangeln ΒΔΓ har ett förhållande till ΑΒΔ, som ΟΠ till ΠΞ.Prop.1.6 Prop.1.7 Men som triangeln ΒΔΓ är till triangeln ΑΒΔ, så är ΒΓ till ΑΔEuc.Prop.7.1 och som ΟΠ är till ΠΞ, så är ΡΠ till ΠΣ. Och alltså som ΒΓ är till ΑΔ, så är ΡΠ till ΠΣ. Så att även som två ΒΓ med ΑΔ till två ΑΔ med ΒΓ, så är två ΡΠ med ΠΣ till två ΠΣ med ΠΡ. Men två ΡΠ med ΠΣ tillsammans är ΣΡΠ, det vill säga ΠΕ, och två ΠΣ med ΠΡ tillsammans är ΡΣΠ, det vill säga ΠΖ. Alltså har försatsen visats.