Kvadratrotsutdragning

Theon av Alexandria

TheonA A) Theon av Alexandria, ca 335 - ca 405, matematiker. lär oss bl.a. kvadratrotsutdragning - den ende från antiken - i Commentaires de Pappus et de Théon d'Alexandrie sur l'Almageste[1]. Översatt leder denna text nedan även till en modern algoritmisk tolkning.

Theons text

Objects are not supported by your browser!

Τούτων θεωρηθέντων, ἑξῆς ἂν εἴη διαλαβεῖν πῶς ἂν δοθέντος χωρίου τινὸς τετραγώνου μὴ ἔχοντος πλευρὰν μήκει ῥητὴν τὴν σύνεγγυς αὐτοῦ τετραγωνικὴν πλευρὰν ἐπιλογισώμεθα. καὶ ἔστιν τὸ τοιοῦτον δῆλον ἐπὶ ῥητὴν ἔχοντος πλευράν, ἐκ τοῦ δ' θεωρήματος τοῦ β' βιβλίου τῶν Στοιχείων, οὗ ἡ πρότασίς ἐστιν τοιαύτη· ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστίν τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. ἐὰν γὰρ ἔχοντες δοθέντα ἀριθμὸν τετράγωνον ὡς τὸν ρμδ ¯ , ῥητὴν ἔχοντα πλεθρὰν ὡς τὴν ΑΒ εὐθεῖαν, καὶ λαβόντες αὐτοῦ ἐλάσσονα τετράγωνον τὸν ρ ¯ , οὗ ἐστιν πλευρὰ ι ¯ , καὶ ὑποθέμενοι τὴν ΑΓ ι ¯ , διπλασιάσαντες αὐτὴν καὶ διὰ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, παρὰ τὰ γενόμενα κ ¯ παραβάλωμεν παρὰ τὰ λοιπὰ μδ ¯ , τῶν ὑπολειπομένων δ ¯ ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ, αὕτη δὲ μήκει β ¯ · ἦν δὲ καὶ ἡ ΑΓ ι ¯ · καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ ἔσται μοιρῶν ιβ ¯ , ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Sedan detta visats, är därpå att ta sig an hur, då någon kvadratisk yta givits, som inte har en sida med rationell storlek, vi ungefär dess kvadratiska sida räknat ut. Det är även i sådana fall uppenbart om den har en rationell sida, ur fjärde satsen i andra boken av Elementa, där förutsättningen är denna: om en rät linje skurits som det behagat, är kvadraten på det hela lika med kvadraterna på delarna och dubbelt den av delarna omfattade rektangeln. Ty om det givna talet har kvadraten 144, som har en rationell sida som den räta linjen ΑΒ och tar dess mindre kvadrat som 100, som har sidan 10 och sätt ΑΓ lika med 10, fördubblande den eftersom ΑΓ ΓΒ tas två gånger, med det erhållna 20 delar vi resten 44, resten av detta, 4, blir kvadraten på ΓΒ, vars storlek är 2. Och ΑΓ var 10 och alltså är hela ΑΒ 12, vilket skulle visas.

Objects are not supported by your browser!

Ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ τινος τῶν ἐν τῇ Συντάξει παρακειμένων ἀριθμῶν ὑπ' ὄψιν ἡμῖν γένηται ἡ τῆς κατὰ μέρος ἀφαιρέσεως διάκρισις, ποιησόμεθα τὴν ἀπόδειξιν ἐπὶ τοῦ ͵ δφ ¯ ἀριθμοῦ, οὗ τὴν πλευρὰν ἐξέθετο μοιρῶν ξζ ¯ δ ¯ νε ¯ . ἐκκείσθω χωρίον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ, δυνάμει μόνον ῥητόν, οὗ τὸ ἐμβαδὸν ἔστω μοιρῶν ͵ δφ ¯ , καὶ δέον ἔστω τὴν σύνεγγυς αὐτοῦ τετραγωνικὴν πλευρὰν ἐπιλογίσασθαι. ἐπεὶ οὖν ὁ σύνεγγυς τοῦ ͵ δφ ¯ τετράγωνος ῥητὴν ἔχων πλευρὰν ὅλων μονάδων ἐστιν ͵ δυπθ ¯ ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ ξζ ¯ , ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου τὸ ΑΖ τετράγωνον μονάδων ͵ δυπθ ¯ , οὗ ἡ πλευρὰ ἔστω μονάδων ξζ ¯ · ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ΒΖΖΔ γνώμων ἔσται μονάδων ια ¯ , ἃς ἀναλύσαντες εἰς πρῶτα ἑξηκοστὰ χξ ¯ ἐκθησόμεθα. ἔπειτα διπλασιάσαντες τὴν ΕΖ διὰ τὸ δὶς ὑπὸ ΕΖ, ὥσπερ ἐπ' εὐθείας τῆς ΕΖ τὴν ΖΗ λαμβάνοντες, παρὰ τὰ γενόμενα ρλδ ¯ παραβαλοῦμεν τὰ χξ ¯ ἑξηκοστὰ πρῶτα, καὶ τῶν γενομένων ἐκ τῆς παραβολῆς δ ¯ πρώτων ἑξηκοστῶν ἕξομεν ἑκατέραν τῶν ΕΘ, ΗΚ. καὶ ἀναπληρώσαντες τὰ ΘΖ, ΖΚ παραλληλόγραμμα ἕξομεν καὶ αὐτὰ φλϛ ¯ πρώτων ἑξηκοστῶν, ἑκάτερον δὲ ὂν σξη ¯ . εἶτα πάλιν τὰ ὑπολιπέντα ρκδ ¯ πρῶτα ἑξηκοστὰ ἀναλύσαντες εἰς δεύτερα ͵ ζυμ ¯ , ἀφελοῦμεν καὶ τὸ ΖΛ ἀπὸ πρώτων δ ¯ γενόμενον ἑξηκοστῶν δευτέρων ιϛ ¯ , ἵνα γνώμονα περιθέντες τῷ ἐξ ἀρχῆς τετραγώνῳ τῷ ΑΖ ἔχωμεν τὸ ΑΛ τετράγωνον ἀπὸ πλευρᾶς ξζ ¯ δ ¯ συναγόμενον μοιρῶν ͵ δυϟζ ¯ νϛ ¯ ιϛ ¯ . καὶ λοιπὸν πάλιν τὸν ΒΛΛΔ γωώμονα μοιρῶν β ¯ γ ¯ μδ ¯ , τουτέστιν δευτέρων ἑξηκοστῶν ͵ ζυκδ ¯ . ἔτι δὲ πάλιν διπλασιάσαντες τὴν ΘΛ ὡς ἐπ' εὐθείας τυγχανούσης τῇ ΘΛ τῆς ΛΚ, καὶ παρὰ τὰ γινόμενα ρλδ ¯ η ¯ μερίσαντες τὰ ͵ ζυκδ ¯ δεύτερα ἑξηκοσττὰ, τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γενομένων νε ¯ ἔγγιστα δευτέρων ἑξηκοστῶν ἔχομεν ἔγγιστα ἑκατέραν τῶν ΘΒ, ΚΔ. καὶ συμπληρώσαντες τὰ ΒΛ, ΛΔ παραλληλόγραμμα, ἔχομεν καὶ αὐτὰ ἑξηκκοστῶν δευτέρων μὲν ͵ ζτο ¯ καὶ τρων νμ ¯ , ἑκάτερον δὲ δευτέρων μὲν ἑξηκοστῶν ͵ γχπε ¯ καὶ τρίτων σκ ¯ . καὶ λοιπὰ ὑπελίπη ἑξηκοστὰ δεύτερα μϛ ¯ καὶ τρίτα μ ¯ , ἅπερ ἔγγιστα ποιεῖ τὸ ΛΓ τετράγωνον, ἀπὸ πλευρᾶς τυγχάνον νε ¯ δευτέρων ἑξηκοστῶν, καὶ ἔχομεν τὴν πλευρὰν τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου, μοιρῶν τυγχάνοντος ͵ δφ ¯ , ξζ ¯ δ ¯ νε ¯ ἔγγιστα.

För att lösningen - för något av de i Syntaxis framställda talen - genom successiva borttagning också skall komma inför våra ögon, skall vi göra ett exempel för talet 4500, vars sida han satte till 67;4,55. Antag en kvadratisk yta, ΑΒΓΔ - endast i kvadrat rationell - där omfånget är 4500 och det är önskvärt att beräkna en kvadrats sida nära den. Eftersom då kvadraten nära 4500 som har en rationell sida och mätande ett helt antal är 4489 med en sida av 67. Tag bort från kvadraten ΑΒΓΔ kvadraten ΑΖ, mätande 4489, där sidan är 67. Kvar är gnomonen ΒΖΖΔ mätande 11, som upplösta i de första sextiondedelarna skall visa sig vara 660. Därpå fördubblande ΕΖ - då ΕΖ finns två gånger, liksom tagande ΖΗ längs den räta linjen ΕΖ - med resultatet 134 delar vi de 660 första sextiondedelarna och resultatet av divisionen, 4 första sextiondedelar, skall ge oss var och en av ΕΘ, ΗΚ. Fullbordande parallellogrammerna ΘΖ och ΖΚ, skall vi ha även deras 536 första sextiondedelar, var och en 268. Därpå åter upplösande de 124 första sextiondedelarna till 7440 andra, skall vi även ta bort ΖΛ, kvadraten på de 4 första, som är 16 andra sextiondedelar, för att lägga gnomonen till den ursprungliga kvadraten, ΑΖ, erhåller vi kvadraten ΑΛ med sidan 67;4 omfattande 4497;56,16. Och resten är åter en gnomon, ΒΛΛΔ, mätande 2;3,44, det vill säga 7424 andra sextiondedelar. Åter igen fördubblande ΘΛ som vore ΛΚ på den räta linjen ΘΛ och med resultatet 134;8 delas 7424 andra sextiondedelar, resultatet av divisionen blir ungefär 55 andra sextiondedelar och vi har ett närmevärde till ΘΒ och ΚΔ. Och är parallellogrammerna ΒΛ och ΛΔ fullbordade, har vi också för dem 7370 andra sextiondedelar och 440 tredje sextiondedelar, var och en 3685 andra sextiondedelar och 220 tredje. Resterande överskott 46 andra sextiondedelar och 40 tredje, vilket ungefär utgör kvadraten ΛΓ, med en sida nära 55 andra sextiondedelar. Och vi har sidan av kvadraten ΑΒΓΔ, omfattande 4500, till ungefär 67;4,55.

Ὥστε καὶ καθόλου ἐὰν ζητῶμεν ἀριθμοῦ τινος τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν ἐπιλογίσασθαι, λαμβάνομεν πρῶτον τοῦ σύνεγγυς τετραγώνου ἀριθμοῦ τὴν πλευράν. εἶτα ταύτην διπλασιάσαντες καὶ παρὰ τὸν γινόμενον ἀριθμὸν μερίσαντες τὸν λοιπὸν ἀριθμὸν ἀναλυθέντα εἰς πρῶτα ἑξηκοστά, καὶ ἀπὸ τοῦ ἐκ τῆς παραβολῆς γενομένου ἀφελοῦμεν τετράγωνον, καὶ ἀναλύοντες πάλιν τὰ ὑπολειπόμενα εἰς δεύτερα ἑξηκοστά, καὶ μερίζοντες παρὰ τὸν διπλασίονα τῶν μοιρῶν καὶ ἑξηκοστῶν, ἕξομεν ἔγγιστα τὸν ἐπιζητούμενον τῆς πλευρᾶς τοῦ τετραγώνου χωρίου ἀριθμόον.

Just så även i allmänhet om vi söker räkna ut något kvadratiskt tals sida, tar vi först närmaste kvadratiska tals sida. Sedan fördubblande detta och vi med det givna talet delat resten upplöst i första sextiondedelar och från detta drar vi bort resultatet från divisionen i kvadrat. Och åter upplösande resten i andra sextiondedelar och delande med det dubbla i hela och sextiondedelar, skall vi ha ett närmevärde till den sökta sidan av det kvadratiska området.

Modern algoritmisk tolkning

Theons text har med ledning av ovanstående översättning tolkats till Lisp enligt följande:B B) För markören över olika variabler i koden, för en illustration i figuren av vad dessa representerar. (defun sqrt60 (a) "Takes the square root. Cf. Theon of Alexandria." (let* ((guess (table-approximation-sqrt a)) (diff1 (sub60 a (sqr60 guess))) (x (int60 (mul60 '(30) (div60 diff1 guess)))) (diff2 (sub60 (mul60-by-60 diff1) (mul60-by-2 (mul60 guess x)))) (diff3 (sub60 (mul60-by-60 diff2) (sqr60 x))) (y (int60 (div60 diff3 (mul60-by-2 (add60 guess (div60-by-60 x))))))) (mapcar #'car (list guess x y)))) Där a är ett sexagesimalt tal i listform, t.ex. (67 4 55) - ental, sextiondedelar, tretusensexhundradelar osv..

Objects are not supported by your browser!

Tyvärr måste man konstatera, att Theon inte har lämnat en fullständig beskrivning av förfarandet. I beräkningen av både x och y ovan, måste man kontrollera, att man inte väljer ett för stort värde. Oftast går det bra, men ibland måste man göra ett antal iterationer för att erhålla ett lämpligt värde - se Glowatzkis & Göttsches Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios: nach den historischen Formelplänen neu berechnet[2]. Vidare kan man konstatera, att den erhållna noggrannheten inte räcker till, för att genomföra beräkningarna till kordatabellen.