Sandräknaren

Archimedes

Ψαμμίτης.

I.

Οἰόνται τινές, βασιλεῦ Γέλων^A A) Gelon II, - ca 216 f.Kr., son till Hiero II och Philistis, samregerade med sin far till sin död, när han var över femtio år. Fadern dog omkring ett år senare., τοῦ ψάμμου^B B) Notera, enligt LSJ ψάμμος, ἡ, but in Archim.Aren.1.1, al., always ὁ:—. τὸν ἀριθμὸν ἄπειρον εἶμεν τῷ πλήθει· λέγω δὲ οὐ μόνον τοῦ περὶ Συρακούσας τε καὶ τὰν ἄλλαν Σικελίαν ὑπάρχοντος, ἀλλα καὶ τοῦ κατὰ πᾶσαν χώραν τάν τε οἰκημέναν καὶ τὰν ἀοίκητον. ἐντί τινες δέ, οἳ αὐτὸν ἄπειρον μὲν εἶμεν οὐχ ὑπολαμβάνοντι, μηδένα μέντοι ταλικοῦτον κατωνομασμένον ὑπάρχειν, ὅστις ὑπερβάλλει τὸ πλῆθος αὐτοῦ. οἱ δὲ οὕτως δοξαζόντες δῆλον ὡς εἰ νοήσαιεν ἐκ τοῦ ψάμμου ταλικοῦτον ὄγκον συγκείμενον τὰ μὲν ἄλλα, ἁλίκος ὁ τᾶς γᾶς ὄγκος, ἀναπεπληρωμένων δὲ ἐν αὐτῷ τῶν τε πελαγέων πάντων καὶ τῶν κοιλωμάτων τᾶς γᾶς εἰς ἴσον ὕψος τοῖς ὑψηλοτάτοις τῶν ὀρέων, πολλαπλασίως μὴ γνωσόνται μηδένα κα ῥηθήμεν ἀριθμὸν ὑπερβάλλοντα τὸ πλῆθος αὐτοῦ. ἐγὼ δὲ πειρασοῦμαι τοι δεικνύειν δι' ἀποδειξίων γεωμετρικᾶν, αἷς παρακολουθήσεις, ὅτι τῶν ὑφ' ἁμῶν κατωνομασμένων ἀριθμῶν καὶ ἐνδεδομένων ἐν τοῖς ποτὶ Ζεύξιππον γεγραμμένοις ὑπερβάλλοντί τινες οὐ μόνον τὸν ἀριθμὸν τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ γᾷ πεπληρωμένᾳ, καθάπερ εἴπαμες, ἀλλὰ καὶ τὸν τοῦ μέγεθος ἴσον ἔχοντος τῷ κόσμῳ. κατέχεις δέ, διότι καλείται κόσμος ὑπὸ μὲν τῶν πλείστων ἀστρολόγων ἁ σφαῖρα, ἇς ἐστι κέντρον μὲν τὸ τᾶς γᾶς κέντρον, ἁ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσα τᾷ εὐθείᾳ τᾷ μεταξὺ τοῦ κέντρου τοῦ ἁλίου καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς. ταῦτα γάρ ἐντι τὰ γραφόμενα, ὡς παρὰ τῶν ἀστρολόγων διάκουσας. Ἀρίσταρχος δὲ ὁ Σάμιος ὑποθεσίων τινων ἐξέδωκεν γραφάς, ἐν αἷς ἐκ τῶν ὐποκειμένων συμβαίνει τὸν κόσμον πολλαπλάσιον εἶμεν τοῦ νῦν εἰρημένου. ὑποτιθέται γὰρ τὰ μὲν ἀπλανέα τῶν ἄστρων καὶ τὸν ἅλιον μένειν ἀκίνητον, τὰν δὲ γᾶν περιφερέσθαι περὶ τὸν ἅλιον κατὰ κύκλου περιφέρειαν, ὅς ἐστιν ἐν μέσῳ τῷ δρόμῳ κείμενος, τὰν δὲ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ ἁλίῳ κειμέναν τῷ μεγέθει ταλικαύταν εἶμεν, ὥστε τὸν κύκλον, καθ' ὃν τὰν γᾶν ὑποτιθέται περιφερέσθαι, τοιαύταν ἔχειν ἀναλογίαν ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων ἀποστασίαν, οἵαν ἔχει τὸ κέντρον τᾶς σφαίρας ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν. τοῦτο γ' εὔδηλον ὡς ἀδύνατόν ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ τὸ τᾶς σφαίρας κέντρον οὐδὲν ἔχει μέγεθος, οὐδὲ λόγον ἔχειν οὐδένα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τᾶς σφαίρας ὑπολαπτέον αὐτό. ἐκδεκτέον δὲ τὸν Ἀρίσταρχον διανοείσθαι τόδε· ἐπειδὴ τὰν γᾶν ὑπολαμβάνομες ὥσπερ εἶμεν τὸ κέντρον τοῦ κόσμου, ὃν ἔχει λόγον ἁ γᾶ ποτὶ τὸν ὑφ' ἁμῶν εἰρημένον κόσμον, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὰν σφαῖραν, ἐν ᾇ ἐστιν ὁ κύκλος, καθ' ὃν τὰν γᾶν ὑποτιθέται περιφερέσθαι, ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν. τὰς γὰρ ἀποδειξίας τῶν φαινομένων οὕτως ὑποκειμένῳ ἐναρμόζει, καὶ μάλιστα φαινέται τὸ μέγεθος τᾶς σφαίρας, ἐν ᾇ ποιείται τὰν γᾶν κινουμέναν, ἴσον ὑποτιθέσθαι τῷ ὑφ' ἁμῶν εἰρημένῳ κόσμῳ. φαμὲς δή, καὶ εἰ γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκαν Ἀρίσταρχος ὑποτιθέται τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν εἶμεν, καὶ οὕτως τινὰς δειχθήσειν τῶν ἐν Ἀρχαῖς τὰν κατονομαξίαν ἐχόντων ὑπερβαλλόντας τῷ πλήθει τὸν ἀριθμὸν τὸν τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ εἰρημένᾳ σφαίρᾳ, ὑποκειμένων τῶνδε· πρῶτον μὲν τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς εἶμεν ὡς $τ ʹ$ μυριάδων σταδίων^C C) Det gick 600 fot på ett stadion och en dorisk fot var 326 mm stor. Ett stadion var alltså 195,6 m. καὶ μὴ μείζονα, καίπερ τινῶν πεπειραμένων ἀποδεικνύμειν, καθὼς καὶ τὺ παρακολουθεῖς, ἐοῦσαν αὐτὰν ὡς $λ ʹ$ μυριάδων σταδίων. ἐγὼ δ' ὑπερβαλλόμενος καὶ θεὶς τὸ μέγεθος τᾶς γᾶς ὡς δεκαπλάσιον τοῦ ὑπὸ τῶν προτέρων δεδοξασμένου τὰν περίμετρον αὐτᾶς ὑποτιθέμαι εἶμεν ὡς $τ ʹ$ μυριάδων σταδίων καὶ μὴ μείζονα. μετὰ δὲ τοῦτο τὰν διάμετρον τᾶς γᾶς μείζονα εἶμεν τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας, καὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου μείζονα εἶμεν τᾶς διάμετρου τᾶς γᾶς, ὁμοίως τὰ αὐτὰ λαμβάνων τοῖς πλείστοις τῶν προτέρων ἀστρολόγων. μετὰ δὲ ταῦτα τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας ὡς τριακονταπλασίαν εἶμεν καὶ μὴ μείζονα, καίπερ τῶν προτέρων ἀστρολόγων Εὐδόξου μὲν ὡς ἐννεαπλασίονα ἀποφαινομένου, Φειδία δὲ τοῦ Ἀκούπατρος ὡς δὴ δωδεκαπλασίαν, Ἀριστάρχου δὲ πεπειραμένου δεικνύειν, ὅτι ἐστὶν ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας μείζων μὲν ἢ ὀκτωκαιδεκαπλασίων, ἐλάττων δὲ ἢ εἰκοσαπλασίων· ἐγὼ δὲ ὐπερβαλλόμενος καὶ τοῦτον, ὅπως τὸ προκείμενον ἀναμφιλόγως ᾖ δεδειγμένον, ὑποτιθέμαι τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας ὡς τριακονταπλασίαν εἶμεν καὶ μὴ μείζονα. ποτὶ δὲ τούτοις τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου μείζονα εἶμεν τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου τῶν ἐν τῷ κόσμῳ. τοῦτο δὲ ὑποτιθέμαι Ἀριστάρχου μὲν εὑρηκότος τοῦ κύκλου τῶν ζῳδίων τὸν ἅλιον φαινόμενον ὡς τὸ εἰκοστὸν καὶ ἑπτακοσιοστόν, αὐτὸς δὲ ἐπισκεψάμενος τόνδε τὸν τρόπον ἐπειράθην ὀργανικῶς λαβεῖν τὰν γωνίαν, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει. τὸ μὲν οὖν ἀκριβὲς λαβεῖν οὐκ εὐχερές ἐστι διὰ τὸ μήτε τὰν ὄψιν μήτε τὰς χείρας μήτε τὰ ὄργανα, δι' ὧν δεῖ λαβεῖν, ἀξιόπιστα εἶμεν τὸ ἀκριβὲς ἀποφαινέσθαι. περὶ δὲ τούτων ἐπὶ τοῦ παρόντος οὐκ εὔκαιρον μακύνειν ἄλλως τε καὶ πλεονάκις τοιούτων ἐμπεφανισμένων. ἀποχρὴ δέ μοι ἐς τὰν ἀπόδειξιν τοῦ προκειμένου γωνίαν λαβεῖν, ἅτις ἐστὶν οὐ μείζων τᾶς γωνίας, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει, καὶ πάλιν ἄλλαν γωνίαν λαβεῖν, ἅτις ἐστὶν οὐκ ἐλάττων τᾶς γωνίας, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει. τεθέντος οὖν μακροῦ κανόνος ἐπὶ πόδα ὀρθὸν ἐν τόπῳ κείμενον, ὅθεν ἤμελλεν ἀνατέλλειν ὁ ἅλιος ὁράσθαι, καὶ κυλίνδρου μικροῦ τορνευθέντος καὶ τεθέντος ἐπὶ τὸν κανόνα ὀρθοῦ εὐθέως μετὰ τὰν ἀνατολὰν τοῦ ἁλίου, ἔπειτ' ἐόντος αὐτοῦ ποτὶ τῷ ὁρίζοντι καὶ δυναμένου ~~τοῦ~~ ἀντιβλεπέσθαι ἐπεστράφη ὁ κανὼν εἰς τὸν ἅλιον, καὶ ἁ ὄψις κατεστάθη ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ κανόνος. ὁ δὲ κύλινδρος ἐν μέσῳ κείμενος τοῦ τε ἁλίου καὶ τᾶς ὄψιος ἐπεσκότει τῷ ἁλίῳ. ἀποχωριζόμενος οὖν ~~τοῦ κυλίνδρου~~ ἀπὸ τᾶς ὄψιος, ἐν ᾇ ἄρξατο παραφαινέσθαι τοῦ ἁλίου μικρὸν ἐφ' ἑκάτερα τοῦ κυλίνδρου, κατεστάθη ὁ κύλιννδρος. εἰ μὲν οὖν συνέβαινεν τὰν ὄψιν ἀφ' ἑνὸς σαμείου βλέπειν, εὐθειᾶν ἀχθεισᾶν ἀπ' ἄκρου τοῦ κανόνος, ἐν ᾧ τόπῳ ἁ ὄψις κατεστάθη, ἐπιψαυουσᾶν τοῦ κυλίνδρου ἁ περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν ἀχθεισᾶν ἐλάσσων κα ἦς τᾶς γωνίας, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἀναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει, διὰ τὸ περιβλεπέσθαι τι τοῦ ἁλίου ἐφ' ἑκάτερα τοῦ κυλίνδρου. ἐπεὶ δ' αἱ ὀψίες οὐκ ἀφ' ἑνὸς σαμείου βλέποντι, ἀλλὰ ἀπό τινος μεγέθεος, ἐλάφθη τι μέγεθος στρογγύλον οὐκ ἔλαττον ὄψιος, καὶ τεθέντος τοῦ μεγέθεος ἐπὶ τὸ ἄκρον τοῦ κανόνος, ἐν ᾧ τόπῳ ἁ ὄψις κατεστάθη, ἀχθεισᾶν εὐθειᾶν ἐπιψαυουσᾶν τοῦ τε μεγέθεος καὶ τοῦ κυλίνδρου ἁ οὖν περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν ἀχθεισᾶν ἐλάττων ἦς τᾶς γωνίας, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει. τὸ δὲ μέγεθος τὸ οὐκ ἔλαττον τᾶς ὄψιος τόνδε τὸν τρόπον εὑρισκέται· δύο κυλίνδρια λαμβανέται λεπτὰ ἰσοπαχέα ἀλλάλοις, τὸ μὲν λευκόν, τὸ δὲ οὔ, καὶ προτιθένται πρὸ τᾶς ὄψιος, τὸ μὲν λευκὸν ἀφεστακὸς ἀπ' αὐτᾶς, τὸ δὲ οὐ λευκὸν ὡς ἔστιν ἐγγυτάτω τᾶς ὄψιος, ὥστε καὶ θιγγάνειν τοῦ προσώπου. εἰ μὲν οὖν κα τὰ λαφθέντα κυλίνδρια λεπτότερα ἔωντι τᾶς ὄψιος, περιλαμβανέται ὑπὸ τᾶς ὄψιος τὸ ἐγγὺς κυλίνδριον, καὶ ὁρήται ὑπὸ αὐτᾶς τὸ λευκόν, εἰ μέν κα παρὰ πολὺ λεπτότερα ἔωντι, πᾶν, εἰ δέ κα μὴ παρὰ πολύ, μέρεά τινα τοῦ λευκοῦ ὁρώνται ἐφ' ἑκάτερα τοῦ ἐγγὺς τᾶς ὅψιος. λαφθέντων δὲ τῶνδε τῶν κυλινδρίων ἐπιταδείων πως τῷ πάχει ἐπισκοτεῖ τὸ ἕτερον αὐτῶν τῷ ἑτέρῳ καὶ οὐ πλείονι τόπῳ. τὸ δὴ τλικοῦτον μέγεθος, ἁλίκον ἐστὶ τὸ πάχος τῶν κυλινδρίων τῶν τοῦτο ποιούντων μάλιστά πώς ἐστιν οὐκ ἔλαττον τᾶς ὄψιος. ἁ δὲ γωνία ἁ οὐκ ἐλάττων τᾶς γωνίας, ἐις ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχοθσαν ποτὶ τᾷ ὄψει, οὕτως ἐλάφθη. ἀποσταθέντος ἐπὶ τοῦ κανονίου τοῦ κυλίνδρου ἀπὸ τᾶς ὄψιος οὕτως ὡς ἐπισκοτεῖν τὸν κύλινδρον ὅλῳ τῷ ἁλίῳ καὶ ἀχθεισᾶν εὐθειᾶν ἀπ' ἄκρου τοῦ κανόνος, ἐν ᾧ τόπῳ ἁ ὄψις κατεστάθη, ἐπιψαυουσᾶν τοῦ κυλίνδρου, ἁ περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν ἀχθεισᾶν εὐθειᾶν οὐκ ἐλάττων γινέται τᾶς γωνίας, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει. ταῖς δὴ γωνίαις ταῖς οὕτως λαφθείσαις καταμετρηθείσας ὀρθᾶς γωνίας ἐγένετο ἁ ἐν τῷ στίγῳ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς $ρξδ ʹ$ ἐλάττων ἢ ἓν μέρος τούτων, ἁ δὲ ἐλάττων διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς $σ ʹ$ μείζων ἢ ἓν μέρος τούτων. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ ἁ γωνία, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει, ἐλάττων μέν ἐστιν ἢ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς $ρξδ ʹ$ τούτων ἓν μέρος, μείζων δὲ ἢ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς $σ ʹ$ τούτων ἓν μέρος. πεπιστευμένων δὲ τούτων δειχθησέται καὶ ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου μείζων ἐοῦσα τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου τῶν ἐν τῷ κόσμῳ. νοείσθω γὰρ ἐπιπεδον ἐκβεβλημένον διά τε τοῦ κέντρου τοῦ ἁλίου καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ διὰ τᾶς ὄψιος, μικρὸν ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα ἐόντος τοῦ ἁλίου. τεμνέτω δὲ τὸ ἐκβληθὲν ἐπίπεδον τὸν μὲν κόσμον κατὰ τὸν ΑΒΓ κύκλον, τὰν δὲ γᾶν κατὰ τὸν ΔΕΖ, τὸν δὲ ἅλιον κατὰ τὸν ΣΗ κύκλον. κέντρον δὲ ἔστω τᾶς μὲν γᾶς τὸ Θ, τοῦ δὲ ἁλίου τὸ Κ, ὄψις δὲ ἔστω τὸ Δ. καὶ ἄχθωσαν εὐθείαι ἐπιψαυούσαι τοῦ ΣΗ κύκλου, ἀπὸ μὲν τοῦ Δ αἱ ΔΛ, ΔΞ· ἐπιψαυόντων δὲ κατὰ τὸ Ν καὶ τὸ Τ· ἀπὸ δὲ τοῦ Θ αἱ ΘΜ, ΘΟ· ἐπιψαυόοντων δὲ κατὰ τὸ Χ καὶ τὸ Ρ. τὸν δὲ ΑΒΓ κύκλον τεμνόντων αἱ ΘΜ, ΘΟ κατὰ τὸ Α καὶ τὸ Β. ἔστι δὴ μείζων ἁ ΘΚ τᾶς ΔΚ, ἐπεὶ ὑποκείται ὁ ἅλιος ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα εἶμεν· ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπο τᾶν ΔΛ, ΔΞ μείζων ἐστὶ

Sandräknaren.

1.

Några anser, kung Gelon, att sandens tal är obegränsat i storlek - jag menar inte bara den kring Syrakusa och den runt om i övriga Sicilien, utan även den utspridd över hela landet, det bebodda såväl som det obebodda. Det finns också några, vilka inte anser det vara obegränsat, ändå har inget så stort tal funnits till, att det överstiger dess storlek. Uppenbarliugen skall de som anser, att om de uppfattat det hela bestå av en så stor mängd av sand, lika stor som jorden och i denna är jordens alla hav samt hålrum fyllda till samma höjd som de högsta bergens, många gånger inte inse, att inget tal överstigande dess storlek uttalats. Jag skall emellertid försöka visa detta genom geometriska demonstrationer, vilka du skall följa, så att av mina tal omtalade och överräckta i skrifterna till Zeuxippos några överstiger inte bara sandkornens antal i en volym lika med den jorden fyllt, såsom vi sagt, utan även det i en volym lika med kosmos. Du vidhåller, att kosmos av de flesta astrologer benämns en sfär, vars centrum är jordens centrum, och dess radie är lika med den räta linjen mellan solens centrum och jordens centrum. Ty detta finns i skrifterna, som du hört av astrologerna. Aristarchos från Samos gav ut några antaganden i skrifter, i vilka han ur antagandena framställer kosmos vara många gånger större än den nu nämnda. Ty han antar att de fixa stjärnorna och solen förblir orörliga, att jorden kretsar kring solen längs en cirkels omkrets och att denna ligger i mitten av banan samt att de fixa stjärnornas sfär, som ligger kring samma centrum som solen, är så stor, så att cirkeln, längs vilken han han antar jorden kretsar, har ett sådant förhållande till avståndet till de fixa stjärnorna, som sfärens centrum har till dess yta. Detta är så uppenbart omöjligt. Ty eftersom sfärens centrum inte har någon storlek, kan den inte heller antas ha något förhållande till sfärens yta. Givet att Aristarchos avser följande: Eftersom vi antar jorden vara såsom kosmos centrum, som jorden har ett förhållande till det av oss nämnda kosmos, har detta ett förhållande till sfären, i vilken cirkeln är, längs vilken jorden antas kretsa, till de fixa stjärnornas sfär. Ty han anpassar demonstrationerna av fenomenen till antagendena sålunda, han tycks även särskilt sätta sfärens storlek, i vilken han låter jorden röra sig, lika med det av oss nämnda kosmos. Vi säger så, även om en sådan sfär av sand till storleken blivit så stor som Aristarchos antar de fixa stjärnornas sfär vara, på detta sätt skall även några av dem omnämnda tidigare visas överstiga storleken av sandkornens antal i en volym, som har en volym lika med den nämnda sfären, antagande följande: 1. först är jordens omkrets ungefär 300 myriader stadier och inte fler, även om den framgår ur några försök, såsom också du förstått, som varande ungefär 30 myriader stadier. Jag emellertid går över detta och sätter jordens storlek att vara ungefär tio gånger den av föregångarna förmodade och antar dess perimeter vara ungefär 300 myriader stadier och inte fler. 2. Dessutom är jordens diameter större än månens diameter och solens diameter är större än jordens och tar samma som de flesta av de tidigare astrologerna. 3. Dessutom är solens diameter trettio gånger månens diameter, inte mer, även om, av de tidigare astrologerna, Eudoxos hävdar nio gånger och Fidias, min far, tolv gånger, Aristarchos försökte visa, att solens diameter är mer än arton gånger än månens diameter, men mindre än tjugo gånger. Jag går emellertid över även detta, så att det uppsatta är otvivelaktigt visat, och antar solens diameter att vara trettio gånger månens diameter och inte mer. 4. Att utöver detta är solens diameter större än sidan av tusensidingen inskriven i den största cirkeln av dem i kosmos. Jag antar detta, då Aristarchos funnit att solen verkar vara till zodiaken som ett till sjuhundratjugo och själv undersökande detta på detta sätt att med instrument försöka ta vinkeln, i vilken solen ryms och som har spetsen vid ögat. Och att ta denna noggrant är faktiskt inte lätt eftersom varken öga, händer eller instrument, med vilka man måste ta den, är tillförlitliga att mäta den noggrant. Men vid detta är det för tillfället inte praktiskt att dröja, särskilt då detta många gånger har klartgjorts. Och det är för mig tillräckligt för visandet av påståendet att ta en vinkel, som inte är större än en vinkel, i vilken solen ryms och som har spetsen vid ögat, och därpå ta en annan vinkel, som inte är mindre än en vinkel, i vilken solen ryms och som har spetsen vid ögat. Sålunda sedan en lång stav placerats på en vertikal fot ställd på en ställe, där solens uppgång förväntades ses, och sedan en liten rundad cylinder även placerats vinkelrät på staven genast efter solens uppgång, därefter, medan denna är nära horisonten och är möjlig att betraktas rakt mot, staven vridits mot solen och ögat placerats vid änden av staven. Cylindern, som lagts mellan solen och ögat, skymde solen, alltså flyttades cylindern från ögonen, tills lite av solen började synas på vardera sidan av cylindern, stannades cylindern. Om det sålunda vore fallet att ögat betraktar från en punkt, sedan räta linjer dragits från spetsen på staven, vid det ställe där ögat placerats, som tangerar cylindern, skulle vinkeln omsluten av de dragna linjerna vara mindre än vinkeln, i vilken solen ryms och som har spetsen vid ögat, eftersom något av solen syns på vardera sidan av cylindern. Eftersom ögonen inte betraktar från en punkt, utan från något omfång, har ett ett runt omfång inte mindre än ögats tagits och sedan omfånget placerats vid spetsen på staven, vid det ställe där ögat placerats, sedan räta linjer dragits, som tangerar omfånget och cylindern, skulle alltså vinkeln omsluten av de dragna linjerna vara mindre än vinkeln, i vilken solen ryms och som har spetsen vid ögat. Omfånget, som inte är mindre än ögat, finner man på följande sätt: Två små cylindrar tas, med samma tjocklek, en vit och en inte, och placeras framför ögat, den vita är en bit från detta och den icke-vita är så ytterst nära ögat, att den till och med nuddar ansiktet. Om alltså de valda cylindrarna är mindre än ögat, omges den närmre cylindern av ögat och den vita ses av detta, men om de är mycket mindre, syns hela, om ej med mycket, syns någon del av den vita på vardera sidan av den nära ögat. Sedan lämpliga cylindrar valts på detta sätt, skymmer förmodligen den ena av dem den andra genom tjockleken, men inte ett större område. Just ett så stort omfång, som är så stort som tjockleken på cylindrar gjorda på detta sätt, är utan tvekan inte mindre än ögat. Och vinkeln vilken ej är mindre än vinkeln i vilken solen ryms och som har spetsen vid ögat, har tagits på följande sätt: Sedan cylindern placerats på staven bortom ögat, så att cylindern skymmer hela solen, och räta linjer dragits från spetsen på staven, vid det ställe där ögat placerats, som tangerar cylindern, blir vinkeln omsluten av de dragna linjerna inte mindre än vinkeln, i vilken solen ryms och som har spetsen vid ögat. En rät vinkel i denna punkt, mätt med vinklar tagna på detta sätt, blir, den räta delad i 164, mindre än en del av dessa, och den mindre vinkeln, den räta delad i 200, blir större än en del av dessa. Det är alltså uppenbart, att även vinkeln, i vilken solen ryms och som har spetsen vid ögat, är mindre, den räta delad i 164, än en del av dessa, och, den räta delad i 200, blir större än en del av dessa. Övertygade av detta skall även solens diameter visas vara större än sidan av tusensidingen inskriven i den största cirkeln av dem i kosmos. Ty antag ett plan utbrett genom solens medelpunkt, jordens medelpunkt och ögat, då solen är straxt över horisonten. Låt så det utbredda planet skära kosmos längs cirkeln ΑΒΓ, jorden längs ΔΕΖ och solen längs cirkeln ΣΗ. Låt Θ vara jordens medelpunkt och Κ solens samt låt Δ vara ögat. Drag från Δ de räta linjerna ΔΛ och ΔΞ, vilka tangerar cirkeln ΣΗ, samt låt dem tangera vid Ν och Τ. Och från Θ ΘΜ och ΘΟ, vilka tangerar vid Χ och Ρ. Låt ΘΜ och ΘΟ skära cirkeln ΑΒΓ vid Α och Β. Då är ΘΚ större än ΔΚ, eftersom solen antagits vara över horisonten, så att vinkeln omsluten av ΔΛ och ΔΞ är större

τᾶς γωνίας τᾶς περιεχομένας ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ. ἁ δὲ περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν ΔΛ, ΔΞ μείζων μέν ἐστιν ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρθᾶς, ἐλάττων δὲ ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας εἰς $ρξδ ʹ$ τούτων ἓν μερος. ἴσα γάρ ἐστι τᾷ γωνίᾳ, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει. ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶβ ΘΜ, ΘΟ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας εἰς $ρξδ ʹ$ τούτων ἓν μέρος, ἁ δὲ ΑΒ εὐθεῖα ἐλάττων ἐστὶ τᾶς ὑποτεινούσας ἓν τμᾶμα διαιρεθείσας τᾶς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας ἐϛ $χνϛ ʹ$ . ἁ δὲ τοῦ εἰρημένου πολυγωνίονυ περίμετρος ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐλάττονα λόγον ἔχει, ἢ τὰ $μδ ʹ$ ποτὶ τὰ $ζ ʹ$ , διὰ τὸ παντὸς πολυγωνίου ἐγγραμμένου ἐν κύκλῳ τὰν περίμετρον ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλαάττονα λόγον ἔχειν, ἢ τὰ $μδ ʹ$ ποτὶ τὰ $ζ ʹ$ . ἐπιστάσαι γὰρ δεδειγμένον ὑφ' ἁμῶν, ὅτι παντὸς κύκλου ἁ περειφέρεια μείζοων ἐστὶν ἢ τριπλασίων τᾶς διαμέτρου ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει.^D D) Se Archimedes' arbete Om mätning av cirkeln 3. ταύτας δὲ ἐλάττων ἐστὶν ἁ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγωνίου. ἐλάττονα οὖν λόγον ἔχει ἁ ΒΑ ποτὶ τὰν ΘΚ, ἢ τὰ $ια ʹ$ ποτὶ τὰ $͵ αρμη ʹ$ . ὥστε ἐλάττων ἐστὶν ἁ ΒΑ τᾶς ΘΚ ἣ ἑκατοστὸν μέρος. τᾷ δὲ ΒΑ ἴσα ἐστὶν ἁ διάμετρος τοῦ ΣΗ κύκλου, διότι καὶ ἁ ἡμίσεια αὐτᾶς ἁ ΦΑ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΚΡ. ἰσᾶν γὰρ ἐουσᾶν τᾶν ΘΚ, ΘΑ ἀπὸ τῶν περάτων καθέτοι ἐπεζευγμέναι ἐντὶ ὑπὸ τὰν αὐτὰν γωνίαν. δῆλον οὖν, ὅτι ἁ διάμετρος τοῦ ΣΗ κύκλου ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ. καὶ ἁ ΕΘΥ διάμετρος ἐλάττων ἐστὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΣΗ κύκλου, ἐπεὶ ἐλάττων ἐστὶν ὁ ΔΕΖ κύκλος τοῦ ΣΗ κύκλου. ἐλαττόνες ἄρα ἐντὶ ἀμφοτέραι αἱ ΘΥ, ΚΣ ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ. ὥστε ἁ ΘΚ ποτὶ τὰν ΥΣ ἐλάττονα λόγον ἔχει, ἢ τὰ $ρ ʹ$ ποτὶ τὰ $ϟθ ʹ$ . καὶ ἐπεὶ ἁ μὲν ΘΚ μείζων ἐστὶ τᾶς ΘΡ, ἁ δὲ ΣΥ ἐλάττοων τᾶς ΔΤ, ἐλάττω ἄρα καὶ λόγον ἔχει ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν ΔΤ, ἢ τὰ $ρ ʹ$ ποτὶ τὰ $ϟθ ʹ$ . ἐπεὶ δὲ τῶν ΘΚΡ, ΔΚΤ ὀρθογωνίων ἐόντων αἱ μὲν ΚΡ, ΚΤ πλευραὶ ἴσαι ἐντὶ, αἱ δὲ ΘΡ, ΔΤ ἀνίσοι, καὶ μείζων ἁ ΘΡ, ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΔΤ, ΔΚ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΡ, ΘΚ μείζονα μὲν ἔχει λόγον, ἢ ἁ ΘΚ ποτὶ τὰν ΔΚ, ἐλαττων δέ, ἢ ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν ΔΤ. εἰ γάρ κα δυῶν τριγώνων ὀρθογωνίων αἱ μὲν ἁτέραι πλευραὶ αἱ περὶ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ἴσαι ἔωντι, αἱ δὲ ἁτέραὶ ἀνίσοι, ἁ μείζων γωνία τᾶν ποτὶ ταῖς ἀνίσοις πελυραῖς ποτὶ τὰν ἐλάττονα μείζονα μὲν ἔχει λόγον, ἢ ἁ μείζων γραμμὰ τᾶν ὑπὸ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ὑποτεινουσᾶν ποτὶ τὰν ἐλάττονα, ἐλάττονα δὲ, ἢ ἁ μείζων γραμμὰ τᾶν περὶ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ποτὶ τὰν ἐλάττονα. ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΔΛ, ΔΞ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΟ, ΘΜ ἐλάττω λόγον ἔχει, ἢ ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν ΔΤ, ἅτις ἐλάττω λόγον ἐχει, ἢ τὰ $ρ ʹ$ ποτὶ τὰ $ϟθ ʹ$ . ὥστε καὶ ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΔΛ, ΔΞ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ τὰ $ρ ʹ$ ποτὶ τὰ $ϟθ ʹ$ . καὶ ἐπεί ἐστιν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΔΛ, ΔΞ μείζων ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρθᾶς, εἴη κα ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ μείζων ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας ἐς δισμύρια τούτων $ϟθ ʹ$ μέρεα. ὥστε μείζων ἐστὶν ἢ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς $σ ʹ$ καὶ $γ ʹ$ τούτων ἓν μέρος. ἁ ἄρα ΒΑ μείζων ἐστὶ τᾶς ὑποτεινούσας ἓν τμᾶμα διῃρημένας τᾶς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας εἰς $ωιβ ʹ$ . τᾷ δὲ ΑΒ ἴσα ἐντὶ ἁ τοῦ ἁλίου διάμετρος. δῆλον οὖν, ὅτι μείζων ἐστὶ ἁ τοῦ ἁλίου διάμετρος τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς.

än vinkeln omsluten av ΘΜ och ΘΟ. Och vinkeln omsluten av ΔΛ och ΔΞ är större än en tvåhundradedel av en rät samt mindre än, en del av en rät delad i 164. Ty den är lika med vinkeln, i vilken solen ryms och som har spetsen vid ögat. Sålunda är vinkeln, som omsluts av ΘΜ och ΘΟ, mindre än en del av en rät delad i 164. Och den sträckan ΑΒ är mindre än kordan av ett snitt av cirkeln ΑΒΓ:s omkrets delad i 656. Den nämnda polygonens omkrets har ett förhållande till radien av cirkeln ΑΒΓ mindre än 44 till 7, eftersom omkretsen för varje polygon inskriven i en cirkel har ett förhållande till radien mindre än 44 till 7. Du vet, ty det har visats av mig, att varje cirkels omkrets är större än tre gånger diametern med mindre än en sjundedel. Denna är mindre än omkretsen av den inskrivna polygonen. Alltså har ΒΑ ett förhållande till ΘΚ, mindre än 11 till 1148. Sålunda är ΒΑ mindre än en hundradel av ΘΚ. Men ΒΑ är lika med cirkeln ΖΗ:s diameter, eftersom även halva den, ΦΑ, är lika med ΚΡ. Ty då ΘΚ och ΘΑ är lika, är de förbundna med vinkelräta linjer från ändarna i samma vinkel. Alltså är det uppenbart, att cirkeln ΣΗ:s diameter är mindre än en hundradel av ΘΚ. Och diametern ΕΘΥ är mindre än cirkeln ΣΗ:s diameter, eftersom cirkeln ΔΕΖ är mindre än cirkeln ΣΗ. Alltså är ΘΥ tillsammans med ΚΣ mindre än en hundradel av ΘΚ. Sålunda har ΘΚ ett förhållande till ΥΣ, mindre än 100 till 99. Och eftersom ΘΚ är större än ΘΡ och ΣΥ är mindre än ΔΤ, har alltså även ΘΡ ett förhållande till ΔΤ, mindre än 100 till 99. Eftersom ΘΚΡ och ΔΚΤ är rätvinkliga trianglar, är sidorna ΚΡ och ΚΤ lika samt ΘΡ och ΔΤ olika, där ΘΡ är den större, har vinkeln omsluten av ΔΤ och ΔΚ ett förhållande till vinkeln omsluten av ΘΡ och ΘΚ, större än ΘΚ till ΔΚ och mindre än ΘΡ till ΔΤ. Ty om i två rätvinkliga trianglar ett par av sidorna kring den räta vinkeln är lika och ett par är olika, har den större vinkeln vid de olika sidorna ett förhållande till den mindre, större än den längre sträckan uppspänd av den räta vinkeln till den kortare, men mindre, än den längre sträckan vid den räta vinkeln till den kortare. Så att vinkeln omsluten av ΔΛ och ΔΞ har ett förhållande till vinkeln omsluten av ΘΟ och ΘΜ, mindre än ΘΡ till ΔΤ, vilken har ett förhållande, mindre än 100 till 99. Så att även vinkeln omsluten av ΔΛ och ΔΞ har ett förhållande till vinkeln omsluten av ΘΜ och ΘΟ, mindre än 100 till 99. Och eftersom vinkeln omsluten av ΔΛ och ΔΞ är större än större än en tvåhundradedel av en rät, är vinkeln omsluten av ΘΜ och ΘΟ större än än 99 delar av en rät delad i tjugotusen delar. Sålunda är den större än en del av en rät delad i 200 och 3. Alltså är ΒΑ större än kordan av ett snitt av cirkeln ΑΒΓ:s omkrets delad i 812. Och solens diameter är lika med ΑΒ. Alltså är det uppenbart, att solens diameter är större än tusensidingens sida.

II.

Τούτων δὲ ὑποκειμένων δεικνύται καὶ τάδε· ὅτι ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ μυριοπλασίων, καὶ ἔτι ὅτι ἁ διάμετρος τοῦ κόρμου ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων μυριάκις μυριάδες $ρ ʹ$ . ἐπεὶ γὰρ ὑποκείται τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου μὴ μείζονα εἶμεν ἢ τριακονταπλασίονα τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας, τὰν δὲ διάμετρον τᾶς γᾶς μείζονα εἶμεν τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας, δῆλον, ὡς ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριακονταπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς. πάλιν δὲ ἐπεὶ ἐδείκθη ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου μείζων ἐοῦσα τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν μέγοστον κύκλον ἐγγραφομένον τῶν ἐν τῷ κόσμῳ, φανερόν, ὅτι ἁ τοῦ χιλιαγώνου περίμετρος τοῦεἰρημένου ἐλάττων ἐστὶν ἢ χιλιοπλασίων τᾶς διαμέτρου τοῦ ἁλίου. ἁ δὲ διάμετρος τοῦ ἁλίου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριακονταπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς. ὥστε ἁ περίμετρος τοῦ χιλιαγώνου ἐλάττων ἐστίν ἢ τρισμυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς. ἐπεὶ οὖν ἁ περίμετρος τοῦ χιλιαγώνου τᾶς μὲν διαμέτρου τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρισμυριοπλασίων, τᾶς δὲ διαμέτρου τοῦ κόσμου μείζων ἢ τριπλασίων· δεδείκται γάρ τοι, διότι παντὸς κύκλου ἁ διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος παντὸς πολυγωνίου τᾶς περιμέτρου, ὅ κα ᾖ ἰσόπλευρον καὶ πολυγωνότερον τοῦ ἑξαγώνου ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ κύκλῳ· εἴη κα ἁ διαμέτρος τοῦ κόσμου ἐλάττων ἢ μυριοπλασίων τᾶσ διαμέτρου τᾶς γᾶς. ἁ μὲν οὖν διάμετρος τοῦ κόσμου ἐλάττων ἐοῦσα ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς δεδείκται. ὅτι δὲ ἐλάττων ἐστὶν ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου ἢ σταδίων μυριάκις μυριάδες $ρ ʹ$ , ἐκ τούτου δῆλον. ἐπεὶ γὰρ ὑποκείται τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς μὴ μείζονα εἶμεν ἢ τριακοσίας μυριάδας σταδίων, ἁ δὲ περίμετρος τᾶς γᾶς μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασία τᾶς διαμέτρου διὰ τὸ παντὸς κύκλου τὰν περιφέρειαν μείζονα εἰμεν ἢ τριπλασίονα τᾶς διαμέτρου, δῆλον, ὡς ἁ διάμετρος τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων $ρ ʹ$ μυριάδες. ἐπεὶ οὖν ἁ τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ μυριοπλασιων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς, δῆλον, ὡς ἁ τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων μυριάκις μυριάδες $ρ ʹ$ . περὶ μὲν οὖν τῶν μεγεθέων καὶ τῶν ἀποστημάτων ταῦτα ὑποτιθέμαι, περὶ δὲ τοῦ ψάμμου τάδε· εἴ κα ᾖ τι συγκείμενον μέγεθος ἐκ τοῦ ψάμμου μὴ μείζον μάκωνος, τὸν ἀριθμὸν αὐτοῦ μὴ μείζονα εἶμεν μυρίων, καὶ τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος μὴ ἐλάττονα εἶμεν ἢ τετρωκοστομόριον δακτύλου^E E) En tum var en sextondels fot, dvs. i detta fall dryga 20 mm.. ὑποτιθέμαι δὲ τοῦτο ἐπισκεψάμενος τόνδε τὸν τρὸπον· ἐτέθεν ἐπὶ κανόνα λεῖον μακώνες ἐπ' εὐθείας ἐπὶ μίαν κειμέναι ἁπτομέναι ἀλλαλᾶν, καὶ ἀνελάβον αἱ $κε ʹ$ μακώνες πλέονα τόπον δακτυλιαίου μάκεος. ἐλάττονα οὖν τιθεὶς τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος ὑποτιθέμαι ὡς τετρωκοστομόριον εἶμεν δακτύλου καὶ μὴ ἐλάττονα, βουλόμενος καὶ διὰ τούτων ἀναμφιλογώτατα δεικνύσθαι το προκείμενον.

2.

Sedan detta fastslagits visas även detta: Att kosmos' diameter är tiotusenfalt mindre än jordens och dessutom, att kosmos' diameter är mindre än 100 myriader myriader stadier. Ty eftersom solens diameter antagits inte vara större än trettio gånger månens diameter och att jordens diameter är större än månens, är det uppenbart, att solens diameter är mindre än trettio gånger jordens diameter. Åter eftersom solens diameter visats vara större än sidan av tusensidingen inskriven i den största cirkeln av dem i kosmos, är det uppenbart, att nämnda tusensidings omkrets är mindre än tusen gånger solens diameter. Och solens diameter är mindre än trettio gånger jordens diameter. Sålunda är tusensidingens omkrets mindre än trettiotusen gånger jordens diameter. Eftersom då tusensidingens omkrets är mindre än trettiotusen gånger jordens diameter, men större än tre gånger kosmos' diameter - ty det har faktiskt visats, att varje cirkelns diameter är mindre än tre delar av omkretsen av varje polygon, som är liksidig och har fler sidor än sexhörningen, inskriven i en cirkel, är kosmos' diameter mindre än tiotusen gånger jordens diameter. Alltså har kosmos' diameter visats vara mindre än tiotusen gånger jordens diameter. Att kosmos' diameter är mindre än 100 myriader myriader stadier, är uppenbart av följande. Ty eftersom jordens omkrets har antagits inte vara större än trettio myriader stadier och jordens omkrets är större än tre gånger dess diameter - eftersom varje cirkels omkrets är tre gånger större än dess diameter, är det uppenbart, att jordens diameter är mindre än 100 myriader stadier. Eftersom då kosmos' diameter är mindre än 10000 gånger jordens diameter, är det uppenbart, att kosmos' diameter är mindre än 100 myriader myriader stadier. Alltså antar jag detta om storlekar och avstånd, men om sandkorn följande: Om en mängd samlats av sandkorn, ej större än ett vallmofrö, är deras antal ej större än en myriad och vallmofröets diameter är ej mindre än en fyrtiondels tum. Jag antar, när jag undersöker detta, även följande i ämnet: Vallmofrön lagda på en jämn stav i rät linje, ett och ett liggande intill varandra, och 25 vallmofrön upptar ett utrymme större än en tum i längd. Då jag så sätter vallmofröets diameter, antar jag den vara mindre, som en fyrtiondel av en tum, men inte mindre, då jag genom detta önskar, att helt utan tveksamheter visa det föreslagna.

III.

Ἃ μὲν οὖν ὑποτιθέμαι, ταῦτα. χρῆσιμον δὲ εἶμεν ὑπολαμβάνω τὰν κατονόμαξιν τῶν ἀριθμῶν ῥηθήμεν, ὥπος καὶ τῶν ἄλλων οἱ τῷ βιβλίῳ μὴ περιτετευχότες τῷ ποτὶ Ζεύξιππον γεγραμμένῳ μὴ πλανώνται διὰ τὸ μηδὲν εἶμεν ὑπὲρ αὐτᾶς ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ προειρημένον. συμβαίνει δὴ τὰ ὀνόματα τῶν ἀριτημῶν ἐς τὸ μὲν τῶν μυρίων ὑπάρχειν ἁμῖν παραδεδομένα, καὶ ὑπὲρ τὸ τῶν μυρίων ~~μὲν~~ ἀποχρεόντως ἐγγιγνώσκομες μυριάδων ἀριημὸν λεγόντες ἔστε ποτὶ τὰς μυρίας μυριάδας. ἔστων οὖν ἁμῖν οἱ μὲν νῦν εἰρημένοι ἀριθμοὶ ἐς τὰς μυρίας μυριάδας πρώτοι καλουμένοι. τῶν δὲ πρώτων ἀριθμῶν αἱ μυρίαι μυριάδες μονὰς καλείσθω δευτέρων ἀριτθμων, καὶ ἀριθμείσθων τῶν δευτέρων μονάδες καὶ ἐκ τᾶν μονάδων δεκάδες καὶ ἑκατοντάδες καὶ χιλιάδες καὶ μυριάδες ἐς τὰς μυρίας μυριάδας. πάλιν δὲ καὶ αἱ μυρίαι μυριάδες τῶν δευτέρων ἀριυημῶν μονὰς καλείσηω τρίτων ἀριθμῶν, καὶ ἀριθμείσθων τῶν τρίτων ἀριθμῶν μονάδες, καὶ ἀπὸ τᾶν μονάδων δεκάδες καὶ ἑκατοντάδες καὶ χιλιάδες καὶ μυριάδες ἐς τὰς μυρίας μυριάδας. τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ τῶν τρίτων ἀριθμῶν μυρίαι μυριάδες μονὰς καλείσθω τετάρτων ἀριθμν, καὶ αἱ τῶν τετάρτων ἀριθμῶν μυρίαι μυριάδες μονὰς καλείσθω πέμπτων ἀριθμῶν, καὶ ἀεὶ οὕτως προαγόντες οἱ ἀριθμοὶ τὰ όματα ἐχόντων ἐς τὰς μυριακισμυριοστῶν ἀριθμῶν μυρίας μυριάδας. ἀποχρέοντι μὲν οὖν καὶ ἐπὶ τοσοῦτον οἱ ἀριθμοὶ γιγνωσκομένοι. ἔξεστι δὲ καὶ ἐπὶ πλέον προάγειν. ἔστων γὰρ οἱ μὲν νῦν εἰρημένοι ἀριθμοὶ πρώτας περιόδου καλουμένοι, ὁ δὲ ἔσχατος ἀριθμὸς τᾶς πρώτας περιόδου μονὰς καλείσθω δευτέρας περιόδου πρώτων ἀριθμῶν. πάλιν δὲ καὶ αἱ μυρίαι μυριάδες τᾶς δευτέρας περιόδου πρώτων ἀριθμῶν μονὰς καλείσθω τᾶς δευτέρας περιόδου δευτέρων ἀριθμῶν. ὁμοίως δὲ καὶ τούτων ὁ ἔσχατος μονὰς καλείσθω δευτέρας περιόδου τρίτων ἀριθμῶν, καὶ ἀεὶ οὕτως οἱ ἀριθμοὶ προαγόντες τὰ όματα ἐχόντων τᾶς δευτέρας περιόδου ἐς τὰς μυριακισμυριοστῶν ἀριθμῶν μυρίας μυριάδας. πάλιν δὲ καὶ ὁ ἔσχατος ἀριθμὸς τᾶς δευτέρας περιόδου μονὰς καλείσθω τρίτας περιόδου πρώτων ἀριθμῶν, καὶ ἀεὶ οὕτως προαγόντων ἐς τὰς μυριακισμυριοστᾶς περιόδου μυριακισμιριοστῶν ἀριθμῶν μυρίας μυριάδας. τούτων δὲ οὕτως κατωνομασμένων, εἴ κα ἔωντι ἀριθμοὶ ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἑξῆς κειμένοι, ὁ δὲ παρὰ τὰν μονάδα δεκὰς ᾖ, ὀκτὼ μὲν αὐτῶν οἱ πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων ἀριθμῶν καλουμένων ἐσσούνται, οἱ δὲ μετ' αὐτοὺς ἄλλοι ὀκτὼ τῶν δευτέρων καλουμένων, καὶ οἱ ἄλλοι τὸν αὐτὸν τρόποω τούτοις τῶν συνωνύμων καλουμένων ἐσσούνται τᾷ ἀποστάσει τᾶς ὀκτάδος τῶν ἀριθμῶν ἀπὸ τᾶς πρώτας ὀκτάδος τῶν ἀριθμῶν. τᾶς μὲν οὖν πρώτας ὀκτάδος τῶν ἀριθμῶν ὁ ὄγδοός ἐστιν ἀριθμὸς χιλίαι μυριάδες, τᾶς δὲ δευτέρας ὀκτάδος ὁ πρῶτος, ἐπεὶ δεκαπλασιών ἐστὶν τοῦ πρὸ αὐτοῦ, μυρίαι μυριάδες ἐσσείται. οὗτος δέ ἐστι μονὰς τῶν δευτέρων ἀριθμῶν. ὁ δὲ ὄγδοος τᾶς δευτέρας ὀκτάδος ἐστὶ χιλίαι μυριάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν. πάλιν δὲ καὶ τᾶς τρίτας ὀκτάδος ὁ πρῶτος, ἐπεὶ δεκαπλασίων ἐστὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ, μυρίαι μυριάδες ἐσσείται τῶν δευτέρων ἀριθμῶν. φανερὸν δέ, ὅτι καὶ ὁποσαιοῦν ὀκτάδες ἑξοῦντι, ὡς εἰρήται. χρήσιμον δέ ἐστι καὶ τόδε γιγνωσκόμενον. εἰ κα ἀριθμῶν ἀπὸ τᾶς μονάδος ἀνάλογον ἐόντων πολλαπλασιάζωντί τινες ἀλλάλους τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, ὁ γενόμενος ὁμοίως ἐσσείται ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπέχων ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀλλάλους, ὅσους ὁ ἐλάττων τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἀπέχει, ἀπὸ δὲ τᾶς μονάδος ἀφέξει ἑνὶ ἐλαττόνας, ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς συναμφοτέρων, οὓς ἀπέχοντι ἀπὸ μονάδος οἱ πολλαπλασιαξάντες ἀλλάλους. ἔστων γὰρ ἀριθμοί τινες ἀνάλογον ἀπὸ μονάδος, οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ, Λ, μονὰς δὲ ἔστω ὁ Α. καὶ πεπολλαπλασιάσθω ὁ Δ τῷ Θ, ὁ δὲ γενόμενος ἔστω ὁ Χ. λελάφθω δὴ ἐκ τᾶς ἀναλογίας ὁ Λ ἀπέχων ἀπὸ τοῦ Θ τοσούτους, ὅσους ὁ Δ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει. δεικτέον, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Χ τῷ Λ. ἐπεὶ οὖν ἀνάλογον ἐόντῶν ἀριθμῶν ἴσους ἀπέχει ὅ τε Δ ἀπὸ τοῦ Α, καὶ ὁ Λ ἀπὸ τοῦ Θ, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὁ Δ ποτὶ τὸν Α, ὃν ὁ Λ ποτὶ τὸν Θ. πολλαπλασίων δέ ἐστιν ὁ Δ τοῦ Α τῷ Δ. πολλαπλασίων ἄρα ἐστὶν καὶ ὁ Λ τοῦ Θ τῷ Δ. ὥστε ἴσος ἐστὶν ὁ Λ τῷ Χ. οὖν, ὅτι ὁ γενόμενος ἐκ τᾶς ἀναλογίας τέ ἐστιν καὶ ἀπὸ τοῦ μείζονος τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀλλάλους ἴσους ἀπέχων, ὅσους ὁ ἐλάττων ἀπὸ τᾶς μονάδος ἀπέχει. φανερὸν δέ, ὅτι καὶ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει ἑνὶ ἐλαττόνας, ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς συναμφοτέρων, οὓς ἀπέχοντι ἀπὸ τᾶς μονάδος οἱ Δ, Θ. οἱ μὲν γὰρ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ τοσούτοι ἐντί, ὅσους ὁ Θ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει, οἱ δὲ Ι, Κ, Λ ἑνὶ ἐλαττόνες, ἢ ὅσους ὁ Δ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει· σὺν γὰρ τῷ Θ τοσούτοι ἐντί.

3.

Alltså antar jag följande, sålunda: Jag antar det vara användbart, att talens benämningar dryftas, så att även andra, som ej råkat på boken skriven till Zeuxippos, ej vilseleds, eftersom inget om detta är omtalat i denna bok. Det är då så, att talens namn upp till myriaderna har överförts till oss och över myriaderna vet vi tillräckligt för att tala om myriadernas antal ända upp till en myriad myriader. Låt alltså nu de nämnda talen till en myriad myriader kallas de första. Och låt en myriad myriader av de första talen kallas en enhet av de andra talen och låt räkna den andras enheter och enheternas tiotal, hundratal, tusental och myriader till en myriad myriader. Åter, låt även en myriad myriader av de andra talen kallas en enhet av de tredje talen och låt räkna den tredjes enheter och enheternas tiotal, hundratal, tusental och myriader till en myriad myriader. Och låt även på samma sätt tredje talens myriad myriader kallas fjärde talens enhet, låt fjärde talens myriad myriader kallas femte talens enhet och kontinuerligt fortsatt på detta sätt får talen namn till myriad-myriader-talens myriad myriader. Alltså är även så stora tal kända. Det är också möjligt fortsätta än längre. Ty låt de nu nämnda talen kallas första omgången, och låt det sista talet av första omgången kallas de första talens enhet av andra omgången. Låt så åter en myriad myriader av de första talen av andra omgången kallas de andra talens enhet av andra omgången. Och låt på samma sätt den sista kallas tredje talen enhet av andra omgången och kontinuerligt fortsatt på detta sätt får talen av andra omgången namn till myriad-myriader-talens myriad myriader. Åter låt även sista talet av andra omgången kallas de första talens enhet av tredje omgången och kontinuerligt fortsatt på detta sätt till myriad-myriader-talen av myriad-myriader-omgången. Sedan dessa namngivits på detta sätt, om det finns tal efter enheten utlagda proportionellt sammanhängande och det närmast enheten är tiotalet, skall de åtta första av dessa, inklusive enheten, tillhöra dem, kallade de första talen, de åtta följande på dessa tillhöra dem, kallade de andra talen samt de följande på samma sätt, tillhöra dem, som har samma namn, som talens oktads avstånd från de första talens oktad. Alltså är åttonde talet av första oktadens tal tusen myriader och det första av andra oktaden, eftersom det är tio gånger det före sig, blir en myriad myriader. Detta är även andra talens enhet. Och det åttonde av andra oktaden är tusen myriader av andra talen. Och åter första talet av tredje oktaden blir, eftersom det är tio gånger det före sig, en myriad myriader av andra talen. Och det är tydligt, att det även skall finnas så många oktader, som nämnts. Det är även användbart att känna till följande. Om tal, från enheten, är proportionella och några med samma proportion är multiplicerade med varandra, skall resultatet vara avlägset i samma proportion från det större av talen multiplicerade med varandra, som det mindre av de multiplicerade är i proportion från enheten, men vara med ett mindre avlägset från enheten, än talens sammanlagda avstånd, vilka de multiplicerade med varandra har till enheten. Ty låt några tal från enheten vara proportionella, Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ och Λ samt låt Α vara enheten. Och låt ha multiplicerat Δ med Θ och låt resultatet vara Χ. Låt så ha tagit Λ från proportionen så många avlägset från Θ, som så många Δ är avlägset från enheten. Det skall visas, att Χ är lika med Λ. Då eftersom talen är proportionella och Δ är lika avlägset från Α som Λ från Θ, har Δ samma förhållande till Α, som Λ till Θ. Men Δ är Α multiplicerat med Δ. Alltså är Λ även Θ multiplicerat med Δ. Därför är Λ lika med Χ. Alltså, är även resultatet från proportionen och det är lika avlägset från större av dem multiplicerade med varandra, som det mindre är avlägset från enheten. Och det är tydligt, att det även är med ett mindre avlägset från enheten, än talens sammanlagda avstånd, vilka Δ och Θ har till enheten. Ty Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η och Θ är så många, som Θ är avlägset från enheten, och Ι, Κ och Λ en mindre, än så många Δ är avlägset från enheten. Ty så många är de med Θ.

IV.

Τούτων δὲ τῶν μὲν ὑποκειμένων, τῶν δὲ ἀποδεδειγμένων τὸ προκείμενον δειχθησέται. ἐπεὶ γὰρ ὑποκείται τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος μὴ ἐλάσσονα εἶμεν ἢ τετρωκοστομόριον δακτύλου, δῆλον, ὡς ἁ σφαῖρα ἁ δακτυλιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον οὐ μείζων ἐστὶν ἢ ὥστε χωρεῖν μακώνας ἑξακισμυρίας καὶ τετρακισχιλίας· τᾶς γὰρ σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον τετρωκοστομόριον δακτύλου πολλαπλασία ἐστὶν τῷ εἰρημένῳ ἀριθμῷ. δεδείκται γάρ τοι, ὅτι αἱ σφαίραι τριπλάσιον λόγον ἔχοντι ποτὶ ἀλλας τᾶν διαμέτρων. ἐπεὶ δὲ ὑποκείται καὶ τοῦ ψάμμου τὸν ἀριθμὸν τοῦ ἴσον τῷ τᾶς μάκωνος μεγέθει ἔχοντος μέγεθος μὴ μείζονα εἶμεν μυρίων, δῆλον, ὡς, εἰ πληρωθείη ψάμμου ἁ σφαῖρα ἁ δακρτυλιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον, οὐ μείζων κα εἴη ὁ ἀριθμὸς τοῦ ψάμμου ἢ μυριάκις τὰ ἑξακισμύρια καὶ τετρακισχίλια. οὗτος δέ ἐστιν ὁ ἀριθμὸς μονάδες τε $ϛ ʹ$ τῶν δευτέρων ἀριθμῶν καὶ τῶν πρώτων μυριάδες τετρακισχιλίαι. ἐλάσσων οὖν ἐστιν ἢ $ι ʹ$ μονάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν. ἁ δὲ τῶν $ρ ʹ$ δακτύλων ἔχουσα τὰν διάμετρον σφαῖρα πολλαπλασία ἐστὶν τᾶς δακτυλιαίαν ἐχούσας τὰν διάμετρον σφαίρας ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν διὰ τὸ τριπλάσιον λόγον ἔχειν ποτ' ἀλλάλας τᾶν διαμέτρων τὰς σφαίρας. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον δακτύλων $ρ ʹ$ , δῆλον, ὡς ἐλάττων ἐσσείται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριημὸς τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν δέκα μονάδων τῶν δευτέρων ἀριθμῶν ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. ἐπεὶ δ' αἱ τῶν δευτέρων ἀριθμῶν δέκα μονάδες δέκατός ἐστιν ἀριθμὸς ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἐν τᾷ τῶν δεκαπλασίων ὅρων ἀναλογίᾳ, αἱ δὲ ἑκατὸν μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὡς ὁ γενόμενος ἀριθμὸϛ ἐσσείται τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἑκκαιδέκατος ἀπὸ μονάδος. δεδείκται γάρ, ὅτι ἑνὶ ἐλασσόνας ἀπέχει ἀπὸ μονάδας, ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριημὸς συναμφοτέρων, οὓς ἀπέχοντι ἀπὸ μονάδος οἱ πολλαπλασιαξάντες ἀλλάλους. τῶν δὲ ἑκκαίδεκα τούτων ὀκτὼ μὲν οἱ πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, οἱ δὲ μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν δευτέρων, καὶ ὁ ἔσχατός ἐστιν αὐτῶν χιλίαι μυριάδες δευτέρων ἀριθμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον $ρ ʹ$ δακτύλων ἐχούσᾳ ἔλαττόν ἐστιν ἢ χιλίαι μυριάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν. πάλιν δὲ καὶ ἁ σφαῖρα ἁ τῶν μυρίων δακτύλων ἔχουσα τὰν διάμετρον πολλαπλασία ἐστὶν τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον $ρ ʹ$ δακτύλων ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσι. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ ἔχουσα σφαῖρα τὰν διάμετρον μυρίων δακτύλων, δῆλον, ὡς ἐλάσσων ἐσσείται ὁ τοῖ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν χιλιᾶν μυριάδων τῶν δευτέρων ἀριθμῶν ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. ἐπεὶ δ' αἱ μὲν τῶν δευτέρων ἀριθμῶν χιλίαι μυριάδες ἑκκαιδέκατός ἐστιν ἀριθμὸς ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ $ρ ʹ$ μυριάδες ἕβσομος ἀπὸ μονάδος ἐν τᾷ αὐτᾷ ἀναλογίᾳ, δῆλον, ὡς ὁ γενόμενος ἐσσείται δυοκαιεικοστὸς τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπὸ μονάδος. τῶν δὲ δύο καὶ εἴκοσι τούτων ὀκτὼ μὲν οἱ πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, ὀκτὼ δὲ οἱ μετὰ τούτους τῶν δευτέρων καλουμένων, οἱ δὲ λοιποὶ ἓξ τῶν τρίτων καλουμένων. καί ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι δέκα μυριάδες τῶν τρίτων ἀριθμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ μυρίων δακτύλων ἔλασσ ἐστιν ἢ $ι ʹ$ μυριάδες τρίτων ἀριθμῶν. καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἁ στασιαίαν ἔχουσα τὰν διάμετρον σφαῖρα τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον μυρίων δακτύλων, δῆλον, ὅτι καὶ τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντοσ ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδιαίαν ἔλασσόν ἐστιν ἢ $ι ʹ$ μυριάδες τῶν τρίτων ἀριθμῶν. πάλιν δὲ ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τῶν διάμετρον $ρ ʹ$ σταδίων πολλαπλασίων ἐστὶ τᾶς σφαίρας ἐχούσας τὰν διάμετρον σταδιαίαν ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον $ρ ʹ$ σταδίων, δῆλον, ὅτι ἐλάσσων ἐσσείται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν δέκα μυριάδων τρίτων ἀριθμῶν ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσι. καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν τῶν τρίτων ἀριθμῶν δέκα μυριάδες δυοκαιεικοστός ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ $ρ ʹ$ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὡς ὁ γενόμενος ἐσσείται ὀκτωκαιεικοστὸς ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπὸ μονάδος. τῶν δὲ ὀκτὼ καὶ εἴκοσι τούτων ὀκτὼ μὲν οἱ πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, οἱ δὲ μετὰ τούτους ἄλλοι ὀκτὼ τῶν δετέρων, καὶ οἱ μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν τρίτων, οἱ δὲ λοιποὶ τέσσαρες τῶν τετάρτων καλουμένων, καὶ ὁ ἔσχατος αὐρῶν ἐστι χιλίαι μονάδες τῶν τετάρτων ἀριθμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων $ρ ʹ$ ἔλασσόν ἐστιν ἢ χιλίαι μονάδες τῶν τετάρτων ἀριθμῶν. πάλιν δὲ ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον μυρίων σταδίων πολλαπλασία ἐστὶ τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον σταδίων $ρ ʹ$ ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον σταδίων μυρίων, δῆλον, ὅτι ἔλασσον ἐσσείται τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν χιλιᾶν μονάδων τῶν τετάρτων ἀριθμῶν ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. ἐπεὶ δ' αἱ μὲν τῶν τετάρτων ἀριθμῶν χιλίαι μονάδες ὀκτωκαιεικοστός ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δ' ἑκατὸν μυριάδες ἕβσομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὅτι ὁ γενόμενος ἐσσείται ἐκ τᾶς αὐτᾶϛ ἀναλογίας τέταρτος καὶ τριακοστὸς ἀπὸ μονάδος. τῶν δὲ τεσσάρων καὶ τριάκοντα τούτων ὀκτὼ μὲν οἱ πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, οἱ δὲ μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν δευτέρων, καὶ οἱ μετὰ τούτους ἄλλοι ὀκτὼ τῶν τρίτων, καὶ οἱ μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν τετάρτων, οἱ δὲ λοιποὶ δύο τῶν πέμτων καλουμένων ἐσσούνται, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι δέκα μονάδες τῶν πεμπτων ἀριθμῶν. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφάρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων μυρίων ἔλασσον ἐσσείται ἢ $ι ʹ$ μονάδες τῶν πέμπτων ἀριθμῶν. πάλιν δὲ ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον σταδίων $ρ ʹ$ μυριάδων πολλαπλασία ἐστὶ τᾶς σφαίρας τᾶς τὰν διάμετρον ἐχούσας σταδίων μυρίων ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσι. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον σταδίων $ρ ʹ$ μυριάδων, δῆλον, ὡς ἐλάσσων ἐσσείται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν δέκα μονάδων τῶν πέμπτων ἀριθμῶν ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν τῶν πέμπτων ἀριθμῶν δέκα μονάδες τέταρτός ἐστι καὶ τριακοστὸς ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ $ρ ʹ$ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὅτι ὁ γενόμενος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἐσσείται τετρωκοστὸς ἀπὸ μονάδος. τῶν δὲ τεσσαράκοντα τούτων ὀκτὼ μὲν οἱ πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, οἱ δὲ μετὰ ταῦτα ἄλλοι ὀκτὼ τῶν δευτέρων, καὶ οἱ μετὰ τούτους ἀλλοι ὀκτὼ τῶν τρίτων, οἱ δὲ μετὰ τοὺς τρους ὀκτὼ τῶν τετάρτων, οἱ δὲ μετὰ τούτους ὀκτὼ τῶν πέμπτων καλουμένων, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι χιλίαι μυριάδες τῶν πέμπτων ἀριθμῶν. φανεὸν οὖν, ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων $ρ ʹ$ μυριάδων ἔλασσόν ἐστιν ἢ χιλίαι μυριάδες τῶν πέμπτων ἀριθμῶν. ἁ δὲ τὰν διάμετρον ἔχουσα σφαῖρα σταδίων μυριᾶν μυριάδων πολλαπλασίων ἐστὶ τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον σταδίων $ρ ʹ$ μυριάδων ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. εἰ δὴ γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διαμετρον σταδίων μυριᾶν μυριάδων, φανερόν, ὅτι ἔλασσον ἐσσείται τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν χιλιᾶν μυριάδων τῶν πέμπτων ἀριθμῶν ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. ἐπεὶ δ' αἱ μὲν τῶν πέμπτων ἀριθμῶν χιλίαι μυριάδες τετρωκοστός ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ $ρ ʹ$ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὡς ὁ γενόμενος ἐσσείται ἕκτος καὶ τετρωκοστὸς ἀπὸ μοναδος. τῶν δὲ τεσσαράκοντα καὶ ἓξ τούτων ὀκτὼ μὲν οἱ πρώτοι σὺν τᾷ μονάδι τῶν πρώτων καλουμένων ἐντί, ὀκκτὼ δὲ οἱ μετὰ τούτους τῶν δευτέρων, καὶ οἱ μετὰ τούτους ἄλλοι ὀκτὼ τῶν τρίτων, οἱ δὲ μετὰ τοὺς τρίτους ἄλλοι ὀκτὼ τῶν τετάρτων, καὶ οἱ μετὰ τοὺς τετάρτους ὀκτὼ τῶν πέμπτων, οἱ δὲ λοιποὶ ἓξ τῶν ἕκτων καλουμένων ἐντί, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι $ι ʹ$ μυριάδες τῶν ἕκτων ἀριθμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆηοσ τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων μυριάδων μυριᾶν ἔλασσόν ἐστιν ἢ $ι ʹ$ μυριάδες τῶν ἕκτων ἀριημῶν. ἁ δὲ τὰν διάμετρον ἔχουσα σφαῖρα σταδίων μυριάκις μυριάδων $ρ ʹ$ πολλαπλασία ἐστὶ τᾶς σφαίρας τᾶς ἐχούσας τὰν διάμετρον σταδίων μυριάδων μυριᾶν ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. εἰ οὖν γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαιῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκα ἐστὶν ἁ σφαῖρα ἁ ἔχουσα τὰν διάμετρον σταδίων μυριάκις μυριάδων $ρ ʹ$ , φανερόν, ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος ἔλασσον ἐσσείται τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασθεισᾶν τᾶν $ι ʹ$ μυριάδων τῶν ἕκτων ἀριθμῶν ταῖς $ρ ʹ$ μυριάδεσσιν. ἐπεὶ δ' αἱ μὲν τῶν ἕκτων ἀριθμῶν δέκα μυριάδες ἕκτος καὶ τετρωκοστός ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ $ρ ʹ$ μυριάδες ἕβδομος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὅτι ὁ γενόμενος ἐσσείται δυοκαιπεντακοστὸς ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας. τῶν δὲ δύο καὶ πεντήκοντα τούτων οἱ μὲν ὀκτὼ καὶ τεσσαράκοντα σὺν τᾷ μονάδι οἵ τε πρώτοι καλουμένοι ἐντὶ καὶ οἱ δευτέροι καὶ τροι καὶ τετάρτοι καὶ πέμπτοι καὶ ἕκτοι, οἱ δὲ λοιποὶ τέσσαρες τῶν ἑβδόμων καλουμένων ἐντί, καὶ ὁ ἔσχατος αὐτῶν ἐστι χιλίαι μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν. φανερὸν οὖν, ὅτι τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾳ τᾷ τὰν διάμετρον ἐχούσᾳ σταδίων μυριάξις μυριάδων $ρ ʹ$ ἔλασσόν ἐστιν ἢ $͵ α$ μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἁ τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάσσων ἐοῦσα σταδίων μυριάκις μυριάδων $ρ ʹ$ , δῆλον, ὄτι καὶ τοῦ ψάμμου τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τῷ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἢ $͵ α$ μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν. ὅτι μὲν οὖν τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν πλείστων ἀστρολων καλουμένῳ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἢ $͵ α$ μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν, δεδείκται. ὅτι δὲ καὶ τὸ πλῆθος τοῦ ψάμμου τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ σφαίρᾶ ταλικαύτᾳ ἁλίκαν Ἀρίσταρχος ὑποτιθέται τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν εἶμεν, ἔλασσόν ἐστιν ἢ $͵ α$ μυριάδες τῶν ὀγσόων ἀριθμῶν, δειχθησέται. ἐπεὶ γὰρ ὑποκείται, τὰν γᾶν τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον ποτὶ τὸν ὑφ' ἁμῶν εἰρημένον κόσμον, ὃν ἔχει λόγον ὁ εἰρημένος κόσμος ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν, ἃν Ἀρίσταρχος ὑποτιθέται, καὶ αἱ διαμέτροι τᾶν σφαιρᾶν τὸν αὐτον ἔχοντι λόγον ποτ' ἀλλάλας, ἁ δὲ τοῦ κόσμου διάμετρος τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς δεδείκται ἐλάσσων ἐοῦσα ἢ μυριοπλασίων, δῆλον οὖν, ὅτι καὶ ἁ διάμετρος τᾶς τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρας ἐλάσσων ἐστὶν ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τοῦ κόσμου. ἐπεὶ δὲ αἱ σφαίραι τριπλάσιον λόγον ἔχοντι ποτ' ἀλλάλας τὰν διαμέτρων, φανερόν, ὅτι ἁ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖρα, ἃν Ἀρίσταρχος ὑποτιθέται, ἐλάττων ἐστιν ἢ μυριάκις μυρίαις μυριάδεσσι πολλαπλασίων τοῦ κόσμου. δεδείκται δέ, ὅτι τὸ τοῦ ψάμμου πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τῷ κόσμῳ ἔλασσόν ἐστιν ἢ $͵ α$ μονάδες τῶν ἑβδόμων ἀριθμῶν. δῆλν οὖν, ὅτι, εἰ γένοιτο ἐκ τοῦ ψάμμου σφαῖρα ταλικαύτα τὸ μέγεθος, ἁλίκαν ὁ Ἀρίσταρχος ὑποτιθέται τὰν τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν εἶμεν, ἐλάσσων ἐσσείται ὁ τοῦ ψάμμου ἀριθμὸς τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ πολλαπλασιασηεισᾶν τᾶν χιλιᾶν μονάδων ταῖς μυριάκις μυρίαις μυριάδεσσιν. καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν τῶν ἑβδόμων $͵ α$ μονάδες δυοκαιπεντακοστός ἐστιν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον, αἱ δὲ μυριάκις μυρίαι μυριάδες τρισκαιδέκατος ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, δῆλον, ὅτι ὁ γενόμενος ἐσσείτα τέταρτος καὶ ἑξηκοστὸς ἀπὸ μονάδος ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας. οὗτος δέ ἐστι τῶν ὀγδόων ὄγδοος, ὅς κα εἴη χιλίαι μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν. φανερὸν τοίνυν, ὅτι τοῦ ψάμμοῦ τὸ πλῆθος τοῦ μέγεθος ἔχοντος ἴσον τᾷ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαίρᾳ, ἃν Ἀρίσταρχος ποτιθέται, ἔλασσόν ἐστιν ἢ $͵ α$ μυριάδες τῶν ὀγδόων ἀριθμῶν. ταῦτα δέ, βασιλεῦ Γέλων, τοῖς μὲν πολλοῖς καὶ μὴ κεκοινωνηκότεσσι τῶν μαθημάτων οὐκ εὔπιστα φανήσειν ὑπολαμβάνω, τοῖς δὲ μεταλελαβηκότεσσιν καὶ περὶ τῶν ἀποστημάτων καὶ τῶν μεγεθέων τᾶς τε γᾶς καὶ τοῦ ἁλίου καὶ τᾶς σελήνας καὶ τοῦ ὅλου κόσμου πεφροντικότεσσιν πιστὰ διὰ τὰν ἀπόδειξιν ἐσσείσθαι. διόπερ ᾠήθην κα καὶ τὶν οὐκ ἀναρμοστεῖν ~~ἔτι~~ ἐπιθεωρήσαι ταῦτα.^[1]

4.

Sedan detta dels antagits och dels visats, skall föresatsen visas. Ty eftersom vallmofröets diameter antagits ej vara mindre än en fyrtiondels tum, är det uppenbart, att sfären, som har en tums diameter, inte är större än, att den rymmer sextiotusen och fyratusen vallmofrön. Ty det är en multipel av sfären, som har en diameter fyrtiondels tum, med det nämnda talet. Ty det har faktiskt visats, att sfärer har ett triplicerat förhållande till varandra än diametrarna. Eftersom det även antagits, att sandkornens antal har en storlek lika med vallmofrönas, som inte är större än en myriad, är det uppenbart, att, om sfären, som har en tums diameter, fyllts av sandkorn, vore sandkornens antal ej större än en myriad gånger sextiotusen och fyratusen. Detta tal är 6 enheter av de andra talen och fyratusen myriader av de första. Alltså är det mindre än 10 enheter av de andra talen. Sfären, som har en diameter av 100 tum, är en multipel av sfären, som har en tums diameter, med 100 myriader, eftersom sfärer har ett triplicerat förhållande till varandra än diametrarna. Om så en sfär med sandkorn blev till med en storlek, lika stor som sfären, som har en diameter av 100 tum, är det uppenbart, att sandkornens antal skall vara mindre än talet resulterande av multiplikationen av tio enheter av de andra talen med 100 myriader. Eftersom tio enheter av de andra talen är tionde talet proportionellt från enheten i proportionen av tiofaldiga steg, och hundra myriader är det sjunde från enheten i samma proportion, är det uppenbart, att det resulterande talet skall vara det sextonde från enheten av dem i samma proportion. Ty det har visats, att detta är avlägset från enheten med en mindre, än så mycket som talen, multiplicerade med varandra är avlägsna från enheten, är tillsammans. Och av dessa sexton är åtta, med enheten, de första av dem, som kallas de första, och efter dessa åtta av de andra. Och de sista av dem är tusen myriader av de andra talen. Alltså är det tydligt, att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med sfären, som har en diameter av 100 tum, är mindre än tusen myriader av de andra talen. Och åter, är även sfären, som har en diameter av en myriad tum, en multipel av sfären, som har 100 tums diameter, med 100 myriader. Om så en sfär med sandkorn blev till med en storlek, lika stor som sfären, som har en diameter av en myriad tum, är det uppenbart, att sandkornens antal skall vara mindre än talet resulterande av multiplikationen av tusen myriader av de andra talen med 100 myriader. Eftersom de tusen muriaderna av de andra talen är det sextonde talet proportionellt från enheten och de 100 myriaderna är det sjunde i samma proportion, är det uppenbart, att resultatet skall bli det tjugoandra från enheten av dem i samma proportion. Och av dessa två och tjugo är åtta, med enheten, de första av dem, som kallas de första, de åtta efter dessa av dem, som kallas de andra och resterande sex av dem, som kallas de tredje. Och de sista av dem är tio myriader av de tredje talen. Alltså är det tydligt, att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med sfären, som har en diameter av en myriad tum, är mindre än tio myriader av de tredje talen. Och eftersom sfären, som har en diameter av ett stadion, är mindre än sfären, som har en diameter av en myriad tum, är det uppenbart, att även sandkornens mångfald, som har en storlek lika med sfären, som har en diameter av ett stadion, är mindre än 10 myriader av de tredje talen. Och åter, är även sfären, som har en diameter av hundra stadier, en multipel av sfären, som har en diameter av ett stadion, med 100 myriader. Om så en sfär med sandkorn blev till med en storlek, lika stor som sfären, som har en diameter av 100 stadier, är det uppenbart, att sandkornens antal skall vara mindre än talet resulterande av multiplikationen av tio myriader av de tredje talen med 100 myriader. Och eftersom tio myriader av de tredje talen är det tjugoandra proportionellt från enheten och de 100 myriaderna är det sjunde i samma proportion, är det uppenbart, att resultatet skall bli det tjugoåttonde från enheten av dem i samma proportion. Och av dessa åttta och tjugo är åtta, med enheten, de första av dem, som kallas de första, de efter dessa åtta av de andra, de efter dessa åtta av de tredje och resterande fyra av dem, som kallas de fjärde talen. Och de sista av dem är tusen enheter av de fjärde talen. Alltså är det tydligt, att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med sfären, som har en diameter av 100 stadier är mindre än tusen enheter av de fjärde talen. Och åter, är även sfären, som har en diameter av en myriad stadier, en multipel av sfären, som har en diameter av hundra stadier, med 100 myriader. Om så en sfär med sandkorn blev till med en storlek, lika stor som sfären, som har en diameter av en myriad stadier, är det uppenbart, att sandkornens antal skall vara mindre än talet resulterande av multiplikationen av tusen myriader av de fjärde talen med 100 myriader. Och eftersom tusen enheter av de fjärde talen är det tjugoåttonde proportionellt från enheten och de hundra myriaderna är det sjunde i samma proportion, är det uppenbart, att resultatet skall bli det fyra och trettionde från enheten av dem i samma proportion. Och av dessa fyra och trettio är åtta, med enheten, de första av dem, som kallas de första, de efter dessa åtta av de andra, de efter dessa åtta av de tredje, de efter dessa åtta av de fjärde och resterande två av dem, som kallas de femte talen. Och de sista av dem är tio enheter av de femte talen. Alltså är det uppenbart, att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med sfären, som har en diameter av en myriad stadier är mindre än 10 enheter av de femte talen. Och åter, är även sfären, som har en diameter av 100 myriader stadier, en multipel av sfären, som har en diameter av hundra stadier, med 100 myriader. Om så en sfär med sandkorn blev till med en storlek, lika stor som sfären, som har en diameter av hundra myriad stadier, är det uppenbart, att sandkornens antal skall vara mindre än talet resulterande av multiplikationen av tio enheter av de femte talen med 100 myriader. Och eftersom tio enheter av de femte talen är det fyra och trettionde proportionellt från enheten och de hundra myriaderna är det sjunde i samma proportion, är det uppenbart, att resultatet skall bli det fyrtionde från enheten av dem i samma proportion. Och av dessa fyrtio är åtta, med enheten, de första av dem, som kallas de första, de efter dessa åtta av de andra, de efter dessa åtta av de tredje, de efter dessa åtta av de fjärde och de efter dessa åtta av dem, som kallas de femte. Och de sista av dem är tusen myriader av de femte talen. Alltså är det uppenbart, att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med sfären, som har en diameter av hundra myriad stadier är mindre än tusen myriader av de femte talen. Och även sfären, som har en diameter av en myriad myriader stadier, en multipel av sfären, som har en diameter av 100 myriader stadier, med 100 myriader. Om så en sfär med sandkorn blev till med en storlek, lika stor som sfären, som har en diameter av en myriad myriader stadier, är det tydligt, att sandkornens antal skall vara mindre än talet resulterande av multiplikationen av tusen myriader av de femte talen med 100 myriader. Och eftersom tusen myriader av de femte talen är det fyrtionde proportionellt från enheten och de 100 myriaderna är det sjunde i samma proportion, är det uppenbart, att resultatet skall bli det sex och fyrtionde från enheten. Och av dessa fyrtio och sex är åtta, med enheten, de första av dem, som kallas de första, de efter dessa åtta av de andra, de efter dessa åtta av de tredje, de efter de tredje åtta av de fjärde, de efter de fjärde åtta av de femte och resterande sex av dem, som kallas de sjätte. Och de sista av dem är 10 myriader av de sjätte talen. Alltså är det tydligt, att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med sfären, som har en diameter av en myriad myriader stadier är mindre än 10 myriader av de sjätte talen. Och även sfären, som har en diameter av 100 myriad myriader stadier, en multipel av sfären, som har en diameter av en myriad myriader stadier, med 100 myriader. Eftersom Om så en sfär med sandkorn blev till med en storlek, lika stor som sfären, som har en diameter av 100 myriad myriader stadier, är det tydligt, att sandkornens antal skall vara mindre än talet resulterande av multiplikationen av 10 myriader av de sjätte talen med 100 myriader. Och eftersom tio myriader av de sjätte talen är det sex och fyrtionde proportionellt från enheten och de 100 myriaderna är det sjunde från enheten i samma proportion, är det uppenbart, att resultatet skall bli två och femtionde från enheten i samma proportion. Och av dessa två och femtio är åtta och fyrtio, med enheten, de första av dem, som kallas de första, de andra, de tredje, de fjärde, de femte, de sjätte, och resterande fyra av dem, som kallas de sjunde. Och de sista av dem är tusen myriader av de sjunde talen. Alltså är det tydligt, att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med sfären, som har en diameter av 100 myriad myriader stadier är mindre än 1000 enheter av de sjunde talen. Eftersom då kosmos' diameter har visats ha en diameter, som är mindre än 100 myriad myriader stadier, är det uppenbart, att även sandkornens mångfald, som har en storlek lika med kosmos, är mindre än 1000 enheter av de sjunde talen. Och alltså har det visats, att av sandkornens mångfald, som har en storlek lika med det, som av de flesta astrologer kallas kosmos, är mindre än 1000 enheter av de sjunde talen. Men även att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med en sfär så stor som Aristarchos antar fixstjärnornas sfär vara, är mindre än 1000 enheter av de åttonde talen kommer att visas. Ty eftersom det antagits, att jorden har samma förhållande till vårt nämnda kosmos, som förhållandet nämnda kosmos har till fixstjärnornas sfär, som Aristarchos antar, och sfärernas diametrar har samma förhållande till varandra, men kosmos' diameter har visats vara mindre än en myriad gånger jordens diameter, alltså är det uppenbart, att även diametern av fixstjärnornas sfär är mindre än en myriad gånger kosmos' diameter. Eftersom sfärer har ett triplicerat förhållande till varandra än dimetrarna, är det tydligt, att fixstjärnornas sfär, som Aristarchos antar, är en myriad myriad myriader gånger mindre än kosmos. Och det har visats att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med kosmos, är mindre än 1000 enheter av de sjunde talen. Alltså är det uppenbart, att om en sfär med sandkorn blev till med en storlek, lika stor som Aristarchos antar fixstjärnornas sfär vara, skall sandkornens antal vara mindre än talet resulterande av multiplikationen av tusen enheter med en myriad myriad myriader. Och eftersom 1000 enheter av de sjunde talen är det tjugoandra i proportion från enheten och en myriad myriad myriader är det trettonde från enheten i samma proportion, är det uppenbart, att resultet skall vara fyra och sextio från enheten i samma proportion. Detta är även det åttonde av de åttonde talen, som är tusen myriader av de åttonde talen. Det är sålunda tydligt, att sandkornens mångfald, som har en storlek lika med fixstjärnornas sfär, som Aristarchos antar, är mindre än 1000 myriader av de åttonde talen. Och detta tror jag, kung Gelon, för de flesta, som inte heller har tagit del av matematiken, inte är trovärdigt tydliggjort, men det skall vara, genom min framställan, trovärdigt för dem, som har tagit del av jordens, solens, månens och hela kosmos' avstånd och storlekar, och noga tänkt efter. Därför tycks det mig även för dig inte vara opassande att fortsatt undersöka detta.