Ptolemaios

Almagest

Klaudios Ptolemaios (Κλαύδιος Πτολεμαῖος), ca. 90-165, verkade i Alexandria och författade bl.a. det astronomiska verket känt som Almagest, men med den troliga ursprungliga titeln Μαθηματικἠ Σύνταξις. Almagest stammar från verkets arabiska namn الكتاب المجسطي - al-kitabu-l-mijisti- vilket stammar från det grekiska megiste syntaxis dvs. verket har varit känt som Ptolemaios' mycket stora samling.

I Almagest framställer Ptolemaios sin teori för himlakropparnas rörelser och sina undersökningar rörande en mängd andra viktiga astronomiska frågor. Utöver en omfattande stjärnkatalog innehåller Almagest även en kordatabellA A) Korda avser inom matematiken en sträcka mellan två punkter på en cirkel., vilken skall behandlas här.

Kordatabellen

Texterna här är hämtade från Heibergs utgåva[1], beaktande översättningen till engelska av Toomer[2].

En mer teknisk - om än omständlig och ålderdomlig - behandling av kordatabellen återfinns i Glowatzkis & Göttsches Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios: nach den historischen Formelplänen neu berechnet[3].

Kordaberäkningarna

Ptolemaios' beskrivning av sina beräkningsmetoder för kordatabellen återfinns i Almagests första bok kapitel 10.

För att förstå hur Ptolemaios gjorde vid sina beräkningar kan man vända sig till Theons av AlexandriaB B) Theon av Alexandria, ca 335 - ca 405, matematiker. kommentarer till Almagest[4], där han beskriver t.ex. kvadratrotsutdragning.

Kordatabellerna

Själva kordatabellen återfinns i Almagests första bok kapitel 11. Tabellen här är beräknad på nytt och inte tagen ur Heibergs utgåva.

För beräkningen av kordatabellen här användes först ett Perl, men senare ett Lisp-program[5]. En del intressanta skillnader i antalet räkneoperationer gentemot Glowatzki & Göttsche - som använde PL/1 - dyker då upp. Här följer deras siffror med perlprogrammets tillagda inom parentes:

Ptolemaios hatte im Sexagesimalsystem 90 (150) mal addiert 268 (208) mal subtrahiert 484 (651) mal multipliziert, davon 25 (22) mal mit 60, 151 (293) mal durch 120 dividiert und 208 ( 66) mal die Quadratwurzel gezogen. Hinzu kamen 359 (359) Subtraktionen und 359 (359) Divisionen durch 30 für die Berechnung der Differenzen je Minute ("Sechzigstel").

Antalet additioner och subtraktioner är sammantaget detsamma. Multiplikationerna är färre för Glowatzkis & Göttsche, men de komplicerade kvadratrotsutdragningarna är många fler. Division med 120 är blott en halvering med en påföljande flytt av sexagesimalkommat.

Vid en första genomläsning av Glowatzkis & Göttsches källkod kan man se, att de i förväg har bestämt vilka beräkningar som skall göras med respektive metod. Programmet använt här prövar varje metod för alla värden och följer Ptolemaios allt eftersom han beskriver metoderna. I kordatabellen här kan man placera markören över vinkelvärdet, för att se hur detta kordavärde är beräknat.

Man kan se, att det finns olika tolkningar om vilken följd beräkningarna skall ta, t.ex. anger Pedersen i A survey of the Almagest[6], s. 57, att Ptolamaios får värdet för 120° genom komplementvinkeln, fast i Heibergs utgåva s. 35 kan man läsa, att han får detta värde genom den inskrivna liksidiga triangeln. Vidare anges det på s. 59, att Ptolemaios får värdet för 6° ur skillnaden mellan 18° och 12°, vilket inte stämmer, då Ptolemaios uttryckligen, Heibergs utgåva s. 40, tar detta värde ur 12°.

Notera även Språkknapp-ikonen uppe till höger på sidan, som är en knapp, för att visa eller dölja samtidig visning av arabiska siffror - JavaScript förutsatt och som en typsnittsprövosten används även det grekiska nolltecknet. Slutligen fordrar radnumreringen i texten en modern webbläsare.