Proklos' indelning av Euklides' satser

Proklos

Proklos (Πρόκλος ὁ Διάδοχος), 410-485, var en filosof, den främste av de senare nyplatonisterna. Han studerade i Alexandria, men verkade mestadels i Athen, där han också ledde den av PlatonA A) Platon, 427-347, en grekisk filosof och författare. grundade Akademin. Proklos kom även att sluta sina dagar i Athen.

Prolkos' arbeten omfattar filosofiska verk, främst kommentarer till Platons skrifter; teologiska verk, t.ex. elementa i teologin; och matematiska och naturvetenskapliga verk, bl.a. elementa i fysiken. Han skrev förutom detta scholier till HomerosB B) Homeros, 700-talet f.Kr., enligt traditionen författare till de klassiska eposen Iliaden och Odysséen., kommentarer till Hesiodos.C C) Hesiodos, ca 700-600 f.Kr., grekisk skald. samt ytterligare multa et varia.

Här följer ett utdrag ur Proklos' kommentar till Elementas första bok, där han beskriver en uppdelning av Euklides' satser i mindre delar med olika funktion och innehåll. Denna uppdelning sker främst i följande utdrag. En närmare studie av utdragets innehåll har författats av Netz.[1]

Ur kommentaren till Euklides' Elementa Bok I

apparatknapp

Propositionum pars prior.

Prop. I, probl. I.

[...]

Περὶ μὲν οὖν τῶν ζητουμένων τοσαῦτα· πᾶν δὲ [F. 203] πρόβλημα καὶ πᾶν θεώρημα τὸ ἐκ τελείων τῶν ἑαυτοῦ μερῶν συμπεπληρωμένον βούλεται πάντα ταῦτα ἔχειν ἐν ἑαυτῷ· πρότασιν, ἔκθεσιν, διορισμόν, κατασκευήν, ἀπόδειξιν, συμπέρασμα. τούτων δὲ ἡ μὲν πρότασις 5 λέγει, τίνος δεδομένου τί τὸ ζητούμενόν ἐστιν. ἡ γὰρ τελεία πρότασις ἐξ ἀμφοτέρων ἐστίν. ἡ δ' ἔκθεσις αὐτὸ καθ' αὑτὸ τὸ δεδομένον ἀποδιαλαβοῦσα προ­ευτρεπίζει τῇ ζητήσει. ὁ δὲ διορισμὸς χωρὶς τὸ ζητού­μενον, ὅτι ποτέ ἐστιν, διασαφεῖ. ἡ δὲ κατασκευὴ τὰ 10 ἐλλείποντα τῷ δεδομένῳ πρὸς τὴν τοῦ ζητουμένου θή­ραν προστίθησιν. ἡ δὲ ἀπόδειξις ἐπιστημονικῶς ἀπὸ τῶν ὁμολογηθέντων συνάγει τὸ προκείμενον. τὸ δὲ συμπέρασμα πάλιν ἐπὶ τὴν πρότασιν ἀναστρέφει βε­βαιοῦν τὸ δεδειγμένον. καὶ τὰ μὲν σύμπαντα μέρη 15 τῶν τε προβλημάτοων καὶ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ το­σαῦτα· τὰ δὲ ἀναγκαιότατα καὶ ἐν πᾶσιν ὑπάρχοντα πρότασις καὶ ἀπόδειξις καὶ συμπέρασμα. δεῖ γὰρ καὶ προειδέναι τὸ ζητούμενον καὶ δείκνυσθαι τοῦτο διὰ τῶν μέσων καὶ συνάγεσθαι τὸ δεδειγμένον. καὶ 20τού­των τῶν τριῶν ἐκλείπειν τι τῶν ἀδυνάτων ἐστίν. τὰ δὲ λοιπὰ πολλαχοῦ μὲν παραλαμβάνεται, πολλαχοῦ δὲ καὶ οὐδεμίαν παρέχοντα χρείαν παραλείπεται. διο­ρισμός τε γὰρ καὶ ἔκθεσις οὐκ ἔστιν ἐν ἐκείνῳ τῷ

1 ζητουμένων G 3 πεπληρωμένον (πεπληρωμένων) H2 p. 259 6 διδομένου G, δεδομένου H1 p. 454, H2 p. 259 10 τὰ εἰωθότα M, B3, G: in M autem adscriptum est in margine manu primae proxima γρ. τὰ ἐλλείποντα, 'familiaria' Z, ἐλλείποντα (ἐκλείποντα) H1 H2. 'quae ... desunt' B 11 διδομένω M, G, δεδομένῳ H1 H2 θήραν] αἰτίαν H1 H2 12 ἀπὸ] ἐκ H2 16 τῶν ante θεωρημάτων om. G τοσαῦτα] ταῦτα H2 20 τῷ δεδειγμένῳ] τοσαῦτα] ταῦτα τῷ δεδειγμένῳ (δεδεγμένῳ) H1 H2 22. 23 καὶ post δὲ om. G 23 ὡς ante οὐδεμίαν additum est in H1 H2

προβλήματι ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον [F. 204] ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει διπλασίαν τῆς λοιπῆς, κατασκευὴ δὲ ἐν πλείσοις πάνυ θεωρήμασιν οὐκ ἔστι τῆς ἐκθέσεως ἀποχρώσης ἄνευ προσθήκης ἄλλης ἐκ τῶν δεδομένων δεῖξαι τὸ προκείμενον. πότε οὖν 5ἐκ­λιμπάνειν τὴν ἔκθεσίν φαμεν; ὅταν ἐν τῇ προτάσει μηδὲν ᾖ δεδομένον, ὅτι ἡ πρότασις διῄρηται ὡς ἐπίπαν εἰς δεδομένον καὶ ζητούμενον. οὐ μὴν τοῦτο ἀεὶ γίνε­ται, ἀλλ' ἐνίοτε μόνον λέγει τὸ ζητούμενον, ὃ δεῖ γνῶναι ἢ πορίσασθαι, ὡς ἐπὶ τοῦ προειρημένου 10προ­βλήματος. οὐ γὰρ προλέγει, τίνος δεδομένου δεῖ συστήσασθαι τὸ ἰσοσκελὲς ἔχον ἑκατέραν τῶν ἴσων διπλασίαν τῆς λοιπῆς, ἀλλ' ὅτι δεῖ πορίσασθαι, καὶ γίνεται μὲν κἀνταῦθα ἐκ προγινωσκομένων ἡ τοῦ προκειμένου λῆψις. καὶ γὰρ τί τὸ ἰσοσκελὲς καὶ τί τὸ 15 ἴσον ἢ διπλάσιον εἰδότες τυγχάνομεν. τοῦτο δὲ ἁπά­σης διανοητικῆς μαθήσεως ἴδιόν φησιν Ἀριστοτέλης. ὑπόκειται δὲ ὅμως οὐδὲν ἡμῖν ὥσπερ ἐπ' ἄλλων προ­βλημάτων, οἷον ὅταν λέγῃ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πε­περασμένην δίχα τεμεῖν. ἐνταῦθα γὰρ εὐθεῖα 20δέδο­ται, προσταττόμεθα δὲ αὐτὴν δίχα διελεῖν, καὶ διώρι­σται, τί μὲν οὖν ἡ πρότασις ἀμφότερα ἔχῃ, τότε καὶ διορισμὸς εὑρίσκεται καὶ ἔκθεσις, ὅταν δὲ ἐκλείπῃ τὸ δεδομένον, ἐκλιμπάνει καὶ ταῦτα. ἡ γὰρ ἔκθεσις

1 προβλήματι] Eucl. IV, 10 4 ἐκθέσεως] 'Expositione' et in margine 'Demonstratione' B, 'expositio' Z 5 ἐκλειπάνειν G, ἐκλιμπάνειν C In M in margine legitur: ση. πότε ἐκλιμπάνει ἡ ἔκθεσις 7 διαιρεῖται H1 p.454, H2 p. 265 19 ὅτε λέγει G. (Eucl. I, 10) 23 ἔχῃ] σχῇ H1 H2 24 ἐλλείπῃ H1 H2 25 ἐκλειπάνει G, ἐλλιμπάνει H1 H2

τοῦ δεδομένου ἐστίν καὶ ὁ διορισμός. ἔσται γὰρ ὁ [F. 205] αὐτὸς τῇ προτάσει. τί γὰρ ἄλλο ἂν εἴποις διοριζόμε­νος ἐπὶ τοῦ προρρηθέντος προβλήματος, ἢ ὅτι δεῖ εὑρεῖν ἰσοσκελὲς τοιόνδε; τοῦτο δ' ᾖν ἡ πρότασις. ἐὰν ἄρα ἡ πρότασις μὴ ἒχῃ τὸ μὲν δεδομένον, τὸ δὲ 5 ζητούμενον, ἡ μὲν ἔκθεσις σιωπᾶται τῷ μὴ εἶναι τὸ δεδομένον, ὁ δὲ δορισμὸς παραλείπεται, ἵνα μὴ ὁ αὐτὸς γένηται τῇ προτάσει. πολλὰ δ' ἂν εὕροις καὶ ἄλλα τοιαῦτα προβλήματα καὶ μάλιστα ἐν τοῖς ἀριθ­μητικοῖς καὶ ἐν τῷ δεκάτῳ εὑρεῖν δύο εὐθείας 10δυ­νάμει συμμέτρους μέσον περιεχούσας καὶ πάντα ὅσα τοιαῦτα.

Πᾶν γε μὴν τὸ δεδομένον καθ' ἕνα τούτων δίδο­ται τῶν τρόπων, ἢ θέσει, ἢ λόγῳ, ἢ μεγέθει, ἢ εἴδει. τὸ μὲν γὰρ σημεῖον θέσει δίδοται μόνον, γραμμὴ δὲ 15 καὶ τὰ ἄλλα πᾶσιν. ὅταν γὰρ λέγωμεν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύραμμον, τὸ εἶδος λέγομεν, ὁποῖον δέδο­ται τῆς γωνίας, ὅτι εὐθύγραμμον, ἵνα μὴ ζητῶμεν διὰ τῶν αὐτῶν μεθόδων καὶ τὴν περιφερόγραμμον δίχα τεμεῖν. ὅταν δὲ ὅτι δύο δοθεισῶν εὐθειῶν 20 ἀνίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφελεῖν. τῷ μεγέθει δέδοται. τὸ γὰρ μεῖζον καὶ ἔλασσον καὶ τὸ πεπερασμένον καὶ ἄπεριον τοῦ μεγέθους ἐστὶν ἴδια κατηγορήματα. ὄταν δὲ λέγωμεν ὅτι ἐὰν τέσσαρα

1-6 τοῦ δεδομένου .... ἡ μὲν ἔκθεσις bis redditum est in G 3 προρρηθέντος] προβληθέντος H2 p.265 4 τοιοῦτον primo, τοῦτο altero loco G, τοῦτο H1 p.454 10 ἐν τῷ δεκάτῳ] Prop. XXIX, quae tamen non δύο εὐθείας sed μέσας iubet inveniri 13 In M in margine adscriptum est: ὅτι τὸ δεδομένον ἢ θέσει ἢ λόγῳ ἢ μεγέθει ἢ εἴδει δέδοται H2 p. 269 15 δέδοται H2 16 ὅτε G 17-18 τὸ εἶδος .... εὐθύγραμμον bis legitur in M, et in margine εἴδει 20 ὅτε G, ὅταν C, H1 εὐθειῶν δοθεισῶν G 22 τῷ μεγέθει. δέδοται γὰρ τὸ μεῖζον M 24 M in margine λόγῳ

μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται, δέ­δοται [F. 206]ὁ αὐτὸς λόγος ἐν τοῖς τέτρασιν μεγέθεσιν. ὅταν δὲ πρὸς τῷ δοθένιτ σημείῳ χρῇ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι, τότε τῇ θέσει δέδοται τὸ σημεῖον. διὸ καὶ τῆς θέσεως διαφόρου δυναμένης 5 εἶναι καὶ ἡ κατασκεθὴ ποικιλίαν ἐπιδέχεται. δίδοται γὰρ τὸ σημεῖον ἢ ἔξω τῆς εὐθείας ἢ ἐπὶ τῆς εὐθείας καὶ ἐπ' ἄκρων τῆς εὐθείας ἢ ἐν τῷ μεταξὺ τῶν περά­των αὐτῆς. τετραχῶς οὖν τοῦ δεδομένου λαμβανο­μένου δῆλον ὅτι καὶ ἡ ἔκθεσις γίνεται τετραχῶς. 10ἐνί­οτε δὲ καὶ δύο συμπλέκει τρόπους καὶ τρεῖς.

Τὴν δὲ λεγομένην ἀπόδειξιν ὅτε μὲν καὶ τὰ ἴδια τῆς ἀποδείξεως ἔχουσαν εὑρήσομεν ἀπὸ τῶν ὁρισμῶν μέσων τὸ ζητούμενον δεικνύουσαν — αὕτη γὰρ ἀπο­δείξεως τελειότης — ὅτε δὲ ἐκ τεκμηρίων 15ἐπιχειροῦ­σαν. καὶ δεῖ μὴ λανθάνειν. πανταχοῦ μὲν γὰρ τὸ ἀναγκαῖον ἔχουσιν οἱ γεωμετρικοὶ λόγοι διὰ τὴν ὑπο­κειμένην ὕλην, οὐ πανταχοῦ δὲ περαίνονται διὰ τῶν ἀποδεικτικῶν μεθόδων. ὅταν γὰρ διὰ τοῦ τὴν ἐκτὸς τοῦ τριγώνου γωνίαν ἴσην εἶναι δύο ταῖς ἐντὸς καὶ 20 ἀπεναντίας δεικνύηται τὸ τρίγωνον ἴσας ἔχον τὰς ἐν­τὸς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς, πῶς ἀπ' αἰτίας ἡ ἀπόδειξις αὕτη, πῶς δὲ οὐχὶ τεκμήριόν ἐστι τὸ μέσον; καὶ γὰρ μήπω τῆς ἐκτὸς οὔσης γωνίας αἱ ἐντὸς οὖσαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐσίν. ἔστι γὰρ τὸ τρίγωνον καὶ 25 τῆς πλευρᾶς μὴ ἐκβεβλημένης. ὅταν δὲ διὰ τῆς τῶν κύκλων περιγραφῆς τὸ συσταθὲν τρίγωνον ἰσόπλευρον

2 τέταρσι G 3 M in margine θέσει ὅτε G χρὴ M, G 6 δέχεται G, ἐπιδέχεται C δέδοται G, δίδοται C 9 αὐτῆς] τῆς τῆς M παραλαμβανομένου G 10 γένηται G, γίνεται C, H1 p. 454, H2 p. 270 21 ἀπεναντίος G δείγνυται G, δεικνύηται C

δεικνύηται, ἀπ' αἰτίας ἡ ἐπιβολὴ γίνεται. τὴν γὰρ [F. 207] ὁμοιότητα καὶ ἰσότητα τῶν κύκλων τῆς τοῦ τριγώνου κατὰ τὰς πλευρὰς ἰσότητος αἰτιασόμεθα.

Τό γε μὴν συμπέρασμα διπλοῦν εἰώθασι ποιεῖ­σθαί τινα τρόπον· καὶ γὰρ ὡς ἐπὶ τοῦ δεδομένου 5δεί­ξαντες καὶ ὡς καθόλου συνάγουσιν ἀνατρέχοντες ἀπὸ τοῦ μερικοῦ συμπεράσματος ἐπὶ τὸ καθόλου. διότι γὰρ οὐ προσχρῶνται τῇ ἰδιότητι τῶν ὑποκειμένων, ἀλλὰ πρὸ ὀμμάτων ποιούμενοι τὸ δεδομένον γράφουσι τὴν γωνίαν ἢ τὴν εὐθεῖαν, ταὐτὸν ἡγοῦνται τὸ ἐπὶ 10 ταύτης συναγόμενον καὶ ἐπὶ τοῦ ὁμοίου συμπεπεράν­θαι παντός. μεταβαίνουσι μὲν οὖν ἐπὶ τὸ καθόλου, ἵνα μὴ μερικὸν ὑπολάβωμεν εἶναι τὸ συμπέρασμα. εὐ­λόγως δὲ μεταβαίνουσιν, ἐπειδὴ τοῖς ἐκτεθεῖσιν, οὐχ ᾗ ταῦτά ἐστιν, ἀλλ' ᾗ τοῖς ἄλλοις ὅμοια, χρῶνται πρὸς 15 τὴν ἀπόδειξιν. οὐ γὰρ ᾗ τοσήδε ἐστὶν ἡ ἐκκειμένη γωνία, ταύτῃ τὴν διχοτομίαν ποιοῦμαι, ἀλλ' ᾗ μόνον εὐθύγραμμος. ἔστι δὲ τὸ μὲν τοσόνδε τῆς ἐκκειμένης ἴδιον, τὸ δὲ εὐθύγραμμον πασῶν τῶν εὐθυγράμμων κοινόν. ἔστω γὰρ ἡ δεδομένη ἡ ὁρθή. εἰ μὲν οὖν τῇ 20 ἀποδείξει τὴν ὀρθότητα παρελάμβανον, οὐκ ἠδυνάμην ἐπὶ πᾶν τὸ εἶδος τῆς εὐθυγράμμου μεταβαίνειν, εἰ δὲ τὸ μὲν ὀρθὸν αὐτῆς οὐ προσποιοῦμαι, τὸ δὲ εὐθύ­γραμμον σκοπῶ μόνον, ὁμοίως ὁ λόγος ἐφαρμόσει καὶ παρὰ ταῖς εὐθυγράμμοις γωνίαις.25[2]

1 δεικνύηται] δείκνυται M, C δεικνύηται ... ἐπιβολὴ om. G 3 κατὰ τὰς πλευρὰς om. G 5 τινα om. G 6 συνάγουσαι G, συνάγουσιν C ἀνατρέχοντος M 8 προσδέχονται G, προσχρῶνται C 14 ἐντεθεῖσιν G, ἐκτεθεῖσιν C 17 ταύτην C 18 εὐθύγραμμον G, εὐθύγραμμος C τοσόνδε] ποσὸν G 19 δὲ post τὸ om G, add. C

[...]

Propositionernas första del.

Prop. I. Probl. 1.

[...]

Detta alltså om det undersökta. Varje problem och teorem som är fullständigt i alla sina delar eftersträvar, att ha alla dessa i sig: en försats, en utställning, en specifikation, en konstruktion, ett bevis och en konklusion. Av dessa säger försatsen, vad är givet och vad det sökta är, ty den fulländade försatsen består av båda. Utställningen, förbereder det givna, vart och ett för sig behandlat, för undersökningen. Specifikationen klargör vad det givna är - ett och ett. Konstruktionen framställer det resten som givits för det söktas inhämtande. Beviset tar från det överenskomna vetenskapligt fram det föresatta. Konklusionen så vänder tillbaka till försatsen och bekräftar det förevisade. Och så många är problemens och teoremens delar sammantagna. De nödvändigaste och ingående i alla är försatsen, beviset och konklusionen. Ty det är även nödvändigt, att i förväg känna det sökta och att visa detta genom mellanleden och att föra samman det förevisade. Att utelämna någon av dessa tre är omöjligt. De övriga tas på många ställen med, men på många ställen, där de inte medför någon fördel, lämnas de också åt sidan. Ty varken Specifikation eller utställning är med i problemet, att konstruera en likbent triangel, som har var och en av vinklarna vid basen dubbelt så stor som den resterande.Euc.Prop.4.10 En konstruktion saknas faktiskt i de flesta teoremen, när utställningen är tillräcklig, för att från det givna utan annat tillägg visa det föresatta. När säger vi då, att utställningen är utelämnad? När inget är givet i försatsen, då försatsen särskiljer vad som i allmänhet är i det givna och det sökta. Detta sker inte alltid, utan ibland nämner den endast vad som söks, det man bör veta eller utröna, som i förutnämnda problem. Ty den nämner inte, från vad av det givna man bör ha konstruerat den likbenta triangeln, som har var och en av de lika vinklarna dubbelt så stor som den resterande, utan att man bör utröna det och det förestående fallet blir så till ur tidigare vetande. Ty vi råkar även känna till något om det likbenta och något om det lika eller det dubbla. Detta är typiskt för allt resonerande lärande säger Aristoteles. Ändå föreslås inget för oss, såsom vid andra problem, till exempel när det sägs, att dela den givna ändliga räta linjen i hälften.Euc.Prop.1.10 Ty här har den räta givits och vi ställs inför, att dela den i hälften och försatsen är uppdelad i två. När försatsen sålunda har båda, då återfinns även en specifikation och en utställning, men när det givna saknas, utelämnas också dessa. Ty utställningen är avhängig det givna även specifikationen, ty den skall vara densamma som försatsen. Ty vad annat kan man säga, när man specificerar förutnämnda problem, än att man bör finna en likbent sådan? Men försatsen var detta. Om alltså försatsen ej innehåller det givna och det sökta, förtigs utställningen, eftersom det givna inte finns och specifikationen utelämnas, för att inte bli densamma som försatsen. Man skulle också kunna finna många andra sådana problem, flest inom i de aritmetiska böckerna och i den tionde: att finna två kvadratiskt kommensurabla räta linjer omfattande en medial yta.Euc.Prop.10.28 och alla övriga sådana.

Allt det givna ges på ett av följande sätt: en position, ett förhållande, en storhet eller en form. Ty punkten ges endast av en position, men linjen och de andra ges av alla. När vi så talar om en given rätlinjig vinkel, talar vi om formen, vilken sort av vinkel som har givits, nämligen en rätlinjig, så att vi inte med samma metoder söker, att också dela en omkrets i hälften. När så sedan två olika räta linjer givits, av den större skära av en rät linje lika med den mindre,Euc.Prop.1.3 då har det givits genom storlek. Ty det större och mindre samt det begränsade och obegränsade är storhetens typiska kategorier. När vi säger, att om fyra storheter är proportionella, skall de också vara alternerat proportionella, har samma förhållande givits hos de fyra storheterna. När det är nödvändigt att vid en given punkt placera en rät linje lika med en given rät linje,Euc.Prop.1.2 då har punkten givits med en position. Och eftersom positionen kan vara varierad, tillåts även konstruktionen vara mångfacetterad. Ty antingen har punkten givits utanför linjen eller på linjen och på en av linjens spetsar eller mellan dess ändar. Sedan sålunda det givna förstås på fyra sätt, är det också tydligt att utställningen ges på fyra sätt, men ibland är två eller tre sätt sammanslagna.

Att det så kallade beviset ibland också uppvisar det typiska för bevisföring, skall vi finna, när det visar det sökta utifrån definitioner i mellanleden - ty detta är den fulländade bevisföringen, men ibland skall vi finna bevisförsök genom tecken. Och detta bör inte förbises, ty överallt hämtar geometriska resonemang nödvändigheten ur det underliggande materialet, men inte överallt fullföljer de genom bevisförande metoder. Ty när genom att triangelns yttre vinkel visats vara lika med de två inre och motstående, har triangeln de tre inre vinklarna lika med två räta.Euc.Prop.1.32 Hur är detta ett bevis genom orsak och är inte mellanledet ett tecken? Ty även om den yttre inte finns, är de inre vinklarna lika med två räta. Ty det är en triangel, även om sidan inte är utdragen. När en triangel sammansatt genom cirklars uppritande visats vara liksidig, sker företaget genom orsak. Ty till cirklarnas likformighet och likhet skall vi hänföra, med avseende på sidorna, triangelns likhet.

De har för vana att göra konklusionen dubblerad på något sätt. Ty också då de bevisat något om det som har givits, sluter de sig även till det generellt, gående från den särskilda mot den generella konklusionen. På grund av att de inte använder sig av det särskilda av de underliggande, utan för att göra sig det givna åskådligt, ritar de vinkeln eller den räta linjen. På samma sätt antar de, att vad de sluter sig till om detta, har de även uppnått om allt liknande. De härleder alltså för den generella, för att vi inte må ha antagit det särskilda vara konklusionen. De härleder förnuftigt så, eftersom med de utplacerade - inte som dem de är, utan som dem liknande andra - tar de sig an beviset. Ty jag gör inte på detta sätt halveringen, för den uppritade vinkeln är så stor, utan endast för den är rätlinjig. Storleken är den uppritade vinkelns särdrag, medan rätlinjigheten är gemensam för alla rätlinjiga vinklar. Ty låt den givna vinkeln vara rät, om jag då nyttjade rätvinkligheten för beviset, kunde jag inte härleda något för hela klassen av rätlinjiga vinklar, men om jag inte låtsas om dess rätvinklighet, utan undersöker endast rätlinjigheten, skall samma argument passa också för de rätlinjiga vinklarna.

[...]