Proklos
Proklos (Πρόκλος ὁ Διάδοχος), 410-485, var en filosof, den främste av de senare nyplatonisterna. Han studerade i Alexandria, men verkade mestadels i Athen, där han också ledde den av PlatonA A) Platon, 427-347 f.Kr., grekisk filosof och författare. grundade Akademin. Proklos kom även att sluta sina dagar i Athen.
Prolkos' arbeten omfattar filosofiska verk, främst kommentarer till Platons skrifter; teologiska verk, t.ex. elementa i teologin; och matematiska och naturvetenskapliga verk, bl.a. elementa i fysiken. Han skrev förutom detta scholier till HomerosB B) Homeros, 700-talet f.Kr., enligt traditionen författare till de klassiska eposen Iliaden och Odysséen., kommentarer till Hesiodos.C C) Hesiodos, ca 700-600 f.Kr., grekisk skald, som förmodligen tillbringade hela sitt liv i Askra i Boiotien. samt ytterligare multa et varia.
Här följer ett utdrag ur Proklos' kommentar till Elementas första bok, där han beskriver en uppdelning av Euklides' satser i mindre delar med olika funktion och innehåll. Denna uppdelning sker främst i följande utdrag. En närmare studie av utdragets innehåll har författats av Netz.[1]
Ur kommentaren till Euklides' Elementa Bok I
Propositionum pars prior.
Prop. I, probl. I.
[...]
Περὶ μὲν οὖν τῶν ζητουμένων τοσαῦτα· πᾶν δὲ F. 203 πρόβλημα καὶ πᾶν θεώρημα τὸ ἐκ τελείων τῶν ἑαυτοῦ μερῶν συμπεπληρωμένον βούλεται πάντα ταῦτα ἔχειν ἐν ἑαυτῷ· πρότασιν, ἔκθεσιν, διορισμόν, κατασκευήν, ἀπόδειξιν, συμπέρασμα. τούτων δὲ ἡ μὲν πρότασις 5 λέγει, τίνος δεδομένου τί τὸ ζητούμενόν ἐστιν. ἡ γὰρ τελεία πρότασις ἐξ ἀμφοτέρων ἐστίν. ἡ δ' ἔκθεσις αὐτὸ καθ' αὑτὸ τὸ δεδομένον ἀποδιαλαβοῦσα προευτρεπίζει τῇ ζητήσει. ὁ δὲ διορισμὸς χωρὶς τὸ ζητούμενον, ὅτι ποτέ ἐστιν, διασαφεῖ. ἡ δὲ κατασκευὴ τὰ 10 ἐλλείποντα τῷ δεδομένῳ πρὸς τὴν τοῦ ζητουμένου θήραν προστίθησιν. ἡ δὲ ἀπόδειξις ἐπιστημονικῶς ἀπὸ τῶν ὁμολογηθέντων συνάγει τὸ προκείμενον. τὸ δὲ συμπέρασμα πάλιν ἐπὶ τὴν πρότασιν ἀναστρέφει βεβαιοῦν τὸ δεδειγμένον. καὶ τὰ μὲν σύμπαντα μέρη 15 τῶν τε προβλημάτοων καὶ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ τοσαῦτα· τὰ δὲ ἀναγκαιότατα καὶ ἐν πᾶσιν ὑπάρχοντα πρότασις καὶ ἀπόδειξις καὶ συμπέρασμα. δεῖ γὰρ καὶ προειδέναι τὸ ζητούμενον καὶ δείκνυσθαι τοῦτο διὰ τῶν μέσων καὶ συνάγεσθαι τὸ δεδειγμένον. καὶ 20τούτων τῶν τριῶν ἐκλείπειν τι τῶν ἀδυνάτων ἐστίν. τὰ δὲ λοιπὰ πολλαχοῦ μὲν παραλαμβάνεται, πολλαχοῦ δὲ καὶ οὐδεμίαν παρέχοντα χρείαν παραλείπεται. διορισμός τε γὰρ καὶ ἔκθεσις οὐκ ἔστιν ἐν ἐκείνῳ τῷ
προβλήματι ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον F. 204 ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει διπλασίαν τῆς λοιπῆς, κατασκευὴ δὲ ἐν πλείσοις πάνυ θεωρήμασιν οὐκ ἔστι τῆς ἐκθέσεως ἀποχρώσης ἄνευ προσθήκης ἄλλης ἐκ τῶν δεδομένων δεῖξαι τὸ προκείμενον. πότε οὖν 5ἐκλιμπάνειν τὴν ἔκθεσίν φαμεν; ὅταν ἐν τῇ προτάσει μηδὲν ᾖ δεδομένον, ὅτι ἡ πρότασις διῄρηται ὡς ἐπίπαν εἰς δεδομένον καὶ ζητούμενον. οὐ μὴν τοῦτο ἀεὶ γίνεται, ἀλλ' ἐνίοτε μόνον λέγει τὸ ζητούμενον, ὃ δεῖ γνῶναι ἢ πορίσασθαι, ὡς ἐπὶ τοῦ προειρημένου 10προβλήματος. οὐ γὰρ προλέγει, τίνος δεδομένου δεῖ συστήσασθαι τὸ ἰσοσκελὲς ἔχον ἑκατέραν τῶν ἴσων διπλασίαν τῆς λοιπῆς, ἀλλ' ὅτι δεῖ πορίσασθαι, καὶ γίνεται μὲν κἀνταῦθα ἐκ προγινωσκομένων ἡ τοῦ προκειμένου λῆψις. καὶ γὰρ τί τὸ ἰσοσκελὲς καὶ τί τὸ 15 ἴσον ἢ διπλάσιον εἰδότες τυγχάνομεν. τοῦτο δὲ ἁπάσης διανοητικῆς μαθήσεως ἴδιόν φησιν Ἀριστοτέλης. ὑπόκειται δὲ ὅμως οὐδὲν ἡμῖν ὥσπερ ἐπ' ἄλλων προβλημάτων, οἷον ὅταν λέγῃ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν. ἐνταῦθα γὰρ εὐθεῖα 20δέδοται, προσταττόμεθα δὲ αὐτὴν δίχα διελεῖν, καὶ διώρισται, τί μὲν οὖν ἡ πρότασις ἀμφότερα ἔχῃ, τότε καὶ διορισμὸς εὑρίσκεται καὶ ἔκθεσις, ὅταν δὲ ἐκλείπῃ τὸ δεδομένον, ἐκλιμπάνει καὶ ταῦτα. ἡ γὰρ ἔκθεσις
τοῦ δεδομένου ἐστίν καὶ ὁ διορισμός. ἔσται γὰρ ὁ F. 205 αὐτὸς τῇ προτάσει. τί γὰρ ἄλλο ἂν εἴποις διοριζόμενος ἐπὶ τοῦ προρρηθέντος προβλήματος, ἢ ὅτι δεῖ εὑρεῖν ἰσοσκελὲς τοιόνδε; τοῦτο δ' ᾖν ἡ πρότασις. ἐὰν ἄρα ἡ πρότασις μὴ ἒχῃ τὸ μὲν δεδομένον, τὸ δὲ 5 ζητούμενον, ἡ μὲν ἔκθεσις σιωπᾶται τῷ μὴ εἶναι τὸ δεδομένον, ὁ δὲ δορισμὸς παραλείπεται, ἵνα μὴ ὁ αὐτὸς γένηται τῇ προτάσει. πολλὰ δ' ἂν εὕροις καὶ ἄλλα τοιαῦτα προβλήματα καὶ μάλιστα ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς καὶ ἐν τῷ δεκάτῳ εὑρεῖν δύο εὐθείας 10δυνάμει συμμέτρους μέσον περιεχούσας καὶ πάντα ὅσα τοιαῦτα.
Πᾶν γε μὴν τὸ δεδομένον καθ' ἕνα τούτων δίδοται τῶν τρόπων, ἢ θέσει, ἢ λόγῳ, ἢ μεγέθει, ἢ εἴδει. τὸ μὲν γὰρ σημεῖον θέσει δίδοται μόνον, γραμμὴ δὲ 15 καὶ τὰ ἄλλα πᾶσιν. ὅταν γὰρ λέγωμεν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύραμμον, τὸ εἶδος λέγομεν, ὁποῖον δέδοται τῆς γωνίας, ὅτι εὐθύγραμμον, ἵνα μὴ ζητῶμεν διὰ τῶν αὐτῶν μεθόδων καὶ τὴν περιφερόγραμμον δίχα τεμεῖν. ὅταν δὲ ὅτι δύο δοθεισῶν εὐθειῶν 20 ἀνίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφελεῖν. τῷ μεγέθει δέδοται. τὸ γὰρ μεῖζον καὶ ἔλασσον καὶ τὸ πεπερασμένον καὶ ἄπεριον τοῦ μεγέθους ἐστὶν ἴδια κατηγορήματα. ὄταν δὲ λέγωμεν ὅτι ἐὰν τέσσαρα
μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται, δέδοται F. 206ὁ αὐτὸς λόγος ἐν τοῖς τέτρασιν μεγέθεσιν. ὅταν δὲ πρὸς τῷ δοθένιτ σημείῳ χρῇ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι, τότε τῇ θέσει δέδοται τὸ σημεῖον. διὸ καὶ τῆς θέσεως διαφόρου δυναμένης 5 εἶναι καὶ ἡ κατασκεθὴ ποικιλίαν ἐπιδέχεται. δίδοται γὰρ τὸ σημεῖον ἢ ἔξω τῆς εὐθείας ἢ ἐπὶ τῆς εὐθείας καὶ ἐπ' ἄκρων τῆς εὐθείας ἢ ἐν τῷ μεταξὺ τῶν περάτων αὐτῆς. τετραχῶς οὖν τοῦ δεδομένου λαμβανομένου δῆλον ὅτι καὶ ἡ ἔκθεσις γίνεται τετραχῶς. 10ἐνίοτε δὲ καὶ δύο συμπλέκει τρόπους καὶ τρεῖς.
Τὴν δὲ λεγομένην ἀπόδειξιν ὅτε μὲν καὶ τὰ ἴδια τῆς ἀποδείξεως ἔχουσαν εὑρήσομεν ἀπὸ τῶν ὁρισμῶν μέσων τὸ ζητούμενον δεικνύουσαν — αὕτη γὰρ ἀποδείξεως τελειότης — ὅτε δὲ ἐκ τεκμηρίων 15ἐπιχειροῦσαν. καὶ δεῖ μὴ λανθάνειν. πανταχοῦ μὲν γὰρ τὸ ἀναγκαῖον ἔχουσιν οἱ γεωμετρικοὶ λόγοι διὰ τὴν ὑποκειμένην ὕλην, οὐ πανταχοῦ δὲ περαίνονται διὰ τῶν ἀποδεικτικῶν μεθόδων. ὅταν γὰρ διὰ τοῦ τὴν ἐκτὸς τοῦ τριγώνου γωνίαν ἴσην εἶναι δύο ταῖς ἐντὸς καὶ 20 ἀπεναντίας δεικνύηται τὸ τρίγωνον ἴσας ἔχον τὰς ἐντὸς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς, πῶς ἀπ' αἰτίας ἡ ἀπόδειξις αὕτη, πῶς δὲ οὐχὶ τεκμήριόν ἐστι τὸ μέσον; καὶ γὰρ μήπω τῆς ἐκτὸς οὔσης γωνίας αἱ ἐντὸς οὖσαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐσίν. ἔστι γὰρ τὸ τρίγωνον καὶ 25 τῆς πλευρᾶς μὴ ἐκβεβλημένης. ὅταν δὲ διὰ τῆς τῶν κύκλων περιγραφῆς τὸ συσταθὲν τρίγωνον ἰσόπλευρον
δεικνύηται, ἀπ' αἰτίας ἡ ἐπιβολὴ γίνεται. τὴν γὰρ F. 207 ὁμοιότητα καὶ ἰσότητα τῶν κύκλων τῆς τοῦ τριγώνου κατὰ τὰς πλευρὰς ἰσότητος αἰτιασόμεθα.
Τό γε μὴν συμπέρασμα διπλοῦν εἰώθασι ποιεῖσθαί τινα τρόπον· καὶ γὰρ ὡς ἐπὶ τοῦ δεδομένου 5δείξαντες καὶ ὡς καθόλου συνάγουσιν ἀνατρέχοντες ἀπὸ τοῦ μερικοῦ συμπεράσματος ἐπὶ τὸ καθόλου. διότι γὰρ οὐ προσχρῶνται τῇ ἰδιότητι τῶν ὑποκειμένων, ἀλλὰ πρὸ ὀμμάτων ποιούμενοι τὸ δεδομένον γράφουσι τὴν γωνίαν ἢ τὴν εὐθεῖαν, ταὐτὸν ἡγοῦνται τὸ ἐπὶ 10 ταύτης συναγόμενον καὶ ἐπὶ τοῦ ὁμοίου συμπεπεράνθαι παντός. μεταβαίνουσι μὲν οὖν ἐπὶ τὸ καθόλου, ἵνα μὴ μερικὸν ὑπολάβωμεν εἶναι τὸ συμπέρασμα. εὐλόγως δὲ μεταβαίνουσιν, ἐπειδὴ τοῖς ἐκτεθεῖσιν, οὐχ ᾗ ταῦτά ἐστιν, ἀλλ' ᾗ τοῖς ἄλλοις ὅμοια, χρῶνται πρὸς 15 τὴν ἀπόδειξιν. οὐ γὰρ ᾗ τοσήδε ἐστὶν ἡ ἐκκειμένη γωνία, ταύτῃ τὴν διχοτομίαν ποιοῦμαι, ἀλλ' ᾗ μόνον εὐθύγραμμος. ἔστι δὲ τὸ μὲν τοσόνδε τῆς ἐκκειμένης ἴδιον, τὸ δὲ εὐθύγραμμον πασῶν τῶν εὐθυγράμμων κοινόν. ἔστω γὰρ ἡ δεδομένη ἡ ὁρθή. εἰ μὲν οὖν τῇ 20 ἀποδείξει τὴν ὀρθότητα παρελάμβανον, οὐκ ἠδυνάμην ἐπὶ πᾶν τὸ εἶδος τῆς εὐθυγράμμου μεταβαίνειν, εἰ δὲ τὸ μὲν ὀρθὸν αὐτῆς οὐ προσποιοῦμαι, τὸ δὲ εὐθύγραμμον σκοπῶ μόνον, ὁμοίως ὁ λόγος ἐφαρμόσει καὶ παρὰ ταῖς εὐθυγράμμοις γωνίαις.25[2]
[...]
Propositionernas första del.
Prop. I. Probl. 1.
[...]
Detta alltså om det undersökta. Varje
problem och teorem som är fullständigt i alla sina
delar eftersträvar, att ha alla dessa
i sig: en försats, en utställning, en specifikation, en konstruktion,
ett bevis och en konklusion. Av dessa säger
försatsen, vad är givet och vad det sökta är, ty den
fulländade försatsen består av båda. Utställningen,
förbereder det givna, vart och ett för sig behandlat,
för undersökningen. Specifikationen klargör
vad det givna är - ett och ett. Konstruktionen
framställer det resten som givits för det söktas
inhämtande. Beviset tar från det överenskomna
vetenskapligt fram det föresatta.
Konklusionen så vänder tillbaka till försatsen och bekräftar
det förevisade. Och så många är problemens och teoremens
delar sammantagna.
De nödvändigaste och ingående i alla är
försatsen, beviset och konklusionen. Ty det är även nödvändigt,
att i förväg känna det sökta och att visa detta genom
mellanleden och att föra samman det förevisade. Att utelämna
någon av dessa tre är omöjligt. De övriga
tas på många ställen med, men på många ställen,
där de inte medför någon fördel, lämnas de också åt sidan. Ty varken
Specifikation eller utställning är med i
problemet, att konstruera en likbent triangel, som har
var och en av vinklarna vid basen dubbelt så stor som den resterande.
Euc.Prop.4.10
En konstruktion saknas faktiskt i de flesta teoremen,
när utställningen är tillräcklig, för att från det givna
utan annat tillägg visa det föresatta. När säger
vi då, att utställningen är utelämnad? När inget är
givet i försatsen, då försatsen särskiljer vad som i allmänhet
är i det givna och det sökta. Detta sker inte alltid,
utan ibland nämner den endast vad som söks, det man bör
veta eller utröna, som i förutnämnda problem.
Ty den nämner inte, från vad av det givna man bör
ha konstruerat den likbenta triangeln, som har var och en av de lika vinklarna
dubbelt så stor som den resterande, utan att man bör utröna det och
det förestående fallet blir så till ur
tidigare vetande. Ty vi råkar även känna till något om det likbenta och
något om det lika eller det dubbla. Detta är typiskt för allt
resonerande lärande säger Aristoteles.
Ändå föreslås inget för oss, såsom vid andra problem,
till exempel när det sägs, att dela den givna ändliga
räta linjen i hälften.
Euc.Prop.1.10 Ty här har den räta givits och
vi ställs inför, att dela den i hälften och försatsen är uppdelad i två.
När försatsen sålunda har båda, då återfinns
även en specifikation och en utställning, men när det givna
saknas, utelämnas också dessa. Ty utställningen
är avhängig det givna så även specifikationen, ty den skall vara
densamma som försatsen. Ty vad annat kan man säga, när man specificerar
förutnämnda problem, än att man bör
finna en likbent sådan? Men försatsen var detta.
Om alltså försatsen ej innehåller det givna och det
sökta, förtigs utställningen, eftersom det givna inte
finns och specifikationen utelämnas, för att inte
bli densamma som försatsen. Man skulle också kunna finna många
andra sådana problem, flest inom i de aritmetiska böckerna
och i den tionde: att finna två kvadratiskt kommensurabla
räta linjer omfattande en medial yta.Euc.Prop.10.28 och alla övriga
sådana.
Allt det givna ges på ett av följande
sätt: en position, ett förhållande, en storhet eller en form.
Ty punkten ges endast av en position, men linjen och
de andra ges av alla. När vi så talar om
en given rätlinjig vinkel, talar vi om formen, vilken sort av
vinkel som har givits, nämligen en rätlinjig, så att vi inte med
samma metoder söker, att också dela en omkrets
i hälften. När så sedan två olika räta linjer givits,
av den större skära av en rät linje lika med den mindre,
Euc.Prop.1.3
då har det givits genom storlek. Ty det större och mindre samt
det begränsade och obegränsade är storhetens typiska
kategorier. När vi säger, att om fyra storheter är
proportionella, skall de också vara alternerat proportionella,
har samma förhållande givits hos de fyra storheterna.
När det är nödvändigt att vid en given punkt placera en rät linje
lika med en given rät linje,
Euc.Prop.1.2 då har punkten
givits med en position. Och eftersom positionen kan vara varierad,
tillåts även konstruktionen vara mångfacetterad. Ty antingen har
punkten givits utanför linjen eller på linjen
och då på en av linjens spetsar eller mellan dess
ändar. Sedan sålunda det givna förstås på fyra sätt,
är det också tydligt att utställningen ges på fyra sätt, men
ibland är två eller tre sätt sammanslagna.
Att det så kallade beviset ibland också uppvisar det typiska för bevisföring, skall vi finna, när det visar det sökta utifrån definitioner i mellanleden - ty detta är den fulländade bevisföringen, men ibland skall vi finna bevisförsök genom tecken. Och detta bör inte förbises, ty överallt hämtar geometriska resonemang nödvändigheten ur det underliggande materialet, men inte överallt fullföljer de genom bevisförande metoder. Ty när genom att triangelns yttre vinkel visats vara lika med de två inre och motstående, har triangeln de tre inre vinklarna lika med två räta.Euc.Prop.1.32 Hur är detta ett bevis genom orsak och är inte mellanledet ett tecken? Ty även om den yttre inte finns, är de inre vinklarna lika med två räta. Ty det är en triangel, även om sidan inte är utdragen. När en triangel sammansatt genom cirklars uppritande visats vara liksidig, sker företaget genom orsak. Ty till cirklarnas likformighet och likhet skall vi hänföra, med avseende på sidorna, triangelns likhet.
De har för vana att göra konklusionen dubblerad på något sätt. Ty också då de bevisat något om det som har givits, sluter de sig även till det generellt, gående från den särskilda mot den generella konklusionen. På grund av att de inte använder sig av det särskilda av de underliggande, utan för att göra sig det givna åskådligt, ritar de vinkeln eller den räta linjen. På samma sätt antar de, att vad de sluter sig till om detta, har de även uppnått om allt liknande. De härleder alltså för den generella, för att vi inte må ha antagit det särskilda vara konklusionen. De härleder förnuftigt så, eftersom med de utplacerade - inte som dem de är, utan som dem liknande andra - tar de sig an beviset. Ty jag gör inte på detta sätt halveringen, för den uppritade vinkeln är så stor, utan endast för den är rätlinjig. Storleken är den uppritade vinkelns särdrag, medan rätlinjigheten är gemensam för alla rätlinjiga vinklar. Ty låt den givna vinkeln vara rät, om jag då nyttjade rätvinkligheten för beviset, kunde jag inte härleda något för hela klassen av rätlinjiga vinklar, men om jag inte låtsas om dess rätvinklighet, utan undersöker endast rätlinjigheten, skall samma argument passa också för de rätlinjiga vinklarna.
[...]