Från paraballein till parabel

Inledning

Bakgrund

Parabel, hyperbel och ellips är namnen på några enkla kurvor vi tidigt träffar på i vår matematiska bildning. Så tidigt, att vi i regel inte reflekterar över deras iögonfallande namn. Övriga kurvor och figurer från matematikens värld har ju annars tämligen lättförståeliga grekiskklingande namn, men inte dessa. Hur kan detta komma sig?

För att besvara detta, följer här ett försök, att, om inte fullständigt förklara namnen - då detta är gjort av andra, så i alla fall visa på de spår som dessa namn lämnat efter sig i utvecklingen mot att användas som namn på matematiska kurvor i vårt nutida språkbruk. Det kommer också att visa sig, att denna nutid sträcker sig långt tillbaka i tiden, dvs. namnen etableras redan i antiken, men ändå sträcker sig utvecklingen och etableringen av namnen över flera hundra år.

Ett antal texter presenteras också parallellt, där begreppens framväxt och användning kan följas. Texterna har valts med tanke på att ge en exposé över grekiska matematiska texter och därur en möjlighet, att följa utvecklingen av de här avhandlade begreppen.

Lexikala definitioner

För att få en första bakgrund till ett ords betydelse, är ett gott lexikon en bra början. I detta fall lämpar sig Liddell-Scott-Jones' lexikon[1], i vilket man finner följande, här relevanta, förklaringar:

παραβάλλω

VII. Geom., π. παρά . . apply a figure to a finite line, παραλληλόγραμμον π. παρὰ εὐθεῖαν Euc.6.27, cf. Archim.Aequil.2.1. De planorum aequilibriis

2. since to apply an area xy to a line of length x is to divide xy by x, π. = divide, τι παρά τι Dioph.5.10, al.; cf. παρά C. 1.4c.

ὑπερβολή

IV. the conic section called hyperbola, because the square of the ordinate is equal to a rectangle with height equal to the abscissa applied to the parameter (as base) but exceeding (ὑπερβάλλον), i. e. overlapping, that base, Apollon. Perg.Con.1.12, Procl. in Euc.p.419F.

ἔλλειψις

2. the conic section ellipse, Apollon.Perg.Con.1.13 (so called because the square on the ordinate is equal to a rectangle with height equal to the abscissa and applied to the parameter, but falling short of it).

3. ἐν ἐλλείψεσιν ἐνυπάρχειν to be present in deficiency, of the negative terms in an algebraical expression, Dioph.1Praef.p.14 T.

I ovanstående ordboksförklaringar framträder nyckelbegreppen: conic sections, apply, exceeding, falling short och divide. Det senares betydelse är enklast att ange, eftersom det är den vanliga aritmetiska operationen division. Att dess namn ibland anges med verbet παραβάλλειν är dock inte lika självklart, men denna betydelse härleds ur begreppet apply, att anbringa en yta på en sträcka. Detta motsvaras i vår tids terminologi av att en yta konstrueras med en given sida, dvs. man delar ytans mått med den givna sidan och erhåller på så sätt den andra sidans mått. Härav följer betydelsen divide. Innebörden, att anbringa en yta för begreppet apply, sträcker sig däremot tillbaka till åtminstone pythagoreerna och detta begrepps innebörd i samband med conic sections antyder också, hur dess namn kom att namnge dessa kurvor. Begreppet apply kan dessutom modifieras på de två ovan beskrivna sätten, exceeding och falling short.

Den tredje betydelsen av ἔλλειψις har tagits med, eftersom denna dyker upp i texten av Diofantos här nedan - där även divide dyker upp och skall då inte förväxlas med apply.

I det följande används de svenska namnen applicera, överskott och brist efter StrömersA A) Strömer, Mårten, 7/8 1707 - 2/1 1770, svensk matematiker och astronom. och BråkenhielmsB B) Bråkenhjelm, Per Reinhold, 1796 - 1878, svensk matematiker. översättningar av Euklides[2]. Dessutom används det vedertagna kägelsnitt samt det mindre vedertagna ytapplicering, benämningar som även används i den översättning av Apollonios[3] som WahlgrenC C) Wahlgren, Agne, 8/8 1879 - 13/5 1964, svensk matematiker. utfört.

Matematiska definitioner

Ytapplicering

Geometrisk sett är ytapplicering en teknik att överföra en yta - ofta en kvadrat - till en parallellogram - i sin tur ofta en rektangel - med en bestämd sida. Detta kan alltså dessutom göras med ett överskott eller en brist. Algebraiskt motsvarar dessa ytappliceringar att lösa andragradsekvationer.

Objects are not supported by your browser! D D) Klicka på knapparna för att ändra typ eller använd pause-knappen för begrundan. E E) I blått Thales' teorem (dvs. Euklides III 31). Det gröna (rektangeln), med eller utan det gula - se den röda cirkelbågen - och det röda (kvadraten) följer från Euklides VI 8.

Kägelsnitt

Kägelsnitt kallas de - icke-urartade - kurvor som uppstår i skärningen mellan ett plan och en kon, dvs. ellipsen, cirkeln, hyperbeln och parabeln.

Dessa kurvor är lösningar till andragradsproblem, som t.ex. fysikaliska förlopp beroende av gravitation, vilka beskrivits av bl.a. Galileo, Kepler och Newton. I senare tid har ytterligare en av parabelns, eg. paraboloidens, egenskaper fått stor praktisk betydelse, att parallellt infallande strålar reflekteras och möts i paraboloidens fokus, vilket används i bl.a. strålkastare och antennkonstruktioner för mikrovågor. Denna egenskap var känd under antiken och behandlas av Diokles i Om brännspeglar.

Mer information om de specifikt matematiska egenskaperna hos de enskilda kurvorna, parabeln, hyperbeln och ellipsen, finns att tillgå hos t.ex. MathWorld[4].

Division

Ytapplicering var så välkänd och flitigt använd, att dess namn även kom att användas för enbart den i metoden ingående divisionen, ett totum pro parte.

Historia

Ytapplicering

Redan Babylonierna hade metoder för att lösa linjära och kvadratiska ekvationer. När de gjorde detta, skrev de ofta om ekvationerna på normalformer och löste dessa därefter med hjälp av standardmetoder. Metoderna återspeglas i den euklidiska appliceringen av ytor, men då från gammalbabylonisk och inte seleukidisk tid[5]. Standardmetoderna återfinns i bl.a. Elementa II, t.ex. II 5 och II 6[6], vilka, enligt Proklos, EudemosF F) Eudemus från Rhodos, grekisk filosof, ca 370 - ca 300 f.Kr.. tillskriver Pythagoreerna. Dessutom betraktas VI 28 och VI 29 som generaliseringar av II 5 och II 6.[7]. Även om de babyloniska metoderna numer anses mer geometriska än algebraiska[8], är de grekiska metoderna strikt geometriska, de sysselsätter sig inte alls med tal - de multiplicerar inte och division samt kvadratrötter är heller inte aktuella - de behandlar linjer och ytor[9].

Objects are not supported by your browser!

Den term som grekerna så småningom kom att använda för denna ytapplicering blev παραβάλλειν. Framför allt genom att det var denna term Euklides använde i sin Elementa, där metoderna i princip erhöll sin slutgiltiga utformning. Emellertid kan man notera, att det förmodligen förelåg flera konkurrerande benämningar innan παραβάλλειν etablerade sig som den allenarådande. Hos Platon i Menon 86e-87b - där Platon avser just ytapplicering - används παρατείνειν och hos Archimedes används främst παραπίπτειν[10].

Tidiga kägelsnitt

Den grekiske matematikern Menaechmos, fjärde århundradet f.Kr., brukar anges som den förste att behandla kägelsnitten, vilket han lär ha gjort, då han arbetade med det Deliska problemet. Detta problem - ett av de tre stora geometriska problemen i antiken - sägs ha fått sitt namn av att invånarna i Delos hade rådfrågat oraklet i Delfi, hur de skulle få bukt med den pest, som härjade deras stad. Oraklet svarade då, att de skulle fördubbla volymen på stadens kubiska altare, vilket motsvarar, att på något sätt konstruera tredjeroten ur två.

Objects are not supported by your browser!

Menaechmos behöver emellertid - tvärt emot vad som nämns i det Proklos tillskriver EratosthenesG G) Eratosthenes från Cyrene, grekisk vetenskapsman och poet, 276 - 194 f.Kr.., tredje århundradet f.Kr., (se nedan) skär ej konen trefalt som Menaechmos - inte nödvändigtvis ha använt sig av kägelsnitt, utan kan i stället använt ytapplicering för att lösa det deliska problemet[11]. Argumentationen för detta är dock inte helt övertygande[12], utan förklaringen, som gör Menaechmos till upptäckaren av de tre kurvorna, får fortfarande anses trolig.

När dessa kurvor konstruerades såsom kägelsnitt, gjordes detta ursprungligen genom att en kon skars av ett plan vinkelrätt mot konens sida, där konens sida bestämdes av hypotenusan i en rätvinklig triangel som roterades kring en av sina katetrar. De olika kurvorna erhölls därefter, genom att konens toppvinkel varierades (se vidstående figurer); antingen rät, trubbig eller spetsig för parabel, hyperbel eller ellips och benämndes därför också som snitt av respektive kon: ὀρθογωνίου, ἀμβλυγωνίου, ὀξυγωνίου κώνου τομή.

Anledningen till att man konstruerade kurvorna på detta sätt - ett sätt som utesluter cirkelns konstruktion - sägs vara, att det förenklade konstruktionen av kurvorna, men kanske också att det fanns vissa problem som kunde illustreras på detta sätt, t.ex. ljuskäglor fallande mot väggar[13]. En teori har i detta sammanhang lagts fram[14], varför man intresserade sig för kägelsnitt konstruerade på just detta sätt, vilken går ut på att just dessa snitt uppstår, när man konstruerar solur. Emellertid måste man konstatera, att det finns inga spår av solur konstruerade på detta sätt och detta skulle dessutom innebära, att Menaechmos i sin tur övertagit en redan befintlig teori.

Kägelsnitt

När så Apollonios mot slutet av tredje århundradet f.Kr. visar, att alla de olika kurvorna kan genereras ur en och samma kon, inleder han också en ny och genomgripande era för kägelsnittens utforskande.

Objects are not supported by your browser!

Till att börja med skapar han sina koner på ett nytt sätt. Han använder sig därvidlag av en linje som hålls stilla i en punkt och låter sedan en annan punkt på linjen beskriva en cirkel. Den yta, som linjen då genomlöper, skapar så en kon och linjen kallas konens generatris. Man bör även notera, att Apollonios' koner är dubbelkoner, dvs. en kon på var sida om generatrisens fasthållna punkt och han blir därmed den förste som kommer att studera hyperbelns båda grenar.

Han ger också det matematiska samband, som beskriver respektive kurva, som grekerna kallade σύμπτωμα och kan anses motsvara vår tids ekvation. Sådana samband är mycket generellare än de som tidigare ställdes upp för de traditionellt genererade kurvorna och han använder sig av sina συμπτώματα vid ytapplicering. Det är emellertid inte säkert att Apollonios var först att använda ytapplicering. Det har visats, att det är möjligt, att göra detta även för de traditionellt genererade kurvorna[15].

Apollonios namnger också kurvorna i sitt verk och ger dem där de namn under vilka de ännu går under. Skulle det vara så, att Apollonios inte var först med att använda ytapplicering, då är det inte ens säkert, att namnen stammar från honom[16]. Fast han får anses vara den, som för senare tider namngivit kurvorna, då hans verks betydelse inte kan överskattas. T.ex. finns inga bevarade exemplar av varken Euklides' eller Aristaios'H H) Aristaios den äldre, 370-300 f.Kr., grekisk matematiker som arbetade med kägelsnitt., fjärde århundradet f.Kr., verk om kägelsnitt - Euklides' försvann redan före Pappos' tid.

Efter Apollonios arbete upphör dessutom tillfällig den geometriska utvecklingen i denna del av världen under en lång tid.

Sammanfattning

Tidigt i vår matematiska bildning träffar vi på några enkla kurvor och deras namn - parabel, hyperbel och ellips. Dessa namn har kurvorn erhållit, eftersom Apollonios använde ytapplicering, när han arbetade med kägelsnittt och där stötte på dessa kurvor. Han gav då kurvorna korta namn efter den metod, varmed han framställde kurvorna. Han besparade då både sig själv och oss, att använda de äldre och längre benämningarna, som hade sitt ursprung i den tidigare framställningen av kurvorna. Apollonios' korta namn är de som fortfarande används, men deras behandling med hjälp av modern matematisk notation gör att deras namns ursprung blivit något obskyrt. Detta ursprung har emellertid visat sig, att inte helt vara utan intresse.

Texter

Kronologi

Nedan följer en mängd texter, där ytapplicering och kägelsnitt används samt en del därtill hörande material. Översättningarna är främst språkliga, för att framhäva hur den tidens matematiska texter tog sig ut. En tolkning i modern matematisk dräkt, som t.ex. Glimstedts' av Diofantos[17], ger ingen fullständig historisk inblick i texten och kan således missa aspekter av den tidens tankesätt och benämningar.

Författarna till texterna finns kronologiskt ordnade längs en tidsaxel i följande figur.I I) Klicka på ett namn i grönt här intill, för att komma till respektive stycke och klicka på den blå texten för att komma till Wikipedia.

Objects are not supported by your browser!

Pythagoras

PlutarchosJ J) Grekisk, senare romersk medborgare, historiker, biograf m.m.. Född i Chaironeia i Boiotien ca46 - ca 120 e.Kr.., första århundradet e.Kr., bidrog inte själv till det matematiska, men återberättar en anekdot om Pythagoras angående paraballein - eller om det nu gällde Pythagoras' sats. Att vegetarianen Pythagoras skulle offrat något djur förefaller emellertid inte troligt.

Plutarchos Moralia - Bordssamtal

Språkval

[...] ἔστι γὰρ ἐν τοῖς γεωμετρικωτάτοις θεωρήμασιν, μᾶλλον δὲ προβλήμασι, τὸ δυεῖν εἰδῶν δοθέντων ἄλλο τρίτον παραβάλλειν τῷ μὲν ἴσον τῷ δ' ὅμοιονK K) Se Euklides I.44 nedan.· ἐφ' ᾧ καί φασιν ἐξευρεθέντι θῦσαι τὸν Πυθαγόραν. πολὺ γὰρ ἀμέλει γλαφυρώτερον τοῦτο καὶ μουσικώτερον ἐκείνου τοῦ θεωρήματος, ὃ τὴν ὑποτείνουσαν ἀπέδειξεν ταῖς περὶ τὴν ὀρθὴν ἴσον δυναμένην.[18]

[...] Ty det finns bland de geometriska teoremen, snarare problemen, att givet två figurer till en annan tredje applicera något lika med den ena och den andra liknande; för denna upptäckt säger man Pythagoras har offrat. Ty faktiskt mycket elegantare och mer avstämt är detta än hans teorem, i vilket han visar, att hypotenusans och de kring den räta vinkelns kvadrater är lika.

Plutarchos Moralia - Att man inte kan leva angenämt efter Epikuros' lära

Språkval

καὶ Πυθαγόρας ἐπὶ τῷ διαγράμματι βοῦν ἔθυσεν, ὥς φησιν Ἀπολλόδωρος· ἡνίκα Πυθαγόρης τὸ περικλεὲς εὕρετο γράμμα, κεῖν' ἐφ' ὅτῳ λαμπρὴν ἤγαγε βουθυσίην- εἴτε περὶ τῆς ὑποτεινούσης ὡς ἴσον δύναται ταῖς περιεχούσαις τὴν ὀρθήν, ἔιτε πρόβλημα περὶ τοῦ χωρίου τῆς παραβολῆς.[19]

Och Pythagoras offrade för den geometriska satsen en oxe, som Apollodoros säger: Då Pythagoras den berömda satsen fann, den för vilken han ett strålande oxoffer höll. Antingen om hypotenusan som i kvadrat är lika med dem kring den räta vinkeln, eller problemet om en ytas applicerande.

Platon

Menon

I undervisningen i Platons' Menon av den senares slav, våren 402 f.Kr., används i det ena exemplet ytapplicering. Denna text är för övrigt ett av de första bevarade grekiska matematiska textexemplen.

Då exemplet inte gick att lösa på Platons' tid[20], har detta exempel blivit föremål för många utläggningar. Att Platon skulle skriva om något han saknade lösning för, verkar vara en omöjlig tanke[21], men förmodligen är det just detta som Platon ville uppnå med problemet. Han ville ha ett exempel på en matematisk hypotes, vilken kunde antingen bekräftas eller ej, och att problemet inte var lösbart gjorde att han kunde fokusera frågeställningen på uppställandet av hypoteser och inte på ytappliceringsproblemet.

Språkval

λέγω δὲ τὸ ἐξ ὑποθέσεως ὧδε, ὥσπερ οἱ γεωμέτραι πολλάκις σκοποῦνται, ἐπειδάν τις ἔρηται αὐτούς, οἷον περὶ χωρίου, εἰ οἷόν τε ἐς τόνδε τὸν κύκλον τόδε τὸ χωρίον τρίγωνον ἐνταθῆναι, εἴποι ἄν τις ὅτι οὔπω οἶδα εἰ ἔστιν τοῦτο τοιοῦτον, ἀλλ᾽ ὥσπερ μέν τινα ὑπόθεσιν προὔργου οἶμαι ἔχειν πρὸς τὸ πρᾶγμα τοιάνδε: εἰ μέν ἐστιν τοῦτο τὸ χωρίον τοιοῦτον οἷον παρὰ τὴν δοθεῖσαν αὐτοῦ γραμμὴν παρατείναντα ἐλλείπειν τοιούτῳ χωρίῳ οἷον ἂν αὐτὸ τὸ παρατεταμένον ᾖ, ἄλλο τι συμβαίνειν μοι δοκεῖ, καὶ ἄλλο αὖ, εἰ ἀδύνατόν ἐστιν ταῦτα παθεῖν. ὑποθέμενος οὖν ἐθέλω εἰπεῖν σοι τὸ συμβαῖνον περὶ τῆς ἐντάσεως αὐτοῦ εἰς τὸν κύκλον, εἴτε ἀδύνατον εἴτε μή.[22]

Jag menar med att utgå från hypotesen följande sätt som geometrikerna många gånger undersöker på, då någon frågar dem, om en yta, huruvida denna kan sträckas ut i en cirkel som en triangulär yta, kan någon av dem svara att: Jag vet inte alls om det är på detta sätt, men ändå tror jag mig ha någon hypotes för en sådan situation: om denna yta är sådan, att mot sin givna linje den vore applicerad med en brist som i sin tur är som ytan som applicerats. Å ena sidan tycks mig något följa därav och å andra sidan kan detta omöjligt vara fallet. En hypotes önskar jag emellertid framställa för dig, om huruvida dess utbredning i cirkeln följer därav, antingen det är omöjligt eller ej.

Menaechmos

Den förmodligen förste att stöta på kägelsnitten var alltså Menaechmos och även om grekerna snabbt hade förmågan, att ta fram en numerisk approximation, låg en exakt lösning närmare för de grekiska matematikernas sinnelag. Ett steg på vägen mot en sådan lösning togs när Hippokrates från ChiosL L) Matematiker och astronom, ca 470 - ca 410 f.Kr.., femte århundradet f.Kr., visade att lösningen av det deliska problemet var ekvivalent med att finna två medelproportionaler, a x = x y = y 2 a , som ger x 3 = 2 a 3 och ur detta fick Menaechmos sin lösning.

Menaechmos' egna arbeten finns endast bevarade i fragment[23], men historierna bakom problemet finns återberättade av Eutokios[24], som också beskriver Menaechmos' lösning (se nedan).

Euklides

Elementa I 44

I Elementa I 44 visar Euklides hur en yta, en triangel, appliceras på en sträcka i en viss vinkel.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ Γ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν ἴσῃ τῇ Δ γωνίᾳ.

Συνεστάτω τῷ Γ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕΖΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΗ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ· καὶ κείσθω ὥστε ἐπ' εὐθείας εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΑΒ, καὶ διήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΗ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΘ, ΕΖ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΖ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ, ΘΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ, ΗΖΕ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν· αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν· αἱ ΘΒ, ΖΕ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΑ, ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΘΑ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛΚΖ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΚ, περὶ δὲ τὴν ΘΚ παραλληλόγραμμα μὲν τὰ ΑΗ, ΜΕ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΛΒ, ΒΖ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ΒΖ τῷ Γ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ Δ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄρα τῇ Δ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΛΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[25]

Att till den givna linjen applicera en, med en triangel lika stor, parallellogram med i given rätlinjig vinkel.

Låt en rät linje, ΑΒ, vara given, den givna triangeln Γ, den rätlinjiga vinkeln Δ; Det är alltså nödvändigt att till den givna linjen ΑΒ applicera en, med en triangel Γ lika stor, parallellogram med en given rätlinjig vinkel Δ.

Konstruera, lika med triangeln Γ, parallellogrammen ΒΕΖΗ med vinkeln ΕΒΗ, som är lika med Δ; Placera den så att ΒΕ är i rät linje med ΑΒ, förläng ΖΗ till Θ, och dra ΑΘ genom Α, parallell med endera ΒΗ eller ΕΖ, samt förena ΘΒ.

Och eftersom den räta linjen ΘΖ skär parallellerna ΑΘ och ΕΖ, är alltså vinklarna ΑΘΖ och ΘΖΕ lika med två räta och alltså är vinklarna ΒΘΗ och ΗΖΕ mindre än två räta - linjer som från en vinkel mindre än två räta obegränsat dras ut möts - alltså skall ΘΒ och ΖΕ mötas om utdragna. Drag ut dem och låt dem mötas vid Κ och drag ΚΛ genom punkten Κ parallell med antingen ΕΑ eller ΖΘ, samt drag ΘΑ och ΗΒ till punkterna Λ och Μ.

Då är ΘΛΚΖ en parallellogram, dess diameter är ΘΚ, vid ΘΚ finns parallellogrammerna ΑΗ och ΜΕ, samt de så kallade komplementen ΛΒ och ΒΖ; Alltså är ΛΒ lika med ΒΖ; men ΒΖ är lika med triangeln Γ, alltså är ΛΒ lika med Γ. Då är också vinkeln ΗΒΕ lika med vinkeln ΑΒΜ, men ΗΒΕ är lika med Δ och då är ΑΒΜ lika med vinkeln Δ.

På den givna linjen ΑΒ har parallellogrammen ΛΒ, lika med den givna triangeln Γ, applicerats med vinkeln ΑΒΜ som är lika med Δ.

Vilket skulle göras.

Elementa II 5

I Elementa II 5 visar Euklides geometriskt vad vi beskriver som a b + ( a + b 2 - b ) 2 = ( a + b 2 ) 2 eller ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 . Där a motsvarar ΑΔ och b motsvarar ΔΒ i figuren nedan.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ ὁποτέρᾳ τῶν ΓΕ, ΒΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ παράλληλος πάλιν ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ πάλιν διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΒΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ παραπλήρωμα τῷ ΘΖ παραπληρώματι, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΓΜ τῷ ΑΛ ἴσον ἐστίν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ ἐστιν ἴση· καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΘ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΘ τῷ ΜΝΞ γνώμονι ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΑΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΔΘ τῇ ΔΒ· καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ὁ ἄρα ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. ἀλλὰ ὁ ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΒ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[26]

Om en rät linje delas i lika och olika delar, då är den av de olika delarna, avskurna från hela linjen, omfattande rektangeln, tillsammans med kvadraten på skillnaden mellan snitten, lika med kvadraten på halva linjen.

Ty skär en rät linje ΑΒ i lika, vid Γ, och olika, vid Δ, delar, då säger jag att rektangeln uppspänd av ΑΔ och ΔΒ tillsammans med kvadraten på ΓΔ är lika med kvadraten på ΓΒ.

Rita på ΓΒ kvadraten ΓΕΖΒ och förena ΒΕ samt drag genom Δ ΔΗ parallell med antingen ΓΕ eller ΒΖ, genom Θ åter drag ΚΜ, parallell med antingen ΑΒ eller ΕΖ, och åter genom Α drag ΑΚ, parallell med antingen ΓΛ eller ΒΜ.

Då komplementet ΓΘ är lika med komplementet ΘΖ, lägg till ΔΜ till dem båda; sålunda är hela ΓΜ lika med hela ΔΖ. Men ΓΜ är lika med ΑΛ, eftersom ΑΓ också är lika med ΓΒ; alltså är även ΑΛ lika med ΔΖ. Lägg till ΓΘ till båda, så är hela ΑΘ lika med gnomonen ΜΝΞM M) Heiberg & Menge: Cum littera Μ in figura, quam ex ed. Basil. recepimus, bis usurpetur, non sine causa pro ΜΝΞ a Gregorio scriptum est ΝΞΟ, ut prop. VI. sed non audeo contra codd. mutare..

Men ΑΘ är lika med ΑΔ ΔΒ, ty ΔΘ är lika med ΔΒ; och alltså är gnomonen ΜΝΞ lika med ΑΔ ΔΒ.

Lägg till ΛΗ, som är lika med kvadraten på ΓΔ, till båda, då är gnomonen ΜΝΞ och ΛΗ lika med den av ΑΔ ΔΒ uppspända rektangeln och kvadraten på ΓΔ.

Men gnomonen ΜΝΞ och ΛΗ är hela kvadraten ΓΕΖΒ, som ges av ΓΒ; alltså är den av ΑΔ ΔΒ uppspända rektangeln tillsammans med kvadraten på ΓΔ lika med kvadraten på ΓΒ.

Om alltså en rät linje skärs i lika och olika delar, så är den av de olika delarna, avskurna från hela linjen, omfattande rektangeln, tillsammans med kvadraten på skillnaden mellan snitten, lika med kvadraten på halva linjen.

Vilket skulle visas.

Elementa II 6

I Elementa II 6 visar Euklides geometriskt vad vi beskriver som ( 2 a + b ) b + a 2 = ( a + b ) 2 eller ( a + b ) ( a + b ) = a 2 + 2 a b + b 2 . Där a motsvarar ΑΓ och b motsvarar ΒΔ i figuren nedan.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθόγώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον, προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας ἡ ΒΔ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τε τετραγώνῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΓ, ΔΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ ἔτι διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΔΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΛ τῷ ΓΘ. ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΘΖ ἴσον ἐστίν. καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΘΖ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΜ τῷ ΝΞΟ γνώμονί ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΑΜ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΔΜ τῇ ΔΒ· καὶ ὁ ΝΞΟ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ [περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ]. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΝΞΟ γνώμονι καὶ τῷ ΛΗ. ἀλλὰ ὁ ΝΞΟ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΔ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθόγώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[27]

Om en rät linje delas i två lika delar och en rät linje placeras i linje med denna, då är rektangeln av hela linjen med den tillagda och det tillagda samt kvadraten på halva linjen lika med kvadraten på halvan och det tillagda hoplagda.

Ty dela en rät linje ΑΒ i halvor vid punkten Γ, placera en rät linje ΒΔ i linje med denna; Jag säger då, att rektangeln ΑΔ ΔΒ tillsammans med kvadraten på ΓΒ är lika med kvadraten på ΓΔ.

Ty, rita kvadraten ΓΕΖΔ på ΓΔ, samt förena ΔΕ, och genom punkten Β drag ΒΗ, parallell med antingen ΕΓ eller ΔΖ, genom punkten Θ drag ΚΜ, parallell med antingen ΑΒ eller ΕΖ, och drag dessutom ΑΚ genom Α, parallell med antingen ΓΛ eller ΔΜ.

Eftersom ΑΓ är lika med ΓΒ, är också ΑΛ lika med ΓΘ. Men ΓΘ är lika med ΘΖ. Och alltså är ΑΛ lika med ΘΖ. Lägg till ΓΜ till båda; sålunda är hela ΑΜ lika med gnomonen ΝΞΟ. Men ΑΜ är ΑΔ ΔΒ; ty ΔΜ är lika med ΔΒ; och alltså är gnomonen ΝΞΟ lika med rektangeln ΑΔ ΔΒ. Då är alltså ΑΓ lika med ΓΒ, ΑΛ är också lika med ΓΘ. Men ΓΘ är lika med ΘΖ. Och alltså är ΑΛ lika med ΘΖ. Lägg till ΓΜ till båda; sålunda är hela ΑΜ lika med gnomonen ΝΞΟ. Men ΑΜ är ΑΔ ΔΒ; ty ΔΜ är lika med ΔΒ; och alltså är gnomonen ΝΞΟ lika med rektangeln ΑΔ ΔΒ. Lägg till ΛΗ, som är lika med kvadraten på ΒΓ, till båda; alltså är rektangeln ΑΔ ΔΒ tillsammans med kvadraten på ΓΒ lika med gnomonen ΝΞΟ och ΛΗ. Men gnomonen ΝΞΟ och ΛΗ är kvadraten ΓΕΖΔ, som kommer av ΓΔ; alltså är rektangeln ΑΔ ΔΒ tillsammans med kvadraten på ΓΒ lika med kvadraten på ΓΔ.

Om alltså en rät linje delas mitt itu och en rät linje placeras i linje med denna, då är rektangeln av hela linjen med den tillagda och det tillagda samt kvadraten på halva linjen lika med kvadraten på halvan och det tillagda hoplagda.

Vilket skulle visas.

Elementa II 11

I Elementa II 11 tar Euklides fram, med hjälp av ytapplicering, vad vi kallar det gyllene snittet, vilket återkommer i VI Def. 3.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διήχθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ τετραγώνῳ.

Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΖΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ πε- ριεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ τὸ ΖΚ· ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔ· τὸ ἄρα ΖΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ. κοινὸν ἀρῃρήσθω τὸ ΑΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΘ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ· τὸ δὲ ΖΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΑ τετραγώνῳ.

Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[28]

Att dela en given rät linje så att rektangeln av hela och den ena av delarna är lika med kvadraten på den andra.

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen; ΑΒ bör delas så att rektangeln av hela och den ena av delarna är lika med kvadraten på den andra.

Ty konstruera på ΑΒ kvadraten ΑΒΔΓ, och dela ΑΓ mitt itu vid punkten Ε, förena ΒΕ och förläng ΓΑ till Ζ, ΕΖ dras också lika lång som ΒΕ, rita kvadraten ΖΘ på ΑΖ och förläng ΗΘ till Κ; jag säger, att ΑΒ har delats vid Θ, så att rektangeln ΑΒ ΒΘ blir lika med kvadraten ΑΘ.

Ty eftersom ΑΓ delats mitt itu vid punkten Ε, och förlängts av ΖΑ, är alltså rektangeln ΓΖ ΖΑ tillsammans med kvadraten på ΑΕ lika med kvadraten ΕΖ. Då ΕΖ är lika med ΕΒ är alltså rektangeln ΓΖ ΖΑ tillsammans med kvadraten på ΑΕ lika med kvadraten på ΕΒ. Men kvadraten på ΕΒ är lika med summan av kvadraterna på ΒΑ och ΑΕ; ty vinkeln är rät vid Α; alltså är rektangeln ΓΖ ΖΑ tillsammans med kvadraten på ΑΕ lika med summan av kvadraterna ΒΑ och ΑΕ. Drag ifrån kvadraten av ΑΕ från båda; alltså är den kvarvarande rektangeln ΓΖ ΖΑ lika med kvadraten på ΑΒ. Och rektangeln ΓΖ ΖΑ är ΖΚ; ty ΑΖ är lika med ΖΗ; och kvadraten på ΑΒ är ΑΔ; alltså är ΖΚ lika med ΑΔ. Drag ifrån ΑΚ från båda; alltså är resten ΖΘ lika med ΘΔ. Och ΘΔ är ΑΒ ΒΘ; ty ΑΒ är lika med ΒΔ; ΖΘ är kvadraten på ΑΘ; alltså är rektangeln ΑΒ ΒΘ lika med kvadraten på ΘΑ.

Alltså har den givna räta linjen ΑΒ delats vid Θ så att rektangeln ΑΒ ΒΘ blir lika med kvadraten på ΘΑ.

Vilket skulle göras.

Elementa VI 27

I Elementa VI 27 visar Euklides på vissa begränsningar på den applicerade ytans storlek, vilket är av intresse i VI 28.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβαλλόμενον [παραλληλόγραμμον] ὅμοιον ὂν τῷ ἐλλείμματι.

Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ἀναγραφέντι ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ, τουτέστι τῆς ΓΒ· λέγω, ὅτι πάντων τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι [παραλληλογράμμοις] ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ΔΒ μέγιστόν ἐστι τὸ ΑΔ. παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΖΒ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ΔΒ· λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΔ τοῦ ΑΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΒ παραλληλογράμμῳ, περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον. ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΔΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.

Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν δὲ τὸ ΖΒ, ὅλον ἄρα τὸ ΓΘ ὅλῳ τῷ ΚΕ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ. καὶ τὸ ΗΓ ἄρα τῷ ΕΚ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ τῷ ΛΜΝ γνώμονί ἐστιν ἴσον· ὥστε τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ΑΔ, τοῦ ΑΖ παραλληλογράμμου μεῖζόν ἐστιν.

Πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβληθέν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[29]

Av alla dem på samma räta linje applicerade parallellogrammer och brister - till utseendet parallellogrammer liknande och likartat placerade som den vid halvan uppritade - är den parallellogram störst som vid halvan är uppritad och är lik bristen.

Låt en rät linje ΑΒ delas i hälften vid Γ och applicera på den räta linjen ΑΒ parallellogrammen ΑΔ med en brist liknande parallellogrammen ΔΒ uppritad på halva ΑΒ, det vill säga ΓΒ; jag säger, att av alla dem på linjen ΑΒ applicerade parallellogrammer och brister - till utseendet parallellogrammer liknande och likartat placerade som den vid ΔΒ - är ΑΔ störst. Ty applicera på den räta linjen ΑΒ parallellogrammen ΑΖ, bristande med parallellogrammen ΖΒ, till utseendet lik och placerad som ΑΔ; jag säger, att ΑΔ är större än ΑΖ.

Ty eftersom parallellogrammen ΔΒ är lik parallellogrammen ΖΒ, ligger de efter samma diameter. Drag deras diameter ΔΒ och figuren är fullbordad.

Eftersom då ΓΖ är lika med ΖΕ och ΖΒ är gemensam, alltså är hela ΓΘ lika med hela ΚΕ. Men ΓΘ är lika med ΓΗ, eftersom också ΑΓ är lika med ΓΒ. Och ΗΓ alltså är lika med ΕΚ. Lägg till ΓΖ till båda; då är hela ΑΖ lika med gnomonen ΛΜΝ; så att parallellogrammen ΔΒ, det vill säga ΑΔ, är större än parallellogrammen ΑΖ.

Alltså är av alla dem på samma räta linje applicerade parallellogrammer och brister - till utseendet parallellogrammer liknande och likartat placerade som den vid halvan uppritade - är den parallellogram störst som har applicerats vid halvan; Vilket skulle visas.

Elementa VI 28

I Elementa VI 28 visar Euklides en geometrisk lösning av kvadratiska ekvationer av typen x 2 - a x + b = 0 och kan dessutom ses som en generalisering av II 5; ytapplicering med underskott.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι· δεῖ δὲ τὸ διδόμενον εὐθύγραμμον [ᾧ δεῖ ἴσον παραβαλεῖν] μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι [τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ ᾧ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν].

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ μὴ μεῖζον [ὂν] τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ.

Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΕΒΖΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον.

Εἰ μὲν οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν· παραβέβληται γὰρ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΗΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. εἰ δὲ οὔ, μεῖζον ἔστω τὸ ΘΕ τοῦ Γ. ἴσον δὲ τὸ ΘΕ τῷ ΗΒ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ Γ. ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ, ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΚΛΜΝ. ἀλλὰ τὸ Δ τῷ ΗΒ [ἐστιν] ὅμοιον· καὶ τὸ ΚΜ ἄρα τῷ ΗΒ ἐστιν ὅμοιον. ἔστω οὖν ὁμόλογος ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΗΕ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῖς Γ, ΚΜ, μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΚΜ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΗΕ τῆς ΚΛ, ἡ δὲ ΗΖ τῆς ΛΜ. κείσθω τῇ μὲν ΚΛ ἴση ἡ ΗΞ, τῇ δὲ ΛΜ ἴση ἡ ΗΟ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΞΗΟΠ παραλληλόγραμμον· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι [τὸ ΗΠ] τῷ ΚΜ [ἀλλὰ τὸ ΚΜ τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν]. καὶ τὸ ΗΠ ἄρα τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΗΠ τῷ ΗΒ. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΗΠΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.

Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗ τοῖς Γ, ΚΜ, ὧν τὸ ΗΠ τῷ ΚΜ ἐστιν ἴσον, λοιπὸς ἄρα ὁ ΥΧΦ γνώμων λοιπῷ τῷ Γ ἴσος ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΟΡ τῷ ΞΣ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΠΒ· ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὅλῳ τῷ ΞΒ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤΕ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση· καὶ τὸ ΤΕ ἄρα τῷ ΟΒ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΣ· ὅλον ἄρα τὸ ΤΣ ὅλῳ τῷ ΦΧΥ γνώμονί ἐστιν ἴσον. ἀλλ᾽ ὁ ΦΧΥ γνώμων τῷ Γ ἐδείχθη ἴσος· καὶ τὸ ΤΣ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΣΤ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ [ἐπειδήπερ τὸ ΠΒ τῷ ΗΠ ὅμοιόν ἐστιν]· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[30]

På den givna räta linjen applicera en parallellogram, som är lika med den givna rätlinjiga figuren, med en brist likformig med den givna parallellogrammen; den givna rätlinjiga figuren skall ej vara större än den på halva linjen applicerade parallellogrammen, vilken är likformig med bristen.

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen, Γ den givna rätlinjiga figuren, lika med den som skall appliceras på ΑΒ, ej större än den på halva ΑΒ placerade likformiga bristen, och Δ som bristen skall vara likformig med. På den givna räta linjen ΑΒ skall en parallellogram lika med den givna rätlinjiga figuren Γ appliceras, med en brist som är likformig med parallellogrammen Δ.

Dela ΑΒ på mitten i punkten Ε och rita på ΕΒ med Δ likformig och lika placerad ΕΒΖΗ samt fullfölj parallellogrammen ΑΗ.

Om alltså ΑΗ är lika med Γ, vore det sökta givet; ty på den givna räta linjen ΑΒ har parallellogrammen ΑΗ, lika med den givna rätlinjiga figuren Γ, och med bristen parallellogrammen ΗΒ, vilken är likformig med Δ applicerats. Om inte, låt ΘΕ vara större än Γ. ΘΕ är då lika med ΗΒ; alltså är också ΗΒ större än Γ. Konstruera ΚΛΜΝ lika med det överskott som ΗΒ är större än Γ både likformig med Δ och lika placerad. Men Δ är likformig med ΗΒ; och då är ΚΜ likformig med ΗΒ. Låt alltså ΚΛ korrespondera med ΗΕ, ΛΜ med ΗΖ; och eftersom ΗΒ är lika med Γ och ΚΜ, är alltså ΗΒ större än ΚΜ; alltså är även ΗΕ större än ΚΛ, ΗΖ än ΛΜ. Gör ΗΞ lika med ΚΛ, ΗΟ med ΛΜ, och bind samman parallellogrammen ΞΗΟΠ, som alltså är både lika med och likformig med ΚΜ. Och alltså är ΗΠ likformig med ΗΒ; ΗΠ ligger alltså kring samma diameter som ΗΒ. Låt deras diameter vara ΗΠΒ och figuren är fullbordad.

Eftersom ΒΗ är lika med Γ och ΚΜ, av vilka ΗΠ är lika med ΚΜ, är alltså den kvarvarande gnomonen ΥΧΦ lika med den kvarvarande Γ. Och eftersom ΟΡ är lika med ΞΣ, lägg till ΠΒ till båda; då är hela ΟΒ lika med hela ΞΒ. Men ΞΒ är lika med ΤΕ, eftersom också sidan ΑΕ är lika med sidan ΕΒ; och alltså är ΤΕ lika med ΟΒ. Lägg till ΞΣ till båda; då är hela ΤΣ lika med hela gnomonen ΦΧΥ. Men gnomonen ΦΧΥ har visats lika med Γ; och ΤΣ är alltså lika med Γ.

Alltså har på den givna räta linjen ΑΒ applicerats parallellogrammen ΣΤ, som är lika med den givna rätlinjiga figuren Γ och med en brist av en parallellogram ΠΒ, likformig med Δ. Vilket skulle göras.

Elementa VI 29

I Elementa VI 29 visar Euklides en geometrisk lösning av kvadratiska ekvationer av typen x 2 + a x - b = 0 och kan dessutom ses som en generalisering av II 6; ytapplicering med överskott.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι.

῎Εστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ὑπερβάλλειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τῷ Γ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ Δ.

Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀναγεγράθω ἀπὸ τὴς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμφοτέροις μὲν τοῖς ΒΖ, Γ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΗΘ. ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΖΒ, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆς ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΛ, ΖΕ, καὶ τῇ μὲν ΚΘ ἴση ἔστω ἡ ΖΛΜ, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ΖΕΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΜΝ· τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΗΘ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον. ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΛ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΕΛ τῷ ΜΝ. ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΖΞ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.

Ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΘ τοῖς ΕΛ, Γ, ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΜΝ ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τοῖς ΕΛ, Γ ἴσον ἐστίν. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΨΧΦ γνώμων τῷ Γ ἐστιν ἴσος. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΝ τῷ ΝΒ, τουτέστι τῷ ΛΟ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΕΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΦΧΨ γνώμονι. ἀλλὰ ὁ ΦΧΨ γνώμων τῷ Γ ἴσος ἐστίν· καὶ τὸ ΑΞ ἄρα τῷ Γ ἴσον ἐστίν.

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΑΞ ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ, ἐπεὶ καὶ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΠ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[31]

På den givna räta linjen applicera en parallellogram, som är lika med den givna rätlinjiga figuren, med ett överskott likformigt med den givna parallellogrammen.

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen, Γ den givna rätlinjiga figuren, som är lika med den på ΑΒ applicerade och Δ som överskottet skall vara likformigt med; på den räta linjen ΑΒ skall alltså en parallellogram appliceras, lika med den rätlinjiga figuren Γ och med ett överskott likformigt med parallellogrammen Δ.

Dela ΑΒ på mitten, i Ε, och rita på ΕΒ parallellogrammen ΒΖ, likformig med Δ och lika placerad, både lika med summan av ΒΖ och Γ - både likformig med Δ och lika placerad - och själv uppställd som ΗΘ. Låt ΚΘ motsvara ΖΛ och ΚΗ ΖΕ. Och eftersom ΗΘ är större än ΖΒ, är sålunda också ΚΘ större än ΖΛ och ΚΗ än ΖΕ. Låt ΖΛ och ΖΕ ha dragits, låt ΖΛΜ vara lika med ΚΘ, ΖΕΝ lika med ΚΗ och fullborda ΜΝ; alltså är ΜΝ lika och likformig med ΗΘ. Men ΗΘ är likformig med ΕΛ; och ΜΝ är likformig med ΕΛ; alltså ligger ΕΛ och ΜΝ på samma diameter. Rita deras diameter ΖΞ och figuren är fullbordad.

Eftersom ΗΘ är lika med ΕΛ och Γ, men ΗΘ är lika med ΜΝ och alltså är ΜΝ lika med ΕΛ och Γ. Drag bort ΕΛ från båda; då är det kvarvarande, gnomonen ΨΧΦ, lika med Γ. Och eftersom ΑΕ är lika med ΕΒ, är ΑΝ lika med ΝΒ, det vill säga ΛΟ. Lägg till ΕΞ till båda; då är hela ΑΞ lika med gnomonen ΦΧΨ. Men gnomonen ΦΧΨ är lika med Γ; och alltså är ΑΞ lika med Γ.

På den givna räta linjen ΑΒ har alltså parallellogrammen ΑΞ lika med den rätlinjiga figuren Γ applicerats med ett överskott av en parallellogram ΠΟ likformigt med Δ, eftersom även ΕΛ är likformig med ΟΠ.

Vilket skulle visas.

Archimedes

Archimedes använder inte någon av beteckningarna παραβολή, ἔλλειψις eller ὑπερβολή när han talar om kägelsnitten, utan använder beskrivningar av hur de åstadkoms, dvs. så som de åstadkoms före Apollonios: ὀρθογωνίου, ὀξυγωνίου, ἀμβλυγωνίου κώνου τομά[32]. Archimedes skrev ju ursprungligen på dorisk dialekt och de här valda texterna tillhör de som har kvar denna språkliga dräkt[33].

Parabelns kvadratur 3

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Εἴ κα ᾖ ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΒΓ, ἁ δὲ ΒΔ παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρος, καὶ ἀχθέωντί τινες αἱ ΑΔ, ΕΖ παρὰ τὰν κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς, ἐσσεῖται, ὡς ἁ ΒΔ ποτὶ τὰν ΒΖ, δυνάμει ἁ ΑΔ ποτὶ τὰν ΕΖ.

Ἀποδέδεικται δὲ ταῦτα ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις.[34]

Om ett snitt av en rätvinklig kon ΑΒΓ med linjen ΒΔ parallell med diametern eller diametern själv och om linjerna ΑΔ och ΕΖ dragits parallellt med tangenten i Β på kägelsnittet, då skall förhållandet mellan ΒΔ och ΒΖ vara som förhållandet mellan kvadraterna på ΑΔ och ΕΖ.

Detta har visats i Grunderna om Koner.

Om konoider och sfäroider

Περὶ μὲν οὖν τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος ὑπέκειτο τάδε· εἴ κα ὀρθογωνίου κώνου τομὰ μενούσας τᾶς διαμέτρου περιενεχθεῖσα ἀποκατασταθῇ πάλιν, ὅθεν ὥρμασεν, τὸ περιλαφθὲν σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ὀρθογώνιον κωνοειδὲς καλεῖσθαι, καὶ ἄξονα μὲν αὐτοῦ τὰν μεμενάκουσαν διάμετρον καλεῖσθαι, κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον, καθ' ὃ ἅπτεται ὁ ἄξων τᾶς τοῦ κωνοειδέος ἐπιφανείας· καὶ εἴ κα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος σχήματος ἐπίπεδον ἐπιψαύῃ παρὰ δὲ τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον ἄλλο ἐπίπεδον ἀχθὲν ἀποτέμῃ τι τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος, βάσιν μὲν καλεῖσθαι τοῦ ἀποτμαθέντος τμάματος τὸ ἐπίπεδον τὸ περιλαφθὲν ὑπὸ τᾶς τοῦ κωνοειδέος τομᾶς ἐν τῷ ἀποτέμνοντι ἐπιπέδῳ, κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον, καθ' ὃ ἐπιψαύει τὸ ἕτερον ἐπίπεδον τοῦ κωνοειδέος, ἄξονα δὲ τὰν ἐναπολαφθεῖσαν εὐθεῖαν ἐν τῷ τμάματι ἀπὸ τᾶς ἀχθείσας διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ τμάματος παρὰ τὸν ἄξονα τοῦ κωνοειδέος.

[...]

Περὶ δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος ὑποτιθέμεθα μὲν τάδε· εἴ κα ἐν ἐπιπέδῷ ἔωντι ἀμβλυγωνίου κώνου τομὰ καὶ ἁ διάμετρος αὐτᾶς καὶ αἱ ἔγγιστα τᾶς τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾶς, μενούσας δὲ τᾶς διαμέτρου περιενεχθὲν τὸ ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐντι αἱ εἰρημέναι γραμμαί, ἀποκατασταθῇ πάλιν, ὅθεν ὥρμασεν, αἱ μὲν ἔγγιστα εὐθεῖαι τᾶς τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾶς δῆλον ὡς κῶνον ἰσοσκελέα περιλαψοῦνται, οὗ κορυφὰ ἐσσεῖται τὸ σαμεῖον, καθ' ὃ αἱ ἔγγιστα συμπίπτοντι, ἄξων δὲ ἁ μεμενάκουσα διάμετρος· τὸ δὲ ὑπὸ τᾶς τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾶς σχῆμα περιλαφθὲν ἀμβλυγώνιον κωνοειδὲς καλεῖσθαι, ἄξονα δὲ αὐτοῦ τὰν μεμενάκουσαν διάμετρον, κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον, καθ' ὃ ἅπτεται ὁ ἄξων τᾶς ἐπιφανείας τοῦ κωνοειδέος· τὸν δὲ κῶνον τὸν περιλαφθέντα ὑπὸ τᾶν ἔγγιστα τᾶς τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομᾶς περιέχοντα τὸ κωνοειδές καλεῖσθαι, τὰν δὲ μεταξὺ εὐθεῖαν τᾶς τε κορυφᾶς τοῦ κωνοειδέος καὶ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωονοειδές ποτεοῦσαν τῷ ἄξονι καλεῖσθαι· καὶ εἴ κα τοῦ ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος ἐπίπεδον ἐπιψαύῃ, παρὰ δὲ τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον ἄλλο ἐπίπεδον ἀχθὲν ἀποτέμῃ τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος, βάσιν μὲν καλεῖσθαι τοῦ ἀποτμαθέντος τμάματος τὸ ἐπίπεδον τὸ περιλαφθὲν ὑπὸ τᾶς τοῦ κωνοειδέος τομᾶς ἐν τῷ ἀποτέμνοντι ἐπιπέδῳ, κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον, καθ' ὃ ἅπτεται τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπιψαῦον τοῦ κωνοειδέος, ἄξονα δὲ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἐν τῷ τμάματι ἀπὸ τᾶς διαχθείσας διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ τμάματος καὶ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδές, καὶ τὰν μεταξὺ τᾶν εἰρημενᾶν κορυφᾶν εὐθεῖαν ποτεοῦσαν τῷ ἄξονι καλεῖσθαι.

[...]

Περὶ δὲ τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ὑποτιθέμεθα τάδε· εἴ κα ὀξυγωνίου κώνου τομὰ μενούσας τᾶς μείζονος διαμέτρου περιενεχθεῖσα ἀποκατασταθῇ πάλιν, ὅθεν ὥρμασεν, τὸ περιλαφθὲν σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς παραμᾶκες σφαιροειδὲς καλεῖσθαι· εἰ δέ κα τᾶς ἐλάσσονος διαμέτρου μενούσας περιενεχθεῖσα ἁ τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομὰ ἀποκατασταθῇ πάλιν, ὅθεν ὥρμασεν, τὸ περιλαφθὲν σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀξυγωνίου κώνου τομᾶς ἐπιπλατὺ σφαιροειδὲς καλεῖσθαι· ἑκατέρου δὲ τῶν σφαιροειδέων ἄξονα μὲν καλεῖσθαι τὰν μεμενάκουσαν διάμετρον, κορυφὰν δὲ τὸ σαμεῖον, καθ' ὃ ἅπτεται ὁ ἄξων τᾶς ἐπιφανείας τοῦ σφαιροειδέος, κέντρον δὲ καλεῖσθαι τὸ μέσον τοῦ ἄξονος καὶ διάμετρον τὰν διὰ τοῦ κέντρου ποτ' ὀρθὰς ἀγομέναν τῷ ἄξονι· καὶ εἴ κα τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ὁποτερουοῦν ἐπίπεδα παράλληλα ἐπιψαύωντι μὴ τέμνοντα, παρὰ δὲ τὰ ἐπίπεδα τὰ ψαύοντα ἄλλο ἐπίπεδον ἀχθῇ τέμνον τὸ σφαιροειδές, τῶν γενομένων τμαμάτων βάσιν μὲν καλεῖσθαι τὸ περιλαφθὲν ὑπὸ τᾶς τοῦ σφαιροειδέος τομᾶς ἐν τῷ τέμνοντι ἐπιπέδῳ, κορυφὰς δὲ τὰ σημεῖα, καθ' ἃ ἐπιψαύοντι τοῦ σφαιροειδέος τὰ παράλληλα ἐπίπεδα, ἄξονας δὲ τὰς ἐναπολαφθείσας εὐθείας ἐν τοῖς τμαμάτεσσιν ἀπὸ τᾶς τὰς κορυφὰς αὐτῶν ἐπιζευγνυούσας· ὅτι δὲ τά τε ἐπιψαύοντα ἐπίπεδα τοῦ σφαιροειδέος καθ' ἒν μόνον ἅπτονται σαμεῖον τᾶς διὰ τοῦ κέντρου τοῦ σφαιροειδέος πορεύεται, δειξοῦμες· ὁμοῖα δε καλεῖσθαι τῶν σφαροειδέων σχημάτων, ὧν κα οἱ ἄξονες ποτὶ τὰς διαμέτρους τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντι. Τμάματα δὲ σφαιροειδέων σχημάτων καὶ κωνοειδέων ὁμοῖα καλείσθω, εἴ κα ἀφ' ὁμοίων σχημάτων ἀφαιρημένα ἔωντι καὶ τάς τε βάσεις ὁμοίας ἔχωντι, καὶ οἱ ἄξονες αὐτῶν ἤτοι ὀρθοὶ ἐόντεσ ποτὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν βάσιων ἣ γωνίας ἴσας ποιοῦντες ποτὶ τὰς ὁμολόγους διαμέτρους τῶν βάσιων τὸν αὐτὸν ἔχωντι λόγον ποτ' ἀλλάλους ταῖς ὁμολόγοις διαμέτροις τῶν βασίων.[35]

Om rotationsparaboloiden har alltså följande framlagts: Om ett snitt av en rätvinklig kon kring sin fixerade diameter förts och återtagit ursprungsläget och där stannats, kallas figuren som beskrivits av snittet av en rätvinklig kon en rätvinklig konoid, axel kallas den fixerade diametern och topp kallas punkten, där axeln träffar konoidens hölje. Och om ett plan tangerar den rätvinkliga konoidens figur och - parallellt med det tangerande planet - ett annat plan förts och skurit av något av konoiden, bas kallas det avskurna snittets yta - som omfamnas av konoidens skärningspunkter i det avskurna planet; topp den punkt, där det andra planet tangerar konoiden; axel linjestycket - inuti snittet - av segmentet genom toppen av snittet parallellt till konoidens axel.

[...]

Om rotationshyperboloiden föreslår vi följande: Om det i ett plan finns ett snitt av en trubbvinklig kon, dess diameter samt asymptoterna till den trubbvinkliga konens snitt och kring den fixerade diametern planet - i vilket sagda figurer finns - förts och återtagit ursprungsläget och där stannats, då har uppenbarligen asymptoterna till den trubbvinkliga konens snitt beskrivit en likbent kon, vars topp är punkten, där asymptoterna möts och axeln är den fasthållna diametern. Den av snittet av en trubbvinklig kon beskrivna figuren kallas en trubbvinklig konoid; dess axel är den fasthållna diameteren, dess topp är punkten, där axeln möter konoidens hölje. Konen beskriven av asymptoterna till den trubbvinkliga konens snitt kallas konoidens omslutande kon, den räta linjen mellan konoidens topp och toppen på konoidens omslutande kon kallas tillägg till axeln. Om ett plan tangerar den trubbvinkliga konoiden och ett annat plan parallellt med det tangerande planet skurit av ett stycke av konoiden, kallas det avskurna snittets yta bas - som omfammnnas av konoidens skärningspunkter i det avskurna planet; topp punkten, där planet tangerar konoidens hölje; axel linjen begränsad av (hyperboloid-)segmentet, på linjen dragen genom toppen av segmentet och toppen av konoidens omslutande kon och linjen mellan sagda toppar kallas tillägg till axeln.

[...]

Om rotationsellipsoider föreslår vi följande: Om ett snitt av en spetsvinklig kon kring den fixerade storaxeln förts och återtagit ursprungsläget och där stannats, kallas figuren som beskrivits av snittet av en spetsvinklig kon en långsmal sfäroid. Och om snittet av en spetsvinklig kon kring den fixerade lillaxeln förts och återtagit ursprungsläget, där stannats, kallas figuren som beskrivits av snittet av en spetsvinklig kon en tillplattad sfäroid. För båda sfäroiderna kallas den fixerade diametern axel; topp punkten där axeln skär sfäroidens hölje; centrum kallas mitten av axeln och diameter linjen dragen genom centrum vinkelrät mot axeln. Och om endera av två parallella plan tangerar någon sfäroid, utan att skära den, och parallellt med det tangerande planet det andra planet skär sfäroidens axel, kallas de så uppkomna snittens bas, vad som omfammnnas av sfäroidens skärningspunkter i det avskurna planet; toppar punkterna, där det parallella planet tangerar konoiden; axlar linjestyckena, inuti snitten, av deras förbundna toppar; att de tangerande planen möter sfäroiderna i en enda punkt och att de förbinds genom sfäroidens centrum, skall vi visa. Likformiga kallas de sfäroidiers figurer, för vilka axlarna såväl som diametrarna har samma förhållande. Snitt av sfäroider och konoider kallas likformiga, om de är tagna från likformiga figurer och de har likformiga baser samt om deras axlar, som är räta mot sina baser eller har samma vinkel mot basernas korresponderande diametrar, har samma förhålllande som basernas korresponderande diametrar.

Apollonios

I bok I 11-13 ger Apollonios, mer eller mindre, definitioner av de tre olika kägelsnitten - det fjärde, cirkeln, avhandlas i I 4. Därefter följer så hans utförliga behandling av detta område, en behandling som kom att överskugga både Euklides' och Aristaios' arbeten inom området.

Kägelsnitten I 11

Här definierar Apollonios parabeln och ger den dess namn.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ' εὐθεῖαν πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, ἔτι δὲ ἡ διάμετρος τῆς τομῆς παράλληλος ᾖ μιᾷ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς τοῦ κώνου παράλληλος ἀχθῇ τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τῆς βάσεως τοῦ κώνου μέχρι τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς, δυνήσεται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς καὶ ἄλλης τινὸς εὐθείας, ἣ λόγον ἔχει πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς τοῦ κώνου γωνίας καὶ τῆς κορυφῆς τῆς τομῆς, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς βάσεως τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνον πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν· καλείσθω δὲ ἡ τοιαύτη τομὴ παραβολή.

ἔστω κῶνος, οὗ τὸ Α σμεῖον κορυφή, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ' εὐθεῖαν τὴν ΔΕ πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΒΓ, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τὴν ΔΖΕ, ἡ δὲ διάμετρος τῆς τομῆς ἡ ΖΗ παράλληλος ἔστω μιᾷ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου τῇ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΖΗ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΘ, καὶ πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΑ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆϛ τυχὸν τὸν τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΚΛ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΘΖΛ.

ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Λ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΜΝ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΔΕ παράλληλος· τὸ ἄρα διὰ τῶν ΚΛ, ΜΝ ἐπίπεδon παράλληλόν ἐστι τῷ διὰ τῶν ΒΓ, ΔΕ ἐπιπέδῷ, τουτέστι τῇ βάσει τοῦ κώνου. τὸ ἄρα διὰ τῶν ΚΛ, ΜΝ ἐπίπεδον κύκλος ἐστίν, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ. καὶ ἔστι κάθετος ἐπὶ τὴν ΜΝ ἡ ΚΛ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΔΕ ἐπὶ τὴν ΒΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΜΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ. καὶ ἐπεὶ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ὴ ΒΓ πρὸς ΓΑ καὶ ἡ ΒΓ πρὸς ΒΑ, ὁ ἄρα τῆσ ΘΖ πρὸς ΖΑ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΓΑ καὶ τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΑ. ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΑ, τουτέστιν ἡ ΜΛ πρὸς ΛΖ, ὡς δὲ ἡ ΒΓ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΜΑ, τουτέστιν ἡ ΛΜ πρὸς ΜΖ, καὶ λοιπὴ ἡ ΝΛ πρὸς ΖΑ. ὁ ἄρα τῆς ΘΖ πρὸς ΖΑ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τῆς ΜΛ πρὸς ΛΖ καὶ τοῦ τῆς ΝΛ πρὸς ΖΑ. ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τῆς ΜΛ πρὸς ΛΖ καὶ τοῦ τῆς ΛΝ πρὸς ΖΑ ὁ τοῦ ὑπὸ ΜΛΝ ἐστι πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΖΑ. ὡς ἄρα ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΜΛΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΖΑ. ὡς δὲ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, τῆς ΖΛ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΖΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΖΑ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΜΛΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΖΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΖΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΖΑ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΜΛΝ τῷ ὑπὸ ΘΖΛ. τὸ δὲ ὑπὸ ΜΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΘΖΛ.

καλείσθω δὲ ἡ μὲν τοιαύτη τομὴ παραβολή, ἡ δὲ ΘΖ παρ' ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι τεταγμένως ἐπὶ τὴν ΖΗ διάμετρον, καλείσθω δὲ καὶ ὀρθία.[36]

Om en kon skärs av ett plan genom axeln och ett annat plan skärande konens bas efter linjen, som är vinkelrät mot basen av triangeln genom axeln, dessutom är snittets diameter parallell med ena sidan av triangeln genom axeln; då är en linje som dras från konens snitt - parallellt med den gemensamma delen av det skärande snittet och konens bas ända till diametern av snittet - kvadrerad lika med det inneslutna av det avskurna av sig själv längs diametern mot snittets topp och en annan rät linje, som har samma förhållande till den mellan konens vinkel och snittets topp, som till förhållandet mellan kvadraten på basen av triangeln genom axeln och rektangeln som begränsas av de två återstående sidorna av triangeln genom axeln; ett sådant snitt kallas parabel.

Låt vara en kon, där punkten Α är dess topp, basen är cirkeln ΒΓ och skär med ett plan genom axeln och gör så snittet som triangeln ΑΒΓ. Skär även med ett annat plan skärande konens bas längs den räta linjen ΔΕ, som är vinkelrät mot ΒΓ. Låt snittet i konens yta vara ΔΖΕ. Låt snittets diameter, ΖΗ, vara parallell med en av sidorna av triangeln genom axeln, ΑΓ. Och från punkten Ζ, vinkelrät mot linjen ΖΗ drag ΖΘ. Gör även förhållandet kvadraten på ΒΓ till ΒΑ . ΑΓ, som förhållandet ΖΘ till ΖΑ. Tag någon valfri punkt på snittet, Κ, och drag ΚΛ genom Κ parallell med ΔΕ. Jag säger, att kvadraten på ΚΛ är lika med ΘΖ . ΖΛ.

Ty låt ΜΝ vara dragen genom Λ parallell med ΒΓ. ΚΛ är även parallell med ΔΕ. Alltså är planet genom ΚΛ, ΜΝ parallellt med planet genom ΒΓ, ΔΕ, dvs. konens bas. Alltså är planet genom ΚΛ, ΜΝ en cirkel, vars diameter är ΜΝ. Och ΚΛ är vinkelrät mot ΜΝ, eftersom ΔΕ är vinkelrät mot ΒΓ. Alltså är ΜΛ . ΛΝ lika med kvadraten på ΚΛ. Och eftersom - då kvadraten på ΒΓ till ΒΑ . ΑΓ är såsom ΘΖ till ΖΑ - kvadraten på ΒΓ har förhållandet till ΒΑ . ΑΓ som det sammansatta, av det ΒΓ har till ΓΑ och det ΒΓ har till ΒΑ, alltså är förhållandet ΘΖ till ΖΑ som det sammansatta förhållandet av ΒΓ till ΓΑ och ΓΒ til ΒΑ. Men som ΒΓ till ΓΑ, så ΜΝ till ΝΑ, vilket är ΜΛ till ΛΖ, vidare är ΒΓ till ΒΑ som ΜΝ till ΜΑ, dvs. som ΛΜ till ΜΖ, och dessutom som ΝΛ till ΖΑ. Alltså är ΘΖ till ΖΑ det sammansatta förhållandet av ΜΛ till ΛΖ och ΝΛ till ΖΑ. Det sammansatta förhållandet av ΜΛ till ΛΖ och ΛΝ till ΖΑ är som ΜΛ . ΛΝ till ΛΖ . ΖΑ. Alltså är ΘΖ till ΖΑ som ΜΛ . ΛΝ till ΛΖ . ΖΑ. Dessutom är ΘΖ till ΖΑ, med ΖΛ tagen som gemensam höjd, som ΘΖ . ΖΛ till ΛΖ . ΖΑ; allstå är ΜΛ . ΛΝ till ΛΖ . ΖΑ som ΘΖ . ΖΛ till ΛΖ . ΖΑ. Alltså är ΜΛ . ΛΝ och ΘΖ . ΖΛ lika. Men ΜΛ . ΛΝ är lika med kvadraten på ΚΛ; och kvadraten på ΚΛ är lika med ΘΖ . ΖΛ.

Ett sådant snitt kallas parabel, linjen ΘΖ parametern för ordinatorna till diametern ΖΗ, denna kallas också den vinkelräta linjen (latus rectum).

Kägelsnitten I 12

Här definierar Apollonios hyperbeln och ger den dess namn.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ' εὐθεῖαν πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, καὶ ἡ διάμετρος τῆς τομῆς ἐκβαλλομένη συμπίπτῃ μιᾷ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου ἐκτὸς τῆς τοῦ κώνου κορυφῆς, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς ἀχθῇ παράλληλος τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τῆς βάσεως τοῦ κώνου, ἕως τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς δυνήσεταί τι χωρίον παρακείμενον παρά τινα εὐθεῖαν, πρὸς ἣν λόγον ἔχει ἡ ἐπ' εὐθείας μὲν οὖσα τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς, ὑποτείνουσα δὲ τὴν ἐκτὸς τοῦ τριγώνου γωνίαν, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου παρὰ τῆν διάμετρον τῆς τομῆς ἕως τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τῆς βάσεως τμημάτων, ὧν ποιεῖ ἡ ἀχθεῖσα, πλάτος ἔχον τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ' αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς, ὑπερβάλλον εἴδει ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς ὑποτεινούσης τὴν ἐκτὸς γωνίαν τοῦ τριγώνου καὶ τῆς παρ' ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι· καλείσθω δὲ ἡ τοιαύτη τομὴ ὑπερβολή.

ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ' εὐθεῖαν τὴν ΔΕ πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΒΓ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τὴν ΔΖΕ γραμμήν, ἡ δὲ διάμετρος τῆς τομῆς ἡ ΖΗ ἐκβαλλομένη συμπιπτέτω μιᾷ πλευρᾷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τῇ ΑΓ ἐκτὸς τῆς τοῦ κώνου κορυφῆς κατα τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς τῇ ΖΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ τεμνέτω τὴν ΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΛ, καὶ πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ ΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΓ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΛ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τυχὸν τὸ Μ, καὶ διὰ τοῦ Μ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΝ, διὰ δὲ τοῦ Ν τῇ ΖΛ παράλληλος ἡ ΝΟΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΛ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ διὰ τῶν Λ, Ξ τῇ ΖΝ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΛΟ, ΞΠ. λέγω, ὅτι ἡ ΜΝ δύναται τὸ ΖΞ, ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΖΛ πλάτος ἔχον τὴν ΖΝ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΛΞ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ὑπὸ τῶν ΘΖΛ.

ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ν τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΡΝΣ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΝΜ τῇ ΔΕ παράλληλος· τὸ ἄρα διὰ τῶν ΜΝ, ΡΣ ἐπίπεδον παράλληλόν ἐστι τῷ διὰ τῶν ΒΓ, ΔΕ, τουέστι τῇ βάσει τοῦ κώνου. ἐὰν ἄρα ἐκβληθῇ τὸ διὰ τῶν ΜΝ, ΡΣ ἐπίπεδον, ἡ τομὴ κύκλος ἔσται, οὗ διάμετρος ἡ ΡΝΣ. καὶ ἔστιν ἐπ' αὐτὴν κάθετος ἡ ΜΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΡΝΣ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΓ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΛ, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΓ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, καὶ ὁ τῆς ΖΘ ἄρα πρὸς τὴν ΖΛ λόγος συγκειται ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ. ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΗΓ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΝΣ, ὡς δὲ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΒ, τουτέστιν ἡ ΖΝ πρὸς ΝΡ. ὁ ἄρα τῆς ΘΖ πρὸς ΖΛ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΝ πρὸς ΝΣ καὶ τοῦ τῆς ΖΝ πρὸς ΝΡ. ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τῆς ΘΝ πρὸς ΝΣ καὶ τοῦ τῆς ΖΝ πρὸς ΝΡ ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ ἐστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΣΝΡ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΣΝΡ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΛ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΝΞ. ἀλλ' ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΞ, τῆς ΖΝ κοινοῦ ὕψους λαμβανπμένης οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΝΞ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΝΡ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΞΝΖ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΣΝΡ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΞΝΖ. τὸ δὲ ἀπὸ ΜΝ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΣΝΡ· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΞΝΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΞΝΖ ἐστι τὸ ΞΖ παραλληλόγραμμον. ἡ ἄρα ΜΝ δύναται τὸ ΞΖ, ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΖΛ, πλάτος ἔχον τὴν ΖΝ ὑπερβάλλον τῷ ΛΞ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ὑπὸ τῶν ΘΖΛ. καλείσθω δὲ ἡ μὲν τοιαύτη τομὴ ὑπερβολὴ, ἡ δὲ ΛΖ παρ' ἣν δύνανται αἱ ἐπὶ τὴν ΖΗ καταγόμεναι τεταγμένως· καλείσθω δὲ ἡ αὐτὴ καὶ ὀρθία, πλαγία δὲ ἡ ΖΘ.[37]

Om en kon skurits av ett plan genom axeln, och även skurits av ett annat plan skärande konens bas efter en linje som är vinkelrät mot basen av triangeln genom axeln och snittets diameter utdragen sammanfaller med en sida av triangeln genom axeln utanför konens topp, då är en linje - som dragits från snittet parallell med den gemensamma delen av det skärande snittet och konens bas ända till diametern av snittet - i kvadrat lika med en yta lagt efter en viss rät linje, till vilken linjen förlängd från snittets diameter, som spänner upp triangelns yttervinkel, har ett förhållande som kvadraten på linjen - dragen från konens topp parallellt med snittets diameter ända till triangelns bas - till det som omfattas av basens delar, vilka den dragna linjen bestämt; bredden på ytan är linjestycket av denna på diametern mot snittets topp; överskjutande med en figur likformig och lika placerad med det som omfattas av linjen som spänner upp triangelns yttervinkel och ordinatornas parameter. Ett sådant snitt kallas hyperbel.

Tag en kon, vars topp är punkten Α, basen cirkeln ΒΓ. Skär med ett plan genom axeln och gör snittet till triangeln ΑΒΓ. Skär också med ett annat plan som skär konens bas genom linjen ΔΕ vinkelrät mot ΒΓ, triangeln ΑΒΓ:s bas. Låt snittet i konens yta vara kurvan ΔΖΕ och låt snittets diameter, ΖΗ, utdragen skära en av sidorna på triangeln ΑΒΓ, ΑΓ, utanför konens topp vid Θ. Drag ΑΚ från Α parallell med snittets diameter, ΖΗ, och låt den skära ΒΓ och från drag ΖΛ från Ζ vinkelrät mot ΖΗ och gör, att kvadraten på ΚΑ till ΒΚΓ är som ΖΘ till ΖΛ. Tag även någon punkt på snittet, t.ex. Μ, och drag ΜΝ genom Μ parallell med ΔΕ. Drag ΝΟΞ genom Ν parallell med ΖΛ och ΘΛ förbinds och dras ut ända till Ξ och drag ΛΟ, ΞΠ genom Λ, Ξ parallella med ΖΝ. Jag säger, att ΜΝ kvadrerad är lika med ΖΞ, utlagd efter ΖΛ med en bredd av ΖΝ överskjutande med figuren ΛΞ likformig med rektangeln ΘΖΛ.

Ty drag ΡΝΣ genom Ν parallell med ΒΓ; men ΝΜ är parallell med ΔΕ; alltså är planet genom ΜΝ, ΡΣ parallellt med det genom ΒΓ, ΔΕ, dvs. konens bas. Om sålunda planet genom ΜΝ, ΡΣ dras ut, är snittet en cirkel, vars diameter är ΡΝΣ och ΜΝ är vinkelrätt mot den; alltså är rektangeln ΡΝΣ lika med kvadraten på ΜΝ. Och eftersom - då kvadraten på ΑΚ till rektangeln ΒΚΓ är som ΖΘ till ΖΛ - kvadraten på ΑΚ är till rektangeln ΒΚΓ som det sammansatta förhållandet av ΑΚ till ΚΓ och ΑΚ till ΚΒ, är alltså även förhållandet ΖΘ till ΖΛ som det sammansatta förhållandet av ΑΚ till ΚΓ och ΑΚ till ΚΒ. Men som ΑΚ till ΚΓ, så ΘΗ till ΗΓ, dvs. ΘΝ till ΝΣ och som ΑΚ till ΚΒ, så ΖΗ till ΗΒ dvs. ΖΝ till ΝΡ. Alltså förhållandet ΘΖ till ΖΛ är som det sammansatta förhållandet av ΘΝ till ΝΣ och ΖΝ till ΝΡ. Men det sammansatta förhållandet av ΘΝ till ΝΣ och ΖΝ till ΝΡ det är som rektangeln ΘΝΖ till rektangeln ΖΝΡ; och då är alltså rektangeln ΘΝΖ till rektangeln ΖΝΡ, som ΘΖ till ΖΛ, dvs. ΘΝ till ΝΞ. Men som ΘΝ till ΝΞ, med den gemensamma höjden ΖΝ, som rektangeln ΘΝΖ till rektangeln ΖΝΞ. Och därför alltså är rektangeln ΘΝΖ till rektangeln ΖΝΡ, som rektangeln ΘΝΖ till rektangeln ΞΝΖ. Alltså är rektangeln ΣΝΡ lika med rektangeln ΞΝΖ. Men kvadraten på ΜΝ har visats vara lika med rektangeln ΣΝΡ; och alltså är kvadraten på ΜΝ lika med rektangeln ΞΝΖ. Rektangeln ΞΝΖ är parallellogrammen ΞΖ. Alltså är kvadraten på ΜΝ lika med ΞΖ, som är utlagd efter ΖΛ, har bredden ΖΝ och överskjutande med ΛΞ som är likformig med rektangeln ΘΖΛ. Ett sådant snitt kallas hyperbel, Linjen ΛΖ parameter för ordinatorna till ΖΗ, denna kallas också den vinkelräta linjen (latus rectum) och ΖΘ transversalaxel.

Kägelsnitten I 13

Här definierar Apollonios ellipsen och ger den dess namn.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ συμπίπτοντι μὲν ἑκατέρᾳ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, μήτε δὲ παρὰ τὴν βάσιν τοῦ κώνου ἠγμένῳ μήτε ὑπεναντίως, τὸ δὲ ἐπίπεδον, ἐν ῷ ἐστιν ἡ βάσις τοῦ κώνου, καὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον συμπίπτῃ κατ' εὐθεῖαν πρὸς ὀρθὰς οὖσαν ἤτοι τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου ἣ τῇ ἐπ' εὐθείας αὐτῇ, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς τοῦ κώνου παράλληλος ἀχθῇ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἕως τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς, δυνήσεται τι χωρίον παρακείμενον παρά τινα εὐθεῖαν, πρὸς ἣν λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς τομῆς, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου παρὰ τὴν διάμετρον τῆς τομῆς ἕως τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων ὑπ' αὐτῆς πρὸς ταῖς τοῦ τριγώνου εὐθείαις πλάτος ἔχον τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ' αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ ρῆης παρ' ἣν δύνανται· καλείσθω δὲ ἡ τοιαύτη τομὴ ἔλλειψις.

ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ συμπίπτοντι μὲν ἑκατέρᾳ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, μήτε δὲ παραλλήλῳ τῇ βάσει τοῦ κώνου μήτε ὑπεναντίως ἠγμένῳ καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τὴν ΔΕ γραμμήν· κοινὴ δὲ τομὴ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τοῦ, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ βάσις τοῦ κώνου, ἔστω ἡ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΒΓ, ἡ δὲ διάμετρος τῆς τομῆς ἔστω ἡ ΕΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΕΔ πρὸς ὀρηὰς ἤχθω ἡ ΕΘ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ἀπὸ ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Λ, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΖΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ. λέγω, ὅτι ἡ ΛΜ δύναταί τι χωρίον, ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΕΘ πλάτος ἔχον τὴν ΕΜ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕΘ.

ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΔΘ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Μ τῇ ΘΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΞΝ, διὰ δὲ τῶν Θ, Ξ τῇ ΕΜ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΘΝ, ΞΟ, καὶ διὰ τοῦ Μ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΠΜΡ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΠΡ τῇ ΒΓ παράλληλος ἐστιν, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ τῇ ΖΗ παράλληλος, τὸ ἄρα διὰ τῶν ΛΜ, ΠΡ ἐπίπεδον παράλληλόν ἐστι τῷ διὰ τῶν ΖΗ, ΒΓ ἐπιπέδῳ, τουτέστι τῇ βάσει τοῦ κώνου. ἐὰν ἄρα ἐκβληθῇ διὰ τῶν ΛΜ, ΠΡ ἐπίπεδον, ἡ τομὴ κύκλος ἔσται, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ. καὶ ἐστι κάθετος ἐπ' αὐτὴν ἡ ΛΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΠΜΡ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ. καὶ ἐπεὶ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΕΘ, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚΓ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ, ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΒ, τουτέστιν ἡ ΕΜ πρὸς ΜΠ, ὡς δὲ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς ΗΓ, τουτέστιν ἡ ΔΜ πρὸς ΜΡ, ὁ ἄρα τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΕΜ πρὸς ΜΠ καὶ τοῦ τῆς ΔΜ πρὸς ΜΡ. ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΕΜ πρὸς ΜΠ, καὶ ἡ ΔΜ πρὸς ΜΡ, ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΜΔ ἐστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΠΜΡ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΜΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΠΜΡ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ, τουτέστιν ἡ ΔΜ πρὸς τὴν ΜΞ. ὡς δὲ ἡ ΔΜ πρὸς ΜΞ, τῆς ΜΕ κοινοῦ ὕψοθς λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΜΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΜΕ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΜΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΠΜΡ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΜΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΜΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΠΜΡ τῷ ὑπὸ ΞΜΕ. τὸ δὲ ὑπὸ ΠΜΡ ἴσον ἐδείχθη τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ· καὶ τὸ ὑπὸ ΞΜΕ ἄρα ἐστὶν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ. ἡ ΛΜ ἄρα δύναται τὸ ΜΟ, ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΘΕ πλάτος ἔχον τὴν ΕΜ ἐλλεῖπον εῖδει τῷ ΟΝ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ὑπὸ ΔΕΘ. καλείσθω δὲ ἡ μὲν τοιαύτη τομὴ ἔλλειψις, ἡ δὲ ΕΘ παρ' ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν ΔΕ τεταγμένως, ἡ δὲ αὐτὶ καὶ ὀρθία, πλαγία δὲ ἡ ΕΔ.[38]

Om en kon skurits av ett plan genom axeln och även skurits av ett annat plan skärande båda sidorna av triangeln genom axeln vilket varken är parallellt med konens bas eller omvänt; planet, i vilket konens bas ligger, möter också det skärande planet längs en rät linje som är vinkelrät mot basen av triangeln genom axeln eller dess förlängning; om en linje, som dras från kägelsnittet parallell med planens gemensamma skärningspunkter till snittets diameter, är kvadrerad lika med en yta liggande längs en rät linje; vilken har ett förhållande till snittets diameter, som kvadraten på linjen utdragen från konens topp - parallell med snittets diameter - ända till triangelns bas har till området begränsat av linjen mot sidorna av triangeln; dess bredd är det den avgränsar på diametern mot snittets topp; och har en brist likformig och likformigt placerad som det omslutna av diametern och dess parameter; Ett sådant snitt kallas ellips.

Tag en kon, vars topp är punkten Α, basen cirkeln ΒΓ. Skär med ett plan genom axeln och gör snittet till triangeln ΑΒΓ, Skär också med ett annat plan som skär båda sidorna av triangeln genom axeln, vilket varken är parallellt med konens bas eller förd omvänt och låt snittet i konens yta vara kurvan ΔΕ; Det gemensamma snittet av det skärande planet och det, i vilket konens bas ligger, vara ΖΗ som är vinkelrätt mot ΒΓ, snittets diameter är ΕΔ, drag ΕΔ från Ε vinkelrät mot ΕΘ, drag ΑΚ genom Α parallell med ΕΔ, låt kvadraten på ΑΚ vara till rektangeln ΒΚΓ, som ΔΕ till ΕΘ och tag någon punkt, Λ, på snittet och drag ΛΜ genom Λ parallell med ΖΗ. Jag säger, att kvadraten på ΛΜ är lika med någon yta, som är utlagd efter ΕΘ, har bredden ΕΜ och har en brist likformig med rektangeln ΔΕΘ.

Ty förena ΔΘ, drag ΘΕ genom Μ parallell med ΜΞΝ, drag ΘΝ, ΞΟ genom Θ, Ξ parallella med ΕΜ och drag ΒΓ genom Μ parellell med ΠΜΡ. Eftersom ΠΡ då är parallell med ΒΓ och även ΛΜ är parallell med ΖΗ, alltså är planet genom ΛΜ, ΠΡ parallellt med planet genom ΖΗ, ΒΓ, dvs. konens bas. Om sålunda planet genom ΛΜ, ΠΡ dras ut, är snittet en cirkel, vars diameter är ΠΡ. Och är ΛΜ vinkelrät mot den, är alltså rektangeln ΠΜΡ lika med kvadraten på ΛΜ. Och eftersom - då kvadraten är till rektangeln ΒΚΓ, som ΕΔ till ΕΘ - kvadraten på ΛΜ är till rektangeln ΒΚΓ som det sammansatta förhållandet som ΑΚ har till ΚΒ och ΑΚ till ΚΓ, men som ΑΚ till ΚΒ, så ΕΗ till ΗΒ, dvs. ΕΜ till ΜΠ samt som ΑΚ till ΚΓ, så ΔΗ till ΗΓ, dvs. ΔΜ till ΜΡ, alltså är ΔΕ till ΕΘ som det sammansatta förhållandet av ΕΜ till ΜΠ och ΔΜ till ΜΠ. Det sammansatta förhållandet som ΕΜ har till ΜΠ och ΔΜ till ΜΡ, det är som rektangeln ΕΜΔ till rektangeln ΠΜΡ. Alltså är som rektangeln ΕΜΔ till rektangeln ΠΜΡ, såsom ΔΕ till ΕΘ, dvs. som ΔΜ till ΜΞ. Men som ΔΜ till ΜΞ, med gemensamma höjden ΜΕ, är rektangeln ΔΜΕ till rektangeln ΞΜΕ. Alltså är även rektangeln ΔΜΕ till rektangeln ΠΜΡ som rektangeln ΔΜΕ till rektangeln ΞΜΕ. Alltså är rektangeln ΠΜΡ med rektangeln ΞΜΕ. Men rektangeln ΠΜΡ har visats vara lika med kvadraten på ΛΜ och alltså är rektangeln ΞΜΕ lika med kvadraten på ΛΜ. ΛΜ är i kvadrat lika med rektangeln ΜΟ, som lagts längs ΘΕ, har en bredd av ΕΜ och har en brist, ΟΝ, likformig med rektangeln ΔΕΘ. Ett sådant snitt kallas ellips, linjen ΕΘ parameter för ordinatorna till ΔΕ, denna kallas själv också den vinkelräta linjen (latus rectum) och ΕΔ transversalaxel.

Diokles

Om brännspeglar

Diokles använder i Περὶ πυρίων, endast bevarad i arabisk översättning, den preapolloniska terminologin för parabel qaṭ`i 'l-maḵrūṭi 'l-qā'imi 'l-zāwiya - en ordagrann översättning av τομὴ κώνου ὀρθογωνίου, men i Prop.8 och endast där, använder han hyperbel och ellips.[39]

Heron

Definitioner av geometriska termer

Herons definitioner av geometriska termer.

Språkval

ϟγ'. [Τί τομὴ κώνου;]

Τεμνόμενος δὲ κῶνος διὰ τῆς κορυφῆς τρίγωνον ποιεῖ τὴν τομήν, παραλλήλως δὲ τῇ βάσει τμηθεὶς κύκλον, μὴ παραλλήλως δὲ τμηθεὶς ἄλλο τι μέρος γραμμῆς, ὃ καλεῖται κώνου τομή. τῶν δὲ τοῦ κώνου τομῶν ἡ μὲν καλεῖται ὀρθογώνιος, ἡ δὲ ἀμβλυγώνιος, ἡ δὲ ὀξυγώνιος. ὀξυγώνιος μὲν οὖν ἡ αὑτῇ συνάπτουσα καὶ ποιοῦσα σχῆμα θυροειδές, καλεῖται δὲ ὐπό τινων καὶ ἔλλειψις· ἡ δὲ τοῦ ὀρυογωνίου καλεῖται παραβολή, ἡ δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου ὑπερβολή.[40]

93. Vad är ett kägelsnitt?

Att skära en kon genom toppen ger ett triangulärt snitt, parallellt med basen skärs en cirkel, icke parallellt med basen skärs en annan sorts figur, som kallas ett kägelsnitt. Av kägelsnitten kallas ett rätvinkligt, ett trubbvinkligt och ett spetsvinkligt. Den spetsvinkliga, alltså med sig själv hänger ihop, ger också en sköldformad figur; den kallas också ellips av somliga. Den rätvinkliga kallas parabel, den trubbvinkliga hyperbel.

Metrika II 13

Metrica, i tre böcker, om mätandet av ytor och kroppar.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Τῶν κωνικῶν καὶ κυλινδρικῶν καὶ σφαιρκῶν σχημάτοων μεμετρημένων, ἐὰν δέῃ καὶ καμάρας ἐχούσας τὰ προειρημένα σχήματα μετρεῖν ἢ θόλους, ἀκολούθως τῇ ἐπὶ τοῦ λουτῆρος μετρήσει ποιήσομεν· τῆς γὰρ ἐντὸς ἐπιφανείας κοίλης οὔδης, τουτέστι κενῆς, πάλιν ἔσται ἑκάστη αὐτῶν δύο ὁμοίων τμημάτων ὑπεροχή. ἔστω δὲ σπεῖραν μετρῆσαι πρότερον ἐκθέμενον τὴν γένεσιν αὐτῆς. [...]

[...] καὶ ἔστι δοθείς ὁ κύλινδρος· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἄφελε ἀπὸ τῶν κ ¯ τὰ <ι>β ¯ · λοιπὰ η ¯ . καὶ πρόσθες τὰ κ ¯ · γίγνεται κη ¯ · καὶ μέτρησον κύλινδρον, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι μονάδων κη ¯ , τὸ δὲ ὕψος ιβ ¯ · καὶ γίγνεται τὸ στερεὸν αὐτοῦ ͵ ζτϟβ ¯ . καὶ μέτρησον κύκλον, οὗ διάμετρος ἐστι μονάδων ιβ ¯ · γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ, καθὼς ἐμάθομεν, ριγ ¯ ζ ʹ · καὶ λαβὲ τῶν κη ¯ τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιδ ¯ . ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῶν ιβ ¯ · γίγνεται πδ ¯ · καὶ πολλαπλασιάσαι τὰ [ Μ ° ζτϟβ ¯ ἐπὶ τὰ ριγ ¯ ζ ʹ · καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν πδ ¯ · γίγνεται ͵ θϡνϛ ¯ ζ δ τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. δυνατὸν δέ ἐστι καὶ ἄλλως μετρῆσαι. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιδ ¯ , καὶ ἔστιν ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ ἄρα διάμετρός ἐστι μονάδων κη ¯ · ὥστε ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου γίγνεται μονάδων πη ¯ · ἁπλωθεῖσα ἄρα ἡ σπεῖρα καὶ γενομένη ὡς κύλινδρος ἕξει τὸ μῆκος μονάδων πη ¯ · καὶ ἔστιν ἡ διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τουτέστιν ἡ ΒΓ, μονάδων ιβ ¯ · ὥστε τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου, ὡς ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ͵ ζτϟβ ¯ . πάλιν ͵ θϡνϛ ¯ ζ δ . [41]

Då de koniska, cylindriska och sfäriska figurerna har mätts. Vore det önskvärt att också mäta rum med kupoler av förutnämnda figurer eller valv, skall vi göra en mätning motsvarande badkarens. Ty den inre ytan är en urholkad yta, dvs. tom, blir åter var och en av dem skillnaden mellan två likformiga segment. Låt mäta en speira, men först skall dess tillkomst utvecklas. [...]

[...] Och cylindern är given. Alltså är även speirans volym given. Den sammanställs därför enligt metoden sålunda: Drag bort 12 från 20; rest 8. Lägg till 20; det ger 28; och mät en cylinder, vars bottendiameter är 28 fingrar, höjden 12; det ger dess volym 7392. Mät en cirkel vars diameter är 12 fingrar; det ger dess areal, såsom vi lärt, 113 1 7 ; och tag hälften av 28; det blir 14. Multiplicera med hälften av 12; det ger 84; multiplicera 7392 med 113 1 7 ; och dela resultatet med 84; det ger 9956 4 7 . Detta är speirans volym. Det finns också en möjlighet att mäta på ett annat sätt. Ty eftersom ΑΖ är 14 fingrar, och är radien, alltså är diametern 28 fingrar. Därför ges cirkelns omkrets som 88 fingrar; då speiran upprullats och blivit liksom en cylinder skall den ha längden 88 fingrar; och diametern av cylinderns bas, dvs. ΒΓ, är 12 fingrar; då är cylinderns volym, som vi sett 7392; och åter 9956 4 7 .

Diofantos

Med Diofantos lämnas geometrin och utvecklingen av algebran har påbörjats och i det följande ger Diofantos först en förklaring för sitt val av symboler. Här används de symboler, som Heath efter en lång utläggning[42] beslutar sig för, som en typografiskt enkel utväg, slutsigma (ς), för arithmus.

Arithmetika I.

Språkval

ὁ δὲ μηδὲν τούτων τῶν ἰδιωμάτων κτησάμενος, ἔχων δὲ ἐν ἑαυτῷ πλῆθος μονάων ἀόριστον, ἀριθμὸς καλεῖται καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὸ ς.

ἔστι δὲ καὶ ἕτερον σημεῖον τὸ ἀμετάθετον τῶν ὡρισμένων ἡ μονὰσ καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Μ ἐπίσημον ἔχον τὸ Ο, Μ ° .[43]

Den som inget av dessa kännetecken besitter, men innehåller emellertid i sig själv ett antal av det okända, den kallas arithmos och betecknas ς vilket vanligen motsvaras av vårt x.

Det finns även ett annat tecken för konstanten av de bestämda termerna, entalet, och vars tecken är M med ett O över: Μ ° .

Lite senare även om negativa tal vid multiplikation.

Språkval

Λεῖψις ἐπὶ λεῖψιν πολλαπλασιασθεῖσα ποιεῖ ὕπαρξιν, λεῖψισ δὲ ἐπὶ ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν, καὶ τῆς λείψεως σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον, 𐅢[44]

Ett negativt tal multiplicerat med ett negativt blir positivt och ett negativt med ett positivt blir negativt.

Tecknet för negativa tal är ett vänt avhugget Ψ, 𐅢 vårt minus, -.

Heath kommenterar detta[45]: The literal rendering would be A wanting multiplied by a wanting makes a forthcoming. The word corresponding to minus is λεῖψις (wanting): when it is used exactly as our minus is, it is in the dative λείψei, but there is some doubt whether Diophantus himself used this form.

Efter detta får Diofantos fortsätta och i det följande blir det intressant för detta sammanhang.

Arithmetika 4. 39

Språkval

Εὐρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἠ ὐπεροχὴ τοῦ μείζονος καὶ τοῦ μέσον πρὸς τὴν ὐπεροχὴν τοῦ μέσον καὶ τοῦ ἐλάσσονος λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔτι δὲ καὶ σὺν δύο λαμβανόμενοι, ποιῶσι τετράγωνον.

[...]

Γέγονεν οὖν μοι Δ Y γ ¯ ς ιβ ¯ Μ ° θ ¯ ἴσ. ποιῆσαι □. πλάσσω □όν τινα ἀπὸ Μ ° γ ¯ λειπουσῶν ς τινας· καὶ γίνεται ὁ ς ἔκ τινος ἀριθμοῦ ϛκις γενομένου καὶ προσλαβόντος τὸν ιβ ¯ , τουτέστι τῆς ἰσώσεως τῆς ς  ιβ ¯ , καὶ μερισθέντος εἰς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ ἀριθμοῦ □ος τῶν ΔΥ τῶν ἐν τῇ ἰσώσει γ ¯ . ἀπῆκται οὖν μοι εἰς τὸ εὑρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς ςκις γενόμενος καὶ προσλαβὼν Μ ° ιβ ¯ καὶ μεριζόμενος εἰς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ □ος τριάδος, ποιεῖ τὴν παραβολὴν ἐλάσσονος Μ ° β ¯ .

[...]

καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.[46]

Att finna tre tal så att skillnaden mellan det största och det mellersta har ett givet förhållande till skillnaden mellan det mellersta och det minsta, dessutom utgör också två tals summa en kvadrat.

[...]

Givet att göra 3 x 2 + 12 x + 9 lika med en kvadrat. Jag antar en kvadrat av 3 subtraherat från ett antal x; Det ger x som något tal 6 gånger taget och med 12 adderat, dvs. ekvationens 12 x , och delat med skillnaden, vilken skiljer kvadraten av talet och 3:an framför andragradstermen i ekvationen. Jag bör alltså finna ett tal, som 6 gånger taget och adderat 12 samt delat med skillnaden, som skiljer dess kvadrat och 3, det gör kvoten mindre än 2.

[...]

Och beviset är uppenbart.

Arithmetika 5. 10

Detta är ovan nämnda ställe, παραβάλλω VII. 2, i Liddell-Scott-Jones.

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Μονάδα τεμαῖν εἰς δύο μόρια καὶ προσθεῖναι ἑκατέρῳ ἄλλον καὶ ἄλλον δοθέντα ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τετράγωνον.

Ἐπιτετάχθω δὴ Μ ° τεμεῖν, καὶ προσθεῖναι ᾧ μὲν Μ ° β ¯ , ᾧ δὴ Μ ° ϛ ¯ , καὶ ποιεῖν ἑκάτερον □ον.

Ἐκκείσθω μονὰς ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μὲν ΑΓ προσκείσθω δυὰς ἡ ΑΔ, τῷ δὲ ΓΒ ἑξὰς ἡ ΒΕ· ἑκάτερος ἄρα τῶν ΓΔ, ΓΕ ἔστιν □ος. καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΑΒ ἔστιν Μ ° α ¯ , συναμφότερος ὁ δὲ ΑΔ, ΒΕ ὀκτάς, ὅλος ἄρα ὁ ΔΕ [ἐπὶ τῆς Μ ° α ¯ ] γίγνεται Μ ° θ ¯ , καὶ ταύτας χρὴ διελεῖν εἰς δύο □ους τοὺς ΓΑ, ΓΕ. ἀλλὰ, ἐπεὶ εἰς τῶν □ων τοῦ μὲν ΑΔ ἔστιν μείζων, τουτέστιν δυάδος, τοῦ δὲ ΔΒ ἔστιν ἐλάσσων τουτέστιν τριάδος, ἀπῆκταί μοι εἰς τὸ τὸν ἐπιταχθέντα □ον, οἱονεὶ τὸν θ ¯ , διελεῖν εἰς δύο □ους τοὺς ΔΓ, ΓΕ, ὥστε ἕνα τὸν ΓΔ εἴναι ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῆς τε δυάδος καὶ τῆς τριάδος. εὑρεθέντος γὰρ τοῦ ΓΔ, δοθεὶς ὧν ὁ ΑΔ ἔστιν δυάς, λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ δοθείς· ἔστιν δὲ ὁ ΑΒ Μ ° α ¯ , καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΒΓ ἔστιν δοθείς· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Γ, καθ' ὃ τέμνεται ἡ μονάς.

Ἡ δὲ ἀγωγὴ ὑπογραφήσεται. ἔστω γὰρ ὁ εἶς τῶν □ων, μεταξύ τε δυάδος καὶ τῆς τριάδος, Δ Y α ¯ · ὁ ἄρα λοιπὸς ἔσται Μ ° θ ¯ 𐅢 Δ Y α ¯ · ταῦτα ἴσα □.

καὶ ταῦτα ἴσα □ ποιεῖν ῥᾴδιόν ἐστιν, δεῖ δὲ εὐρεῖν ΔΥ μεταξὺ τοῦ τε β ¯ καὶ τοῦ γ ¯ . λαμβάνομεν δύο □ους, ἕνα μὲν μείζονα τοῦ β ¯ , τὸν δὲ ἕτερον ἐλάσ­σονα τοῦ γ ¯ . εἰσὶν δὲ τὰ ρμδ σπθ καὶ ρμδ τξα · ἐὰν οὖν τὴν Δ Y α ¯ κατασκευάσωμεν ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν προειρη­μένων δύο □ων, λύσομεν τὸ ζητούμενον.

δεῖ οὖν καὶ τὴν πλευρὰν Δ Y α ¯ , τουτέστιν ς α ¯ , μείζονα μὲν εἶναι ιβ ιζ , ἐλάσσονα δὲ ιβ ιθ , ὥστε δεῖ, ζητοῦντα Μ ° θ ¯ 𐅢 Δ Y α ¯ ἴσ. □, εὑρεῖν τὸν ς μείζονα μὲν ιβ ιζ · ἐλάσ­σονα δὲ ιβ ιθ .

ἐαν δὲ Μ ° θ ¯ 𐅢 Δ Y α ¯ ποιῶμεν ἴσας □, πλάσσομεν τὴν τοῦ □ου πλ ἀπὸ Μ ° γ ¯ 𐅢ς α ¯ τινος, καὶ εὑρίσκομεν τὸν ς γινόμενον ἔκ τινος ἀριθμοῦ ςκις γενομένου καὶ μεριζομένου εἰς τὸν Μ ° α ¯ μείζονα τοῦ ἀπ' αὐτοῦ □ου· ἀπῆκται οὖν εἰς τὸ εὐρεῖν τινα ἀριθμὸν ὃς ςκις γενό­μενος καὶ παραβληθεὶς εἰς τὸν Μ ° α ¯ μείζονα τοῦ ἀπ' αὐτοῦ □ου, τὴν παραβολὴν ποιεῖ μείζονα μὲν ιβ ιζ , ἐλάσ­σονα δὲ ιβ ιθ .

Ἕστω ὁ ζητούμενοσ ς α ¯ καὶ ζητῶ κατὰ τὸν προσ­διορισμὸν ς ϛ ¯ ἐν μορίῳ Δ Y α ¯ Μ ° α ¯ μείζονα μὴν εἶναι ιβ ιζ ἐλάσσονα δὲ ιβ ιθ .

ἀλλὰ καὶ ὁ ιζ ¯ παραβληθεὶς παρὰ ιβ ¯ , τὴν παρα­βολὴν ποιεῖ Μ ° ιβ ιζ , ὥστε δεὶ ς ϛ ¯ πρὸς Δ Y α ¯ Μ ° α ¯ μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ ιζ ¯ πρὸς ιβ ¯ . τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ς <ϛ> ¯ καὶ Μ ° ιβ ¯ , τουτέστιν ς οβ ¯ ὀφείλουσι μείζονες εἶναι τοῦ ὑπὸ Δ Y α ¯ Μ ° α ¯ καὶ Μ ° ιζ ¯ , τουτέστι Δ Y ιζ ¯ Μ ° ιζ ¯ .

τῶν ς τὸ 𐅵ʹ ἐφ' ἑαυτὸ γίνεται ͵ ασϟϛ ¯ . ὕφελε τὰς ΔΥ ἐπὶ τὰς Μ ° , τουτέστιν ͵ σπθ ¯ , λοιπὸς ἄρα ͵ αζ ¯ · τούτων πλευρά· οὐ μείζων λα ¯ · πρόσθες τὸ 𐅵ʹ τῶν ς· γίνεται οὐ μείζων ξζ ¯ · παράβαλε παρὰ τὸ πλῆθος τῶν ΔΥ, γίνεται ὁ ς οὐ μείζων ιζ ξζ .

Καὶ ὁμοίως δεήσει ς <ϛ> ¯ πρὸς Δ Y α ¯ Μ ° α ¯ ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἤπερ ιθ ¯ πρὸς ιβ ¯ · εὑρήσομεν τὸν ς οὐκ ἐλάσσονα ιθ ξϛ , ἀλλὰ καὶ οὐ μείζονα ιζ ξζ .

ἔστω Μ ° γ ¯ 𐅵 ʹ · πλάσσω οὖν τὴν πλ τοῦ □ου ἀπὸ Μ ° γ ¯ 𐅢ς γ ¯ 𐅵 ʹ · γίνεται ὁ □ος Δ Y ιβ ¯ δ ʹ Μ ° θ ¯ 𐅢ς κα ¯ · ταῦτα ἴσα Μ ° θ ¯ 𐅢 Δ Y α ¯ , ὅθεν ὁ ς νγ πδ , ἡ ΔΥ ͵βωθ ͵ζνϛ . καὶ ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλωμεν τὴν δυάδα, ἔσται ἕν τμῆμα τῆς Μ ° , ͵βωθ ͵αυλη , ὥστε τὸ ἕτερον ἔσται ͵βωθ ͵ατοα . καὶ μένει τὸ ἐπίταγμα.[47]

Att dela en hel i två delar och lägga ihop var och en med olika givna tal och göra till en kvadrat.

Se till att dela den hela och lägg till den ena 2 och den andra 6 och kvadrera var och en.

Sätt som den hela ΑΒ och dela vid Γ, lägg två till ΑΓ, ΑΔ, och 6 till ΓΒ, ΒΕ; var och en av ΓΔ och ΓΕ är en kvadrat. Och eftersom ΑΒ är 1, är summan av ΑΔ och ΒΕ åtta, hela ΔΕ blir 9, och detta skall delas i de två kvadraterna ΓΑ och ΓΕ. Men, då en av de två kvadraterna är större än ΑΔ, dvs. två, och mindre än ΔΒ, dvs. tre, drar jag ifrån ett från kvadraten som erhållits, dvs. 9, dela i två kvadraterna ΔΓ och ΓΕ, så att en, ΓΔ, ligger i intervallet mellan två och tre. Ty har ΓΔ hittas, är det givet av detta, att ΑΔ är två och då är resten, ΑΓ, given. Men ΑΒ är 1 och då är resten ΒΓ given och alltså är även Γ given, vid vilken den hela delats.

Metoden beskrivs nedan. Låt alltså en av kvadraterna, mellan två och tre, vara x²; Alltså är resten 9 - x 2 , vilket är lika med kvadraten.

Det är enkelt att göra detta lika med en kvadrat, man behöver finna x² mellan 2 och 3. Vi tar två kvadrater, en större än 2 och den andra mindre än 3. Dessa är 289 144 och 361 144 . Om vi alltså valt x² i intervallet mellan de två tidigare kvadraterna, skall vi hitta det sökta.

Roten ur x², dvs. x, skall vara större än 17 12 och mindre än 19 12 , sålunda bör man, sökande 9 - x 2 = , finna x vara större än 17 12 och mindre än 19 12 .

Om vi gör 9 - x 2 lika med en kvadrat, ansätter vi roten ur kvadraten som 3 - x multiplicerat med något och vi finner det sökta x ur detta tal taget 6 gånger och delat med 1 större än dess kvadrat; alltså minskas det sökta talet med det som tagits 6 gånger och delats med ett större än sin kvadrat, kvoten blir då större än 17 12 men mindre än 19 12 .

Låt det sökta vara lika med x och jag söker enligt villkoret, att 6x delat med x 2 + 1 är större än 17 12 och mindre än 19 12 .

Men 17 delat med 12 ger kvoten 17 12 , därför bör förhållandet mellan 6x och x 2 + 1 vara större än det mellan 17 och 12. Alltså bör produkten av 6x och 12, dvs. 72x, vara större än produkten av x 2 + 1 och 17, dvs. 17 x 2 + 17 .

Halva x:s koefficient multiplicerat med sig själv blir 1296; drag bort produkten av andragradskoefficienten och konstanttermen, dvs. 289, kvar blir då 1007; dess rot: ej större än 31. Addera halva x:s koefficient; det blir ej större än 67. Dela med andragradskoefficienten, x blir ej större än 67 17 .

Och på samma sätt är det nödvändigt att förhållandet mellan 6x och x²+1 är mindre än förhållandet mellan 19 och 12; vi skall finna att x inte är mindre än 66 19 och är heller inte större än 67 17 .

Låt detta vara 3 1 2 . Vi ansätter alltså roten ur kvadraten som 3 - 3 1 2 x ; kvadrerat blir det 12 1 4 x 2 + 9 - 21 x , detta är lika med 9 - x 2 , där x = 84 53 , x 2 = 7056 2809 . Och om vi från detta subtraherar två, är en del av den hela 1438 2809 , då den andra är 1371 2809 och det uppfyller förutsättningarna.

Pappos

Pappos kommer i sjunde boken av sin matematiska samling in på kägelsnitt.

Synagoge 7

Språkval

Κωνικῶν η'.

Τὰ Εὐκλείδου βιβλία δ' κωνικῶν Ἀπολλώνιος ἀναπληρώσας καὶ προσθεὶς ἕτερα δ' παρέδωκεν η' κωνικῶν τεύχη. Ἀρισταῖος δέ, ὂς γέγραφε τὰ μέχρι τοῦ νῦν ἀναδιδόμενα στερεῶν τόπων τεύχη ε' συνεχῆ τοῖς κωνικοῖς, ἐκάλει [καὶ οἱ πρὸ Ἀπολλωνίου] τῶν τριῶν κωνικῶν γραμμῶν τὴν μὴν ὀξυγωνίου, τὴν δὲ ὀρθογωνίου, τὴν δὲ ἀμβλυγωνίου κώνου τομήν. ἐπεὶ δ' ἐν ἑκάστῳ τῶν τριῶν τούτων κώνων διαφόρως τεμνομένων αἱ γ' γίνονται γραμμαί, διαπορήσας, ὡς φαίνεται, Ἀπολλώνιος τί δήποτε ἀποκληρώσαντες οἱ πρὸ αὐτοῦ ἣ μὲν ἐκάλουν ὀξυγωνίου κώνου τομὴν δυναμένην καὶ ὀρθογωνίου καὶ ἀμβλυγωνίου εἶναι, ἣν δὲ ὀρθογωνίου εἶναι δυναμένην ὀξυγωνίου τε καὶ ἀμβλυγωνίου, ἣν δὲ ἀμβλυγωνίου δυναμένην εἶναι ὀξυγωνίου τε καὶ ὀρθογωνίου, μεταθεὶς τὰ ὀνόματα καλεῖ τὴν μὲν ὀξυγωνίου καλουμένην ἔλλειωιν, τὴν δὲ ὀρθογωνίου παραβολήν, τὴν δὲ ἀμβλυγωνίου ὑπερβολὴν, ἑκάστην ἀπό τινος ἰδίου συμβεβηκότος. χωρίον γάρ τι παρά τινα γραμμὴν παραβαλλόμενον ἐν μὲν τῇ ὀξυγωνίου κώνου τομῇ ἐλλεῖπον γίνεται τετραγώνῳ, ἐν δὲ τῇ ἀμβλυγωνίου ὑπερβάλλον τετραγώνῳ, ἐν δὲ τῇ ὀρθογωνίου οὔτε ἐλλεῖπον οὔθ' ὑπερβάλλον. [τοῦτο δ' ἔπαθεν μὴ προσεννοήσας ὅτι κατά τινα ἰδίαν πτῶσιν τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου τὸν κῶνον (καὶ γεννῶντος τρεῖς γραμμὰς) ἐν ἑκάστῳ τῶν κώνων ἄλλη καὶ ἄλλη τῶν γραμμῶν γίνεται, ἣν ὠνόμασεν ἀπὸ τῆς ἰδιότητος τοῦ κώνου. ἐὰν γὰρ τὸ τέμνον ἐπίπεδον ἀχθῇ παράλληλον[48] μιᾷ τοῦ κώνου πλευρᾷ, γίνεται μία μόνη τῶν τριῶν γραμμῶν, ἀεὶ ἡ αὐτή, ἣν ὠνόμασεν δ' Ἀρισταῖος ἐκείνου τοῦ τμηθέντος κώνου τομήν.][49]

Kägelsnitt 8.

Euklides sammanställde 4 böcker om kägelsnitt och kompletterade Apollonios med ytterligare 4 och efterlämnade 8 band. Aristaios, som fram till dess skrivit 5 band, behandlande Solidi Loci i samband med kägelsnitten, kallade och de före Apollonios de tre konernas figurer det spetsvinkliga, det rätvinkliga eller det trubbvinkliga kägelsnittet. Då i var och en av dessa tre koner vid olika snitt dessa figurer blir till, var, som det verkar, Apollonios konfunderad över vad dessa före honom råkat kalla en spetsvinklig kons snitt kan också vara en rätvinklig eller en trubbvinklig, det som är rätvinkligt kan också vara spetsvinkligt eller trubbvinkligt, det som är trubbvinkligt kan också vara spetsvinkligt eller rätvinkligt, med annat namn kallar han det spetsvinkliga som ellips, det rätvinkliga parabel, det trubbvinkliga hyperbel, var och en av något särskilt skäl. Då någon yta på någon linje applicerad i den spetsvinkliga konens snitt ger en kvadrat med en brist, i den trubbvinkliga en kvadrat med ett överskott och i den rätvinkliga varken med en brist eller med ett överskott. Detta irriterade Aristaios som inte förstod på vilket särskilt sätt planet som skär konen (och alstrande tre figurer) i var och en av konerna ger vilkensom av de tre figurerna, som han namngett efter de enskilda konerna. Ty om det skärande planet läggs vinkelrätt mot en av konens sidor, får man bara en av de tre figurerna, alltid densamma, vilket Aristaios kallat den skurna konens snitt.

Proklos

Utöver att vara ett betydande dokument för matematikens historia, berör Proklos' kommentar av första boken av Euklides' Elementa också kägelsnitten.

Kommentar till Euklides I. Def. IV.

Διαιρεῖ δ' αὖ τὴν γραμμὴν ὁ Γεμῖνος πρῶτον μὲν εἰς τὴν ἀσύνθετον καὶ σύνθετον - καλεῖ δὲ σύνθετον τὴν κεκλασμένην καὶ γωνίαν ποιοῦσαν - ἔπειτα τὴν ἀσύνθετον εἴς τε τὴν σχηματοποιοῦσαν καὶ τὴν ἐπ' ἄπειρον ἐκβαλλομένην, σχῆμα λέγων ποιεῖν τὴν κυκλικήν, τὴν τοῦ θυρεοῦ, τὴν κιττοειδῆ, μὴ ποιεῖν δὲ τὴν τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομήν, τὴν τοῦ ἀμβλυγωνίου, τὴν κογχοειδῆ, τὴν εὐθεῖαν, πάσας τὰς τοιαύτας. καὶ πάλιν κατ' ἄλλον τρόπον τὴς ἀσυνθέτου γραμμἠς τὴν μὲν ἁπλῆν εἶναι, τὴν δὲ μικτήν, καὶ τῆς ἁπλῆς τὴν μὲν σχῆμα ποιεῖν ὡς τὴν κυκλικήν, τὴν δὲ ἀόριστον εἶναι ὡς τὴν εὐθεῖαν, τῆς δὲ μικτῆς τὴν μὲν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εἶναι, τὴν δὲ ἐν τοῖς στερεοῖς, καὶ τῆς ἐν ἐπιπέδοις τὴν μὲν ἐν αὐτῇ συμπίπτειν ὡς τὴν κιττοειδῆ, τὴν μὲν δ' ἐπ' ἄπειρον ἐκβάλλεσθαι, τῆς δὲ ἐν στεροῖς τὴν μὲν κατὰ τὰς τομὰς ἐπινοεῖσθαι τῶν στερεῶν, τὴν δὲ περὶ τὰ στερεὰ ὑφίστασθαι. τὴν μὲν γὰρ ἕλικα τὴν περὶ σφαῖραν ἢ κῶνον περὶ τὰ στερεὰ ὑφεστάναι, τὰς δὲ κωνικὰς τομὰς ἢ τὰς σπειρικὰς ἀπὸ τοιᾶσδε τομῆς γεννᾶσθαι τῶν στερεῶν. ἐπινενοῆσθαι δὲ ταύτας τὰς τομὰς τὰς μὲν ὑπὸ Μεναίχμου τὰς κωνικάς, ὃ καὶ Ἐρατοσθένης ἱστορῶν λέγει· Μὴ δὲ Μεναιχμίους κωνοτομεῖν τριάδας· τὰς δὲ ὑπὸ Περσέως, ὃς καὶ τὸ ἐπίγραμμα ἐποίησεν ἐπὶ τῇ εὐρέσει -

τρεῖς γραμμὰς ἐπὶ μέντε τομαῖς εὑρὼν [ἑλικώδεις]
 Περσεὺς τῶνδ' ἕνεκεν δαίμονας ἱλάσατο.

αἱ μὲν δὴ τρεῖς τομαὶ τῶν κώνων εἰσὶν παραβολὴ καὶ ὑπερβολὴ καὶ ἔλλειψις, τῶν δὲ σπειρικῶν τομῶν ἡ μέν ἐστιν ἐμπεπλεγμένη, ἐοικυῖα τῇ τοῦ ἵππου πέδῃ, ἡ δὲ κατὰ τὰ μέσα πλατύνεται, ἔξ ἑκατέρου δὲ ἀπολήγει μέρους, ἡ δὲ παραμήκης οὖσα τῷ μὲν μέσῳ διαστήματι ἐλάττονι χρῆται, εὐρύνεται δὲ ἐπ' ἑκάτερα. τῶν δὲ ἄλλων μίξεων τὸ πλῆθός ἐστιν ἄπειρον καὶ τομαὶ αὐτῶν συνίστανται πολυειδεῖς.[50]

Först skiljer Geminos linjerna i osammansatta och sammansatta - den avbrutna och som bildar vinkel kallar han sammansatt - därpå de osammansatta i figurbildande och obegränsat utdragna, han säger att figur bildar cirkeln, ellipsen, cissoiden, men inte den rätvinkliga konens snitt, den trubbvinkliga, konkoiden, den räta linjen och alla sådana. Dessutom är vidare, annorlunda uttryckt, den osammansatta linjen är enkel eller blandad och den enkla bildar några figurer som cirkeln, andra är obegränsade, som den räta linjen, några blandade finns i planet andra på kroppar och i planet skär några sig själva som cissoiden, andra dras ut obegränsat, av de på kroppar anses några vara kroppars snitt av plan och andra som lagda kring kropparna. Just spiralen kring sfären eller konen har lagts kring en kropp och kägelsnitten eller en speira bildas av sådana snitt av kroppar. Sådana snitt bekräftades av Menaechmos på koner och Eratosthenes, som också återberättar: Skär ej konen trefalt som Menachmos; de andra är efter Perseus, som också författade ett epigram över upptäckten -

Tre spiralkurvor på fem snitt finnande,
blidkade Perseus gudarna med dessa.

De tre kägelsnitten är parabeln, hyperbeln och ellipsen, men av de speiriska snitten är ett överlappande, likt fotbojor, ett annat i mitten utvidgat, därifrån smalnar varje ände av, ytterligare ett är avlångt och i mitten är radien mindre och blir tjockare åt båda håll. De övriga blandades antal är obegränsat och deras snitt sammanställer många olika utseenden.

Kommentar till Euklides I, Prop. XLIIII, Probl. XII

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.

Ἔστι μὲν ἀρχαῖα, φασὶν οἱ περὶ τὸν Εὔδημον, καὶ τῆς τῶν Πυθαγορείων μούσης εὑρήματα ταῦτα, ἥ τε παραβολὴ τῶν χωρίων καὶ ἡ ὑπερβολὴ καὶ ἡ ἔλλειψις. ἀπὸ δὲ τούτων καὶ οἱ νεώτεροι τὰ ὀνόματα λαβόντες μετήγαγον αὐτὰ καὶ ἐπὶ τὰς κωνικὰς λεγομένας γραμμάς, καὶ τούτων τὴν μὲν παραβολήν, τὴν δὲ ὑπερβολὴν καλέσαντες, τὴν δὲ ἔλλειψιν, ἐκείνων τῶν παλαιῶν καὶ θείων ἀνδρῶν ἐν ἐπιπέδῳ καταγραφῇ χωρίων πρὸς εὐθεῖαν ὡρισμένην τὰ ὑπὸ τούτων σημαινόμενα τῶν ὀνομάτων ὁρώντων. ὅταν γὰρ εὐθείας ἐκκειμένης τὸ δοθὲν χωρίον πάσῃ τῇ εὐθείᾳ συμπαρατείνῃς, τότε παραβάλλειν ἐκεῖνο τὸ χωρίον φασίν, ὅταν μεῖζον δὲ ποιήσῃς τοῦ χωρόυ τὸ μῆκος αὐτῆς τῆς εὐθείας, τότε ὑπερβάλλειν, ὅταν δὲ ἔλασσον, ὡς τοῦ χωρίου γραφέντος εἶναί τι τῆς εὐθείας ἐκτός, τότε ἐλλείπειν.[51]

Till den givna linjen applicera en, med en triangel lika stor, parallellogram i en vinkel, som är lika med en given rätlinjig vinkel.

Detta är gammalt, säger de kring Eudemos, och det är upptäckter från Pythagoreernas musa, som applicerandet av ytor både med överskott och med brist. Från dessa tog de nya namnen och överförde dem även till så kallade koniska figurer och av dessa är en en parabel, en annan kallade de hyperbel och en tredje ellips, sedan dessa gamla och ärevördiga män, nedtecknade ytor i planet lagda efter en rät linje, såg de innebörden av dessa namn. Ty när en rät linje är utsträckt och du den givna ytan fullständigt sträcks ut efter den räta linjen, då säger man att man applicerar denna yta. När du gör ytans längd större än linjens, då överskjuter man. När den görs mindre, som när ytan ritats och linjen sticker ut något, då uppstår en brist.

Eutokios

Eutokios skrev kommentarer till Archimedes, bl.a. till Sfären och cylindern. Han skrev även en kommentar till de första fyra böckerna av Apollonios' Kägelsnitt.

Kommentarer till Archimedes

Objects are not supported by your browser!
Språkval

Ὡς Μέναιχμος.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖαι δύο εὐθεῖαι αἰ Α, Ε· δεῖ δὴ τῶν Α, Ε δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. γεγονέτω, καὶ ἔστωσαν αἱ Β, Γ, καὶ ἐκκείσθω θέσει εὐθεῖα ἡ ΔΗ πεπερασμένη κατὰ τὸ Δ, καὶ πρὸς τῷ Δ τῇ Γ ἴση κείσθω ἠ ΔΖ, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΘ, καὶ τῇ Β ἴση κείσθω ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β· τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης τῆς Α καὶ τῆς Γ, τουτέστι τῆς ΔΖ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ. ἐπὶ παραβολῆς ἄρα τὸ Θ διὰ τοῦ Δ γεγπαμμένης. ἤχθωσαν παράλληλοι αἱ ΘΚ, ΔΚ. καὶ ἐπεὶ δοθὲν τὸ ὑπὸ Β, Γ· ἴσον γάρ ἐστι τῷ ὑπὸ Α, Ε· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΘΖ. ἐπὶ ὑπερβολῆς ἄρα τὸ Θ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς ΚΔ, ΔΖ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ· ὥστε καὶ τὸ Ζ.

συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ Α, Ε, ἡ δὲ τῇ θέσει ἡ ΔΗ πεπερασμένη κατὰ τὸ Δ, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Δ παραβολή, ἧς ἄξων μὲν ἡ ΔΗ, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ Α, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν ΔΗ ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ δυνάσθωσαν τὰ παρὰ τὴν Α παρακείμενα χωρία πλάτη ἔχοντα τὰς ἀπολαμβανομένας ὑπ' αὐτῶν πρὸς τῷ Δ σημείῳ· γεγράφθω καὶ ἔστω ἡ ΔΘ, καὶ ὀρθὴ ἡ ΔΚ, καὶ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς ΚΔ, ΔΖ γερράφθω ὑπερβολή, ἀφ' ἧς αἱ παρὰ τὰς ΚΔ, ΔΖ ἀχθεῖσαι ποιήσουσιν τὸ χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ Α, Ε· τεμεῖ δὴ τὴν παραβολήν. τεμνέτω κατὰ τὸ Θ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΘΚ, ΘΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Α, ΔΖ, ἔστιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Α, Ε ἴσον ἐστι τῷ ὑπὸ ΘΖΔ, ἔστιν, ὡσ ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΔ πρὸς τὴν Ε. ἀλλ' ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς ΖΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς ΖΔ καὶ ἡ ΖΔ πρὸς Ε. κείσθω τῇ μὲν ΘΖ ἴση ἡ Β, τῇ δὲ ΔΖ ἴση ἡ Γ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Β πρὸς τὴν Γ καὶ ἡ Γ πρὸς Ε. αἱ Α, Β, Γ, Ε ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.[52]

Som Menaechmos

Låt två räta linjer vara givna: Α, Ε. Finn mellan Α och Ε två medelproportionaler. Låt dem vara funna och låt dem vara Β och Γ. Placera och drag den räta linjen ΔΗ med slutpunkt i Δ och från Δ, lika med Γ, placera ΔΖ. Gör ΖΘ vinkelrät och drag ΖΘ lika med Β. Då alltså de tre räta linjerna, Α, Β och Γ, är proportionella är Α Γ lika med Β i kvadrat; alltså är - på grund av det givna - ΑΓ, dvs. ΔΖ, lika med kvadraten på Β, dvs. kvadraten på ΖΘ. Då ligger Θ på en parabel dragen genom Δ. Drag parallellerna ΘΚ och ΔΚ och eftersom också ΒΓ är given - ty den är lika med ΑΕ - är alltså även ΚΘΖ given. Då ligger Θ på en hyperbel med asymptoterna ΚΔ och ΔΖ. Alltså är Θ given; därför också Ζ.

Lösningen görs på följande sätt. Låt de räta linjerna Α och Ε vara givna och placera den räta linjen ΔΗ med slutpunkt i Δ och drag genom Δ en parabel med axeln ΔΗ och Α vinkelrät mot figurens sida (latus rectum). Drag dessutom ordinatorna till ΔΗ i rät vinkel kvadrerade - de vid Α liggande ytorna, vilka som sidor har linjerna avskurna av dessa vid punkten Δ. Låt också ΔΘ vara dragen och drag ΔΚ vinkelrät med asymptoterna ΚΔ och ΔΖ en hyperbel, från vilken linjerna parallella med ΚΔ och ΔΖ bildar en yta lika med ΑΕ. Den kommer att skära parabeln. Låt den skära vid Θ och drag ut ΘΚ och ΘΖ. Då alltså ΖΘ i kvadrat är lika med Α ΔΖ, då är Α till ΖΘ som ΘΖ till ΖΔ. Åter, eftersom Α Ε är lika med ΘΖΔ, är Α till ΖΘ som ΖΔ till Ε. Men Α till ΖΘ är som ΖΘ till ΖΔ; och alltså är Α till ΖΘ som ΖΘ till ΖΔ och som ΖΔ till Ε. Placera linjen Β lika med ΘΖ, linjen Γ lika med ΔΖ. Alltså är Α till Β som Β till Γ och som Γ till Ε. Alltså är i tur och ordning Α, Β, Γ och Ε varandras proportionaler; viket skulle visas.

Kommentar till Kägelsnitten

Språkval

Εἰς τὸ πρῶτον.

Ἀπολλώνιος ὁ γεωμέτρης, ω φίλε ἑταῖρε Ἀνθέμιε, γέγονε μὲν ἐχ Πέργης τῆς ἐν Παμφυλίᾳ ἐν χρόνοις τοῦ Εὐεργέτου Πτολεμαίου, ὡς ἱστορεῖ Ἡράκλειος ὁ τὸν βίον Ἀρχιμήδους γράφων, ὃς καί φησι τὰ χωνικὰ θεωρήματα ἐπινοῆσαι μὲν πρῶτον τὸν Ἀρχιμήδη, τὸν δὲ Ἀπολλώνιον αὐτὰ εὑρόντα ὑπὸ Ἀρχιμήδους μὴ ἐκδοθέντα ἰδιοποιήσασθαι, οὐκ ἀληθεύων κατά γε τὴν ἐμήν. ὅ τε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν πολλοῖς φαίνεται ὡς παλαιοτέρας τῆς στοιχειώσεως τῶν κωνικῶν μεμνημένος, καὶ ὁ Ἀπολλώνιος οὐχ ὡς ἰδίας ἐπινοίας γράφει· οὐ γὰρ ἂν ἔφη ἐπὶ πλέον καὶ καθόλου μᾶλλον ἐξειργάσθαι ταῦτα παρὰ τὰ ὑπὸ τῶν ἄλλων γεγραμμένα. ἀλλ' ὅπερ φησὶν ὁ Γεμῖνος ἀληθές ἐστιν, ὅτι οἱ παλαιοὶ κῶνον ὁριζόμενοι τὴν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου περιφορὰν μενούσης μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν εἰκότως καὶ τοὺς κώνους πάντας ὀρθοὺς ὑπελάμβανον γίνεσθαι καὶ μίαν τομὴν ἐν ἑκάστῳ, ἐν μὲν τῷ ὀρθογωνίῳ τὴν νῦν καλουμένην παραβολήν, ἐν δὲ τῷ ἀμβλυγωνίῳ τὴν ὑπερβολήν, ἐν δὲ τῷ ὀξυγωνίῳ τὴν ἔλλειψιν· καὶ ἔστι παρ' αὐτοῖς εὑρεῖν οὕτως ὀνομαζομένας τὰς τομάς. ὥσπερ οὖν τῶν ἀρχαίων ἐπὶ ἑνὸς ἑκάστου εἴδους τριγώνου θεωρησάντων τὰς δύο ὀρθὰς πρότερον ἐν τῷ ἰσοπλεύρῳ καὶ πάλιν ἐν τῷ ἰσοσκελεῖ καὶ ὕστερον ἐν τῷ σκαληνῷ οἱ μεταγενέστεροι καθολικὸν θεώρημα ἀπέδειξαν τοιοῦτο· παντὸς τριγώνου αἱ ἐντὸς τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσιν· οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν τοῦ κώνου τομῶν· τὴν μὲν γὰρ λεγομένην ὀρθογωνίου κώνου τομὴν ἐν ὀρθογωνίῳ μόνον κώνῳ ἐθεώρουν τεμνομένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου, τὴν δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου κώνου τομὴν ἐν ἀμβλυγωνίῳ γινομένην κώνῳ ἀπεδείκνυσαν, τὴν δὲ τοῦ ὀξυγνίου ἐν ὀξυγνίῳ, ὁμοίως ἐπὶ πάντων τῶν κώνων ἄγοντες τὰ ἐπίπεδα ὀρθὰ πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ κώνων· δηλοῖ· δὲ καὶ αὐτὰ τὰ ἀρχαῖα ὀνόματα τῶν γραμμῶν. ὕστερον δὲ Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος καθόλου τι ἐθεώρησεν, ὅτι ἐν παντὶ κώνῳ καὶ σκαληνῷ πᾶσαι αἱ τομαί εἰσι κατὰ διάφορον τοῦ ἐπιπέδου πρὸς τὸν κῶνον προσβολήν· ὃν καὶ θαυμάσαντες οἱ κατ' αὐτὸν γενόμενοι διὰ τὸ θαυμάσιον τῶν ὑπ' αὐτοῦ δεδειγμένων κωνικῶν θεωρημάτων μέγαν γεωμέτρην ἐκάλουν. ταῦτα μὲν οὖν ὁ Γεμῖνος ἐν τῷ ἕκτῳ φησὶ τῆς τῶν μαθημάτων θεωρίας. ὃ δὲ λέγει, σαφὲς ποιήσομεν ἐπὶ τῶν ὑποκειμένων καταγραφῶν.[53]

Till första boken.

Geometrikern Apollonios från Perga i Pamfylien, min käre Anthemios, levde under Ptolemaios Euergetes tid, vilket historikern Heraklios berättar, han som skrev om Archimedes liv, som även säger att Archimedes var först med att studera kägelsnittsteorierna. Då Archimedes egna resultat ej överlämnats, arbetade Apollonios på egen hand, men han säger inte sanningen enligt mig. Ty Archimedes förklarar ofta hur han kommit ihåg de äldre kägelsnittens elementa och Apollonios skriver inte sina egna tankar. Ty han sade inte mer och har i allmänhet inte mer uppnått, detta jämfört med det av de andra beskrivna. Men vad Geminos säger är sant, att de gamle bestämde konen som den rätvinkliga triangelns rotation, hållande en av sidorna vid den räta vinkeln stilla och på samma sätt skapas, antar de, alla räta koner och ett enda snitt i var och en, i den rätvinkliga vad som nu kallas parabel, i den trubbvinkliga hyperbeln, i den spetsvinkliga ellipsen. Och hos dem står dessa snitt - på detta sätt kallade - att finna. Alltså på samma sätt som då de gamla i var och en av varje triangelsort undersökte satsen om två räta, först i den liksidiga, därpå i den likbenta och därefter i den sneda, de efterföljande visade följande generella sats: varje triangels tre vinklar är lika med två räta, på detta sätt är det också för snitten av konen, ty för det som kallas rätvinkliga konens snitt betraktade de endast i en rätvinklig kon med det skärande planet rätvinkligt mot konens ena sida, att den trubbvinkliga konens snitt skapas i en trubbvinklig kon visade de, den spetsvinkliga i en spetsvinklig, likadant i varje kon förande planet rätt genom en av konens sidor, det förklarar även själva kurvornas gamla namn. Senare observerade Apollonios från Perga någorlunda generellt, att i varje kon, också en sned, finns alla snitt allt efter planets olika infallsvinklar mot konen, som också de förvånade kollegorna, av beundran över de av honom visade koniska teoremen, kallade en stor geometriker. Detta påstår alltså Geminos i åttonde boken om matematiska teorier. Han säger, detta har vi gjort klart i ovanstående figurer.