Pappos

Pappos' från Alexandria Matematiska samling Bok 5.

Omfattande jämförelser av plana figurer som har samma omkrets med både varandra och cirkeln samt av rymdfigurer som har samma yta med både varandra och sfären.

Den bästa, för att inte säga den mest fulländade, förståelse av visheten och matematiken, min bäste Megethion, har gud givit människorna. Kanske delvis också i några av de själlösa djuren har han ingjutit en smula. För människorna, som ju är resonerande, förbehöll han alla och envar att handla med resonemang och slutledningar, men de övriga djuren begåvade han bara med att utan resonemang erhålla det användbara och livsnödvändiga, efter något naturligt förutseende för alla och envar. Detta styre kan man erfara hos de flesta andra arter av djur, inte minst bland bina. Ty den goda ordningen och lydnaden till de ledande i deras samhällen är något att beundra, men strävsamheten och renligheten vid insamlandet av honung och förutseendet och husligheten vid dess skydd är mycket mer beundransvärd. Ty de anser sig anförtrodda av gud, som det verkar, att till de belästa av människorna överbringa en del av ambrosian och det är inte lämpligt att tanklöst hälla denna i jord och trä eller i något annat opassande och oordnat material. Utan från de sötaste på jorden växande blommorna samlande det ädlaste delarna och beredande av dessa, för honungens förvaring, behållare kallade bikakor, med alla celler med varandra lika, likformiga och intilliggande samt med sexhörnigt utseende. Att de detta enligt något geometriskt förutseende fabricerar, kan vi inse på följande sätt. Ty de anser givetvis, att figurerna bör ligga intill varandra och ha sidorna gemensamma, för att inte något annat som hamnar i mellanrummen skall förfula deras arbete. Tre rätlinjiga figurer kan fullborda det föreslagna. Jag talar om de regelbundna figurer som är både liksidiga och likvinkliga, då de oregelbundna inte skulle tilltala bina. Hursomhelst kan den liksidiga triangeln, kvadraten och sexhörningen ligga intill varandra och ha sidorna gemensamma utan oregelbundna mellanrum. Ty dessa kan av sig själva fylla ut området kring samma punkt. Att göra detta är omöjligt för andra regelbundna figurer. Ty området kring samma punkt fylls ut av 6 liksidiga trianglar och på grund av 6 vinklar, som var och en är två tredjedelar av en rät, av fyra kvadrater och fyra räta vinklar eller av tre sexhörningar och tre av sexhörningens vinklar, vilka var och en är $1\frac{1}{3}$ räta. Tre femhörningar klarar inte av att fylla ut området kring samma punkt och fyra blir för mycket. Ty tre av femhörningens vinklar är mindre än 4 räta (ty var och en av vinklarna är en och $\frac{1}{5}$ räta) och fyra vinklar är mer än fyra räta. Ej heller tre sjuhörningar kan läggas kring samma punkt med sidorna liggande vid varandra, ty tre av sjuhörningens vinklar är större än fyra räta (ty var och en är en rät och tre sjundedelar därav). Dessutom kunde samma argument passa än bättre för figurer med fler hörn. Alltså finns det tre figurer som av sig själva kan fylla ut området kring samma punkt, triangeln, kvadraten och sexhörningen. Genom vishet valde bina den med flest hörn för sitt beredande, då de antog just den rymma mer honung än de båda övriga.

Och bina förstår att bara detta är användbart för dem, att sexhörningen är större än kvadraten och triangeln samt att den kan rymma mer honung med lika mycket förbrukat material till beredning av var och en. Vi, som tillskriver oss att ha en större del i visheten än bina, skall undersöka något än märkvärdigare. Ty av de liksidingar och likvinkliga plana figurer med samma omkrets är alltid den med flest hörn större och störst av alla är cirkeln, som har samma omkrets som de.

Pappi Alexandrini collectionis liber V.

Continet figurarum planarum aequalem perimetrum habentium inter se et cum circulo comparationes, item figurarum solidarum aequalem superficiem habentium inter se et cum sphaera comparationes.

Pars prima.

Figurarum planarum comparationes.

Sapientiae ac mathematicorum cognitionem optimam quidem et perfectissimam, clarissime Megethio, hominibus concessit deus, sed particulam quandam etiam nonullis animalibus rationeis expertibus imperavit. Hominibus igitur ratione praeditis tribuit, ut considerate et scienter omnia agerent, reliqua autem animalia sine ratione id ipsum quod ad vitae necessitates utile est naturali quodam instinctu quaerere voluit. Atque hoc ita comparatum esse cum in aliis animalium generibus permultis, tum maxime in apibus cognoscas, quarum non solum disciplina et erga reginas obedientia admirabilis est, sed diligentia ac munditia in colligendo melle, et in eodem custodiendo prudentia atque assiduitas multo etiam admirabilior. Ambrosiae enim, opinor, libamenta quaedam a diis se preferre confidunt ad eos homines qui artibus ingenius student, quae munera cum in humum vel lignum vel aliam quamcunque deformem rudemque materiam temere nolint effundere, ex suavissimis qui in terris nascuntur floribus praestantissimos conquirunt sucos atque inde mellis recaptacula, quae favi vocantur, omnia inter se aequalia et similia et cobaerentia, specie autem hexagona comparant. Sed eam operam qeometrica quadam prudentia peragi hac ratione intellegamus. Omnino apes vasculorum latera inter se componenda et colliganda esse putabant, ut ne alienae res in intervalla incidere et mellificia corrumpere possent. Tres autem figurae hoc quod propositum erat efficere poterant: ordinatas dico et aequilateras et aequiangulas; nam inaequalia apibus displicebant. Nimirum aequilatera triangula et quadrata et hexagona absque dissimilibus supplementis inter se connexa possunt latera communia habere; nam locus qui circa idem punctum est aut sex triangulis aequilateris ac sex angulis, quorum quisque duarum partium recti est, completur, aut quattuor quadratis ac quattuor rectis angulis, aut tribus hexagonis ac tribus hexagoni angulis, quorum quisque unum rectum et tertiam eius partem continet. Pentagona quidem tria non sufficiunt ad locum qui circa idem punctum est replendum, quattuor autem superant, quia tres pentagoni anguli minores quattuor rectis (nam unusquisque rectum angulum cum quinta parte continet), quattuor autem maiores sunt. Nex vero tria heptagona circa idem punctum ita collocari possunt, ut latera inter se contingant, siquidem tres heptagoni anguli quattuor rectos superant (nam unusquisque rectum angulum cum tribus septimus continet); eoque magis ad polygona quae plura etiam latera habeent haec ratio transferri poterit. Sic igitur cum tres figurae, eaque aut tribus aut quattuor at sex angulis, per se locum qui circa idem punctum ext replere valerent, propter insitam sapientiam apes ad mellificium eam eligebant formam, quae, cum plures angulos haberet, etiam maiorem mellis copiam quam rel iquae duae formae recipere posset.

Et apes quidem nihil nisi hoc quod ipsis conducit noverunt, formam hexagonam maiorem esse et plus mellis recipere posse quam quadratam aut triangulam, siquidem aequalis materies in constructionem cuiusque formae consumatur; nos autem, qui maiorem apibus sapientiae indolem profitemur, subtilius de ea re quaeremus. Nam figurarum planarum aequilaterarum et aequiangularum, quae aequalem ambitum habent, ea semper maior est quae plures angulos habet; omnium autem maximus est circulus, si aequalem cum illis perimetrum habeat.