Trettonde boken af Euclidis Elementa

öfwersatt af F.A.A. LUNDGREN

TRETTONDE BOKEN AF EUCLIDIS ELEMENTA öfwersatt af F.A.A. LUNDGREN.


STOCKHOLM. T. V. SÖDERLUNDS FÖRLAG. 1850.


TRETTONDE BOKEN.


I. Proposition. Theorem.

Fig. 12. Tab. 4.

Om en gifven recta skäres till medelproportio­nalsanalogi, så är qvadraten på summan af re­ctans hälft och medelproportionalen fem gånger så stor som qvadraten på den gifna rectans hälft.

a. 6: 10. - (2: 11.)

b. 6: 1.

c. 6: 4 Cor.

d. 6: 17.

e. 6: 20. Cor. 1.

Om en recta AB skäres uti punk­ten C till medelproportionalsanalo­gi, så att stycket AC blir medel­proportionalen mellan AB och CB, a och AB utdrages så, att AD blir lika med hälften af AB, så är qvadraten på CD, som är summan af AB;s hälft AD och medelpropor­tionalen AC fem gånger så stor som qvadraten på AB:s hälft AD.

Ty upprita på CD en qvadrat CE och drag diagonalen DF. Drag vidare AG parallel med DE och skärande DF uti punkten H samt genom H en med CD parallel recta IK.

Utdrag derefter AG så, att AL blir lika med AB och fullborda qvadraten AM; hvarefter slutligen FC utdrages så, att den råkar LM uti N.

Efter nu AH är lika med AD eller halfva AB och AL är lika med hela AB, så är AL dubbelt så stor som AH, men parallelogrammen AN förhåller sig till parallelogrammen AK som AL till AH, b alltså är parallelogrammen AN lika med dubbla pa­rallelogrammen AK. Men parallelogrammen IG är lika med parallelogrammen AK, alltså är summan af parallelogrammerne IG och AK äfven lika med dubb­la parallelogrammen AK, hvaraf följer, att summan af parallelogrammerne IG och AK är lika med pa­rallelogrammen AN.

Vidare är GK en qvadrat, som är lika stor med qvadraten på AC och således lika stor med CM som är rectangeln utaf AB och CB d. Läggas då de sinsemellan lika stora figurerne GK och CM till hvar på sitt ställe, så blir gnomon OPQ lika med qvadraten AM. Men, emedan AB är dubbelt så stor som AD, så måste AM, som är lika med qvadra­ten på AB vara fyra gånger så stor som den på AD uppritade qvadraten DH e; och nu är det nyss bevist, att gnomon OPQ är lika med qvadraten AM, alltså är gnomon OPQ fyra gånger så stor som qva­draten DH, och således summan af gnomon OPQ och qvadraten DH eller qvadraten DF fem gånger så stor som qvadraten DH. Men DF är, qvadraten på CD, som är summan af AB:s hälft AD och medelproport­onalen AC, och DH är qvadraten på AB:s hälft AD; alltså är qvadraten på summan af AB:s hälft och medelproportionalen fem gånger så stor som qvadraten på AB:s hälft.

Om således en recta skäres till medelproportio­nals-analogi, så är qvadraten på summan af rectans hälft och medelproportionalen fem gånger så stor som qvadraten på rectans hälft. H. S. B.

II. Proposition. Theorem.

Fig. 13. Tab. 4.

Om en gifven recta är skuren uti tvenne de­lar på det sätt, att qvadraten på hela den gifna rectan är fem gånger så stor som qvadraten på ena delen, så är rectans andra del lika med me­delproportionalen uti den medelproportionals-analo­gi, hvartill dubbla den första delen skäres.

a. 6: 20. Cor. 1.

b. 1: 4. o. 1: 41.

c. 2: 4.

d. 6: 1.

e. 1: 43.

f. 6: 17.

Om den gifna rectan AB är sku­ren uti tvenne delar AC och CB på det sätt att qvadraten på hela AB är fem gånger så stor som qvadraten på ena delen AC, så är AB:s andra del CB lika med medelproportionalen uti den medelproportionals-analogi, hvartill dubbla den första delen AC skäres.

Drag ut AC åt den sidan som punkten B lig­ger och gör CD lika med dubbla AC. Upprita på CD och AB qvadraterna CG och AF. Drag diago­nalen AF och drag ut CK till P samt FB till E och drag genom H, der CP skär diagonalen AF, en med AB parallel recta MR. Jag säger nu först, att CD är skuren uti tvenne delar i punkten B.

Ty emedan AB-qv. eller AF är fem gånger så stor som AC-qv. eller AH, så måste, om AH tages

ifrån AF, resten eller gnomon MNO vara lika med fyra gånger AC-qv., men CD-qv. är äfven lika med fyra gånger AC-qv., emedan CD är dubbelt så stor som AC, a alltså är CD-qv. eller CG lika med gnomon MNO, och således HF eller CB-qv. såsom mindre än gnomon MNO äfven mindre än qvadraten CG, hvaraf följer att rectan CB är mindre än rectan CD, ty vore CB lika stor med CD, så vore ock CB-qv. lika stor med CD-qvadrat b och vore CB större än CD, så skulle CB kunna delas uti tvenne delar, af hvilka den ena vore lika med CD, men då vore CB-qv. lika med summan af CD-qv. och qvadraten på sin andra del tillhopa med dubbla rectangeln af sina båda delar; c alltså vore CB-qv. då större än CD-qv., men det är bevist, att CB-qv. hvarken är lika stor med ej heller större än CD-qv. utan mindre än densamma, således kan rectan CB hvarken vara lika stor med ej heller större än re­ctan CD, utan måste vara mindre än rectan CD, hvaraf följer, att CD är skuren uti tvenne delar uti punkten B.

Jag säger nu vidare, att CD uti punkten B är skuren till medelproportionalsanalogi, och att CB är medelproportionalen. Ty, emedan CK är lika med CD, och CH lika med AC, och CD är dubbelt så stor som AC, så är CK dubbelt så stor som CH, och så­ledes CE dubbelt så stor som HB. d Nu är summan af LH och HB äfven lika med dubbla HB, e alltså är CE lika med summan af LH och HB, men det är förut bevist, att CG är lika med gnomon MNO, således måste, om CE tages ifrån CG och summan af LH och HB tages ifrån gnomon MNO, resten BG blifva lika med resten HF, men BG är detsamma

som rectangeln af CD och BD och HF är detsamma som qvadraten på CB, alltså är CD eller dubbla AC skuren till medelproportionals-analogi uti B och CB medelproportionalen, men CB är det andra af de båda stycken AC och CB, som tillsammans utgöra hela AB och äro så tagna, att AB qvadrat är fem gånger så stor som AC qv., alltså måste om en gif­ven recta är skuren på det sätt uti tvänne delar, att qvadraten på hela den gifna rectan är fem gån­ger så stor som qvadraten på ena delen, rectans andra del vara lika med medelproportionalen uti den medelproportionals-analogi, hvartill dubbla den första delen skäras. H. S. B.

III. Proposition. Theorem.

Fig. 1. Tab. 1.

Om en recta är skuren till medelproportio­nalsanalogi, så är qvadraten på den recta, hvilken är skillnaden mellan hela rectan och halfva medel­proportionalen, fem gånger så stor som qvadraten å halfva medelproportionalen.

a. 2: 4. Cor.

b. 1: 36.

c. 1: 43.

d. 6: 17.

e. 6: 20. Cor. 1.

Om en recta AB är skuren till medelproportionals-analogi uti punk­ten C, och medelproportionalen AC är skuren midtitu uti D, så säger jag, att qvadraten på DB, hvilken recta är skillnaden mellan hela rectan AB och halfva medelproportionalen eller AD, är fem gånger så stor som qvadraten på AD, hvilken recta är halfva medelproportionalen. Ty upprita på AB qvadraten AE och fullborda figuren, så blifva FG och HL qva-

drater, a och således GR lika med RF lika med CD, och HT lika med TL lika med AD, men CD är lika med AD, alltså är GR lika med HT och så­ledes MN lika med NE, hvaraf följer, att rectangeln FM är lika med rectangeln SN. I Men FM är lika med GC, c således SN lika med GC. Lägges nu rectangeln CN till på båda ställen, så blir hela rect­angeln CE lika med gnomon OPQ.

Men CE är lika med RS, emedan CE är det­samma som rectangeln af AB och BC och RS det­samma som qvadraten på AC, d och det är nyss bevist, att CE är lika med gnomon OPQ, alltså är gnomon OPQ lika med RS. Nu är RS qvadraten på hela AC och GF qvadraten på halfva AC, således är RS fyra gånger så stor som GF, e alltså är gnomon OPQ fyra gånger så stor som GF, och så­ledes summan af gnomon OPQ och GF eller hela qvadraten DN fem gånger så stor som GF. Men DN är qvadraten på DB, d. v. s. på skillnaden mellan hela rectan AB och medelproportionalens hälft AD, och GF är qvadraten på DC, d. v. s. på halfva me­delproportionalen, således måste, om en recta skäres till medelproportionals-analogi, qvadraten på den re­cta, hvilken är skillnaden mellan hela rectan och halfva medelproportionalen, vara fem gånger så stor som qvadraten på halfva medelproportionalen. H. S. B.

IV. Proposition. Theorem.

Fig. 2. Tab. 1.

Om en recta är skuren till medelproportionalsanalogi, så är summan af de qvadrater, hvil­

ka uppritas på de båda yttersta termerne, tre gån­ger så stor som qvadraten på medelproportionalen.

a. 1: 43.

b. 6: 17.

Om en recta AB är skuren till me­delproportionals-analogi uti punkten C, så är summan utaf qvadraterne på AB och BC tre gånger så stor som qvadraten på medelpro­portionalen AC.

Ty upprita på AB en qvadrat och fullborda fi­guren, så blir AF lika med FE a, och således måste, då CK lägges till på båda ställen, AK blifva li­ka med CE. Häraf följer att summan af AK och CE är lika med två gånger CE, men summan af AK och CE är lika med gnomon LMN tillhopa med qva­draten CK, alltså är summan af gnomon LMN och qvadraten CK lika med två gånger CE, men CE, som är rectangeln af AB och BC, är lika med HG, som är qvadraten på AC b, alltså är gnomon LMN tillhopa med qvadraten CK lika med två gånger qva­draten HG och således gnomon LMN tillhopa med båda qvadraterne CK och HG lika med tre gånger qvadraten HG-, men summan af gnomon LMN och de båda qvadraterne HG och CK är lika med summan af qvadraterne AE och CK, d. v. s, summan af qva­draterne på de ytterste termerne AB och BC, och HG är qvadraten på medelproportionalen AC, alltså måste, då en recta skäres till medelproportionalsana­logi, summan af de qvadrater, hvilka uppritas på de båda yttersta termerne, vara tre gånger så stor som qvadraten på medelproportionalen. H. S. B.

V. Proposition. Theorem.

Fig. 3. Tab. 1.

Om en recta är skuren till medelproportio­nalsanalogi, så är rectan sjelf medelproportional uti en ny analogi, som till största term har sum­man af den gifna rectan och den förra medelpro­portionalen och till minsta term den förra medel­proportionalen.

a. 1: 43.

b. 6: 17.

c. 1: 36.

d. 1: 34.

e. 2: 4. Cor.

Om en recta AB är skuren till medel­proportionalsanalogi uti punkten C, så att AB : AC = AC : BC, och AB utdrages åt D så, att AD blir lika med AC, så är re­tan AB sjelf medelproportional uli en ny analogi DB : AB = AB : AC, uti hvilken summan af den gifna rectan AB och den förra medelpropor­tionalen AC är den största termen, och den förra medelproportionalen AC den minsta termen.

Ty upprita på AB en qvadrat AE och fullborda fi­guren, så är HG lika stor med CK a och således HE lika stor med CE, men CE är såsom rectangel af AB och BC lika stor med AF såsom qvadrat på AC b, och AF är lika stor med DH c, alltså är HE lika stor med DH. Lägges då AK till på båda ställen så är AE eller qvadraten på AB lika stor med DK eller rect­angeln af DB och BK, hvaraf följer b, att DB : AB = AB : BK, men DB är lika med summan af AB och AC och BK är lika med CF d eller AC, e allt­så är (AB + AC) : AB = AB : AC; och således måste, om en recta skäres till medelproportionals­analogi, rectan sjelf blifva medelproportional uti en ny analogi, hvars största term är summan af den gif-

na rectan och den förra medelproportionalen, och hvars minsta term är den förra medelproportionalen. H. S. B.

VI. Proposition. Theorem.

Fig. 12. Tab. 4.

Om en gifven rational-recta skäres till medel­proportionals-analogi, så är hvar och en af dess båda derigenom uppkomna delar en sådan irrational-recta, som kallas apotome, och den delen, som icke är medelproportional, är en sådan slags apo­tome, som kallas apotome prima.

Om en gifven rational-recta AB skäres till me­delproportionals-analogi uti punkten C så, att AB : AC = AC : CB, så är hvar och en af dess bå­da derigenom uppkomna delar AC or.h CB en sådan irrational-recta, som kallas apotome, och den delen CB, som icke är medelproportional, är cn sådan slags apotome, som kallas apotome prima.

a 13: 1.

b 10: 6.

c 10: 1:sta cl. af Def. Def. 6.

d 10: 9.

e 10: 74.

f 10: 3:dje cl. af Def. Def. 1.

Drag ut BA till D och gör AD lika med hälf­ten af AB, så är CD-qv. lika med fem gånger AD-qv. a, och således förhål­ler sig CD-qv. till AD-qv. som ett tal till ett annat tal, hvaraf följer, att CD-qv. och AD-qv. äro commensurabla b, men, emedan AD är hälften af den gifna rational-rectan AB, så är AD sjelf en rational-recta och således AD-qv. rational, hvaraf följer, att CD-qv. äfven är ra­tional, emedan CD-qv. och AD-qv., såsom nyligen bevistes, äro commensurabla. Då nu CD-qv. är ra-

tional, så måste rectan CD vara en rational-recta c, och således äro AD och CD båda rational-rector. Nu hafva rationalrectorna CD och AD sina qvadra­ter commensurabla, emedan CD-qv. förhåller sig till AD-qv., som ett tal 5 till ett annat tal 1 b, men då dessa tal icke äro qvadrattal, så äro sjelfva ra­tional-rectorna CD och AD incommensurabla d; men om en rationalrecta tages ifrån en annan rational-recta, med hvars längd hon icke bar sin egen längd commensurabel, men med hvars qvadrat hon har sin egen qvadrat commensurabel, så blir resten en så­dan irrational-recta, som kallas apotome e, alltså är AC, som blir resten, då AD tages ifrån CD, en sådan irrational-recta, som kallas apotome.

Vidare, emedan uti rectangeln af AB och CB, hvars qvadratsida AC är bevist vara en apotome, ena rectangelsidan AB enligt satsen är en rational-recta, så kan det enligt 10: 98 icke endast bevisas, att den andra rectangelsidan CB är en apotome, utan äfven, att den är en sådan slags apotome, som kallas apotome prima, d. ä. en sådan apotome, som kan ökas på det sätt, att qvadraten på summrectan af apotome och tillökningen öfverskjuter qvadraten på tillökningen med en qvadrat, hvars sida har sin längd commensurabel med längden af summrectan, hvilken åter skall hafva sin egen längd commensurabel med längden af en gifven rational-recta f.

Alltså måste, om en gifven rational-recta skäres till medelproportionalsanalogi, hvar och en af dess båda derigenom uppkomna delar vara en sådan irra­tional-recta, som kallas apotome, och den delen, som icke är medelproportional, en sådan slags apotome, som kallas apotome prima. H. S. B.

VII. Proposition. Theorem.

Fig. 14. Tab. 4.

En liksidig femhörning är likvinklig, så snart den har tre af sina vinklar sinsemellan lika stora, antingen dessa tre vinklar följa på hvarandra i ordning eller icke.

a. 1: 4.

b. 1: 5.

c. 1: 6.

d. 1: 8.

Låt för det första den liksidiga fem­hörningen ABCDE hafva tre i ordning på hvarandra följande vinklar A, B, C lika stora, så säger jag, att den liksidiga femhörnin­ingen ABCDE är likvinklig.

Sammanbind AC, BE och BD, som blifva ba­ser uti trianglarne BAE, CBA och DCB, hvilka hafva de nyssnämnde lika stora vinklarne A, B, C, stående emot dessa baser.

Emedan nu femhörningen ABCDE är liksidig, så äro AE, AB, BC och CD sinsemellan lika sto­ra, och således hafva de likbente trianglarne BAE och BCD två sidor AB och AE lika stora med två sidor CB och CD. Mellanliggande vinklarne A och C äro äfven lika stora, alltså måste vinklame AEB och CDB vara lika stora, och basen BE lika stor med basen BD, a men således är DBE en likbent triangel, hvaraf följer, att vinkeln BED är lika med vinkeln BDE b. Läggas nu lika stora till lika sto­ra så blir hela vinkeln AED lika med hela vin­keln CDE.

På samma sätt som förut bevises nu, att de lik­bente trianglarne BAE och ABC äro till alla delar

lika med hvarandra. Alltså är basen BE lika med basen AC, vinkeln BEA lika med vinkeln ACB, och vinkeln EBA lika med vinkeln CAB a, men således är AF lika med BF c, och tagas nu lika stora ifrån lika stora, så återstår FE lika med FC, men ED är lika med CD; sammanbindes då FD, så äro alla tre sidorna uti triangeln FED lika stora med livar sin af de tre sidorna uti triangeln FCD, och således vinklarne FED och FCD, som stå emot den gemensamma basen FD, lika stora, d men det är nyss bevist, att vinkeln BEA är lika med vin­keln ACB, alltså är hela vinkeln AED lika med hela vinkeln BCD.

Men vinkeln AED är bevist vara lika stor med vinkeln CDE, och vinkeln BCD är antagen vara lika stor med hvar och en af vinklarne CBA och BAE, alltså äro alla vinklarna uti den liksidiga fem­hörningen ABCDE sinsemellan lika stora, och sål­edes är det bevist, att en liksidig femhörning är lik­vinklig, så snart den har tre sådana sina vinklar lika stora, hvilka följa i ordning på hvarandra.

Låt nu för det andra den liksidiga femhörningen ABCDE hafva tre sådana sina vinklar A, C, D lika stora, som icke följa på hvarandra i ordning, så säger jag, att den liksidiga femhörningen ABCDE är likvinklig.

Ty på lika sätt som förut bevises, att vinkeln AED är lika med vinkeln CDE, och då den liksi­diga femhörningen ABCDE således har tre i ordning på hvarandra följande vinklar E, D, C sins­emellan lika stora, så bevises på samma sätt som

i första händelsen, att den liksidiga femhörningen ABCDE är likvinklig.

Alltså måste en liksidig femhörning vara lik­vinklig, så snart den har tre af sina vinklar sinse­mellan lika stora, antingen dessa tre vinklar följa på hvarandra i ordning eller icke. H. S. B.

VIII. Proposition. Theorem.

Fig. 14. Tab. 4.

Om uti en sådan femhörning, som både är liksidig och likvinklig, två dess diagonaler skära hvarandra, så är hvar och en af dessa diagonaler uti skärningspunkten skuren till medelproportionals-analogi och har medelproportionalen lika stor med sidan uti femhörningen.

a. 4: 14.

b. 3: 28.

c. 6: 33.

d. 1: 32.

e. 1: 6.

f. 1: 32. Cor. 2.

g. 6: 4.

Låt uti den liksidiga och likvink­liga femhörningen ABCDE två dess di­agonaler AC och BE skära hvaran­dra uti punkten F, så säger jag, att såväl AC som BE är uti punk­ten F skuren till medelproportionals-analogi, och, att hvar och en af medelproportio­nalerne är lika med en sida uti den liksidige och likvinklige femhörningen. Omskrif en cirkel omkring den liksidige och likvinklige femhörningen ABCDE, så äro alla fem bågarne ED, DC, CB, BA och AE sinsemellan lika stora, b och således är bågen EDC, på hvilken vinkeln EAC står, dubbelt så stor som bågen CB, på hvilken vinkeln CAB står, men vink-

larne EAC och CAB stå båda vid periferien, alltså förhålla de sig till hvarandra så som de bågar uppå hvilka de stå, c således är vinkeln EAC dubbelt så stor som vinkeln CAB.

Men, emedan bågarne BC och AE äro lika sto­ra, så måste vinklarne CAB och EBA, som stå uppå dessa bågar och båda stå vid periferien, vara sinse­mellan lika stora, c alltså måste vinkeln EFA, som är lika stor med deras summa, d vara dubbelt så stor som hvar och en af dem, således vinkeln EFA dubbelt så stor som vinkeln CAB, men det är nyss bevist, att äfven vinkeln EAC är dubbelt så stor som vinkeln CAB, alltså måste vinkeln EAC vara lika stor med vinkeln EFA och således EF lika stor med EA eller med AB e. Vidare emedan bågen BC är lika stor med bågen AB och vinklarne CAB och BEA, som stå uppå dessa bågar, båda stå vid periferien, så äro de lika stora, c och således är vinkeln AFB, som är lika stor med summan af vink­larne BEA och EAF, d äfven lika stor med sum­man af vinklarne CAB och EAF d. ä. med vinkeln EAB. Nu är derjemte vinkeln ABE gemensam för båda trianglarne AFB och AEB, alltså äro dessa trianglar likvinkliga f och EB : AB = AB : FB, g men det är förut bevist att EF är lika med AB, alltså är EB : EF = E F : FB, och således diagonalen EB uti F skuren till medelproportionalsanalogi och medelproportionalen lika med sidan uti den liksidige och likvinklige femhörningen.

P. s. s. bevises, att diagonalen AC uti F är sku­ren till medelproportionalsanalogi och medelproportio­nalen lika med sidan till den liksidige och likvink-

lige femhörningen, således måste Hivar och en af två hvarandra skärande diagonaler uti en liksidig och likvinklig femhörning vara uti skärningspunkten sku­ren till medelproportionalsanalogi och halva medel­proportionalen lika stor med sidan uti den liksidiga och likvinkliga femhörningen. H. S. B.

IX. Proposition. Theorem.

Fig. 4. Tab. 1.

Radien är medelproportional mellan summan af radien och sidan till den uti samma cirkel in­skrifne liksidige tiohörningen såsom största term och samma tiohörnings sida såsom minsta term.

a. 6: 33.

b. 1: 32.

c. 1: 5.

d. 6: 3.

e. 1: 6.

Låt E vara centrum till cirkeln ABC och BEA en diameter uti samma cir­kel. Låt BC vara sida till den uti cirkeln ABC inskrifne liksidige tiohörningen, och drag ut BC till D så, att CD blir lika med radien BE, och sammanbind CE och DE. Jag säger nu, att CD, som är lika med cirkelns radie, är me­delproportional mellan BD, som är summan af radi­en och tiohörningens sida, såsom största term, och BC eller tiohörningens sida såsom minsta term.

Ty, emedan BC är sida till den liksidige tio­hörningen, så är halfcirkelns båge ACB fem gånger så stor som bågen BC, och således bågen AFC fy­ra gånger så stor som bågen BC, hvaraf följer att vinkeln AEC är fyra gånger så stor som vinkeln BEC, a men vinkeln AEC är lika med summan b af de sinsemellan lika stora c vinklarne EBC och

ECB, följaktligen vinkeln AEC dubbelt så stor som vinkeln ECB, hvilken åter sjelf är lika med sum­man b af de i följd af constructionen sinsemellan li­ka stora c vinklarne CDE och CED, eller dubbelt så stor som vinkeln CED, hvaraf följer, att vinkeln AEC är fyra gånger så stor som vinkeln CED, men det är nyss bevist, att vinkeln AEC äfven är fyra gånger så stor som vinkeln BEC, således är vinkeln BEC lika stor med vinkeln CED och i följe deraf DE : BE = CD :BC, d men vinkeln BED är dubbelt så stor som vinkeln CED, emedan vinkeln BEC, så­som nyss bevistes, är lika med vinkeln CED, och vinkeln EBD är, såsom lika med vinkeln ECB, re­dan förut bevist vara dubbelt så stor som vinkeln CED, alltså är vinkeln BED lika stor med vinkeln EBD, och i följe deraf rectan BD lika stor med rectan DE e; dessutom är CD gjord lika stor med radien BE, således är BD : CD = DE: BE, men det är bevist, att DE : BE = CD : BC, alltså är BD : CD = CD : BC, så att radien är medelproportional mellan summan af radien och den i samma cirkel inskrifne liksidige tiohörningens sida såsom största term och tiohörningens sida såsom minsta term. H. S. B.

Coroll. Sidantill den uti en cirkel inskrifne liksidige och likvinklige tiohörningen är medelpro­portional uti den medelpropoftionalsanalogi hvartill samme cirkels radie kan skäras.

X. Proposition. Theorem

Fig 5. Tab. 1.

Qvadraten på sidan till den uti en cirkel inskrifne likstdige femhörningen är lika med sum-

man af qvadraterne på cirkelns radie och på si­dan till den uti samma cirkel inskrifne liksidige tiohörningen.

a. 3: 3.

b. 1: 8.

c. 6: 33.

d. 1: 32.

e. 6: 4.

f. 6: 17.

g. 1: 4.

h. 1: 5.

i. 2: 2.

Låt ABCDE vara en uti cirkeln ABCDE inskrifven liksidig femhörning. Drag ifrån A diametern AG och ifrån cirkelns centrum F radien FK vinkel­rät emot femhörningssidan AB och skä­rande AB uti H; sammanbind FB, BK och KA. Drag radien FM vinkelrät emot KA och skärande KA uti L och sammanbind KN.

Emedan nu bågen ABCG är lika med bågen AEDG och bågen ABC är lika med bågen AED, så är bågen CG lika med bågen GD. Nu är CGD bå­ge till en sida uti den liksidige fernhörningen, följ­aktligen är CG båge till en sida uti den liksidige tiohörningen. Då nu vidare AF och FB äro lika stora såsom radier uti samma cirkel och radien FK såsom vinkelrät emot chordan AB skär henne midt itu uti punkten H a och dessutom bildar en för tri­anglarne AFH och BFH gemensam sida FH, så må­ste b vinkeln AFK vara lika med vinkeln BFK, hvaraf följer att bågen AK är lika med bågen BK, men AKB är båge till en sida uti den liksidige femhörningen, följaktligen är AK båge till en sida uti den liksidige tiohörningen. P. s. s. bevises, att bågen AM är lika med bågen MK. Således är bå­gen AK eller CG dubbelt så stor som bågen KM och bågen AB eller BC dubbeH så stor som BK, följaktligen bågen BG dubbelt så stor som bågen BM, och således vinkeln GFB dubbelt så stor som

vinkeln BFN. c Men emedan vinkeln FBA är lika med vinkeln FAB, så är vinkeln GFB äfven dubbelt så stor som vinkeln FAB, d alltså är vinkeln FAB lika med vinkeln BFN. Dessutom hafva trianglarne FAB och BFN vinkeln FBA gemensam och äro såle­des likvinkliga, hvaraf följer, att AB : BF = BF : BN, e så att rectangeln af AB och BN är lika med qvadraten af BF. f

Vidare, emedan AL är lika med LK, LN gemensam och vinklarne NLA och NLK sinsemellan lika stora såsom båda varande räta, så är vinkeln NKA lika med vinkeln NAK g eller vinkeln KBA h och således äro trianglarne KNA och AKB, som dessutom hafva vinkeln KAB gemensam, sinsemellan likvinkliga, alltså BA : AK = AK : AN, e så att rect­angeln af AB och AN är lika med qvadraten af AK. f Men det är förut bevist, att rectangeln af AB och BN är lika med qvadraten af BF, alltså är summan af qvadraterne på radien BF och på den liksidige tiohörningens sida AK lika med summan af rectan­glarna utaf AB och BN samt ulaf AB och NA, d. ä. lika med qvadraten utaf den liksidige femhörningens sida AB. i H. S. B.

XI. Proposition. Theorem.

Fig. 15. Tab. 4.

Om en femhörning inskrifves uti en cirkel, hvars diameter är en rational-recta, så är fenhörningens sida en sådan irrational-recta, som kallas minor.

a. 10: 16.

b. 13: 8.

c. 13: 1.

d. 10: 6.

e. 10: 9.

f. 10: 74.

g. 10: 12.

h. 10: 3 cl. af Def. Def. 4.

i. 10: 95.

Låt den liksidiga fem­hörningen ABCDE vara in­skrifven uti en cirkel, hvars diameter är en rational-re­cta, så säger jag, att fem­hörningens sida AB är den irrational-recta, som kallas minor. Ty drag ifrån A och B diametrarne AG och BH och afskär från cir­kelns centrum F utaf FH ett stycke FK lika med fjerdedelen af radien och sammanbind AC och AD.

Då nu diametern är rational, så är BF, som är hälften af diametern, och FK, som är fjerdedelen af diametern, äfven rationala, och således måste BK, som är summan af BF och FK, vara rational. a

Vidare, emedan bågen ABC är lika med bågen AED, så är vinkeln ADC lika med vinkeln ACD och bågen GG lika med bågen GD, hvaraf följer all äf­ven vinkeln CAL är lika med vinkeln DAL. Alltså är vinkeln CLA lika med vinkeln DLA och således båda räta, hvaraf följer att CL är lika med LD el­ler CD lika med 2 CL.

P. s. s. bevises, att AMF och CMF äro räta vinklar och AC lika med 2 CM.

Alltså äro de rätvinkliga trianglarne LAC, MAF, som hafva vinkeln LAC gemensam, likvinkliga och således LC : CA = MF : FA följaktligen 2 LC : ½ CA = 2 MF : FA = MF : ½ FA och 2 LC : ½ CA = MF : ¼ FA. Men 2 LC är lika med CD, ½ CA lika med CM och ¼ FA lika med FK, alltså är CD : CM = MF : FK och således (CD + CM) :

CM = MK : FK, hvaraf följer att (CD + CM)-qv : CM-qv. — MK-qv. : FK-qv.

Emedan nu den liksidiga femhörningen ABCDE är inskrifven uti en cirkel, så är den äfven likvink­lig och således måste, om någon af dess diagonaler AC skäres till medelproportionalsanalogi, medelpro­portionalen vara lika med femhörningens sida CD, b men CM är lika med i AC, alltså måsle (CD + CM)-qv. vara lika med 5 CM-qv., c men det är nyss bevist, att (CD + CM)-qv. : CM-qv. = MK-qv. : FK-qv., alltså är MK-qv. lika med 5 FK-qv., men rectan FK är rational och således äfven FK-qv., alltså är MK-qv. d och således äfven sielfva rectan MK rational.

Vidare, emedan BF är lika med 4 FK, så är BK lika med 5 FK och således BK-qv. lika med 25 FK-qv. men MK-qv. var lika med 5 FK-qv., alltså är BK-qv. lika med 5 MK-qv., så att BK-qv. : MK-qv. = 5 : 1, men 5 och 1 äro icke qvadrat­tal, alltså äro väl BK och MK båda rational-rector, men hafva sina längder incommensurabla e och blott, sina qvadrater commensurabla, hvaraf följer, att MB, som blir resten då MK tages ifrån BK, måste vara en sådan rational-recta, som kallas apotome, ty då en recta tages ifrån en annan recta, med hvilken hon är rational, och det då är händelsen, att rec­tornas längder äro incommensurabla, så att de blott hafva sina qvadrater commensurabla, så är resten en sådan irrational-recta, som kallas apotome. f

Jag säger nu, att MB är den slags apotome, som kallas apotome qvarta.

Ty låt N vara en sådan recta, att N-qv. är lika med resten, som fås då MK-qv. drages ifrån BK-qv.

Nu äro BF och FK och följaktligen äfven BK och BF commensurabla. Äfven äro BF och BH com­mensurabla, alltså ock BK commensurabel med cir­kelns diameter BH, som är den gifna rationalrectan. Då nu, såsom nyss bevistes, BK-qv. är lika med 5 MK-qv., så är BK-qv. : MK-qv. = 5 : 1, alltså BK-qv. : (BK-qv. — MK-qv;) = 5 : ( 5 — 1) eller BK-qv. : N-qv. = 5 : 4, så att BK och N hafva sina längder incom­mensurabla, e hvaraf följer, att MB är en sådan apotome, som kallas apotome qvarta, ty, då en apotome BM är tillökt på det sätt, att öfverskottet, hvarmed qvadraten på summrectan BK af apotome BM och tillökningen MK öfverskjuter qvadraten på tillökningen MK, är lika med qvadraten på en re­cta N, som har sin längd incommensurabel med längden af summrectan BK, och summrectan BK är com­mensurabel med den gifna rational-rectan BH, så är apotome BM den slags, apotome som kallas apotome qvarta h.

Sammanbindes nu AH, så äro trianglarne ABH och ABM likvinkliga, emedan vinkeln ABH är för dem gemensam, och vinklarne BAH, AMB båda räta.

Men häraf följer, att BH : AB = AB : BM, så att rectangeln af BH och BM blifver lika med qvadraten uppå AB. Nu är BH rational och BM apotome qvarta, men när en rectangel har till rectangelsidor en rational-recta BH och en apotome qvarla BM, så är denna rectangels qva­dratsida AB en sådan irrational-recta, som kallas

minor, i alltså måste, om en liksidig femhörning ABCDE inskrifves uti en cirkel hvars diameter är en rational-recta, femhörningens sida AB vara en sådan irrational-recta, som kallas minor. H. S. B.

XII. Proposition. Theorem.

Fig. 6. Tab. 2.

Qvadraten på sidan till den uti en cirkel inskrifna liksidiga triangeln är tre gånger så stor som, qvadraten på cirkelns radie.

Låt ABC vara en uti cirkeln ABC inskrifven liksidig triangel och drag ifrån A diametern ADE och sammanbind BE.

Emedan nu triangeln ABC är lik­sidig, så är bågen AB lika med bågen AC och således bågen BE lika med bågen EC, hvaraf följer att bågen BE är hälften af bågen BEC, men bågen BEC är en tredjedel af he­la peripherien, alltså år bågen BE en sjetledel af hela peripherien och således dess chorda BE sida till den inskrifne reguliere sexhörningert d. ä. lika med radien DE a.

Då således diametern AE är dubbelt så stor som BE, så är qvadraten på AE fyra gånger så stor som qvadraten på BE, b men qvadraten på AE är lika mad summan af qvadraterne på BE och BE c, alltså är qvadraten på AB tillhopa med qvadraten på BE lika med fyra gånger qvadraten på BE och således qva-

draten på AB, som är sida till den inskrifne liksi­dige triangeln, tre gånger så stor som qvadraten på BE eller cirkelns radie. H. S. B.

XIII. Proposition. Problem.

Fig. 7. Tab. 2.

Att uti en gifven sfer inskrifva en tetraeder och att bevisa det qvadraten på den gifna sferens diameter förhåller sig till qvadraten på den inskrif­ne tetraederns kant som tre till två.

a. 11: 12.

b. 1: 4.

c. 6: 8. Cor.

d. 6: 20. Cor. 2.

e. 6: 22.

f. 13: 6.

g. 3: 31.

h. 6: 4.

Låt den gifna sferens diameter AB vara så skuren uti punkten C, att AC är lika med 2 CB eller AB lika med 3 BC. Upprita på AB halfcirkeln ADB.

Drag ifrån C en emot AB vin­kelrät recta CD och sammanbind DA och DB. Låt nu EFG vara en cirkel, hvars radie är lika med CD. Inskrif en liksidig tri­angel uti cirkeln EFG. Sammanbind triangelns vin­kelspetsar med cirkelns centrum H. Uppres uti H en emot cirkeln EFG:s plan vinkelrät recta HK. a Gör HK lika med AC och sammanbind punkten K med den uti cirkeln EFG inskrifna triangelns vinkel­spetsar. Nu är HK lika med AC, HE lika med CD och vinkeln KHE en rät vinkel och således lika med vinkeln ACD, hvaraf följer, att KE är lika med AD. b

P. s. s. bevises, att KF är lika med AD och KG lika med AD. Alltså KE, KF och KG hvar och en lika med AD. Vidare, emedan AB : BD = BD : BC, c så är AB : BC = AB-qv. : BD-qv., d men AB : BD = AD : DC, således AB-qv. : BD-qv. = AD-qv. : DC-qv., e och i följe deraf AB : BC = AD-qv. : DC-qv. Då nu AB är lika med 3 BC, så måste AD-qv. vara lika med 3 DC-qv., men FE-qvadrat är lika med 3 EH-qvadrat f eller 3 DC-qva­drat, alltså är AD-qvadrat lika med FE-qvadrat och r e c t a n AD lika med rectan FE.

P. s. s. bevises, att FG är lika med AD och EG lika med AD.

Alltså äro FE, FG och EG hvar och en lika med AD, men det är förut bevist att KE, KF och KG hvar och en är lika med AD, alltså äro EFG, KEF, KFG och KGE fyra liksidiga och sinsemellan till alla delar lika trianglar, så att det solidum de bilda är en tetraeder.

Jag säger nu vidare, att denna tetraeder kan hafva sina spetsar uti en sfer, hvars diameter är lika med AB. Ty låt rectan KH på andra sidan om cir­keln EFG:s plan i hänseende till punkten K utdra­gas till punkten L så, att HL blir lika med BC och följaktligen KL lika med AB, och sammanbind punkten L med punkterne E, G och F. Emedan nu KH är gjord lika med AC, HE lika med DC och vinklarne KHL, ACD båda äro räta, så äro triang­larne, KHE och ACD till alla delar lika stora och KE lika med AD samt vinkeln vid K lika med vin­keln vid A, b men KL är gjord lika med AB, allt­så äro trianglarne KEC och ADB till alla delar li­ka stora, b hvaraf följer att vinkeln KEL såsom li-

ka stor med den räta vinkeln ADB äfven sjelf måste vara en rät vinkel.

P. s. s. bevises, att vinklarne KGL och KhL äro räta vinklar.

Om nu KL skäres midt itu uti O och en recta OM drages ifrån O parallel med LE, så skäres KE midt itu uti M h och vinklarne vid M blifva räta. Sammanbindes då OE, så äro två sidor KM och MO uti triangeln KMO lika stora med hvar sin af två sidor EM och MO uti triangeln EMO, och mellan­liggande vinklarne KMO och EMO äro lika stora, emedan de båda äro räta; alltså är OE lika med OK b eller OL. P. s. s. bevises, att, om O sammanbindes med F och med G, så äro OF och OG hvar och en lika med OK eller OL, hvaraf följer, att tetraedern KFGE har alla sina spetsar uti ytan till den sfer, hvars diameter är KL, men KL är lika stor med AB, alltså är tetraedern KFGE inskrifven uti en sfer, hvars diameter är lika med AB.

Jag säger nu slutligen, att qvadraten på den gifna sferens diameter AB förhåller sig till qvadra­ten på den inskrifne tetraederns kant som tre till två, ty den inskrifne tetraederns kant KE är lika med AD och AB : AD = AD : AC; c således AB-qv. : AD-qv. = AB : AC = 3 : 2.

Alltså är en tetraeder inskrifven uti en gifven sfer och det bevist, att qvadraten på den gifna sferens di­ameter förhåller sig till qvadraten på den inskrifne tetraederns kanl som tre till två. H. S. G.

XIV. Proposition. Problem.

Fig. 8. Tab. 2.

Att uti en gifven sfer inskrifva en oktaeder och att bevisa det qvadraten på den gifna sferens diameter förhåller sig till qvadraten på den inskrifna oktaederns kant som två till ett.

a. 11: 12.

b. 1: 47.

c. 1: 4.

Låt den gifna sferens diameter AB vara midtitudelad uti C och upprita på AB en halfcirkel ADB; drag ifrån C rectan CD vinkelrät emot AB och sammanbind DB.

Låt nu EFGH vara en qvadrat, som har sin sida lika med DB.

Drag qvadratens diagonaler HF och EG, som skä­ra varandra uti K, och drag genom K en emot qvadratens plan vinkelrät recta LKM. a Afskär ifrån K på hvardera sidan om nämnde qvadrats plan utaf rectan LKM styckena KL och KM, hvartdera lika med hvar och en af de sinsemellan lika stora rector­na KE, KF, KG, KH. Sammanbind såväl punkten L som punkten M med punkterne E, F , G, H.

Emedan nu EK är lika med KH och EKH en rät vinkel, så är HE-qv. lika med 2 EK-qv. Vida­re är LK lika med EK och LKE en rät vinkel, alltså äfven LE-qv. lika med 2 EK-qv. Således HE-qv. lika med LE-qv. och HE lika med LE. P. s. s. bevises att HE är lika med LH, hvaraf följer, att triangeln ELH är liksidig. P. s. s. bevises att de övriga sju trianglarne, som till baser hafva de sins-

emellan lika stora sidorna uti figuren EFGH och till spetsar punkterna L och M, äro liksidiga och hvar och en med triangeln ELH till alla delar lika, så att det solidum, som bildas af dessa åtta liksidiga och med hvarandra till alla delar lika trianglar, är en oktaeder.

Jag säger nu vidare, att denna oktaeder kan hafva sina spetsar uti en sfer, hvars diameter är li­ka med AB. Ty, sammanbindes AD, så är AD li­ka med DB, således äfven lika med EF eller FG och vinklarne ADB och EFG äro båda räta, alltså basen AB lika med basen EG, c men EG är lika med 2 EK eller 2 LK och LM är äfven lika med 2 LK, således är LM lika med EG eller AB.

Men, emedan KL, KM, KE, KF, KG och KH alla äro sinsemellan lika stora, så har oktaedern LMEFGH alla sina spetsar uti den sfer, som har K till medelpunkt och LM till diameter, men LM är nyss bevist vara lika stor med AB, alltså är okta­edern LMEFGH inskrifven uti en sfer, hvars diameter är lika med AB.

Jag säger nu slutligen att qvadraten på den gifna sferens diameter AB förhåller sig till qvadraten på den inskrivne oktaederns kant som två till ett, ty, eme­dan EFG är en rät vinkel, så måste EG-qv. vara li­ka med summan af EF-qv.. och FG-qv., b men EF och FG äro båda kanter uti oktaedern, och EG är lika med LM eller AB, alltså är AB-qv. lika med 2 gån­ger qvadraten på oktaederns kant.

Således är en oktaeder inskrifven uti en gifven sfer och det bevist, att qvadraten på den gifne sfe­rens diameter förhåller sig till qvadraten på den inskrivne oktaederns kant som två till ett. H. S. G.

XV. Proposition. Problem.

Fig. 9. Tab. 3.

Att uti en gifven sfer inskrifva en kub och att bevisa det qvadraten på den gifna sferens diameter förhåller sig till qvadraten på den inskrifne kubens kant som tre till ett.

a. 11: 12.

b. 11: 6.

c. 1: 33.

d. 11: 9.

e. 11: 10.

f. 11: 4.

g. 6: 4.

h. 1: 4.

i. 1: 47.

k. 6: 8: Cor.

l. 6: 20. Cor. 2.

Låt den gifna sferens diameter AB vara så skuren uti C att AC är lika med 2 CB eller AB lika med 3 CB. Upp­rita på AB halfcirkeln ADB. Drag ifrån C till periferien rectan CD vinkelrät emot AB och sammanbind DB. Låt nu EFGH vara en qvadrat, hvars sida är li­ka stor med DB. Sätt uti punkterne E, F, G, H på samma sida om qvadraten EFGH:s plan rectorne EK, FL, GM och HN vinkelräta emot nämnde qvadrats plan ; a gör hvar och en af dessa lika med DB och samman­bind KL, LM, MN och NK, så säger jag nu först att det solidum, som bildas af planfigurerna EG, EL, FM, GN, EN och LN, är en kub.

Ty, emedan EK, FL, GM och HN äro vinkel­räta emot samma plan, så äro de sinsemellan paralel­la, b och då de derjemte äro sinsemellan lika stora, så måste rectorna KL, LM, MN och NK vara para­lella och lika stora med hvar sin af rectorna EF, FG, GH och HE; c hvaraf följer att figurerne EL, FM, GN och EN äro qvadrater och figuren KLMN en paralellogram d som är rätvinklig E och äfven

måste vara liksidig, emedan hans sidor äro lika sto­ra med hvar sin af sidorna uti en qvadrat; således är äfven KM en qvadrat, men de sex qvadraterne EG, EL, FM, GN, EN och KM äro sinsemellan li­ka stora, emedan de hafva gemensamma sidor, allt­så är det solidum, som de bilda, en kub.

Jag säger nu vidare, att denna kub kan hafva sina spetsar uti en sfer, hvars diameter är lika med AB.

Ty sammanbind KG, EG och KF. Efter nu EN och EL äro qvadrater, så är rectan EK vinkel­rät såväl emot rectan EU som emot rectan EF och således vinkelrät emot qvadraten EG, f hvaraf följer alt rectan EK är vinkelrät emot rectan EG och så­ledes vinkeln KEG rät. Och efter EG och EM äro qvadrater, så är rectan FG vinkelrät såväl emot rectan FE som emot rectan FL och således vin­kelrät emot qvadraten EL, f hvaraf följer, att rectan FG är vinkelrät emot rectan FK och så­ledes vinkeln GFK rät. P. s. s. bevises, att KLG, KNG, KMG och KHG alla äro räta vinklar. Om nu KG skäres midt itu uti O och en recta 0P drages ifrån O parallell med EK, så skäres EG midt itu uti P, g och vinklarne vid P blifva räta. Sam­manbindes då OE, så äro två sidor uti triangeln OPG lika stora med hvarsin af två sidor uti trian­geln OPE och mellanliggande vinklarne OPG och OPE äro lika stora, emedan de båda äro räta, allt­så är OE lika stor med OG h eller OK. P. s. s. bevises, att hvar och en af de rector, som samman­binda O med de öfriga spetsarne uti kuben, är lika med OG eller OK, hvaraf följer, att kuben har alla

sina spetsar uti ytan till den sfer, hvars diameter är KG; men KG är lika stor med AB, ty KG-qv. är lika med summan af EK-qv. och EG-qv., i och EG-qv. är lika med 2 EF-qv. i eller 2 EK-qv., hvaraf följer, att KG-qv. är lika med 3 EK-qv. eller 3 DB-qv., och, emedan AB : DB = DB : BC k och således AB-qv. : DB-qv. = AB : BC l = 3 : 1 , så är äfven AB-qv. lika med 3 DB-qv., hvaraf föjer, att KG-qv. är lika med AB-qv. och således rectan KG lika med rectan AB.

Alltså är kuben FN inskrifven uti en sfer, hvars diameter är lika stor med AB.

Jag säger nu slutligen, att qvadraten på den gifna sferens diameter förhåller sig till qvadraten på den inskrifne kubens kant som tre till ett, ty, såsom nyligen är bevist, förhåller sig AB-qv. : DB-qv. = 3 : 1; men AB är den gifne sferens diameter, och DB är lika med den inskrifne kubens kant.

Således är en kub inskrifven uti en gifven sfer och det bevist, att qvadraten på den gifne sferens diameter förhåller sig till qvadraten på den inskrif­ne kubens kant som tre till ett. H. S. G.

XVI. Proposition. Problem.

Fig. 10. Tab. 3.

Att uti en gifven sfer inskrifva en ikosaëder och att bevisa det kanten af den inskrifne ikosaëdern är den irrational-recta, som kallas minor.

a. 4: 11.

b. 1: 8.

c. 11: 12.

d. 11: 6.

e. 1: 33.

f. 1: 47.

g. 13: 10.

h. 2: 14.

i. 13: 2.

k. 13: 9. Cor.

l. 6: 1.

m. 6: 20. Cor. 1.

n. 5: 15.

o. 6: 22.

p. 6: 8. Cor.

q. 6: 20. Cor. 2.

r. 13: 11.

Låt den gifna sferens diameter AB vara så skären uti C, att AC är lika med 4 CB, och således AB lika med 5 CB. Upprita på AB halfcirkeln ADB och drag från C till periferien en emot AB vinkelrät recta CD och samman­bind DB.

Låt nu EFGHK vara en cirkel, hvars radie är lika med DB, och in­skrif uti denna cirkel en liksidig femhörning EFGHK. a Skär bågarne EF, FG, GH, HK och KE midt itu uti punkterne L, M, N, O, P. Sam­manbind EL, LF, FM, MG, GN, NH, HO, OK, KP och PE, så blir figuren LFMGNHOKPE en uti cirkeln EFGHK inskrifven lik­sidig tiohörning, b och sammanbind LM, MN, NO, OP och PL, så blir figuren LMNOP en uti cirkeln EFGHK inskrifven liksidig femhörning. b Sätt uti punkterne E, F, G, H, K på samma sida om cir­keln EFGHK:s plan rectorna EQ, FR, GS, HT och KV vinkelräta emot detta plan; c och gör hvar och en af dem lika med radien uti cirkeln EFGHK. Sam­manbind nu QR, KS, ST, TV och VQ samt QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OV, VP och PQ.

Jag säger nu först, att hvar och en af de fem rectorna VQ, QR, RS, ST och TV är lika med si­dan uti den liksidiga femhörning, som kan inskrif­vas uti cirkeln EFGHK.

Ty, emedan KV och EQ såsom vinkelräta emot samma plan äro parallela d och derjemte äro lika stora, så måste VQ vara lika med KE, c som är

sidan till en uti cirkeln EFGHK inskrifven liksidig femhörning. P. s. s. bevises, att QR, RS, ST och TV hvar och en är lika med sidan uti en sådan femhörning.

Jag säger nu vidare, att hvar och en af de tio rectorna QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OV, VP och PQ är lika med sidan till en uti cirkeln EFGHK inskrifven liksidig femhörning.

Ty, emedan EQ är vinkelrät emot planet EFGHK, så är vinkeln LEQ rät och således QL-qv. lika med summan af EQ-qv. och LE-qv., f men EQ är gjord lika med radien uti cirkeln EFGHK och LE är lika med sidan till den uti samma cirkel inskrifna liksi­diga tiohörning, alltså är QL lika med sidan till den i nämnde cirkel inskrifna liksidiga femhörning. g P. s. s. bevises, att de öfrige af ofvnnämnde tio rector äro hvar och en lika med sidan till en uti cirkeln EFGHK inskrifven liksidig femhörning.

Denna sida är således lika stor med hvar och en af de tjugo rector, som till gemensamma punk­ter hafva de tio punkterne Q, R, S, T, U, V, L, M, N, O, P, och dessa tjugo rector äro således sinse­mellan lika stora.

Drag nu vidare genom cirkeln EFGHK:s medl­punkt W en recta vinkelrät emot denna cirkels plan, och afskär af denna vinkelräta recta ett stycke WX på samma sida om cirkeln, som EQ är, och lika stort

med EQ. Skär WX midt itu uti a och afskår från a åt X till ett stycke aZ, hvars qvadrat aZ-qv. är fem gånger så stor som qvadraten på aX eller på aV. l, h Sammanbindes nu punkten Z med punk­terne Q, R, S, T, V, så säger jag, att hvar och en af de fem rectorna ZQ, ZR, ZS, ZT och ZV är lika med sidan till en uti cirkeln EFGHK inskrifven liksidig femhörning.

Ty, emedan aZ-qv. är lika med 5 aX-qv., så är XZ medelproportional uti den medelproportionalsanalogi, hvartill 2 aX eller WX skäres, i men WX är lika med EQ eller med radien till cirkeln EFGHK, alltså är XZ sidan till den uti samma cirkel inskrif­na liksidiga liohörning, emedan denna sida är me­delproportional uti den medelproportionalsanalogi, hvarlill radien skäres, k och det lätteligen bevises, att en recta icke kan få medelproportionaler af olika storlek, då hon delas till medelproportionalsanalogi. Samanbindes nu punkten X med punkten S, så är rectan XS lika med radien till cirkeln EFGHK och vinkeln SXZ en rät vinkel.

Ty emedan WX och GS såsom båda vinkelräta emot samma plan äro parallela d och såsom hvarde­ra lika med EQ äfven sinsemellan lika stora, så måste XS vara lika stor och parallel med WG, e som är radie till cirkeln EFGHK, men WX är såsom vinkelrät emot cirkelns plan äfven vinkelrät emot WG, alltså är XS äfven vinkelrät emot WZ. Men häraf följer, att ZS-qv. är lika med summan af qvadraterne på XS och XZ, och, då nu XS är bevist vara lika med cirkeln EFGHKr:s radie och XZ lika med sidan till dess inskrifne liksidige tiohörning, så måste ZS vara lika med sidan lill samme cirkels inskrifne liksidige femhörning. g

P. s. s. bevises, att ZR, ZQ, ZV och ZT hvar och en är lika med den nämnda femhörningssidan, och, om man åt W till afskär stycket aY li­ka stort med aZ och sammanbinder punkten Y med punkterne L, M, N, O, P, så bevises på dylikt sätt som förut, att hvar och en af de fem rectorna YL, YM, YN, YO och YP är lika med sidan till den uti cirkeln EFGHK inskrifne liksidige femhörningen.

Denna sida är således lika stor med hvar och en a de trettio rector, som till gemensamma punkter halva de tolf punkterne Z, Q, R, S, T, V, L, M, N, O, P, Y, och dessa trettio recfor äro således sinsemellan lika stora.

Jag säger nu, att de tjugu liksidiga trianglar med gemensamma spetsar, som af dessa trettio re­ctor bildas, hafva alla sina spetsar på lika afstånd ifran en och samma punkt. Ty enligt constructionen är aZ-qv. lika med aY-qv. och hvardera af dem fem gånger så stor som aX-qv. eller aW-qv. Sam­manbindas nu rectan YZ: s midtpunkt a med någon af de öfrige spetsarne t. ex. med S, så är aS-qv. lika med summan af qvadraterne på SX och aX, emedan vinkeln aXS är rät, f men enligt constru­ctionen är aX hälften af WX eller af WG, och XS ar bevist vara lika stor med WG, alltså är XS dub­belt så stor som aX, och XS-qv. lika med 4 AX-qv. m hvaraf följer, att summan af XS-qv. och aX-qv. är lika med 5 aX-qv. och således aS-qv, fem gån­ger så stor som aX-qv. Alltså äro qvadraterne på de rector som sammanbinda punkten a med de tolf spetsarne, sinsemellan lika stora, och således sjelfva dessa rector sinsemellan lika stora.

Solidum ZY är alltså bildad af tjugu liksidiga trianglar, som hafva sina spetsar gemensamma och på lika afstånd ifrån en och samma punkt, så att solidum ZY är en ikosaeder.

Denna ikosaeder har sina spetsar uti ytan af en sfer, som har ZY till diameter, men, emedan ZY är lika med 2 aZ och WX lika med 2 aX, så är ZY : WX = aZ : aX, n således ZY-qv. : WX-qv. = aZ-qv. : aX-qv. o = 5 : 1, men WX är gjord li­ka stor med EQ, som sjelf är gjord lika stor med radien till cirkeln EFGHK, och denna radie är tagen lika stor med DB, alltså är WX lika stor med DB, och ZY-qv. : DB-qv. = 5 : 1, men AB : DB = DB : BC, p och således AB-qv. : DB-qv. = AB : BC q = 5 : 1, emedan AB är lika med 5 BC, allt­så är ZY-qv. : DB-qv. = AB-qv. : DB-qv., hvaraf följer, att ZY-qv. är lika med AB-qv., och ZY lika med AB.

Således har ikosaedern ZY sina spetsar uti en sfer, hvars diameter är lika med AB, och är alltså uti en sådan sfer inskrifven.

Jag säger nu slutligen, att ikosaederns kant är en sådan irrational-recta, som kallas minor.

Ty, då AB-qv. är lika med 5 DB-qv. och AB är rational, så är äfven DB rational.

Men radien uti cirkeln EFGHK är tagen lika med DB, följaktligen måste denna cirkels radie och således äfven dess diameter vara rational. Alltså är sidan till den liksidige femhörning, som inskrifves uti cirkeln EFGHK en sådan irrational-recta, som kallas minor r men denna femhörningssidan är just ikosaeder-kanten.

Således är uti en gifven sfer en ikosaeder in­skrifven, och det är bevist, att kanten af den inskrifne ikosaedern är den irrational-recta, som kallas minor. H. S. G.

Coroll. Qvadraten på diametern uti en sfer är fem gånger så stor som qvadraten på diametern uti den cirkel, som har sidan till sin inskrifne liksidige femhörning lika med kanten af den uit den gifna sferen inskrifna ikosaedern; och summan af nämnde cirkels radie och dubbla sidan till dess inskrifne lik­sidige tiohörning är lika med den gifna sferens dia­meter.

XVII. Proposition. Problem.

Fig. 11. Tab. 3.

Att uti en gifven sfer innskrifva en dodekae­der och att bevisa det kanten af den inskrifne do­dekaederns är en sådan irrational-recta, som kallas apotome.

Låt ABCD och CBEF vara tvenne mot hvaran­dra vinkelräta sidoytor af en uti den gifna sferen in­skrifven kub. a Låt G, H, K, L, M, N, O vara midtpunkterne af rectorna AB, BC, CD, DA, EF, EB, FC och sammanbind GK, HL, MH, NO. Skär hvar och en af rectorne NP, PO och HQ till medel­propoortionalsanalogi uti punkterna R, S och T så, att PR, RS och QT blifva medelproportiornalerne. b Sätt uti punkterne R, S, T rectorna RV, SW och TX, utom kuben och vinkelrätt emot de sidoytor af

a. 13: 15.

b. 2: 11.

c. 11: 12.

d. 11: 6.

e. 11: 4.

f. 11: 18.

g. 6: 6.

h. 1: 32. Cor. 3.

i. 1: 14.

k. 11: 9.

l. 13: 4.

m. 1: 47.

n. 6: 20. Cor. 1.

o. 13: 5.

p. 1: 8.

q. 13: 7.

r. 11: 39.

s. 11: 13.

t. 13: 15.

u. 5: 15.

v. 13: 6.

kuben, uti hvilka dessa punkter ligga. Gör RV, SW och TX lika med me­delproportionalerne PR, PS och QT och sammanbind VB, BX, XC, CW och WV.

Jag säger nu först, att figuren VBXCW är en planfigur, ty drag ifrån P rectan PY utom kuben och vinkel­rät emot sidoytan BF, så måste PY råka rectan VW uti någon punkt Y, ty, emedan RV, PY och SW äro vin­kelräta emot ett och samma plan, så äro de parallela, d och emedan punk­terne R, P och S ligga uppå en och samma recta RS, så ligga rectorna RV, PY och SW uti ett och samma plan, och således måste VW, som skär två af dessa parallela rector nemligen RV och SW äfven skära den tredje PY, men dessutom är VW parallel och lika stor med RS, emedan RV är lika stor och parallel med SW, så att PY äfven är lika stor med RV eller SW. Sammanbind nu YH och HX, så säger jag att rectorna YH och HX bilda en enda recta, YHX, ty emedan HC är uti samma punkt H vinkel­rät emot såväl HL som mot HM, hvilka med hvar­andra bilda en vinkel LHM, så är HC vinkelrät emot det plan, som går igenom HL och HM e och såle­des detta plan vinkelrätt emot såväl planet EBCF som planet ABCD, f men rectan PY är dragen från en punkt P på skärningslinjen mellan planet LHM och det der­emot vinkelräta planet EBCF, och PY är enligt constructionen vinkelrät emot planet EBCF, alltså sammanfaller rectan PY med planet LHM, f och på

dylikt sätt bevises, att rectan TX sammanfaller med samma plan LHM, alltså ligga trianglarne HPY och XTH uti samma plan; men HP är lika med HQ och PY är lika med RV eller QT, alltså är HP : PY = HQ : QT eller HP : PY = QT : TH, eme­dan HQ är skuren till medelproportionalsanalogi uti punkten T, men TX är lika med QT och således TX : TH = QT : TH, alltså är HP : PY = TX : TH. Nu äro vinklarne XTH och HPY lika stora så­som båda räta, således äro trianglarne XTH och HPY likformiga g och vinkeln HXT lika med vin­keln YHP, alltså summan af vinklarne YHP och XHT lika med summan af vinklarne HXT och XHT eller med en rät vinkel, h men PH T är en rät vin­kel, alltså är summan af alla tre vinklarne YHP, PHT och THX eller summan af vinklarne YHT och THX lika med summan af tvenne räta vinklar, hvaraf följer, att YH och HX bilda en enda recta YHX. i

Häraf följer att punkterne B, X, C och Y lig­ga uti samma plan, men, att punkterne V och W äfven ligga uti detta planet, följer deraf, att rectan VW går igenom en punkt Y uti planet och är pa­rallel med en uti planet liggande recta BC, emedan VW och BC såsom båda parallela med samma recta RS äfven sinsemellan måste vara parallela. k

Således är figuren VBXCW en planfigur.

Jag säger nu vidare, att femhörningen VBXCW är liksidig.

Ty sammanbind BR, BS och BW.

Då nu NP är skuren till medelproportionalsana­logi uti i punkten R, och PR är medelproportionalen, så är (PN-qv. + NR-qv.) = 3 PR-qv., l men PN =

NB, och PR = RV, följaktligen är (NB-qv. + NR-qv.) = 3 RV-qv. Nu är (NB-qv. + NR-qv.) = BR-qv., m alltså är BR-qv. = 3 RV-qv., och så­ledes (BR-qv. + RV-qv.) eller BV-qv. = 4 RV-qv., hvaraf följer, att BV är lika med 2 RV. n

Men emedan VW är = med RS = 2 PR = 2 RV, så äro BV och VW såsom lika stora med en och samma nemligen med 2 RV äfven sinsemel­lan lika stora. P. s. s. bevises, att hvar och en af femhörningens öfriga tre sidor BX, XC och CW är lika stor med BV eller VW, hvaraf följer, att fem­hörningen VBXCW är liksidig.

Jag säger nu slutligen, att femhörningen VBXCW äfven är likvinklig.

Ty, emedan NP är skuren till medelproporti­onalsanalogi och PR är medelproportionalen, så är (NP + PR) : NP = NP : PR, o men PR är lika med PS, alltså är (NP + PS) : NP = NP : PS eller NS : NP = NP : PS, hvaraf följer, att NS är uti punkten P skuren till medelproportionalsanalogi och har NP till medelproportional, så att (NS-qv. + PS-qv.) = 3 NP-qv. l Men NP är lika med NB och PS lika med SW, alltså är (NS-qv. + SW-qv.) = 3 NB-qv. och således (NB-qv. + NS-qv. + SW-qv.) = 4 NB-qv., men (NB-qv. + NS-qv.) är lika med BS-qv., m alltså är (BS-qv. + SW-qv.) eller BW-qv. lika med 4 NB-qv., hvaraf följer, att BW är lika med 2 NB n eller BC, så att triangeln VWB har sina tre si­dor lika stora med hvar sin af sidorna uti triangeln BXC och vinkeln WVB lika stor med vinkeln BXC.

P. s. s. bevises, att vinkeln VWC är lika stor med vinkeln BXC, så att den liksidige femhörningen VBXCW har sina tre vinklar lika stora och således måste vara likvinklig. q

På det sätt, som nu är visadt, kan man på hvar och en af kubens öfriga kanter construera en femhörning till alla delar lika med den på kanten BC construerade liksidige och likvinklige femhörningen VBXCYV.

De sålunda på kubens tolf kanter construerade sinsemellan till alla delar lika liksidige och likvink­lige femhörningarne hafva gemensamma spetsar.

Jag säger nu, att afståndet mellan hvar och en af dessa tjugu spetsar och medelpunkten uti den gif­na sferen, hvaruti kuben ED är inskrifven, är lika med denna gifna sferens radie, och, att således den dodekaeder, som bildas af de tolf på kanterne af ku­ben ED, enligt hvad nu visadt är, construerade fem­hörningarne, är uti den gifna sferen inskrifven.

Ty skär kuben ED med två mot kubens sida EBCF vinkelräta plan, af hvilka plan del ena skall gå igenom rectan NO, som sammanbinder midtpunk­terne af rectorna EB och FC, och del andra igenom rectan MH, som sammanbinder midtpunkterne af re­ctorna EF och BC, så maste dessa planens skärnings­recta skära kubens diagonaler uti deras gemensamma skärningspunkt Z, som är medelpunkt till den gifna sferen, hvaruti kuben är inskrifven, och rectan PZ måste vara lika med kubens halfva kant, således li­ka med NP. r

Emedan nu NS är bevist vara uti P skuren till medelproportionalsanalogi och hafva NP till medel­proportional, så är (NS-qv. + PS-qv.) — 3 NP-qv. l

Men, emedan PZ och PY äro uti samma punkt P vinkelräta emot samma plan BF, så bilda rectorna PZ och PY en enda recta ZY, s och då PZ är lika med NP och PY lika med PS, så måste hela rectan

ZY vara lika stor med hela rectan NS; nu är PS äfven lika stor med VY, alltså måste (ZY-qv. + VY-qv.) eller ZV-qv. vara lika med (NS-qv. + PS-qv.) eller 3 NP-qv. och således ZV-qv. lika med tre gånger qvadraten på hälften af kanten till den uti den gifna sferen inskrifna kuben ED.

Men qvadraten på den gifna sferens diameter är tre gånger så stor som qvadraten på kanten af den uti den gifna sferen inskrifne kuben t ED och för­håller sig derjemte till denna kants qvadrat så som qvadraten på hälften af sferens diameter eller på sfe­rens radie förhåller sig till qvadraten på hälften af den inskrifne kubens kant, n, u, alltså är qva­draten på den gifna sferens radie lika med tre gån­ger qvadraten på halfva kanten är den uti den gifna sferen inskrifna kuben ED, hvaraf följer, att qvadra­ten på den gifna sferens radie är lika stor med ZV-qv., och således sjelfva radien lika med rectan ZV.

P. s. s. bevises, att de öfrige med den inskrif­ne kubens spetsar icke sammanfallande dodekaeder­spetsarne ligga uti den gifna sferens yta, hvaruti dodekaedern redan enligt constructionen har de med den inskrifne kubens sammanfallande dodekaederspet­sarne, hvaraf följer, att en dodekaeder är uti den gifna sferen inskrifven.

Jag säger nu slutligen att kanten af den inskrif­ne dodekaedern är en sådan irrational-recta, som kallas apotome. Ty, emedan NP är uti R skuren till medelproportionals-analogi, och PR är medelpro­portionalen, så är NP : PR = PR : RN, följaktligen 2 NP : 2 PR = 2 PR : 2 RN u eller NO : RS = RS : (RN = SO), men NO är = (RS + RN +

SO), alltså är RS lika med medelproportionalen uti den medelproportionalsanalogi, hvartill NO kan skä­ras.

Då nu den gifna sferens diameter är rational och denna diameters qvadrat är tre gånger så stor som qvadraten på kanten af den inskrifne kuben, t så är denna kant äfven rational, och således den med kubens kant lika stora rectan NO rational, hvaraf följer, att RS, som är bevist vara medelpropor­onal uti den medelproportionalsanalogi, hvartill NO kan skäras, måste vara en sådan irrational-recta som kallas apotome. v

Men RS är lika med VW eller med dodekae­derns kant.

Alltså är uti en gifven sfer en dodekaeder in­skrifven och det bevist, att kanten af den inskrifne dodekaedern är en sådan irrational-recta, som kallas apotome. H. S. G.

Coroll. Kanten af en dodekaeder är lika med medelproportionalen uti den medelproportionalsanalo­gi, hvartill man kan skära kanten af en i samma sfer som dodekaedern inskrifven kub.

XVIII. Proposition. Problem.

Fig. 16. Tab. 4.

Att upprita kanterne af tetraedern, oktaedern, kuben, ikosaedern och dodekaedern, då dessa fem solida äro uti en och samma sfer inskrifna, och att visa förhållandet mellan dessa kanter.

a. 6: 8. Cor.

b. 6: 20. Cor. 2.

c. 13: 13.

d. 13: 15.

e. 13: 14.

f. 6: 4.

g. 6: 20. Cor. 1.

h. 1: 47.

i. 3: 14.

k. 13: 16. Cor.

l. 13: 10.

m. 13: 16.

n. 13: 17. Cor.

o. 13: 17.

p. 6: 8.

q. 6: 22.

r. 13: 9. Cor.

s. 12: 1.

Låt den gifna sferens diameter AB vara så skuren uti punkterna C och D, att AC är lika med CB, och AD li­ka med 2 DB. Upprita på AB half­cirkeln AEB, och drag ifrån C och D rectorna CE och DF vinkelräta emot AB. Sammanbind AE, EB, AF, FB.

Emedan nu AD är lika med 2 DB, så är AB lika med 3 DB, och så­ledes AB : AD = 3 DB : 2 DB = 3 : 2 , men AB : AF = AF : AD a och således AB-qv. : AF-qv. = AB : AD b = 3 : 2 , hvaraf följer, att AF är kanten af den tetraeder, som är in­skrifven uti en sfer, hvars diameter är lika med AB. c

Emedan AD är lika med 2 DB, så är AB li­ka med 3 DB, men AB : BF = BF : DB, a och således AB-qv. : BF-qv. = AB : DB b — 3 DB : DB = 3 : 1, alltså är AB-qv. = 3 BF-qv., hvar­af följer, att BF är kanten af den kub, som är in­skrifven uti en sfer, hvars diameter är lika med AB. d

Emedan AC är lika med CB, så är AB lika med 2 CB, men AB : BE = BE : CB, a och så­ledes AB-qv. BE-qv. = AB : CB b = 2 : 1, alltså är AB-qv. = 2 BE-qv., hvaraf följer, att BE är kanten af den oktaeder, som är inskrifven uti en sfer, hvars diameter är lika med AB. e

Drag nu ifrån A rectan AG vinkelrät emot AB. Gör AG lika stor med AB. Sammanbind CG, och drag ifrån H rectan HK vinkelrät emot AB.

Då nu AG är lika med 2 AC och AG : AC = HK : KC, f så är HK lika med 2 KC, och så­ledes HK-qv. lika med 4 KC-qv., g hvaraf följer, att

(HK-qv. + KC-qv.) eller HC-qv. h är lika med 5 KC-qv., och alltså qvadraten på dubbla HC eller på AB lika med fem gånger qvadraten på dubbla KC.

Afskär då CL lika stor med KC, så är AB-qv. = 5 KL-qv.

Drag nu från L rectan LM vinkelrät emot AB, så blir LM = HK i = KL, och således AB-qv. = 5 LM-qv., hvaraf följer, att LM är lika med radien uti den cirkel, som till sida uti sin inskrifne liksi­dige femhörning har kanten utaf den ikosaeder, som är inskrifven uti en sfer, hvars diameter är lika med AB. Men AB är lika med summan af nyssnämnda cirkels radie och dubbla sidan till denna cirkels in­skrifna liksidiga tiohörning, k och KL är lika med den nämnda cirkelradien, alltså är (AK + LB) lika med dubbla den nämnda tiohörningsidan, men AK är lika med LB, således är LM lika med sjelfva den­na tiohörningsidan.

Sammanbindes nu BM, så är BM-qv. = (LM- qv. + LB-qv.), hvaraf följer, att BM är sidan till den liksidige femhörning, som är inskrifven uti den cirkeln, hvars radie är LM, / och således BM kan­ten af den ikosaeder, som är inskrifven uti en sfer, hvars diameter är lika med AB. m

Emedan BF är kanten af den kub, som är inskrifven uti en sfer, hvars diameter är lika med AB, så fås kanten af en uti en dylik sfer inskrifven dodekaeder, derigenom, att BF skäres till medel­proportionalsanalogi, ty den medelproportional BN, som då fås, är den begärda dodekaderkanten. n

Vidare, emedan AB-qv. : AF-qv. = 3 : 2 = 6 : 4 och AB-qv. : BE-qv. = 2 : 1 = 6 : 3 samt AB-qv. : BF-qv. = 3 : 1 = 6 : 2, så måste, om AB-qv. delas uti sex sinsemellan lika stora delar,

AF-qv. vara lika med 4 sådana delar, BE-qv. lika med 3, och BF-qv. lika med 2 sådana delar, hvaraf följer, att AF-qv. : BE-qv. = 4 : 3 , AF-qv. : BF-qv. = 4 : 2 = 2 : 1, Och BE-qv. : BF-qv. = 3 : 2, så att den uti en sfer, hvars diameter är AB, inskrifna tetraedern, oktaedern och kuben hafva sina kanter AF, BE och BF uti rationalt förhållande till hvarandra, men hvarken med dessa kanter ej heller sinsemellan kunna kanterne af den uti nämnda sfer inskrifna ikosaedern och dodekaedern hafva rationalt förhållande, emedan såväl ikosaederkanten som dode­kaederkanten är irrational-recta. m, o

Dock låter det sig bevisa, att, om en tetrae­der, oktaeder, kub, ikosaeder och dodekaeder äro uti en och samma sfer inskrifna, så är ikosaeder­kanten mindre än kubkanten, oktaederkanten och te­traederkanten, men större än dodekaederkanten.

Ty, emedan AD : DF = AF : BF, p så är AD-qv. : DF-qv. = AF-qv. : BF-qv. q = 2 : 1, således AD-qv. = 2 DF-qv. och AF-qv. = (AD-qv. + DE-qv.) h = 2 DF-qv. + DF-qv. = 3 DF-qv., men AB-qv. : AF-qv. = 3 : 2 , alltså AB-qv. : 3 DF-qv. = 3 : 2 , och således 2 AB-qv. = 9 DF-qv. eller DF-qv. lika med en niondedel af dubb­la qvadraten uppå AB.

Men LM-qv. är 1/5 af AB-qv. eller 1/10 af dubb­la AB-qv., alltså är LM-qv. mindre än DF-qv., och således sjelfva rectan LM mindre än sjelfva rectan DF, alltså 2 LM mindre än 2 DF och den båge, som 2 LM upptager, mindre än den båge, som 2 DF upptager, men bågen MB är hälften af den båge som 2 LM upplager, och bågen FB är hälften af den bå­ge, som 2 DF upptager, alltså är bågen MB mindre än bågen FB, och således ikosaederkanten MB mindre

än kubkanten FB. Nu är FB-qv. : BE-qv. = 2 : 3, alltså FB mindre än BE, och BE-qv. är : AF-qv. = 3 : 4, alltså BE mindre än AF, således är iko­saederkanten MB mindre än kubkanten FB, oktaeder­kanten BE och tetraederkanten AF.

Jag säger nu slutligen, att ikosaederkanten MB är större än dodekaederkanten BN.

Ty, emedan dodekaederkanten BN är medelpro­portional uti den medelproportionalsanalogi, hvartill kubkanten FB kan skäras, så är BN sida till den liksidiga tiohörning, som inskrifves uti den cirkel, hvars radie är lika med FB. r

Men LB är sida till den liksidige tiohörning, som inskrifves uti den cirkel, hvars radie är lika med LM, och, då liksidiga månghörningar med samma anlal sidor äfven äro sinsemellan likvinkliga, så snart de äro uti cirklar inskrifna, och likformiga månghörnin­gar, som äro uti cirklar inskrifna, till hvarandra förhål­la sig såsom qvadraterne på cirklarnes diametrar s och jemväl förhålla sig till hvarandra såsom qvadra­terne på sina homologa sidor, g så måste FB-qv. : LM-qv. = BN-qv. : LB-qv. alltså FB : LM = BN : LB, q således FB : BN = LM : LB = AM : MB, p men FB är mindre än BE eller AE, således ännu mindre än AM, alllså är dodekaederkanten BN mindre än ikosaederkanten MB.

Således äro kanterne uppritade af tetraedern, oktaedern, kuben, ikosaedern och dodekaedern, då dessa fem solida äro uti en och samma sfer inskrifna, och derjemte är förhållandet mellan dessa kan­ter visadt. H. S. G.



Objects are not supported by your browser!
Objects are not supported by your browser!
Objects are not supported by your browser!
Objects are not supported by your browser!