Rinderproblem des Archimedes

Zur Geschichte und Litteratur

Aus den Schätzen der herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel. Zweyter Beytrag. 1773

XIII.

Zur Griechischen Anthologie.^A A) Lessings Text ist geliefert - bis auf einige Kleinigkeiten d.h. einige Schreibfehler - mit Marginalnoten und sowohl Heibergs als auch unsere Übersetzung.

Das merkwürdigste, was der (S. 137.) angezeigte Griechische Codex, in welchem sich Auszüge aus der Anthologie des Planudes^B B) Maximus Planudes, 1260-1330, byzantinischer Grammatiker und Theologe. befinden, unter diesen Auszügen hat, sind nicht bloß einige bessere Lesarten, mit welchen ich meine Leser nicht aufhalten mag, sondern verschiedene ganze, bisher noch nie gedruckte Stücke, die ich hier, ohne weitere Vorrede, daraus mittheilen will.

Das wichtigste und größte derselben ist ein arithme­tisches Problem, dergleichen einige, in dem 46^sten Ab­schnitte des ersten Buchs der Anthologie, vorkommen. Mehrere von dieser Art hat Bachet^C C) Claude Gaspard Bachet de Méziriac, 1581-1638, französischer Mathematiker. über den Dio­phantus bekannt gemacht^[1]. Bachet erhielt sie vom Salmasius^D D) Claudius Salmasius, 1588-1653, französischer Altphilologe und Universal­gelehrter., und dieser hatte sie aus einem Manuscripte der Heidelbergischen Bibliothek gezogen. Es sind ihrer zusammen beym Bachet XLV. Wenn er es aber von allen fünf und vierzigen verstanden wissen will, daß er sie daselbst zuerst herausgebe, so ist das so richtig nicht; in­dem die leztern fünfe längst gedruckt waren. Das XLI, XLII, XLII und XLIV^ste nehmlich sind eben die, welche an dem angezogenen Orte in der Anthologie stehen; und das XLV^ste hatte Aldus Manutius^E E) Aldus Pius Manutius, 1450-1515, ein venezianischer Buchdrucker. bereits in seinem Anhange der Anthologie mitgetheilet. Nach dem Bachet, und aus dem Bachet, hat Joh. Geo. Heilbronner^F F) Johann Christoph Heilbronner, 1706-1745, Mathematik­historiker und Theologe. alle fünf und vierzig wieder abdrucken lassen, und sie seiner Historiæ Matheseos universæ beygefügt^[2]. Daß sie noch sonst wo erschienen wären, oder sich noch ein Gelehrter mit ihnen abgegeben hätte, ist mir nicht bekannt. Aber Heilbronner hätte ohne Zweifel nicht übel gethan, wenn er auch das sechs und vierzigste Epigramm dieser Art mitgenommen hätte; nehmlich das dem Diophantus^G G) Diofantos, um 250, griechischer Mathematiker. selbst, welches dem Bachet eben Gelegenheit gab, die übri­gen daselbst einzuschalten. Denn so würden wir bey ihm die Arithmetische Muße der Griechen ganz beysammen ha­ben, die ich nun hier mit dem sieben und vierzigsten Stücke vermehre. Ich glaube nicht, daß mir schon je­mand damit zuvor gekommen. Wenigstens habe ich es an keiner Mühe fehlen lassen, mich überall auf das ge­naueste darnach zu erkundigen; so, daß wenn es dennoch geschehen wäre, es nur an einem Orte könnte geschehen seyn, wo es so gut als nich geschehen wäre. Und auch in diesem Falle, würde etwas aus einer andern Handschrift wiederholt zu werden verdienen, was keinen geringern Namen, als den Namen des Archimedes^H H) Archimedes, 287-212, griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Einer der bedeutendsten Mathematiker der Antike., an der Stir­ne führet, und gleichwohl sich so unbekannt erhalten hätte.

Denn, wie gesagt, das Problem soll, wenn es nicht von dem Archimedes selbst abgefaßt worde, doch von ihm führ werth erkannt seyn, daß er es an den Erato­sthenes^I I) Eratosthenes, 276-194 v.Chr., Mathematiker, Geograph, Astronom, Historiker, Philologe, Philosoph und Dichter. geschicket hätte, um es den Meßkünstlern zu Alexandria zur Auflösung vorzulegen. Dieses besagt die Aufschrift; und nun urtheile man von dem Problem selbst.

I.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ,

ὃπερ ἈΡΧΙΜΗΔΗΣ ἐν ἐπιγράμμασιν εὑρὼν
τοῖς ἐν Ἀλεξανδρείᾳ περὶ ταῦτα πραγματευομένοις ζητεῖν ἀπέστειλεν,
ἐν τῇ πρὸς ἘΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ τὸν ΚΥΡΗΝΑΙΟΝ
ἐπιστολῇ.^J J) Die siebte Zeile widerlegt die Lösung unten für die gelbe Heerde, vgl. Peter Schreiber A Note on the Cattle Problem of Archimedes, Historia Mathematica 20 (1993), 304-6. Oder doch nicht, vgl. William C. Waterhouse On the Cattle Problem of Archimedes, Historia Mathematica 22 (1995), 186-7.

Πληθὺν ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον,
 Φροντίδ᾽ ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης,
Πόσση ἄρ᾽ ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτ᾽ ἐβόσκετο νήσου
 Θρινακίης, τετραχῇ στίφεα δασσαμένη
5.Χροιὴν ἀλλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος,
 Κυανέῳ δ᾽ ἕτερον χρώματι λαμπόμενον,
Ἂλλογε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον. Ἐν δὲ ἑκάστῳ
 Στίφει ἔσαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι,
Συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες. Ἀργότριχας μὲν
 10.Κυανέων ταύρων ἥμισει ἠδὲ τρίτῳ,
Καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴσους, ὦ ξεῖνε, νόησον.
 Αὐτὰρ κυανέους τῷ τετράτῳ τε μέρεϊ
Μικτοχρόων, καὶ πέμπτῳ, ἔτι ξανθοῖσι τὲ πᾶσι.
 Τοὺς δ᾽ ὑπολειπομένους ποικιλόχροας ἄθρει
15.Ἀργεννῶν ταύρων ἓκτῳ μέρει, ἑβδομάτῳ τὲ,
 Καὶ ξανθοῖς αὐτοὺς πᾶσιν ἰσαζομένους.
Θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδ᾽ ἒπλετο· λευκότριχες μὲν
 Ἦσαν συμπάσης κυανέης ἀγέλης
Τῷ τριτάτῳ τε μέρει καὶ τετράτῳ ἀτρεκὲς ἶσαι.
 20.Αὐτὰρ κυάνεαι τῷ τετράτῳ τὲ πάλιν
Μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ ὁμοῦ μέρει ἰσάζοντο,
 Σὺν ταύροις πάσης εἰς νομὸν ἐρχομένης.
Ξανθοτρίχων ἀγέλης πέμπτῳ μέρει ἠδὲ καὶ ἓκτῳ
 Ποικίλαι ἰσάριθμον πλῆθος ἒχον. Τετραχῇ
25.Ξανθαὶ δ᾽ ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει ἶσαι
 Ἀργεννῆς ἀγέλης ἑβδομάτῳ τὲ μέρει.
Ξεῖνε, σὺ δ᾽ ἠελίοιο βόες πόσαι ἀτρεκὲς εἰπὼν·
 Χωρὶς μὲν ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν,
Χωρὶς δ᾽ αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ χροιὰν ἓκασται.
 30.Οὐκ ἄιδρίς κε λέγοι᾽, οὐδ᾽ ἀριθμῶν ἀδαής,
Οὐ μήν πωγε σοφοῖς ἐν αρίθμιος· ἀλλ᾽ ἴθι φράζευ
 Καὶ τάδε πάντα βοῶν ἠελίοιο πάθη.
Ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο πληθὺν
 Κυανέοις, ἵσταντ᾽ ἔμπεδον ἰσόμετροι
35.Εἰς βάθος εἰς εὖρός τὲ· τὰ δ᾽ αὖ περιμήκεα πάντῃ
 Πίμπλαντο πλίνθου Θρινακίης πεδία.
Ξανθοὶ δ᾽ αὖ τ᾽ εἰς ἓν καὶ ποικίλοι ἀθροισθέντες
 Ἵσταντ᾽ ἀμβολάδην ἐξ ἑνὸς ἀρχόμενοι
Σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον· οὔτε προσόντων
 40.Ἀλλοχρόων ταύρων, οὔτ᾽ ἐπιλειπομένων.
Ταύτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας,
 Καὶ πληθέων ἀποδοὺς, ὦ ξένε, πὰντα μέτρα,
Ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος· ἴσθι τε πάντως
 Κεκριμένος ταύτῃ ὄμπνιος ἐν σοφἰῃ.^K K) Hier gibt es Heibergs lateinische Übersetzung und unsere schwedische Übersetzung.

Problema,

quod Archimedes invenit et in epigrammate ad eos, qui Alexandriae eiusmodi rebus studebant, misit in epistula ad Eratosthenem Cyrenensem.

Multitudinem bovum Solis, hospes, computato dili­gentiam adhibens, si sapientiae particep es, quanta quondam in campis Thrinaciae Siculae insulae pasce­retur in quattuor greges divisa colore diversos, unum lactis albi colore, alterum caeruelo nitentem, tertium flavum, quartum varium. in singulis autem gregibus tauri erant numero praevalidi, hanc rationem servan­tes: finge, hospes, albos numero aequales dimidiae et tertiae partibus taurorum caeruleorum et simul omni­bus flavis, caeruleos autem quartae et quintae parti­bus variorum et praeterea flavis omnibus. reliquos autem varios vide sextae et septimae partibus albo­rum et rursus omnibus flavis aequales. in vaccis au­tem hae erant rationes: albae tertiae et quartae par­tibus totius gregis caerulei aequales erant, caeruleae autem quartae et quintae simul partibus variorum si­mul cum tauris aequales erant, variae numerum habe­bant aequalem quintae et sextae partibus totius fla­vorum gregis pascentis; flavae autem aequales sextae et septimae partibus gregis albi numerabantur. tu vero, hospes, diligenter indicato numero bovum Solis, quot tauri robusti quotque vaccae essent singulis co­loribus, non imperitus rudisque numerorum voceris, neque tamen inter sapientes numereris. at dic age has quoque omnes bovum Solis rationes: sicubi tauri albi suam multitudinem cum caeruleis coniungebant, stabant firmiter aequali in altitudinem et latitudinem mansura, et longit latique campi Thrinaciae undique solido quadrangulo complebantur. rursus autem flavi et varii coniuncti ita stabant, ut numerus sensim ex uno adcresceret, figuram trilateram efficientes tauris ceterorum colorum neque praesentibus neque deside­ratis. haec si simul inveneris et mente complexus eris, hospes, omnes multitudinum mensuras indicans, vic­toria gloriatus abito et putato, te ita demum sapien­tia praestantem esse iudicatum.

Archimedis Opera omnia cum commentariis Eutocii, Vol. II, ed. Heiberg, Teubner, Lipsiae, 1910-1915. Sn. 451,453.

Ett problem,

vilket Archimedes konstruerat i epigram och skickat i ett brev till Eratosthenes från Kyrene till dem i Alexandria, som sysslade med att undersöka sådana,

Beräkna du, främling, om du besitter vishet, stödd på eftertanke Helios' oxars antal, hur många som betade en gång där på Siciliens slätter, den trehörnade ön, i fyra delar indelade hjordar med olika hud: den mjölkvita, nästa med skinande blåsvart hud, ytterligare en rödbrokig och så den fläckiga. I var hjord fanns tjurar i stor mängd indelade i följande antal: de silverhåriga är lika med de blåsvarta tjurars hälft och tredjedel samt de rödbrokiga därtill. Vet detta främling! Dessutom är de blåsvarta lika med en fjärde och en femte del av de blandfärgade samt dessutom alla rödbrokiga. Överväg så de resterande fläckiga, som är lika med de vita tjurarnas sjätte och sjunde del samt återigen alla rödbrokiga. För korna blev de följande: De vithåriga var med hela svarta hjordens tredje och fjärdedel exakt lika. Men de svarta åter var lika med fjärdedelen tillsammans med en femtedel av de blandfärgade - inklusive tjurarna. När hela den rödbrokiga hjorden betade i hagen har den fläckiga fjärdedelen samma antal som en femte och en sjätte del. De rödbrokiga räknas lika med halva tredjedelen och en sjundedel av de vitas hjord. Främling, då du all Helios boskap exakt nämnt, både de feta tjurarnas antal för sig och dessutom hur många korna är för sig, efter var färg, skulle du inte kallas oskicklig och inte okunnig i räkning, men ändå inte räknad till de visa. Utan fortsätt och visa också alla dessa egenskaper för Helios' boskap: De ljushåriga tjurarna med de svarta, sedan antalet lagts samman, står de stadiga - lika många i djup och i bredd och fyllde så Thrinakias ängar vidsträckta i en kvadrat åt alla håll. Men då de rödbrokiga och de fläckiga samlats stående som en - stigande från ett påbörjande en trekantig figur - fanns varken tjurar av annan färg eller så saknades några. Då du räknat ut och samlat detta i hjärtat och angivit antalens alla mått, främling, gå du segrande i triumf och känn dig åtminstone på detta område utvald med riklig vishet.

Ich liefere diesen Text volkommen, wie ich ihn in dem Manuscripte finde: bis auf einige Kleinigkeiten. Ich habe nehmlich die Interpunction mehr berichtiget, und einige Schreibfehler gebessert: z.E. Zeile 12, 19 und 20, wo jedesmal anstatt τετράτῳ, welches die Poeten brauchen, das gemeine τετάρτῳ stehet, welches dem Werse zuwider ist. Auch hat es die nehmliche prosodische Ursache, war­um ich Z. 14 für ποικιλόχρωτας gesetzt habe ποικιλόχρωας. Die einzige eigentliche Veränderung, die ich mir erlaubt habe, ist mit Zeile 22 geschehen, welche in dem Manu­script heißt:

Allein es ist unwidersprechlich, daß für πάσαις ἐρχομέναις der Genitivus des Singularis stehen, und sich auf das folgende ἀγέλης beziehen muß.

Eine völlige Uebersetzung beyzufügen, würde eine sehr undankbare Arbeit seyn. Es ist genug, wenn ich für diejenigen meiner Leser, denen entweder zwar die Sprache aber nicht das Arithmetische, oder denen zwar das Arithmetische aber nicht die Sprache geläufig seyn möchte, nur mit wenigen sage, worauf es ankömmt. Die­jenigen Leser aber, die beides vollkommen verstehen, a­ber auch nur von beiden gerade so viel als ich, (welches wahrlich nicht gar viel ist) mögen dieses wenige zu überschlagen belieben. Ein Autor, der nur einzig für ihres gleichen schreiben wollte, das ist, nur für die gelehr­tern und gelehrtesten Leser, dürfe ohnstreitig ein sehr gu­tes, gründliches Buch machen: ob aber auch en sehr brauchbares, daran zweifle ich.

Die Aufgabe wäre also diese; und betrift sie über­haupt jene in der Mythologie bekannte armenta Solis, die in den Fluren Siciliens weideten. Deiser heiligen Heerden waren, nach ihren Farben, viere: eine wisse, eine blaue, eine gelbe und eine scheckigte; Ochse und Kü­he untereinander. Die Ochsen standen unter sich in die­sem Verhältnisse: daß die Anzahl der weissen gleich war der Hälfte und einem Drittheil der blauen, nebst allen gel­ben zusammen; die bauen, gleich einem Viertheil und einem Fünftheil der scheckigten, nebst allen gelben zusam­men; und die schecktigten, gleich einem Sechstheil und einem Siebentheil der weissen, nebst allen gelben zusam­men. Die Anzahl der Kühe hingegen verhielt sich so: daß die weissen gleich waren, einem Drittheil und ei­nem Viertheil der ganzen blauen Heerden (Ochsen und Kühe zusammen); die blauen gleich, einem Viertheil und einem Fünftheil der ganzen scheckigten Heerde; die scheckigten gleich, einem Fünftheil und einem Sechs­theil der ganzen gelben Heerde; und die gelben gleich, einem Sechstheil und ein Siebentheil der ganzen weissen Heerde. Hierzu kam noch, daß die weissen Ochsen, mit den blauen Ochsen zusammen, ein Viereck machen konn­ten; das ist, daß die Summe beider eine Quadratzahl war; so wie die scheckigten Ochsen, mit den gelben Ochsen zusammen, ein Dreieck bilden konnten, und ihre Sum­me sonach eine Triagonalzahl seyn mußte. Und nun fragt sich: wie viel waren also der Ochsen, von jeder Farbe ins­besondere? Und wie viel waren der Kühe, von jeder Far­be insbesondere? um zu wissen, wie stark jede besondere Heerde, und alle vier Heerden zusammen waren.

Daß in den Datis nichts versehen ist, und daß das Problem nicht anders verstanden werden kann noch soll, will ich mit dem alten Scholien belegen, welches sich in unserer Handschrift gleich hinter dem Epigramm befindet, und folgendes ist:^L L) Als die meisten Browser MathML 3 nicht implementiert haben, sind die Zeilenumbrüchen und die Textausrichtungen in den Formeln nicht so schön dargestellt, wie sie sein sollte.

Dieses Scholion giebt nicht nur, wie gesagt, die nehmlichen Verhältnisse an, sondern fügt die Zahlen selbst bey, die daraus gefunden werden sollen. Die Ver­hältnisse nehmlich sind, nach der izt gewöhnlichen Be­zeichnung, (wenn wir die weissen Ochsen W, die blauen X, die scheckigten Y, und die gelben Z, so wie die ihnen ähnlichen Kühe, mit den ähnlichen kleineren Buchstaben, w, x, y, z, nennen) diese:

$W=\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+Z=\frac{5}{6}X+Z$
$X=\frac{1}{4}Y+\frac{1}{5}Y+Z=\frac{9}{20}Y+Z$
$Y=\frac{1}{6}W+\frac{1}{7}W+Z=\frac{13}{42}W+Z$
$w=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}X+x=\frac{7}{12}X+x$
$x=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}Y+y=\frac{9}{20}Y+y$
$y=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}Z+z=\frac{11}{30}Z+z$
$z=\frac{1}{6}+\frac{1}{7}W+w=\frac{13}{42}W+w$
$W+X=\square$
$Y+Z=△$

Wie nun hiemit der Scholiast zu Werke gegangen, um das Gesuchte zu finden, verschweigt er gänzlich. Genug, er ttheilt uns das Gefundene mit, und bestimmt

$\left.\genfrac{}{}{0ex}{}{W=829318560}{w=576508800}\right\}W+w=1405827360$
$\left.\genfrac{}{}{0ex}{}{X=596841120}{x=391459680}\right\}X+x=988300800$
$\left.\genfrac{}{}{0ex}{}{Y=588644800}{y=281265600}\right\}Y+y=869910400$^[3]
$\left.\genfrac{}{}{0ex}{}{Z=331950960}{z=435137040}\right\}Z+z=767088000$

Folglich, die Summe aller Ochsen und Kühe zusammen $1405827560$. Wahrlich, eine ziemliche Heerde für Sici­lien. Zwar die Sonne, der sie gehörte, wird Rath ge­wußt haben

Ich wundere mich weniger über ihre Menge, als darüber, daß der Scholiast, oder wer es sonst gewesen ist; bey den wenigen und beschwerlichen Hülfsmitteln, wel­che die Alten zu dergleichen Berechnungen hatten, die ver­langten Zahlen wirklich finden können. Denn gewiß ist es, daß in dem ganzen Diophantus keine Aufgabe vor­kömmt, die dieser an Schwierigkeit gleich sey. Die in den übrigen Epigrammen enthaltenen aber, sind wahre Kinderspiele dagegen.

Doch ehe wir uns noch mehr über die Auflösung wundern, die noch izt auch wohl einem geübten Analysten zu schaffen mache soll; ist es denn auch die wahre Auf­lösung? Thun die Zahlen des Scholiasten in der That allen und jeden Forderungen des Problems ein Genüge? Die Probe ist leicht zu machen; und man muß gestehen, daß sie von vorne herein sehr wohl von Statten gehet. So ist z.E. $829318560$, welche W seyn soll, wirk­lich

$\frac{1}{2}X=298420560$
$+\frac{1}{3}X=198947040$
$+Z=331950660$
$\overline{829318590.}$

So ist gleichermassen $576508800$, welches w seyn soll, wirklich

$\frac{1}{3}X+x=329433600$
$+\frac{1}{4}X+x=247075200$
$\overline{576508800.}$

Und so passen weiter die angegebenen Werth für X, Y, Z, und x, y, z vollkommen zu den Verhältnissen, welche diese haben sollen. Aber nun ist noch eines zurück, und ohne Zweifel das Wichtigste; weil es wahrscheinlicher Weise das ist, was die Aufgabe zu ihrer völligen Be­stimmung bringet. Nehmlich $W+X$ soll eine Quadrat­zahl, und $Y+Z$ eine Trigonalzahl seyn; dem zu Folge sich nicht nur aus $829318560+596841120=1426159680$, sondern auch aus $588644800+331950960=920595760$, multiplicirt durch 8 und mit 1 vermehrt, daß ist, aus $7364766081$, die Qua­dratwurzel müßte ziehen lassen. Doch das eine läßt sich eben so wenig thun, als das andere: und kurz, die ganze Auflösung des Scholiasten ist also falsch. Umsonst sagt er, mit ausdrücklichen Worten: ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευ­κοτρίχων ταύρων καὶ ἡ τῶν κυανοχρόων ταύρων συντεθεῖα, ποιεῖ τετράγωνον ἀριθμὸν· ἡ δ' ἀγέλη τῶν ξανθοτρίχων ταύ­ρων μετὰ τῆς ἀγέλης τῶν ποικιλοχρόων συντεθεῖσα, ποιεῖ τρί­γωνον. Nach seinem Zahlen ist dieses gewiß nicht: und er muß sie entweder gar nicht probiert haben, in der Mey­nung, daß, da sie allen den andern Erfordernissen ent­sprächen, sie auch nothwendig diesem Genüge thun müß­ten; oder er hat sich auch in der Probe geirret, welches gar wohl zu denken stünde, da die Extrahirung der Wur­zel in Griechischen Zahlen kein leichtes Geschäft muß ge­wesen seyn.

Was nun der Scholiast so unvollkommen geleistet, (unvollkommen aber ist in der Mathematik so gut, als gar nicht) wünschte ich recht sehr, besser, das ist, eigent­lich leisten zu können. Doch ich habe mein Unvermögen bereits gestanden; welches mir um so weniger schwer an­kommen dürfen, als es ganz das Ansehn hat, daß kein geringerer als ein Analyst von Proffession erforderlich ist, entweder die wahre Auflösung zu finden, oder zu zeigen, daß eine solche Auflösung nicht möglich ist. Dieses lez­tere sollte ich indeß kaum vermuthen. Den Alten ist es zwar mehrmalen begegnet, und hat ihnen wohl bey dem Mangel unserer Analysis begenen müssen, daß ihre arithmetischen Aufgaben unbestimmt sind, und sich auf mehr als eine Art beantworten lassen; oder daß sie auch wohl mehr Bestimmungen haben, als zu ihrer Auflösung nöthig ist: daß sich aber auch ganz unmöglich darunter befinden sollten, davon wüßte ich doch kein Exempel.