Cirkelns mätning

Archimedes

Κύκλου μέτρησισ.

Cirkelns mätning.

αʹ.

Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει.

Ἐχέτω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τριγώνῳ τῷ Ε, ὡς ὑπόκειται· λέγω ὅτι ἴσος ἐστίν.

1.

Varje cirkel är lika med en rätvinklig triangel, där radien är lika med en av dem vid den räta och basen är lika med omkretsen.

Låt cirkeln ΑΒΓΔ vara till triangeln Ε så som föreslagits - jag hävdar, att de är lika.

Fig. 61 missing or not supported by your browser!

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω μείζων ὁ κύκλος, καὶ ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αὶ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἔστω τὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾖ ὑπερέχει ὁ κύκλος τοῦ τριγώνου· τὸ εὐθύγραμμον ἄρα ἔτι τοῦ τριγώνου ἐστὶ μεῖζον. Εἰλήφθω κέντρον τὸ Ν καὶ κάθετος ἡ ΝΞ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΝΞ τῆς τοῦ τριγώνου πλευρᾶς. Ἔστιν δὲ καὶ περίμετρος τοῦ εὐθυγράμμου τῆς λοιπῆς ἐλάττων, ἐπεὶ καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιμέτρου· ἔλαττον ἄρα τὸ εὐθύγραμμον τοῦ Ε τριγώνου· ὅπερ ἄτοπον.

Ty om det är möjligt, låt cirkeln vara större, skriv in kvadraten ΑΓ och låt ha skurit upp cirkelbågarna i hälften. Låt även segmenten så vara mindre än överskottet, som cirkeln överstiger triangeln. Den rätlinjiga figuren är alltså större än triangeln. Tag mittpunkten Ν och normalen ΝΞ; alltså är ΝΞ mindre än triangelns sida. Men även den rätlinjiga figurens omkrets är mindre än den kvarvarande sidan, eftersom den är mindre än cirkelns omkrets. Alltså är den rätlinjiga figuren mindre än triangeln Ε, vilket är absurt.

Fig. 62 missing or not supported by your browser!

Ἔστω δὲ ὁ κύκλος, εἰ δυνατόν, ἐλασσων τοῦ Ε τριγώνου, καὶ περιγεγράφθω τὸ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν σημείων· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄρα τῆς ΜΡ ἐστὶν μείζων· ἡ γὰρ ΡΜ τῇ ΡΑ ἴση ἐστὶ· καὶ τὸ ΡΟΠ τρίγωνον ἄρα τοῦ ΟΖΑΜ σχήματος μεῖζόν ἐστιν ἤ τὸ ἤμισυ. Λελείφθωσαν οἱ τῷ ΠΖΑ τομεῖA A) Heiberg anmärker τομεῖ lin. 13 Archimedes non scripsit pro τμήματι och översätter segmento. Mugler behåller τομεῖ och översätter segments. ὅμοιος ἐλάσσους τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· ἔτι ἄρα τὸ περιγεγραμμένον εὐθύγραμμον τοῦ Ε ἐστὶν ἔλασσον· ὅπερ ἄτοπον· ἔστιν γὰρ μεῖζον, ὅτι ἡ μὲν ΝΑ ἴση ἐστὶ τῇ καθέτῳ τοῦ τριγώνου, ἡ δὲ περὶμετρος μείζων ἐστὶ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου. Ἴσος ἄρα ὁ κύκλος τῷ Ε τριγώνῳ.

Låt cirkeln, om möjligt, vara mindre än triangeln Ε, omskriv en kvadrat, låt ha skurit upp cirkelbågarna i hälften och drag tangenter genom punkterna. Därför är ΟΑΡ rät. Alltså är ΟΡ större än ΜΡ, ty ΠΜ är lika med ΠΑ och triangeln ΡΟΠ är större än hälften av figuren ΟΖΑΜ. Låt de kvarlämnade, lika segmentet ΠΖΑ, vara mindre än överskottet, med vilket Ε överstiger cirkeln ΑΒΓΔ. Alltså är den omskrivna rätlinjiga figuren mindre än Ε, vilket är absurt. Ty den är större, eftersom ΝΑ är lika med triangelns kateter - omkretsen är större än basen av triangeln. Alltså är cirkeln lika med triangeln Ε.

βʹ.

ὁ κύκλος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον λόγον ἔχει, ὅν ια ¯ πρὸς ιδ ¯ .

2.

Cirkeln har till kvadraten på diametern samma förhållande, som 11 till 14.

Fig. 63 missing or not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω τετράγωνον τὸ ΓΗ, καὶ τῆς ΓΔ διπλῆ ἡ ΔΕ, ἕβδομον δὲ ἡ ΕΖ τῆς ΓΔ. Ἐπει οὖν τὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ΑΓΔ λόγον ἔχει, ὃν κα ¯ πρὸς ζ ¯ , πρὸς δὲ τὸ ΑΕΖ τὸ ΑΓΔ λόγον ἔχει, ὃν ἑπτὰ πρὸς ἕν, τὸ ΑΓΖ πρὸς τὸ ΑΓΔ ἐστίν, ὡς κβ ¯ πρὸς ζ ¯ . Ἀλλὰ τοῦ ΑΓΔ τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ΓΗ τετράγωνον, τὸ δὲ ΑΓΔΖ τρίγωνον τῷ ΑΒ κύκλῳ ἴσον ἐστίν [ἐπεὶ ἡ μὲν ΑΓ κάθετος ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ βάσις τῆς διαμέτρου τριπλασίν καὶ τῷ ζ ʹ ἔγγιστα ὑπερέχουσα δειχθήσεται]· ὁ κύκλος οὖν πρὸσ τὸ τετράγωνον λόγον ἔχει, ὅν ια ¯ πρὸς ιδ ¯ .

Låt vara en cirkel, vars diameter är ΑΒ, omskriv kvadraten ΓΗ och låt ΔΕ vara dubbla ΓΔ samt ΕΖ en sjundedel av ΓΔ. Eftersom då ΑΓΕ har förhållandet till ΑΓΔ, som 21 till 7, ΑΓΔ har till ΑΕΖ förhållandet, som sju till 1, är ΑΓΖ till ΑΓΔ, som 22 till 7. Men ΑΓΔ fyra gånger är kvadraten ΓΗ, triangeln ΑΓΔΖ är lika med cirkeln ΑΒ, eftersom höjden ΑΓ är lika med radien, basen är tre gånger diametern och överstigande med ungefär en sjundedel. Cirkeln har till kvadraten ett förhållande, som 11 till 14.

γʹ.

Παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει τῆς διαμέτρου, μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδομηκοστομόνοις.

3.

Varje cirkels omkrets är tre gånger diametern, med ett överskott mindre än diameterns sjundedel och större än tio sjutioendelar.

Fig. 64 missing or not supported by your browser!

Ἔστω κύκλου καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ Ε καὶ ἡ ΓΛΖ ἐφαπτομένη καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου ὀρθῆς· ἡ ΕΖ ἄρα πρὸος ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν τϛ ¯ πρὸς ρνγ ¯ , ἡ δὲ ΕΓ πρὸς [τὴν] ΓΖ λόγον ἔχει, ὃν σξε ¯ πρὸς ρνγ ¯ . Τετμήσθω οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ [καὶ ἐναλλὰξ καὶ συνθέντι]. Ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ· ὥστε ἡ ΓΕ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ φοα ¯ πρὸς ρνγ ¯ . Ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΓ δυνάμει λόογον ἔχει, ὃν Μ λδ ͵ θυν ¯ πρὸς Μ β ͵ γυθ ¯ · μήκει ἄρα, ὃν φϟα ¯ η ʹ πρὸς ρνγ ¯ . Πάλιν δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΕΘ· διὰ τὰ αὐτὰ ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἣ ὃν ͵ αρξβ ¯ η ʹ πρὸς ρνγ ¯ · ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἣ ὃν ͵ αροβ ¯ η ʹ πρὸς ρνγ ¯ . Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ· ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἣ ὃν ͵ βτλδ ¯ δ ʹ πρὸς ρνγ ¯ · ἡ ΕΚ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα ἣ ὃν ͵ βτλθ ¯ δ ʹ πρὸς ρνγ ¯ . Ἔτι δα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΛΕ· ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΛΓ μείζονα [μήκει] λόγον ἔχει ἤπερ τὰ ͵ δχογ ¯ 𐅵 ʹ πρὸς ρνγ ¯ . Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου οὖσα ὀρθῆς τέτμηται τετράκις δίχα, ἠ ὑπὸ ΛΕΓ ὀρθῆς ἐστι μη ʹ . Κείσθω οὖν αὐτῇ ἴση πρὸς τῷ Ε ἡ ὑπὸ ΓΕΜ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ ὀρθῆς ἐστι κδ ʹ . Καὶ ἡ ΛΜ ἄρα εὐθεῖα τοῦ περὶ τὸν κύκλον ἐστὶ πολυγώνου πλευρὰ πλευρὰς ἔχοντος ϟϛ ¯ . Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΛ ἐδείχθη μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ ͵ δχογ ¯ 𐅵 ʹ πρὸς ρνγ ¯ , ἀλλὰ τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ, τῆς δὲ ΓΛ διπλασίων ἡ ΛΜ, καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν τοῦ ϟϛ ¯ γώνου περίμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵ δχογ ¯ 𐅵 ʹ πρὸς Μ α ͵ δχπη ¯ . Καὶ ἐστιν τριπλασία, καὶ ὑπερέχουσιν ͵ χξζ ¯ 𐅵 ʹ , ἅπερ τῶν ͵ δχογ ¯ 𐅵 ʹ ἐλάττονά ἐστιν ἢ τὸ ἕβδομον· ὥστε τὸ πολύγωνον τὸ περὶ τὸν κύκλον τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλάσιον καὶ ἐλάττονι ἢ τῷ ἑβδόμῳ μέρει μεῖζον· ἡ τοῦ κύκλου ἄρα περίμετρος πολὺ μᾶλλον ἐλάσσων ἐστὶν ἣ τριπλασίων καὶ ἑβδόμῳ μέρει μείζων.

Låt cirkelns diameter vara ΑΓ, dess centrum Ε, tangenten ΓΛΖ och vinkeln ΖΕΓ en tredjedels rät. Alltså har ΕΖ till ΖΓ ett förhållande som 306 till 153, ΕΓ har till ΓΖ ett förhållande som 265 till 153. Dela så vinkeln ΖΕΓ i hälften med ΕΗ. Alltså såsom ΖΕ är till ΕΓ, är ΖΗ till ΗΓ både omvänt och genom komposition. Alltså som ΖΕ och ΕΓ tillsammans till ΖΓ är ΕΓ till ΓΗ. Så att förhållandet mellan ΓΕ och ΓΗ är större än 571 till 153. Alltså har ΕΗ och ΗΓ i kvadrat ett förhållande större än 349450 till 23409; och sålunda de två sträckorna större än 591 1 8 till 153. Ånyo är vinkeln ΗΕΓ delad i hälften vid ΕΘ. Av samma skäl har alltså ΕΓ ett förhållande till ΓΘ större än 1162 1 8 till 153. Alltså har ΘΕ till ΘΓ ett större förhållande än 1172 1 8 till 153. Låt därpå ha delat vinkeln ΘΕΓ i hälften med ΕΚ, alltså har ΕΓ ett större förhållande till ΓΚ än 2334 1 4 till 153. Alltså har ΕΚ ett större förhållande till ΓΚ än 2339 1 4 till 153. Därpå vinkeln ΚΕΓ delad i hälften vid ΛΕ, alltså har sträckorna ΕΓ och ΛΓ ett större förhållande än 4673 1 2 till 153. Eftersom alltså vinkeln ΖΕΓ, som är en tredjedels rät, delats fyra gånger i hälften, är vinkeln ΛΕΓ en fyrtioåttondels rät. Lägg så lika med den vid Ε vinkeln ΓΕΜ. Alltså är vinkeln ΛΕΜ en tjugofjärdedels rät. Och ΛΜ är sidan i en polygon som omskriver cirkeln och har 96 sidor. Eftersom sålunda ΕΓ till ΓΛ visats ha ett större förhållande än 4673 1 2 till 153, men ΕΓ är dubbla ΑΓ, ΓΛ dubblad är ΛΜ och ΑΓ har alltså ett förhållande till 96-hörningens omkrets som är större än 4673 1 2 till 14688. Och det är tre gånger, resterande 667 1 2 , vilket är mindre än en sjundedel av 4673 1 2 . Så att omkretsen av polygonen som omskriver cirkeln är tre gånger större än diametern med mindre än en sjundedel. Alltså är cirkelns omkrets säkerligen mindre än tre gånger och en sjundedel större.

Fig. 65 missing or not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τρίτου ὀρθῆς· ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν ͵ ατνα ¯ πρὸς ψπ ¯ [ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ὃν ͵ αφξ ¯ πρὸς ψπ ¯ ]. Δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΗ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ, ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστὶν ἴση. Καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ὀρθή· καὶ τρίτη ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ τρίτῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἴση. Ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΗΓ τῷ ΓΗΖ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. Ἀλλ' ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, [καὶ] συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ. Διὰ τοῦτο οὖν ἡ ΑΗ πρὸς [τὴν] ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵ βϡια ¯ πρὸς ψπ ¯ , ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἐλάσσονα ἢ ὃν ͵ γιγ ¯ 𐅵 ʹ δ ʹ πρὸς ψπ ¯ . Δίχα ἡ ὑπὸ ΓΑΗ τῇ ΑΘ· ἡ ΑΘ ἄρα διὰ τὰ αὐτὰ πρὸς τὴν ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἣ ὃν ͵ εϡκδ ¯ 𐅵 ʹ δ ʹ πρὸς ψπ ¯ ἣ ὃν ͵ αωκγ ¯ πρὸς σμ ¯ · ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας δ ¯ ιγ ʹ · ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΘ ἣ ὃν ͵ αωλη ¯ θ ¯ ια ʹ πρὸς σμ ¯ . Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ΚΑ· καὶ ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΓ ἐλάσσονα [ἄρα] λόγον ἔχει ἣ ὃν ͵ αζ ¯ πρὸς ξϛ ¯ · ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ια ¯ μ ʹ . Ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς [τὴν] ΚΓ ἣ ὃν ͵ αθ ¯ ϛ ʹ πρὸς ξϛ ¯ . Ἕτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ τῇ ΛΑ· ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς [τὴν] ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἣ ὃν τὰ ͵ βιϛ ¯ ϛ ʹ πρὸς ξϛ ¯ , ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα ἣ τὰ ͵ βιζ ¯ δ ʹ πρὸς ξϛ ¯ . Ἀνάπαλιν ἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ͵ ϛτλϛ ¯ πρὸς ͵ βιζ ¯ δ ʹ , ἅπερ τῶν ͵ βιζ ¯ δ ʹ μείζονα ἐστιν ἢ τριπλασίονα καὶ δέκα οα ʹ · καὶ ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ ϟϛ ¯ γώνου τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι ¯ οα ʹ · ὥστε καὶ ὁ κύκλος ἔτι μᾶλλον τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι ¯ οα ʹ .

Ἡ ἄρα τοῦ κύκλου περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἐλασσονι μὲν ἣ ἑβδόμῳ μέρει δὲ ἣ ι ¯ οα ʹ μείζων.[1]

Låt vara en cirkeln med diameter ΑΓ och vinkeln ΒΑΓ, en tredjedels rät. Alltså har ΑΒ och ΒΓ ett förhållande mindre än 1351 till 780 ΑΓ till ΒΓ som 1560 till 780. Halvera ΒΑΓ med ΑΗ. Eftersom ΒΑΓ är lika med ΗΓΒ, men även ΗΑΓ, och ΗΓΒ är lika med ΗΑΓ. Dessutom är den gemensamma vinkeln ΑΗΓ rät. Och alltså är tredje vinkeln av ΗΖΓ lika med en tredje vinkeln av ΑΓΗ. Alltså är är ΑΗΓ likvinklig med ΓΗΖ. Alltså är, som ΑΗ till ΗΓ, ΓΗ till ΗΖ och ΑΓ till ΓΖ. Men som ΑΓ till ΓΖ är även ΓΑΒ sammanslagen till ΒΓ. Och så är alltså ΒΑΓ sammanslagen till ΒΓ som ΑΗ till ΗΓ. På grund av detta är förhållandet mellan ΑΗ och ΗΓ mindre än 2911 till 780 och förhållandet mellan ΑΓ och ΓΗ är mindre än 3013 3 4 till 780. Halvera ΓΑΗ med ΑΘ. ΑΘ är alltså på samma sätt i förhållande till ΘΓ mindre än 5924 3 4 till 780, vilket är som 1823 till 240; bådadera är varandras 4 13 . Så att ΑΓ är till ΓΘ som 1838 9 11 till 240. Halvera vidare ΘΑΓ med ΚΑ och alltså har ΑΚ till ΚΓ ett förhållande mindre än 1007 till 66; bådadera är varandras 11 40 . Alltså är ΑΓ till ΚΓ som 1009 1 6 till 66. Halvera vidare ΚΑΓ med ΛΑ och alltså har ΑΛ till ΛΓ ett förhållande mindre än 2016 1 6 till 66, och ΑΓ har till ΛΓ ett förhållande mindre än 2017 1 4 till 66. Omvänt har alltså polygonens omkrets ett förhållande till diametern större än 6336 till 2017 1 4 , vilka 2017 1 4 -delar är större än tre gånger och tio 71 ; Och alltså är den i cirkeln inskrivna 96-hörningens omkrets större än diametern tre och 10 71 gånger. Så att också cirkeln säkerligen är tre och 10 71 gånger större.

Alltså är cirkelns omkrets tre och mindre än en sjundedel men mer än 10 71 gånger diametern.