Första Boken af Diophanti Arithmetica. Algebraisk Öfversättning.
Akademisk Afhandling, som med Vidtberömda Filosofiska Fakultetens i Lund tillstånd, för Filosofiska Gradens erhållande, kommer att offentligen försvaras af PETER GLIMSTEDT, Filosofie Kandidat af Skånska Nationen, å Auditoriet N:o 1, Onsdagen den 28 November 1855, kl. 10 f.m.
Lund, tryckt uti Berlingska Boktryckeriet, 1855.
Professorn i Mathematik vid K:gl. Universitetet i Lund, Ledamoten av K:gl. Vetenskaps-Akademien, Riddaren af K:gl. Nordstjerne-Orden m.m. Höglärde och Vidtberömde Herr Mag:r CARL JOHAN D:son HILL
vördnadsfullt tillegnad.
Diophanti arbete Arithmetica kan onekligen räknas såsom ett af den Grekiska fornålderns dyrbaraste litterära produkter, icke blott för dess egenskap att vara en minnesvård öfver vetenskapen dåvarande tillstånd, utan äfven för dess eget vetenskapliga värde.
Om Diophanti lefnad känner man med visshet intet annat, än att Alexandria varit hans hemort, samt att, enligt det 19:de af de vid slutet af 5:te boken införda versifierade problemer, hans lefnadsålder varit 84 år. Det heter nemligen der: att han tillbragte 1/5:del af sin lefnad som gosse, 1/12:del som yngling; att han efter ännu 1/7:dels förlopp gifte sig; att 5 år härefter föddes honom en son, som uppnådde faderns halfva ålder, och att han öfverlefde denne i 4 år. Vid hvad tid han lefvat kan icke med full noggranhet bestämmas; att det dock varit före 5:te seklet, är säkert, emedan, enligt Suidas, den lärda Hypatia († 415) commenterat hans arbete; och att det varit efter andra seklets början, kan man sluta deraf, att i boken om Polygontal prop. VIII omnämnes en av Hypsicles (förmodligen menas författaren af den såsom 14:de och 15:de bok till Euclidis Elementer bifogade afhandling om reguliera kroppar, då utom denne ingen mathematicus af detta namn är bekant) framställd definition på dylika tal, och denne Hypsicles, enligt Montucla, var samtidig med Kejsar Antonius (138—161). Enligt Abulphragus var Diophantus samtidig med Kejsar Julianus
II
(† 363) och denna uppgift öfverensstämmer med en af Prof. Hill i detta ämne anställd undersökning.
Uti inledningen till sin Arithmetica säger Diophantus densamma bestå af 13 böcker; deraf återstå nu mera endast 6, hvartill såsom en sjunde kan räknas afhandlingen om Polygontal, ehuru denna i anseende till framställningssättet märkbart skiljer sig från de förra.
Huruvida Diophantus varit algebrans uppfinnare, är
svårt att med visshet afgöra; att han i inledningen, efter
att hafva uttalat sin önskan att framställa en vetenskaplig
method för arithmetiska problemers lösning, anför såsom
en orsak till svårigheten häraf orden: ἐπειδή μήπω
γνώριμόν ἐστι
synes visserligen tala härför; men sannolikare
är det, att dessa ord ej böra så förstås, som framställde
han en ny, utan snarare en föga käns theori;
emedan i annat fall, hans i inledningen gjorda framställning
af talens allmänna egenskaper och redogörelse för
beteckningssättet af deras relationer och för de operationer,
som med dem kunna företagas, skulle vara alltför
kort och ofullständig.
Diophanti Arithmetica.
Första Boken.
1.
Att dela ett gifvet tal i tvenne, hvars skilnad är gifven.
Sätt det mindre , det större är då , man har då och således
det mindre
det större
Ex. , , de sökta talen: och .
Anm. I stället för det af Diophantus för det obekanta talet använda tecknet brukas här den vanliga beteckningen .
2.
Att dela ett gifvet tal i ett gifvet förhållande .
Sätt det ena av de sökta talen , ur analogien fås det andra , då är , och deraf fås . Ex. , , de sökta talen: , .
3.
Att dela ett gifvet tal i tvenne af gifvet förhållande och gifven skilnad.
Anm. Då man vet att Diophantus alltid i fråga om ett bestämdt förhållande mellan 2 tal, sätter det ena såsom en jemn multipel af det andra (t. ex. i förhållandet , sättes och således ) finner man
2
problemets fordran vara denna: att dela ett tal i 2 sådana, att det ena med ett bestämdt tal öfverskjuter en bestämd multipel af det andra.
Sätt det mindre talet , det större är då ; man har således: , och deraf .
Ex. , , ; de sökta talen: och .
4.
Att finna 2 tal af gifvet förhålllande och gifven skilnad .
Sättes det ena talet , så är det andra , man har då , och deraf . Ex. , ; de sökta talen: och .
5.
Att dela ett gifvet tal i 2 sådana tal, att (om ej är ) af det ena talet tillsammans med af det andra bildar ett bestämt tal, som ligger mellan gränserna och .
Sätt af det ena talet , detta sjelf blir då , af det andra talet , detta är då , och man har således , och .
Ex. , , , ; , de sökta talen och .
Anm. Diophantus söker alltid att för den obekanta storheten erhålla ett positivt och rationellt värde, och de
3
inskränkningar, hvaraf hans problemer så ofta äro åtföljda gå alla ut på detta mål, så äfven här.
Antages innebär den af Diophantus för gjorda limitationen:
1) , eller , hvilket af den för funna formeln tydligen inses, ty vore , således , blefve , och vore , således , blefve negativt, hvilket är, såsom redan nämndt, alldeles emot Diophanti syfte.
2) , ty vore , således , och insättes detta i ofvannämndes formel, förvandlas den i denna: , då af det andra talet d. v. s. blefve ; vore återigen , blefve och insättes i formeln för , i stället för , blefve , , hvaraf följer att af det andra talet blefve negativt.
6.
Att dela ett gifvet tal i tvenne, så att af det ena öfverskjuter af det andra gifna talet , som dock bör vara mindre än .
Sätt af det sednare talet , detta är då , af det förra , detta är då ; alltså
4
har man , och deraf . Ex. , , , ; , de sökta talen: och .
Anm. 1. Att måste vara finner man af denna formel; ty vore , således , blefve , och vore , blefve negativt.
Anm. 2. Väsentligt för Diophanti method är att han i beräkningar, der verkligen flera obekanta ingå, endast använder ett tecken för den obekanta och i anseende till denna bestämmer de öfriga med tillhjelp af i problemet uppgifna förhållanden; att härigenom räkningen blir vidlyftigare än den är enligt nyare methoder, är temligen klart. Så t. ex. (om det ena talet sättes , det andra ) skulle ifrågavarande problem kunna efter den vanliga methoden lösas sålunda:
, , hvaraf .
7.
Att från ett tal subtrahera 2 gifvna tal , , så att resterna hafva till hvarabdra ett gifvet förhållande .
Enligt dessa vilkor är , hvaraf fås . Ex. , , ; .
8.
Att till 2 gifna tal och addera ett tal , så beskaffadt, att båda summorna hafva till hvarandra ett gifvet förhållande , hvilket måste vara mindre än de gifna talens.
Enligt dessa vilkor är , hvaraf fås . Ex. , , ; .
5
Anm. Af denna formel synes också, att , ty vore , således , och vore , således , blefve negativt.
9.
Att från 2 gifna tal och subtrahera ett tal , så beskaffadt att resterna hafva till hvarandra ett gifvet förhållande , större än de gifna talens.
Man har , och deraf .
Ex. , , ; .
Anm. Att bör vara , synes tydligen af denna formel, då i annat fall blefve antingen eller negativt.
10.
2 tal och äro gifna, till det ena adderas, från det andra subtraheras samma tal , så beskaffadt att summan har till resten ett gifvet förhållande .
Man har då , och deraf .
Ex. , , ; .
Anm. Ehuru ej Diophantus här gör någon limitation f förhållandet , synes dock af den funna formeln att måste vara , ty i annat fall blefve antingen eller negativt.
11.
Att, då 2 tal och äro gifna, addera det ena och subtrahera det andra från ett och samma tal , och de härigenom uppkomna talen böra hafva till hvarandra ett gifvet förhållande .
Man har då , och deraf .
6
Ex. , , ; .
12.
Att 2 gånger dela ett gifvet tal , hvarje gång i 2 delar, så att ena talet i förra delningen har ett till ett i den andra ett gifvet förhållande , och det återtstående i den andra delningen har till det återstående i den första ett äfvenledes gifvet förhållane .
Sätt det ena talet i andra delningen , då är ett i den första , det återstående i samma delning och det återstående i den andra .
Då är , och deraf .
Ex. , , , , 1:sta deln. , , 2:dra deln. , .
13.
Att 3 gånger dela ett gifvet tal , hvarje gång i 2 delar, så att det ena talet i första delningen har till ett i den andra ett gifvet förhållande , det återstående i denna delning har till ett i den tredje ett gifvet förhållande och det återstående här till det återstående i första delningen ett äfvenledes gifvet förhållande .
Detta problem löses, på samma sätt och efter samma grunder som det föregående.
14.
Att söka 2 sådana tal , , att deras produkt har till deras summa ett gifvet förhållande , hvilket förhållande måste vara mindre än ettdera af de sökta talen.
Man har då: , eller .
Sättes nu , så fås , och deraf .
7
Anm. 1. bör vara , ty vore , således blefve , och vore , blefve negativt.
Anm. 2. Ehuru, såsom redan är nämndt, i Diophanti räkning skenbart förekommer endast en obekant, betecknas dock här för korthets skull de hos honom ofta förekommande uttrycken första, andra etc. (obekanta) talet med , etc.
15.
Att söka 2 tal så beskaffade att, om hvardera ökas med ett bestämdt från det andra subtraherast tal, de så uppkomna summorna få till resterna bestämda förhållanden , .
De sökta talen äro och , ökadt med det från subtraherade talet , skall nfaldigt af minskadt med samma tal, och ökadt med det från subtraherade , mfaldigt af minskadt med samma tal.
Sätt ; enligt antagandet är då , alltså ; vidare är eller , och deraf .
Ex. , , , ; , , .
16.
Att finna 3 tal , , , sådana att de, hvarje två tillsammantagna bilda bestämda summor , , ; dock bör dessa bestämda tals halfva summa vara större än hvarje särskilt.
Nu är , , ; sättes
vidare , så fås
; adderas dessa eqv., så erhålles
8
, och deraf .
Anm. Att halfva summan af de gifvna talen måste vara större än hvardera af dem särskilt, är klart, ty vore t. ex. , blefve , d. v. s. , och vore , blefve negativt.
17.
Att finna 4 sådana tal , , , , att de hvarje tre tillsammantagna bilda bestämda summor , , , : dock bör af dessa bestämda tals summa vara större än hvarje särskilt.
Nu är , , ,
; sättes vidare , fås
; adderas dessa eqv., så får man
, och deraf
.
Anm. På samma sätt som i föregående finner man här att måste vara , , eller .
18.
Att finna 3 tal , , , sådana att hvarje två af dem tillsammantagna med bestämda tal , , öfverskjuta det tredje.
Enligt antagandet är då
(a)
Adderas till eqv. (1) och sättes
, så fås ,
och deraf:
9
på samma sätt fås
och
(b)
adderas dessa eqv., så får man
, och deraf:
. När nu är bekant finnas ur eqv. (b) de sökta talen.
Ex. , , , ; , , .
19.
Förenklad lösning af föregående problem.
Adderas eqv. (1) och (2) i föreg., så erhålles
, och deraf
på samma sätt fås
och
.
20.
Att finna 4 tal , , , , sådana att, hvarje tre af dem tillsammantagna, med bestämda tal , , , öfverskjuta det fjerde; dock bör hvardera af de gifna talen vara mindre än deras halfva summa.
Enligt antagandet är
(a)
Adderas till eqv. (1)
, och sättes , så får man
,
och deraf
(b),
adderas dessa
eqv., så har man
10
; hvaraf ; de sökta talen finnas ur eqv. (b).
Anm. Af sluteqvationen synes, hvarföre hvardera af de gifna talen måste vara mindre än deras halfva summa; ty om ej så vore, utan ett av dem t. ex. , såls:s , blefve enligt eqv. 1 (b) ; vore åter , synes af samma eqv. att blefve negativt.
21.
Förenklad lösning af föregående problem, analog med den i 19 förekommande lösning af 18:de problemet; hvarföre det ej är nödvändigt att här framställa densamma.
22.
Att dela ett gifvet tal i 3 delar , , , så beskaffade, att hvardera af de yttersta, tillsammantagen med den mellersta, har till den återstående ett gifvet förhållande , .
Nu är . Insättes i 2) det ur eqv. 1) erhållna värde på , så får man , och deraf ; på samma sätt fås ; kan sedan finnas ur eqv. 1).
Ex. , , ; , , .
23.
Att finna 3 tal , , , () af hvilka 1) det största öfverskjuter det mellersta med en
11
bestämd del af det minsta, 2) det mellersta öfverskjuter det minsta med en bestämd del af det största, 3) det minsta åter en bestämd del af det mellersta med ett gifvet tal .
Dock bör den del af det större talet, hvarmed det
mellersta öfverskjuter det minsta, vara sådan, att en större
mängd tal (nemligen afficierade af , då Diophantus med
πλῆθος ἀριθμῶν
betecknar koefficienten till den obekanta
storheten) innehålles i produkten af dess nämnare
och skilnaden mellan det mellersta och minsta talet,
än i det mellersta.
Sättes , således , så är enligt 3) , och ; men enligt 2) är , alltså: .
Enligt 1) är också ; af dessa tvenne olika expressioner för få vi alltså eqv. , och deraf .
Ex. , ; ; , , .
Anm. 1. Det problemet vidfogade villkor säger, att i måste innehållas än i , att ingår oftare i än i , d. v. s. att måste vara , , eller ; hvilket grundar sig därpå, att, då för sökes ett positivt värde, måste nämnaren i den för funna formeln vara
12
positiv och således , eller , och derföre med ännu mera skäl .
Anm. 2. Med tillhjelp af nu funna värdet på ,
får man för de sökta talen följande uttryck:
och då ingår såsom gemensam faktor i alla dessa eqv.,
synes, att man, när 3 tal, som uppfylla problemets fordringar,
äro funna, kan genom att multiplicera med hvad
tal som helst, finna nya tal af samma egenskaper.
24.
Detta problem är endast en anna upplösning af det föregående och det här vidfogade vilkor är, såsom här kommer att visas, ehuru framställdt i annan form, identiskt med det der förekommande.
Om samma beteckninar som i föregående problem här bibehållas, så är , , och ; vidare är ; men är också ; vi få sålunda eqv. , och deraf .
Anm. Det här bifogade vilkor lyder sålunda:
Den del af det större talet, hvarmed det mellersta
13
öfverskjuter det minsta, bör vara sådan, att i summan af denna och det minsta talet den obekanta storheten ingår färre gånger än i det mellersta talet; d. v. s. att innehålles färre gånger i än i ; färre gånger i än i , och att således , eller ; hvaraf , och således med ännu mera skäl ; hvilken olikhet är identisk med den i förra problemet framställda.
25.
Att finna 3 tal , , , sådana att, sedan hvardera aflemnat en bestämd del af sitt värde åt det nästföljande, alla blifva lika.
Antag att bör aflemna , och af sitt värde.
Sättes så är , bör sättas lika med ett med divisibelt tal; alltså der är en arbiträr koefficient; aflemnar nu af sitt värde åt , men ökas deremot sjelf med , så förändras det till .
När aflemnat af sitt värde åt , återstår , hvilken res, ökad med bör enligt thesen vara , man får således eqv. , och deraf . Subtraheras från detta tal
14
av dess värde, så återstår
, hvilken
rest, ökad med , skall vara ; vi få således eqv.
,
och deraf .
Ex. , , , , ; , , .
Anm. Då arbiträra koefficienten ingår som gemensam faktor i täljarens begge termer, kan man, genom att multiplicera med hvad tal som helst, erhålla en oändlig mängd tal, som uppfylla problemets fordringar.
26.
Att söka 4 tal af samma egenskap som i förra probleme, verkställes på samma sätt.
27.
Att finna 3 tal , , , sådana att, om hvardera ökas med en bestämd del af de andras summa, alla blifva lika.
Låt vara att bör ökas med , med och med .
På det att må vara jemnnt divisibel med , sätt , der är ett arbiträrt tal; ökadt med af de andras summa är då .
ökadt med af de andras summa är ; enligt problemets fordran är således
15
; denna eqv. kan sättas under formen
; subtraheras härifrån
eqv. , så fås till rest
, och deraf
.
Vidare är också , eller ; subtraheras härifrån eqv. ; så fås till rest , och deraf .
Insättas de för och nu funna värdena i eqv.
, så får man
, och deraf finnes
.
Anm. Då gemensamma faktorn är arbiträr, kan man, i en händelse att blefve ett bråk, göra det till ett helt tal, genom att taga bråkets nämnare.
Ex. , , , ; , , , eller om man sätter ; , , .
28.
Att finna 4 tal af samma beskaffenhet som i föregående problem, verkställes på samma sätt.
29.
Att, då 2 tal och äro gifna, finna ett tredje , som multiplicerat med det ena af talen , bildar en
16
qvadrat, hvars rot är = produkten af det obekanta talet och det andra af de bekanta.
Nu är: , och deraf .
30.
Att finna 2 tal, hvars summa och produkt äro gifna.
Dock måste de gifna talen vara sådana, att qvadraten på halfva summan med ett qvadrattal öfverskjuter produkten; och detta är verkställbart.
Sätt skilnaden mellan de sökta talen , då är
det större ,
det mindre ,
och deras produkt
hvaraf .
Ex. , ; , det större talet , det mindre .
Anm. 1. Af denna formel finner man att måste vara , på det att må blifva reellt, och att vidare måste vara en kvadrat, på det att må erhålla ett rationellt värde.
Om möjligheten häraf, är det som Diophantus säger
ἐστὶ δε τοῦτο πλασματικόν
; hvilket här är öfversatt
med detta är verkställbart
d. v. s. hvad som här fordras
för möjligheten af problemets lösning är ej en hos
alla tal varande egenskap, utan måste alltid så bestämma,
bilda (πλάσσειν) talen och att de uppfylla
problemets fordringar. Detta kan ske på följande sätt:
Om ett tal delas i tvenne, och , så är *) , eller om sättes , ; denna eqv. löst i anseende till
*) Euclides 2: 5.
17
, ger ; nu kan vara en storhet, hvilken som helst, måste då tagas så, att det blir en faktor i , hvarefter bestämmes med tillhjelp af den nu funna eqvationen.
Ex. , ; då är , och
Anm. 2. Härmed har Diophantus i sjelfva verket löst qvadratiska eqvationen, ehuru han, i stället att direkt söka de obekanta talen, först söker deras skilnad, och sedan, när denna är obekant, bestämmer dem, och sålunda kringgår den blandade och skenbart löser endast en ren qvadratisk eqvation. Detta synes tydligast genom jemförelse med vanliga methoden att lösa ifrågavarande problem:
Sättes ena talet , det andra , så kunna
följande eqv. upställas:
, hvaraf genom elimination fås
, hvilken eqv. ger
; ur eqv. (2) fås sedan
.
Enligt Diophanti method är, om det större talet sättes , det mindre , , ; insätttes i dessa eqv. det förut funna värdet på , så erhållles och , hvilka eqv. äro alldeles desamma som de på direkt väg funna.
Detsamma gäller om följande 31:ste och 33:dje problemerna.
31.
Att, då såväl summan (a) af tvenne tal, som
18
summan (A) af deras qvadrater äro gifna, finna sjelfva talen. Dock bör qvadraternas dubbla summa med ett qvadrattal öfverskjuta qvadraten på de sökta talens summa; och detta är verkställbart.
Sättes de sökta talens skilnad , så är det större , dess qvadrat , det mindre , dess qvadrat , och qvadraternas summa , och deraf .
Anm. Att så bestämma och , att blir , kan ske på följande sätt:
Om talet delas i tvenne, och , så är , , , : sättes nu , så är .
Tages nu hvad tal som helst, t. ex. , så har man , och .
Man kan således taga hvad tal som helst, skilnaden mellan två tal, hvars summa är ; då bestämmer ofvanstående formel det värde på , som uppfyller problemets fordringar.
32.
Att, då såväl summan () af tvenne tal, som deras qvadraters skilnad () äro bekanta, finna sjelfva talen.
Sätt de sökta talens skilnad , då är det större , dess qvadrat , det mindre , dess qvadrat , och qvadraternas skilnad är , och deraf .
19
33.
Att söka två tal, hvars såväl skilnad , som produkt äro gifna. Dock måste de gifna talen vara sådana, att den fyrdubbla produkten tillsammantagen med qvadraten på skilnaden är en qvadrat; äfven detta är verkställbart.
Sättes de sökta talens summa , så är
det större ,
det mindre ,
deras produkt ,
och deraf .
Anm. Att så bestämma och , att blir , kan ske sålunda:
Om man har två tal och , så är ; sättes nu och , så är . Tages nu hvad tal som helst, summan af de tvenne tal, hvars produkt , så bestämmes genom eqv. , det värde på , som uppfyller problemets fordringar.
Ex. , ; ; .
34.
Att finna 2 tal , af gifvet förhållande sinsemellan , hvars qvadraters summa har till summan af sjelfva talen ett äfven gifvet förhållande . , ; deraf .
35.
Att finna 2 tal , af gifvet förhållande sinsemellan , hvars qvadraters summa har till sjelfva talens skilnad ett äfven gifvet förhållande . , ; hvaraf man erhåller .
20
36.
Att finna 2 tal , af gifvet förhållande sinsemellan , hvars qvadraters skilnad har till talens summa ett äfven gifvet förhållande .
, ; .
37.
Att finna 2 tal , af gifvet förhållande sinsemellan , hvars qvadraters skilnad har till talens skilnad ett äfven gifvet förhållande .
, ; .
På lika sätt kan man finna två tal af gifvet förhållande sinsemellan, hvars produkt har ett äfven gifvet förhållande till deras summa eller skilnad.
38.
Att finna 2 tal , af gifvet förhållande sinsemellan , af hvilka det mindres qvadrat har till det större talet ett äfven gifvet förhållande .
, ; .
39.
Att finna 2 tal , af gifvet förhållande sinsemellan , af hvilka det mindres qvadrat har till det mindre talet sjelf ett äfven gifvet förhållande .
, ; .
40.
Att finna 2 tal , af gifvet förhållande sinsemellan , af hvilka det mindres qvadrat har till de sökta talens summa ett äfven gifvet förhållande .
21
, ; .
41.
Att finna 2 tal , af gifvet förhållande sinsemellan , af hvilka det mindres qvadrat har till de sökta talens skilnad ett äfven gifvet förhållande .
, ; .
42.
På samma sätt kan man finna 2 tal af gifvet förhållande, af hvilka det störres qvadrat har ett gifvet förhålllande, till antingen det mindre eller större talet, till antingen deras summa eller skilnad.
43.
Att, då två tal äro gifna, finna ett tredje af den beskaffenhet att, om man af dessa tre multiplicerar summan af hvarje två med det tredje, de härigenom uppkomna produkterna äro i en arithmetisk serie.
Sättes det större talet , det mindre , det
sökta , så äro de 3 produkterna:
.
Dessa produkter böra enligt problemets fordran vara i
en arithmetisk serie, och som är , så är också
, hvarföre, i anseende till produkternas inbördes
storlek, endast följande 3 fall möjliga:
.
Då i en arithmetisk serie af 3 termer summan af de yttersta är lika med den dubbla mellersta, så erhållas
22
följande eqv.
1) ; insättas värdena på , och ,
och löses denna eqv. i anseende till , så får man
.
2) ; och deraf får man på samma sätt som i förra fallet .
3) ; hvaraf erhålles
.
Anm. Af dessa 3 för funna formler ser man, att problemet löses, hvilka värden man än måtaga på och , såväl i första som i andra händelsen; i tredje deremot måste vara , på det att icke må blifva negativt.
Rättelser:
Sid. | 1 | rad. | 5 | uppifr. | står | det mindre | bör vara | det mindre talet |
" | 5 | " | 10 | " | " | vore | " | är |
" | 5 | " | 13 | " | " | vore | " | är |
" | — | " | — | " | " | blefve | " | blifver |
" | — | " | 15 | " | " | blefve | " | blifver |
" | 8 | " | 23 | " | " | tillsammantagna | " | tillsammantagna, |
" | 11 | " | 17 | " | " | " | ||
" | 15 | " | 24 | " | " | " |