Kommentarer till Archimedes
Eutokios från Askalon
Den senantike matematikern och filosofen Eutokios från Askalon, en stad något norr om Gaza, levde i slutet av 500-talet och början av 600-talet. För sina studier hade han vid sin tid i stort sett endast Aten och Alexandria att välja mellan. Han valde förmodligen det närliggande Alexandria och fick då bl.a. Ammonios HermeiouA A) Ammonios Hermeiou, dvs. Hermias' son, ca 435-450 - efter 517, nyplatonisk filosof utbildad i Aten och verksam i Alexandria. såsom lärare. Han tillägnade senare sin kommentar till Archimedes' Om sfären och cylindern till denne - κράτιστε φιλοσόφων Ἀμμώνιε
. Eutokios efterträdde förmodligen också Ammonios, som i sin tur varit elev till Proklos,B B) Proklos, ca 412-485, matematiker och nyplatonisk filosof, född i Konstantinopel, utbildad och verksam i Alexandria, men slutligen även i Aten. Skrev bl.a. en kommentar till första boken av Elementa, som t.ex. innehåller en del om matematikens historia. såsom offentligt avlönad lärare i Alexandria.
De skrifter av Eutokios, som finns bevarade, omfattar kommentarer till de fyra första böckerna av Apollonios'C C) Apollonios från Perga, 262 f.Kr.-190 f.Kr., grekisk matematiker och astronom. Av hans banbrytande verk Om kägelsnitt i åttta böcker finns de fyra första, som Eutokios kommenterar, bevarade på grekiska, de tre nästföljande i arabisk översättning, medan den sista är förlorad. Kägelsnitt samt till Archimedes'D D) Archimedes från Syrakusa, antikens störste matematiker, 287 f.Kr.-212 f.Kr., antikens störste matematiker, men är också välkänd genom sina mekaniska konstruktioner. Läs om hans liv och verk här intill. Om sfären och cylindern, Plans jämvikt I, Plans jämvikt II och Cirkelns mätning, som återges här. Inte i någon av sina kommentarer har Eutokios bidragit med några egna upptäckter, men han har rikligt försett dem med upplysningar om matematikens historia i Grekland. Man kan säkert anta, att Eutokios' verksamhet som kommentator har bidragit till de kommenterade verkens bevarande.[1]
Multiplikationer
I kommentaren till Cirkelns mätning återges ett antal multiplikationer - egentligen är samtliga kvadreringar. Alltmedan de grekiska siffrorna förutsätts kända, kommer Eutokios' och hans samtidas metod för multiplikation beskrivas något i det följande.[2]
Talen ställs upp på samma sätt som är vanligt idag, multiplikand först och därunder multiplikatorn.E E) Vid multiplikation av endast två tal kallas den första faktorn multiplikator och den andra multiplikand. De individuella multiplikationerna sker därefter från vänster till höger och vid blandade tal gås dessutom bråken igenom i samma ordning - man brukade ange bråkdelen med stambråk,F F) Bråk där täljaren är 1. så det kan förekomma flera bråk per tal.
Eftersom de enskilda siffrorna kan representera många fler tal än våra tio och man vill undvika en omfattande multiplikationstabell - nedtecknad eller ihågkommen, tar man talens baser (πυθμένες), multiplicerar dessa och ger därpå produkten dess rätta magnitud.G G) En metod för detta finns beskriven i Archimedes' Sandräknaren i slutet av III. Så summeras alla delprodukter, men därmed inte nog, om det ingår bråk i multiplikationen, återstår framtagandet av stambråk såsom en sista utmaning.H H) Se t.ex. Wikipedia för senare tiders metoder. En representation av stambråk är emellertid inte entydig, utan kan utgöras av olika bråk och dessutom ibland ersättas av vanliga bråk.[3]
Eutokios' kommentar
In dimensionem circuli
Ἐχόμενον264 ἂν εἴη τὸν ἐμὸν πληροῦντι σκοπὸν τοῖς σαφεστέροις καὶ βραχυτέρας ἐπιστάσεως δεομένοις τῶν ὑπ' Ἀρχιμήδους γεγραμμένων ἐντυγχάνοντι καὶ τὰ ὀπωσοῦν ἐν αὐτοῖς ἐπεξεργασίας δεόμενα τὸν δυνατὸν 5 τρόπον συνεχῆ ποιεῖν τοῖς πρότερον ὑφ' ἡμῶν ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γεγραμμένοις εὐχῆς ὡς ἀληθῶς ἀξίου τυγχάνοντος τοῦ καὶ τοῖς μείζοσι καὶ πλείονος φροντίδος δεομένοις ἐπιστῆναι.[4] εἴη δ' ἂν ὡς πρὸς τὸ προκείμενον ἐφεξῆς τὸ γεγραμμένον Ἀρχιμήδει 10 βιβλίδιον κύκλου μέτρησιν τὴν ἐπιγραφὴν ἔχον, ἐν ᾧ τὴν πρόθεσιν τἀνδρὸς ἐξ αὐτῆς τῆς ἐπιγραφῆς γνωρίζομεν. βούλεται γὰρ ἐπιδεῖξαι, τίνι χωρίῳ εὐθυγράμμῳ ἴσος ἂν εἴη κύκλος, πρᾶγμα πάλαι πρὸς τῶν πρὸ αὐτοῦ κλεινῶν φιλοσόφων ἐξητημένον. δῆλον 15 γάρ, ὅτι τουτὶ ἂν εἴη τὸ ζητούμενον, ὅπερ Ἱπποκράτης τε ὁ Χῖος καὶ Ἀντιφῶν ζητήσαντες ἐπιμελῶς ἐκείνους ἡμῖν τοὺς παραλογισμοὺς εὑρήκασιν, οὓς ἀκριβῶς εἰδέναι νομίζω τοὺς τε τὴν Εὐδήμου γεωμετρικὴν ἱστορίαν ἐπεσκεμμένους καὶ τῶν Ἀριστοτελικῶν μετασχόντας 20 κηρίων. ἀλλ' ἐστι μὲν τοῦτο τὸ βιβλίον, ὥς 266 φησιν Ἡρακλείδης ἐν τῷ Ἀρχιμήδους βίῳ, πρὸς τὰς τοῦ βίου χρείας ἀναγκαῖον· δείκνυσιν γάρ, ὅτι ἡ περιφέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάττονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει, μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδομηκοστομόνοις. 5 τοῦτο οὖν φησιν σύνεγγυς δεδεῖχθαι, εὑρῆσθαι μέντοι αὐτῳ διά τινων ἑλίκων εὐθεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ κύκλου περιφερείᾳ.
Till cirkelns mätning
Det finns för min studies fullbordan i det följande för dem, som påträffas i Archimedes' skrifter, vilka är tydligare och kräver en obetydlig uppmärksamhet, och dem, vilka i dessa skifter liksom saknar en utredning, sammanställningar att göra (så långt det är möjligt) med våra tidigare skrifter kring Om Sfären och Cylindern, med en målsättning, som verkligen är värd att uppfylla, och att ägna sig åt de viktigare och dem, som kräver större eftertanke. Men det är fortsättningsvis den i tur föreliggande av Archimedes skrivna boken, som har titeln Cirkelns mätning, i vilken vi förstår denne mans föresats ur själva titeln. Ty han menar sig ha visat, att cirkeln är lika med med någon rätlinjig figurs yta, saker, vilka förr av kända filosofer före honom själv har rådbråkats. Ty det är tydligt, att detta var, vad han sökte, såsom Hippokrates från ChiosI I) Hippokrates av Chios, ca 470-ca 410 f.Kr., grekisk matematiker och astronom. och Antifon,J J) Antifon, ca 480 - ca 411 f.Kr., grekisk filosof och sofist verksam i Aten. vilka omsorgsfullt sökande har funnit ut felslut åt oss, vilka jag anser de korrekt ha känt till, som gått igenom Eudemos'K K) Eudemus från Rhodos, grekisk filosof, ca 370-ca 300 f.Kr.. geometriska historia och tagit del av Aristoteliska vaxkakor.[5] Men denna bok är, såsom Herakleides säger i Archimedes liv,[6] nödvändig för livets nödtorft, ty den visar, att periferin[7] till diametern är tre gånger och därtill överstiger med mindre än en sjundedel, men mer än tio sjuttioendelar. Detta säger han alltså ha visat vara approximativt, ändå för sig ha funnit, genom några spirallinjer, en rät linje lika med den givna cirkelns periferi.
Εἰς τὸ αʹ θεώρημα.
Τὸ10 πρὼτον θεώρεμα καὶ τοῖς ἐπὶ ποσὸν μαθημάτων γυμνασαμένοις οὐδεμίαν ἔχον ζήτησιν φαίνεται αὐτῶν τῶν Ἀρχιμήδους ῥημάτων σαφῶς ἐκτεθειμένων καὶ τὸ συμπέρασμα πρὸς τὴν πρότασιν ἐνελλειπῶς ἀποσωζόντων.
δοκεῖ15 δέ τινι κατακεχρῆσθαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν
πράγματι μηδέπω δεδειγμένῳ. ἐκθέμενος γὰρ τρίγωνον
ὀρθογώνιόν φησιν· ἐχέτω τὴν μίαν τῶν περὶ τὴν
ὀρθὴν ἴσην τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, τὴν δὲ λοιπὴν τῇ
περιφερείᾳ. ἀλλὰ περιφερείᾳ κύκλου ἴσην εὐθεῖαν λαβεῖν
20
οὐδὲ πρὸς αὐτοῦ ἤδη δεδειγμένον εἶναι, ἀλλ'
οὐδε ὑπ' ἄλλου παραδεδομένον. συνορᾶν δὲ ὅμως χρὴ,
ὡς οὐδὲν ἔξω τῶν προσηκόντων ὑπ' Ἀρχιμήδους γράφεται.
εἶναι γάρ τι μέγεθος τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου
παντί που δῆλον, οἶμαι, καὶ τοῦτο τῶν ἐφ' ἓν
25
διαστάτων. ἔστιν δὲ καὶ εὐθεῖα τοῦ αὐτοῦ εἴδους.
καὶ εἰ μηδέπω οὖν ἐφάνη δυνατὸν περιφερείᾳ κύκλου
ἴσην εὐθεῖαν πορίσασθαι, ἀλλ' ὅμως εἶναί τινα τῇ
268
φύσει εὐθεῖαν ἴσην αὐτὸ πρὸς οὐδενός ἐστι ζητούμενον.
τὸ τοίνυν καὶ πρὸς Ἀρχιμήδους πρότεθὲν τοιοὔτόν
ἐστιν· ὅτι τὸ τρίγωνον τὸ ὀρθογώνιον τὸ ἔχον,
ὡς προείρηται, τὰς πλευρὰς ἴσον ἐστὶ τῷ κύκλῳ. ὥστε
5
τὸ προτεθὲν ἐκθέμενος οὐδεμιᾶς ἂν καταχρήσεως κρίνοιτο,
θαυμαστὸς δ' ἂν μᾶλλον κἀν τούτοις δόξειεν
τοῖς οὕτως ὑπερμεγέθεσιν τῶν ζητημάτων σαφῆ καὶ
ῥαδίαν τὴν εὕρησιν ἐπιτιθείς. ὡς δὲ εἴρηται, οὐδεμιᾶς
δεῖ ζητήσεως τῷ πρώτῳ θεωρήματι. τὸ γὰρ ΠΟΡ
10
τρίγωνον ὅτι μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΖΟΜ
σχήματος, καὶ ὅτι ἁπλῶς περὶ τὸν δοθέντα κύκλον
δυνατὸν εὐθύγραμμον περιγράψαι ὥστε τὰ τμήματα
τὰ μεταξὺ τῶν τοῦ κλου περιφερειῶν καὶ τῶν πλευρῶν
τοῦ περιγραφομένου εὐθυγράμμου ἐλάττονα εἶναι
15
τοῦ δοθέντος χωρίου, σαφῶς εἴρεται ἐν τοῖς εἰς τὸ
πρῶτον τῶν περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γεγραμμένοις
ἡμῖν.
Till teorem 1.
Det första teoremet, som även för dem, som är föga övade i matematik, inget kontroversiellt innehåller, tycks, tydligt framställas ur Archimedes' egna utsagor och tvivelsutan säkerställa slutsatsen gentemot premissen.
Men någon ännu ej bevisad sak tycks ha utnyttjats för beviset. Ty förevisande en rätvinklig triangel säger han: Ha den ena av dem vid den räta lika med radien och den andra lika med periferin. Men att ta en linje lika med cirkelns periferi, har ännu inte vistats av honom och har heller inte förmedlats av annan. Det är ändå nödvändigt, att inse, att av Archimedes' skrivs inget utanför sammanhanget. Ty någon storlek på cirkelns periferi är kanske uppenbar för alla, tror jag, och denna är längs en av dimensionerna och är även en rät linje av samma typ. Även om det sålunda aldrig varit möjligt, att sätta en rät linje lika med cirkelns periferi, men att en sådan beskaffad likadan rät linje ändå finns, ifrågasätts inte av någon. Sålunda är detta och det, som framställts av Archimedes, sådant: att den rätvinkliga triangeln har, som sagts, sidor lika med cirkeln. Därför må det framställda med avseende på utställningen, inte för något enda missbruk ifrågasättas, utan snarare tycks en beundran för sådana överväligande problemens tydliga och enkla lösning vara passande. Men som har sagts, ingen undersökning krävs för första satsen. Ty att triangeln ΠΟΡ är större än hälften av figuren ΑΖΟΜ och att det är möjligt att entydigt runt en given cirkel omskriva en rätlinjig figur, så att snitten mellan cirkelns periferi och sidorna av den omskrivna rätlinjiga figuren är mindre än en given yta, undersöks tydligt i skrifterna av oss om första delen av Om sfären och cylindern.
Εἰς τὸ γʹ θεώρημα.
Ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι συνεχῶς ἐπιταττόμεθα 20 τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρεῖν. τοῦτο δὲ ἀκριβῶς μὲν εὑρεῖν ἐπὶ ἀριθμοῦ μὴ ὄντος τετραγώνου ἀδύνατον. ἀριθμὸς μὲν γὰρ ἐφ' ἑυατὸν πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ τινα τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ ἀριθμὸς δὲ καὶ μόριον ἐφ' ἑαυτὰ γενόμενα 25 οὐκέτι ἀριθμὸν ποιεῖ πλήρη, ἀλλὰ καὶ μόριον. 270 ὅπως δὲ δεῖ σύνεγγυς τὴν δυναμένην πλευρὰν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν εὑρεῖν, εἴρηται μὲν Ἥρωνι ἐν τοῖς μετρικοῖς, εἴρηται δὲ Πάππῳ καὶ Θέωνι καὶ ἑτέροις πλείοσιν ἐξηγουμένοις τὴν μεγάλην σύνταξιν τοῦ Κλαυδίου 5 Πτολεμαίου. ὥστε οὐδὲν ἡμᾶς χρὴ περὶ τούτου ζητεῖν ἐξὸν τοῖς φιλομαθέσιν ἐξ ἐκείνων ἀναλέγεσθαι.
Καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτου ὀρθῆϛ | ἐὰν γὰρ τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιφέρειαν διχοτομήσαντες καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς πρὸς τῷ Γ ἀπολαβόντες ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΖ, 10 ἔσται ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτον ὀρθῆς. ἡ γὰρ πρὸς τῷ Γ ἀποληφθεῖσα περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τῆς τοῦ ἑξαγώνου δωδέκατόν ἐστι τοῦ κύκλου· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα δωδέκατόν ἐστι τῶν τεσσάρων ὀρθῶν· τρίτον ἄρα ὀρθῆς.
Ἡ15 ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν πρὸς
| ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ, δῆλον ἐντεϋθεν·
ἐὰν γὰρ προσεκβαλόντες τὴν ΖΓ ἐπὶ τὸ Γ καὶ
ἴσον αὐτῇ ἀποθέμενοι ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ Ε, συσταθήσεται
ἡ πρὸς τῷ Γ γωνία δίμοιρον ὀρυῆς. ἔστιν
20
δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία δίμοιρον ὀρθῆς. ἔστιν
δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ δίμοιρον. ἰσοπλεύρου ἄρα τριγώνου
ἥμισύ ἐστι τὸ ΓΕΖ. καὶ διὰ τὸ τὴν βάσιν
τοῦ ἰσοπλεύρου ἴσην οὖσαν τῇ ΕΖ δίχα τέμνεσθαι
κατὰ τὸ Γ, διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ.
Ἡ25 δὲ ΕΓ πρὸς ΓΖ λόγον ἔχει, ὃν πρὸς | ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ὑπόκειται , ἐὰν αὐτὰ ἐφ' 272 ἑαυτὰ πολυπλασιάσωμεν, γενήσεται . ἡ δὲ ΓΖ ἐστι · ὥστε τὸ ἀπ' αὐτῆς ἔσται . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΖ, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ὄντος ἀφέλωμεν τὸ 5 ἀπὸ ΓΖ ὑπάρχον καταλειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΕΓ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ καὶ ἔτι μόριον ἐλάχιστον καὶ ἀνεπαίσθητον· λείπεται γὰρ ἡ τῶν δύναμις τῆς ἀκριβοῦς μονάσιν . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·
Till teorem 3.
I detta teorem tar vi oss genomgående an, att finna det givna talets kvadratrot och att finna denna exakt på ett tal, som inte är en kvadrat, är omöjligt. Ty ett tal multiplicerat med sig självt gör ett kvadratiskt tal, men talet och en del av det gör inget helt tal, utan ett med delar. Och hur man ungefär bör finna kvadratroten av det givna talet, har förklaras av HeronL L) Heron från Alexandria, död efter 62, grekisk matematiker och ingenjör, som verkade vid Museion i Alexandria. i Metrika samt har förklarats av PapposM M) Pappos från Alexandria, ca 290 – ca 350, en av antikens sista stora matematiker., TheonN N) Theon av Alexandria, ca 335-ca 405, matematiker. och av många andra, som kommenterat Klaudios Ptolemaios'O O) Klaudios Ptolemaios, ca 100-efter 160, grekisk astronom, geograf och matematiker verksam i ALexandria. Almagest. På så sätt är det inte nödvändigt att vi undersöker detta, som är möjligt för filosoferna att lära sig från dessa.
Och vinkeln ΓΕΖ är en tredjedels rät | ty om vi sexhörningens båge, som vi tudelat och vars hälft vi tagit vid Γ, anslutit till ΕΖ, skall vinkeln ΓΕΖ vara en tredjedels rät. Ty bågen tagen vid Γ, som är hälften av sexhörningens, är en tolftedel av cirkeln, så att även vinkeln i ΓΕΖ, som ligger vid cirkelns centrum, är en tolftedel av fyra räta, alltså en tredjedels rät.
Alltså har ΕΖ ett förhållande till ΖΓ, som 306 till
153 | Att ΕΖ är dubbla ΖΓ, är uppenbart,
ty om vi dragit ut ΖΓ till Γ och
om vi lagt till en rät linje lika med den och dragit ut en rät linje från Ε,
vinkeln vid Γ är hälften av en rät. Även
hälften av en rät vinkel skall konstrueras vid Ε. Också
vinkeln vid Ζ är hälften av en rät. Alltså är ΓΕΖ
hälften av en liksidig triangel. Och eftersom basen
av en liksidig triangel, som är lika med ΕΖ, delats i hälften
vid Γ, är ΕΖ dubbla ΖΓ.
Och ΕΓ har till ΓΖ ett förhållande som 265 till 153 | Ty eftersom ΕΖ antas vara 306, och om vi multiplicerar detta med sig självt, skall det ge 93636. Och då ΓΖ är 153, skall sålunda detta med sig självt bli 23409. eftersom då kvadraten på ΕΖ är lika med dem på ΕΓ och ΓΖ,Euc.Prop.1.47 om vi från kvadraten ΕΖ, som är 93636, tar bort kvadraten på ΓΖ, som är 234009, blir kvadraten på ΕΓ kvar, 70227, en kvadrat vars sidor är 265 och dessutom en ytterst liten och omärkbar del. Ty kvadraten på 265 skiljer sig från det exakta med 2 ental. Multiplikationerna finns härunder:
λοιπὸν τὸ ἀπὸ ΕΓ
λείπει ἄρα μονάδι εἴς τὸ ἀκριβές.
Τετμήσθω10 οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ διὰ τὸ τρίτον θεώρημα τοῦ ἕκτου βιβλίου τῆς Εὐκλείδου στοιχειώδεως. καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΓ πρὸς ΓΗ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς 15 συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πρὸς 274 ΓΗ. συναμφότερος δὲ ἡ ΕΖ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἤπερ ἡ μὲν γὰρ ΖΕ ὑπόκειται ἡ δὲ ΕΓ καὶ ἔτι μορίου τινός· ὥστε μείζονές εἰσι τῶν · ἡ δὲ ΖΓ ἐστι . συναμφότερος ἄρα ἡ ΖΕ, ΕΓ 5 πρὸς ΖΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς , ὥστε καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς .
Ἡ ΗΕ ἄρα πρὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει, ὃν πρὸς | συναχθήσεται δὲ τοῦτο οὕτωϛ· 10 ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχουσα, ἤπερ πρὸς , εἴ τις ὑποθοῖτο τὴν μὲν ΕΓ , τὴν δὲ ΓΗ , ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ , συναμφότερα δὲ ἴσα ὄντα τῷ ἀπὸ ΕΗ ἔσται . τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ 15 ἔγγιστα· ἐλλείπει γὰρ ὁ ἀπὸ τοῦ τετράγωνος εἰς τὸ ἀκριβὲς ἔγγιστα. ἡ ἄρα ΕΗ πρὸς ΗΓ δυνάμει μὲν λόγον ἔχει, ὃν πρὸς , μήκει δέ, ὃν ἔγγιστα πρὸς . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκειται·
Låt sålunda ha delat vinkeln ΖΕΓ i hälften med ΕΗ. Alltså såsom ΖΕ är till ΕΓ, är ΖΗ till ΗΓ på grund av Euklides' Elementas sjätte boks tredje sats.Euc.Prop.6.3 Och genom komposition såsom ΖΕ och ΕΓ sammantagna är till ΕΓ, så är ΖΓ till ΖΗ. Och alternerat, som ΖΕ och ΕΓ sammantagna är till ΖΓ, är ΕΓ till ΓΗ. Men sammantagna är ΕΖ och ΕΓ större än 571, ty antag ΖΕ var 306 samt ΕΓ 265 och ytterligare någon del, sålunda är de större än 571, men ΖΓ är 153. Sålunda har ΖΕ och ΕΓ sammantagna ett större förhållande till ΖΓ, än 571 till 153, så att även ΕΓ har ett större förhållande till ΗΓ, än 571 till 153.
Alltså har ΕΗ och ΗΓ i kvadrat ett förhållande större än 349450 till 23409 | Och detta skall sammanställas sålunda: Ty eftersom ΕΓ har visats ha ett större förhållande till ΓΗ, än 571 till 153, om någon må anta ΕΓ vara 571 och ΓΗ 153, blir kvadraten på ΕΓ 326041 och den på ΓΗ 23409 samt sammantagna blir de lika med den på ΕΗ, 349450, vars kvadratrot är knappt , ty kvadraten på saknar till det exakta ental. Alltså har ΗΕ och ΗΓ i kvadrat ett förhållande, som 349450 är till 23409, och i längd, som är till 153. Multiplikationerna finns härunder:
ἐκ τούτων συνάγεται τὸ ἀπὸ .
ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς ἔγγιστα.
Πάλιν276 δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΘΕ. διὰ τὰ αὐτὰ ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤ, ὃν πρὸς | γίνεται γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας, ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΗΘ πρὸς ΘΓ. καὶ συνθέντι, 5 ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ. καὶ ἐναλλάξ ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΕΓ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΗ καὶ ἔτι μορίου τινός. μείζονες ἄρα εἰσὶν ἢ . καί ἐστιν ἡ ΗΓ . 10 συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς .
Ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν πρὸς | ἔπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ πρὸς 15 , εἴ τις ὑποθοῖτο αὐτὰς οὕτως ἔχειν, ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΘ . τὸ ἄρα ἀπὸ ΕΘ ἴσον ὂν τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΘ ἔσται , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ἔγγιστα. λείπεται γὰρ τῆς ἀκριβοῦς δυνάμεως τὸ ἀπ' 20 αὐτῆς . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·
Ånyo är vinkeln ΗΕΓ delad i hälften vid ΕΘ. Av samma skäl har alltså ΕΓ ett förhållande till ΓΘ större än till 153. | Ty av vinkelns tudelning följer, att som ΗΕ är till ΕΓ, är ΗΘ till ΘΓ. Och genom komposition att som ΗΕ och ΕΓ sammantagna är till ΗΓ, är ΗΓ till ΓΘ. Och alternerat, som ΗΕ och ΕΓ sammantagna är till ΗΓ, är ΕΓ till ΓΘ. Och ΕΓ är 571 och ytterligare någon del samt ΕΗ är ytterligare någon del. Alltså är de större än och ΗΓ är 153. Alltså har ΗΕ och ΕΓ sammantagna ett större förhållande till ΗΓ än till 153.
Alltså har ΘΕ ett förhållande till ΘΓ större än till 153 | Ty eftersom ΕΓ har visats ha ett större förhållande till ΘΓ än till 153, om någon må anta att de sålunda har desamma, skall kvadraten på ΕΓ vara , och den på ΓΘ 23409. Alltså är kvadraten på ΕΘ lika med dem på ΕΓ och ΓΘ, som blir , vars kvadratrot är knappt . Ty dess kvadrat saknar från den exakta kvadraten. Multiplikationerna finns härunder:
τὸ ἀπὸ ΕΘ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΘ ἐστι .
ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς .
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ. ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν πρὸς | πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς ὑπὸ ΘΕΓ γωνίας ἐστίν, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΚ πρὸς ΓΚ. καὶ συνηέντι 5 ὡς συναμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΓ πρὸς ΓΚ. ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ΘΕ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΓ καὶ ἔτι μορίου τινός, συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ 10 . καὶ ὑπόκειται ἡ ΘΓ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς .
Ἡ280 ΕΚ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν πρὸς | πάλιν γὰρ ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ μὲν ΕΓ , ἡ δὲ ΓΚ , ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΚ . τούτοις 5 δὲ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΚΕ. ἔσται ἄρα , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ἔγγιστα . λείπει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκριπβοῦς . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκειται·
Låt därpå ha delat vinkeln ΘΕΓ i hälften med ΕΚ, alltså har ΕΓ ett större förhållande till ΓΚ än till 153 | Ty av vinkeln ΘΕΓ:s tudelning följer åter, att som ΗΕ är till ΕΓ, är ΗΘ till ΘΓ.Euc.Prop.6.3 Och genom komposition att som ΘΕ och ΕΓ sammantagna är till ΕΓ, är ΘΓ till ΓΚ. Och alternerat, som ΘΕ och ΕΓ sammantagna är till ΘΓ, är ΕΓ till ΓΚ. Och eftersom ΘΕ har visats vara och ytterligare någon del samt ΕΓ och ytterligare någon del, alltså är ΘΕ och ΕΓ sammantagna större än . Och antas ΘΓ vara 153, har alltså ΘΕ och ΕΓ sammantagna ett större förhållande till ΘΓ, än till 153.
Alltså har ΕΚ ett förhållande till ΓΚ större än, till 153 | Ty eftersom åter ΕΓ antas vara och ΓΚ 153, skall kvadraten på ΕΓ vara och den på ΓΚ 23409. Och kvadraten på ΚΕ är lika med dessa. Alltså skall den vara , vars kvadratrot är knappt . Ty dess kvadrat saknar från den exakta kvadraten. Multiplikationerna finns härunder:
ἐκ τούτων συνάγεται τὸ ἀπὸ ΕΚ .
ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς .
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΕΛ. ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς 10 ΓΛ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ τὰ πρὸς 282 | πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας ἐστίν, ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΛ πρὸς ΛΓ, καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΓΛ. ἐναλλάξ ὡς συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΓΚ, 5 ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ. καὶ ἐστιν ἡ μὲν ΚΕ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΓ καὶ ἔτι μορίου τινός. συναμφότερος ἄρα ἡ ΚΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ . καί ἐστιν ἡ ΚΓ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΚ, ΕΓ πρὸς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ 10 πρὸς . ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς ΓΛ. καὶ ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΛ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς .
ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτον οὖσα ὀρηῆς δωδέκατον μέρος ἐστὶ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν, ταύτῆς δὲ ἡμίσεια 15 ἡ ὑπὸ ΗΕΓ, ἡ ὑπὸ ΗΕΓ εἰκοστοτέτρατον ἂν εἴη. ταύτῆς δὲ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΕΓ, ὥστε ἐστιν. ταύτῆς δὲ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΓ. ἄρα ἐστίν. ἧς ἡμίσεια οὖσα ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ἐστιν.
κείσθω οὖν, φησιν, ἴση αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΓΕΜ, καὶ 20 ἐκβεβλήσθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Μ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ διπλασία οὖσα τῆς ὑπὸ ΛΕΓ ἐστι τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. ὥστε καὶ ἡ ΛΜ πλευρά ἐστι τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφομένου πολυγώνου πλευράς ἔχοντος . ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ δέδεικται μείζονα λόγον 25 ἔχουσα, ἤπερ πρὸς , καὶ ἐστι τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ, τῆς δὲ ΛΓ ἡ ΛΜ, καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΛΜ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜ πρὸς ΑΓ ἐλάττονα λόγον ἔχει, 284 ἤπερ πρὸς . καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΜ πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ πλευρὰς ἔχοντος , ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυγώνου ἐστὶ · ὁ γὰρ ἐπὶ τὸν πολλαπλασιαζόμενος τοῦτον ποιεῖ. ἡ περίμετρος 5 ἄρα τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον ἐλάττονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυγώνου τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει . ταῦτα δὲ ἐλαττονά ἐστι τοῦ ἑβδόμου τῆς διαμέτρου μιᾶς μονάδος 10 ἑβδόμῳ μέρει· τὰ γὰρ ἑπταπλάσια τῶν , ἅπερ ἐστὶ , ἐλάττονά ἐστι τῆς διαμέτροῦ . ἐπεὶ οὖν τὸ πολύγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον καὶ ἔτι ἑβδόμῳ ὑπερέχον, ἡ δὲ περίμετρος τοῦ κύκλου ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ πολυγώνου, πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου 15 περιφέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ὑπερέχει ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει.
Ἑξῆς δὲ κατασκευάζων τὸ λοιπὸν μέρος τοῦ θεωρήματός φησιν· ἔστω κύκλος περὶP P) Archimedes har καὶ. διάμετρον τὴν ΑΓ, καὶ τρίτον ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. τοῦτο δὲ 20 ἔσται, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Γ τῇ τοῦ ἑξαγώνου ἴσην ἀπολαβόντες τὴν ΓΒ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΒ. ἡ γὰρ ἐπὶ τῆς τοῦ ἑξαγώνου περιφερείας βεβηκυῖα γωνία πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ δίμοιρόν ἐστιν ὀρθῆς, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ τρίτον.
ἐπεὶ25 οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, τρίτον δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, δίμοιρον ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. ἐὰν ἄρα προσεκβάλλοντες τὴν ΓΒ ἐπὶ τὸ Β καὶ ἴσην αὐτῇ ἀπολαβόντες ἀπὸ τοῦ Α ἐπιζεύξωμεν, ἰσόπλευρον ἔσται 286 τὸ τρίγωνον. καὶ διὰ τὸ τὴν ΑΒ κάθετον διχοτομεῖν τὴν βάσιν διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν πάλιν λάβωμεν τὴν ΑΓ ἔσται ἡ ΓΒ . καὶ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΓ ἔσται , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΒ . καὶ 5 ἐὰν ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΓΒ ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΑΓ, λοιπὸν καταλειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΑΒ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ἔγγιστα. περιττεύει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς . διό φησιν· ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἤπερ πρὸς . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ 10 ὑπόκεινται·
Låt därpå ha delat vinkeln ΚΕΓ i hälften med ΕΛ, alltså har ΕΓ ett större förhållande till ΓΛ, än till 153. | Ty av vinkeln ΚΕΓ:s tudelning följer åter, att som ΚΕ är till ΕΓ, är ΚΛ till ΛΓ.Euc.Prop.6.3 Och genom komposition att som ΚΕ och ΕΓ sammantagna är till ΕΓ, är ΚΓ till ΓΚ. Och alternerat,som ΚΕ och ΕΓ sammantagna är till ΚΓ, är ΕΓ till ΛΓ. Och ΚΕ är och ytterligare någon del samt ΕΓ och ytterligare någon del. Alltså är ΚΕ och ΕΓ sammantagna större än . Och ΚΓ är 153. Alltså har ΕΚ och ΕΓ sammantagna ett förhållande till ΚΓ större än till 153. Och ΕΚ och ΕΓ sammantagna är till ΚΓ, såsom ΕΓ till ΓΛ. Och alltså har ΕΓ ett förhållande till ΓΛ större än till 153.
Eftersom sålunda vinkeln ΖΕΓ, som är en tredjedel av en rät, är en tolftedel av fyra räta och dess hälft är vinkeln ΗΕΓ, bör vinkeln ΗΕΓ vara en tjugofjärdedel av en rät. Och dess hälft är vinkeln ΘΕΓ, så den är av en rät. Och dess hälft är vinkeln ΚΕΓ, alltså är den av en rät, vars hälft, som är vinkeln ΛΕΓ, är av en rät.
Låt sålunda, säger han, ha antagit vinkel ΓΕΜ lika med denna och låt ha dragit ut ΖΓ till Μ. Alltså är vinkel ΛΕΜ, som är dubbla vinkel ΛΕΓ, av fyra räta. Så att även ΛΜ är en sida i den polygon som omskriver cirkeln och har 96 sidor. Eftersom sålunda ΕΓ har visats ha ett förhållande till ΛΓ större än till 153 samt ΑΓ är dubbla ΕΓ och ΛΜ dubbla ΛΓ, alltså har även ΑΓ ett förhållande till ΛΜ större än till 153. Omvänt har alltså ΛΜ ett förhållande till ΑΓ mindre än 153 till . Och eftersom ΛΜ är en sida i polygonen, som har 96 sidor, är alltså polygonens perimeter 14688, ty 96 multiplicerat med 153 blir detta. Alltså har polygonens perimeter ett förhållande till diamtern ΑΓ mindre än 14688 till . Alltså är polygonens perimeter tre gånger cirkelns diameter och överstiger den därtill med ental. Detta är mindre än en sjundedel av diametern med en sjundedel av ett ental, ty det sjufaldiga av , vilket är , är 1 mindre än diametern. Eftersom sålunda polygonens perimeter är mindre än tre gånger och därtill en sjundedel tillagd samt perimeter för cirkeln är mindre än den för polygonen, alltså är cirkelns periferi mycket större än tre gånger dess diameter, och överstiger med mindre än en sjundedel.
Och därpå säger han förberedande om resterande del av teoremet: Låt vara en cirkeln kring diametern ΑΓ och vinkeln ΒΑΓ, en tredjedels rät. Och så blir det, om vi från punkten Γ skurit av en båge ΓΒ lika med sexhörningens båge och dragit ut ΑΒ. Ty vinkeln placerad på sexhörningens båge är vid cirkelns centrum två tredjedelar av en rät och vid periferin en tredjedel.
Eftersom sålunda vinkeln ΑΒΓ är rät och ΒΑΓ en tredjedel av en rät, är alltså ΑΓΒ två tredjedelar av en rät. Om vi alltså åt Β dragit ut ΓΒ samt tagit en lika med denna och förbundit med Α, blir triangeln liksidig. Och då höjden ΑΒ delar basen i två delar, är ΑΓ dubbla ΓΒ. Om vi så åter tar ΑΓ lika med 1560, blir ΓΒ lika med 780. Och kvadraten på ΑΓ blir 2433600 och den på ΓΒ 608400. Och om vi drar bort kvadraten på ΓΒ från den på ΑΓ, blir resten kvadraten på ΑΒ, 1825200, vars kvadratrot är knappt 1351. Ty dess kvadrat översiger det exakta med 1. Därför säger han: ΑΒ har ett förhållande till ΒΓ mindre än 1351 till 780. Multiplikationerna finns härunder:
ἄν ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΒΓ ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΓΑ καταλείπονται .
περιττεύει τοῖ ἀκριβοῦς .
Τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΖΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασιν· ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστιν 15 ἴση. καὶ κοινὴ ἡ ὑπο ΑΗΓ ὀρθή. καὶ λοιπὴ 288 ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΗΖ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. τῶν γὰρ ἰσογωνίων 5 τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί, καὶ ὁμόλογοι αἱ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.
Ἀλλ' ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΓΒ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ | ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία 10 δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ, ἔστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ. καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. καὶ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἢ , ἡ δὲ ΑΓ 15 , ἡ δὲ ΒΓ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΒ, ΑΓ πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ. καὶ ἡ ΑΗ ἄρα πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, 20 ἤπερ πρὸς . διὰ οὖν ταῦτα ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΑΗ , τὸ δὲ ἀπὸ ΗΓ . καὶ ἐστιν αὐτοῖς ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ. καὶ αὐτὸ ἄρα ἔσται , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ἔγγιστα· ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῶν τῆς ἀκριβοῦς δυνάμεως . διὰ ταῦτα οὖν φησιν, ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ ἐλάσσονα 290 λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·
Låt ha delat vinkeln ΒΑΓ i hälften med ΑΖΔ. Sålunda eftersom vinkeln ΒΑΗ är lika med vinkeln ΗΓΒ, ty de har lagts på samma preiferi, men även med vinkeln ΗΑΓ och alltså är vinkeln ΗΓΒ lika med vinkeln ΗΑΓ. Och den räta vinkeln ΗΖΓ är gemensam. Alltså är den resterande vinkeln ΗΖΓ lika med den resterande vinkeln ΑΓΗ. Alltså är triangeln ΑΗΓ likvinklig med triangeln ΓΗΖ. Alltså som ΑΗ är till ΗΓ, är ΓΗ till ΗΖ och ΑΓ till ΓΖ. | Ty likvinkliga trianglars sidor vid de lika vinklarna är proportionella och de, som de lika vinklarna spänner upp, är homologa.Euc.Prop.6.4
Men som ΑΓ till ΓΖ är även ΓΑΒ sammantagen till ΒΓ. Och så är alltså ΒΑΓ sammantagen till ΒΓ som ΑΗ till ΗΓ. | Ty eftersom vinkel ΒΑΓ har delats i hälften av ΑΖ, är ΒΖ till ΖΓ som ΒΑ till ΑΓ. Och genom komposition såsom ΒΑ och ΑΓ sammantagna är till ΑΓ, är ΒΓ till ΓΖ. Och alternerat, såsom ΒΑ och ΑΓ är sammantagna till ΒΓ, är ΑΓ till ΓΖ. Och ΑΒ är mindre än 1351, ΑΓ är 1560 och ΒΓ 780. Alltså har ΑΒ och ΑΓ sammantagna ett förhållande till ΒΓ mindre än 2911 till 780. Och alltså har ΑΓ ett förhållande till ΓΖ mindre än 2911 till 780. Och såsom ΑΓ är till ΓΖ, är ΑΗ till ΗΓ. Och alltså har ΑΗ ett förhållande till ΗΓ mindre än 2911 till 780. Sålunda skall alltså av samma skäl kvadraten på ΑΗ vara 8473921 och den på ΗΓ 608400. Och lika med dem är den på ΑΓ, som alltså själv blir 9082321, vars kvadratrot är knappt , ty kvadraten på dem överstiger den exakta kvadraten med mindre än . På grund av detta säger han, att ΑΓ har ett förhållande till ΓΗ mindre än till 780. Multiplikationerna finns härunder:
τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΓ .
ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς .
Δίχα ἠ ΓΑΗ τῇ ΑΘ. διὰ οὖν τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων 5 καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἀναλλάξ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ. καὶ ὑπέκειτο ἡ μὲν ΑΗ ἐλάσσων ἤ , ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἤπερ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΑ, ΑΓ ἐστιν ἐλάσσων ἤ 10 . ἡ δὲ ΗΓ ἐστι . συναμφότερος ἄρα 292 ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . ὥστε καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . ὥστε ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ 5 πρὸς · ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ἐστὶ μέρος . καὶ τὰ τούτων τετραπλάσια, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . διὰ τοῦτο γάρ φησιν, ὅτι ἑκατέρα ἑκατέρας ἐστὶ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΘ ἐστιν , τὸ ἄρα ἀπ' αὐτῆς ἐστι . 10 ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ , καὶ τὸ ἀπ' αὐτῆς . καὶ ἐστι τοῖς ἀπὸ ΑΘ, ΘΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ. ἔσται ἄρα , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ . τὸ γὰρ ἀπ' αὐτῆς ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς ἐγγύς. ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ 15 πρὸς . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·
Halvera ΓΑΗ med ΑΘ. Sålunda genom vinkelns halvering, trianglarnas likformighet och att sidornas är proportionella, är, genom komposition och alternerat, ΗΑ och ΑΓ sammantagna till ΗΓ, som ΑΘ är till ΘΓ. Och ΑΗ antogs vara mindre än 2911 och ΑΓ mindre än . Alltså är ΗΑ och ΑΓ sammantagna mindre än . Och ΗΓ är 780. Alltså har ΗΑ och ΑΓ sammantagna ett förhållande till ΗΓ mindre än till 780. Därför har även ΑΘ ett förhållande till ΘΓ mindre till 780. Därför har ΑΘ ett förhållande till ΘΓ mindre än till 60, ty den ena är en 13-del av den andra. Och fyrfaldigade har ΑΘ ett förhållande till ΘΓ mindre än 1823 till 240. Sålunda, ty han säger detta, att den ena är av den andra. Och eftersom ΑΘ är 1823, är alltså dess kvadrat 3323329. Och ΘΓ är 240 och dess kvadrat 57600. Och kvadraten ΑΓ är lika med dem på ΑΘ och ΘΓ. Alltså blir den 3380929, vars kvadratrot är . ty dess kvadrat överstiger den exakta med ungefär 321. Sålunda har ΑΓ ett förhållande till ΘΓ mindre än till 240. Multiplikationerna finns härunder:
τούτοις ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστιν.
ὑπερέχει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς ἐγγύς.
Ἔτι296 δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία τῇ ΚΑ. πάλιν οὖν διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ 5 ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ , ἐπειδὴ ἡ μὲν ΘΑ ὑπόκειται , ἡ δὲ ΑΓ . ἔσιτν δὲ καὶ ἡ ΘΓ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ 10 πρὸς . ὥστε καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . καὶ ἐπεὶ τῶν μὲν τὸ ἐστι , τῶν δὲ , ἡ ΑΚ ἄρα πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . καὶ ἐστι τὸ μὲν 15 ἀπὸ ΑΚ , τὸ δὲ ἀπὸ ΚΓ , οἷς ἴσον ὄν τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστι , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ἔγγιστα. ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς . ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . οἱ δὲ πολλαπλασισμοὶ 20 ὑποκεινται·
Halvera vidare vinkeln ΘΑΓ med ΚΑ. Sålunda åter genom vinkelns halvering, trianglarnas likformighet och att sidornas är proportionella, är, genom komposition och alternerat, ΘΑ och ΑΓ sammantagna till ΓΘ, som ΑΚ är till ΚΓ. Men ΘΑ och ΑΓ sammantagna är mindre än , eftersom ΘΑ antas vara 1823, och ΑΓ . Och ΘΓ är 240. Alltså har ΒΑ och ΑΓ sammantagna ett förhållande till ΒΓ mindre än till 240. Sålunda har även ΑΚ ett förhållande till ΚΓ mindre än till 240. Och eftersom av är 10007 och av 240 är 66, har alltså ΑΚ ett förhållande till ΚΓ mindre än 1007 till 66. Och kvadraten på ΑΚ är 1014049 och den på ΚΓ 4356, vilka kvadraten på ΑΓ, som är är 1018405, är lika med, vars kvadrat sida är ungefär . Ty dess kvadrat överstiger den exakta med ungefär . Alltså har ΑΓ ettförhållande till ΓΚ mindre än till 66. Multiplikationerna finns härunder:
τούτοις ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστ .
ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς .
Ἔτι298 δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ γωνία τῇ ΑΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐσιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ, ἡ ΑΛ πρὸς ΛΓ. καὶ ἐστιν ἡ μὲν ΑΚ ἐλάσσων ἤ , ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἤ , ἡ δὲ ΚΓ . 5 συναμφότερος ἄρα ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . καὶ ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΛ ὑπόκειται , καὶ τὸ ἀπ' αὐτῆς , ἡ δὲ ΛΓ , καὶ τὸ ἀπ' 10 αὐτῆς , ἴσον δὲ αὐτοῖς ἐστι τὸ ἀπὸ ΑΓ, ἔσται ἄρα , ὧν πλευρὰ τετραγωνική ἐστι ἔγγιστα. ὑπερέχει τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς . ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλασσονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·
Halvera vidare vinkeln ΚΑΓ med ΑΛ. Sålunda är av samma skäl såsom ΚΑ och ΑΓ sammantagna till ΚΓ, ΑΛ till ΛΓ. Dessutom är ΑΚ mindre än 1007, ΑΓ mindre än och ΚΓ är 66. Alltså har ΚΑ och ΑΓ sammantagna ett förhållande till ΚΓ mindre än till 66. Och alltså har ΑΛ ett förhållande till ΛΓ mindre än till 66. Och eftersom ΑΛ antas vara , och dess kvadrat samt ΛΓ vara 66 och dess kvadrat 4356, och lika med dem är kvadraten på ΑΓ, som alltså blir , vars kvadratrot är ungefär . Dess kvadrat överstiger den exakta med . Sålunda har ΑΓ ett förhållande till ΓΛ mindre än till 66. Multiplikationerna finns härunder:
τούτοις ἴσον ὂν τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστι .
περιττεύει τοῦ ἀκριβοῦς .
Ἐπεὶ15 οὖν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, 300 ἤπερ πρὸς , ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἡ ΗΓ ἄρα μέρος ἐστίν, ἡ δὲ ΘΓ , ἡ δὲ ΚΓ , ἡ δὲ 5 ΛΓ . ὥστε ἡ ΛΓ εὐθεῖα πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ πλευρὰς ἔχοντος. καί ἐστιν ἡ ΛΓ . ἡ ἄρα τοῦ πολυγώνου περίμετρος πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ πρὸς . ταῦτα δέ ἐστι τριπλάσια καὶ ἔτι ὑπερέχει 10 , ἅπερ μείζονα ἐστι δέκα ἑβδομηκοστομόνων· ὅ ἐστι ἔγγιστα, τὰ δὲ δεκαπλάσια τούτων . πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασία καὶ δέκα ἑβδομηκοστομόνα.
Ὡς15 μὲν οὖν ἐνεχώρει, οἱ παρ' αὐτοῦ εἰρημένοι ἀριθμοὶ μετρίως ἐσαφηνίσθησαν. ἰστέον δέ, ὅτι καὶ Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ἐν τῷ Ὠκυτοκίῳ ἀπέδειξεν αὐτὸ δι' ἀριθμῶν ἑτέρων ἐπὶ τὸ σύνεγγυς μᾶλλον ἀγαγών. τοῦτο δὲ ἀκριβέστερον μὲν εἶναι δοκεῖ, οὐ 20 χρήσιμον δὲ πρὸς τὸν Ἀρχιμήδους σκοπόν. ἔφαμεν γὰρ αὐτὸν σκοπόν ἔχειν ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ τὸ σύνεγγυς εὑρεῖν διὰ τὰς ἐν τῷ βίῳ χρείας. ὥστε οὐδὲ Πόρος ὁ Νικαιεὺς εὔκαιρον εὑρεθήσεται μέμψιν ἐπάγων Ἀρχιμήδει ὡς μὴ ἀκριβῶς εὑρόντι, ποίᾳ εὐθείᾳ 25 ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια· ἐξ ὧν αὐτὸς ἐν τοῖς κηρίοις φησὶν τὸν ἑαθτοῦ διδάσκαλον, Φίλωνα λέγων τὸν ἀπὸ Γαδρων, εἰς ἀκριβεστέρους ἀριθμοὺς ἀγαγεῖν τῶν ὑπ' Ἀρχιμήδους εἰρημένων, τοῦ τε φημι καὶ τῶν . ἅπαντες γὰρ ἐφεξῆς φαίνονται 302 τὸν σκοπὸν αὐτοῦ ἠγνοηκότες. κέχρηνται δὲ καὶ τοῖς τῶν μυριάδων πολλαπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς, οἷς οὐκ εὔκολον παρακολουθεῖν τὸν μὴ διὰ τῶν Μάγνου λογιστικῶν ἠγμένον. εἰ δέ τις ὅλως ἐβούλετο εἰς 5 ἔλαττον αὐτὸ καταγαγεῖν, ἐχρῆν τοῖς ἐν τῇ μαθηματικῇ συντάξει Κλαυδίου Πτολεμαίου εἰρημένοῖς ἀκολουθοῦντα διὰ τῶν μοιρῶν καὶ λεπτῶν καὶ τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν τοῦτο ποιεῖν, καὶ πεποιήκειν ἂν ἐγὼ τοῦτο, εἰ μή, ὅπερ πολλάκις εἶπον, ἐνενόουν, ὡς 10 οὔτε ἀκριβῶς δυνατὸν διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων εὑρεῖν τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν, καὶ εἴ τις τὸ σύνεγγυς καὶ παρὰ μικρὸν προσέχοι, ἀρκεῖ τὰ ὑπ' Ἀρχιμήδους ἐνταῦθα εἰρημένα.
Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς Ἀρχιμήδους 15 τοῦ κύκλου μέτρησιν ἐκδόσεως παραναγνωσθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ.[10]
Eftersom sålunda ΑΓ har ett förhållande till ΓΛ mindre än tilll 66, har alltså ΛΓ omvänt ett förhållande till ΓΑ större än 66 till . Och eftersom periferin ΓΒ är en sjättedel av cirkelns periferi, alltså är ΗΓ en 12-del, ΘΓ en 24:e, ΚΓ en 48:e och ΛΓ en 96:e. Sålunda är den räta linjen ΛΓ en sida i en polygon, som har 96 sidor. Och ΛΓ är 66. Alltså har polygonens perimeter ett förhållande till cirkelns diameter större än 6336 till . Och detta är tre gånger och överstiger därtill med , vilket är större än tio sjuttioendelar, vilken ungefär är och tio gånger detta är 277. Alltså är cirkelns periferi mycket större än tre gånger och tio sjuttioendelar av diametern.
Sålunda är det alltså möjligt, att de av honom nämnda mäte-talen bestämts. Det är även noterbart, att även Apollonios från Perga i Ocytocium[8] har visat detta och nått närmare genom andra siffror. Och detta tycks vara exaktare, men ej användbart för Archimedes' undersökning. Ty vi sade, att undersökningen i denna bok var, att finna ett närmevärde för behoven i livet. Så att det inte skall finnas en påpasslig Sporos från Nicaea, som anför klagomål på Archimedes, som ej exakt funnit, med vilken rät linje cirkelns periferi är lika med. I enlighet med vad Sporos säger i Aristoteliska vaxkakor, att hans lärare, nämligen Filon från Gadara,Q Q) Filon från Gadara, andra århundradet e.Kr., grekisk matematiker. har nått till exaktare siffror, än dem Archimedes nämnda, och . Ty alla efterkommande verkar vara ovetande om hans undersökning och de har använt multiplikationer och divisioner av myriader, vilka inte är enkla att följa, för den som inte tagit sig igenom Magnos' Logistik[9]. Och om någon generellt ville föra detta närmevärde närmare, är det nödvändigt, att göra detta med vad Klaudios Ptolemaios' nämner i Almagest, genom grader, minuter och kordor. Även jag hade gjort detta, om inte, som jag ofta sagt, jag förstått, att det inte är möjligt, att genom det här nämnda exakt finna en rät linje lika med cirkelns periferi, men om någon skulle nöja sig med ett närmevärde, som avviker lite, räcker det här, som har nämnts av Archimedes.
Eutokios' från Askalon kommentar till Archimedes' Cirkelns mätning utgåva genomgången av Isidoros, ingenjör från Miletos,R R) Isidoros från Miletos, 500-talet, bysantinsk arkitekt. vår lärare.