Eutokios

Kommentarer till Archimedes

Eutokios från Askalon

Den senantike matematikern och filosofen Eutokios från Askalon, en stad något norr om Gaza, levde i slutet av 500-talet och början av 600-talet. För sina studier hade han vid sin tid i stort sett endast Aten och Alexandria att välja mellan. Han valde förmodligen det närliggande Alexandria och fick då bl.a. Ammonios HermeiouA A) Ammonios Hermeiou, dvs. Hermias' son, ca 435-450 - efter 517, nyplatonisk filosof utbildad i Aten och verksam i Alexandria. såsom lärare. Han tillägnade senare sin kommentar till Archimedes' Om sfären och cylindern till denne - κράτιστε φιλοσόφων Ἀμμώνιε. Eutokios efterträdde förmodligen också Ammonios, som i sin tur varit elev till Proklos,B B) Proklos, 412-485, matematiker och nyplatonisk filosof, född i Konstantinopel, utbildad och verksam i Alexandria, men slutligen även i Aten. såsom offentligt avlönad lärare i Alexandria.

De skrifter av Eutokios, som finns bevarade, omfattar kommentarer till de fyra första böckerna av Apollonios'C C) Apollonios från Perga, 262 f.Kr.-190 f.Kr., grekisk matematiker och astronom. Av hans banbrytande verk Om kägelsnitt i åttta böcker finns de fyra första, som Eutokios kommenterar, bevarade på grekiska, de tre nästföljande i arabisk översättning, medan den sista är förlorad. Kägelsnitt samt till Archimedes'D D) Archimedes från Syrakusa, antikens störste matematiker, 287 f.Kr.-212 f.Kr., antikens störste matematiker, men är också välkänd genom sina mekaniska konstruktioner. Läs om hans liv och verk här intill. Om sfären och cylindern, Plans jämvikt I, Plans jämvikt II och Cirkelns mätning, som återges här. Inte i någon av sina kommentarer har Eutokios bidragit med några egna upptäckter, men han har rikligt försett dem med upplysningar om matematikens historia i Grekland. Man kan säkert anta, att Eutokios' verksamhet som kommentator har bidragit till de kommenterade verkens bevarande. [1]

Multiplikationer

I kommentaren till Cirkelns mätning återges ett antal multiplikationer - egentligen är samtliga kvadreringar. Alltmedan de grekiska siffrorna förutsätts kända, kommer Eutokios' och hans samtidas metod för multiplikation beskrivas något i det följande.[2]

Talen ställs upp på samma sätt som är vanligt idag, multiplikand först och därunder multiplikatorn.E E) Vid multiplikation av endast två tal kallas den första faktorn multiplikator och den andra multiplikand. De individuella multiplikationerna sker därefter från vänster till höger och vid blandade tal gås dessutom bråken igenom i samma ordning - man brukade ange bråkdelen med stambråk,F F) Bråk där täljaren är 1. så det kan förekomma flera bråk per tal.

Eftersom de enskilda siffrorna kan representera många fler tal än våra tio och man vill undvika en omfattande multiplikationstabell - nedtecknad eller ihågkommen, tar man talens baser (πυθμένες), multiplicerar dessa och ger därpå produkten dess rätta magnitud.G G) En metod för detta finns beskriven i Archimedes' Sandräknaren i slutet av III. Så summeras alla delprodukter, men därmed inte nog, om det ingår bråk i multiplikationen, återstår framtagandet av stambråk såsom en sista utmaning.H H) Se t.ex. Wikipedia för senare tiders metoder. En representation av stambråk är emellertid inte entydig, utan kan utgöras av olika bråk och dessutom ibland ersättas av vanliga bråk.[3]

Eutokios' kommentar

In dimensionem circuli

Ἐχόμενον[264] ἂν εἴη τὸν ἐμὸν πληροῦντι σκοπὸν τοῖς σαφεστέροις καὶ βραχυτέρας ἐπιστάσεως δεομένοις τῶν ὑπ' Ἀρχιμήδους γεγραμμένων ἐντυγχάνοντι καὶ τὰ ὀπωσοῦν ἐν αὐτοῖς ἐπεξεργασίας δεόμενα τὸν δυνατὸν 5 τρόπον συνεψῆ ποιεῖν τοῖς πρότερον ὑφ' ἡμῶν ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γεγραμμένοις εὐχῆς ὡς ἀληθῶς ἀξίου τυγχάνοντος τοῦ καὶ τοῖς μείζοσι καὶ κλείνος φροντίδος δεομένοις ἐπιστῆναι. εἴη δ' ἂν ὡς πρὸς τὸ προκείμενον ἐφεξῆς τὸ γεγραμμένον Ἀρχι­μήδει 10 βιβλίδιον κύκλου μέτρησιν τὴν ἐπιγραφὴν ἔχον, ἐν ᾧ τὴν πρόθεσιν τἀνδρὸς ἐξ αὐτῆς τῆς ἐπιγραφῆς γνωρίζομεν. βούλεται γὰρ ἐπιδεῖξαι, τίνι χωωρίῳ εὐ­θυγράμμῳ ἴσος ἂν εἴη κύκλος, πρᾶγμα πάλαι πρὸς τῶν πρὸ αὐτοῦ κλεινῶν φιλοσόφων ἐξητημένον. δῆλον 15 γάρ, ὅτι τουτὶ ἂν εἴη τὸ ζητούμενον, ὅπερ Ἱπποκρά­της τε ὁ Χῖος καὶ Ἀντιφῶν ζητήσαντες ἐπιμελῶς ἐκεί­νους ἡμῖν τοὺς παραλογισμοὺς εὑρήκασιν, οὓς ἀκρι­βῶς εἰδέναι νομίζς τοὺς τε τὴν Εὐδήμου γεωμετρικὴν ἱστορίαν ἐπεσκεμμένους καὶ τῶν Ἀριστοτελικῶν μετα­σχόντας 20 κηρίων. ἀλλ' ἐστι μὲν τοῦρο τὸ βιβλίον, ὥς [266] φησιν Ἡρακλείδης ἐν τῷ Ἀρχιμήδους βίῳ, πρὸς τὰς τοῦ βίου χρείας ἀναγκαῖον· δείκνυσιν γάρ, ὅτι ἡ περι­φέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάττονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει, μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδο­μηκοστομόνοις. 5 τοῦτο οὖν φησιν σύνεγγυς δεδεῖχθαι, εὑρῆσθαι μέντοι αὐτῳ διά τινον ἑλίκων εὐθεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ κύκλου περιφερείᾳ.

Till cirkelns mätning

...

Εἰς τὸ αʹ θεώρημα.

Τὸ10 πρὼτον θεώρεμα καὶ τοῖς ἐπὶ ποσὸν μαθημά­των γυμνασαμένοις οὐδεμίαν ἔχον ζήτησιν φαίνεται αὐτῶν τῶν Ἀρχιμήδους ῥημάτων σαφῶς ἐκτεθειμένων καὶ τὸ συμπέρασμα πρὸς τὴν πρότασιν ἐνελλειπῶς ἀποδωζόντων.

δοκεῖ15 δέ τινι κατακεχρῆσθαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν πράγματι μηδέπς δεδειγμένῳ. ἐκθέμενος γὰρ τρίγω­νον ὀρθογώνιόν φησιν· ἐχέτω τὴν μίαν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἴσην τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, τὴν δὲ λοιπὴν τῇ περιφερείᾳ. ἀλλὰ περιφερείᾳ κύκλου ἴσην εὐθεῖαν λα­βεῖν 20 οὐδὲ πρὸς αὐτοῦ ἤδη δεδενγμένον εἶναι, ἀλλ' οὐδε ὑπ' ἄλλου παραδεδομένον. συνορᾶν δὲ ὅμως χρὴ, ὡς οὐδὲν ἔξω τῶν προσηκόντων ὑπ' Ἀρχιμήδους γρά­φεται. εἶναι γάρ τι μέγεθος τὴν περιφέρειαν τοῦ κύ­κλου παντί που δῆλον, οἶμαι, καὶ τοῦτο τῶν ἐφ' ἓν 25 διαστάτων. ἔστιν δὲ καὶ εὐθεῖα τοῦ αὐτοῦ εἴδους. καὶ εἰ μηδέπω οὖν ἐφάνη δυνατὸν περιφερείᾳ κύκλου ἴσην εὐθεῖαν πορίσασθαι, ἀλλ' ὅμως εἶναί τινα τῇ [268] φύσει εὐθεῖαν ἴσην αὐτὸ πρὸς οὐδενός ἐστι ζητούμε­νον. τὸ τοίνυν καὶ πρὸς Ἀρχιμήδους πρότεθὲν τοι­οὔτόν ἐστιν· ὅτι τὸ τρίγωνον τὸ ὀρθογώνιον τὸ ἔχον, ὡς προείρηται, τὰς πλευρὰς ἴσον ἐστὶ τῷ κύκλῳ. ὥστε 5 τὸ προτεθὲν ἐκθέμενος οὐδεμιᾶς ἂν καταχρήσεως χρί­νοιτο, θαυμαστὸς δ' ἂν μᾶλλον κἀν τούτοις δόξειεν τοῖς οὕτως ὑπερμεγέθεσιν τῶν ζητημάτων σαφῆ καὶ ῥαδίαν τὴν εὕρησιν ἐπιτιθείς. ὡς δὲ εἴρηται, οὐδε­μιᾶς δεῖ ζητήσεως τῷ πρώτῳ θεωρήματι. τὸ γὰρ ΠΟΡ 10 τρίγωνον ὅτι μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΖΟΜ σχήματος, καὶ ὅτι ἁπλῶς περὶ τὸν δοθέντα κύκλον δυνατὸν εὐθύγραμμον περιγράψαι ὥστε τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τῶν τοῦ κλου περιφερειῶν καὶ τῶν πλευ­ρῶν τοῦ περιγραφομένου εὐθυγράμμου ἐλάττονα εἶναι 15 τοῦ δοθέντος χωρίου, σαφῶς εἴρεται ἐν τοῖς εἰς τὸ πρῶτον τῶν περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γεγραμμέ­νοις ἡμῖν.

...

...

Εἰς τὸ βʹ θεώρημα.

Ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι συνεχῶς ἐπιταττόμεθα 20 τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρεῖν. τοῦτο δὲ ἀκριβῶς μὲν εὑρεῖν ἐπὶ ἀριθμοῦ μὴ ὄντος τετραγώνου ἀδύνατον. ἀριθμὸς μὲν γὰρ ἐφ' ἑυατὸν πολλαπλασιαξόμενος ποιεῖ τινα τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ ἀριθμὸς δὲ καὶ μόριον ἐφ' ἑαυτὰ γενό­μενα 25 οὐκέτι ἀριθμὸν ποιεῖ πλήση, ἀλλὰ καὶ μόριον. [270] ὅπως δὲ δεῖ σύνεγγυς τὴν δυναμένην πλευρὰν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν εὑρεῖν, εἴρεται μὲν Ἥρωνι ἐν τοῖς μετρικοῖς, εἴρηται δὲ Πάππῳ καὶ Θέωνι καὶ ἑτέροις πλείοσιν ἐξηγουμένοις τὴν μεγάλην σύνταξιν τοῦ Κλαυ­δίου 5 Πτολεμαίου. ὥστε οὐδὲν ἡμᾶς χρὴ περὶ τούτου ζητεῖν ἐξὸν τοῖς φιλομαθέσιν ἐξ ἐκείνων ἀναλέγεσθαι.

Καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτον ὀρθῆϛ | ἐὰν γὰρ τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιφέρειαν διχοτομήσαντες καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς πρὸς τῷ Γ ἀπολαβόντες ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΖ, 10 ἔσται ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτον ὀρθῆς. ἡ γὰρ πρὸς τῷ Γ ἀποληφθεῖσα περιφέρεια ἡμίσεια οὖδα τῆς τοῦ ἑξαγώ­νου δωδέκατόν ἐστι τοῦ κύκλου· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα δωδέκατόν ἐστι τῶν τεσσάρων ὀρθῶν· τρίτον ἄρα ὀρθῆς.

15 ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν τϛ ʹ πρὸς ρνγ ʹ | ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ, δῆλον ἐντεϋ­θεν· ἐὰν γὰρ προσεκβαλόντες τὴν ΖΓ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἴσον αὐτῇ ἀποθέμενοι ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ Ε, συστα­θήσεται ἡ πρὸς τῷ Γ γωνία δίμοιρον ὀρυῆς. ἔστιν 20 δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία δίμοιρον ὀρθῆς. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ δίμοιρον. ἰσοπλεύρου ἄρα τρι­γώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΓΕΖ. καὶ διὰ τὸ τὴν βάσιν τοῦ ἰσοπλεύρου ἴσην οὖδαν τῇ ΕΖ δίχα τέμνεσθαι κατὰ τὸ Γ, διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ.

25 δὲ ΕΓ πρὸς ΓΖ λόγον ἔχει, ὃν σξε ʹ πρὸς ρνγ ʹ | ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ὑπόκειται τϛ ʹ , ἐὰν αὐτὰ ἐφ' [272] ἑαθτὰ πολυπλασιάσωμεν, γενήσεται Μ θ ͵ γχλϛ ʹ . ἡ δὲ ΓΖ ἐστι ρνγ ʹ · ὥστε τὸ ἀπ' αὐτῆς ἔσται Μ β ͵ γυθ ʹ . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΖ, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ὄντος Μ θ ͵ γχλϛ ʹ ἀφέλωμεν τὸ 5 ἀπὸ ΓΖ ὑπάρχον Μ β ͵ γυθ ʹ καταλειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΕΓ Μ ζ σκζ ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ σξε ʹ καὶ ἔτι μόριον ἐλάχιστον καὶ ἀνεπαίσθητον· λείπεται γὰρ ἡ τῶν σξε ʹ δύναμις τῆς ἀκριβοῦς μονάσιν β ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

...

...

ἡ ΕΖ τϛʹ ἐπὶ τϛʹ Μθ ͵αωʹ ͵αωʹ λϛʹ ὁμοῦ Μθ͵γχλϛʹ
ἡ ΖΓ ρνγʹ ἐπὶ ρνγʹ Μα ͵εʹ τʹ ͵εʹ ͵βφʹ ρνʹ τʹ ρνʹ θʹ ὁμοῦ Μβ͵γυθʹ
τὰ δὲ σξεʹ ἐπὶ σξεʹ Μδ Μα͵βʹ ͵αʹ Μα͵βʹ ͵γχʹ τʹ ͵αʹ τʹ κεʹ ὁμοῦ Μζσκεʹ

Τετμήθω10 οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ διὰ τὸ τρίτον θεώρημα τοῦ ἕκτου βιβλίου τῆς Εὐκλείδου στοιχειώδεως. καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΓ πρὸς ΓΗ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς 15 συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πρὸς [274] ΓΗ. συναμφότερος δὲ ἡ ΕΖ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἤπερ φοα ʹ ἡ μὲν γὰρ ΖΕ ὑπόκειται τϛ ʹ ἡ δὲ ΕΓ σξε ʹ καὶ ἔτι μορίου τινός· ὥστε μείζονές εἰσι τῶν φοα ʹ · ἡ δὲ ΖΓ ἐστι ρνγ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΖΕ, ΕΓ 5 πρὸς ΖΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ φοα ʹ πρὸς ρνγ ʹ , ὥστε καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ φοα ʹ πρὸς ρνγ ʹ .

Ἡ ΗΕ ἄρα πρὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει, ὃν Μλδ ͵ θυν ʹ πρὸς Μβ ͵ γυθ ʹ | συναχθήσεται δὲ τοῦτο οὕτωϛ· 10 ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχουσα, ἤπερ φοα ʹ πρὸς ρνγ ʹ , εἴ τις ὑποθοῖτο τὴν μὲν ΕΓ φοα ʹ , τὴν δὲ ΓΗ ρνγ ʹ , ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μλβ ͵ϛμα ʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ Μβ ͵γυθ ʹ , συναμφότερα δὲ ἴσα ὄντα τῷ ἀπὸ ΕΗ ἔσται Μλδ ͵θυν ʹ . τούτων πλευρὰ τε­τραγωνικὴ 15 φϙαʹ ηʹʹ ἔγγιστα· ἐλλείπει γὰρ ὁ ἀπὸ τοῦ φϙαʹ ηʹʹ τετράγωνος εἰς τὸ ἀκριβὲς μο καʹ ϛʹʹ ιεʹʹ ἔγγιστα. ἡ ἄρα ΕΗ πρὸς ΗΓ δυνάμει μὲν λόγον ἔχει, ὃν Μλδ ͵θυν ʹ πρὸς Μβ ͵γυθ ʹ , μήκει δέ, ὃν φϙαʹ ηʹʹ ἔγγιστα πρὸς ρνγ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκειται·

...

ἡ ΕΓ φοαʹ ἐπὶ φοαʹ Μκε Μγ͵εʹ φʹ Μγ͵εʹ ͵δϡʹ οʹ φʹ οʹ αʹ ὁμοῦ Μλβ͵ϛμαʹ
ἡ ΗΓ ρνγʹ ἐπὶ ρνγʹ Μα ͵εʹ τʹ ͵εʹ ͵βφʹ ρνʹ τʹ ρνʹ θʹ ὁμοῦ Μβ͵γυθʹ
φϙαʹηʹʹ ἐπὶ φϙαʹηʹʹ Μκε Μδ͵εʹ φʹ ξβʹ𐅵ʹʹ Μδ͵εʹ ͵ηρʹ ϙʹ ιαʹδʹʹ φʹ ϙʹ αʹ ηʹʹ ξβʹ𐅵ʹʹ ιαʹδʹʹ ηʹʹ ξδʹʹ ὁμοῦ Μλδ͵θυκηʹ𐅵ʹʹδʹʹξδʹʹ

Πάλιν[276] δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΘΕ. διὰ τὰ αὐτὰ ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤ, ὃν ͵ αρξβʹ ηʹʹ πρὸς ρνγ ʹ | γίνεται γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας, ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΗΘ πρὸς ΘΓ. καὶ συν­θέντι, 5 ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ. καὶ ἐναλλάξ ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΕΓ φοα ʹ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΗ ͵ αρξβʹ ηʹʹ καὶ ἔτι μορίου τινός. μείχονες ἄρα εἰσὶν ἢ ͵ αρξβ ʹ η ʹʹ . καί ἐστιν ἡ ΗΓ ρνγ ʹ . 10 συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λό­γον ἔχει ἤπερ ͵ αρξβ ʹ η ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ .

Ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν ͵ αροβ ʹ η ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ | ἔπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ ͵ αρξβ ʹ η ʹʹ πρὸς 15 ρνγ ʹ , εἴ τις ὑποθοῖτο αὐτὰς οὕτως ἔχειν, ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μρλε φλδ ʹ 𐅵 ʹʹ ξδ ʹʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΘ Μβ ͵ γυθ ʹ . τὸ ἄρα ἀπὸ ΕΘ ἴσον ὂν τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΘ ἔσται Μρλζ ͵ γϡμγ ʹ 𐅵 ʹʹ ξδ ʹʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ αροβ ʹ η ʹʹ ἔγγιστα. λείπεται γὰρ τῆς ἀκριβοῦς δυνάμεως τὸ ἀπ' 20 αὐτῆς μο ξϛʹ 𐅵 ʹʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

...

[278]
ἡ ΕΓ ͵αρξβʹηʹʹ ἐπὶ ͵αρξβʹηʹʹ Μρ Μι Μϛ ͵βʹ ρκεʹ Μι Μα ͵ϛʹ σʹ ιβʹ𐅵ʹʹ Μϛ ͵ϛʹ ͵γχʹ ρκʹ ζʹ𐅵ʹʹ ͵βʹ σʹ ρκʹ δʹ δʹʹ ρκεʹ ιβʹ𐅵ʹʹ ζʹ𐅵ʹʹ δʹʹ ξδʹʹ ὁμοῦ Μρλεφλδʹ𐅵ʹʹξδʹʹ
ἡ ΘΓ ρνγʹ ἐπὶ ρνγʹ Μα ͵εʹ τʹ ͵εʹ ͵βφʹ ρνʹ τʹ ρνʹ θʹ ὁμοῦ Μβ͵γυθʹ
͵αροβʹηʹʹ ἐπὶ ͵αροβʹηʹʹ Μρ Μι Μζ ͵βʹ ρκεʹ Μι Μα ͵ζʹ σʹ ιβʹ𐅵ʹʹ Μζ ͵ζʹ ͵δϡʹ ρμʹ ηʹ𐅵ʹʹδʹʹ ͵βʹ σʹ ρμʹ δʹ δʹʹ ρκεʹ ιβʹ𐅵ʹʹ ηʹ𐅵ʹʹδʹʹ δʹʹ ξδʹʹ ὁμοῦ Μρλζ͵γωοϛʹξδʹʹ

ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκρι­βοῦς μο ξϛʹ 𐅵 ʹʹ.

Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ. ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ | πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς ὑπὸ ΘΕΓ γωνίας ἐστίν, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΚ πρὸς ΓΚ. καὶ συν­ηέντι 5 ὡς συναμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΓ πρὸς ΓΚ. ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ΘΕ ͵ αροβ ʹ η ʹʹ καὶ ἔτι μορίου τονός, ἡ δὲ ΕΓ ͵ αρξβ ʹ η ʹʹ καὶ ἔτι μορίου τινός, συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ 10 ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ . καὶ ὑπόκειται ἡ ΘΓ ρνγ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ .

[280] ΕΚ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ | πάλιν γὰρ ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ μὲν ΕΓ ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ , ἡ δὲ ΓΚ ρνγ ʹ , ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μφμδ ͵ ηψκγ ʹ ιϛ ʹʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΚ Μ β ͵ γυθ ʹ . τού­τοις 5 δὲ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΚΕ. ἔσται ἄρα Μ φμζ ͵ βρλβ ʹ ιϛ ʹʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ἔγγιστα ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ . λείπει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκριπβοῦς μο μαʹ 𐅵 ʹʹ . οἱ δὲ πολλα­πλασιασμοὶ ὑπόκειται·

...

ἡ ΕΓ ͵βτλδʹδʹʹ ἐπὶ ͵βτλδʹδʹʹ Μυ Μξ Μϛ ͵ηʹ φʹ Μξ Μθ ͵θʹ ͵ασʹ οεʹ Μϛ ͵θʹ ϡʹ ρκʹ ζʹ𐅵ʹʹ ͵ηʹ ͵ασʹ ρκʹ ιϛʹ αʹ φʹ οεʹ ζʹ𐅵ʹʹ αʹ ιϛʹʹ ὁμοῦ Μφμδ͵ηψκγʹιϛʹʹ
ἡ ΓΚ ρνγʹ ἐπὶ ρνγʹ Μα ͵εʹ τʹ ͵εʹ ͵βφʹ ρνʹ τʹ ρνʹ θʹ ὁμοῦ Μβ͵γυθʹ
͵βτλθʹδʹʹ ἐπὶ ͵βτλθʹδʹʹ Μυ Μξ Μϛ Μα͵ηʹ φʹ Μξ Μθ ͵θʹ ͵βψʹ οεʹ Μϛ ͵θʹ ϡʹ σοʹ ζʹ𐅵ʹʹ Μα͵ηʹ ͵βψʹ σοʹ παʹ βʹδʹʹ φʹ οεʹ ζʹ𐅵ʹʹ βʹδʹʹ ιϛʹʹ ὁμοῦ Μφμζ͵βϙʹ𐅵ʹʹιϛʹʹ

ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκρι­βοῦς μο μαʹ 𐅵 ʹʹ.

Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΕΛ. ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς 10 ΓΛ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ τὰ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ πρὸς [282] ρνγ ʹ | πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας ἐστίν, ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΛ πρὸς ΛΓ, καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΓΛ. ἐναλλάξ ὡς συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΓΚ, 5 ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ. καὶ ἐστιν ἡ μὲν ΚΕ ͵ βτλθ ʹ δ ʹʹ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΓ ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ καὶ ἔτι μορίου τινός. συναμφότερος ἄρα ἡ ΚΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ . καί ἐστιν ἡ ΚΓ ρνγ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΚ, ΕΓ πρὸς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ 10 πρὸς ρνγ ʹ . ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς ΓΛ. καὶ ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΛ μεί­ζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ .

ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτον οὖσα ὀρηῆς δωδέκα­τον μέρος ἐστὶ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν, ταύτῆς δὲ ἡμί­σεια 15 ἡ ὑπὸ ΗΕΓ, ἡ ὑπὸ ΗΕΓ εἰκοστοτέτρατον ἂν εἴη. ταύτῆς δὲ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΕΓ, ὥστε μη ʹʹ ἐστιν. ταύ­τῆς δὲ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΓ. ϙϛ ʹʹ ἄρα ἐστίν. ἧς ἡμίσεια οὖσα ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ρϙβ ʹʹ ἐστιν.

κείσθω οὖν, φησιν, ἴση αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΓΕΜ, καὶ 20 ἐκβεβλήσθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Μ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ δι­πλασία οὖσα τῆςς ὑπὸ ΛΕΓ ϙϛ ʹʹ ἐστι τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. ὥστε καὶ ἡ ΛΜ πλευρά ἐστι τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφομένου πολυγώνου πλευράς ἔχοντος ϙϛ ʹʹ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ δέδεικται μείζονα λόγον 25 ἔχουσα, ἤπερ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ , καὶ ἐστι τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ, τῆς δὲ ΛΓ ἡ ΛΜ, καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΛΜ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ . ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜ πρὸς ΑΓ ἐλάττονα λόγον ἔχει, [284] ἤπερ ρνγ ʹ πρὸς ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΜ πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦπελυρὰς ἔχοντος ϙϛ ʹ , ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυγώνου ἐστὶ Μ α ͵ δχπη ʹ · ὁ γὰρ ϙϛ ʹ ἐπὶ τὸν ρνγ ʹ πολλαπλασιαζόμενος τοῦτον ποιεῖ. ἡ περίμετρος 5 ἄρα τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον ἐλάττονα λόγον ἔχει, ἤπερ Μ α ͵ δχπη ʹ πρὸς ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ . ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυγώνου τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει μο χξζʹ 𐅵 ʹʹ . ταῦτα δὲ ἐλατ­τονά ἐστι τοῦ ἑβδόμου τῆς διαμέτρου μιᾶς μονάδος 10 ἑβδόμῳ μέρει· τὰ γὰρ ἑπταπλάσια τῶν χξζʹ 𐅵 ʹʹ , ἅπερ ἐστὶ ͵ δχοβ ʹ 𐅵 ʹʹ , ἐλάττονά ἐστι τῆς διαμέτροῦ μο αʹ . ἐπεὶ οὖν τὸ πολύγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον καὶ ἔτι ἑβδόμῳ ὑπερέχον, ἡ δὲ περίμετρος τοῦ κύκλου ἐλάσ­σων ἐστὶ τῆς τοῦ πολυγώνου, πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου 15 περιφέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ὑπερ­έχει ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει.

Ἑξῆς δὲ κατασκευάζων τὸ λοιπὸν μέρος τοῦ θεω­ρήματός φησιν· ἔστω κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, καὶ τρίτον ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. τοῦτο δὲ 20 ἔσται, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Γ τῇ τοῦ ἑξαγώνου ἴσην ἀπολα­βόντες τὴν ΓΒ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΒ. ἡ γὰρ ἐπὶ τῆς τοῦ ἑξαγώνου περιφερείας βεβηκυῖα γωνία πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ δίμοιρόν ἐστιν ὀρθῆς, πρὸς δὲ τῇ περι­φερείᾳ τρίτον.

ἐπεὶ25 οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, τρίτον δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, δίμοιρον ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. ἐὰν ἄρα προσεκβάλλοντες τὴν ΓΒ ἐπὶ τὸ Β καὶ ἴσην αὐτῇ ἀπολαβόντες ἀπὸ τοῦ Α ἐπιζεύγωμεν, ἰσόπλευρον ἔσται [286] τὸ τρίγωνον. καὶ διὰ τὸ τὴν ΑΒ κάθετον διχοτομεῖν τὴν βάσιν διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν πά­λιν λάβωμεν τὴν ΑΓ ͵ αφξ ʹ ἔσται ἡ ΓΒ ψπ ʹ . καὶ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΓ ἔσται Μ σμγ ͵ γχ ʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΒ Μ ξ ͵ ηυ ʹ . καὶ 5 ἐὰν ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΓΒ ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΑΓ, λοιπὸν κατα­λειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΑΒ Μ ρπβ ͵ εσ ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ ατνα ʹ ἔγγιστα. περιττεύει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκρι­βοῦς μο αʹ . διό φησιν· ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἤπερ ͵ ατνα ʹ πρὸς ψπ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλα­σιασμοὶ 10 ὑπόκεινται·

...

ἡ ΑΓ ͵αφξʹ ἐπὶ ͵αφξʹ Μρ Μν Μϛ Μν Μκε Μγ Μϛ Μγ ͵γχʹ ὁμοῦ Μσμγ͵γχʹ
ἡ ΓΒ ψπʹ ἐπὶ ψπʹ Μμθ Με͵ϛʹ Με͵ϛʹ ͵ϛυʹ ὁμοῦ Μξ͵ηυʹ
͵ατναʹ ἐπὶ ͵ατναʹ Μρ Μλ Με ͵αʹ Μλ Μθ Μα͵εʹ τʹ Με Μα͵εʹ ͵βφʹ νʹ ͵ αʹ τʹ νʹ αʹ ὁμοῦ Μρπβ͵εσαʹ

Τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΖΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασιν· ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστιν 15 ἴση. καὶ κοινὴ ἡ ὑπο ΑΗΓ ὀρθή. καὶ λοιπὴ [288] ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΗΖ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. τῶν γὰρ ἰσογωνίων 5 τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί, καὶ ὁμόογοι αἱ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.

Ἀλλ' ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΓΒ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ | ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γω­νία 10 δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ, ἔστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ. καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. καὶ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἢ ͵ ατνα ʹ , ἡ δὲ ΑΓ 15 ͵ αφξ ʹ , ἡ δὲ ΒΓ ͵ ψπ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΒ, ΑΓ πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βϡια ʹ πρὸς ͵ ψπ ʹ . καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βϡια ʹ πρὸς ͵ ψπ ʹ . ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ. καὶ ἡ ΑΗ ἄρα πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, 20 ἤπερ ͵ βϡια ʹ πρὸς ͵ ψπ ʹ . διὰ οὖν ταῦτα ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΑΗ Μ ωμζ ͵ γϡκα ʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΗΓ Μ ξ ͵ ηυ ʹ . καὶ ἐστιν αὐτοῖς ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ. καὶ αὐτὸ ἄρα ἔσται Μ ϡη ͵ βτκα ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ γιγ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ ἔγγιστα· ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῶν τῆς ἀκριβοῦς δυνάμεως μο τξη ʹ ιϛ ʹʹ . διὰ ταῦτα οὖν φησιν, ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ ἐλάσ­σονα [290] λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ γιγ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ πρὸς ͵ ψπ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

...

ἡ ΑΗ ͵βϡιαʹ ἐπὶ ͵βϡιαʹ Μυ Μρπ Μβ ͵βʹ Μρπ Μπα ͵θʹ ϡʹ Μβ ͵θʹ ρʹ ιʹ ͵βʹ ϡʹ ιʹ αʹ ὁμοῦ Μωμζ͵γϡκαʹ

τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΓ Μϡη ͵ βτκα ʹ

ἡ ΗΓ ψπʹ ἐπὶ ψπʹ Μμθ Με͵ϛʹ Με͵ϛʹ ͵ϛυʹ ὁμοῦ Μξ͵ηυʹ
͵γιγʹ𐅵ʹʹδʹʹ ἐπὶ ͵γιγʹ𐅵ʹʹδʹʹ Μϡ Μγ ͵θʹ ͵αφʹ ψνʹ Μγ ρʹ λʹ εʹ βʹ𐅵ʹʹ ͵θʹ λʹ θʹ αʹ𐅵ʹʹ 𐅵ʹʹδʹʹ ͵αφʹ εʹ αʹ𐅵ʹʹ δʹʹ ηʹʹ ψνʹ βʹ𐅵ʹʹ 𐅵ʹʹδʹʹ ηʹʹ ιϛʹʹ ὁμοῦ Μϡη͵βχπζʹιϛʹʹ

ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς μο τξηʹ ιϛ ʹʹ.

Δίχα ἠ ΓΑΗ τῇ ΑΘ. διὰ οὖν τὴν διχο­τομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων 5 καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἀναλλάξ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ. καὶ ὑπέκειτο ἡ μὲν ΑΗ ἐλάσ­σων ἡ ͵ βϡια ʹ , ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἤπερ ͵ γιγ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΑ, ΑΓ ἐστιν ἐλάσσων ἤ 10 ͵ εϡκδ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ . ἡ δὲ ΗΓ ἐστι ψπ ʹ . συναμφότερος ἄρα [292] ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ εϡκδ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ πρὸς ψπ ʹ . ὥστε καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ εϡκδ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ πρὸς ψπ ʹ . ὥστε ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ υνε ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ 5 πρὸς ξ ʹ · ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρος ἐστὶ μέρος ιγ ʹ . καὶ τὰ τούτων τετραπλάσια, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ αωκγ ʹ πρὸς σμ ʹ . διὰ τοῦτο γάρ φησιν, ὅτι ἑκατέρα ἑκατέρας ἐστὶ δ' δ ʹ ιγ ʹʹ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΘ ἐστιν ͵ αωκγ ʹ , τὸ ἄρα ἀπ' αὐτῆς ἐστι Μ τλβ ͵ γτκθ ʹ . 10 ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ ʹ , καὶ τὸ ἀπ' αὐτῆς Μ ε ͵ ζχ ʹ . καὶ ἐστι τοῖς ἀπὸ ΑΘ, ΘΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ. ἔσται ἄρα Μ τλη ϡκθ ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ αωλη ʹ θ ʹ ια ʹʹ . τὸ γὰρ ἀπ' αὐτῆς ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς μο τκα ʹ ἐγγύς. ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ´εχει. ἤπερ 15 ͵ αωλη ʹ θ ʹ ια ʹʹ πρὸς σμ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπό­κεινται·

...

[294]
ἡ ΑΘ ͵αωκγʹ ἐπὶ ͵αωκγʹ Μρ Μπ Μβ ͵γʹ Μπ Μξδ Μα͵ϛʹ ͵βυʹ Μβ Μα͵ϛʹ υʹ ξʹ ͵γʹ ͵βυʹ ξʹ θʹ ὁμοῦ Μτλβ͵γτκθʹ

τούτοις ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ Μτλη ϡκθ ʹ ἐστιν.

ἡ ΘΓ σμʹ ἐπὶ σμʹ Μδ ͵ηʹ ͵ηʹ ͵αχʹ ὁμοῦ Με͵ζχʹ
͵αωληʹθʹʹιαʹʹ ἐπὶ ͵αωληʹθʹʹιαʹʹ Μρ Μπ Μγ ͵ηʹ ριαʹθʹʹ ϙʹιια Μπ Μξδ Μβ͵δʹ ͵ϛυʹ πηʹηθ οβʹηια Μγ Μβ͵δʹ ϡʹ σμʹ γʹγθ βʹηια ͵ηʹ ͵ϛυʹ σμʹ ξδʹ ηθ ηια ριαʹθʹʹ πηʹηθ γʹγθ ηθ παʹʹ ϙθʹʹ ϙʹιια οβʹηια βʹηια ηια ϙθʹʹ ρκαʹʹ ὁμοῦ Μτλζ͵ηϡπϛʹδθβιαπαʹʹβϙθρκαʹʹ

ὑπερέχει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς μο τκαʹ ἐγγύς.

Ἔτι[296] δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία τῇ ΚΑ. πάλιν οὖν διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ 5 ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ. ἀλλὰ συναμ­φότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ͵ γχξα ʹ θ ʹ ια ʹʹ , ἐπειδὴ ἡ μὲν ΘΑ ὑπόκειται ͵ αωκγ ʹ , ἡ δὲ ΑΓ ͵ αωλη ʹ θ ʹ ια ʹʹ . ἔσιτν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ 10 ͵ γχξα ʹ θ ʹ ια ʹʹ πρὸς σμ ʹ . ὥστε καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ γχξα ʹ θ ʹ ια ʹʹ πρὸς σμ ʹ . καὶ ἐπεὶ τῶν μὲν ͵ γχξα ʹ θ ʹ ια ʹʹ τὸ ια ʹ καὶ μ ʹʹ ἐστι ͵ αζ ʹ , τῶν δὲ σμ ʹ ξϛ ʹ , ἡ ΑΚ ἄρα πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ αζ ʹ πρὸς ξϛ ʹ . καὶ ἐστι τὸ μὲν 15 ἀπὸ ΑΚ Μ ρα ͵ δμθ ʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΚΓ ͵ δτνϛ ʹ , οἷς ἴσον ὄν τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστι Μ ρα ͵ ηυε ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ αθ ʹ ϛ ʹʹ ἔγγιστα. ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκρι­βοῦς μο ιβ ʹ γ ʹʹ λϛ ʹʹ . ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ αθ ʹ ϛ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ . Οἱ δὲ πολλα­πλασισμοὶ 20 ὑποκεινται·

...

ἡ ΑΚ ͵αζʹ ἐπὶ ͵αζʹ Μρ ͵ζʹ ͵ζʹ μθʹ ὁμοῦ Μρα͵δμθʹ

τούτοις ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστι Μρα ͵ ηυεʹ .

ἡ ΚΓ ξϛʹ ἐπὶ ξϛʹ ͵γχʹ τξʹ τξʹ λϛʹ ὁμοῦ ͵δτνϛʹ
͵αθʹηʹʹ ἐπὶ ͵αθʹηʹʹ Μρ ͵θʹ ρκεʹ ͵θʹ παʹ αʹηʹʹ ρκεʹ αʹηʹʹ ξδʹʹ ὁμοῦ Μρα͵ητλγʹδʹʹξδʹʹ

ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς μο ιβʹ γ ʹʹ λϛ ʹʹ .

Ἔτι[298] δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ γωνία τῇ ΑΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐσιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ, ἡ ΑΛ πρὸς ΛΓ. καὶ ἐστιν ἡ μὲν ΑΚ ἐλάσσων ἤ ͵ αζ ʹ , ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἤ ͵ αθ ʹ ϛ ʹʹ , ἡ δὲ ΚΓ ξϛ ʹ . 5 συναμφότερος ἄρα ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βιϛ ʹ ϛ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ . καὶ ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βιϛ ʹ ϛ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΛ ὑπόκειται ͵ βιϛ ʹ ϛ ʹʹ , καὶ τὸ ἀπ' αὐτῆς Μ υϛ ͵ δϡκη ʹ λϛ ʹʹ , ἡ δὲ ΛΓ ξϛ ʹ , καὶ τὸ ἀπ' 10 αὐτῆς ͵ δτνϛ ʹ , ἴσον δὲ αὐτοῖς ἐστι τὸ ἀπὸ ΑΓ, ἔσται ἄρα Μ υϛ ͵ θσπδ ʹ λϛ ʹʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνική ἐστι ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ ἔγγιστα. ὑπερέχει τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς μο ιγ ʹ 𐅵 ʹʹ κ ʹʹ . ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλασσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

...

ἡ ΑΛ ͵βιϛʹϛʹʹ ἐπὶ ͵βιϛʹϛʹʹ Μυ Μβ Μα͵βʹ τλγʹγʹʹ Μβ ρʹ ξʹ αʹ𐅵ʹʹϛʹʹ Μα͵βʹ ξʹ λϛʹ αʹ τλγʹγʹʹ αʹ𐅵ʹʹϛʹʹ αʹ λϛʹʹ ὁμοῦ Μυϛ͵δϡκηʹλϛʹʹ

τούτοις ἴσον ὂν τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστι Μυϛ ͵ θσπδ ʹ λϛ ʹʹ .

ἡ ΛΓ ξϛʹ ἐπὶ ξϛʹ ͵γχʹ τξʹ τξʹ λϛʹ ὁμοῦ ͵δτνϛʹ
͵βιζʹδʹʹ ἐπὶ ͵βιζʹδʹʹ Μυ Μβ Μα͵δʹ φʹ Μβ ρʹ οʹ βʹ𐅵ʹʹ Μα͵δʹ οʹ μθʹ αʹ𐅵ʹʹδʹʹ φʹ βʹ𐅵ʹʹ αʹ𐅵ʹʹδʹʹ ιϛʹʹ ὁμοῦ Μυϛ͵θσϙζʹ𐅵ʹʹιϛʹʹ

περιττεύει τοῦ ἀκριβοῦς μο ιγ ʹ 𐅵 ʹʹ κ ʹʹ .

Ἐπεὶ15 οὖν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, [300] ἤπερ ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ , ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ξϛ ʹ πρὸς ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἡ ΗΓ ἄρα ιβ ʹ μέρος ἐστίν, ἡ δὲ ΘΓ κδ ʹ , ἡ δὲ ΚΓ μη ʹ , ἡ δὲ 5 ΛΓ ϙϛ ʹ . ὥστε ἡ ΛΓ εὐθεῖα πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ ϙϛ ʹ πλευρὰς ἔχοντος. καί ἐστιν ἡ ΛΓ ξϛ ʹ . ἡ ἄρα τοῦ πολυγώνου περίμετρος πρὸς τὴν τοῦ κύ­κλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ ϛτλϛ ʹ πρὸς ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ . ταῦτα δέ ἐστι τριπλάσια καὶ ἔτι ὑπερ­έχει 10 σπδ ʹ δ ʹʹ , ἅπερ μείζονα ἐστι δέκα ἑβδομηκοστομό­νων· ὅ ἐστι μο κζ ʹ 𐅵 ʹʹ ϛ ʹʹ ἔγγιστα, τὰ δὲ δεκαπλάσια τούτων σοζ ʹ . πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου περι­φέρεια μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασία καὶ δέκα ἑβ­δομηκοστομόνα.

Ὡς15 μὲν οὖν ἐνεχώρει, οἱ παρ' αὐτοῦ εἰρημένοι ἀριθμοὶ μετρίως ἐσαφηνίσθησαν. ἰστέον δέ, ὅτι καὶ Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ἐν τῷ Ὠχυτοκίῳ ἀπέδειξεν αὐτὸ δι' ἀριθμῶν ἑτέρων ἐπὶ τὸ σύνεγγυς μᾶλλον ἀγαγών. τοῦτο δὲ ἀκριβέστερον μὲν εἶναι δοκεῖ, οὐ 20 χρήσιμον δὲ πρὸς τὸν Ἀρχιμήδους σκοπόν. ἔφαμεν γὰρ αὐτὸν σκοπόν ἔχειν ἐν τῷ βίῳ χρείας. ὥστε αὐδὲ Πόρος ὁ Νικαιεὺς εὔκαιρον εὑρεθήσεται μέμψιν ἐπ­άγων Ἀρχιμήδει ὡς μὴ ἀκριβῶς εὑρόντι, ποίᾳ εὐθείᾳ 25 ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια· ἐξ ὧν αὐτὸς ἐν τοῖς κηρίοις φησὶν τὸν ἑαθτοῦ διδάσκαλον, Φίλωνα λέγων τὸν ἀπὸ Γαδρων, εἰς ἀκριβεστέρους ἀριθμοὺς ἀγαγεῖν τῶν ὑπ' Ἀρχιμήδους εἰρημένων, τοῦ τε ζ ʹʹ φημι καὶ τῶν ι ʹ οα ʹʹ . ἅπαντες γὰρ ἐφεξῆς φαίνονται [302] τὸν σκοπὸν αὐτοῦ ἠγνοηκότες. κέχρηνται δὲ καὶ τοῖς τῶν μυράδων πολλαπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς, οἷς οὐκ εὔκολον παρακολουθεῖν τὸν μὴ διὰ τῶν Μάγνου λογιστικῶν ἠγμένον. εἰ δέ τις ὅλως ἐβδούλετο εἰς 5 ἔλαττον αὐτὸ καταγαγεῖν, ἐχρῆν τοῖς ἐν τῇ μαθημα­τικῇ συντάξει Κλαυδίου Πτολεμαίου εἰρημένοῖς ἀκο­λουθοῦντα διὰ τῶν μοιρῶν καὶ λεπτῶν καὶ τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν τοῦτο ποιεῖν, καὶ πεποιήκειν ἂν ἐγὼ τοῦτο, εἰ μή, ὅπερ πολλάκις εἶπον, ἐνενόουν, ὡς 10 οὔτε ἀκριβῶς δυνατὸν διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων εὑρεῖν τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν, καὶ εἴ τις τὸ σύνεγγυς καὶ παρὰ μμικρὸν προσέχοι, ἀρκεῖ τὰ ὑπ' Ἀρχιμήδους ἐνταῦθα εἰρημένα.

Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς Ἀρχι­μήδους 15 τοῦ κύκλου μέτρησιν ἐκδόσεως παραναγνω­σθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ δι­δασκάλῳ.[4]

...