Eutokios

Kommentarer till Archimedes

Eutokios från Askalon

Den senantike matematikern och filosofen Eutokios från Askalon, en stad något norr om Gaza, levde i slutet av 500-talet och början av 600-talet. För sina studier hade han vid sin tid i stort sett endast Aten och Alexandria att välja mellan. Han valde förmodligen det närliggande Alexandria och fick då bl.a. Ammonios HermeiouA A) Ammonios Hermeiou, dvs. Hermias' son, ca 435-450 - efter 517, nyplatonisk filosof utbildad i Aten och verksam i Alexandria. såsom lärare. Han tillägnade senare sin kommentar till Archimedes' Om sfären och cylindern till denne - κράτιστε φιλοσόφων Ἀμμώνιε. Eutokios efterträdde förmodligen också Ammonios, som i sin tur varit elev till Proklos,B B) Proklos, 412-485, matematiker och nyplatonisk filosof, född i Konstantinopel, utbildad och verksam i Alexandria, men slutligen även i Aten. såsom offentligt avlönad lärare i Alexandria.

De skrifter av Eutokios, som finns bevarade, omfattar kommentarer till de fyra första böckerna av Apollonios'C C) Apollonios från Perga, 262 f.Kr.-190 f.Kr., grekisk matematiker och astronom. Av hans banbrytande verk Om kägelsnitt i åttta böcker finns de fyra första, som Eutokios kommenterar, bevarade på grekiska, de tre nästföljande i arabisk översättning, medan den sista är förlorad. Kägelsnitt samt till Archimedes'D D) Archimedes från Syrakusa, antikens störste matematiker, 287 f.Kr.-212 f.Kr., antikens störste matematiker, men är också välkänd genom sina mekaniska konstruktioner. Läs om hans liv och verk här intill. Om sfären och cylindern, Plans jämvikt I, Plans jämvikt II och Cirkelns mätning, som återges här. Inte i någon av sina kommentarer har Eutokios bidragit med några egna upptäckter, men han har rikligt försett dem med upplysningar om matematikens historia i Grekland. Man kan säkert anta, att Eutokios' verksamhet som kommentator har bidragit till de kommenterade verkens bevarande.[1]

Multiplikationer

I kommentaren till Cirkelns mätning återges ett antal multiplikationer - egentligen är samtliga kvadreringar. Alltmedan de grekiska siffrorna förutsätts kända, kommer Eutokios' och hans samtidas metod för multiplikation beskrivas något i det följande.[2]

Talen ställs upp på samma sätt som är vanligt idag, multiplikand först och därunder multiplikatorn.E E) Vid multiplikation av endast två tal kallas den första faktorn multiplikator och den andra multiplikand. De individuella multiplikationerna sker därefter från vänster till höger och vid blandade tal gås dessutom bråken igenom i samma ordning - man brukade ange bråkdelen med stambråk,F F) Bråk där täljaren är 1. så det kan förekomma flera bråk per tal.

Eftersom de enskilda siffrorna kan representera många fler tal än våra tio och man vill undvika en omfattande multiplikationstabell - nedtecknad eller ihågkommen, tar man talens baser (πυθμένες), multiplicerar dessa och ger därpå produkten dess rätta magnitud.G G) En metod för detta finns beskriven i Archimedes' Sandräknaren i slutet av III. Så summeras alla delprodukter, men därmed inte nog, om det ingår bråk i multiplikationen, återstår framtagandet av stambråk såsom en sista utmaning.H H) Se t.ex. Wikipedia för senare tiders metoder. En representation av stambråk är emellertid inte entydig, utan kan utgöras av olika bråk och dessutom ibland ersättas av vanliga bråk.[3]

Eutokios' kommentar

In dimensionem circuli

Ἐχόμενον[264] ἂν εἴη τὸν ἐμὸν πληροῦντι σκοπὸν τοῖς σαφεστέροις καὶ βραχυτέρας ἐπιστάσεως δεομένοις τῶν ὑπ' Ἀρχιμήδους γεγραμμένων ἐντυγχάνοντι καὶ τὰ ὀπωσοῦν ἐν αὐτοῖς ἐπεξεργασίας δεόμενα τὸν δυνατὸν 5 τρόπον συνεχῆ ποιεῖν τοῖς πρότερον ὑφ' ἡμῶν ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γεγραμμένοις εὐχῆς ὡς ἀληθῶς ἀξίου τυγχάνοντος τοῦ καὶ τοῖς μείζοσι καὶ πλείονος φροντίδος δεομένοις ἐπιστῆναι.[4] εἴη δ' ἂν ὡς πρὸς τὸ προκείμενον ἐφεξῆς τὸ γεγραμμένον Ἀρχι­μήδει 10 βιβλίδιον κύκλου μέτρησιν τὴν ἐπιγραφὴν ἔχον, ἐν ᾧ τὴν πρόθεσιν τἀνδρὸς ἐξ αὐτῆς τῆς ἐπιγραφῆς γνωρίζομεν. βούλεται γὰρ ἐπιδεῖξαι, τίνι χωρίῳ εὐ­θυγράμμῳ ἴσος ἂν εἴη κύκλος, πρᾶγμα πάλαι πρὸς τῶν πρὸ αὐτοῦ κλεινῶν φιλοσόφων ἐξητημένον. δῆλον 15 γάρ, ὅτι τουτὶ ἂν εἴη τὸ ζητούμενον, ὅπερ Ἱπποκρά­της τε ὁ Χῖος καὶ Ἀντιφῶν ζητήσαντες ἐπιμελῶς ἐκεί­νους ἡμῖν τοὺς παραλογισμοὺς εὑρήκασιν, οὓς ἀκρι­βῶς εἰδέναι νομίζω τοὺς τε τὴν Εὐδήμου γεωμετρικὴν ἱστορίαν ἐπεσκεμμένους καὶ τῶν Ἀριστοτελικῶν μετα­σχόντας 20 κηρίων. ἀλλ' ἐστι μὲν τοῦτο τὸ βιβλίον, ὥς [266] φησιν Ἡρακλείδης ἐν τῷ Ἀρχιμήδους βίῳ, πρὸς τὰς τοῦ βίου χρείας ἀναγκαῖον· δείκνυσιν γάρ, ὅτι ἡ περι­φέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάττονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει, μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδο­μηκοστομόνοις. 5 τοῦτο οὖν φησιν σύνεγγυς δεδεῖχθαι, εὑρῆσθαι μέντοι αὐτῳ διά τινων ἑλίκων εὐθεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ κύκλου περιφερείᾳ.

Till cirkelns mätning

Det finns för min studies fullbordan i det följande för dem, som påträffas i Archimedes' skrifter, vilka är tydligare och kräver en obetydlig uppmärksamhet, och dem, vilka i dessa skifter liksom saknar en utredning, sammanställningar att göra (så långt det är möjligt) med våra tidigare skrifter kring Om Sfären och Cylindern, med en målsättning, som verkligen är värd att uppfylla, och att ägna sig åt de viktigare och dem, som kräver större eftertanke. Men det är fortsättningsvis den i tur föreliggande av Archimedes skrivna boken, som har titeln Cirkelns mätning, i vilken vi förstår denne mans föresats ur själva titeln. Ty han menar sig ha visat, att cirkeln är lika med med någon rätlinjig figurs yta, saker, vilka förr av kända filosofer före honom själv har rådbråkats. Ty det är tydligt, att detta var, vad han sökte, såsom Hippokrates från ChiosI I) Hippokrates av Chios, ca 470 - ca 410 f.Kr., grekisk matematiker och astronom. och Antifon,J J) Antifon, ca 480 - ca 411 f.Kr., grekisk filosof och sofist verksam i Aten. vilka omsorgsfullt sökande har funnit ut felslut åt oss, vilka jag anser de korrekt ha känt till, som gått igenom Eudemos'K K) Eudemus från Rhodos, grekisk filosof, ca 370 - ca 300 f.Kr.. geometriska historia och tagit del av Aristoteliska vaxkakor.[5] Men denna bok är, såsom Herakleides säger i Archimedes liv,[6] nödvändig för livets nödtorft, ty den visar, att periferin[7] till diametern är tre gånger och därtill överstiger med mindre än en sjundedel, men mer än tio sjuttioendelar. Detta säger han alltså ha visat vara approximativt, ändå för sig ha funnit, genom några spirallinjer, en rät linje lika med den givna cirkelns periferi.

Εἰς τὸ αʹ θεώρημα.

Τὸ10 πρὼτον θεώρεμα καὶ τοῖς ἐπὶ ποσὸν μαθημά­των γυμνασαμένοις οὐδεμίαν ἔχον ζήτησιν φαίνεται αὐτῶν τῶν Ἀρχιμήδους ῥημάτων σαφῶς ἐκτεθειμένων καὶ τὸ συμπέρασμα πρὸς τὴν πρότασιν ἐνελλειπῶς ἀποσωζόντων.

δοκεῖ15 δέ τινι κατακεχρῆσθαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν πράγματι μηδέπω δεδειγμένῳ. ἐκθέμενος γὰρ τρίγω­νον ὀρθογώνιόν φησιν· ἐχέτω τὴν μίαν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἴσην τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, τὴν δὲ λοιπὴν τῇ περιφερείᾳ. ἀλλὰ περιφερείᾳ κύκλου ἴσην εὐθεῖαν λα­βεῖν 20 οὐδὲ πρὸς αὐτοῦ ἤδη δεδειγμένον εἶναι, ἀλλ' οὐδε ὑπ' ἄλλου παραδεδομένον. συνορᾶν δὲ ὅμως χρὴ, ὡς οὐδὲν ἔξω τῶν προσηκόντων ὑπ' Ἀρχιμήδους γρά­φεται. εἶναι γάρ τι μέγεθος τὴν περιφέρειαν τοῦ κύ­κλου παντί που δῆλον, οἶμαι, καὶ τοῦτο τῶν ἐφ' ἓν 25 διαστάτων. ἔστιν δὲ καὶ εὐθεῖα τοῦ αὐτοῦ εἴδους. καὶ εἰ μηδέπω οὖν ἐφάνη δυνατὸν περιφερείᾳ κύκλου ἴσην εὐθεῖαν πορίσασθαι, ἀλλ' ὅμως εἶναί τινα τῇ [268] φύσει εὐθεῖαν ἴσην αὐτὸ πρὸς οὐδενός ἐστι ζητούμε­νον. τὸ τοίνυν καὶ πρὸς Ἀρχιμήδους πρότεθὲν τοι­οὔτόν ἐστιν· ὅτι τὸ τρίγωνον τὸ ὀρθογώνιον τὸ ἔχον, ὡς προείρηται, τὰς πλευρὰς ἴσον ἐστὶ τῷ κύκλῳ. ὥστε 5 τὸ προτεθὲν ἐκθέμενος οὐδεμιᾶς ἂν καταχρήσεως κρί­νοιτο, θαυμαστὸς δ' ἂν μᾶλλον κἀν τούτοις δόξειεν τοῖς οὕτως ὑπερμεγέθεσιν τῶν ζητημάτων σαφῆ καὶ ῥαδίαν τὴν εὕρησιν ἐπιτιθείς. ὡς δὲ εἴρηται, οὐδε­μιᾶς δεῖ ζητήσεως τῷ πρώτῳ θεωρήματι. τὸ γὰρ ΠΟΡ 10 τρίγωνον ὅτι μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΖΟΜ σχήματος, καὶ ὅτι ἁπλῶς περὶ τὸν δοθέντα κύκλον δυνατὸν εὐθύγραμμον περιγράψαι ὥστε τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τῶν τοῦ κλου περιφερειῶν καὶ τῶν πλευ­ρῶν τοῦ περιγραφομένου εὐθυγράμμου ἐλάττονα εἶναι 15 τοῦ δοθέντος χωρίου, σαφῶς εἴρεται ἐν τοῖς εἰς τὸ πρῶτον τῶν περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γεγραμμέ­νοις ἡμῖν.

Till teorem 1.

Det första teoremet, som även för dem, som är föga övade i matematik, inget kontroversiellt innehåller, tycks, tydligt framställas ur Archimedes' egna utsagor och tvivelsutan säkerställa slutsatsen gentemot premissen.

Men någon ännu ej bevisad sak tycks ha utnyttjats för beviset. Ty förevisande en rätvinklig triangel säger han: Ha den ena av dem vid den räta lika med radien och den andra lika med periferin. Men att ta en linje lika med cirkelns periferi, har ännu inte vistats av honom och har heller inte förmedlats av annan. Det är ändå nödvändigt, att inse, att av Archimedes' skrivs inget utanför sammanhanget. Ty någon storlek på cirkelns periferi är kanske uppenbar för alla, tror jag, och denna är längs en av dimensionerna och är även en rät linje av samma typ. Även om det sålunda aldrig varit möjligt, att sätta en rät linje lika med cirkelns periferi, men att en sådan beskaffad likadan rät linje ändå finns, ifrågasätts inte av någon. Sålunda är detta och det, som framställts av Archimedes, sådant: att den rätvinkliga triangeln har, som sagts, sidor lika med cirkeln. Därför må det framställda med avseende på utställningen, inte för något enda missbruk ifrågasättas, utan snarare tycks en beundran för sådana överväligande problemens tydliga och enkla lösning vara passande. Men som har sagts, ingen undersökning krävs för första satsen. Ty att triangeln ΠΟΡ är större än hälften av figuren ΑΖΟΜ och att det är möjligt att entydigt runt en given cirkel omskriva en rätlinjig figur, så att snitten mellan cirkelns periferi och sidorna av den omskrivna rätlinjiga figuren är mindre än en given yta, undersöks tydligt i skrifterna av oss om första delen av Om sfären och cylindern.

Εἰς τὸ γʹ θεώρημα.

Ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι συνεχῶς ἐπιταττόμεθα 20 τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρεῖν. τοῦτο δὲ ἀκριβῶς μὲν εὑρεῖν ἐπὶ ἀριθμοῦ μὴ ὄντος τετραγώνου ἀδύνατον. ἀριθμὸς μὲν γὰρ ἐφ' ἑυατὸν πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ τινα τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ ἀριθμὸς δὲ καὶ μόριον ἐφ' ἑαυτὰ γενό­μενα 25 οὐκέτι ἀριθμὸν ποιεῖ πλήρη, ἀλλὰ καὶ μόριον. [270] ὅπως δὲ δεῖ σύνεγγυς τὴν δυναμένην πλευρὰν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν εὑρεῖν, εἴρηται μὲν Ἥρωνι ἐν τοῖς μετρικοῖς, εἴρηται δὲ Πάππῳ καὶ Θέωνι καὶ ἑτέροις πλείοσιν ἐξηγουμένοις τὴν μεγάλην σύνταξιν τοῦ Κλαυ­δίου 5 Πτολεμαίου. ὥστε οὐδὲν ἡμᾶς χρὴ περὶ τούτου ζητεῖν ἐξὸν τοῖς φιλομαθέσιν ἐξ ἐκείνων ἀναλέγεσθαι.

Καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτου ὀρθῆϛ | ἐὰν γὰρ τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιφέρειαν διχοτομήσαντες καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς πρὸς τῷ Γ ἀπολαβόντες ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΖ, 10 ἔσται ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτον ὀρθῆς. ἡ γὰρ πρὸς τῷ Γ ἀποληφθεῖσα περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τῆς τοῦ ἑξαγώ­νου δωδέκατόν ἐστι τοῦ κύκλου· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα δωδέκατόν ἐστι τῶν τεσσάρων ὀρθῶν· τρίτον ἄρα ὀρθῆς.

15 ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν τϛ ʹ πρὸς ρνγ ʹ | ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ, δῆλον ἐντεϋ­θεν· ἐὰν γὰρ προσεκβαλόντες τὴν ΖΓ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἴσον αὐτῇ ἀποθέμενοι ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ Ε, συστα­θήσεται ἡ πρὸς τῷ Γ γωνία δίμοιρον ὀρυῆς. ἔστιν 20 δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία δίμοιρον ὀρθῆς. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ δίμοιρον. ἰσοπλεύρου ἄρα τρι­γώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΓΕΖ. καὶ διὰ τὸ τὴν βάσιν τοῦ ἰσοπλεύρου ἴσην οὖσαν τῇ ΕΖ δίχα τέμνεσθαι κατὰ τὸ Γ, διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ.

25 δὲ ΕΓ πρὸς ΓΖ λόγον ἔχει, ὃν σξε ʹ πρὸς ρνγ ʹ | ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ὑπόκειται τϛ ʹ , ἐὰν αὐτὰ ἐφ' [272] ἑαυτὰ πολυπλασιάσωμεν, γενήσεται Μ θ ͵ γχλϛ ʹ . ἡ δὲ ΓΖ ἐστι ρνγ ʹ · ὥστε τὸ ἀπ' αὐτῆς ἔσται Μ β ͵ γυθ ʹ . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΖ, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ὄντος Μ θ ͵ γχλϛ ʹ ἀφέλωμεν τὸ 5 ἀπὸ ΓΖ ὑπάρχον Μ β ͵ γυθ ʹ καταλειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΕΓ Μ ζ σκζ ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ σξε ʹ καὶ ἔτι μόριον ἐλάχιστον καὶ ἀνεπαίσθητον· λείπεται γὰρ ἡ τῶν σξε ʹ δύναμις τῆς ἀκριβοῦς μονάσιν β ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

Till teorem 3.

I detta teorem tar vi oss genomgående an, att finna det givna talets kvadratrot och att finna denna exakt på ett tal, som inte är en kvadrat, är omöjligt. Ty ett tal multiplicerat med sig självt gör ett kvadratiskt tal, men talet och en del av det gör inget helt tal, utan ett med delar. Och hur man ungefär bör finna kvadratroten av det givna talet, har förklaras av HeronL L) Heron från Alexandria, död efter 62, grekisk matematiker och ingenjör, som verkade vid Museion i Alexandria. i Metrika samt har förklarats av PapposM M) Pappos från Alexandria, ca 290 – ca 350, en av antikens sista stora matematiker., TheonN N) Theon av Alexandria, ca 335 - ca 405, matematiker. och av många andra, som kommenterat Klaudios Ptolemaios'O O) Klaudios Ptolemaios, ca 100 - efter 160, grekisk astronom, geograf och matematiker verksam i ALexandria. Almagest. På så sätt är det inte nödvändigt att vi undersöker detta, som är möjligt för filosoferna att lära sig från dessa.

Och vinkeln ΓΕΖ är en tredjedels rät | ty om vi sexhörningens båge, som vi tudelat och vars hälft vi tagit vid Γ, anslutit till ΕΖ, skall vinkeln ΓΕΖ vara en tredjedels rät. Ty bågen tagen vid Γ, som är hälften av sexhörningens, är en tolftedel av cirkeln, så att även vinkeln i ΓΕΖ, som ligger vid cirkelns centrum, är en tolftedel av fyra räta, alltså en tredjedels rät.

Alltså har ΕΖ ett förhållande till ΖΓ, som 306 till 153 | Att ΕΖ är dubbla ΖΓ, är uppenbart, ty om vi dragit ut ΖΓ till Γ och om vi lagt till en rät linje lika med den och dragit ut en rät linje från Ε, vinkeln vid Γ är hälften av en rät. Även hälften av en rät vinkel skall konstrueras vid Ε. Också vinkeln vid Ζ är hälften av en rät. Alltså är ΓΕΖ hälften av en liksidig triangel. Och eftersom basen av en liksidig triangel, som är lika med ΕΖ, delats i hälften vid Γ, är ΕΖ dubbla ΖΓ.

Och ΕΓ har till ΓΖ ett förhållande som 265 till 153 | Ty eftersom ΕΖ antas vara 306, och om vi multiplicerar detta med sig självt, skall det ge 93636. Och då ΓΖ är 153, skall sålunda detta med sig självt bli 23409. eftersom då kvadraten på ΕΖ är lika med dem på ΕΓ och ΓΖ,Euc.Prop.1.47 om vi från kvadraten ΕΖ, som är 93636, tar bort kvadraten på ΓΖ, som är 234009, blir kvadraten på ΕΓ kvar, 70227, en kvadrat vars sidor är 265 och dessutom en ytterst liten och omärkbar del. Ty kvadraten på 265 skiljer sig från det exakta med 2 ental. Multiplikationerna finns härunder:

ἡ ΕΖ τϛʹ ἐπὶ τϛʹ Μθ ͵αωʹ ͵αωʹ λϛʹ ὁμοῦ Μθ͵γχλϛʹ

λοιπὸν τὸ ἀπὸ ΕΓ Μζσκζʹ.

ἡ ΖΓ ρνγʹ ἐπὶ ρνγʹ Μα ͵εʹ τʹ ͵εʹ ͵βφʹ ρνʹ τʹ ρνʹ θʹ ὁμοῦ Μβ͵γυθʹ
τὰ δὲ σξεʹ ἐπὶ σξεʹ Μδ Μα͵βʹ ͵αʹ Μα͵βʹ ͵γχʹ τʹ ͵αʹ τʹ κεʹ ὁμοῦ Μζσκεʹ

λείπει ἄρα μονάδι βʹ εἴς τὸ ἀκριβές.

Τετμήσθω10 οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ διὰ τὸ τρίτον θεώρημα τοῦ ἕκτου βιβλίου τῆς Εὐκλείδου στοιχειώδεως. καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΓ πρὸς ΓΗ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς 15 συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πρὸς [274] ΓΗ. συναμφότερος δὲ ἡ ΕΖ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἤπερ φοα ʹ ἡ μὲν γὰρ ΖΕ ὑπόκειται τϛ ʹ ἡ δὲ ΕΓ σξε ʹ καὶ ἔτι μορίου τινός· ὥστε μείζονές εἰσι τῶν φοα ʹ · ἡ δὲ ΖΓ ἐστι ρνγ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΖΕ, ΕΓ 5 πρὸς ΖΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ φοα ʹ πρὸς ρνγ ʹ , ὥστε καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ φοα ʹ πρὸς ρνγ ʹ .

Ἡ ΗΕ ἄρα πρὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει, ὃν Μλδ ͵ θυν ʹ πρὸς Μβ ͵ γυθ ʹ | συναχθήσεται δὲ τοῦτο οὕτωϛ· 10 ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχουσα, ἤπερ φοα ʹ πρὸς ρνγ ʹ , εἴ τις ὑποθοῖτο τὴν μὲν ΕΓ φοα ʹ , τὴν δὲ ΓΗ ρνγ ʹ , ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μλβ ͵ϛμα ʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ Μβ ͵γυθ ʹ , συναμφότερα δὲ ἴσα ὄντα τῷ ἀπὸ ΕΗ ἔσται Μλδ ͵θυν ʹ . τούτων πλευρὰ τε­τραγωνικὴ 15 φϙαʹ ηʹʹ ἔγγιστα· ἐλλείπει γὰρ ὁ ἀπὸ τοῦ φϙαʹ ηʹʹ τετράγωνος εἰς τὸ ἀκριβὲς μο καʹ ϛʹʹ ιεʹʹ ἔγγιστα. ἡ ἄρα ΕΗ πρὸς ΗΓ δυνάμει μὲν λόγον ἔχει, ὃν Μλδ ͵θυν ʹ πρὸς Μβ ͵γυθ ʹ , μήκει δέ, ὃν φϙαʹ ηʹʹ ἔγγιστα πρὸς ρνγ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκειται·

Låt sålunda ha delat vinkeln ΖΕΓ i hälften med ΕΗ. Alltså såsom ΖΕ är till ΕΓ, är ΖΗ till ΗΓ på grund av Euklides' Elementas sjätte boks tredje sats.Euc.Prop.6.3 Och genom komposition såsom ΖΕ och ΕΓ sammantagna är till ΕΓ, så är ΖΓ till ΖΗ. Och alternerat, som ΖΕ och ΕΓ sammantagna är till ΖΓ, är ΕΓ till ΓΗ. Men sammantagna är ΕΖ och ΕΓ större än 571, ty antag ΖΕ var 306 samt ΕΓ 265 och ytterligare någon del, sålunda är de större än 571, men ΖΓ är 153. Sålunda har ΖΕ och ΕΓ sammantagna ett större förhållande till ΖΓ, än 571 till 153, så att även ΕΓ har ett större förhållande till ΗΓ, än 571 till 153.

Alltså har ΕΗ och ΗΓ i kvadrat ett förhållande större än 349450 till 23409 | Och detta skall sammanställas sålunda: Ty eftersom ΕΓ har visats ha ett större förhållande till ΓΗ, än 571 till 153, om någon må anta ΕΓ vara 571 och ΓΗ 153, blir kvadraten på ΕΓ 326041 och den på ΓΗ 23409 samt sammantagna blir de lika med den på ΕΗ, 349450, vars kvadratrot är knappt 591 1 8 , ty kvadraten på 591 1 8 saknar till det exakta 21 1 6 1 15 ental. Alltså har ΗΕ och ΗΓ i kvadrat ett förhållande, som 349450 är till 23409, och i längd, som 591 1 8 är till 153. Multiplikationerna finns härunder:

ἡ ΕΓ φοαʹ ἐπὶ φοαʹ Μκε Μγ͵εʹ φʹ Μγ͵εʹ ͵δϡʹ οʹ φʹ οʹ αʹ ὁμοῦ Μλβ͵ϛμαʹ

ἐκ τούτων συνάγεται τὸ ἀπὸ Μλδ͵θυνʹ .

ἡ ΗΓ ρνγʹ ἐπὶ ρνγʹ Μα ͵εʹ τʹ ͵εʹ ͵βφʹ ρνʹ τʹ ρνʹ θʹ ὁμοῦ Μβ͵γυθʹ
φϙαʹηʹʹ ἐπὶ φϙαʹηʹʹ Μκε Μδ͵εʹ φʹ ξβʹ𐅵ʹʹ Μδ͵εʹ ͵ηρʹ ϙʹ ιαʹδʹʹ φʹ ϙʹ αʹ ηʹʹ ξβʹ𐅵ʹʹ ιαʹδʹʹ ηʹʹ ξδʹʹ ὁμοῦ Μλδ͵θυκηʹ𐅵ʹʹδʹʹξδʹʹ

ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς μοκαʹϛʹʹιεʹʹ ἔγγιστα.

Πάλιν[276] δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΘΕ. διὰ τὰ αὐτὰ ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤ, ὃν ͵ αρξβʹ ηʹʹ πρὸς ρνγ ʹ | γίνεται γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας, ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΗΘ πρὸς ΘΓ. καὶ συν­θέντι, 5 ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ. καὶ ἐναλλάξ ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΕΓ φοα ʹ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΗ ͵ αρξβʹ ηʹʹ καὶ ἔτι μορίου τινός. μείζονες ἄρα εἰσὶν ἢ ͵ αρξβ ʹ η ʹʹ . καί ἐστιν ἡ ΗΓ ρνγ ʹ . 10 συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λό­γον ἔχει ἤπερ ͵ αρξβ ʹ η ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ .

Ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν ͵ αροβ ʹ η ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ | ἔπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ ͵ αρξβ ʹ η ʹʹ πρὸς 15 ρνγ ʹ , εἴ τις ὑποθοῖτο αὐτὰς οὕτως ἔχειν, ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μρλε φλδ ʹ 𐅵 ʹʹ ξδ ʹʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΘ Μβ ͵ γυθ ʹ . τὸ ἄρα ἀπὸ ΕΘ ἴσον ὂν τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΘ ἔσται Μρλζ ͵ γϡμγ ʹ 𐅵 ʹʹ ξδ ʹʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ αροβ ʹ η ʹʹ ἔγγιστα. λείπεται γὰρ τῆς ἀκριβοῦς δυνάμεως τὸ ἀπ' 20 αὐτῆς μο ξϛʹ 𐅵 ʹʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

Ånyo är vinkeln ΗΕΓ delad i hälften vid ΕΘ. Av samma skäl har alltså ΕΓ ett förhållande till ΓΘ större än 1162 1 8 till 153. | Ty av vinkelns tudelning följer, att som ΗΕ är till ΕΓ, är ΗΘ till ΘΓ. Och genom komposition att som ΗΕ och ΕΓ sammantagna är till ΗΓ, är ΗΓ till ΓΘ. Och alternerat, som ΗΕ och ΕΓ sammantagna är till ΗΓ, är ΕΓ till ΓΘ. Och ΕΓ är 571 och ytterligare någon del samt ΕΗ är 591 1 8 ytterligare någon del. Alltså är de större än 1162 1 8 och ΗΓ är 153. Alltså har ΗΕ och ΕΓ sammantagna ett större förhållande till ΗΓ än 1162 1 8 till 153.

Alltså har ΘΕ ett förhållande till ΘΓ större än 1172 1 8 till 153 | Ty eftersom ΕΓ har visats ha ett större förhållande till ΘΓ än 1162 1 8 till 153, om någon må anta att de sålunda har desamma, skall kvadraten på ΕΓ vara 1350534 1 2 1 64 , och den på ΓΘ 23409. Alltså är kvadraten på ΕΘ lika med dem på ΕΓ och ΓΘ, som blir 1350534 1 2 1 64 , vars kvadratrot är knappt 1172 1 8 . Ty dess kvadrat saknar 66 1 2 från den exakta kvadraten. Multiplikationerna finns härunder:

[278]
ἡ ΕΓ ͵αρξβʹηʹʹ ἐπὶ ͵αρξβʹηʹʹ Μρ Μι Μϛ ͵βʹ ρκεʹ Μι Μα ͵ϛʹ σʹ ιβʹ𐅵ʹʹ Μϛ ͵ϛʹ ͵γχʹ ρκʹ ζʹ𐅵ʹʹ ͵βʹ σʹ ρκʹ δʹ δʹʹ ρκεʹ ιβʹ𐅵ʹʹ ζʹ𐅵ʹʹ δʹʹ ξδʹʹ ὁμοῦ Μρλεφλδʹ𐅵ʹʹξδʹʹ

τὸ ἀπὸ ΕΘ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΘ ἐστι Μρλζ͵γϡμγʹ𐅵ʹʹξδʹʹ .

ἡ ΘΓ ρνγʹ ἐπὶ ρνγʹ Μα ͵εʹ τʹ ͵εʹ ͵βφʹ ρνʹ τʹ ρνʹ θʹ ὁμοῦ Μβ͵γυθʹ
͵αροβʹηʹʹ ἐπὶ ͵αροβʹηʹʹ Μρ Μι Μζ ͵βʹ ρκεʹ Μι Μα ͵ζʹ σʹ ιβʹ𐅵ʹʹ Μζ ͵ζʹ ͵δϡʹ ρμʹ ηʹ𐅵ʹʹδʹʹ ͵βʹ σʹ ρμʹ δʹ δʹʹ ρκεʹ ιβʹ𐅵ʹʹ ηʹ𐅵ʹʹδʹʹ δʹʹ ξδʹʹ ὁμοῦ Μρλζ͵γωοϛʹξδʹʹ

ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς μοξϛʹ𐅵ʹʹ .

Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ. ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ | πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς ὑπὸ ΘΕΓ γωνίας ἐστίν, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΚ πρὸς ΓΚ. καὶ συν­ηέντι 5 ὡς συναμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΓ πρὸς ΓΚ. ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ΘΕ ͵ αροβ ʹ η ʹʹ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΓ ͵ αρξβ ʹ η ʹʹ καὶ ἔτι μορίου τινός, συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ 10 ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ . καὶ ὑπόκειται ἡ ΘΓ ρνγ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ .

[280] ΕΚ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ὃν ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ | πάλιν γὰρ ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ μὲν ΕΓ ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ , ἡ δὲ ΓΚ ρνγ ʹ , ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μφμδ ͵ ηψκγ ʹ ιϛ ʹʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΚ Μ β ͵ γυθ ʹ . τού­τοις 5 δὲ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΚΕ. ἔσται ἄρα Μ φμζ ͵ βρλβ ʹ ιϛ ʹʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ἔγγιστα ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ . λείπει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκριπβοῦς μο μαʹ 𐅵 ʹʹ . οἱ δὲ πολλα­πλασιασμοὶ ὑπόκειται·

Låt därpå ha delat vinkeln ΘΕΓ i hälften med ΕΚ, alltså har ΕΓ ett större förhållande till ΓΚ än 2334 1 4 till 153 | Ty av vinkeln ΘΕΓ:s tudelning följer åter, att som ΗΕ är till ΕΓ, är ΗΘ till ΘΓ.Euc.Prop.6.3 Och genom komposition att som ΘΕ och ΕΓ sammantagna är till ΕΓ, är ΘΓ till ΓΚ. Och alternerat, som ΘΕ och ΕΓ sammantagna är till ΘΓ, är ΕΓ till ΓΚ. Och eftersom ΘΕ har visats vara 1172 1 8 och ytterligare någon del samt ΕΓ 1162 1 8 och ytterligare någon del, alltså är ΘΕ och ΕΓ sammantagna större än 2334 1 4 . Och antas ΘΓ vara 153, har alltså ΘΕ och ΕΓ sammantagna ett större förhållande till ΘΓ, än 2334 1 4 till 153.

Alltså har ΕΚ ett förhållande till ΓΚ större än, 2334 1 4 till 153 | Ty eftersom åter ΕΓ antas vara 2334 1 4 och ΓΚ 153, skall kvadraten på ΕΓ vara 5448723 1 16 och den på ΓΚ 23409. Och kvadraten på ΚΕ är lika med dessa. Alltså skall den vara 5472132 1 16 , vars kvadratrot är knappt 2334 1 4 . Ty dess kvadrat saknar 41 1 2 från den exakta kvadraten. Multiplikationerna finns härunder:

ἡ ΕΓ ͵βτλδʹδʹʹ ἐπὶ ͵βτλδʹδʹʹ Μυ Μξ Μϛ ͵ηʹ φʹ Μξ Μθ ͵θʹ ͵ασʹ οεʹ Μϛ ͵θʹ ϡʹ ρκʹ ζʹ𐅵ʹʹ ͵ηʹ ͵ασʹ ρκʹ ιϛʹ αʹ φʹ οεʹ ζʹ𐅵ʹʹ αʹ ιϛʹʹ ὁμοῦ Μφμδ͵ηψκγʹιϛʹʹ

ἐκ τούτων συνάγεται τὸ ἀπὸ ΕΚ Μφμζ͵βρλβʹιϛʹʹ .

ἡ ΓΚ ρνγʹ ἐπὶ ρνγʹ Μα ͵εʹ τʹ ͵εʹ ͵βφʹ ρνʹ τʹ ρνʹ θʹ ὁμοῦ Μβ͵γυθʹ
͵βτλθʹδʹʹ ἐπὶ ͵βτλθʹδʹʹ Μυ Μξ Μϛ Μα͵ηʹ φʹ Μξ Μθ ͵θʹ ͵βψʹ οεʹ Μϛ ͵θʹ ϡʹ σοʹ ζʹ𐅵ʹʹ Μα͵ηʹ ͵βψʹ σοʹ παʹ βʹδʹʹ φʹ οεʹ ζʹ𐅵ʹʹ βʹδʹʹ ιϛʹʹ ὁμοῦ Μφμζ͵βϙʹ𐅵ʹʹιϛʹʹ

ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς μομαʹ𐅵ʹʹ .

Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΕΛ. ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς 10 ΓΛ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ τὰ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ πρὸς [282] ρνγ ʹ | πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας ἐστίν, ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΛ πρὸς ΛΓ, καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΓΛ. ἐναλλάξ ὡς συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΓΚ, 5 ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ. καὶ ἐστιν ἡ μὲν ΚΕ ͵ βτλθ ʹ δ ʹʹ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΓ ͵ βτλδ ʹ δ ʹʹ καὶ ἔτι μορίου τινός. συναμφότερος ἄρα ἡ ΚΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ . καί ἐστιν ἡ ΚΓ ρνγ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΚ, ΕΓ πρὸς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ 10 πρὸς ρνγ ʹ . ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς ΓΛ. καὶ ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΛ μεί­ζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ .

ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτον οὖσα ὀρηῆς δωδέκα­τον μέρος ἐστὶ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν, ταύτῆς δὲ ἡμί­σεια 15 ἡ ὑπὸ ΗΕΓ, ἡ ὑπὸ ΗΕΓ εἰκοστοτέτρατον ἂν εἴη. ταύτῆς δὲ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΕΓ, ὥστε μη ʹʹ ἐστιν. ταύ­τῆς δὲ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΓ. ϙϛ ʹʹ ἄρα ἐστίν. ἧς ἡμίσεια οὖσα ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ρϙβ ʹʹ ἐστιν.

κείσθω οὖν, φησιν, ἴση αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΓΕΜ, καὶ 20 ἐκβεβλήσθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Μ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ δι­πλασία οὖσα τῆς ὑπὸ ΛΕΓ ϙϛ ʹʹ ἐστι τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. ὥστε καὶ ἡ ΛΜ πλευρά ἐστι τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφομένου πολυγώνου πλευράς ἔχοντος ϙϛ ʹ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ δέδεικται μείζονα λόγον 25 ἔχουσα, ἤπερ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ , καὶ ἐστι τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ, τῆς δὲ ΛΓ ἡ ΛΜ, καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΛΜ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ πρὸς ρνγ ʹ . ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜ πρὸς ΑΓ ἐλάττονα λόγον ἔχει, [284] ἤπερ ρνγ ʹ πρὸς ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΜ πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ πλευρὰς ἔχοντος ϙϛ ʹ , ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυγώνου ἐστὶ Μ α ͵ δχπη ʹ · ὁ γὰρ ϙϛ ʹ ἐπὶ τὸν ρνγ ʹ πολλαπλασιαζόμενος τοῦτον ποιεῖ. ἡ περίμετρος 5 ἄρα τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον ἐλάττονα λόγον ἔχει, ἤπερ Μ α ͵ δχπη ʹ πρὸς ͵ δχογ ʹ 𐅵 ʹʹ . ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυγώνου τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει μο χξζʹ 𐅵 ʹʹ . ταῦτα δὲ ἐλατ­τονά ἐστι τοῦ ἑβδόμου τῆς διαμέτρου μιᾶς μονάδος 10 ἑβδόμῳ μέρει· τὰ γὰρ ἑπταπλάσια τῶν χξζʹ 𐅵 ʹʹ , ἅπερ ἐστὶ ͵ δχοβ ʹ 𐅵 ʹʹ , ἐλάττονά ἐστι τῆς διαμέτροῦ μο αʹ . ἐπεὶ οὖν τὸ πολύγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον καὶ ἔτι ἑβδόμῳ ὑπερέχον, ἡ δὲ περίμετρος τοῦ κύκλου ἐλάσ­σων ἐστὶ τῆς τοῦ πολυγώνου, πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου 15 περιφέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ὑπερ­έχει ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει.

Ἑξῆς δὲ κατασκευάζων τὸ λοιπὸν μέρος τοῦ θεω­ρήματός φησιν· ἔστω κύκλος περὶP P) Archimedes har καὶ. διάμετρον τὴν ΑΓ, καὶ τρίτον ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. τοῦτο δὲ 20 ἔσται, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Γ τῇ τοῦ ἑξαγώνου ἴσην ἀπολα­βόντες τὴν ΓΒ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΒ. ἡ γὰρ ἐπὶ τῆς τοῦ ἑξαγώνου περιφερείας βεβηκυῖα γωνία πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ δίμοιρόν ἐστιν ὀρθῆς, πρὸς δὲ τῇ περι­φερείᾳ τρίτον.

ἐπεὶ25 οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, τρίτον δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, δίμοιρον ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. ἐὰν ἄρα προσεκβάλλοντες τὴν ΓΒ ἐπὶ τὸ Β καὶ ἴσην αὐτῇ ἀπολαβόντες ἀπὸ τοῦ Α ἐπιζεύξωμεν, ἰσόπλευρον ἔσται [286] τὸ τρίγωνον. καὶ διὰ τὸ τὴν ΑΒ κάθετον διχοτομεῖν τὴν βάσιν διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν πά­λιν λάβωμεν τὴν ΑΓ ͵ αφξ ʹ ἔσται ἡ ΓΒ ψπ ʹ . καὶ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΓ ἔσται Μ σμγ ͵ γχ ʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΓΒ Μ ξ ͵ ηυ ʹ . καὶ 5 ἐὰν ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΓΒ ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΑΓ, λοιπὸν κατα­λειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΑΒ Μ ρπβ ͵ εσ ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ ατνα ʹ ἔγγιστα. περιττεύει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκρι­βοῦς μο αʹ . διό φησιν· ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἤπερ ͵ ατνα ʹ πρὸς ψπ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλα­σιασμοὶ 10 ὑπόκεινται·

Låt därpå ha delat vinkeln ΚΕΓ i hälften med ΕΛ, alltså har ΕΓ ett större förhållande till ΓΛ, än 4673 1 2 till 153. | Ty av vinkeln ΚΕΓ:s tudelning följer åter, att som ΚΕ är till ΕΓ, är ΚΛ till ΛΓ.Euc.Prop.6.3 Och genom komposition att som ΚΕ och ΕΓ sammantagna är till ΕΓ, är ΚΓ till ΓΚ. Och alternerat,som ΚΕ och ΕΓ sammantagna är till ΚΓ, är ΕΓ till ΛΓ. Och ΚΕ är 2334 1 4 och ytterligare någon del samt ΕΓ 2334 1 4 och ytterligare någon del. Alltså är ΚΕ och ΕΓ sammantagna större än 4673 1 2 . Och ΚΓ är 153. Alltså har ΕΚ och ΕΓ sammantagna ett förhållande till ΚΓ större än 4673 1 2 till 153. Och ΕΚ och ΕΓ sammantagna är till ΚΓ, såsom ΕΓ till ΓΛ. Och alltså har ΕΓ ett förhållande till ΓΛ större än 4673 1 2 till 153.

Eftersom sålunda vinkeln ΖΕΓ, som är en tredjedel av en rät, är en tolftedel av fyra räta och dess hälft är vinkeln ΗΕΓ, bör vinkeln ΗΕΓ vara en tjugofjärdedel av en rät. Och dess hälft är vinkeln ΘΕΓ, så den är 1 48 av en rät. Och dess hälft är vinkeln ΚΕΓ, alltså är den 1 96 av en rät, vars hälft, som är vinkeln ΛΕΓ, är 1 192 av en rät.

Låt sålunda, säger han, ha antagit vinkel ΓΕΜ lika med denna och låt ha dragit ut ΖΓ till Μ. Alltså är vinkel ΛΕΜ, som är dubbla vinkel ΛΕΓ, 1 96 av fyra räta. Så att även ΛΜ är en sida i den polygon som omskriver cirkeln och har 96 sidor. Eftersom sålunda ΕΓ har visats ha ett förhållande till ΛΓ större än 4673 1 2 till 153 samt ΑΓ är dubbla ΕΓ och ΛΜ dubbla ΛΓ, alltså har även ΑΓ ett förhållande till ΛΜ större än 4673 1 2 till 153. Omvänt har alltså ΛΜ ett förhållande till ΑΓ mindre än 153 till 4673 1 2 . Och eftersom ΛΜ är en sida i polygonen, som har 96 sidor, är alltså polygonens perimeter 14688, ty 96 multiplicerat med 153 blir detta. Alltså har polygonens perimeter ett förhållande till diamtern ΑΓ mindre än 14688 till 4673 1 2 . Alltså är polygonens perimeter tre gånger cirkelns diameter och överstiger den därtill med 667 1 2 ental. Detta är mindre än en sjundedel av diametern med en sjundedel av ett ental, ty det sjufaldiga av 667 1 2 , vilket är 4673 1 2 , är 1 mindre än diametern. Eftersom sålunda polygonens perimeter är mindre än tre gånger och därtill en sjundedel tillagd samt perimeter för cirkeln är mindre än den för polygonen, alltså är cirkelns periferi mycket större än tre gånger dess diameter, och överstiger med mindre än en sjundedel.

Och därpå säger han förberedande om resterande del av teoremet: Låt vara en cirkeln kring diametern ΑΓ och vinkeln ΒΑΓ, en tredjedels rät. Och så blir det, om vi från punkten Γ skurit av en båge ΓΒ lika med sexhörningens båge och dragit ut ΑΒ. Ty vinkeln placerad på sexhörningens båge är vid cirkelns centrum två tredjedelar av en rät och vid periferin en tredjedel.

Eftersom sålunda vinkeln ΑΒΓ är rät och ΒΑΓ en tredjedel av en rät, är alltså ΑΓΒ två tredjedelar av en rät. Om vi alltså åt Β dragit ut ΓΒ samt tagit en lika med denna och förbundit med Α, blir triangeln liksidig. Och då höjden ΑΒ delar basen i två delar, är ΑΓ dubbla ΓΒ. Om vi så åter tar ΑΓ lika med 1560, blir ΓΒ lika med 780. Och kvadraten på ΑΓ blir 2433600 och den på ΓΒ 608400. Och om vi drar bort kvadraten på ΓΒ från den på ΑΓ, blir resten kvadraten på ΑΒ, 1825200, vars kvadratrot är knappt 1351. Ty dess kvadrat översiger det exakta med 1. Därför säger han: ΑΒ har ett förhållande till ΒΓ mindre än 1351 till 780. Multiplikationerna finns härunder:

ἡ ΑΓ ͵αφξʹ ἐπὶ ͵αφξʹ Μρ Μν Μϛ Μν Μκε Μγ Μϛ Μγ ͵γχʹ ὁμοῦ Μσμγ͵γχʹ

ἄν ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΒΓ ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΓΑ καταλείπονται Μρπβ͵εσʹ .

ἡ ΓΒ ψπʹ ἐπὶ ψπʹ Μμθ Με͵ϛʹ Με͵ϛʹ ͵ϛυʹ ὁμοῦ Μξ͵ηυʹ
͵ατναʹ ἐπὶ ͵ατναʹ Μρ Μλ Με ͵αʹ Μλ Μθ Μα͵εʹ τʹ Με Μα͵εʹ ͵βφʹ νʹ ͵αʹ τʹ νʹ αʹ ὁμοῦ Μρπβ͵εσαʹ

περιττεύει τοῖ ἀκριβοῦς μοαʹ .

Τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΖΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασιν· ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστιν 15 ἴση. καὶ κοινὴ ἡ ὑπο ΑΗΓ ὀρθή. καὶ λοιπὴ [288] ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΗΖ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. τῶν γὰρ ἰσογωνίων 5 τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί, καὶ ὁμόλογοι αἱ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.

Ἀλλ' ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΓΒ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ | ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γω­νία 10 δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ, ἔστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ. καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. καὶ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἢ ͵ ατνα ʹ , ἡ δὲ ΑΓ 15 ͵ αφξ ʹ , ἡ δὲ ΒΓ ͵ ψπ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΒ, ΑΓ πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βϡια ʹ πρὸς ͵ ψπ ʹ . καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βϡια ʹ πρὸς ͵ ψπ ʹ . ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ. καὶ ἡ ΑΗ ἄρα πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, 20 ἤπερ ͵ βϡια ʹ πρὸς ͵ ψπ ʹ . διὰ οὖν ταῦτα ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΑΗ Μ ωμζ ͵ γϡκα ʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΗΓ Μ ξ ͵ ηυ ʹ . καὶ ἐστιν αὐτοῖς ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ. καὶ αὐτὸ ἄρα ἔσται Μ ϡη ͵ βτκα ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ γιγ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ ἔγγιστα· ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῶν τῆς ἀκριβοῦς δυνάμεως μο τξη ʹ ιϛ ʹʹ . διὰ ταῦτα οὖν φησιν, ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ ἐλάσ­σονα [290] λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ γιγ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ πρὸς ͵ ψπ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

Låt ha delat vinkeln ΒΑΓ i hälften med ΑΖΔ. Sålunda eftersom vinkeln ΒΑΗ är lika med vinkeln ΗΓΒ, ty de har lagts på samma preiferi, men även med vinkeln ΗΑΓ och alltså är vinkeln ΗΓΒ lika med vinkeln ΗΑΓ. Och den räta vinkeln ΗΖΓ är gemensam. Alltså är den resterande vinkeln ΗΖΓ lika med den resterande vinkeln ΑΓΗ. Alltså är triangeln ΑΗΓ likvinklig med triangeln ΓΗΖ. Alltså som ΑΗ är till ΗΓ, är ΓΗ till ΗΖ och ΑΓ till ΓΖ. | Ty likvinkliga trianglars sidor vid de lika vinklarna är proportionella och de, som de lika vinklarna spänner upp, är homologa.Euc.Prop.6.4

Men som ΑΓ till ΓΖ är även ΓΑΒ sammantagen till ΒΓ. Och så är alltså ΒΑΓ sammantagen till ΒΓ som ΑΗ till ΗΓ. | Ty eftersom vinkel ΒΑΓ har delats i hälften av ΑΖ, är ΒΖ till ΖΓ som ΒΑ till ΑΓ. Och genom komposition såsom ΒΑ och ΑΓ sammantagna är till ΑΓ, är ΒΓ till ΓΖ. Och alternerat, såsom ΒΑ och ΑΓ är sammantagna till ΒΓ, är ΑΓ till ΓΖ. Och ΑΒ är mindre än 1351, ΑΓ är 1560 och ΒΓ 780. Alltså har ΑΒ och ΑΓ sammantagna ett förhållande till ΒΓ mindre än 2911 till 780. Och alltså har ΑΓ ett förhållande till ΓΖ mindre än 2911 till 780. Och såsom ΑΓ är till ΓΖ, är ΑΗ till ΗΓ. Och alltså har ΑΗ ett förhållande till ΗΓ mindre än 2911 till 780. Sålunda skall alltså av samma skäl kvadraten på ΑΗ vara 8473921 och den på ΗΓ 608400. Och lika med dem är den på ΑΓ, som alltså själv blir 9082321, vars kvadratrot är knappt 3013 1 2 1 4 , ty kvadraten på dem överstiger den exakta kvadraten med mindre än 368 1 16 . På grund av detta säger han, att ΑΓ har ett förhållande till ΓΗ mindre än 3013 1 2 1 4 till 780. Multiplikationerna finns härunder:

ἡ ΑΗ ͵βϡιαʹ ἐπὶ ͵βϡιαʹ Μυ Μρπ Μβ ͵βʹ Μρπ Μπα ͵θʹ ϡʹ Μβ ͵θʹ ρʹ ιʹ ͵βʹ ϡʹ ιʹ αʹ ὁμοῦ Μωμζ͵γϡκαʹ

τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΓ Μϡη͵βτκαʹ .

ἡ ΗΓ ψπʹ ἐπὶ ψπʹ Μμθ Με͵ϛʹ Με͵ϛʹ ͵ϛυʹ ὁμοῦ Μξ͵ηυʹ
͵γιγʹ𐅵ʹʹδʹʹ ἐπὶ ͵γιγʹ𐅵ʹʹδʹʹ Μϡ Μγ ͵θʹ ͵αφʹ ψνʹ Μγ ρʹ λʹ εʹ βʹ𐅵ʹʹ ͵θʹ λʹ θʹ αʹ𐅵ʹʹ 𐅵ʹʹδʹʹ ͵αφʹ εʹ αʹ𐅵ʹʹ δʹʹ ηʹʹ ψνʹ βʹ𐅵ʹʹ 𐅵ʹʹδʹʹ ηʹʹ ιϛʹʹ ὁμοῦ Μϡη͵βχπζʹιϛʹʹ

ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς μοτξηʹιϛʹʹ .

Δίχα ἠ ΓΑΗ τῇ ΑΘ. διὰ οὖν τὴν διχο­τομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων 5 καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἀναλλάξ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ. καὶ ὑπέκειτο ἡ μὲν ΑΗ ἐλάσ­σων ἤ ͵ βϡια ʹ , ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἤπερ ͵ γιγ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΑ, ΑΓ ἐστιν ἐλάσσων ἤ 10 ͵ εϡκδ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ . ἡ δὲ ΗΓ ἐστι ψπ ʹ . συναμφότερος ἄρα [292] ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ εϡκδ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ πρὸς ψπ ʹ . ὥστε καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ εϡκδ ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ πρὸς ψπ ʹ . ὥστε ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ υνε ʹ 𐅵 ʹʹ δ ʹʹ 5 πρὸς ξ ʹ · ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ἐστὶ μέρος ιγ ʹ . καὶ τὰ τούτων τετραπλάσια, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ αωκγ ʹ πρὸς σμ ʹ . διὰ τοῦτο γάρ φησιν, ὅτι ἑκατέρα ἑκατέρας ἐστὶ δ ʹ ιγ ʹʹ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΘ ἐστιν ͵ αωκγ ʹ , τὸ ἄρα ἀπ' αὐτῆς ἐστι Μ τλβ ͵ γτκθ ʹ . 10 ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ ʹ , καὶ τὸ ἀπ' αὐτῆς Μ ε ͵ ζχ ʹ . καὶ ἐστι τοῖς ἀπὸ ΑΘ, ΘΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ. ἔσται ἄρα Μ τλη ϡκθ ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ αωλη ʹ θ ʹ ια ʹʹ . τὸ γὰρ ἀπ' αὐτῆς ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς μο τκα ʹ ἐγγύς. ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ 15 ͵ αωλη ʹ θ ʹ ια ʹʹ πρὸς σμ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπό­κεινται·

Halvera ΓΑΗ med ΑΘ. Sålunda genom vinkelns halvering, trianglarnas likformighet och att sidornas är proportionella, är, genom komposition och alternerat, ΗΑ och ΑΓ sammantagna till ΗΓ, som ΑΘ är till ΘΓ. Och ΑΗ antogs vara mindre än 2911 och ΑΓ mindre än 3013 1 2 1 4 . Alltså är ΗΑ och ΑΓ sammantagna mindre än 5924 1 2 1 4 . Och ΗΓ är 780. Alltså har ΗΑ och ΑΓ sammantagna ett förhållande till ΗΓ mindre än 5924 1 2 1 4 till 780. Därför har även ΑΘ ett förhållande till ΘΓ mindre 5924 1 2 1 4 till 780. Därför har ΑΘ ett förhållande till ΘΓ mindre än 455 1 2 1 4 till 60, ty den ena är en 13-del av den andra. Och fyrfaldigade har ΑΘ ett förhållande till ΘΓ mindre än 1823 till 240. Sålunda, ty han säger detta, att den ena är 4 13 av den andra. Och eftersom ΑΘ är 1823, är alltså dess kvadrat 3323329. Och ΘΓ är 240 och dess kvadrat 57600. Och kvadraten ΑΓ är lika med dem på ΑΘ och ΘΓ. Alltså blir den 3380929, vars kvadratrot är 1838 9 11 . ty dess kvadrat överstiger den exakta med ungefär 321. Sålunda har ΑΓ ett förhållande till ΘΓ mindre än 1838 9 11 till 240. Multiplikationerna finns härunder:

[294]
ἡ ΑΘ ͵αωκγʹ ἐπὶ ͵αωκγʹ Μρ Μπ Μβ ͵γʹ Μπ Μξδ Μα͵ϛʹ ͵βυʹ Μβ Μα͵ϛʹ υʹ ξʹ ͵γʹ ͵βυʹ ξʹ θʹ ὁμοῦ Μτλβ͵γτκθʹ

τούτοις ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ Μτληϡκθʹ ἐστιν.

ἡ ΘΓ σμʹ ἐπὶ σμʹ Μδ ͵ηʹ ͵ηʹ ͵αχʹ ὁμοῦ Με͵ζχʹ
͵αωληʹθʹʹιαʹʹ ἐπὶ ͵αωληʹθʹʹιαʹʹ Μρ Μπ Μγ ͵ηʹ ριαʹθʹʹ ϙʹιια Μπ Μξδ Μβ͵δʹ ͵ϛυʹ πηʹηθ οβʹηια Μγ Μβ͵δʹ ϡʹ σμʹ γʹγθ βʹηια ͵ηʹ ͵ϛυʹ σμʹ ξδʹ ηθ ηια ριαʹθʹʹ πηʹηθ γʹγθ ηθ παʹʹ ϙθʹʹ ϙʹιια οβʹηια βʹηια ηια ϙθʹʹ ρκαʹʹ ὁμοῦ Μτλζ͵ηϡπϛʹδθβιαπαʹʹβϙθρκαʹʹ

ὑπερέχει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς μοτκαʹ ἐγγύς.

Ἔτι[296] δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία τῇ ΚΑ. πάλιν οὖν διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς συναμφότερος ἡ 5 ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ. ἀλλὰ συναμ­φότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ͵ γχξα ʹ θ ʹ ια ʹʹ , ἐπειδὴ ἡ μὲν ΘΑ ὑπόκειται ͵ αωκγ ʹ , ἡ δὲ ΑΓ ͵ αωλη ʹ θ ʹ ια ʹʹ . ἔσιτν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ ʹ . συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ 10 ͵ γχξα ʹ θ ʹ ια ʹʹ πρὸς σμ ʹ . ὥστε καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ γχξα ʹ θ ʹ ια ʹʹ πρὸς σμ ʹ . καὶ ἐπεὶ τῶν μὲν ͵ γχξα ʹ θ ʹ ια ʹʹ τὸ ια ʹ καὶ μ ʹʹ ἐστι ͵ αζ ʹ , τῶν δὲ σμ ʹ ξϛ ʹ , ἡ ΑΚ ἄρα πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ αζ ʹ πρὸς ξϛ ʹ . καὶ ἐστι τὸ μὲν 15 ἀπὸ ΑΚ Μ ρα ͵ δμθ ʹ , τὸ δὲ ἀπὸ ΚΓ ͵ δτνϛ ʹ , οἷς ἴσον ὄν τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστι Μ ρα ͵ ηυε ʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ͵ αθ ʹ ϛ ʹʹ ἔγγιστα. ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκρι­βοῦς μο ιβ ʹ γ ʹʹ λϛ ʹʹ . ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ αθ ʹ ϛ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ . οἱ δὲ πολλα­πλασισμοὶ 20 ὑποκεινται·

Halvera vidare vinkeln ΘΑΓ med ΚΑ. Sålunda åter genom vinkelns halvering, trianglarnas likformighet och att sidornas är proportionella, är, genom komposition och alternerat, ΘΑ och ΑΓ sammantagna till ΓΘ, som ΑΚ är till ΚΓ. Men ΘΑ och ΑΓ sammantagna är mindre än 3661 9 11 , eftersom ΘΑ antas vara 1823, och ΑΓ 1838 9 11 . Och ΘΓ är 240. Alltså har ΒΑ och ΑΓ sammantagna ett förhållande till ΒΓ mindre än 3661 9 11 till 240. Sålunda har även ΑΚ ett förhållande till ΚΓ mindre än 3661 9 11 till 240. Och eftersom 11 40 av 3661 9 11 är 10007 och av 240 är 66, har alltså ΑΚ ett förhållande till ΚΓ mindre än 1007 till 66. Och kvadraten på ΑΚ är 1014049 och den på ΚΓ 4356, vilka kvadraten på ΑΓ, som är är 1018405, är lika med, vars kvadrat sida är ungefär 1009 1 6 . Ty dess kvadrat överstiger den exakta med ungefär 12 1 3 1 36 . Alltså har ΑΓ ettförhållande till ΓΚ mindre än 1009 1 6 till 66. Multiplikationerna finns härunder:

ἡ ΑΚ ͵αζʹ ἐπὶ ͵αζʹ Μρ ͵ζʹ ͵ζʹ μθʹ ὁμοῦ Μρα͵δμθʹ

τούτοις ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστ Μρα͵ηυεʹ .

ἡ ΚΓ ξϛʹ ἐπὶ ξϛʹ ͵γχʹ τξʹ τξʹ λϛʹ ὁμοῦ ͵δτνϛʹ
͵αθʹϛʹʹ ἐπὶ ͵αθʹϛʹʹ Μρ ͵θʹ ρξϛʹ𐅵ʹʹϛʹʹ ͵θʹ παʹ αʹ𐅵ʹʹ ρξϛʹ𐅵ʹʹϛʹʹ αʹ𐅵ʹʹ λϛʹʹ ὁμοῦ Μρα͵ηυιϛʹγʹʹλϛʹʹ

ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς μοιβʹγʹʹλϛʹʹ .

Ἔτι[298] δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ γωνία τῇ ΑΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐσιν, ὡς συναμφότερος ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ, ἡ ΑΛ πρὸς ΛΓ. καὶ ἐστιν ἡ μὲν ΑΚ ἐλάσσων ἤ ͵ αζ ʹ , ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἤ ͵ αθ ʹ ϛ ʹʹ , ἡ δὲ ΚΓ ξϛ ʹ . 5 συναμφότερος ἄρα ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βιϛ ʹ ϛ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ . καὶ ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βιϛ ʹ ϛ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΛ ὑπόκειται ͵ βιϛ ʹ ϛ ʹʹ , καὶ τὸ ἀπ' αὐτῆς Μ υϛ ͵ δϡκη ʹ λϛ ʹʹ , ἡ δὲ ΛΓ ξϛ ʹ , καὶ τὸ ἀπ' 10 αὐτῆς ͵ δτνϛ ʹ , ἴσον δὲ αὐτοῖς ἐστι τὸ ἀπὸ ΑΓ, ἔσται ἄρα Μ υϛ ͵ θσπδ ʹ λϛ ʹʹ , ὧν πλευρὰ τετραγωνική ἐστι ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ ἔγγιστα. ὑπερέχει τὸ ἀπ' αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς μο ιγ ʹ 𐅵 ʹʹ κ ʹʹ . ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλασσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ . οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

Halvera vidare vinkeln ΚΑΓ med ΑΛ. Sålunda är av samma skäl såsom ΚΑ och ΑΓ sammantagna till ΚΓ, ΑΛ till ΛΓ. Dessutom är ΑΚ mindre än 1007, ΑΓ mindre än 1009 1 6 och ΚΓ är 66. Alltså har ΚΑ och ΑΓ sammantagna ett förhållande till ΚΓ mindre än 2016 1 6 till 66. Och alltså har ΑΛ ett förhållande till ΛΓ mindre än 2016 1 6 till 66. Och eftersom ΑΛ antas vara 2016 1 6 , och dess kvadrat 4064928 1 36 samt ΛΓ vara 66 och dess kvadrat 4356, och lika med dem är kvadraten på ΑΓ, som alltså blir 4064928 1 36 , vars kvadratrot är ungefär 2017 1 4 . Dess kvadrat överstiger den exakta med 1 2 1 20 . Sålunda har ΑΓ ett förhållande till ΓΛ mindre än 2017 1 4 till 66. Multiplikationerna finns härunder:

ἡ ΑΛ ͵βιϛʹϛʹʹ ἐπὶ ͵βιϛʹϛʹʹ Μυ Μβ Μα͵βʹ τλγʹγʹʹ Μβ ρʹ ξʹ αʹ𐅵ʹʹϛʹʹ Μα͵βʹ ξʹ λϛʹ αʹ τλγʹγʹʹ αʹ𐅵ʹʹϛʹʹ αʹ λϛʹʹ ὁμοῦ Μυϛ͵δϡκηʹλϛʹʹ

τούτοις ἴσον ὂν τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστι Μυϛ͵θσπδʹλϛʹʹ .

ἡ ΛΓ ξϛʹ ἐπὶ ξϛʹ ͵γχʹ τξʹ τξʹ λϛʹ ὁμοῦ ͵δτνϛʹ
͵βιζʹδʹʹ ἐπὶ ͵βιζʹδʹʹ Μυ Μβ Μα͵δʹ φʹ Μβ ρʹ οʹ βʹ𐅵ʹʹ Μα͵δʹ οʹ μθʹ αʹ𐅵ʹʹδʹʹ φʹ βʹ𐅵ʹʹ αʹ𐅵ʹʹδʹʹ ιϛʹʹ ὁμοῦ Μυϛ͵θσϙζʹ𐅵ʹʹιϛʹʹ

περιττεύει τοῦ ἀκριβοῦς μοιγʹ𐅵ʹʹκʹʹ .

Ἐπεὶ15 οὖν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, [300] ἤπερ ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ πρὸς ξϛ ʹ , ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ξϛ ʹ πρὸς ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἡ ΗΓ ἄρα ιβ ʹ μέρος ἐστίν, ἡ δὲ ΘΓ κδ ʹ , ἡ δὲ ΚΓ μη ʹ , ἡ δὲ 5 ΛΓ ϙϛ ʹ . ὥστε ἡ ΛΓ εὐθεῖα πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ ϙϛ ʹ πλευρὰς ἔχοντος. καί ἐστιν ἡ ΛΓ ξϛ ʹ . ἡ ἄρα τοῦ πολυγώνου περίμετρος πρὸς τὴν τοῦ κύ­κλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ͵ ϛτλϛ ʹ πρὸς ͵ βιζ ʹ δ ʹʹ . ταῦτα δέ ἐστι τριπλάσια καὶ ἔτι ὑπερ­έχει 10 σπδ ʹ δ ʹʹ , ἅπερ μείζονα ἐστι δέκα ἑβδομηκοστομό­νων· ὅ ἐστι μο κζ ʹ 𐅵 ʹʹ ϛ ʹʹ ἔγγιστα, τὰ δὲ δεκαπλάσια τούτων σοζ ʹ . πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου περι­φέρεια μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασία καὶ δέκα ἑβ­δομηκοστομόνα.

Ὡς15 μὲν οὖν ἐνεχώρει, οἱ παρ' αὐτοῦ εἰρημένοι ἀριθμοὶ μετρίως ἐσαφηνίσθησαν. ἰστέον δέ, ὅτι καὶ Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ἐν τῷ Ὠκυτοκίῳ ἀπέδειξεν αὐτὸ δι' ἀριθμῶν ἑτέρων ἐπὶ τὸ σύνεγγυς μᾶλλον ἀγαγών. τοῦτο δὲ ἀκριβέστερον μὲν εἶναι δοκεῖ, οὐ 20 χρήσιμον δὲ πρὸς τὸν Ἀρχιμήδους σκοπόν. ἔφαμεν γὰρ αὐτὸν σκοπόν ἔχειν ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ τὸ σύν­εγγυς εὑρεῖν διὰ τὰς ἐν τῷ βίῳ χρείας. ὥστε οὐδὲ Πόρος ὁ Νικαιεὺς εὔκαιρον εὑρεθήσεται μέμψιν ἐπ­άγων Ἀρχιμήδει ὡς μὴ ἀκριβῶς εὑρόντι, ποίᾳ εὐθείᾳ 25 ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια· ἐξ ὧν αὐτὸς ἐν τοῖς κηρίοις φησὶν τὸν ἑαθτοῦ διδάσκαλον, Φίλωνα λέγων τὸν ἀπὸ Γαδρων, εἰς ἀκριβεστέρους ἀριθμοὺς ἀγαγεῖν τῶν ὑπ' Ἀρχιμήδους εἰρημένων, τοῦ τε ζ ʹʹ φημι καὶ τῶν ι ʹ οα ʹʹ . ἅπαντες γὰρ ἐφεξῆς φαίνονται [302] τὸν σκοπὸν αὐτοῦ ἠγνοηκότες. κέχρηνται δὲ καὶ τοῖς τῶν μυριάδων πολλαπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς, οἷς οὐκ εὔκολον παρακολουθεῖν τὸν μὴ διὰ τῶν Μάγνου λογιστικῶν ἠγμένον. εἰ δέ τις ὅλως ἐβούλετο εἰς 5 ἔλαττον αὐτὸ καταγαγεῖν, ἐχρῆν τοῖς ἐν τῇ μαθημα­τικῇ συντάξει Κλαυδίου Πτολεμαίου εἰρημένοῖς ἀκο­λουθοῦντα διὰ τῶν μοιρῶν καὶ λεπτῶν καὶ τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν τοῦτο ποιεῖν, καὶ πεποιήκειν ἂν ἐγὼ τοῦτο, εἰ μή, ὅπερ πολλάκις εἶπον, ἐνενόουν, ὡς 10 οὔτε ἀκριβῶς δυνατὸν διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων εὑρεῖν τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν, καὶ εἴ τις τὸ σύνεγγυς καὶ παρὰ μικρὸν προσέχοι, ἀρκεῖ τὰ ὑπ' Ἀρχιμήδους ἐνταῦθα εἰρημένα.

Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς Ἀρχι­μήδους 15 τοῦ κύκλου μέτρησιν ἐκδόσεως παραναγνω­σθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ δι­δασκάλῳ.[10]

Eftersom sålunda ΑΓ har ett förhållande till ΓΛ mindre än 2017 1 4 tilll 66, har alltså ΛΓ omvänt ett förhållande till ΓΑ större än 66 till 2017 1 4 . Och eftersom periferin ΓΒ är en sjättedel av cirkelns periferi, alltså är ΗΓ en 12-del, ΘΓ en 24:e, ΚΓ en 48:e och ΛΓ en 96:e. Sålunda är den räta linjen ΛΓ en sida i en polygon, som har 96 sidor. Och ΛΓ är 66. Alltså har polygonens perimeter ett förhållande till cirkelns diameter större än 6336 till 2017 1 4 . Och detta är tre gånger och överstiger därtill med 284 1 4 , vilket är större än tio sjuttioendelar, vilken ungefär är 27 1 2 1 6 och tio gånger detta är 277. Alltså är cirkelns periferi mycket större än tre gånger och tio sjuttioendelar av diametern.

Sålunda är det alltså möjligt, att de av honom nämnda mäte-talen bestämts. Det är även noterbart, att även Apollonios från Perga i Ocytocium[8] har visat detta och nått närmare genom andra siffror. Och detta tycks vara exaktare, men ej användbart för Archimedes' undersökning. Ty vi sade, att undersökningen i denna bok var, att finna ett närmevärde för behoven i livet. Så att det inte skall finnas en påpasslig Sporos från Nicaea, som anför klagomål på Archimedes, som ej exakt funnit, med vilken rät linje cirkelns periferi är lika med. I enlighet med vad Sporos säger i Aristoteliska vaxkakor, att hans lärare, nämligen Filon från Gadara,Q Q) Filon från Gadara, andra århundradet e.Kr., grekisk matematiker. har nått till exaktare siffror, än dem Archimedes nämnda, 1 7 och 10 71 . Ty alla efterkommande verkar vara ovetande om hans undersökning och de har använt multiplikationer och divisioner av myriader, vilka inte är enkla att följa, för den som inte tagit sig igenom Magnos' Logistik[9]. Och om någon generellt ville föra detta närmevärde närmare, är det nödvändigt, att göra detta med vad Klaudios Ptolemaios' nämner i Almagest, genom grader, minuter och kordor. Även jag hade gjort detta, om inte, som jag ofta sagt, jag förstått, att det inte är möjligt, att genom det här nämnda exakt finna en rät linje lika med cirkelns periferi, men om någon skulle nöja sig med ett närmevärde, som avviker lite, räcker det här, som har nämnts av Archimedes.

Eutokios' från Askalon kommentar till Archimedes' Cirkelns mätning utgåva genomgången av Isidoros, ingenjör från Miletos,R R) Isidoros från Miletos, 500-talet, bysantinsk arkitekt. vår lärare.