Euklides

Personen, hans verk och Elementa

Personen

Euklides (Εὐκλείδης), omkring 325 f.Kr. till omkring 265 f.Kr., var en matematiker verksam i Alexandria i Egypten. Han är mest känd för verket Elementa, men i övrigt är mycket lite känt om honom. Det finns endast några få anekdoter om hans liv och några referenser i andra matematikers verk. De flesta av dessa finns samlade av Heiberg i hans litteraturhistoriska studier kring Euklides.[1]

Euklides födelseort är okänd - eftersom han var så enastående i sina samtidas ögon, lades inte födelseorten till hans namn, men en anekdot, efter ProklosA A) Proklos, ca 412-485, filosof. Skrev bl.a. en kommentar till första boken av Elementa, som t.ex. innehåller en del om matematikens historia., ger oss i alla fall en ledtråd till Euklides' levnadstid.

οἱ μὲν οὖν τὰς ἱστορίας ἀναγράψαντες μέχρι τούτου προάγουσι τὴν τῆς ἐπιστήμης ταύτης τελείωσιν. οὐ πόλυ δὲ τούτων νεώτερός ἐστιν Εὐκλείδης ὁ τὰ στοιχεῖα συναγαγὼν καὶ πολλὰ μὲν τῶν Εὐδόξου συντάξας, πολλὰ δὲ τῶν Θεαιτήτου τελεωσάμενος, ἔτι δὲ τὰ μαλακώτερον δεικνύμενα τοῖς ἔμπροσθεν εἰς ἀνελέγκτους ἀποδείξεις ἀναγαγών. γέγονε δὲ οὗτος ὁ ἀνὴρ ἐπὶ τοῦ πρώτου Πτολεμαίου· καὶ γὰρ ὁ Ἀρχιμήδης ἐπιβαλὼν καὶ τῷ πρώτῳ μνημονεύει τοῦ Εὐκλείδου, καὶ μέντοι καί φασιν ὅτι Πτολεμαῖος ἤρετό ποτε αὐτόν, εἴ τίς ἐστιν περὶ γεωμετρίαν ὀδὸς συντομωτέρα τῆς στοιχειώσεως· ὀ δὲ ἀπεκρίνατο, μὴ εἶναι βασιλικὴν ἀτραπὸν ἐπὶ γεωμετρίαν· νεώτερος μὲν οὖν ἐστι τῶν περὶ Πλάτονα, πρεσβύτερος δὲ Ἐρατοσθένους καὶ Ἀρχιμήδους. οὗτοι γὰρ σύγχρονοι ἀλλήλοις, ὥς πού φησιν Ἐραροσθένης. καὶ τῇ προαιρέσει δὲ Πλατωνικός ἐστι καὶ τῇ φιλοσοφίᾳ ταύτῃ οἰκεῖος, ὅθεν δὴ καὶ τῆς συμπάσης στοιχειώσεως τέλος προεστήσατο τὴν τῶν καλουμένων Πλατωνικῶν σχημάτων σύστασιν.[3]

De som nedtecknat historierna för fram denna vetenskaps utveckling så långt som hit. Inte mycket yngre än dessa är Euklides, som sammanställt Elementa och både mycket av EudoxosB B) Eudoxos, 408-355, grekisk matematiker och astronom. ordnat och mycket av TheaitetosC C) Theaitetos, ca 417–369, grekisk matematiker och astronom. fullbordat samt dessutom fört det som ofullständigt visats av dem tidigare till ovedersägliga bevis. Denne man levdeD D) Heiberg om γέγονε som levde i Litteratur­geschichtliche Studien über Euklid. Leipzig, 1882. S. 26. under den förste Ptolemaios, ty både ArchimedesE E) Archimedes, 287-212, grekisk matematiker., som också följde på denne förste, omnämner Euklides[2] och faktiskt säger man, att Ptolemaios en gång frågat honom, om det finns en kortare väg till geometrin än Elementas. Han svarade, att det inte fanns en kunglig genväg till geometrin. Alltså är han yngre än de kring Platon och äldre än EratosthenesF F) Eratosthenes, 276-194, grekisk astronom och matematiker. och Archimedes. Ty dessa var samtida med varandra, som Eratosthenes säger någonstans. Till uppfattningen var han platonist och var med denna filosofi befryndad, därför kom också hela Elementas slut att framställa konstruerandet av de så kallade platonska kropparna.

Nyplatonikern Proklos försöker på slutet föra hem Euklides till den platonska fållan, men att kalla Euklides för en platoniker är att gå för långt och förmodligen erhöll han bara sin matematiska grundutbildning av lärjungar till PlatonG G) Platon, 427-347, grekisk filosof och författare. i Athen. Det finns för övrigt en påfallande lik anekdot hos SenecaH H) Lucius Annaeus Seneca, ca 5 f.Kr.-65, romersk författare, filosof och politiker. i ett av breven till Lucilius.

Alexander Macedonum rex discere geometriam coeperat, infelix, sciturus, quam pusilla terra esset, ex qua minimum occupaverat. Ita dico: infelix ob hoc, quod intellegere debebat falsum se gerere cognomen. Quis enim esse magnus in pusillo potest? Erant illa, quae tradebantur, suptilia et diligenti intentione discenda, non quae perciperet vesanus homo et trans oceanum cogitationes suas mittens. "Facilia," inquit, "me doce." Cui praeceptor "ista," inquit, "omnibus eadem sunt, aeque difficilia."[4].

Alexander kung av Makedonien började lära sig geometri, stackarn, då skulle han få veta hur liten den jord är, som han mycket lite erövrat av. Därför säger jag stackare, då han borde förstå att han bär ett felaktigt tillnamn. Ty vem kan vara stor i det lilla? Det, som man förevisade honom, var finurligt och borde med uppmärksam ansträngning studeras, men inte det som upptar en vanvettig man och som sänder hans tankar över oceanen. "Lär mig de lätta," sade han. Läraren svarade honom, "De är desamma för alla, lika svåra."

Var Euklides kan ha levt efter tiden i Athen, får man en vink om, när PapposI I) Pappos från Alexandria, ca 290 – ca 350, en av antikens sista stora matematiker. försöker tillrättavisa ApolloniosJ J) Apollonios var en grekisk matematiker från Perga i Pamfylien, omkring 262 f.Kr. till omkring 190 f.Kr.. för dennes behandling av Euklides i förordet till sina Kägelsnitt, och man får veta, att Euklides hade startat en skola i Alexandria.

Språkval

προσθεῖναι δὲ τῷ τόπῳ τὰ λειπόμενα δεδύνηται προφαντασιωθεὶς τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γεγραμμένοις ἤδη περὶ τοῦ τόπου καὶ συσχολάσας τοῖς [ὑπὸ] Εὐκλείδου μαθηταῖς ἐν Ἀλεξανδρείᾳ πλεῖστον χρόνον, ὅθεν ἔσχε καὶ τὴν τοιαύτην ἕξιν οὐκ ἀμαθῆ.[5]

Apollonios har för denna geometriska ort kunnat lägga till det som saknats, då han redan var införstådd med det Euklides skrivit om orten. Apollonios var även under lång tid skolad tillsammans med Euklides' elever i Alexandria, varifrån han även skaffade sig en sådan icke obildad vana.

De flesta av den tidens matematiker besökte med tiden Alexandria, som kom att bli centrum för den grekiska matematiken under många hundra år. Vid sin vistelse där kan matematikerna ha kommit i kontakt med Euklides eller hans skola.

Om Euklides som person känner man alltså inte till något nämnvärt, utom vad som återges i anekdoterna. En anekdot, som återigen bygger på vanliga männisikors ovilja till matematiska studier, återges av Johannes StobaeusK K) Johannes Stobaeus, från Stobi i Makedonien, levde förmodligen omkring år 500 e.Kr.. Han är känd för att ha sammanställt en antologi i fyra böcker, för sonen Septimus' undervisning..

Παρ' Εὐκλείδῃ τις ἀρξάμενος γεωμετρεῖν, ὡς τὸ πρῶτον θεώρημα ἔμαθεν, ἤρετο τὸν Εὐκλείδην· τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι; καὶ ὀ Εὐκλείδης τὸν παῖδα καλέσας δός, ἔφη, αὐτῷ τριώβολον, ἐπειδὴ δεῖ αὐτῷ ἐξ ὧν μανθάνει κερδαίνειν.[6]

Någon började studera geometri hos Euklides och när han lärt sig första satsen, frågade han Euklides: Vilken förtjänst finns det för mig, genom att ha lärt detta? och Euklides ropade till sin tjänare Ge, sa han, honom en slant, då det för honom är nödvändigt, att tjäna på det han lär sig.

Euklides kom under medeltiden ofta att förväxlas med filosofen Euklides från Megara.L L) Euklides från Megara, ca 435-365, sokratisk filosof från Grekland. Till exempel skriver Theodoros MetochitesM M) Theodoros Metochites, 1270–1332, bysantinsk statsman och polyhistor. i sina ὑπομνηματισμοί följande. Det mesta stämmer, men det rör sig inte om sokratikern Euklides från Megara.

Εὐκλείδης μέντοι, ὁ Μεγάρων Σωκρατικὸς, ἡλικιώτης ὢν Πλάτωνος, ἄριστος τὰ ἐς γεωμετρίαν ἀνὴρ, καὶ πλεῖστ' ἐνταῦθα συνταξάμενος, ὡς ὁρᾶν ἐστι, κατὰ τὴν ἐν ἐπιπέδοις θεωρίαν, καὶ στερεοῖς, καὶ τὴν τῶν ὀπτικῶν τε καὶ δεδομένων καὶ κατοπτρικῶν, καὶ ἄλλων ὡντινωνοῦν ἐνταῦθα, καὶ μουσικῶν μὲν ἅπτεται καὶ ἀστρονομικῶν ἐπισκέψεων.[7]

Euklides, Sokrates' anhängare från Megara, var Platons främste man vad gäller geometri och sammanställde det mesta däri, som finns att observera, vad gäller teorierna om plan och kroppar samt teorierna i optiken, det givna, katoptriken och mycket annat däri. Dessutom ägnade han sig åt musiken och astronomins undersökande.

Så småningom lärde man sig att skilja på de två och Euklides, matematikern, framstår även nu som den enastående - utan att förringa hans namne från Megara.

Verken

Bevarade och förlorade

Utöver Elementa, böckerna I-XIII, författade Euklides även andra verk. Av dessa kan nämnas Data[8], Optica om optik, Catoptrica om reflekterat ljus och Phaenomena om astronomi. Alla dessa finns utgivna av Heiberg och Menge.[9] Euklides' skrift om kägelsnitten, vilken kom att hamna i skuggan av Apollonios' verk i samma ämne, har däremot inte bevarats. Samma öde har drabbat Pseudaria, felslut, och Porisma satser - av omtvistat slag - till den högre geometrin, vilka har restituerats[10] av Chasles.N N) Michel Chasles, 1793-1880, fransk matematiker.

Elementa

Översättningar

Euklides' mest kända verk är utan tvekan Elementa, στοιχεῖα, vilket genom århundradena har sett många utgåvor och översättningar. Bland senare översättningar kan nämnas dels en översättning[11] och en tolkning[12] till engelska, en översättning till franska,[13] med goda kommentarer, och en till tyska.[14]

Översättningar till svenska

Innan Elementa - Στοιχεῖα på grekiska - översattes till svenska, förelåg en svensk översättning till latin av de första sex böckerna. In Geometriam Euclidis[15] av Gestrinius,O O) Martinus Erici Gestrinius, 1594-1648, svensk matematiker. Uppsala 1637. Gestrinius använde enligt egen uppgift CampanusP P) Johannes Campanus av Novara, 1220-1296, italiensk astrolog och matematiker. Elementa geometriae,[16] tryckt i Venedig 1482 (att beskåda hos Carnegie Mellon eller Rare Book Room), som förlaga, men denna är en översättning från arabiskan till latin.

Omsider blev så delar av Elementa även översatta till svenska. Först ut var Euclidis Elementa eller Grundeliga inledning til geometrien, til riksens ungdoms tienst på swenska språket utgifwen af Mårten Strömer,Q Q) Mårten Strömer, 1707-1770, svensk matematiker och astronom. Uppsala 1744-49. En översättning[17] til riksens ungdoms tienst, som utkom i nya upplagor i närmare 150 år. Strömer använder sig, liksom originalet, av retorisk matematik, dvs. han använder inte någon specifik matematisk notation. För sin översättning hade Strömer tillgång till GregorysR R) David Gregory, 1659-1708, skotsk matematiker och astronom. Euclidis quæ supersunt omnia,[18] Oxford 1703, vilket är den enda kompletta utgåvan på grekiska fram till Heibergs och Menges. Parallellt med den grekiska texten ger Gregory också en latinsk översättning. Strömer säger också, utöver att han inte hade några manuskript att tillgå, att han till del även använt sig av Commandinus'S S) Federigo Commandino, 1509-1575, italiensk läkare och matematiker. latinska översättning, Euclidis Elementorum libri XV una cum scholiis antiquis a Federico Commandino nuper in Latinum conversi, Pesaro 1572.[19]

Abraham RundbäckT T) Abraham Rundbäck, 1827-1893, riksdagsman, folkskolinspektör. presenterade i en avhandling vid Lund 1855 en översättning och bearbetning av sjunde, åttonde, nionde och tionde böckerna.[20] Han tog sig sålunda an de böcker han ansåg vara aritmetiska, till skillnad från de geometriska Strömer översatt - böckerna ett till sex samt elva och tolv. Rundbäck, liksom Strömer, använde sig av främst Greogorys utgåva från 1703, men även Commandinos latinska översättning, dock utgåvan från 1619.[21] Därutöver använde han en latinsk utgåva av BärmannU U) Georg Friedrich Bärmann, 1717-1769, matematiker. 1743[22] och Lorenz'W W) Johann Friedrich Lorenz, 1737-1807, lärare. tyska översättning från 1781.[23]

Gregorys nämnda utgåva föregicks, förutom några smärre utgåvor ägnade för den matematiska undervisningen, av Elementas editio princeps vilken givits ut 170 år tidigare av Grynaeus'X X) Simon Grynaeus, 1493-1541, teolog, reformator och humanist. som Εὐκλείδου στοιχείων βιβλ. ιεʹ ἐκ τῶν Θέωνος συνουζιῶν, Basel 1533,[24] och baseras på två grekiska manuskript - vilka Heiberg ansåg tillhöra de sämsta - och ZambertisY Y) Bartolomeo Zamberti, ca 1473-?, italiensk astronom. latinska översättning.[25] I sin översättning går Zamberti hårt åt Campanus' översättning, förmodligen utan att veta, att denna var en översättning från arabiskan.

Med åren gavs också andra översättningar­/­bearbetningar på svenska ut.[26] En av de mer spridda är BråkenhielmsZ Z) Per Reinhold Bråkenhjelm, 1796 - 1878, svensk matematiker. De sex första böckerna af Euclidis Elementa jämte planimetri och stereometri,[27] Örebro 1844. De flesta - förmodligen alla - av dessa översättningar var matematiska tolkningar av texten, eftersom de var tänkta som läroböcker och gavs då en för ändamålet lämplig språkdräkt.

Även trettonde boken fann sin översättare och då i F.A.A. LundgrenÅ Å) Frans Adolf Albin Lundgren, Göteborg 1814-1874, f.d. studerande och Everlöfsk stipendiat vid Upsala högskola. 1850.[28]

Denna översättning till svenska

Månne detta blir den efterlängtade fullständiga översättningen till svenska[29] - från grekiskan - av böckerna ett till och med tretton av Euklides Elementa. Rundbäck gör i sin avhandling följande reflektion över behovet av översättningar: Då emedlertid hvar och en, som gjort bekantskap med Euclid och eger sinne för hans grundliga, enkla och sköna bevisningskonst, säkert åstundar att känna mer af den store mästaren, så torde en fullständig öfversättning af de utaf Strömer förbigångna böckerna icke vara ovälkommen.[30] och för att stilla samtidens törst efter Euklides sköna bevisningskonst, kan en ny och fullständig översättning visa sig vara ett hederligt och nyttigt arbete.

Tills vidare föreligger denna översättning - i vidstående preliminära version - av böckerna I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII och XIII. Man kan i denna översättning se, att denna text inte bara bjuder på motstånd vad gäller grekiskan, utan även vad gäller den matematiska svenskan. Även inom detta ämnesområde kan man göra reflektionen, att i Sverige griper man hellre efter en utländsk glosa, än man tar till en äldre svensk - antingen av okunnighet eller av rädsla för att verka omodern.

Tilläggas bör, att denna översättning främst är språklig, dvs. återger originalets retoriska matematik. Ett skäl för en sådan översättning har formulerats av Reviel Netz i förordet till The Works of Archimedes: The two books On the sphere and the cylinder:[31] There are many possible barriers to the reading of a text written in a foreign language, and the purpose of a scholarly translation as I understand it is to remove all barriers having to do with the foreign language itself, leaving all other barriers intact. Denna princip får alltså sägas gälla för översättningarna här.

Texten

Vid läsningen kan man notera, att Elementas böcker börjar ofta med en lista på definitioner, postulat och axiom, där postulat är grundläggande antaganden speciella för geometrien och axiom, även kallade allmänna begrepp, är motsvarande antaganden gällande inom alla områden. En distinktion som numera har övergivits.

Dessutom bör man erinra sig, när man läser definitionerna, att numreringen av dem inte återfinns i manuskripten, numeros om. codd. omnes. Troligen är det så, att definitionerna har utgjort ett av de vanliga förord som föregår de flesta matematiska texter och skall därför inte behandlas fullt ut efter vår nuvarande strikta syn på definitioner.

Eftersom satserna i Elementa har ett likartat innehåll och disposition, har en del teorier om dessa utvecklats. T.ex. delar Proklos i sin kommentar[32] in Elementas satser i ett antal avgränsade delar, vilka han också ger sig på att förklara. Proklos använder sig av följande termer vid sin genomgång av satsernas indelning:

πρότασιςprotasisFörsats.
ἔκθεσιςekthesisUtställning, som ofta inleds med γὰρ, men är i regel inte första ord i satsen.
διορισμόςdiorismosSpecification, dvs. en avgränsning av påståendet, som ofta inleds med λέγω, ὅτι ....
κατασκευήkataskeueKonstruktion.
ἀπόδειξιςapodeixisBevis, att konstruktionen bevisat påståendet.
σουπέρασμαsumperasmaKonklusion.

Figurerna

Slutligen kan det påpekas, att figurerna - här och i manuskripten - är gjorda, som Proklos säger, för att göra sig det givna åskådligt.

Figurerna i denna översättning är nykonstruktioner efter Heibergs - tyvärr täcker inte Heibergs källkritiska apparat nästan aldrig figurerna, vilket kan tyckas märkligt. Han har dessutom placerat figurerna i den latinska parallelltexten. Emellertid finns det en jämförelse mellan Heibergs figurer och dem i några av manuskripten för böckerna II, III, IV och VI.

I XII:e boken ägnas särskilt intresse åt de s.k. platonska kropparna, de fem regelbundna polyedrarna, vilka enkelt kan tillverkas av papper.