Στοιχείων ηʹ.
αʹ.
Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
1.
Om så många tal är proportionellt sammanhängandeA A) Termen är lånad av Rundbäck. Jmf engelskans be in continued proportion
, franskans être continûment en proportion
och tyskans in stetiger Proportion sein
.
och de yttre av dem är prima till varandra,
är de minst av dem, som har samma förhållande
som de.
Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
Εἰ γὰρ μή, ἔστωσαν ἐλάττονες τῶν Α, Β, Γ, Δ
οἱ Ε, Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες αὐτοῖς. καὶ
ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Ε, Ζ,
Η, Θ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ, Δ τῷ
πλήθει τῶν Ε, Ζ, Η, Θ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α
πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι,
οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ
μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις
ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα,
τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος
τὸν ἑπόμενον. μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Ε ὁ μείζων
τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα
οἱ Ε, Ζ, Η, Θ ἐλάσσονες ὄντες τῶν Α, Β, Γ, Δ ἐν
τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν αὐτοῖς. οἱ Α, Β, Γ, Δ ἄρα
ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς·
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[1]
Låt Α, Β, Γ och Δ vara så många proportionellt sammanhängande tal och låt de yttre av dem, Α och Δ, vara prima till varandra. Jag säger, att Α, Β, Γ och Δ är minst av dem, som har samma förhållande som de.
Ty, om inte, låt Ε, Ζ, Η och Θ vara mindre än
Α, Β, Γ och Δ och har samma förhållande som dem.
Eftersom Α, Β, Γ och Δ har samma förhållande som
Ε, Ζ, Η och Θ samt Α, Β, Γ och Δ:s antal
är lika med Ε, Ζ, Η och Θ:s antal, alltså,
ex aequali, som Α är till
Δ, så är Ε till Θ.Prop. 7.14 Α och Δ är prima till varandra och de prima är också minst.Prop. 7.21 De minsta talen
mäter de som har samma förhållande lika många gånger,
det större det större och det mindre det mindre,
det vill säga, det föregående det föregående och det efterföljande
det efterföljande.Prop. 7.20 Alltså mäter Α Ε, det större
det mindre, vilket är omöjligt. Alltså har
Ε, Ζ, Η och Θ, som är mindre än Α, Β, Γ och Δ, inte
samma förhållande som de. Alltså är Α, Β, Γ och Δ
minst av dem, som har samma förhållande som de.
Vilket skulle visas.
βʹ.
Αριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἂν ἐπιτάξῃ τις, ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.
2.
Att finna proportionellt sammanhängande tal, så många någon föresatt, med ett givet förhållande.
Ἔστω ὁ δοθεὶς λόγος ἐν ἐλάχίστοις ἀριθμοῖς ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β· δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἄν τις ἐπιτάξῃ, ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ.
Ἐπιτετάχθωσαν δὴ τέσσαρες, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Α τοὺς Γ, Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ, Η, Θ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω.
Καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν
Γ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν,
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως
ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας
τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας
τὸν Ε πεποίηκεν, ἑκάτερος ἄρα τῶν Α, Β
τὸν Β πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Δ, Ε πεποίηκεν.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς
τὸν Ε. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν
Δ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ, Η
πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως
ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως
ἦν ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β,
ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Δ, Ε πολλαπλασιάσας
τοὺς Η, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ
Δ πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Θ. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Δ
πρὸς τὸν Ε, ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α
πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ
Α, Β τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Θ, Κ πεποιήκασιν,
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ
πρὸς τὸν Κ. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὅ
τε Ζ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Η πρὸς τὸν Θ. καὶ ὡς ἄρα
ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὅ τε Η πρὸς τὸν Θ καὶ
ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η,
Θ, Κ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ἐλάχιστοί
εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς,
οἱ δὲ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων πρῶτοι
πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς
ἀλλήλους εἰσίν. καὶ ἑκάτερος μὲν τῶν Α, Β ἑαυτὸν
πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Γ, Ε πεποίηκεν, ἑκάτερον
δὲ τῶν Γ, Ε πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν
Ζ, Κ πεποίηκεν· οἱ Γ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Κ πρῶτοι
πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ἐὰν δὲ ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ
ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς
ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον
ἐχόντων αὐτοῖς. οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ
ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς
Α, Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Πόρισμα.
Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ὦσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκρον αὐτῶν τετράγωνοί εἰσιν, ἐὰν δὲ τέσσαρες, κύβοι.[2]
Låt det givna förhållandet, med minsta tal, vara Α:s till Β. De minsta proportionellt sammanhängande talen skall finnas, så många någon föresatt, med Α:s förhållande till Β.
Låt fyra vara föresatta, låt Α multiplicerat med sig självt resultera i Γ, multiplicerat med Β resultera i Δ och låt Β multiplicerat med sig självt resultera i Ε och låt dessutom Α multiplicerat med Γ, Δ och Ε resultera i Ζ, Η och Θ samt Β multiplicerat med Ε resultera i Κ.
Och eftersom Α multiplicerat med sig självt har
resulterat i Γ och har multiplicerat med Β resulterat i Δ,
alltså som Α är till Β, så är
Γ till Δ.Prop. 7.17 Åter, eftersom Α multiplicerat med Β har
resulterat i Δ och Β multiplicerat med sig självt
har resulterat i Ε, alltså har vart och ett av Α och Β
multiplicerat med Β resulterat i vart och ett av Δ och Ε.
Alltså som Α är till Β, så är Δ till
Ε.Prop. 7.18 Men som Α är till Β, är Γ till
Δ och alltså som Γ är till Δ, är Δ till Ε.
Och eftersom Α multiplicerat med Γ och Δ har
producerat Ζ och Η, alltså Γ är till Δ, som
Ζ är till Η.Prop. 7.17 Som Γ är till Δ, så
var Α till Β och alltså som Α är till Β,
är Ζ till Η. Åter, eftersom Α multiplicerat med Δ och Ε
har resulterat i Η och Θ, alltså som
Δ är till Ε, är Η till Θ.Prop. 7.17 Men som Δ
är till Ε, är Α till Β. Och alltså som Α
är till Β, så är Η till Θ. Och eftersom
Α och Β multiplicerade med Ε har resulterat i Θ och Κ,
är alltså som Α till Β, så är Θ
till Κ. Men som Α är till Β, så är
även Ζ till Η och Η till Θ. Och alltså som
Ζ är till Η, så är även Η till Θ och
Θ till Κ. Alltså är Γ, Δ och Ε samt Ζ, Η,
Θ och Κ proportionellt sammanhängande med förhållandet som Α:s förhållande till Β.
Jag säger så, att de också är minst. Ty eftersom Α och Β är
minst av dem, som har samma förhållande, som de.
De minsta av dem, som har samma förhållande, är prima
till varandra,Prop. 7.22 alltså är Α och Β prima till
varandra. Och vart och ett av Α och Β multiplicerat
med sig självt har resulterat i vart och ett av Γ och Ε samt,
multiplicerat med vart och ett av Γ och Ε, resulterat i
vart och ett av Ζ och Κ. Alltså är Γ och Ε samt Ζ och Κ
prima till varandra.Prop. 7.27 Om så många tal är
proportionellt sammanhängande och de föregående av dem
är prima till varandra, är de minst av dem, som har samma
förhållande, som de.Prop. 8.1 Alltså är Γ, Δ och Ε samt Ζ, Η, Θ och Κ
minst av dem, som har samma förhållande som
Α och Β. Vilket skulle visas.
Följdsats.
Av detta är det uppenbart, att om tre proportionellt sammanhängande tal är minst av dem, som har samma förhållande som de, är de föregående kvadrater och är de fyra, kuber.
γʹ.
Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
3.
Om så många tal är proportionellt sammanhängande och är minst av dem, som har samma förhållande som de, är de yttre av dem prima till varandra.
Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
Εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Β, Γ, Δ λόγῳ οἱ Ε, Ζ, τρεῖς δὲ οἱ Η, Θ, Κ, καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους, ἕως τὸ λαμβανόμενον πλῆθος ἴσον γένηται τῷ πλήθει τῶν Α, Β, Γ, Δ. εἰλήφθωσαν καὶ ἔστωσαν οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ.
Καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε, Ζ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Η, Κ πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Η, Κ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ, Ξ πεποίηκεν, καὶ οἱ Η, Κ ἄρα καὶ οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ ἐλάχιστοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ, ἕκαστος ἄρα τῶν Α, Β, Γ, Δ ἑκάστῳ τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ ἴσος ἐστίν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Α τῷ Λ, ὁ δὲ Δ τῷ Ξ. καί εἰσιν οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. καὶ οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[3]
Låt Α, Β, Γ och Δ vara så många proportionellt sammanhängande tal och vara minst av dem, som har samma förhållande som de. Jag säger, att de yttre av dem, Α och Δ, är prima till varandra.
Ty låt ha tagit de två minsta talen, Ε och Ζ, med samma förhållande som Α, Β, Γ och ΔProp. 7.33, de tre Η, Θ och ΚProp. 8.2 samt efter varandra med en till, tills antalet blivit lika med antalet av Α, Β, Γ och Δ. Låt ha tagit dem och låt dem vara Λ, Μ, Ν och Ξ.
Och eftersom Ε och Ζ är minst av dem, som har samma förhållande som de, är de prima till varandra.Prop. 7.22 Och eftersom vart och ett av Ε och Ζ multiplicerat med sig självt har resulterat i vart och ett av Η och ΚProp. 8.2 cor. samt multiplicerat med vart och ett av Η och Κ resulterat i Λ och Ξ, alltså är både Η och Κ samt Λ och Ξ prima till varandra.Prop. 7.27 Och eftersom Α, Β, Γ och Δ är minst, är de minst av dem, som har samma förhållande som de, även Λ, Μ, Ν och Ξ är minst och har samma förhållande som Α, Β, Γ och Δ dessutom är antalet av Α, Β, Γ och Δ lika med antalet av Λ, Μ, Ν och Ξ, alltså är vart och ett av Α, Β, Γ och Δ lika med vart och ett av Λ, Μ, Ν och Ξ. Alltså är Α lika med Λ och Δ med Ξ samt Λ och Ξ är prima till varandra. Alltså är Α och Δ prima till varandra. Vilket skulle visas.
δʹ.
Λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις.
4.
Ur så många giva förhållanden med minsta tal finna de minsta proportionellt sammanhängande talen med de givna förhållandena.
Ἔστωσαν οἱ δοθέντες λόγοι ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὅ τε τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ὁ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ· δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ.
Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Η. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Β τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Α τὸν Θ μετρείτω, ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Δ τὸν Κ μετρείτω. ὁ δὲ Ε τὸν Κ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον. καὶ ὁσάκις ὁ Ε τὸν Κ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Λ μετρείτω. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Α τὸν Θ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Η, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Κ, καὶ ἔτι ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ· οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι. εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις, ἔστωσαν οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ξ μετρεῖ· οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ξ μετροῦσιν· καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενος τὸν Ξ μετρήσει. ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρεῖται ὁ Η· ὁ Η ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύντατον. οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Θ, Η, Κ, Λ ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῷ.
Låt de givna förhållandena med minsta tal vara som Α:s till Β, Γ:s till Δ och dessutom Ε:s till Ζ. Proportionellt sammanhängande tal skall finnas med förhållandet som Α:s till Β, Γ:s till Δ och dessutom Ε:s till Ζ.
Ty låt ha tagit minsta talet mätt av Β och Γ, Η.Prop. 7.34 Och låt så många gånger Β mäter Η, så många gånger också Α mäta Θ samt låt så många gånger Γ mäter Η, så många gånger också Δ mäta Κ. Då mäter Ε antingen Κ eller mäter ej. Låt det först mäta. Och låt så många gånger Ε mäter Κ, Ζ mäta Λ. Och eftersom Α mäter Θ lika många gånger som Β mäter Η, alltså som Α är till Β, så är Θ till Η.Def. 7.21 Prop. 7.13 Av samma skäl bör som Γ är till Δ, så Η vara till Κ samt dessutom som Ε är till Ζ, så bör Κ vara till Λ. Alltså är Θ, Η, Κ och Λ proportionellt sammanhängande med förhållandet som Α:s till Β, Γ:s till Δ och dessutom Ε:s till Ζ. Jag säger så, att de också är minst. Ty om Θ, Η, Κ och Λ inte är de minsta proportionellt sammanhängande med förhållanden som Α:s till Β, Γ:s till Δ och Ε:s till Ζ, låt Ν, Ξ, Μ vara Ο det. Och då som Α är till Β, så är Ν till Ξ, Α och Β är minst samt att de minsta mäter dem, som har samma förhållande, lika många gånger, det större det större och det mindre det mindre, det vill säga det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande,Prop. 7.20 alltså mäter Β Ξ. Av samma skäl bör Γ mäta Ξ. Alltså mäter Β och Γ Ξ. Och alltså skall det minsta som mäts av Β och Γ mäta Ξ.Prop. 7.35 Η är det minsta tal som mäts av Β och Γ. Alltså mäter Η Ξ, det större det mindre, vilket är omöjligt. Alltså skall det inte finnas några proportionellt sammanhängande tal mindre än Θ, Η, Κ och Λ med förhållandet som Α:s till Β, Γ:s till Δ och dessutom Ε:s till Ζ.
Μὴ μετρείτω δὴ ὁ Ε τὸν Κ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ
τῶν Ε, Κ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Μ.
καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Κ τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ
ἑκάτερος τῶν Θ, Η ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ μετρείτω,
ὁσάακις δὲ ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ
τὸν Ο μετρείτω. ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Θ τὸν Ν μετρεῖ καὶ
ὁ Η τὸν Ξ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως
ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως
ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως
ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ
πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Μ. πάλιν, ἐπεὶ
ἰσάκις ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Ο, ἔστιν ἄρα
ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Ο· οἱ Ν,
Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τοῖς τοῦ τε Α
πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε
πρὸς τὸν Ζ λόγοις. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι ἐν
τοῖς Α Β, Γ Δ, Ε ΖB B) Notationen av förhållanden är här förkortad, dvs. som Α är till Β
blir Α Β
, vilket motsvaras av det modernare A : B
. λόγοις. εἰ γὰρ μή, ἔσονταί
τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον
ἐν τοῖς Α Β, Γ Δ, Ε Ζ λόγοις. ἔστωσαν οἱ
Π, Ρ, Σ, Τ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Ρ,
οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ
δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας
αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ
ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ρ μετρεῖ· οἱ Β, Γ ἄρα τὸν
Ρ μετροῦσιν. καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ
μετούμενος τὸν Ρ μετρήσει. ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν
Β, Γ μετρούμενος ἐστιν ὁ Η· ὁ Η ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ.
καί ἐστιν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ρ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν
Σ· καὶ ὁ Κ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Ε
τὸν Σ· οἱ Ε, Κ ἄρα τὸν Σ μετροῦσιν. καὶ ὁ ἐλάχιστος
ἄρα ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενος τὸν Σ μετρήσει.
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενός
ἐστιν ὁ Μ· ὁ Μ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν
ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἔσονταί
τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον
ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς
τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις· οἱ Ν, Ξ,
Μ, Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοί εἰσιν ἐν τοῖς Α
Β, Γ Δ, Ε Ζ λόγοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[4]
Låt Ε inte mäta Κ och låt ha tagit Μ som det minsta talet som mäts av Ε och Κ.Prop. 7.34 Och så många gånger Κ mäter Μ, låt så många gånger också vart och ett av Θ och Η mäta vart och ett av Ν och Ξ samt låt så många gånger Ε mäter Μ, så många gånger också Ζ mäta Ο. Eftersom Θ mäter Ν lika många gånger som Η mäter Ξ, alltså som Θ är till Η, så är Ν till Ξ.Def. 7.21 Prop. 7.13 Som Θ är till Η, så är Α till Β och alltså som Α är till Β, så är Ν till Ξ. Av samma skäl bör även som Γ till Δ, så är Ξ till Μ. Åter, eftersom Ε mäter Μ lika många gånger som Ζ mäter Ο, alltså som Ε är till Ζ, så är Μ till Ο.Def. 7.21 Prop. 7.13 Alltså är Ν, Ξ, Μ och Ο proportionellt sammanhängande med förhållanden som Α:s till Β, Γ:s till Δ och dessutom Ε:s till Ζ. Jag säger så, att de är minst med förhållandena Α Β, Γ Δ, Ε Ζ. Ty om inte, skall några tal mindre än Ν, Ξ, Μ och Ο vara proportionellt sammanhängande med med förhållandena Α Β, Γ Δ, Ε Ζ. Låt dem vara Π, Ρ, Σ och Τ. Och då som Π är till Ρ, så är Α till Β, Α och Β är minst, och de minsta mäter dem, som har samma förhållande som de, lika många gånger, de föregående de föregående och de efterföljande de efterföljande,Prop. 7.20 alltså mäter Β Ρ. Av samma skäl bör också Γ mäta Ρ, alltså mäter Β och Γ Ρ och alltså skall det minsta talet som mäts av Β och Γ mäta Ρ.Prop. 7.35 Η är det minsta talet som mäts av Β och Γ, alltså mäter Η Ρ. Och som Η är till Ρ, så är Κ till Σ. Och alltså mäter Κ Σ.Def. 7.21 Även Ε mäter Σ.Prop. 7.20 Alltså mäter Ε och Κ Σ. Och alltså skall det minsta talet som mäts av Ε och Κ mäta Σ.Prop. 7.35 Det minsta talet som mäts av Ε och Κ är Μ. Alltså mäter Μ Σ, det större det mindre, vilket är omöjligt. Alltså skall inte några proportionellt sammanhängande tal mindre än Ν, Ξ, Μ och Ο med förhållandena som Α:s till Β, Γ:s till Δ och dessutom Ε:s till Ζ. Alltså är Ν, Ξ, Μ och Ο proportionellt sammanhängande med förhållandena som Α:s till Β, Γ:s till Δ och dessutom Ε:s till Ζ. Vilket skulle visas.
εʹ.
Οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσι τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
Ἔστωσαν ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
Λόγων γὰρ δοθέντων τοῦ τε ὃν ἔχει ὁ Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐλάχιστοι ἐν τοῖς Γ Ε, Δ Ζ λόγοις, οἱ Η, Θ, Κ, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Η πρὸς τὸν Θ, ὡς δὲ τὸν Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ. καὶ ὁ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω.
Καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α
πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν,
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν
Λ. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ·
καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν
Λ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Λ
πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν
Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως
ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως
ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, οὕτως
ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Η πρὸς
τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ· δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν
ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β. ὁ δὲ
Η πρὸς τὸν Κ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν
πλευρῶν· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν
συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· ὅπερ ἔδειδεῖξαι.[5]
Låt Α och Β vara de plana talen, låt Γ och Δ vara Α:s sidor samt låt Ε och Ζ vara Β:s. Jag säger, att Α har till Β ett förhållande komponerat av sidornas.
Ty låt av de givna förhållandena vilka Γ har till Ε och Δ till Ζ ha tagit Η, Θ och Κ proportionellt sammanhängande med förhållandena Γ Ε och Δ Ζ,Prop. 8.4 så att som Γ är till Ε, så är Η till Θ, som Δ är till Ζ, så är Θ till Κ. Och låt Δ multiplicerat med Ε producera Λ.
Och eftersom Δ har multiplicerat med Γ resulterat
i Α och multiplicerat med Ε resulterat i Λ,
alltså som Γ är till Ε, så är Α till
Λ.Prop. 7.17 Som Γ är till Ε, så är Η till Θ och
alltså som Η är till Θ, så är Α till
Λ. Åter, eftersom Ε har multiplicerat med Δ resulterat
i Λ,Prop. 7.16 men har också multiplicerat med Ζ
resulterat i Β, alltså som Δ är till Ζ, så är
Λ till Β.Prop. 7.17 Men som Δ är till Ζ, så är
Θ till Κ och alltså som Θ är till Κ, så är
Λ till Β. Det har även visats att som Η är till
Θ, så är Α till Λ. Alltså ex aequali
som Η är till Κ, så är Α till Β.Prop. 7.14 Och
Η har till Κ ett förhållande komponerat av
sidornas och alltså har Α till Β ett förhållande
komponerat av sidornas. Vilket skulle visas.
ϛʹ.
Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν δεύτερον μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
6.
Om så många proportionellt sammanhängande tal finns och det första inte mäter det andra, skall heller inget annat mäta något annat.
Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, ὁ δὲ Α τὸν Β μὴ μετρείτω· λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
Ὅτι μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε ἑξῆς ἀλλήλους οὐ
μετροῦσιν, φανερόν· οὐδὲ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει. εἰ
γὰρ δυνατόν, μετρείτω ὁ Α τὸν Γ. καὶ ὅσοι εἰσὶν
οἱ Α, Β, Γ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ
τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ οἱ Ζ, Η,
Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς
Α, Β, Γ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ τῷ
πλήθει τῶν Ζ, Η, Θ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α
πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν
ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὐ
μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β, οὐ μετρεῖ ἄρα οὐδὲ ὁ Ζ τὸν
Η· οὐκ ἄρα μονάς ἐστιν ὁ Ζ· ἡ γὰρ μονὰς πάντα
ἀριθμὸν μετρεῖ. καί εἰσιν οἱ Ζ, Θ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους
οὐδὲ ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ. καί ἐστιν ὡς ὁ
Ζ πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ· οὐδὲ ὁ Α
ἄρα τὸν Γ μετρεῖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ
ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[6]
Låt Α, Β, Γ, Δ och Ε vara så många proportionellt sammanhängande tal och låt Α inte mäta Β. Jag säger, att heller inget annat skall mäta något annat.
Att sålunda Α, Β, Γ, Δ och Ε inte mäter varandra i följd
är uppenbart. Ty inte heller Α mäter Β.
Jag säger så, att heller inget annat skall mäta något annat. Ty
om möjligt, låt Α mäta Γ. Och så många som
Α, Β och Γ är, låt ha tagit så många minsta tal
Ζ, Η och Θ av dem, som har samma förhållande som Α, Β och Γ.Prop. 7.33
Och eftersom Ζ, Η och Θ har samma förhållande som
Α, Β och Γ samt Α, Β och Γ:s antal är lika med
Ζ, Η och Θ:s antal, alltså ex aequali som Α
är till Γ, så är Ζ till Θ.Prop. 7.14 Och eftersom
som Α är till Β, så är Ζ till Η, mäter
inte Α Β, alltså mäter heller inte Ζ
Η.Def. 7.21 Alltså är Ζ inte en enhet, ty enheten mäter
alla tal. Och Ζ och Θ är prima till varandraProp. 8.3
och alltså mäter Ζ inte Θ. Och som
Ζ är till Θ, så är Α till Γ. Alltså mäter inte
heller Α Γ.Def. 7.21 På samma sätt skall vi visa, att inte heller
något annat skall mäta något. Vilket skulle visas.
ζʹ.
Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον,
ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ
τὸν δεύτερον μετρήσει.
7.
Om så många proportionellt sammanhängande tal finns och det första mäter det yttersta, skall det också mäta det andra.
Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Δ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
Εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει· μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Δ. μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[7]
Låt Α, Β, Γ och Δ vara så många proportionellt sammanhängande tal och låt Α mäta Δ. Jag säger, att Α också mäter Β.
Ty om Α inte mäter Β, skall heller inget annat mäta något tal.Prop. 8.6 Α mäter Δ. Alltså mäter Α också Β. Vilket skulle visas.
ηʹ.
Ἐὰν δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς
ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς
μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνόλογον ἐμπίπτουσιν
ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν
αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς μεταξὺ κατὰ τὸ
συνὲχες ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
8.
Om tal faller i sammanhängande proportionD D) Både adjektivet συνεχές
och adverbet ἑξῆς
anses sålunda beskriva samma begrepp.
mellan två tal och så många tal
som faller in emellan dem i sammanhängande proportion,
så många tal faller också in emellan dem, som har
samma förhållande som dem, i
sammanhängande proportion.
Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ· λέγω, ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
Ὅσοι γάρ εἰσι τῷ πλήθει οἱ Α, Β, Γ, Δ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β οἱ Η, Θ, Κ, Λ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Η, Λ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β τοῖς Η, Θ, Κ, Λ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Γ, Δ, Β τῷ πλήθει τῶν Η, Θ, Κ, Λ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. οἱ δὲ Η, Λ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον. ἰσάκις ἄρα ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ καὶ ὁ Λ τὸν Ζ. ὁσάκις δὴ ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ, Κ ἑκάτερον τῶν Μ, Ν μετρείτω· οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοὺς Ε, Μ, Ν, Ζ ἰσάκις μετροῦσιν. οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν. ἀλλὰ οἱ Η, Θ, Κ, Λ τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν· καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν. οἱ δὲ Α, Γ, Δ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν· καὶ οἱ Ε, Μ, Ν, Ζ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν. ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[8]
Ty låt mellan två tal, Α och Β, talen Γ och Δ falla i sammanhängande proportion och låt ha gjort Α till Β, som Ε till Ζ. Jag säger, att så många tal som har fallit in emellan Α och Β i sammanhängande proportion, så många skall också falla in emellan Ε och Ζ i sammanhängande proportion.
Ty så många som antalet av Α Β, Γ, och Δ är, låt ha tagit så många av de minsta talen Η, Θ, Κ och Λ av dem, som har samma förhållande som Α, Γ, Δ och Β.Prop. 7.33 Alltså de yttersta av dem, Η och Λ, är prima till varandra.Prop. 8.3 Och eftersom Α, Γ, Δ och Β samt Η, Θ, Κ och Λ är i samma förhållande och antalet av Α, Γ, Δ och Β är lika med antalet av Η, Θ, Κ och Λ, alltså ex aequali som Α är till Β, så är Η till Λ.Prop. 7.14 Och som Α är till Β, så är Ε till Ζ och alltså som Η är till Λ, så är Ε till Ζ. Η och Λ är prima till varandra. De prima är också minst av dem, som har samma förhållande som deProp. 7.21 och de minsta talen mäter dem, som har samma förhållande, lika många gånger, det större det större och det mindre det mindre, det vill säga, det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande.Prop. 7.20 Alltså Η mäter Ε lika många gånger som Λ mäter Ζ. Så många gånger Η mäter Ε, låt också vart och ett av Θ och Κ så många gånger mäta vart och ett av Μ och Ν. Alltså mäter Η, Θ, Κ och Λ Ε, Μ, Ν och Ζ lika många gånger. Alltså är Η, Θ, Κ och Λ i samma förhållande som Ε, Μ, Ν och Ζ.Def. 7.21 Men Η, Θ, Κ och Λ är i samma förhållande som Α, Γ, Δ och Β. Och alltså är Α, Γ, Δ och Β i samma förhållande som Ε, Μ, Ν och Ζ.Def. 7.21 Α, Γ, Δ och Β är proportionellt sammanhängande och alltså är Ε, Μ, Ν och Ζ proportionellt sammanhängande. Så många tal som har fallit in emellan Α och Β i sammanhängande proportion, så många tal har också fallit in emellan Ε och Ζ i sammanhängande proportion. Vilket skulle visas.
θʹ.
Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
9.
Om två tal är prima till varandra och in emellan dem faller tal i sammanhängande proportion, så många tal som då faller in emellan dem i sammanhängande proportion, så många skall också falla in emellan vart och ett av dem och en enhet i sammanhängande proportion.
Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ ἐκκείσθω ἡ Ε μονάς· λέγω, ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
Εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Γ, Δ, Β λόγῳ ὄντες οἱ Ζ, Η, τρεῖς δὲ οἱ Θ, Κ, Λ, καὶ ἀεὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους, ἕως ἂν ἴσον γένηται τὸ πλῆθος αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β. εἰλήφθωσαν, καὶ ἔστωσαν οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, τὸν δὲ Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, καὶ ὁ Η ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, τὸν δὲ Λ πολλαπλασιάσας τὸν Ο πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β, ἕκαστος ἄρα τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο ἑκάστῳ τῶν Α, Γ, Δ, Β ἴσος ἐστίν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Μ τῷ Α, ὁ δὲ Ο τῷ Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Θ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Θ τὸν Μ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Μ. ἴσος δὲ ὁ Μ τῷ Α· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Α. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Η ἀριθμόν, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Ε μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[9]
Låt Α och Β vara två tal prima till varandra samt låt Γ och Δ falla in emellan dem i sammanhängande proportion. Sätt också upp enheten Ε. Jag säger, att så många tal som faller in emellan Α och Β i sammanhängande proportion, så många skall också falla in emellan vart och ett av Α och Β samt enheten i sammanhängande proportion.
Ty låt ha tagit de två minsta talen Ζ och Η som har förhållande som Α, Γ, Δ och Β.Prop. 7.33 De tre Θ, Κ och Λ och så vidare efter varandra med en till, tills antalet blivit lika med antalet av Α, Γ, Δ och Β.Prop. 8.2 Låt ha tagit dessa och låt dem vara Μ, Ν, Ξ och Ο. Det är uppenbart, att Ζ har multiplicerat med sig självt resulterat i Θ, multiplicerat med Θ resulterat i Μ samt Η har multiplicerat med sig självt resulterat i Λ och multiplicerat med Λ resulterat i Ο.Prop. 8.2 cor. Och eftersom Μ, Ν, Ξ och Ο är minst av dem, som har samma förhållande som Ζ och Η, är också Α, Γ, Δ och Β minst av dem, som har samma förhållande som Ζ och ΗProp. 8.2 samt antalet av Μ, Ν, Ξ och Ο är lika med antalet av Α, Γ, Δ, Β. Alltså är vart och ett av Μ, Ν, Ξ och Ο lika med vart och ett av Α, Γ, Δ och Β. Alltså är Μ lika med Α och Ο med Β. Och eftersom Ζ multiplicerat med sig självt resulterat i Θ, mäter alltså Ζ Θ med enheterna i Ζ.Def. 7.16 Även enheten Ε mäter Ζ med enheterna i det. Alltså är mäter enheten Ε talet Ζ lika många gånger som Ζ mäter Θ. Alltså som enheten Ε är till talet Ζ, som Ζ är till Θ.Prop. 7.21 Åter, eftersom Ζ multiplicerat med Θ har resulterat i Μ, mäter alltså Θ Μ med enheterna i Ζ.Prop. 7.16 Enheten Ε mäter också talet Ζ med enheterna i det. Alltså mäter enheten Ε talet Ζ som Θ mäter Μ. Alltså som enheten Ε är till talet Ζ, så är Θ till Μ.Prop. 7.20 Det har också visats, att som enheten Ε är till talet Ζ, så är Ζ till Θ och alltså som enheten Ε är till talet Ζ, så är Ζ till Θ och Θ till Μ. Och Μ är lika med Α, alltså som enheten Ε är till talet Ζ, så är Ζ till Θ och Θ till Α. Av samma skäl som enheten Ε är till talet Η, så är också Η till Λ och Λ till Β. Alltså så många tal som faller in emellan Α och Β tal i sammanhängande proportion, så många tal har också fallit in emellan vart och ett av Α och Β enheten Ε i sammanhängande proportion. Vilket skulle visas.
ιʹ.
Ἐάν δύο ἀριθμῶν ἑκατέρου καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
10.
Om in emellan vart och ett av två tal och en enhet tal faller i sammanhängande proportion, så många tal som in emellan vart och ett av dem och enheten faller i sammanhängande proportion, så många tal skall också falla in emellan dem i sammanhängande proportion.
Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξύ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἵ τε Δ, Ε καὶ οἱ Ζ, Η· λέγω, ὅτι ὅσοι ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
Ὁ Δ γὰρ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Λ ποιείτω.
Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν,
οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς
τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε. ἡ δὲ Γ μονὰς
τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
καὶ ὁ Δ ἄρα ἀριθμὸς τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς
ἐν τῷ Δ μονάδας· ὁ Δ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας
τὸν Ε πεποίηκεν. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ μονὰς
πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Α, ἰσάκις
ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν
Α. ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς
ἐν τῷ Δ μονάδας· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ
τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας· ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας
τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν
Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ
Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ
ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν
δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα
ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Θ
πρὸς τὸν Η. καὶ ὡς ἄρα ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως
ὁ Θ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν
Ε, Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Κ πεποίηκεν,
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς
τὸν Κ. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Δ πρὸς
τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α
πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Δ, Ζ τὸν Θ
πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Λ πεποίηκεν, ἕστιν
ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ.
ἀλλ᾿ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ·
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν
Λ. ἔτι ἐπεὶ ὁ Ζ ἑκάτερον τῶν Θ, Η πολλαπλασιάσας
ἑκάτερον τῶν Λ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ
πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Θ
πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα
ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη
δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν
Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Λ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν
Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β. οἱ
Α, Κ, Λ, Β ἄρα κατὰ τὸ συνεχὲς ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον.
ὅσοι ἄρα ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς Γ μονάδος μεταξὺ
κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί,
τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς
ἐμπεσοῦνται· ὅπερ ἔδειδεῖξαι.[10]
Ty låt in emellan vart och ett av de två talen Α och Β samt enheten Γ talen Δ och Ε samt Ζ och Η falla i sammanhängande proportion. Jag säger, att så många tal som har fallit in emellan vart och ett av Α och Β samt enheten Γ i sammanhängande proportion, så många tal skall också falla in emellan Α och Β i sammanhängande proportion.
Ty låt Δ multiplicerat med Ζ resultera i Θ samt låt vart och ett av Δ och Ζ multiplicerat med Θ resultera i Κ och Λ.
Och då som enheten Γ är till talet Δ,
så är Δ till Ε, alltså mäter enheten Γ talet Δ
lika många gånger som Δ mäter Ε.Def. 7.21 Och enheten Γ
mäter talet Δ med enheterna i Δ.
Alltså mäter talet Δ också Ε med enheterna
i Δ. Alltså har Δ multiplicerat med sig självt
resulterat i Ε. Åter, då som enheten Γ är
till talet Δ, som Ε är till Α, alltså
mäter enheten Γ talet Δ som Ε mäter
Α.Def. 7.21 Och enheten Γ mäter talet Δ med
enheterna i Δ, alltså mäter Ε även Α med
enheterna i Δ. Alltså har Δ multiplicerat med Ε
resulterat i Α. Av samma skäl bör också
Ζ multiplicerat med sig självt ha resulterat i Η och
multiplicerat med Η resulterat i Β. Och eftersom Δ
har multiplicerat med sig självt resulterat i Ε och
multiplicerat med Ζ resulterat i Θ, är alltså
som Δ är till Ζ, så är Ε till Θ.Prop. 7.17 Av samma
skäl som Δ är till Ζ, så bör också Θ vara
till Η.Prop. 7.18 Och alltså som Ε är till Θ, så är
Θ till Η. Åter, eftersom Δ multiplicerat med vart och ett av
Ε och Θ har resulterat i vart och ett av Α och Κ,
alltså som Ε är till Θ, så är Α till
Κ.Prop. 7.17 Men som Ε är till Θ, så är Δ
till Ζ och alltså som Δ är till Ζ, så är Α
till Κ. Åter, eftersom vart och ett av Δ och Ζ
multiplicerat med Θ har resulterat i Κ och Λ, alltså
som Δ är till Ζ, så är Κ till Λ.Prop. 7.18
Men som Δ är till Ζ, så är Α till Κ och
alltså som Α är till Κ, så är Κ till
Λ. Dessutom eftersom Ζ multiplicerat med vart och ett av Θ och Η
har resulterat i vart och ett av Λ och Β, alltså som Θ
är till Η, så är Λ till Β.Prop. 7.17 Och som Θ är
till Η, så är Δ till Ζ. Och alltså som
Δ är till Ζ, så är Λ till Β. Det har också visats,
att som Δ är till Ζ, så är Α till
Κ och Κ till Λ. Och alltså som Α är till
Κ, så är Κ till Λ och Λ till Β. Alltså är
Α, Κ, Λ och Β i sammanhängande proportion.
Alltså så många tal som har fallit in emellan vart och ett
av Α och Β samt enheten Γ i sammanhängande proportion,
så många tal skall också falla in emellan Α och Β i
sammanhängande proportion. Vilket skulle visas.
ιαʹ.
Δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.
11.
Om det finns ett tal i mellersta förhållandet till två tal i kvadrat och kvadraten har till kvadraten ett duplicerat förhållande än det sidan har till sidan.
Ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
Ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω. καὶ ἐπεὶ τετράγωνός ἐστιν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ Γ, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ἐπεὶ οὖν ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Ε πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.
Λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ε, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ε. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πλευρὰ πρὸς τὴν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[11]
Låt Α och Β vara tal i kvadrat, låt Α:s sida vara Γ och Β:s vara Δ. Jag säger, att det finns ett tal i mellersta förhållandet till Α och Β samt att Α har ett duplicerat förhållande till Β än Γ till Δ.
Ty Γ multiplicerat med Δ resulterar i Ε. Och eftersom Α är en kvadrat Α, är dess sida Γ, alltså har Γ multiplicerat med sig självt resulterat i Α. Av samma skäl bör också Δ multiplicerat med sig självt ha resulterat i Β. Eftersom då Γ multiplicerat med vart och ett av Γ och Δ har resulterat i vart och ett av Α och Ε, alltså som Γ är till Δ, så är Α till Ε.Prop. 7.17 Av samma skäl bör också som Γ är till Δ, så Ε vara till Β.Prop. 7.18 Och alltså som Α är till Ε, så är Ε till Β. Alltså finns det ett tal i mellersta förhållandet till Α och Β.
Jag säger så, att Α har till Β ett duplicerat förhållande än Γ till Δ. Ty eftersom de tre talen Α, Ε och Β är proportionella, har alltså Α ett duplicerat förhållande till Β än Α till Ε. Och som Α är till Ε, så är Γ till Δ. Alltså har Α ett duplicerat förhållande till Β än sidan Γ till Δ. Vilket skulle visas.
ιβʹ.
Δύο κύβων ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.
12.
Om det finns ett tal i mellersta förhållandet till två kubtal och kuben har till kuben ett triplicerat förhållande än det sidan har till sidan.
Ἔστωσαν κύβοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
Ὁ γὰρ Γ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω.
Καὶ ἐπεὶ κύβος ἐστὶν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ. ὡς δὲ ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Θ, Κ.
Λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα
λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες
ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Θ, Κ, Β, ὁ Α ἄρα
πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς
τὸν Θ. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς
τὸν Δ· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον
ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[12]
Låt Α och Β vara kubtal, låt Α:s sida vara Γ och Β:s vara Δ. Jag säger, att det finns ett tal i mellersta förhållandet till Α och Β samt att Α har ett triplicerat förhållande till Β än Γ till Δ.
Ty låt Γ multiplicerat med sig självt resultera i Ε och multiplicerat med Δ resultera i Ζ. Låt Δ multiplicerat med sig självt resultera i Η samt vart och ett av Γ och Δ multiplicerat med Ζ resultera i vart och ett av Θ och Κ.
Och eftersom Α är en kub, är dess sida Γ och Γ multiplicerat med sig självt har resulterat i Ε, alltså har Γ multiplicerat med sig självt resulterat i Ε och har multiplicerat med Ε resulterat i Α. Av samma skäl bör också Δ multiplicerat med sig självt ha resulterat i Η och har multiplicerat med Η resulterat i Β. Och eftersom Γ multiplicerat med vart och ett av Γ och Δ har resulterat i vart och ett av Ε och Ζ, alltså som Γ är till Δ, så är Ε till Ζ.Prop. 7.17 Av samma skäl som Γ är till Δ, så är också Ζ till Η.Prop. 7.18 Åter, eftersom Γ multiplicerat med vart och ett av Ε och Ζ har resulterat i vart och ett av Α och Θ, alltså som Ε är till Ζ, så är Α till Θ.Prop. 7.17 Som Ε är till Ζ, så är Γ till Δ och som Γ är till Δ, så är Α till Θ. Åter, eftersom vart och ett av Γ och Δ multiplicerat med Ζ har resulterat i vart och ett av Θ och Κ, alltså som Γ är till Δ, så är Θ till Κ.Prop. 7.18 Åter, eftersom Δ multiplicerat med vart och ett av Ζ och Η har resulterat i vart och ett av Κ och Β, alltså som Ζ är till Η, så är Κ till Β.Prop. 7.17 Som Ζ är till Η, så är Γ till Δ och, alltså, som Γ är till Δ, så är Α till Θ och Θ till Κ och Κ till Β. Alltså är Θ och Κ två tal i mellersta förhållandet till Α och Β.
Jag säger så, att också Α har ett triplicerat
förhållande till Β än Γ till Δ. Ty eftersom
Α, Θ, Κ och Β är fyra proportionella tal, alltså
har Α ett triplicerat förhållande till Β än Α till
Θ.Def. 5.10 Som Α är till Θ, så är Γ
till Δ. Och alltså har Α ett triplicerat förhållande
till Β än Γ till Δ. Vilket skulle visas.
ιγʹ.
Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον,
καὶ πολλαπλασιάσας ἕκαστος ἑαυτὸν
ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἀνάλογον
ἔσονται· καὶ ἐὰν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους
πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, καὶ αὐτοὶ
ἀνάλογον ἔσονται καὶ ἀεὶ περὶ τοὺς ἄκρους
τοῦτο συμβαίνει.
13.
Om så många tal är proportionellt sammanhängande
och vart och ett multiplicerat med sig självt resulterar
i något, skall produkterna därav vara proportionella.
Och om de ursprungliga talen multiplicerade med
produkterna resulterar i något, skall också dessa
vara proportionella och detta inträffar alltid
avseende de yttre.
Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ Α, Β, Γ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, καὶ οἱ Α, Β, Γ ἑαυτοὺς μὲν πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε, Ζ ποιείτωσαν, τοὺς δὲ Δ, Ε, Ζ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η, Θ, Κ ποιείτωσαν· λέγω, ὅτι οἵ τε Δ, Ε, Ζ καὶ οἱ Η, Θ, Κ ἑξῆς ἀνάλογον εἰσιν.
Ὁ μὲν γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Α, Β τὸν Λ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Μ, Ν ποιείτω. καὶ πάλιν ὁ μὲν Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ξ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Β, Γ τὸν Ξ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ο, Π ποιείτω.
Ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δεῖξομεν, ὅτι οἱ Δ, Λ, Ε καὶ οἱ Η, Μ, Ν, Θ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ, καὶ ἔτι οἱ Ε, Ξ, Ζ καὶ οἱ Θ, Ο, Π, Κ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Β πρὸς τὸν Γ λόγῳ. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ· καὶ οἱ Δ, Λ, Ε ἄρα τοῖς Ε, Ξ, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ ἔτι οἱ Η, Μ, Ν, Θ τοῖς Θ, Ο, Π, Κ. καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν τῶν Δ, Λ, Ε πλῆθος τῷ τῶν Ε, Ξ, Ζ πλήθει, τὸ δὲ τῶν Η, Μ, Ν, Θ τῷ τῶν Θ, Ο, Π, Κ· δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς μὲν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[13]
Låt Α, Β och Γ vara så många proportionellt sammanhängande tal, att som Α är till Β, så är Β till Γ. Och låt Α, Β och Γ multiplicerade med sig själva ha resulterat i Δ, Ε och Ζ samt multiplicerade med Δ, Ε och Ζ resulterat i Η, Θ och Κ. Jag säger, att Δ, Ε och Ζ samt Η, Θ och Κ är proportionellt sammanhängande.
Ty låt Α multiplicerat med Β resultera i Λ och vart och ett av Α och Β multiplicerat med Λ resultera i Μ och Ν. Och åter låt Β multiplicerat med Γ resultera i Ξ samt vart och ett av Β och Γ multiplicerat med Ξ resultera i vart och ett av Ο och Π.
På samma sätt som för de ovanstående kan vi visa, att Δ, Λ och Ε samt Η, Μ, Ν och Θ är proportionellt sammanhängande med förhållandet som Α:s förhållande till Β. Och dessutom är Ε, Ξ och Ζ samt Θ, Ο, Π och Κ proportionellt sammanhängande med förhållandet som Β:s förhållande till Γ. Och som Α är till Β, så är Β till Γ. Och alltså har Δ, Λ och Ε samt Ε, Ξ och Ζ samma förhållande och dessutom Η, Μ, Ν och Θ samt Θ, Ο, Π och Κ. Och antalet av Δ, Λ och Ε är lika med antalet av Ε, Ξ och Ζ samt det av Η, Μ, Ν och Θ med det av Θ, Ο, Π och Κ. Alltså ex aequali som Δ är till Ε, så är Ε till Ζ och som Η är till Θ, så är Θ till Κ.Prop. 7.14 Vilket skulle visas.
ιδʹ.
Ἐὰν τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.
14.
Om en kvadrat mäter en kvadrat, skall också sidan mäta sidan. Och om sidan mäter sidan, skall också kvadraten mäta kvadraten.
Ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Β μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
Ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω· οἱ Α, Ε, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Ε, Β ἐξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.
Πάλιν δὴ ὁ Γ τὸν Δ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε, μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί εἰσιν οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογον· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β.
Ἐὰν ἄρα τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[14]
Låt Α och Β vara två tal i kvadrat samt Γ och Δ deras sidor. Och låt Α mäta Β. Jag säger, att också Γ mäter Δ.
Ty låt Γ multiplicerat med Δ resultera i Ε. Alltså är Α, Ε och Β proportionellt sammanhängande med förhållandet som Γ:s förhållande till Δ.Prop. 8.11 Och eftersom Α, Ε och Β är proportionellt sammanhängande och Α mäter Β, mäter alltså Α även Ε.Prop. 8.7 Och som Α är till Ε, så är Γ till Δ. Alltså mäter Γ Δ.Def. 7.21
Åter låt så Γ mäta Δ. Jag säger, att även Α mäter Β.
Ty med samma uppställning skall vi visa, att Α, Ε och Β är proportionellt sammanhängande med förhållandet som Γ:s förhållande till Δ. Och då som Γ är till Δ, så är Α till Ε och Γ mäter Δ, alltså även Α mäter Ε.Def. 7.21 Och Α, Ε och Β är proportionellt sammanhängande. Alltså mäter även Α Β.
Om alltså en kvadrat mäter en kvadrat, skall också sidan mäta sidan. Och om sidan mäter sidan, skall också kvadraten mäta kvadraten. Vilket skulle visas.
ιεʹ.
Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.
15.
Om ett kubtal mäter ett kubtal, skall också sidan mäta sidan. Och om sidan mäter sidan, skall också kuben mäta kuben.
Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον τὸν Β μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
Ὁ Γ γὰρ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω,
ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, καὶ
ἔτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω, ἑκάτερος
δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον
τῶν Θ, Κ ποιείτω. φανερὸν δή, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η καὶ
οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς
τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν
εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ τὸν Θ.
καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν
Δ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.
Ἀλλὰ δὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ, καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Θ μετρεῖ· ὥστε καὶ τὸν Β μετρεῖ ὁ Α· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[15]
Ty låt kubtalet Α mäta Β och låt Α:s sida vara Γ och Β:s Δ. Jag säger, att Γ mäter Δ.
Ty låt Γ multiplicerat med sig självt resultera i Ε,
Δ multiplicerat med sig självt resultera i Η och
låt dessutom Γ multiplicerat med Δ resultera i Ζ och
vart och ett av Γ och Δ multiplicerat med Ζ resultera i
vart och ett av Θ och Κ. Det är uppenbart, att Ε, Ζ och Η samt
Α, Θ, Κ och Β är proportionellt sammanhängande med förhållandet
som Γ:s till Δ.Prop. 8.12 Och eftersom Α, Θ, Κ och Β proportionellt sammanhängande
och Α mäter Β, mäter det alltså också Θ.Prop. 8.7
Och som Α är till Θ, så är Γ till
Δ. Alltså mäter även Γ Δ.Def. 7.21
Men låt så Γ mäta Δ. Jag säger, att också Α skall mäta Β.
Ty med samma uppställning så skall vi visa, att Α, Θ, Κ och Β är proportionellt sammanhängande med förhållandet som Γ:s till Δ. Och eftersom Γ mäter Δ, är som Γ är till Δ, så även Α till Θ, och alltså mäter Α Θ.Def. 7.21 Därför mäter Α även Β. Vilket skulle visas.
ιϛʹ.
Ἐὰν τετράγωνος ἀριθμὸς τετράγωνον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.
16.
Om ett tal i kvadrat ej mäter ett tal i kvadrat, skall heller inte sidan mäta sidan. Och om inte sidan mäter sidan, skall heller inte kvadraten mäta kvadraten.
Ἔστωσαν τετρὰγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Β· λὲγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
Εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, μετρήσει καὶ ὁ Α τὸν Β. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β· οὐδὲ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει.
Μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι οὐδὲ
ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
Εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρήσει καὶ ὁ Γ τὸν Δ. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ· οὐδ᾿ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[16]
Låt Α och Β vara tal i kvadrat, låt deras sidor vara Γ och Δ samt låt ej Α mäta Β. Jag säger, att Γ inte heller mäter Δ.
Ty om Γ mäter Δ, skall också Α mäta Β. Α mäter inte Β, alltså skall heller inte Γ mäta Δ.
Låt Γ åter inte mäta Δ. Jag säger, att Α inte heller skall mäta Β.
Ty om Α mäter Β, skall också Γ mäta Δ. Γ mäter inte Δ, alltså skall heller inte Α mäta Β. Vilket skulle visas.
ιζʹ.
Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.
17.
Om ett kubtal ej mäter ett kubtal, skall heller inte sidan mäta sidan. Och om inte sidan mäter sidan, skall heller inte kuben mäta kuben.
Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β μὴ μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ οὐ μετρήσει.
Εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β· οὐδ᾿ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
Ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
Εἰ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ· οὐδ᾿ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[17]
Ty låt kubtalet Α ej mäta Β samt låt Α:s sida vara Γ och Β:s Δ. Jag säger, att Γ inte skall mäta Δ.
Ty om Γ mäter Δ, skall även Α mäta Β. Α mäter inte Β, alltså mäter heller inte Γ Δ.
Men låt så Γ inte mäta Δ. Jag säger, att heller inte Α skall mäta Β.
Ty om Α mäter Β, skall även Γ mäta Δ. Γ mäter inte Δ, alltså skall inte heller Α mäta Β. Vilket skulle visas.
ιηʹ.
Δύο ὁμοίων ἐπιπέδων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός· καὶ ὁ ἐπίπεδος πρὸς τὸν ἐπίπεδον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
18.
Det finns ett tal i mellersta förhållandet till två likformiga plana tal och planet har till planet ett duplicerat förhållande än korresponderande sida till korresponderande sida.
Ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β,
καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί,
τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν
οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ
Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. λέγω οὖν,
ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ
ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ
πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, τουτέστιν ἤπερ ἡ
ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε
πρὸς τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν
Ε, ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδός ἐστιν ὁ Α,
πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας
τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ
Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ὁ Δ δὴ
τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω. καὶ ἐπεὶ ὁ
Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν
δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα
ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η. ἀλλ᾿
ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· καὶ
ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η.
πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Η
πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν,
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Η
πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ,
οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν
Η, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β. οἱ Α, Η, Β ἄρα ἑξῆς
ἀνάλογόν εἰσιν. τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν
ἐστιν ἀριθμός.
Λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Η, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Η. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Η, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[18]
Låt Α och Β vara två likformiga plana tal
samt låt talen Γ och Δ vara Α:s sidor och
Ε och Ζ vara Β:s. Och eftersom de likformiga planen
har proportionella sidor,Def. 7.22 är alltså som
Γ är till Δ, så är Ε till Ζ. Jag säger, att
det finns ett tal i mellersta förhållandet till
Α och Β samt att Α har ett duplicerat förhållande till Β än
Γ till Ε eller Δ till Ζ, det vill säga som
en korresponderande sida till en korresponderande sida.
Och då som Γ är till Δ, så är Ε
till Ζ, alltså, alternerat, som Γ är till
Ε, så Δ till Ζ.Prop. 7.13 Och eftersom Α är plant
och dess är sidor Γ och Δ, har alltså Δ multiplicerat med Γ
ha resulterat i Α. Av samma skäl bör
Ε multiplicerat med Ζ ha resulterat i Β. Låt så Δ
multiplicerat med Ε resultera i Η. Och eftersom
Δ multiplicerat med Γ har resulterat i Α och
har multiplicerat med Ε resulterat i Η, är alltså
som Γ är till Ε, så är Α till Η.Prop. 7.17 Men
som Γ är till Ε, så är Δ till Ζ och
alltså som Δ är till Ζ, så är Α till Η.
Åter, eftersom Ε multiplicerat med Δ har resulterat
i Η och har multiplicerat med Ζ resulterat i Β,
alltså är som Δ är till Ζ, så är Η
till Β.Prop. 7.17 Det har också visats, att som Δ är till Ζ,
då är Α till Η och alltså som Α är till
Η, så är Η till Β. Alltså är Α, Η och Β
proportionellt sammanhängande. Alltså finns det
ett tal i mellersta förhållandet till Α och Β.
Jag säger så, att Α har ett duplicerat förhållande till Β än korresponderande sida till korresponderande sida, det vill säga än Γ till Ε eller Δ till Ζ. Ty eftersom Α, Η och Β är proportionellt sammanhängande, har Α ett duplicerat förhållande till Β än det till Η.Prop. 5.9 Och som Α är till Η, så är Γ till Ε och Δ till Ζ. Och alltså har Α ett duplicerat förhållande till Β än Γ till Ε eller Δ till Ζ. Vilket skulle visas.
ιθʹ.
Δύο ὁμοίων στερεῶν ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί· καὶ ὁ στερεὸς πρὸς τὸν ὅμοιον στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
19.
Två tal faller i mellersta förhållandet in emellan två likformiga rymdtal och kroppen har till den likformiga kroppen ett triplicerat förhållande än korresponderande sida till korresponderande sida.
Ἔστωσαν δύο ὅμοιοι στερεοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ
μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, Ε, τοῦ δὲ Β οἱ Ζ,
Η, Θ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον
ἔχοντες τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ὁ Γ πρὸς
τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ὡς δὲ ὁ Δ πρὸς τὸν
Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ. λέγω, ὅτι τῶν Α, Β
δύο μέσοι ἀνάλογόν ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α
πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς
τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.
Ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω,
ὁ δὲ Ζ τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω. καὶ
ἐπεὶ οἱ Γ, Δ τοὶς Ζ, Η ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καὶ
ἐκ μὲν τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ, ἐκ δὲ τῶν Ζ, Η ὁ Λ,
οἱ Κ, Λ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί· τῶν Κ,
Λ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός. ἔστω ὁ
Μ. ὁ Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ζ, ὡς ἐν τῷ πρὸ
τούτου θεωρήματι ἐδείχθη. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν
Γ πολλαπλασιάσας τὸν Κ πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας
τὸν Μ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ
πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Κ
πρὸς τὸν Μ, ὁ Μ πρὸς τὸν Λ. οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα
ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῷ.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ
Ζ πρὸς τὸν Η, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν
Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ
ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. οἱ
Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Γ
πρὸς τὸν Ζ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Δ πρὸς τὸν Η καὶ
ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Θ. ἑκατερος δὴ τῶν Ε, Θ
τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ ποιείτω.
καὶ ἐπεὶ στερεός ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν
οἱ Γ, Δ, Ε, ὁ Ε ἄρα τὸν ἐκ τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας
τὸν Α πεποίηκεν. ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ
Κ· ὁ Ε ἄρα τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Θ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν
Β πεποίηκεν. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Κ πολλαπλασιάσας
τὸν Α πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Μ πολλαπλασιάσας
τὸν Ν πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Κ πρὸς
τὸν Μ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν. ὡς δὲ ὁ Κ πρὸς
τὸν Μ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς
τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ· καὶ ὡς ἄρα ὁ
Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν
Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος
τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν,
Ξ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως
ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως
ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η· καὶ ὡς
ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ
Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Ν καὶ ὁ
Ν πρὸς τὸν Ξ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας
τὸν Ξ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Λ πολλαπλασιάσας
τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Μ
πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Β. ἀλλ᾿ ὡς ὁ
Μ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ
πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ
πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν
Θ, οὕτως οὐ μόνον ὁ Ξ πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ καὶ ὁ
Α πρὸς τὸν Ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. οἱ Α, Ν, Ξ,
Β ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τοῖς εἰρημένοις τῶν
πλευρῶν λόγοις.
Λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ν, Ξ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ν. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ν, οὕτως ἐδείχθη ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ομόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[19]
Låt Α och Β vara två rymdtal, Α:s sidor vara Γ, Δ och Ε samt Β:s vara Ζ, Η och Θ. Och eftersom likformiga kropparna är de som har proportionella sidor.Def. 7.22 Alltså som Γ är till Δ, så är Ζ till Η, som Δ är till Ε, så är Η till Θ. Jag säger, att in emellan Α och Β faller två tal i mellersta förhållandet samt att Α har ett triplicerat förhållande till Β än Γ till Z och Δ till Η samt dessutom Ε till Θ.
Ty låt Γ multiplicerat med Δ resultera i Κ,
Ζ multiplicerat med Η resultera i Λ. Och
eftersom Γ och Δ är i samma förhållande som Ζ och Η samt
Κ är produkten av Γ och Δ och Λ är produkten av Ζ och Η, är alltså
Κ och Λ likformiga plana tal.Def. 7.22 Alltså
finns det ett tal i mellersta förhållandet till Κ och Λ.Prop. 8.18 Låt det vara
Μ. Μ är alltså produkten av Δ och Ζ, vilket visats
i satsen före denna. Och eftersom Δ multiplicerat med
Γ har resulterat i Κ och multiplicerat med Ζ
resulterat i Μ, alltså som Γ är
till Ζ, så är Κ till Μ.Prop. 7.17 Men som Κ är
till Μ, så är Μ till Λ. Alltså är Κ, Μ och Λ
proportionellt sammanhängande med förhållandet som Γ:s till Ζ.
Och då som Γ är till Δ, så är
Ζ till Η, alltså alternerat som Γ är till
Ζ, så är Δ till Η.Prop. 7.13 Av samma skäl som
Δ är till Η, så bör även Ε vara till Θ. Alltså
är Κ, Μ och Λ proportionellt sammanhängande med förhållandet
som Γ:s till Ζ och Δ:s till Η och dessutom
Ε:s till Θ. Och låt vart och ett av Ε och Θ
multiplicerat med Μ resultera i Ν och Ξ.
Och eftersom Α är en kropp och dess sidor är
Γ, Δ och Ε, har alltså Ε multiplicerat med produkten av Γ och Δ
resulterat i Α och Κ är produkten av Γ och Δ,
alltså har Ε multiplicerat med Κ resulterat i Α.
Av samma skäl bör även Θ multiplicerat med Λ
ha resulterat i Β. Och eftersom Ε multiplicerat med Κ
har resulterat i Α, men har faktiskt också multiplicerat med Μ
resulterat i Ν, alltså som Κ är till
Μ, så är Α till Ν.Prop. 7.17 Som Κ är till
Μ, så är Γ till Ζ och Δ till
Η och dessutom Ε till Θ. Och alltså som
Γ är till Ζ, Δ till Η och Ε till
Θ, så är Α till Ν. Åter, eftersom vart och ett av
Ε och Θ multiplicerat med Μ har resulterat i vart
och ett av Ν och Ξ, alltså som Ε är till Θ, så är
Ν till Ξ.Prop. 7.18 Men som Ε är till Θ, så är
Γ till Ζ och Δ till Η. Och alltså
som Γ är till Ζ, Δ till Η och
Ε till Θ, så är Α till Ν och
Ν till Ξ. Åter, Eftersom Θ multiplicerat med Μ
resulterat i Ξ, men har faktiskt också multiplicerat med Λ
resulterat i Β, alltså som Μ är
till Λ, så är Ξ till Β.Prop. 7.17 Men som
Μ är till Λ, så är Γ till Ζ, Δ
till Η och Ε till Θ. Och alltså som Γ
är till Ζ, Δ till Η och Ε till
Θ, så är inte bara Ξ till Β, utan även
Α till Ν och Ν till Ξ. Alltså är Α, Ν, Ξ och Β
proportionellt sammanhängande med sidornas
nämnda förhållanden.
Jag säger, att Α även har ett triplicerat förhållande till Β än korresponderande sida till korresponderande sida, det vill säga än talet Γ till Ζ eller Δ till Η och dessutom Ε till Θ. Ty eftersom Α, Ν, Ξ och Β är fyra proportionellt sammanhängande tal, har alltså Α ett triplicerat förhållande till Β än Α till Ν.Def. 5.10 Men som Α är till Ν, så har Γ visats vara till Ζ, Δ till Η och dessutom Ε till Θ. Och alltså har Α ett triplicerat förhållande till Β än korresponderande sida till korresponderande sida, det vill säga än talet Γ till Ζ, Δ till Η och dessutom Ε till Θ. Vilket skulle visas.
κʹ.
Ἐὰν δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῇ ἀριθμός, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται οἱ ἀριθμοί.
20.
Om in emellan två tal ett tal faller i mellersta förhållandet, skall talen vara likformiga och plana.
Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπιπτέτω ἀριθμὸς ὁ Γ· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
Εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν
αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ οἱ Δ, Ε· ἰσάκις ἄρα
ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Γ. ὁσάκις δὴ ὁ Δ
τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ·
ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
ὥστε ὁ Α ἐπίπεδός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Δ,
Ζ. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Δ, Ε ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν
λόγον ἐχόντων τοῖς Γ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Γ
μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Β μετρεῖ,
τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η. ὁ Ε ἄρα
τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Η μονάδας· ὁ Η ἄρα
τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ὁ Β ἄρα
ἐπίπεδος ἐστι, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Ε, Η. οἱ
Α, Β ἄρα ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί. λέγω δή, ὅτι καὶ
ὅμοιοι. ἐπεὶ γὰρ ὁ Ζ τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν
Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν,
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ
Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Γ πρὸς τὸν Β. πάλιν,
ἐπεὶ ὁ Ε ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας τοὺς
Γ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως
ὁ Γ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Β, οὕτως
ὁ Δ πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως
ὁ Ζ πρὸς τὸν Η· καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς
τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Η. οἱ Α, Β ἄρα ὅμοιοι
ἐπίπεδοι ἀριθμοί εἰσιν· αἱ γὰρ πλευραὶ αὐτῶν ἀνάλογόν
εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[20]
Ty låt talet Γ falla in emellan talen Α och Β i mellersta förhållandet. Jag säger, att talen Α och Β är likformiga och plana.
Ty låt ha tagit de minsta talen Δ och Ε av dem
som har samma förhållande som Α och Γ,Prop. 7.33 alltså mäter
Δ Α lika många gånger som Ε mäter Γ.Prop. 7.20 Så många gånger Δ
mäter Α, låt enheten vara så många gånger i Ζ och
alltså har Ζ multiplicerat med Δ resulterat i Α.Def. 7.17
Sålunda är Α ett plan och dess sidor är Δ och
Ζ. Åter, eftersom Δ och Ε är de minsta av dem som
har samma förhållande som Γ och Β, mäter alltså Δ Γ
lika många gånger som Ε mäter Β.Prop. 7.20 Så många gånger Ε mäter Β,
låt enheten vara så många gånger Η. Alltså
mäter Ε Β med enheterna i Η och alltså har
Η multiplicerat med Ε resulterat i Β.Def. 7.17 Alltså är
Β ett plan och dess sidor är Ε och Η.
Alltså är Α och Β plana tal. Jag säger så, att de även
är likformiga. Ty eftersom Ζ multiplicerat med Δ
har resulterat i Α och har multiplicerat med Ε resulterat i Γ,
alltså som Δ är till Ε, så är
Α till Γ, det vill säga som Γ till Β.Prop. 7.17 Åter,
eftersom Ε multiplicerat med vart och ett av Ζ och Η
har resulterat i Γ och Β, alltså som Ζ är till Η, så är
Γ till Β.Prop. 7.17 Som Γ är till Β, så är
Δ till Ε och alltså som Δ är till Ε, så är
Ζ till Η samt alternerat som Δ är till
Ζ, så är Ε till Η.Prop. 7.13 Alltså är Α och Β likformiga
plana tal, ty deras sidor är
proportionella.Def. 7.22 Vilket skulle visas.
καʹ.
Ἐὰν δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀριθμοί.
21.
Om in emellan två tal två tal faller i mellersta förhållandet, skall talen vara likformiga och rymdtal.
Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
Εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ τρεῖς οἱ Ε, Ζ, Η· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Η πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. καὶ ἐπεὶ τῶν Ε, Η εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπέπτωκεν ἀριθμὸς ὁ Ζ, οἱ Ε, Η ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. ἔστωσαν οὖν τοῦ μὲν Ε πλευραὶ οἱ Θ, Κ, τοῦ δὲ Η οἱ Λ, Μ. φανερὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τοῦ πρὸ τούτου, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Θ πρὸς τὸν Λ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Κ πρὸς τὸν Μ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Ε, Ζ, Η τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Δ. οἱ δὲ Ε, Η πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Δ. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ν. ὁ Ν ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. ὁ δὲ Ε ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Θ, Κ· ὁ Ν ἄρα τὸν ἐκ τῶν Θ, Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Θ, Κ, Ν. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Γ, Δ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ξ. ὁ Η ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ξ μονάδας· ὁ Ξ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ὁ δὲ Η ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Λ, Μ· ὁ Ξ ἄρα τὸν ἐκ τῶν Λ, Μ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Β, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Λ, Μ, Ξ· οἱ Α, Β ἄρα στερεοί εἰσιν.
Λέγω δή, ὅτι καὶ ὅμοιοι. ἐπεὶ γὰρ οἱ Ν, Ξ τὸν
Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Α, Γ πεποιήκασιν, ἔστιν
ἄρα ὡς ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, ὁ Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν
ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Θ
πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ
πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ καὶ ὁ Ν πρὸς
τὸν Ξ. καί εἰσιν οἱ μὲν Θ, Κ, Ν πλευραὶ τοῦ Α, οἱ
δὲ Ξ, Λ, Μ πλευραὶ τοῦ Β. οἱ Α, Β ἄρα ἀριθμοὶ
ὅμοιοι στερεοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[21]
Ty låt talen Γ och Δ falla in emellan talen Α och Β i mellersta förhållandet. Jag säger, att talen Α och Β är likformiga och rymdtal.
Ty låt ha tagit de minsta talen Ε, Ζ och Η av dem som har samma förhållande som Α, Γ och Δ.Prop. 8.2 Alltså är de yttersta av dem Ε och Η prima till varandra.Prop. 8.3 Och eftersom ett tal Ζ har fallit in emellan Ε och Η i mellersta förhållandet, är alltså Ε och Η likformiga plana tal.Prop. 8.20 Låt så Ε:s sidor vara Θ och Κ samt Η:s Λ och Μ. Alltså är det uppenbart, av satsen före detta, att Ε, Ζ och Η är proportionellt sammanhängande med förhållandet som Θ:s till Λ och Κ:s till Μ. Och eftersom Ε, Ζ och Η är minst av dem med samma förhållande som Α, Γ och Δ samt antalet av Ε, Ζ och Η är lika med antalet av Α, Γ och Δ, alltså ex aequali som Ε är till Η, så är Α till Δ.Prop. 7.14 Så Ε och Η är prima och de prima är också de minstaProp. 7.21 och de minsta mäter dem, som har samma förhållande som de, lika många gånger, det större det större och det mindre det mindre, det vill säga det föregående det föregående och det efterföljande och det efterföljande.Prop. 7.20 Alltså mäter Ε Α lika många gånger som Η Δ. Och så många gånger Ε mäter Α, låt så många enheter vara i Ν. Alltså har Ν multiplicerat med Ε resulterat i ΑDef. 7.16 och Ε är produkten av Θ och Κ. Alltså har Ν multiplicerat med produkten av Θ och Κ resulterat i Α. Alltså är Α en kropp och dess sidor är Θ, Κ och Ν. Åter, eftersom Ε, Ζ och Η är de minsta av dem som har samma förhållande som Γ, Δ och Β, mäter alltså Ε Γ lika många gånger som Η mäter Β.Prop. 7.20 Och så många gånger Ε mäter Γ, låt så många enheter vara i Ξ. Alltså mäter Η Β med enheterna i Ξ och alltså har Ξ multiplicerat med Η resulterat i Β. Och Η är produkten av Λ och Μ, alltså har Ξ multiplicerat med produkten av Λ och Μ resulterat i Β. Alltså är Β en kropp och dess sidor är Λ, Μ och Ξ. Alltså är Α och Β kroppar.
Jag säger så, att de även är likformiga. Ty eftersom
Ν och Ξ multiplicerade med Ε har resulterat i Α och Γ, alltså
som Ν är till Ξ, så är Α till Γ, det vill säga
som Ε till Ζ.Prop. 7.18 Men som Ε är till Ζ, så är Θ
till Λ och Κ till Μ. Och alltså som Θ
är till Λ, så är Κ till Μ och Ν till
Ξ. Och Θ, Κ och Ν är Α:s sidor och
Ξ, Λ och Μ är Β:s sidor. Alltså är Α och Β
likformiga och rymdtal.Def. 7.22 Vilket skulle visas.
κβʹ.
Ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ τρίτος τετράγωνος ἔσται.
22.
Om tre tal är proportionellt sammanhängande och det första är en kvadrat, skall också det tredje vara en kvadrat.
Ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, ὁ δὲ πρῶτος ὁ Α τετράγωνος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ τρίτος ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
Ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Γ εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ Β, οἱ Α, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. τετράγωνος δὲ ὁ Α· τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[22]
Låt Α, Β och Γ vara tre proportionellt sammanhängande tal och låt Α vara en kvadrat. Jag säger, att också det tredje Γ är en kvadrat.
Ty eftersom Β är ett tal i mellersta förhållandet till Α och Γ, är alltså Α och Γ likformiga och plana.Prop. 8.20 Och Α är en kvadrat, alltså är även Γ en kvadrat.Def. 7.22 Vilket skulle visas.
κγʹ.
Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ τέταρτος κύβος ἔσται.
23.
Om fyra tal är proportionellt sammanhängande och det första är en kub, skall också det fjärde vara en kub.
Ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α κύβος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Δ κύβος ἐστίν.
Ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Δ δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, οἱ Α, Δ ἄρα ὅμοιοί εἰσι στερεοὶ ἀριθμοί. κύβος δὲ ὁ Α· κύβος ἄρα καὶ ὁ Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[23]
Låt Α, Β, Γ och Δ vara fyra proportionellt sammanhängande tal och låt Α vara en kub. Jag säger, att också Δ är en kub.
Ty eftersom Β och Γ är två tal i mellersta förhållandet till Α och Δ, är alltså Α och Δ likformiga rymdtal.Prop. 8.21 Och Α är en kub, alltså är även Δ en kub.Def. 7.22 Vilket skulle visas.
κδʹ.
Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος τετράγωνος ἔσται.
24.
Om två tal har ett förhållande till varandra, som det en kvadrat har till en kvadrat, och det första är en kvadrat, skall också det andra vara en kvadrat.
Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν Δ, ὁ δὲ Α τετράγωνος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β τετράγωνός ἐστιν.
Ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ τετράγωνοί εἰσιν, οἱ Γ, Δ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. τῶν Γ, Δ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός. καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός. καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος· καὶ ὁ Β ἄρα τετράγωνός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[24]
Ty låt två tal Α och Β ha ett förhållande till varandra, som det kvadratiska talet Γ har till kvadratiska talet Δ och låt Α vara en kvadrat. Jag säger, att också Β skall vara en kvadrat.
Ty eftersom Γ och Δ är kvadrater, är alltså Γ och Δ likformiga och plana. Alltså faller in emellan Γ och Δ ett tal i mellersta förhållandet.Prop. 8.18 Och som Γ är till Δ, så är Α Β. Och alltså faller ett tal i mellersta förhållandet in emellan Α och Β.Prop. 8.8 Och Α är en kvadrat och alltså är Β en kvadrat.Prop. 8.22 Vilket skulle visas.
κεʹ.
Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται.
25.
Om två tal har ett förhållande till varandra, som ett rymdtal till ett rymdtal och det första är en kub, skall också det andra vara en kub.
Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον
ἐχέτωσαν, ὃν κύβος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς κύβον ἀριθμὸν
τὸν Δ, κύβος δὲ ἔστω ὁ Α· λέγω δή, ὅτι καὶ
ὁ Β κύβος ἐστίν.
Ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ κύβοι εἰσίν, οἱ Γ, Δ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν· τῶν Γ, Δ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. ὅσοι δὲ εἰς τοὺς Γ, Δ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς· ὥστε καὶ τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. ἐμπιπτέτωσαν οἱ Ε, Ζ. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Ε, Ζ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστι κύβος ὁ Α, κύβος ἄρα καὶ ὁ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[25]
Ty låt två tal Α och Β ha ett förhållande till
varandra, som ett rymdtalet Γ till ett rymdtalet
Δ och låt Α vara en kub. Jag säger så, att också
Β är en kub.
Ty eftersom Γ och Δ är kuber, är Γ och Δ likformiga kroppar, alltså faller två tal i mellersta förhållandet in emellan Γ och Δ.Prop. 8.19 Och så många som faller in proportionellt sammanhängande mellan Γ och Δ, så många faller in emellan dem, som har samma förhållande som de.Prop. 8.8 Sålunda faller två tal i mellersta proportion in emellan Α och Β. Låt Ε och Ζ falla in emellan. Eftersom då Α, Ε, Ζ och Β är proportionellt sammanhängande kvadratiska tal och Α är en kub, är alltså också Β en kub.Prop. 8.23 Vilket skulle visas.
κϛʹ.
Οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
26.
Likformiga plana tal har ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal har till ett kvadratiskt tal.
Ἔστωσαν ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός. ἐμπιπτέτω καὶ ἔστω ὁ Γ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Β οἱ Δ, Ε, Ζ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοί εἰσιν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, καί εἰσιν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοι, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[26]
Låt Α och Β vara likformiga plana tal. Jag säger, att Α har ett förhållande till Β, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.
Ty eftersom Α och Β är likformiga och plana, faller alltså ett tal i mellersta förhållandet in emellan Α och Β.Prop. 8.18 Låt ett falla in och låt det vara Γ samt låt ha tagit de minsta tal Δ, Ε och Ζ av dem, som har samma förhållande som Α, Γ och Β.Prop. 8.2 Alltså är de yttersta av dem, Δ och Ζ, kvadrater.Prop. 8.2 cor. Och som då Δ är till Ζ, så är Α till Β samt Δ och Ζ är kvadrater, alltså har Α ett förhållande till Β, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Vilket skulle visas.
κζʹ.
Οἱ ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν.
27.
Likformiga rymdtal har ett förhållande till varandra, som ett kubtal till ett kubtal.
Ἔστωσαν ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν.
Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί. ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἴσοι αὐτοῖς τὸ πλῆθος οἱ Ε, Ζ, Η, Θ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Θ κύβοι εἰσίν. καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[27]
Låt Α och Β vara likformiga rymdtal. Jag säger, att Α har ett förhållande till Β, som ett rymdtal till ett rymdtal.
Ty eftersom Α och Β likformiga rymdtal, alltså faller två tal i mellersta förhållandet mellan Α och Β.Prop. 8.19 Låt Γ och Δ falla in emellan och låt ha tagit de minsta talen Ε, Ζ, Η och Θ av dem, som har samma förhållande som Α, Γ, Δ och Β samt är lika till antalet med dem.Prop. 8.2 Alltså är de yttersta av dem, Ε och Θ, kuber.Prop. 8.2 cor. Och som Ε är till Θ, så är Α till Β och alltså Α har ett förhållande till Β, som ett rymdtal till ett rymdtal. Vilket skulle visas.