Elementas Bok VII

Στοιχείων ζʹ.

Ὅροι.

αʹ. Μονάς ἐστιν, καθ᾿ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.
βʹ. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.
γʹ. Μέρος ἐστὶν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸν μείζονα.
δʹ. Μέρη δέ, ὅταν μὴ καταμετρῇ.
εʹ. Πολλαπλάσιος δὲ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάσσονος.
ϛʹ. Ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος.
ζʹ. Περισσὸς δὲ ὁ μὴ διαιρούμενος δίχα ἢ μονάδι διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ.
ηʹ. Ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν.
θʹ. Ἄρτιάκις δὲ περισσός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν.
ιʹ. Περισσάκις ἀρτιός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν.
ιαʹ. Περισσάκις δὲ περισσὸς ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν.
ιβʹ. Πρῶτος ἀριθμός ἐστιν ὁ μονάδι μόνῃ μετρούμενος.
ιγʹ. Πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ.
ιδʹ. Σύνθετος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἀριθμῷ τινι μετρούμενος.
ιεʹ. Σύνθετοι δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀριθμῷ τινι μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ.
ιϛʹ. Ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάζειν λέγεται, ὅταν, ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες, τοσαυτάκις συντεθῇ ὁ πολλαπλασιαζόμενος, καὶ γένηταί τις.
ιζʹ. Ὅταν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος ἐπίπεδος καλεῖται, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί.
ιηʹ. Ὅταν δὲ τρεῖς ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί.
ιθʹ. Τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἰσάκις ἴσος ἢ ὑπὸ δύο ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος.
κʹ. Κύβος δὲ ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις ἢ ὑπὸ τριῶν ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος.
καʹ. Ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅταν ὁ πρῶτος τοῦ δευτέρου καὶ ὁ τρίτος τοῦ τετάρτου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιος ἢ τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη ὦσιν.
κβʹ. Ὅμοιοι ἐπίπεδοι καὶ στερεοὶ ἀριθμοί εἰσιν οἱ ανάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς.
κγʹ. Τέλειος ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν.[1]

Definitioner.

1. Enhet är det, enligt vilket vart och ett av det varande kallas ett.
2. Ett tal är en mångfald komponerat av enheter.
3. Ett tal är en del av ett tal, det mindre av det större, när det mäter upp det större.A A) Jämför nästan ordagranna V Def. 1. och noten därtill.
4. DelarB B) Dvs. bråkdelar. Jämför uttrycken av typen τὰ δύο μέρη, τὰ τρία μέρη, vilka skall tolkas som (n - 1)/n = 1 - 1/n (Se Les éléments. Volume II, tr. Vitrac, s. 253. Se även Smyth, Greek Grammar, §353)., när det ej mäter upp det större.
5. Det större är multiplar av det mindre, när det mäts upp av det mindre.
6. Ett jämnt tal delar sig i hälften.
7. Ett udda delar sig inte i hälften eller så skiljer det sig med en enhet från ett jämnt tal.
8. Ett jämnt jämnt tal är det, som av ett jämnt tal mäts i ett jämnt tal.
9. Ett jämnt udda tal är det, som av ett jämnt tal mäts i ett udda tal.
10. Ett udda jämnt tal är det, som av ett udda tal mäts i ett jämnt tal.
11. Ett udda udda tal är det, som av ett udda tal mäts i ett udda tal.
12. Primtal är de, som mäts av bara en enhet.
13. Tal prima till varandraC C) Dvs. relativt prima. är de, vilka mäts av bara en enhet som gemensamt mått.
14. Ett sammansatt tal är det, som mäts av något tal.
15. Tal sammansatta med varandra är de, vilka mäts av något tal som gemensamt mått.
16. Ett tal sägs multiplicera ett tal, när, så många gånger som enheten är i det, så många gånger det multiplicerade adderats och resulterat i något.
17. När två tal multiplicerade med varandra resulterar i något, kallas resultatet ett plan och dess sidor är talen multiplicerade med varandra.
18. När tre tal multiplicerade med varandra resulterar i något, är resultatet en kropp och dess sidor är talen multiplicerade med varandra.
19. Ett kvadratiskt tal är lika lika många gånger eller ett som omges av två lika tal.
20. Ett kubiskt tal är lika lika många gånger eller ett som omges av tre lika tal.
21. Tal är proportionella, när det första är lika många multiplar, samma del eller samma delar till det andra som det tredje till det fjärde.
22. Likformiga plana och kroppsliga tal är de, som har proportionella sidor.
23. Ett perfekt tal är det, som är lika med sina delar.

αʹ.

Δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλὴλους ἔσονται.

1.

Sedan två olika tal ställts upp samt oupphörligen och i tur och ordning det mindre tagits bort från det större, om då resten aldrig mäter upp den föregående resten, förrän det återstår en enhet, skall de ursprungliga talen vara prima till varandra.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ ἀνίσων ἀριθμῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρείτω τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, τουτέστιν ὅτι τοὺς ΑΒ, ΓΔ μονὰς μόνη μετρεῖ.

Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε· καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΑ, ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΗΓ, ὁ δὲ ΗΓ τὸν ΖΘ μετρῶν λειπέτω μονάδα τὴν ΘΑ.

Ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΖ μετρεῖ, καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΒΖ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ μετρήσει. ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρεῖ· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΔΗ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΗ μετρήσει. ὁ δὲ ΓΗ τὸν ΖΘ μετρεῖ· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΖΘ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΖΑ· καὶ λοιπὴν ἄρα τὴν ΑΘ μονάδα μετρήσει ἀριθμὸς ὤν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς μετρήσει τις ἀριθμός· οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. [2]

Ty sedan två olika tal ΑΒ och ΓΔ samt oupphörligen och i tur och ordning det mindre tagits bort från det större, låt resten aldrig mäta upp den föregående resten, förrän det återstår en enhet. Jag säger, att ΑΒ och ΓΔ är prima till varandra, det vill säga att endast en enhet mäter ΑΒ och ΓΔ.

Ty om ΑΒ och ΓΔ inte är prima till varandra, mäter något tal dem. Låt ett mäta dem och låt det vara Ε. Och låt ΓΔ mätande ΒΖ lämna kvar ΖΑ, mindre än sig själv, låt ΑΖ mätande ΔΗ lämna kvar ΗΓ, mindre än sig själv, samt låt ΗΓ mätande ΖΘ lämna kvar ΘΑ, mindre än sig själv.

Eftersom då Ε mäter ΓΔ, ΓΔ mäter ΒΖ och alltså mäter Ε ΒΖ och mäter även hela ΒΑ. Och skall alltså mäta resten ΑΖ. ΑΖ mäter ΔΗ och alltså mäter Ε ΔΗ och mäter även hela ΔΓ. Och skall alltså mäta resten ΓΗ. ΓΗ mäter ΖΘ och alltså mäter Ε ΖΘ och mäter även hela ΖΑ. Och skall alltså mäta resterande enheten ΑΘ, när det är ett tal. Vilket är omöjligt. Alltså skall inte något tal mäta talen ΑΒ och ΓΔ. Alltså är ΑΒ och ΓΔ prima till varandra. Vilket skulle visas.

βʹ.

Δύο ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.

2.

Att finna största gemensamma måttet till två givna tal, ej prima till varandra.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ, ΓΔ. δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.

Εἰ μὲν οὖν ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν, ὁ ΓΔ ἄρα τῶν ΓΔ, ΑΒ κοινὸν μέτρον ἐστίν. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον· οὐδεὶς γὰρ μείζων τοῦ ΓΔ τὸν ΓΔ μετρήσει.

Εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ, τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος λειφθήσεταί τις ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ. μονὰς μὲν γὰρ οὐ λειφθήσεται· εἰ δὲ μή, ἔσονται οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. λειφθήσεταί τις ἄρα ἀριθμὸς, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ. καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΕ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΕΑ, ὁ δὲ ΕΑ τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΓ, ὁ δὲ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρείτω. ἐπεὶ οὖν ὁ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρεῖ, ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΔ μετρήσει. ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ· καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΑ· καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΒΑ μετρήσει· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΓΔ· ὁ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ μετρεῖ. ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ ΓΖ τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ ΓΖ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Η. καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ, καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΕ μετρήσει. ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ· καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ ΓΖ· ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[3]

Låt ΑΒ och ΓΔ vara de två givna talen, ej prima till varandra. ΑΒ:s och ΓΔ:s största gemensamma mått skall finnas.

Om alltså ΓΔ mäter ΑΒ, mäter det även sig självt, alltså är ΓΔ ΓΔ:s och ΑΒ:s gemensamma mått. Och det är uppenbart, att det är störst. Ty inget större än ΓΔ mäter ΓΔ.

Om ΓΔ inte mäter ΑΒ, då från ΑΒ och ΓΔ oupphörligen och i tur och ordning det mindre tagits bort från det större skall något tal bli över, som skall mäta det före sig. Ty en enhet skall inte bli över. Om inte, skall ΑΒ vara ΓΔ prima till varandra,Prop. 7.1 vilket inte antagits. Alltså skall något tal bli över, som skall mäta det för sig. Och låt ΓΔ mätande ΒΕ lämna kvar ΕΑ mindre än sig självt, ΕΑ mätande ΔΖ lämna kvar ΖΓ mindre än sig självt och ΓΖ mäta ΑΕ. Eftersom då ΓΖ mäter ΑΕ, mäter ΑΕ ΔΖ och alltså skall ΓΖ mäta ΔΖ. Det mäter även sig självt och alltså skall det mäta hela ΓΔ. ΓΔ mäter ΒΕ och alltså mäter ΓΖ ΒΕ samt mäter ΕΑ. Och alltså skall det mäta hela ΒΑ och mäter ΓΔ. Alltså mäter ΓΖ ΑΒ och ΓΔ. Alltså är ΓΖ ΑΒ:s och ΓΔ:s gemensamma mått. Jag säger, att det även är störst. Ty om ΓΖ inte är ΑΒ:s och ΓΔ:s största gemensamma mått, skall något tal, större än ΓΖ, mäta ΑΒ och ΓΔ. Låt ett mäta dem och vara Η. Och eftersom Η mäter ΓΔ och ΓΔ mäter ΒΕ, och alltså mäter Η ΒΕ. Det mäter även hela ΒΑ och alltså skall det mäta resten ΑΕ. ΑΕ mäter ΔΖ, alltså skall Η mäta ΔΖ. Det mäter även hela ΔΓ och skall alltså mäta hela ΓΖ, det större det mindre, vilket är omöjligt. Alltså skall inte något tal, större än ΓΖ, mäta ΑΒ och ΓΔ. Alltså är ΓΖ ΑΒ:s och ΓΔ:s största gemensamma mått vilket skulle visas.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om ett tal mäter två tal skall det också mäta det största gemensamma måttet. Vilket skulle visas.

γʹ.

Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.

3.

Att finna största gemensamma måttet till tre givna tal, ej prima till varandra.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.

Εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ· ὁ δὴ Δ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον· μετρεῖ δέ καὶ τοὺς Α, Β· ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ· ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Δ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β ἄρα μετρήσει· καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ· ὁ Ε ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Δ· ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον.

Μὴ μετρείτω δὴ ὁ Δ τὸν Γ· λέγω πρῶτον, ὅτι οἱ Γ, Δ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. ὁ δὴ τοὺς Α, Β, Γ μετρῶν καὶ τοὺς Α, Β μετρήσει, καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸν Δ μετρήσει· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· τοὺς Δ, Γ ἄρα ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει· οἱ Δ, Γ ἄρα οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Ε. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, ὁ δὲ Δ τοὺς Α, Β μετρεῖ, καὶ ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ. ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Ε τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Ε. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ζ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β μετρεῖ· καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ· ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ζ ἄρα τοὺς Δ, Γ μετρεῖ· καὶ τὸ τῶν Δ, Γ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν Δ, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Ε· ὁ Ζ ἄρα τὸν Ε μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Ε· ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[4]

Låt Α, Β och Γ vara de två givna talen, ej prima till varandra. Α, Β och Γ:s största gemensamma mått skall finnas.

Ty låt ha tagit de två Α:s och Β:s största gemensamma mått Δ.Prop. 7.2 Då antingen mäter Δ Γ eller mäter ej. Låt det först mäta. Det mäter också Α och Β. Alltså mäter Δ Α, Β och Γ. Δ är alltså ett gemensamt mått till Α, Β och Γ. Jag säger, att det är också det största. Ty om Δ inte är Α, Β och Γ:s största gemensamma mått, skall något annat tal större än Δ mäta Α, Β och Γ. Låt ett mäta dem och låt det vara Ε. Eftersom då Ε mäter Α, Β och Γ samt skall även mäta Α och Β. Alltså skall det mäta Α:s och Β:s största gemensamma mått.Prop. 7.2 cor. Δ är alltså största gemensamma mått till Α och Β. Alltså mäter Ε Δ, det större det mindre, vilket är omöjligt. Alltså är skall inte något tal större än Δ mäta Α, Β och Γ. Alltså är Δ Α, Β och Γ:s största gemensamma mått.

Låt Δ inte mäta Γ. Jag säger först, att Γ och Δ inte är prima till varandra. Ty eftersom Α, Β och Γ inte är prima till varandra, skall något tal mäta dem. Då skall det som mäter Α, Β och Γ även mäta Α och Β samt skall mäta Α:s och Β:s största gemensamma mått Δ.Prop. 7.2 cor. Det mäter även Γ, alltså skall något tal mäta talen Δ och Γ. Alltså skall heller inte Δ och Γ vara prima till varandra. Låt alltså ha tagit deras största gemensamma mått Ε.Prop. 7.2 Och eftersom Ε mäter Δ, Δ mäter Α och Β, alltså mäter även Ε Α och Β samt Γ. Alltså mäter Ε Α, Β och Γ. Alltså är Ε Α, Β och Γ:s gemensamma mått. Jag säger så, att det är också det största. Ty om Ε inte är Α, Β och Γ:s största gemensamma mått, skall något annat tal större än Ε mäta Α, Β och Γ. Låt ett mäta dem och låt det vara Ζ. Och eftersom Ζ mäter Α, Β och Γ, mäter det även Α och Β, alltså skall det mäta Α:s och Β:s största gemensamma mått.Prop. 7.2 cor. Δ är Α:s och Β:s största gemensamma mått, Ζ mäter alltså Δ och mäter Γ. Alltså mäter Ζ Δ och Γ, alltså skall det även mäta Δ:s och Γ:s största gemensamma mått.Prop. 7.2 cor. Ε är Δ:s och Γ:s största gemensamma mått, alltså mäter Ζ Ε, det större det mindre, vilket är omöjligt. Alltså skall inte något tal större än Ε mäta talen Α, Β och Γ, alltså är Ε Α, Β och Γ:s största gemensamma mått. Vilket skulle visas.

δʹ.

Ἅπας ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.

4.

Alla tal är antingen en del eller delar av alla tal, det mindre av det större.

Objects are not supported by your browser!

Ἕστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, ΒΓ, καὶ ἔστω ἐλάσσων ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ ΒΓ τοῦ Α ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.

Οἱ Α, ΒΓ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ. ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. διαιρεθέντος δὴ τοῦ ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέρος τι τοῦ Α· ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.

Μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· ὁ δὴ ΒΓ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, ΒΓ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ Δ τοῦ Α· ἴσος δὲ ὁ Δ ἑκάστῳ τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ· καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ τοῦ Α μέρος ἐστίν· ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.

Ἅπας ἄρα ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[5]

Låt Α och ΒΓ vara två tal och låt ΒΓ vara mindre. Jag säger, att ΒΓ antingen är en del eller delar av Α.

Ty antingen är Α och ΒΓ prima till varandra eller ej. Låt först Α och ΒΓ vara prima till varandra. Sedan ΒΓ delats i enheterna i sig, skall var enhet i ΒΓ vara en del av Α, så att ΒΓ är delar av Α.

Låt så Α och ΒΓ inte vara prima till varandra. ΒΓ antingen mäter eller mäter inte Α. Om då ΒΓ mäter Α, är ΒΓ en del av Α. Om inte, Låt ha tagit av Α och ΒΓ största gemensamma måttet ΔProp. 7.2 samt låt ha delat ΒΓ i ΒΕ, ΕΖ och ΖΓ lika med Δ. Och eftersom Δ mäter Α, är Δ en del av Α. Och Δ är lika med vart och ett av ΒΕ, ΕΖ och ΖΓ, alltså är även vart och ett av ΒΕ, ΕΖ och ΖΓ en del av Α, så att ΒΓ är delar av Α.

Alltså är alla tal antingen en del eller delar av alla tal, det mindre av det större. Vilket skulle visas.

εʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.

5.

Om ett tal är en del av ett tal och ett annat är samma del av ett annat, skall också båda sammantagna av båda sammantagna vara samma del, som det ena av det ena.

Objects are not supported by your browser!

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἀριθμοῦ τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ.

Ἐπεὶ γάρ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῇρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ, ΘΖ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ, καὶ οἱ ΒΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς Α, Δ ἴσοι. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΗΓ, ΘΖ τοῖς Α, Δ. ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΓ, ΕΖ ἴσοι τοῖς Α, Δ. ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ, ΕΖ συναμφοτέρου τοῦ Α, Δ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[6]

Ty låt talet Α vara en del av talet ΒΓ och det andra Δ vara samma del av det andra ΕΖ, som Α är av ΒΓ. Jag säger, att också Α och Δ båda sammantagna skall vara samma del av ΒΓ och ΕΖ båda sammantagna, som Α är av ΒΓ.

Ty eftersom den del Α är av ΒΓ, samma del är Δ av ΕΖ, alltså så många av den, lika med Α, som är i ΒΓ, så många är av den, lika med Δ, i ΕΖ. Låt ha delat ΒΓ i ΒΗ och ΗΓ lika med Α, ΕΖ i ΕΘ och ΘΖ lika med Δ. Alltså är ΒΗ:s och ΗΓ:s antal lika med ΕΘ:s och ΘΖ:s antal. Och eftersom ΒΗ är lika med Α och ΕΘ med Δ, är alltså ΒΗ och ΕΘ lika med Α och Δ. Av samma skäl även ΗΓ och ΘΖ med Α och Δ. Alltså så många av talen, lika med Α, som är i ΒΓ, så många är av dem, lika med Α och Δ, i ΒΓ och ΕΖ. Alltså så många gånger ΒΓ är av Α, så många gånger är också ΒΓ och ΕΖ båda sammantagna av Α och Δ båda sammantagna. Alltså den del Α är av ΒΓ, är samma del som Α och Δ båda sammantagna är av ΒΓ och ΕΖ båda sammantagna. Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.

6.

Om ett tal är delar av ett tal och ett annat är samma delar av ett annat, skall också båda sammantagna av båda sammantagna vara samma delar, som det ena av det ena.

Objects are not supported by your browser!

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ.

Ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὑτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΗ, ΔΘ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΗΒ, ΘΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[7]

Ty låt talet ΑΒ vara delar av talet Γ och det andra ΔΕ vara samma delar av det andra Ζ, som ΑΒ är av Γ. Jag säger, att också ΑΒ och ΔΕ båda sammantagna skall vara samma delar av Γ och Ζ båda sammantagna, som ΑΒ är av Γ.

Ty eftersom de delar ΑΒ är av Γ, samma delar är ΔΕ av Ζ, alltså så många av dem, lika med ΑΒ, som är i Γ, så många är av dem, lika med ΔΕ, i Ζ. Låt ha delat ΑΒ i delar av Γ, ΑΗ och ΗΒ, ΔΕ i delar av Γ, ΔΘ och ΘΕ. Alltså är ΑΗ:s och ΗΒ:s antal lika med ΔΘ:s och ΘΕ:s antal. Och eftersom den del ΑΗ är av Γ, är också ΔΘ samma del av Ζ, Alltså den del ΑΗ är av Γ, samma del är ΑΗ och ΔΘ båda sammantagna av Γ och Ζ båda sammantagna.Prop. 7.5 Av samma skäl bör även den del ΗΒ är av Γ, vara samma del som ΗΒ och ΘΕ båda sammantagna är av Γ Ζ båda sammantagna. De delar ΑΒ är av Γ, samma delar är också ΑΒ och ΔΕ båda sammantagna av Γ och Ζ båda sammantagna. Vilket skulle visas.

ζʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.

7.

Om ett tal är en del av ett tal, som den borttagna är av den borttagna, skall också resten vara samma del av resten, som det hela är av det hela.

Objects are not supported by your browser!

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρος ἔστω, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.

Ὃ γὰρ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἔστω καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ. ὃ δὲ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ὑπόκειται καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ· ὃ ἄρα μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΓΖ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστιν ἴσος. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσος δὲ ὁ ΗΓ τῷ ΖΔ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[8]

Ty låt talet ΑΒ vara en del av talet ΓΔ, som den borttagna ΑΕ är av den borttagna ΓΖ. Jag säger, att resten ΕΒ även skall vara samma del av resten ΖΔ, som hela ΑΒ är av hela ΓΔ.

Ty den del ΑΕ är av ΓΖ, låt ΕΒ vara samma del av ΓΗ. Och eftersom den del ΑΕ är av ΓΖ, är samma del ΕΒ är av ΓΗ, är alltså den del ΑΕ är av ΓΖ, samma del ΑΒ är av ΗΖ.Prop. 7.5 Den del ΑΕ är av ΓΖ, samma del antas ΑΒ vara av ΓΔ. Alltså är den del ΑΒ är av ΗΖ, är den också av ΓΔ. Alltså är ΗΖ lika med ΓΔ. Låt ha dragit bort ΓΖ från båda, alltså är resten ΗΓ lika med resten ΖΔ. Och eftersom den del ΑΕ är av ΓΖ, är samma del ΕΒ är av ΗΓ, är ΗΓ lika med ΖΔ, alltså är den del ΑΕ är av ΓΖ, samma del ΕΒ är av ΖΔ. Men den del ΑΕ är av ΓΖ, samma del är också ΑΒ till ΓΔ och alltså är resten ΕΒ samma del av resten ΖΔ, som hela ΑΒ är av hela ΓΔ. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ἅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.

8.

Om ett tal är delar av ett tal, som den borttagna är av den borttagna, skall också resten vara samma delar av resten, som det hela är av det hela.

Objects are not supported by your browser!

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρη ἔστω, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.

Κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ, ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΗΘ τοῦ ΓΔ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΗΘ εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρη τὰ ΗΚ, ΚΘ, ὁ δὲ ΑΕ εἰς τὰ τοῦ ΓΖ μέρη τὰ ΑΛ, ΛΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΗΚ, ΚΘ τῷ πλήθει τῶν ΑΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΗΚ τοῦ ΑΛ. κείσθω τῷ ΑΛ ἴσος ὁ ΗΜ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΜ τοῦ ΓΖ· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ. πάλιν ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΘΚ τοῦ ΕΛ. κείσθω τῷ ΕΛ ἴσος ὁ ΚΝ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΚΝ τοῦ ΓΖ· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΝΘ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΚΘ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ λοιπὸς ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ὤν, ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ· καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ ΜΚ, ΝΘ τοῦ ΔΖ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΘΗ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἴσος δὲ συναμφότερος μὲν ὁ ΜΚ, ΝΘ τῷ ΕΒ, ὁ δὲ ΘΗ τῷ ΒΑ· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[9]

Ty låt talet ΑΒ vara delar av talet ΓΔ, som den borttagna ΑΕ är av den borttagna ΓΖ. Jag säger, att också resten ΕΒ skall vara samma delar av resten ΖΔ, som hela ΑΒ är av hela ΓΔ.

Ty låt ha satt ΗΘ lika med ΑΒ, alltså är de delar ΗΘ är av ΓΔ, samma delar ΑΕ är av ΓΖ. Ty låt ha delat ΗΘ i delar av ΓΔ, ΗΚ och ΚΘ, samt ΑΕ i delar av ΓΖ, ΑΛ och ΛΕ. Då är antalet av ΗΚ och ΚΘ lika med antalet av ΑΛ och ΛΕ. Och eftersom den del ΗΚ är av ΓΔ, även är samma del ΑΛ är av ΓΖ och ΓΔ är större än ΓΖ, alltså är också ΗΚ större än ΑΛ. Låt ha satt ΗΜ lika med ΑΛ. Alltså är den del ΗΚ är av ΓΔ, samma del är också ΗΜ av ΓΖ. Och alltså är resten ΜΚ samma del av resten ΖΔ, som hela ΗΚ av hela ΓΔ.Prop. 7.5 Åter eftersom den del ΚΘ är av ΓΔ, samma del är också ΕΛ av ΓΖ och ΓΔ är större än ΓΖ, alltså är även ΘΚ större än ΕΛ. Låt ha satt ΚΝ lika med ΕΛ. Alltså, den del ΚΘ är av ΓΔ, samma del är också ΚΝ av ΓΖ. Och alltså är resten ΝΘ samma del av resten ΖΔ, som hela ΚΘ av hela ΓΔ.Prop. 7.5 Det har visats att även resten ΜΚ är samma del av ΖΔ, som hela ΗΚ är av ΓΔ. Och alltså är ΜΚ och ΝΘ båda sammantagna samma delar av ΔΖ, som hela ΘΗ av hela ΓΔ. ΜΚ och ΝΘ båda sammantagna är lika med ΕΒ och ΘΗ med ΒΑ. Och alltså är resten ΕΒ samma delar av resten ΖΔ, som hela ΑΒ av hela ΓΔ. Vilket skulle visas.

θʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου, τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται ἢ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου.

9.

Om ett tal är en del av ett tal och ett annat samma del av ett annat, skall även, alternerat, som den del eller delar den första är av den tredje, också samma del eller samma delar den andra vara av den tredje.

Objects are not supported by your browser!

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἀριθμοῦ τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ μέρη.

Ἐπεὶ γὰρ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ, ΘΖ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ.

Καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΒΗ, ΗΓ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΓ τοῦ ΘΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὥστε καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ συναμφοτέρου τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. ἴσος δὲ ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ· ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[10]

Ty låt talet Α vara en del av talet ΒΓ och ett annat Δ samma del, som Α av ΒΓ, av ett annat ΕΖ. Jag säger, att även alternerat den del eller delar Α är av Δ, samma del eller delar är ΒΓ av ΕΖ.

Ty eftersom den del Α är av ΒΓ, samma del är också Δ av ΕΖ, alltså så många tal som är i ΒΓ, så många, lika med Δ, är också i ΕΖ. Låt ha delat ΒΓ i ΒΗ och ΗΓ, lika med Α, och ΕΖ i ΕΘ och ΘΖ, lika med Δ. Då skall antalet av ΒΗ och ΗΓ vara lika med antalet av ΕΘ och ΘΖ.

Och eftersom talen ΒΗ och ΗΓ är lika med varandra, är också talen ΕΘ och ΘΖ lika med varandra samt antalet av ΒΗ och ΗΓ är lika med antalet av ΕΘ och ΘΖ, alltså den del eller delar ΒΗ är av ΕΘ, samma del eller samma delar är ΗΓ av ΘΖ, så att även den del eller delar ΒΗ är av ΕΘ, samma del eller samma delar är också ΒΓ sammantagna av ΕΖ sammantagna.Prop. 7.5 Prop. 7.6 Men ΒΗ är lika med Α och ΕΘ med Δ, alltså är den del eller delar Α är av Δ, också samma del eller samma delar som ΒΓ är av ΕΖ. Vilket skulle visas.

ιʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτὸ μέρος.

10.

Om ett tal är delar av ett tal och ett annat samma delar av ett annat, skall även, alternerat, som de delar eller del den första är av den tredje, också samma delar eller samma del den andra vara av den tredje.

Objects are not supported by your browser!

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος.

Ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὥστε καί ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· καὶ ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ἀλλ᾿ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐδείχθη καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, καὶἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[11]

Ty låt talet ΑΒ vara delar av talet Γ och ett annat ΔΕ vara samma delar av ett annat Ζ. Jag säger, att även, alternerat, de delar eller del ΑΒ är av ΔΕ, samma delar eller del är Γ av Ζ.

Ty eftersom de delar ΑΒ är av Γ, samma delar är ΔΕ av Ζ, alltså så många delar av Γ som är i ΑΒ, så många delar är också av Ζ i ΔΕ. Låt ha delat ΑΒ i delar av Γ, ΑΗ och ΗΒ, ΔΕ i delar av Ζ, ΔΘ och ΘΕ. Då skall antalet av ΑΗ och ΗΒ vara lika med antalet av ΔΘ och ΘΕ. Och eftersom den del ΑΗ är av Γ, också är samma del som ΔΘ av Ζ samt, alternerat, den del eller delar ΑΗ är av ΔΘ, också är samma del eller samma delar Γ av Ζ.Prop. 7.9 Av samma skäl bör även den del eller delar ΗΒ är av ΘΕ, också vara samma del eller samma delar som Γ är av Ζ,Prop. 7.9 så att också den del eller delar ΑΗ är av ΔΘ, samma del eller samma delar är också ΗΒ av ΘΕ. Och alltså den del eller delar ΑΗ är av ΔΘ, samma del eller samma delar är också ΑΒ av ΔΕ.Prop. 7.5 Prop. 7.6 Men den del eller delar ΑΗ är av ΔΘ, samma del eller samma delar har också Γ visats vara av Ζ och alltså de delar eller del ΑΒ är av ΔΕ, samma delar eller samma del är också Γ av Ζ. Vilket skulle visas.

ιαʹ.

Ἐαν ᾖ ὡς ὅλος πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθεὶς πρὸς ἀφαιρεθέντα, καὶ ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν λοιπὸν ἔσται, ὡς ὅλος πρὸς ὅλον.

11.

Om, som det hela är till det hela, det borttagna är till det borttagna, skall även resten vara till resten, som det hela är till det hela.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθέντα τὸν ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸν ΖΔ ἐστιν, ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ.

Ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως ὁ ΑΕ πρὸς τὸν ΓΖ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ πρὸς τὸν ΖΔ, οὕτως ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[12]

Låt som hela ΑΒ är till hela ΓΔ, det borttagna ΑΕ vara till det borttagna ΓΖ. Jag säger, att även resten ΕΒ är till resten ΖΔ, som hela ΑΒ är till hela ΓΔ.

Eftersom som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΑΕ till ΓΖ, alltså den del eller delar ΑΒ är av ΓΔ, samma del eller delar är också ΑΕ av ΓΖ.Def. 7.21 Och alltså är resten ΕΒ av resten ΖΔ samma del eller delar, som ΑΒ är av ΓΔ.Prop. 7.7 Prop. 7.8 Alltså som ΕΒ är till ΖΔ, så är ΑΒ till ΓΔ.Def. 7.21 Vilket skulle visas.

ιβʹ.

Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον, ἔσται ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους.

12.

Om det finns så många proportionella tal som helst, skall som ett av de föregående till ett av de efterföljande, alla föregående vara till alla efterföljande.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ μέρη. καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ Α, Γ συναμφοτέρου τοῦ Β, Δ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ Α τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[13]

Låt Α, Β, Γ och Δ vara så många proportionella tal som helst och som Α är till Β, så är Γ till Δ. Jag säger, att som Α är till Β, så är Α och Γ till Β och Δ.

Ty då som Α är till Β, så är Γ till Δ, alltså den del eller delar Α är av Β, samma del eller delar är också Γ av Δ.Def. 7.21 Och alltså är Α och Γ sammantagna av Β och Δ sammantagna samma del eller samma delar, som Α av Β.Prop. 7.6 Prop. 7.6 Alltså som Α är till Β, så är Α och Γ till Β och Δ.Def. 7.21 Vilket skulle visas.

ιγʹ.

Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται.

13.

Om fyra tal är proportionella, skall de också alternerat vara proportionella.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. ἐναλλὰξ ἄρα, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Γ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[14]

Låt Α, Β, Γ och Δ vara fyra proportionella tal, som Α är till Β, så är Γ och Δ. Jag säger, att de också alternerat skall vara proportionella, som Α är till Γ, så är Β till Δ.

Ty då som Α är till Β, så är Γ till Δ, alltså den del eller delar Α är av Β, samma del eller samma delar är också Γ av Δ.Def. 7.21 Alternerat alltså, den del eller delar Α är av Γ, samma del eller samma delar är också Β av Δ.Prop. 7.9 Prop. 7.10 Alltså som Α är till Γ, så är Β till Δ.Def. 7.21 Vilket skulle visas.

ιδʹ.

Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ δι᾿ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῷ ἔσονται.

14.

Om det finns så många tal som helst och andra med dem lika i antal som tagna två och två också är i samma förhållande, skall de även ex aequali vara i samma förhållande.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ Δ, Ε, Ζ, ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ· λέγω, ὅτι καὶ δι᾿ ἴσου ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ. ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Δ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[15]

Låt det finnas så många tal som helst Α, Β och Γ samt andra med dem lika i antal Δ, Ε och Ζ, som tagna två och två också är i samma förhållande, så Α är till Β, som Δ är till Ε och som Β är till Γ, så är Ε till Ζ. Jag säger, att även ex aequali som Α är till Γ, så är Δ till Ζ.

Ty då som Α är till Β, så är Δ till Ε, alltså, alternerat, som Α är till Δ, så är Β till Ε.Prop. 7.13 Åter, då som Β är till Γ, så är Ε till Ζ, alltså, alternerat, som Β är till Ε, så är Γ till Ζ.Prop. 7.13 Och som Β är till Ε, så är Α till Δ. Och alltså som Α är till Δ, så är Γ till Ζ, alltså, alternerat, som Α är till Γ, så är Δ till Ζ.Prop. 7.13 Vilket skulle visas.

ιεʹ.

Ἐὰν μονὰς ἀριθμόν τινα μετρῇ, ἰσακις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν τρίτον ἀριθμὸν μετρήσει καὶ ὁ δεύτερος τὸν τέταρτον.

15.

Om en enhet mäter något tal och lika många gånger ett annat tal mäter något tal, skall också, alternerat, enheten lika många gånger mäta det tredje talet och det andra det fjärde.

Objects are not supported by your browser!

Μονὰς γὰρ ἡ Α ἀριθμόν τινα τὸν ΒΓ μετρείτω, ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν τὸν ΕΖ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν ΒΓ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν ΕΖ, ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ μονάδες, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τὰς ἐν ἑαυτῷ μονάδας τὰς ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδες ἀλλήλαις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδων τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμῶν, ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως ἡ ΗΘ μονὰς πρὸς τὸν ΚΛ ἀριθμὸν καὶ ἡ ΘΓ μονὰς πρὸς τὸν ΛΖ ἀριθμόν. ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΒΗ μονὰς τῇ Α μονάδι, ὁ δὲ ΕΚ ἀριθμὸς τῷ Δ ἀριθμῷ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ. ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[16]

Ty låt enheten Α mäta något tal ΒΓ och det andra talet Δ lika många gånger mäta något tal ΕΖ. Jag säger, att, alternerat, mäter också enheten Α talet Δ lika många gånger och ΒΓ ΕΖ.

Ty eftersom enheten Α mäter talet ΒΓ lika många gånger som Δ mäter ΕΖ, alltså så många gånger enheten är i ΒΓ, lika många gånger är talen lika med Δ i ΕΖ. Låt ha delat ΒΓ i sina enheter, ΒΗ, ΗΘ och ΘΓ, samt ΕΖ i ΕΚ, ΚΛ och ΛΖ lika med Δ. Då skall antalet av ΒΗ, ΗΘ och ΘΓ vara lika med antalet av ΕΚ, ΚΛ och ΛΖ. Ty eftersom enheterna ΒΗ, ΗΘ och ΘΓ är lika med varandra, talen ΕΚ, ΚΛ och ΛΖ är lika med varandra samt antalet av enheterna ΒΗ, ΗΘ och ΘΓ är lika med antalet av talen ΕΚ, ΚΛ och ΛΖ, skall alltså som enheten ΒΗ är till talet ΕΚ, så är enheten ΗΘ till talet ΚΛ och enheten ΘΓ till talet ΛΖ. Alltså skall även som ett av de föregående är till ett av de efterföljande, så skall alla föregående vara till alla efterföljande.Prop. 7.12 Alltså som enheten ΒΗ är till talet ΕΚ, så är ΒΓ till ΕΖ. Enheten ΒΗ är lika med enheten Α, talet ΕΚ med talet Δ. Alltså som enheten Α är till talet Δ, så är ΒΓ till ΕΖ. Alltså mäter enheten Α talet Δ lika många gånger som ΒΓ ΕΖ.Def. 7.21 Vilket skulle visas.

ιϛʹ.

Εὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἴσοι ἀλλήλοις ἔσονται.

16.

Om två tal multiplicerade med varandra resulterar i något, skall de resulterande av dessa vara lika med varandra.D D) Dvs. kommutativa lagen för multiplikation.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Β μονάδας. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Β κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Δ. ἰσάκις δὲ ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν ἐμέτρει καὶ ὁ Α τὸν Γ· ἰσάκις ἄρα ὁ Α ἑκάτερον τῶν Γ, Δ μετρεῖ. ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[17]

Låt Α och Β vara två tal samt låt Α multiplicerat med Β resultera i Γ och Β multiplicerat med Α resultera i Δ. Jag säger, att Γ är lika med Δ.

Ty eftersom Α multiplicerat med Β gjort Γ, alltså mäter Β Γ med enheterna i Α.Prop. 7.15 Också enheten Ε mäter talet Α med enheterna i det. Alltså mäter enheten Ε talet Α lika många gånger som Β mäter Γ. Alltså, alternerat, mäter enheten Ε talet Β lika många gånger som Α mäter Γ. Åter, eftersom Β multiplicerat med Α gjort Δ, mäter alltså Α Δ med enheterna i Β.Prop. 7.15 Även Ε mäter Β med enheterna i det. Alltså mäter enheten Ε talet Β lika många gånger som Α mäter Δ. Och enheten Ε mätte talet Β lika många gånger som Α mätte Γ, alltså mäter Α vart och ett av Γ och Δ lika många gånger. Alltså är Γ lika med Δ. Vilket skulle visas.

ιζʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιασθεῖσιν.

17.

Om ett tal multiplicerat med två tal resulterar i något, skall de resulterande av dessa ha samma förhållande som de multiplicerade.

Objects are not supported by your browser!

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β, Γ πολλαπλασιάσας τοὺς Δ, Ε ποιείτω· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας. μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Δ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα ὁ Β πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[18]

Ty låt talet Α multiplicerat med de två talen Β och Γ resultera i Δ och Ε. Jag säger, att som Β är till Γ, så är Δ till Ε.

Ty eftersom Α multiplicerat med Β gjort Δ och alltså mäter Β Δ med enheterna i Α.Prop. 7.15 Enheten Ζ mäter även talet Α med enheterna i det. Alltså mäter enheten Ζ talet Α lika många gånger som Β mäter Δ. Alltså som enheten Ζ är till talet Α, så är Β till Δ.Def. 7.21 Av samma skäl bör som enheten Ζ är till talet Α, så Γ vara till Ε. Och alltså som Β är till Δ, så är Γ till Ε. Alltså, alternerat, som Β är till Γ, så är Δ till Ε.Prop. 7.13 Vilket skulle visas.

ιηʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιάσασιν.

18.

Om två tal multiplicerande något tal resulterar i något, skall de resulterande av dessa ha samma förhållande som de multiplicerande.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε ποιείτωσαν· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν. ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Α, Β πολλαπλασιάσας τοὺς Δ, Ε πεποίηκεν. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[19]

Ty låt talen Α och Β multiplicerande något tal Γ resultera i Δ och Ε. Jag säger, att som Α är till Β, så är Δ till Ε.

Ty eftersom Α multiplicerat med Γ gjort Δ och alltså har Γ multiplicerat Α gjort Δ.Prop. 7.16 Av samma skäl bör också Γ multiplicerat med Β ha gjort Ε. Och talet Γ multiplicerat med talen Α och Β har gjort Δ och Ε. Alltså som Α är till Β, så är Δ till Ε. Vilket skulle visas.

ιθʹ.

Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ἔσται τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου γενομένῳ ἀριθμῷ· καὶ ἐὰν ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ᾖ τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου, οἱ τέσσασρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται.

19.

Om fyra tal som är proportionella, skall det producerade taletE E) Vad som här benämns producerade talet är vad som vanligtvis kallas produkten. av det första och det fjärde vara lika med det producerade talet av det andra och det tredje. Och om det producerade talet av det första och det fjärde är lika med det producerade talet av det andra och det tredje, skall de fyra talen vara proportionella.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ.

Ὁ γὰρ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω. ἐπεὶ οὖν ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ἀριθμὸς δὴ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τούς Η, Ε πεποίηκεν. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν, δύο δὴ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η, Ζ πεποιήκασιν. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ὁ Η ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ.

Ἔστω δὴ πάλιν ἴσος ὁ Ε τῷ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[20]

Låt Α, Β, Γ och Δ vara fyra proportionella tal, att som Α är till Β, så är Γ till Δ samt Α multiplicerat med Δ resulterar i Ε och Β multiplicerat med Γ resulterar i Ζ. Jag säger, att Ε är lika med Ζ.

Ty Α multiplicerat med Γ resulterar i Η. Eftersom då Α multiplicerat med Γ har gjort Η och multiplicerat med Δ har gjort Ε. Talet Α multiplicerat med talen Γ och Δ har då resulterat i Η och Ε. Alltså som Γ är till Δ, så är Η till Ε.Prop. 7.17 Men som Γ är till Δ, så är Α till Β och alltså som Α är till Β, så är Η till Ε. Åter, eftersom Α multiplicerat med Γ har resulterat i Η, men också Β multiplicerat med Γ har resulterat i Ζ, så de två talen Α och Β multiplicerade med något tal Γ har resulterat i Η och Ζ. Alltså som Α är till Β, så är Η till Ζ.Prop. 7.18 Men som Α är till Β, så är också Η till Ε, och alltså som Η är till Ε, så är Η till Ζ. Alltså har Η till vart och ett av Ε och Ζ samma förhållande, alltså är Ε lika med Ζ.Prop. 5.9

Låt så åter Ε vara lika med Ζ. Jag säger, att som Α är till Β, så är Γ till Δ.

Ty med samma uppställning, då Ε är lika med Ζ, alltså som Η är till Ε, så är Η till Ζ.Prop. 5.7 Men som Η är till Ε, så är Γ till ΔProp. 7.17 och som Η är till Ζ, så är Α till Β.Prop. 7.18 Alltså som Α är till Β, så är Γ till Δ. Vilket skulle visas.

κʹ.

Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα.

20.

De minsta talen av dem, som har samma förhållande som de, mäter dem, som har samma förhållande, lika många gånger, det större det större och det mindre det mindre.F F) Från Campanus stammar ett annat teorem, i vilket det rör sig om tre proportionella tal. Detta har Heiberg strukit.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ ΓΔ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἰσάκις ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β.

Ὁ ΓΔ γὰρ τοῦ Α οὔκ ἐστι μέρη. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ὁ ΕΖ ἄρα τοῦ Β τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α. ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΓΔ μέρη τοῦ Α, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΕΖ μέρη τοῦ Β. διῃρήσθω ὁ μὲν ΓΔ εἰς τὰ τοῦ Α μέρη τὰ ΓΗ, ΗΔ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τὰ τοῦ Β μέρη τὰ ΕΘ, ΘΖ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΓΗ, ΗΔ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ, οὕτως ὁ ΗΔ πρὸς τὸν ΘΖ. ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ, οὕτως ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΕΖ· οἱ ΓΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς ΓΔ, ΕΖ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκεινται γὰρ οἱ ΓΔ, ΕΖ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. οὐκ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΓΔ τοῦ Α· μέρος ἄρα. καὶ ὁ ΕΖ τοῦ Β τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α· ἰσάκις ἄρα ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[21]

Ty låt ΓΔ och ΕΖ vara de minsta talen av dem, som har samma förhållande som Α och Β. Jag säger, att ΓΔ mäter Α lika många gånger som ΕΖ mäter Β.

Ty ΓΔ är inte delar av Α. Ty om möjligt, låt det vara så. Och alltså är ΕΖ samma delar av Β, som ΓΔ av Α. Alltså så många delar av Α som är i ΓΔ, så många delar av Β är också i ΕΖ.Def. 7.21 Prop. 7.13 Låt ha delat ΓΔ i delar av Α ΓΗ och ΗΔ samt ΕΖ i delar av Β ΕΘ och ΘΖ. Antalet av ΓΗ och ΗΔ är då lika med antalet av ΕΘ och ΘΖ. Och eftersom talen ΓΗ och ΗΔ är lika med varandra, talen ΕΘ och ΘΖ är också lika med varandra samt antalet av ΓΗ och ΗΔ är lika med antalet av ΕΘ och ΘΖ, alltså som ΓΗ är till ΕΘ, så är ΗΔ till ΘΖ. Alltså som ett av de föregående är till ett av de efterföljande, så skall alla de föregående vara till alla efterföljande.Prop. 7.12 Alltså som ΓΗ är till ΕΘ, så är ΓΔ till ΕΖ. Alltså är ΓΗ och ΕΘ i samma förhållande som ΓΔ och ΕΖ samt är mindre än dem. Vilket är omöjligt. Ty det har antagits att ΓΔ och ΕΖ är de minsta av dem, som har samma förhållande som de. Alltså är ΓΔ inte delar av Α, utan en del.Prop. 7.4 Och ΕΖ är samma del av Β, som ΓΔ är av Α.Def. 7.21 Prop. 7.13 Alltså mäter ΓΔ Α lika många gånger som ΕΖ Β. Vilket skulle visas.

καʹ.

Οἱ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.

21.

Tal prima till varandra är de minsta av dem, som har samma förhållande som de.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.

Εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινες τῶν Α, Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β. ἔστωσαν οἱ Γ, Δ.

Ἐπεὶ οὖν οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάττων τὸν ἐλάττονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ἰσάκις ἄρα ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, καί ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Ε καὶ τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας. ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Α, Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β. οἱ Α, Β ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[22]

Låt talen Α och Β vara prima till varandra. Jag säger, att Α och Β är de minsta av dem, som har samma förhållande som de.

Ty, om inte, skall några tal, som har samma förhållande som Α och Β, vara mindre än Α och Β. Låt dem vara Γ och Δ.

Eftersom då de minsta talen av dem, som har samma förhållande som de, mäter dem, som har samma förhållande, lika många gånger, det större det större och det mindre det mindre, det vill säga den föregående den föregående och den efterföljande den efterföljande, alltså Γ mäter Α lika många gånger som Δ mäter Β.Prop. 7.20 Så många gånger Γ mäter Α, låt så många enheter vara i Ε. Och alltså mäter Δ Β med enheterna i Ε. Och eftersom Γ mäter Α med enheterna i Ε, mäter alltså även Ε Α med enheterna i Γ.Prop. 7.16 Av samma skäl bör Ε mäta Β med enheterna i Δ.Prop. 7.16 Alltså mäter Ε Α och Β, som är prima till varandra, vilket är omöjligt. Alltså skall det inte finnas några tal mindre än Α och Β, som har samma förhållande som Α och Β. Alltså är Α och Β de minsta av dem, som har samma förhållande som de. Vilket skulle visas.

κβʹ.

Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.

22.

De minsta talen av dem, som har samma förhållande som de, är prima till varandra.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.

Εἰ γὰρ μή εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.

Ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας, ὁ Γ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Α, Β πεποίηκεν· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· οἱ Δ, Ε ἄρα τοῖς Α, Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει. οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[23]

Låt Α och Β vara de minsta talen av dem, som har samma förhållande som de. Jag säger, att Α och Β är prima till varandra.

Ty om de inte är prima till varandra, mäter något tal dem. Låt ett mäta dem och låt det vara Γ. Och så många gånger Γ mäter Α, låt så många enheter vara i Δ och så många gånger Γ mäter Β, låt så många enheter vara i Ε.

Eftersom Γ mäter Α med enheterna i Δ, alltså har Γ multiplicerat med Δ resulterat i Α.Prop. 7.15 Av samma skäl har Γ multiplicerat med Ε resulterat i Β. Talet Γ multiplicerat med de två talen Δ och Ε har resulterat i Α och Β. Alltså som Δ är till Ε, så är Α till Β.Prop. 7.17 Alltså är Δ och Ε i samma förhållande som Α och Β samt är mindre än dem. Vilket är omöjligt. Alltså skall inte något tal mäta talen Α och Β. Alltså är Α och Β prima till varandra. Vilket skulle visas.

κγʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ τὸν ἕνα αὐτῶν μετρῶν ἀριθμὸς πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται.

23.

Om två tal är prima till varandra, skall det tal som mäter ett av dem vara primt till det resterande av dem.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, τὸν δὲ Α μετρείτω τις ἀριθμὸς ὁ Γ· λέγω, ὅτι καὶ οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.

Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις τοὺς Γ, Β ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, ὁ δὲ Γ τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Β· ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς Γ, Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει. οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[24]

Låt Α och Β vara två tal prima till varandra och låt något tal Γ mäta Α. Jag säger, att även Γ och Β är prima till varandra.

Ty om Γ och Β inte är prima till varandra, skall något tal mäta Γ och Β. Låt ett mäta dem och låt det vara Δ. Eftersom Δ mäter Γ och Γ mäter Α, alltså mäter Δ även Α och mäter även Β. Alltså mäter Δ Α och Β, som är prima till varandra. Vilket är omöjligt. Alltså skall inte något tal mäta talen Γ och Β. Alltså är Γ och Β prima till varandra. Vilket skulle visas.

κδʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν αὐτὸν πρῶτος ἔσται.

24.

Om två tal är prima till något tal, skall också det av dem producerade talet vara primt till detta.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Γ πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.

Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις τοὺς Γ, Δ ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, τὸν δὲ Γ μετρεῖ τις ἀριθμὸς ὁ Ε, οἱ Α, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ· καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας. ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἑκ τῶν Ε, Ζ τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἐὰν δὲ ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ζ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ε ἄρα τοὺς Β, Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς Γ, Δ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει. οἱ Γ, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[25]

Ty låt två tal Α och Β vara prima till något tal Γ samt låt Α multiplicerat med Β resultera i Δ. Jag säger, att Γ och Δ är prima till varandra.

Ty om Γ och Δ inte är prima till varandra, skall något tal mäta Γ och Δ. Låt ett mäta dem och låt det vara Ε. Och eftersom Γ och Α är prima till varandra och något tal Ε mäter Γ, är alltså Α och Ε prima till varandra.Prop. 7.23 Då så många gånger Ε mäter Δ, låt så många enheter vara i Ζ och alltså mäter Ζ Δ med enheterna i Ε.Prop. 7.16 alltså har Ε multiplicerat med Ζ resulterat i Δ.Prop. 7.15 Men också Α multiplicerat med Β har resulterat i Δ, alltså är det producerade talet av Ε och Ζ lika med det producerade talet av Α och Β. Om det av de yttersta är lika med det av de mellersta, är de fyra talen proportionella.Prop. 6.15 Alltså som Ε är till Α, så är Β till Ζ. Α och Ε är prima till varandra och de prima är även de minsta,Prop. 7.21. De minsta talen av dem, som har samma förhållande som de, mäter dem som har samma förhållande lika många gånger, det större det större, det mindre det mindre, det vill säga det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande.Prop. 7.20 Alltså mäter Ε Β. Det mäter även Γ. Alltså mäter Ε Β och Γ, som är prima till varandra, vilket är omöjligt. Alltså skall inte något tal mäta talen Γ och Δ. Alltså är Γ och Δ prima till varandra. Vilket skulle visas.

κεʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται.

25.

Om två tal är prima till varandra, skall det resulterande talet av ett av dem vara primt till resten.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλὴλους εἰσίν.

Κείσθω γὰρ τῷ Α ἴσος ὁ Δ. ἐπεὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἴσος δὲ ὁ Α τῷ Δ, καί οἱ Δ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ἑκάτερος ἄρα τῶν Δ, Α πρὸς τὸν Β πρῶτός ἐστιν· καὶ ὁ ἐκ τῶν Δ, Α ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Β πρῶτος ἔσται. ὁ δὲ ἐκ τῶν Δ, Α γενόμενος ἀριθμός ἐστιν ὁ Γ. οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[26]

Låt Α och Β vara två tal prima till varandra och låt Α multiplicerat med sig självt resultera i Γ. Jag säger, att Β och Γ är prima till varandra.

Ty låt ha satt Δ lika med Α. Eftersom Α och Β är prima till varandra samt Α är lika med Δ, är alltså även Δ och Β prima till varandra. Alltså är vart och ett av Δ och Α primt till Β. Och alltså skall produkten av Δ och Α vara primt till Β.Prop. 7.24 Γ är det producerade talet av Δ och Α. Alltså är Γ och Β prima till varandra. Vilket skulle visas.

κϛʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς δύο ἀριθμοὺς ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ὦσιν, καὶ οἱ ἐξ αὐτῶν γενόμενοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.

26.

Om två tal båda är prima till vart och ett av två tal, skall också de av dem producerade talen vara prima till varandra.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ, Δ ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Ε, Ζ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.

Ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερος τῶν Α, Β πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν, καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Β ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Γ πρῶτος ἔσται. ὁ δὲ ἐκ τῶν Α, Β γενόμενός ἐστιν ὁ Ε· οἱ Ε, Γ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ Ε, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ἑκάτερος ἄρα τῶν Γ, Δ πρὸς τὸν Ε πρῶτός ἐστιν. καὶ ὁ ἐκ τῶν Γ, Δ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Ε πρῶτος ἔσται. ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ γενόμενός ἐστιν ὁ Ζ. οἱ Ε, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[27]

Ty låt de två talen Α och Β vara prima till vart och ett av talen Γ och Δ samt låt Α multiplicerat med Β resultera i Ε och Γ multiplicerat med Δ resultera i Ζ. Jag säger, att Ε och Ζ är prima till varandra.

Ty eftersom vart och ett av Α och Β är primt till Γ och alltså är produkten av Α och Β prim till Γ.Prop. 7.24 Produkten av Α och Β är Ε. Alltså är Ε och Γ prima till varandra. Av samma skäl bör också Ε och Δ vara prima till varandra. Alltså är vart och ett av Γ och Δ primt till Ε. Och alltså skall produkten av Γ och Δ vara prim till Ε.Prop. 7.24 Produkten av Γ och Δ är Ζ. Alltså är Ε och Ζ prima till varandra. Vilket skulle visas.

κζʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ πολλαπλασιάσας ἑκάτερος ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται, κἂν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, κἀκεῖνοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται καὶ ἀεὶ περὶ τοὺς ἄκρους τοῦτο συμβαίνει.

27.

Om två tal är prima till varandra och vart och ett multiplicerat med sig själv resulterar i något, skall också produkterna av dem vara prima till varandra. Och om produkterna av de ursprungliga multiplicerade talen, skall dessa vara prima till varandra och detta inträffar alltid för de yttersta.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἵ τε Γ, Ε καὶ οἱ Δ, Ζ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.

Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ἐπεὶ οὖν οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Γ, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Α, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ἐπεὶ οὖν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Γ πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β, Ε ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοί εἰσιν, καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Γ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν ἐκ τῶν Β, Ε πρῶτός ἐστιν. καί ἐστιν ὁ μὲν ἐκ τῶν Α, Γ ὁ Δ, ὁ δὲ ἐκ τῶν Β, Ε ὁ Ζ. οἱ Δ, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[28]

Låt Α och Β vara två tal prima till varandra samt låt Α multiplicerat med sig självt resultera i Γ, multiplicerat med Γ resultera i Δ och Β multiplicerat med sig självt resultera i Ε, multiplicerat med Ε resultera i Ζ. Jag säger, att Γ och Ε samt Δ och Ζ är prima till varandra.

Ty eftersom Α och Β är prima till varandra och Α multiplicerat med sig självt resulterat i Γ, är alltså Γ och Β prima till varandra.Prop. 7.25 Alltså, eftersom Γ och Β är prima till varandra och Β multiplicerat med sig självt resulterat i Ε, är alltså Γ och Ε prima till varandra.Prop. 7.25 Åter, eftersom Α och Β är prima till varandra och Β multiplicerat med sig självt resulterat i Ε, är alltså Α och Ε prima till varandra.Prop. 7.25 Alltså, eftersom de två talen Α och Γ båda är prima till vart och ett av de två talen Β och Ε, alltså är även produkten av Α och Γ prim till produkten av Β och Ε.Prop. 7.26 Och Δ är produkten av Α och Γ samt Ζ produkten av Β och Ε. Alltså är Δ och Ζ prima till varandra. Vilket skulle visas.

κηʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν πρῶτος ἔσται· καὶ ἐὰν συναμφότερος πρὸς ἕνα τινὰ αὐτῶν πρῶτος ᾖ, καὶ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.

28.

Om två tal är prima till varandra, skall också det sammantagna var primt till vart och ett av dem. Och om det sammantagna är primt till ett, vilketsom, av dem, skall också de ursprungliga talen vara prima till varandra.

Objects are not supported by your browser!

Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΓ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτός ἐστιν.

Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις τοὺς ΓΑ, ΑΒ ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τοὺς ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΒΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΒΑ· ὁ Δ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς ΓΑ, ΑΒ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει· οἱ ΓΑ, ΑΒ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. ὁ ΓΑ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτός ἐστιν.

Ἔστωσαν δὴ πάλιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· λέγω, ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.

Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΒΓ ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΑ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΑΒ· ὁ Δ ἄρα τοὺς ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΒΓ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει. οἱ ΑΒ, ΒΓ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[29]

Ty låt lägga samman de två talen ΑΒ och ΒΓ, prima till varandra. Jag säger, att det sammantagna ΑΓ också är primt med vart och ett av ΑΒ och ΒΓ.

Ty om ΓΑ och ΑΒ inte är prima till varandra, skall något tal mäta ΓΑ och ΑΒ. Låt ett mäta dem och låt det vara Δ. Eftersom då Δ mäter ΓΑ och ΑΒ, skall det även mäta resten ΒΓ. Det mäter även ΒΑ. Alltså mäter Δ ΑΒ och ΒΓ, som är prima till varandra, vilket är omöjligt. Alltså skall inte något tal mäta talen ΓΑ och ΑΒ. Alltså är ΓΑ och ΑΒ prima till varandra. Av samma skäl bör också ΑΓ och ΓΒ vara prima till varandra. Alltså är ΓΑ primt till vart och ett av ΑΒ och ΒΓ.

Låt så åter ΓΑ och ΑΒ vara prima till varandra. Jag säger, att också ΑΒ och ΒΓ är prima till varandra.

Ty om ΑΒ och ΒΓ inte är prima till varandra, skall något tal mäta talen ΑΒ och ΒΓ. Låt ett mäta dem och låt det vara Δ. Och eftersom Δ mäter vart och ett av ΑΒ och ΒΓ, alltså skall det även mäta hela ΓΑ. Det mäter även ΑΒ. Alltså mäter Δ ΓΑ och ΑΒ, som är prima till varandra, vilket är omöjligt. Alltså skall inte något tal mäta talen ΑΒ och ΒΓ. Alltså är ΑΒ och ΒΓ prima till varandra. Vilket kulle visas.

κθʹ.

Ἅπας πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμόν, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν.

29.

Alla prima tal är prima till alla tal, vilka de inte mäter.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Α καὶ τὸν Β μὴ μετρείτω· λέγω, ὅτι οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.

Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. μετρείτω ὁ Γ. ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Α τὸν Β οὐ μετρεῖ, ὁ Γ ἄρα τῷ Α οὔκ ἐστιν ὁ αὐτός. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τοὺς Β, Α μετρεῖ, καὶ τὸν Α ἄρα μετρεῖ πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς Β, Α μετρήσει τις ἀριθμός. οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[30]

Låt Α vara ett primt tal och låt det inte mäta Β. Jag säger, att Β och Α är prima till varandra.

Ty om Β och Α inte är prima till varandra, skall något tal mäta dem. Låt Γ mäta dem. Eftersom Γ mäter Β, men Α mäter inte Β, alltså är Γ inte detsamma som Α. Och eftersom Γ mäter Β och Α, alltså mäter det även Α som är primt och inte detsamma som det, vilket är omöjligt. Alltså skall inte något tal mäta Β och Α. Alltså är Α och Β prima till varandra. Vilket skulle visas.

λʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει.

30.

Om två tal multiplicerade med varandra resulterar i något och något primt tal mäter produkten av dem, skall det också mäta ett av de ursprungliga.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους τὸν Γ ποιείτωσαν, τὸν δὲ Γ μετρείτω τις πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Δ ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ.

Τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω· καί ἐστι πρῶτος ὁ Δ· οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε τῷ ἐκ τῶν Α, Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Δ, Α πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἐπόμενος τὸν ἑπόμενον· ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ, τὸν Α μετρήσει. ὁ Δ ἄρα ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[31]

Ty låt två tal Α och Β multiplicerade med varandra resultera i Γ och låt något primt tal Δ mäta Γ. Jag säger, att Δ mäter ett av Α och Β.

Ty låt det inte mäta Α och Δ är primt, alltså är Α och Δ prima till varandra.Prop. 7.29 Och så många gånger Δ mäter Γ, låt så många enheter vara i Ε. eftersom då Δ mäter Γ med enheterna i Ε, alltså resulterar Δ multiplicerat med Ε i Γ.Prop. 7.15 Men också Α multiplicerat med Β resulterar i Γ, alltså är produkten av Δ och Β lika med produkten av Α och Β. Alltså, som Δ är till Α, så är Β till Ε.Prop. 7.19 Δ och Α är prima till varandra och tal prima till varandra är också de minsta av dem som har samma förhållandenProp. 7.21 De minsta talen mäter dem som har samma förhållanden lika många gånger, det större det större och det mindre det mindre, det vill säga det föregående det föregående och det efterföljande det efterföljande.Prop. 7.20 Alltså mäter Δ Β. På samma sätt skall vi visa, att även om det inte mäter Β, skall det mäta Α. Alltså mäter Δ ett av Α och Β. Vilket skulle visas.

λαʹ.

Ἅπας σύνθεντος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.

31.

Alla sammansatta tal mäts av något primt tal.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω σύνθεντος ἀριθμὸς ὁ Α· λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.

Ἐπεὶ γὰρ σύνθετός ἐστιν ὁ Α, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Β. καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Β, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ. καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός. τοιαύτης δὴ γινομένης ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τις πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει. εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται, μετρήσουσι τὸν Α ἀριθμὸν ἄπειροι ἀριθμοί, ὧν ἕτερος ἑτέρου ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς. ληφθήσεταί τις ἄρα πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ὃς καὶ τὸν Α μετρήσει.

Ἅπας ἄρα σύνθεντος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[32]

Låt Α vara ett sammansatt tal. Jag säger, att Α mäts av något primt tal.

Ty eftersom Α är sammansatt, skall något tal mäta det. Låt ett mäta det och låt det vara Β. Och om Β är primt, vore det sökta givet. Om sammansatt, skall något tal mäta det. Låt ett mäta det och låt det vara Γ. Och eftersom Γ mäter Β samt Β mäter Α, alltså mäter även Γ Α. Och om Γ är primt, vore det sökta givet. Om sammansatt, skall något tal mäta det. Efter en sådan genomförd undersökning skall något primt tal bli över, som skall mäta Α. Ty om det inte skall bli över, skall oräkneliga tal mäta talet Α, det ena mindre än det andra, vilket är omöjligt för tal. Alltså skall något primt tal bli över, som skall mäta det före sig, som också skall mäta Α.

Alltså mäts alla sammansatta tal av något primt tal. Vilket skulle visas.

λβʹ.

Ἅπας ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.

32.

Alla tal är antingen prima eller mäts av något primt tal.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἀριθμὸς ὁ Α· λέγω, ὅτι ὁ Α ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.

Εἰ μὲν οὖν πρῶτός ἐστιν ὁ Α, γεγονὸς ἂν εἴη τό ἐπιταχθέν. εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν πρῶτος ἀριθμός.

Ἅπας ἄρα ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[33]

Låt Α vara ett tal. Jag säger, att Α antingen är primt eller mäts av något primt tal.

Om så Α är primt, vore det sökta givet. Om det är sammansatt, skall något primt tal mäta det.Prop. 7.31

Alltså är alla tal antingen prima eller mäts av något primt tal. Vilket skulle visas.

λγʹ.

Ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.

33.

Av så många givna tal finna de minsta av dem, som har samma förhållande som dessa.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ.

Οἱ Α, Β, Γ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ. εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.

Εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν ἑκάστῳ τῶν Ε, Ζ, Η. καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν Ε, Ζ, Η ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας. οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἰσάκις μετροῦσιν· οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοῖς Α, Β, Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι. εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ, ἔσονται τινες τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ. ἔστωσαν οἱ Θ, Κ, Λ· ἰσάκις ἄρα ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ καὶ ἑκάτερος τῶν Κ, Λ ἑκάτερον τῶν Β, Γ. ὁσάκις δὲ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Μ· καὶ ἑκάτερος ἄρα τῶν Κ, Λ ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας. καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας, καὶ ὁ Μ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Θ μονάδας. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Μ καὶ ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν ἑκατέρῳ τῶν Κ, Λ μονάδας· ὁ Μ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ τῷ ἐκ τῶν Θ, Μ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Δ. μείζων δὲ ὁ Ε τοῦ Θ· μείζων ἄρα καὶ ὁ Μ τοῦ Δ. καὶ μετρεῖ τοὺς Α, Β, Γ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον. οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ. οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[34]

Låt Α, Β och Γ vara så många givna tal. De minsta av dem, som har samma förhållande som Α, Β och Γ skall finnas.

Ty Α, Β och Γ är antingen prima till varandra eller ej. Alltså, om Α, Β och Γ är prima till varandra, är det de minsta av dem, som har samma förhållande som dessa.Prop. 7.22

Om inte, låt ha tagit de två Α:s Β:s och Γ:s största gemensamma mått ΔProp. 7.3 och så många gånger Δ mäter var och en av Α, Β och Γ, låt så många enheter vara i var och en av Ε, Ζ och Η. Och alltså mäter var och en av Ε, Ζ och Η var och en av Α, Β och Γ med enheterna i Δ.Prop. 7.15 Alltså skall Ε, Ζ och Η mäta Α, Β och Γ lika många gånger. Alltså är Ε, Ζ och Η i samma förhållande som Α, Β och Γ.Def. 7.21 Jag säger så, att de också är minst. Ty om Ε, Ζ och Η inte är minst av dem, som har samma förhållande som Α, Β och Γ, skall några tal mindre än Ε, Ζ och Η vara i samma förhållande som Α, Β och Γ. Låt dem vara Θ, Κ och Λ. Alltså lika många gånger mäter Θ Α och var och en av Κ och Λ var och en av Β och Γ. Och så många gånger Θ mäter Α, låt så många enheters vara i Μ. Och alltså mäter var och en av Κ och Λ var och en av Β och Γ med enheterna i Μ. Och eftersom Θ mäter Α med enheterna i Μ, mäter alltså också Μ Α med enheterna i Θ.Prop. 7.15 Av samma skäl bör också Μ mäta var och en av Β och Γ med enheterna i Κ och Λ. Alltså, Μ mäter Α, Β och Γ. Och eftersom Θ mäter Α med enheterna i Μ, alltså har Θ multiplicerat med Μ resulterat i Α. Av samma skäl bör också Ε multiplicerat med Δ ha resulterat i Α. Alltså är produkten av Ε och Δ lika med produkten av Θ och Μ. Alltså som Ε är till Θ, så är Μ till Δ.Prop. 7.19 Ε är större än Θ, alltså är också Μ större än ΔProp. 5.13 och mäter Α, Β och Γ, vilket är omöjligt. Ty Δ har antagits vara Α, Β och Γ:s största gemensamma mått. Alltså skall inte några tal mindre än Ε, Ζ och Η vara i samma förhållande som Α, Β och Γ. Alltså är Ε, Ζ och Η minst av dem, som har samma förhållande som Α, Β och Γ. Vilket skulle visas.

λδʹ.

Δύο ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.

34.

Att ur två givna tal finna det minsta tal som de mäter.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.

Οἱ Α, Β γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ. ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. καὶ ὁσάκις ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ. ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ, ὡς ἑπόμενος ἑπόμενον. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Β, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Ε· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετροῦσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται.

Låt Α och Β vara två givna tal. Det minsta, som de mäter, skall finnas.

Ty Α och Β är antingen prima till varandra eller ej. Låt först Α och Β vara prima till varandra och låt Α multiplicerat med Β resultera i Γ. Och alltså har Β multiplicerat med Α resulterat i Γ.Prop. 7.16 Alltså mäter Α och Β Γ. Jag säger så, att de också är minst. Ty om inte, skall Α och Β mäta ett tal mindre än Γ. Låt dem mäta Δ. Och så många gånger Α mäter Δ, låt så många enheter vara i Ε och så många gånger Β mäter Δ, låt så många enheter vara i Ζ. Alltså har Α multiplicerat med Ε resulterat i Δ och Β multiplicerat med Ζ resulterat i Δ. Alltså är produkten av Α och Ε lika med produkten av Β och Ζ. Alltså som Α är till Β, så är Ζ till Ε.Prop. 7.19 Α och Β är prima och de prima är också de minsta.Prop. 7.21 De minsta mäter dem, som har samma förhållande, lika många gånger, det större det större och det mindre det mindre.Prop. 7.20 Alltså mäter Β Ε, som det efterföljande det efterföljande. Och eftersom Α multiplicerat med Β och Ε resulterat i Γ och Δ, alltså som Β är till Ε, så är Γ till Δ.Prop. 7.17 Och Β mäter Ε, alltså mäter också Γ Δ, det större det mindre, vilket är omöjligt. Alltså mäter inte Α och Β något tal mindre än Γ. Alltså är Γ det minsta som mäts av Α och Β.

Objects are not supported by your browser!

Μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ Ζ, Ε· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ. καὶ ὁ Α τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. μετρείτωσαν τὸν Δ. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Θ. ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Η τῷ ἐκ τῶν Β, Θ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. οἱ δὲ Ζ, Ε ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Ε ἄρα τὸν Η μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Ε, Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ δὲ Ε τὸν Η μετρεῖ· καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ. ὁ Γ ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται· ὅπερ ἔπει δεῖξαι.[35]

Låt Α och Β inte vara prima till varandra och låt ha tagit de minsta tal Ζ och Ε av dem, som har samma förhållande som Α och Β,Prop. 7.33 alltså är produkten av Α och Ε lika med produkten av Β och Ζ.Prop. 7.19 Och Α multiplicerat med Ε resulterar i Γ och alltså har Β multiplicerat med Ζ resulterat i Γ. Alltså mäter Α och Β Γ. Jag säger så, att Γ också är minst. Ty om inte, mäter Α och Β något tal mindre än Γ. Låt dem mäta Δ. Och så många gånger Α mäter Δ, låt så många enheter vara i Η och så många gånger Β mäter Δ, låt så många enheter vara i Θ. Alltså har Α multiplicerat med Η resulterat i Δ och Β multiplicerat med Θ resulterat i Δ. Alltså är produkten av Α och Η lika med produkten av Β och Θ. Alltså som Α är till Β, så är Θ till Η.Prop. 7.19 Som Α är till Β, så är Ζ till Ε och, alltså, som Ζ är till Ε, så är Θ till Η. Ζ och Ε är minst och de minsta mäter dem, som har samma förhållande, lika många gånger, det större det större och det mindre det mindre.Prop. 7.20 Alltså mäter Ε Η. Och då Α multiplicerat med Ε och Η resulterat i Γ och Δ, som Ε är till Η, så är alltså Γ till Δ.Prop. 7.17 Och Ε mäter Η. Och alltså mäter Γ Δ, det större det mindre, vilket är omöjligt. Alltså skall Α och Β inte mäta något tal mindre än Γ. Alltså är Γ det minsta som mäts av Α och Β. Vilket skulle visas.

λεʹ.

Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν, καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπ᾿ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει.

35.

Om två tal mäter något tal, skall även det minsta mätt av dem mäta samma tal.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν ΓΔ μετρείτωσαν, ἐλάχιστον δὲ τὸν Ε· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ.

Εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ, ὁ Ε τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΓΖ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε μετροῦσιν, ὁ δὲ Ε τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσουσιν. μετροῦσι δὲ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσουσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ· μετρεῖ ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[36]

Ty låt två tal Α och Β mäta något tal ΓΔ samt Ε vara det minsta de mäter. Jag säger, att även Ε mäter ΓΔ.

Ty om Ε inte mäter ΓΔ, låt Ε, mätande ΔΖ, lämna kvar ΓΖ, mindre än sig självt. Och eftersom Α och Β mäter Ε samt Ε mäter ΔΖ, skall alltså även Α och Β mäta ΔΖ samt mäter också hela ΓΔ. Och alltså skall de även mäta resten ΓΖ, som är mindre än Ε, vilket är omöjligt. Inte, alltså, mäter Ε inte ΓΔ, utan mäter det. Vilket skulle visas.

λϛʹ.

Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.

36.

Att ur tre givna tal finna det minsta tal, som de mäter.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.

Εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν Α, Β ἐλάχιστος μετρούμενος ὁ Δ. ὁ δὴ Γ τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον. μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α, Β τὸν Δ· οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Δ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσιν τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ. μετρείτωσαν τὸν Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ε μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος τὸν Ε μετρήσει. ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ε μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ· οἱ Α, Β, Γ ἄρα ἐλάχιστον τὸν Δ μετροῦσιν.

Μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Ε. ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Δ μετροῦσιν, ὁ δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ε· καὶ οἱ Α, Β, Γ ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. μετρείτωσαν τὸν Ζ. ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ζ μετροῦσιν, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει. ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ζ· οἱ Δ, Γ ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· ὥστε καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Δ, Γ μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει. ὁ δὲ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Γ, Δ μετρούμενός ἐστιν ὁ Ε· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε. ὁ Ε ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[37]

Låt Α, Β och Γ vara tre givna tal. Det minsta, som de mäter, skall finnas.

Ty låt ha tagit Δ det minsta mätt av de två Α och Β.Prop. 7.34 Γ antingen mäter Δ eller mäter inte. Låt det först mäta. Också Α och Β mäter Δ. Α, Β och Γ mäter alltså Δ. Jag säger så, att de också är minst. Ty om inte, skall Α, Β och Γ mäta något tal mindre än Δ. Låt dem mäta Ε. Då Α, Β och Γ mäter Ε, mäter även Α och Β Ε. Och alltså skall det minsta talet mätt av Α och Β mäta Ε.Prop. 7.35 Det minsta talet mätt av Α och Β är Δ. Alltså skall Δ mäta Ε, det större det mindre, vilket är omöjligt. Alltså skall Α, Β och Γ inte mäta något tal mindre än Δ. Alltså mäter Α, Β och Γ det minsta talet Δ.

Åter låt inte Γ mäta Δ och låt ha tagit Ε, som det minsta tal mätt av Γ och Δ.Prop. 7.34 Eftersom Α och Β mäter Δ, mäter Δ Ε, och alltså mäter Α och Β Ε. Även Γ mäter Ε, alltså mäter Α, Β och Γ Ε. Jag säger så, att de också är minst. Ty om inte, skall Α, Β och Γ mäta något tal mindre än Ε. Låt dem mäta Ζ. Eftersom Α, Β och Γ mäter Ζ, mäter alltså Α och Β också Ζ. Och alltså skall det minsta talet, som mäts av Α och Β, mäta Ζ.Prop. 7.35 Det minsta talet, som mäts av Α och Β är Δ. Alltså mäter Δ Ζ. Även Γ mäter Ζ. Alltså mäter Δ och Γ Ζ. Så att också det minsta talet som mäts av Δ och Γ skall mäta Ζ.Prop. 7.35 Det minsta talet, som mäts av Γ och Δ är Ε. Alltså mäter Ε Ζ, det större det mindre, vilket är omöjlig. Alltså skall Α, Β och Γ inte mäta något tal, som är mindre än Ε. Alltså är Ε minsta talet, som mäts av Α, Β och Γ. Vilket skulle visas.

λζʹ.

Ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινος ἀριθμοῦ μετρῆται, ὁ μετρούμενος ὁμώνυμον μέρος ἕξει τῷ μετροῦντι.

37.

Om ett tal mäts av ett tal, skall det mätta ha en homonym del med det mätande.G G) Rundbäck översätter sålunda: Om talet a mätes af talet b, så skall a hafva en del, som utgör 1/b:del af a och klargör förhoppningsvis, vad som menas med en homonym del.

Objects are not supported by your browser!

Ἀριθμὸς γάρ ὁ Α ὑπό τινος ἀριθμοῦ τοῦ Β μετρείσθω· λέγω, ὅτι ὁ Α ὁμώνυμον μέρος ἔχει τῷ Β.

Ὁσάκις γὰρ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Γ. ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α· ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Α. ἡ δὲ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον αὐτῷ· καὶ ὁ Γ ἄρα τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Β. ὥστε ὁ Α μέρος ἔχει τὸν Γ ὁμώνυμον ὄντα τῷ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[38]

Ty låt ett tal Α mätas av något tal Β. Jag säger, att Α skall ha en homonym del med Β.

Ty så många gånger Β mäter Α, låt så många enheter vara i Γ. Eftersom Β mäter Α med enheterna i Γ, mäter även enheten Δ talet Γ med enheterna i det. Alltså mäter enheten Δ talet Γ lika många gånger som Β mäter Α. Alltså, alternerat, mäter enheten Δ talet Β lika många gånger som Γ mäter Α.Prop. 7.15 Alltså, den del enheten Δ är av talet Β, samma del är också Γ av Α. Och enheten Δ är en del av talet Β homonym med sig själv. Och alltså är Γ en homonym del av Α med Β. så att Α skall ha en del Γ som är homonym med Β. Vilket skulle visas.

ληʹ.

Ἐὰν ἀριθμος μέρος ἔχῃ ὁτιοῦν, ὑπὸ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται τῷ μέρει.

38.

Om ett tal har en del vilkensom, skall det mätas av ett tal homonymt med delen.

Objects are not supported by your browser!

Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μέρος ἐχέτω ὁτιοῦν τὸν Β, καὶ τῷ Β μέρει ὁμώνυμος ἔστω ἀριθμὸς ὁ Γ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ Β τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Γ, ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ μέρος ὁμώνυμον αὐτῷ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Α· ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α. ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ· ὅπερ ἔδει δεὶξαι.[39]

Ty låt talet Α ha en del vilkensom Β och låt Γ vara delen homonym med Β. Jag säger, att Γ mäter Α.

Ty eftersom Β är en del av Α homonym med Γ, är också enheten Δ en del av Γ homonym med denna. Alltså, den del enheten Δ är av talet Γ, samma del är också Β av Α. Alltså mäter enheten Δ talet Γ lika många gånger som Β mäter Α. Alltså, alternerat, mäter enheten Δ talet Β lika många gånger som Γ mäter Α.Prop. 7.15 Alltså mäter Γ Α. Vilket skulle visas.

λθʹ.

Ἀριθμὸν εὐρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ δοθέντα μέρη.

39.

Att finna ett tal, som är minst och skall ha givna delar.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὰ δοθέντα μέρη τὰ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ ἀριθμὸν εὑρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη.

Ἔστωσαν γὰρ τοῖς Α, Β, Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοὶ οἱ Δ, Ε, Ζ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Η.

Ὁ Η ἄρα ὁμώνυμα μέρη ἔχει τοῖς Δ, Ε, Ζ. τοῖς δὲ Δ, Ε, Ζ ὁμώνυμα μέρη ἐστὶ τὰ Α, Β, Γ· ὁ Η ἄρα ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστος ὤν, εἰ γὰρ μή, ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός, ὃς ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη. ἔστω ὁ Θ. ἐπεὶ ὁ Θ ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη, ὁ Θ ἄρα ὑπὸ ὁμωνύμων ἀριθμῶν μετρηθήσεται τοῖς Α, Β, Γ μέρεσιν. τοῖς δὲ Α, Β, Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοί εἰσιν οἱ Δ, Ε, Ζ· ὁ Θ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ μετρεῖται. καί ἐστιν ἐλάσσων τοῦ Η· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός, ὃς ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[40]

Låt Α, Β och Γ vara de givna delarna. Ett tal skall finnas, som är minst och ha delarna Α, Β och Γ.

Ty låt Δ, Ε och Ζ vara tal med de homonyma delarna Α, Β och Γ samt låt ha tagit det minsta talet Η som mäts av Δ, Ε och Ζ.Prop. 7.36

Η har delar homonyma med Δ, Ε och Ζ.Prop. 7.37 Α, Β och Γ är delarna homonyma med Δ, Ε och Ζ. Η har delarna Α, Β och Γ. Jag säger så, att det är minst. Ty om inte, skall något tal mindre än Η, som skall ha delarna Α, Β och Γ. Låt det vara Θ. Eftersom Θ har delarna Α, Β och Γ, skall alltså Θ mätas av tal homonyma med delarna Α, Β och Γ.Prop. 7.38 Δ, Ε och Ζ är homonyma med delarna Α, Β och Γ. Alltså mäts Θ av Δ, Ε och Ζ. Det är dessutom mindre än Η, vilket är omöjligt. Alltså skall det inte finnas något tal mindre än Η, som skall ha delarna Α, Β och Γ. Vilket skulle visas.