Elementas Bok VI

Στοιχείων ϛʹ.

Ὅροι.

αʹ. Ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν, ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον.
βʹ. Ἀντιπεπονθότα δὲ σχματά ἐστιν, ὅταν ἔν ἑκατέρῳ τῶν σχημάτων ἡγούμενοί τε καὶ ἑπόμενοι λόγοι ὦσιν.
γʹ. Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττὸν.
δʹ. Ὕψος ἐστὶ πάντος σχήματος ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀγομένη.
εʹ. Λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται, ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἐφ' ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποιῶσί τινα.[1]

Definitioner.

1. Rätlinjiga figurer är likformiga då de har vinklarna lika en och en samt har sidorna vid de lika vinklarna proportionella.
[2. Och figurer är ömsesidiga, när i båda av figurerna förhållandena är både föregående och följande.]A A) Heibergs översättning lyder Reciprocae autem figurae sunt, ubi in utraque figura et praecedentes et sequentes rationes sunt och i noten därtill säger han, att ingenstans använder Euklides denna definition.
3. En rät linje sägs ha delats efter den mellersta och yttersta i proportion till hela linjen,B B) Tills vidare används här Strömers terminologi. Och var har Bråkenhielm gjort av denna definition? när det hela är till det större snittet, som det större är till det mindre.
4. Alla figurers höjd är den vinkelräta linje förd från toppen till basen.
[5. Ett förhållande sägs vara komponeratC C) Termen lånas av Strömer och återkommer faktiskt i VI 23. av förhållanden, då förhållandenas storlekar, multiplicerade med varandra, blir något.]D D) Heiberg kommenterar: Def. 5 sine dubio interpolata est.

αʹ.

Τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.

1.

Trianglar och parallellogrammer, som har samma höjd, är till varandra som baserna.

Objects are not supported by your browser!

Ἕστω τρίγωνα μὲν τὰ ΑΒΓ, ΑΓΔ, παραλληλόγραμμα δὲ τὰ ΕΓ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, καὶ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Θ, Λ σημεῖα, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΒΓ βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΒΗ, ΗΘ, τῇ δὲ ΓΔ βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΔΚ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΑΘ, ΑΚ, ΑΛ.

Καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΒ, ΒΗ, ΗΘ ἀλλήλαις, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ, ΑΗΒ, ΑΒΓ τρίγωνα ἀλλήλοις. ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΒΓ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΛΓ βάσις τῆς ΓΔ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΔ τριγώνου· καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῇ ΓΛ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τῳ ΑΓΛ τριγώνῳ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΛ τριγώνου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΔ, δύο δὲ τριγώνων τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΒΓ βάσεως καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἥ τε ΘΓ βάσις καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον, τῆς δὲ ΓΔ βάσεως καὶ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια ἥ τε ΛΓ βάσις καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον· καὶ δέδεικται, ὅτι, εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΛΓ τριγώνου, καί εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἔλασσων, ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον.

Καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΑΓΔ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς μὲν ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, ὡς δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον.

Τὰ ἄρα τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[2]

Låt ΑΒΓ och ΑΓΔ vara trianglar samt ΕΓ och ΓΖ parallellogrammer med samma höjd, ΑΓ. Jag säger, att som basen ΒΓ är till basen ΓΔ, så är triangeln ΑΒΓ till triangeln ΑΓΔ och parallellogrammen ΕΓ till parallellogrammen ΓΖ.

Ty låt ha dragit ut ΒΔ åt vardera sidan till punkterna Θ och Λ, sätt ut ΒΗ och ΗΘ, eller hur många som helst, lika med basen ΒΓ samt ΔΚ och ΚΛ, eller hur många som helst, lika med basen ΓΔ. Låt även ha förbundit ΑΗ, ΑΘ, ΑΚ och ΑΛ.

Eftersom ΓΒ, ΒΗ och ΗΘ är lika med varandra, är också trianglarna ΑΘΗ, ΑΗΒ och ΑΒΓ lika med varandra.Prop. 1.38 Alltså som så många gånger basen ΘΓ är av basen ΒΓ, så många gånger är också triangeln ΑΘΓ av triangeln ΑΒΓ. Av samma skäl bör basen ΛΓ vara så många gånger av basen ΓΔ, som så många gånger också triangeln ΑΛΓ är av triangeln ΑΓΔ. Och om basen ΘΓ är lika med basen ΓΛ, är även triangeln ΑΘΓ lika med triangeln ΑΓΛProp. 1.38, om basen ΘΓ överstiger basen ΓΛ, överstiger även triangeln ΑΘΓ triangeln ΑΓΛ och om basen ΘΓ är mindre än basen ΓΛ, är triangeln ΑΘΓ mindre än triangeln ΑΓΛ. Sedan det finns fyra befintliga storheter, två baser, ΒΓ och ΓΔ, samt två trianglar, ΑΒΓ och ΑΓΔ, har lika många multiplar tagits av basen ΒΓ och triangeln ΑΒΓ, basen ΘΓ och triangeln ΑΘΓ, samt av basen ΓΔ och triangeln ΑΔΓ andra, godtyckliga, lika många multiplar, basen ΛΓ och triangeln ΑΛΓ. Och det har visats, att om basen ΘΓ överstiger basen ΓΛ, överstiger även triangeln ΑΘΓ triangeln ΑΓΛ, om basen ΘΓ är lika med basen ΓΛ, är triangeln ΑΘΓ lika med triangeln ΑΓΛ och om basen ΘΓ är mindre än basen ΓΛ, är triangeln ΑΘΓ mindre än triangeln ΑΓΛ Alltså som basen ΒΓ är till basen ΓΔ, så är triangeln ΑΒΓ till triangeln ΑΓΔ.Def. 5.5

Och eftersom det dubbla av triangeln ΑΒΓ är parallellogrammen ΕΓ och det dubbla av triangeln ΑΓΔ är parallellogrammen ΖΓProp. 1.34 samt att delar har samma förhållande som lika multiplar,Prop. 5.15 alltså som triangeln ΑΒΓ är till triangeln ΑΓΔ, så är parallellogrammen ΕΓ till parallellogrammen ΖΓ. Eftersom det det alltså visats, att som basen ΒΓ är till basen ΓΔ, så är triangeln ΑΒΓ till triangeln ΑΓΔ, som triangeln ΑΒΓ är till triangeln ΑΓΔ, så är parallellogrammen ΕΓ till parallellogrammen ΖΓ och, sålunda, som basen ΒΓ är till basen ΓΔ, så är ΕΓ till parallellogrammen ΖΓ.Prop. 5.11

Trianglar och parallellogrammer, som har samma höjd, är alltså till varandra som baserna. Viket skulle visas.

βʹ.

Ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς· καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν.

2.

Om en rät linje dras parallell med en av sidorna i en triangel, skall Den skära triangelns sidor proportionellt. Och om triangelns sidor skurits proportionellt, skall den räta linjen förbindande snitten ligga parallell med den resterande sidan av triangeln.

Objects are not supported by your browser!

Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ παράλληλος μιᾷ τῶν πλευρῶν τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΔ.

Ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ΔΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΔΕ, ΒΓ· ἄλλο δέ τι τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. αλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τὴν ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον ἀγομένην πρὸς ἄλληλά εἰσιν ὡς αἱ βάσεις. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὡς τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ.

Ἀλλὰ δὴ αἱ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΓ ἀνάλογον τετμήσθωσαν, ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΔΕ, ΓΔΕ τριγώνων πρὸς τὸ ΑΔΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ· καί εἰσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΔΕ. τὰ δὲ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ.

Ἐὰν ἄρα τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς· καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[3]

Ty låt ha dragit ΔΕ parallell med en av triangeln ΑΒΓ:s sidor, ΒΓ. Jag säger, att som ΒΔ är till ΔΑ, så är ΓΕ till ΕΑ.

Ty låt ha förenat ΒΕ och ΓΔ.

Alltså är triangeln ΒΔΕ lika med triangeln ΓΔΕ. Ty ΔΕ är deras gemensamma bas och de är mellan samma paralleller, ΔΕ och ΒΓ.Prop. 1.38 ΑΔΕ är en annan triangel. Lika har samma förhållande till detsamma.Prop. 5.7 Alltså som triangeln ΒΔΕ är till triangeln ΑΔΕ, så är triangeln ΓΔΕ till triangeln ΑΔΕ. Men som triangeln ΒΔΕ är till ΑΔΕ, så är ΒΔ till ΔΑ, ty de har samma höjd, linjen dragen från Ε vinkelrät mot ΑΒ, så är baserna till varandra.Prop. 6.1 Av samma skäl som triangeln ΓΔΕ är till ΑΔΕ, så bör ΓΕ vara till ΕΑ och alltså som ΒΔ är till ΔΑ, så är ΓΕ till ΕΑ.Prop. 5.11

Men låt ha skurit triangeln ΑΒΓ:s sidor, ΑΒ och ΑΓ, proportionellt, så ΒΔ är till ΔΑ, som ΓΕ är till ΕΑ samt ha förbundit ΔΕ. Jag säger, att ΔΕ och ΒΓ är parallella.

Ty med samma uppställning, då som ΒΔ är till ΔΑ, så är ΓΕ till ΕΑ, men som ΒΔ är till ΔΑ, så är triangeln ΒΔΕ till triangeln ΑΔΕ, som ΓΕ är till ΕΑ, så är triangeln ΓΔΕ till triangeln ΑΔΕProp. 6.1 och alltså som triangeln ΒΔΕ är till triangeln ΑΔΕ, så är triangeln ΓΔΕ till triangeln ΑΔΕ.Prop. 5.11 Alltså har var och en av trianglarna ΒΔΕ och ΓΔΕ samma förhållande till ΑΔΕ. Alltså är triangeln ΒΔΕ lika med triangeln ΓΔΕProp. 5.9 och ligger på samma bas, ΔΕ. Lika trianglar på samma bas ligger också mellan samma paralleller,Prop. 1.39 alltså är ΔΕ parallell med ΒΓ.

Om alltså en rät linje dras parallell med en av sidorna i en triangel, skall Den skära triangelns sidor proportionellt. Och om triangelns sidor skurits proportionellt, skall den räta linjen förbindande snitten ligga parallell med den resterande sidan av triangeln. Vilket skulle visas.

γʹ.

Ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς· καὶ ἐὰν τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς, ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τεμεῖ τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν.

3.

Om en triangels vinkel delas i hälften och den räta linjen som delar vinkeln också delar basen, har basens delar samma förhållande som de övriga av triangelns sidor. Och om basens delar har samma förhållande som de övriga av triangelns sidor, skall den räta linjen från toppen till delningspunkten dela triangelns vinkel i hälften.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ.

Ἥχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΔΑ παράλληλος ἡ ΓΕ, καὶ διαχθεῖσα ἡ ΒΑ συμπιπτέτω αὐτῇ κατὰ τὸ Ε.

Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση. πάλιν, ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΒΑΕ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς τῇ ὑπὸ ΑΕΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΑΓ· ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ.

Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ· τριγώνου γὰρ τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ. ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση. ἀλλ᾿ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ἐκτὸς τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ἐναλλὰξ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση. ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας.

Ἐὰν ἄρα τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς· καὶ ἐὰν τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς, ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τέμνει τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[4]

Låt ΑΒΓ vara triangeln och låt ha delat vinkeln ΒΑΓ i hälften med den räta linjen ΑΔ. Jag säger, att som ΒΔ är till ΓΔ, så är ΒΑ till ΑΓ.

Ty låt ha dragit ΓΕ genom Γ parallell med ΔΑ och låt ΒΑ utdragen sammanfalla med den vid Ε.

Och eftersom den räta linjen ΑΓ faller över de parallella linjerna ΑΔ och ΕΓ, då är vinkeln ΑΓΕ lika med ΓΑΔ.Prop. 1.29 Men vinkeln ΓΑΔ antas vara lika med ΒΑΔ och alltså är ΒΑΔ lika med ΑΓΕ. Igen, eftersom den räta linjen ΒΑΕ faller över de parallella linjerna ΑΔ och ΕΓ, är den yttre vinkeln ΒΑΔ lika med den inre ΑΕΓ.Prop. 1.29 Det har också visats, att ΑΓΕ är lika med ΒΑΔ, alltså är vinkeln ΑΓΕ lika med ΑΕΓ, så att även sidan ΑΕ är lika med sidan ΑΓ.Prop. 1.6 Och då ΑΔ dragits parallell med en av triangeln ΒΓΕ:s sidor ΕΓ, alltså proportionellt som ΒΔ är till ΔΓ, så är ΒΑ till ΑΕ.Prop. 6.2 Och ΑΕ är lika med ΑΓ, alltså som ΒΔ är till ΔΓ, så är ΒΑ till ΑΓ.

Men låt så ΒΔ vara till ΔΓ, som ΒΑ är till ΑΓ och låt ha förbundit ΑΔ. Jag säger, att vinkeln ΒΑΓ har delats i hälften av den räta linjen ΑΔ.

Ty med samma uppställning, eftersom ΒΔ är till ΔΓ, som är ΒΑ till ΑΓ, men även ΒΔ är till ΔΓ, som ΒΑ är till ΑΕ, ty ΑΔ har dragits parallell med triangeln ΒΓΕ:s ena sida ΕΓProp. 6.2 och alltså som ΒΑ är till ΑΓ, så är ΒΑ till ΑΕ.Prop. 5.11 Alltså är ΑΓ lika med ΑΕProp. 5.9, så att även vinkeln ΑΕΓ är lika med ΑΓΕ.Prop. 1.5 Men ΑΕΓ är lika med den yttre vinkeln ΒΑΔ och ΑΓΕ är lika med den alternerande vinkeln ΓΑΔ,Prop. 1.29 alltså är även ΒΑΔ lika med ΓΑΔ. Alltså har vinkeln ΒΑΓ delats i hälften av den räta linjen ΑΔ.

Om alltså en triangels vinkel delas i hälften och den räta linjen som delar vinkeln också delar basen, har basens delar samma förhållande som de övriga av triangelns sidor. Och om basens delar har samma förhållande som de övriga av triangelns sidor, skall den räta linjen från toppen till delningspunkten dela triangelns vinkel i hälften. Vilket skulle visas.

δʹ.

Τῶν ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.

4.

Likvinkliga trianglars sidor vid de lika vinklarna är proportionella och de som de lika vinklarna spänner upp är homologa.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ ἴσην ἔχοντα τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΓΕ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΔΓΕ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.

Κείσθω γὰρ ἐπ᾿ εὐθείας ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν· αἱ ΒΑ, ΕΔ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ζ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΓΔ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΖΕ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΑΓΔ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΖΑ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ παρὰ μίαν τὴν ΖΕ ἦκται ἡ ΑΓ, ἐστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΓΔ· ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ. πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΖΔ τῇ ΑΓ· ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, ὡς δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ.

Τῶν ἄρα ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[5]

Låt ΑΒΓ och ΔΓΕ vara de likvinkliga trianglarna, som har vinkeln ΑΒΓ lika med ΔΓΕ och ΒΑΓ med ΓΔΕ, och dessutom ΑΓΒ med ΓΕΔ. Jag säger, att trianglarna ΑΒΓ:s och ΔΓΕ:s sidor vid de lika vinklarna skall vara proportionella och de som de lika vinklarna spänner upp skall vara homologa.

Ty låt ha satt ΒΓ i linje med ΓΕ. Och eftersom vinklarna ΑΒΓ och ΑΓΒ är mindre än två räta,Prop. 1.17 är ΑΓΒ lika med ΔΕΓ och alltså är ΑΒΓ och ΔΕΓ mindre än två räta. Alltså kommer ΒΑ och ΕΔ utdragna sammanfalla.Ax. 5 Låt ha dragit ut dem och låt dem ha sammanfallit vid Ζ.

Och eftersom vinkeln ΔΓΕ är lika med ΑΒΓ, är ΒΖ parallell med ΓΔ.Prop. 1.28 Igen, eftersom ΑΓΒ är lika med ΔΕΓ, är ΑΓ parallell med ΖΕ.Prop. 1.28 Alltså är ΖΑΓΔ en parallellogram och alltså är ΖΑ lika med ΔΓ och ΑΓ med ΖΔ.Prop. 1.34 Och eftersom ΑΓ har dragits parallell med en av triangeln ΖΒΕ:s sidor ΖΕ, alltså som ΒΑ är till ΑΖ, så är ΒΓ till ΓΕ.Prop. 6.2 ΑΖ är lika med ΓΔ, alltså som ΒΑ är till ΓΔ, så är ΒΓ till ΓΕ samt, alternerat, som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΔΓ till ΓΕ.Prop. 5.16 Igen, eftersom ΓΔ är parallell med ΒΖ, som ΒΓ är till ΓΕ, så är alltså ΖΔ till ΔΕ.Prop. 6.2 ΖΔ är lika med ΑΓ, som ΒΓ är till ΓΕ, så är alltså ΑΓ till ΔΕ, samt, alternerat, som ΒΓ är till ΓΑ, så är ΓΕ till ΕΔ.Prop. 6.2 Eftersom det alltså visats att som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΔΓ till ΓΕ, som ΒΓ är till ΓΑ, så är ΓΕ till ΕΔ, alltså är, ex aequali ΒΑ till ΑΓ, som ΓΔ är till ΔΕ.Prop. 5.22

Likvinkliga trianglars sidor vid de lika vinklarna är alltså proportionella och de som de lika vinklarna spänner upp är homologa. Vilket skulle visas.

εʹ.

Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφ᾿ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.

5.

Om två trianglar har sidorna proportionella, skall de trianglarna vara likvinkliga och skall ha vinklarna, som spänns upp av de homologa sidorna, lika.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ἔτι ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ. λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσας ἕξουσι τὰς γωνίας, ὑφ᾿ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.

Συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Ε, Ζ τῇ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Α λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Η ἐστιν ἴση.

Ἴσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΗΖ τριγώνῳ. τῶν ἄρα ΑΒΓ, ΕΗΖ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ὑπόκειται ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ· ὡς ἄρα ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΕ, ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΗΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΗΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΗ ἐστιν ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΕΖ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΕΔ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφ᾿ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[6]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara två trianglar som har sidorna proportionella, som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΔΕ till ΕΖ, som ΒΓ är till ΓΑ, så är ΕΖ till ΖΔ och dessutom som ΒΑ är till ΑΓ, så är ΕΔ till ΔΖ. Jag säger, att triangeln ΑΒΓ är likvinklig med triangeln ΔΕΖ och skall ha vinklarna, som de homologa sidorna spänner upp, lika; ΑΒΓ lika med ΔΕΖ, ΒΓΑ med ΕΖΔ och dessutom ΒΑΓ med ΕΔΖ.

Ty låt ha konstruerat vinkeln ΖΕΗ, lika med vinkeln ΑΒΓ, och vinkeln ΕΖΗ, lika med ΑΓΒ, på den räta linjen ΕΖ och med punkterna Ε och Ζ på den.Prop. 1.23 Alltså är resterande vinkel vid Α lika med resterande vinkel vid Η.Prop. 1.32

Alltså är triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΕΗΖ. Alltså är trianglarna ΑΒΓ:s och ΕΗΖ:s sidor, de vid de lika vinklarna, proportionella och de, som spänns upp av de lika vinklarna, är homologa.Prop. 6.4 Då som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΗΕ till ΕΖ. Men som ΑΒ är till ΒΓ, så antas ΔΕ vara till ΕΖ, som ΔΕ är till ΕΖ, så är alltså ΗΕ till ΕΖ.Prop. 5.11 Då har var och en av ΔΕ och ΗΕ samma förhållande till ΕΖ, alltså är ΔΕ lika med ΗΕ.Prop. 5.9 Av samma skäl bör även ΔΖ vara lika med ΗΖ. Eftersom då ΔΕ är lika med ΕΗ och är ΕΖ gemensam, är de två sidorna ΔΕ och ΕΖ är lika med de två sidorna ΗΕ och ΕΖ. Och basen ΔΖ är lika med basen ΖΗ, alltså är vinkeln ΔΕΖ lika med vinkeln ΗΕΖ,Prop. 1.8 triangeln ΔΕΖ lika med triangeln ΗΕΖ och resterande vinklar lika med resterande vinklar, vilka de lika sidorna spänner upp.Prop. 1.4 Alltså är vinkeln ΔΖΕ lika med ΗΖΕ och ΕΔΖ med ΕΗΖ. Och eftersom ΖΕΔ är lika med ΗΕΖ, men är ΗΕΖ lika med ΑΒΓ, är alltså även vinkeln ΑΒΓ lika med ΔΕΖ. Av samma skäl bör även ΑΓΒ lika med ΔΖΕ, och dessutom vinkeln vid Α med vinkeln vid Δ. Alltså är triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΔΕΖ.

Om alltså två trianglar har sidorna proportionella, skall de trianglarna vara likvinkliga och skall ha vinklarna, som spänns upp av de homologa sidorna, lika. Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφ᾿ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.

6.

Om två trianglar har en vinkel lika med en vinkel och sidorna vid de lika vinklarna är proportionella, skall trianglarna vara likvinkliga och skall ha vinklarna lika, som de homologa sidorna spänner upp.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μιᾷ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.

Συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Δ, Ζ ὁποτέρᾳ μὲν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΔΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Η ἴση ἐστίν.

Ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΗΖ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ. ἴση ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΔΗ· καὶ κοινὴ ἡ ΔΖ· δύο δὴ αἱ ΕΔ, ΔΖ δυσὶ ταῖς ΗΔ, ΔΖ ἴσας εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΖ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΕΖ βάσει τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΔΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσας ἔσονται, ὐφ᾿ ἃς ἴσας πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπο ΔΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΗΖ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ε ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφ᾿ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[7]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara de två trianglarna som har en vinkel ΒΑΓ lika med en vinkel ΕΔΖ och sidorna vid de lika vinklarna är proportionella, så ΒΑ är till ΑΓ, som ΕΔ till ΔΖ. Jag säger, att triangeln ΑΒΓ skall vara lika med triangeln ΔΕΖ samt skall ha vinkeln ΑΒΓ lika med vinkeln ΔΕΖ och ΑΓΒ med ΔΖΕ.

Ty låt ha konstruerat ΖΔΗ lika med var och en av ΒΑΓ och ΕΔΖ samt ΔΖΗ lika med ΑΓΒ på den räta linjen ΔΖ och vid punkterna Δ och Ζ på denna.Prop. 1.23 Alltså är den resterande vinkel vid Β lika med den resterande vid Η.Prop. 1.32

Alltså är triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΔΗΖ, alltså proportionellt som ΒΑ är till ΑΓ, så är ΗΔ till ΔΖ.Prop. 6.4 Det har även antagits att som ΒΑ är till ΑΓ, så är ΕΔ till ΔΖ och som ΕΔ är till ΔΖ, så är alltså ΗΔ till ΔΖ.Prop. 5.11 Alltså är ΕΔ lika med ΔΗProp. 5.9 och ΔΖ är gemensam. Då är de två sidorna ΕΔ och ΔΖ lika med de två sidorna ΗΔ och ΔΖ samt vinkeln ΕΔΖ är lika med vinkeln ΗΔΖ. Alltså är basen ΕΖ lika med basen ΗΖ, triangeln ΔΕΖ lika med triangeln ΗΔΖ och resterande vinklar skall vara lika med resterande vinklar, som de homologa sidorna spänner upp.Prop. 1.4 Alltså är ΔΖΗ lika med ΔΖΕ, ΔΗΖ med ΔΕΖ. Men ΔΖΗ är lika med ΑΓΒ och alltså är ΑΓΒ lika med ΔΖΕ. ΒΑΓ har antagits vara lika med ΕΔΖ och alltså resterande vinkel vid Β lika med resterande vinkel vid Ε.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΔΕΖ.

Om alltså två trianglar har en vinkel lika med en vinkel och sidorna vid de lika vinklarna är proportionella, skall trianglarna vara likvinkliga och skall ha vinklarna lika, som de homologa sidorna spänner upp. Vilket skulle visas.

ζʹ.

Ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα ἢ μὴ ἐλάσσονα ὀρθῆς, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, περὶ ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί.

7.

Om två trianglar har en vinkel lika med en vinkel och sidorna vid de övriga vinklarna är proportionella samtidigt som var och en av de resterande är antingen mindre eller inte mindre än en rät, skall trianglarna vara likvinkliga och skall ha vinklarna, kring vilka de proportionella sidorna är, lika.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, τῶν δὲ λοιπῶν τῶν πρὸς τοῖς Γ, Ζ πρότερον ἑκατέραν ἅμα ἐλάσσονα ὀρθῆς· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση.

Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ. καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ὑπόκειται ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΓ, ΒΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἐστιν ἴση. ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ὑπόκειται ἡ πρὸς τῷ Γ· ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς καὶ ὑπὸ ΒΗΓ· ὥστε ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΗΒ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ἐδείχθη ἴση οὖσα τῇ πρὸς τῷ Ζ· καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. ὑπόκειται δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἴση ἄρα. ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α ἴση τῇ πρὸς τῷ Δ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ὑποκείσθω ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Γ, Ζ μὴ ἐλάσσων ὀρθῆς· λέγω πάλιν, ὅτι καὶ οὕτως ἐστὶν ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ· ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστίν. οὐκ ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ πρὸς τῷ Γ· οὐκ ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς οὐδὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ. τριγώνου δὴ τοῦ ΒΗΓ αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν οὔκ εἰσιν ἐλάττονες· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα πάλιν ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἴση ἄρα. ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἐλάττονα ἢ μὴ ἐλάττοναE E) Notera ἐλάσσονα i protasis och ἐλάττονα i sumperasma. Bruket vacklar, inte bara i denna sats, utan generellt - bör kanske undersökas ytterligare ... ὀρθῆς, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, περὶ ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[8]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara två trianglar som har en vinkel lika med en vinkel, ΒΑΓ med ΕΔΖ, kring de andra vinklarna, ΑΒΓ och ΔΕΖ, sidorna proportionella, att som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΔΕ till ΕΖ, samt av de resterande vinklarna vid Γ och Ζ är först var och en samtidigt mindre än en rät. Jag säger, att triangeln ΑΒΓ är likvinklig med triangeln ΔΕΖ, vinkeln ΑΒΓ skall vara lika med vinkeln ΔΕΖ och givetvis resterande vinkel vid Γ lika med resterande vinkel vid Ζ.

Ty om vinkeln ΑΒΓ inte är lika med vinkeln ΔΕΖ, är en av dem större. Låt ΑΒΓ vara större och låt ha konstruerat vinkeln ΑΒΗ på den räta linjen ΑΒ, vid punkten Β på den och lika med vinkeln ΔΕΖ.Prop. 1.23

Och eftersom vinkeln Α är lika med vinkeln Δ och ΑΒΗ med ΔΕΖ, är alltså resterande vinkeln ΑΗΒ lika med resterande vinkeln ΔΖΕ.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΑΒΗ likvinklig med triangeln ΔΕΖ. Alltså som ΑΒ är till ΒΗ, så är ΔΕ till ΕΖ.Prop. 6.4 Som ΔΕ är till ΕΖ, antas ΑΒ vara till ΒΓ, alltså har ΑΒ till var och en av ΒΓ och ΒΗ samma förhållande.Prop. 5.11 Alltså är ΒΓ lika med ΒΗ.Prop. 5.9 Och sålunda är vinkeln vid Γ lika med vinkeln ΒΗΓ.Prop. 1.5 Den vid Γ antas vara mindre än en rät, alltså är även ΒΗΓ mindre än en rät, sålunda är dess intilliggande vinkel ΑΗΒ större än en rätProp. 1.13 och har visats vara lika med den vid Ζ. Alltså är även den vid Ζ större än en rät. Men den antogs vara mindre än en rät, vilket är orimlig. Alltså är inte vinkeln ΑΒΓ olika med ΔΕΖ, utan lika med. Sålunda är även den vid Α lika med den vid Δ och alltså resterande vinkel vid Γ lika med resterande vinkel vid Ζ. Alltså är triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΔΕΖ.

Men antag å andra sidan var och en av vinklarna vid Γ och Ζ inte vara mindre än en rät. Jag säger åter, att även på detta sätt är triangeln ΑΒΓ är likvinklig med triangeln ΔΕΖ.

Ty med samma uppställning skall vi visa, att ΒΓ är lika med ΒΗ, så att även vinkeln vid Γ är lika med ΒΗΓ. Den vid Γ är inte mindre än en rät, alltså är inte heller ΒΗΓ mindre än en rät. Två av triangeln ΒΗΓ:s vinklar är inte mindre än två räta, vilket är orimligt.Prop. 1.17 Alltså är åter vinkeln ΑΒΓ inte olika med ΔΕΖ, utan lika med. Sålunda är även den vid Α lika med den vid Δ och alltså resterande vinkel vid Γ lika med resterande vinkel vid Ζ. Alltså är triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΔΕΖ.

Om alltså två trianglar har en vinkel lika med en vinkel och sidorna vid de övriga vinklarna är proportionella samtidigt som var och en av de resterande är mindre eller inte mindre än en rät, skall trianglarna vara likvinkliga och skall ha vinklarna, kring vilka de proportionella sidorna är, lika. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπό τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.

8.

Om i en rätvinklig triangel från den räta vinkeln till basen en vinkelrät linje dragits, är trianglarna vid den vinkelräta likformiga med den hela och med varandra.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοις.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΓ καὶ τοῦ ΑΒΔ ἡ πρὸς τῷ Β, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ λοιπῇ τῇ ὑπο ΒΑΔ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν ΒΑ ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, οὕτως αὐτὴ ἡ ΑΒ ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Γ γωνίαν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν ΒΔ ὑποτείνουσαν τὴν ἴσην τὴν ὑπὸ ΒΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, καὶ ἔτι ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν κοινὴν τῶν δύο τριγώνων. τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ τριγώνων ὅμοιόν ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ τρίγωνα.

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ ἐστιν ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐδείχθη ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Γ ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, οὕτως αὐτὴ ἡ ΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν πρὸς τὴν ΔΓ ὑποτείνουσαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου ἴσην τῇ πρὸς τῷ Β, καὶ ἔτι ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ ὑποτείνουσαι τὰς ὀρθάς· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνάις ἐπὶ τὴν βάσις κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι καὶ ἔτι τῆς βάσεως καὶ ἑνὸς ὁποιουοῦν τῶν τμημάτων ἡ πρὸς τῷ τμήματι πλευρὰ μέση ἀνάλογόν ἐστιν.[9]

Låt ΑΒΓ vara den rätvinkliga triangeln som har den räta vinkeln ΒΑΓ och låt ha dragit från Α till ΒΓ den vinkelräta linjen ΑΔ.Prop. 1.12 Jag säger, att var och en av trianglarna ΑΒΔ och ΑΔΓ är likformiga med hela ΑΒΓ och dessutom med varandra.

Ty eftersom ΒΑΓ är lika med ΑΔΒ, då de båda är räta, och vinkeln vid Β är gemensam för de två trianglarna ΑΒΓ och ΑΒΔ, är alltså resterande vinkel ΑΓΒ lika med resterande vinkel ΒΑΔ.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΑΒΔ. Alltså som ΒΓ, som spänner upp triangeln ΑΒΓ:s räta, är till ΒΑ, som spänner upp triangeln ΑΒΔ:s räta, så är samma ΑΒ, som spänner upp triangeln ΑΒΓ:s vinkeln vid Γ, till ΒΔ, som spänner upp den lika stora vinkeln ΒΑΔ i triangeln ΑΒΔ, och så är dessutom ΑΓ till ΑΔ, som spänner upp vinkeln vid Β, gemensam för de två trianglarna.Prop. 6.4 Alltså är triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΑΒΔ och sidorna vid de lika sidorna är proportionella. Alltså är triangeln ΑΔΓ likformig med triangeln ΑΒΔ.Prop. 6.1 På samma sätt kan vi visa, att triangeln ΑΒΓ även är likformig med triangeln ΑΔΓ, alltså är var och en av trianglarna ΑΒΔ och ΑΔΓ likformig med hela ΑΒΓ.

Jag säger vidare, att trianglarna ΑΒΔ och ΑΔΓ även är likformiga med varandra.

Ty eftersom den räta ΒΔΑ är lika med den räta ΑΔΓ, men också ΒΑΔ har visats vara lika med vinkeln vid Γ, alltså är även den resterande vinkel vid Β lika med resterande vinkel ΔΑΓ.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΑΒΔ likvinklig med triangeln ΑΔΓ. Alltså som ΒΔ, som spänner upp ΒΑΔ i triangeln ΑΒΔ, är till ΔΑ, som i triangeln ΑΔΓ spänner upp vinkeln vid Γ - lika med ΒΑΔ, och som samma ΑΔ, som i triangeln ΑΒΔ spänner upp vinkeln vid Β, är till ΔΓ, som i triangeln ΑΔΓ spänner upp ΔΑΓ - lika med vinkeln vid Β, dessutom som ΒΑ är till ΑΓ, vilka spänner upp de räta.Prop. 6.4 Alltså är triangeln ΑΒΔ likformig med triangeln ΑΔΓ.Prop. 6.1

Om alltså i en rätvinklig triangel från den räta vinkeln till basen en vinkelrät linje dragits, är trianglarna vid den vinkelräta likformiga med den hela och med varandra. Vilket skulle visas.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om i en rätvinklig triangel från den räta vinkeln till basen en vinkelrät linje dragits, är den dragna linjen medelproportionalen av basens delar. Vilket skulle visas och dessutom är mellan basen och en, vilkensom, av delarna sidan av triangeln vid delen medelproportionalen.

θʹ.

Τῆς δοθείσης εὐθείας τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.

9.

Att från en given rät linje ta bort en förutbestämd del.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τῆς ΑΒ τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.

Ἐπιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον. καὶ διήθχω τις ἀπὸ τοῦ Α εὐθεῖα ἡ ΑΓ γωνίαν περιέχουσα μετὰ τῆς ΑΒ τυχοῦσαν· καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ Δ, καὶ κείσθωσαν τῇ ΑΔ ἴσαι αἱ ΔΕ, ΕΓ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ.

Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΑ. διπλῆ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΑ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ· τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΑ τῆς ΑΖ.

Τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τὸ ἐπιταχθὲν τρίτον μέρος ἀφῄρηται τὸ ΑΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[10]

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen. Från ΑΒ skall en förutbestämd del tas bort.

Låt en tredje ha blivit förutbestämd. Låt ha dragit ut från Α någon rät linje ΑΓ som bildar en godtycklig vinkel med ΑΒ. Låt ha valt en godtycklig punkt Δ på ΑΓ samt sätt ΔΕ och ΕΓ lika med ΑΔ.Prop. 1.3 Låt ha förbundit ΒΓ och drag parallell med denna ΔΖ genom Δ.Prop. 1.31

Eftersom då ΖΔ dragits parallell med en av triangeln ΑΒΓ:s sidor ΒΓ, alltså proportionellt som ΓΔ är till ΔΑ, så är ΒΖ till ΖΑ.Prop. 6.2 ΓΔ är dubbla ΔΑ. Alltså är även ΒΖ dubbla ΖΑ. Alltså är ΒΑ trippla ΑΖ.

Alltså har från en given rät linje ΑΒ en angiven tredjedel ΑΖ tagits bort. Vilket skulle göras.

ιʹ.

Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃ τετμημένῃ ὁμοίως τεμεῖν.

10.

Att dela en given odelad rät linje på samma sätt som en given delad rät linje.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἅτμητος ἡ ΑΒ, ἡ δὲ τετμημένη ἡ ΑΓ κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθωσαν ὥστε γωνίαν τυχοῦσαν περιέχειν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ διὰ τῶν Δ, Ε τῇ ΒΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΗ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΘΚ.

Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΘ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΚΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΚΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΘΕ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΔ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΒΗ, ἡ δὲ ΘΔ τῇ ΗΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΗΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΕ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ.

Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ ΑΓ ὁμοίως τέτμηται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι·[11]

Låt ΑΒ vara den givna odelade räta linjen, ΑΓ den vid punkterna Α och Ε delade linjen och placerade så att en godtycklig vinkel bildas. Låt även ha förbundit ΓΒ, ha dragit ΔΖ och ΕΗ genom Δ och Ε parallella med ΒΓ samt ΔΘΚ genom Δ parallell med ΑΒ.Prop. 1.31

Sålunda är var och en av ΖΘ och ΘΒ en parallellogram och alltså är ΔΘ lika med ΖΗ och ΘΚ med ΗΒ.Prop. 1.34 Och eftersom den räta linjen ΘΕ dragits parallell med en av triangeln ΔΚΓ:s sidor ΚΓ, alltså proportionellt som ΓΕ är till ΕΔ, så är ΚΘ till ΘΔ.Prop. 6.2 Och ΚΘ är lika med ΒΗ, ΘΔ med ΗΖ. Alltså som ΓΕ är till ΕΔ, så är ΒΗ till ΗΖ. Åter, eftersom ΔΕ dragits parallell med en av triangeln ΑΗΕ:s ena sida ΗΕ, alltså proportionellt som ΕΔ är till ΔΑ, så är ΗΖ till ΖΑ.Prop. 6.2 Det har även visats att som ΓΕ är till ΕΔ, så är ΒΗ till ΗΖ. Alltså som ΓΕ är till ΕΔ, så är ΒΗ till ΗΖ och som ΕΔ är ΔΑ, så är ΗΖ till ΖΑ.

Alltså har den givna odelade räta linjen ΑΒ delats på samma sätt som den givna delade räta linjen ΑΓ. Vilket skulle göras.

ιαʹ.

Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν.

11.

Att från två givna räta linjer finna den tredje proportionalen.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΑΓ καὶ κείσθωσαν γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν. δεῖ δὴ τῶν ΒΑ, ΑΓ τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν. ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΕ.

Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΔΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΔΕ ἦκται ἡ ΒΓ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ.

Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΑΓ τρίτη ἀνάλογον αὐταῖς προσεύρηται ἡ ΓΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[12]

Låt ΒΑ och ΑΓ vara de två givna räta linjerna och placerade i en godtycklig vinkel. En tredje proportionell rät linje skall finnas. Ty låt ha dragit dessa två ut till punkterna Δ och Ε samt sätt ΒΔ lika med ΑΓProp. 1.3 Låt även ha förbundit ΒΓ och parallell med denna ha dragit ΔΕ genom Δ.Prop. 1.31

Eftersom då ΒΓ dragits parallell med en av triangeln ΑΔΕ:s sidor ΔΕ, alltså råder proportionalitet och som ΑΒ är till ΒΔ, så är ΑΓ till ΓΕ.Prop. 6.2 ΒΔ är då lika med ΑΓ. Alltså som ΑΒ är till ΑΓ, så är ΑΓ till ΓΕ.

Alltså har från de två givna räta linjerna ΒΑ och ΑΓ den tredje proportionalen ΓΕ funnits. Vilket skulle göras.

ιβʹ.

Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν.

12.

Att från tre givna räta linjer finna den fjärde proportionalen.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τετράτην ἀνάλογον προσευρεῖν.

Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ γωνίαν περιέχουςαι τυχοῦσαν τὴν ὑπὸ ΕΔΖ· καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΗ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΗΕ, καὶ ἔτι τῇ Γ ἴση ἡ ΔΘ· καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΗΘ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΕΖ.

Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔΕΖ παρὰ μίαν τὴν ΕΖ ἦκται ἡ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΖ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΗ τῇ Α, ἡ δὲ ΗΕ τῇ Β, ἡ δὲ ΔΘ τῇ Γ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν ΘΖ.

Τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Α, Β, Γ τετάρτη ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΘΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[13]

Låt Α, Β och Γ vara de tre givna räta linjerna, från Α, Β och Γ skall den fjärde proportionalen finnas.

Låt ha satt ut de två räta linjerna ΔΕ och ΔΖ i en godtycklig vinkel ΕΔΖ samt sätt ΔΗ lika med Α, ΗΕ lika med Β, dessutom ΔΘ lika med ΓProp. 1.3 och, sedan ΗΘ förbundits, drag ΕΖ parallell med denna genom Ε.Prop. 1.31

Eftersom ΗΘ dragits parallell med en av triangeln ΔΕΖ:s sidor ΕΖ, alltså som ΔΗ är till ΗΕ, så är ΔΘ till ΘΖ.Prop. 6.2 Och ΔΗ är lika med Α, ΗΕ med Β och ΔΘ med Γ. Alltså som Α är till Β, så är Γ till ΘΖ.

Alltså har från de tre räta linjerna Α, Β och Γ den fjärde proportionalen funnits ΘΖ. Vilket skulle göras.

ιγʹ.

Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.

13.

Att från två givna räta linjer finna den mellersta proportionalen.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.

Κείσθωσαν ἐπ᾿ εὐθείας, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ.

Ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ, ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΔΒ, ἡ ΔΒ ἄρα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν.

Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΔΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[14]

Låt ΑΒ och ΒΓ vara de två givna räta linjerna, från ΑΒ och ΒΓ skall den mellersta proportionalen finnas.

Låt ha satt dem i linje med varandra, ha ritat halvcirkeln ΑΔΓ på ΑΓ,Prop. 1.10 ha dragit ΒΔ från punkten Β i rät vinkel mot den räta linjen ΑΓProp. 1.11 och låt ha förbundit ΑΔ och ΔΓ.

Eftersom vinkeln ΑΔΓ ligger i en halvcirkel, är den rät.Prop. 3.31 Och eftersom ΔΒ dragits från den räta vinkeln vinkelrät mot basen i den rätvinkliga triangeln ΑΔΓ, alltså är ΔΒ mellersta proportionalen till basens delar ΑΒ och ΒΓ.Prop. 6.8 cor.

Alltså har från två givna räta linjer ΑΒ och ΒΓ den mellersta proportionalen ΔΒ funnits. Vilket skulle göras.

ιδʹ.

Τῶν ἴσων τε καὶ ἴσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.

14.

Lika stora och likvinkliga parallellogrammers sidor vid de lika vinklarna är omvänt proportionella och likvinkliga parallellogrammer med omvänt proportionella sidor vid de lika vinklarna är lika stora.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἴσα τε καὶ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσας ἔχοντα τὰς πρὸς τῷ Β γωνίας, καὶ κείσθωσαν ἐπ᾿ εὐθείας αἱ ΔΒ, ΒΕ· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΖΒ, ΒΗ. λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ.

Συμπεπληρώσθω γὰρ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΖΕ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, ὡς δὲ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.

Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.

Τῶν ἄρα ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[15]

Låt ΑΒ och ΒΓ vara de lika stora och likvinkliga parallellogrammerna, som har vinklarna vid Β lika samt lägg ΔΒ och ΒΕ i linje, alltså är även ΖΒ och ΒΗ i linje.Prop. 1.14 Jag säger, att ΑΒ:s och ΒΓ:s sidor vid de lika vinklarna är omvänt proportionella, att som ΔΒ är till ΒΕ, så är ΗΒ till ΒΖ.

Ty låt parallellogrammen ΖΕ ha fullbordats. Eftersom parallellogrammen ΑΒ är lika stor som parallellogrammen ΒΓ och ΖΕ en annan, alltså som ΑΒ är till ΖΕ, så är ΒΓ till ΖΕ.Prop. 5.7 Men som ΑΒ är till ΖΕ, så är ΔΒ till ΒΕ och som ΒΓ är till ΖΕ, så är ΗΒ till ΒΖ,Prop. 6.1 alltså, också, som ΔΒ är till ΒΕ, så är ΗΒ till ΒΖ. Alltså är parallellogrammerna ΑΒ:s och ΒΓ:s sidor vid de lika vinklarna omvänt proportionella.

Men som ΔΒ är till ΒΕ, låt så ΗΒ vara till ΒΖ. Jag säger, att parallellogrammen ΑΒ är lika stor som parallellogrammen ΒΓ.

Ty eftersom som ΔΒ är till ΒΕ, så är ΗΒ till ΒΖ, men som ΔΒ är till ΒΕ, så är parallellogrammen ΑΒ till parallellogrammen ΖΕ och som ΗΒ är till ΒΖ, så är parallellogrammen ΒΓ till parallellogrammen ΖΕ,Prop. 6.1 alltså, också, som ΑΒ är till ΖΕ, så är ΒΓ till ΖΕ.Prop. 5.11 Alltså är parallellogrammen ΑΒ lika stora som parallellogrammen ΒΓ.Prop. 5.9

Alltså är lika stora och likvinkliga parallellogrammers sidor vid de lika vinklarna omvänt proportionella och likvinkliga parallellogrammer med omvänt proportionella sidor vid de lika vinklarna är lika stora. Vilket skulle visas.

ιεʹ.

Τῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.

15.

Lika stora trianglar, som även har en lika stor vinkel, har sidorna vid de lika vinklarna omvänt proportionella och trianglar, som har en lika stor vinkel, där sidorna vid de lika vinklarna är omvänt proportionella, är lika stora.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΑΔΕ μίαν μιᾷ ἴσην ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΕ· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ.

Κείσθω γὰρ ὥστε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΑ τῇ ΑΔ· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ.

Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΒΑΔ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ΓΑΒ πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, ὡς δὲ τὸ ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ. τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.

Ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ.

Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσων ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΑΔ τριγώνῳ.

Τῶν ἄρα ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ ὧς μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἐκεῖνα ἴσα ἐστὶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[16]

Låt ΑΒΓ och ΑΔΕ vara lika stora trianglar, som har en lika stor vinkel ΒΑΓ och ΔΑΕ. Jag säger, att trianglarna ΑΒΓ:s och ΑΔΕ:s sidor vid de lika vinklarna är omvänt proportionella, det vill säga, att som ΓΑ är till ΑΔ, så är ΕΑ till ΑΒ.

Ty låt ΓΑ vara i linje med ΑΔ, alltså är även ΕΑ i linje med ΑΒ.Prop. 1.4 Låt ha förbundit ΒΔ.

Eftersom då triangeln ΑΒΓ är lika stor som triangeln ΑΔΕ och ΒΑΔ är en annan triangel, alltså som triangeln ΓΑΒ är till triangeln ΒΑΔ, så är triangeln ΕΑΔ till triangeln ΒΑΔ.Prop. 5.7 Men som ΓΑΒ är till ΒΑΔ, så är ΓΑ till ΑΔ och som ΕΑΔ är till ΒΑΔ, så är ΕΑ till ΑΒ.Prop. 6.1 Och alltså som ΓΑ är till ΑΔ, så är ΕΑ till ΑΒ. Alltså är trianglarna ΑΒΓ:s och ΑΔΕ:s sidor vid de lika vinklarna omvänt proportionella.

Men låt ΑΒΓ:s och ΑΔΕ:s sidor vara omvänt proportionella och låt ΓΑ vara till ΑΔ, som ΕΑ är till ΑΒ. Jag säger, att triangeln ΑΒΓ är lika stor som triangeln ΑΔΕ.

Ty sedan ΒΔ åter har förbundits och eftersom som ΓΑ är till ΑΔ, så är ΕΑ till ΑΒ, men som ΓΑ är till ΑΔ, så är triangeln ΑΒΓ till triangeln ΒΑΔ och som ΕΑ är till ΑΒ, som triangeln ΕΑΔ är till triangeln ΒΑΔ,Prop. 6.1 alltså som triangeln ΑΒΓ är till triangeln ΒΑΔ, så är triangeln ΕΑΔ till triangeln ΒΑΔ. Alltså har var och en av trianglarna ΑΒΓ och ΕΑΔ samma förhållande till ΒΑΔ. Alltså är triangeln ΑΒΓ lika stor som triangeln ΕΑΔ.

Alltså har lika stora trianglar, som även har en lika stor vinkel, sidorna vid de lika vinklarna omvänt proportionella och trianglar, som har en lika stor vinkel, där sidorna vid de lika vinklarna är omvänt proportionella, är lika stora. Vilket skulle visas.

ιϛʹ.

Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.

16.

Om fyra räta linjer är proportionella, är rektangeln omsluten av de yttre lika med rektangeln omsluten av de emellan och om rektangeln omsluten av de yttre är lika med rektangeln omsluten av de emellan, skall de fyra räta linjerna vara proportionella.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Α, Γ σημείων ταῖς ΑΒ, ΓΔ εὐθείαις πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΗ, ΓΘ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Ζ ἴση ἡ ΑΗ, τῇ δὲ Ε ἴση ἡ ΓΘ. καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΒΗ, ΔΘ παραλληλόγραμμα.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΓΘ, ἡ δὲ Ζ τῇ ΑΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ΒΗ, ΔΘ ἄρα παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας. ὧν δὲ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραί αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνάις, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΘ παραλληλογράμμῳ. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ· ἴση γὰρ ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ΔΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε· ἴση γὰρ ἡ Ε τῇ ΓΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογώνιῳ.

Ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἔστω τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. λέγω, ὅτι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε, καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ τὸ ΒΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε τὸ ΔΘ· ἴση γὰρ ἡ ΓΘ τῇ Ε· τὸ ἄρα ΒΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΘ. καί ἐστιν ἰσογώνια. τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΘ τῇ Ε, ἡ δὲ ΑΗ τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ.

Ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[17]

Låt ΑΒ, ΓΔ, Ε och Ζ vara fyra proportionella räta linjer, att som ΑΒ är till ΓΔ, så är Ε till Ζ. Jag säger, att rektangeln omsluten av ΑΒ och Ζ är lika med rektangeln omsluten av ΓΔ och Ε.

Låt ha dragit från punkterna Α och Γ de räta linjerna ΑΗ och ΓΘ vinkelräta mot ΑΒ och ΓΔ,Prop. 1.11 samt satt ΑΗ lika med Ζ, ΓΘ lika med Ε.Prop. 1.3 Låt även parallellogrammerna ΒΗ och ΔΘ ha fullbordats.

Och eftersom som ΑΒ är till ΓΔ, så är Ε till Ζ samt Ε är lika med ΓΘ och Ζ med ΑΗ, alltså som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΓΘ till ΑΗ. Alltså är sidorna kring de lika vinklarna i parallellogrammerna ΒΗ och ΔΘ omvänt proportionella. Av likvinkliga parallellogrammer är de, där sidorna kring de lika vinklarna är omvänt proportionella, lika.Prop. 6.14 alltså är parallellogrammen ΒΗ lika med parallellogrammen ΔΘ. Och rektangeln ΒΗ är rektangeln omsluten av ΑΒ och Ζ, ty ΑΗ är lika med Ζ och rektangeln ΔΘ är rektangeln omsluten av ΓΔ och Ε, ty Ε är lika med ΓΘ. Alltså är rektangeln omsluten av ΑΒ och Ζ lika med rektangeln omsluten av ΓΔ och Ε.

Men låt så rektangeln omsluten av ΑΒ och Ζ vara lika med rektangeln omsluten av ΓΔ och Ε. Jag säger, att de fyra räta linjerna skall vara proportionella, som ΑΒ är till ΓΔ, så är Ε till Ζ.

Ty med samma uppställning, eftersom rektangeln omsluten av ΑΒ och Ζ är lika med rektangeln omsluten av ΓΔ och Ε samt ΒΗ är rektangeln omsluten av ΑΒ och Ζ, ty ΑΗ är lika med Ζ. ΔΘ är rektangeln omsluten av ΓΔ och Ε, ty ΓΘ är lika med Ε. Alltså är ΒΗ lika med ΔΘ och de är likvinkliga. Av lika och likvinkliga parallellogrammer är sidorna kring de lika vinklarna omvänt proportionella.Prop. 6.14 Alltså som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΓΘ till ΑΗ. ΓΘ är lika med Ε, ΑΗ med Ζ. Alltså som ΑΒ är till ΓΔ, så är Ε till Ζ.

Om alltså fyra räta linjer är proportionella, är rektangeln omsluten av de yttre lika med rektangeln omsluten av de emellan och om rektangeln omsluten av de yttre är lika med rektangeln omsluten av de emellan, skall de fyra räta linjerna vara proportionella. Vilket skulle visas.

ιζʹ.

Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.

17.

Om tre räta linjer är proportionella, är rektangeln omsluten av de yttre lika med kvadraten på den emellan och om rektangeln omsluten av de yttre är lika med kvadraten på den emellan, skall de tre räta linjerna vara proportionella.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β τετραγώνῳ.

Κείσθω τῇ Β ἴση ἡ Δ.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Δ πρὸς τὴν Γ. ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ τὸ ἀπὸ τῆς Β ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β τετραγώνῳ.

Ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς Β· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς Β τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ. ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Γ. ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ· ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ.

Ἐὰν ἄρα τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[18]

Låt Α, Β och Γ vara tre proportionella räta linjer, att som Α är till Β, så är Β till Γ. Jag säger, att rektangeln omsluten av Α och Γ är lika med kvadraten på Β.

Låt ha satt Δ lika med Β.Prop. 1.3

Och eftersom som Α är till Β, så är Β till Γ och Β är lika med Δ, alltså som Α är till Β, så Δ till Γ. Om fyra räta linjer är proportionella, är rektangeln omsluten av de yttre lika med rektangeln omsluten av dem emellan.Prop. 6.16 Alltså är rektangeln omsluten av Α och Γ lika med rektangeln omsluten av Β och Δ. Men rektangeln omsluten av Β och Δ är lika med kvadraten på Β, ty Β är lika med Δ. Alltså är rektangeln omsluten av Α och Γ lika med kvadraten på Β.

Men låt så rektangeln omsluten av Α och Γ vara lika med kvadraten på Β. Jag säger, att som Α är till Β, så är Β till Γ.

Ty med samma uppställning, eftersom rektangeln omsluten av Α och Γ är lika med kvadraten på Β, men kvadraten på Β är lika med rektangeln omsluten av Β och Δ, ty Β är lika med Δ. Alltså är rektangeln omsluten av Α och Γ lika med rektangeln omsluten av Β och Δ. Om rektangeln omsluten av de yttre är lika med rektangeln omsluten av de emellan, är de fyra räta linjerna proportionella.Prop. 6.16 Alltså som Α är till Β, så är Δ till Γ. Men Β är lika med Δ. Alltså som Α är till Β, så är Β till Γ.

Om tre räta linjer är proportionella, är rektangeln omsluten av de yttre lika med kvadraten på den emellan och om rektangeln omsluten av de yttre är lika med kvadraten på den emellan, skall de tre räta linjerna vara proportionella. Vilket skulle visas.

ιηʹ.

Ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι.

18.

Att på en given rät linje upprita en rätlinjig figur, likformig med en given rätlinjig figur och lika ställd.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΓΕ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Α, Β τῇ μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΔ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΓΔ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ, καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ. πάλιν συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Β, Η τῇ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΘ, τῇ δὲ ὑπὸ ΖΔΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΒΘ. λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Ε λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Θ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΔΕ τρίγωνον τῷ ΗΘΒ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἥ τε ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ καὶ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΘΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΗΘ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΕ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΘ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ μὲν πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Α ἴση, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ε τῇ πρὸς τῷ Θ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ τῷ ΓΕ· καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας αὐτῶν πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ εὐθύγραμμον τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ.

Ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΓΕ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγέγραπται τὸ ΑΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[19]

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen och ΓΕ den givna rätlinjiga figuren. På den räta linjen ΑΒ skall en, med den rätlinjiga figuren ΓΕ likformig och lika ställd, rätlinjig figur uppritas.

Låt ha förbundit ΔΖ och mot den räta linjen ΑΒ och vid punkterna Α och Β på denna ha rest ΗΑΒ lika med vinkeln vid Γ samt ΑΒΗ lika med ΓΔΖ.Prop. 1.23 Alltså är resterande vinkel ΓΖΔ lika med ΑΗΒ.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΖΓΔ likvinklig med triangeln ΗΑΒ. Och alltså proportionellt som ΖΔ är till ΗΒ, så är ΖΓ till ΗΑ och ΓΔ till ΑΒ.Prop. 6.4 Låt åter mot den räta linjen ΒΗ och vid punkterna Β och Η på denna ha rest ΒΗΘ lika med vinkeln ΔΖΕ samt ΖΔΕ lika med ΗΒΘ.Prop. 1.23 Alltså är resterande vinkeln Ε lika med den resterande vinkeln vid Θ.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΖΔΕ likvinklig med triangeln ΗΘΒ. Och alltså proportionellt som ΖΔ är till ΗΒ, så är ΖΕ till ΗΘ och ΕΔ till ΘΒ.Prop. 6.4 Det har även visats att som ΖΔ är till ΗΒ, så är ΖΓ till ΗΑ och ΓΔ till ΑΒ. Och alltså som ΖΓ är till ΑΗ, så är ΓΔ till ΑΒ och ΖΕ till ΗΘ samt dessutom ΕΑ till ΘΒ. Och eftersom vinkeln ΓΖΔ är lika med vinkeln ΑΗΒ och ΔΖΕ med ΒΗΘ, är alltså hela ΓΖΕ lika med hela ΑΗΘ. Av samma skäl bör även ΓΔΕ vara lika med ΑΒΘ. Även vinkeln vid Γ är lika med vinkeln vid Α, den vid Ε med den vid Θ. Alltså är ΑΘ likvinklig med ΓΕ och har sina sidorna vid de lika vinklarna proportionella. Alltså är den rätlinjiga figuren ΑΘ och den rätlinjiga figuren ΓΕ likformiga.Def. 6.1

Alltså har på den givna räta linjen ΑΒ en rätlinjig figur ΑΘ uppritas, likformig med den givna rätlinjig figuren ΓΕ och lika ställd. Vilket skulle göras.

ιθʹ.

Τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.

19.

Likformiga trianglar har ett duplicerat förhållande till varandra än de homologa sidornas.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἴσην ἔχοντα τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν τῇ πρὸς τῷ Ε, ὡς δὲ τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὥστε ὁμόλογον εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ, ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΗ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΒΗ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ.

Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἐστιν ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ· τῶν ΑΒΗ, ΔΕΖ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνάις. ὧν δὲ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνάις, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΗ, ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν δευτέραν, ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΕΖ. ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον· καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.

Τὰ ἄρα ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον ἐπείπερ ἐδείχθη, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον, τουτέστι τὸ ΔΕΖ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[20]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara likformiga trianglar som har vinkeln vid Β är lika med Ε och som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΔΕ till ΕΖ, så att ΒΓ är homolog med ΕΖ. Jag säger, att triangeln ΑΒΓ har ett duplicerat förhållande till triangeln ΔΕΖ än det ΒΓ har till ΕΖ.

Ty låt ha valt ΒΓ:s och ΕΖ:s tredje proportional ΒΗ, så ΒΓ är till ΕΖ, som är ΕΖ till ΒΗProp. 6.11 och låt ha förbundit ΑΗ.

Eftersom då som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΔΕ till ΕΖ, alltså är, alternerat, som ΑΒ till ΔΕ, så ΒΓ till ΕΖ.Prop. 5.16 Men som ΒΓ är till, så är ΕΖ till ΒΗ. Och alltså som ΑΒ är till ΔΕ, så är ΕΖ till ΒΗ. Alltså är trianglarna ΑΒΗ:s och ΔΕΖ:s sidor vid de lika vinklarna omvänt proportionella. Trianglar, som har en lika stor vinkel, där sidorna vid de lika vinklarna är omvänt proportionella, är lika stora.Prop. 6.15 Alltså är triangeln ΑΒΗ lika med triangeln ΔΕΖ. Och eftersom som ΒΓ är till ΕΖ, så är ΕΖ till ΒΗ samt om tre räta linjer är proportionella, har den första ett dubbelt förhållande till den tredje än till den andra,Def. 5.9 Alltså har ΒΓ ett duplicerat förhållande till ΒΗ än ΓΒ till ΕΖ. Som ΓΒ är till ΒΗ, så är triangeln ΑΒΓ till triangeln ΑΒΗProp. 6.1 och alltså har triangeln ΑΒΓ ett duplicerat förhållande till ΑΒΗ än det ΒΓ har till ΕΖ. Men triangeln ΑΒΗ är lika med triangeln ΔΕΖ och alltså har triangeln ΑΒΓ ett duplicerat förhållande till triangeln ΔΕΖ än det ΒΓ har till ΕΖ.

Likformiga trianglar har alltså ett duplicerat förhållande till varandra än de homologa sidornas. Vilket skulle visas.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att, om tre räta linjer är proportionella, är den första till den tredje, som bilden av den första till den likformiga och på samma sätt uppritade av den andra eftersom det har visats, att som ΓΒ är till ΒΗ, så är triangeln ΑΒΓ till triangeln ΑΒΗ, det vill säga ΔΕΖ. Vilket skulle visas.

κʹ.

Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.

20.

Likformiga polygoner kan delas i likformiga trianglar, i lika stort antal och korresponderande med de hela samt en polygon har till en polygon ett duplicerat förhållande än en korresponderande sida till en korresponderande sida.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ.

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΓ, ΗΛ, ΛΘ.

Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΛ. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΕ, ΖΗΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΛ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΗΘ ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΗΘ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΕ, ΖΗΛ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς ΗΖ, ἀλλὰ μὴν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς ΗΘ, καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνάις τὰς ὑπὸ ΕΒΓ, ΛΗΘ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνω. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΓΔ τρίγωνον ὅμοιόν ἐστι τῷ ΛΘΚ τριγώνῳ. τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διῄρηται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος.

Λέγω, ὅτι καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, τουτέστιν ὥστε ἀνάλογον εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ ἡγούμενα μὲν εἶναι τὰ ΑΒΕ, ΕΒΓ, ΕΓΔ, ἑπόμενα δὲ αὐτῶν τὰ ΖΗΛ, ΛΗΘ, ΛΘΚ, καὶ ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΝ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ τῇ ὑπὸ ΖΗΝ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ. ὁμοίως δὴ δεῖξομεν, ὅτι καὶ τὸ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΗΝΘ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς μὲν ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΗ, ὡς δὲ ἡ ΒΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΗΝ πρὸς ΝΘ· ὥστε καὶ δι᾿ ἴσου, ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ. ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΜ τρίγωνον πρὸς τὸ ΜΒΓ, καὶ τὸ ΑΜΕ πρὸς τὸ ΕΜΓ· πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις. καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπόμενων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὡς ἄρα τὸ ΑΜΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ΓΒΕ. αλλ᾿ ὡς τὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΓ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον. ὁμοίως δὴ δείξομεν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΒΔ, ΗΚ, ὅτι καὶ ὡς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΗΘ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΘΚ τρίγωνον. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΒΓ πρὸς τὸ ΛΗΘ, καὶ ἔτι τὸ ΕΓΔ πρὸς τὸ ΛΘΚ, καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον. ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν· τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ ἄρα πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν.

Τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Πόρισμα.

Ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ὁμοίων τετραπλεύρων δειχθήσεται, ὅτι ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων· ὥστε καὶ καθόλου τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

[Πόρισμα βʹ.

Καὶ ἐὰν τῶν ΑΒ, ΖΗ τρίτην ἀνάλογον λάβωμεν τὴν Ξ, ἡ ΒΑ πρὸς τὴν Ξ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ. ἔχει δὲ καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον ἢ τὸ τετράπλευρον πρὸς τὸ τετράπλευρον διπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ· ἐδείχθη δὲ τοῦτο καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων· ὥστε καὶ χαθόλου φανερόν, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὸ ἀπὸ τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.][21]

Låt ΑΒΓΔΕ och ΖΗΘΚΛ vara likformiga polygoner och låt ΑΒ vara korresponderande med ΖΗ. Jag säger, att polygonerna ΑΒΓΔΕ och ΖΗΘΚΛ delas i likformiga trianglar, i lika stort antal och korresponderande med de hela samt att polygonen ΑΒΓΔΕ har till polygonen ΖΗΘΚΛ ett duplicerat förhållande än ΑΒ till ΖΗ.

Låt ha förbundit ΒΕ, ΕΓ, ΗΛ och ΛΘ.

Och eftersom polygonen ΑΒΓΔΕ är likformig med polygonen ΖΗΘΚΛ, är vinkeln ΒΑΕ lika med ΗΖΛ. Och som ΒΑ är till ΑΕ, så är ΗΖ till ΖΛ.Def. 6.1 Eftersom ΑΒΕ och ΖΗΛ är två trianglar som har en vinkel lika med en vinkel och sidorna vid de lika vinklarna är proportionella, är alltså triangeln ΑΒΕ likvinklig med triangeln ΖΗΛProp. 6.6 och även likformiga.Prop. 6.4 Def. 6.1 Alltså är vinkeln ΑΒΕ lika med ΖΗΛ. Även hela ΑΒΓ är lika med hela ΖΗΘ på grund av polygonernas likformighet. Alltså är resterande vinkeln ΕΒΓ lika med vinkeln ΛΗΘ. Och då, på grund av trianglarna ΑΒΕ:s och ΖΗΛ:s likformighet, som är ΕΒ till ΒΑ, så är ΛΗ till ΗΖ, men också, på grund av polygonernas likformighet, som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΖΗ till ΗΘ, alltså är ex aequali som ΕΒ till ΒΓ, så är ΛΗ till ΗΘProp. 5.22 och sidorna vid de lika vinklarna ΕΒΓ och ΛΗΘ är proportionella. Alltså är triangeln ΕΒΓ likvinklig med triangeln ΛΗΘ. På samma sätt är även triangeln ΕΒΓ likformig med triangeln ΛΗΘ.Prop. 6.6 Av samma skäl bör även triangeln ΕΓΔ vara likformig med triangeln ΛΘΚ.Prop. 6.4 Def. 6.1 Alltså har de likformiga polygonerna ΑΒΓΔΕ och ΖΗΘΚΛ delats i likformiga trianglar och i lika stort antal.

Jag säger, att trianglarna även är korresponderande med de hela, det vill säga är proportionella och ΑΒΕ, ΕΒΓ och ΕΓΔ är de föregående samt ΖΗΛ, ΛΗΘ och ΛΘΚ deras efterföljande, och att polygonen ΑΒΓΔΕ har ett duplicerat förhållande till polygonen ΖΗΘΚΛ än den korresponderande sidan till den korresponderande sidan, det vill säga som ΑΒ till ΖΗ.

Ty låt ha förbundit ΑΓ och ΖΘ. Och då, på grund av polygonernas likformighet, är vinkeln ΑΒΓ lika med ΖΗΘ, som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΖΗ till ΗΘ och triangeln ΑΒΓ är likvinklig med triangeln ΖΗΘ.Prop. 6.6 Alltså är vinkeln ΒΑΓ lika med ΗΖΘ och ΒΓΑ med ΗΘΖ. Och eftersom vinkeln ΒΑΜ är lika med ΗΖΝ, är också ΑΒΜ lika med ΖΗΝ och alltså är resterande vinkeln ΑΜΒ lika med resterande vinkeln ΖΝΗ.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΑΒΜ likvinklig med triangeln ΖΗΝ. På samma sätt skall vi visa, att också triangeln ΒΜΓ är likvinklig med triangeln ΗΝΘ. Alltså proportionellt som ΑΜ är till ΜΒ, så är ΖΝ till ΝΗ, som ΒΜ är till ΜΓ, så är ΗΝ till ΝΘ.Prop. 6.4. På samma sätt, ex aequali, som ΑΜ är till ΜΓ, så är ΖΝ till ΝΘ.Prop. 5.22 Men som ΑΜ är till ΜΓ, så är triangeln ΑΒΜ till ΜΒΓ och ΑΜΕ till ΕΜΓ. Ty de är till varandra som baserna.Prop. 6.1 Och alltså som en av de föregående är till en av de efterföljande, så är alla de föregående är till alla de efterföljande.Prop. 5.12 Alltså som triangeln ΑΜΒ är till ΒΜΓ, så är ΑΒΕ till ΓΒΕ. Men som ΑΜΒ är till ΒΜΓ, så är ΑΜ till ΜΓ och alltså som ΑΜ är till ΜΓ, så är triangeln ΑΒΕ till triangeln ΕΒΓ. Av samma skäl bör också som ΖΝ är till ΝΘ, så är triangeln ΖΗΛ till triangeln ΗΛΘ. Och som ΑΜ är till ΜΓ, så är ΖΝ till ΝΘ. Och alltså som triangeln ΑΒΕ är till triangeln ΒΕΓ, så är triangeln ΖΗΛ till triangeln ΗΛΘ och, alternerat, som triangeln ΑΒΕ är till triangeln ΖΗΛ, så är triangeln ΒΕΓ till triangeln ΗΛΘ.Prop. 5.16 På samma sätt skall vi visa, sedan ΒΔ och ΗΚ förbundits, att även som triangeln ΒΕΓ är till triangeln ΛΗΘ, så är ΕΓΔ till triangeln ΛΘΚ. Och då som triangeln ΑΒΕ är till triangeln ΖΗΛ, så är ΕΒΓ till ΛΗΘ och dessutom ΕΓΔ till ΛΘΚ och alltså som en av de föregående till en av de efterföljande, så alla föregående till alla efterföljande.Prop. 5.12 Alltså som triangeln ΑΒΕ är till triangeln ΖΗΛ, så är polygonen ΑΒΓΔΕ till polygonen ΖΗΘΚΛ. Men då triangeln ΑΒΕ har till triangeln ΖΗΛ ett duplicerat förhållande än den korresponderande sidan ΑΒ till den korresponderande sidan ΖΗ, ty likformiga trianglar har ett duplicerat förhållande än korresponderande sidor.Prop. 6.14 Och alltså har polygonen ΑΒΓΔΕ till polygonen ΖΗΘΚΛ ett duplicerat förhållande än korresponderande sidan ΑΒ till korresponderande sidan ΖΗ.

Likformiga polygoner kan alltså delas i likformiga trianglar, i lika stort antal och korresponderande med de hela samt en polygon har till en polygon ett duplicerat förhållande än en korresponderande sida till en korresponderande sida Vilket skulle visas.

Följdsats.

På samma sätt kan det också för likformiga fyrsidingar visas, att de är i korresponderande sidors duplicerade förhållande. Det har även visats för trianglar. På samma sätt är generellt likformiga rätlinjiga figurer till varandra i korresponderande sidors duplicerade förhållande. Vilket skulle visas.

[Följdsats 2.

Om man tar tredje proportionalen Ξ till ΑΒ och ΖΗ, har ΒΑ till Ξ ett duplicerat förhållande än ΑΒ till ΖΗ. Men även en polygon till en polygon och en fyrsiding till en fyrsiding har ett duplicerat förhållande än en korresponderande sida till en korresponderande sida, det vill säga ΑΒ till ΖΗ. Detta har också visats för trianglar. På samma sätt generellt uppenbart, att, om tre räta linjer är proportionella, skall den första vara till den tredje, som figuren på den första till den på den andra likformiga och på samma sätt uppritade.]

καʹ.

Τὰ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια.

21.

Rätlinjiga figurer likformiga med samma rätlinjiga figur är också likformiga med varandra.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β εὐθυγράμμων τῷ Γ ὅμοιον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστιν ὅμοιον.

Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, ἰσογώνιόν τέ ἐστιν αὐτῷ καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει. πάλιν, ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ, ἰσογώνιόν τέ ἐστιν αὐτῷ καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει. ἑκάτερον ἄρα τῶν Α, Β τῷ Γ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει ὥστε καὶ τὸ Α τῷ Β ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[22]

Ty låt var och en av de rätlinjiga figurerna Α och Β vara likformiga med Γ. Jag säger, att också Α är likformig med Β.

Ty eftersom Α är likformig med Γ, är den likvinklig med den och har sidorna vid de lika vinklarna proportionella.Def. 6.1 Igen, eftersom Β är likformig med Γ, är den likvinklig med den och har sidorna vid de lika vinklarna proportionella.Def. 6.1 Alltså är var och en av Α och Β likvinklig med Γ och har sidorna vid de lika vinklarna proportionella just som Α är likvinklig med Β och har sidorna vid de lika vinklarna proportionella. Alltså är Α likformig med Β.Def. 6.1 Vilket skulle visas.

κβʹ.

Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται· κἂν τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐτὰι αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.

22.

Om fyra räta linjer är proportionella skall både de rätlinjiga figurerna på dem vara likformiga och lika ställda vara proportionella. Och om de likformiga och lika ställda rätlinjiga figurerna på dem är proportionella, skall även de räta linjerna själva vara proportionella.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΜΖ, ΝΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ξ, τῶν δὲ ΕΖ, ΗΘ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ὡς δὲ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν Ο, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ο. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως καὶ τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Ο, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.

Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶ καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. εἰ γὰρ μή ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΠΡ ὁποτέρῳ τῶν ΜΖ, ΝΘ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΣΡ.

Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΠΡ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΜΖ, ΣΡ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ. τὸ ΜΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΝΘ, ΣΡ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΘ τῷ ΣΡ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον· ἴση ἄρα ἡ ΗΘ τῇ ΠΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.

Ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται· κἂν τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐτὰι αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

[Λῆμμα.

Ὅτι δέ, ἐὰν εὐθύγραμμα ἴσα ᾖ καὶ ὅμοια, αἱ ὁμόλογοι αὐτῶν πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, δείξομεν οὕτως.

Ἔστω ἴσα καὶ ὅμοια εὐθύγραμμα τὰ ΝΘ, ΣΡ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΝ, οὕτως ἡ ΡΠ πρὸς τὴν ΠΣ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΡΠ τῇ ΘΗ.

Εἰ γὰρ ἄνισοί εἰσιν, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΡΠ τῆς ΘΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΡΠ πρὸς ΠΣ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΝ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΡΠ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἡ ΠΣ πρὸς τὴν ΗΝ, μείζων δὲ ἡ ΠΡ τῆς ΘΗ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΠΣ τῆς ΗΝ· ὥστε καὶ τὸ ΡΣ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΘΝ. ἀλλὰ καὶ ἴσον· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ· ἴση ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.][23]

Låt ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ och ΗΘ vara fyra proportionella räta linjer, som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΗΘ, och låt ritat på ΑΒ och ΓΔ likformiga och lika ställda de rätlinjiga figurerna ΚΑΒ och ΛΓΔ samt på ΕΖ och ΗΘ de likformiga och lika ställda de rätlinjiga figurerna ΜΖ och ΝΘ. Jag säger, att som ΚΑΒ är till ΛΓΔ, så är ΜΖ till ΝΘ.

Ty låt ha tagit ΑΒ:s och ΓΔ:s tredje proportional Ξ samt ΕΖ:s och ΗΘ:s tredje proportional Ο. Och då som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΗΘ, som ΓΔ är till Ξ, så är ΗΘ till Ο och alltså ex aequali som ΑΒ är till Ξ, så är ΕΖ till Ο.Prop. 5.22 Men som ΑΒ är till Ξ, så är också ΚΑΒ till ΛΓΔ, som ΕΖ är till Ο, så är ΜΖ till ΝΘ.Prop. 5.19 cor. Och alltså som ΚΑΒ är till ΛΓΔ, så är ΜΖ till ΝΘ.

Men låt som ΚΑΒ är till ΛΓΔ, så ΜΖ vara till ΝΘ. Jag säger, att också som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΗΘ. Ty om som ΑΒ är till ΓΔ, så ΕΖ inte är till ΗΘ, låt som ΑΒ är till ΓΔ, så ΕΖ vara till ΠΡ,Prop. 6.12 och låt ha uppritat den rätlinjiga figuren ΣΡ, likformig och lika ställd med vilkendera av ΜΖ och ΝΘ, på ΠΡ.Prop. 6.18 Prop. 6.21

Eftersom då som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΠΡ, de rätlinjiga figurerna ΚΑΒ och ΛΓΔ har uppritats, likformiga och lika ställda, på ΑΒ och ΓΔ samt de rätlinjiga figurerna ΜΖ och ΣΡ, likformiga och lika ställda, på ΕΖ och ΠΡ, alltså som ΚΑΒ är till ΛΓΔ, så är ΜΖ till ΣΡ. Det har även antagits, att som ΚΑΒ är till ΛΓΔ, så är ΜΖ till ΝΘ, och alltså som ΜΖ är till ΣΡ, så är ΜΖ till ΝΘ.Prop. 5.11 Alltså har ΜΖ till var och en av ΝΘ och ΣΡ samma förhållande, alltså är ΝΘ lika med ΣΡ.Prop. 5.9 Och är även likformig och lika ställda med denna, alltså är ΗΘ lika med ΠΡ. Och så som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΠΡ, och ΠΡ är lika med ΗΘ, alltså som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΗΘ.

Om alltså fyra räta linjer är proportionella skall både de rätlinjiga figurerna på dem vara likformiga och lika ställda vara proportionella. Och om de likformiga och lika ställda rätlinjiga figurerna på dem är proportionella, skall även de räta linjerna själva vara proportionella. Vilket skulle visas.

[Hjälpsats.

Att, om lika stora rätlinjiga figurer även är likformiga, är deras korresponderande sidor lika med varandra, vi skall visa på följande sätt.

Låt ΝΘ och ΣΡ vara lika stora rätlinjiga figurer och låt som ΘΗ är till ΗΝ, så ΡΠ vara till ΠΣ. Jag säger, att ΡΠ är lika med ΘΗ.

Ty om de är olika, en av dem är större. Låt ΡΠ vara större än ΘΗ. Och då som ΡΠ är till ΠΣ, så är ΘΗ till ΗΝ, och, alternerat, som ΡΠ är till ΘΗ, så är ΠΣ till ΗΝ, men ΠΡ är större än ΘΗ, alltså är även ΠΣ större än ΗΝ, så att även ΡΣ är större än ΘΝ. Men också lika stor, vilket är omöjligt. Alltså är ΠΡ inte olika stor som ΗΘ, utan lika stor. Vilket skulle visas.]

κγʹ.

Τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.

23.

Likvinkliga parallellogrammer har ett förhållande till varandra komponerat av sidornas förhållanden.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΓ, ΓΖ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΗ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.

Κείσθω γὰρ ὥστε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΓΗ· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ Κ, καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν Μ.

Οἱ ἄρα λόγοι τῆς τε Κ πρὸς τὴν Λ καὶ τῆς Λ πρὸς τὴν Μ οἱ αὐτοί εἰσι τοῖς λόγοις τῶν πλευρῶν, τῆς τε ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ καὶ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἀλλ᾿ ὁ τῆς Κ πρὸς Μ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Κ πρὸς Λ λόγου καὶ τοῦ τῆς Λ πρὸς Μ· ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΘ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, καὶ ὡς ἄρα ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΘ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, καὶ ὡς ἄρα ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς μὲν ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Κ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον. ἡ δὲ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.

Τὰ ἄρα ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[24]

Låt ΑΓ och ΓΖ vara likvinkliga parallellogrammer som vinkeln ΒΓΔ lika med ΕΓΗ. Jag säger, att parallellogrammen ΑΓ ΓΖ har ett förhållande till parallellogrammen ΓΖ komponerat av sidornas.

Ty sätt ΒΓ så att den är i linje med ΓΗ. Alltså är även ΔΓ i linje med ΓΕ.Prop. 1.14 Och låt parallellogrammen ΔΗ ha fullbordats drag även ut en rät linje Κ och låt den vara att som ΒΓ är till ΓΗ, så är Κ till Λ, och som ΔΓ är till ΓΕ, så är Λ till Μ.Prop. 6.12

Alltså är förhållandena Κ:s till Λ och Λ:s till Μ desamma med sidornas förhållanden, ΒΓ:s till ΓΗ och ΔΓ:s till ΓΕ. Men Κ:s förhållande till Μ sätts samman av Κ:s förhållande till Λ och Λ:s till Μ, så att också Κ har ett förhållande till Μ komponerat av sidornas. Och då som ΒΓ är till ΓΗ, så är parallellogrammen ΑΓ till ΓΘ,Prop. 6.1 Men som ΒΓ är till ΓΗ, så är Κ till Λ, och alltså som Κ är till Λ, så är ΑΓ till ΓΘ. Igen, då som ΔΓ är till ΓΕ, så är parallellogrammen ΓΘ till ΓΖ,Prop. 6.1 men som ΔΓ är till ΓΕ, så är Λ till Μ, och alltså som Λ är till Μ, så är parallellogrammen ΓΘ till parallellogrammen ΓΖ. Eftersom det har visats, att som Κ alltså är till Λ, så är parallellogrammen ΑΓ till parallellogrammen ΓΘ, och som Λ är till Μ, så är parallellogrammen ΓΘ till parallellogrammen ΓΖ, alltså, ex aequali, som Κ är till Μ, så är ΑΓ till parallellogrammen ΓΖ.Prop. 5.22 Så Κ har ett förhållande till Μ komponerat av sidornas och alltså har ΑΓ ett förhållande till ΓΖ komponerat av sidornas.

Likvinkliga parallellogrammer har alltså ett förhållande till varandra komponerat av sidornas. Vilket skulle visas.

κδʹ.

Παντὸς παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.

24.

I alla parallellogrammer är parallellogrammerna vid diagonalen likformiga med den hela och med varandra.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα ἔστω τὰ ΕΗ, ΘΚ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων ὅμοιόν ἐστι ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοις.

Ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ΕΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ. πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΓΔ παρὰ μίαν τὴν ΓΔ ἦκται ἡ ΖΗ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ. ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἐδείχθη καὶ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς ΑΗ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν κοινὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΖ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΑ· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τῶν ΑΔΓ, ΑΗΖ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΓΒ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΑΖΕ τριγώνῳ, καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἰσογώνιόν ἐστιν. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, καὶ ἔτι ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ. τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλογράμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τῷ ΚΘ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλληλογράμμων τῷ ΑΒΓΔ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια· καὶ τὸ ΕΗ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν.

Παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[25]

Låt ΑΒΓΔ vara parallellogrammen, ΑΓ dess diagonal och låt ΕΗ och ΘΚ vara parallellogrammerna vid ΑΓ. Jag säger, att var och en av parallellogrammerna ΕΗ och ΘΚ är likformiga med hela ΑΒΓΔ och med varandra.

Ty eftersom ΕΖ dragits parallell med en av triangeln ΑΒΓ:s sidor ΒΓ, råder proportionalitet och som ΒΕ är till ΕΑ, så är ΓΖ till ΖΑ.Prop. 6.2 Åter eftersom ΖΗ dragits parallell med en av triangeln ΑΓΔ:s sidor ΓΔ, råder proportionalitet och som ΓΖ är till ΖΑ, så är ΔΗ till ΗΑ.Prop. 6.2 Men som ΓΖ är till ΖΑ, så har även ΒΕ visats vara till ΕΑ. Och alltså som ΒΕ är till ΕΑ, så är ΔΗ till ΗΑ, och alltså, genom komposition, som ΒΑ är till ΑΕ, så är ΔΑ till ΑΗ,Prop. 5.18 och, alternerat, som ΒΑ är till ΑΔ, så är ΕΑ till ΑΗ.Prop. 5.16 Alltså är parallellogrammerna ΑΒΓΔ:s och ΕΗ:s sidor vid den gemensamma vinkeln ΒΑΔ proportionella. Och eftersom ΗΖ är parallell med ΔΓ, är vinkeln ΑΖΗ lika med ΔΓΑ.Prop. 1.29 Och vinkeln ΔΑΓ är gemensam för trianglarna ΑΔΓ och ΑΗΖ, alltså är triangeln ΑΔΓ likvinklig med triangeln ΑΗΖ.Prop. 1.32 Av samma skäl är också triangeln ΑΓΒ vara likvinklig med triangeln ΑΖΕ och hela parallellogrammen ΑΒΓΔ är likvinklig med parallellogrammen ΕΗ. Alltså proportionellt som ΑΔ är till ΔΓ, så är ΑΗ till ΗΖ, som ΔΓ är till ΓΑ, så är ΗΖ ΖΑ, som ΑΓ är till ΓΒ, så är ΑΖ till ΖΕ, och dessutom som ΓΒ är till ΒΑ, så är ΖΕ till ΕΑ.Prop. 6.4 Och då som ΔΓ visats vara till ΓΑ, så är ΗΖ till ΖΑ, som ΑΓ är till ΓΒ, så är ΑΖ till ΖΕ, alltså, ex aequali, som ΔΓ är till ΓΒ, så är ΗΖ till ΖΕ.Prop. 5.22 Alltså är parallellogrammerna ΑΒΓΔ:s och ΕΗ:s sidor vid de gemensamma vinklarna proportionella. Alltså är parallellogrammen ΑΒΓΔ är likformig med parallellogrammen ΕΗ.Def. 6.1 Av samma skäl bör parallellogrammen ΑΒΓΔ var likformig med parallellogrammen ΚΘ. Alltså är var och en av parallellogrammerna ΕΗ och ΘΚ likformig med parallellogrammen ΑΒΓΔ. De som är lika med samma rätlinjiga figur är också likformiga med varandra.Prop. 6.21 Och alltså är parallellogrammen ΕΗ likformig med parallellogrammen ΚΘ.

Alltså är i alla parallellogrammer parallellogrammerna vid diagonalen likformiga med den hela och med varandra. Vilket skulle visas.

κεʹ.

Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι.

25.

Att likformig med en given rätlinjig figur och lika stor som en annan given rätlinjig figur uppställa en likadan.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ὅμοιον συστήσασθαι, τὸ ΑΒΓ, ᾧ δὲ δεῖ ἴσον, τὸ Δ· δεῖ δὴ τῷ μὲν ΑΒΓ ὅμοιον, τῷ δὲ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι.

Παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ μὲν τὴν ΒΓ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕ, παρὰ δὲ τὴν ΓΕ τῷ Δ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΓΕ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒΛ. ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΛΕ τῇ ΕΜ. καὶ εἰλήφθω τῶν ΒΓ, ΓΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΗΘ τῷ ΑΒΓ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΚΗΘ.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΓΖ, ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον· ἐναλλὰξ ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ ΚΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον. ἴσον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΕ παραλληλογράμμῳ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον τῷ ΕΖ παραλληλογράμμῳ. ἀλλὰ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον τῷ Δ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΚΗΘ ἄρα τῷ Δ ἐστιν ἴσον. ἔστι δὲ τὸ ΚΗΘ καὶ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον.

Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι τῷ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συνέσταται τὸ ΚΗΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[26]

Låt ΑΒΓ vara den givna rätlinjiga figuren, till vilken en likformig skall uppställas och Δ, med vilken den skall vara lika stor som. Med ΑΒΓ likformig och lika stor som Δ skall detsamma uppställas.

Ty låt ha applicerat parallellogrammen ΒΕ på ΒΓ och lika stor som triangeln ΑΒΓProp. 1.44 samt parallellogrammen ΓΜ på ΓΕ i vinkeln ΖΓΕ, lika med ΓΒΛ.Prop. 1.45 Alltså är ΒΓ i linje med ΓΖ och ΛΕ med ΕΜ.Prop. 1.14 Låt även ha tagit medelproportionalen ΗΘ av ΒΓ och ΓΖ samt låt ha uppritat ΚΗΘ på ΗΘ, likformig och lika ställd med ΑΒΓ.Prop. 6.18

Och då som ΒΓ är till ΗΘ, så är ΗΘ till ΓΖ, om tre räta linjer är proportionella, är som den första till den tredje, den figuren på den första till den likformiga och lika stora uppritade på den andra.Prop. 6.19 cor. Alltså som ΒΓ är till ΓΖ, så är triangeln ΑΒΓ till triangeln ΚΗΘ. Men som ΒΓ är till ΓΖ, så är parallellogrammen ΒΕ till parallellogrammen ΕΖ.Prop. 6.1 Och alltså som triangeln ΑΒΓ är till triangeln ΚΗΘ, så är parallellogrammen ΒΕ till parallellogrammen ΕΖ. Alltså, alternerat, som triangeln ΑΒΓ är till parallellogrammen ΒΕ, så är triangeln ΚΗΘ till parallellogrammen ΕΖProp. 5.16 och triangeln ΑΒΓ är lika med parallellogrammen ΒΕ. Alltså är även triangeln ΚΗΘ lika med parallellogrammen ΕΖ. Men parallellogrammen ΕΖ är lika med Δ och alltså är ΚΗΘ lika med Δ. Och ΚΗΘ är likformig med ΑΒΓ.

Alltså är, likformig med den givna rätlinjiga figuren ΑΒΓ och lika stor som den givna rätlinjiga figuren Δ, en likadan ΚΗΘ uppställd. Vilket skulle göras.

κϛʹ.

Ἐὰν ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ.

26.

Om från en parallellogram en parallellogram dras, likformig med hela, lika ställd och som har en gemensam vinkel med den, ligger den på samma diagonal som den hela.

Objects are not supported by your browser!

Ἀπὸ γὰρ παραλληλογράμμου τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ἀφῃρήσθω τὸ ΑΖ ὅμοιον τῷ ΑΒΓΔ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΔΑΒ· λέγω, ὅτι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΑΘΓ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΗΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλος ἡ ΘΚ.

Ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΚ. ἔστι δὲ καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓΔ, ΕΗ καὶ ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΕ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΕ. ἡ ΗΑ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΚ, ΑΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΚ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οὔκ ἐστι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΖ παραλληλογράμμῳ.

Ἐὰν ἄρα ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[27]

Ty låt från parallellogrammen ΑΒΓΔ parallellogrammen ΑΖ dras, likformig med ΑΒΓΔ, lika ställd och som har vinkelen ΔΑΒ gemensam med den. Jag säger, att ΑΒΓΔ ligger på samma diagonal som ΑΖ.

Ty om inte, utan, om möjligt, låt deras diagonal vara ΑΘΓ, låt ΗΖ utdragen dras till Θ och drag ΘΚ genom Θ parallell med antingen ΑΔ eller ΒΓ.Prop. 1.31

Eftersom då ΑΒΓΔ ligger på samma diagonal som ΚΗ, är alltså so ΔΑ till ΑΒ, så är ΗΑ till ΑΚ.Prop. 6.24 Även, på grund av ΑΒΓΔ:s och ΕΗ:s likhet, som ΔΑ är till ΑΒ, så är också ΗΑ till ΑΕ. Och alltså som ΗΑ är till ΑΚ, så är ΗΑ till ΑΕ. Alltså har ΗΑ till bådadera av ΑΚ och ΑΕ samma förhållande. Alltså är ΑΕ lika med ΑΚProp. 5.9 - den mindre med den större. Vilket är omöjligt. Inte, alltså, ligger inteF F) Notera den dubbla negationen! ΑΒΓΔ på samma diagonal som ΑΖ. Alltså ligger parallellogrammen ΑΒΓΔ på samma diagonal som parallellogrammen ΑΖ.

Om alltså från en parallellogram en parallellogram dras, likformig med hela, lika ställd och som har en gemensam vinkel med den, ligger den på samma diagonal som den hela. Vilket skulle visas.

κζʹ.

Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβαλλόμενον παραλληλόγραμμον ὅμοιον ὂν τῷ ἐλλείμμαντι.

27.

Av alla dem på samma räta linje applicerade parallellogrammer och brister - till utseendet parallellogrammer liknande och likartat placerade som den vid halvan uppritade - är den parallellogram störst som vid halvan är uppritad och är lik bristen.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ἀναγραφέντι ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ, τουτέστι τῆς ΓΒ· λέγω, ὅτι πάντων τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ΔΒ μέγιστόν ἐστι τὸ ΑΔ. παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΖΒ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ΔΒ· λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΔ τοῦ ΑΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΖΒ παραλληλογράμμῳ, περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον. ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΔΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.

Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν δὲ τὸ ΖΒ, ὅλον ἄρα τὸ ΓΘ ὅλῳ τῷ ΚΕ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ. καὶ τὸ ΗΓ ἄρα τῷ ΕΚ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ τῷ ΛΜΝ γνώμονί ἐστιν ἴσον· ὥστε τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ΑΔ, τοῦ ΑΖ παραλληλογράμμου μεῖζόν ἐστιν.

Πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβληθέν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[28]

Låt en rät linje ΑΒ delas i hälften vid Γ och applicera på den räta linjen ΑΒ parallellogrammen ΑΔ med en brist liknande parallellogrammen ΔΒ uppritad på halva ΑΒ, det vill säga ΓΒ; jag säger, att av alla dem på linjen ΑΒ applicerade parallellogrammer och brister - till utseendet parallellogrammer liknande och likartat placerade som den vid ΔΒ - är ΑΔ störst. Ty applicera på den räta linjen ΑΒ parallellogrammen ΑΖ, bristande med parallellogrammen ΖΒ, till utseendet lik och placerad som ΑΔ; jag säger, att ΑΔ är större än ΑΖ.

Ty eftersom parallellogrammen ΔΒ är lik parallellogrammen ΖΒ, ligger de efter samma diagonal. Låt ha dragit deras diagonal ΔΒ och ha slutfört figuren.

Eftersom då ΓΖ är lika med ΖΕ och ΖΒ är gemensam, alltså är hela ΓΘ lika med hela ΚΕ. Men ΓΘ är lika med ΓΗ, eftersom också ΑΓ är lika med ΓΒ. Och ΗΓ alltså är lika med ΕΚ. Lägg till ΓΖ till båda; då är hela ΑΖ lika med gnomonen ΛΜΝ; så att parallellogrammen ΔΒ, det vill säga ΑΔ, är större än parallellogrammen ΑΖ.

Alltså är av alla dem på samma räta linje applicerade parallellogrammer och brister - till utseendet parallellogrammer liknande och likartat placerade som den vid halvan uppritade - är den parallellogram störst som har applicerats vid halvan; Vilket skulle visas.

κηʹ.

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι· δεῖ δὲ τὸ διδόμενον εὐθύγραμμον ᾧ δεῖ ἴσον παραβαλεῖν μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ ᾧ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν.

28.

På den givna räta linjen applicera en parallellogram, som är lika med den givna rätlinjiga figuren, med en brist likformig med den givna parallellogrammen; den givna rätlinjiga figuren skall ej vara större än den på halva linjen applicerade parallellogrammen, vilken är likformig med bristen.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ μὴ μεῖζον ὂν τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ.

Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΕΒΖΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον.

Εἰ μὲν οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν· παραβέβληται γὰρ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΗΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. εἰ δὲ οὔ, μεῖζόν ἔστω τὸ ΘΕ τοῦ Γ. ἴσον δὲ τὸ ΘΕ τῷ ΗΒ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ Γ. ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ, ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΚΛΜΝ. ἀλλὰ τὸ Δ τῷ ΗΒ ἐστιν ὅμοιον· καὶ τὸ ΚΜ ἄρα τῷ ΗΒ ἐστιν ὅμοιον. ἔστω οὖν ὁμόλογος ἡ μὲν ΚΛ τῂ ΗΕ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΗΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῖς Γ, ΚΜ, μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΚΜ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΗΕ τῆς ΚΛ, ἡ δὲ ΗΖ τῆς ΛΜ. κείσθω τῇ μὲν ΚΛ ἴση ἡ ΗΞ, τῇ δὲ ΛΜ ἴση ἡ ΗΟ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΞΗΟΠ παραλληλόγραμμον· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον ἐστι τὸ ΗΠ τῷ ΚΜ ἀλλὰ τὸ ΚΜ τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν. καὶ τὸ ΗΠ ἄρα τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΗΠ τῷ ΗΒ. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΗΠΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.

Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗ τοῖς Γ, ΚΜ, ὧν τὸ ΗΠ τῷ ΚΜ ἐστιν ἴσον, λοιπὸς ἄρα ὁ ΥΧΦ γνόμων λοιπῷ τῷ Γ ἴσος ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΟΡ τῷ ΞΣ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΠΒ· ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὅλῳ τῷ ΞΒ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤΕ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση· καὶ τὸ ΤΕ ἄρα τῷ ΟΒ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΣ· ὅλον ἄρα τὸ ΤΣ ὅλῳ τῷ ΦΧΥ γνώμονί ἐστιν ἴσον. ἀλλ᾿ ὁ ΦΧΥ γνώμων τῷ Γ ἐδείχθη ἴσος· καὶ τὸ ΤΣ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΣΤ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ ἐπειδήπερ τὸ ΠΒ τῷ ΗΠ ὅμοιόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[29]

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen, Γ den givna rätlinjiga figuren, lika med den som skall appliceras på ΑΒ, ej större än den på halva ΑΒ placerade likformiga bristen, och Δ som bristen skall vara likformig med. På den givna räta linjen ΑΒ skall en parallellogram lika med den givna rätlinjiga figuren Γ appliceras, med en brist som är likformig med parallellogrammen Δ.

Dela ΑΒ på mitten i punkten Ε och rita på ΕΒ med Δ likformig och lika placerad ΕΒΖΗ samt fullfölj parallellogrammen ΑΗ.

Om alltså ΑΗ är lika med Γ, vore det sökta givet; ty på den givna räta linjen ΑΒ har parallellogrammen ΑΗ, lika med den givna rätlinjiga figuren Γ, och med bristen parallellogrammen ΗΒ, vilken är likformig med Δ applicerats. Om inte, låt ΘΕ vara större än Γ. ΘΕ är då lika med ΗΒ; alltså är också ΗΒ större än Γ. Konstruera ΚΛΜΝ lika med skillnaden, med vilken ΗΒ är större än Γ, både likformig med Δ och lika placerad. Men Δ är likformig med ΗΒ; och då är ΚΜ likformig med ΗΒ. Låt alltså ΚΛ korrespondera med ΗΕ, ΛΜ med ΗΖ; och eftersom ΗΒ är lika med Γ och ΚΜ, är alltså ΗΒ större än ΚΜ; alltså är även ΗΕ större än ΚΛ, ΗΖ än ΛΜ. Gör ΗΞ lika med ΚΛ, ΗΟ med ΛΜ, och bind samman parallellogrammen ΞΗΟΠ, som alltså är både lika med och likformig med ΚΜ. Och alltså är ΗΠ likformig med ΗΒ; ΗΠ ligger alltså kring samma diagonal som ΗΒ. Låt deras diagonal vara ΗΠΒ och ha slutfört figuren.

Eftersom ΒΗ är lika med Γ och ΚΜ, av vilka ΗΠ är lika med ΚΜ, är alltså den kvarvarande gnomonen ΥΧΦ lika med den kvarvarande Γ. Och eftersom ΟΡ är lika med ΞΣ, lägg till ΠΒ till båda; då är hela ΟΒ lika med hela ΞΒ. Men ΞΒ är lika med ΤΕ, eftersom också sidan ΑΕ är lika med sidan ΕΒ; och alltså är ΤΕ lika med ΟΒ. Lägg till ΞΣ till båda; då är hela ΤΣ lika med hela gnomonen ΦΧΥ. Men gnomonen ΦΧΥ har visats lika med Γ; och ΤΣ är alltså lika med Γ.

Alltså har på den givna räta linjen ΑΒ applicerats parallellogrammen ΣΤ, som är lika med den givna rätlinjiga figuren Γ och med en brist av en parallellogram ΠΒ, likformig med Δ. Vilket skulle visas.

κθʹ.

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι.

29.

På den givna räta linjen applicera en parallellogram, som är lika med den givna rätlinjiga figuren, med ett överskott likformigt med den givna parallellogrammen.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ὑπερβάλλειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τῷ Γ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ Δ.

Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀναγεγράθω ἀπὸ τὴς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμφοτέροις μὲν τοῖς ΒΖ, Γ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΗΘ. ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΖΒ, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆς ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΛ, ΖΕ, καὶ τῇ μὲν ΚΘ ἴση ἔστω ἡ ΖΛΜ, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ΖΕΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΜΝ· τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΗΘ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον. ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΛ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΕΛ τῷ ΜΝ. ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΖΞ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.

Ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΘ τοῖς ΕΛ, Γ, ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΜΝ ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τοῖς ΕΛ, Γ ἴσον ἐστίν. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΨΧΦ γνώμων τῷ Γ ἐστιν ἴσος. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΝ τῷ ΝΒ, τουτέστι τῷ ΛΟ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΕΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΦΧΨ γνώμονι. ἀλλὰ ὁ ΦΧΨ γνώμων τῷ Γ ἴσος ἐστίν· καὶ τὸ ΑΞ ἄρα τῷ Γ ἴσον ἐστίν.

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΑΞ ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ, ἐπεὶ καὶ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΠ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[30]

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen, Γ den givna rätlinjiga figuren, som är lika med den på ΑΒ applicerade och Δ som överskottet skall vara likformigt med; på den räta linjen ΑΒ skall alltså en parallellogram appliceras, lika med den rätlinjiga figuren Γ och med ett överskott likformigt med parallellogrammen Δ.

Dela ΑΒ på mitten, i Ε, och rita på ΕΒ parallellogrammen ΒΖ, likformig med Δ och lika placerad, både lika med summan av ΒΖ och Γ - både likformig med Δ och lika placerad - och själv uppställd som ΗΘ. Låt ΚΘ motsvara ΖΛ och ΚΗ ΖΕ. Och eftersom ΗΘ är större än ΖΒ, är sålunda också ΚΘ större än ΖΛ och ΚΗ än ΖΕ. Låt ΖΛ och ΖΕ ha dragits, låt ΖΛΜ vara lika med ΚΘ, ΖΕΝ lika med ΚΗ och fullborda ΜΝ; alltså är ΜΝ lika och likformig med ΗΘ. Men ΗΘ är likformig med ΕΛ; och ΜΝ är likformig med ΕΛ; alltså ligger ΕΛ och ΜΝ på samma diagonal. Rita deras diagonal ΖΞ och figuren är fullbordad.

Eftersom ΗΘ är lika med ΕΛ och Γ, men ΗΘ är lika med ΜΝ och alltså är ΜΝ lika med ΕΛ och Γ. Drag bort ΕΛ från båda; då är det kvarvarande, gnomonen ΨΧΦ, lika med Γ. Och eftersom ΑΕ är lika med ΕΒ, är ΑΝ lika med ΝΒ, det vill säga ΛΟ. Lägg till ΕΞ till båda; då är hela ΑΞ lika med gnomonen ΦΧΨ. Men gnomonen ΦΧΨ är lika med Γ; och alltså är ΑΞ lika med Γ.

På den givna räta linjen ΑΒ har alltså parallellogrammen ΑΞ lika med den rätlinjiga figuren Γ applicerats med ett överskott av en parallellogram ΠΟ likformigt med Δ, eftersom även ΕΛ är likformig med ΟΠ. Vilket skulle visas.

λʹ.

Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.

30.

Att dela en given ändlig rät linje i yttersta och mellersta förhållandet.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.

Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΓ τῷ ΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΑΔ ὁμοίῳ τῷ ΒΓ.

Τετράγωνον δέ ἐστι τὸ ΒΓ· τετράγωνον ἄρα ἐστι καὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΓ τῷ ΓΔ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΖ λοιπῷ τῷ ΑΔ ἐστιν ἴσον. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον· τῶν ΒΖ, ΑΔ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΕ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΑΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ. μείζων δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΑΕ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ.

Ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ε, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστι τὸ ΑΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[31]

Låt ΑΒ vara den givna ändliga räta linjen. ΑΒ skall delas i yttersta och mellersta förhållandet.

Låt ha uppritat kvadraten ΒΓ på ΑΒProp. 1.46 och applicera på ΑΓ parallellogrammen ΓΔ, lika med ΒΓ, med överskottet ΑΔ som är likformig med ΒΓ.Prop. 6.29

ΒΓ är en kvadrat, alltså är även ΑΔ en kvadrat. Och eftersom ΒΓ är lika med ΓΔ, låt ΓΕ ha dragits från båda, alltså är resten ΒΖ lika med resten ΑΔ och är även likvinklig med den. Alltså är ΒΖ:s och ΑΔ:s sidor vid de lika vinklarna omvänt proportionellaProp. 6.14 och alltså ΖΕ är till ΕΔ, så är ΑΕ till ΕΒ. Och ΖΕ är lika med ΑΒ samt ΕΔ med ΑΕ. Alltså som ΒΑ är till ΑΕ, så är ΑΕ till ΕΒ. ΑΒ är större än ΑΕ, alltså är ΑΕ än ΕΒ.Prop. 5.14

Alltså har den räta linjen ΑΒ delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Ε och dess större del är ΑΕ. Vilket skulle göras.

λαʹ.

Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.

31.

I rätvinkliga trianglar är figuren på sidan, som är uppspänd av den räta vinkeln, lika med figurerna, vilka är likformiga och lika ställda, på sidorna som omger den räta vinkeln.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.

Ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ.

Ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ Α ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον. ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ. ὥστε καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὰς ΒΔ, ΔΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα. ἴση δὲ ἡ ΒΓ ταῖς ΒΔ, ΔΓ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἄπὸ τῆς ΒΓ εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.

Ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[32]

Låt ΑΒΓ vara den rätvinkliga triangeln som har den räta vinkeln ΒΑΓ. Jag säger, att figuren på ΒΓ är lika med dem på ΒΑ och ΑΓ, vilka är likformiga och lika ställda.

Låt ha dragit den vinkelräta linjen ΑΔ.Prop. 1.12

Eftersom i den rätvinkliga triangeln ΑΒΓ den vinkelräta linjen ΑΔ dragits från den räta vinkeln vid Α till basen ΒΓ, är trianglarna ΑΒΔ och ΑΔΓ vid den vinkelräta linjen likformiga med hela triangeln ΑΒΓ och med varandra.Prop. 6.8 Eftersom ΑΒΓ är likformig med ΑΒΔ, alltså som ΓΒ är till ΒΑ, så är ΑΒ till ΒΔ.Prop. 6.1 Och eftersom tre räta linjer är proportionella, som den första är till den tredje, så är figuren på den första till den, likformiga och lika ställda, på den andra.Prop. 6.19 cor. Alltså som ΓΒ är till ΒΔ, så är figuren på ΓΒ till den, likformiga och lika ställda, på ΒΑ. Av samma skäl bör som ΒΓ är till ΓΔ, figuren på ΒΓ vara till den på ΓΑ. På samma sätt som ΒΓ är till ΒΔ och ΔΓ, så är också figuren på ΒΓ till dem på ΒΑ och ΑΓ, likformiga och lika ställda.Prop. 5.24 Och ΒΓ är lika med ΒΔ och ΔΓ, alltså är även figuren på ΒΓ lika med figurerna på ΒΑ och ΑΓ, likformiga och lika ställda.Prop. 5.9

I rätvinkliga trianglar är alltså figuren på sidan, som är uppspänd av den räta vinkeln, lika med figurerna, vilka är likformiga och lika ställda, på sidorna som omger den räta vinkeln. Vilket skulle visas.

λβʹ.

Ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπ᾿ εὐθείας ἔσονται.

32.

Om två trianglar, som har två sidor proportionella till två sidor, ställts samman vid en av vinklarna, så att deras korresponderande sidor är parallella, skall trianglarnas resterande sidor ligga i linje.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΒΑ, ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΓ, ΔΕ ἀνάλογον ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΔΓ πρὸς τὴν ΔΕ, παράλληλον δὲ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΕ· λέγω, ὅτι ἐπ᾿ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ.

Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ μίαν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ, ΓΒΑ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΓ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΓΕ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνάις τὰς ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ.

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπ᾿ εὐθείας ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[33]

Låt ΑΒΓ och ΔΓΕ vara två trianglar, som har de två sidorna ΒΑ och ΑΓ proportionella med de två sidorna ΔΓ, ΔΕ, så att som ΑΒ är till ΑΓ, så är ΔΓ till ΔΕ samt ΑΒ är parallell med ΔΓ och ΑΓ med ΔΕ. Jag säger, att ΒΓ är i linje med ΓΕ.

Ty eftersom ΑΒ är parallell med ΔΓ och den räta linjen ΑΓ dragits över dem, är de alternerande vinklarna ΒΑΓ och ΑΓΔ lika med varandra.Prop. 1.29 Av samma skäl bör ΓΔΕ vara lika med ΑΓΔ, så att också ΒΑΓ är lika med ΓΔΕ. Och eftersom ΑΒΓ och ΔΓΕ är två trianglar som har en vinkel vid Α lika med en vinkel vid Δ och har de lika sidorna proportionella, att som ΒΑ är till ΑΓ, så är ΓΔ till ΔΕ, är alltså triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΔΓΕ.Prop. 6.6 Alltså är vinkeln ΑΒΓ lika med ΔΓΕ. ΑΓΔ har även visats vara lika med ΒΑΓ, alltså är hela ΑΓΕ lika med de två ΑΒΓ och ΒΑΓ. Låt gemensamt ha lagt till ΑΓΒ, alltså är ΑΓΕ och ΑΓΒ lika med ΒΑΓ, ΑΓΒ och ΓΒΑ. Men ΒΑΓ, ΑΒΓ och ΑΓΒ är lika med två rätaProp. 1.32 och alltså är ΑΓΕ och ΑΓΒ lika med två räta. Så mot någon rät linje ΑΓ och vid punkten Γ på den gör två räta linjer, ej liggande på samma sida, de intilliggande vinklarna ΑΓΕ och ΑΓΒ, vilka är lika med två räta. Alltså är ΒΓ i linje med ΓΕ.Prop. 1.14

Om två trianglar, som har två sidor proportionella med två sidor, ställts samman vid en av vinklarna, så att deras korresponderande sidor är parallella, skall trianglarnas resterande sidor ligga i linje. Vilket skulle visas.

λγʹ.

Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις, ἐφ᾿ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.

33.

I två lika cirklar har vinklar samma förhållande som cirkelbågarna, vilka de är ställda på, om det så är på medelpunkten eller om det är på omkretsarna de är ställda på.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αὐτῶν τοῖς Η, Θ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.

Κείσθωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ ἴσαι κατὰ τὸ ἑξῆς ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΓΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΖ περιφερείᾳ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΖΜ, ΜΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΗΛ, ΘΜ, ΘΝ.

Ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ, ΓΚ, ΚΛ περιφέρειαι ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΓΗΚ, ΚΗΛ γωνίαι ἀλλήλαις· ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΒΓ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΗΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΘΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΖ. εἰ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῇ ΕΝ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας, μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ, δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, εἴληπται τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας ἰσάκις πολλαπλασίων ἥ τε ΒΛ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία, τῆς δὲ ΕΖ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΕΘΖ γωνίας ἥ τε ΕΝ περιφέρια καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΝ γωνία. καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας, ὑπερέχει καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπο ΕΘΝ γωνίας, καὶ εἰ ἴση, ἴση, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ. ἀλλ᾿ ὡς ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ. διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.

Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις, ἐφ᾿ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[34]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara de lika cirklarna, låt ΒΗΓ och ΕΘΖ vara vinklar vid deras medelpunkter Η och Θ samt mot omkretsarna ΒΑΓ och ΕΔΖ. Jag säger, att som cirkelbågen ΒΓ är till cirkelbågen ΕΖ, så är vinkeln ΒΗΓ till ΕΘΖ, och vinkeln ΒΑΓ till ΕΔΖ.

Ty sätt ut ΓΚ och ΚΛ, lika med cirkelbågen ΒΓ, hur många som helst i följd, sätt ut ΖΜ och ΜΝ, lika med cirkelbågen ΕΖ, hur många som helst samt låt ha förbundit ΗΚ, ΗΛ, ΘΜ och ΘΝ.

Eftersom då cirkelbågarna ΒΓ, ΓΚ och ΚΛ är lika med varandra, är vinklarna ΒΗΓ, ΓΗΚ och ΚΗΛ lika med varandra.Prop. 3.27 Alltså så många gånger cirkelbågen ΒΛ är av ΒΓ, så många gånger är även vinkeln ΒΗΛ av ΒΗΓ. Och av samma skäl bör även så många gånger som cirkelbågen ΝΕ är av ΕΖ, så många gånger är även vinkeln ΝΘΕ av ΕΘΖ. Om alltså cirkelbågen ΒΛ är lika med cirkelbågen ΕΝ, är även vinkeln ΒΗΛ lika med ΕΘΝProp. 3.27 och om cirkelbågen ΒΛ är större än cirkelbågen ΕΝ, är också vinkeln ΒΗΛ större än vinkeln ΕΘΝ och om mindre, mindre. Av de fyra befintliga storheterna, de två cirkelbågarna ΒΓ och ΕΖ samt de två vinklarna ΒΗΓ och ΕΘΖ, har lika många multiplar tagits. Av cirkelbågen ΒΓ och av vinkeln ΒΗΓ cirkelbågen ΒΛ och vinkeln ΒΗΛ, av cirkelbågen ΕΖ och av vinkeln ΕΘΖ cirkelbågen ΕΝ och vinkeln ΕΘΝ. Och det har visats, att om cirkelbågen ΒΛ överstiger cirkelbågen ΕΝ, överstiger även vinkeln ΒΗΛ vinkeln ΕΘΝ, om lika, lika och om mindre, mindre. Alltså som cirkelbågen ΒΓ är till ΕΖ, så är vinkeln ΒΗΓ till vinkeln ΕΘΖ.Def. 5.5 Men som vinkeln ΒΗΓ är till ΕΘΖ, så är ΒΑΓ till ΕΔΖ.Prop. 5.15 Ty dubbel är bådadera till bådadera.Prop. 3.20 Och alltså som cirkelbågen ΒΓ är till cirkelbågen ΕΖ, så är vinkeln ΒΗΓ till ΕΘΖ och ΒΑΓ till ΕΔΖ.

I två lika cirklar har vinklar samma förhållande som cirkelbågarna, vilka de är ställda på, om det så är på medelpunkten eller om det är på omkretsarna de är ställda på. Vilket skulle visas.