Elementas Bok V

Στοιχείων εʹ.

Ὅροι.

αʹ. Μέρος ἐστὶ μέγεθος μεγέθους τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον.
βʹ. Πολλαπλάσιον δὲ τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος.
γʹ. Λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.
δʹ. Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται, ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν.
εʹ. Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ὅταν τὰ τοῦ πρώτου καί τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλασίων καθ᾿ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ἑκάτερον ἑκατέρου ἢ ἅμα ὑπερέχῃ ἢ ἅμα ἴσα ᾖ ἢ ἅμα ἐλλείπῇ ληφθέντα κατάλληλα.
ϛʹ. Τὰ δὲ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον μεγέθη ἀνάλογον καλείσθω.
ζʹ. Ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου πολλαπλασίου, τότε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λέγεται, ἤπερ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον.
ηʹ. Ἀναλογία δὲ ἐν τρισὶν ὅροις ἐλαχίστη ἐστίν.
θʹ. Ὅταν δὲ τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον.
ιʹ. Ὅταν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον, καὶ ἀεὶ ἑξῆς ὁμοίως, ὡς ἂν ἡ ἀναλογία ὑπάρχῃ.
ιαʹ. Ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ἡγουμένοις τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις.
ιβʹ. Ἐναλλὰξ λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον καὶ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἑπόμενον.
ιγʹ. Ἀνάπαλιν λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἑπομένου ὡς ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον ὡς ἑπόμενον.
ιδʹ. Σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου μετὰ τοῦ ἑπομένου ὡς ἑνὸς πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον.
ιεʹ. Διαίρεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου, πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον.
ιϛʹ. Ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.
ιζʹ. Δι᾿ ἴσου λόγος ἐστὶ πλειόνων ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανομένων καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὅταν ᾖ ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον· ἢ ἄλλως· λῆψις τῶν ἄκρων καθ᾿ ὑπεξαίρεσιν τῶν μέσων.
ιηʹ. Τεταραγμένη δὲ ἀναλογία ἐστίν, ὅταν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος γίνηται ὡς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἐπόμενον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον.^[1]

Definitioner.

1. En storhet är en del av en storhet, den mindre av den större, när den mäter upp^A A) Om skillnaden mellan μετρεῖν och καταμετρεῖν, se Smyth 1648: The addition of a preposition (especially διά, κατά, σύν) to verbal form may mark the completion of the verbal idea (perfective action). den större.
2. Den större är en multipel av den mindre, när den mäts upp av den mindre.
3. Ett förhållande mellan två storheter av samma sort är en sorts kvalitet efter storlek.
4. Storheter sägs ha ett förhållande till varandra, vilka kan bli större än varandra när multiplicerade.^B B) Den Archimediska egenskapen. Om a < b, finns det ett heltal, n, så att n⁢a > b.
5. Storheter sägs vara i samma förhållande, en första till en andra och en tredje till en fjärde, när lika multiplar av den första och den tredje samtidigt är antingen större, samtidigt lika eller samtidigt mindre än lika multiplar av den andra och den fjärde när de tagits mot varandra med vilka multiplar som helst var och en med var och en.
6. Storheter som har samma förhållande kallas proportionella.^C C) Här och i fortsättningen används översättningen proportionella, men kanske borde uttrycket utgör en analogi användas i stället.
7. När vid lika multiplar den förstas multipel är större än den andras multipel, den tredjes multipel inte är större än den fjärdes, då sägs den första ha ett förhållande till den andra större än det den tredje har till den fjärde.
8. En analogi med tre termer är den minsta möjliga.
9. När tre storheter är proportionella, sägs den första ha ett duplicerat förhållande till den tredje än till den andra.
10. När fyra storheter är proportionella, sägs den första ha ett triplicerat förhållande till den fjärde än till den andra och efter varandra alltid på samma sätt, såsom proportionen fortsätter.
11. Storheterna sägs korrespondera, de föregående med de föregående, de efterföljande med de efterföljande.
12. Ett alternerande förhållande är tagandet av den föregående till den föregående och den efterföljande till den efterföljande.
13. Ett omvänt förhållande är tagandet av den efterföljande som den föregående och den föregående som den efterföljande.
14. Ett förhållandes komposition är tagandet av den föregående med den efterföljande som en till samma efterföljande.
15. Ett förhållandes fördelning är tagandet av skillnaden, som skiljer den föregående från den efterföljande, till samma efterföljande.
16. Ett förhållandes konvertering^D D) Tills vidare används här Strömers terminologi. är tagandet av den föregående till överstigandet, som den föregående överstiger den efterföljande med.
17. Ett förhållande ex aequali är ett antal storheter och andra storheter, lika i antal med dem, som tagna två och två har samma förhållande, när bland de första storheterna den första är till den sista, som bland de senare storheterna den första är till den sista. Eller annorlunda, är tagandet av förhållandet mellan de yttre efter strykandet av de inre.
18. En oordnad analogi är, när tre storheter och andra storheter, lika i antal med dem, blir då bland de första storheterna en föregående är till en efterföljande, såsom bland de senare storheterna en föregående är till en efterföljande och då bland de första storheterna en efterföljande är till någon annan, såsom bland de senare någon annan är till en föregående.

αʹ.

Ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων.

1.

Om det finns ett antal storheter och ett antal storheter lika till antalet, var och en lika många multiplar av var och en, så många gånger som en ryms i en av storheterna, lika många gånger skall också alla finnas i alla.

Ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ ὁποσωνοῦν μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον· λέγω, ὅτι ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Ε μεγέθη ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΒ, τὸ δὲ ΓΔ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΓΘ, ΘΔ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ, ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, ἴσον ἄρα τὸ ΑΗ τῷ Ε, καὶ τὰ ΑΗ, ΓΘ τοῖς Ε, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τῷ Ε, καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ· ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ· ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[2]

Låt ΑΒ och ΓΔ vara ett antal storheter samt Ε och Ζ ett antal storheter lika till antalet, var och en lika många multiplar av var och en. Jag säger att så många gånger som ΑΒ ryms i Ε, lika många gånger skall också ΑΒ och ΓΔ finnas i Ε och Ζ.

Ty eftersom ΑΒ är lika många multiplar av Ε som ΓΔ av Ζ, alltså ryms det så många storheter i ΑΒ lika med Ε och så många i ΓΔ lika med Ζ. Låt ha delat ΑΒ i storheter lika med Ε, ΑΗ och ΗΒ, samt ΓΔ i dem lika med Ζ, ΓΘ och ΘΔ. ΑΗ och ΗΒ:s antal skall vara lika med ΓΘ och ΘΔ:s antal. Och eftersom både ΑΗ är lika med Ε och ΓΘ med Ζ, är sålunda ΑΗ lika med Ε samt ΑΗ och ΓΘ med Ε och Ζ. Av samma skäl bör ΗΒ vara lika med Ε samt ΗΒ och ΘΔ med Ε och Ζ. Alltså så många det ryms i ΑΒ lika med Ε, så många ryms det i ΑΒ och ΓΔ lika med Ε och Ζ. Så många gånger Ε sålunda ryms i ΑΒ, så många gånger ryms Ε och Ζ i ΑΒ och ΓΔ.

Om alltså det finns ett antal storheter och ett antal storheter lika till antalet, var och en lika många multiplar av var och en, så många gånger som en ryms i en av storheterna, lika många gånger skall också alla finnas i alla. Vilket skulle visas.

βʹ.

Ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου.

2.

Om en första storhet är lika många multiplar av en andra som en tredje av en fjärde, är även en femte lika många multiplar av en andra som en sjätte med en fjärde, skall även sammantagna den första och den femte vara lika många multiplar av den andra som den tredje och den sjätte av den fjärde.

Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ τετάρτου τοῦ Ζ, ἔστω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ τετάρτου τοῦ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ ΒΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΕΘ ἴσα τῷ Ζ· ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν ὅλῳ τῷ ΑΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν ὅλῳ τῷ ΔΘ ἴσα τῷ Ζ· ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΔΘ τοῦ Ζ. καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[3]

Ty låt en första, ΑΒ, vara lika många multiplar av en andra, Γ, som en tredje, ΔΕ, av en fjärde, Ζ. Låt även en femte, ΒΗ, vara lika många multiplar av den andra, Γ, som en sjätte, ΕΘ, av den fjärde Ζ. Jag säger, att också sammantagna den första och den femte, ΑΗ, skall vara lika många multiplar som den tredje och sjätte, ΔΘ, av den fjärde, Ζ.

Ty eftersom ΑΒ är lika många multiplar av Γ som ΔΕ av Ζ, alltså är så många i ΑΒ lika med Γ som så många som också är i ΔΕ lika med Ζ. Av samma skäl bör också så många i ΒΗ lika med Γ som så många som också är i ΕΘ lika med Ζ. Alltså är så många i hela ΑΗ lika med Γ, som så många som också är i hela ΔΘ lika med Ζ. Alltså så många gånger som ΑΗ är av Γ, så många gånger skall ΔΘ vara av Ζ. Och alltså skall sammantagna den första och den femte, ΑΗ, vara lika många multiplar av den andra, Γ, som också den tredje och sjätte, ΔΘ, av Ζ.

Om alltså en första storhet är lika många multiplar av en andra som en tredje av en fjärde, är även en femte lika många multiplar av en andra som en sjätte med en fjärde, skall även sammantagna den första och den femte vara lika många multiplar av den andra som den tredje och den sjätte av den fjärde. Vilket skulle visas.

γʹ.

Ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου, καὶ δι᾿ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου.

3.

Om en första storhet är lika många multiplar av en andra som en tredje av en fjärde, och tas lika multiplar av den första som den tredje, skall också ex aequali de tagna, var och en med var och en, vara lika många multiplar av den andra och den fjärde.

Πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ Γ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΕΖ, ΗΘ· λέγω, ὅτι ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Α καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Γ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΕΖ ἴσα τῷ Α, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Γ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΕΖ εἰς τὰ τῷ Α μεγέθη ἴσα τὰ ΕΚ, ΚΖ, τὸ δὲ ΗΘ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΗΛ, ΛΘ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΕΚ, ΚΖ τῷ πλήθει τῶν ΗΛ, ΛΘ. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Α τοῦ Β καὶ τὸ Γ τοῦ Δ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΚ τῷ Α, τὸ δὲ ΗΛ τῷ Γ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΚ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΛ τοῦ Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΛΘ τοῦ Δ. ἐπεὶ οὖν πρῶτον τὸ ΕΚ δευτέρου τοῦ Β ἴσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου τοῦ Δ, ἔστι δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΛΘ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΕΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ δι᾿ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[4]

Ty låt en första Α vara lika många multiplar av en andra Β som en tredje Γ av en fjärde Δ samt låt ha tagit lika många multiplar av Α och Γ, ΕΖ och ΗΘ. Jag säger, att ΕΖ är lika många multiplar av Β som ΗΘ av Δ.

Ty eftersom ΕΖ är lika många multiplar av Α som ΗΘ av Γ, alltså är så många i ΕΖ lika med Α som så många som också är i ΗΘ lika med Γ. Låt ha delat ΕΖ i storheter lika med Α, ΕΚ och ΚΖ, ΗΘ i storheter lika med Γ, ΗΛ och ΛΘ. Antalet ΕΚ och ΚΖ skall vara lika med antalet ΗΛ och ΛΘ. Och eftersom Α är lika många multiplar av Β som Γ av Δ, är ΕΚ lika med Α och ΗΛ lika med Γ, alltså skall ΕΚ vara lika många multiplar av Β som ΗΛ av Δ. Av samma skäl bör också ΚΖ vara lika många multiplar av Β och ΛΘ av Δ. Eftersom då den första ΕΚ är lika många multiplar av den andra Β som den tredje ΗΛ av den fjärde Δ, är även den femte ΚΖ lika många multiplar av den andra Β som den sjätte ΛΘ av den fjärde Δ, och sammantagna är alltså den första och den femte ΕΖ lika många multiplar av den andra Β som den tredje och den sjätte ΗΘ av den fjärde Δ.

Om alltså en första storhet är lika många multiplar av en andra som en tredje av en fjärde, och tas av den första som den tredje lika multiplar, skall också ex aequali de tagna, var och en med var och en, vara lika många multiplar av den andra och den fjärde. Vilket skulle visas.

δʹ.

Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου καθ᾿ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα.

4.

Om en första storhet har till en andra samma förhållande som en tredje till en fjärde, skall lika många multiplar av den första och den tredje ha samma förhållande till lika många multiplar av den andra och fjärde, med vilka multiplar som helst och tagna i korresponderande ordning.

Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν.

~~Καὶ~~ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ μὲν Ε τοῦ Α, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ, καὶ εἴληπται τῶν Ε, Ζ ἴσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἴσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Κ τοῦ Α καὶ τὸ Λ τοῦ Γ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ Β καὶ τὸ Ν τοῦ Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Λ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Κ, Λ τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καθ᾿ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ληφθέντα κατάλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[5]

Ty låt en första storhet Α till en andra Β ha samma förhållande som en tredje Γ till en fjärde Δ samt låt ha tagit av Α och Γ lika många multiplar, Ε och Ζ, och av Β och Δ andra, godtyckliga, lika många multiplar, Η och Θ. Jag säger, att Ε skall vara till Η, som Ζ till Θ.

Ty låt ha tagit av Ε och Ζ lika många multiplar, Κ och Λ, samt av Η och Θ andra, godtyckliga, lika många multiplar, Μ och Ν.

Eftersom Ε är lika många multiplar av Α som Ζ av Γ samt av Ε och Ζ har lika många multiplar av Κ och Λ tagits, alltså är Κ lika många multiplar av Α som Λ av Γ.Prop. 5.3 Av samma skäl bör Μ vara lika många multiplar av Β som Ν av Δ. Och eftersom Α är till Β, som Γ till Δ, och av Α och Γ har lika många multiplar tagits, Κ och Λ, samt av Β och Δ har andra, godtyckliga, lika många multiplar, Μ och Ν, tagits, om då Κ överstiger Μ, överstiger också Λ Ν, om Κ och Μ är lika, är Λ och Ν lika, och om Κ är mindre än Μ, är Λ mindre än Ν.Def. 5.5 Och Κ och Λ är lika många multiplar av Ε och Ζ, samt Μ och Ν är andra, godtyckliga, lika många multiplar av Η och Θ; alltså är Ε till Η, som Ζ till Θ.

Om alltså en första storhet har till en andra samma förhållande som en tredje till en fjärde, skall lika många multiplar av den första och den tredje ha samma förhållande till lika många multiplar av den andra och fjärde, med vilka multiplar som helst och tagna i samma ordning. Vilket skulle visas.

εʹ.

Ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου.

5.

Om en storhet är lika många multiplar av en storhet, såsom det borttagna av det borttagna, skall också resten vara lika många multiplar av resten, som så många som det hela är av det hela.

Μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΓΔ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.

Ὁσαπλάσιον γάρ ἐστι τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΓΗ.

Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΗΖ. κεῖται δὲ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ· ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἴσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσον δὲ τὸ ΗΓ τῷ ΔΖ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.

Ἐὰν ἄρα μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ὅλον τοῦ ὅλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[6]

Ty låt storheten ΑΒ vara lika många multiplar av storheten ΓΔ, såsom det borttagna ΑΕ av det borttagna ΓΖ. Jag säger, att också resten ΕΒ skall vara lika många multiplar av resten ΖΔ, som så många som hela ΑΒ är av hela ΓΔ.

Ty så många som ΑΕ är av ΓΖ, låt även ΕΒ ha blivit så många av ΓΗ.

Eftersom ΑΕ är lika många multiplar av ΓΖ som ΕΒ av ΗΓ, är alltså ΑΕ lika många multiplar av ΓΖ som ΑΒ av ΗΖ.Prop. 5.1 ΑΕ sätts vara lika många multiplar av ΓΖ som ΑΒ är av ΓΔ. Alltså är ΑΒ lika många multiplar av var och en av ΗΖ och ΓΔ, alltså är ΗΖ lika med ΓΔ. Låt ha dragit bort ΓΖ från dem. Alltså är resten ΗΓ lika med resten ΖΔ. Och eftersom ΑΕ är lika många multiplar av ΓΖ som ΕΒ av ΗΓ, är ΗΓ lika med ΔΖ, och alltså är ΑΕ lika många multiplar av ΓΖ som ΕΒ av ΖΔ. ΑΕ antas vara lika många multiplar av ΓΖ som ΑΒ av ΓΔ, alltså är ΕΒ lika många multiplar av ΖΔ som ΑΒ av ΓΔ. Och alltså skall resten ΕΒ vara lika många multiplar av resten ΖΔ, som så många hela ΑΒ är av hela ΓΔ.

Om alltså en storhet är lika många multiplar av en storhet, såsom det borttagna av det borttagna, skall också resten vara lika många multiplar av resten, som så många som det hela är av det hela. Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια.

6.

Om två storheter är lika många multiplar av två storheter, och några borttagna av dessa är lika många multiplar, är också resterna antingen lika med dem eller lika många multiplar av dem.

Δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ δύο μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τὰ ΑΗ, ΓΘ τῶν αὐτῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὰ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια.

Ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.

Κείσθω γὰρ τῷ Ζ ἴσον τὸ ΓΚ. ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΘ τοῦ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΗΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΚΓ τῷ Ζ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ Ζ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ· ἴσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΘ τοῦ Ζ καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΚΘ, ΓΔ τοῦ Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΘ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ Ζ τῷ ΚΓ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ Ζ ἴσον ἐστίν. ὥστε εἰ τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ Ζ.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, κᾂν πολλαπλάσιον ᾖ τὸ ΗΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ Ζ.

Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[7]

Ty låt två storheter, ΑΒ och ΓΔ, vara lika många multiplar av två storheter, Ε och Ζ, samt låt de borttagna, ΑΗ och ΓΘ, vara lika många multiplar av dessa, Ε och Ζ. Jag säger, att också resterna, ΗΒ och ΘΔ, antingen är lika med Ε och Ζ eller lika många multiplar av dem.

Ty låt först ΗΒ vara lika med Ε. Jag säger, att också ΘΔ är lika med Ζ.

Ty sätt ΓΚ lika med Ζ. Eftersom ΑΗ är lika många multiplar av Ε och ΓΘ av Ζ, ΗΒ är lika med Ε och ΚΓ med Ζ, är alltså ΑΒ lika många multiplar av Ε och ΚΘ av Ζ.Prop. 5.2 ΑΒ antas vara lika många multiplar av Ε och ΓΔ av Ζ. Alltså är ΚΘ lika många multiplar av Ζ och ΓΔ av Ζ. Eftersom sålunda var och en av ΚΘ och ΓΔ är lika många multiplar av Ζ, är alltså ΚΘ lika med ΓΔ. Låt ha dragit bort ΓΘ från dem. Alltså är resten ΚΓ lika med resten ΘΔ. Men Ζ är lika med ΚΓ och ΘΔ är alltså lika med Ζ. Sålunda om ΗΒ är lika med Ε, skall också ΘΔ vara lika med Ζ.

På samma sätt skall vi visa, att om ΗΒ är ett antal multiplar av Ε, skall också ΘΔ vara så många multiplar av Ζ.

Om alltså två storheter är lika många multiplar av två storheter, och några borttagna av dessa är lika många multiplar, är också resterna antingen lika med dem eller lika många multiplar av dem. Vilket skulle visas.

ζʹ.

Τὰ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.

7.

De som är lika har samma förhållande till detsamma och denna till dem som är lika.

Ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ Α, Β, ἄλλο δέ τι, ὃ ἔτυχεν, μέγεθος τὸ Γ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Δ, Ε, τοῦ δὲ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον τὸ Ζ.

Ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ Ε τοῦ Β, ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β, ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε. ἄλλο δέ, ὅ ἔτυχεν, τὸ Ζ. Εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ Ζ, ὑπερέχει καὶ τὸ Ε τοῦ Ζ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Δ, Ε τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Γ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ε· ἄλλο δέ τι τὸ Ζ· εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ζ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τοῦ Ε, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὸ μὲν Ζ τοῦ Γ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ Δ, Ε τῶν Α, Β ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Β.

Τὰ ἴσα ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν μεγέθη τινὰ ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[8]

Låt Α och Β vara lika storheter samt Γ en annan, godtycklig, storhet. Jag säger, att var och en av Α och Β har samma förhållande till Γ och dessutom Γ till var och en av Α och Β.

Ty låt ha tagit av Α och Β lika många multiplar, Δ och Ε samt av Γ en annan, godtycklig multipel, Ζ.

Eftersom alltså Δ är lika många multiplar av Α som Ε av Β och Α är lika med Β, är alltså även Δ lika med Ε. Ζ är en annan godtycklig multipel. Om alltså Δ överstiger Ζ, överstiger också Ε Ζ, om Δ och Ζ är lika, är Ε och Ζ lika och om Δ är mindre än Ζ, är Ε mindre än Ζ. Och då Δ och Ε är lika många multiplar av Α och Β samt Ζ en annan, godtycklig, multipel av Γ. Alltså är Α till Γ, som Β till Γ.Def. 5.5

Jag säger, att Γ till var och en av Α och Β har samma förhållande.

Ty med samma uppställning skall vi på samma sätt visa, att Δ är lika med Ε med något annat Ζ. Om alltså Ζ överstiger Δ, överstiger Ζ också Ε, om Ζ och Δ är lika, är Ζ och Ε lika och om Ζ är mindre än Δ, är Ζ mindre än Ε. Och Ζ är en multipel av Γ och Δ samt Ε är andra, godtyckliga, lika många multiplar av Α och Β. Alltså är Γ till Α, som Γ till Β.Def. 5.5

Alltså har de som är lika samma förhållande till detsamma och denna till dem som är lika.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om några storheter är proportionella, skall de också vara omvänt proportionella. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Τῶν ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον.^E E) Heiberg har punkt här i protasis, men semikolon i sumperasmat. καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον.

8.

Av två storheter har den större ett större förhållande än den mindre till samma storhet. Och denna storhet har till den mindre ett större förhållande än till den större.

Ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΒ, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ.

Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ, κείσθω τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΕ· τὸ δὴ ἔλασσον τῶν ΑΕ, ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. ἔστω πρότερον τὸ ΑΕ ἔλαττον τοῦ ΕΒ, καὶ πεπολλαπλασιάσθω τὸ ΑΕ, καὶ ἔστω αὐτοῦ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ Δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ τὸ δὲ Κ τοῦ Γ· καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ διπλάσιον μὲν τὸ Λ, τριπλάσιον δὲ τὸ Μ, καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλεῖον, ἕως ἂν τὸ λαμβανόμενον πολλαπλάσιον μὲν γένηται τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ. εἰλήφθω, καὶ ἔστω τὸ Ν τετραπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ.

Ἐπεὶ οὖν τὸ Κ τοῦ Ν πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ ἄρα τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ. τὰ ΖΘ, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Γ, ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τῷ Κ. τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον· οὐδ᾿ ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ Μ ἔλαττόν ἐστιν. μεῖζον δὲ τὸ ΖΗ τοῦ Δ· ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ συναμφοτέρων τῶν Δ, Μ μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ συναμφότερα τὰ Δ, Μ τῷ Ν ἐστιν ἴσα, ἐπειδήπερ τὸ Μ τοῦ Δ τριπλάσιόν ἐστιν, συναμφότερα δὲ τὰ Μ, Δ τοῦ Δ ἐστι τετραπλάσια, ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν τοῦ Δ τετραπλάσιον· συναμφότερα ἄρα τὰ Μ, Δ τῷ Ν ἴσα ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΖΘ τῶν Μ, Δ μεῖζόν ἐστιν· τὸ ΖΘ ἄρα τοῦ Ν ὑπερέχει· τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. καί ἐστι τὰ μὲν ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ν τοῦ Δ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον· τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν Ν τοῦ Κ ὑπερέχει, τὸ δὲ Ν τοῦ ΖΘ οὐχ ὑπερέχει. καί ἐστι τὸ μὲν Ν τοῦ Δ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.

Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΕ τοῦ ΕΒ μεῖζον ἔστω. τὸ δὴ ἔλαττον τὸ ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ ΕΒ, μεῖζον δὲ τοῦ Δ· καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ ΑΕ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὰ ΖΘ, Κ τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια· καὶ εἰλήφθω ὁμοίως τὸ Ν πολλαπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ ΖΗ· ὥστε πάλιν τὸ ΖΗ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλασσον. μεῖζον δὲ τὸ ΗΘ τοῦ Δ· ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ τῶν Δ, Μ, τουτέστι τοῦ Ν, ὑπερέχει. τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει, ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ ΗΘ, τουτέστι τοῦ Κ, τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. καὶ ὡσαύτως κατακολουθοῦντες τοῖς ἐπάνω περαίνομεν τὴν ἀπόδειξιν.

Τῶν ἄρα ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον· καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[9]

Låt ΑΒ och Γ vara två olika storheter och låt ΑΒ vara större samt låt Δ vara en annan, godtycklig, storhet. Jag säger, att ΑΒ har ett större förhållande till Δ än Γ har mot Δ och Δ har ett större förhållande till Γ än till ΑΒ.

Ty eftersom ΑΒ är större än Γ, sätt ΒΕ lika med Γ. Den mindre av ΑΕ och ΕΒ skall multiplicerad någon gång bli större än Δ.Def. 5.4 Låt först ΑΕ vara mindre än ΕΒ, låt ha multiplicerat ΑΕ, låt ΖΗ vara en multipel av denna som är större än Δ samt så många gånger som ΖΗ är delbar av ΑΕ, låt ΗΘ bli så många gånger delbar av ΕΒ och Κ delbar av Γ. Låt även ha satt Λ till det dubbla Δ, Μ till det trefaldiga och efter varandra en mer, tills den tagna multipeln av Δ blivit den första större än Κ. Låt den ha tagits och låt den vara Ν fyra gånger Δ, den första större än Κ.

Eftersom sålunda Κ först är mindre än Ν, är alltså Κ inte mindre än Μ. Och eftersom ΖΗ är lika många multiplar av ΑΕ och ΗΘ av ΕΒ, är alltså ΖΗ lika många multiplar av ΑΕ och ΖΘ av ΑΒ.Prop. 5.1 Lika många multiplar av ΑΕ är ΖΗ och Κ av Γ. Alltså är ΖΘ lika många multiplar av ΑΒ och Κ av Γ. Alltså är ΖΘ och Κ lika många multiplar av ΑΒ och Γ. Åter, eftersom ΗΘ är lika många multiplar av ΕΒ och Κ av Γ och ΕΒ är lika med Γ, är alltså också ΗΘ lika med Κ. Och Κ är inte mindre än Μ, alltså är heller inte ΗΘ mindre än Μ. Och ΖΗ är större än Δ, alltså är hela ΖΘ större än Δ och Μ sammanlagda. Men sammanlagda är Δ och Μ lika med Ν och då Μ är tre gånger av Δ samt Μ och Δ sammanlagda är fyra gånger Δ, är även Ν fyra gånger Δ, alltså är Μ och Δ sammanlagda lika med Ν. Men ΖΘ är större än Μ och Δ, alltså överstiger ΖΘ Ν och Κ överstiger inte Ν. Dessutom är ΖΘ och Κ lika många multiplar av ΑΒ och Γ samt Ν är en annan, godtycklig, multipel av Δ. Alltså har ΑΒ ett större förhållande till Δ än Γ har till Δ.Def. 5.7

Jag säger därför, att även Δ har ett större förhållande till Γ än Δ har till ΑΒ.

Ty med samma uppställning skall vi på samma sätt visa, att Ν överstiger Κ och att Ν inte överstiger ΖΘ. Och Ν är en multipel av Δ samt ΖΘ och Κ är andra, godtyckliga, multiplar av ΑΒ och Γ. Alltså har Δ ett större förhållande till Γ än Δ har till ΑΒ.Def. 5.5

Men låt så ΑΕ vara större än ΕΒ. Den mindre, ΕΒ, skall multiplicerad någon gång bli större än Δ. Låt ha multiplicerat den och låt ΗΘ vara en multipel av ΕΒ större än Δ. Och så många gånger ΗΘ är delbar av ΕΒ, låt ΖΗ bli så många gånger delbar av ΑΕ och Κ av Γ. På samma sätt skall vi visa, att ΖΘ och Κ är lika många multiplar av ΑΒ och Γ. Låt multipeln Ν av Δ ha tagits på samma sätt, den första större än ΖΗ, så att ΖΗ åter inte är mindre än Μ. ΗΘ är större än Δ, alltså överstiger hela ΖΘ Δ och Μ, det vill säga Ν. Κ överstiger inte Ν, då också ΖΗ, som är större än ΗΘ, det vill säga Κ, inte överstiger Ν. Och detta sätt följande slutför vi beviset för de ovanstående.

Av två storheter har alltså den större ett större förhållande än den mindre till samma storhet. Och denna storhet har till den mindre ett större förhållande än till den större. Vilket skulle visas.

θʹ.

Τὰ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λὸγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἕχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν.

9.

De storheter som till samma storhet har samma förhållande, är lika med varandra och dem till vilka samma storhet har samma förhållande, dessa är lika.

Ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον· ἔχει δέ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν λόγον· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον· ἔχει δέ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Τὰ ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[10]

Ty låt var och en av Α och Β ha samma förhållande till Γ. Jag säger, att Α är lika med Β.

Ty, om inte, skulle inte var och en av Α och Β ha samma förhållande till Γ.Prop. 5.8 Men det har de, alltså är Α lika med Β.

Ty låt igen Γ ha samma förhållande till var och en av Α och Β. Jag säger, att Α är lika med Β.

Ty, om inte, skulle inte Γ ha samma förhållande till var och en av Α och Β.Prop. 5.8 Men det har den, alltså är Α lika med Β.

De storheter som till samma storhet har samma förhållande, är lika med varandra och dem till vilka samma storhet har samma förhållande, dessa är lika. Vilket skulle visas.

ιʹ.

Τῶν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν· πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν.

10.

Av två storheter som har ett förhållande till samma storhet, har den ett större förhållande som är större och den, till vilken denna samma har ett större förhållande, är mindre.

Ἐχέτω γὰρ τὸ Α πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ· λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β.

Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β ἢ ἔλασσον. ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστὶ τὸ Α τῷ Β· ἑκάτερον γὰρ ἂν τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β· τὸ Α γὰρ ἂν πρὸς τὸ Γ ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β. ἐδείχθη δὲ οὐδὲ ἴσον· μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τοῦ Β.

Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Α· λέγω, ὅτι ἔλασσόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α.

Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον. ἴσον μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Β τῷ Α· τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. οὐδὲ μὴν μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α· τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς τὸ Β ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ πρὸς τὸ Α. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴσον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τοῦ Α.

Τῶν ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν· καὶ πρὸς ὃ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[11]

Ty låt Α ha ett större förhållande till Γ än Β till Γ. Jag säger, att Α är större än Β.

Ty om inte, är Α antingen lika med Β eller mindre. Nu är emellertid Α inte lika med Β, ty då hade var och en av Α och Β samma förhållande till Γ.Prop. 5.7 Men det har de inte. Alltså är Α inte lika med Β. Och inte heller är Α mindre än Β. Ty då hade Α ett mindre förhållande till Γ, än Β till Γ. Men det har den inte. Alltså är Α inte mindre än Β. De har visats vara olika, alltså är Α större än Β.

Ty låt Γ ha ett större förhållande till Β än Γ till Α. Jag säger, att Β är mindre än Α.

Ty om inte, är den antingen lika med eller större. Men lika är inte Β med Α, ty då hade Γ samma förhållande till var och en av Α och Β.Prop. 5.7 Men det har den inte. Alltså är Α inte lika med Β. Och inte heller är Β större än Α, ty då hade Γ ett mindre förhållande till Β än till Α.Prop. 5.8 Men det har den inte. Alltså är Β inte större än Α. Det har visats, att de är olika, alltså är Β mindre än Α.

Av två storheter som har ett förhållande till samma storhet, har alltså den ett större förhållande som är större och den, till vilken denna samma har ett större förhållande, är mindre. Vilket skulle visas.

ιαʹ.

Οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.

11.

De som är desamma till ett och samma förhållande, är också sinsemellan desamma.

Ἔστωσαν γὰρ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ εἰ ἴσον ἐστίν, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Θ, Κ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλλατον, ἔλαττον. ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ Η τοῦ Λ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον· ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.

Οἱ ἄρα τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[12]

Ty låt som Α är till Β, Γ vara till Δ och som Γ är till Δ, Ε vara till Ζ. Jag säger, att som Α är till Β, så är Ε till Ζ.

Ty låt ha satt Η, Θ och Κ till lika många multiplar av Α, Γ och Ε, samt Λ, Μ och Ν till andra, godtyckliga, lika många multiplar av Β, Δ och Ζ.

Och eftersom Α är till Β, som Γ till Δ, Α och Γ har satts som lika många multiplar av Η och Θ samt Λ och Μ som andra, godtyckliga, lika många multiplar av Β och Δ. Om då Η överstiger Λ, överstiger Θ även Μ, om Η och Λ är lika, är Θ och Μ lika och om Η understiger Λ, understiger Θ också Μ.Def. 5.5 Igen eftersom Γ är till Δ, som Ε till Ζ, Θ och Κ har satts som lika många multiplar av Γ och Ε samt Μ och Ν som andra, godtyckliga, lika många multiplar av Δ och Ζ. Om då Θ överstiger Μ, överstiger Κ även Ν, om Θ och Μ är lika, är Κ och Ν lika och om Θ är mindre än Μ, är Κ mindre än Ν.Def. 5.5 Men om Θ överstiger Μ, överstiger även Η Λ, om Θ och Μ är lika, är Η och Λ lika och om Θ är mindre än Μ, är Κ mindre än Ν.Def. 5.5 Om Η överstiger Λ, överstiger på samma sätt Κ även Ν, om Η och Λ är lika, är Κ och Ν lika och om Η är mindre än Λ, är Κ mindre än Ν. Dessutom är Η och Κ lika många multiplar av Α och Ε samt Λ och Ν är andra, godtyckliga, lika många multiplar av Β och Ζ, alltså är Α till Β, som Ε till Ζ.Def. 5.5

De som alltså är desamma till ett och samma förhållande, är också sinsemellan desamma. Vilket skulle visas.

ιβʹ.

Ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

12.

Om det finns ett antal proportionella storheter, så skall alla föregående tillsammans vara till alla efterföljande tillsammans, som en av de föregående till en av de efterföljande.

Ἔστωσαν ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸς το Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α, Γ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὰ Η, Θ, Κ τῶν Λ, Μ, Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσα, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττονα. καί ἐστι τὸ μὲν Η καὶ τὰ Η, Θ, Κ τοῦ Α καὶ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, ἐπειδήπερ ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Λ καὶ τὰ Λ, Μ, Ν τοῦ Β καὶ τῶν Β, Δ, Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α, Γ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[13]

Låt Α, Β, Γ, Δ, Ε och Ζ vara ett antal proportionella storheter och som Α är till Β, är Γ till Δ och Ε till Ζ. Jag säger, att som Α till Β, så är Α, Γ och Ε till Β, Δ och Ζ.

Ty låt ha satt Η, Θ och Κ till lika många multiplar av Α, Γ och Ε, men^F F) Notera, att i denna kataskeue använder Euklides partiklarna μέν och δέ, i motsats till samma, sånär, identiska kataskeue i 5.12. Λ, Μ och Ν till andra, godtyckliga, lika många multiplar av Β, Δ och Ζ.

Och eftersom som Α är till Β, så är Γ till Δ och Ε till Ζ. Och Η, Θ och Κ har satts till lika många multiplar av Α, Γ och Ε samt Λ, Μ och Ν till andra, godtyckliga, lika många multiplar av Β, Δ och Ζ. Om då Η överstiger Λ, överstiger Θ även Μ och Κ Μ, om Η och Λ är lika, är Θ och Μ samt Κ och Μ lika och om Η understiger Λ, understiger Θ också Μ och Κ ΜDef. 5.5 Och sålunda om Η överstiger Λ, överstiger Η, Θ och Κ också Λ, Μ och Ν, om Η är lika med Λ, är Η, Θ och Κ lika med Λ, Μ och Ν samt om Η är mindre än Λ, är Η, Θ och Κ mindre än Λ, Μ och Ν. Och Η samt Η, Θ och Κ är lika många multiplar av Α samt Α, Γ och Ε. Eftersom om ett antal storheter är lika många multiplar av lika många storheter, var och en med var och en, så många gånger som en av storheterna ryms i en, så många gånger ryms också alla i alla.Prop. 5.1 Av samma skäl bör också Λ samt Λ, Μ och Ν vara lika många multiplar av Β samt Β, Δ och Ζ. Alltså som Α är till Β, så är Α, Γ och Ε till Β, Δ och Ζ.

Om det finns ett antal proportionella storheter, så skall alla föregående tillsammans vara till alla efterföljande tillsammans, som en av de föregående till en av de efterföljande. Vilket skulle visas.

ιγʹ.

Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἒχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον.

13.

Om en första har samma förhållande till en andra som en tredje till en fjärde och den tredje har till den fjärde ett större förhållande än en femte till en sjätte, skall den första ha ett större förhållande till den andra än den femte till den sjätte.

Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, τρίτον δὲ τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ μείζονα λόγον ἐχέτω ἢ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ. λέγω, ὅτι καὶ πρῶτον τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἔστι τινὰ τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ τὸ μὲν τοῦ Γ πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερέχει, τὸ δὲ τοῦ Ε πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Ζ πολλαπλασίου οὐχ ὑπερέχει, εἰλήφθω, καὶ ἔστω τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ὥστε τὸ μὲν Η τοῦ Κ ὑπερέχειν, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ μὴ ὑπερέχειν· καὶ ὁσαπλάσιον μέν ἐστι τὸ Η τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Μ τοῦ Α, ὁσαπλάσιον δὲ τὸ Κ τοῦ Δ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Ν τοῦ Β.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Η, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ν, Κ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Μ τοῦ Ν, ὑπερέχει καὶ τὸ Η τοῦ Κ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλλατον. ὑπερέχει δὲ τὸ Η τοῦ Κ· ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ Μ τοῦ Ν. τὸ δὲ Θ τοῦ Λ οὐχ ὑπερέχει· καί ἐστι τὰ μὲν Μ, Θ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Ν, Λ τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· τὸ ἄρα Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἒχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[14]

Ty låt den första, Α, ha samma förhållande till den andra, Β, som den tredje, Γ, till den fjärde, Δ, och den tredje, Γ, till den fjärde, Δ, ha ett större förhållande än den femte, Ε, till den sjätte, Ζ. Jag säger, att också den första, Α, skall ha ett större förhållande till den andra, Β, än den femte, Ε, till den sjätte, Ζ.

Ty eftersom det finns några lika många multiplar av Γ och Ε samt av Δ och Ζ andra, godtyckliga, lika många multiplar, där multipeln av Γ överstiger Δ:s multipel och multipeln av Ε inte överstiger Ζ:s multipel,Def. 5.7 låt ha satt dem så. Låt även Η och Θ vara lika många multiplar av Γ och Ε och Κ och Λ andra, godtyckliga, lika många multiplar av Δ och Ζ, så att Η överstiger Κ samt Θ inte överstiger Λ. Och så många som Η är av Γ, låt Μ vara så många av Α och så många som Κ är av Δ, låt Ν vara så många av Β.

Och eftersom Α är till Β som Γ är till Δ, av Α och Γ har valts lika många multiplar, Μ och Η samt av Β och Δ andra, godtyckliga, lika många multiplar, Ν och Κ, om då Μ överstiger Ν, överstiger också Η Κ, om Μ och Ν är lika, är Η och Κ lika och om Μ är mindre än Ν är, är Η mindre än Κ.Def. 5.5 Η överstiger Κ, alltså överstiger också Μ Ν. Θ överstiger inte Λ, Μ och Θ är lika många multiplar av Α och Ε samt Ν och Λ är andra, godtyckliga, lika många multiplar av Β och Ζ. Alltså har Α ett större förhållande till Β än Ε till Ζ.Def. 5.7

Om alltså en första har samma förhållande till en andra som en tredje till en fjärde och den tredje har till den fjärde ett större förhållande än en femte till en sjätte, skall den första ha ett större förhållande till den andra än den femte till den sjätte. Vilket skulle visas.

ιδʹ.

Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

14.

Om en första storhet har samma förhållande till en andra som en tredje till en fjärde och den första är större än den tredje, skall även den andra vara större än den fjärde, om den första är lika med den tredje, skall den andra vara lika med den fjärde och om den första är mindre än den tredje, skall den andra vara mindre än den fjärde.

Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Β τοῦ Δ μεῖζόν ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζόν ἐστιν, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, ~~μέγεθος~~ τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν· ἔλασσον ἄρα τὸ Δ τοῦ Β· ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Δ.

Ὁμοίως δὴ δεῖξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Β τῷ Δ, κἄν ἔλασσον ᾖ τὸ Α τοῦ Γ, ἔλασσον ἔσται καὶ τὸ Β τοῦ Δ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[15]

Ty låt en första storhet, Α, ha samma förhållande till en andra, Β, som en tredje, Γ, till en fjärde, Δ, och låt Α vara större än Γ. Jag säger, att även Β är större än Δ.

Ty eftersom Α är större än Γ och Β är en annan godtycklig storhet, har alltså Α till Β ett större förhållande än Γ till Β.Prop. 5.8 Som Α är till Β, så är Γ till Δ och alltså har Γ ett större förhållande till Δ än Γ till Β. Den mot vilken densamma har ett större förhållande, är den mindre.Prop. 5.10 Alltså är Δ mindre än Β, just som Β är större än Δ.

På samma sätt skall vi visa, att om Α är lika med Γ, skall även Β vara lika med Δ och om Α är mindre än Γ, skall Β vara mindre än Δ.

Om alltså en första storhet har samma förhållande till en andra som en tredje till en fjärde och den första är större än den tredje, skall även den andra vara större än den fjärde, om den första är lika med den tredje, skall den andra vara lika med den fjärde och om den första är mindre än den tredje, skall den andra vara mindre än den fjärde Vilket skulle visas.

ιεʹ.

Τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα.

15.

Delar och lika multiplar har samma förhållande tagna i korresponderande ordning.

Ἔστω γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ το ΔΕ τοῦ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ, τὸ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ ἀλλήλοις, ἔστι δὲ καὶ τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ ἴσα ἀλλήλοις, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΚΛ, καὶ τὸ ΘΒ πρὸς τὸ ΛΕ. ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγουμένα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Γ, τὸ δὲ ΔΚ τῷ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.

Τὰ ἄρα μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[16]

Ty låt ΑΒ vara lika många multiplar av Γ och ΔΕ av Ζ. Jag säger, att som Γ är till Ζ, så är ΑΒ till ΔΕ.

Ty eftersom ΑΒ är lika många multiplar av Γ och ΔΕ av Ζ, ryms alltså så många delar lika med Γ i ΑΒ, som så många lika med Ζ i ΔΕ. Låt ha delat ΑΒ i ΑΗ, ΗΘ och ΘΒ lika med Γ samt ΔΕ i ΔΚ, ΚΛ och ΛΕ lika med Ζ. Antalet av ΑΗ, ΗΘ och ΘΒ kommer att vara lika med antalet av ΔΚ, ΚΛ och ΛΕ. Och eftersom ΑΗ, ΗΘ och ΘΒ är lika med varandra och även ΔΚ, ΚΛ och ΛΕ är lika med varandra, är alltså ΑΗ till ΔΚ som ΗΘ till ΚΛ och ΘΒ till ΛΕ.Prop. 5.7 Alltså som en av de föregående till en av de efterföljande, så skall även alla föregående vara till alla efterföljande.Prop. 5.12 Alltså som ΑΗ är till ΔΚ, så är ΑΒ till ΔΕ. Men ΑΗ är lika med Γ och ΔΚ med Ζ, alltså är Γ till Ζ som ΑΒ till ΔΕ.

Delar och lika multiplar har alltså samma förhållande tagna i korresponderande ordning. Vilket skulle visas.

ιϛʹ.

Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται.

16.

Om fyra storheter är proportionella, skall de även vara alternerat proportionella.

Ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ~~ἀνάλογον~~ ἔσται, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ.

Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ε τοῦ Α καὶ τὸ Ζ τοῦ Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ~~οὕτως~~ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἄν ἔλαττον, ἔλαττον. εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ Η, ὑπερέχει καὶ τὸ Ζ τοῦ Θ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Ε, Ζ τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.

Ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[17]

Låt Α, Β, Γ och Δ vara fyra proportionella storheter, där Α är till Β som Γ till Δ. Jag säger, att de är även alternerat proportionella, så Α är till Γ, som Β är till Δ.

Ty låt ha satt Ε och Ζ till lika många multiplar av Α och Β samt Η och Θ till andra, godtyckliga, lika många multiplar av Γ och Δ.

Och eftersom Ε är lika många multiplar av Α som Ζ av Β och delar och lika multiplar har samma förhållande,Prop. 5.15 är alltså som Α till Β, så är Ε till Ζ. Men som Α till Β, så är Γ till Δ och alltså som Γ till Δ, så är Ε till Ζ.Prop. 5.11 Igen, eftersom Η och Θ är lika många multiplar av Γ och Δ, är alltså som Γ till Δ, så är Η till Θ.Prop. 5.15 Men som Γ till Δ, så är Ε till Ζ och alltså som Ε till Ζ, så är Η till Θ.Prop. 5.11 Om fyra storheter är proportionella och den första är större än den tredje, skall den andra vara större än den fjärde, om den första och den tredje är lika, skall den andra och den fjärde vara lika och om den första är mindre än den tredje, skall den andra vara mindre än den fjärde.Prop. 5.14 Om Ε alltså överstiger Η, överstiger även Ζ Θ, om om Ε och Η är lika, skall Ζ och Θ vara lika och om Ε är mindre än Η, skall Ζ vara mindre än Θ.Prop. 5.14 Dessutom är Ε och Ζ lika många multiplar av Α och Β samt Η och Θ andra, godtyckliga, lika många multiplar av Γ och Δ. Alltså som Α är till Γ, så är Β till Δ.

Om alltså fyra storheter är proportionella, skall de även vara alternerat proportionella.

ιζʹ.

Ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται.

17.

Om sammansatta storheter är proportionella, skall de även vara proportionella när fördelade.

Ἔστω συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΒΕ, ΓΔ, ΔΖ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ· λέγω, ὅτι καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΔΖ.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ, ΜΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΚΞ, ΝΠ.

Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις δὲ ἦν πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. τὰ ΗΚ, ΛΝ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλασίον τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΝΠ τοῦ ΖΔ, καὶ συντεθὲν τὸ ΘΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ τοῦ ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΚ, ΛΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΘΞ, ΜΠ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. ὑπερεχέτω δὴ τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΘΚ ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. ἀλλα εἰ ὑπερεῖχε τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ ὑπερεῖχε καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ· ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΜΝ ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ· ὥστε εἰ ὑπερέχει τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ. ὁμοίως δὴ δεῖξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ ΗΘ τῷ ΚΞ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΝΠ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν ΗΘ, ΛΜ τῶν ΑΕ, ΓΖ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΚΞ, ΝΠ τῶν ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ.

Ἐὰν ἄρα συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[18]

Låt ΑΒ, ΒΕ, ΓΔ och ΔΖ vara sammansatta proportionella storheter, där ΑΒ är till ΒΕ, som ΓΔ till ΔΖ. Jag säger, att de också fördelade skall vara proportionella, där ΑΕ är till ΕΒ, som ΓΖ till ΔΖ.

Ty låt av ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ och ΖΔ ha valt lika många multiplar, ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ och ΜΝ, samt av ΕΒ och ΖΔ andra, godtyckliga, lika många multiplar, ΚΞ och ΝΠ.

Och eftersom ΗΘ är lika många multiplar av ΑΕ och ΘΚ av ΕΒ, är alltså ΗΘ lika många multiplar av ΑΕ och ΗΚ av ΑΒ.Prop. 5.1 Men ΗΘ är lika många multiplar av ΑΕ som ΛΜ av ΓΖ, alltså är ΗΚ lika många multiplar av ΑΒ som ΛΜ av ΓΖ. Åter, eftersom ΛΜ är lika många multiplar av ΓΖ som ΜΝ av ΖΔ, är alltså ΛΜ lika många multiplar av ΓΖ som ΛΝ av ΓΔ.Prop. 5.1 Men ΛΜ var lika många multiplar av ΓΖ som ΗΚ av ΑΒ, alltså är ΗΚ lika många multiplar av ΑΒ som ΛΝ av ΓΔ. Alltså är ΗΚ och ΛΝ lika många multiplar av ΑΒ och ΓΔ. Åter, eftersom ΘΚ är lika många multiplar av ΕΒ som ΜΝ av ΖΔ samt ΚΞ är lika många multiplar av ΕΒ som ΝΠ av ΖΔ, är sammantagna även ΘΞ lika många multiplar av ΕΒ som ΜΠ till ΖΔ.Prop. 5.2 Och eftersom som ΑΒ är till ΒΕ, så är ΓΔ till ΔΖ, ΗΚ och ΛΝ satts som lika många multiplar av ΑΒ och ΓΔ samt ΘΞ och ΜΠ som lika många multiplar av ΕΒ och ΖΔ, om sålunda ΗΚ överstiger ΘΞ, överstiger också ΛΝ ΜΠ, om ΗΚ och ΘΞ är lika, är ΛΝ och ΜΠ lika och om ΗΚ är mindre än ΘΞ, är ΛΝ mindre än ΜΠ.Def. 5.5 Låt ΗΚ överstiga ΘΞ och tagit ΘΚ från båda, då överstiger även ΗΘ ΚΞ. Men om ΘΞ överstiger ΘΚ, överstiger även ΗΘ ΚΞ. Alltså överstiger även ΗΘ ΚΞ och ΜΝ borttaget från båda överstiger även ΛΜ ΝΠ. Om då ΗΘ överstiger ΚΞ, överstiger även ΛΜ ΝΠ. På samma sätt skall vi visa, att om ΗΘ är lika med ΚΞ, skall också ΛΜ vara lika med ΝΠ och om ΗΘ är mindre än ΚΞ, är ΛΜ mindre än ΝΠ. Och ΗΘ och ΛΜ är lika många multiplar av ΑΕ och ΓΖ samt ΚΞ och ΝΠ är andra, godtyckliga, lika många multiplar av ΕΒ och ΖΔ. Alltså som ΑΕ till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔ.

Om alltså sammansatta storheter är proportionella, skall de även vara proportionella när fördelade. Vilket skulle visas.

ιηʹ.

Ἐὰν διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται.

18.

Om fördelade storheter är proportionella, skall de även sammansatta vara proportionella.

Ἔστω διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ.

Εἰ γὰρ μή ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, ἔσται ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΔΖ ἢ πρὸς μεῖζον.

Ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ ΔΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΗ, συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν· ὥστε καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον τὸ ΓΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΓΖ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ δεύτερον τὸ ΗΔ τοῦ τετάρτου τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον· πρὸς αὐτὸ ἄρα.

Ἐὰν ἄρα διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[19]

Låt ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ och ΖΔ vara de fördelade proportionella storheterna, där ΑΕ är till ΕΒ, som ΓΖ till ΖΔ. Jag säger, att de även sammansatta skall vara proportionella, där ΑΒ är till ΒΕ, som ΓΔ till ΖΔ.

Ty om ΑΒ inte är till ΒΕ, som ΓΔ till ΔΖ, skall ΑΒ vara till ΒΕ, som ΓΔ är till en storhet antingen mindre eller större än ΔΖ.

Lått först ΔΗ vara mindre. Och eftersom som ΑΒ är till ΒΕ, så är ΓΔ till ΔΗ, är storheterna sammansatta proportionella, på samma sätt skall de också vara proportionella fördelade.Prop. 5.17 Alltså är ΑΕ till ΕΒ, som ΓΗ till ΗΔ. Dessutom har ΑΕ antagits vara till ΕΒ, som ΓΖ till ΖΔ. Och som ΓΗ är till ΗΔ, så är alltså ΓΖ till ΖΔ.Prop. 5.11 Den första storheten, ΓΗ, är större än den tredje, ΓΖ, alltså är också den andra, ΗΔ, större än den fjärde, ΖΔ.Prop. 5.14 Men också mindre, vilket är omöjligt. Alltså är inte ΑΒ till ΒΕ, som ΓΔ är till en storhet mindre än ΖΔ. På samma sätt skall vi visa, att den inte heller är det till en större. Alltså till är den det till ΖΔ själv.

Om alltså fördelade storheter är proportionella, skall de även sammansatta vara proportionella. Vilket skulle visas.

ιθʹ.

Ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.

19.

Om det hela är till det hela som det borttagna till det borttagna, skall också resten vara till resten som det hela till det hela.

Ἔστω γὰρ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸς ἀφειρεθὲν τὸ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ. καὶ ἐπεὶ συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΕΑ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΓΖ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΔΖ, οὕτως τὸ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ. ὡς δὲ τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ὑπόκειται ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον ~~ὅπερ ἔδει δεῖξαι~~.

Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΕΒ πρὸς τὸ ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ, συγκείμενα ἄρα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν· ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ· καί ἐστιν ἀναστρέψαντι.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[20]

Ty låt hela ΑΒ vara till hela ΓΔ, som det borttagna ΑΕ till det borttagna ΓΖ. Jag säger, att också resten ΕΒ skall vara till resten ΖΔ som hela ΑΒ till hela ΓΔ.

Ty eftersom ΑΒ är till ΓΔ, som ΑΕ till ΓΖ och alternerat som ΒΑ ΑΕ, så ΔΓ till ΓΖ.Prop. 5.16 Och eftersom sammansatta storheter är proportionella, skall de också vara proportionella när fördelade. Så ΒΕ är till ΕΑ, som ΔΖ till ΓΖ,Prop. 5.17 och alternerat så är ΒΕ till ΔΖ som ΕΑ till ΖΓ.Prop. 5.16 Som ΑΕ är till ΓΖ, så antogs hela ΑΒ vara till ΓΔ. Och alltså skall ΕΒ vara till resten ΖΔ som hela ΑΒ till hela ΓΔ.

Om alltså det hela är till det hela som det borttagna till det borttagna, skall också resten vara till resten som det hela till det hela. ~~Vilket skulle visas.~~

Och eftersom det visats, att som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΒ till ΖΔ och alternerat som ΑΒ är till ΒΕ så är ΓΔ till ΖΔ. Alltså är sammansatta storheter proportionella. Det har även visats, att som ΒΑ är till ΑΕ, så är ΔΓ till ΓΖ och är det genom omvändning.

Följdsats.

Av detta är det tydligt, att om sammansatta storheter är proportionella, skall de också vara proportionella genom omvändning. Vilket skulle visas.

κʹ.

Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγω, δι᾿ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

20.

Om det finns tre storheter och andra med dem lika till antalet samt tagna två och två är i samma förhållande, skall om den första är ex aequali större än den tredje också den fjärde vara större än den sjätte, om den första är lika med den tredje, skall den fjärde vara lika med den sjätte och om den första är mindre än den tredje, skall den fjärde vara mindre än den sjätte.

Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, δι᾿ ἴσου δὲ μεῖζον ἔστω τὸ Α τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β ~~οὕτως~~ τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε· καὶ τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε. τῶν δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν. μεῖζον ἄρα τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

Ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγω, δι᾿ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[21]

Låt Α, Β och Γ vara tre storheter och Δ, Ε och Ζ andra med dem lika till antalet samt tagna två och två är i samma förhållande, att som Α är till Β, så är Δ till Ε, som Β till Γ, så Ε till Ζ. Låt även Α vara ex aequali större än Γ. Jag säger, att även Δ skall vara större än Ζ, om Α är lika med Γ, skall Δ vara lika med Ζ och om Α är mindre än Γ, skall Δ vara mindre än Ζ.

Ty eftersom Α är större än Γ och Β något annat samt den större har till samma ett större förhållande än den mindre.Prop. 5.8 Alltså har Α ett större förhållande till Β än Γ till Β. Men som Α är till Β, så är Δ till Ε, som Γ till Β, så är omvänt Ζ till Ε.Prop. 5.7 cor. Alltså har Δ också ett större förhållande till Ε än Ζ till Ε.Prop. 5.13 Av dem som har samma förhållande till samma storhet, har den störst förhållande som är störst.Prop. 5.10 Alltså är Δ större än Ζ. På samma sätt skall vi visa, att om Α är lika med Γ, skall Δ vara lika med Ζ och om Α är mindre än Γ, skall Δ vara mindre än Ζ.

Om det alltså finns tre storheter och andra med dem lika till antalet samt tagna två och två är i samma förhållande, skall om den första är ex aequali större än den tredje också den fjärde vara större än den sjätte, om den första är lika med den tredje, skall den fjärde vara lika med den sjätte och om den första är mindre än den tredje, skall den fjärde vara mindre än den sjätte. Vilket skulle visas.

καʹ.

Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, δι᾿ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

21.

Om det finns tre storheter och andra med dem lika till antalet samt tagna två och två är i samma förhållande, är deras proportion omordnad och den första är ex aequali större än den tredje, skall även den fjärde vara större än den sjätte, om den första är lika med den tredje, skall även den fjärde vara lika med den sjätte och om den första är mindre än den tredje, skall även den fjärde vara mindre än den sjätte.

Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, δι᾿ ἴσου δὲ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἒλαττον, ἒλαττον.

Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. καὶ τὸ Ε ἄρα πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν· ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ τοῦ Δ· μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.

Ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, δι᾿ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[22]

Låt Α, Β och Γ vara tre storheter och Δ, Ε och Ζ andra med dem lika till antalet samt tagna två och två är i samma förhållande, låt deras proportion vara omordnad, så att som Α är till Β, så är Ε till Ζ, som Β till Γ, så Δ till Ε. Låt även Α vara ex aequali större än Γ. Jag säger, att också Δ skall vara större än Ζ, om Α är lika med Γ, skall även Δ vara lika med Ζ och om Α är mindre än Γ, skall även Δ vara mindre än Ζ.

Ty eftersom Α är större än Γ och Β något annat, alltså skall Α ha ett större förhållande till Γ än till Β.Prop. 5.8 Men som Α är till Β, så är Ε till Ζ och som Γ är till Β, så är Ε omvänt till Δ.Prop. 5.7 cor. Och alltså har Ε ett större förhållande till Ζ än Ε till Δ.Prop. 5.13 Den som densamma har ett större förhållande till, den är mindre.Prop. 5.10 Alltså är Ζ mindre än Δ och alltså är Δ större än Ζ. På samma sätt skall vi visa, att om Α är lika med Γ, skall Δ också vara lika med Ζ och om Α är mindre än Γ, skall Δ också vara mindre än Ζ

Om det alltså finns tre storheter och andra med dem lika till antalet samt tagna två och två är i samma förhållande, är deras proportion omordnad och den första är ex aequali större än den tredje, skall även den fjärde vara större än den sjätte, om den första är lika med den tredje, skall även den fjärde vara lika med den sjätte och om den första är mindre än den tredje, skall även den fjärde vara mindre än den sjätte. Vilket skulle visas.

κβʹ.

Ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ δι᾿ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.

22.

Om det finns ett antal storheter och andra med dem lika till antalet som tagna två och två är i samma förhållande, skall de ex aequali vara i samma förhållande.

Ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ δι᾿ ἴσου ἐν τῷ αὐτῳ λόγῳ ἔσται.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, καὶ ἔτι τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Λ. δὶα τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Κ πρὸς τὸ Μ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Κ, Μ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Θ, Λ, Ν, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, δι᾿ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Η, Θ τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ δι᾿ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[23]

Låt Α, Β och Γ vara ett antal storheter och Δ, Ε och Ζ andra med dem lika till antalet som tagna två och två är i samma förhållande, så Α är till Β, som Δ till Ε, som Β till Γ och så Ε till Ζ. Jag säger, att de också skall ex aequali vara i samma förhållande.

Ty låt ha tagit Η och Θ som lika många multiplar av Α och Δ, Κ och Λ som andra, godtyckliga, lika många multiplar av Β och Ε samt Μ och Ν som åter andra, godtyckliga, lika många multiplar av Γ och Z.

Och eftersom som Α är till Β, så är Δ till Ε, Η och Θ har tagits som lika många multiplar av Α och Δ, Κ och Λ som andra, godtyckliga, lika många multiplar av Β och Ε, alltså som Η är till Κ, så är Θ till Λ.Prop. 5.4 Av samma skäl bör Λ vara till Ν som Κ är till Μ. Alltså eftersom Η, Κ och Μ är tre storheter och Θ, Λ och Ν andra med dem lika till antalet som tagna två och två är i samma förhållande, alltså, ex aequali, om Η överstiger Μ, överstiger även Θ Ν, om Η är lika med Μ, är Θ lika med Ν och om Η är mindre än Μ, är Θ mindre än Ν.Prop. 5.20 Dessutom är Η och Θ lika många multiplar av Α och Δ, Μ och Ν är andra lika många multiplar av Γ och Ζ. Alltså som Α är till Γ, så är Δ till Ζ.Def. 5.5

Om alltså det finns ett antal storheter och andra med dem lika till antalet som tagna två och två är i samma förhållande, skall de ex aequali vara i samma förhållande. Vilket skulle visas.

κγʹ.

Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ δι᾿ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.

23.

Om det finns tre storheter och andra med dem lika till antalet samt tagna två och två har samma förhållande, är deras proportion omordnad, skall de även ex aequali vara i samma förhållande.

Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὰ Δ, Ε, Ζ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.

Εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Β, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Γ, Ε, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.

Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ τῶν Α, Β, τὰ δὲ μέρη τοὶς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν· καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ τὰ Θ, Κ τῶν Β, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, τὰ δὲ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ. ἀλλ᾿ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε· καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Λ, Μ τῶν Γ, Ε ἰσάκις ἐστι πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ. ἀλλ᾿ ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Θ πρὸς τὸ Λ, τὸ Κ πρὸς τὸ Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Θ, Λ, καὶ ἄλλα αὐτοις ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Κ, Μ, Ν σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καί ἐστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἡ ἀναλογία, δι᾿ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Γ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.

Ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ δι᾿ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[24]

Låt Α, Β och Γ vara tre storheter och Δ, Ε och Ζ andra med dem lika till antalet samt tagna två och två har samma förhållande, låt deras proportion vara omordnad, så att som Α är till Β, så är Ε till Ζ, som Β till Γ, så Δ till Ε. Jag säger, att som Α är till Γ, så är Δ till Ζ.

Ty låt ha tagit Η, Θ och Κ som lika många multiplar av Α, Β och Δ samt Λ, Μ och Ν som andra, godtyckliga, lika många multiplar av Γ, Ε och Ζ.

Och eftersom Η och Θ är lika många multiplar av Α och Β samt delar och lika multiplar har samma förhållandeProp. 5.15, alltså som Α är till Β, så är Η till Θ. Av samma skäl som Ε är till Ζ, bör Μ vara till Ν. Och som Α är till Β, så är Ε till Ζ. Alltså som Η är till Θ, så är Μ till Ν.Prop. 5.11 Och eftersom som Β är till Γ, så är Δ till Ε och alternerat som Β är till Δ, så är Γ till Ε.Prop. 5.16 Och eftersom Θ och Κ är lika många multiplar av Β och Δ samt delar och lika multiplar har samma förhållande.Prop. 5.15 Alltså, som Β är till Δ, så är Θ till Κ. Men som Β är till Δ, så är Γ till Ε och alltså som Θ är till Κ, så är Γ till Ε.Prop. 5.11 Åter, eftersom Λ och Μ är lika många multiplar av Γ och Ε, alltså som Γ är till Ε, så är Λ till Μ.Prop. 5.15 Men som Γ är till Ε, så är Θ till Κ och alltså, som Θ är till Κ, så är Λ till Μ.Prop. 5.11 Och alternerat, som Θ är till Λ, så Κ till Μ.Prop. 5.16 Det har även visats att som Η är till Θ, så är Μ till Ν. Eftersom då Η, Θ och Λ är tre storheter samt Κ, Μ och Ν är andra med dem lika till antalet storheter, tagna två och två har samma förhållande. Deras proportion är också omordnad. Alltså ex aequali, om Η överstiger Λ, överstiger även Κ Ν, om Η är lika med Λ, är även Κ lika med Ν och om Η är mindre än Λ, är även Κ mindre än Ν.Prop. 5.21 Och Η och Κ är lika många multiplar av Α och Δ samt Λ och Ν av Γ och Ζ. Alltså, som Α är till Γ, så är Δ till Ζ.Def. 5.5

Om det alltså finns tre storheter och andra med dem lika till antalet samt tagna två och två har samma förhållande, är deras proportion omordnad, skall de även ex aequali vara i samma förhållande. Vilket skulle visas.

κδʹ.

Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον.

24.

Om en första har samma förhållande till en andra som en tredje till en fjärde och en femte har samma förhållande till en andra som en sjätte till en fjärde, skall också sammantagna den första och den femte ha samma förhållande till den andra samt den tredje och den sjätte till den fjärde.

Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς δεύρερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ, ἐχέτω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΘΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ· δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ Ζ.

Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον· ὅπερ ἔδει δεὶξαι.^[25]

Ty låt den första, ΑΒ, ha samma förhållande till en andra, Γ, som en tredje, ΔΕ, till en fjärde, Ζ. Låt också en femte, ΒΗ, ha samma förhållande till en andra, Γ, som en sjätte, ΕΘ, till en fjärde, Ζ. Jag säger, att sammantagna skall också den första och den femte, ΑΗ, ha samma förhållande till den andra, Γ, samt den tredje och den sjätte, ΔΘ, till den fjärde, Ζ.

Ty eftersom som ΒΗ är till Γ, så är ΕΘ till Ζ, och omvänt som Γ alltså är till ΒΗ, så är Ζ till ΕΘ.Prop. 5.7 cor. Eftersom då som ΑΒ är till Γ, så är ΔΕ till Ζ och som Γ är till ΒΗ, så är Ζ till ΕΘ, alltså ex aequali som ΑΒ är till ΒΗ, så är ΔΕ till ΕΘ.Prop. 5.22 Och eftersom storheterna är proportionella fördelade, skall de även vara proportionella sammansatta.Prop. 5.18 Alltså som ΑΗ är till ΗΒ, så är ΔΘ till ΘΕ. Och även som ΒΗ är till Γ, så är ΕΘ till Ζ. Alltså ex aequali som ΑΗ är till Γ, så är ΔΘ till Ζ.Prop. 5.22

Om alltså en första har samma förhållande till en andra som en tredje till en fjärde och en femte har samma förhållande till en andra som en sjätte till en fjärde, skall också sammantagna den första och den femte ha samma förhållande till den andra samt den tredje och den sjätte till den fjärde. Vilket skulle visas.

κεʹ.

Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον ~~αὐτῶν~~ καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν.

25.

Om fyra storheter är proportionella, då skall den största och den minsta av dem vara större än två av de resterande.

Ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἔστω δὲ μέγιστον μὲν αὐτῶν τὸ ΑΒ, ἐλάχιστον δὲ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, Ζ τῶν ΓΔ, Ε μείζονά ἐστιν.

Κείσθω γὰρ τῷ μὲν Ε ἴσον τὸ ΑΗ, τῷ δὲ Ζ ἴσον τὸ ΓΘ.

Ἐπεὶ ~~οὖν~~ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν Ε τῷ ΑΗ, τὸ δὲ Ζ τῷ ΓΘ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΗ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΘ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΘΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, τὰ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστὶ τοῖς ΓΘ, Ε. καὶ ~~ἐπεὶ~~ ἐὰν ~~ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἄνισά ἐστιν, ἐὰν ἄρα~~ τῶν ΗΒ, ΘΔ ἀνίσων ὄντων καὶ μείζονος τοῦ ΗΒ τῷ μὲν ΗΒ προστεθῇ τὰ ΑΗ, Ζ, τῷ δὲ ΘΔ προστεθῇ τὰ ΓΘ, Ε, συνάγεται τὰ ΑΒ, Ζ μείζονα τῶν ΓΔ, Ε.

Ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον αὐτῶν καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[26]

Låt ΑΒ, ΓΔ, Ε och Ζ vara fyra proportionella storheter och som ΑΒ är till ΓΔ, så är Ε till Ζ. Låt ΑΒ vara den största av dem och Ζ den minsta. Jag säger, att ΑΒ och Ζ skall vara större än ΓΔ och Ε.

Ty låt ha satt ΑΗ lika med Ε och ΓΘ lika med Ζ.

Eftersom då som ΑΒ är till ΓΔ, så är Ε till Ζ, Ε är lika med ΑΗ samt Ζ med ΓΘ, alltså som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΑΗ till ΓΘ. Och eftersom som hela ΑΒ är till hela ΓΔ, så är det borttagna ΑΗ till det borttagna ΓΘ, och alltså skall resten ΗΒ vara till resten ΘΔ som hela ΑΒ till hela ΓΔ.Prop. 5.19 ΑΒ är större än ΓΔ, alltså är ΗΒ större än ΘΔ. Och eftersom ΑΗ är lika med Ε samt ΓΘ med Ζ, är alltså ΑΗ och Ζ lika med ΓΘ och Ε. Och om ~~lika läggs till olika, är de hela olika, om sålunda~~ - då ΗΒ och ΘΔ är olika och ΗΒ större - ΑΗ och Ζ läggs till ΗΒ samt ΓΘ och Ε läggs till ΘΔ, ger det, att ΑΒ och Ζ är större än ΓΔ och Ε.

Om alltså fyra storheter är proportionella, då skall den största och den minsta av dem vara större än två av de resterande. Vilket skulle visas.