Elementas Bok IV

Στοιχείων δʹ.

Ὅροι.

αʹ. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς σχῆμα εὐθύγραμμον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη τῶν τοῦ ἐγγραφομένου σχήματος γωνιῶν ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, ἅπτηται.
βʹ. Σχῆμα δὲ ὁμοίως περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, ἅπτηται.
γʹ. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς κύκλον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη γωνία τοῦ ἐγγραφομένου ἅπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.
δʹ. Σχῆμα δὲ εὐθύγραμμον περὶ κύκλον περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἐφάπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.
εʹ. Κύκλος δὲ εἰς σχῆμα ὁμοίως ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, ἅπτηται.
ϛʹ. Κύκλος δὲ περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, ἅπτηται.
ζʹ. Εὐθεῖα εἰς κύκλον ἐναρμόζεσθαι λέγεται, ὅταν τὰ πέρατα αὐτῆς ἐπὶ τῆς περιφερείας ᾖ τοῦ κύκλου.[1]

Definitioner.

1. En rätlinjig figur sägs vara inskriven i en rätlinjig figur, när var och en av den inskrivna figurens vinklar vidrör varje sida av den, i vilken den är inskriven.
2. På samma sätt sägs en rätlinjig figur vara omskriven kring en rätlinjig figur, när varje sida av den omskrivande figuren vidrör varje vinkel av den, kring vilken den är omskriven.
3. En rätlinjig figur sägs vara inskriven i en cirkel, när varje vinkel av den inskrivna figuren vidrör cirkelns omkrets.
4. En rätlinjig figur sägs vara omskriven kring en cirkel, när varje sida av den omskrivande figuren vidrör cirkelns omkrets.
5. En cirkel sägs på samma sätt vara inskriven i en rätlinjig figur, när cirkelns omkrets vidrör varje sida av den, i vilken den är inskriven.
6. En cirkel sägs vara omskriven kring en rätlinjig figur, när cirkelns omkrets vidrör varje vinkel av den, kring vilken den är omskriven.
7. En rät linje sägs vara passats in i en cirkel, när dess ändpunkter ligger på cirkelns omkrets.

αʹ.

Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι.

1.

Att i en given cirkel passa in en rät linje, som är lika med en given rät linje, vilken inte är större än cirkelns diameter.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα μὴ μείζων τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἡ Δ. δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι.

Ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου διάμετρος ἡ ΒΓ. εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ Δ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν· ἐνήρμοσται γὰρ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΒΓ. εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Δ, κείσθω τῇ Δ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΕ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ.

Ἐπεὶ οὖν το Γ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΑΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΓΕ. ἀλλὰ τῇ Δ ἡ ΓΕ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ Δ ἄρα τῇ ΓΑ ἐστιν ἴση.

Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τὸν ΑΒΓ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Δ ἴση ἐνήρμοσται ἡ ΓΑ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[2]

Låt ΑΒΓ vara den givna cirkeln och Δ den givna räta linjen ej större än cirkelns diameter. I cirkeln ΑΒΓ skall en rät linje lika med den räta linjen Δ passas in.

Låt ha dragit cirkeln ΑΒΓ:s diameter ΒΓ. Om ΒΓ alltså är lika med Δ, har det som sökts blivit uppfyllt. Ty ΒΓ, lika med den räta linjen Δ, har passats in i cirkeln ΑΒΓ. Om ΒΓ är större än Δ, gör ΓΕ lika med ΔProp. 1.3, låt ha dragit cirkeln ΕΑΖ, med medelpunkt i Γ och radien ΓΕ, samt ha förbundit ΓΑ.

Eftersom alltså punkten Γ är cirkeln ΕΑΖ:s medelpunkt, är ΓΑ lika med ΓΕ. Men ΓΕ är lika med Δ och alltså är Δ lika med ΓΑ.

Alltså har ΓΑ, lika med den givna räta linjen Δ, passats in i den givna cirkeln ΑΒΓ. Vilket skulle göras.

βʹ.

Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.

2.

Att i en given cirkel inskriva en triangel likvinklig med en given triangel.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τριγωνον τὸ ΔΕΖ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.

Ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΗΘ κατὰ τὸ Α, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΘ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΑΓ, πρὸς δὲ τῇ ΑΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΖΕ [γωνίᾳ] ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ.

Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΘ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς εἰς τὸν κύκλον διῆκται εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΘΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση [ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον].

Εἰς τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[3]

Låt ΑΒΓ vara den givna cirkeln, ΔΕΖ den givna triangeln. I cirkeln ΑΒΓ skall en triangel, likvinklig med ΔΕΖ, skrivas in.

Låt ha dragit cirkeln ΑΒΓ:s tangent ΗΘ genom Α och låt ha konstruerat, mot den räta linjen ΑΘ vid punkten Α på den, vinkeln ΘΑΓ lika med vinkeln ΔΕΖ, mot den räta linjen ΑΗ vid punkten Α på den, vinkeln ΗΑΒ lika med vinkeln ΔΖΕProp. 1.23 samt ha förbundit ΒΓ.

Eftersom sålunda någon rät linje ΑΘ tangerar cirkeln ΑΒΓ och från tangeringspunkten vid Α har en rät linje ΑΓ dragits genom cirkeln, är alltså vinkeln ΘΑΓ lika med motstående cirkelsegmentets vinkel ΑΒΓ.Prop. 3.32 Men vinkeln ΘΑΓ är lika med ΔΕΖ och alltså är vinkeln ΑΒΓ lika med ΔΕΖ. Av samma skäl är också ΑΓΒ lika med ΔΖΕ och alltså är resterande vinkeln ΒΑΓ lika med resterande vinkeln ΕΔΖ.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΑΒΓ likvinklig med triangeln ΔΕΖ och har skrivits in i cirkeln ΑΒΓ.

Alltså har i en given cirkel en triangel likvinklig med en given triangel skrivits in. Vilket skulle göras.

γʹ.

Περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι.

3.

Kring den givna cirkeln omskriva en triangel likvinklig med den givna triangeln.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΔΕΖ· δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι.

Ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΖ ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη κατὰ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΚΒ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΚΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Κ τῇ μὲν ὑπὸ ΔΕΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΑ, τῇ δὲ ὑπὸ ΔΖΘ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΓ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΑΜ, ΜΒΝ, ΝΓΛ.

Καὶ ἐπεὶ ἐφάπτονται τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΛ κατὰ τὰ Α, Β, Γ σημεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ Κ κέντρου ἐπὶ τὰ Α, Β, Γ σημεῖα ἐπεζευγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ σημείοις γωνίαι. καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΜΒΚ τετραπλεύρου αἱ τέσσαρες γωνίαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἐπειδήπερ καὶ εἰς δύο τρίγωνα διαιρεῖται τὸ ΑΜΒΚ, καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΚΑΜ, ΚΒΜ γωνίαι, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΕΗ, ΔΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ ταῖς ὑπὸ ΔΕΗ, ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΝΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΛΝ [λοιπῇ] τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ· καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον.

Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[4]

Låt ΑΒΓ vara den givna cirkeln, ΔΕΖ den givna triangeln. Kring cirkeln ΑΒΓ skall en triangel, likvinklig med den givna triangeln ΔΕΖ, omskrivas.

Låt ha dragit ut ΕΖ åt båda sidorna till punkterna Η och Θ, ha funnit cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt Κ,Prop. 3.1 ha godtyckligt dragit igenom cirkeln den räta linjen ΚΒ, ha konstruerat vinkeln ΒΚΑ, lika med vinkeln ΔΕΗ, mot den räta linjen ΚΒ, vid punkten Κ på den, och ΒΚΓ lika med ΔΖΘ.Prop. 1.23 Låt även ha dragit de räta linjerna ΛΑΜ, ΜΒΝ och ΝΓΛ genom punkterna Α, Β och Γ, tangerande cirkeln ΑΒΓ.

Och eftersom ΛΜ, ΜΝ och ΝΛ tangerar cirkeln ΑΒΓ vid punkterna Α, Β och Γ samt ΚΑ, ΚΒ och ΚΓ är förbundna, från medelpunkten Κ till punkterna Α, Β och Γ, är alltså vinklarna vid punkterna Α, Β och Γ räta.Prop. 3.18 Och eftersom fyrsidingen ΑΜΒΚ:s fyra vinklar är lika med fyra räta, då ΑΜΒΚ också kan delas i två trianglar,Prop. 1.32 och vinklarna ΚΑΜ och ΚΒΜ är räta, är alltså resterande vinklar ΑΚΒ och ΑΜΒ lika med två räta. Även ΔΕΗ och ΔΕΖ är lika med två räta.Prop. 1.13 Alltså är ΑΚΒ och ΑΜΒ lika med ΔΕΗ och ΔΕΖ, av vilka ΑΚΒ är lika med ΔΕΗ, alltså är resterande vinkel ΑΜΒ lika med resterande vinkel ΔΕΖ. På samma sätt skall det visas, att även ΛΝΒ är lika med ΔΖΕ och resterande vinkel ΜΛΝ är lika med resterande vinkel ΕΔΖ.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΛΜΝ likvinklig med triangeln ΔΕΖ och har omskrivits kring cirkeln ΑΒΓ.

Alltså har kring den givna cirkeln en triangel likvinklig med den givna triangeln omskrivits. Vilket skulle göras.

δʹ.

Εἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.

4.

Att skriva in en cirkel i en given triangel.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.

Τετμήσθωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δίχα ταῖς ΒΔ, ΓΔ εὐθείαις, καὶ συμβαλλέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΔ ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΒΔ, ΖΒΔ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΔ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν· ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση. αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὁ ἄρα κέντρῷ τῷ Δ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Η σημείοις γωνίας. εἰ γὰρ τεμεῖ αὐτάς, ἔσται ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾿ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πίπτουσα τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη· οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας· ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν, καὶ ἔσται ὁ κύκλος ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. ἐγγεγράφθω ὡς ὁ ΖΗΕ.

Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλος ἐγγέγραπται ὁ ΕΖΗ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[5]

Låt ΑΒΓ vara den givna triangeln. En cirkel skall skrivas in i triangeln ΑΒΓ.

Låt ha delat vinklarna ΑΒΓ och ΑΓΒ i hälften med de räta linjerna ΒΔ och ΓΔ,Prop. 1.9 låt dem skära varandra vid punkten Δ och låt ha dragit ΔΕ, ΔΖ och ΔΗ från Δ vinkelrätt till de räta linjerna ΑΒ, ΒΓ och ΓΑ.Prop. 1.12

Och eftersom vinkeln ΑΒΔ är lika med ΓΒΔ, är även den räta vinkeln ΒΕΔ lika med den räta vinkeln ΒΖΔ. ΕΒΔ och ΖΒΔ är två trianglar som har två vinklar lika med två vinklar samt en sida lika med en sida, den som ligger under en av de lika vinklarna, deras gemensamma sida, ΒΔ. Och skall de resterande sidorna vara lika med de resterande sidorna,Prop. 1.26 alltså är ΔΕ lika med ΔΖ. Av samma skäl är också ΔΗ lika med ΔΖ. Alltså är de tre räta linjerna ΔΕ, ΔΖ och ΔΗ lika med varandra, alltså skall cirkeln, ritad med medelpunkten Δ och radien en av ΔΕ, ΔΖ eller ΔΗ,A A) Heiberg noterar i Euklides Opera Omnia. Euclidis Elementa. Vol. 1, Libri 1-4, Leipzig, 1883. s. 281 n. 1: Graecam locutionem satis miram et negligentem saepius (p. 280,9. 282,8. 290,22. 292,3) praebent boni codd., quam ut corrigere audeam.. också gå genom resterande punkter och tangera de räta linjerna ΑΒ, ΒΓ och ΓΑ eftersom vinklarna vid punkterna Ε Ζ och Η är räta. Ty om den skär dem, skall den vara en rät linje dragen vinkelrät mot cirkelns diameter vid dess ände som faller inom cirkeln, vilket har visats vara orimligt.Prop. 3.16 Alltså skär inte cirkeln ritad med medelpunkten Δ och radien en av ΔΕ, ΔΖ eller ΔΗ de räta linjerna ΑΒ, ΒΓ eller ΓΑ. Alltså skall cirkeln tangera dem och vara inskriven i triangeln ΑΒΓ. Låt ha inskrivit den som ΖΗΕ.

Alltså har cirkeln ΕΖΗ skrivits in i den givna triangeln ΑΒΓ. Vilket skulle göras.

εʹ.

Περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι.

5.

Att kring en given triangel omskriva en cirkel.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· δεῖ δὲ περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλον περιγράψαι.

Τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι δίχα κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ ἀπὸ τῶν Δ, Ε σημείων ταῖς ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΖ· συμπεσοῦνται δὴ ἤτοι ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἢ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας ἢ ἐκτὸς τῆς ΒΓ.

Συμπιπτέτωσαν πρότερον ἐντὸς κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος ὁ κύκλος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓ.

Ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας κατὰ τὸ Ζ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον περιγραφομένου κύκλου.

Ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κατὰ τὸ Ζ πάλιν, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καί ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΒΖ, ΓΖ. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση· ὁ ἄρα [πάλιν] κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.

Περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τρίγωνον κύκλος περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

[Πόρισμα]

Καἰ φανερόν, ὅτι, ὅτε μὲν ἐντὸς τοῦ τριγώνου πίπτει τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν μείζονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλου τυγχάνουσα ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς· ὄτε δὲ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τὸ κέντρον πίπτει, ἠ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ τυγχάνουσα ὀρθή ἐστιν· ὄτε δὲ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς τοῦ τριγώνου πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐν ἐλάττονι τμήματι τοῦ ἠμικυκλίου τυγχάνουσα μείζων ἐστὶν ὀρηῆς. [ὥστε καὶ ὅταν ἐλάττων ὀρθῆς τυγχάνη ἡ διδομένη γωνία, ἐντὸς τοῦ τριγώνου πεσοῦνται αἰ ΔΖ, ΕΖ, ὅταν δὲ ὀρθή, ἐπὶ τῆς ΒΓ, ὅταν δὲ μείζων ὀρθῆς, ἐκτὸς τῆς ΒΓ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.][6]

Låt ΑΒΓ vara den givna triangeln. Kring den givna triangeln ΑΒΓ skall en cirkel omskrivas.

Låt ha delat de räta linjerna ΑΒ och ΑΓ i hälften vid punkterna Α och ΕProp. 1.10 samt ha dragit ΑΖ och ΕΖ från punkterna Δ och Ε vinkelrätt mot ΑΒ och ΑΓ.Prop. 1.11 Säkerligen kommer de att mötas inom triangeln ΑΒΓ, på den räta linjen ΒΓ eller bortom ΒΓ.

Låt dem först mötas inuti vid Ζ och låt ha förbundit ΖΒ, ΖΓ och ΖΑ. Och eftersom ΑΔ är lika med ΔΒ samt ΔΖ är gemensam och vinkelrät, är alltså basen ΑΖ lika med basen ΖΒ.Prop. 1.4 På samma sätt skall vi visa, att också ΓΖ är lika med ΑΖ, så att även ΖΒ är lika med ΖΓ. Alltså är de tre ΖΑ, ΖΒ och ΖΓ lika med varandra. Alltså skall cirkeln, ritad med medelpunkten Ζ och radien en av Α, Β eller Γ, också gå genom resterande punkter och cirkeln skall vara omskriven kring triangeln ΑΒΓ. Låt den ha omskrivit så som ΑΒΓ.

Men låt ΔΖ och ΕΖ mötas på den räta linjen ΒΓ vid Ζ, som andra figuren visar, och låt ha förbundit ΑΖ. På samma sätt skall vi visa, att punkten Ζ är medelpunkt för cirkeln som omskriver triangeln ΑΒΓ.

Men låt ΔΖ och ΕΖ mötas utanför triangeln ΑΒΓ åter vid Ζ, som tredje figuren visar, och låt ha förbundit ΑΖ, ΒΖ, och ΓΖ. Och eftersom åter ΑΔ är lika med ΔΒ samt ΔΖ är gemensam och vinkelrät, är alltså basen ΑΖ lika med basen ΒΖ.Prop. 1.4 På samma sätt skall vi visa, att också ΓΖ är lika med ΑΖ, så att även ΒΖ är lika med ΖΓ. Alltså skall åter cirkeln, ritad med medelpunkten Ζ och radien en av ΖΑ, ΖΒ eller ΖΓ, också gå genom resterande punkter och cirkeln skall vara omskriven kring triangeln ΑΒΓ. ΑΒΓ.

Alltså har kring den givna triangeln en cirkel omskrivits. Vilket skulle göras.

Följdsats.

Och det är uppenbart, att då cirkelns medelpunkt hamnar inom triangeln, är vinkeln ΒΑΓ som råkat i ett cirkelsegment, som är större än en halvcirkel, mindre än en rät; då cirkelns medelpunkt hamnar på den räta linjen ΒΓ, är vinkeln ΒΑΓ som råkat i en halvcirkel rät; då cirkelns medelpunkt hamnar utanför triangeln, är vinkeln ΒΑΓ som råkat i ett cirkelsegment, som är mindre än en halvcirkel, större än en rät.Prop. 3.31 Så också när den givna vinkeln är mindre än en rät, skall de räta linjerna ΔΖ och ΕΖ hamna inuti triangeln; när rät, på ΒΓ; när större än en rät, bortom ΒΓ. Vilket skulle göras.

ϛʹ.

Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.

6.

Att skriva in en kvadrat i en given cirkel.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἡ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.

Ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ· κέντρον γὰρ τὸ Ε· κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΑ, βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΑΔ ἴση ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΑΔ ἴση ἐστίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον. λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΔ εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΔ· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ ὀρθή ἐστιν· ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τετράγωνον ἄρα ἐστίν. καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.

Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγέγραπται τὸ ΑΒΓΔ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[7]

Låt ΑΒΓΔ vara den givna cirkeln. I cirkeln ΑΒΓΔ skall en kvadrat skrivas in.

Låt ha dragit de två diametrarna ΑΓ och ΒΔ i cirkeln ΑΒΓΔ vinkelräta mot varandra samt ha förbundit ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΑ.

Och eftersom ΒΕ är lika med ΕΔ, ty Ε är en medelpunkt samt ΕΑ är gemensam och vinkelrät, alltså är basen ΑΒ lika med basen ΑΔ.Prop. 1.4 Av samma skäl är även var och en av ΒΓ och ΓΔ lika med ΑΒ och ΑΔ, alltså är ΑΒΓΔ en liksidig fyrsiding. Jag säger, att den är även rätvinklig. Ty eftersom den räta linjen ΒΔ är cirkeln ΑΒΓΔ:s diameter, är alltså ΒΑΔ en halvcirkel, alltså är vinkeln ΒΑΔ rät. Av samma skäl är även var och en av ΑΒΓ, ΒΓΔ och ΓΔΑ rät. Alltså är ΑΒΓΔ en rätvinklig fyrsiding. Den har även visats vara liksidig, alltså är den en kvadrat. Och den är inskriven i cirkeln ΑΒΓΔ.

Alltså har i den givna cirkeln ΑΒΓΔ en kvadrat skrivits in. Vilket skulle göras.

ζʹ.

Περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.

7.

Att kring en given cirkel omskriva en kvadrat.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.

Ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΖ.

Ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ ΖΗ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Α ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΕΑ, αἱ ἄρα πρὸς τῷ Α γωνίαι ὀρθαί εἰσιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Γ, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία, ἐστὶ δὲ ὀρθὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΑΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος. ὥστε καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΖ, ΘΚ τῇ ΒΕΔ ἐστι παράλληλος. παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶ τὰ ΗΚ, ΗΓ, ΑΚ, ΖΒ, ΒΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ καὶ ἡ μὲν ΑΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΘ, ΖΚ, ἡ δὲ ΒΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστιν ἴση [καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΗΘ, ΖΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστιν ἴση], ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρον. λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΗΒΕΑ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ, ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ πρὸς τοῖς Θ, Κ, Ζ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν. ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τετράγωνον ἄρα ἐστίν. καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.

Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τετράγωνον περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[8]

Låt ΑΒΓΔ vara den givna cirkeln. Kring cirkeln ΑΒΓΔ skall en kvadrat omskrivas.

Låt ha dragit de två diametrarna ΑΓ och ΒΔ i cirkeln ΑΒΓΔ vinkelräta mot varandra samt ha dragit de räta linjerna ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ och ΚΖ genom punkterna Α, Β, Γ och Δ tangerande cirkeln ΑΒΓΔ.

Eftersom ΖΗ sålunda tangerar cirkeln ΑΒΓΔ, ΕΑ har förbundits från medelpunkten Ε till tangeringspunkten vid Α, är alltså vinkeln vid Α rät.Prop. 3.18 Av samma skäl är även vinklarna vid punkterna Β, Γ och Δ räta. Och eftersom vinkeln ΑΕΒ är rät, är också ΕΒΗ rät, alltså är ΗΘ parallell med ΑΓ.Prop. 1.29 Av samma skäl är också ΑΓ parallell med ΖΚ. Så är även ΗΘ parallell med ΖΚ.Prop. 1.30 På samma sätt skall vi visa, att även var och en av ΗΖ och ΘΚ är parallell med ΒΕΔ. Alltså är ΗΚ, ΗΓ, ΑΚ, ΖΒ och ΒΚ parallellogrammer, sålunda är ΗΖ lika med ΘΚ och ΗΘ med ΖΚ.Prop. 1.34 Och eftersom ΑΓ är lika med ΒΔ, men ΑΓ även med var och en av ΗΘ och ΖΚ samt ΒΔ är lika med var och en av ΗΖ och ΘΚ och alltså är var och en av ΗΘ och ΖΚ lika med var och en av ΗΖ och ΘΚ, är alltså fyrsidingen ΖΗΘΚ liksidig. Jag säger, att den är även rätvinklig. Ty eftersom ΗΒΕΑ är en parallellogram och ΑΕΒ är rät, är alltså även ΑΗΒ rät.Prop. 1.34 På samma sätt skall vi visa, att också vinklarna vid Θ, Κ och Ζ är räta. Alltså är ΖΗΘΚ rätvinklig. Och den har visats vara liksidig, alltså är den en kvadrat.Def. 1.22 Och den är omskriven kring cirkeln ΑΒΓΔ.

Kring den givna cirkeln har alltså en kvadrat omskrivits. Vilket skulle göras.

ηʹ.

Εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.

8.

Att skriva in en cirkel i en given kvadrat.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ. δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.

Τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΑΒ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλος ἤχθω ὁ ΕΘ, διὰ δὲ τοῦ Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἕκαστον τῶν ΑΚ, ΚΒ, ΑΘ, ΘΔ, ΑΗ, ΗΓ, ΒΗ, ΗΔ, καὶ αἱ ἀπεναντίον αὐτῶν πλευραὶ δηλονότι ἴσαι [εἰσίν]. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΔ ἡμίσεια ἡ ΑΕ, τῆς δὲ ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΖ· ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΗ, ΗΕ ἐστιν ἴση· αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΗΕ, ΗΖ, ΗΘ, ΗΚ ἴσαι ἀλλήλαις [εἰσίν]. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων· καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Θ, Κ γωνίας· εἰ γὰρ τεμεῖ ὁ κύκλος τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾿ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ κύκλος γραφόμενος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθείας. ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν καὶ ἔσται ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.

Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλος ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[9]

Låt ΑΒΓΔ vara den givna kvadraten. I kvadraten ΑΒΓΔ skall en cirkel skrivas in.

Låt ha delat var och en av ΑΔ och ΑΒ i hälften vid punkterna Ε och Ζ,Prop. 1.10 ha dragit ΕΘ genom Ε parallell antingen med ΑΒ eller ΓΔ, ha dragit ΖΚ genom Ζ parallell antingen med ΑΔ eller ΒΓ.Prop. 1.31 Alltså är var och en av ΑΚ, ΚΒ, ΑΘ, ΘΔ, ΑΗ, ΗΓ, ΒΗ och ΗΔ en parallellogram och deras motstående sidor är uppenbart lika.Prop. 1.34 Och eftersom ΑΔ är lika med ΑΒ, ΑΕ är halva ΑΔ och ΑΖ halva ΑΒ, alltså är också ΑΕ lika med ΑΖ. Så är det även för de motstående sidorna. Alltså är ΖΗ lika med ΗΕ. På samma sätt skall vi visa, att också var och en av ΗΘ och ΗΚ är lika med var och en av ΖΗ och ΗΕ. De fyra räta linjerna ΗΕ, ΗΖ, ΗΘ och ΗΚ är alltså lika med varandra. Alltså skall cirkeln, ritad med medelpunkt i Η och med radien en av Ε, Ζ, Θ eller Κ, även gå genom resten av punkterna och tangera de räta linjerna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΑ, eftersom vinklarna vid Ε, Ζ, Θ och Κ är räta. Ty om cirkeln skär ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ eller ΔΑ, skall en rät linje dragen vinkelrät från änden på cirkelns diameter hamna innanför cirkeln, viket visats vara orimligt.Prop. 3.16 Alltså skär inte cirkeln, ritad med medelpunkt i Η och med radien en av Ε, Ζ, Θ eller Κ, de räta linjerna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΑ. Alltså tangerar den dem och skall vara inskriven i kvadraten ΑΒΓΔ.

Alltså har en cirkel skrivits in i en given kvadrat. Vilket skulle göras.

θʹ.

Περὶ τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.

9.

Kring en given kvadrat omskriva en cirkel.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.

Ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση ἐστίν· ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΔΒ εὐθειῶν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΔΑΒ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΑΒ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΒΑ, καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΑ, ΕΒ [εὐθειῶν] ἑκατέρᾳ τῶν ΕΓ, ΕΔ ἴση ἐστίν. αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ, Δ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον. περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓΔ.

Περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τετράγωνον κύκλος περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[10]

Låt ΑΒΓΔ vara den givna kvadraten. Kring kvadraten ΑΒΓΔ skall en cirkel omskrivas.

Ty låt de förbundna ΑΓ och ΒΔ skära varandra vid Ε.

Och eftersom ΔΑ är lika med ΑΒ och ΑΓ är gemensam, är de två ΔΑ och ΑΓ lika med de två ΒΑ och ΑΓ samt basen ΔΓ lika med basen ΒΓ. Alltså är vinkeln ΔΑΓ lika med ΒΑΓ,Prop. 1.8 sålunda har vinkeln ΔΑΒ delats i hälften av ΑΓ. På samma sätt skall vi visa, att också var och en av ΑΒΓ, ΒΓΔ och ΓΔΑ har delats i hälften av de räta linjerna ΑΓ och ΔΒ. Och eftersom vinkeln ΔΑΒ är lika med ΑΒΓ, ΕΑΒ är halva ΔΑΒ och ΕΒΑ halva ΑΒΓ, är alltså även ΕΑΒ lika med ΕΒΑ, och så är sidan ΕΑ lika med ΕΒ.Prop. 1.6 På samma sätt skall vi visa, att också var och en av de räta linjerna ΕΑ och ΕΒ är lika med var och en av ΕΓ och ΕΔ. Alltså är de fyra räta linjerna ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ och ΕΔ lika med varandra. Alltså skall cirkeln, ritad med medelpunkt i Ε och med radien en av Α, Β, Γ eller Δ, även gå genom resten av punkterna och skall vara omskriven kring kvadraten ΑΒΓΔ. Låt den ha omskrivit som cirkeln ΑΒΓΔ.

Kring en given kvadrat har alltså en cirkel omskrivits. Vilket skulle göras.

ιʹ.

Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς.

10.

Att konstruera en likbent triangel, som har var och en av vinklarna vid basen dubbelt så stora som den resterande.

Objects are not supported by your browser!

Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν ΒΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς τοῦ ΒΔΕ κύκλου διαμέτρου ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΓΔ.

Καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὸν ΑΓΔ κύκλον προσπεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΒΔ, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνει, ἡ δὲ προσπίπτει, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἡ ΒΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ Δ ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΔΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ γωνιά ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΓΔΑ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ. ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ ΓΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση. αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ. ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΓΑ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσι διπλασίους. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΔΑΒ ἐστι διπλῆ.

Ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΔ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[11]

Lägg ut någon rät linje ΑΒ och låt den ha skurits vid punkten Γ, så att rektangeln av ΑΒ och ΒΓ är lika med kvadraten på ΓΑ.Prop. 2.11 Och låt ha ritat cirkeln ΒΔΕ, med medelpunkten Α och radien ΑΒ, och i cirkeln ΒΔΕ passa in den räta linjen ΒΔ, lika med den räta linjen ΑΓ, som inte är större än cirkeln ΒΔΕ:s diameter.Prop. 4.1 Låt även ha förbundit ΑΔ och ΔΓ samt omskrivit cirkeln ΑΓΔ kring triangeln ΑΓΔ.Prop. 4.5

Och eftersom rektangeln av ΑΒ och ΒΓ är lika med kvadraten på ΑΓ, är ΑΓ lika med ΒΔ, alltså är rektangeln av ΑΒ och ΒΓ lika med kvadraten på ΒΔ. Och eftersom någon punkt Β har valts utanför cirkeln ΑΓΔ och två räta linjer ΒΑ och ΒΔ från Β har dragits mot cirkeln ΑΓΔ samt en av dem skär cirkeln, en träffar cirkeln och rektangeln av ΑΒ och ΒΓ är lika med kvadraten på ΒΔ, tangerar alltså ΒΔ cirkeln ΑΓΔ.Prop. 3.37 Eftersom sålunda ΒΔ tangerar och ΔΓ dragits från tangeringspunkten Δ igenom cirkeln, är alltså vinkeln ΒΔΓ lika med vinkeln ΔΑΓ i motstående cirkelsegment.Prop. 3.32 Eftersom sålunda ΒΑΓ är lika med ΔΑΓ, lägg ΓΔΑ till båda, alltså är hela ΒΔΑ lika med de två ΓΔΑ och ΔΑΓ. Men yttre vinkeln ΒΓΔ är lika med ΓΔΑProp. 1.32 och ΔΑΓ, alltså är även ΒΔΑ lika med ΒΓΔ. Men ΒΔΑ är lika med ΓΒΔ, eftersom sidan ΑΔ är också lika med ΑΒ,Prop. 1.5 så att även ΔΒΑ är lika med ΒΓΔ. Alltså är de tre ΒΔΑ, ΔΒΑ och ΒΓΑ lika med varandra. Och eftersom vinkeln ΔΒΓ är lika med ΒΓΔ, är även sidan ΒΔ lika med sidan ΔΓ.Prop. 1.6 Men ΒΔ förutsätts vara lika med ΓΑ och alltså är ΓΑ lika med ΓΔ, så att även vinkeln ΓΔΑ är lika med vinkeln ΔΑΓ,Prop. 1.5 alltså är ΓΔΑ och ΔΑΓ dubbelt så stora som ΔΑΓ. Men ΒΓΔ är lika med ΓΔΑ och ΔΑΓ och alltså är ΒΓΔ dubbelt så stor som ΓΑΔ. ΒΓΔ är lika med var och en av ΒΔΑ och ΔΒΑ, alltså är var och en av ΒΔΑ och ΔΒΑ dubbelt så stor som ΔΑΒ.

Alltså har den likbenta triangeln ΑΒΔ konstruerats, som har var och en av vinklarna vid basen ΔΒ dubbelt så stor som den kvarvarande. Vilket skulle göras.

ιαʹ.

Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.

11.

Att i en given cirkel skriva in en liksidig och likvinklig femhörning.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.

Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ, ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ. τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, [ΓΔ], ΔΕ, ΕΑ.

Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΕ, ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν· αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΒΓΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.

Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[12]

Låt den givna cirkeln vara ΑΒΓΔΕ. I cirkeln ΑΒΓΔΕ skall en liksidig och likvinklig femhörning skrivas in.

Låt ha ställt upp den likbenta triangeln ΖΗΘ som har vinklarna vid Η och Θ dubbelt så stora som den vid Ζ.Prop. 4.10 Skriv även in i cirkeln ΑΒΓΔΕ triangeln ΑΓΔ, likvinklig med triangeln ΖΗΘ, så att vinkeln vid Ζ är lika med ΓΑΔ och var och en av dem vid Η och Θ är lika med var och en av ΑΓΔ och ΓΔΑ.Prop. 4.2 Alltså är även var och en av ΑΓΔ och ΓΔΑ dubbelt så stor som ΓΑΔ. Låt ha delat var och en av ΑΓΔ och ΓΔΑ i hälften med var och en av de räta linjerna ΓΕ och ΔΒProp. 1.9 samt låt ha förbundit ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ och ΕΑ.

Eftersom sålunda var och en av vinklarna ΑΓΔ och ΓΔΑ är dubbelt så stor som ΓΑΔ och är delade i hälften av de räta linjerna ΓΕ och ΔΒ, är alltså de fem vinklarna ΔΑΓ, ΑΓΕ, ΕΓΔ, ΓΔΒ och ΒΔΑ lika med varandra. Lika vinklar står på lika stora cirkelbågar,Prop. 3.26 alltså är de fem cirkelbågarna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ och ΕΑ lika med varandra. Under lika cirkelbågar ligger lika räta linjer,Prop. 3.29alltså är de fem räta linjerna ΑΒ, ΒΓ,ΓΔ, ΔΕ och ΕΑ lika med varandra. Alltså är femhörningen ΑΒΓΔΕ liksidig. Jag säger, att den även är likvinklig. Ty eftersom cirkelbågen ΑΒ är lika med cirkelbågen ΔΕ, låt lägga cirkelbågen ΒΓΔ till båda och alltså är hela cirkelbågen ΑΒΓΔ lika med hela cirkelbågen ΕΔΓΒ. Vinkeln ΑΕΔ står på cirkelbågen ΑΒΓΔ och vinkeln ΒΑΕ står på cirkelbågen ΕΔΓΒ, alltså är även vinkeln ΒΑΕ lika med ΑΕΔ.Prop. 3.27 Av samma skäl är vinklarna ΑΒΓ, ΒΓΔ och ΓΔΕ lika med var och en av ΒΑΕ och ΑΕΔ, alltså är ΑΒΓΔΕ likvinklig. Den har även visats vara liksidig.

Alltså har i en given cirkel en liksidig och likvinklig femhörning skrivits in. Vilket skulle göras.

ιβʹ.

Περὶ τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι.

12.

Att kring en given cirkel omskriva en liksidig och likvinklig femhörning.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὲ περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι.

Νενοήσθω τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου τῶν γωνιῶν σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ περιφερείας· καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε ἤχθωσαν τοῦ κύκλου ἐφαπτόμεναι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΗ, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΚ, ΖΓ, ΖΛ, ΖΔ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΚΛ εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓΔΕ κατὰ τὸ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Γ ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΛ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ Γ γωνιῶν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΚ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἐστιν ἴσα, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἐστιν ἴσον· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἐστιν ἴσον. ἴση ἄρα ἡ ΒΚ τῇ ΓΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΚ, δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΚ δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΚ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΒΚ βάσει τῇ ΓΚ [ἐστιν] ἴση· γωνία ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΚ [γωνίᾳ] τῇ ὑπὸ ΚΖΓ ἐστιν ἴση· ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΖ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ· διπλῆ ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΓ τῆς ὑπὸ ΖΚΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ τῆς ὑπὸ ΓΖΛ ἐστι διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΛΓ τῆς ὑπὸ ΖΛΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ ΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΓΖΔ. καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΓ τῆς ὑπὸ ΛΖΓ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΚΖΓ τῇ ὑπὸ ΛΖΓ· ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΓΛ ἴση. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΚΓ, ΖΛΓ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΚΓ εὐθεῖα τῇ ΓΛ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΓΛ, διπλῆ ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΚΓ. διὰ τὰ αὐτα δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΒΚ διπλῆ. καί ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ΚΓ ἴση· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΚΛ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΘΗ, ΗΜ, ΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΘΚ, ΚΛ ἴση· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ, καὶ ἐδείχθη τῆς μὲν ὑπὸ ΖΚΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ, τῆς δὲ ὑπὸ ΖΛΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΚΛΜ, καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΛΜ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΚΘΗ, ΘΗΜ, ΗΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΛ, ΚΛΜ ἴση· αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, ΛΜΗ, ΜΗΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον, καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον.

[Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγέγραπται]· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[13]

Låt ΑΒΓΔΕ vara den givna cirkeln. Kring cirkeln ΑΒΓΔΕ skall liksidig och likvinklig femhörning omskrivas.

Låt Α, Β, Γ, Δ och Ε ha antagits som en inskriven femhörnings vinkelpunkter,Prop. 3.11 så att cirkelbågarna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ och ΕΑ är lika. Och genom Α, Β, Γ, Δ och Ε har ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ och ΜΗ dragits tangerande cirkeln. Låt ha funnit cirkeln ΑΒΓΔΕ:s medelpunkt ΖProp. 3.1 och ha förbundit ΖΒ och ΖΚ, ΖΓ, ΖΛ och ΖΔ.

Och eftersom den räta linjen ΚΛ tangerar ΑΒΓΔΕ vid Γ, ΖΓ har förbundits från medelpunkten Ζ till tangeringspunkten vid Γ, alltså är ΖΓ vinkelrät mot ΚΛ,Prop. 3.18 alltså är var och en av vinklarna vid Γ rät. Av samma skäl är också vinklarna vid Β och Δ räta. Och eftersom vinkeln ΖΓΚ är rät, är alltså kvadraten på ΖΚ lika med dem på ΖΓ och ΓΚ.Prop. 1.47 Av samma skäl är även de på ΖΒ och ΒΚ lika med den på ΖΚ, så att de på ΖΓ och ΓΚ är lika med dem på ΖΒ och ΒΚ, av vilka den på ΖΓ är lika med den på ΖΒ, alltså är resterande kvadrat på ΓΚ lika med den på ΒΚ. Alltså är ΒΚ lika med ΓΚ. Och eftersom ΖΒ är lika med ΖΓ och ΖΚ är gemensam, är de två räta linjerna ΒΖ och ΖΚ lika med de två ΓΖ och ΖΚ samt basen ΒΚ är lika med basen ΓΚ. Alltså är vinkeln ΒΖΚ lika med vinkeln ΚΖΓProp. 1.8 och ΒΚΖ är lika med ΖΚΓ.Prop. 1.8 Alltså är ΒΖΓ dubbelt så stor som ΚΖΓ och ΒΚΓ som ΖΚΓ. Av samma skäl är även ΓΖΔ dubbelt så stor som ΓΖΛ och ΔΛΓ som ΖΛΓ. Och eftersom cirkelbågen ΒΓ är lika med ΓΔ, är även vinkeln ΒΖΓ lika med vinkeln ΓΖΔ.Prop. 3.27 Och ΒΖΓ är dubbelt så stor som ΚΖΓ, ΔΖΓ som ΛΖΓ, alltså är även ΚΖΓ lika med ΛΖΓ. Och vinkeln ΖΓΚ är lika med ΖΓΛ. ΖΚΓ och ΖΛΓ är två trianglar som har två lika sidor och en sida lika med en sida, den gemensamma av dem ΖΓ, alltså skall de även ha resterande sidor lika med resterande sidor och resterande vinkel lika med resterande vinkel.Prop. 1.26 Alltså är den räta linjen ΚΓ lika med ΓΛ och vinkeln ΖΚΓ lika med ΖΛΓ. Och eftersom ΚΓ är lika med ΓΛ, är alltså ΚΛ dubbelt så stor som ΚΓ. Av samma skäl skall även ΘΚ visas vara dubbelt så stor som ΒΚ. Även ΒΚ är lika med ΚΓ och alltså är ΘΚ lika med ΚΛ. På samma sätt skall vi visa att också var och en av ΘΗ, ΗΜ och ΜΛ är lika med var och en av ΘΚ och ΚΛ. Alltså är femhörningen ΗΘΚΛΜ liksidig. Jag säger, att den även är likvinklig. Ty eftersom vinkeln ΖΚΓ är lika med ΖΛΓ samt ΘΚΛ har visats vara dubbelt så stor som ΖΚΓ och ΚΛΜ dubbelt så stor som ΖΛΓ, alltså är även ΘΚΛ lika med ΚΛΜ. På samma sätt skall vi visa att även var och en av ΚΘΗ, ΘΗΜ och ΗΜΛ är lika med var och en av ΘΚΛ och ΚΛΜ. Alltså är de fem vinklarna ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, ΛΜΗ och ΜΗΘ lika med varandra. Alltså är femhörningen ΗΘΚΛΜ likvinklig. Den har även visats vara liksidig och har omskrivits kring cirkeln ΑΒΓΔΕ.

Kring en given cirkel har en liksidig och likvinklig femhörning omskrivits. Vilket skulle göras.

ιγʹ.

Εἰς τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλον ἐγγράψαι.

13.

Att skriva in en cirkel i en femhörning, som är liksidig och likvinklig.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον ἐγγράψαι.

Τετμήσθω γὰρ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ εὐθειῶν· καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, καθ᾿ ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις αἱ ΓΖ, ΔΖ εὐθεῖαι, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ εὐθεῖαι. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΒΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ [ἐστιν] ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἐστιν ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΖ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῆς ὑπὸ ΓΔΖ, ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΒΖ ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΓ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΖ εὐθείας. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΖΑ, ΖΕ εὐθειῶν. ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ, ΖΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΓΖ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΘΓ [ὀρθῇ] τῇ ὑπὸ ΖΚΓ ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΘΓ, ΖΚΓ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει· ἴση ἄρα ἡ ΖΘ κάθετος τῂ ΖΚ καθέτῳ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΛ, ΖΜ, ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΘ, ΖΚ ἴση ἐστίν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ, ΖΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Η, Θ, Κ, Λ, Μ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείοις γωνίας. εἰ γὰρ οὐκ ἐφάψεται αὐτῶν, ἀλλὰ τεμεῖ αὐτάς, συμβήσεται τὴν τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾿ ἄκρας ἀγομένην ἐντὸς πίπτειν τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείων γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας· ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν. γεγράφθω ὡς ὁ ΗΘΚΛΜ.

Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλος ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[14]

Låt ΑΒΓΔΕ vara den liksidiga och likvinkliga femhörningen. I femhörningen ΑΒΓΔΕ skall en cirkel skrivas in.

Låt var och en av vinklarna ΒΓΔ och ΓΔΕ ha delats i hälften av var och en av de räta linjerna ΓΖ och ΔΖProp. 1.9 samt låt från punkten Ζ, vid vilken de räta linjerna ΓΖ och ΔΖ möter varandra, ha förbundit de räta linjerna ΖΒ, ΖΑ och ΖΕ. Och eftersom ΒΓ är lika med ΓΔ och ΓΖ är gemensam, är de två ΒΓ och ΓΖ lika med de två ΔΓ och ΓΖ. Och vinkeln ΒΓΖ är lika med vinkeln ΔΓΖ, alltså är basen ΒΖ lika med basen ΔΖ, triangeln ΒΓΖ är lika med triangeln ΔΓΖ och resterande vinklar skall vara lika med resterande vinklar, under vilka lika stora sidor ligger.Prop. 1.4 Alltså är vinkeln ΓΒΖ lika med ΓΔΖ. Och eftersom ΓΔΕ är dubbelt så stor som ΓΔΖ, ΓΔΕ är lika med ΑΒΓ och ΓΔΖ med ΓΒΖ, alltså är även ΓΒΑ dubbelt så stor som ΓΒΖ. Alltså är vinkeln ΑΒΖ lika med ΖΒΓ och alltså är vinkeln ΑΒΓ delad i hälften av den räta linjen ΒΖ. På samma sätt skall det visas, att också var och en av ΒΑΕ och ΑΕΔ har delats i hälften av var och en av de räta linjerna ΖΑ och ΖΕ. Låt ha dragit ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ och ΖΜ från punkten Ζ vinkelräta mot de räta linjerna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ och ΕΑ.Prop. 1.12 Och eftersom vinkeln ΘΓΖ är lika med ΚΓΖ samt ΖΘΓ är lika med den räta vinkeln ΖΚΓ, är också ΘΓΖ och ΖΚΓ två trianglar med två vinklar lika med två vinklar och en sida lika med en sida, den gemensamma av dem, ΖΓ, som ligger under en av de lika vinklarna. Och alltså skall de ha resterande sidor lika med resterande sidor,Prop. 1.26 alltså är normalen ΖΘ lika med normalen ΖΚ. På samma sätt skall det visas, att också var och en av ΖΛ, ΖΜ och ΖΗ är lika med var och en av ΖΘ och ΖΚ, alltså är de fem räta linjerna ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ och ΖΜ lika med varandra. Alltså skall cirkeln, ritad med medelpunkt i Ζ och med radien en av Η, Θ, Κ, Λ eller Μ, även gå genom resten av punkterna och tangera de räta linjerna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ och ΕΑ, eftersom vinklarna vid punkterna Η, Θ, Κ, Λ och Μ är räta. Ty om den inte tangerar dem, utan skär dem, skall en rät linje dragen vinkelrät från änden på cirkelns diameter hamna innanför cirkeln, viket visats vara orimligt.Prop. 3.16 Alltså skär inte cirkeln, ritad med medelpunkt i Ζ och med radien en av Η, Θ, Κ, Λ eller Μ, de räta linjerna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ och ΕΑ. Alltså tangerar den dem. Låt den ha ritats som ΗΘΚΛΜ.

Alltså har en cirkel skrivits in i en femhörning, som är liksidig och likvinklig. Vilket skulle göras.

ιδʹ.

Περὶ τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλον περιγράψαι.

14.

Att kring en given femhörning, som är liksidig och likvinklig, omskriva en cirkel.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, τὸ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον περιγράψαι.

Τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, καθ᾿ ὃ συμβάλλουσιν αἱ εὐθεῖαι, ἐπὶ τὰ Β, Α, Ε σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ. ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΕ, ΑΕΔ γωνιῶν δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκάστης τῶν ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ εὐθειῶν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ, καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΓΔ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΖΓΔ, τῆς δὲ ὑπὸ ΓΔΕ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΓΔΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΓ πλευρᾷ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΓ, ΖΔ ἐστιν ἴση· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὀ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος. περιγεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΓΔΕ.

Περὶ ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, κύκλος περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[15]

Låt ΑΒΓΔΕ vara den givna femhörningen, som är likvinklig och liksidig. Kring femhörningen ΑΒΓΔΕ skall en cirkel omskrivas.

Låt ha delat var och en av vinklarna ΒΓΔ och ΓΔΕ i hälften av var och en av ΓΖ och ΔΖProp. 1.9 samt låt ha förbundit de räta linjerna ΖΒ, ΖΑ och ΖΕ från punkten Ζ, vid vilken de räta linjerna möts, till punkterna Β, Α och Ε. På samma sätt som i den före denna har det visats, att också var och en av vinklarna ΓΒΑ, ΒΑΕ och ΑΕΔ delats i hälften av var och en av de räta linjerna ΖΒ, ΖΑ och ΖΕ. Och eftersom vinkeln ΒΓΔ är lika med ΓΔΕ, ΖΓΔ är halva ΒΓΔ och ΓΔΖ är halva ΓΔΕ, alltså är även ΖΓΔ lika med ΖΔΓ, så att också sidan ΖΓ är lika med sidan ΖΔ.Prop. 1.6 På samma sätt skall det visas, att var och en av ΖΒ, ΖΑ och ΖΕ är lika med var och en av ΖΓ och ΖΔ. Alltså är de fem räta linjerna ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ och ΖΕ lika med varandra. Alltså går cirkeln, ritad med medelpunkt i Ζ och med radien en av ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ eller ΖΕ även genom resterande punkter och skall vara omskriven. Låt den ha omskrivits och låt den vara ΑΒΓΔΕ.

Kring en given femhörning, som är liksidig och likvinklig, har en cirkel omskrivits. Vilket skulle göras.

ιεʹ.

Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.

15.

Att skriva in en liksidig och likvinklig sexhörning i den givna cirkeln.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕΖ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.

Ἤχθω τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου διάμετρος ἡ ΑΔ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Η, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Δ διαστήματι δὲ τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΗΓΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΗ, ΓΗ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Β, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ἰσογώνιον.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΗΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΗΓΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΔΗ. ἀλλ᾿ ἡ ΗΕ τῇ ΗΔ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΗΕ ἄρα τῇ ΕΔ ἴση ἐστίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗΔ τρίγωνον· καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αὐτοῦ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗΔ, ΗΔΕ, ΔΕΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπειδήπερ τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· καί εἰσιν αἱ τρεῖς τοῦ τριγώνου γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΗΔ γωνία τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΓ τρίτον δύο ὀρθῶν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΗ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΕΒ σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΗΓ, ΓΗΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΗΒ τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὥστε καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν αὐταῖς αἱ ὑπὸ ΒΗΑ, ΑΗΖ, ΖΗΕ ἴσαι εἰσὶν [ταῖς ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ]. αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ, ΒΗΑ, ΑΗΖ, ΖΗΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν· αἱ ἓξ ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· αἱ ἓξ ἄρα εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ το ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια· ὅλη ἄρα ἡ ΖΑΒΓΔ ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒΑ ἐστιν ἴση· καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΖΑΒΓΔ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΖΕΔ γωνία, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒΑ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι τοῦ ΑΒΓΔΕΖ ἑξαγώνου κατὰ μίαν ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΖΕΔ γωνιῶν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον.

Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.

Ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἀκολούθως τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις. καὶ ἔτι διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις εἰς τὸ δοθὲν ἑξάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[16]

Låt ΑΒΓΔΕΖ vara den givna cirkeln. I cirkeln ΑΒΓΔΕΖ skall en liksidig och likvinklig sexhörning skrivas in.

Låt ha dragit cirkeln ΑΒΓΔΕΖ:s diameter ΑΔ och låt ha funnit cirkelns medelpunkt Η.Prop. 3.1 Låt även ha ritat cirkeln ΕΗΓΘ, med medelpunkten i Δ och med radien ΔΗ och ha dragit igenom de förbundna ΕΗ och ΓΗ till punkterna Β och Ζ. Och låt ha förbundit ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ och ΖΑ. Jag säger, att ΑΒΓΔΕΖ är en liksidig och likvinklig sexhörning.

Ty eftersom punkten Η är cirkeln ΑΒΓΔΕΖ:s medelpunkt, är ΗΕ lika med ΗΔ. Åter, eftersom Δ är cirkeln ΗΓΘ:s medelpunkt, är ΔΕ lika med ΔΗ. Men ΗΕ har vistats vara lika med ΗΔ och alltså är ΗΕ lika med ΕΔ. Alltså är triangeln ΕΗΔ liksidig, och alltså är dess tre vinklar ΕΗΔ, ΗΔΕ och ΔΕΗ lika med varandra, då vinklar vid basen i likbenta trianglar är lika med varandra.Prop. 1.5 Och en triangels tre vinklar är lika med två räta,Prop. 1.32 alltså är vinkeln ΕΗΔ en tredjedel av två räta. På samma sätt skall även ΔΗΓ visas vara en tredjedel av två räta. Och eftersom den räta linjen ΓΗ stående på ΕΒ gör intilliggande vinklar ΕΗΓ och ΓΗΒ lika med två räta,Prop. 1.13 är alltså även den resterande vinkeln ΓΗΒ en tredjedel av två räta. Alltså är vinklarna ΕΗΔ, ΔΗΓ och ΓΗΒ lika med varandra, så att också de motstående vinklarna ΒΗΑ, ΑΗΖ och ΖΗΕ är lika med ΕΗΔ, ΔΗΓ och ΓΗΒ. Alltså är de sex vinklarna ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ, ΒΗΑ, ΑΗΖ och ΖΗΕ lika med varandra. Lika vinklar står på lika stora cirkelbågar,Prop. 3.26 alltså är cirkelbågarna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ och ΖΑ lika med varandra. Och under lika cirkelbågar ligger lika räta linjer,Prop. 3.29 alltså är de sex räta linjerna lika med varandra. Alltså är sexhörningen ΑΒΓΔΕΖ liksidig. Jag säger, att den är likvinklig. Ty eftersom cirkelbågen ΖΑ är lika med cirkelbågen ΕΔ, lägg cirkelbågen ΑΒΓΔ till båda, alltså är hela ΖΑΒΓΔ lika med hela ΕΔΓΒΑ. Vinkeln ΖΕΔ står på cirkelbågen ΖΑΒΓΔ och vinkeln ΑΖΕ står på cirkelbågen ΕΔΓΒΑ, alltså är vinkeln ΑΖΕ lika med ΔΕΖ.Prop. 3.27 På samma sätt skall det visas, att också sexhörningen ΑΒΓΔΕΖ:s resterande vinklar är en och en lika med var och en av vinklarna ΑΖΕ och ΖΕΔ. Alltså är sexhörningen ΑΒΓΔΕΖ likvinklig. Den har även vistats vara liksidig och är inskriven i cirkeln ΑΒΓΔΕΖ.

Alltså har en liksidig och likvinklig sexhörning skrivits in i den givna cirkeln. Vilket skulle göras.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att sexhörningens sidor är lika med cirkelns radie.

På samma sätt som för femhörningen, om genom cirkelns indelning vi dragit tangenter till cirkeln, skall kring cirkeln en liksidig och likvinklig sexhörning omskrivas, såsom nämnts för femhörningen.Prop. 4.12 Och dessutom genom detsamma som omnämnts för femhörningen, skall vi i den givna sexhörningen både skriva in och omskriva en cirkel. Vilket skulle göras.

ιϛʹ.

Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.

16.

Att skriva in i den givna cirkeln en liksidig och likvinklig femtonhörning.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τριγώνου μὲν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς αὐτὸν ἐγγραφομένου πλευρὰ ἡ ΑΓ, πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΑΒ· οἵων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἴσων τμήματων δεκαπέντε, τοιούτων ἡ μὲν ΑΒΓ περιφέρεια τρίτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται πέντε, ἡ δὲ ΑΒ περιφέρεια πέμτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται τριῶν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ τῶν ἴσων δύο. τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΓ περιφερειῶν πεντεκαιδέκατόν ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.

Ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξαντες τὰς ΒΕ, ΕΓ ἴσας αὐταῖς κατὰ τὸ συνεχὲς εὐθείας ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ[Ε] κύκλον, ἔσται εἰς αὐτὸν ἐγγεγραμμένον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον. ἔτι δὲ διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου δείξεων καὶ εἰς τὸ δοθὲν πεντεκαιδεκάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[17]

Låt ΑΒΓΔ vara den givna cirkeln. I den givna cirkeln ΑΒΓΔ skall en liksidig och likvinklig femtonhörning.

Låt ha skrivit in i cirkeln ΑΒΓΔ sidan ΑΓ av en i den inskriven liksidig triangelProp. 4.2 och ΑΒ av en liksidig femhörnings.Prop. 4.11 Alltså, just som cirkeln ΑΒΓΔ består av femton lika delar, består cirkelbågen ΑΒΓ, varande en tredjedel av cirkeln, av fem sådana och cirkelbågen ΑΒ, varande en tredjedel av cirkeln, av tre sådana. Alltså består resten ΒΓ av två lika delar. Låt ha delat ΒΓ i hälften vid Ε,Prop. 3.30. Alltså är var och en av cirkelbågarna ΒΕ och ΕΓ en femtondedel av cirkeln ΑΒΓΔ.

Om vi alltså passat in kontinuerliga räta linjer, lika med de sammanbundna ΒΕ och ΕΓ, i cirkeln ΑΒΓΔΕ,Prop. 4.1 skall en liksidig och likvinklig femtonhörning vara inskriven i den. Vilket skulle göras.

På samma sätt som för femhörningen, om genom cirkelns indelning vi dragit tangenter till cirkeln, skall kring cirkeln en liksidig och likvinklig femtonhörning omskrivas. Och dessutom genom detsamma som omnämnts för femhörningen, skall vi i den givna femtonhörningen både skriva in och omskriva en cirkel. Vilket skulle göras.