Elementas Bok III

Στοιχείων γʹ.

Ὅροι.

αʹ. Ἴσοι κύκλοι εἰσίν, ὧν αἱ διάμετροι ἴσαι εἰσίν, ἢ ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων ἴσαι εἰσίν.
βʹ. Εὐθεῖα κύκλου ἐφάπτεσθαι λέγεται, ἥτις ἁπτομένη τοῦ κύκλου καὶ ἐκβαλλομένη οὐ τέμνει τὸν κύκλον.
γʹ. Κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται οἵτινες ἁπτόμενοι ἀλλήλων οὐ τέμνουσιν ἀλλήλους.
δʹ. Ἐν κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι λέγονται, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπ᾿ αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν.
εʹ. Μεῖζον δὲ ἀπέχειν λέγεται, ἐφ᾿ ἣν ἡ μείζων κάθετος πίπτει.
ϛʹ. Τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας.
ζʹ. Τμήματος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπό τε εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας.
ηʹ. Ἐν τμήματι δὲ γωνία ἐστίν, ὅταν ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ τμήματος ληφθῇ τι σημεῖον καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας, ἥ ἐστι βάσις τοῦ τμήματος, ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν.
θʹ. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν εὐθεῖαι ἀπολαμβάνωσί τινα περιφέρειαν, ἐπ᾿ ἐκείνης λέγεται βεβηκέναι ἡ γωνία.
ιʹ. Τομεὺς δὲ κύκλου ἐστίν, ὅταν πρὸς τῷ κέντρῷ τοῦ κύκλου συσταθῇ γωνία, τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῶν τὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ᾿ αὐτῶν περιφερείας.
ιαʹ. Ὅμοία τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας, ἤ ἐν οἷς αἱ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.[1]

Definitioner.

1. Lika cirklar är de som har lika diametrar eller som har lika avstånd från medelpunkterna.A A) Strömer har inte med eller som har lika avstånd från medelpunkterna..
2. En rät linje sägs tangera en cirkel, då den nuddar cirkeln och utdragen inte skär cirkeln.B B) Strömers översättning måste återges: En rät linea säges tangera eller röra en Cirkel, om hon råkar honom så att hon intet skär honom, om hon blifwer utdragen.
3. Cirklar som nuddar varandra men inte skär varandra sägs tangera varandra.
4. Räta linjer i cirklar sägs vara lika långt bort från medelpunkten, då de från medelpunkten mot dem vinkelräta dragna linjerna är lika.C C) Hos Bråkenhielm bortses från cirkeln i sig och endast avståndet från punkten beaktas.
5. Längre bort sägs den vara, från vilken den större vinkelräta linjen är rest.D D) Hos Bråkenhielm har denna definition helt annorlunda innehåll.
6. Cirkelsegment är den figur som omges av en rät linje och cirkelns omkrets.
7. Cirkelsegmentets vinkel är den som omges av en rät linje och cirkelns omkrets.
8. Vinkel i ett cirkelsegmentet är - sedan någon punkt tagits på omkretsen av segmentet och denna med ändarna på den räta linjen, som är segmentets bas, förbundits med räta linjer - vinkeln som omges av de förbindande räta linjerna.
9. Då de räta linjerna som omsluter vinkeln skär av någon omkrets, sägs vinkeln vara ställd på denna omkrets.
10. Cirkelsektor är, då en vinkel rests vid cirkelns medelpunkt, figuren omgiven av de räta linjerna som omger vinkeln och det av dem avskurna av omkretsens.
11. Lika cirkelsektorer är de som rymmer lika vinklar eller vinklarna i dem är lika med varandra.

αʹ.

Τοῦ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.

1.

Att finna en given cirkels medelpunkt.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.

Διήχθω τις εἰς αὐτόν, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΓ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ, ΗΔ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΗ δύο ταῖς ΗΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΗΑ βάσει τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση· ἐκ κέντρου γάρ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ ἴση ἐστίν. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ ὀρθή· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ, ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Η κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ᾿ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ζ.

Τὸ Ζ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου. — ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[2]

Låt ΑΒΓ vara den givna cirkeln. Cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt skall bestämmas.

Låt godtyckligt ha dragit igenom den den räta linjen ΑΒ och dela denna i hälften vid punkten Δ.Prop. 1.9 Och drag ΔΓ vinkelrätt från ΔProp. 1.11 och drag den till Ε samt dela ΓΕ i hälften vid Ζ.Prop. 1.9 Jag säger, att Ζ är cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt.

Ty om inte, utan ifall det är möjligt, låt Η vara medelpunkten och låt ha förbundit ΗΑ, ΗΔ och ΗΒ. Och eftersom ΑΔ är lika med ΔΒ och ΔΗ är gemensam, är de två ΑΔ och ΔΗ lika med de två ΗΔ ΔΒ, var och en med var och en. Och basen ΗΑ är lika med basen ΗΒ, ty de är från medelpunkten, alltså är vinkeln ΑΔΗ lika med vinkeln ΗΔΒ.Prop. 1.8 Då en rät linje satt på en annan rät linje gör lika intilliggande vinklar lika med varandra, är var och en lika med räta vinklar.Def. 1.10 Alltså är ΗΔΒ rät och ΖΔΒ är rät, alltså är ΖΔΒ lika med ΗΔΒ, den större med den mindre, vilket är omöjligt. Alltså är Η inte cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt. På samma sätt skall vi visa, att det är inte heller någon annan utom Ζ.

Alltså är punkten Ζ cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om någon rät linje i en cirkel delar någon annan i hälften och den skär vinkelrätt, ligger cirkelns medelpunkt på den skärande linjen. Vilket skulle göras.

βʹ.

Ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.

2.

Om två punkter valts godtyckligt på en cirkels omkrets, skall den mellan punkterna sammanbindande räta linjen hamna inom cirkeln.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐκτὸς ὡς ἡ ΑΕΒ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΔΖΕ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ, ἴση ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ· καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΑΕ μία πλευρὰ προσεκβέβληται ἡ ΑΕΒ, μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΑΕ. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΕ. ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει· μείζων ἄρα ἡ ΔΒ τῆς ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΔΖ. μείζων ἄρα ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐπ᾿ αὐτῆς τῆς περιφερείας· ἐντὸς ἄρα.

Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[3]

Låt ΑΒΓ vara cirkeln och på dess omkrets har de två godtyckliga punkterna Α Β valts. Jag säger, att den mellan Α och Β sammanbindande räta linjen hamnar inom cirkeln.

Ty om inte, utan om det är möjligt, lägg den utanför som ΑΕΒ och låt cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt ha funnits,Prop. 3.1 låt denna vara Δ, låt ha förbundit ΔΑ och ΔΒ och låt ha dragit ut ΔΖΕ.

Eftersom sålunda ΔΑ är lika med ΔΒ, är alltså även vinkeln ΔΑΕ lika med ΔΒΕProp. 1.5 och eftersom triangeln ΔΑΕ:s ena sida, ΑΕΒ, har dragits ut, är sålunda vinkeln ΔΕΒ större än ΔΑΕ.Prop. 1.16 ΔΑΕ är lika med ΔΒΕ,Prop. 1.5 alltså är ΔΕΒ större än ΔΒΕ. En större sida spänns upp av en större vinkel,Prop. 1.19 alltså är ΔΒ större än ΔΕ. ΔΒ är lika med ΔΖ. Alltså är ΔΖ större än ΔΕ, den mindre med den större, vilket är omöjligt. Alltså skall inte den räta linjen förbindande Α och Β hamna utanför cirkeln. På samma sätt skall vi visa, att inte heller hamnar den på omkretsen, utan inom.

Om alltså två punkter valts godtyckligt på en cirkels omkrets, skall den mellan punkterna sammanbindande räta linjen hamna inom cirkeln. Vilket skulle visas.

γʹ.

Ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει.

3.

Om någon rät linje genom medelpunkten i en cirkel skulle skära någon annan rät linje - ej genom medelpunkten - i hälften, skär den även denna vinkelrätt och om den skulle skära den vinkelrätt skär den den i hälften.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΓΔ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ δίχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· λέγω, ὅτι καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δυσὶν ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΕΑ βάσει τῇ ΕΒ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση ἐστίν. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν· ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΒΖΕ ὀρθή ἐστιν. ἡ ΓΔ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν ΑΒ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει.

Ἀλλὰ δὴ ἡ ΓΔ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τεμνέτω· λέγω, ὅτι καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει, τουτέστιν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ. ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση· δύο ἄρα τρίγωνά ἐστι ΕΑΖ, ΕΖΒ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΕΖ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει· ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.

Ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[4]

Låt ΑΒΓ vara cirkeln och låt någon rät linje ΓΔ genom medelpunkten i den dela någon annan rät linje ΑΒ - ej genom medelpunkten - i hälften vid punkten Ζ. Jag säger, att den även skär den vinkelrätt.

Ty låt cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt ha funnits,Prop. 3.1 och låt den vara Ε samt låt ha förbundit ΕΑ och ΕΒ.

Och eftersom ΑΖ är lika med ΖΒ, ΖΕ är gemensam, är två sidor lika med två sidor, är även basen ΕΑ lika med ΕΒ. Alltså är vinkeln ΑΖΕ lika med vinkeln ΒΖΕ.Prop. 1.8 När en rät linje ställd på en annan rät linje gör intilliggande vinklar lika med varandra, är var och en av de lika vinklarna rät,Def. 1.10 alltså är var och en av ΑΖΕ och ΒΖΕ rät. Alltså har ΓΔ, som går genom medelpunkten, delat ΑΒ, som inte går genom medelpunkten, i hälften och skär den vinkelrätt.

Men skär ΓΔ ΑΒ vinkelrätt, säger jag, att den delar den även i hälften, det vill säga, att ΑΖ är lika med ΖΒ.

Ty efter samma uppställning, är, eftersom ΕΑ är lika med ΕΒ, också vinkeln ΕΑΖ lika med ΕΒΖ.Prop. 1.5 Den räta vinkeln ΑΖΕ är lika med den räta vinkeln ΒΖΕ, alltså är ΕΑΖ och ΕΖΒ två trianglar som har två vinklar lika med två vinklar och en sida lika med en sida, bland dem den gemensamma sidan ΕΖ, som spänner upp en av de lika vinklarna. Och alltså skall de ha de övriga sidorna lika med de övriga sidorna, alltså är ΑΖ lika med ΖΒ.

Om alltså någon rät linje genom medelpunkten i en cirkel skulle skära någon annan rät linje - ej genom medelpunkten - i hälften, skär den även denna vinkelrätt och om den skulle skära den vinkelrätt skär den den i hälften. Vilket skulle visas.

δʹ.

Ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ δὶα τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.

4.

Om i en cirkel två räta linjer, som inte går genom medelpunkten, skär varandra, delar de inte varandra i hälften.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι· λέγω, ὅτι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.

Εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτωσαν ἀλλήλας δίχα ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, τὴν δὲ ΒΕ τῇ ΕΔ· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ.

Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΑ· πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΔ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΑ ὀρθή· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΑ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα αἱ ΑΓ, ΒΔ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.

Ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ δὶα τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[5]

Låt ΑΒΓΔ vara cirkeln och i den skär två räta linjer, som inte går genom medelpunkten, varandra vid E. Jag säger, att de inte delar varandra i hälften.

Ty låt dem, om möjligt, skära varandra i hälften så att ΑΕ är lika med ΕΓ och ΒΕ med ΕΔ, låt cirkeln ΑΒΓΔ:s medelpunkt ha funnitsProp. 3.1 och låt den vara Ζ, och låt ha förbundit ΖΕ.

Eftersom då någon rät linje ΖΕ, genom medelpunkten, delar någon annan rät linje, ej genom medelpunkten, i hälften, delar den den också vinkelrätt.Prop. 3.3 Alltså är ΖΕΑ rät. Åter, eftersom någon rät linje ΖΕ delar någon annan rät linje i hälften, delar den den också vinkelrätt.Prop. 3.3 Alltså är ΖΕΒ rät. Även ΖΕΑ har visats vara rät, alltså är ΖΕΑ lika med ΖΕΒ, den mindre med den större, vilket är omöjligt. Alltså delar ΑΓ och ΒΔ inte varandra i hälften.

Om alltså i en cirkel två räta linjer, som inte går genom medelpunkten, skär varandra, delar de inte varandra i hälften. Vilket skulle visas.

εʹ.

Ἐὰν δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.

5.

Om två cirklar skär varandra, skall deras medelpunkt inte vara densamma.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΗ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα. λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖΗ, ὡς ἔτυχεν. καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἵση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΖ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΗ· ἐδείχθη δὲ ἡ ΕΓ καὶ τῇ ΕΖ ἴση· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΗ κύκλων.

Ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔστιν αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[6]

Ty de två cirklarna ΑΒΓ och ΓΔΗ skär varandra vid punkterna Β och Γ. Jag säger, att deras medelpunkt inte är densamma.

Ty låt, om möjligt, den vara Ε och låt ha förbundit ΕΓ, dragit ut ΕΖΗ godtyckligt. Och eftersom punkten Ε är cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt, är ΕΓ lika med ΕΖ. Igen, eftersom punkten Ε är cirkeln ΓΔΗ:s medelpunkt, är ΕΓ lika med ΕΗ. ΕΓ har även visats vara lika med ΕΖ, alltså är även ΕΖ lika med ΕΗ, den mindre med den större, vilket är omöjligt. Alltså är punkten Ε inte cirklarna ΑΒΓ:s och ΓΔΗ:s medelpunkt.

Om alltså två cirklar skär varandra, skall deras medelpunkt inte vara densamma. Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.

6.

Om två cirklar tangerar varandra, skall deras medelpunkt inte vara densamma.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον· λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΖΕΒ.

Ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΕ. ἐδείχθη δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ ἴση· καὶ ἡ ΖΕ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων.

Ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[7]

Ty låt de två cirklarna ΑΒΓ och ΓΔΕ tangera varandra vid punkten Γ. Jag säger, att deras medelpunkt inte skall vara densamma.

Ty låt, om möjligt, den vara Ζ och ha förbundit ΖΓ och ha dragit ut ΖΕΒ godtyckligt.

Eftersom punkten Ζ är cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt, är ΖΓ lika med ΖΒ. Igen, eftersom punkten Ζ är cirkeln ΓΔΕ:s medelpunkt, är ΖΓ lika med ΖΕ. ΖΓ har även visats vara lika med ΖΒ, alltså är även ΖΕ lika med ΖΒ, den mindre med den större, vilket är omöjligt. Alltså är punkten Ζ inte cirklarna ΑΒΓ:s och ΓΔΕ:s medelpunkt.

Om alltså två cirklar tangerar varandra, skall deras medelpunkt inte vara densamma. Vilket skulle visas.

ζʹ.

Ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφ᾿ ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς δὶα τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης.

7.

Om någon punkt valts på en cirkels diameter, som inte är medelpunkten, och några räta linjer från punkten når cirkeln, är den längst, på vilken medelpunkten finns och kortast är resten av diametern. Av de andra är alltid den närmast linjen genom cirkelns medelpunkt längre än en längre bort och endast två lika räta linjer skall nå cirkeln från punkten, en på vardera sidan om den kortaste.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, κέντρον δὲ τοῦ κύκλου ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον προσπιπτέτωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΗ· λέγω, ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ μείζων, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, αἱ ἄρα ΕΒ, ΕΖ τῆς ΒΖ μείζονές εἰσιν. ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ αἱ ἄρα ΒΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶ τῇ ΑΖ· μείζων ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΒΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΕΖ μείζων· βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσεως τῆς ΓΖ μείζων ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν.

Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΗ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΕΔ, αἱ ἄρα ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ λοιπῆς τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν. μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.

Λέγω, ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου δύο μόνον ἴσαι προσπεσοῦνται πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ΖΔ ἐλαχίστης. συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση ἐστίν. λέγω δή, ὅτι τῇ ΖΗ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου. εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω ἡ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν, ἀλλὰ ἡ ΖΘ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν, καὶ ἡ ΖΚ ἄρα τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῇ ἀπώτερον ἴση· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἑτέρα τις προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἴση τῇ ΗΖ· μία ἄρα μόνη.

Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφ᾿ ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς δὶα τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[8]

Låt ΑΒΓΔ vara cirkeln, dess diameter ΑΔ och välj på ΑΔ någon punkt Ζ, som inte är cirkelns medelpunkt, låt cirkelns medelpunkt vara Ε, och låt från Ζ några räta linjer ΖΒ, ΖΓ och ΖΗ nå cirkeln ΑΒΓΔ. Jag säger, att ΖΑ är störst, ΖΔ minst och av de övriga är ΖΒ större än ΖΓ och ΖΓ än ΖΗ.

Ty låt ha förbundit ΒΕ, ΓΕ och ΗΕ. Och eftersom för alla trianglar två sidor är större än den kvarvarande,Prop. 1.20 är alltså ΕΒ och ΕΖ större än ΒΖ. ΑΕ är lika med ΒΕ, alltså är ΒΕ och ΕΖ lika med ΑΖ, alltså är ΑΖ större än ΒΖ. Igen, eftersom ΒΕ är lika med ΓΕ, ΖΕ är gemensam, är de två ΒΕ och ΕΖ lika med de två ΓΕ och ΕΖ. Men även vinkeln ΒΕΖ är större än vinkeln ΓΕΖ, alltså är basen ΒΖ större än basen ΓΖ.Prop. 1.24 Av samma skäl är även ΓΖ större än ΖΗ.

Igen, eftersom ΗΖ och ΖΕ är större än ΕΗProp. 1.20 och ΕΗ är lika med ΕΔ, är alltså ΗΖ och ΖΕ större än ΕΔ. Drag bort ΕΖ från båda, alltså är resten ΗΖ större än resten ΖΔ. Alltså är ΖΑ störst, ΖΔ minst, ΖΒ större än ΖΓ och ΖΓ än ΖΗ.

Jag säger, att även från punkten Ζ endast två lika räta linjer når cirkeln ΑΒΓΔ en på vardera sidan om den kortaste ΖΔ. Ty låt ha rest på den räta linjen ΕΖ och vid punkten Ε på den vinkeln ΗΕΖ lika med ΖΕΘProp. 1.23 samt förbind ΖΘ. Eftersom sålunda är ΗΕ lika med ΕΘ och ΕΖ är gemensam, de två ΗΕ och ΕΖ är lika med de två ΘΕ och ΕΖ samt vinkeln ΗΕΖ är lika med vinkeln ΘΕΖ, alltså är basen ΖΗ lika med basen ΖΘ.Prop. 1.4 Jag säger, att någon annan lika med ΖΗ når inte cirkeln från punkten Ζ. Ty, om möjligt, låt ΖΚ nå cirkeln. Och eftersom ΖΚ är lika med ΖΗ, men ΖΘ är lika med ΖΗ, alltså är även ΖΚ lika med ΖΘ, den närmre den genom medelpunkten med den längre bort, vilket är omöjlig. Alltså når ingen annan från punkten Ζ till cirkeln som är lika med ΗΖ, utan bara en.

Om alltså någon punkt valts på en cirkels diameter, som inte är medelpunkten, och några räta linjer från punkten når cirkeln, är den längst, på vilken medelpunkten finns och kortast är resten av diametern. Av de andra är alltid den närmast linjen genom cirkelns medelpunkt längre än en längre bort och endast två lika räta linjer skall nå cirkeln från punkten, en på vardera sidan om den kortaste. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου, αἱ δὲ λοιπαί, ὡς ἔτυχεν, τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης.

8.

Om någon punkt valts utanför en cirkel och från denna punkt det dragits några räta linjer, av vilka en genom medelpunkten, de övriga godtyckligt, av de räta linjer som dragits till den konkava delen av omkretsen är den längst som går genom medelpunkten. Av de andra är alltid den närmre den genom medelpunkten längre än den längre bort. Av de räta linjerna dragits till den konvexa delen av omkretsen är den mellan punkten och diametern kortast, av de andra är alltid den närmare den kortaste mindre än den längre bort. Och endast två lika stora skall dras från punkten till cirkeln på vardera sidan av den kortaste.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ διήχθωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΔΑ, ΔΕ, ΔΖ, ΔΓ, ἔστω δὲ ἡ ΔΑ διὰ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι τῶν μὲν πρὸς τὴν ΑΕΖΓ κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ΔΖ ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ, τῶν δὲ πρὸς τὴν ΘΛΚΗ κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ ΔΗ ἡ μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς ΑΗ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἀπώτερον, ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ, ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Μ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΜΖ, ΜΓ, ΜΚ, ΜΛ, ΜΘ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΕΜ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΜΔ· ἡ ἄρα ΑΔ ἴση ἐστὶ ταῖς ΕΜ, ΜΔ. ἀλλ᾿ αἱ ΕΜ, ΜΔ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν· καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΕΔ μείζων ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΕ τῇ ΜΖ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, αἱ ΕΜ, ΜΔ ἄρα ταῖς ΖΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΜΔ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΜΔ μείζων ἐστίν. βάσις ἄρα ἡ ΕΔ βάσεως τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν· ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΖΔ τῆς ΓΔ μείζων ἐστίν· μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ΔΖ, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ.

Καὶ ἐπεὶ αἱ ΜΚ, ΚΔ τῆς ΜΔ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΜΗ τῇ ΜΚ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΔ λοιπῆς τῆς ΗΔ μείζων ἐστίν· ὥστε ἡ ΗΔ τῆς ΚΔ ἐλάττων ἐστίν· καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΜΛΔ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΜΔ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάθησαν αἱ ΜΚ, ΚΔ, αἱ ἄρα ΜΚ, ΚΔ τῶν ΜΛ, ΛΔ ἐλάττονές εἰσιν· ἴση δὲ ἡ ΜΚ τῇ ΜΛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΚ λοιπῆς τῆς ΔΛ ἐλάττων ἐστίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΛ τῆς ΔΘ ἐλάττων ἐστίν· ἐλαχίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΗ, ἐλάττων δὲ ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ.

Λέγω, ὅτι καὶ δύο μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ Δ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης· συνεστάτω πρὸς τῇ ΜΔ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Μ τῇ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΔΜΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΚ τῇ ΜΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΔ δύο ταῖς ΒΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΔΚ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. λέγω δή, ὅτι τῇ ΔΚ εὐθείᾳ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου. εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΔΝ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΚ τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἀλλ᾿ ἡ ΔΚ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης τῇ ἀπώτερον ἐστιν ἴση· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα πλείους ἢ δύο ἴσαι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης προσπεσοῦνται.

Ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρουE E) Här finns det ett komma i den i övrigt identiska inledningen (förutom ἄρα). Varför? αἱ δὲ λοιπαί, ὡς ἔτυχεν, τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[9]

Låt ΑΒΓ vara cirkeln, ha valt någon punkt Δ utanför, ha dragit några räta linjer ΔΑ, ΔΕ, ΔΖ och ΔΓ samt låt ΔΑ vara genom medelpunkten. Jag säger, att av de räta linjer som dragits till den konkava delen av omkretsen ΘΛΚΗ är den genom medelpunkten längst ΔΑ, ΔΕ är större än ΔΖ, ΔΖ än ΔΓ. Av de räta linjerna dragits till den konvexa delen av omkretsen ΘΛΚΗ är ΔΗ mellan punkten och diametern ΑΗ kortast, den är alltid den närmre den kortaste ΔΗ alltid kortare än den längre bort, ΔΚ än ΔΛ, ΔΛ än ΔΘ.

Låt cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt ha funnitsProp. 3.1 och låt den vara Μ och låt ha förbundit ΜΕ, ΜΖ, ΜΓ, ΜΚ, ΜΛ och ΜΘ.

Och eftersom ΑΜ är lika med ΕΜ, lägg till ΜΔ till båda, alltså är ΑΔ lika med ΕΜ och ΜΔ. Men ΕΜ och ΜΔ är större än ΕΔ,Prop. 1.20 alltså är även ΑΔ större än ΕΔ. Igen, eftersom ΜΕ är lika med ΜΖ och ΜΔ är gemensam, är alltså ΕΜ och ΜΔ lika med ΖΜ och ΜΔ dessutom är vinkeln ΕΜΔ större än ΖΜΔ. Alltså är basen ΕΔ större än basen ΖΔ.Prop. 1.24 På samma sätt skall vi visa, att ΖΔ är större än ΓΔ, alltså är ΔΑ störst och ΔΕ större än ΔΖ, ΔΖ än ΔΓ.

Och eftersom ΜΚ och ΚΔ är större än ΜΔ,Prop. 1.20 och ΜΗ är lika med ΜΚ, är alltså resten ΚΔ större än resten ΗΔ. Då ΗΔ är mindre än ΚΔ. Och eftersom de två räta linjerna ΜΚ och ΚΔ rests på en av triangeln ΜΛΔ:s sidor ΜΔ, är alltså ΜΚ och ΚΔ mindre än ΜΛ och ΛΔ.Prop. 1.21 Och ΜΚ är lika med ΜΛ, är alltså resten ΔΚ mindre än resten ΔΛ. På samma sätt skall vi visa, att ΔΛ är mindre än ΔΘ, alltså är ΔΗ minst, ΔΚ är mindre än ΔΛ och ΔΛ än ΔΘ.

Jag säger, att också endast två lika stora räta linjer skall dras från punkten Δ till cirkeln till cirkeln på vardera sidan av den kortaste ΔΗ. Låt ha konstruerat vinkeln ΔΜΒ mot den räta linjen ΜΔ vid punkten Μ på den lika med vinkeln ΚΜΔProp. 1.23 och ha förbundit ΔΒ. Och eftersom ΜΚ är lika med ΜΒ och ΜΔ gemensam, är de två ΚΜ och ΜΔ lika med de två ΒΜ och ΜΔ var och en med var och en samt vinkeln ΚΜΔ är lika med vinkeln ΒΜΔ, är alltså basen ΔΚ lika med basen ΔΒ.Prop. 1.4 Jag säger , att någon annan rät linje lika med den räta linjen ΔΚ når inte till cirkeln från punkten. Ty, om möjligt, drag ut en och låt den vara ΔΝ. Eftersom då ΔΚ är lika med ΔΝ, men ΔΚ är lika med ΔΒ, och alltså är ΔΒ lika med ΔΝ, en närmre den kortaste ΔΗ är lika med en längre bort, vilket visats vara omöjligt. Sålunda skall inte fler än två lika stora räta linjer dras till cirkeln ΑΒΓ från punkten Δ på vardera sidan av den kortaste ΔΗ.

Om alltså någon punkt valts utanför en cirkel och från denna punkt det dragits några räta linjer, av vilka en genom medelpunkten, de övriga godtyckligt, är av de räta linjer som dragits till den konkava delen av omkretsen den längst som går genom medelpunkten. Av de andra är alltid den närmre den genom medelpunkten längre än den längre bort. Av de räta linjerna dragits till den konvexa delen av omkretsen är den mellan punkten och diametern kortast, av de andra är alltid den närmare den kortaste mindre än den längre bort. Och endast två lika stora skall dras från punkten till cirkeln på vardera sidan av den kortaste. Vilket skulle visas.

θʹ.

Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπο δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου.

9.

Om någon punkt valts inuti en cirkel och från denna punkt det till cirkeln dragits fler än två räta linjer, är den valda punkten cirkelns medelpunkt.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἐντὸς δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ· λέγω, ὅτι τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ τετμήσθωσαν δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΔ, ΖΔ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Κ, Θ, Λ σημεῖα.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΔ δύο ταῖς ΒΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΔΒ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν· ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ, ΒΕΔ γωνιῶν· ἡ ΗΚ ἄρα τὴν ΑΒ τέμνει δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς. καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἐπὶ τῆς ΗΚ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς ΘΛ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου. καὶ οὐδὲν ἕτερον κοινὸν ἔχουσιν αἱ ΗΚ, ΘΛ εὐθεῖαι ἢ τὸ Δ σημεῖον· τὸ Δ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[10]

Låt ΑΒΓ vara cirkeln, Δ punkten i denna och drag från Δ till cirkeln ΑΒΓ fler än två räta linjer ΔΑ, ΔΒ och ΔΓ. Jag säger, att punkten Δ är cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt.

Ty låt ha förbundit ΑΒ och ΒΓ, låt ha delat dem i hälften vid punkterna Ε och ΖProp. 1.10. Låt även de förbundna ΕΔ och ΖΔ ha dragits ut till punkterna Η, Κ, Θ och Λ.

Eftersom sålunda ΑΕ är lika med ΕΒ och ΕΔ är gemensam, är de två ΑΕ och ΕΔ lika med de två ΒΕ och ΕΔ samt basen ΔΑ lika med basen ΔΒ, alltså är vinkeln ΑΕΔ lika med vinkeln ΒΕΔ.Prop. 1.8 Alltså är var och en av vinklarna ΑΕΔ och ΒΕΔ rät.Prop. 1.10 Alltså delar ΗΚ ΑΒ i hälften och i rät vinkel. Och eftersom, då i en cirkel någon rät linje delar en annan rät linje i hälften och skär den vinkelrätt, cirkelns medelpunkt finns på den delande,Prop. 3.1 cor. finns alltså cirkelns medelpunkt på ΗΚ. Av samma skäl finns cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt på ΘΛ. Och de räta linjerna ΗΚ och ΘΛ har ingen annan gemensam punkt än Δ. Alltså är punkten Δ cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt.

Om alltså någon punkt valts inuti en cirkel och från denna punkt det till cirkeln dragits fler än två räta linjer, är den valda punkten cirkelns medelpunkt. Vilket skulle visas.

ιʹ.

Κύκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο.

10.

En cirkel skär inte en annan cirkel vid fler punkter än två.

Objects are not supported by your browser!

Εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ τεμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Β, Η, Ζ, Θ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΒΘ, ΒΗ δίχα τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα· καὶ ἀπὸ τῶν Κ, Λ ταῖς ΒΘ, ΒΗ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΚΓ, ΛΜ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Α, Ε σημεῖα.

Ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΑΓ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΘ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΑΓ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου. πάλιν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ αὐτῷ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΗ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ κατ᾿ οὐδὲν συμβάλλουσιν αἱ ΑΓ, ΝΞ εὐθεῖαι ἢ κατὰ τὸ Ο· τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου κέντρον ἐστὶ τὸ Ο· δύο ἄρα κύκλων τεμνόντων ἀλλήλους τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ τὸ αὐτό ἐστι κέντρον τὸ Ο· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

Οὐκ ἄρα κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[11]

Ty om möjligt låt cirkeln ΑΒΓ skära cirkeln ΔΕΖ vid fler punkter än två, Β, Η, Ζ och Θ. Och sedan ΒΘ och ΒΗ har förbundits dela dessa i hälften vid punkterna Κ och Λ samt sedan ΚΓ och ΛΜ dragits från Κ och Λ vinkelräta mot ΒΘ och ΒΗ,Prop. 1.11 drag dem till punkterna Α och Ε.

Ty då i cirkeln ΑΒΓ någon en rät linje ΑΓ en annan rät linje ΒΘ delar i hälften och skär den vinkelrätt, ligger alltså cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt på ΑΓ.Prop. 3.1 cor. Åter, eftersom i cirkeln ΑΒΓ någon en rät linje ΝΞ en annan rät linje ΒΗ delar i hälften och skär den vinkelrätt, ligger alltså cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt på ΝΞ.Prop. 3.1 cor. Den har även visats ligga på ΑΓ och de räta linjerna ΑΓ och ΝΞ sammanfaller vid ingen annan punkt än Ο. Sålunda är punkten Ο cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt. På samma sätt skall vi visa, att Ο även är cirkeln ΔΕΖ:s medelpunkt, alltså har de två cirklarna ΑΒΓ och ΔΕΖ som skär varandra samma medelpunkt, Ο. Vilket är omöjligt.Prop. 3.5

En cirkel skär alltså inte en annan cirkel vid fler punkter än två. Vilket skulle visas.

ιαʹ.

Ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός, καὶ ληφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων.

11.

Om två cirklar tangerar varandra på insidan och deras medelpunkter funnits, skall den räta linje som förbinder deras medelpunkter utdragen även nå cirklarnas tangeringspunkt.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐντὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Α πεσεῖται.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ὡς ἡ ΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.

Ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΖ τῆς ΖΑ, τουτέστι τῆς ΖΘ, μείζονές εἰσιν, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ λοιπῆς τῆς ΗΘ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ· καὶ ἡ ΗΔ ἄρα τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεὶα ἐκτὸς πεσεῖται· κατὰ τὸ Α ἄρα ἐπὶ τῆς συναφῆς πεσεῖται.

Ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός, καὶ ληφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[12]

Ty låt två cirklar ΑΒΓ och ΑΔΕ tangera varandra på insidan vid punkten Α och låt cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt Ζ ha funnitsProp. 3.1 och ΑΔΕ:s Η.Prop. 3.1 Jag säger, att den räta linje som förbinder Η och Ζ skall utdragen nå Α.

Ty om inte, utan, om möjligt, låt den gå som ΖΗΘ och låt ha förbundit ΑΖ och ΑΗ.

Ty då ΑΗ och ΗΖ är större än ΖΑ, det vill säga ΖΘ,Prop. 1.20 drag bort ΖΗ från båda, alltså är resten ΑΗ större än ΗΘ och ΑΗ är lika med ΗΔ, alltså är ΗΔ större än ΗΘ, den mindre med den större, vilket är omöjligt. Alltså skall den räta linjen som förbinder Ζ och Η inte nå ut, alltså skall den nå cirklarnas tangeringspunkt vid Α.

Om alltså två cirklar tangerar varandra på insidan och deras medelpunkter funnits, skall den räta linje som förbinder deras medelpunkter utdragen även nå cirklarnas tangeringspunkt. Vilket skulle visas.

ιβʹ.

Ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται.

12.

Om två cirklar tangerar varandra på utsidan, skall den räta linjen som förbinder deras medelpunkter gå genom tangeringspunkten.

Objects are not supported by your browser!

Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐκτὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς ἐλεύσεται.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω ὡς ἡ ΖΓΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.

Ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ τῇ ΗΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ ἴση· αἱ ἄρα ΖΑ, ΑΗ ταῖς ΖΓ, ΗΔ ἴσαι εἰσίν· ὥστε ὅλη ἡ ΖΗ τῶν ΖΑ, ΑΗ μείζων ἐστίν· ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς οὐκ ἐλεύσεται· δι᾿ αὐτῆς ἄρα.

Ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[13]

Ty låt de två cirklarna ΑΒΓ och ΑΔΕ tangera varandra på utsidan vid punkten Α och låt cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt Ζ ha funnitsProp. 3.1 och ΑΔΕ:s Η.Prop. 3.1 Jag säger, att den räta linjen som förbinder deras medelpunkter skall gå genom tangeringspunkten vid Α.

Ty om inte, utan, om möjligt, låt den gå som ΖΓΔΗ och låt ha förbundit ΑΖ och ΑΗ.

Sålunda eftersom punkten Ζ är cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt, är ΖΑ lika med ΖΓ. Igen, eftersom punkten Η är cirkeln ΑΔΕ:s medelpunkt, är ΗΑ lika med ΗΔ. ΖΑ har visats vara lika med ΖΓ, alltså är ΖΑ och ΑΗ lika med ΖΓ och ΗΔ, därför är hela ΖΗ större än ΖΑ och ΑΗ, men även mindre,Prop. 1.20 vilket är omöjligt. Alltså skall inte den räta linjen som förbinder Ζ och Η inte gå genom tangeringspunkten vid Α, utan genom den.

Om alltså två cirklar tangerar varandra på utsidan, skall den räta linjen som förbinder deras medelpunkter gå genom tangeringspunkten. Vilket skulle visas.

ιγʹ.

Κύκλος κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ καθ᾿ ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται.

13.

En cirkel tangerar inte en annan cirkel vid fler punkter än vid en, antingen de tangerar på insidan eller utsidan.

Objects are not supported by your browser!

Εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλου τοῦ ΕΒΖΔ ἐφαπτέσθω πρότερον ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ Δ, Β.

Καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓΔF F) Ordningen är annorlunda än för punkterna i figuren. κύκλου κέντρον τὸ Η, τοῦ δὲ ΕΒΖΔ τὸ Θ.

Ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη ἐπὶ τὰ Β, Δ πεσεῖται. πιπτέτω ὡς ἡ ΒΗΘΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ· μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΘΔ· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΒΘ τῆς ΘΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΘΔ· ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων· ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.

Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐκτός.

Εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΓΚ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ Α, Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ.

Ἔπεὶ οὖν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΑΓΚ εἴληπται ἐπὶ τῆς περιφερείας ἑκατέρου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Γ, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς ἑκατέρου πεσεῖται· ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒΓΔ ἐντὸς ἔπεσεν, τοῦ δὲ ΑΓΚ ἐκτός· ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐντός.

Κύκλος ἄρα κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ καθ᾿ ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[14]

Ty om möjligt, låt cirkeln ΑΒΓΔ tangera cirkeln ΕΒΖΔ först på insidan vid fler punkter än en, Δ och Β.

Och låt cirkeln ΑΒΓΔ:s medelpunkt ha funnits vid ΗProp. 3.1 och ΕΒΖΔ:s vid Θ.Prop. 3.1

Alltså skall den räta linjen som förbinder Η och Θ nå Β och Δ.Prop. 3.11 Låt den gå som ΒΗΘΔ och eftersom punkten Η är cirkeln ΑΒΓΔ:s medelpunkt, är ΒΗ lika med ΗΔ, alltså är ΒΗ större än ΘΔ, alltså är ΒΘ mycket större än ΘΔ. Igen, eftersom punkten Θ är cirkeln ΕΒΖΔ:s medelpunkt, är ΒΘ lika med ΘΔ och den har visats också vara mycket större än denna, vilket är omöjlig. Alltså tangerar en cirkel på insidan en annan cirkel vid fler punkter än en.

Jag säger, inte heller på utsidan är det så.

Ty om möjligt, låt cirkeln ΑΓΚ tangera cirkeln ΑΒΓΔ vid fler punkter än en, vid Α och Γ, och låta ha förbundit ΑΓ.

Eftersom då två godtyckliga punkter, Α och Β, valts på omkretsarna av var och en av cirklarna ΑΒΓΔ och ΑΓΚ, skall den räta linjen mellan punkterna hamna inom var och en av cirklarna.Prop. 3.2 Men den hamnade inuti ΑΒΓΔ och utanför ΑΓΚ, vilket är orimligt.Def. 3.3 Alltså tangerar inte en cirkel en annan cirkel på utsidan vid fler punkter än en. Det har visats, att inte heller på insidan är det så.

En cirkel tangerar inte en annan cirkel vid fler punkter än vid en, antingen de tangerar på insidan eller utsidan. Vilket skulle visas.

ιδʹ.

Ἐν κύκλῳ αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

14.

I en cirkel är lika räta linjer lika långt borta från medelpunkten och de som är lika långt borta från medelpunkten är lika med varandra.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔG G) Ordningen är annorlunda än för punkterna i figuren., καὶ ἐν αὐτῷ ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΓΔ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΓ.

Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις δὶα τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει. ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ· διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΓΗ ἐστι διπλῆ· καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΕΖ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία· τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Η γωνία· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΕ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. ἐν δὲ κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι λέγονται, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπ᾿ αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν· αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου.

Ἀλλὰ δὴ αἱ ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖαι ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου, τουτέστιν ἴση ἔστω ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΑΖ, ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΓΗ· καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΕ· ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ· ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἐστιν ἴσον· ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ· ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· καί ἐστι τῆς μὲν ΑΖ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΗ διπλῆ ἡ ΓΔ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[15]

Låt ΑΒΓΔ vara cirkeln och i denna finns de lika räta linjerna ΑΒ och ΓΔ. Jag säger, att ΑΒ och ΓΔ är lika långt borta från medelpunkten.

Ty låt cirkeln ΑΒΓΔ:s medelpunkt ha funnits,Prop. 3.1 låt den vara Ε, ha dragit ΕΖ och ΕΗ vinkelräta från Ε till ΑΒ och ΓΔProp. 1.12 samt ha förbundit ΑΕ och ΕΓ.

Eftersom sålunda någon rät linje genom medelpunkten, ΕΖ, skär någon rät linje ej genom medelpunkten, ΑΒ, i rät vinkel också delar den i hälften,Prop. 3.5 är ΑΖ lika med ΖΒ och alltså är ΑΒ dubbla ΑΖ. Av samma skäl är också ΓΔ dubbla ΓΗ och ΑΒ är lika med ΓΔ, alltså är också ΑΖ lika med ΓΗ. Och eftersom ΑΕ är lika med ΕΓ, är också kvadraten på ΑΕ lika med den på ΕΓ. Men kvadraten på ΑΕ är lika med dem på ΑΖ och ΕΖ, ty vinkeln vid Ζ är rät.Prop. 1.47 Kvadraten på ΕΓ är lika med dem på ΕΗ och ΗΓ, ty vinkeln vid Η är rät.Prop. 1.47 Alltså är kvadraterna på ΑΖ och ΖΕ lika med dem på ΓΗ och ΗΕ, av vilka kvadraten på ΑΖ är lika med den på ΓΗ, ty ΑΖ är lika med ΓΗ. Alltså är resterande kvadrat på ΖΕ lika med den på ΕΗ, alltså är ΕΖ lika med ΕΗ. I en cirkel sägs räta linjer vara lika lång från centrum, när räta linjer dragna vinkelräta från medelpunkten till dem är lika långa,Def. 3.4 Alltså är ΑΒ och ΓΔ lika långt bort från medelpunkten.

Men låt de räta linjerna ΑΒ och ΓΔ vara lika långt bort från medelpunkten, det vill säga låt ΕΖ vara lika med ΕΗ. Jag säger, att även ΑΒ är lika med ΓΔ.

Ty med samma uppställning skall vi på samma sätt visa, att ΑΒ är dubbla ΑΖ, ΓΔ dubbla ΓΗ och eftersom ΑΕ är lika med ΓΕ, är kvadraten på ΑΕ lika med den på ΓΕ, men den på ΑΕ är lika med dem på ΕΖ och ΖΑProp. 1.47 och de på ΕΗ och ΗΓ är lika med den på ΓΕ.Prop. 1.47 Alltså är de på ΕΖ och ΖΑ lika med dem på ΕΗ och ΗΓ, av vilka den på ΕΖ är lika med den på ΕΗ, ty ΕΖ är lika med ΕΗ. Alltså är resterande kvadrat på ΑΖ lika med den på ΓΗ, alltså är ΑΖ lika med ΓΗ och ΑΒ är dubbla ΑΖ och ΓΔ dubbla ΓΗ. Alltså är ΑΒ lika med ΓΔ.

I en cirkel är alltså lika räta linjer lika långt borta från medelpunkten och de som är lika långt borta från medelpunkten är lika med varandra. Vilket skulle visas.

ιεʹ.

Ἐν κύκλῳ μεγίστη μὲν ἡ διάμετρος, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν.

15.

I en cirkel är diametern störst, av de andra är alltid den närmare medelpunkten större än den längre bort.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἔγγιον μὲν τῆς ΑΔ διαμέτρου ἔστω ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ· λέγω, ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΑΔ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ.

Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὰς ΒΓ, ΖΗ κάθετοι αἱ ΕΘ, ΕΚ. καὶ ἐπεὶ ἔγγιον μὲν τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ, μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΕΘ. κείσθω τῇ ΕΘ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΚ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΛΜ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΕΝ, ΖΕ, ΕΗ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΕΛ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΜΝ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΜ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΝ, ἡ ἄρα ΑΔ ταῖς ΜΕ, ΕΝ ἴση ἐστίν. ἀλλ᾿ αἱ μὲν ΜΕ, ΕΝ τῆς ΜΝ μείζονές εἰσιν καὶ ἡ ΑΔ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν, ἴση δὲ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ· ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΒΓ μείζων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΜΕ, ΕΝ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΗ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΕΝ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΕΗ μείζων ἐστίν, βάσις ἄρα ἡ ΜΝ βάσεως τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ ἐδείχθη ἴση καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν. μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΑΔ διάμετρος, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ.

Ἐν κύκλῳ ἄρα μεγίστη μὲν έστιν ἡ διάμετρος, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[16]

Låt ΑΒΓΔ vara cirkeln, ΑΔ dess diameter, Ε medelpunkten och låt ΒΓ vara närmre diametern ΑΔ och ΖΗ längre bort. Jag säger, att ΑΔ är störst och ΒΓ är större än ΖΗ.

Ty låt ΕΘ och ΕΚ ha dragits från medelpunkten vinkelräta mot ΒΓ och ΖΗ.Prop. 1.12 Och eftersom ΒΓ är närmre medelpunkten och ΖΗ är längre bort, är alltså ΕΚ större än ΕΘ.Prop. 3.5 Gör ΕΛ lika med ΕΘ,Prop. 1.3 drag ut ΛΜ, som har dragits genom Λ vinkelrät mot ΕΚProp. 1.11, till Ν och låt ha förbundit ΜΕ, ΕΝ, ΖΕ och ΕΗ.

Och eftersom ΕΘ är lika med ΕΛ, är också ΒΓ lika med ΜΝ.Prop. 3.14 Igen, eftersom ΑΕ är lika med ΕΜ och ΕΔ med ΕΝ, är alltså ΑΔ lika med ΜΕ och ΕΝ. Men ΜΕ och ΕΝ är större än ΜΝProp. 1.20 och ΑΔ är större än ΜΝ och ΜΝ är lika med ΒΓ, alltså är ΑΔ större än ΒΓ. Och eftersom de två räta linjerna ΜΕ och ΕΝ är lika med de två räta linjerna ΖΕ och ΕΗ samt vinkeln ΜΕΝ är större än vinkeln ΖΕΗ, är alltså basen ΜΝ större än basen ΖΗ.Prop. 1.24 Men ΜΝ har visats vara lika med ΒΓ och ΒΓ är större än ΖΗ. Alltså är diametern ΑΔ störst och ΒΓ större än ΖΗ.

I en cirkel är alltså diametern störst, av de andra är alltid den närmare medelpunkten större än den längre bort. Vilket skulle visas.

ιϛʹ.

Ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾿ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων.

16.

En rät linje dragen vinkelrätt mot cirkelns diameter från dess ände hamnar utanför cirkeln, i området mellan den räta linjen och cirkelns omkrets skall inte heller någon annan rät linje få plats och halvcirkelns vinkel är större än alla andra spetsiga rätlinjiga vinklar, resterande vinkel är mindre.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾿ ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐντὸς ὡς ἡ ΓΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.

Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ· τριγώνου δὴ τοῦ ΑΓΔ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου. ὁμοίως δὴ δεῖξομεν, ὅτι οὐδ᾿ ἐπὶ τῆς περιφερείας· ἐκτὸς ἄρα.

Πιπτέτω ὡς ἡ ΑΕ· λέγω δή, ὅτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΑΕ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται.

Εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΖΑ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τῆν ΖΑ κάθετος ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ, ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΑΗ, μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΔΗ. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΔΘ· μείζων ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΔΗ, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται.

Λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων ἐστίν.

Εἰ γὰρ ἐστί τις γωνία εὐθύγραμμος μείζων μὲν τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας, ἐλάττων δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τὴς ΑΕ εὐθείας, εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας εὐθεῖα παρεμπεσεῖται, ἥτις ποιήσει μείζονα μὲν τῆς περιεχομένης ὑπὸ τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένην, ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας. οὐ παρεμπίπτει δέ· οὐκ ἄρα τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἔσται μείζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη, οὐδὲ μὴν ἐλάττων τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾿ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου καὶ ὅτι εὐθεῖα κύκλου καθ᾿ ἓν μόνον ἐφάπτεται σημεῖον, ἐπειδήπερ καὶ ἡ κατὰ δύο αὐτῷ συμβάλλουσα ἐντὸς αὐτοῦ πίπτουσα ἐδείχθη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[17]

Låt ΑΒΓ vara cirkeln kring medelpunkten Δ och diametern ΑΒ. Jag säger, att en rät linje dragen från Α vinkelrätt mot ΑΒProp. 1.11 från dess ände hamnar utanför cirkeln.

Ty om inte, utan, om möjligt, låt den hamna inuti som ΓΑ och låt ha förbundit ΔΓ.

Eftersom ΔΑ är lika med ΔΓ, är också vinkeln ΔΑΓ lika med vinkeln ΑΓΔ.Prop. 1.5 ΔΑΓ är rät, alltså är även ΑΓΔ rät. Triangeln ΑΓΔ:s två vinklar ΔΑΓ och ΑΓΔ är lika med två räta, vilket är omöjligt.Prop. 1.17 Alltså hamnar den räta linjen dragen från punkten Α vinkelrätt mot ΒΑ inte inuti cirkeln. På samma sätt skall vi visa, att inte heller hamnar den på omkretsen, utan utanför.

Låt den hamna som ΑΕ. Jag säger, att i området mellan den räta linjen ΑΕ och ΓΘΑ:s omkrets skall ingen annan rät linje få plats.

Ty om möjligt, låt den hamna som ΖΑ och låt ha dragit ΔΗ från punkten Δ vinkelrätt mot ΖΑ.Prop. 1.12 Och eftersom ΑΗΔ är rät och ΔΑΗ är mindre än en rät, är alltså ΑΔ större än ΔΗ.Prop. 1.19 ΔΑ är lika med ΔΘ, alltså är ΔΘ större än ΔΗ, den mindre med den större, vilket är omöjligt. Alltså skall inte i området mellan den räta linjen och cirkelns omkrets inte någon annan rät linje få plats.

Jag säger också, att halvcirkelns vinkel, omgiven av den räta linjen ΒΑ och ΓΘΑ:s omkrets, är större än alla spetsiga rätlinjiga vinklar, resterande vinkel omgiven av ΓΘΑ:s omkrets och den räta linjen ΑΕ är mindre än alla spetsiga rätlinjiga.

Ty om det finns någon rätlinjig vinkel större än den omgiven av den räta linjen ΒΑ och ΓΘΑ:s omkrets, mindre än den omgiven av ΓΘΑ:s omkrets och den räta linjen ΑΕ, kan en rät linje få plats i området mellan ΓΘΑ:s omkrets och den räta linjen ΑΕ, vilken skulle göra en vinkel omgiven av räta linjer större än den omgiven av den räta linjen ΒΑ och ΓΘΑ:s omkrets, men mindre än den omgiven av ΓΘΑ:s omkrets och den räta linjen ΑΕ. Men en sådan får inte plats. Alltså skall en spetsig vinkel omgiven av räta linjer inte vara större än en vinkel omgiven av den räta linjen ΒΑ och ΓΘΑ:s omkrets och inte heller mindre än den omgiven av ΓΘΑ:s omkrets och den räta linjen ΑΕ.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att en rät linje vinkelrät mot diametern dragen från dess ände tangerar cirkeln. Och att en rät linje tangerar en cirkel vid endast en punkt, sedan det också visats att om den sammanföll vid två, hamnade den inutiProp. 3.2. Vilket skulle visas.

ιζʹ.

Ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

17.

Från en given punkt dra en rät linje som tangerar en given cirkel.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ὁ δὲ δοθεὶς κύκλος ὁ ΒΓΔ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΑ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΑΒ· λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΑΒ.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ, ΑΖΗ κύκλων, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΒ· δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν πρὸς τῷ Ε· βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ. καί ἐστιν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρου· ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾿ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου· ἡ ΑΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓΔ κύκλου.

Ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου τοῦ Α τοῦ δοθέντος κύκλου τοῦ ΒΓΔ ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[18]

Låt Α vara den givna punkten och ΒΓΔ den givna cirkeln. Från punkten Α skall en rät linje dras som tangerar cirkeln ΒΓΔ.

Ty låt cirkeln ΑΒΓΔ:s medelpunkt Ε ha funnitsProp. 3.1 och ha förbundit ΑΕ. Samt, med medelpunkten Ε och radien ΕΑ, ha ritat cirkeln ΑΖΗ och från Δ vinkelrätt mot ΕΑProp. 1.11 dragit ΔΖ samt ha förbundit ΕΖ och ΑΒ. Jag säger, att ΑΒ har dragits från punkten Α tangerande cirkeln ΒΓΔ.

Ty eftersom Ε är medelpunkt i cirklarna ΒΓΔ och ΑΖΗ, är alltså ΕΑ lika med ΕΖ och ΕΔ med ΕΒ samt de två ΑΕ och ΕΒ lika med de två ΖΕ och ΕΔ. De också en gemensam vinkel vid Ε, alltså är basen ΔΖ lika med basen ΑΒ, triangeln ΔΕΖ är lika med triangeln ΕΒΑ och resterande vinklar lika med resterande vinklar.Prop. 1.4 Alltså är vinkeln ΕΔΖ lika med vinkeln ΕΒΑ. ΕΔΖ är rät, alltså är även ΕΒΑ rät. Och ΕΒ är en radie - en rät linje dragen vinkelrät mot en cirkels diameter vid dess ände tangerar cirkeln - alltså tangerar ΑΒ cirkeln ΒΓΔ.

Alltså har från den givna punkten Α en rät linje ΑΒ dragits som tangerar den givna cirkeln ΒΓΔ. Vilket skulle göras.

ιηʹ.

Ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην.

18.

Om någon rät linje tangerar en cirkel samt medelpunkten och tangeringspunkten förbundits med någon rät linje, är den förbindande räta linjen vinkelrät mot tangenten.

Objects are not supported by your browser!

Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ· λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.

Εἰ γὰρ μή, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΖΗ.

Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΗΓ γωνία ὀρθή ἐστιν, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΗ· ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει· μείζων ἄρα ἡ ΖΓ τῆς ΖΗ· ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆς ΖΗ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΖΗ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. ὁμοίως δὴ δεῖξομεν, ὅτι οὐδ᾿ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΖΓ· ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.

Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[19]

Ty låt någon rät linje ΔΕ tangera cirkeln ΑΒΓ vid punkten Γ, låt cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt Ζ ha funnitsProp. 3.1 och låt ΖΓ ha förbundit Ζ och Γ. Jag säger, att ΖΓ är vinkelrät mot ΔΕ.

Ty om inte, låt ha dragit ΖΗ från Ζ vinkelrät mot ΔΕ.Prop. 1.12

Sålunda, eftersom vinkeln ΖΗΓ är rät, är alltså ΖΓΗ spetsig.Prop. 1.17 En större sida spänner upp en större vinkel,Prop. 1.19 alltså är ΖΓ större än ΖΗ och ΖΓ är lika med ΖΒ. Alltså är även ΖΒ större än ΖΗ, den mindre än den större, vilket är omöjligt. Alltså är ΖΗ inte vinkelrät mot ΔΕ. På samma sätt skall vi visa, att inte heller någon annan utom ΖΓ är det. Alltså är ΖΓ vinkelrät mot ΔΕ.

Om alltså någon rät linje tangerar en cirkel samt medelpunkten och tangeringspunkten förbundits med någon rät linje, är den förbindande räta linjen vinkelrät mot tangenten. Vilket skulle visas.

ιθʹ.

Ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.

19.

Om någon rät linje tangerar en cirkel och från tangeringspunkten i rät vinkel mot tangenten en rät linje dragits, skall cirkelns medelpunkt finnas på den så dragna räta linjen.

Objects are not supported by your browser!

Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΑ· λέγω, ὅτι ἐπὶ τῆς ΑΓ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ.

Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ὀρθή· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ᾿ ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τῆς ΑΓ.

Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[20]

Ty låt någon rät linje ΔΕ tangera cirkeln ΑΒΓ vid punkten Γ och låt ha dragit ΓΑ från Γ vinkelrät mot ΔΕ.Prop. 1.11 Jag säger, att på ΑΓ finns cirkelns medelpunkt.

Ty om inte, utan, om möjligt, låt den vara Ζ och låt ha förbundit ΓΖ.

Eftersom sålunda någon rät linje ΔΕ tangerar cirkeln ΑΒΓ vid punkten Γ samt ΖΓ har förbundit medelpunkten och tangeringspunkten, är alltså ΖΓ vinkelrät mot ΔΕProp. 3.18 och sålunda är vinkeln ΖΓΕ rät. Även vinkeln ΑΓΕ är rät, alltså är vinkeln ΖΓΕ lika med ΑΓΕ, den mindre med den större, vilket är omöjligt. Alltså är Ζ inte cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt. På samma sätt skall vi visa, att inte heller någon annan punkt utom en på ΑΓ är det.

Om någon rät linje tangerar en cirkel och från tangeringspunkten i rät mot tangenten en rät linje dragits, skall cirkelns medelpunkt finnas på den så dragna räta linjen. Vilket skulle visas.

κʹ.

Ἐν κύκλῳ ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν αἱ γωνίαι.

20.

I en cirkel är vinkeln vid medelpunkten dubbelt så stor som den vid omkretsen, om vinklarna har samma bas vid omkretsen.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ αὐτοῦ γωνία ἔστω ἡ ὑπὸ ΒΕΓ, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐχέτωσαν δὲ τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓ· λέγω, ὅτι διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.

Ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΑΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ γωνίαι τῆς ὑπὸ ΕΑΒ διπλασίους εἰσίν. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ταῖς ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ἄρα τῆς ὑπὸ ΕΑΒ ἐστι διπλῆ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΑΓ ἐστι διπλῆ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ ὅλης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ ἐστι διπλῆ.

Κεκλάσθω δὴ πάλιν, καὶ ἔστω ἑτέρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΓ, ὧν ἡ ὑπὸ ΗΕΒ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΕΔΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΔΓ.

Ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἔχωσιν αἱ γωνίαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[21]

Låt ΑΒΓ vara cirkeln och låt vinkeln vid dess medelpunkt vara ΒΕΓ, vid omkretsen ΒΑΓ. Låt dem ha samma bas vid omkretsen ΒΓ. Jag säger, att vinkeln ΒΕΓ är dubbelt så stor som ΒΑΓ.

Ty låt ha dragit ut ΑΕ förbunden till Ζ.

Eftersom då ΕΑ är lika med ΕΒ, är även vinkeln ΕΑΒ lika med ΕΒΑ.Prop. 1.5 Alltså är vinklarna ΕΑΒ och ΕΒΑ är dubbelt så stora som ΕΑΒ. ΒΕΖ är lika med ΕΑΒ och ΕΒΑProp. 1.32 och alltså är ΒΕΖ dubbelt så stor som ΕΑΒ. Av samma skäl är också ΖΕΓ dubbelt så stor som ΕΑΓ. Alltså är hela ΒΕΓ dubbelt så stor som hela ΒΑΓ.

Låt på nytt bryta av en rät linje och låt ΒΔΓ vara en annan vinkel samt drag ut ΔΕ förbunden till Η. På samma sätt skall vi visa, att vinkeln ΗΕΓ är dubbelt så stor som ΕΔΓ, av vilka ΗΕΒ är dubbelt så stor som ΕΔΒ, alltså är resterande vinkel ΒΕΓ dubbelt så stor som ΒΔΓ.

I en cirkel är alltså vinkeln vid medelpunkten dubbelt så stor som den vid omkretsen, om vinklarna har samma bas vid omkretsen. Vilket skulle visas.

καʹ.

Ἐν κύκλῳ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

21.

I en cirkel är vinklarna i samma segment lika med varandra.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῷ ΒΑΕΔ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ· λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

Εἰλήφθω γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΔ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΔ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τῇ περιφερείᾳ, καὶ ἔχουσι τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓΔ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΖΔ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΔ ἐστι διπλσίων· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ.

Ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[22]

Låt ΑΒΓΔ vara cirkeln och låt ΒΑΔ och ΒΕΔ vara vinklar i segmentet ΒΑΕΔ. Jag säger, att vinklarna ΒΑΔ och ΒΕΔ är lika med varandra.

Ty låt cirkeln ΑΒΓΔ:s medelpunkt ha funnitsProp. 3.1 och låt den vara Ζ samt låt ha förbundit ΒΖ och ΖΔ.

Och eftersom vinkeln ΒΖΔ finns vid medelpunkten, ΒΑΔ vid omkretsen och de har samma bas vid omkretsen ΒΓΔ, är alltså vinkeln ΒΖΔ dubbelt så stor som ΒΑΔ.Prop. 3.20 Av samma skäl är ΒΖΔ dubbelt så stor som ΒΕΔ, alltså är ΒΑΔ lika med ΒΕΔ.

Alltså är i en cirkel vinklarna i samma segment lika med varandra. Vilket skulle visas.

κβʹ.

Τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.

22.

För fyrsidingar i cirklar är motstående vinklar lika med två räta.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον ἔστω τὸ ΑΒΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.

Ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΒΑΔΓ· ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.

Τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[23]

Låt ΑΒΓΔ vara cirkeln och ΑΒΓΔ fyrsidingen i den. Jag säger, att de motstående vinklarna är lika med två räta.

Låt ha förbundit ΑΓ och ΒΔ.

Sålunda, eftersom alla trianglars tre vinklar är lika med två räta,Prop. 1.32 är alltså triangeln ΑΒΓ:s tre vinklar, ΓΑΒ, ΑΒΓ och ΒΓΑ, lika med två räta. ΓΑΒ är lika med ΒΔΓ, ty de ligger i samma segment ΒΑΔΓ,Prop. 3.21 och ΑΓΒ är lika med ΑΔΒ, ty de ligger i samma segment ΑΔΓΒ.Prop. 3.21 Alltså är hela ΑΔΓ lika med ΒΑΓ och ΑΓΒ. Lägg till ΑΒΓ till båda, alltså är ΑΒΓ, ΒΑΓ och ΑΓΒ lika med ΑΒΓ och ΑΔΓ. Men ΑΒΓ, ΒΑΓ och ΑΓΒ är lika med två räta, alltså är också ΑΒΓ och ΑΔΓ lika med två räta. På samma sätt skall vi visa, att också vinklarna ΒΑΔ och ΔΓΒ är lika med två räta.

För fyrsidingar i cirklar är alltså motstående vinklar lika med två räta. Vilket skulle visas.

κγʹ.

Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα οὐ συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.

23.

Vid samma räta linje kan inte två likformiga och olika cirkelsegment konstrueras på samma sida.

Objects are not supported by your browser!

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συνεστάτω ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ ΑΓΒ, ΑΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΑΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΔΒ.

Ἐπεὶ οὖν ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ τμῆμα τῷ ΑΔΒ τμήματι, ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΒ ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

Οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ ἄνισα συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[24]

Ty om möjligt, låt ha rest två likformiga och olika cirkelsegment ΑΓΒ och ΑΔΒ vid samma räta linje ΑΒ samt ha dragit ut ΑΓΔ och ha förbundit ΓΒ och ΔΒ.

Eftersom sålunda segmentet ΑΓΒ är likformigt med segmentet ΑΔΒ och likformiga cirkelsegment rymmer lika vinklar,Def. 3.11 alltså är vinkeln ΑΓΒ lika med ΑΔΒ, den yttre med den inre, vilket är omöjligt.

Alltså kan inte vid samma räta linje två likformiga och olika cirkelsegment konstrueras på samma sida. Vilket skulle visas.

κδʹ.

Τὰ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

24.

Likformiga cirkelsegment på lika räta linjer är lika med varandra.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΕΒ, ΓΖΔ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα τῷ ΓΖΔ τμήματι.

Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΕΒ τμήματος ἐπὶ τὸ ΓΖΔ καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Γ τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ· τῆς δὲ ΑΒ ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμοσάσης ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ. εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμόσει, τὸ δὲ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ μὴ ἐφαρμόσει, ἤτοι ἐντὸς αὐτοῦ πεσεῖται ἢ ἐκτὸς ἢ παραλλάξει, ὡς τὸ ΓΗΔ, καὶ κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο· ὅπερ ἐστίν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ οὐκ ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ· ἐφαρμόσει ἄρα, καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται.

Τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[25]

Ty låt ΑΕΒ och ΓΖΔ vara likformiga cirkelsegment på de lika räta linjerna ΑΒ och ΓΔ. Jag säger att cirkelsegmentet ΑΕΒ är lika med cirkelsegmentet ΓΖΔ.

Ty sedan cirkelsegmentet ΑΕΒ passas in på ΓΖΔ och punkten Α lagts på Γ, med den räta linjen ΑΒ över ΓΔ, sammanfaller även punkten Β på punkten Δ, eftersom ΑΒ är lika med ΓΔ. Sedan ΑΒ passats in på ΓΔ sammanfaller även cirkelsegmentet ΑΕΒ med ΓΖΔ. Ty om den räta linjen ΑΒ sammanfaller med ΓΔ, sammanfaller cirkelsegmentet ΑΕΒ inte med cirkelsegmentet ΓΖΔ, hamnar det faktiskt innanför detta, utanför eller missar det, som ΓΗΔ, och en cirkel skär en cirkel vid fler punkter än två, vilket är omöjligt.Prop. 3.10 Alltså skall inte, sedan den räta linjen ΑΒ passats in på ΓΔ, cirkelsegmentet ΑΕΒ undgå att sammanfalla med ΓΖΔ. Sålunda kommer den att sammanfalla och skall vara lika med denna.Ax. 4

Alltså är likformiga cirkelsegment på lika räta linjer lika med varandra. Vilket skulle visas.

κεʹ.

Κύκλου τμήματος δοθέντος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι τμῆμα.

25.

Sedan cirkelsegment givits, fullborda cirkeln, ur vilken segmentet kommer.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ τμήματος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὖπέρ ἐστι τμῆμα.

Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ· ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΑΔ ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάττων.

Ἔστω πρότερον μείζων, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΒ εὐθεῖα τῇ ΕΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΕ δύο ταῖς ΓΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσις ἄρα ἡ ΑΕ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὁ ἄρα κέντρῷ τῷ Ε διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται προσαναγεγραμμένος. κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος. καὶ δῆλον, ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὸ τὸ Ε κέντρον ἐκτὸς αὐτοῦ τυγχάνειν.

Ὁμοίως δὲ κἂν ᾖ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, τῆς ΑΔ ἴσης γενομένης ἑκατέρᾳ τῶν ΒΔ, ΔΓ αἱ τρεῖς αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται, καὶ ἔσται τὸ Δ κέντρον τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύκλου, καὶ δηλαδὴ ἔσται τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον.

Ἐὰν δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ᾖ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ, καὶ συστησώμεθα πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ ἴσην, ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τμήματος πεσεῖται τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΔΒ, καὶ ἔσται δηλαδὴ τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου.

Κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[26]

Låt ΑΒΓ vara det givna cirkelsegmentet. Cirkeln, varifrån cirkelsegmentet kommer, skall alltså fullbordas.

Ty låt ha delat ΑΓ i hälften vid ΔProp. 1.10, ha dragit ΔΒ från punkten Δ, vinkelrätt mot ΑΓ,Prop. 1.11 och ha förbundit ΑΒ. Alltså är vinkeln ΑΒΔ självklart större än, lika med eller mindre än ΒΑΔ.

Låt den först vara större och låt ha konstruerat vinkeln ΒΑΕ, lika med ΑΒΔ, mot den räta linjen ΒΑ och vid punkten Α på denna,Prop. 1.23 samt ha dragit ut ΔΒ till Ε och ha förbundit ΕΓ. Eftersom då vinkeln ΑΒΕ är lika med ΒΑΕ, är alltså även den räta linjen ΕΒ lika med ΕΑ.Prop. 1.6 Och eftersom ΑΔ är lika med ΔΓ och ΔΕ är gemensam, är de två räta linjerna ΑΔ och ΔΕ lika med de två ΓΔ och ΔΕ, var och en med var och en, och vinkeln ΑΔΕ är lika med vinkeln ΓΔΕ, ty de är båda räta, alltså är basen ΑΕ lika med basen ΓΕ.Prop. 1.4 Men ΑΕ har visats vara lika med ΒΕ och alltså är ΒΕ lika med ΓΕ. Alltså är de tre ΑΕ, ΕΒ och ΕΓ lika med varandra. Alltså skall cirkeln uppritad, med medelpunkt i Ε och med en av ΑΕ, ΕΒ eller ΕΓ som radie, gå genom resten av punkterna och skall vara fullbordad.Prop. 3.9 Alltså har cirkeln fullbordats ur det givna cirkelsegmentet. Och det är uppenbart, att segmentet ΑΒΓ är mindre än en halvcirkel, på grund av att medelpunkten Ε hamnar utanför denna.

På samma sätt också om vinkeln ΑΒΔ är lika med ΒΑΔ, då ΑΔ blivit lika med var och en av ΒΔProp. 1.6 och ΔΓ, skall de tre ΔΑ, ΔΒ och ΔΓ vara lika med varandra och Δ skall bli den fullbordade cirkelns medelpunkt samt ΑΒΓ uppenbarligen bli en halvcirkel.

Om ΑΒΔ är mindre än ΒΑΔ och vi konstruerat en vinkel, lika med vinkeln ΑΒΔ, mot den räta linjen ΒΑ och vid punkten Α på denna,Prop. 1.23 skall medelpunkten hamna på ΔΒ inuti segmentet ΑΒΓ samt ΑΒΓ uppenbarligen bli större än en halvcirkel.

Sedan cirkelsegment givits, har alltså cirkeln, ur vilken segmentet kommer, fullbordats. Vilket skulle göras.

κϛʹ.

Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.

26.

I lika cirklar är lika vinklar ställda på lika cirkelbågar, antingen de är ställda vid medelpunkten eller vid omkretsen.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ, ΕΖ.

Καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κέντρων· δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΗΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΖ ἴσαι· καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Η γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Θ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ τμήματι· καί εἰσιν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ· τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ. ἔστι δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση.

Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείας ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[27]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara de lika cirklarna och låt, i dessa, ΒΗΓ och ΕΘΖ vara de lika vinklarna vid medelpunkten samt ΒΑΓ och ΕΔΖ de vid omkretsen. Jag säger, att cirkelbågen ΒΚΓ är lika med cirkelbågen ΕΛΖ.

Ty låt ha förbundit ΒΓ och ΕΖ.

Och eftersom cirklarna ΑΒΓ och ΔΕΖ är lika, är radierna lika, de två ΒΗ och ΗΓ är lika med ΕΘ och ΘΖ, och vinkeln vid Η är lika med vinkeln vid Θ, alltså är basen ΒΓ lika med basen ΕΖ.Prop. 1.4 Och eftersom vinkeln vid Α är lika med vinkeln vid Δ, är alltså segmentet ΒΑΓ likformigt med segmentet ΕΔΖDef. 3.11 och de ligger på lika räta linjer ΒΓ och ΕΖ. Likformiga cirkelsegment som ligger på lika räta linjer är lika med varandra,Prop. 3.24 alltså är segmentet ΒΑΓ lika med ΕΔΖ. Även hela cirkeln ΑΒΓ är lika med hela cirkeln ΔΕΖ, alltså är resterande cirkelbågen ΒΚΓ lika med cirkelbågen ΕΛΖ.

Alltså är lika vinklar, i lika cirklar, ställda på lika cirkelbågar, antingen de är ställda vid medelpunkten eller vid omkretsen. Vilket skulle visas.

κζʹ.

Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.

27.

I lika cirklar är vinklar ställda på lika cirkelbågar lika med varandra, antingen de är ställda vid medelpunkten eller vid omkretsen.

Objects are not supported by your browser!

Ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ πρὸς μὲν τοῖς Η, Θ κέντροις γωνίαι βεβηκέτωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.

Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ τῇ ὑπὸ ΕΘΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΗΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Η τῇ ὑπὸ ΕΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΚ· αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν· ἴση ἄρα ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ. ἀλλὰ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ· ἴση ἄρα. καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Α, τῆς δὲ ὑπὸ ΕΘΖ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Δ· ἴση ἄρα καὶ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ.

Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[28]

Ty låt, i de lika cirklarna ΑΒΓ och ΔΕΖ, på de lika cirkelbågarna ΒΓ och ΕΖ ha ställt, vid medelpunkterna Η och Θ, vinklarna ΒΗΓ och ΕΘΖ samt vid omkretsarna vinklarna ΒΑΓ och ΕΔΖ. Jag säger, att vinkeln ΒΗΓ är lika med ΕΘΖ och ΒΑΓ är lika med ΕΔΖ.

Ty om ΒΗΓ inte är lik ΕΘΖ, är en av dem större. Låt ΒΗΓ vara större och låt ha konstruerat vinkeln ΒΗΚ, lika med vinkeln ΕΘΖ, mot den räta linjen ΒΗ och vid punkten Η på dennaProp. 1.23. Lika vinklar är ställda på lika cirkelbågar, när de ligger vid medelpunkten,Prop. 3.26 alltså är cirkelbågen ΒΚ lika med cirkelbågen ΕΖ. Men ΕΖ är lika med ΒΓ och alltså är ΒΚ lika med ΒΓ, den mindre med den större, vilket är omöjligt. Alltså är inte ΒΗΓ olika med ΕΘΖ, utan lika med. Och vinkeln vid Α är halva ΒΗΓ, vinkeln vid Δ är halva ΕΘΖ,Prop. 3.20 alltså är vinkeln vid Α lika med den vid Δ.

I lika cirklar är alltså vinklar ställda på lika cirkelbågar lika med varandra, antingen de är ställda vid medelpunkten eller vid omkretsen. Vilket skulle visas.

κηʹ.

Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι.

28.

I lika cirklar skär lika räta linjer av lika cirkelbågar, den större lika med den större och den mindre med den mindre.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν τοῖς κύκλοις ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ τὰς μὲν ΑΓΒ, ΑΖΕ περιφερείας μείζονας ἀφαιροῦσαι τὰς δὲ ΑΗΒ, ΔΘΕ ἐλάττονας· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΑΓΒ μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΔΖΕ μείζονι περιφερείᾳ ἡ δὲ ΑΗΒ ἐλάττων περιφέρεια τῇ ΔΘΕ.

Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, ΔΛ, ΛΕ.

Καὶ ἐπεὶ ἴσοι κύκλοι εἰσίν, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων· δύο δὴ αἱ ΑΚ, ΚΒ δυσὶ ταῖς ΔΛ, ΛΕ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΔΕ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΕ ἴση ἐστίν. αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν· ἴση ἄρα ἡ ΑΗΒ περιφέρεια τῇ ΔΘΕ. ἐστὶ δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΔΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν.

Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[29]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara de lika cirklarna och ΑΒ och ΔΕ de räta linjerna i cirklarna som skär av de större cirkelbågarna ΑΓΒ och ΑΖΕ samt de mindre ΑΗΒ och ΔΘΕ. Jag säger, att den större cirkelbågen ΑΓΒ är lika med den större cirkelbågen ΔΖΕ och den mindre ΑΗΒ är lika med ΔΘΕ.

Ty låt cirklarnas medelpunkter Κ och Λ ha funnits samt ha förbundit ΑΚ, ΚΒ, ΔΛ och ΛΕ.

Och eftersom cirklarna är lika, är även radierna lika,Def. 3.1 alltså är de två ΑΚ och ΚΒ lika med de två ΔΛ och ΛΕ samt basen ΑΒ är lika med basen ΔΕ, alltså är vinkeln ΑΚΒ lika med vinkeln ΔΛΕ.Prop. 1.8 Lika vinklar är ställda på lika cirkelbågar, när de står vid medelpunkterna,Prop. 3.26 alltså är cirkelbågen ΑΗΒ lika med ΔΘΕ. Också hela cirkeln ΑΒΓ är lika med hela cirkeln ΔΕΖ och alltså är resterande cirkelbågen ΑΓΒ lika med resterande cirkelbågen ΔΖΕ.

Alltså skär, i lika cirklar lika räta linjer av lika cirkelbågar, den större lika med den större och den mindre med den mindre. Vilket skulle visas.

κθʹ.

Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν.

29.

I lika cirklar ligger lika räta linjer under lika cirkelbågar.H H) Jämför man 28 och 29 och försöker att översätta ὑποτείνουσιν med spänner upp, får man problem med subjekt och objekt.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΒΗΓ, ΕΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖαι· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ.

Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ, ΚΓ, ΕΛ, ΛΖ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗΓ περιφέρεια τῇ ΕΘΖ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ τῇ ὑπὸ ΕΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων· δύο δὴ αἱ ΒΚ, ΚΓ δυσὶ ταῖς ΕΛ, ΛΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν.

Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[30]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara lika cirklar, låt ha skurit av de lika cirkelbågarna ΒΗΓ och ΕΘΖ i dem och låt ha förbundit de räta linjerna ΒΓ och ΕΖ. Jag säger, att ΒΓ är lika med ΕΖ.

Ty låt cirklarnas medelpunkter ha funnits,Prop. 3.1 låt dem vara Κ och Λ, och låt ha förbundit ΒΚ, ΚΓ, ΕΛ och ΛΖ.

Och eftersom cirkelbågen ΒΗΓ är lika med cirkelbågen ΕΘΖ, är även vinkeln ΒΚΓ lika med ΕΛΖ.Prop. 3.27 Och eftersom cirklarna ΑΒΓ och ΔΕΖ är lika, är radierna lika.Def. 3.1 De två ΒΚ och ΚΓ är då lika med de två ΕΛ och ΛΖ samt spänner upp lika vinklar. Alltså är basen ΒΓ lika med basen ΕΖ.Prop. 1.4

I lika cirklar ligger alltså lika räta linjer under lika cirkelbågar. Vilket skulle visas.

λʹ.

Τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.

30.

Att dela den givna cirkelbågen i hälften.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἡ δοθεῖσα περιφέρεια ἡ ΑΔΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΔΒ περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. αἱ δὲ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· κάι ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΔΒ περιφερειῶν ἐλάττων ἡμικυκλίου· ἴση ἄρα ἡ ΑΔ περιφέρεια τῇ ΔΒ περιφερείᾳ.

Ἡ ἄρα δοθεῖσα περιφέρεια δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[31]

Låt ΑΔΒ vara den givna cirkelbågen. Alltså skall cirkelbågen ΑΔΒ delas i hälften.

Låt ha förbundit ΑΒ och ha delat den i hälften vid Γ.Prop. 1.10 Låt även ha dragit ΓΔ från punkten Γ vinkelrät mot ΑΒProp. 1.11 och låt ha förbundit ΑΔ och ΔΒ.

Och eftersom ΑΓ är lika med ΓΒ och ΓΔ är gemensam, är de två ΑΓ och ΓΔ lika med de två ΒΓ och ΓΔ. Och vinkeln ΑΓΔ är lika med ΒΓΔ. Ty båda är räta. Alltså är basen ΑΔ lika med basen ΔΒ.Prop. 1.4 Lika räta linjer skär av lika cirkelbågar, den större lika med den större och den mindre med den mindre,Prop. 3.28 och båda cirkelbågarna ΑΔ och ΔΒ är mindre än en halvcirkel, alltså är cirkelbågen ΑΔ lika med cirkelbågen ΔΒ.

Alltså har den givna cirkelbågen delats i hälften vid punkten Δ. Vilket skulle göras.

λαʹ.

Ἐν κύκλῳ ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι τμήματι μείζων ὀρθῆς· καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἐλάττων ὀρθῆς.

31.

I en cirkeln är vinkeln i en halvcirkel rät, den i ett större segment mindre än rät och den i ett mindre segment större än rät. Vidare är det större segmentets vinkelI I) Denna vinkel är den mellan kordan och cirkelbågen, dvs. vinkeln mellan kordan och tangenten till cirkelbågen i skärningspunkten. större än en rät och det mindre segmentets vinkel mindre än rät.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΒΓ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ, ΑΔ, ΔΓ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΕ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαις ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΓ· ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα· ἡ ἄρα ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν.

Καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τρίγωνου δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία· καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.

Καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, τῶν δὲ ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἰσίν, καί ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ὀρθῆς· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία μείζων ὀρθῆς ἐστιν· καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.

Λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΑΔΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς. καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας περιεχομένη μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΑΖ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΓΑ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔΓ περιφερείας περιεχομένη ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς.

Ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι τμήματι μείζων ὀρθῆς· καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἐλάττων ὀρθῆς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

[Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτού φανερόν, ὅτι ἐὰν μία γωνία τριγώνου ταῖς δυσὶν ἴση ᾖ, ὀρθή ἐστιν ἡ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ἐκείνης ἐκτὸς ταῖς αὐταῖς ἴσην εἶναι· ἐὰν δὲ αἰ ἐφεξῆς ἴσαι ὧσιν, ὀρθαί εἰσιν.][32]

Låt ΑΒΓΔ vara cirkeln, låt ΒΓ vara dess diameter, Ε medelpunkt och låt ha förbundit ΒΑ, ΑΓ, ΑΔ och ΔΓ. Jag säger, att vinkeln ΒΑΓ i halvcirkeln ΒΑΓ är rät, vinkeln ΑΒΓ i segmentet större än en halvcirkel ΑΒΓ är större än en rät och vinkeln ΑΔΓ i segmentet mindre än en halvcirkel ΑΔΓ är mindre än en rät.

Låt ha förbundit ΑΕ och låt ΒΑ ha dragits ut till Ζ.

Och eftersom ΒΕ är lika med ΕΑ, är även vinkeln ΑΒΕ lika med ΒΑΕ.Prop. 1.5 Igen, eftersom ΓΕ är lika med ΕΑ, är även ΑΓΕ med ΓΑΕ.Prop. 1.5 Alltså är hela ΒΑΓ lika med de två ΑΒΓ och ΑΓΒ. Triangeln ΑΒΓ:s yttervinkel ΖΑΓ är lika med de två vinklarna ΑΒΓ och ΑΓΒ.Prop. 1.32 Alltså är även vinkeln ΒΑΓ lika med ΖΑΓ, då de är båda räta.Def. 1.10 Alltså är vinkeln ΒΑΓ i halvcirkeln ΒΑΓ rät.

Och eftersom triangelns ΑΒΓ:s två vinklar ΑΒ och ΒΑΓ är mindre än två rätaProp. 1.17 och ΒΑΓ är rät, är alltså vinkeln ΑΒΓ mindre än en rät och ligger i segmentet ΑΒΓ som är större än en halvcirkel.

Och eftersom fyrsidingen ΑΒΓΔ ligger i en cirkel och fyrsidingars motstående vinklar i cirklar är lika med två räta,Prop. 3.22 är alltså vinklarna ΑΒΓ och ΑΔΓ lika med två räta och ΑΒΓ är mindre än en rät. Alltså är resterande vinkeln ΑΔΓ större än en rät och ligger i segmentet ΑΔΓ som är mindre än en halvcirkel.

Jag säger även, att det större segmentets vinkel, den omgiven av cirkelbågen ΑΒΓ och den räta linjen ΑΓ, är större än en rät. Och det mindre segmentets vinkel, den omgiven av cirkelbågen ΑΔΓ och den räta linjen ΑΓ, är mindre än en rät. Och detta är genast uppenbart. Ty eftersom vinkeln mellan de räta linjerna ΒΑ och ΑΓ är rät, är alltså vinkeln omgiven av cirkelbågen ΑΔΓ och den räta linjen ΑΓ större än en rät. Igen, eftersom vinkeln mellan de räta linjerna ΑΓ och ΑΖ är rät, är alltså vinkeln omgiven av den räta linjen ΓΑ och cirkelbågen ΑΔΓ mindre än en rät.

I en cirkeln är alltså vinkeln i en halvcirkel rät, den i ett större segment mindre än rät och den i ett mindre segment större än rät. Vidare är det större segmentets vinkel större än en rät och det mindre segmentets vinkel mindre än rät. Vilket skulle visas.

[Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om en vinkel i en triangel är lika med de två andra, är vinkeln rät, på grund av att dennas yttre vinkel också är lika med dem och om de intilliggande är lika, är de räta.]

λβʹ.

Ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἃς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαις.

32.

Om någon rät linje tangerar en cirkel och från tangeringspunkten någon annan rät linje har dragits tvärs över cirkeln samt delat cirkeln i hälften, gör den första vinklar mot tangenten lika med vinklarna i de motstående cirkelsegmenten.

Objects are not supported by your browser!

Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Β σημείου διήχθω τις εὐθεῖα εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τέμνουσα αὐτὸν ἡ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἃς ποιεῖ γωνίας ἡ ΒΔ μετὰ τῆς ΕΖ ἐφαπτομένης, ἴσας ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τμήμασι τοῦ κύκλου γωνίαις, τουτέστιν, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΔ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΔΓΒ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ.

Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΔ περιφερείας τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, ΓΒ.

Καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἦκται τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, ἐπὶ τῆς ΒΑ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. ἡ ΒΑ ἄρα διάμετός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα ὀρθή ἐστιν. λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ ὀρθή· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΖ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, αἱ ἀπεναντίον αὐτοῦ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΓΔ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐδείχθη ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΕ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΔΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.

Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἃς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[33]

Ty låt någon rät linje ΕΖ tangera cirkeln ΑΒΓΔ vid punkten Β och låt ha dragit någon annan rät linje ΒΔ från punkten Β igenom cirkeln ΑΒΓΔ och delat denna. Jag säger, att vinklarna ΒΔ gör mot tangenten ΕΖ skall vara lika med vinklarna i de motstående cirkelsegmenten, det vill säga, att vinkeln ΖΒΔ är lika med vinkeln konstruerad i segmentet ΒΑΔ och vinkeln ΕΒΔ är lika med vinkeln konstruerad i segmentet ΔΓΒ.

Ty låt ha dragit ΒΑ från Β vinkelrät mot ΕΖ,Prop. 1.11 valt en godtycklig punkt Γ på cirkelbågen ΒΔ och förbundit ΑΔ, ΔΓ och ΓΒ.

Och eftersom någon rät linje ΕΖ tangerar cirkeln ΑΒΓΔ vid Β samt ΒΑ har dragits från tangeringspunkten vinkelrät mot tangenten, ligger alltså cirkeln ΑΒΓΔ:s medelpunkt på ΒΑ.Prop. 3.19 Alltså är ΒΑ cirkeln ΑΒΓΔ:s medelpunkt. Alltså är vinkeln ΑΔΒ, som ligger i en halvcirkel, rät.Prop. 3.31 Alltså är resterande vinklar ΒΑΔ och ΑΒΔ lika med en rät.Prop. 1.32 Även ΑΒΖ är rät. Alltså är ΑΒΖ lika med ΒΑΔ och ΑΒΔ. Låt ha dragit bort ΑΒΔ från båda, alltså är resterande vinkel ΔΒΖ lika med vinkeln ΒΑΔ i det motstående cirkelsegmentet. Och eftersom den fyrsidingen ligger i cirkeln ΑΒΓΔ, är dess motstående vinklar lika med två räta.Prop. 3.22 Även ΔΒΖ och ΔΒΕ är lika med två räta,Prop. 1.13 alltså är ΔΒΖ och ΔΒΕ lika med ΒΑΔ och ΒΓΔ, av vilka ΒΑΔ har visats vara lika med ΔΒΖ. Alltså är resterande vinkel ΔΒΕ lika med vinkeln ΔΓΒ, i det motstående cirkelsegmentet ΔΓΒ.

Om alltså någon rät linje tangerar en cirkel och från tangeringspunkten någon annan rät linje har dragits tvärs över cirkeln samt delat cirkeln i hälften, gör den första vinklar mot tangenten lika med vinklarna i de motstående cirkelsegmenten. Vilket skulle visas.

λγʹ.

Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.

33.

Att på en given rät linje rita ett cirkelsegment som rymmer en vinkel lika med en given rätlinjig vinkel.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Γ· δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.

Ἡ δὴ πρὸς τῷ Γ γωνία ἤτοι ὀξεῖά ἐστιν ἢ ὀρθὴ ἢ ἀμβλεῖα· ἔστω πρότερον ὀξεῖα, καὶ ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ· ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ. ἤχθω τῇ ΔΑ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ. ἐπεὶ οὖν ἀπ᾿ ἄκρας τῆς ΑΕ διαμέτρου ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΕ κύκλου· ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΕ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἁφῆς εἰς τὸν ΑΒΕ κύκλον διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.

Ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου γέγραπται τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ πρὸς τῷ Γ.

Ἀλλὰ δὴ ὀρθὴ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Γ· καὶ δέον πάλιν ἔστω ἐπὶ τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ γωνίᾳ. συνεστάτω πάλιν τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ κέντρῳ τῷ Ζ, διαστήματι δὲ ὁποτέρῳ τῶν ΖΑ, ΖΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΒ.

Ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖα τοῦ ΑΒΕ κύκλου διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ ἐν τῷ ΑΕΒ τμήματι· ὀρθὴ γὰρ καὶ αὐτὴ ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν. καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΕΒ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.

Γέγραπται ἄρα πάλιν ἐπὶ τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.

Ἀλλὰ δὴ ἡ πρὸς τῷ Γ ἀμβλεῖα ἔστω· καὶ συνεστάτω αὐτῇ ἴση πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΕ, καὶ τετμήσθω πάλιν ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΒ.

Καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν· ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β. ἐρχέσθω ὡς ὁ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ τῇ ΑΕ διαμέτρῳ ἀπ᾿ ἄκρας πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΕΒ κύκλου. καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΑΘΒ συνισταμένῃ γωνίᾳ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν. καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΘΒ ἄρα τμήματι γωνία ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.

Ἐπὶ τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γέγραπται τμῆμα κύκλου τὸ ΑΘΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[34]

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen och den givna rätlinjiga vinkeln den vid Γ. På den givna räta linjen ΑΒ skall alltså ett cirkelsegment ritas som rymmer en vinkel lika med den vid Γ.

Vinkeln Γ är alltså antingen spetsig, rät eller trubbig. Låt den först vara spetsig och, som i första figuren, låt ha konstruerat vinkeln ΒΑΔ mot den räta linjen ΑΒ, vid punkten Α och lika med vinkeln vid Γ.Prop. 1.23 Alltså är även ΒΑΔ spetsig. Låt ha dragit ΑΕ vinkelrät mot ΔΑ,Prop. 1.11 delat ΑΒ i hälften vid Ζ,Prop. 1.10 dragit ΖΗ från punkten Ζ vinkel rät mot ΑΒProp. 1.11 och förbundit ΗΒ.

Och eftersom är ΑΖ lika med ΖΒ och ΖΗ är gemensam, är de två ΑΖ och ΖΗ lika med de två ΒΖ och ΖΗ samt vinkeln ΑΖΗ lika med vinkeln ΒΖΗ, är alltså basen ΑΗ lika med basen ΒΗ.Prop. 1.4 Alltså skall cirkeln ritad med medelpunkten Η och radien ΗΑ även gå genom Β. Låt även ha ritat den och låt den vara ΑΒΕ samt låt ha förbundit ΕΒ. Eftersom ΑΔ sålunda ligger vid diametern ΑΕ:s ändpunkt Α, vinkelrät mot ΑΕ, tangerar sålunda ΑΔ cirkeln ΑΒΕ.Prop. 3.16 cor. Eftersom sålunda någon rät linje ΑΔ tangerar cirkeln ΑΒΕ och någon rät linje ΑΒ har dragits genom cirkeln ΑΒΕ från tangeringspunkten Α, alltså är vinkeln ΔΑΒ lika med vinkeln ΑΕΒ i det motstående cirkelsegmentet.Prop. 3.32 Men ΔΑΒ är lika med vinkeln vid Γ och alltså är vinkeln vid Γ lika med ΑΕΒ.

På den givna räta linjen ΑΒ har alltså ett cirkelsegment ΑΕΒ ritas som rymmer en vinkel ΑΕΒ som är lika med den givna vid Γ.

Låt emellertid vinkeln vid Γ vara rät. Och åter skall på ΑΒ ett cirkelsegment ritas som rymmer en vinkel lika med den räta vinkeln vid Γ. Låt åter ha konstruerat vinkeln ΒΑΔ lika med räta vinkeln vid Γ,Prop. 1.23 såsom i andra figuren, ha delat ΑΒ i hälften vid ΖProp. 1.10 och ha ritat cirkeln ΑΕΒ med medelpunkten Ζ och med endera ΖΑ eller ΖΒ som radie.

Alltså tangerar den räta linjen ΑΔ cirkeln ΑΒΕ eftersom vinkeln vid Α är rätProp. 3.16 cor. och vinkeln ΒΑΔ är lika med den i segmentet ΑΕΒ, ty den är också rät och ligger i en halvcirkel.Prop. 3.31 Men ΒΑΔ är också lika med den vid Γ och alltså är den i segmentet ΑΕΒ lika med den vid Γ.

Alltså har åter på ΑΒ ett cirkelsegment ΑΕΒ ritats som rymmer en vinkel lika med den vid Γ.

Låt emellertid vinkeln vid Γ vara trubbig. Och låt åter ha konstruerat vinkeln ΒΑΔ lika med denna mot den räta linjen ΑΒ, vid punkten Α,Prop. 1.23 såsom i tredje figuren, ha dragit ΑΕ vinkelrät mot ΑΔ,Prop. 1.11 åter ha delat ΑΒ i hälften vid Ζ,Prop. 1.10 ha dragit ΖΗ vinkelrät mot ΑΒProp. 1.10 och ha förbundit ΗΒ.

Och eftersom åter ΑΖ är lika med ΖΒ och ΖΗ är gemensam, de två ΑΖ och ΖΗ är lika med de två ΒΖ och ΖΗ samt vinkeln ΑΖΗ lika med vinkeln ΒΖΗ, är alltså basen ΑΗ lika med basen ΒΗ.Prop. 1.4 Alltså skall cirkeln ritad med medelpunkten Η och radien ΗΑ även gå genom Β. Låt den ritas som ΑΕΒ. Och eftersom ΑΔ ligger vid diametern ΑΕ:s ändpunkt Α, vinkelrät mot ΑΕ, tangerar sålunda ΑΔ cirkeln ΑΕΒ.Prop. 3.16 cor. Och ΑΒ har dragits genom från tangeringspunkten Α, alltså är vinkeln ΒΑΔ lika med vinkeln ΑΘΒ konstruerad i det motstående cirkelsegmentet.Prop. 3.32 Men vinkeln ΒΑΔ är lika med den vid Γ och alltså är vinkeln i segmentet ΑΘΒ lika med den vid Γ.

På den givna räta linjen ΑΒ har alltså ett cirkelsegment ΑΘΒ ritas som rymmer en vinkel lika med den vid Γ. Vilket skulle göras.

λδʹ.

Ἀπὸ τοῦ δοθέντος κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.

34.

Från en given cirkel skära av ett segment som rymmer en vinkel lika med en given rätlinjig vinkel.

Objects are not supported by your browser!

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Δ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ.

Ἤχθω τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΖΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΒΓ.

Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Β ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΒΓ, ἡ ὑπὸ ΖΒΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΓ ἐναλλὰξ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ πρὸς τῷ Δ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ἐν τῷ ΒΑΓ ἄρα τμήματι ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ.

Ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἄρα κύκλου τοῦ ΑΒΓ τμῆμα ἀφῄρηται τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.[35]

Låt ΑΒΓ vara den givna cirkeln och den givna rätlinjiga vinkeln den vid Γ. Från cirkeln ΑΒΓ skall alltså ett segment skäras av som rymmer en vinkel lika med den givna rätlinjiga vinkeln vid Γ.

Låt ha dragit ΕΖ som tangerar ΑΒΓ vid punkten Β och konstruerat vinkeln ΖΒΓ, lika med den vid Δ, mot den räta linjen ΖΒ vid punkten Β på denna.Prop. 1.23

Eftersom sålunda någon rät linje ΕΖ tangerar cirkeln ΑΒΓ och från tangeringspunkten Β har ΒΓ dragits igenom cirkeln, är alltså vinkeln ΖΒΓ lika med vinkeln som konstruerats i det intilliggande segmentet.Prop. 3.32 Men ΖΒΓ är lika med den vid Δ och alltså är vinkeln i segmentet ΒΑΓ lika med vinkeln vid Δ.

Alltså har från den givna cirkeln ΑΒΓ ett segment som rymmer en vinkel lika med den givna rätlinjiga vinkeln Δ skurits av. Vilket skulle göras.

λεʹ.

Ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

35.

Om två räta linjer skär varandra i en cirkel, är den omslutna rektangeln av delarna av den ena lika med den omslutna rektangeln av delarna av den andra.

Objects are not supported by your browser!

Ἐν γὰρ κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Εἰ μὲν οὖν αἱ ΑΓ, ΒΔ διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, φανερόν, ὅτι ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ, ΕΒ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ΑΓ, ΔΒ διὰ τοῦ κέντρου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΒ εὐθείας κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΗ, ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΕ.

Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΗΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΓ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ· κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τοὶς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΓ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἰσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. κοινὸν ἀφῇρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖαι δύο τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[36]

Ty låt de två räta linjerna ΑΓ och ΒΔ skära varandra vid punkten Ε i cirkeln ΑΒΓΔ. Jag säger, att rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΓ är lika med rektangeln omsluten av ΔΕ och ΕΒ.

Om alltså ΑΓ och ΒΔ går genom medelpunkten, så som Ε är medelpunkt i ΑΒΓΔ, är det uppenbart, att då ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ och ΕΒ är lika är också rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΓ är lika med rektangeln omsluten av ΔΕ och ΕΒ.

Om ΑΓ och ΒΔ inte går genom medelpunkten, låt ΑΒΓΔ:s medelpunkt ha funnits,Prop. 3.1 låt den vara Ζ, låt från punkten Ζ ha dragit ΖΗ och ΖΘ vinkelräta mot de räta linjerna ΑΓ och ΔΒProp. 1.12 samt låt ha förbundit ΖΒ, ΖΓ och ΖΕ.

Och eftersom någon rät linje, genom medelpunkten, ΗΖ skär någon annan rät linje, ej genom medelpunkten, ΑΓ i rät vinkel, delar den denna i hälften.Prop. 3.3 Alltså är ΑΗ lika med ΗΓ. Eftersom alltså den räta linjen ΑΓ har delats lika vid Η och i olika vid Ε, är alltså rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΓ med kvadraten på ΕΗ lika med kvadraten på ΗΓ.Prop. 2.5 Låt ha lagt till kvadraten på ΗΖ till båda, alltså är rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΓ med rektangeln omsluten av ΗΕ och ΗΖ lika med kvadraterna på ΓΗ och ΗΖ. Men kvadraten på ΖΕ är lika med dem på ΕΗ och ΗΖProp. 1.47 samt kvadraten på ΖΓ är lika med dem på ΓΗ och ΗΖ,Prop. 1.47 alltså är rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΓ med kvadraten på ΖΕ lika med den på ΖΓ. ΖΓ är lika med ΖΒ, alltså är rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΓ med kvadraten på ΕΖ lika med den på ΖΒ. Av samma skäl är även rektangeln omsluten av ΔΕ och ΕΒ med kvadraten på ΖΕ lika med den på ΖΒ. Även rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΓ med kvadraten på ΖΕ har visats vara lika med den på ΖΒ. Alltså är rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΓ med kvadraten på ΖΕ lika med rektangeln omsluten av ΔΕ och ΕΒ med kvadraten på ΖΕ. Låt ha dragit bort kvadraten på ΖΕ från båda, alltså är resterande rektangel omsluten av ΑΕ och ΕΓ lika med rektangeln omsluten av ΔΕ och ΕΒ.

Om alltså två räta linjer skär varandra i en cirkel, är den omslutna rektangeln av delarna av den ena lika med den omslutna rektangeln av delarna av den andra. Vilket skulle visas.

λϛʹ.

Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ.

36.

Om någon punkt valts utanför en cirkel och två räta linjer strålar ut från den mot cirkeln samt en av dem skär cirkeln och en tangerar, skall rektangeln omsluten av hela den skärande räta linjen och delen avskuren utanför, mellan punkten och den konvexa omkretsen, vara lika med kvadraten på tangenten.

Objects are not supported by your browser!

Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓΑ, ΔΒ· καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν ΑΒΓ κύκλον, ἡ δὲ ΒΔ ἐφαπτέσθω· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραγώνῳ.

Ἡ ἄρα ΔΓΑ ἤτοι διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον διὰ τοῦ κέντρου, καὶ ἔστω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τὴς ΖΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐφαπτομένης.

Ἀλλὰ δὴ ἡ ΔΓΑ μὴ ἔστω διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΔ, ΖΕ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ· ὀρθὴ γὰρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΖΓ γωνία· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ. ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῂ ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἄπὸ τῆς ΕΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ.

Ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[37]

Ty låt ha valt någon punkt Δ utanför cirkeln ΑΒΓ och låt två räta linjer, ΔΓΑ och ΔΒ, stråla från punkten Δ mot cirkeln, låt ΔΓΑ skära cirkeln ΑΒΓ och ΒΔ tangera den. Jag säger, att den rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΓ är lika med kvadraten på ΔΒ.

ΔΓΑ går antingen genom medelpunkten eller inte. Låt den först gå genom medelpunkten, låt Ζ vara cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt och låt ha förbundit ΖΒ. Alltså är ΖΒΔ rät.Prop. 3.18 Och eftersom den räta linjen ΑΓ delas i hälften vid Ζ och låt ha lagt till ΓΔ, alltså är rektangeln omgiven av ΑΔ och ΔΓ med kvadraten på ΖΓ lika med kvadraten på ΖΔ.Prop. 2.6 ΖΓ är lika med ΖΒ, alltså är rektangeln omgiven av ΑΔ och ΔΓ med kvadraten på ΖΒ lika med kvadraten på ΖΔ. Kvadraten på ΖΔ är lika med dem på ΖΒ och ΒΔ,Prop. 1.47 alltså är rektangeln omgiven av ΑΔ och ΔΓ med kvadraten på den på ΖΒ lika med kvadraterna på ΖΒ och ΒΔ. Låt ha dragit bort kvadraten på ΖΒ från båda, alltså är resterande rektangeln omgiven av ΑΔ och ΔΓ lika med kvadraten på tangenten ΔΒ.

Låt så ΔΓΑ inte gå genom cirkeln ΑΒΓ:s medelpunkt, låt medelpunkten Ε ha funnits, låt ha dragit ΕΖ från Ε vinkelrät mot ΑΓProp. 1.12 och låt ha förbundit ΕΒ, ΕΓ och ΕΔ , alltså är ΕΒΔ rätProp. 3.18. Och eftersom eftersom en rät linje ΕΖ genom medelpunkten skär en annan rät linje, ej genom medelpunkten, vinkelrätt, delar den denna i hälften,Prop. 3.3 alltså är ΑΖ lika med ΖΓ. Och eftersom den räta linjen ΑΓ delas i hälften vid punkten Ζ och låt ΓΔ ha lagts till den, alltså är rektangeln omgiven av ΑΔ och ΔΓ med kvadraten på ΖΓ lika med kvadraten på ΖΔ.Prop. 2.26 Låt ha lagt till ΖΕ till båda och alltså är rektangeln omgiven av ΑΔ och ΔΓ med kvadraterna på ΓΖ och ΖΕ lika med kvadraterna på ΖΔ och ΖΕ. Dock är kvadraterna på ΓΖ och ΖΕ lika med den på ΕΓ, ty vinkeln ΕΖΓ är rät.Prop. 1.47 Kvadraterna på ΔΑ och ΖΕ är lika med den på ΕΔ,Prop. 1.47 alltså är rektangeln omgiven av ΑΔ och ΔΓ med kvadraten på ΕΓ lika med den på ΕΔ. ΕΓ är lika med ΕΒ, alltså är rektangeln omgiven av ΑΔ och ΔΓ med kvadraten på ΕΒ lika med den på ΕΔ. Kvadraten på ΕΔ är lika med dem på ΕΒ och ΒΔ, ty vinkeln ΕΒΔ är rät,Prop. 1.47 alltså är rektangeln omgiven av ΑΔ och ΔΓ med kvadraten på ΕΒ lika med dem på ΕΒ och ΒΔ. Låt ha dragit bort kvadraten på ΕΒ från båda, alltså är resterande rektangel omgiven av ΑΔ och ΔΓ lika med kvadraten på ΔΒ.

Om alltså någon punkt valts utanför en cirkel och två räta linjer strålar ut från den mot cirkeln samt en av dem skär cirkeln och en tangerar, skall rektangeln omsluten av hela den skärande räta linjen och delen avskuren utanför, mellan punkten och den konvexa omkretsen, vara lika med kvadraten på tangenten. Vilket skulle visas.

λζʹ.

Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου.

37.

Om någon punkt valts utanför en cirkeln och från punkten strålar två räta linjer ut mot cirkeln, en av dem skär cirkeln och en träffar den, samt rektangeln omsluten av hela den skärande räta linjen och delen avskuren utanför, mellan punkten och den konvexa omkretsen, är lika med kvadraten på linjen som träffar, skall linjen som träffar tangera cirkeln.

Objects are not supported by your browser!

Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓΑ, ΔΒ, καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν κύκλον, ἡ δὲ ΔΒ προσπιπτέτω, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Ἤχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΕ, ΖΒ, ΖΔ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τέμνει δὲ ἡ ΔΓΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΕ. ἦν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΒ. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΖΒ ἴση· δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δύο ταῖς ΔΒ, ΒΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐστιν ἴση. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΖ. καί ἐστιν ἡ ΖΒ ἐκβαλλομένη διάμετρος· ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾿ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου· ἡ ΔΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, κἂν τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΓ τυγχάνῃ.

Ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[38]

Ty låt ha valt någon punkt Δ utanför cirkeln ΑΒΓ och från punkten Δ strålar två räta linjer ΔΓΑ och ΔΒ ut mot cirkeln ΑΒΓ, ΔΓΑ skär cirkeln och ΔΒ träffar den, låt rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΓ vara lika med kvadraten på ΔΒ. Jag säger, att ΔΒ tangerar cirkeln ΑΒΓ.

Ty låt ha dragit tangenten ΔΕ till cirkeln ΑΒΓProp. 3.17 och ΑΒΓ:s medelpunkt ha funnits, låt den vara Ζ, samt låt ha förbundit ΖΕ, ΖΒ och ΖΔ. Alltså är ΖΕΔ rät.Prop. 3.18 Och eftersom ΔΕ tangerar cirkeln ΑΒΓ och ΔΓΑ skär den, är alltså rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΓ lika med kvadraten på ΔΕ.Prop. 3.36 Rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΓ var också lika med kvadraten på ΔΒ, alltså är kvadraten på ΔΕ lika med den på ΔΒ, alltså är ΔΕ lika med ΔΒ. Och ΖΕ är lika med ΖΒ. De två ΔΕ och ΕΖ är lika med de två ΔΒ och ΒΖ samt ΖΔ är deras gemensamma bas, alltså är vinkeln ΔΕΖ lika med vinkeln ΔΒΖ.Prop. 1.8 ΔΕΖ är rät, alltså är också ΔΒΖ rät. Och ΖΒ är utdragen diametern och en rät linje dragen vinkelrät från ändpunkten på en cirkels diameter tangerar cirkeln.Prop. 3.16 cor. Alltså tangerar ΔΒ cirkeln ΑΒΓ. Detsamma sätt skall vi visa, om medelpunkten råkar ligga på ΑΓ.

Om alltså någon punkt valts utanför en cirkeln och från punkten strålar två räta linjer ut mot cirkeln, en av dem skär cirkeln och en träffar den, samt rektangeln omsluten av hela den skärande räta linjen och delen avskuren utanför, mellan punkten och den konvexa omkretsen, är lika med kvadraten på linjen som träffar, skall linjen som träffar tangera cirkeln. Vilket skulle visas.