Elementas Bok II

Στοιχείων βʹ.

Ὅροι.

αʹ. Πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν.
βʹ. Παντὸς δὲ παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον αὐτοῦ παραλληλογράμμων ἓν ὁποιονοῦν σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασι γνώμων καλείσθω.^[1]

Definitioner.

1. Varje rätvinklig parallellogram sägs omgivas av två räta linjer kring den räta vinkeln.
2. I varje parallellogramfigur kallas vilkensom av parallellogrammerna kring dess diagonal tillsammans med de två komplementen en gnomon.^A A) Denna definition återfinns inte hos Bråkenhielm, men väl i den trycka utgåvan av Campanus' översättning.

αʹ.

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς ὁσαδηποτοῦν τμήματα, τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ τοῖς ὑπό τε τῆς ἀτμήτου καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων περιεχομένοις ὀρθογωνίοις.

1.

Om två räta linjer finns och den ena av dem delas i godtyckligt många delar, den av de två räta linjerna omslutna rektangeln är lika med rektanglarna omslutna av den odelade räta linjen och var och en av delarna.^[2]

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ Α, ΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΒΓ περιεχομένον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν Α, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, ΔΕ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ τῶν Α, ΕΓ.

Ἥχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ, καὶ κείσθω τῇ Α ἴση ἡ ΒΗ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, διὰ δὲ τῶν Δ, Ε, Γ τῇ ΒΗ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΚ, ΕΛ, ΓΘ.

Ἵσον δή ἐστι τὸ ΒΘ τοῖς ΒΚ, ΔΛ, ΕΘ. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΘ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΒΓ· περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΗΒ, ΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ Α· τὸ δὲ ΒΚ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΒΔ· περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΗΒ, ΒΔ, ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ Α. τὸ δὲ ΔΛ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΔΕ· ἴση γὰρ ἡ ΔΚ, τουτέστιν ἡ ΒΗ, τῇ Α. καὶ ἔτι ὁμοίως τὸ ΕΘ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΕΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Α, ΒΔ καὶ τῷ ὑπὸ Α, ΔΕ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ Α, ΕΓ.

Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς ὁσαδηποτοῦν τμήματα, τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ τοῖς ὑπό τε τῆς ἀτμήτου καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων περιεχομένοις ὀρθογωνίοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[3]

Låt Α och ΒΓ vara två räta linjer och dela ΒΓ godtyckligt vid punkterna Δ och Ε. Jag säger, att rektangeln omsluten av Α och ΒΓ är lika med rektangeln omsluten av Α och ΒΔ, Α och ΔΕ samt dessutom Α och ΕΓ.

Ty låta ha dragit ΒΖ från Β i rät vinkel mot ΒΓ,Prop. 1.11 Gör ΒΗ lika med ΑProp. 1.3 samt drag ΗΘ genom Η parallell med ΒΓ,Prop. 1.31 och drag ΔΚ, ΕΛ och ΓΘ genom Δ, Ε och Γ parallell med ΒΗ.Prop. 1.31

ΒΘ är lika med ΒΚ, ΔΛ och ΕΘ. Och ΒΘ är vad omsluts av Α och ΒΓ, ty den begränsas av ΗΒ och ΒΓ, där ΒΗ är lika med Α. ΒΚ är vad omsluts av Α och ΒΔ, ty den begränsas av ΗΒ och ΒΔ, där ΒΗ är lika med Α. ΔΛ är vad omsluts av Α och ΔΕ, ty ΔΚ, det vill säga ΒΗ,Prop. 1.34 är lika med Α. Och dessutom är på samma sätt ΕΘ vad omsluts av Α och ΕΓ. Alltså är vad omsluts av Α och ΒΓ lika med Α och ΒΔ, Α och ΔΕ samt slutligen Α och ΕΓ.

Om alltså två räta linjer finns och den ena av dem delas i godtyckligt många delar, är den av de två räta linjerna omslutna rektangeln lika med rektanglarna omslutna av den odelade räta linjen och var och en av delarna. Vilket skulle visas.

βʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ.

2.

Om en rät linje delas godtyckligt, är området av rektanglarna omslutna av den hela och var och en av delarna lika med kvadraten på den hela.

Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ περιεχομένου ὀρθογωνίου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΕ παράλληλος ἡ ΓΖ.

Ἴσον δή ἐστὶ τὸ ΑΕ τοῖς ΑΖ, ΓΕ. καί ἐστι τὸ μὲν ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον· περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ· τὸ δὲ ΓΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἴση γὰρ ἡ ΒΕ τῇ ΑΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[4]

Ty dela godtyckligt den räta linjen ΑΒ vid punkten Γ. Jag säger, att rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ och rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΓ är lika med kvadraten på ΑΒ.

Ty låt kvadraten ΑΔΕΒ ha ritats upp på ΑΒProp. 1.46 och drag ΓΖ genom Γ parallell med antingen ΑΔ eller ΒΕ.Prop. 1.31

ΑΕ är lika med ΑΖ och ΓΕ. Och ΑΕ är kvadraten på ΑΒ; ΑΖ är rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΓ, ty den omges av ΔΑ och ΑΓ, där ΑΔ är lika med ΑΒ; ΓΕ omges av ΑΒ och ΒΓ, där ΒΕ är lika med ΑΒ. Alltså är området av ΒΑ och ΑΓ samt ΑΒ och ΒΓ lika med kvadraten på ΑΒ.

Om alltså en rät linje delas godtyckligt, är området av rektanglarna av den hela och var och en av delarna lika med kvadraten på den hela. Vilket skulle visas.

γʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ.

3.

Om en rät linje delas godtyckligt, är rektangeln omsluten av den hela och en av delarna lika med rektanglarna av delarna och kvadraten på den förutnämnda delen.

Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΔΕΒ, καὶ διήχθω ἡ ΕΔ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΒΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΖ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΕ τοῖς ΑΔ, ΓΕ· καί ἐστι τὸ μὲν ΑΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον· περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΒΓ· τὸ δὲ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴση γὰρ ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ· τὸ δὲ ΔΒ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[5]

Ty låt dela den räta linjen ΑΒ godtyckligt vid Γ. Jag säger, att rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är lika med rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ tillsammans med kvadraten på ΒΓ.

Ty låt kvadraten ΓΔΕΒ ha ritats upp på ΓΒProp. 1.46, drag ut ΕΔ till Ζ och drag ΑΖ genom Α parallell med antingen ΓΔ eller ΒΕ.Prop. 1.31 ΑΕ är lika med ΑΔ och ΓΕ, där ΑΕ är rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, ty den omsluts av ΑΒ och ΒΕ, där ΒΕ är lika med ΒΓ. ΑΔ är rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, ty ΔΓ är lika med ΓΒ. ΔΒ är kvadraten på ΓΒ. Alltså är rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ lika med rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ tillsammans med kvadraten på ΒΓ.

Om alltså en rät linje delas godtyckligt, är rektangeln omsluten av den hela och en av delarna lika med rektanglarna av delarna och kvadraten på den förutnämnda delen. Vilket skulle visas.

δʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

4.

Om en rät linje delas godtyckligt, är kvadraten på den hela lika med kvadraterna på delarna och två gånger rektangeln omsluten av delarna.

Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΕΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ, διὰ δὲ τοῦ Η ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΖ τῇ ΑΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΔΒ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΑ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἄρα γωνιά τῇ ὑπὸ ΗΒΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΓ πλευρᾷ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση· ἀλλ᾿ ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚ ἐστιν ἴση. ἡ δὲ ΓΗ τῇ ΚΒ· καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ. λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΒΚ [καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΓΒ], αἱ ἄρα ὑπὸ ΚΒΓ, ΗΓΒ γωνίαι δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΚΒΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ· ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον αἱ ὑπὸ ΓΗΚ, ΗΚΒ ὀρθαί εἰσιν. ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ· ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τετράγωνον ἄρα ἐστίν· καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΘΖ τετράγωνόν ἐστιν· καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΘΗ, τουτέστιν [ἀπὸ] τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ΘΖ, ΚΓ τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ, καί ἐστι τὸ ΑΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴση γὰρ ἡ ΗΓ τῇ ΓΒ· καὶ τὸ ΗΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΓΒ· τὰ ἄρα ΑΗ, ΗΕ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἔστι δὲ καὶ τὰ ΘΖ, ΓΚ τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τὰ ἄρα τέσσαρα τὰ ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ, ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. ἀλλὰ τὰ ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ, ΗΕ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

[Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν ὅτι ἐν τοῖς τετραγώνοις χωρίοις τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα τετράγωνά ἐστιν.]^[6]

Ty låt ΑΒ vara den räta linjen godtyckligt delad vid Γ. Jag säger, att kvadraten på ΑΒ är lika med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ och två gånger rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ.

Ty låt kvadraten ΑΔΕΒ ha ritats upp på ΑΒ,Prop. 1.46 förbundit ΒΔ, dragit ΓΖ genom Γ parallell med antingen ΑΔ eller ΕΒ,Prop. 1.31 dragit ΘΚ genom Η parallell med antingen ΑΒ eller ΔΕ.Prop. 1.31 Och eftersom ΓΖ är parallell med ΑΔ och ΒΔ fallit över dem, är den yttre vinkeln ΓΗΒ lika med den inre och motstående ΑΔΒ.Prop. 1.29 Men ΑΔΒ är lika med ΑΒΔ, eftersom även sidan ΒΑ är lika med ΑΔ;Prop. 1.5 och alltså är vinkeln ΓΗΒ lika med ΗΒΓ; på samma sätt är också sidan ΒΓ lika med ΓΗ,Prop. 1.6 men ΓΒ är lika med ΗΚ. ΓΗ med ΚΒ;Prop. 1.34 och alltså är ΗΚ lika med ΚΒ, alltså är ΓΗΚΒ liksidig. Jag säger, att den är även rätvinklig. Ty eftersom ΓΗ och ΒΚ är parallella ~~och den räta linjen ΓΒ fallit över dem~~, är sålunda vinklarna ΚΒΓ och ΗΓΒ lika med två räta.Prop. 1.29 Rät är ΚΒΓ och alltså är även ΒΓΗ rät. Därför är också de motstående vinklarna ΓΗΚ och ΗΚΒ räta.Prop. 1.34 Alltså är ΓΗΚΒ rätvinklig och har vistats vara liksidig, alltså är den en kvadrat; och på ΓΒ. På grund av detta är även ΘΖ en kvadrat; och är det på ΘΗ, det vill säga på ΑΓ.Prop. 1.34 Alltså är ΘΖ och ΚΓ kvadrater på ΑΓ och ΓΒ. Och eftersom ΑΗ är lika med ΗΕProp. 1.43 och ΑΗ är rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, ty ΗΓ är lika med ΓΒ, och alltså är ΗΕ lika med rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ. Alltså är ΑΗ och ΗΕ lika med två gånger rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ. ΘΖ och ΓΚ är kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ, alltså är de fyra ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ och ΗΕ lika med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ samt två gånger rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ. Men ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ och ΗΕ är hela ΑΔΕΒ, vilken är kvadraten på ΑΒ. Alltså är kvadraten på ΑΒ lika med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ samt två gånger rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ.

Om alltså en rät linje delas godtyckligt, är kvadraten på den hela lika med kvadraterna på delarna och två gånger rektangeln omsluten av delarna. Vilket skulle visas.

[Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att parallellogrammerna på diagonalen i en rektangel är kvadrater.]

εʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ.

5.

Om en rät linje delas i lika och olika delar, då är den av de olika delarna, avskurna från hela linjen, omfattande rektangeln, tillsammans med kvadraten på skillnaden mellan snitten, lika med kvadraten på halva linjen.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ ὁποτέρᾳ τῶν ΓΕ, ΒΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ παράλληλος πάλιν ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ πάλιν διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΒΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ παραπλήρωμα τῷ ΘΖ παραπληρώματι, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΓΜ τῷ ΑΛ ἴσον ἐστίν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ ἐστιν ἴση· καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΘ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΘ τῷ ΜΝΞ γνώμονι ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΑΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΔΘ τῇ ΔΒ· καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ὁ ἄρα ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. ἀλλὰ ὁ ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΒ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[7]

Ty skär en rät linje ΑΒ i lika, vid Γ, och olika, vid Δ, delar, då säger jag att rektangeln uppspänd av ΑΔ och ΔΒ tillsammans med kvadraten på ΓΔ är lika med kvadraten på ΓΒ.

Ty låt kvadraten ΓΕΖΒ ha ritats upp på ΓΒProp. 1.46 och förena ΒΕ samt drag genom Δ ΔΗ parallell med antingen ΓΕ eller ΒΖ,Prop. 1.31 genom Θ åter drag ΚΜ, parallell med antingen ΑΒ eller ΕΖ,Prop. 1.31 och åter genom Α drag ΑΚ, parallell med antingen ΓΛ eller ΒΜ.Prop. 1.31

Då komplementet ΓΘ är lika med komplementet ΘΖ,Prop. 1.43 lägg till ΔΜ till dem båda; sålunda är hela ΓΜ lika med hela ΔΖ. Men ΓΜ är lika med ΑΛ, eftersom ΑΓ också är lika med ΓΒ;Prop. 1.36 alltså är även ΑΛ lika med ΔΖ. Lägg till ΓΘ till båda, så är hela ΑΘ lika med gnomonen ΜΝΞ.

Men ΑΘ är lika med ΑΔ ΔΒ, ty ΔΘ är lika med ΔΒ; och alltså är gnomonen ΜΝΞ lika med ΑΔ ΔΒ.

Lägg till ΛΗ, som är lika med kvadraten på ΓΔ, till båda, då är gnomonen ΜΝΞ och ΛΗ lika med den av ΑΔ ΔΒ uppspända rektangeln och kvadraten på ΓΔ.

Men gnomonen ΜΝΞ och ΛΗ är hela kvadraten ΓΕΖΒ, som ges av ΓΒ; alltså är den av ΑΔ ΔΒ uppspända rektangeln tillsammans med kvadraten på ΓΔ lika med kvadraten på ΓΒ.

Om alltså en rät linje skärs i lika och olika delar, så är den av de olika delarna, avskurna från hela linjen, omfattande rektangeln, tillsammans med kvadraten på skillnaden mellan snitten, lika med kvadraten på halva linjen. Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθόγώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ.

6.

Om en rät linje delas i två lika delar och en rät linje placeras i linje med denna, då är rektangeln omsluten av hela linjen med den tillagda och det tillagda samt kvadraten på halva linjen lika med kvadraten på halvan och det tillagda hoplagda.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον, προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθείας ἡ ΒΔ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τε τετραγώνῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΓ, ΔΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ ἔτι διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΔΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΛ τῷ ΓΘ. ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΘΖ ἴσον ἐστίν. καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΘΖ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΜ τῷ ΝΞΟ γνώμονί ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΑΜ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΔΜ τῇ ΔΒ· καὶ ὁ ΝΞΟ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ [περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ]. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΝΞΟ γνώμονι καὶ τῷ ΛΗ. ἀλλὰ ὁ ΝΞΟ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΔ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθόγώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[8]

Ty dela en rät linje ΑΒ i halvor vid punkten Γ, placera en rät linje ΒΔ i linje med denna; Jag säger så, att rektangeln ΑΔ ΔΒ tillsammans med kvadraten på ΓΒ är lika med kvadraten på ΓΔ.

Ty låt kvadraten ΓΕΖΔ ha ritats upp på ΓΔ,Prop. 1.46 samt förena ΔΕ, och genom punkten Β drag ΒΗ, parallell med antingen ΕΓ eller ΔΖ,Prop. 1.31 genom punkten Θ drag ΚΜ, parallell med antingen ΑΒ eller ΕΖ,Prop. 1.31 och drag dessutom ΑΚ genom Α, parallell med antingen ΓΛ eller ΔΜ.Prop. 1.31

Eftersom ΑΓ är lika med ΓΒ, är också ΑΛ lika med ΓΘ.Prop. 1.36 Men ΓΘ är lika med ΘΖ.Prop. 1.43 Och alltså är ΑΛ lika med ΘΖ. Lägg till ΓΜ till båda; sålunda är hela ΑΜ lika med gnomonen ΝΞΟ. Men ΑΜ är ΑΔ ΔΒ; ty ΔΜ är lika med ΔΒ; och alltså är gnomonen ΝΞΟ lika med ~~rektangeln omsluten~~ av ΑΔ och ΔΒ. Då är alltså ΑΓ lika med ΓΒ, ΑΛ är också lika med ΓΘ. Men ΓΘ är lika med ΘΖ. Och alltså är ΑΛ lika med ΘΖ. Lägg till ΓΜ till båda; sålunda är hela ΑΜ lika med gnomonen ΝΞΟ. Men ΑΜ är ΑΔ ΔΒ; ty ΔΜ är lika med ΔΒ; och alltså är gnomonen ΝΞΟ lika med rektangeln ΑΔ ΔΒ. Lägg till ΛΗ, som är lika med kvadraten på ΒΓ, till båda; alltså är rektangeln ΑΔ ΔΒ tillsammans med kvadraten på ΓΒ lika med gnomonen ΝΞΟ och ΛΗ. Men gnomonen ΝΞΟ och ΛΗ är kvadraten ΓΕΖΔ, som kommer av ΓΔ; alltså är rektangeln ΑΔ ΔΒ tillsammans med kvadraten på ΓΒ lika med kvadraten på ΓΔ.

Om alltså en rät linje delas mitt itu och en rät linje placeras i linje med denna, då är rektangeln omsluten av hela linjen med den tillagda och det tillagda samt kvadraten på halva linjen lika med kvadraten på halvan och det tillagda hoplagda. Vilket skulle visas.

ζʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφ᾿ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.

7.

Om en rät linje delas godtyckligt, är kvadraterna på den hela och en av delarna tillsammans lika med två gånger rektangeln omsluten av den hela och sagda del och kvadraten på resterande del.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ σημεῖον· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ· καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.

Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἴσον ἐστίν· τὰ ἄρα ΑΖ, ΓΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ. ἀλλὰ τὰ ΑΖ, ΓΕ ὁ ΚΛΜ ἐστι γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον· ὁ ΚΛΜ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΓΖ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ. ἔστι δὲ τοῦ ΑΖ διπλάσιον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἴση γὰρ ἡ ΒΖ τῇ ΒΓ· ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΗ, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον· ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ, ΗΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ. ἀλλὰ ὁ ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ, ΗΔ τετράγωνα ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ καὶ τὸ ΓΖ, ἅ ἐστιν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ [τε] δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφ᾿ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[9]

Ty låt dela någon rät linje ΑΒ godtyckligt, vid punkten Γ. Jag säger, att kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är lika med två gånger rektangeln omskriven av ΑΒ och ΒΓ samt kvadraten på ΓΑ.

Ty låt ha ritat upp kvadraten ΑΔΕΒ på ΑΒProp. 1.46 och ha slutfört figuren.

Eftersom då ΑΗ är lika med ΗΕ,Prop. 1.43 lägg till ΓΖ till båda. Alltså är hela ΑΖ lika med hela ΓΕ. Alltså är ΑΖ och ΓΕ dubbelt så stor som ΑΖ. Men ΑΖ och ΓΕ är lika med gnomonen ΚΛΜ och kvadraten ΓΖ, alltså är gnomonen ΚΛΜ och kvadraten ΓΖ två gånger ΑΖ. ΑΖ är också två gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, ty ΒΖ är lika med ΒΓ, alltså är gnomonen ΚΛΜ och kvadraten ΓΖ lika med två gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ. Lägg till ΔΗ till båda, vilken är kvadraten på ΑΓ, alltså är gnomonen ΚΛΜ och kvadraterna ΒΗ och ΗΔ lika med två gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ och kvadraten på ΑΓ. Men gnomonen ΚΛΜ och kvadraterna ΒΗ och ΗΔ är ΑΔΕΒ och ΓΖ, vilka är kvadraterna ΑΒ och ΒΓ. Alltså är kvadraterna ΑΒ och ΒΓ lika med två gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ tillsammans med kvadraten på ΑΓ.

Om alltså en rät linje delas godtyckligt, är kvadraterna på den hela och en av delarna tillsammans lika med två gånger rektangeln omsluten av den hela och sagda del och kvadraten på resterande del. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.

8.

Om en rät linje delas godtyckligt, är fyra gånger rektangeln omsluten av det hela och en av delarna tillsammans med kvadraten på resterande del lika med kvadraten på den hela och nämnda del som ritats som en.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπ᾿ εὐθείας [τῇ ΑΒ εὐθεῖα] ἡ ΒΔ, καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΔ τετράγωνον τὸ ΑΕΖΔ, καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΒΔ τῇ ΚΝ, καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΝ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΡ τῇ ΡΟ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῂ ΒΔ, ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΚΝ, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ μὲν ΓΚ τῷ ΚΔ, τὸ δὲ ΗΡ τῷ ΡΝ. ἀλλὰ τὸ ΓΚ τῷ ΡΝ ἐστιν ἴσον· παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΓΟ παραλληλογράμμου· καὶ τὸ ΚΔ ἄρα τῷ ΗΡ ἴσον ἐστίν· τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ ΔΚ, ΓΚ, ΗΡ, ΡΝ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. τὰ τέσσαρα ἄρα τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΓΚ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΚ, τουτέστι τῇ ΓΗ ἴση, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΗΚ, τουτέστι τῇ ΗΠ, ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῇ ΗΠ ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΓΗ τῇ ΗΠ, ἡ δὲ ΠΡ τῇ ΡΟ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ ΜΠ, τὸ δὲ ΠΛ τῷ ΡΖ. ἀλλὰ τὸ ΜΠ τῷ ΠΛ ἐστιν ἴσον· παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΜΛ παραλληλογράμμου· καὶ τὸ ΑΗ ἄρα τῷ ΡΖ ἴσον ἐστίν· τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ ΑΗ, ΜΠ, ΠΛ, ΡΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· τὰ τέσσαρα ἄρα τοῦ ΑΗ ἐστι τετραπλάσια. ἐδείχθη δὲ καὶ τὰ τέσσαρα τὰ ΓΚ, ΚΔ, ΗΡ, ΡΝ τοῦ ΓΚ τετραπλάσια· τὰ ἄρα ὀκτώ, ἃ περιέχει τὸν ΣΤΥ γνώμονα, τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΒΚ τῇ ΒΔ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΚ. ἐδείχθη δὲ τοῦ ΑΚ τετραπλάσιος καὶ ὁ ΣΤΥ γνώμων· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΘ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι καὶ τῷ ΞΘ. ἀλλὰ ὁ ΣΤΥ γνώμων καὶ τὸ ΞΘ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΕΖΔ τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΔ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ· ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ. τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσου ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[10]

Ty låt någon rät linje ΑΒ ha delats, godtyckligt, vid punkten Γ. Jag säger, att fyra gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ tillsammans med kvadraten på ΑΓ är lika med kvadraten på ΑΒ och ΒΓ som ritats längs en.

Ty låt ha dragit ut ΒΔ i linje med ~~den räta linjen ΑΒ~~, satt ΒΔ lika med ΓΒProp. 1.3, kvadraten ΑΕΖΔ ha ritats upp på ΑΔProp. 1.46 och ha slutfört andra halvan av figuren.

Eftersom då ΓΒ är lika med ΒΔ, men ΓΒ är lika med ΗΚProp. 1.34, ΒΔ med ΚΝProp. 1.34, är alltså även ΗΚ lika med ΚΝ. Av samma skäl är även ΠΡ lika med ΡΟ. Och eftersom ΒΓ är lika med ΒΔ, ΗΚ med ΚΝ, är alltså även ΓΚ lika med ΚΔ och ΗΡ med ΡΝ.Prop. 1.36 Men ΓΚ är lika med ΡΝ, ty de är parallellogrammen ΓΟ:s komplementProp. 1.43 och alltså är ΚΔ lika med ΗΡ. Alltså är de fyra ΔΚ, ΓΚ, ΗΡ och ΡΝ lika med varandra. Alltså är de fyra fyra gånger ΓΚ. Åter eftersom ΓΒ är lika med ΒΔ, men ΒΔ med ΒΚ - det vill säga lika med ΓΗ - ΓΒ med ΗΚ - det vill säga lika med ΗΠ - är alltså ΓΗ lika med ΗΠ. Och eftersom ΓΗ är lika med ΗΠ och ΠΡ med ΡΟ, är även ΑΗ lika med ΜΠ och ΠΛ med ΡΖ.Prop. 1.36 Men ΜΠ är lika med ΠΛ, ty de är parallellogrammen ΜΛ:s komplementProp. 1.43 och alltså är ΑΗ lika med ΡΖ. Alltså är de fyra ΑΗ, ΜΠ, ΠΛ och ΡΖ lika med varandra. Alltså är de fyra fyra gånger ΑΗ. Det har även visats, att de fyra ΓΚ, ΚΔ, ΗΡ och ΡΝ är fyra gånger ΓΚ. Dessa åtta, som utgör gnomonen ΣΤΥ, är fyra gånger ΑΚ. Och eftersom ΑΚ är lika med rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΔ, ty ΒΚ är lika med ΒΔ, alltså är fyra gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΔ fyra gånger så stor som ΑΚ. Det har visats, att gnomonen ΣΤΥ är fyra gånger så stor som ΑΚ, alltså är fyra gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΔ lika med gnomonen ΣΤΥ. Lägg till ΞΘ, som är lika med kvadraten på ΑΓ, till båda, alltså är fyra gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΔ tillsammans med kvadraten på ΑΓ lika med gnomonen ΣΤΥ och ΞΘ. Men hela gnomonen ΣΤΥ och ΞΘ är kvadraten ΑΕΖΔ, som är kvadraten på ΑΔ, alltså är fyra gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΔ tillsammans med kvadraten på ΑΓ lika med kvadraten på ΑΔ, och ΒΔ är lika med ΒΓ. Alltså är fyra gånger rektangeln omskriven av ΑΒ och ΒΓ tillsammans med kvadraten på ΑΓ lika med kvadraten på ΑΔ, det vill säga kvadraten på ΑΒ och ΒΓ som ritats som en.

Om alltså en rät linje delas godtyckligt, är fyra gånger rektangeln omsluten av det hela och en av delarna tillsammans med kvadraten på resterande del lika med kvadraten på den hela och nämnda del som ritats som en. Vilket skulle visas.

θʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου.

9.

Om en rät linje delas i lika och olika delar, är kvadraterna på de olika delarna av hela linjen dubbelt så stora som kvadraten på halvan och kvadraten på skillnaden mellan delarna.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἱς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.

Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΖ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Γ, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν· καί εἰσιν ἴσαι· ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΑ, ΓΑΕ. δὶα τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἴση ἄρα [ἐστὶν] ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΗ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση. πάλιν ἐπεὶ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ· ἴση γὰρ πάλιν ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΒ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΔ πλευρᾷ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ τῷ ἀπὸ ΓΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνου. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ. ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΓΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων. ἴση δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΔΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετράγώνων.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[11]

Ty låt någon rät linje ΑΒ delas lika vid Γ och olika vid Δ. Jag säger, att kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ är dubbelt så stora som kvadraterna på ΑΓ och ΓΔ.

Ty låt ha dragit ΓΕ vinkelrät mot ΑΒ vid Γ,Prop. 1.11 och satt den lika med antingen ΑΓ eller ΓΒ,Prop. 1.3 förbundit ΕΑ och ΕΒ, dragit ΔΖ genom Δ parallell med ΕΓ,Prop. 1.31 ΖΗ genom Ζ parallell med ΑΒProp. 1.31 och förbundit ΑΖ. Och eftersom ΑΓ är lika med ΓΕ, är också vinkeln ΕΑΓ lika med ΑΕΓ.Prop. 1.5 Och eftersom vinkeln vid Γ är rät, är alltså resterande vinklar ΕΑΓ och ΑΕΓ lika med en rätProp. 1.32 och de är lika. Alltså är var och en av ΓΕΑ och ΓΑΕ lika med en halv rät. Av samma skäl är också var och en av ΓΕΒ och ΕΒΓ lika med en halv rät, alltså är hela ΑΕΒ rät. Och eftersom ΗΕΖ är en halv rät, är ΕΗΖ rät, ty den är lika med den inre och motstående ΕΓΒ,Prop. 1.29 och alltså är resterande vinkeln ΕΖΗ lika med en halv rät,Prop. 1.32 alltså är vinkeln ΗΕΖ lika med ΕΖΗ, sålunda är sidan ΕΗ lika med ΗΖ.Prop. 1.6 Åter, eftersom vinkeln vid Β är en halv rät, är ΖΔΒ rät, ty igen är den lika med den inre och motstående vinkeln ΕΓΒProp. 1.29 och alltså är resterande vinkeln ΒΖΔ lika med en halv rät,Prop. 1.32alltså är vinkeln vid Β lika med ΔΖΒ, sålunda är även sidan ΖΔ lika med ΔΒ.Prop. 1.6 Och eftersom ΑΓ är lika med ΓΕ, är även kvadraten på ΑΓ lika med den på ΓΕ, alltså är kvadraterna på ΑΓ och ΓΕ dubbelt så stora som den på ΑΓ. Kvadraten på ΕΑ är lika med dem på ΑΓ och ΓΕ, ty vinkeln ΑΓΕ är rät,Prop. 1.47 alltså är den på ΕΑ dubbelt så stor som den på ΑΓ. Åter, eftersom ΕΗ är lika med ΗΖ, är även kvadraten på ΕΗ lika med den på ΗΖ, alltså är kvadraterna på ΕΗ och ΗΖ dubbelt så stora som kvadraten på ΗΖ. Alltså är kvadraten på ΕΖ lika med dem på ΕΗ och ΗΖ,Prop. 1.47 alltså är kvadraten på ΕΖ dubbelt så stor som den på ΗΖ. ΗΖ är lika med ΓΔ,Prop. 1.34 alltså är den på ΕΖ dubbelt så stor som den på ΓΔ. Också den på ΕΑ är dubbelt så stor som den på ΑΓ, alltså är kvadraterna på ΑΕ och ΕΖ dubbelt så stora som kvadraterna på ΑΓ och ΓΔ. Och kvadraten på ΑΖ är lika med dem på ΑΕ och ΕΖ, ty vinkeln ΑΕΖ är rät.Prop. 1.47 Alltså är kvadraten på ΑΖ dubbelt så stor som dem på ΑΓ och ΓΔ. Den på ΑΖ är lika med dem på ΑΔ och ΔΖ, ty vinkeln vid Δ är rät.Prop. 1.47 Alltså är kvadraterna på ΑΔ och ΔΖ dubbelt så stora som kvadraterna på ΑΓ och ΓΔ. ΔΖ är lika med ΔΒ, alltså är kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ dubbelt så stora som kvadraterna på ΑΓ och ΓΔ.

Om alltså en rät linje delas i lika och olika delar, är kvadraterna på de olika delarna av hela linjen dubbelt så stora som kvadraten på halvan och kvadraten på skillnaden mellan delarna. Vilket skulle visas.

ιʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου.

10.

Om en rät linje delas i hälften och någon rät linje placerats i linje med den, är de sammanlagda kvadraterna av den på den hela med tillägget och den på tillägget dubbelt så stor som kvadraten på halvan och kvadraten på halvan och tillägget, vilka ritats som en, sammantagna.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθείας ἡ ΒΔ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.

Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ· καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΓ, ΖΔ εὐθεῖά τις ἐνέπεσεν ἡ ΕΖ, αἱ ὑπὸ ΓΕΖ, ΕΖΔ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΕΒ, ΕΖΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν· αἱ δὲ ἀπ᾿ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν· αἱ ἄρα ΕΒ, ΖΔ ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ· καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Γ· ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς [ἐστιν] ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἡμίσεια ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ, ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΗ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ ὀρθή· ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΔΓΕ· ἐναλλὰξ γάρ· λοιπὴ ἅρα ἡ ὑπὸ ΔΗΒ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΗΒ τῇ ὑπὸ ΔΒΗ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ζ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἀπεναντίον τῇ πρὸς τῷ Γ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΗΖ πλευρᾷ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ [ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΓΑ], ἴσον ἐστὶ [καὶ] τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνου. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετραγώνοις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ [τετράγωνα] διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ [τετραγώνων]. ἴση δὲ ἡ ΔΗ τῇ ΔΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ [τετράγωνα] διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[12]

Ty dela någon rät linje ΑΒ vid Γ, lägg i linje till någon rät linje ΒΔ till den. Jag säger, att kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ är dubbelt så stora som kvadraterna på ΑΓ och ΓΔ.

Ty låt ha dragit ΓΕ vid Γ vinkelrät mot ΑΒ,Prop. 1.11 satt lika med endera ΑΓ och ΓΒ,Prop. 1.3 förbundit ΕΑ och ΕΒ, dragit ΕΖ genom Ε parallell med ΑΔProp. 1.31 och dragit ΖΔ genom Δ parallell med ΖΔ.Prop. 1.31 Och eftersom någon rät linje ΕΖ faller över de två parallella räta linjerna ΕΓ och ΖΔ, är alltså ΓΕΖ och ΕΖΔ lika med två räta,Prop. 1.29, alltså är ΖΕΒ och ΕΖΔ mindre än två räta och de som dras ut med mindre än två räta sammanfaller,Post. 5 alltså sammanfaller ΕΒ och ΖΔ utdragna mot sidan med Β och Δ. Låt dem ha dragits ut och mötts vid Η samt förbind ΑΗ. Och eftersom ΑΓ är lika med ΓΕ, är också vinkeln ΕΑΓ lika med ΑΕΓProp. 1.5 och den vid Γ är rät, alltså är var och en av ΕΑΓ och ΑΕΓ en halv rät.Prop. 1.32 Av samma skäl är var och en av ΓΕΒ och ΕΒΓ en halv rät, alltså är ΑΕΒ rät. Och eftersom ΕΒΓ är en halv rät, är alltså även ΔΒΗ en halv rät.Prop. 1.15 ΒΔΗ är också rät, ty den är lika med ΔΓΕ, då den är alternerande.Prop. 1.29 Alltså är resterande ΔΗΒ en halv rät och då är ΔΗΒ lika med ΔΒΗ, sålunda är sidan ΒΔ lika med sidan ΗΔ.Prop. 1.6 Igen, eftersom ΕΗΖ är en halv rät, är den vid Ζ rät, ty den är lika och motstående den vid Γ.Prop. 1.34 Alltså är resterande ΖΕΗ en halv rät och då är ΕΗΖ lika med ΖΕΗ, sålunda är sidan ΗΖ lika med sidan ΕΖ.Prop. 1.6 Och eftersom ΕΓ är lika med ΓΑ, är även kvadraten på ΕΓ lika med kvadraten på ΓΑ, alltså är kvadraterna på ΕΓ och ΓΑ dubbelt så stora som kvadraten på ΓΑ. Kvadraten på ΕΑ är lika med dem på ΕΓ och ΓΑ,Prop. 1.47 alltså är kvadraten på ΕΑ dubbelt så stor som kvadraten på ΑΓ. Igen, eftersom ΖΗ är lika med ΕΖ, är även kvadraten på ΖΗ lika med den på ΖΕ. Alltså är kvadraterna på ΗΖ och ΖΕ dubbelt så stora som den på ΕΖ. Den på ΕΗ är lika med dem på ΗΖ och ΖΕ,Prop. 1.47 alltså är den på ΕΗ dubbelt så stor som den på ΕΖ. ΕΖ är lika med ΓΔ,Prop. 1.34 alltså är kvadraten på ΕΗ dubbelt så stor som den på ΓΔ. Det har även visats, att kvadraten på ΕΑ är dubbelt så stor som den på ΑΓ. Alltså är kvadraterna på ΑΕ och ΕΗ dubbelt så stora som kvadraterna på ΑΓ och ΓΔ och kvadraten på ΑΗ är lika med kvadraterna på ΑΕ och ΕΗ,Prop. 1.47 alltså är den på ΑΗ dubbelt så stor som dem på ΑΓ och ΓΔ. De på ΑΔ och ΔΗ är lika med den ΑΗ,Prop. 1.47 alltså är kvadraterna på ΑΔ och ΔΗ dubbelt så stora som kvadraterna på ΑΓ och ΓΔ. ΑΔ är lika med ΔΒ, alltså är kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ dubbelt så stora som kvadraterna på ΑΓ och ΓΔ.

Om alltså en rät linje delas i hälften och någon rät linje placerats i linje med den, är de sammanlagda kvadraterna av den på den hela med tillägget och den på tillägget dubbelt så stor som kvadraten på halvan och kvadraten på halvan och tillägget, vilka ritats som en, sammantagna. Vilket skulle visas.

ιαʹ.

Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.

11.

Att dela en given rät linje så att rektangeln omsluten av hela och den ena av delarna är lika med kvadraten på den andra.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διήχθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ τετραγώνῳ.

Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΖΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ τὸ ΖΚ· ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔ· τὸ ἄρα ΖΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ. κοινὸν ἀρῃρήσθω τὸ ΑΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΘ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ· τὸ δὲ ΖΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΑ τετραγώνῳ.

Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[13]

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen; ΑΒ bör delas så att rektangeln omsluten av hela och den ena av delarna är lika med kvadraten på den andra.

Ty låt kvadraten ΑΒΔΓ ha ritats upp på ΑΒ,Prop. 1.46 och dela ΑΓ mitt itu vid punkten Ε,Prop. 1.10 förena ΒΕ och förläng ΓΑ till Ζ, ΕΖ dras också lika lång som ΒΕ,Prop. 1.3 låt kvadraten ΖΘ ha ritats upp på ΑΖProp. 1.46 och förläng ΗΘ till Κ; jag säger, att ΑΒ har delats vid Θ, så att rektangeln ΑΒ ΒΘ blir lika med kvadraten ΑΘ.

Ty eftersom ΑΓ delats mitt itu vid punkten Ε, och förlängts av ΖΑ, är alltså rektangeln ΓΖ ΖΑ tillsammans med kvadraten på ΑΕ lika med kvadraten ΕΖ.Prop. 2.6 Då ΕΖ är lika med ΕΒ är alltså rektangeln ΓΖ ΖΑ tillsammans med kvadraten på ΑΕ lika med kvadraten på ΕΒ. Men kvadraten på ΕΒ är lika med summan av kvadraterna på ΒΑ och ΑΕ; ty vinkeln är rät vid Α;Prop. 1.47 alltså är rektangeln ΓΖ ΖΑ tillsammans med kvadraten på ΑΕ lika med summan av kvadraterna ΒΑ och ΑΕ. Drag ifrån kvadraten av ΑΕ från båda; alltså är den kvarvarande rektangeln ΓΖ ΖΑ lika med kvadraten på ΑΒ. Och rektangeln ΓΖ ΖΑ är ΖΚ; ty ΑΖ är lika med ΖΗ; och kvadraten på ΑΒ är ΑΔ; alltså är ΖΚ lika med ΑΔ. Drag ifrån ΑΚ från båda; alltså är resten ΖΘ lika med ΘΔ. Och ΘΔ är ΑΒ ΒΘ; ty ΑΒ är lika med ΒΔ; ΖΘ är kvadraten på ΑΘ; alltså är rektangeln ΑΒ ΒΘ lika med kvadraten på ΘΑ.

Alltså har den givna räta linjen ΑΒ delats vid Θ så att rektangeln ΑΒ ΒΘ blir lika med kvadraten på ΘΑ. Vilket skulle visas.

ιβʹ.

Ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπὸ τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ἐφ᾿ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ.

12.

I trubbvinkliga trianglar är kvadraten på sidan som spänner upp den trubbiga vinkeln större än kvadraterna på sidorna som omger den trubbiga vinkeln med två gånger rektangeln omsluten av en av dem vid den trubbiga vinkeln, mot vilken en vinkelrät linje faller och det som huggs av utanför av den vinkelräta vid den trubbiga vinkeln.^B B) Denna sats har en motsvarighet i cosinussatsen.

Ἔστω ἀμβλυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΓΑ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἡ ΒΔ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΔ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Α σημεῖον, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ [περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ]. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ προς τῷ Δ γωνία· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ τετραγώνων μεῖζόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Ἐν ἄρα τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ἐφ᾿ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[14]

Låt ΑΒΓ vara en trubbvinklig triangel som har ΒΑΓ trubbig och drag den vinkelräta ΒΔ från punkten Β till den utdragna ΓΑ.Prop. 1.12 Jag säger, att kvadraten på ΒΓ är större än kvadraterna på ΒΑ och ΑΓ med två gånger rektangeln omsluten av ΓΑ och ΑΔ.

Ty eftersom den räta linjen ΓΔ har delats godtyckligt, vid punkten Α, är alltså kvadraten på ΔΓ lika med kvadraterna på ΓΑ och ΑΔ och två gånger rektangeln omsluten av ΓΑ och ΑΔ.Prop. 2.4 Lägg till kvadraten på ΔΒ till båda, alltså är de på ΓΔ och ΔΒ lika med kvadraterna på ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ och två gånger ~~rektangeln omsluten~~ av ΓΑ och ΑΔ. Men den på ΓΒ är lika med dem på ΓΔ och ΔΒ, ty vinkeln vid Δ är rät,Prop. 1.47 och den på ΑΒ är lika med dem på ΑΔ och ΔΒ,Prop. 1.47 alltså är kvadraten på ΓΒ lika med kvadraterna på ΓΑ, ΑΒ och två gånger rektangeln omsluten av ΓΑ och ΑΔ. Sålunda är kvadraten på ΓΒ större än kvadraterna på ΓΑ och ΑΒ med två gånger rektangeln omsluten av ΓΑ och ΑΔ.

Alltså är i trubbvinkliga trianglar kvadraten på sidan som spänner upp den trubbiga vinkeln större än kvadraterna på sidorna som omger den trubbiga vinkeln med två gånger rektangeln omsluten av en av dem vid den trubbiga vinkeln, mot vilken en vinkelrät linje faller och det som huggs av utanför av den vinkelräta vid den trubbiga vinkeln. Vilket skulle visas.

ιγʹ.

Ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφ᾿ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ.

13.

I spetsvinkliga trianglar är kvadraten på sidan som spänner upp den spetsiga vinkeln mindre än kvadraterna på sidorna som omger den spetsiga vinkeln med två gånger rektangeln omsluten av en av dem vid den spetsiga vinkeln, mot vilken en vinkelrät linje faller och det som huggs av innanför av den vinkelräta vid den spetsiga vinkeln.^C C) Även denna sats har en motsvarighet i cosinussatsen. Satserna är mycket lika, man behöver nästan bara byta trubbig mot spetsig och större mot mindre.

Ἔστω ὀξυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΒ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, ΔΑ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ τετραγώνιος. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΑΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ· ὥστε μόνον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.

Ἐν ἄρα τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφ᾿ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[15]

Låt ΑΒΓ vara en spetsvinklig triangel som har en spetsig vinkel vid Β och drag den ΑΔ från punkten Α vinkelrät till ΒΓ.Prop. 1.12 Jag säger, att kvadraten på ΑΓ är mindre än kvadraterna på ΓΒ och ΒΑ med två gånger rektangeln omsluten av ΓΒ och ΒΔ.

Ty eftersom den räta linjen ΓΒ har delats godtyckligt vid Δ, är alltså kvadraterna på ΓΒ och ΒΔ lika med två gånger rektangeln omsluten av ΓΒ och ΒΔ och kvadraten på ΔΓ.Prop. 2.7 Lägg till kvadraten på ΔΑ till båda, alltså är kvadraterna på ΓΒ, ΒΔ och ΔΑ lika med två gånger rektangeln omsluten av ΓΒ och ΒΔ samt kvadraterna på ΑΔ och ΔΓ. Men den på ΑΒ är lika med dem på ΒΔ och ΔΑ, ty vinkeln vid Δ är rät,Prop. 1.47 och den på ΑΓ är lika med dem på ΑΔ och ΔΓ,Prop. 1.47 alltså är de på ΓΒ och ΒΑ lika med den på ΑΓ och två gånger rektangeln på ΓΒ och ΒΔ. Sålunda är kvadraten på ΑΓ ensam mindre än kvadraterna på ΓΒ och ΒΑ med två gånger rektangeln omsluten av ΓΒ och ΒΔ.

Alltså är i spetsvinkliga trianglar kvadraten på sidan som spänner upp den spetsiga vinkeln mindre än kvadraterna på sidorna som omger den spetsiga vinkeln med två gånger rektangeln omsluten av en av dem vid den spetsiga vinkeln, mot vilken en vinkelrät linje faller och det som huggs av innanför av den vinkelräta vid den spetsiga vinkeln.

ιδʹ.

Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσαςθαι.

14.

Att konstruera en kvadrat lika med en given rätlinjig figur.

Ἔστω τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ Α· δεῖ δὴ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.

Συνεστάτω γὰρ τῷ Α ἐυθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ· εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. συνέσταται γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΒΔ· εἰ δὲ οὔ, μία τῶν ΒΕ, ΕΔ μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΒΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΕΔ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΖ δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ κέντρῳ τῷ Η, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΗΒ, ΗΖ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΘΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ.

Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΖ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνῳ. ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΗΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ τετράγωνα· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΕ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περιεχόμενον ὄρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ τὸ ΒΔ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΔ· τὸ ἄρα ΒΔ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΕ τετραγώνῳ. ἴσον δὲ τὸ ΒΔ τῷ Α εὐθυγράμμῳ. καὶ τὸ Α ἄρα εὐθύγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησομένῳ τετραγώνῳ.

Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Α ἴσον τετράγωνον συνέσταται τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησόμενον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[16]

Låt Α vara den givna rätlinjiga figuren. En kvadrat lika med den givna rätlinjiga figuren Α skall konstrueras.

Ty låt den rätvinkliga parallellogrammen ΒΔ lika med den rätlinjiga figuren ha konstruerats.Prop. 1.45 Om då ΒΕ är lika med ΕΔ, har skett vad som efterfrågades, ty kvadraten ΒΔ har konstruerats lika med den rätlinjiga figuren Α. Om inte, är en av ΒΕ och ΕΔ större. Låt ΒΕ vara större och drag ut den till Ζ, gör ΕΖ lika med ΕΔ,Prop. 1.3 dela ΒΖ i hälften vid Η,Prop. 1.10 rita halvcirkeln ΒΘΖ med centrum i Η och med en av ΗΒ eller ΗΖ som radie, drag ut ΔΕ till Θ samt förbind ΗΘ.

Då, eftersom den räta linjen ΒΖ delats lika vid Η och olika vid Ε, är rektangeln omsluten av ΒΕ och ΕΖ tillsammans med kvadraten på ΕΗ lika med kvadraten på ΗΖ.Prop. 2.5 ΗΖ är lika med ΗΘ, alltså är rektangeln omsluten av ΒΕ och ΕΖ tillsammans med kvadraten på ΗΕ lika med den på ΗΘ. Kvadraterna på ΘΕ och ΕΗ är lika med ΗΘ,Prop. 1.47 alltså är rektangeln omsluten av ΒΕ och ΕΖ tillsammans med kvadraten på ΗΕ lika med dem på ΘΕ och ΕΗ. Låt ha dragit bort kvadraten på ΗΕ från båda, alltså är resterande rektangeln omsluten av ΒΕ och ΕΖ lika med kvadraten på ΕΘ. Men ΒΔ är rektangeln omsluten av ΒΕ och ΕΖ, ty ΕΖ är lika med ΕΔ, alltså är parallellogrammen ΒΔ lika med kvadraten på ΘΕ. ΒΔ är lika med den rätlinjiga figuren Α. Och alltså är den rätlinjiga figuren Α lika med kvadraten som skulle resas på ΕΘ.

Alltså har den kvadrat lika med den rätlinjiga figuren Α, som skulle resas på ΕΘ, konstruerats. Vilket skulle göras.