Elementa Bok XIII

Στοιχεῖα Εὐκλείδου ιγʹ.

αʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου.

1.

Om en rät linje delats i yttersta och mellersta förhållandet, är det större snittet lagt till hälften av det hela fem gånger större i kvadrat än kvadraten på hälften.

Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ᾿ εὐθείας τῇ ΓΑ εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ.

Ἀναγεγράφθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ τετράγωνα τὰ ΑΕ, ΔΖ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΔΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Η. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΖΘ· ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΑ τῇ ΚΑ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΑΘ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΑ τῆς ΑΘ. ὡς δὲ ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ, οὕτως τὸ ΓΚ πρὸς τὸ ΓΘ· διπλάσιον ἄρα τὸ ΓΚ τοῦ ΓΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΓ διπλάσια τοῦ ΓΘ. ἴσον ἄρα τὸ ΚΓ τοῖς ΛΘ, ΘΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ΓΕ τῷ ΘΖ ἴσον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝΞ γνώμονι. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τουτέστι τὸ ΑΕ τοῦ ΔΘ. ἴσον δὲ τὸ ΑΕ τῷ ΜΝΞ γνώμονι· καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ΑΟ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΟ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ, τὸ δὲ ΑΟ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΔ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[1]

Ty låt den räta linjen ΑΒ ha delats i yttersta och mellersta förhållandet vid punkten Γ, låt ΑΓ vara det större snittet, låt ΑΔ ha dragits ut i linje med ΓΑ och låt ΑΔ ha satts till halva ΑΒ. Jag säger, att kvadraten på ΓΔ är fem gånger den på ΔΑ.

Ty låt kvadraterna på ΑΒ och ΔΓ, ΑΕ och ΔΖ, ha uppritats, låt figuren i ΔΖ ha slutförts och låt ΖΓ ha delats i hälften vid Η. Och eftersom ΑΒ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Γ, är alltså rektangeln omsluten av ΑΒΓ lika med kvadraten på ΑΓ.Def. 6.3 Prop. 6.17 Och ΓΕ är rektangeln omsluten av ΑΒΓ och ΖΘ är kvadraten på ΑΓ, alltså är ΓΕ lika med ΖΘ. Och eftersom ΒΑ är dubbla ΑΔ samt ΒΑ är lika med ΚΑ och ΑΔ med ΑΘ, är alltså även ΚΑ dubbla ΑΘ. Och som ΚΑ är till ΑΘ, så är ΓΚ till ΓΘ,Prop. 6.1 alltså är ΓΚ dubbla ΓΘ. Och även ΛΘ och ΘΓ är dubbla ΓΘ.Prop. 1.43 Alltså är ΚΓ lika med ΛΘ och ΘΓ. Och ΓΕ har även visats vara lika med ΘΖ, alltså är hela kvadraten ΑΕ lika med gnomonen ΜΝΞ. Och eftersom ΒΑ är dubbla ΑΔ, är kvadraten på ΒΑ fyra gånger den på ΑΔ, det vill säga ΑΕ är fyra gånger ΔΘ. Och ΑΕ är lika med gnomonen ΜΝΞ, alltså är även gnomonen ΜΝΞ fyra gånger ΑΟ, alltså är hela ΔΖ fem gånger ΑΟ. Och ΔΖ är kvadraten på ΔΓ och ΑΟ den på ΔΑ, alltså är kvadraten på ΓΔ fem gånger den på ΔΑ.

Om alltså en rät linje delats i yttersta och mellersta förhållandet, är det större snittet lagt till hälften av det hela fem gånger större i kvadrat än kvadraten på hälften. Vilket skulle visas.

βʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας.

2.

Om en rät linje är fem gånger större i kvadrat än en del av sig, är, sedan dubbla det nämnda snittet delats i yttersta och mellersta förhållandet, det större snittet den resterande delen av den ursprungliga räta linjen.

Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τμήματος ἑαυτῆς τοῦ ΑΓ πενταπλάσιον δυνάσθω, τῆς δὲ ΑΓ διπλῆ ἔστω ἡ ΓΔ. λέγω, ὅτι τῆς ΓΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένος τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀφ᾿ ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΓΔ τετράγωνα τὰ ΑΖ, ΓΗ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΑΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπό τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ τοῦ ΑΘ. τετραπλάσιος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τοῦ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ, τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΔΓ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ ΑΘ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ ΜΝΞ γνώμων τετραπλάσιος τοῦ ΑΘ· ἴσος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τῷ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΘ, ~~διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΓ τῆς ΓΘ~~, διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΚΒ τοῦ ΒΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΒ τοῦ ΘΒ διπλάσια· ἴσον ἄρα τὸ ΚΒ τοῖς ΛΘ, ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλος ὁ ΜΝΞ γνώμων ὅλῳ τῷ ΓΗ ἴσος· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ τῷ ΒΗ ἐστιν ἴσον. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΒ· ἴση γὰρ ἡ ΓΔ τῇ ΔΗ· τὸ δὲ ΘΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΓ τῆς ΓΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ. τῆς ΓΔ ἄρα εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Ὅτι δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΓ, οὕτως δεικτέον.

Εἰ γὰρ μή, ἔστω, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ διπλῆ τῆς ΓΑ. τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ· πενταπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ. ὑπόκειται δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ διπλασία ἐστὶ τῆς ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ἐλάττων τῆς ΓΒ διπλασίων ἐστὶ τῆς ΓΑ· πολλῷ γὰρ ~~μεῖζον~~ τὸ ἄτοπον.

Ἡ ἄρα τῆς ΑΓ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆς ΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[2]

Ty låt den räta linjen ΑΒ var fem gånger större i kvadrat än en del av sig och låt ΓΔ vara dubbla ΑΓ. Jag säger, att, sedan ΓΔ delats i yttersta och mellersta förhållandet, är det större snittet ΓΒ.

Ty låt kvadraterna på var och en av ΑΒ och ΔΓ, ΑΖ och ΓΗ, ha uppritats, låt figuren i ΑΖ ha slutförts och låt ΒΕ ha dragits ut. Och eftersom kvadraten på ΒΑ är fem gånger den på ΑΓ, är ΑΖ fem gånger ΑΘ. Alltså är gnomonen ΜΝΞ fyra gånger ΑΘ. Och eftersom ΔΓ är dubbla ΓΑ, är alltså kvadraten på ΔΓ fyra gånger den på ΓΑ, det vill säga ΓΗ är fyra gånger ΑΘ. Och gnomonen ΜΝΞ har visats vara fyra gånger ΑΘ, alltså är gnomonen ΜΝΞ lika med ΓΗ. Och eftersom ΔΓ är dubbla ΓΑ samt ΔΓ lika med ΓΚ och ΑΓ med ΓΘ, ~~alltså är även ΚΓ dubbla ΓΘ~~, alltså är även ΚΒ dubbla ΒΘ.Prop. 6.1 Och ΛΘ och ΘΒ är dubbla ΘΒ,Prop. 1.43 alltså är ΚΒ lika med ΛΘ och ΘΒ. Och även hela gnomonen ΜΝΞ har visats vara lika med hela gnomonen ΓΗ, alltså är även resten ΘΖ lika med ΒΗ. Och ΒΗ är rektangeln omsluten av ΓΔΒ, ty ΓΔ är lika med ΔΗ, och ΘΖ är kvadraten på ΓΒ, alltså är rektangeln omsluten av ΓΔΒ lika med kvadraten på ΓΒ. Alltså som ΔΓ är till ΓΒ, så är ΓΒ till ΒΔ.Prop. 6.17 Och ΔΓ är större än ΓΒ,Prop. 13.2 lem. alltså är även ΓΒ större än ΒΔ.Prop. 5.14 Alltså, sedan den räta linjen ΓΔ delats i yttersta och mellersta förhållandet, är det större snittet ΓΒ.

Om alltså en rät linje är fem gånger större i kvadrat än en del av sig, är, sedan dubbla det nämnda snittet delats i yttersta och mellersta förhållandet, det större snittet den resterande delen av den ursprungliga räta linjen. Vilket skulle visas.

Hjälpsats.

Att dubbla ΑΓ är större än ΒΓ, visas på detta sätt.

Ty om inte, låt ΒΓ, om möjligt, vara dubbla ΓΑ. Alltså är kvadraten på ΒΓ fyra gånger den på ΓΑ. Alltså är kvadraterna på ΒΓ och ΓΑ fem gånger den på ΓΑ. Och kvadraten på ΒΑ antas vara fem gånger den på ΓΑ, alltså är kvadraten på ΒΑ lika med dem på ΒΓ och ΓΑ, vilket är omöjligt.Prop. 2.4 Alltså är ΓΒ inte dubbla ΑΓ. På samma sätt skall vi visa, att dubbla ΓΒ heller inte är mindre ΓΑ, ty detta är mycket ~~mer~~ orimligt.

Alltså är dubbla ΑΓ större än ΓΒ. Vilket skulle visas.

γʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἔλασσον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήματος πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείζονος τμήματος τετραγώνου.

3.

Om en rät linje delats i yttersta och mellersta förhållandet, är det mindre snittet lagt till hälften av det större snittet fem gånger större i kvadrat än kvadraten på hälften av det större snittet.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΔΓ, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ, τουτέστι τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ ἄρα ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ΡΣ. τετραπλάσιον δὲ τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ· τετραπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΓΕ τοῦ ΖΗ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΚΖ. ὥστε καὶ τὸ ΗΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΛ τετραγώνῳ. ἴση ἄρα ἡ ΗΚ τῇ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΕ· ὥστε καὶ τὸ ΜΖ τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ ΜΖ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΓΗ ἄρα τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΝ· ὁ ἄρα ΞΟΠ γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ΓΕ. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τετραπλάσιον ἐδείχθῃ τοῦ ΗΖ· καὶ ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ τετραγώνου. ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πενταπλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ. ἀλλὰ ὁ ΞΟΠ γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΝ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΝ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ, τὸ δὲ ΗΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΒ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

^[3]

Ty låt en rät linje ΑΒ ha delats i yttersta och mellersta förhållandet vid punkten Γ, låt ΑΓ vara det större snittet och låt ΑΓ ha delats i hälften vid Δ. Jag säger, att kvadraten på ΒΔ är fem gånger den på ΔΓ.

Ty låt kvadraten på ΑΒ, ΑΕ, ha uppritats och låt figuren ha slutförts dubbelt. Eftersom ΑΓ är dubbla ΔΓ, är alltså kvadraten på ΑΓ fyra gånger den på ΔΓ, det vill säga ΡΣ är fyra gånger ΖΗ. Och eftersom rektangeln omsluten av ΑΒΓ är lika med kvadraten på ΑΓDef. 6.3 Prop. 6.17 och ΓΕ är rektangeln omsluten av ΑΒΓ, är alltså ΓΕ lika med ΡΣ. Och ΡΣ är fyra gånger ΖΗ, alltså är även ΓΕ fyra gånger ΖΗ. Åter, eftersom ΑΔ är lika med ΔΓ, är även ΘΚ lika med ΚΖ. Så att även kvadraten ΗΖ är lika med kvadraten ΘΛ. Alltså är ΗΚ lika med ΚΛ, det vill säga ΜΝ med ΝΕ, så att även ΜΖ är lika med ΖΕ. Men ΜΖ är lika med ΓΗ och alltså är ΓΗ lika med ΖΕ. Lägg gemensamt till ΓΝ, alltså är gnomonen ΞΟΠ lika med ΓΕ. Men ΓΕ har visats vara fyra gånger ΗΖ och alltså är gnomonen ΞΟΠ fyra gånger kvadraten ΖΗ. Alltså är gnomonen ΞΟΠ och kvadraten ΖΗ fem gånger ΖΗ. Men gnomonen ΞΟΠ och kvadraten ΖΗ är ΔΝ. Och ΔΝ är kvadraten på ΔΒ och ΗΖ den på ΔΓ. Alltså är kvadraten på ΔΒ fem gånger den på ΔΓ. Vilket skulle visas.

δʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, τὰ συναμφότερα τετράγωνα, τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος τετραγώνου.

4.

Om en rät linje delats i yttersta och mellersta förhållandet, är kvadraten på hela och det mindre snittet, de sammanlagda kvadraterna, tre gånger kvadraten på det större snittet.

Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΑΚ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΘΗ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΚ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΚ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἐστιν ἴσον· τὰ ἄρα ΑΚ, ΓΕ τοῦ ΑΚ ἐστι διπλάσια. ἀλλὰ τὰ ΑΚ, ΓΕ ὁ ΛΜΝ γνώμων ἐστὶ καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον· ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ ἐδείχθη ἴσον· ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ ~~τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ· ὥστε ὁ ΛΜΝ γνώμων καὶ~~ τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ τετραγώνου. καί ἐστιν ὁ ~~μὲν~~ ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα ὅλον τὸ ΑΕ καὶ τὸ ΓΚ, ἅπερ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τὸ δὲ ΗΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[4]

Låt ΑΒ vara en rät linje, låt den ha delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Γ och låt det större snittet vara ΑΓ. Jag säger, att kvadraterna ΑΒ och ΒΓ är tre gånger den på ΓΑ.

Ty låt kvadraten på ΑΒ, ΑΔΕΒ, ha uppritats och låt figuren ha slutförts. Eftersom då ΑΒ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Γ och ΑΓ är det större snittet, alltså är rektangeln omsluten av ΑΒΓ lika med kvadraten på ΑΓ.Def. 6.3 Prop. 6.17 Och ΑΚ är rektangeln omsluten av ΑΒΓ och ΘΗ är kvadraten på ΑΓ, alltså är ΑΚ lika med ΘΗ. Och eftersom ΑΖ är lika med ΖΕ,Prop. 1.43 låt ΓΚ ha lagts till gemensamt, alltså är hela ΑΚ lika med hela ΓΕ, alltså är ΑΚ och ΓΕ dubbla ΑΚ. Men ΑΚ och ΓΕ är gnomonen ΛΜΝ och kvadraten ΓΚ, alltså är gnomonen ΛΜΝ och kvadraten ΓΚ dubbla ΑΚ. Men ΑΚ har även visats vara lika med ΘΗ, alltså är gnomonen ΛΜΝ och ~~kvadraten ΓΚ dubbla ΘΗ, därför är gnomonen ΛΜΝ och~~ kvadraterna ΓΚ och ΘΗ tre gånger kvadraten ΘΗ. Och gnomonen ΛΜΝ samt kvadraterna ΓΚ och ΘΗ är hela ΑΕ och ΓΚ, vilka är kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ, samt ΗΘ är kvadraten på ΑΓ. Alltså är kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ tre gånger kvadraten på ΑΓ. Vilket skulle visas.

εʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, καὶ προστεθῇ αὐτῇ ἴση τῷ μείζονι τμήματι, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα.

5.

Om en rät linje delats i yttersta och mellersta förhållandet och en rät linje lika med det större snittet lagts till den, har hela räta linjen delats i yttersta och mellersta förhållandet och det större snittet är den ursprungliga räta linjen.

Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ, καὶ τῇ ΑΓ ἴση ~~κείσθω~~ ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα ἡ ΑΒ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΓΘ· ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΘΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΕ, τῷ δὲ ΘΓ ἴσον τὸ ΔΘ· καὶ τὸ ΔΘ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΕ ~~κοινὸν προσκείσθω τὸ ΘΒ~~. ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ὅλῳ τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ· ἴση γὰρ ἡ ΑΔ τῇ ΔΛ· τὸ δὲ ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆς ΒΑ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ.

Ἡ ἄρα ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[5]

Låt ΑΒ vara en rät linje, låt den ha delats i yttersta och mellersta förhållandet vid punkten Γ, låt det större snittet vara ΑΓ och ~~låt~~ ΑΔ ~~ha satts~~ lika med ΑΓ. Jag säger, att den räta linjen ΔΒ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Α och det större snittet är den ursprungliga räta linjen ΑΒ.

Ty låt kvadraten på ΑΒ, ΑΕ, ha uppritats och låt figuren ha slutförts. Eftersom ΑΒ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid punkten Γ, är alltså rektangeln omsluten av ΑΒΓ lika med kvadraten på ΑΓ.Def. 6.3 Prop. 6.17 Och ΓΕ är rektangeln omsluten av ΑΒΓ och ΓΘ är kvadraten på ΑΓ, alltså är ΓΕ lika med ΘΓ. Men ΘΕ är lika med ΓΕProp. 1.43 och ΔΘ med ΘΓ, alltså är även ΔΘ lika med ΘΕ ~~låt ΘΒ gemensamt ha lagts till~~. Alltså är hela ΔΚ lika med hela ΑΕ. Och ΔΚ är rektangeln omsluten av ΒΔ och ΔΑ, ty ΑΔ är lika med ΔΛ, och ΑΕ är kvadraten på ΑΒ, alltså är rektangeln omsluten av ΒΔΑ lika med kvadraten på ΑΒ. Alltså som ΔΒ är till ΒΑ, så är ΒΑ till ΑΔ.Prop. 6.17 Och ΔΒ är större än ΒΑ, alltså är även ΒΑ större än ΑΔ.Prop. 5.14

Alltså har ΔΒ delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Α och ΑΒ är det större snittet. Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα ῥητη ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.

6.

Om en uttryckbar rät linje delats i yttersta och mellersta förhållandet, är vart och ett av snitten den irrationella räta linjen, som kallas apotome.

Ἔστω εὐθεῖα ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ· λέγω, ὅτι ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῆς ΒΑ ἡμίσεια ἡ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μείζονι τμήματι τῷ ΑΓ πρόσκειται ἡ ΑΔ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ τοῦ ἀπὸ ΔΑ πενταπλάσιόν ἐστιν. τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΔΑ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ ΔΑ· ῥητὴ γάρ ~~ἐστιν~~ ἡ ΔΑ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ ῥητῆς οὔσης· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρος ἄρα μήκει ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ· αἱ ΓΔ, ΔΑ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστίν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀποτομῆς παρὰ τὴν ΑΒ ῥητὴν παραβληθὲν πλάτος ποιεῖ τὴν ΒΓ. τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην· ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΓΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ ἀποτομή.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[6]

Låt den uttryckbara räta linjen ΑΒ ha delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Γ och låt det större snittet vara ΑΓ. Jag säger, att vart och ett av ΑΓ och ΓΒ är den irrationella räta linjen, som kallas apotome.

Låt ΒΑ ha dragits ut och sätt ΑΔ till hälften av ΒΑ. Eftersom då den räta linjen ΑΒ delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Γ och ΑΔ, som är hälften av ΑΒ, lagts till det större snittet ΑΓ, är alltså kvadraten på ΓΔ fem gånger den på ΔΑ.Prop. 13.1 Alltså har kvadraten på ΓΔ ett förhållande till ΔΑ, som ett tal till ett tal, alltså är kvadraten på ΓΔ kommensurabel med den på ΔΑ.Prop. 10.6 Och den på ΔΑ är uttryckbar, ty ΔΑ, som är hälften av den uttryckbara ΑΒ, är uttryckbar. Alltså är även kvadraten på ΓΔ uttryckbar,Def. 10.1.4 alltså är även ΓΔ uttryckbar. Och eftersom kvadraten på ΓΔ inte har ett förhållande till den på ΔΑ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, är alltså ΓΔ inkommensurabel i längd med ΔΑ.Prop. 10.9 Alltså är ΓΔ och ΔΑ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΑΓ en apotome.Prop. 10.73 Åter, eftersom ΑΒ delats i yttersta och mellersta förhållandet det större snittet är ΑΓ, är alltså rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ lika med kvadraten på ΑΓ.Def. 6.3 Prop. 6.17 Alltså har kvadraten på apotomen ΑΓ applicerats på den uttryckbara ΓΔ resulterande i bredden ΒΓ. Och kvadraten på en apotome applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en första apotome som bredd.Prop. 10.97 Alltså är ΓΒ en första apotome. Och även ΓΑ har visats vara en apotome

Om alltså en uttryckbar rät linje delats i yttersta och mellersta förhållandet, är vart och ett av snitten den irrationella räta linjen, som kallas apotome. Vilket skulle visas.

ζʹ.

Ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἤτοι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς ἢ αἱ μὴ κατὰ τὸ ἑξῆς ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον.

7.

Om tre vinklar, antingen i följd eller inte i följd, i en liksidig femhörning är lika, är femhörningen likvinklig.

Πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρον τοῦ ΑΒΓΔΕ αἱ τρεῖς γωνίαι πρότερον αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ ἴσαι ἀλλήλαις ἔστωσαν· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΕ, ΖΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΓΒ, ΒΑ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΕ ἴσαι ἐισὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΒ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΖ πλευρᾷ τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΓ ὅλῃ τῇ ΒΕ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΓ λοιπῇ τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ ἴση. δύο δὴ αἱ ΖΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΔ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἴση. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ὑπόκειται ταῖς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίαις· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα ταῖς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίαις ἴση ἐστίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Β, Γ γωνίαις· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.

Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν ἴσαι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς γωνίαι, ἀλλ᾿ ἔστωσαν ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς Α, Γ, Δ σημείοις· λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΑ, ΑΕ δυσὶ ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΕ πλευρᾷ τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ γωνίαις ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα γωνία ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ ἴση ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ, Δ γωνίαις. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[7]

Ty låt först de tre vinklarna Α, Β och Γ, i följd, i den liksidiga femhörningen ΑΒΓΔΕ vara lika med varandra. Jag säger, att femhörningen ΑΒΓΔΕ är likvinklig.

Ty låt ΑΓ, ΒΕ och ΖΔ ha förenats. Och eftersom de två ΓΒ och ΒΑ är lika med de två ΒΑ och ΑΕ, var och en med var och en, samt vinkeln ΓΒΑ är lika med vinkeln ΒΑΕ, är alltså basen ΑΓ lika med basen ΒΕ och triangeln ΑΒΓ lika med triangeln ΑΒΕ och de resterande vinklarna skall vara lika med de resterande vinklarna, vilka spänns upp av lika sidor,Prop. 1.4 ΒΓΑ är lika med ΒΕΑ och ΑΒΕ med ΓΑΒ, därför är även sidan ΑΖ lika med sidan ΒΖ.Prop. 1.6 Och hela ΑΓ har visats vara lika med hela ΒΕ, alltså är resterande ΖΓ lika med resterande ΖΕ. Och även ΓΔ är lika med ΔΕ. Så de två ΖΓ och ΓΔ är lika med de två ΖΕ och ΕΔ samt ΖΔ är deras gemensamma bas, alltså är vinkeln ΖΓΔ lika med vinkeln ΖΕΔ.Prop. 1.8 Även ΒΓΑ har visats vara lika med ΑΕΒ, alltså är hela ΒΓΔ lika med hela ΑΕΔ. Men ΒΓΔ antas va lika med vinklarna vid Α och Β. Alltså är även ΑΕΔ lika med vinklarna vid Α och Β. På samma sätt skall vi visa, att även vinkeln ΓΔΕ är lika med vinklarna vid Α, Β och Γ, alltså är femhörningen ΑΒΓΔΕ likvinklig.

Men låt så de lika vinklarna inte vara i följd, utan låt dem vid punkterna Α, Γ och Δ vara lika. Jag säger, att även på detta sätt är femhörningen ΑΒΓΔΕ likvinklig.

Ty låt ΒΔ ha förbundits. Och eftersom de två ΒΑ och ΑΕ är lika med de två ΒΓ och ΓΔ samt de omsluter lika vinklar, är alltså basen ΒΕ lika med basen ΒΔ, triangeln ΑΒΕ lika med triangeln ΒΓΔ och de resterande vinklarna skall vara lika med de resterande vinklarna, vilka spänns upp av lika sidor,Prop. 1.4 alltså är vinkeln ΑΕΒ lika med vinkeln ΓΔΒ. Och även vinkeln ΒΕΔ är lika med vinkeln ΒΔΕ, eftersom även sidan ΒΕ är lika med sidan ΒΔ.Prop. 1.5 Alltså är hela vinkeln ΑΕΔ lika med hela ΓΔΕ. Men vinkeln ΓΔΕ antas vara lika med vinklarna vid Α och Γ, alltså är även vinkeln ΑΕΔ lika med dem vid Α och Γ. Av samma skäl är även ΑΒΓ lika med vinklarna vid Α, Γ och Δ. Alltså är femhörningen ΑΒΓΔΕ likvinklig. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς δύο γωνίας ὑποτείνωσιν εὐθεῖαι, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνουσιν ἀλλήλας, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.

8.

Om räta linjer spänner upp två vinklar i rad i en liksidig och likvinklig femhörning, skär de varandra i yttersta och mellersta förhållandet och de större snitten av dem är lika med femhörningens sida.

Πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρον καὶ ἰσογωνίου τοῦ ΑΒΓΔΕ δύο γωνίας τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς τὰς πρὸς τοῖς Α, Β ὑποτεινέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΕ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Θ σημεὶον· λέγω, ὅτι ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ σημεῖον, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.

Περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖς ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΕ· διπλῆ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΘΕ τῆς ὑπὸ ΒΑΘ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ περιφέρεια ἡ ΕΔΓ περιφερείας τῆς ΓΒ ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΘΕ· ὥστε καὶ ἡ ΘΕ εὐθεῖα τῇ ΕΑ, τουτέστι τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ εὐθεῖα τῇ ΑΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐστιν ἴση. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΕ καὶ τοῦ ΑΒΘ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΘΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΘ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΘ. ἴση δὲ ἡ ΒΑ τῇ ΕΘ· ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΕ τῆς ΕΘ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΘΒ. ἡ ΒΕ ἅρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΘΕ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμα ἡ ΓΘ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[8]

Ty låt de räta linjerna ΑΓ och ΒΕ, som skär varandra vid punkten Θ, spänna upp de två vinklarna i rad vid Α och Β i den liksidiga och likvinkliga femhörningen ΑΒΓΔΕ. Jag säger, att var och en av dem har skurits i yttersta och mellersta förhållandet vid punkten Θ och de större snitten av dem är lika med femhörningens sida.

Ty låt cirkeln ΑΒΓΔΕ ha skrivits om femhörningen ΑΒΓΔΕ.Prop. 4.14 Och eftersom de två räta linjerna ΕΑ och ΑΒ är lika med de två ΑΒ och ΒΓ och spänner upp lika vinklar, är alltså basen ΒΕ lika med basen ΑΓ, triangeln ΑΒΕ är lika med triangeln ΑΒΓ och resterande vinklar skall vara lika med resterande vinklar, var och en med var och en, vilka spänns upp av lika sidor.Prop. 1.4 Alltså är vinkeln ΒΑΓ lika med vinkeln ΑΒΕ, alltså är vinkeln ΑΘΕ dubbla ΒΑΘ.Prop. 1.32 Och även ΕΑΓ är dubbla ΒΑΓ, eftersom även cirkelbågen ΕΔΓ är dubbla cirkelbågen ΓΒ,Prop. 3.28 Prop. 6.33 alltså är vinkeln ΘΑΕ lika med vinkeln ΑΘΕ, så att också den räta linjen ΘΕ är lika med ΕΑ, det vill säga är lika med ΑΒ.Prop. 1.6 Och eftersom den räta linjen ΒΑ är lika med ΑΕ, är även vinkeln ΑΒΕ lika med ΑΕΒ.Prop. 1.5 Men ΑΒΕ har visats vara lika med ΒΑΘ, alltså är även ΒΕΑ lika med ΒΑΘ. Och vinkeln ΑΒΕ är gemensam för de två trianglarna ΑΒΕ och ΑΒΘ, alltså är resterande vinkel ΒΑΕ lika med resterande ΑΘΒ,Prop. 1.32 alltså är triangeln ΑΒΕ likvinklig med triangeln ΑΒΘ. Alltså proportionellt som ΕΒ är till ΒΑ, så är ΑΒ till ΒΘ.Prop. 6.4 Och ΒΑ är lika med ΕΘ, alltså som ΒΕ är till ΕΘ, så är ΕΘ till ΘΒ. Och ΒΕ är större än ΕΘ, alltså är även ΕΘ större än ΘΒ. Alltså har ΒΕ delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Θ och det större snittet ΘΕ är lika med femhörningens sida. På samma sätt skall vi visa, att även ΑΓ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Θ och att dess större snitt ΓΘ är lika med femhörningens sida. Vilket skulle visas.

θʹ.

Ἐὰν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων συντεθῶσιν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά.

9.

Om sidan av en sexhörning och en tiohörning inskrivna i samma cirkel sätts samman, har hela den räta linjen skurits i yttersta och mellersta förhållandet och dess större snitt är sexhörningens sida.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τῶν εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐγγραφομένων σχημάτων, δεκαγώνου μὲν ἔστω πλευρὰ ἡ ΒΓ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἔστωσαν ἐπ᾿ εὐθείας· λέγω, ὅτι ἡ ὅλη εὐθεῖα ἡ ΒΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΔ.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ ἐπὶ τὸ Α. ἐπεὶ δεκαγώνου ἰσοπλεύρον πλευρά ἐστιν ἡ ΒΓ, πενταπλασίων ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΓ περιφερείας· τετραπλασίων ἄρα ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΓΒ. ὡς δὲ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΕΒ· τετραπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ εὐθεῖα τῇ ΓΔ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον ~~ἐγγραφομένου~~· ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ γωνίᾳ· διπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΓΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΓ. ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ διπλασία ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΑΕΓ· τετραπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΓ τετραπλασία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΓ τῇ ὑπὸ ΒΕΓ. κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΒΕΓ καὶ τοῦ ΒΕΔ, ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΔ τῇ ὑπὸ ΕΓΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἴση δὲ ἡ ΕΒ τῇ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΔ τῆς ΔΓ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΔΓ τῆς ΓΒ. ἡ ΒΔ ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται ~~κατὰ τὸ Γ~~, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἐστιν ἡ ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[9]

Låt ΑΒΓ vara en cirkel och av de i cirkeln ΑΒΓ inskrivna figurerna är tiohörningens sida ΒΓ och sexhörningens ΓΔ. Låt dem även ligga i linje. Jag säger, att hela den räta linjen ΒΔ har skurits i yttersta och mellersta förhållandet och dess större snitt är ΓΔ.

Ty låt cirkelns medelpunkt Ε ha funnits,Prop. 3.1 låt ΕΒ, ΕΓ och ΕΔ ha förbundits och låt ΒΕ ha dragits ut till Α. Eftersom ΒΓ är sidan av en liksidig tiohörning, är alltså cirkelbågen ΑΓΒ fem gånger cirkelbågen ΒΓ, alltså är cirkelbågen ΑΓ fyra gånger ΓΒ. Och som cirkelbågen ΑΓ är till ΓΒ, så är vinkeln ΑΕΓ till ΓΕΒ.Prop. 6.33 Alltså är vinkeln ΑΕΓ fyra gånger ΓΕΒ. Och eftersom vinkeln ΕΒΓ är lika med ΕΓΒ,Prop. 1.5 är alltså vinkeln ΑΕΓ dubbla ΕΓΒ.Prop. 1.32 Och eftersom den räta linjen ΕΓ är lika med ΓΔ, ty var och en av dem är lika med sidan av sexhörningen ~~inskriven~~ i cirkeln ΑΒΓ,Prop. 4.15 cor. och vinkeln ΓΕΔ är lika med vinkeln ΓΔΕ, är alltså vinkeln ΕΓΒ dubbla ΕΔΓ.Prop. 1.32 Men ΑΕΓ har visats vara dubbla ΕΓΒ, alltså är ΑΕΓ fyra gånger ΕΔΓ. Och ΒΕΓ har även visats vara fyra gånger ΑΕΓ, alltså är ΕΔΓ lika med ΒΕΓ. Och vinkeln ΕΒΔ är gemensam för de två trianglarna ΒΕΓ och ΒΕΔ, alltså är resterande vinkel ΒΕΔ lika med resterande vinkel ΕΓΒ.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΕΒΔ likvinklig med triangeln ΕΒΓ. Alltså proportionellt som ΔΒ är till ΒΕ, så är ΕΒ till ΒΓ.Prop. 6.4 Och ΕΒ är lika med ΓΔ. Alltså som ΒΔ är till ΔΓ, så är ΔΓ till ΓΒ. Och ΒΔ är större än ΔΓ, alltså är även ΔΓ större än ΓΒ.Prop. 5.14 Alltså har den räta linjen ΒΔ delats i yttersta och mellersta förhållandet ~~vid Γ~~ och ΔΓ är dess större snitt. Vilket skulle visas.

ιʹ.

Ἐὰν εἰς κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.

10.

Om en liksidig femhörning skrivs in i en cirkel, är femhörningens sida i kvadrat lika med^A A) i kvadrat lika med innebär kvadraten på den ena är lika med summan av kvadraterna på de andra. sexhörningens och tiohörningens, inskrivna i samma cirkel.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ, καὶ εἰς τὸ ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ. λέγω, ὅτι ἡ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου πλευρὰν τῶν εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον ἐγγραφομένων.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεὶον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΘ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΛ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΕΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ, καὶ κάθετος ἡ ΖΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΖΒ. ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση· διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας· δεκαγώνου ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ ΑΚ εὐθεῖα. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας, ἴση δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας. ἔστι δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια καὶ τῆς ΓΗ διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια τῇ ΒΚ περιφερείᾳ. ἀλλὰ ἡ ΒΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΑ· καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας ἐστὶ διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῇ ΒΑ. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΗΒ περιφέρεια τῆς ΒΜ ἐστι διπλῆ· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΖΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΖΜ ~~ἐστι~~ διπλῆ. ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ καὶ τῆς ὑπὸ ΖΑΒ διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΖ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΑΒ ἐστιν ἴση. κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΑΒΖ καὶ τοῦ ΒΖΝ, ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΝΖ ἐστιν ἴση· ἴσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΖΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ΛΚ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΛΝ, βάσις ἄρα ἡ ΚΝ βάσει τῇ ΑΝ ἐστιν ἴση· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΝ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΛΑΝ τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΚΒ καὶ τοῦ ΑΚΝ ἡ πρὸς τῷ Α. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΝΑ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΑ τρίγωνον τῷ ΚΝΑ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑΝ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ πενταγώνου πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΑΚ δεκαγώνου.

Ἡ ἄρα τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[10]

Låt ΑΒΓΔΕ vara en cirkel låt femhörningen ΑΒΓΔΕ ha skrivits in i cirkeln ΑΒΓΔΕ. Jag säger, att femhörningen ΑΒΓΔΕ:s sida i kvadrat är sexhörningens och tiohörningens, inskrivna i cirkeln ΑΒΓΔΕ.

Ty låt cirkelns medelpunkt, punkten Ζ, ha funnits,Prop. 3.1 låt ΑΖ, som förbundits, ha dragits ut till punkten Η, låt ΖΒ ha förbundits, låt normalen ΖΘ ha dragits från Ζ på ΑΒ och låt den ha dragits ut till Κ, låt ΑΚ och ΚΒ ha förbundits och låt åter normalen ΖΛ ha dragits från Ζ på ΑΚ och låt den ha dragits ut till Μ samt låt ΚΝ ha förbundits. Eftersom cirkelbågen ΑΒΓΗ är lika med cirkelbågen ΑΕΔΗ, av vilka ΑΒΓ är lika med ΑΕΔ, alltså är resterande cirkelbåge ΓΗ lika med resterande cirkelbåge ΗΔ. ΓΔ är femhörningens sida, alltså är ΓΗ tiohörningens. Och eftersom ΖΑ är lika med ΖΒ och ΖΘ är en normal, är alltså även vinkeln ΑΖΚ lika med ΚΖΒ.Prop. 1.5 Prop. 1.26 Så att även cirkelbågen ΑΚ är lika med ΚΒ,Prop. 3.26 alltså är cirkelbågen ΑΒ dubbla cirkelbågen ΒΚ. Alltså är den räta linjen ΑΚ tiohörningens sida. Av samma skäl är ΑΚ också dubbla ΚΜ. Och eftersom cirkelbågen ΑΒ är dubbla cirkelbågen ΒΚ, är cirkelbågen ΓΔ lika med cirkelbågen ΑΒ, alltså är även cirkelbågen ΓΔ dubbla cirkelbågen ΒΚ. Och cirkelbågen ΓΔ är även dubbla ΓΗ, alltså är cirkelbågen ΓΗ lika med cirkelbågen ΒΚ. Men ΒΚ är dubbla ΚΜ, då så även ΚΑ, och alltså är ΓΗ dubbla ΚΜ. Men även cirkelbågen ΓΒ är dubbla cirkelbågen ΒΚ, ty cirkelbågen ΓΒ är lika med ΒΑ. Och alltså är hela cirkelbågen ΗΒ dubbla ΒΜ, så att även vinkeln ΗΖΒ är dubbla vinkeln ΒΖΜ.Prop. 6.33 Och även ΗΖΒ är dubbla ΖΑΒ, ty ΖΑΒ är lika med ΑΒΖ. Och alltså är ΒΖΝ lika med ΖΑΒ. Och vinkeln ΑΒΖ är gemensam för de två trianglarna ΑΒΖ och ΒΖΝ, alltså är resterande vinkel ΑΖΒ lika med resterande vinkel ΒΝΖ,Prop. 1.32 alltså är triangeln ΑΒΖ likvinklig med ΒΖΝ. Alltså proportionellt som den räta linjen ΑΒ är till ΒΖ, så är ΖΒ till ΒΝ,Prop. 6.4 alltså är rektangeln omsluten av ΑΒΝ lika med kvadraten på ΒΖ.Prop. 6.17 Åter, eftersom ΑΛ är lika med ΛΚ och ΛΝ är gemensam och i rät vinkel, är alltså basen ΚΝ lika med basen ΑΝ.Prop. 1.4 Och alltså är vinkeln ΛΚΝ lika med vinkeln ΛΑΝ. Men vinkeln ΛΑΝ är lika med ΚΒΝProp. 3.29 Prop. 1.5 och alltså är ΛΚΝ lika med ΚΒΝ. Och vinkeln vid Α är gemensam för de två trianglarna ΑΚΒ och ΑΚΝ. Alltså är resterande vinkel ΑΚΒ lika med resterande ΚΝΑ,Prop. 1.32 alltså är triangeln ΚΒΑ likvinklig med triangeln ΚΝΑ. Alltså proportionellt som den räta linjen ΒΑ är till ΑΚ, så är ΚΑ till ΑΝ,Prop. 6.4 alltså är rektangeln omsluten av ΒΑΝ lika med kvadraten på ΑΚ.Prop. 6.17 Och rektangeln omsluten av ΑΒΝ har visats vara lika med kvadraten på ΒΖ. Alltså är rektangeln omsluten av ΑΒΝ med den omsluten av ΒΑΝ, vilken är kvadraten på ΒΑ,Prop. 2.2 lika med kvadraten på ΒΖ med den på ΑΚ. Och ΒΑ är femhörningens sida, ΒΖ sexhörningensProp. 4.14 cor. och ΑΚ tiohörningens.

Alltså är femhörningens sida i kvadrat lika med sexhörningens och tiohörningens, inskrivna i samma cirkel. Vilket skulle visas.

ιαʹ.

Ἐὰν εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.

11.

Om en liksidig femhörning skrivs in i en cirkel, som har en uttryckbar diameter, är femhörningens sida den irrational, som kallas den mindre.

Εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔΕ ῥητὴν ἔχοντα τὴν δίαμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ· λέγω, ὅτι ἡ τοῦ ~~ΑΒΓΔΕ~~ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ καὶ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῆς ΑΖ τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΚ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΖ ῥητή· ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ ῥητή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΔ, συνάγονται ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Λ γωνίαι, καὶ διπλῆ ἡ ΓΔ τῆς ΓΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τῷ Μ ὀρθαί εἰσιν, καὶ διπλῆ ἡ ΑΓ τῆς ΓΜ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΜΖ, κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΓΛ καὶ τοῦ ΑΜΖ ἡ ὑπὸ ΛΑΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΛ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΜΖΑ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓΛ τρίγωνον τῷ ΑΜΖ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΖΑ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια· ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ. ὡς δὲ ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΑ· καὶ τῶν ἑπομένων τὰ ἡμίσεα· ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὸ τέτατρον τῆς ΖΑ. καί ἐστι τῆς μὲν ΛΓ διπλῆ ἡ ΔΓ, τῆς δὲ ΓΑ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τῆς δὲ ΖΑ τέτατρον μέρος ἡ ΖΚ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΚ. συνθέντι καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΔΓΜ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς ΚΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΓΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ τῆς ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πενταγώνου ὑποτεινούσης, οἷον τῆς ΑΓ, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ, τουτέστι τῇ ΔΓ, τὸ δὲ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλῆς πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης, καί ἐστιν ὅλης τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΜ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΜ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ· πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ· ῥητὴ γὰρ ἡ διάμετρος· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΚ ~~δυνάμει μόνον~~. καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΚ, πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῆς ΚΖ· εἰκοσιπενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ· πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΜ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΜ μήκει. καί ἐστι ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν. αἱ ΒΚ, ΚΜ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἐὰν δὲ ἀπὸ ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν ἀποτομή· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΜΚ. λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη. ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Ν· ἡ ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῇ Ν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΖ τῇ ΖΒ, καὶ συνθέντι σύμμετρός ἐστι ἡ ΚΒ τῇ ΖΒ. ἀλλὰ ἡ ΒΖ τῇ ΒΘ σύμμετρός ἐστιν· καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΘ σύμμετρός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ λόγον ἔχει, ὃν $\bar{ε}$ πρὸς ἕν. ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ν λόγον ἔχει, ὃν $\bar{ε}$ πρὸς $\bar{δ}$ , οὐχ ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ Ν· ἡ ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΒΚ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ὅλη ἡ ΒΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΒΘ, ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ ΜΒ. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐλάττων. δύναται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΒΜ ἡ ΑΒ διὰ τὸ ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΘ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΑΒΜ τριγώνῳ καὶ εἶναι ὡς τὴν ΘΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΜ.

Ἡ ἄρα ΑΒ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[11]

Ty låt den liksidiga femhörningen ΑΒΓΔΕ skrivas in i cirkeln ΑΒΓΔΕ, som har en uttryckbar diameter. Jag säger, att femhörningen ~~ΑΒΓΔΕ~~:s sida är den irrational, som kallas den mindre.

Ty låt cirkelns medelpunkt, punkten Ζ, ha funnits,Prop. 3.1 låt ΑΖ och ΖΒ ha förbundits och ha dragits ut till punkterna Η och Θ. Låt även ΑΓ ha förbundits och låt ΖΚ ha satts till en fjärdedel av ΑΖ. Och ΑΖ är uttryckbar, alltså är även ΖΚ utryckbar. Och även ΒΖ är uttryckbar, alltså är hela ΒΚ uttryckbar. Och eftersom cirkelbågen ΑΓΗ är lika med cirkelbågen ΑΔΗ, av vilka ΑΒΓ är lika med ΑΕΔ, alltså är resterande ΓΗ lika med resterande ΗΔ. Och om vi förbinder ΑΔ, följer att vinklarna vid Λ är räta och ΓΔ är dubbla ΓΛ.Prop. 1.4 Av samma skäl är även vinklarna vid Μ räta och ΑΓ dubbla ΓΜ. Eftersom då vinkeln ΑΛΓ är lika med ΑΜΖ och vinkeln är gemensam för de två trianglarna ΑΓΛ och ΑΜΖ, är alltså resterande vinkel ΑΓΛ lika med resterande vinkel ΜΖΑ,Prop. 1.32 alltså är triangeln ΑΓΛ likvinklig med triangeln ΑΜΖ. Alltså proportionellt som ΛΓ är till ΓΑ, så är ΜΖ till ΖΑProp. 6.4 - och de föregående dubbla - alltså som dubbla ΛΓ är till ΓΑ, så är dubbla ΜΖ till ΖΑ. Och som dubbla ΜΖ är till ΖΑ, så är ΜΖ till halva ΖΑ, och alltså som dubbla ΛΓ till ΓΑ, så är ΜΖ till halva ΖΑ - och de efterföljande halva - alltså som dubbla ΛΓ är till halva ΓΑ, så är ΜΖ till en fjärdedel av ΖΑ. Och ΔΓ är dubbla ΛΓ och ΓΜ halva ΓΑ samt ΖΚ en fjärdedel av ΖΑ, alltså som ΔΓ är till ΓΜ, så är ΜΖ till ΖΚ. Och genom komposition som ΔΓΜ sammanlagd är till ΓΜ, så är ΜΚ till ΚΖ,Prop. 5.18 alltså som kvadraten på ΔΓΜ sammanlagd till kvadraten på ΓΜ, så är kvadraten på ΜΚ till den på ΚΖ. Och eftersom det större snittet av den räta linjen, som spänns upp av två sidor i en femhörning, såsom ΑΓ, skuren i yttersta och mellersta förhållande, är lika med sidan i en femhörning,Prop. 13.8 det vill säga ΔΓ Och det större snittet lagt till halva det hela är i kvadrat fem gånger kvadraten på halva det hela.Prop. 13.1 Och ΓΜ är hälften av hela ΑΓ, alltså är kvadraten på ΔΓΜ, som en rät linje, är fem gånger kvadraten på ΓΜ. Och som kvadraten på ΔΓΜ, som en rät linje, är till den på ΓΜ, så har kvadraten på ΜΚ visats vara till den på ΚΖ. Alltså är kvadraten på ΜΚ fem gånger den på ΚΖ. Och kvadraten på ΚΖ är uttryckbar, ty diametern är uttryckbar, alltså är även kvadraten på ΜΚ uttryckbar, alltså är ΜΚ ~~endast i kvadrat~~ uttryckbar. Och eftersom ΒΖ är fyra gånger ΖΚ, är alltså ΒΚ fem gånger ΚΖ. Alltså är kvadraten på ΒΚ tjugofem gånger den på ΚΖ. Och kvadraten på ΜΚ är fem gånger den på ΚΖ, alltså är kvadraten på ΒΚ fem gånger den på ΚΜ. Alltså har inte kvadraten på ΒΚ ett förhållande till den på ΚΜ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΒΚ inkommensurabel i längd med ΚΜ.Prop. 10.9 Och var och en av dem är uttryckbar. Alltså är ΒΚ och ΚΜ räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Och om från en uttryckbar rät linje en uttryckbar rät linje dras, som endast är kommensurabel i kvadrat med den hela, är resten en irrationell rät linje kallad apotome.Prop. 10.73 Alltså är ΜΒ en apotome och ΜΚ är passande till den. Jag säger så, att den också är den fjärde. Så med det kvadraten på ΒΚ är större än den på ΚΜ, låt kvadraten på Ν vara lika med detta. Alltså är ΒΚ större i kvadrat än ΚΜ med Ν. Och eftersom ΚΖ är kommensurabel med ΖΒ, är genom komposition även ΚΒ kommensurabel med ΖΒ.Prop. 10.15 Men ΒΖ är kommensurabel med ΒΘ och alltså är ΒΚ kommensurabel med ΒΘ.Prop. 10.12 Och eftersom kvadraten på ΒΚ är fem gånger den på ΚΜ, har alltså kvadraten på ΒΚ ett förhållande till den på ΚΜ, som 5 till ett. Alltså, genom omvändning, har kvadraten på ΒΚ ett förhållande till den på Ν, som 5 till 4,Prop. 5.19 cor. vilket inte är som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΒΚ inkommensurabel med ΝProp. 10.9 och alltså är ΒΚ större i kvadrat än ΚΜ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den. Eftersom då hela ΒΚ är större i kvadrat än den passande räta linjen ΚΜ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den och hela ΒΚ är kommensurabel med den utsatta utryckbara räta linjen ΒΘ, alltså är ΜΒ en fjärde apotome.Def. 10.3.4 Och en rektangel omsluten av en uttryckbar och en fjärde apotome är irrationell och dess möjliggörare är den irrational, som kallas den mindre.Prop. 10.94 Och ΑΒ möjliggör rektangeln omsluten av ΘΒΜ, genom förbindandet av ΑΘ blir triangeln ΑΒΘ likvinklig med triangeln ΑΒΜProp. 6.8 och som ΘΒ är till ΒΑ, så är ΑΒ till ΒΜ.

Alltså är femhörningens sida ΑΒ den irrational, som kallas den mindre. Vilket skulle visas.

ιβʹ.

Ἐὰν εἰς κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.

12.

Om en liksidig triangel skrivs in i en cirkel, är triangelns sida i kvadrat tre gånger cirkelns radie.

Ἐστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μία πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ. Καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἡ ΒΕΓ ἄρα περιφέρεια τρίτον μέρος ἐστὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας. ἡ ἄρα ΒΕ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ μέρος τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας· ἑξαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ εὐθεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΕ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ, τετραπλάσιον ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. διελόντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΔΕ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ.

Ἡ ἄρα τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ~~τοῦ κύκλου~~· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[12]

Låt ΑΒΓ vara en cirkel och ΑΒΓ en i den inskriven liksidig triangel.Prop. 4.2 Jag säger, att en sida av triangeln ΑΒΓ är i kvadrat tre gånger cirkeln ΑΒΓ:s radie.

Ty låt cirkelns medelpunkt, punkten Δ, ha funnits,Prop. 3.1 låt den förbundna ΑΔ ha dragits ut till Ε och låt ΒΕ ha förbundits. Och eftersom ΑΒΓ är en liksidig triangel, är alltså cirkelbågen ΒΕΓ en tredjedel av cirkeln ΑΒΓ:s omkrets. Alltså är cirkelbågen ΒΕ en sjättedel av cirkelns omkrets, alltså är den räta linjen ΒΕ sidan av en sexhörning, alltså är den lika med radien ΔΕ.Prop. 4.15 cor. Och eftersom ΑΕ är dubbla ΔΕ, är kvadraten på ΑΕ fyra gånger den på ΕΔ, det vill säga den på ΒΕ. Och kvadraten på ΑΕ är lika med dem på ΑΒ och ΒΕ,Prop. 3.31 Prop. 1.47 alltså är de på ΑΒ och ΒΕ fyra gånger den på ΒΕ. Alltså är genom separation kvadraten på ΑΒ tre gånger den på ΒΕ. Och ΒΕ är lika med ΔΕ, alltså är kvadraten på ΑΒ tre gånger den på ΔΕ.

Alltså är triangelns sida i kvadrat tre gånger ~~cirkelns~~ radie. Vilket skulle visas.

ιγʹ.

Πυραμίδα συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.

13.

Att ställa upp en pyramid^B B) I marginalen på ett av manuskripten finns ἐκ τεσσάρων τριγώνων ἰσοπλεύρων. Det rör sig alltså om en regelbunden tetraeder. och omsluta den med en given sfär och visa, att sfärens diameter i kvadrat är halvannan sida av pyramiden.

Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας δίαμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ· καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΑ· καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΕΖΗ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΓ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗ κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΕΖΗ· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ, ΘΖ, ΘΗ· καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Θ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΘΚ τῇ ΑΓ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΚΘ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκάστη τῶν ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ· ἡ ΘΚ ἄρα πρὸς ἑκάστη τῶν ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, καὶ ὀρθὰς γωνίας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΚΕ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΚΖ, ΚΗ τῇ ΔΑ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται. τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΘ τριπλάσιον, καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΓ τῇ ΕΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΑ τῇ ΕΖ. ἀλλὰ ἡ ΔΑ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΕ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐστιν ἴση· ἰσόπλευρα ἄρα ἐστὶ τὰ τέσσαρα τρίγωνα τὰ ΕΖΗ, ΚΕΖ, ΚΖΗ, ΚΕΗ. πυραμὶς ἄρα συνέσταται ἐκ τεσσάρων τριγώνων ἰσοπλέυρων, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΖΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον.

Δεῖ δὴ αὐτὴν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπ᾿ εὐθείας τῇ ΚΘ εὐθεῖα ἡ ΘΛ, καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΘΛ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΘΛ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΚΘΕ, ΕΘΛ γωνιῶν· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΛ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε ἐπειδήπερ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΛ, ὀρθὴ γίνεται ἡ ὑπὸ ΛΕΚ γωνία διὰ τὸ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΕΛΚ τρίγωνον ἑκατέρῳ τῶν ΕΛΘ, ΕΘΚ τριγώνων. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΛ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η σημείων ἐπιζευγνυμένων τῶν ΖΛ, ΛΗ καὶ ὀρθῶν ὁμοίως γινομένων τῶν πρὸς τοῖς Ζ, Η γωνιῶν· καὶ ἔσται ἡ πυραμὶς σφαίρᾳ περιειλημμένη τῇ δοθείσῇ. ἡ γὰρ ΚΛ τῆς σφαίρας διάμετρος ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμετρῳ τῇ ΑΒ, ἐπειδήπερ τῇ μὲν ΑΓ ἴση κεῖται ἡ ΚΘ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΘΛ.

Λέγω δή, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.

Ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ· ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἐπειδήπερ ἐπιζευγνμένης τῆς ΔΒ ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΓ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΔΑΒ, ΔΑΓ τριγώνων, καὶ εἶναι ὡς τὴν πρώτην πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας. ἡμιόλιον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος, ἡ δὲ ΑΔ ἴση τῇ πλευρᾷ τῆς πυραμίδος.

Ἡ ἄρα τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Δεικτέον, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ.

Låt den givna sfärens diameter ΑΒ ha satts ut och låt den ha delats vid punkten Γ, så att ΑΓ är dubbla ΓΒ.Prop. 6.10 Låt även halvcirkeln ΑΔΒ ha ritats på ΑΒ, låt ΓΔ ha dragits ut från punkten Γ vinkelrät mot ΑΒ, låt ΔΑ ha förbundits, låt cirkeln ΕΖΗ ha satts ut med radien lika med ΔΓ och låt den liksidiga triangeln ΕΖΗ ha skrivits in i cirkeln ΕΖΗ.Prop. 4.2 Låt även cirkelns medelpunkt Θ ha funnitsProp. 3.1 och låt ΕΘ, ΘΖ och ΘΗ ha förbundits. Låt även ΘΚ ha rests från punkten Θ vinkelrät mot cirkeln ΕΖΗ:s plan,Prop. 11.12 låt ΘΚ, lika med den räta linjen ΑΓ, ha dragits bort från ΘΚ och låt ΚΕ, ΚΖ och ΚΗ ha förbundits. Och eftersom ΚΘ är vinkelrät mot cirkeln ΕΖΗ:s plan, är den alltså även i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i cirkeln ΕΖΗ:s plan.Def. 11.3 Och var och en av ΘΕ, ΘΖ och ΘΗ förbinds med den, alltså är ΘΚ vinkelrät mot var och en av ΘΕ, ΘΖ och ΘΗ. Och eftersom ΑΓ är lika med ΘΚ och ΓΔ med ΘΕ samt omsluter räta vinklar, är alltså basen ΔΑ lika med basen ΚΕ.Prop. 1.4 Av samma skäl är även var och en av ΚΖ och ΚΗ lika med ΔΑ, alltså är de tre ΚΕ, ΚΖ och ΚΗ lika med varandra. Och eftersom ΑΓ är dubbla ΓΒ, är alltså ΑΒ trippla ΒΓ. Och som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΑΔ till den på ΔΓ, vilket skall visas härnäst.Prop. 13.13 lem. Alltså är kvadraten på ΑΔ tre gånger den på ΔΓ. Och även kvadraten på ΖΕ är tre gånger den på ΕΘProp. 13.12 och ΔΓ är lika med ΕΘ, alltså är även ΔΑ lika med ΕΖ. Men ΔΑ har visats vara lika med var och en av ΚΕ, ΚΖ och ΚΗ, alltså är även var och en av ΕΖ, ΖΗ och ΗΕ lika med var och en av ΚΕ, ΚΖ och ΚΗ, alltså är de fyra trianglarna ΕΖΗ, ΚΕΖ, ΚΖΗ och ΚΕΗ liksidiga. Alltså har en pyramid rests av fyra liksidiga trianglar, vars bas är triangeln ΕΖΗ och vars spets är punkten Κ.

Så skall även den givna sfären omsluta den och det skall visas, att sfärens diameter i kvadrat är halvannan sida av pyramiden.

Ty låt den räta linjen ΘΛ ha dragits ut i linje med ΚΘ och låt ΘΛ ha satts lika med ΓΒ. Och då som ΑΓ är till ΓΔ, så är ΓΔ till ΓΒ,Prop. 6.8 cor. samt ΑΓ är lika med ΚΘ, ΓΔ med ΘΕ och ΓΒ med ΘΛ, alltså som ΚΘ är till ΘΕ, så är ΕΘ till ΘΛ, alltså är rektangeln omsluten av ΚΘ och ΘΛ lika med kvadraten på ΕΘ.Prop. 6.17 Och var och en av vinklarna ΚΘΕ och ΕΘΛ är rät, alltså skall halvcirkeln ritad på ΚΛ även gå genom Ε ~~eftersom om vi förbundit ΕΛ, blir vinkeln ΛΕΚ rät, genom att triangeln ΕΛΚ blir likvinklig med var och en av trianglarna ΕΛΘ och ΕΘΚProp. 6.8 Prop. 3.31~~. Om då medan ΚΛ hålls kvar, halvcirkeln förts runt och åter har ställts i samma läge, varifrån den började att vridas, skall den även gå genom punkterna Ζ och Η, sedan ΖΛ och ΛΗ förbinds är vinklarna vid Ζ och Η på samma sätt räta, och pyramiden skall vara omsluten av den givna sfären. Ty sfärens diameter ΚΛ är lika med den givna sfärens diameter ΑΒ, eftersom ΚΘ är satt lika med ΑΓ och ΘΛ med ΓΒ.

Jag säger så, att sfärens diameter i kvadrat är halvannan sida av pyramiden.

Ty eftersom ΑΓ är dubbla ΓΒ, är alltså ΑΒ trippla ΒΓ, alltså, genom omvändning, är ΒΑ halvannan ΑΓ. Och som ΒΑ är till ΑΓ, så är kvadraten på ΒΑ till den på ΑΔ eftersom, sedan ΔΒ förbundits, som ΒΑ är till ΑΔ, så är ΔΑ till ΑΓ, på grund av trianglarna ΔΑΒ och ΔΑΓ:s likformighet, och som den första är till den tredje, så är kvadraten på den första till den på den andra. Alltså är även kvadraten på ΒΑ halvannan den på ΑΔ. Och ΒΑ är den givna sfärens diameter och ΑΔ är lika med pyramidens sida.

Alltså är sfärens diameter i kvadrat är halvannan sida av pyramiden. Vilket skulle visas.

Hjälpsats.

Det bör visas, att som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΑΔ till den på ΔΓ.

Ἐκκείσθω γὰρ ἡ τοῦ ἡμικυκλίου καταγραφή, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον τὸ ΕΓ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΑΓ τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΕΒ πρὸς τὸ ΒΖ, καί ἐστι τὸ μὲν ΕΒ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ· ἴση γὰρ ἡ ΕΑ τῇ ΑΓ· τὸ δὲ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ἡ γὰρ ΔΓ κάθετος τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΓ, ΓΒ μέση ἀνάλογόν ἐστι διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΔΒ. ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[13]

Ty låt halvcirkelfiguren ha satts ut, låt ΔΒ ha förbundits, låt kvadraten ΕΓ ha ritats på ΑΓ och låt parallellogrammen ΖΒ ha fullbordats. Eftersom då, genom att triangeln ΔΑΒ är likvinklig med triangeln ΔΑΓ,Prop. 6.8 Prop. 6.4 som ΒΑ är till ΑΔ, så är ΔΑ till ΑΓ, alltså är rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΓ lika med kvadraten på ΑΔ.Prop. 6.17 Och då som ΑΒ är till ΒΓ, så är ΕΒ till ΒΖ,Prop. 6.1 samt ΕΒ är rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΓ, ty ΕΑ är lika med ΑΓ, och ΒΖ är rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, alltså som ΑΒ är till ΒΓ, så är rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΓ till den omsluten av ΑΓ och ΓΒ. Och rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΓ är lika med kvadraten på ΑΔ och rektangeln omsluten av ΑΓΒ är lika med kvadraten på ΔΓ, ty normalen ΔΓ är medelproportional till snitten av basen, ΑΓ och ΓΒ, på grund av att ΑΔΒ är rät.Prop. 6.8 cor. Alltså som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΑΔ till den på ΔΓ. Vilket skulle visas.

ιδʹ.

Ὀκτάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ πρότερα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ ὀκταέδρου.

14.

Att ställa upp en oktaedern och omsluta den med en sfär, som den tidigare, och visa, att sfärens diameter i kvadrat är dubbla sidan av oktaedern.

Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν τῇ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ, ΕΗ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἡ ΚΛ καὶ διήχθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ ἐπιπέδου ὡς ἡ ΚΜ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀφ᾿ ἑκατέρας τῶν ΚΛ, ΚΜ μιᾷ τῶν ΕΚ, ΖΚ, ΗΚ, ΘΚ ἴση ἑκατέρα τῶν ΚΛ, ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΕ, ΛΖ, ΛΗ, ΛΘ, ΜΕ, ΜΖ, ΜΗ, ΜΘ.Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΚΘ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΚΘ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΛΚΕ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΕΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΕ τῇ ΕΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΕΘ τρίγωνον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πλευραί, κορυφαὶ δὲ τὰ Λ, Μ σημεῖα, ἰσόπλευρόν ἐστιν· ὀκτάεδρον ἄρα συνέσταται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.

Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς.

Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς αἱ ΛΚ, ΚΜ, ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΛΜ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε. καὶ διὰ τὰ αὐτά, ἐὰν μενούσης τῆς ΛΜ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η, Θ σημείων, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ ὀκτάεδρον. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΜ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΛΕ βάσει τῇ ΕΜ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΕΜ γωνία· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ· ἴση γὰρ κεῖται ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΜ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος· ἡ ΛΜ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.

Περιείληπται ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ. καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[14]

Låt den givna sfärens diameter ΑΒ ha satts ut och låt den ha delats vid punkten Γ. Låt även halvcirkeln ΑΔΒ ha ritats på ΑΒ, låt ΓΔ ha dragits ut från Γ vinkelrät mot ΑΒ, låt ΔΒ ha förbundits, låt kvadraten ΕΖΗΘ ha satts ut, vilken har var sida lika med ΔΒ samt låt ΘΖ och ΕΗ ha förbundits. Låt även den räta linjen ΚΛ ha rests från punkten Κ vinkelrät mot kvadraten ΕΖΗΘ:s planProp. 11.12 och låt den ha dragits ut åt andra sidan av planet, som ΚΜ. Låt också var och en av ΚΛ och ΚΜ, lika med en av ΕΚ, ΖΚ, ΗΚ och ΘΚ, ha dragits bort från var och en av ΚΛ och ΚΜ, samt låt ΛΕ, ΛΖ, ΛΗ, ΛΘ, ΜΕ, ΜΖ, ΜΗ och ΜΘ ha förbundits. Och eftersom ΚΕ är lika med ΚΘ och vinkeln ΕΚΘ är rät, är alltså kvadraten på ΘΕ dubbla den på ΕΚ.Prop. 1.47 Åter, eftersom ΛΚ är lika med ΚΕ och vinkeln ΛΚΕ är rät, är alltså kvadraten på ΕΛ dubbla den på ΕΚ.Prop. 1.47 Och även kvadraten på ΘΕ har visats vara dubbla den på ΕΚ, alltså är kvadraten på ΛΕ lika med den på ΕΘ, alltså är ΛΕ lika med ΕΘ. Av samma skäl är även ΛΘ lika med ΘΕ, alltså är triangeln ΛΕΘ liksidig. På samma sätt skall vi visa, att också var och en av resterande trianglar, vars bas är kvadraten ΕΖΗΘ:s sidor och vars spetsar är punkterna Λ och Μ, är liksidiga. Alltså har en oktaeder ställts upp omsluten av åtta liksidiga trianglar.

Så skall även den givna sfären omsluta den och det skall visas, att sfärens diameter i kvadrat dubbla sidan av oktaedern.

Ty eftersom de tre ΛΚ, ΚΜ och ΚΕ är lika med varandra, går alltså halvcirkeln ritad på ΛΜ genom Ε. På grund av detsamma, om medan ΛΜ hålls kvar, halvcirkeln förts runt och åter har ställts i samma läge, varifrån den började att vridas, skall den även gå genom punkterna Ζ, Η och Θ, och oktaedern skall vara omsluten av sfären. Jag säger så, att den är det av den givna sfären. Ty eftersom ΛΚ är lika med ΚΜ, ΚΕ är gemensam och omsluter räta vinklar, är alltså basen ΛΕ lika med basen ΕΜ.Prop. 1.4 Och eftersom vinkeln ΛΕΜ är rät, ty den ligger i en halvcirkel,Prop. 3.31 är alltså kvadraten på ΛΜ dubbla den på ΛΕ.Prop. 1.47 Åter, eftersom ΑΓ är lika med ΓΒ, är ΑΒ dubbla ΒΓ. Och som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΑΒ till den på ΒΔ,Prop. 6.8 Def. 5.9 alltså är kvadraten på ΑΒ dubbla den på ΒΔ. Och även kvadraten på ΛΜ har visats vara dubbla den på ΛΕ. Och kvadraten på ΔΒ är lika med den på ΛΕ, ty ΕΘ har satts lika med ΔΒ. Alltså är även kvadraten på ΑΒ lika med den på ΛΜ, alltså är ΑΒ lika med ΛΜ. Och ΑΒ är den givna sfärens diameter, alltså är ΛΜ lika med den givna sfärens diameter.

Alltså omsluts oktaedern av den givna sfären och det har samtidigt visats, att sfärens diameter i kvadrat är dubbla sidan av oktaedern. Vilket skulle visas.

ιεʹ.

Κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὴν πυραμίδα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς.

15.

Att ställa upp en kub och omsluta den med en sfär, som den för pyramiden, och visa, att sfärens diameter i kvadrat är tre gånger sidan av kuben.

Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε διπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον τὴν πλευρὰν τῇ ΔΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ τῷ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἑκάστης τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ μιᾷ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ ἴση ἑκάστη τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ, ΝΚ· κύβος ἄρα συνέσταται ὁ ΖΝ ὑπὸ ἓξ τετραγώνων ἴσων περιεχόμενος. Δεῖ δὴ αὐτὸν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΚΗ, ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΗ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΚΕ ὀρθὴν εἶναι πρὸς τὸ ΕΗ ἐπίπεδον δηλαδὴ καὶ πρὸς τὴν ΕΗ εὐθεῖαν, τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΗ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΗΖ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΖΛ, ΖΕ, καὶ πρὸς τὸ ΖΚ ἄρα ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΖ· ὥστε καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΖΚ, ἡ ΗΖ ὀρθὴ ἔσται καὶ πρὸς τὴν ΖΚ· καὶ δὶα τοῦτο πάλιν τὸ ἐπὶ τῆς ΗΚ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ζ. ὁμοίως καὶ δὶα τῶν λοιπῶν τοῦ κύβου σημείων ἥξει. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΗ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένος ὁ κύβος. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΖΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΕΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ. καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΕ τριπλάσιον. καὶ κεῖται ἴση ἡ ΚΕ τῇ ΔΒ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ ΑΒ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος· καὶ ἡ ΚΗ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.

Τῇ δοθείσῃ ἄρα σφαίρα περιείληπται ὁ κύβος· καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[15]

Låt den givna sfärens diameter ΑΒ ha satts ut, låt den ha delats vid punkten Γ, så att ΑΓ är dubbla ΓΒ, och låt halvcirkeln ΑΔΒ ha ritats på ΑΒ. Låt även ΓΔ ha dragits ut från Γ vinkelrät mot ΑΒ och låt ΔΒ ha förbundits. Låt även kvadraten ΕΖΗΘ ha satts ut, vilken har var sida lika med ΔΒ, låt ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ och ΘΝ ha dragits från Ε, Ζ, Η och Θ vinkelrätt mot kvadraten ΕΖΗΘ:s plan. Låt även var och en av ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ och ΘΝ, lika med en av ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ och ΘΕ, ha dragits bort från var och en av ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ och ΘΝ samt låt ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ och ΝΚ ha förbundits. Alltså har kuben ΖΝ ställts upp omsluten av sex lika kvadrater. Så skall även den givna sfären omsluta den och det skall visas, att sfärens diameter i kvadrat tre gånger sidan av kuben.

Ty låt ΚΗ och ΕΗ ha förbundits. Och eftersom vinkeln ΚΕΗ är rät, på grund av att även ΚΕ är vinkelrät mot planet ΕΗ och uppenbarligen även mot den räta linjen ΕΗ,Def. 11.3 skall alltså halvcirkeln uppritad på ΚΗ gå genom punkten Ε. Åter, eftersom ΗΖ är vinkelrät mot var och en av ΖΛ och ΖΕ, är alltså ΗΖ vinkelrät mot planet ΖΚ,Prop. 11.4 så att, om vi sammanbundit ΖΚ, skall ΗΖ även vara vinkelrät mot ΖΚ, och på grund av detta skall även halvcirkeln uppritad på ΗΚ gå genom Ζ. På samma sätt skall den även gå genom resten av kubens punkter. Och om medan ΚΗ hålls kvar, halvcirkeln förts runt och åter har ställts i samma läge, varifrån den började att vridas, skall kuben vara omsluten av sfären. Jag säger så, att den även är den givna. Ty eftersom ΗΖ är lika med ΖΕ och vinkeln vid Ζ är rät, är alltså kvadraten på ΕΗ dubbla den på ΕΖ.Prop. 1.47 Och ΕΖ är lika med ΕΚ, alltså är kvadraten på ΕΗ dubbla den på ΕΚ, så att kvadraterna på ΗΕ och ΕΚ, det vill säga den på ΗΚ,Prop. 1.47 är tre gånger den på ΕΚ. Och eftersom ΑΒ är tre gånger ΒΓ och som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΑΒ till den på ΒΔ,Prop. 6.8 Def. 5.9 alltså är kvadraten på ΑΒ tre gånger den på ΒΔ. Och kvadraten på ΗΚ har även visats vara tre gånger den på ΚΕ. Och ΚΕ har satts lika med ΔΒ, alltså är även ΚΗ lika med ΑΒ. Och ΑΒ är den givna sfärens diameter, alltså är också ΚΗ lika med den givna sfärens diameter.

Alltså omsluts kuben av den givna sfären och det har samtidigt visats, att sfärens diameter i kvadrat är tre gånger sidan av kuben. Vilket skulle visas.

ιϛʹ.

Εἰκοσάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.

16.

Att ställa upp en ikosaeder och omsluta den med en sfär, som de omtalade figurerna, och visa, att ikosaederns sida är den irrational, som kallas den mindre.

Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε τετραπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ορθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΓΔ, καί ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΕΖΗΘΚ, οὗ ἡ ἐν τοῦ κέντρου ἴση ἔστω τῇ ΔΒ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΖΗΘΚ, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὸ Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, ΕΟ. ἴσόπλευρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜΝΞΟ πεντάγωνον, καὶ δεκαγώνου ἡ ΕΟ εὐθεῖα. καὶ ἀνεστάτωσαν ἄπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ, Κ σημείων τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι αἱ ΕΠ, ΖΡ, ΗΣ, ΘΤ, ΚΥ ἴσαι οὖσαι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΠ, ΠΛ, ΛΡ, ΡΜ, ΜΣ, ΣΝ, ΝΤ, ΤΞ, ΞΥ, ΥΟ, ΟΠ.

Låt den givna sfärens diameter ΑΒ ha satts ut och låt den ha delats vid punkten Γ, så att ΑΓ är fyra gånger ΓΒ. Låt även halvcirkeln ΑΔΒ ha ritats på ΑΒ, låt ΓΔ ha dragits ut från Γ vinkelrät mot ΑΒ och låt ΔΒ ha förbundits. Låt även cirkeln ΕΖΗΘΚ ha satts ut, vars radie är lika med ΔΒ, låt den liksidiga och likvinkliga femhörningen ΕΖΗΘΚ ha skrivits in i cirkeln ΕΖΗΘΚ,Prop. 4.11 låt cirkelbågarna ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ och ΚΕ ha delats i hälften vid punkterna Λ, Μ, Ν, Ξ och Ο samt låt ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ och ΕΟ ha förbundits. Alltså är även femhörningen ΛΜΝΞΟ liksidig och den räta linjen ΕΟ är en tiohörnings sida. Låt de räta linjerna ΕΠ, ΖΡ, ΗΣ, ΘΤ och ΚΥ, vilka är lika med cirkeln ΕΖΗΘΚ:s radie, ha rests vinkelräta mot cirkelns plan vid punkterna Ε, Ζ, Η, Θ och Κ. Låt även ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΠ, ΠΛ, ΛΡ, ΡΜ, ΜΣ, ΣΝ, ΝΤ, ΤΞ, ΞΥ, ΥΟ och ΟΠ ha förbundits.

καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΕΠ, ΚΥ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΚΥ. ἔστι δὲ αὐτῇ καὶ ἴση· αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπιζευγνύουσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἡ ΠΥ ἄρα τῇ ΕΚ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν. πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΕΚ· πενταγώνου ἄρα ἰσοπλεύρου καὶ ἡ ΠΥ τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ πενταγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου· ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΠΡΣΤΥ πεντάγωνον. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΕ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΕΟ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΕΟ, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΟ· ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΟΥ πενταγώνου ἐστὶ πλευρά. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΟΥ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΠΛΡ, ΡΜΣ, ΣΝΤ, ΤΞΥ ἰσόπλευρόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ πενταγώνου ἐδείχθη ἑκατέρα τῶν ΠΛ, ΠΟ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΟ πενταγώνου, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΛΟ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΛΡΜ, ΜΣΝ, ΝΤΞ, ΞΥΟ τριγώνων ἰσόπλευρόν ἐστιν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου τὸ Φ σημεῖον· καὶ ἀπὸ τοῦ Φ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΦΩ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ὡς ἡ ΦΨ, καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ, ΧΩ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΩ, ΠΧ, ΥΩ, ΕΦ, ΛΦ, ΛΨ, ΨΜ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΦΧ, ΠΕ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῇ ΠΕ. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι· καὶ αἱ ΕΦ, ΠΧ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἑξαγώνου δὲ ἡ ΕΦ· ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΠΧ. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΠΧΩ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΥΩ πενταγώνου ἐστίν, ἐπειδήπερ, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΦΚ, ΧΥ, ἴσαι καὶ ἀπεναντίον ἔσονται, καί ἐστιν ἡ ΦΚ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα ἑξαγώνου. ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΧΥ. δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΥΧΩ· πενταγώνου ἄρα ἡ ΥΩ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΥΩ τρίγωνον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ εὐθεῖαι, κορυφὴ δὲ τὸ Ω σημεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΦΨ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΦΨ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΨ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΜΦ οὖσαν ἑξαγώνου, συνάγεται καὶ ἡ ΜΨ πενταγώνου. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΨ τρίγωνον. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, κορυφὴ δὲ τὸ Ψ σημεὶον, ἰσόπλευρόν ἐστιν. συνέσταται ἄρα εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.

Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.

Ἐπεὶ γὰρ ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, ἡ ΦΩ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΦΧ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΦΧ τῇ ΦΕ, ἡ δὲ ΧΩ τῇ ΦΨ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΕ, οὕτως ἡ ΕΦ πρὸς τὴν ΦΨ. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΩΦΕ, ΕΦΨ γωνίαι· ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΩ εὐθεὶαν, ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΕΩ γωνία διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΨΕΩ, ΦΕΩ τριγώνων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ, ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς τὴν ΧΠ, οὕτως ἡ ΠΧ πρὸς τὴν ΧΩ. καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΠΨ, ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Π γωνία· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ δὶα τοῦ Π. καὶ ἐὰν μενούσης τῆς ΨΩ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π καὶ τῶν λοιπῶν σημείων τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ εἰκοσάεδρον. λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ. τετμήσθω γὰρ ἡ ΦΧ δίχα κατὰ τὸ α. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΦΩ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ ἔλασσον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΩΧ, ἡ ἄρα ΩΧ προσλαβοῦσα τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήματος τὴν Χα πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείζονος τμήματος· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ωα τοῦ ἀπὸ τῆς αΧ. καί ἐστι τῆς μὲν Ωα διπλῆ ἡ ΩΨ, τὴς δὲ αΧ διπλῆ ἡ ΦΧ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ. καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, πενταπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΦΧ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΦΧ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΨΩ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος· καὶ ἡ ΨΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ· τῇ ἄρα δοθείσῃ σφαίρᾳ περιείληπται τὸ εἰκοσάεδρον.

Λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. ἐπεὶ γὰρ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καί ἐστι δυνάμει πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ἑκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· ὥστε καὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ ῥητή ἐστιν. ἐὰν δὲ εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῃ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων. ἡ δὲ τοῦ ΕΖΗΘΚ πενταγώνου πλευρὰ ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐστίν. ἡ ἄρα τοῦ είκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ᾿ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται, καὶ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[16]

Och eftersom var och en av ΕΠ och ΚΥ är vinkelrät mot samma plan, är alltså ΕΠ parallell med ΚΥ.Prop. 11.6 Och är även lika med denna och räta linjer som förbinder såväl lika som parallella räta linjer på samma sida är också såväl lika som parallella.Prop. 1.33 Alltså är ΠΥ såväl lika som parallella med ΕΚ. Och ΕΚ tillhör en liksidig femhörning, alltså tillhör även ΠΥ en liksidig femhörning, den inskriven i cirkeln ΕΖΗΘΚ. Av samma skäl tillhör även var och en av ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ och ΤΥ en femhörning inskriven i cirkeln ΕΖΗΘΚ, alltså är femhörningen ΠΡΣΤΥ liksidig. Och ΠΕ tillhör en sexhörning, ΕΟ en tiohörning och vinkeln ΠΕΟ är rät, alltså tillhör ΠΟ en femhörnig, ty femhörningens sida är i kvadrat lika med sexhörningens och tiohörningens inskrivna i samma cirkel.Prop. 13.10 Av samma skäl är även ΟΥ en sida i en femhörning. Också ΠΥ tillhör en femhörningen, alltså är triangeln ΠΟΥ liksidig. Av samma skäl är även var och en av ΠΛΡ, ΡΜΣ, ΣΝΤ och ΤΞΥ liksidig. Och eftersom var och en av ΠΛ och ΠΟ har visats tillhöra en femhörning och även ΛΟ tillhör en femhörning, är alltså triangeln ΠΛΟ liksidig. Av samma skäl är även var och en av ΛΡΜ, ΜΣΝ, ΝΤΞ och ΞΥΟ en liksidig triangel. Låt cirkeln ΕΖΗΘΚ:s medelpunkt, punkten Φ, ha funnits,Prop. 3.1 låt ΦΩ ha rests från punkten Φ vinkelrät mot cirkeln ΕΖΗΘΚ:s plan och låt den ha dragits ut åt andra sidan av planet, som ΦΨ. Låt även ΦΧ, sexhörningens sida, ha dragits bort och var och en av ΦΨ och ΧΩ, tiohörningens sida. Låt även ΠΩ, ΠΧ, ΥΩ, ΕΦ, ΛΦ, ΛΨ och ΨΜ ha förbundits. Och eftersom var och en av ΦΧ och ΠΕ är vinkelrät mot cirkelns plan, är alltså ΦΧ parallell med ΠΕ.Prop. 11.6 Och de är även lika, alltså är även ΕΦ och ΠΧ lika och parallella.Prop. 1.33 Och ΕΦ tillhör en sexhörning, alltså tillhör även ΠΧ en sexhörning. Och eftersom ΠΧ tillhör en sexhörning, ΧΩ en tiohörning och vinkeln ΠΧΩ är rät,Def. 11.3 Prop. 1.29 tillhör ΠΩ alltså en femhörning.Prop. 13.10 Av samma skäl tillhör även ΥΩ en femhörning, eftersom, om vi förbundit ΦΚ och ΧΥ, skall de vara lika och motstående. Och ΦΚ är cirkelns radie, som är sexhörningens sida.Prop. 4.15 cor. Alltså tillhör även ΧΥ en sexhörning, ΧΩ en tiohörning och vinkeln ΥΧΩ är rät, alltså tillhör ΥΩ en femhörning. Och även ΠΥ tillhör en femhörning, alltså är triangeln ΠΥΩ liksidig. Av samma skäl är även var och en av de resterande trianglarna, vars baser är de räta linjerna ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ och ΤΥ och vars spetsar är punkten Ω, liksidiga. Åter, eftersom ΦΛ tillhör en sexhörning, ΦΨ en tiohörning och vinkeln ΛΦΨ är rät, tillhör alltså ΛΨ en femhörning.Prop. 13.10 Av samma skäl, om vi förbundit ΜΦ, sidan av en sexhörning, följer även sidan ΜΨ av en femhörning. Även ΛΜ tillhör en femhörning, alltså är triangeln ΛΜΨ liksidig. På samma sätt skall vi visa, att också var och en av de resterande trianglarna, vars baser är ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ och ΟΛ samt vars spetsar är punkten Ψ, är liksidiga. Alltså har en ikosaeder ställts upp omsluten av tjugo liksidiga trianglar.

Så skall även den givna sfären omsluta den och det skall visas, att ikosaederns sida är den irrational, som kallas den mindre.

Ty eftersom ΦΧ tillhör en sexhörning och ΧΩ en tiohörning, har alltså ΦΩ delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Χ och ΦΧ är dess större snitt.Prop. 13.9 Alltså som ΩΦ är till ΦΧ, så är ΦΧ till ΧΩ. Och ΦΧ är lika med ΦΕ och ΧΩ med ΦΨ, alltså som ΩΦ är till ΦΕ, så är ΕΦ till ΦΨ. Och vinklarna ΩΦΕ och ΕΦΨ är räta, om vi alltså förbundit den räta linjen ΕΩ, skall vinkeln ΨΕΩ vara rät på grund av vinklarna ΨΕΩ och ΦΕΩ:s likformighet.Prop. 6.8 Av samma skäl då som ΩΦ är till ΦΧ, så är ΦΧ till ΧΩ samt ΩΦ är lika med ΨΧ och ΦΧ med ΧΠ, alltså som ΨΧ är till ΧΠ, så är ΠΧ till ΧΩ. Och åter på grund av detta om vi förbundit ΠΨ, skall vinkeln vid Π vara rät, alltså skall halvcirkeln ritad på ΨΩ även gå genom Π.Prop. 3.31 Och om, medan ΨΩ hålls kvar, halvcirkeln förts runt och åter har ställts i samma läge, varifrån den började att vridas, skall den även gå genom Π och de resterande punkterna av ikosaedern och ikosaedern skall vara omsluten av sfären. Jag säger så, att den även är den givna. Ty låt ΦΧ ha delats i hälften vid α. Och eftersom den räta linjen ΦΩ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Χ och ΩΧ är dess mindre snitt, är alltså är ΩΧ lagd samman med det större snittet Χα i kvadrat fem gånger större än kvadraten på hälften av det större snittet,Prop. 13.3 Alltså är kvadraten på Ωα fem gånger större än den på αΧ. Och ΩΨ är dubbla Ωα och ΦΧ dubbla αΧ, alltså är kvadraten på ΩΨ fem gånger den på ΧΦ. Och eftersom ΑΓ är fyra gånger ΓΒ, är alltså ΑΒ fem gånger ΒΓ. Och eftersom ΑΓ är fem gånger ΓΒ, är alltså ΑΒ fem gånger ΒΓ. Och som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΑΒ till den på ΒΔ,Prop. 6.8 Def. 5.9 alltså är kvadraten på ΑΒ fem gånger den på ΒΔ. Och även kvadraten på ΩΨ har visats vara fem gånger den på ΦΧ. Och ΔΒ är lika med ΦΧ, ty var och en av dem är lika med radien i cirkeln ΕΖΗΘΚ, alltså är även ΑΒ lika med ΨΩ. Och ΑΒ är den givna sfärens diameter och alltså är ΨΩ lika med den givna sfärens diameter, alltså är ikosaedern omsluten av den givna sfären.

Jag säger så, att ikosaederns sida är den irrational, som kallas den mindre. Ty eftersom sfärens diameter är uttryckbar och är i kvadrat fem gånger radien av cirkeln ΕΖΗΘΚ, är alltså även cirkeln ΕΖΗΘΚ:s radie uttryckbar, därför är även dess diameter uttryckbar. Och om en liksidig femhörning skrivs in i en cirkel, som har en uttryckbar diameter, är femhörningens sida den irrational, som kallas den mindre.Prop. 13.11 Och femhörningen ΕΖΗΘΚ:s sida är ikosaederns sida. Alltså är ikosaederns sida den irrational, som kallas den mindre.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att sfärens diameter i kvadrat är fem gånger cirkelns radie, på vilken ikosaedern har uppritas och att sfärens diameter har lagts samman av sidan av sexhörningen och två sidor av tiohörningen, vilka är inskrivna i samma cirkel. Vilket skulle visas.

ιζʹ.

Δωδεκάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.

17.

Att ställa upp en dodekaeder och omsluta den med en sfär, som de omtalade figurerna, och visa, att dodekaederns sida är den irrational, som kallas apotome.

Ἐκκείσθωσαν τοῦ προειρημένου κύβου δύο ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλοις τὰ ΑΒΓΔ, ΓΒΕΖ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΕΖ, ΕΒ, ΖΓ πλευρῶν δίχα κατὰ τὰ Η, Θ, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΘΛ, ΜΘ, ΝΞ, καὶ τετηήσθω ἑκάστη τῶν ΝΟ, ΟΞ, ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὰ Ρ, Σ, Τ σημεῖα, καὶ ἔστω αὐτῶν μείζονα τμήματα τὰ ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ρ, Σ, Τ σημείων τοῖς τοῦ κύβου ἐπιπέδοις πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὰ ἐκτὸς μέρη τοῦ κύβου αἱ ΡΥ, ΣΦ, ΤΧ, καὶ κείσθωσαν ἴσαι ταῖς ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΥΒ, ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ, ΦΥ. λέγω, ὅτι τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ ἔτι ἰσογώνιόν ἐστιν. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΡΒ, ΣΒ, ΦΒ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΟΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΡ τῇ ΡΥ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΡ ἐστιν ἴσον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΡ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ ἴσον ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΥ· τὸ ἄρα ἄπὸ τῆς ΒΥ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΥΡ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΥ τῆς ΡΥ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ τῆς ΥΡ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΣΡ τῆς ΟΡ, τουτέστι τῆς ΡΥ, ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ΒΥ τῇ ΥΦ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ ἐστιν ἴση. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἑκατέρᾳ τῶν ΡΥ, ΣΦ παράλληλος ἐπὶ τὰ ἐκτὸς τοῦ κύβου μέρη ἡ ΟΨ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΘ, ΘΧ· λέγω, ὅτι ἡ ΨΘΧ εὐθεῖά ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Τ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΠΤ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΠ πρὸς τὴν ΠΤ, οὕτως ἡ ΠΤ πρὸς τὴν ΤΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΘΠ τῇ ΘΟ, ἡ δὲ ΠΤ ἑκατέρᾳ τῶν ΤΧ, ΟΨ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΟ πρὸς τὴν ΟΨ, οὕτως ἡ ΧΤ πρὸς τὴν ΤΘ. καί ἐστι παράλληλος ἡ μὲν ΘΟ τῇ ΤΧ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ἡ δὲ ΤΘ τῇ ΟΨ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΖ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. ἐὰν δὲ δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν, ὡς τὰ ΨΟΘ, ΘΤΧ, τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυνὶν ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ εὐθεῖαι ἐπ᾿ εὐθείας ἔσονται· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΨΘ τῇ ΘΧ. πᾶσα δὲ εὐθεῖα ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ· ἐν ἑνὶ ἄρα ἐπιπέδῳ ἐστὶ τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΡ ~~ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΝΟ, ΟΡ πρὸς τὴν ΟΝ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ~~, ἴση δὲ ἡ ΟΡ τῇ ΟΣ ~~ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΣΝ πρὸς τὴν ΝΟ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΣ~~, ἡ ΝΣ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΣ τῇ ΣΦ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΦ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΦΣ, ΣΝ, ΝΒ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΣΝ, ΝΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΣΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΣ, ΣΦ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ (ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΦΣΒ γωνία), τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΒ τῆς ΒΝ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΒΝ διπλῆ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΦ τῇ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΥ, ΥΦ δυσὶ ταῖς ΒΧ, ΧΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΒΦ βάσει τῇ ΒΓ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΥΦ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ ἐστιν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΥΦΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΧΓ, ΒΥΦ, ΥΦΓ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐὰν δὲ πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τὸ ἄρα ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ ἰσογώνιον, καί ἐστιν ἐπὶ μιᾶς τοῦ κύβου πλευρᾶς τῆς ΒΓ. ἐὰν ἄρα ἐφ᾿ ἑκάστης τῶν τοῦ κύβου δώδεκα πλευρῶν τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον, ὃ καλεῖται δωδεκάεδρον.

Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΨΟ, καὶ ἔστω ἡ ΨΩ· συμβάλλει ἄρα ἡ ΟΩ τῇ τοῦ κύβου διαμέτρῳ, καὶ δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ παρατελεύτῳ θεωρήματι τοῦ ἑνδεκάτου βιβλίου. τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ω· τὸ Ω ἄρα κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον, καὶ ἡ ΩΟ ἡμίσεια τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου. ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΥΩ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΣ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ τῇ ΨΩ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΟΩ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΨΟ τῇ ΟΣ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΣ τῇ ΨΥ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΡΟ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΥΩ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΥΩ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον δυνάμει τριπλασίων τῆς ἡμισείας τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς· προδέδεικται γὰρ κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου. εἰ δὲ ὅλη τῆς ὅλης, καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ἡμισείας· καί ἐστιν ἡ ΝΟ ἡμίσεια τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς· ἡ ἄρα ΥΩ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον. καί ἐστι τὸ Ω κέντρον τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον· τὸ Υ ἄρα σημεῖον πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστι τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας· περιείληπται ἄρα τὸ δωδεκαέδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ.

Λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.

Ἐπεὶ γὰρ τῆς ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ὁ ΡΟ, τῆς δὲ ΟΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΣ, ὅλης ἄρα τῆς ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. οἷον ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ, ἡ ΟΡ πρὸς τὴν ΡΝ, καὶ τὰ διπλάσια· τὰ γὰρ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ὡς ἄρα ἡ ΝΞ πρὸς τὴν ΡΣ, οὕτως ἡ ΡΣ πρὸς συναμφότερον τὴν ΝΡ, ΣΞ. μείζων δὲ ἡ ΝΞ τῆς ΡΣ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΡΣ συναμφοτέρου τῆς ΝΡ, ΣΞ· ἡ ΝΞ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ· τῆς ἄρα ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΥΦ. καὶ ἐπεὶ ῥητή ἐστιν τῆς σφαίρας διάμετρος καί ἐστι δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς, ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ πλευρὰ οὖσα τοῦ κύβου. ἐὰν δὲ ῥητὴ γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἀποτομή.

Ἡ ΥΦ ἄρα πλευρὰ οὖσα τοῦ δωδεκαέδρου ἄλογός ἐστιν ἀποτομή.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[17]

Låt två plan, vinkelräta till varandra, av den omtalade kuben,Prop. 13.15 ΑΒΓΔ och ΓΒΕΖ, ha satts ut, låt var och en av sidorna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΕΖ, ΕΒ och ΖΓ ha delats i hälften vid Η, Θ, Κ, Λ, Μ, Ν och Ξ samt låt ΗΚ, ΘΛ, ΜΘ och ΝΞ ha förbundits. Låt även var och en av ΝΟ, ΟΞ och ΘΠ ha delats i yttersta och mellersta förhållandet vid punkterna Ρ, Σ och Τ samt låt de större snitten av dem vara ΡΟ, ΟΣ och ΤΠ. Låt även ΡΥ, ΣΦ och ΤΧ ha rests vinkelräta mot kubens plan på kubens utsida från punkterna Ρ, Σ och Τ samt låt ΥΒ, ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ och ΦΥ ha förbundits. Jag säger, att femhörningen är liksidig, ligger i ett plan och är dessutom likvinklig. Ty låt ΡΒ, ΣΒ och ΦΒ ha förbundits. Och eftersom den räta linjen ΝΟ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid punkten Ρ samt ΡΟ är det större snittet, är alltså kvadraten på ΟΝ och ΝΡ tre gånger den på ΡΟ.Prop. 13.4 Och ΟΝ är lika med ΝΒ och ΟΡ med ΡΥ, alltså kvadraten på ΒΝ och ΝΡ tre gånger den på ΡΥ. Och kvadraten på ΒΡ är lika med dem på ΒΝ och ΝΡ,Prop. 1.47 alltså är kvadraten på ΒΡ tre gånger den på ΡΥ, därför är den på ΒΡ och ΡΥ fyra gånger den på ΡΥ. Och kvadraten på ΒΥ är lika med dem på ΒΡ och ΡΥ,Prop. 1.47 alltså är kvadraten på ΒΥ fyra gånger den på ΥΡ, alltså är ΒΥ dubbla ΡΥ. Och även ΦΥ är dubbla ΥΡ, eftersom även ΣΡ är dubbla ΟΡ, det vill säga ΡΥ, alltså är ΒΥ lika med ΥΦ. På samma sätt skall vi visa, att även var och en av ΒΧ, ΧΓ och ΓΦ är lika med var och en av ΒΥ och ΥΦ. Alltså är femhörningen ΒΥΦΓΧ liksidig. Jag säger så, att de även är i ett plan. Ty låt ΟΨ ha dragits från Ο parallell med var och en av ΡΥ och ΣΦ på kubens utsida samt låt ΨΘ och ΘΧ ha förbundits. Jag säger, att ΨΘΧ är en rät linje. Ty eftersom ΘΠ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Τ och ΠΤ är dess större snitt, alltså som ΘΠ är till ΠΤ, så är ΠΤ till ΤΘ. Och ΘΠ är lika med ΘΟ och ΠΤ med var och en av ΤΧ och ΟΨ, alltså som ΘΟ är till ΟΨ, så är ΧΤ till ΤΘ. Och ΘΟ är parallell med ΤΧ, ty var och en av dem är vinkelrät mot planet ΒΔProp. 11.6 och ΤΘ mot ΟΨ, ty var och en av dem är vinkelrät mot planet ΒΖ.Prop. 11.6 Och om två trianglar, som ΨΟΘ och ΘΤΧ, vilka har två sidor proportionella till två sidor, ställts samman vid en av vinklarna, så att deras korresponderande sidor är parallella, skall resterande räta linjer ligga i linje,Prop. 6.32 alltså ligger ΨΘ i linje med ΘΧ och alla räta linjer ligger i samma plan,Prop. 11.1 alltså ligger femhörningen ΥΒΧΓΦ i ett plan.

Jag säger så, att den även är likvinklig.

Ty eftersom den räta linjen ΝΟ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Ρ och ΟΡ är dess större snitt, ~~alltså som ΝΟ och ΟΡ sammansatta är till ΟΝ, så är ΝΟ till ΟΡ~~, och ΟΡ är lika med ΟΣ ~~alltså som ΣΝ är till ΝΟ, så är ΝΟ till ΟΣ~~, alltså har ΝΣ delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Ο och ΝΟ är det större snittet,Prop. 13.5 alltså är kvadraten på ΝΣ och ΣΟ tre gånger den på ΝΟ.Prop. 13.4 Och ΝΟ är lika med ΝΒ och ΟΣ med ΣΦ, alltså är kvadraterna på ΝΣ och ΣΦ tre gånger den på ΝΒ, därför är de på ΦΣ, ΣΝ och ΝΒ fyra gånger den på ΝΒ. Och kvadraten på ΣΒ är lika med dem på ΣΝ och ΝΒ,Prop. 1.47 alltså är kvadraterna på ΒΣ och ΣΦ, det vill säga den på ΒΦ (ty vinkeln ΦΣΒ är rät), fyra gånger den på ΝΒ,Def. 11.3 Prop. 1.47 alltså är ΦΒ dubbla ΒΝ. Och även ΒΓ är dubbla ΒΝ, alltså är ΒΦ lika med ΒΓ. Och eftersom de två ΒΥ och ΥΦ är lika med de två ΒΧ och ΧΓ samt basen ΒΦ lika med basen ΒΓ, alltså är vinkeln ΒΥΦ lika med vinkeln ΒΧΓ.Prop. 1.8 På samma sätt skall vi visa, att även vinkeln ΥΦΓ är lika med ΒΧΓ, alltså är de tre vinklarna ΒΧΓ, ΒΥΦ och ΥΦΓ lika med varandra. Och om tre vinklar i en liksidig femhörning är lika med varandra, skall femhörningen vara likvinklig,Prop. 13.7 alltså är femhörningen ΒΥΦΓΧ likvinklig. Och den har även visats vara liksidig, alltså är femhörningen ΒΥΦΓΧ liksidig och likvinklig. Och den ligger på en av kubens sidor, ΒΓ. Om vi alltså på på var och en av kubens tolv sidor konstruerat detsamma, skall en solid figur omsluten av tolv liksidiga och likvinkliga femhörningar satts samman, som kallas dodekaeder.

Så skall även den givna sfären omsluta den och det skall visas, att dodekaederns sida är den irrational, som kallas apotome.

Ty låt ΨΟ ha dragits ut och låt den vara ΨΩ, alltså sammanfaller ΟΩ med kubens diagonal och de delar varandra i hälften, ty detta har visast i näst sista satsen i elfte boken.Prop. 11.38 Låt dem skära varandra vid Ω, alltså är Ω medelpunkt i sfären, som omsluter kuben och ΩΟ är hälften av kubens sida. Låt så ΥΩ ha förbundits. Och eftersom den räta linjen ΝΣ har delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Ο och ΝΟ är dess större snitt, är alltså kvadraterna på ΝΣ och ΣΟ tre gånger den på ΝΟ.Prop. 13.4 Och ΝΣ är lika med ΨΩ, eftersom även ΝΟ är lika med ΟΩ och ΨΟ med ΟΣ. Men ΟΣ är även lika med ΨΥ, eftersom den även är lika med ΡΟ, alltså är kvadraterna på ΩΨ och ΨΥ tre gånger den på ΝΟ. Och den på ΥΩ är lika med dem på ΩΨ och ΨΥ,Prop. 1.47 alltså är kvadraten på ΥΩ tre gånger den på ΝΟ. Och även radien av sfären , som omsluter kuben, är i kvadrat tre gånger hälften av kubens sida, ty det har visats hur kuben ställs upp, hur den omsluts av en sfär och det har visats, att sfärens diameter i kvadrat är tre gånger kubens sida.Prop. 13.15 Och om hela är det än hela, är även halva det än halva, och ΝΟ är hälften av kubens sida, alltså är ΥΩ lika med radien av sfären, som omsluter kuben. Och Ω är medelpunkt av sfären, som omsluter kuben, alltså ligger punkten Υ vid sfärens yta. På samma sätt skall vi så visa, att även var och en av de resterande vinklarna av dodekaedern ligger vid sfärens yta, alltså omsluts dodekaedern av den givna sfären.

Jag säger så att att dodekaederns sida är den irrational, som kallas apotome.

Ty eftersom ΡΟ är det större snittet, sedan ΝΟ har delats i yttersta och mellersta förhållandet, och ΟΣ är det större snittet, sedan ΟΞ har delats i yttersta och mellersta förhållandet, alltså är ΡΣ det större snittet, sedan hela ΝΞ har delats i yttersta och mellersta förhållandet. Såsom^C C) Vocabulo οἷον lin. 7 videtur significari, rectam ΝΞ non proprie secundum rationem extremam ac mediam divisam esse, quia pars minor ex ΝΡ, ΣΞ diiunctis composita est. quod hic parum refert, quia maiore parte sola utimur. sed fortasse totus locus οἷον lin. 7 - ἐστιν ἡ ΡΣ lin. 14 subitivus est. då som ΝΟ är till ΟΡ, så är ΟΡ till ΡΝ, och så de dubbla, ty delar och lika många multiplar har samma förhållande,Prop. 5.15 alltså som ΝΞ är till ΡΣ, så är ΡΣ till ΝΡ och ΣΞ sammantagna. Och ΝΞ är större än ΡΣ, alltså är även ΡΣ större än ΝΡ och ΣΞ sammantagna,Prop. 5.14 alltså har ΝΞ delats i yttersta och mellersta förhållandet och ΡΣ är dess största snitt. Och ΡΣ är lika med ΥΦ, alltså är ΥΦ är det större snittet, sedan ΝΞ har delats i yttersta och mellersta förhållandet. Och eftersom sfärens diameter är uttryckbar och i kvadrat tre gånger kubens sida, är alltså ΝΞ, som är kubens sida, uttryckbar. Och om en uttryckbar rät linje delats i yttersta och mellersta förhållandet, är vart och ett av dess snitt en irrationell rät linje kallad apotome.

Alltså är ΥΦ, som är dodekaederns sida, en irrationell rät linje kallad apotome.Prop. 13.6

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att sedan kubens sida delats i yttersta och mellersta förhållandet, är det större snittet dodekaederns sida. Vilket skulle visas.

ιηʹ.

Τὰς πλευρὰς τῶν πέντε σχημάτων ἐκθέσθαι καὶ συγκρῖναι πρὸς ἀλλήλας.

18.

Att ställa upp de fem figurernas sidor och jämföra dem med varandra.

Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΒ, κατὰ δὲ τὸ Δ ὥστε διπλασίονα εἶναι τὴν ΑΔ τῆς ΔΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Γ, Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΕΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ. ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ· ἰσογώνιον γάρ ἐστι τὸ ΑΖΒ τρίγωνον τῷ ΑΖΔ τριγώνῳ· ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἡμιολία τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος· ἡ ΑΖ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πλευρᾷ τῆς πυραμίδος.

Πάλιν, ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ· τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος· ἡ ΒΖ ἄρα τοῦ κύβου ἐστὶ πλευρά.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς. καὶ ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος· ἡ ΒΕ ἄρα τοῦ ὀκταέδρου ἐστὶ πλευρά.

Ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΗ, καὶ κείσθω ἡ ΑΗ ἴση τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΗΑ τῆς ΑΓ· ἴση γὰρ ἡ ΗΑ τῇ ΑΒ· ὡς δὲ ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΓ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΓ. τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΓ. ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΓΒ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΓΒ, ὧν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ ἐστι διπλῆ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ λοιπῆς τῆς ΔΓ ἐστι διπλῆ. τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ· ἐνναπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῆς ΓΔ. κείσθω τῇ ΓΚ ἴση ἡ ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΒ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ, καί ἐστι τῆς μὲν ΒΓ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΚ διπλῆ ἡ ΚΛ, πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ᾿ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος· ἡ ΚΛ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἀφ᾿ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται· ἡ ΚΛ ἄρα ἑξαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰρημένου κύκλου. καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν εἰρημένον κύκλον ἐγγραφομένων, καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, ἡ δὲ ΚΛ ἑξαγώνου πλευρά, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΛΒ, ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΚ, ΛΒ δεκαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν κύκλον, ἀφ᾿ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται. καὶ ἐπεὶ δεκαγώνου μὲν ἡ ΛΒ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΜΛ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΚΛ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΘΚ· ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου· καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΚ, ΚΛ διπλασίων τῆς ΚΓ· πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ. ἡ δὲ τοῦ πενταγώνου ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου· εἰκοσαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΒ κύβου ἐστὶ πλευρά, τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ν, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΝΒ· ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶ πλευρά.

Καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἐδείχθη τῆς μὲν ΑΖ πλευρᾶς τῆς πυραμίδος δυνάμει ἡμιολία, τῆς δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆς ΒΕ δυνάμει διπλασίων, τῆς δὲ τοῦ κύβου τῆς ΖΒ δυνάμει τριπλασίων, οἵων ἄρα ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἕξ, τοιούτων ἡ μὲν τῆς πυραμίδος τεσσάρων, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τριῶν, ἡ δὲ τοῦ κύβου δύο. ἡ μὲν ἄρα τῆς πυραμίδος πλευρὰ τῆς μὲν τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς δυνάμει ἐστὶν ἐπίτριτος, τῆς δὲ τοῦ κύβου δυνάμει διπλῆ, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆς τοῦ κύβου δυνάμει ἡμιολία. αἱ μὲν οὖν εἰρημέναι τῶν τριῶν σχημάτων πλευραί, λέγω δὴ πυραμίδος καὶ ὀκταέδρου καὶ κύβου, πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς. αἱ δὲ λοιπαὶ δύο, λέγω δὴ ἥ τε τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου, οὔτε πρὸς ἀλλήλας οὔτε πρὸς τὰς προειρημένας εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς· ἄλογοι γάρ εἰσιν, ἡ μὲν ἐλάττων, ἡ δὲ ἀποτομή.

Ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ τῆς τοῦ δωδεκαέδρου τῆς ΝΒ, δείξομεν οὕτως.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΖΔΒ τρίγωνον τῷ ΖΑΒ τριγώνῳ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΒΑ. καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ· ἀνάπαλιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ. τριπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ· τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραπλάσιον· διπλῆ γὰρ ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ· μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΖΒ· πολλῷ ἄρα ἡ ΑΛ τῆς ΖΒ μείζων ἐστίν. καὶ τῆς μὲν ΑΛ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΚΛ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν ΛΚ ἑξαγώνου ἐστίν, ἡ δὲ ΚΑ δεκαγώνου· τῆς δὲ ΖΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΒ· μείζων ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΝΒ. ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΛΜ· μείζων ἄρα ἡ ΛΜ τῆς ΝΒ ~~τῆς δὲ ΛΜ μείζων ἐστὶν ἡ ΜΒ~~. πολλῷ ἄρα ἡ ΜΒ πλευρὰ οὖσα τοῦ εἰκοσαέδρου μείζων ἐστὶ τῆς ΝΒ πλευρᾶς οὔσης τοῦ δωδεκαέδρου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λέγω δή, ὅτι παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα οὐ συσταθήσεται ἕτερον σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων ἀλλήλοις.

Ὑπὸ μὲν γὰρ δύο τριγώνων ἢ ὅλως ἐπιπέδων στερεὰ γωνία οὐ συνίσταται. ὑπὸ δὲ τριῶν τριγώνων ἡ τῆς πυραμίδος, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου· ὑπὸ δὲ ἓξ τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων οὐκ ἔσται στερεὰ γωνία· οὔσης γὰρ τῆς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου γωνίας διμοίρου ὀρθῆς ἔσονται αἱ ἓξ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅπερ ἀδύνατον· ἅπασα γὰρ στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσσάρων ὀρθῶν περέχεται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ὑπὸ πλειόνων ἢ ἓξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται. ὑπὸ δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται· ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· ἔσονται γὰρ πάλιν τέσσαρες ὀρθαί. ὑπὸ δὲ πενταγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων, ὑπὸ μὲν τριῶν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου· ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· οὔσης γὰρ τῆς τοῦ πενταγώνου ἰσοπλεύρου γωνίας ὀρθῆς καὶ πέμπτου, ἔσονται αἱ τέσσαρες γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζους· ὅπερ ἀδύνατον. οὐδὲ μὴν ὑπὸ πολυγώνων ἑτέρων σχημάτων περισχεθήσεται στερεὰ γωνία διὰ τὸ αὐτὸ ἄτοπον.

Οὐκ ἄρα παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα ἕτερον σχῆμα στερεὸν συσταθήσεται ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου γωνία ὀρθή ἐστι καὶ πέμπτου, οὕτω δεικτέον.

Låt den givna sfärens diameter ΑΒ ha satts ut samt låt den ha delats vid Γ, så att ΑΓ är lika med ΓΒ, och vid Δ, så att ΑΔ är dubbla ΔΒ. Låt även halvcirkeln ΑΕΒ ha ritats på ΑΒ, låt ΓΕ och ΔΖ ha dragits från Γ och Δ vinkelräta mot ΑΒ och låt ΑΖ, ΖΒ och ΕΒ ha förbundits. Och eftersom ΑΔ är dubbla ΔΒ, är alltså ΑΒ trippla ΒΔ. Alltså, genom omvändning, är ΒΑ halvannan ΑΔ. Och som ΒΑ är till ΑΔ, så är kvadraten på ΒΑ till den på ΑΖ,Def. 5.9 ty triangeln ΑΖΒ är likvinklig med triangeln ΑΖΔ,Prop. 6.8 alltså är kvadraten på ΒΑ halvannan den på ΑΖ. Och även sfärens diameter är i kvadrat halvannan den på pyramidens sida.Prop. 13.13 Och ΑΒ är sfärens diameter, alltså är ΑΖ lika med pyramidens sida.

Åter, eftersom ΑΔ är dubbla ΔΒ, är alltså ΑΒ trippla ΒΔ. Och som ΑΒ är till ΒΔ, så är kvadraten på ΑΒ till den på ΒΖ,Prop. 6.8 Def. 5.9 alltså är kvadraten på ΑΒ tre gånger den på ΒΖ. Och även sfärens diameter är i kvadrat tre gånger kubens sida.Prop. 13.15 Och ΑΒ är sfärens diameter, alltså är ΒΖ kubens sida.

Och eftersom ΑΓ är lika med ΓΒ, är alltså ΑΒ dubbla ΒΓ. Och som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΑΒ till den på ΒΕ,Prop. 6.8 Def. 5.9 alltså är kvadraten på ΑΒ dubbla den på ΒΕ. Och även sfärens diameter är i kvadrat dubbla oktaederns sida.Prop. 13.14 Och ΑΒ är är den givna sfärens diameter, alltså är ΒΕ oktaederns sida.

Låt så ΑΗ ha dragits ut från punkten Α vinkelrät mot den räta linjen ΑΒ, låt ΑΗ ha satts lika med ΑΒ, låt ΗΓ ha förbundits och låt en normal till ΑΒ, ΘΚ, ha dragits från Θ. Och eftersom ΗΑ är dubbla ΑΓ, ty ΗΑ är lika med ΑΒ och som ΗΑ är till ΑΓ, så är ΘΚ till ΚΓ,Prop. 6.4 alltså är även ΘΚ dubbla ΚΓ. Alltså är kvadraten på ΘΚ fyra gånger den på ΚΓ, alltså är kvadraterna på ΘΚ och ΚΓ, vilka är den på ΘΓ,Prop. 1.47 fem gånger den på ΚΓ. Och ΘΓ är lika med ΓΒ, alltså är kvadraten på ΒΓ fem gånger den på ΓΚ. Och eftersom ΑΒ är dubbla ΓΒ, av vilken ΑΔ är dubbla ΔΒ, är alltså den resterande ΒΔ dubbla den resterande ΔΓ. Alltså är ΒΓ trippla ΓΔ, alltså är kvadraten på ΒΓ nio gånger den på ΓΔ. Och kvadraten på ΒΓ är fem gånger den på ΓΚ, alltså är kvadraten på ΓΚ större än den på ΓΔ. Alltså är ΓΚ större än ΓΔ. Låt ΓΛ ha satts lika med ΓΚ, låt ΛΜ ha dragits från Λ vinkelrät mot ΑΒ och låt ΜΒ ha förbundits. Och eftersom kvadraten på ΒΓ är fem gånger den på ΓΚ och ΑΒ är dubbla ΒΓ och ΚΛ dubbla ΓΚ, är alltså kvadraten på ΑΒ dubbla den på ΚΛ. Och även sfärens diameter är i kvadrat fem gånger radien av cirkeln, på vilken ikosaedern uppritats.Prop. 13.16 cor. Och ΑΒ är sfärens diameter, alltså är ΚΛ radien av cirkeln, på vilken ikosaedern uppritats. Alltså är sidan av sexhörningen i den omnämnda cirkeln.Prop. 4.15 cor. Och eftersom sfärens diameter har lagts samman av sidan av sexhörningen och två sidor av tiohörningen, vilka är inskrivna i samma cirkel, ΑΒ är sfärens diameter, ΚΛ är sexhörningens sida och ΑΚ är lika med ΛΒ, är alltså var och en av ΑΚ och ΛΒ en sida i tiohörningen, som är inskriven i cirkeln, på vilken ikosaedern uppritats. Och eftersom ΛΒ tillhör tiohörningen och ΜΛ sexhörningen, ty den är lika med ΚΛ, eftersom den är lika med ΘΚ, ty de är lika långt från medelpunkten samt var och en av ΘΚ och ΚΛ är dubbla ΚΓ, alltså tillhör ΜΒ femhörningen.Prop. 13.10 Prop. 1.47 Och femhörningens sida är ikosaederns,Prop. 13.16 alltså tillhör ΜΒ ikosaedern.

Och eftersom ΖΒ är kubens sida, låt den ha delats i i yttersta och mellersta förhållandet vid Ν och låt ΝΒ vara det större snittet, alltså är ΝΒ dodekaederns sida.Prop. 13.17 cor.

Och eftersom sfärens diameter har visats vara i kvadrat halvannan pyramidens sida ΑΖ, i kvadrat dubbla oktaederns sida ΒΕ, i kvadrat trippla kubens sida ΖΒ, alltså av så många av sfärens diameter i kvadrat är sex, så många av pyramiden fyra, av oktaedern tre, av kuben två. Alltså är i kvadrat pyramidens sida en och en tredjedel av oktaederns sida, i kvadrat dubbla kubens och oktaederns sida är i kvadrat halvannan av kubens. Sålunda de omnämnda tre figurernas sidor, jag menar då pyramidens oktaederns och kubens, har till varandra uttryckbara förhållanden. Och de resterande två, jag menar då ikosaedern och dodekaedern, har varken till varandra eller till de omnämnda figurerna uttryckbara förhållanden, ty de är irrationaler, en mindreProp. 13.16 eller en apotome.Prop. 13.17

Att ikosaederns sida, ΜΒ, är större än dodekaederns, ΝΒ, skall vi visa så här.

Ty eftersom triangeln ΖΔΒ är likvinklig med triangeln ΖΑΒ,Prop. 6.8 råder proportionalitet och som ΔΒ är till ΒΖ, så är ΒΖ till ΒΑ.Prop. 6.4 Och eftersom tre räta linjer är proportionella, som den första är till den tredje, så är kvadraten på den första till den på den andra,Def. 5.9 Prop. 6.20 cor. alltså som ΔΒ är till ΒΑ, så är kvadraten på ΔΒ till den på ΒΖ, alltså, omvänt, som ΑΒ är till ΒΔ, så är kvadraten på ΖΒ till den på ΒΔ. Och ΑΒ är trippla ΒΔ, alltså är kvadraten på ΖΒ tre gånger den på ΒΔ. Och kvadraten på ΑΔ är fyra gånger den på ΔΒ, ty ΑΔ är dubbla ΔΒ, alltså är kvadraten på ΑΔ större än den på ΖΒ, alltså är ΑΔ större än ΖΒ. Alltså är ΑΛ mycket större än ΖΒ. Och sedan ΑΛ delats i yttersta och mellersta förhållandet, är ΚΛ det större snittet, eftersom ΛΚ tillhör en sexhörning, ΚΑ en tiohörningProp. 13.9 samt, sedan ΖΒ delats i yttersta och mellersta förhållandet, är ΝΒ det större snittet. Alltså är ΚΛ större än ΝΒ. Och ΚΛ är lika med ΛΜ, alltså är ΛΜ större än ΝΒ ~~och ΜΒ är större än ΛΜ~~. Alltså är ΜΒ, som är ikosaederns sida, mycket större än ΝΒ, som är dodekaederns sida. Vilket skulle visas.

Jag säger så, att utöver de fem nämnda figurerna skall inte någon annan figur resas, som omsluts av liksidiga och likvinkliga plan lika med varandra.

Ty en rymdvinkel kan inte ställas upp av två trianglar eller hela plan.Def. 11.11 Och pyramidens rymdvinkel ställs upp av tre trianglar, oktaederns av fyra och ikosaederns av fem. Och en rymdvinkel skall inte ställas upp av sex liksidiga och likvinkliga trianglar vid en punkt, ty då liksidiga och likvinkliga trianglars vinklar är två tredjedelar av en rät, skall de sex vinklarna vara lika med fyra räta, vilket är omöjligt, ty alla rymdvinklar omsluts av mindre än fyra räta plana vinklar.Prop. 11.21 Av samma själ skall en rymdvinkel inte heller ställas upp av fler än sex plana vinklar. Och kubens rymdvinkel omsluts av tre kvadrater, av fyra är omöjligt, ty den skall åter vara fyra räta. Och av liksidiga och likvinkliga femhörningar omsluts dodekaederns rymdvinkel av tre, av fyra är omöjligt, ty den liksidiga femhörningens vinkel är en och en femtedels rät och fyra sådana vinklar skall vara större än fyra räta, vilket är omöjligt. Och på grund av samma orimlighet skall en rymdvinkel inte heller omslutas av någon annan polygon.

Alltså skall utöver de fem nämnda figurerna ingen annan kropp ställas upp omsluten av liksidiga och likvinkliga plana figurer. Vilket skulle visas.

Hjälpsats.

Att en liksidig och likvinklig femhörnings vinkel är en och en femtedels rät, visas på detta sätt.

Ἔστω γὰρ πεντάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ. δίχα ἄρα τέμνουσι τὰς πρὸς τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε τοῦ πενταγώνου γωνίας. καὶ ἐπεὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ πέντε γωνίαι τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶ καί εἰσιν ἴσαι, μία ἄρα αὐτῶν, ὡς ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, μιᾶς ὀρθῆς ἐστι παρὰ πέμπτον· λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΖΑΒ, ΑΒΖ μιᾶς εἰσιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τοῦ πενταγώνου γωνία μιᾶς ἐστιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[18]

Ty låt ΑΒΓΔΕ vara en liksidig och likvinklig femhörning, låt cirkeln ΑΒΓΔΕ ha skrivits om den,Prop. 4.14 låt cirkelns medelpunkt Ζ ha funnitsProp. 3.1 och låt ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ och ΖΕ ha förbundits. Alltså delar de femhörningens vinklar i hälften vid Α, Β, Γ, Δ och Ε. Och eftersom de fem vinklarna vid Ζ är lika med fyra räta och lika med varandra, är alltså en av dem, som ΑΖΒ, en förutom en femtedels rät, alltså är de resterande ΖΑΒ och ΑΒΖ en och en femtedels rät.Prop. 1.32 Och ΖΑΒ är lika med ΖΒΓ och alltså är hela femhörningens vinkel, ΑΒΓ, en och en femtedels rät. Vilket skulle visas.