Elementa Bok XII

Στοιχεῖα Εὐκλείδου ιβʹ.

αʹ.

Τὰ ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.

1.

Likformiga polygoner inskrivna i cirklar är till varandra som kvadraterna på diametrarna.

Ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΖΗΘ, καὶ ἐν αὐτοῖς ὅμοια πολύγωνα ἔστω τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, διάμετροι δὲ τῶν κύκλων ἔστωσαν ΒΜ, ΗΝ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΑΜ, ΗΛ, ΖΝ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΛ. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΑΕ, ΗΖΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΗ. ἀλλ᾿ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΜΒ ἐστιν ἴση· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασιν· ἡ δὲ ὑπὸ ΖΛΗ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΜ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΗΖΝ ἴση· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τρίγωνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ. ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ λόγον διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, τοῦ δὲ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἁπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον.

Τὰ ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[1]

Låt ΑΒΓ och ΖΗΘ vara cirklar, låt ΑΒΓΔΕ och ΖΗΘΚΛ vara likformiga polygoner i dem samt låt ΒΜ och ΗΝ vara cirklarnas diametrar. Jag säger, att som kvadraten på ΒΜ är till kvadraten på ΗΝ, så är polygonen ΑΒΓΔΕ till polygonen ΖΗΘΚΛ.

Ty låt ΒΕ, ΑΜ, ΗΛ och ΖΝ ha förslutits. Och eftersom polygonen ΑΒΓΔΕ är likformig med polygonen ΖΗΘΚΛ, är även vinkeln ΒΑΕ lika med vinkeln ΗΖΛ och som ΒΑ är till ΑΕ, så är ΗΖ till ΖΛ.Def. 6.1 Då är ΒΑΕ och ΗΖΛ två trianglar, vilka har en vinkel lika med en vinkel, ΒΑΕ med ΗΖΛ, och sidorna vid de lika vinklarna är proportionella, alltså är triangeln ΑΒΕ likvinklig med triangeln ΖΗΛ.Prop. 6.6 Alltså är vinkeln ΑΕΒ lika med ΖΛΗ. Men ΑΕΒ är lika med ΑΜΒ, ty de är ställda på samma omkrets, och ΖΛΗ med ΖΝΗ.Prop. 3.27 Och alltså är ΑΜΒ lika med ΖΝΗ. Och den räta ΒΑΜ är lika med den räta ΗΖΝ,Prop. 3.31 alltså är resterande vinkel lika med resterande.Prop. 1.32 Alltså är triangeln ΑΒΜ likvinklig med triangeln ΖΗΝ. Alltså proportionellt som ΒΜ är till ΗΝ, så är ΒΑ till ΗΖ.Prop. 6.4 Men ΒΜ:s duplicerade förhållande till ΗΝ är kvadratens på ΒΜ förhållande till kvadraten på ΗΝ och ΒΑ:s duplicerade förhållande till ΗΖ är polygonens ΑΒΓΔΕ förhållande till polygonen ΖΗΘΚΛ, alltså som kvadraten på ΒΜ är till kvadraten på ΗΝ, så är polygonen ΑΒΓΔΕ till polygonen ΖΗΘΚΛ.

Alltså är likformiga polygoner inskrivna i cirklar till varandra som kvadraterna på diametrarna. Vilket skulle visas.

βʹ.

Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.

2.

Cirklar är till varandra som kvadraterna på deras diametrar.

Ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ αὐτῶν ~~ἔστωσαν~~ αἱ ΒΔ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον ἢ πρὸς μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Σ. και ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ. τὸ δὴ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ σημείων ἐφαπτομένας ~~εὐθείας~~ τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τοῦ δὲ περιγραφέντος τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλος· ὥστε τὸ ΕΖΗΘ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Κ, Λ, Μ, Ν σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν καὶ ἀναπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ εὐθειῶν παραλληλόγραμμα, ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων ἥμισυ ἔσται τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου, ἀλλὰ τὸ καθ᾿ ἑαυτὸ τμῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου· ὥστε ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου. τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κύκλου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου. ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ θεωρήματι τοῦ δεκάτου βιβλίου, ὅτι δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους. λελείφθω οὖν, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ τμήματα τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου. λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ Σ χωρίου. ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνῳ ὅμοιον πολύγωνον τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Σ χωρίον· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Σ χωρίον, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον· ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον, οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον. μείζων δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον.

Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Σ. ἀνάπαλιν ἄρα ~~ἐστὶν~~ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ, οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον. ἀλλ᾿ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον.

Οἱ ἄρα κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Λέγω δή, ὅτι τοῦ Σ χωρίου μείζονος ὄντος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον.

Γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον. λέγω, ὅτι ἔλαττόν ἐστι τὸ Τ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον, ἐναλλάξ ἐστιν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον. μεῖζον δὲ τὸ Σ χωρίον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· μείζων ἄρα καὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Τ χωρίου. ὥστε ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[2]

Låt ΑΒΓΔ och ΕΖΗΘ vara cirklar samt ~~låt~~ ΒΔ och ΖΘ ~~vara~~ deras diametrar. Jag säger att som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är kvadraten på ΒΔ till kvadraten på ΖΘ.

Ty om det inte är så, att som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är kvadraten på ΒΔ till den på ΖΘ, skall det vara så, att kvadraten på ΒΔ är till den på ΖΘ, så är cirkeln ΑΒΓΔ antingen till något område mindre än cirkeln ΕΖΗΘ eller ett större. Låt det först vara så till ett mindre, Σ. Låt även kvadraten ΕΖΗΘ ha skrivits in i cirkeln ΕΖΗΘ.Prop. 4.6 Då är den inskrivna kvadraten större än halva cirkeln ΕΖΗΘ, eftersom om vi, genom punkterna Ε, Ζ, Η och Θ, dragit ~~räta linjer~~ tangerande cirkeln, är kvadraten ΕΖΗΘ hälften av kvadraten, som omskriver cirkeln,Prop. 1.47 och cirkeln är mindre än den omskrivande kvadraten. Därför är den inskrivna kvadraten ΕΖΗΘ större än halva cirkeln ΕΖΗΘ. Låt cirkelbågarna ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ och ΘΕ ha delats i hälften vid punkterna Κ, Λ, Μ och Ν samt låt ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ och ΝΕ ha förbundits. Och alltså är var och en av trianglarna ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ och ΘΝΕ större än halva cirkelsegmentet kring dem, eftersom om vi, genom punkterna Κ, Λ, Μ och Ν, dragit ~~räta linjer~~ tangerande cirkeln och vi fullbordat parallellogrammerna på de räta linjerna ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ och ΘΕ, skall var och en av trianglarna ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ och ΘΝΕ vara hälften av parallellogrammen kring dem, men segmentet kring dem är mindre än parallellogrammen, därför är var och en av trianglarna ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ och ΘΝΕ större än halva cirkelsegmentet kring dem. Så delar vi de kvarvarande cirkelbågarna i hälften, förbinder de räta linjerna och gör detta oupphörligen, skall vi lämna kvar ett segment av cirkeln, som skall vara mindre än skillnaden, som cirkeln ΕΖΗΘ har gentemot området Σ. Ty det har visats i första satsen av tionde boken, att sedan två olika storheter ställts upp samt om från den större mer än hälften tas bort och från det kvarlämnade mer än hälften tas bort samt gör detta oupphörligen, skall någon storhet lämnas kvar, som är mindre än den mindre uppställda storheten.Prop. 10.1 Låt dem sålunda ha lämnats kvar och låt segmenten av cirkeln ΕΖΗΘ vid ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ och ΝΕ vara mindre än skillnaden, som cirkeln ΕΖΗΘ har gentemot området Σ. Alltså är kvarvarande polygonen ΕΚΖΛΗΜΘΝ större än området Σ. Låt även polygonen ΑΞΒΟΓΠΔΡ, likformig med polygonen ΕΚΖΛΗΜΘΝ, ha skrivits in i cirkeln ΑΒΓΔ. Alltså som kvadraten på ΒΔ är till kvadraten på ΖΘ, så är polygonen ΑΞΒΟΓΠΔΡ till polygonen ΕΚΖΛΗΜΘΝ.Prop. 12.1 Men som kvadraten på ΒΔ är till den på ΖΘ, så är även cirkeln ΑΒΓΔ till området Σ och alltså som cirkeln ΑΒΓΔ är till området Σ, så är polygonen ΑΞΒΟΓΠΔΡ till polygonen ΕΚΖΛΗΜΘΝ.Prop. 5.11 Alltså, alternerat, som cirkeln ΑΒΓΔ är till polygonen i den, så är området Σ till polygonen ΕΚΖΛΗΜΘΝ.Prop. 5.16 Och cirkeln ΑΒΓΔ är större än polygonen i den, alltså är även området Σ större än polygonen ΕΚΖΛΗΜΘΝ. Men också mindre, vilket är omöjligt. Alltså som kvadraten på ΒΔ är till den på ΖΘ, så är inte cirkeln ΑΒΓΔ till något område mindre än cirkeln ΕΖΗΘ. På samma sätt skall vi visa, att som kvadraten på ΖΘ är till den på ΒΔ, så är inte heller cirkeln ΕΖΗΘ till något område mindre än cirkeln ΑΒΓΔ.

Jag säger så, att som kvadraten på ΒΔ är till den på ΖΘ, så är inte heller cirkeln ΑΒΓΔ till något område större än cirkeln ΕΖΗΘ.

Ty om möjligt, låt den vara så till ett större, Σ. Alltså, omvänt, som kvadraten på ΖΘ är till den på ΔΒ, så är området Σ till cirkeln ΑΒΓΔ.Prop. 5.7 cor. Men som området Σ är till cirkeln ΑΒΓΔ, så är cirkeln ΕΖΗΘ till något område mindre än cirkeln ΑΒΓΔ och alltså som kvadraten på ΖΘ är till den på ΒΔ, så är cirkeln ΕΖΗΘ till något område mindre än cirkeln ΑΒΓΔ,Prop. 5.11 vilket har visats vara omöjligt. Alltså som kvadraten på ΒΔ är till den på ΖΘ, så är inte cirkeln ΑΒΓΔ till något område större än cirkeln ΕΖΗΘ. Och det har visats, att det inte heller är så till ett mindre. Alltså som kvadraten på ΒΔ är till den på ΖΘ, så är cirkeln ΑΒΓΔ till cirkeln ΕΖΗΘ.

Alltså är cirklar till varandra som kvadraterna på deras diametrar. Vilket skulle visas.

Hjälpsats.

Jag säger så, att, när området Σ är större än cirkeln ΕΖΗΘ, som området Σ är till cirkeln ΑΒΓΔ, så är cirkeln ΕΖΗΘ till till något område mindre än cirkeln ΑΒΓΔ.

Ty låt området Σ ha blivit till cirkeln ΑΒΓΔ, som cirkeln ΕΖΗΘ blivit till området Τ. Jag säger, att området Τ är mindre än cirkeln ΑΒΓΔ. Ty då som området Σ är till cirkeln ΑΒΓΔ, så är cirkeln ΕΖΗΘ till området Τ och, alternerat, som området Σ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är cirkeln ΑΒΓΔ till området Τ.Prop. 5.16 Och området Σ är större än cirkeln ΕΖΗΘ, alltså är även cirkeln ΑΒΓΔ större än området Τ.Prop. 5.14 Så att som området Σ är till cirkeln ΑΒΓΔ, så är cirkeln ΕΖΗΘ till något område mindre än cirkeln ΑΒΓΔ. Vilket skulle visas.

γʹ.

Πᾶσα πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας τε καὶ ὁμοίας ἀλλήλαις καὶ ~~ὁμοίας~~ τῇ ὅλῇ τριγώνους ἐχουσας βάσεις καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος.

3.

Varje pyramid, som har en triangel som bas, delas i två pyramider, lika och likformiga med varandra, ~~likformiga~~ med den hela och som har trianglar som baser, samt i två lika prismor. Och de två prismorna är större än hälften av hela pyramiden.

Ἔστω πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῇ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος.

Τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ, ΔΓ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ, Κ, Λ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ, ΕΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΘ, ΚΖ, ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΑΘ τῇ ΔΘ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστιν. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΕΒΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΕΒ. ἀλλὰ ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΔ ἴση· δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΘ δυσὶ ταῖς ΚΘ, ΘΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΔ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση. ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΕΘ τρίγωνον τῷ ΘΚΔ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΘΗ τρίγωνον τῷ ΘΛΔ τριγώνῳ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΕΘ, ΘΗ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΚΔ, ΔΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, ἴσας γωνίας περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΔΛ γωνίᾳ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΘ, ΘΗ δυσὶ ταῖς ΚΔ, ΔΛ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα εκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΔΛ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΕΗ βάσει τῇ ΚΛ ~~ἐστιν~~ ἴση· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΘΗ τρίγωνον τῷ ΚΔΛ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν. ἡ ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση καὶ ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΘΚ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ, καὶ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχουσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΚΛ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν, τὸ δὲ ΑΔΓ τῷ ΔΛΘ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΒΑ, ΑΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΚΘ, ΘΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΘΛ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. ἀλλὰ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ~~ἐστι~~ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐδείχθη πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον. ὥστε καὶ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕΗΘ, ΘΚΛΔ πυραμίδων ὁμοία ἐστὶ τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι.Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ, διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΖΓ τριγώνου. καὶ ἐπεὶ, ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ πρίσμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΒΚΖ, ΕΘΗ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΕΒΖΗ, ΕΒΚΘ, ΘΚΖΗ τῷ πρισματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΖΓ, ΘΚΛ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΚΖΓΛ, ΛΓΗΘ, ΘΚΖΗ. καὶ φανερόν, ὅτι ἑκάτρον τῶν πρισμάτων, οὗ τε βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσις τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρας τῶν πυραμίδων, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα, ἐπειδήπερ ~~καί~~ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΕΖ, ΕΚ εὐθείας, τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον. ἀλλ᾿ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται. ὥστε καὶ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι πυραμίδος, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον. ἴσον δὲ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, τῷ πρίσματι, οὗ βάσις μὲν τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον· ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. τὰ ἄρα εἰρημένα δύο πρίσματα μείζονά ἐστι τῶν εἰρημένων δύο πυραμίδων, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα.

Ἡ ἄρα ὅλη πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, διῄρηται εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις ~~καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ~~ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[3]

Låt det finnas en pyramid, vars bas är triangeln ΑΒΓ och vars topp är punkten Δ. Jag säger, att pyramiden ΑΒΓΔ delas i två pyramider, lika med med varandra, som har trianglar som baser, och är likformiga med den hela, samt i två lika prismor. Och de två prismorna är större än hälften av hela pyramiden.

Ty låt ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ och ΔΓ ha delats i hälften vid punkterna Ε, Ζ, Η, Θ, Κ och Λ samt låt ΘΕ, ΕΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΘ, ΚΖ och låt ΖΗ ha förbundits. Eftersom ΑΕ är lika med ΕΒ och ΑΘ med ΔΘ, är alltså ΕΘ parallell med ΔΒ.Prop. 6.2 Av samma skäl är även ΘΚ parallell med ΑΒ. Alltså är ΘΕΒΚ en parallellogram och alltså är ΘΚ lika med ΕΒ.Prop. 1.34 Men ΕΒ är lika med ΕΑ och alltså är ΑΕ lika med ΘΚ. Och då ΑΘ är lika med ΘΔ, så är de två ΕΑ och ΑΘ lika med de två ΚΘ och ΘΔ, var och en med var och en. Och vinkeln ΕΑΘ är lika med vinkeln ΚΘΔ,Prop. 1.29 alltså är basen ΕΘ lika med basen ΚΔ.Prop. 1.4 Alltså är triangeln ΑΕΘ lika och likformig med triangeln ΘΚΔ.Prop. 1.4 Av samma skäl är även triangeln ΑΘΗ lika och likformig med triangeln ΘΛΔ. Och eftersom de två räta linjerna ΕΘ och ΘΗ, vilka skär varandra, är parallella med de två räta linjerna ΚΔ och ΔΛ, vilka skär varandra, inte ligger i samma plan, omsluter de lika vinklar.Prop. 11.10 Alltså är vinkeln ΕΘΗ lika med vinkeln ΚΔΛ. Och eftersom de två räta linjerna ΕΘ och ΘΗ är lika med de två räta linjerna ΚΔ och ΔΛ, var och en med var och en, samt vinkeln ΕΘΗ är lika med vinkeln ΚΔΛ, är alltså basen ΕΗ lika med basen ΚΛ.Prop. 1.4 Alltså är triangeln ΕΘΗ lika och likformig med triangeln ΚΔΛ. Av samma skäl är även triangeln ΑΕΗ lika och likformig med triangeln ΘΚΛ. Alltså är pyramiden, vars bas är triangeln ΑΕΗ och vars spets är punkten Θ, lika och likformig med pyramiden, vars bas är triangeln ΘΚΛ och vars spets är punkten Δ.Def. 11.10 Och eftersom ΘΚ har dragits längs en av triangeln ΑΔΒ:s sidor, ΑΒ, är triangeln ΑΔΒ likvinklig med triangeln ΔΘΚProp. 1.29 och de har proportionella sidor. Alltså är triangeln ΑΔΒ likformig med triangeln ΔΘΚ.Def. 6.1 Av samma skäl är även triangeln ΔΒΓ likformig med triangeln ΔΚΛ och ΑΔΓ med ΔΛΘ. Och eftersom de två räta linjerna ΒΑ och ΑΓ, vilka skär varandra, är parallella med de två räta linjerna ΚΘ och ΘΛ, vilka skär varandra, inte ligger i samma plan, omsluter de lika vinklar.Prop. 11.10 Alltså är vinkeln ΒΑΓ lika med ΚΘΛ. Och som ΒΑ är till ΑΓ, så är ΚΘ till ΘΛ, alltså är triangeln ΑΒΓ likformig med triangeln ΘΚΛ.Prop. 6.6 Och alltså är pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΓ och vars spets är punkten Δ, likformig med pyramiden, vars bas är triangeln ΘΚΛ och vars spets är punkten Δ.Def. 11.9 Men pyramiden, vars bas är triangeln ΘΚΛ och vars spets är punkten Δ, har vistats vara likformig med pyramiden, vars bas är triangeln ΑΕΗ och vars spets är punkten Θ. ~~Så att även pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΓ och vars spets är punkten Δ, är likformig med pyramiden, vars bas är triangeln ΑΕΗ och vars spets är punkten Θ~~. Alltså är var och en av pyramiderna ΑΕΗΘ och ΘΚΛΔ likformig med den hela pyramiden ΑΒΓΔ. — Och eftersom ΒΖ är lika med ΖΓ, är parallellogrammen ΕΒΖΗ dubbla triangeln ΗΖΓ.Prop. 1.41 Och eftersom, om två prismor, med samma höjd och en har som bas en parallellogram och en en triangel samt parallellogrammen är dubbla triangeln, prismorna är lika,Prop. 11.39 är alltså prismat omslutet av de två trianglarna ΒΚΖ och ΕΘΗ samt de ter parallellogrammerna ΕΒΖΗ, ΕΒΚΘ och ΘΚΖΗ lika med prismat omslutet av de två trianglarna ΗΖΓ och ΘΚΛ samt de tre parallellogrammerna ΚΖΓΛ, ΛΓΗΘ och ΘΚΖΗ. Och det är uppenbart, att vart och ett av prismorna, den, vars bas är parallellogrammen ΕΒΖΗ och den räta linjen ΘΚ är motstående, samt den, vars bas är triangeln ΗΖΓ och triangeln ΘΚΛ är motstående, är större än var och en av pyramiderna, vars baser är trianglarna ΑΕΗ och ΘΚΛ samt vars spetsar är punkterna Θ och Δ, eftersom om vi ~~även~~ förbundit de räta linjerna ΕΖ och ΕΚ, är prismat, vars bas är parallellogrammen ΕΒΖΗ och den räta linjen ΘΚ är motstående, större än pyramiden, vars bas är triangeln ΕΒΖ och vars spets är punkten Κ. Men pyramiden, vars bas är triangeln ΕΒΖ och vars spets är punkten Κ, är lika med pyramiden, vars bas är triangeln ΑΕΗ och vars spets är punkten Θ, ty de omsluts av lika och likformiga plan. Så att även prismat, vars bas är parallellogrammen ΕΒΖΗ och den räta linjen ΘΚ är motstående, är större än pyramiden, vars bas är triangeln ΑΕΗ och vars spets är punkten Θ. Men prismat, vars bas är parallellogrammen ΕΒΖΗ och den räta linjen ΘΚ är motstående, är lika med prismat, vars bas är triangeln ΗΖΓ och triangeln ΘΚΛ är motstående, och pyramiden, vars bas är triangeln ΑΕΗ och vars spets är punkten Θ, är lika med pyramiden, vars bas är triangeln ΘΚΛ och vars spets är punkten Δ. Alltså är de två nämnda prismorna större än de två nämnda pyramiderna, vars baser är trianglarna ΑΕΗ och ΘΚΛ samt vars spetsar är punkterna Θ och Δ.

Alltså har hela pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΓ och vars spets är punkten Δ, delats i två pyramider, lika med varandra ~~och likformiga med den hela~~, samt i två lika prismor. De två prismorna är även större än hälften av hela pyramiden. Vilket skulle visas.

δʹ.

Ἐὰν ὦσι δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους ἔχουσαι βάσεις, διαιρεθῇ δὲ ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, ἔσται ὡς ἡ τῆς μιᾶς πυραμίδος βάσις πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας πυραμίδος βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ἑτάρᾳ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῇ.

4.

Om det finns två pyramider med samma höjd, som har trianglar som baser, och var och en av dem delats i två pyramider lika med varandra och likformiga med den hela samt i två lika prismor, skall som en pyramids bas är till den andra pyramidens bas, så alla prismor i den ena pyramiden vara till alla prismor, i samma antal, i den andra pyramiden.

Ἔστωσαν δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους ἔχουσαι βάσεις τὰς ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰς δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα ἰσοπληθῆ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΞ τῇ ΞΓ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΑΒ καὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΞΓ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΡΦΖ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῆς ΓΞ, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΦ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΞ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΦ. καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΒΓ, ΓΞ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΒΓ, ΛΞΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΖΦ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα ~~εὐθύγραμμα~~ τὰ ΔΕΖ, ΡΦΖ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ ~~τρίγωνον~~, οὕτως τὸ ΛΞΓ ~~τρίγωνον~~ πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον. ἀλλ᾿ ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μέν ~~ἐστι~~ τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. ὡς δὲ τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ εὐθεῖα, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα. καὶ τὰ δύο ἄρα πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ, καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὰ πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα πρὸς τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα.

Καὶ ὁμοίως, ἐὰν διαιρεθῶσιν αἱ ΟΜΝΗ, ΣΤΥΘ πυραμίδες εἴς τε δύο πρίσματα καὶ δύο πυραμίδας, ἔσται ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΟΜΝΗ πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΣΤΥΘ πυραμίδι δύο πρίσματα. ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν· ἴσον γὰρ ἑκάτερον τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἑκατέρῳ τῶν ΛΞΓ, ΡΦΖ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ τέσσαρα πρίσματα πρὸς τὰ τέσσαρα πρίσματα. ὁμοίως δὲ κἂν τὰς ὑπολειπομένας πυραμίδας διέλωμεν εἴς τε δύο πυραμίδας καὶ εἰς δύο πρίσματα, ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Ὅτι δέ ἐστιν ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ ~~τρίγωνον~~, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ, οὕτω δεικτέον.

Ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς νενοήσθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα, ἴσαι δηλαδὴ τυγχάνουσαι διὰ τὸ ἰσοϋψεῖς ὑποκεῖσθαι τὰς πυραμίδας. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΗΓ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓ, ΟΜΝ τέμνονται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται. καὶ τέτμηται ἡ ΗΓ δίχα ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου κατὰ τὸ Ν· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὸ ΔΕΖ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΣΤΥ ἐπιπέδου. καί εἰσιν ἴσαι αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ κάθετοι. ἰσοϋψῆ ἄρα ~~ἐστὶ~~ τὰ πρίσματα, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΛΞΓ, ΡΦΖ τρίγωνα, ἀπεναντίον δὲ τὰ ΟΜΝ, ΣΤΥ. ὥστε καὶ τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμάτων ἀναγραφόμενα ἰσοϋψῆ καὶ πρὸς ἄλληλά ~~εἰσιν~~ ὡς αἱ βάσεις· καὶ τὰ ἡμίση ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΞΓ βάσις πρὸς τὴν ΡΦΖ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[4]

Låt det finnas två pyramider med samma höjd, som har trianglarna ΑΒΓ och ΔΕΖ som baser, och punkterna Η och Θ som spetsar. Låt ha delat var och en av dem i två pyramider lika med varandra och lika med den hela samt i två lika prismor.Prop. 12.3 Jag säger, att som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är alla prismor i pyramiden ΑΒΓΗ till alla prismor, i samma antal, i pyramiden ΔΕΖΘ.

Ty eftersom ΒΞ är lika med ΞΓ och ΑΛ med ΛΓ, är alltså ΛΞ parallell med ΑΒ och triangeln ΑΒΓ likformig med triangeln ΛΞΓ.Prop. 12.3 Av samma skäl är även triangeln ΔΕΖ likformig med triangeln ΡΦΖ. Och eftersom ΒΓ är dubbla ΓΞ och ΕΖ dubbla ΖΦ, alltså som ΒΓ är till ΓΞ, så är ΕΖ till ΖΦ. Och de likformiga och lika ställda de rätlinjiga figurerna ΑΒΓ och ΛΞΓ har ritats på ΒΓ och ΓΞ samt de likformiga och lika ställda de ~~rätlinjiga figurerna~~ ΔΕΖ och ΡΦΖ på ΕΖ och ΖΦ. Alltså som triangeln ΑΒΓ är till triangeln ΛΞΓ, så är triangeln ΔΕΖ till triangeln ΡΦΖ,Prop. 6.22 alltså, alternerat, som triangeln ΑΒΓ är till ~~triangeln~~ ΔΕΖ, så är ~~triangeln~~ ΛΞΓ till triangeln ΡΦΖ.Prop. 5.16 Men som triangeln ΛΞΓ är till triangeln ΡΦΖ, så är prismat, vars bas är triangeln ΛΞΓ och ΟΜΝ är motstående, till prismat, vars bas är triangeln ΡΦΖ och ΣΤΥ är motstående, och alltså som triangeln ΑΒΓ är till triangeln ΔΕΖ, så är prismat, vars bas är triangeln ΛΞΓ och ΟΜΝ är motstående, till prismat, vars bas är triangeln ΡΦΖ och ΣΤΥ är motstående. Och som nämnda prismor är till varandra, så är prismat, vars bas är parallellogrammen ΚΒΞΛ och den räta linjen ΟΜ motstående, till prismat, vars bas är parallellogrammen ΠΕΦΡ och den räta linjen ΣΤ motstående.Prop. 11.39 Prop. 12.3 Och alltså är prismorna, vars bas är parallellogrammen ΚΒΞΛ och ΟΜ motstående samt vars bas är ΛΞΓ och ΟΜΝ motstående, till prismorna, vars bas är ΠΕΦΡ och den räta linjen ΣΤ motstående samt vars bas är triangeln ΡΦΖ och ΣΤΥ motstående.Prop. 5.12 Och alltså som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är nämnda två prismor till nämnda två prismor.

Och på samma sätt, om pyramiderna ΟΜΝΗ och ΣΤΥΘ delats i två prismor och två pyramider, skall som basen ΟΜΝ är till ΣΤΥ, så vara de två prismorna i pyramiden ΟΜΝΗ till de två prismorna i pyramiden ΣΤΥΘ. Men som basen ΟΜΝ är till basen ΣΤΥ, så är basen ΑΒΓ till basen ΔΕΖ, ty var och en av trianglarna ΟΜΝ och ΣΤΥ är lika med var och en av ΛΞΓ och ΡΦΖ. Och alltså som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är de fyra prismorna till de fyra prismorna.Prop. 5.12 På samma sätt, även om vi delat de resterande pyramiderna i två pyramider och i två prismor, skall som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så vara alla prismor i pyramiden ΑΒΓΗ till alla prismor, i samma antal, i pyramiden ΔΕΖΘ. Vilket skulle visas.

Hjälpsats.

Att som triangeln ΛΞΓ är till triangeln ΡΦΖ, så är prismat, vars bas är triangeln ΛΞΓ och ΟΜΝ motstående, till prismat, vars bas är ~~triangeln~~ ΡΦΖ och ΣΤΥ motstående, är visat på detta sätt.

Ty låt i samma figur ha övervägt normaler från Η och Θ till planen ΑΒΓ och ΔΕΖ, de råkar uppenbarligen vara lika, på grund av att pyramiderna antagits vara lika höga. Och eftersom de två räta linjerna, ΗΓ och normalen från Η, skärs av de parallella planen ΑΒΓ och ΟΜΝ, skall de skäras i samma förhållande.Prop. 11.17 Och ΗΓ har delats i hälften vid Ν av planet ΟΜΝ, alltså skall även normalen från Η till planet ΑΒΓ delas i hälften av planet ΟΜΝ. Av samma skäl skall även normalen från Θ till planet ΔΕΖ delas i hälften av planet ΣΤΥ. Och normalerna från Η och Θ till planen ΑΒΓ och ΔΕΖ är lika, alltså är även normalerna från trianglarna ΟΜΝ och ΣΤΥ till ΑΒΓ och ΔΕΖ lika. Alltså är prismorna, vars baser är trianglarna ΛΞΓ och ΡΦΖ samt ΟΜΝ och ΣΤΥ motstående, lika höga. Så att även parallellepipederna uppritade på nämnda prismor är lika höga och är till varandra som baserna.Prop. 11.32 Så även halvorna, alltså som basen ΛΞΓ är till basen ΡΦΖ, så är nämnda prismor till varandra. Vilket skulle visas.

εʹ.

Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.

5.

Pyramider med samma höjd och som har trianglar som baser är till varandra som baserna.

Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Χ, καὶ διῃρὴσθω ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα· τὰ δὴ δύο πρίσαμτα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος. καὶ πάλιν αἱ ἐκ τῆς διαιρέσεως γινόμεναι πυραμίδες ὁμοίως διῃρήσθωσαν, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἕως οὗ λειφθῶσί τινες πυραμίδες ἀπὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος, αἵ εἰσιν ἐλάττονες τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς τοῦ Χ στερεοῦ. λελείφθωσαν καὶ ἔστωσαν λόγου ἕνεκεν αἱ ΔΠΡΣ, ΣΤΥΘ· λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα μείζονά ἐστι τοῦ Χ στερεοῦ. διῃρήσθω καὶ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ὁμοίως καὶ ἰσοπληθῶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα, ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα· ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα, οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα. μείζων δὲ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῶν ἐν αὐτῇ πρισμάτων· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Χ στερεὸν τῶν ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρισμάτων. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλαττόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος στερεόν.

Λέγω δή, ὅτι οὐκ ἔστιν οὐδὲ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Χ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα. ὡς δὲ τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[5]

Låt det finnas pyramider med samma höjd, vars baser är trianglarna ΑΒΓ och ΔΕΖ samt vars spetsar är punkterna Η och Θ. Jag säger, att som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är pyramiden ΑΒΓΗ till pyramiden ΔΕΖΘ.

Ty om som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så inte pyramiden ΑΒΓΗ är till pyramiden ΔΕΖΘ, skall som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så pyramiden ΑΒΓΗ vara antingen till någon kropp antingen mindre eller större än pyramiden ΔΕΖΘ. Låt den först vara till en mindre, Χ, och låt pyramiden ΔΕΖΘ ha delats i två pyramider lika med varandra och likformiga med den hela samt i två lika prismor. Då är de två prismorna större än halva hela pyramiden.Prop. 12.3 Och låt på samma sätt åter dela pyramiderna skapade av delningen och låt detta oupphörligen ske, tills dess några pyramider har lämnats kvar av pyramiden ΔΕΖΘ, vilka är mindre än skillnaden, som pyramiden ΔΕΖΘ överstiger kroppen Χ med.Prop. 10.1 Låt dem ha lämnats kvar och låt dem, till exempel, vara ΔΠΡΣ och ΣΤΥΘ, alltså är prismorna i pyramiden ΔΕΖΘ större än kroppen Χ. Låt även pyramiden ΑΒΓΗ ha delats på samma sätt och lika många gånger som pyramiden ΔΕΖΘ, alltså som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är prismorna i pyramiden ΑΒΓΗ till prismorna i pyramiden ΔΕΖΘ,Prop. 12.4 men även som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är pyramiden ΑΒΓΗ till kroppen Χ. Och alltså som pyramiden ΑΒΓΗ är till kroppen Χ, så är prismorna i pyramiden ΑΒΓΗ till prismorna i pyramiden ΔΕΖΘ.Prop. 5.11 Alltså, alternerat, som pyramiden ΑΒΓΗ är till prismorna i den, så är kroppen Χ till prismorna i pyramiden ΔΕΖΘ.Prop. 5.16 Och pyramiden ΑΒΓΗ är större än prismorna i den, alltså är även kroppen Χ större än prismorna i pyramiden ΔΕΖΘ.Prop. 5.14 Men också mindre, vilket är omöjligt. Alltså som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är inte pyramiden ΑΒΓΗ till någon kropp mindre än pyramiden ΔΕΖΘ. På samma sätt skall det även visas, att som basen ΔΕΖ är till basen ΑΒΓ, så är inte heller pyramiden ΔΕΖΘ till någon kropp mindre än pyramiden ΑΒΓΗ.

Jag säger så, att som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är inte heller pyramiden ΑΒΓΗ till någon kropp större än pyramiden ΔΕΖΘ.

Ty om möjligt, låt den vara till en större, Χ. Alltså omvänt, som basen ΔΕΖ är till basen ΑΒΓ, så är kroppen Χ till pyramiden ΑΒΓΗ.Prop. 5.7 cor. Och som kroppen Χ är till pyramiden ΑΒΓΗ, så är pyramiden ΔΕΖΘ till någon kropp mindre än pyramiden ΑΒΓΗ, som visats ovan.Prop. 12.2 lem. Och alltså som basen ΔΕΖ är till basen ΑΒΓ, så är pyramiden ΔΕΖΘ till någon kropp mindre än pyramiden ΑΒΓΗ,Prop. 5.11 vilket har visats vara orimligt. Alltså som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är inte pyramiden ΑΒΓΗ till någon kropp större än pyramiden ΔΕΖΘ. Och har visats, att inte heller vara så till en mindre. Alltså som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är pyramiden ΑΒΓΗ till pyramiden ΔΕΖΘ. Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Αἱ ὐπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.

6.

Pyramider med samma höjd och som har polygoner som baser är till varandra som baserna.

Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν αἱ βάσεις μὲν τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Μ, Ν σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΖΘ, ΖΚ. ἐπεὶ οὖν δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΒΓΜ, ΑΓΔΜ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα. καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα. δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα. καὶ συνθέντι πάλιν, ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ὡς ἡ ΖΗΘΚΛ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως καὶ ἡ ΖΗΘΚΛΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. καὶ ἐπεὶ δύο πυραμίδες εἱσὶν αἱ ΑΔΕΜ, ΖΗΘΝ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕ βάσιν, οὕτως ἦν ἡ ΑΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕΜ πυραμίδα. καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα. ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ἡ ΖΗΘ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἦν καὶ ἡ ΖΗΘΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα, καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[6]

Låt det finnas pyramider med samma höjd, vars baser är polygonerna ΑΒΓΔΕ och ΖΗΘΚΛ samt vars spetsar är punkterna Μ och Ν. Jag säger, att som basen ΑΒΓΔΕ är till basen ΖΗΘΚΛ, så är pyramiden ΑΒΓΔΕΜ till pyramiden ΖΗΘΚΛΝ.

Ty låt ΑΓ, ΑΔ, ΖΘ och ΖΚ ha förbundits. Eftersom då de två pyramiderna ΑΒΓΜ och ΑΓΔΜ, vilka har trianglar som baser och är lika höga, är till varandra som baserna,Prop. 12.5 alltså som basen ΑΒΓ är till basen ΑΓΔ, så är pyramiden ΑΒΓΜ till pyramiden ΑΓΔΜ. Och genom komposition som basen ΑΒΓΔ är till basen ΑΓΔ, så är pyramiden ΑΒΓΔΜ till pyramiden ΑΓΔΜ.Prop. 5.18 Men som basen ΑΓΔ är till basen ΑΔΕ, så är även pyramiden ΑΓΔΜ till pyramiden ΑΔΕΜ.Prop. 12.5 Alltså, ex aequali, som basen ΑΒΓΔ är till basen ΑΔΕ, så är pyramiden ΑΒΓΔΜ till pyramiden ΑΔΕΜ.Prop. 5.22 Och åter genom komposition, som basen ΑΒΓΔΕ är till basen ΑΔΕ, så är pyramiden ΑΒΓΔΕΜ till pyramiden ΑΔΕΜ.Prop. 5.18 På samma sätt skall det också visas, att som basen ΖΗΘΚΛ är till basen ΖΗΘ, så är även pyramiden ΖΗΘΚΛΝ till pyramiden ΖΗΘΝ. Och eftersom ΑΔΕΜ och ΖΗΘΝ är två pyramider med samma höjd och som har trianglar som baser, alltså som basen ΑΔΕ är till basen ΖΗΘ, så är pyramiden ΑΔΕΜ till pyramiden ΖΗΘΝ.Prop. 12.5 Men som basen ΑΔΕ är till basen ΑΒΓΔΕ, så var pyramiden ΑΔΕΜ till pyramiden ΑΒΓΔΕΜ. Och alltså, ex aequali, som basen ΑΒΓΔΕ är till basen ΖΗΘ, så är pyramiden ΑΒΓΔΕΜ till pyramiden ΖΗΘΝ.Prop. 5.22 Men också som basen ΖΗΘ är till basen ΖΗΘΚΛ, så var pyramiden ΖΗΘΝ till pyramiden ΖΗΘΚΛΝ, alltså, ex aequali, som basen ΑΒΓΔΕ är till basen ΖΗΘΚΛ, så är även pyramiden ΑΒΓΔΕΜ till pyramiden ΖΗΘΚΛΝ.Prop. 5.22 Vilket skulle visas.

ζʹ.

Πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας.

7.

Alla prismor som har en triangel som bas delas i tre pyramider lika med varandra och som har trianglar som baser.

Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα διαιρεῖται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΕΓ, ΓΔ. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΕΔ, διάμετρος δὲ αὐτὸῦ ἐστιν ἡ ΒΔ, ἴσον ἄρα ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΔ τρίγωνῳ· καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. ἀλλὰ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχεται. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΖΓΒΕ, διάμετρος δέ ἐστιν αὐτοῦ ἡ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΕΖ τρίγωνον τῷ ΓΒΕ τριγώνῳ. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΓΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐδείχθη πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον· καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΓΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ~~ἐστι~~ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον· διῄρηται ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις.

Καὶ ἐπεὶ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΓΑΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχονται· ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, τρίτον ἐδείχθη τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ, καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, τρίτον ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ ἔχοντος βάσις τὴν αὐτὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον ἐπειδήπερ κἂν ἕτερόν τι σχῆμα εὐθύγραμμον ἔχῃ ἡ βάσις τοῦ πρίσματος, τοιοῦτο καὶ τὸ ἀπεναντίον, καὶ διαιρεῖται εἰς πρίσματα τρίγωνα ἔχοντα τὰς βάσεις καὶ τὰ ἀπεναντίον, καὶ ὡς ἡ ὅλη βάσις πρὸς ἕκαστον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[7]

Låt det finnas ett prisma, vars bas är triangeln ΑΒΓ och ΔΕΖ motstående. Jag säger, att prismat ΑΒΓΔΕΖ delas i tre pyramider lika med varandra och som har trianglar som baser.

Ty låt ΒΔ, ΕΓ och ΓΔ ha förbundits. Eftersom ΑΒΕΔ är en parallellogram och ΒΔ dess diagonal, är alltså triangeln ΑΒΔ lika med triangeln ΕΒΔ,Prop. 1.34 Och alltså är pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΔ och vars spets är punkten Γ, lika med pyramiden, vars bas är triangeln ΔΕΒ och vars spets är punkten Γ.Prop. 12.5 Men pyramiden vars bas är triangeln ΔΕΒ och vars spets är punkten Γ är samma pyramid som den, vars bas är triangeln ΕΒΓ och vars spets är punkten Δ, ty den omsluts av samma plan. Alltså är även pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΔ och vars spets är punkten Γ, lika med pyramiden, vars bas är triangeln ΕΒΓ och vars spets är punkten Δ. Åter eftersom ΖΓΒΕ är en parallellogram och ΓΕ dess diagonal, är triangeln ΓΕΖ lika med triangeln ΓΒΕ.Prop. 1.34 Och alltså är pyramiden, vars bas är triangeln ΒΓΕ och vars spets är punkten Δ, lika med pyramiden, vars bas är triangeln ΕΓΖ och vars spets är punkten Δ.Prop. 12.5 Pyramiden, vars bas är triangeln ΒΓΕ och vars spets är punkten Δ, har visats vara lika med pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΔ och vars spets är punkten Γ, alltså är pyramiden, vars bas är triangeln ΓΕΖ och vars spets är punkten Δ, lika med pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΔ och vars spets är punkten Γ, alltså har prismat ΑΒΓΔΕΖ delats i tre pyramider lika med varandra och som har trianglar som baser.

Och eftersom pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΔ och vars spets är punkten Γ, är samma pyramid som den, vars bas är triangeln ΓΑΒ och vars spets är punkten Δ, ty den omsluts av samma plan, samt pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΔ och vars spets är punkten Γ, har visats vara en tredjedel av prismat, vars bas är triangeln ΑΒΓ och ΔΕΖ är motstående, alltså är även pyramiden, vars bas är triangeln ΑΒΓ och vars spets är punkten Δ, en tredjedel av prismat, som har samma bas, triangeln ΑΒΓ, och ΔΕΖ är motstående.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att varje pyramid är en tredjedel av prismat, som har samma bas som den och samma höjd eftersom om prismats bas och den motstående vore någon annan rätlinjig figur, delas prismat i prismor, som har trianglar som baser och motstående, till vilka prismat är som hela basen är till var och en av baserna. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Αἱ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.

8.

Likformiga pyramider, som har trianglar som baser, har ett triplicerat förhållande än de homologa sidornas.

Ἔστωσαν ὅμοιαι καὶ ὁμοίως κείμεναι πυραμίδες, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.

Συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα. καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, ἵση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΓ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΕΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΠ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΒΝ τῷ ΕΡ ὅμοιόν ἐστι, τὸ δὲ ΒΚ τῷ ΕΞ· τὰ τρία ἄρα τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖς ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ ὅμοιά ἐστιν. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν, τὰ δὲ τρία τὰ ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν. τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ ἄρα στερεὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων ἴσων τὸ πλῆθος περιέχεται. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ. τὰ δὲ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. τὸ ΒΗΜΛ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΕΖ. ὡς δὲ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἐπειδήπερ ἡ πυραμὶς ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ διὰ τὸ καὶ τὸ πρίσμα ἥμισυ ὂν τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τριπλάσιον εἶναι τῆς πυραμίδος. καὶ ἡ ΑΒΓΗ ἄρα πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι καὶ αἱ πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. διαιρεθεισῶν γὰρ αὐτῶν εἰς τὰς ἐν αὐταῖς πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας τῷ καὶ τὰ ὅμοια πολύγωνα τῶν βάσεων εἰς ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖσθαι καὶ ἴσα τῷ πλήθει καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις ἔσται ὡς ἡ ἐν τῇ ἑτέρᾳ μία πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ μίαν πυραμίδα τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν, οὕτως καὶ ἅπασαι αἱ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδες τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς τὰς ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας, τουτέστιν αὐτὴ ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν πολύγωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα. ἡ δὲ τρίγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν τρίγωνον βάσιν ἔχουσαν ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγον πλευρῶν· καὶ ἡ πολύγωνον ἄρα βάσιν ἔχουσα πρὸς τὴν ὁμοίαν βάσιν ἔχουσαν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.^[8]

Låt det finnas likformiga och på samma sätt utsatta pyramider, vars baser är trianglarna ΑΒΓ och ΔΕΖ samt vars spetsar är punkterna Η och Θ. Jag säger, att pyramiden ΑΒΓΗ har ett triplicerat förhållande till pyramiden ΔΕΖΘ än ΒΓ till ΕΖ.

Ty låt parallellepipederna ΒΗΜΛ och ΕΘΠΟ ha fullbordats och eftersom pyramiden ΑΒΓΗ är likformig med pyramiden ΔΕΖΘ, är alltså vinkeln ΑΒΓ lika med vinkeln ΔΕΖ, ΗΒΓ med ΘΕΖ och ΑΒΗ med ΔΕΘ samt som ΑΒ är till ΔΕ, så är ΒΓ till ΕΖ och ΒΗ till ΕΘ.Def. 11.9 Och då som ΑΒ är till ΔΕ, så är ΒΓ till ΕΖ och sidor vid lika vinklar är proportionella, är alltså ΒΜ likformig med parallellogrammen ΕΠ. Av samma skäl är även ΒΝ likformig med ΕΡ och ΒΚ med ΕΞ, alltså är de tre ΜΒ, ΒΚ och ΒΝ likformiga med de tre ΕΠ, ΕΞ och ΕΡ. Men de tre ΜΒ, ΒΚ och ΒΝ är lika och likformiga med de tre motstående samt de tre ΕΠ, ΕΞ och ΕΡ är lika och likformiga med de tre motstående.Prop. 11.24 Alltså omsluts kropparna ΒΗΜΛ och ΕΘΠΟ av likformiga och lika många plan. Alltså är kroppen ΒΗΜΛ likformig med kroppen ΕΘΠΟ.Def. 11.9 Och likformiga parallellepipeder har ett triplicerat förhållande än de homologa sidornas.Prop. 11.33 Alltså har kroppen ΒΗΜΛ ett triplicerat förhållande till kroppen ΕΘΠΟ än den homologa sidan ΒΓ till den homologa sidan ΕΖ. Och som kroppen ΒΗΜΛ är till kroppen ΕΘΠΟ, så är pyramiden ΑΒΓΗ till pyramiden ΔΕΖΘ, eftersom pyramiden är en sjättedel av kroppen, på grund av att prismat, som är hälften av parallellepipeden,Prop. 11.28 också är tre gånger pyramiden.Prop. 12.7 Och alltså har pyramiden ΑΒΓΗ ett triplicerat förhållande till pyramiden ΔΕΖΘ än ΒΓ till ΕΖ. Vilket skulle visas.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att också likformiga pyramider, som har polygoner som baser, har ett triplicerat förhållande till varandra än de homologa sidornas. Ty låt dem ha delats i pyramider i dem, som har trianglar som baser, på det sätt basernas likformiga polygoner delas i likformiga trianglar, både lika till antalet och homologa med de hela.Prop. 6.20 Skall som en pyramid, som har en triangel som bas, i den ena är till en pyramid, som har en triangel som bas, i den andra, så även alla pyramider, som har en triangel som bas, i den ena pyramiden vara till alla pyramider, som har en triangel som bas, i den andra pyramiden,Prop. 5.12 det vill säga samma pyramid, som har en polygon som bas, till den andra pyramiden, som har en polygon som bas. Och en pyramid, som har en triangel som bas, har ett triplicerat förhållande till en pyramid, som har en triangel som bas, än de homologa sidornas.Prop. 12.8 Och alltså har den pyramid, som har en polygon som bas, ett triplicerat förhållande till den, som har en homolog bas, än en homolog sida till en homolog sida.

θʹ.

Τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι.

9.

Baser till lika pyramider, som även har trianglar som baser, är omvänt proportionella till höjderna. Och pyramider, som har trianglar som baser, vars baser är omvänt proportionella till höjderna, dessa är lika.

Ἔστωσαν γὰρ ἴσαι πυραμίδες τριγώνους βάσεις ἔχουσαι τὰς ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰς δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος.

Συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒΓΗ πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΒΗΜΛ στερεόν, τῆς δὲ ΔΕΖΘ πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ. τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπώδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος. ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος. ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτὸ ἐστι τῷ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψει, τὸ δὲ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος. τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ ἄρα πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

Ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος. ἀλλὰ τὸ ~~μὲν~~ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψει, τὸ δὲ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψος. ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ. καί ἐστι τοῦ μὲν ΒΗΜΛ ἕκτον μέρος ἡ ΑΒΓΗ πυραμίς, τοῦ δὲ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ἕκτον μέρος ἡ ΔΕΖΘ πυραμίς· ἴση ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι.

Τῶν ἄρα ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[9]

Ty låt det finnas två lika pyramider, som har trianglarna ΑΒΓ och ΔΕΖ som baser och som spetsar punkterna Η och Θ. Jag säger, att pyramiderna ΑΒΓΗ och ΔΕΖΘ:s baser är omvänt proportionella till höjderna och som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är pyramiden ΔΕΖΘ:s höjd till pyramiden ΑΒΓΗ:s höjd.

Ty låt parallellepipederna ΒΗΜΛ och ΕΘΠΟ ha fullbordats. Och eftersom pyramiden ΑΒΓΗ är lika med pyramiden ΔΕΖΘ och kroppen ΒΗΜΛ är sex gånger pyramiden ΑΒΓΗ och kroppen ΕΘΠΟ sex gånger pyramiden ΔΕΖΘ, är alltså kroppen ΒΗΜΛ lika med kroppen ΕΘΠΟ. Och lika parallellepipeders baser är omvänt proportionella till höjderna,Prop. 11.34 Alltså som basen ΒΜ är till basen ΕΠ, så är kroppen ΕΘΠΟ:s höjd till kroppen ΒΗΜΛ:s höjd. Men som basen ΒΜ är till ΕΠ, så är triangeln ΑΒΓ till triangeln ΔΕΖ.Prop. 1.34 Och alltså som triangeln ΑΒΓ är till triangeln ΔΕΖ, så är kroppen ΕΘΠΟ:s höjd till kroppen ΒΗΜΛ:s höjd.Prop. 5.11 Men kroppen ΕΘΠΟ:s höjd är samma som pyramiden ΔΕΖΘ:s höjd och kroppen ΒΗΜΛ:s höjd är samma som pyramiden ΑΒΓΗ:s höjd, alltså som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är pyramiden ΔΕΖΘ:s höjd till pyramiden ΑΒΓΗ:s höjd. Alltså är pyramiderna ΑΒΓΗ och ΔΕΖΘ:s baser omvänt proportionella till höjderna.

Men låt så pyramiderna ΑΒΓΗ och ΔΕΖΘ:s baser vara omvänt proportionella till höjderna och låt som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så vara pyramiden ΔΕΖΘ:s höjd till pyramiden ΑΒΓΗ:s höjd. Jag säger, att pyramiden ΑΒΓΗ är lika med pyramiden ΔΕΖΘ.

Ty med samma uppställning, då som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är pyramiden ΔΕΖΘ:s höjd till pyramiden ΑΒΓΗ:s höjd, men som basen ΑΒΓ är till basen ΔΕΖ, så är parallellogrammen ΒΜ till parallellogrammen ΕΠ,Prop. 1.34 alltså som parallellogrammen ΒΜ är till parallellogrammen ΕΠ, så är även pyramiden ΔΕΖΘ:s höjd till pyramiden ΑΒΓΗ:s höjd.Prop. 5.11 Men pyramiden ΔΕΖΘ:s höjd är samma som parallellepipeden ΕΘΠΟ:s höjd och pyramiden ΑΒΓΗ:s höjd är samma som parallellepipeden ΒΗΜΛ:s höjd. Alltså som basen ΒΜ är till basen ΕΠ, så är parallellepipeden ΕΘΠΟ:s höjd till parallellepipeden ΒΗΜΛ:s höjd. Parallellepipeder vars baser är omvänt proportionella till höjderna, dessa är lika,Prop. 11.34 alltså är parallellepipeden ΒΗΜΛ lika med parallellepipeden ΕΘΠΟ. Och pyramiden ΑΒΓΗ är en sjättedel av ΒΗΜΛ och pyramiden ΔΕΖΘ en sjättedel av parallellepipeden ΕΘΠΟ, alltså är pyramiden ΑΒΓΗ lika med pyramiden ΔΕΖΘ.

Alltså är baser till lika pyramider, som även har trianglar som baser, omvänt proportionella till höjderna. Och pyramider, som har trianglar som baser, vars baser är omvänt proportionella till höjderna, dessa är lika. Vilket skulle visas.

ιʹ.

Πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον.

10.

Varje kon är en tredjedel av en cylinder, som har samma bas och är lika hög som den.

Ἐχέτω γὰρ κῶνος κυλίνδρῷ βάσιν τε τὴν αὐτὴν τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ ὕψος ἴσον· λέγω, ὅτι ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου τρίτον ἐστὶ μέρος, τουτέστιν ὅτι ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων ἐστίν.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων, ἔσται ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἤτοι μείζων ἢ τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων. ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· τὸ δὴ ΑΒΓΔ τετράγωνον μείζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πρίσμα ἰσοϋψὲς τῷ κυλίνδρῳ. τὸ δὴ ἀνιστάμενον πρίσμα μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδου, ἐπειδήπερ κἂν περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ περιγεγραμμένου· καί ἐστι τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν ἀνιστάμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρίσματα ἰσοϋψῆ· τὰ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓΔ ἄρα τετραγώνου ἀνασταθὲν πρίσμα ἥμισύ ἐστι τοῦ ἀνασταθέντος πρίσματος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου· καί ἐστιν ὁ κύλινδρος ἐλάττων τοῦ πρίσματος τοῦ ἀνατραθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου· τὸ ἄρα πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἰσοϋψὲς τῷ κυλίνδρῳ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ κυλίνδρου. τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μειζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ τηήματος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν. ἀνεστάτω ἐφ᾿ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ἀνασταθέντων πρισμάτων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ σημείων παραλλήλους ταῖς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ἀγάγωμεν, καὶ συμπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ παραλληλόγραμμα, καὶ ἀπ᾿ αὐτῶν ἀναστήσωμεν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ, ἑκάσου τῶν ἀνασταθέντων ἡμίση ἐστὶ τὰ πρίσματα τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων· καί ἐστι τὰ τοῦ κυλίνδρου τμήματα ἐλάττονα τῶν ἀνασταθέντων στερεῶν παραλληλεπιπέδων· ὥστε καὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθ᾿ ἑαυτὰ τοῦ κυλίνδρου τμημάτων. τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφ᾿ ἑκάσου τῶν τριγώνων πρίσματα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κυλίνδρου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κυλίνδρος τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῷ, μεῖζόν ἐστὶν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου. ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν ἐστὶ τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, τριπλάσιόν ἐστι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ· καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ~~ἐστι~~ τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντες τὸν ΑΒΓΔ κύκλον. ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ᾿ αὐτοῦ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου μεῖζων ἢ τριπλάσιος.

Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων ἢ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου· ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου μεῖζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος. ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· τὸ ΑΒΓΔ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· ἠ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ, ὡς ἕμπροσθεν ἐδείκνυμεν, ὅτι ἐὰν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, ἔσται τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον ἥμισυ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγεγραμμένου τετραγώνου· καὶ ἐὰν ἀπὸ τῶν τετραγώνων στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀναστήσωμεν ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἂ καὶ καλεῖται πρίσματα, ἔσται τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἥμισυ τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου· πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις. ὥστε καὶ τὰ τρίτα· καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, ἥμισύ ἐστι τῆς πυραμίδος τῆς ἀνασταθείσης ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου. καί ἐστι μείζων ἡ πυραμὶς ἡ ἀνασταθεῖσα ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου τοῦ κώνου· ἐμπεριέχει γὰρ αὐτόν. ἡ ἄρα πυραμὶς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου. τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος του καθ᾿ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. καὶ ἀνεστάτωσαν ἐφ᾿ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πυραμίδες τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαι τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθ᾿ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου. τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφ᾿ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδα τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαν τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦτες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κῶνος τοῦ τρίτου μέρους τοῦ κυλίνδρου. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος τοῦ κυλίνδρου. ἀλλ᾿ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αυτὴ τῷ κώνῳ, τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ· τὸ ἄρα πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου, οὗ βάσις ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ᾿ αὐτοῦ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιος· τριπλάσιος ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου· ὥστε ὁ κῶνος τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ κυλίνδρου.

Πᾶς ἄρα κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[10]

Ty låt det finnas en kon med samma bas, cirkeln ΑΒΓΔ, som en cylinder och med samma höjd. Jag säger, att konen är en tredjedel av cylindern, det vill säga, att cylindern tre gånger konen.

Ty om cylindern inte är tre gånger konen, skall cylindern vara antingen större än tre gånger eller mindre än tre gånger konen. Låt den först vara större än tre gånger och låt kvadraten ΑΒΓΔ ha skrivit in i cirkeln ΑΒΓΔ.Prop. 4.6 Då är kvadraten ΑΒΓΔ större än hälften av cirkeln ΑΒΓΔ.Prop. 12.2 Och låt ett prisma ha rests på kvadraten ΑΒΓΔ lika högt som cylindern. Då är det resta prismat större än halva cylindern, eftersom om vi kring cirkeln ΑΒΓΔ omskrivit en kvadrat,Prop. 4.7 är den inskrivna kvadraten i cirkeln ΑΒΓΔ hälften av den omskrivna kvadraten. Och parallellepipederna uppställda på dem är prismor med samma höjd. Och parallellepipeder som har samma höjd är till varandra som baserna,Prop. 11.32 alltså är prismat, som rests på kvadraten ΑΒΓΔ, hälften av prismat, som rests på kvadraten som omskriver cirkeln ΑΒΓΔ. Och cylindern är mindre än prismat rest på kvadraten som omskriver cirkeln ΑΒΓΔ, alltså är prismat, som rests lika hög som cylindern, på kvadraten ΑΒΓΔ större än hälften av cylindern. Låt cirkelbågarna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΑ ha delats i hälften vid punkterna Ε, Ζ, Η och Θ samt låt ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ och ΘΑ ha förbundits, alltså är även var och en av trianglarna ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ och ΔΘΑ större än halva segmentet av cirkeln ΑΒΓΔ kring dem, som vi visat ovan.Prop. 12.2 Låt prismor ha rests på var och en av trianglarna ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ och ΔΘΑ lika höga som cylindern, alltså är även var och en av de resta prismorna större än halva segmentet av cylindern kring dem, eftersom om vi dragit räta linjer genom punkterna Ε, Ζ, Η och Θ parallella med ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΑ, vi fullbordat parallellogrammerna på ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΑ samt vi rest parallellepipederna på dem, lika höga som cylindern, är prismorna resta på trianglarna ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ och ΔΘΑ hälften av var och en av de resta parallellepipederna. Och snitten av cylindern är mindre än de resta parallellepipederna, så att även prismorna på trianglarna ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ och ΔΘΑ är större än hälften av snitten av cylindern kring dem. Så delar vi de kvarvarande cirkelbågarna i hälften, förbinder de räta linjerna och reser prismor lika höga som cylindern på var och en av trianglarna samt gör detta oupphörligen, skall vi lämna kvar ett segment av cylindern, som skall vara mindre än skillnaden, som cylindern har gentemot tre gånger konen.Prop. 10.1 Låt dem ha lämnats kvar och låt dem vara ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ och ΘΑ. Alltså är resten av prismat, vars bas är polygonen ΑΕΒΖΓΗΔΘ och vars höjd är samma som för cylindern, tre gånger större än konen. Men prismat, vars bas är polygonen ΑΕΒΖΓΗΔΘ och vars höjd är samma som för cylindern, är tre gånger pyramiden, vars bas är polygonen ΑΕΒΖΓΗΔΘ och vars spets är samma som för konen,Prop. 12.7 cor. alltså är pyramiden, vars bas är polygonen ΑΕΒΖΓΗΔΘ och vars spets är samma som för konen, större än konen som har cirkeln ΑΒΓΔ som bas. Men också mindre, ty den omsluts av den, vilket är omöjligt. Alltså är cylindern inte tre gånger större än konen.

Jag säger så, att cylindern inte heller är tre gånger mindre än konen.

Ty om möjligt, låt cylindern vara tre gånger mindre än konen. Alltså är, omvänt, konen större än en tredjedel av cylindern. Låt så kvadraten ΑΒΓΔ inskrivas i cirkeln ΑΒΓΔ,Prop. 4.6 alltså är kvadraten ΑΒΓΔ större än hälften av cirkeln ΑΒΓΔ. Och låt ha rest en pyramid på kvadraten ΑΒΓΔ som har samma höjd som konen. Alltså är den resta pyramiden större än hälften av konen, eftersom, som vi visat ovan, att om vi omskrivit en kvadrat kring en cirkeln,Prop. 4.7 skall kvadraten ΑΒΓΔ vara hälften av kvadraten omskrivande cirkeln.Prop. 12.2 Och om vi rest parallellepipeder lika höga som konen på kvadraterna, vilka också kallas prismor, skall prismat rest på kvadraten ΑΒΓΔ vara hälften av prismat rest på kvadraten omskrivande cirkeln. Ty de är till varandra som basernaProp. 11.32 såsom även tredjedelarna. Alltså är pyramiden, vars bas är kvadraten ΑΒΓΔ, hälften av pyramiden rest på kvadraten omskrivande cirkeln.Prop. 12.7 cor. Och pyramiden rest på kvadraten omskrivande cirkeln är större än konen, ty den omskriver den. Alltså är pyramiden, vars bas är kvadraten ΑΒΓΔ och vars spets är samma som för konen, större än hälften av konen. Låt cirkelbågarna ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ och ΔΑ ha delats i hälften vid punkterna Ε, Ζ, Η och Θ samt låt ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ och ΘΑ ha förbundits. Alltså är var och en av trianglarna ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ och ΔΘΑ större än större än halva segmentet av cirkeln ΑΒΓΔ kring dem.Prop. 12.2 Och låt pyramider, som har samma spets som konen, ha rests på var och en av trianglarna ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ och ΔΘΑ, alltså är var och en av pyramiderna resta på detta sätt större än halva segmentet av konen kring dem. Så delar vi de kvarvarande cirkelbågarna i hälften, förbinder de räta linjerna och reser pyramider som har samma spets som konen på var och en av trianglarna samt gör detta oupphörligen, skall vi lämna kvar ett segment av konen, som skall vara mindre än skillnaden, som konen har gentemot en tredjedel av cylindern.Prop. 10.1 Låt dem ha lämnats kvar och låt dem vara dem på ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ och ΘΑ. Alltså är resten av pyramiden, vars bas är polygonen ΑΕΒΖΓΗΔΘ och vars spets är samma som för konen, större än en tredjedel av konen. Men pyramiden, vars bas är polygonen ΑΕΒΖΓΗΔΘ och vars spets är samma som för konen, är en tredjedel av prismat, vars bas är polygonen ΑΕΒΖΓΗΔΘ och vars höjd är samma som för cylindern,Prop. 12.7 cor. alltså är prismat, vars bas är polygonen ΑΕΒΖΓΗΔΘ och vars höjd är samma som för cylindern, större än cylindern, vars bas är cirkeln ΑΒΓΔ. Men också mindre, ty den omsluts av den, vilket är omöjligt. Alltså är cylindern inte tre gånger mindre än konen. Och det har visats, att den inte heller är tre gånger större, alltså är cylindern tre gånger konen, så att konen är en tredjedel av cylindern.

Alltså är varje kon en tredjedel av en cylinder, som har samma bas och är lika hög som den. Vilket skulle visas.

ιαʹ.

Οἱ ὑπο τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.

11.

Koner och cylindrar, som har samma höjd, är till varandra som baserna.

Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν ~~εἰσιν~~ οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΑΓ, ΕΗ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον.

Εἰ γὰρ μή, ἔσται ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον. ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ Ξ στερεὸν τοῦ ΕΝ κώνου, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ Ψ στερεόν· ὁ ΕΝ κῶνος ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Ξ, Ψ στερεοῖς. ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράψωμεν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἡ ἐγγραφεῖσα πυραμὶς ἥμισύ ἐστι τῆς περιγραφείσης· πρὸς ἀλλήλας γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις· ἐλάττων δὲ ὁ κῶνος τῆς περιγραφείσης πυραμίδος. τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΟ, ΟΕ, ΕΠ, ΠΖ, ΖΡ, ΡΗ, ΗΣ, ΣΘ. ἕκαστον ἄρα τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΖΘ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου. ἀνεστάτω ἐφ᾿ ἑκάστου τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ᾿ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου. τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐπὶ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας ἰσοϋψεῖς τῷ κώνῳ καὶ ἀεὶ τοῦτο ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ. ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπ᾿ αὐτοῦ πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ ΑΛ κώνῳ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον. ὡς δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸ Ξ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸ Ξ στερεόν, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, οὕτως τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὴν ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδα. μείζων δὲ ὁ ΑΛ κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος. ἀλλὰ καὶ ἔλασσον· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν. ὁμοίως δὲ δείξομεν, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν.

Λέγω δή, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἕστω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον. ἀλλ᾿ ὡς τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεόν. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον.

Ἀλλ᾿ ὡς ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον· τριπλασίων γὰρ ἑκάτερος ἑκατέρου. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως οἱ ἐπ᾿ αὐτῶν ἰσοϋψεῖς ~~τοῖς κώνοις~~ κύλινδροι.

Οἱ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[11]

Låt det finnas koner och cylindrar med samma höjd, vars baser är cirklarna ΑΒΓΔ och ΕΖΗΘ, axlar är ΚΛ och ΜΝ samt diametrar är basernas ΑΓ och ΕΗ. Jag säger, att som cirkel ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är konen ΑΛ till konen ΕΝ.

Ty om inte, skall som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så vara konen ΑΛ till antingen någon kropp mindre än konen ΕΝ eller till någon större. Låt den först vara så till en mindre Ξ och med det kroppen Ξ är mindre än konen ΕΝ, låt det vara lika med kroppen Ψ. Alltså är konen ΕΝ lika med kropparna Ξ och Ψ. Låt kvadraten ΕΖΗΘ ha skrivits in i cirkeln ΕΖΗΘ,Prop. 4.6 alltså är kvadraten större än hälften av cirkeln.Prop. 12.2 Låt ha rest en pyramid på kvadraten ΕΖΗΘ lika hög som konen, alltså är den resta pyramiden större än hälften av konen, eftersom om skrivit om en kvadrat kring cirkeln,Prop. 4.7 och på denna rest en pyramid med samma höjd som konen, är den inskrivna pyramiden hälften av den omskrivna, ty de är till varandra som baserna.Prop. 12.6 Och konen är mindre än pyramiden som skrivits om. Låt cirkelbågarna ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ och ΘΕ ha delats i hälften vid punkterna Ο, Π, Ρ och Σ och låt ΘΟ, ΟΕ, ΕΠ, ΠΖ, ΖΡ, ΡΗ, ΗΣ och ΣΘ ha förbundits. Alltså är var och en av trianglarna ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ och ΗΖΘ större än större än halva segmentet av cirkeln kring dem.Prop. 12.2 Låt en pyramid^A A) Här används singular., som har samma höjd som konen, ha rests på var och en av trianglarna ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ och ΗΣΘ, alltså är var och en av de resta pyramiderna större än halva segmentet av konen kring dem.Prop. 12.10 Så delar vi de kvarvarande cirkelbågarna i hälften, förbinder de räta linjerna och reser pyramider som har samma höjd som konen på var och en av trianglarna samt gör detta oupphörligen, skall vi lämna kvar ett segment av konen, som skall vara mindre än kroppen Ψ.Prop. 10.1 Låt dem ha lämnats kvar och låt dem vara dem på ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ och ΗΣΘ. Alltså är resten av pyramiden, vars bas är polygonen ΘΟΕΠΖΡΗΣ och vars höjd är samma som för konen, större än kroppen Ξ.Prop. 6.18 Låt även polygonen ΔΤΑΥΒΦΓΧ ha skrivits in i cirkeln ΑΒΓΔ både likformig med och ställd på samma sätt som polygonen ΘΟΕΠΖΡΗΣ. Låt även en pyramid ha rests på den med samma höjd som konen ΑΛ. Eftersom då som kvadraten på ΑΓ är till den på ΕΗ, så är polygonen ΔΤΑΥΒΦΓΧ till polygonen ΘΟΕΠΖΡΗΣProp. 12.1 och som kvadraten på ΑΓ är till den på ΕΗ, så är cirkeln ΑΒΓΔ till cirkeln ΕΖΗΘ,Prop. 12.2 alltså som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är även polygonen ΔΤΑΥΒΦΓΧ till polygonen ΘΟΕΠΖΡΗΣ. Och som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är konen ΑΛ till kroppen Ξ och som polygonen ΔΤΑΥΒΦΓΧ är till polygonen ΘΟΕΠΖΡΗΣ, så är pyramiden, vars bas är polygonen ΔΤΑΥΒΦΓΧ och vars spets är punkten Λ, till pyramiden, vars bas är polygonen ΘΟΕΠΖΡΗΣ och vars spets är punkten Ν.Prop. 12.6 Och alltså som konen ΑΛ är till kroppen Ξ, så är pyramiden, vars bas är polygonen ΔΤΑΥΒΦΓΧ och vars spets är punkten Λ, till pyramiden, vars bas är polygonen ΘΟΕΠΖΡΗΣ och vars spets är punkten Ν,Prop. 5.11 alltså, alternerat, som konen ΑΛ är till samma pyramid, så är kroppen Ξ till pyramiden i konen ΕΝ.Prop. 5.16 Och konen ΑΛ är större än pyramiden i den, alltså är även kroppen Ξ än pyramiden i konen ΕΝ.Prop. 5.14 Men också mindre, vilket är omöjligt. Alltså som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är inte konen ΑΛ till en kropp mindre än konen ΕΝ. På samma sätt skall vi visa, att som cirkeln ΕΖΗΘ är till ΑΒΓΔ, så är heller inte konen ΕΝ till en kropp mindre än konen ΑΛ.

Jag säger så, att som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är inte heller konen ΑΛ till en kropp större än konen ΕΝ.

Ty om möjligt, låt den vara så till en större Ξ, alltså, omvänt, som cirkeln ΕΖΗΘ är till cirkeln ΑΒΓΔ, så är kroppen Ξ till konen ΑΛ.Prop. 5.7 cor. Men som kroppen Ξ är till konen ΑΛ, så är konen ΕΝ till en kropp mindre än konen ΑΛProp. 12.2 lem. och alltså som cirkeln ΕΖΗΘ är till cirkeln ΑΒΓΔ, så är konen ΕΝ till en kropp mindre än konen ΑΛ, vilket har visats vara omöjligt. Alltså som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är inte konen ΑΛ till en kropp större än konen ΕΝ. Och det har visats, att den inte är så till en mindre, alltså som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är konen ΑΛ till konen ΕΝ.

Men som konen är till konen, så cylindern till cylindern, ty var och en är tre gånger var och en.Prop. 12.10 Och alltså som cirkeln ΑΒΓΔ är till cirkeln ΕΖΗΘ, så är cylindrarna, lika höga ~~som konerna~~, på dem.

Alltså är koner och cylindrar, som har samma höjd, till varandra som baserna. Vilket skulle visas.

ιβʹ.

Οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων.

12.

Likformiga koner och cylindrar har ett triplicerat förhållande till varandra än basernas diametrar.

Ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΒΔ, ΖΘ, ἄξονες δὲ τῶν κώνων καὶ κυλίνδρων οἱ ΚΛ, ΜΝ· λέγω, ὅτι ὁ κῶνος, οὗ βάσις μέν ~~ἐστιν~~ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μέν ~~ἐστιν~~ ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.

Εἰ γὰρ μὴ ἔχει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον πριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, ἕξει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος ἢ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μεῖζον. ἐχέτω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ ἄρα ΕΖΗΘ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου. τετμήσθωσαν δὴ αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ. καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. καὶ ἀνεστάτω ἐφ᾿ ἑκάστου τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθ᾿ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου. τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφ᾿ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσας τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος τοῦ Ξ στερεοῦ. λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ. ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολυγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ, καὶ τῶν μὲν περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΛΒΤ, τῶν δὲ περειχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΝΖΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΤ, ΜΟ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιός ἐστιν ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος τῷ ΕΖΗΘΝ κώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ὁ ΚΛ ἄξων πρὸς τὸν ΜΝ ἄξονα. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΜΝ. καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΛ, ΖΜΝ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΖΜΝ τριγώνῳ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΤ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΟ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΤ, ΖΜΟ, ἐπειδήπερ, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΚΤ γωνία τῶν πρὸς τῷ Κ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΜΟ γωνία τῶν πρὸς τῷ Μ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν· ἐπεὶ οὖν περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστι τὸ ΒΚΤ τρίγωνον τῷ ΖΜΟ τριγώνῳ. πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΚ τῇ ΚΤ, ἡ δὲ ΖΜ τῇ ΟΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΤΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς τὴν ΜΝ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΤΚΛ, ΟΜΝ· ὀρθαὶ γάρ· αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΚΤ τρίγωνον τῷ ΝΜΟ τριγώνῳ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΚΒ, ΝΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ, οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΚΤ, ΖΜΟ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΤ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΟ, δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΤ, οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΟ. πάλιν, ἐπεὶ διὰ τὴν ομοιότητα τῶν ΛΤΚ, ΝΟΜ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΚ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΤΚΒ, ΟΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΚΤ πρὸς τὴν ΤΒ, οὕτως ἡ ΜΟ πρὸς τὴν ΟΖ, δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΒ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΖ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἡ ΟΖ πρὸς τὴν ΖΝ. δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΛ πρὸς τὴν ΛΒ, οὕτως ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΖ. τῶν ΛΤΒ, ΝΟΖ ἄρα τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΛΤΒ, ΝΟΖ τρίγωνα· ὥστε καὶ ὅμοια. καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΒΚΤ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μὲν τὸ ΖΜΟ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ὑπὸ γὰρ ὅμοίων ἐπιπέδων περιέχονται ἴσων τὸ πλῆθος. αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. ἡ ἄρα ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνύντες ἀπὸ τῶν Α, Χ, Δ, Φ, Γ, Υ ἐπὶ τὸ Κ εὐθείας καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Σ, Θ, Ρ, Η, Π ἐπὶ τὸ Μ καὶ ἀνιστάντες ἐφ᾿ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσας τοῖς κώνοις δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὁμοταγῶν πυραμίδων πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΒΚ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΜ ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα, οὕτως ἡ ὅλη πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὴν ὅλην πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ὥστε καὶ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις ~~μὲν~~ τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις ~~μὲν~~ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὸ Ξ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχων ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὸ Ξ στερεόν, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ ~~πολύγωνον~~, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν· ἐναλλὰξ ἄρα, ὡς ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, οὕτως τὸ Ξ ~~στερεὸν~~ πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. μείζων δὲ ὁ εἰρημένος κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος· ἐμπεριέχει γὰρ αὐτὴν. μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ κῶνος, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ ~~σημεῖον~~, πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ κώνου στερεόν, οὗ βάσις μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ.

Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ. ἀνάπαλιν ἄρα τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ. ὡς δὲ τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεόν. καὶ ὁ ΕΖΗΘΝ ἄρα κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλαττον. ὁ ΑΒΓΔΛ ἄρα κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.

Ὡς δὲ ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον· τριπλάσιος γὰρ ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ὁ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ καὶ ἰσοϋψὴς αὐτῷ. καὶ ὁ κύλινδρος ἄρα πρὸς τὸν κύλινδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.

Οἱ ἄρα ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[12]

Låt vara likformiga koner och cylindrar, vars baser är cirklarna ΑΒΓΔ och ΕΖΗΘ, basernas diametrar är ΒΔ och ΖΘ samt konernas och cylindrarnas axlar är ΚΛ och ΜΝ. Jag säger, att konen, vars bas är cirkeln ΑΒΓΔ och vars spets är punkten Λ, har till konen, vars bas är cirkeln ΕΖΗΘ och vars spets är punkten Ν, ett triplicerat förhållande än ΒΔ:s till ΖΘ.

Ty om inte konen ΑΒΓΔΛ har till konen ΕΖΗΘΝ ett triplicerat förhållande än ΒΔ:s till ΖΘ, skall konen ΑΒΓΔΛ ha ett triplicerat förhållande till en kropp mindre än konen ΕΖΗΘΝ eller till en större. Låt de först ha så till den mindre Ξ och låt kvadraten ΕΖΗΘ ha skrivits in i cirkeln ΕΖΗΘ,Prop. 4.6 alltså är ΕΖΗΘ större än hälften av cirkeln ΕΖΗΘ.Prop. 12.2 Och låt ha rest en pyramid på kvadraten ΕΖΗΘ med samma spets som konen, alltså är den resta pyramiden större än hälften av konen.Prop. 12.10 Låt cirkelbågarna ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ och ΘΕ ha delats i hälften vid punkterna Ο, Π, Ρ och Σ samt låt ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ och ΣΕ ha förbundits. Alltså är var och en av trianglarna ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ och ΘΣΕ större än hälften av segmenten av cirkeln ΕΖΗΘ kring dem.Prop. 12.2 Låt även har rest på var och en av trianglarna ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ och ΘΣΕ en pyramid med samma höjd som konen, alltså är även var och en av pyramiderna större än hälften av segmentet av konen kring dem.Prop. 12.10 Så delar vi de kvarvarande cirkelbågarna i hälften, förbinder de räta linjerna och reser pyramider med samma spets som konen på var och en av trianglarna samt gör detta oupphörligen, skall vi lämna kvar ett segment av konen, som skall vara mindre än skillnaden, som konen ΕΖΗΘΝ har gentemot en kroppen Ξ.Prop. 10.1 Låt dem ha lämnats kvar och låt dem vara dem på ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ och ΣΕ. Alltså är resten av pyramiden, vars bas är polygonen ΕΟΖΠΗΡΘΣ och vars spets är punkten Ν, större än kroppen Ξ. Låt även polygonen ΑΤΒΥΓΦΔΧ ha skrivits in i cirkeln ΑΒΓΔ både likformig med och ställd på samma sätt som polygonen ΕΟΖΠΗΡΘΣ.Prop. 6.18 Låt även en pyramid ha rests på polygonen ΑΤΒΥΓΦΔΧ med samma höjd som konen. Och låt ΛΒΤ vara en av trianglarna som omsluter pyramiden, vars bas är polygonen ΑΤΒΥΓΦΔΧ och vars spets är punkten Λ, låt ΝΖΟ vara en av trianglarna som omsluter pyramiden, vars bas är polygonen ΕΟΖΠΗΡΘΣ och vars spets är punkten Ν, samt låt ΚΤ och ΜΟ ha förbundits. Och eftersom konen ΑΒΓΔΛ är likformig med konen ΕΖΗΘΝ, alltså som ΒΔ är till ΖΘ, så är axeln ΚΛ till axeln ΜΝDef. 11.24 och som ΒΔ är till ΖΘ, så är ΒΚ till ΖΜ, alltså som ΒΚ är till ΖΜ, så är även ΚΛ till ΜΝ. Och, alternerat, som ΒΚ är till ΚΛ, så är ΖΜ till ΜΝ.Prop. 5.6 Och sidorna som ligger vid lika vinklar, ΒΚΛ och ΖΜΝ, är proportionella, alltså är triangeln ΒΚΛ likformig med triangeln ΖΜΝ.Prop. 6.6 Åter då som ΒΚ är till ΚΤ, så är ΖΜ till ΜΟ och ligger vid lika vinklar, ΒΚΤ och ΖΜΟ, eftersom, den del vinkeln ΒΚΤ är av de fyra räta vid medelpunkten Κ, samma del är också vinkeln ΖΜΟ av de fyra räta vid medelpunkten Μ. Då, eftersom sidor som ligger vid lika vinklar är proportionella, är alltså triangeln ΒΚΤ likformig med triangeln ΖΜΟ.Prop. 6.6 Åter eftersom det visats, att som ΒΚ är till ΚΛ, så är ΖΜ till ΜΝ samt ΒΚ är lika med ΚΤ och ΖΜ med ΟΜ, alltså som ΤΚ är till ΚΛ, så är ΟΜ till ΜΝ. Och sidorna som ligger vid lika vinklar, ΤΚΛ och ΟΜΝ, ty de är räta, är proportionella, alltså är triangeln ΛΚΤ likformig med triangeln ΝΜΟ.Prop. 6.6 Och då, på grund av trianglarna ΛΚΒ och ΝΜΖ:s likformighet, som ΛΒ är till ΒΚ, så är ΝΖ till ΖΜ, samt, på grund av trianglarna ΒΚΤ och ΖΜΟ:s likformighet, som ΚΒ är till ΒΤ, så är ΜΖ till ΖΟ,Def. 6.1 alltså, ex aequali, som ΛΒ är till ΒΤ, så är ΝΖ till ΖΟ.Prop. 5.22 Åter, då, på grund av trianglarna ΛΤΚ och ΝΟΜ:s likformighet, som ΛΤ är till ΤΚ, så är ΝΟ till ΟΜ, samt, på grund av trianglarna ΤΚΒ och ΟΜΖ:s likformighet, som ΚΤ är till ΤΒ, så är ΜΟ till ΟΖ, alltså, ex aequali, som ΛΤ är till ΤΒ, så är ΝΟ till ΟΖ.Prop. 5.22 Det har även visats, att som ΤΒ är till ΒΛ, så är ΟΖ till ΖΝ. Alltså, ex aequali, som ΤΛ är till ΛΒ, så är ΟΝ till ΝΖ.Prop. 5.22 Alltså är trianglarna ΛΤΒ och ΝΟΖ:s sidor proportionella, alltså är trianglarna ΛΤΒ och ΝΟΖ likvinkliga,Prop. 6.5 därför även likformiga.Def. 6.1 Alltså är även pyramiden, vars bas är triangeln ΒΚΤ och vars spets är punkten Λ, likformig med pyramiden, vars bas är triangeln ΖΜΟ och vars spets är punkten Ν, ty de omsluts av likformiga och lika många plan.Def. 11.9 Och likformiga pyramider och som har trianglar som baser har ett triplicerat förhållande än de homologa sidornas.Prop. 12.8 Alltså har pyramiden ΒΚΤΛ ett triplicerat förhållande till pyramiden ΖΜΟΝ än ΒΚ:s till ΖΜ. Och på samma sätt förbindande de räta linjerna från Α, Χ, Δ, Φ, Γ och Υ med Κ och de från Ε, Σ, Θ, Ρ, Η och Π med Μ samt resande pyramider med samma spets som konerna på var och en av trianglarna skall vi visa, att också var och en av pyramiderna av samma ordning skall ha ett triplicerat förhållande till var och en av pyramiderna av samma ordning än den homologa sidan ΒΚ till den homologa sidan ΖΜ, det vill säga ΒΔ till ΖΘ. Och som en av de föregående är till en av de efterföljande, så är alla föregående till alla efterföljande,Prop. 5.12 alltså som pyramiden ΒΚΤΛ är till pyramiden ΖΜΟΝ, så är även hela pyramiden, vars bas är polygonen ΑΤΒΥΓΦΔΧ och vars spets är punkten Λ, till hela pyramiden, vars bas är polygonen ΕΟΖΠΗΡΘΣ och vars spets är punkten Ν, så att även pyramiden, vars bas är ΑΤΒΥΓΦΔΧ och vars spets är Λ, har ett triplicerat förhållande till pyramiden, vars bas är polygonen ΕΟΖΠΗΡΘΣ och vars spets är punkten Ν, än ΒΔ:s till ΖΘ. Och konen, vars bas är cirkeln ΑΒΓΔ och vars spets är punkten Λ, har antagits ha ett triplicerat förhållande till kroppen Ξ än ΒΔ:s till ΖΘ, alltså som konen, vars bas är cirkeln ΑΒΓΔ och vars spets är Λ, är till kroppen Ξ, så är pyramiden, vars bas är ~~polygonen~~ ΑΤΒΥΓΦΔΧ och vars spets är Λ, till pyramiden, vars bas är polygonen ΕΟΖΠΗΡΘΣ och vars spets är Ν. Alltså, alternerat, som konen, vars bas är cirkeln ΑΒΓΔ och vars spets är Λ, till pyramiden i den, vars bas är polygonen ΑΤΒΥΓΦΔΧ och vars spets är Λ, så är ~~kroppen~~ Ξ till pyramiden, vars bas är polygonen ΕΟΖΠΗΡΘΣ och vars spets är Ν.Prop. 5.16 Och nämnda kon är större än pyramiden i den, ty den omsluter den. Alltså är även kroppen större än pyramiden, vars bas är polygonen ΕΟΖΠΗΡΘΣ och vars spets är Ν. Men också mindre, vilket är omöjligt. Alltså har inte konen, vars bas är cirkeln ΑΒΓΔ och vars spets är ~~punkten~~ Λ, ett triplicerat förhållande till en kropp mindre än konen, vars bas är cirkeln ΕΖΗΘ och vars spets är punkten Ν, än ΒΔ:s till ΖΘ. På samma sätt skall vi visa, att inte heller konen ΕΖΗΘΝ har ett triplicerat förhållande till en kropp mindre än konen ΑΒΓΔΛ än ΖΘ:s till ΒΔ.

Jag säger så, att inte heller konen ΑΒΓΔΛ har ett triplicerat förhållande till en kropp större än konen ΕΖΗΘΝ än ΒΔ:s till ΖΘ.

Ty om möjligt, låt den så ha till en större, Ξ. Alltså, omvänt, kroppen Ξ har ett triplicerat förhållande till konen ΑΒΓΔΛ än ΖΘ:s till ΒΔ.Prop. 5.7 cor. som kroppen Ξ är till konen ΑΒΓΔΛ, så är konen ΕΖΗΘΝ till en kropp mindre än konen ΑΒΓΔΛ. Och alltså har konen ΕΖΗΘΝ ett triplicerat förhållande till en kropp mindre än konen ΑΒΓΔΛ än ΖΘ:s till ΒΔ, vilket visats vara omöjligt. Alltså har inte konen ΑΒΓΔΛ ett triplicerat förhållande till en kropp större än konen ΕΖΗΘΝ än ΒΔ:s till ΖΘ. Och har visats, att inte heller ha så till en mindre. Alltså har konen ΑΒΓΔΛ ett triplicerat förhållande till konen ΕΖΗΘΝ än ΒΔ:s till ΖΘ.

Och som konen är till konen, så cylindern till cylindern, ty cylindern är tre gånger konen, som ligger på samma bas och är lika hög som den.Prop. 12.10 Och alltså har cylindern ett triplicerat förhållande till cylindern än ΒΔ:s till ΖΘ.

Alltså har likformiga koner och cylindrar ett triplicerat förhållande till varandra än basernas diametrar. Vilket skulle visas.

ιγʹ.

Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον, οὕτως ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα.

13.

Om en cylinder delats av plan, vilka är parallella med de motstående planen, skall som en cylinder är till en cylinder, så vara en axel till en axel.

Κύλινδρος γὰρ ὁ ΑΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΗΘ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΑΒ, ΓΔ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ τὸ Κ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΕΖ ἄξων ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα, καὶ ἐκκείσθωσαν τῷ ΕΚ ἄξονι ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΕΝ, ΝΛ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΖΞ, ΞΜ, καὶ νοείσθω ὁ ἐπὶ τοῦ ΛΜ ἄξονος κύλινδρος ὁ ΟΧ, οὗ βάσεις οἱ ΟΠ, ΦΧ κύκλοι. καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Ν, Ξ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα τοῖς ΑΒ, ΓΔ καὶ ταῖς βάσεσι τοῦ ΟΧ κυλίνδρου καὶ ποιείτωσαν τοὺς ΡΣ, ΤΥ κύκλους περὶ τὰ Ν, Ξ κέντρα. καὶ ἐπεὶ οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, οἱ ἄρα ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις· ἴσοι ἄρα καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἀλλήλοις. επεὶ οὖν οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει, ὁσαπλασίων ἄρα ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΒ κυλίνδρου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ὁ ΜΚ ἄξων τοῦ ΚΖ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΧΗ κύλινδρος τοῦ ΗΔ κυλίνδρου. καὶ εἰ μὲν ἴσος ἐστὶν ὁ ΚΛ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσος ἔσται καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τῷ ΗΧ κυλίνδρῳ, εἰ δὲ μείζων ὁ ἄξων τοῦ ἄξονος, μείζων καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. τεσσάρων δὴ μεγεθῶν ὄντων, ἀξόνων μὲν τῶν ΕΚ, ΚΖ, κυλίνδρων δὲ τῶν ΒΗ, ΗΔ, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια, τοῦ μὲν ΕΚ ἄξονος καὶ τοῦ ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε ΛΚ ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος, τοῦ δὲ ΚΖ ἄξονες καὶ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων καὶ ὁ ΗΧ κύλινδρος, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ὁ ΚΛ ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονος, ὑπερέχει καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΧ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἴσος, ἴσος, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα, οὕτως ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[13]

Ty låt cylindern ΑΔ ha delats av planet ΗΘ, vilket är parallellt med de motstående planen ΑΒ och ΓΔ, samt låt planet ΗΘ ha sammanfalla med axeln vid punkten Κ. Jag säger, att som cylindern ΒΗ är till cylindern ΗΔ, så är axeln ΕΚ till axeln ΚΖ.

Ty låt axeln ΕΖ ha dragits ut åt vardera sidan till punkterna Λ och Μ, låt så många längder ΕΝ och ΝΛ, lika med axeln ΕΚ, ha satts ut samt lika många längder ΖΞ och ΞΜ, lika med ΖΚ, samt låt överväga cylindern ΟΧ, vars baser är cirklarna ΟΠ och ΦΧ, på axeln ΛΜ. Låt plan, parallella med ΑΒ och ΓΔ samt cylindern ΟΧ:s baser, ha dragits genom punkterna Ν och Ξ samt låt cirklarna ΡΣ och ΤΥ ha gjorts kring medelpunkterna Ν och Ξ. Och eftersom axlarna ΛΝ, ΝΕ och ΕΚ är lika med varandra, är alltså cylindrarna ΠΡ, ΡΒ och ΒΗ till varandra som baserna.Prop. 12.11 Och baserna är lika, alltså är även cylindrarna ΠΡ, ΡΒ och ΒΗ lika med varandra. Då, eftersom axlarna ΛΝ, ΝΕ och ΕΚ är lika med varandra, är även cylindrarna ΠΡ, ΡΒ och ΒΗ lika med varandra, och de förras antal är lika med de senares antal, alltså så många gånger axeln ΚΛ är av axeln ΕΚ, så många gånger skall även cylindern ΠΗ vara av cylindern ΗΒ. Av samma skäl, så många gånger axeln ΜΚ är av axeln ΚΖ, så många gånger är även cylindern ΧΗ av cylindern ΗΔ. Och om axeln ΚΛ är lika med axeln ΚΜ, skall även cylindern ΠΗ vara lika med cylindern ΗΧ, om axeln är större än axel, är cylindern större än cylindern samt om mindre, mindre. Då det finns fyra storheter, axlarna ΕΚ och ΚΖ samt cylindrarna ΒΗ och ΗΔ, och lika många multiplar har tagits både av axeln ΕΚ och cylindern ΒΗ, axeln ΛΚ och cylindern ΠΗ, och av axeln ΚΖ och cylindern ΗΔ, axeln ΚΜ och cylindern ΗΧ, samt det har visats, att om axeln ΚΛ överstiger axeln ΚΜ, överstiger även cylindern ΠΗ cylindern ΗΧ, om lika, lika, samt om mindre, mindre. Alltså som axeln ΕΚ är till axeln ΚΖ, så är cylindern ΒΗ till cylindern ΗΔ.Def. 5.5 Vilket skulle visas.

ιδʹ.

Οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς αλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.

14.

Koner och cylindrar på lika baser är till varandra som höjderna.

Ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων κύλινδροι οἱ ΕΒ, ΖΔ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΚΛ ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον, καὶ κείσθω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσος ὁ ΛΝ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΛΝ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΓΜ. ἐπεὶ οὖν οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν, πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ἴσαι δέ εἰσίν αἱ βάσεις ἀλλήλαις· ἴσοι ἄρα εἰσὶ καὶ οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι. καὶ ἐπεὶ κύλινδρος ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ τέτμηται τῷ ΓΔ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΜ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΛΝ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα. ἴσος δέ ἐστιν ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ, ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα. ὡς δὲ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὑτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα, οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[14]

Ty låt ΕΒ och ΖΔ vara cylindrar på lika baser, cirklarna ΑΒ och ΓΔ. Jag säger, att som cylindern ΕΒ är till cylindern ΖΔ, så är axeln ΗΘ till axeln ΚΛ.

Ty låt axeln ΚΛ ha dragits ut till punkten Ν, sätt ΛΝ lika med axeln ΗΘ och låt ha övervägt cylindern ΓΜ kring axeln ΛΝ. Då eftersom cylindrarna ΕΒ och ΓΜ har samma höjd, är de till varandra som baserna.Prop. 12.13 Och baserna är lika med varandra, alltså är cylindrarna ΕΒ och ΓΜ lika. Och eftersom cylindern ΖΜ har skurits av planet ΓΔ, som är parallellt med de motstående planen, alltså som cylindern ΓΜ är till cylindern ΖΔ, så är axeln ΛΝ till axeln ΚΛ.Prop. 12.13 Och cylindern ΓΜ är lika med cylindern ΕΒ och axeln ΛΝ är lika med axeln ΗΘ, alltså som cylindern ΕΒ är till cylindern ΖΔ, så är axeln ΗΘ till axeln ΚΛ. Och som cylindern ΕΒ är till cylindern ΖΔ, så är konen ΑΒΗ till konen ΓΔΚ.Prop. 12.10 Och alltså som axeln ΗΘ är till axeln ΚΛ, så är konen ΑΒΗ till konen ΓΔΚ samt cylindern ΕΒ till cylindern ΖΔ. Vilket skulle visas.

ιεʹ.

Τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι.

15.

Lika koners och cylindrars baser är omvänt proportionella till höjderna. Och de koner och cylindrar vars baser är omvänt proportionella till höjderna, är lika med varandra.

Ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΑΓ, ΕΗ, ἅξονες δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, οἵτινες καὶ ὕψη εἰσὶ τῶν κώνων ἢ κυλίνδρων, καὶ συμπεπληρώσθωσαν οἱ ΑΞ, ΕΟ κύλινδροι. λέγω, ὅτι τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.

Τὸ γὰρ ΛΚ ὕψος τῷ ΜΝ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ἴσον. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ ἴσος. οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒΓΔ βάσις τῇ ΕΖΗΘ βάσει. ὥστε καὶ ἀντιπέπονθεν, ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος. ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ ΛΚ ὕψος τῷ ΜΝ ἴσον, ἀλλ᾿ ἔστω μεῖζον τὸ ΜΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΜΝ ὕψους τῷ ΚΛ ἴσον τὸ ΠΝ, καὶ διὰ τοῦ Π σημείου τετμήσθω ὁ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥΣ παραλλήλῳ τοῖς τῶν ΕΖΗΘ, ΡΟ κύκλων ἐπιπέδοις, καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ὕψους δὲ τοῦ ΝΠ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΕΣ. καί ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κυλίνδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσὶν οἱ ΑΞ, ΕΣ κύλινδροι· ὡς δὲ ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος· ὁ γὰρ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος. ἴσον δὲ τὸ ΠΝ ὕψος τῷ ΚΛ ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος. τῶν ἄρα ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

Ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος· λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος, ἴσον δὲ τὸ ΚΛ ὕψος τῷ ΠΝ ὕψει, ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν· ὡς δὲ τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ~~ὕψος~~, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ. ἴσος ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ. ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν κώνων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[15]

Låt vara lika koner och cylindrar, vars baser är cirklarna ΑΒΓΔ och ΕΖΗΘ, deras diametrar ΑΓ och ΕΗ samt ΚΛ och ΜΝ axlar, vilka även är konernas eller cylindrarnas höjder. Låt cylindrarna ΑΞ och ΕΟ ha fullbordats. Jag säger, att cylindrarna ΑΞ och ΕΟ:s baser är omvänt proportionella till höjderna och som basen ΑΒΓΔ är till basen ΕΖΗΘ, så är höjden ΜΝ till höjden ΚΛ.

Ty höjden ΛΚ är antingen lika med eller ej med höjden ΜΝ. Låt den först vara lika. Då är även cylindern ΑΞ lika med cylindern ΕΟ. Och då koner och cylindrar, vilka har samma höjd, är till varandra som baserna,Prop. 12.11 alltså är basen ΑΒΓΔ lika med basen ΕΖΗΘ. Därför även omvänt, som basen ΑΒΓΔ är till basen ΕΖΗΘ, så är höjden ΜΝ till höjden ΚΛ. Men låt så höjden ΛΚ inte vara lika med höjden ΜΝ, utan låt ΜΝ vara större och låt ΠΝ, lika med ΚΛ, ha tagits bort från höjden ΜΝ samt låt cylindern ΕΟ ha delats genom punkten Π med planet ΤΥΣ, parallellt med cirklarna ΕΖΗΘ och ΡΟ:s plan. Och låt ha övervägt cylindern ΕΣ på cirkeln ΕΖΗΘ som bas och höjden ΝΠ. Och eftersom cylindern ΑΞ är lika med cylindern ΕΟ, alltså som cylindern ΑΞ är till cylindern ΕΣ, så är cylindern ΕΟ till cylindern ΕΣ.Prop. 5.7 Men som cylindern ΑΞ är till cylindern ΕΣ, så är basen ΑΒΓΔ till ΕΖΗΘ, ty cylindrarna ΑΞ och ΕΣ har samma höjd.Prop. 12.11 Och som cylindern ΕΟ är till ΕΣ, så är höjden ΜΝ till höjden ΠΝ, ty cylindern ΕΟ skärs av ett plan, som är parallellt med de motstående planen.Prop. 12.13 Alltså som basen ΑΒΓΔ är till basen ΕΖΗΘ, så är även höjden ΜΝ till höjden ΠΝ.Prop. 5.11 Och höjden ΠΝ är lika med höjden ΚΛ, alltså som basen ΑΒΓΔ är till basen ΕΖΗΘ, så är höjden ΜΝ till höjden ΚΛ. Alltså är cylindrarna ΑΞ och ΕΟ:s baser omvänt proportionella till höjderna.

Men låt så cylindrarna ΑΞ och ΕΟ:s baser vara omvänt proportionella till höjderna och som basen ΑΒΓΔ är till basen ΕΖΗΘ, så är höjden ΜΝ till höjden ΚΛ. Jag säger, att cylindern ΑΞ är lika med cylindern ΕΟ.

Ty med samma uppställning, då som basen ΑΒΓΔ är till basen ΕΖΗΘ, så är höjden ΜΝ till höjden ΚΛ och höjden ΚΛ är lika med höjden ΠΝ, alltså som basen ΑΒΓΔ är till basen ΕΖΗΘ, så är höjden ΜΝ till höjden ΠΝ. Men som basen ΑΒΓΔ är till basen ΕΖΗΘ, så är cylindern ΑΞ till cylindern ΕΣ, ty de har samma höjd,Prop. 12.11 och som höjden ΜΝ är till ~~höjden~~ ΠΝ, så är cylindern ΕΟ till cylindern ΕΣ,Prop. 12.13 alltså som cylindern ΑΞ är till cylindern ΕΣ, så är cylindern ΕΟ till ΕΣ.Prop. 5.11 Alltså är cylindern ΑΞ lika med cylindern ΕΟ.Prop. 5.9 Och på samma sätt även för koner. Vilket skulle visas.

ιϛʹ.

Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων εἰς τὸν μείζονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου.

16.

Att, sedan två cirklar kring samma medelpunkt givits, i den större cirkeln, skriva in en liksidig polygon med jämnt antal sidor, som ej rör den mindre cirkeln.

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Κ· δεῖ δὴ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΑΒΓΔ πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.

Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Κ κέντρου εὐθεῖα ἡ ΒΚΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΒΔ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΑ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Γ· ἡ ΑΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. τέμνοντες δὴ τὴν ΒΑΔ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομεν περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΑΔ. λελείφθω, καὶ ἔστω ἡ ΛΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΔ, ΔΝ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΔ τῇ ΔΝ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΛΝ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ΑΓ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἡ ΛΝ ἄρα οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· πολλῷ ἄρα αἱ ΛΔ, ΔΝ οὐκ ἐφάπτονται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. ἐὰν δὴ τῇ ΛΔ εὐθείᾳ ἴσας κατὰ τὸ συνεχὲς ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἐγγραφήσεται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΕΖΗΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[16]

Låt ΑΒΓΔ och ΕΖΗΘ vara de två givna cirklarna kring samma medelpunkt, Κ. I den större cirkeln ΑΒΓΔ skall så en liksidig polygon med jämnt antal sidor skrivas in, som ej rör den mindre cirkeln.

Ty låt den räta linjen ΒΚΔ ha dragits genom medelpunkten Κ, låt den räta linjen ΗΑ ha dragits från punkten Η vinkelrät mot den räta linjen ΒΔ och låt den ha dragits ut till Γ. Alltså tangerar ΑΓ cirkeln ΕΖΗΘ.Prop. 3.16 cor. Så delar vi cirkelbågen ΒΑΔ i hälften och dess hälft i hälften samt gör detta oupphörligen, skall vi lämna kvar en cirkelbåge mindre än ΑΔ.Prop. 10.1 Låt den ha lämnats kvar och låt den vara ΛΔ, låt normalen ΛΜ ha dragits från Λ mot ΒΔ och låt den ha dragits ut till Ν samt låt ΛΔ och ΔΝ ha förbundits. Alltså är ΛΔ lika med ΔΝ.Prop. 3.3 Prop. 1.4 Och eftersom ΛΝ är parallell med ΑΓProp. 1.28 och ΑΓ tangerar cirkeln ΕΖΗΘ, alltså tangerar inte ΛΝ cirkeln ΕΖΗΘ, alltså tangerar ΛΔ och ΔΝ än mindre cirkeln ΕΖΗΘ. Om vi då kontinuerligt passat in räta linjer lika med den räta linjen ΛΔ i cirkeln ΑΒΓΔ,Prop. 4.1 skall en liksidig polygon med jämnt antal sidor, som ej rör den mindre cirkeln ΕΖΗΘ, skrivas in i cirkeln ΑΒΓΔ. Vilket skulle göras.

ιζʹ.

Δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.

17.

Att, sedan två sfärer kring samma medelpunkt givits, i den större sfären, skriva in en solid polyeder, som ej rör den mindre sfären på dess yta.

Νενοήσθωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Α· δεῖ δὴ εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.

Τετμήσθωσαν αἱ σφαῖραι ἐπιπέδῳ τινὶ διὰ τοῦ κέντρου· ἔσονται δὴ αἱ τομαὶ κύκλοι, ἐπειδήπερ μενούσης τῆς διαμέτρου καὶ περιφερομένου τοῦ ἡμικυκλίου ἐγιγνετο ἡ σφαῖρα· ὥστε καὶ καθ᾿ οἵας ἂν θέσεως ἐπινοήσωμεν τὸ ἡμικύκλιον, τὸ δι᾿ αὐτοῦ ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον ποιήσει ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας κύκλον. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον, ἐπειδήπερ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας, ἥτις ἐστὶ καὶ τοῦ ἡμικυκλίου διάμετρος δηλαδὴ καὶ τοῦ κύκλου, μείζων ἐστὶ πασῶν τῶν εἰς τὸν κύκλον ἢ τὴν σφαῖραν διαγομένων ~~εὐθειῶν~~. ἔστω οὖν ἐν μὲν τῇ μείζονι σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΒΓΔΕ, ἐν δὲ τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΖΗΘ, καὶ ἤχθωσαν αὐτῶν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΒΔ, ΓΕ, καὶ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τῶν ΒΓΔΕ, ΖΗΘ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΒΓΔΕ πολύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφθω μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΖΗΘ, οὗ πλευραὶ ἔστωσαν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ αἱ ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΑ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΞ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ξ, καὶ διὰ τῆς ΑΞ καὶ ἑκατέρας τῶν ΒΔ, ΚΝ ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω· ποιήσουσι δὴ διὰ τὰ εἰρημένα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας μεγίστους κύκλους. ποιείτωσαν, ὧν ἡμικύκλια ἔστω ἐπὶ τῶν ΒΔ, ΚΝ διαμέτρων τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΞΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΞΑ ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον· ὥστε καὶ τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΒΕΔ, ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια· ἐπὶ γὰρ ἴσων εἰσὶ διαμέτρων τῶν ΒΔ, ΚΝ· ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΒΕ, ΒΞ, ΚΞ τεταρτημόρια ἀλλήλοις. ὄσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ πλευραὶ τοῦ πολυγώνου, τοσαῦταί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΞ, ΚΞ τεταρτημορίοις ἴσαι ταῖς ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ εὐθείαις. ἐγγεγράφθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΒΟ, ΟΠ, ΠΡ, ΡΞ, ΚΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΞ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΣΟ, ΤΠ, ΥΡ, καὶ ἀπὸ τῶν Ο, Σ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον κάθετοι ἤχθωσαν· πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς τῶν ἐπιπέδων τὰς ΒΔ, ΚΝ, ἐπειδήπερ καὶ τὰ τῶν ΒΞΔ, ΚΞΝ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον. πιπτέτωσαν, καὶ ἔστωσαν αἱ ΟΦ, ΣΧ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΦ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις ἡμικυκλίοις τοῖς ΒΞΔ, ΚΞΝ ἴσαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΒΟ, ΚΣ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΟΦ, ΣΧ, ἴση ~~ἄρα~~ ἐστὶν ἡ μὲν ΟΦ τῇ ΣΧ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΑ ὅλῃ τῇ ΚΑ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΦΑ λοιπῇ τῇ ΧΑ ἐστιν ἴση· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΦ πρὸς τὴν ΦΑ, οὕτως ἡ ΚΧ πρὸς τὴν ΧΑ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΟΦ, ΣΧ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΦ τῇ ΣΧ. ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση· καὶ αἱ ΧΦ, ΣΟ ἄρα ἴσαι εἰσὶ καὶ παράλληλοι. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, ἀλλὰ ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος, καὶ ἡ ΣΟ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος. καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΒΟ, ΚΣ· τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ, ἐπειδήπερ, ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, καὶ ἐφ᾿ ἑκατέρας αὐτῶν ληφθῇ τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετραπλεύρων ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον ἐν ἑνὶ ἑπιπέδῳ. ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἀπὸ τῶν Ο, Σ, Π, Τ, Ρ, Υ σημείων ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένας εὐθείας, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν πολύεδρον ματαξὺ τῶν ΒΞ, ΚΞ περιφερειῶν ἐκ πυραμίδων συγκείμενον, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον. ἐὰν δὲ καὶ ἐπὶ ἑκάστης τῶν ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ πλευρῶν καθάπερ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν καὶ ἔτι τῶν λοιπῶν τριῶν τεταρτημορίων, συσταθήσεταί τι σχῆμα πολύεδρον ἐγγεγραμμένον εἰς τὴν σφαῖραν πυραμίσι περιεχόμενον, ὧν βάσιες ~~μὲν~~ τὰ εἰρημένα τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον καὶ τὰ ὁμοταγῆ αὐτοῖς, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον.

Λέγω ὅτι τὸ εἰρημένον πολύεδρον οὐκ ἐφάψεται τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐφ᾿ ἧς ἐστιν ὁ ΖΗΘ κύκλος.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΨ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ψ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΒ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΨ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ τετραπλεύρου ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν. ἡ ΑΨ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΨ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΚ, ἵσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ψ· τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΨ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΨΚ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ψ ἐπὶ τὰ Ο, Σ ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΒΨ, ΨΚ. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ψ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΨΒ, ΨΚ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ο, Σ, καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον.

Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς ΧΦ, ἴση δὲ ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, μείζων ἄρα ἡ ΚΒ τῆς ΣΟ. ἴση δὲ ἡ ΚΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΣ, ΒΟ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΣ, ΒΟ τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ, καὶ ἴσαι αἱ ΚΒ, ΒΟ, ΚΣ, καὶ ἐλάττων ἡ ΟΣ, καὶ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἡ ΒΨ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΒΦ κάθετος ἡ ΚΩ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ τῆς ΔΩ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΩ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ~~τῶν~~ ΔΩ, ΩΒ, ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΒΩ τετραγώνου καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆς ΩΔ παραλληλογράμμου καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΔΩ, ΩΒ ἔλαττόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. καί ἐστι τῆς ΚΔ ἐπιζευγνυμένης τὸ μὲν ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΩ, ΩΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΚΩ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΩ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΚΑ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΨΑ. μείζων ἄρα ἡ ΑΨ τῆς ΑΩ· πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆς ΑΗ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΨ ἐπὶ μίαν τοῦ πολυέδρου βάσιν, ἡ δὲ ΑΗ ἐπὶ τὴν τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπιφάνειαν· ὥστε τὸ πολύεδρον οὐ ψαύσει τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.

Δύο ἄρα σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγέγραπται μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Πόρισμα.

Ἐὰν δὲ καὶ εἰς ἑτάραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον ἐγγραφῇ, τὸ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ τῆς ΒΓΔΕ σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας διάμετρον. διαιρεθέντων γὰρ τῶν στερεῶν εἰς τὰς ὁμοιοπληθεῖς καὶ ὁμοιοταγεῖς πυραμίδας ἔσονται αἱ πυραμίδες ὅμοιαι. αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· ἡ ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ ὁμοιοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περὶ κέντρον τὸ Α πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας. ὁμοίως καὶ ἑκάστη πυραμὶς τῶν ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας. καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὥστε ὅλον τὸ ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς ὅλον τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ ~~σφαίρᾳ~~ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας διάμετρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[17]

Låt ha övervägt två sfärer kring samma medelpunkt, Α. I den större sfären skall så en solid polyeder skrivas in, som ej rör den mindre cirkeln på dess yta.

Låt sfärerna ha delats med något plan genom medelpunkten, snitten skall då vara cirklar, eftersom sfären bildades sedan den diametern fasthållits och den halvcirkeln förts runt.Def. 11.4 Så att, efter vilkensom placering vi övervägt för halvcirkeln, skall även planet utdraget genom den resultera i en cirkel på sfärens yta. Och det är även uppenbart, att den är en storcirkeln, eftersom sfärens diameter, vilken tydligt är både halvcirkelns diameter och cirkelns, är större än varje ~~rät linje~~ dragna genom cirkeln eller sfären.Prop. 3.15 Låt så cirkeln ΒΓΔΕ vara i den större sfären och cirkeln ΖΗΘ i den mindre samt låt deras två diametrar, ΒΔ och ΓΕ, ha dragits ut vinkelräta mot varandra. Och, sedan två cirklarna ΒΓΔΕ och ΖΗΘ kring samma medelpunkt givits, låt ha skrivit in i den större cirkeln den liksidiga polygonen ΒΓΔΕ med jämnt antal sidor, som ej rör den mindre cirkeln ΖΗΘ,Prop. 12.16 samt låt dess sidor i kvadranten ΒΕ vara ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ och ΜΕ. Och låt den förbundna ΚΑ ha dragits ut till Ν Och låt ha rest ΑΞ vid punkten Α vinkelrät mot cirkeln ΒΓΔΕ:s plan och låt den sammanfalla med sfärens yta vid Ξ. Låt även ha dragit ut plan genom ΑΞ och var och en av ΒΔ och ΚΝ. Då skall de, enligt det nämnda, resultera i storcirklar på sfärens yta. Låt den göra dem samt låt deras halvcirklar på diametrarna ΒΔ och ΚΝ vara ΒΞΔ och ΚΞΝ. Och eftersom ΞΑ är vinkelrät mot cirkeln ΒΓΔΕ:s plan, är alltså också alla plan genom ΞΑ vinkelräta mot cirkeln ΒΓΔΕ:s plan,Prop. 11.18 så att även halvcirklarna ΒΞΔ och ΚΞΝ är vinkelräta mot cirkeln ΒΓΔΕ:s plan. Och eftersom halvcirklarna ΒΕΔ, ΒΞΔ och ΚΞΝ är lika, ty de har lika diametrar, ΒΔ och ΚΝ,Def. 3.1 är även kvadranterna ΒΕ, ΒΞ och ΚΞ lika med varandra. Alltså så många av polygonens sidor som är i kvadranten ΒΕ, så många är också de, lika med de räta linjerna ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ och ΜΕ, i kvadranterna ΒΞ och ΚΞ. Låt dem ha skrivits in och låt dem vara ΒΟ, ΟΠ, ΠΡ, ΡΞ, ΚΣ, ΣΤ, ΤΥ och ΥΞ. Låt även ΣΟ, ΤΠ och ΥΡ ha förbundits samt låt normaler ha rests från Ο och Σ till cirkeln ΒΓΔΕ:s plan.Prop. 11.11 De faller då på planen ΒΔ och ΚΝ:s gemensamma snitt, eftersom även ΒΞΔ och ΚΞΝ:s plan är vinkelräta mot cirkeln ΒΓΔΕ:s plan.Def. 11.4 Låt dem falla så och låt dem vara ΟΦ och ΣΧ samt låt ΧΦ ha förbundits. Och eftersom ΒΟ och ΚΣ är lika cirkelbågar avskurna i halvcirklar lika med varandraDef. 3.28 samt ΟΦ och ΣΧ är dragna som normaler, är ~~alltså~~ ΟΦ lika med ΣΧ och ΒΦ med ΚΧ.Prop. 3.27 Prop. 1.26 Och även hela ΒΑ är lika med hela ΚΑ, alltså är även resten ΦΑ lika med resten ΧΑ, alltså som ΒΦ är till ΦΑ, så är ΚΧ till ΧΑ, alltså är ΧΦ parallell med ΚΒ.Prop. 6.2 Och eftersom var och en av ΟΦ och ΣΧ är vinkelrät mot cirkeln ΒΓΔΕ:s plan, är alltså ΟΦ parallell med ΣΧ.Prop. 11.6 Och har även visats vara lika med den, alltså är ΧΦ och ΣΟ både lika och parallella.Prop. 1.33 Och eftersom ΧΦ är parallell med ΣΟ, men ΧΦ är parallell med ΚΒ, alltså är även ΣΟ parallell med ΚΒ.Prop. 11.1 Och ΒΟ och ΚΣ förbinder dem, alltså är fyrsidingen ΚΒΟΣ i ett plan, eftersom om två räta linjer är parallella och en godtycklig punkt tagits på var och en av dem, är den räta linjen förbindande punkterna i samma plan som de parallella räta linjerna.Prop. 11.7 Av samma skäl är även var och en av fyrsidingarna ΣΟΠΤ och ΤΠΡΥ i ett plan. Och även triangeln ΥΡΞ är i ett plan.Prop. 11.2 Om vi så betraktar de räta linjer, vilka förbinder punkterna Ο, Σ, Π, Τ, Ρ och Υ med Α, skall någon mångsidig solid kropp resas mellan cirkelbågarna ΒΞ och ΚΞ sammansatt av pyramider, vars baser är fyrsidingarna ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ och ΤΠΡΥ och triangeln ΥΡΞ, vars spets är punkten Α. Och om vi även på var och en av sidorna ΚΛ, ΛΜ och ΜΕ samt likaså på ΒΚ ställt upp detsamma och dessutom på de resterande tre fyrsidingarna, skall någon polyedrisk figur rests inskriven i sfären omsluten av pyramider, vars baser är de nämnda fyrsidingarna, triangeln ΥΡΞ och de av samma ordning som dem samt vars spets är punkten Α.

Jag säger, att nämnda polyeder ej rör den mindre sfären på dess yta, på vilken cirkeln ΖΗΘ ligger.

Låt normalen ΑΨ ha dragits från punkten Α till fyrsidingen ΚΒΟΣ:s plan och låt den sammanfalla med planet vid punkten ΨProp. 11.11 samt låt ΨΒ och ΨΚ ha förbundits. Och eftersom ΑΨ är vinkelrät mot fyrsidingen ΚΒΟΣ:s plan, är den alltså även vinkelrät mot alla räta linjer skurna av den och som ligger i fyrsidingens plan.Def. 11.3 Alltså är ΑΨ vinkelrät mot var och en av ΒΨ och ΨΚ. Och eftersom ΑΒ är lika med ΑΚ, är även kvadraten på ΑΒ lika med den på ΑΚ. Och kvadraterna på ΑΨ och ΨΒ är lika med den på ΑΒ, ty vinkeln vid Ψ är rät,Prop. 1.47 och kvadraterna på ΑΨ och ΨΚ är lika med den på ΑΚ.Prop. 1.47 Alltså är kvadraterna på ΑΨ och ΨΒ lika med dem på ΑΨ och ΨΚ. Låt kvadraten på ΑΨ gemensamt ha dragits bort. Alltså är resten, kvadraten på ΒΨ, lika med resten, den på ΨΚ, alltså är ΒΨ lika med ΨΚ. På samma sätt skall vi visa, att även de räta linjerna förbundna från Ψ till Ο och Σ är lika med var och en av ΒΨ och ΨΚ. Alltså skall cirkeln, ritad med medelpunkten Ψ och en av ΨΒ och ΨΚ som diameter, dras genom Ο och Σ samt i cirkeln skall fyrsidingen ΚΒΟΣ ligga.

Och eftersom ΚΒ är större än ΧΦ och ΧΦ lika med ΣΟ, är alltså ΚΒ större än ΣΟ. Och ΚΒ är lika med var och en av ΚΣ och ΒΟ, alltså är även var och en av ΚΣ och ΒΟ större än ΣΟ. Och eftersom fyrsidingen ΚΒΟΣ ligger i en cirkel, ΚΒ, ΒΟ och ΚΣ är lika och ΟΣ mindre än dem samt ΒΨ är cirkelns radie, är alltså kvadraten på ΚΒ större än dubbla den på ΒΨ. Låt normalen ΚΩ ha dragits från Κ till ΒΦ. Och eftersom ΒΔ är mindre än dubbla ΔΩ och som ΒΔ är till ΔΩ, så är rektangeln omsluten av ΔΒ och ΒΩ till den omsluten av ΔΩ och ΩΒ - av kvadraten ritad på ΒΩ och utfylld av parallellogrammen på ΩΔ - och rektangeln omsluten av ΔΒ och ΒΩ är alltså mindre än dubbla den omsluten av ΔΩ och ΩΒ. Och sedan ΚΔ förbundits är rektangeln omsluten av ΔΒ och ΒΩ lika med kvadraten på ΒΚ och den omsluten av ΔΩ och ΩΒ är lika med kvadraten på ΚΩ,Prop. 3.31 Prop. 6.8 cor. alltså är kvadraten på ΚΒ mindre än dubbla kvadraten på ΚΩ. Men kvadraten på ΚΒ är större än dubbla den på ΒΨ, alltså är kvadraten på ΚΩ större än den på ΒΨ. Och eftersom ΒΑ är lika med ΚΑ, är kvadraten på ΒΑ lika med den på ΑΚ. Och kvadraterna på ΒΨ och ΨΑ är lika med den på ΒΑ och de på ΚΩ och ΩΑ är lika med den på ΚΑ,Prop. 1.47 alltså är kvadraterna på ΒΨ och ΨΑ lika med dem på ΚΩ och ΩΑ, av vilka kvadraten på ΚΩ är större än den på ΒΨ, alltså är resterande kvadrat på ΩΑ mindre än den på ΨΑ. Alltså är ΑΨ större än ΑΩ och alltså är ΑΨ mycket större än ΑΗ. Och ΑΨ är en normal på basen av en av polyedrarna och ΑΗ är en normal på den mindre sfärens yta, därför skall polyedern ej röra den mindre sfären på dess yta.

Sedan två sfärer kring samma medelpunkt givits, har i den större sfären, in en solid polyeder skrivits in, som ej rör den mindre sfären på dess yta. Vilket skulle göras.

Följdsats.

Och om även en polyedrisk kropp, likformig med den polyedriska kroppen i sfären ΒΓΔΕ, skrivits in i en annan sfär, skall den polyedriska kroppen i sfären ΒΓΔΕ ha ett triplicerat förhållande till den polyedriska kroppen i den andra sfären än sfären ΒΓΔΕ:s diameter till den andra sfärens diameter. Ty sedan sfärerna delats i pyramider, lika många och i samma ordning, skall pyramiderna vara likformiga. Och likformiga pyramider har ett triplicerat förhållande till varandra än de homologa sidorna.Prop. 12.8 cor. Alltså har pyramiden, vars bas är fyrsidingen ΚΒΟΣ och vars spets är punkten Α, ett triplicerat förhållande till till pyramiderna i samma ordning i den andra sfären än den homologa sidan till den homologa sidan, det vill säga än radien ΑΒ av sfären kring medelpunkten Α till radien av den andra sfären. På samma sätt skall också varje pyramid av dem i sfären kring medelpunkten Α ha ett triplicerat förhållande till varje pyramid av samma ordning av dem i den andra sfären än radien ΑΒ har till radien i den andra sfären. Och som en av de föregående är till en av de efterföljande, så är alla föregående till alla efterföljande.Prop. 5.12 Så att hela polyedriska kroppen i sfären kring medelpunkten Α har ett triplicerat förhållande till hela den polyedriska kroppen i den andra ~~sfären~~ än ΑΒ till radien i den andra sfären, det vill säga än diametern ΒΔ till den andra sfärens diameter. Vilket skulle visas.

ιηʹ.

Αἱ σφαῖραι πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἰδίων διαμέτρων.

18.

Sfärer är i ett triplicerat förhållande till varandra än sina egna diametrar.

Νενοήσθωσαν σφαῖραι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΓ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.

Εἰ γὰρ μὴ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, ἕξει ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μείζονα ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐχέτω πρότερον πρὸς ἐλάσσονα τὴν ΗΘΚ, καὶ νενοήσθω ἡ ΔΕΖ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν τὴν ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας τῆς ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εἰς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον· τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν, οὕτως τὸ ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον· ἐναλλὰξ ~~ἄρα~~ ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν αὐτῇ πολύεδρον, οὕτως ἡ ΗΘΚ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον. μείζων δὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα τοῦ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ πολυέδρου. ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ᾿ αὐτοῦ. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ.

Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μείζονα τὴν ΛΜΝ· ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ διάμετρος πρὸς τὴν ΒΓ διάμετρον. ὡς δὲ ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν, οὕτως ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας, ἐπειδήπερ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜΝ τῆς ΔΕΖ, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη. καὶ ἡ ΔΕΖ ἄρα σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα. ἡ ἄρα ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[18]

Låt sfärerna ΑΒΓ och ΔΕΖ samt deras diametrar ΒΓ och ΕΖ ha övervägts. Jag säger, att sfären ΑΒΓ har ett triplicerat förhållande till sfären ΔΕΖ än ΒΓ till ΕΖ.

Ty om sfären ΑΒΓ inte har ett triplicerat förhållande till sfären ΔΕΖ än ΒΓ till ΕΖ, skall alltså sfären ΑΒΓ ha ett triplicerat förhållande till sfär mindre eller större än sfären ΔΕΖ än ΒΓ till ΕΖ. Låt den först ha så till den mindre ΗΘΚ. Låt även ha övervägt ΔΕΖ kring samma medelpunkt som ΗΘΚ och låt en polyedrisk kropp, som ej rör den mindre sfären ΗΘΚ på dess yta, ha skrivits in i den större sfären ΔΕΖ.Prop. 12.17 Låt även en polyedrisk kropp, likformig med den polyedriska kroppen som skrivits in i sfären ΔΕΖ, ha skrivits in i sfären ΑΒΓ. Alltså har den polyedriska kroppen i ΑΒΓ ett triplicerat förhållande till den polyedriska kroppen i ΔΕΖ än ΒΓ till ΕΖ.Prop. 12.17 cor. Och även sfären ΑΒΓ skall ha ett triplicerat förhållande till sfären ΗΘΚ än ΒΓ till ΕΖ. Alltså som sfären ΑΒΓ är till sfären ΗΘΚ, så är den polyedriska kroppen i sfären ΑΒΓ till den polyedriska kroppen i sfären ΔΕΖ. ~~Alltså~~, alternerat, som sfären ΑΒΓ är till polyedern i den, så är sfären ΗΘΚ till den polyedriska kroppen i sfären ΔΕΖ.Prop. 5.16 Och sfären ΑΒΓ är större än polyedern i den, alltså är även sfären ΗΘΚ större än polyedern i sfären ΔΕΖ.Prop. 5.14 Men också mindre, ty den omsluts av den. Alltså har inte sfären ΑΒΓ ett triplicerat förhållande till en sfär mindre än sfären ΔΕΖ än diametern ΒΓ till ΕΖ. På samma sätt skall vi visa, att inte heller sfären ΔΕΖ har ett triplicerat förhållande till en sfär mindre än sfären ΑΒΓ än ΕΖ till ΒΓ.

Jag säger så, att sfären ΑΒΓ inte heller har ett triplicerat förhållande till en sfär mindre än sfären ΔΕΖ än ΒΓ till ΕΖ.

Ty om möjligt, låt den ha så till den större ΛΜΝ. Alltså, omvänt, har sfären ΛΜΝ ett triplicerat förhållande till sfären ΑΒΓ än diametern ΕΖ till diametern ΒΓ.Prop. 5.7 cor. Och som sfären ΛΜΝ är till sfären ΑΒΓ, så är sfären ΔΕΖ till en sfär mindre än sfären ΑΒΓ, eftersom ΛΜΝ är större än ΔΕΖ, som visats ovan.Prop. 12.2 lem. Och alltså har sfären ΔΕΖ ett triplicerat förhållande till en sfär mindre än sfären ΑΒΓ än ΕΖ till ΒΓ, vilket har visats vara omöjligt. Alltså har inte sfären ΑΒΓ ett triplicerat förhållande till en sfär större än sfären ΔΕΖ än ΒΓ till ΕΖ. Och det har visats, att den inte heller har så till en mindre. Alltså har sfären ΑΒΓ ett triplicerat förhållande till sfären ΔΕΖ än ΒΓ till ΕΖ. Vilket skulle visas.