Elementa Bok XI

Στοιχεῖα Εὐκλείδου ιαʹ.

Ὁροι.

αʹ. Στερεόν ἐστι τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον.
βʹ. Στερεοῦ δὲ πέρας ἐπιφάνεια.
γʹ. Εὐθεῖα πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ~~ὑποκειμένῳ~~ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ γωνίας.
δʹ. Ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν, ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν.
εʹ. Εὐθείας πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστίν, ὅταν ἀπὸ τοῦ μετεώρου πέρατος τῆς εὐθείας ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ, καὶ ἀπὸ τοῦ γενομένου σημείου ἐπὶ τὸ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ πέρας τῆς εὐθείας εὐθεῖα ἐπιζευχθῇ, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῆς ἀχθείσης καὶ τῆς ἐφεστώσης.
ϛʹ. Ἐπιπέδου πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὀξεῖα γωνία ὑπὸ τῶν πρὸς ὀρθὰς τῇ κοινῇ τομῇ ἀγομένων πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων.
ζʹ. Ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν αἱ εἰρημέναι τῶν κλίσεων γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν.
ηʹ. Παράλληλα ἐπίπεδά ἐστι τὰ ἀσύμπτωτα.
θʹ. Ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα ἴσων τὸ πλῆθος.
ιʹ. Ἴσα δὲ καὶ ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα ἴσων τῷ πλήθει καὶ τῷ μεγέθει.
ιαʹ. Στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐν τῇ αὐτῇ ἐπιφανείᾳ οὐσῶν πρὸς πάσαις ταῖς γραμμαῖς κλίσις. Ἄλλως· στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο γωνιῶν ἐπιπέδων περιεχομένη μὴ οὐσῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων.
ιβʹ. Πυραμίς ἐστι σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περιεχόμενον ἀπὸ ἑνὸς ἐπιπέδου πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνεστώς.
ιγʹ. Πρίσμα ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περιεχόμενον, ὧν δύο τὰ ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστι καὶ παράλληλα, τὰ δὲ λοιπὰ παραλληλόγραμμα.
ιδʹ. Σφαῖρά ἐστιν, ὅταν ἡμικυκλίου μενούσης τῆς διαμέτρου περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περιληφθὲν σχῆμα.
ιεʹ. Ἄξων δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα, περὶ ἣν τὸ ἡμικύκλιον στρέφεται.
ιϛʹ. Κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶ τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ ἡμικυκλίου.
ιζʹ. Διάμετρος δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.
ιηʹ. Κῶνός ἐστιν, ὅταν ὀρθογωνίου τριγώνου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περιληφθὲν σχῆμα. κἂν μὲν ἡ μένουσα εὐθεῖα ἴση ᾖ τῇ λοιπῇ τῇ περὶ τὴν ὀρθὴν περιφερομένῃ, ὀρθογώνιος ἔσται ὁ κῶνος, ἐὰν δὲ ἐλάττων, ἀμβλυγώνιος, ἐὰν δὲ μείζων, ὀξυγώνιος.
ιθʹ. Ἄξων δὲ τοῦ κώνου ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα, περὶ ἣν τὸ τρίγωνον στρέφεται.
κʹ. Βάσις δὲ ὁ κύκλος ὁ ὑπὸ τῆς περιφερομένης εὐθείας γραφόμενος.
καʹ. Κύλινδρός ἐστιν, ὅταν ὀρθογωνίου παραλληλογράμμου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθὲν τὸ παραλληλόγραμμον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περιληφθὲν σχῆμα.
κβʹ. Ἄξων δὲ τοῦ κυλίνδρου ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα, περὶ ἣν τὸ παραλληλόγραμμον στρέφεται.
κγʹ. Βάσεις δὲ οἱ κύκλοι οἱ ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον περιαγομένων δύο πλευρῶν γραφόμενοι.
κδʹ. Ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροί εἰσιν, ὧν οἵ τε ἄξονες καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων ἀνάλογόν εἰσιν.
κεʹ. Κύβος ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ἓξ τετραγώνων ἴσων περιεχόμενον.
κϛʹ. Ὀκτάεδρόν ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.
κζʹ. Εἰκοσάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.
κηʹ. Δωδεκάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον.^[1]

Definitioner.

1. En kropp har längd, bredd och djup.
2. En kropps ändpunkter är ytor.
3. En rät linje är vinkelrät mot ett plan, när den mot alla linjer, som skär den och som ligger i det ~~underliggande~~ planet, gör räta vinklar.
4. Ett plan är vinkelrätt mot ett plan, när räta linjer i ett av planen, dragna vinkelräta mot planens gemensamma snitt, är vinkelräta mot det kvarvarande planet.
5. En rät linjes lutning mot ett plan är, när en normal förts från den räta linjens övre ändpunkt till planet och en rät linje rests från den givna punkten till den räta linjens ändpunkt i planet, vinkeln omsluten av linjen, som dragits, och linjen, som har rests.
6. En rät plans lutning mot ett plan är den spetsiga vinkeln omsluten av de räta linjerna dragna vinkelräta mot det gemensamma snittet genom samma punkt i vart och ett av planen.
7. Ett plan sägs luta lika mycket mot ett plan, som att annat mot ett annat, när de omnämnda lutningarnas vinklar är lika med varandra.
8. Parallella plan är de som inte möts.
9. Likformiga kroppar är de, som omsluts av likformiga plan, lika till antalet.
10. Men lika och likformiga kroppar är de, som omsluts av likformiga plan, lika till antalet och till storlek.
11. En rymdvinkel är lutningen av fler än två linjer förbundna med varandra och inte ligger i samma yta, mot alla linjer. Alternativt är en rymdvinkel den omsluten av fler än två plana vinklar, som inte ligger i samma plan och som förenas i en punkt.
12. En pyramid är en solid figur omsluten av plan, som från ett plan har förenats i en punkt.
13. Ett prisma är en solid figur omsluten av plan, av vilka två motstående är lika och likformiga samt parallella, medan de resterande är parallellogrammer.
14. En sfär är den omslutna figuren, när, medan halvcirkels diameter hålls kvar, halvcirkeln förts runt och åter har ställts i samma läge, varifrån den började att vridas.
15. Sfärens axel är den kvarhållna räta linjen kring vilken halvcirkeln vrids.
16. Sfärens medelpunkt är densamma som halvcirkelns.
17. Sfärens diameter är någon rät linje, som dragits genom medelpunkten och begränsas på vardera sidan av sfärens yta.
18. En kon är den omslutna figuren, när, medan en av den rätvinkliga triangels sidor vid den räta vinkeln hålls kvar, triangeln förts runt och åter har ställts i samma läge, varifrån den började att vridas. Och om den kvarhållna räta linjen är lika med den resterande vid den räta vinkeln, som förs runt, skall konen vara rätvinklig, om mindre, trubbvinklig, och om större, spetsvinklig.
19. Konens axel är den kvarhållna räta linjen kring vilken triangeln vrids.
20. Basen till konen är cirkeln, som beskrivs av den räta linjen, som förs runt.
21. En cylinder är den omslutna figuren, när, medan en av den rätvinkliga parallellogrammens sidor vid den räta vinkeln hålls kvar, parallellogrammen förts runt och åter har ställts i samma läge, varifrån den började att vridas.
22. Axeln är den kvarhållna räta linjen kring vilken parallellogrammen vrids.
23. Baserna till cylindern är cirklarna, som beskrivs av de två motstående sidorna, som förs runt.
24. Likformiga koner och cylindrar är, vars basers axlar och diametrar är proportionella.
25. En kub är en solid figur omsluten av sex lika kvadrater.
26. En oktaeder är en solid figur omsluten av åtta lika och liksidiga trianglar.
27. En ikosaeder är en solid figur omsluten av tjugo lika och liksidiga trianglar.
28. En är en solid figur omsluten av tolv lika, liksidiga och likvinkliga trianglar.

αʹ.

Εὐθείας γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι ἐν μετεωροτέρῳ.

1.

En del av en rät linje kan inte vara i det underliggande planet och en del ovanför.

Εἰ γὰρ δυνατόν, εὐθείας γραμμῆς τῆς ΑΒΓ μέρος μέν τι τὸ ΑΒ ἔστω ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι τὸ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ.

Ἔσται δή τις τῇ ΑΒ συνεχὴς εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθείας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. ἔστω ἡ ΒΔ· δύο ἄρα εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ, ΑΒΔ κοινὸν τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον, ἐπειδήπερ ἐὰν κέντρῳ τῷ Β καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλον γράψωμεν, αἱ διάμετροι ἀνίσους ἀπολήψονται τοῦ κύκλου περιφερείας.

Εὐθείας ἄρα γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν μετεωροτέρῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[2]

Ty om möjligt, låt ΑΒ vara en del av den räta linjen ΑΒΓ i det underliggande planet och ΒΓ en del ovanför.

Då skall en rät linje sammansatt och i linje med ΑΒ finnas i det underliggande planet. Låt den vara ΒΔ. Alltså är ΑΒ de räta linjerna ΑΒΓ och ΑΒΔ:s gemensamma del, vilket är omöjligt, eftersom om vi ritat en cirkel med medelpunkt i Β och radien ΑΒ, skall diametrarna skära av olika omkretsar från cirkeln.

Alltså kan inte en del av en rät linje vara i det underliggande planet och en del ovanför. Vilket skulle visas.

βʹ.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.

2.

Om två räta linjer skär varandra, ligger de i ett plan och alla trianglar ligger i ett plan.

Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον. λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.

Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῶν ΕΓ, ΕΒ τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ, Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΖΗ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΖΘ, ΗΚ· λέγω πρῶτον, ὅτι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. εἰ γάρ ἐστι τοῦ ΕΓΒ τριγώνου μέρος ἤτοι τὸ ΖΘΓ ἢ τὸ ΗΒΚ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ~~ἐπιπέδῳ~~, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ μιᾶς τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν αλλῳ. εἰ δὲ τοῦ ΕΓΒ τριγώνου τὸ ΖΓΒΗ μέρος ᾖ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ ἀμφοτέρων τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλω· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη. τὸ ἄρα ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἐν ᾧ δέ ἐστι τὸ ΕΓΒ τρίγωνον, ἐν τούτῳ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν ᾧ δὲ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν τούτῳ καὶ αἱ ΑΒ, ΓΔ. αἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[3]

Ty låt de två räta linjerna ΑΒ och ΓΔ skära varandra i punkten Ε. Jag säger, att ΑΒ och ΓΔ ligger i ett plan och att alla trianglar ligger i ett plan.

Ty låt ha tagit de godtyckliga punkterna Ζ och Η på ΕΓ och ΕΒ, låt ha förbundit ΓΒ och ΖΗ samt ΖΘ och ΗΚ ha dragits. Jag säger först, att triangeln ΕΓΒ ligger i ett plan. Ty om en del av triangeln ΕΓΒ, antingen ΖΘΓ eller ΗΒΚ, ligger i det underliggande ~~planet~~ och den resterande i ett annat, skall även en del av en av de räta linjerna ΕΓ och ΕΒ vara i det underliggande planet och en annan i ett annat. Och om delen ΖΓΒΗ av triangeln ΕΓΒ ligger i det underliggande planet och den resterande i ett annat, skall även en del av endera av de räta linjerna ΕΓ eller ΕΒ vara i det underliggande planet och en annan i ett annat, vilket har visats vara omöjligt.Prop. 11.1 Alltså lligger triangeln ΕΓΒ i ett plan. Och i det som triangeln ΕΓΒ ligger, i det ligger även var och en av ΕΓ och ΕΒ. Och i det som var och en av ΕΓ och ΕΒ ligger, i detta ligger även ΑΒ och ΓΔ.Prop. 11.1 Alltså ligger de räta linjerna ΑΒ och ΓΔ i ett plan och alla trianglar ligger i ett plan. Vilket skulle visas.

γʹ.

Ἐὰν δύο ἐπίπεδα τεμνῇ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν.

3.

Om två plan skär varandra är deras gemensamma snitt en rät linje.

Δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ, ΒΓ τεμνέτω ἄλληλα, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΔΒ γραμμή· λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ γραμμὴ εὐθεῖά ἐστιν.

Εἰ γὰρ μή, ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐν μὲν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΕΒ, ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΖΒ. ἔσται δὴ δύο εὐθειῶν τῶν ΔΕΒ, ΔΖΒ τὰ αὐτὰ πέρατα, καὶ περιέξουσι δηλαδὴ χωρίον· ὅπερ ἄτοπον. οὔκ ἄρα αἰ ΔΕΒ, ΔΖΒ εὐθεῖαί εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἔσται πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδων.

Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ εὐθεῖά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[4]

Ty låt de två planen ΑΒ och ΒΓ skära varandra och låt deras gemensamma snitt vara linjen ΔΒ. Jag säger, att linjen ΔΒ är en rät linje.

Ty om inte, låt ha förbundit den räta linjen ΔΕΒ från Δ till Β i planet ΑΒ och i planet ΒΓ den räta linjen ΔΖΒ. De två räta linjerna ΔΕΒ och ΔΖΒ:s ändpunkter skall vara desamma och skall uppenbart omfatta ett område, vilket är orimligt. Alltså är ΔΕΒ och ΔΖΒ inte räta linjer. På samma sätt skall vi visa, att inte heller någon annan rät linje, förbindande Δ med Β, skall finnas förutom ΔΒ, planen ΑΒ och ΒΓ:s gemensamma snitt.

Om alltså två plan skär varandra är deras gemensamma snitt en rät linje. Vilket skulle visas.

δʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ δι᾿ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.

4.

Om en rät linje rests vinkelrät mot två räta linjer skärande varandra vid det gemensamma snittet, skall den även vara vinkelrät mot planet genom dem.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΕΖ δύο εὐθείαις ταῖς ΑΒ, ΓΔ τεμνούσαις ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἐφεστάτω· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.

Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ διήχθω τις διὰ τοῦ Ε, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΗΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΒ, καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ζ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΗ, ΖΔ, ΖΓ, ΖΘ, ΖΒ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΕ, ΕΔ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΒ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΓΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΕΔ τρίγωνον τῷ ΓΕΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἴση ~~ἐστίν~~. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΕΘ ἴση. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΗΕ, ΒΕΘ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΑΕ τῇ ΕΒ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΗΕ τῇ ΕΘ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΒΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΕ, βάσις ἄρα ἡ ΖΑ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΔ δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΖΔ βάσει τῇ ΖΓ ἐδείχθη ἴση· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΗ δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΒΘ ἴσαι εἰσίν. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΑΗ ἐδείχθη ἴση τῇ ὑπὸ ΖΒΘ· βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐδείχθη ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση ἐστίν. ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΕΖ, ΘΕΖ γωνιῶν. ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΗΘ τυχόντως διὰ τοῦ Ε ἀχθεῖσαν ὀρθή ἐστιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΖΕ καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ γωνίας· ἡ ΖΕ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. τὸ δὲ ὑποκείμενον ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθειῶν. ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐπιπέδῳ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ δι᾿ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[5]

Ty låt ha rest en rät linje, ΕΖ, från punkten Ε vinkelrät mot två räta linjer, ΑΒ och ΓΔ, vilka skär varandra i Ε. Jag säger, att ΕΖ även är vinkelrät mot planet genom ΑΒ och ΓΔ.

Ty låt ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ och ΕΔ ha skurits av lika med varandra låt godtyckligt ha dragit ΗΕΘ genom Ε, låt ΑΔ och ΓΒ ha förbundits samt låt dessutom ΖΑ, ΖΗ, ΖΔ, ΖΓ, ΖΘ och ΖΒ ha förbundits godtyckligt med Ζ. Och eftersom de två ΑΕ och ΕΔ är lika med de två ΓΕ och ΕΒ samt spänner upp lika stora vinklar,Prop. 1.15 alltså är basen ΑΔ lika med basen ΓΒ och triangeln ΑΕΔ är lika med triangeln ΓΕΒ,Prop. 1.4 så att även vinkeln ΔΑΕ är lika med vinkeln ΕΒΓ. Och vinkeln ΑΕΗ är lika med vinkeln ΒΕΘ.Prop. 1.15 Då är ΑΗΕ och ΒΕΘ två trianglar, som har två vinklar lika med två vinklar, den ena med den andra, samt en sida lika med en sida, den vid de lika vinklarna, ΑΕ med ΕΒ. Alltså skall de ha de resterande sidorna lika med de resterande sidorna.Prop. 1.26 Alltså är ΗΕ lika med ΕΘ och ΑΗ med ΒΘ. Och eftersom ΑΕ är lika med ΕΒ samt ΖΕ är gemensam och i rät vinkel, är alltså basen ΖΑ lika med basen ΖΒ.Prop. 1.4 Av samma skäl är även ΖΓ lika med ΖΔ. Och eftersom ΑΔ är lika med ΓΒ, är även ΖΑ lika med ΖΒ, då är de två ΖΑ och ΑΔ lika med de två ΖΒ och ΒΓ, den ena med den andra. Och basen ΖΔ har visats vara lika med ΖΓ, alltså är även vinkeln ΖΑΔ lika med vinkeln ΖΒΓ.Prop. 1.8 Och, åter, eftersom ΑΗ visats vara lika med ΒΘ, men även ΖΑ lika med ΖΒ, då är de två ΖΑ och ΑΗ lika med de två ΖΒ och ΒΘ. Och vinkeln ΖΑΗ har visats vara lika med vinkeln ΖΒΘ, alltså är basen ΖΗ lika med basen ΖΘ.Prop. 1.4 Och, åter, eftersom ΗΕ visats vara lika med ΕΘ och ΕΖ är gemensam, då är de två ΗΕ och ΕΖ lika med de två ΘΕ och ΕΖ. Och basen ΖΗ är lika med basen ΖΘ, alltså är vinkeln ΗΕΖ lika med vinkeln ΘΕΖ.Prop. 1.8 Alltså är var och en av vinklarna ΗΕΖ och ΘΕΖ rät.Def. 1.10 Alltså är ΖΕ vinkelrät mot ΗΘ, som godtyckligt dragits genom Ε. På samma sätt, skall vi visa att ΖΕ också skall vara i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i det underliggande planet. Och en rät linje är vinkelrät mot ett plan, när den är i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i det underliggande planet.Def. 11.3 Alltså är ΖΕ vinkelrät mot det underliggande planet och det underliggande planet är det genom de räta linjerna ΑΒ och ΓΔ. Alltså är ΖΕ vinkelrät mot planet genom ΑΒ och ΓΔ.

Om alltså en rät linje rests vinkelrät mot två räta linjer, vilka skär varandra vid det gemensamma snittet, skall den även vara vinkelrät mot planet genom dem. Vilket skulle visas.

εʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.

5.

Om en rät linje rests vinkelrät mot tre räta linjer förbundna med varandra vid det gemensamma snittet, ligger de tre räta linjerna i ett plan.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κατὰ τὸ Β ἁφῆς ἐφεστάτω· λέγω, ὅτι αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ μὲν ΒΔ, ΒΕ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ δὶα τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπίπεδον· κοινὴν δὴ τομὴν ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. ποιείτω τὴν ΒΖ. ἐν ἑνὶ ἄρα εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ διηγμένῳ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ αἱ τρεῖς εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΒΕ, καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΒΕ ἄρα ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ. τὸ δὲ διὰ τῶν ΒΔ, ΒΕ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν· ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΑΒ. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΒΖ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθή· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ εὐθεῖα ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ· αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων ἐπὶ τῆς ἁφῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[6]

Ty låt ha rest den räta linjen ΑΒ vinkelrät mot de tre räta linjerna ΒΓ, ΒΔ och ΒΕ vid skärningspunkten Β. Jag säger, att ΒΓ, ΒΔ och ΒΕ ligger i ett plan.

Ty om inte, utan om möjligt, låt ΒΔ och ΒΕ vara i det underliggande planet, men ΒΓ i ett övre, samt låt ha dragit ut planet genom ΑΒ och ΒΓ. Då gör det en rät linje som gemensamt snitt med det underliggande planet.Def. 11.3 Låt det ha gjort ΒΖ. Alltså är de tre räta linjerna ΑΒ, ΒΓ och ΒΖ i ett plan draget genom ΑΒ och ΒΓ. Och eftersom ΑΒ är vinkelrät mot var och en av ΒΔ och ΒΕ, är alltså ΑΒ även vinkelrät mot planet genom ΒΔ och ΒΕ.Prop. 11.4 Och planet genom ΒΔ och ΒΕ är det underliggande. Alltså är ΑΒ vinkelrät mot det underliggande planet. Därför är ΑΒ även i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i det underliggande planet.Def. 11.3 Och ΒΖ, som ligger i det underliggande planet, förbinds med den, alltså är vinkeln ΑΒΖ rät. Även vinkeln ΑΒΓ antas vara rät, alltså är vinkeln ΑΒΖ lika med vinkeln ΑΒΓ och de ligger i ett plan, vilket är omöjligt. Alltså ligger den räta linjen ΒΓ inte i det övre planet. Alltså ligger de tre räta linjerna ΒΓ, ΒΔ och ΒΕ i ett plan.

Om en rät linje rests vinkelrät mot tre räta linjer förbundna med varandra vid skärningspunkten, ligger de tre räta linjerna i ett plan. Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι.

6.

Om två räta linjer är vinkelräta till samma plan, skall de räta linjerna vara parallella.

Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστωσαν· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Συμβαλλέτωσαν γὰρ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β, Δ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ εὐθεῖα, καὶ ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ~~ἄρα~~ τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ τῆς ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΒΔ, ΒΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΔΒ, ΓΔΕ ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΑ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνιᾴ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ· ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΑ ὀρθή ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΔΓ ὀρθή. ἡ ΕΔ ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς ἁφῆς ἐφέστηκεν· αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. ἐν ᾧ δὲ αἱ ΔΒ, ΔΑ, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΑΒ· πᾶν γὰρ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ· αἱ ἄρα ΑΒ, ΒΔ, ΔΓ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΒΔΓ γωνιῶν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[7]

Ty låt de räta linjerna ΑΒ och ΓΔ vara vinkelräta mot det underliggande planet. Jag säger, att ΑΒ är parallell med ΓΔ.

Ty låt dem träffa det underliggande planet vid punkterna Β och Δ, låt den räta linjen ΒΔ ha förbundits, låt ΔΕ ha dragits vinkelrät mot ΒΔ i det underliggande planet, låt ΔΕ ha satts lika med ΑΒ samt låt ΒΕ, ΑΕ och ΑΔ ha förbundits.

Och eftersom ΑΒ är vinkelrät mot det underliggande planet och är ~~alltså~~ i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i det underliggande planet.Def. 11.3 Och var och en av ΒΔ och ΒΕ, vilka ligger i det underliggande planet, förbinds med ΑΒ, alltså är var och en av ΑΒΔ och ΑΒΕ en rät vinkel. Av samma skäl bör även var och en av ΓΔΒ och ΓΔΕ vara rät. Och eftersom ΑΒ är lika med ΔΕ och ΒΔ är gemensam, är de två ΑΒ och ΒΔ lika med de två ΕΔ och ΔΒ samt spänner upp räta vinklar, alltså är basen ΑΔ lika med basen ΒΕ.Prop. 1.4 Och eftersom ΑΒ är lika med ΔΕ, men även ΑΔ med ΒΕ, är de två ΑΒ och ΒΕ lika med de två ΕΔ och ΔΑ samt ΑΕ är deras gemensamma bas, alltså är vinkeln ΑΒΕ lika med vinkeln ΕΔΑ.Prop. 1.8 Och ΑΒΕ är rät, alltså är även ΕΔΑ rät, alltså är ΕΔ vinkelrät mot ΔΑ. Den är också vinkelrät mot var och en av ΒΔ och ΔΓ. Alltså har ΕΔ rests vinkelrät mot de tre räta linjerna ΒΔ, ΔΑ och ΔΓ vid skärningspunkten. Alltså är de tre räta linjerna ΒΔ, ΔΑ och ΔΓ i ett plan.Prop. 11.5 Och i det ΔΒ och ΔΑ är, i detta är även ΑΒ, ty alla trianglar är i ett plan,Prop. 11.2 alltså är de räta linjerna ΑΒ, ΒΔ och ΔΓ i ett plan. Och var och en av vinklarna ΑΒΔ och ΒΔΓ är rät, alltså är ΑΒ parallell med ΓΔ.Prop. 1.28

Om alltså två räta linjer är vinkelräta till samma plan, skall de räta linjerna vara parallella. Vilket skulle visas.

ζʹ.

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφ᾿ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.

7.

Om det finns två parallella räta linjer och godtyckliga punkter har tagits på var och en av dem, ligger den räta linjen, som förbinder punkterna, i samma plan som de parallella linjerna.

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ εἰλήφθω ἐφ᾿ ἑκατέρας αὐτῶν τυνχόντα σημεῖα τὰ Ε, Ζ· λέγω, ὅτι ἡ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.

Μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστω ἐν μετεωροτέρῳ ὡς ἡ ΕΗΖ, καὶ διήχθω διὰ τῆς ΕΗΖ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. ποιείτω ὡς τὴν ΕΖ· δύο ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΕΗΖ, ΕΖ χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖαι ἐν μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ· ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΒ ἄρα παραλλήλων ἐστὶν ἐπιπέδῳ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα.

Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφ᾿ ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[8]

Låt ΑΒ och ΓΔ vara de två räta linjerna och låt de godtyckliga punkterna Ε och Ζ ha tagits på var och en av dem. Jag säger, att den räta linjen, som förbinder punkterna, Ε och Ζ ligger i samma plan som de parallella linjerna.

Ty om inte, utan om möjligt, låt den vara i ett övre plan, som ΕΗΖ och låt ett plan ha dragits genom ΕΗΖ. Då skall det göra ett snitt i det underliggande planet i en rät linje.Prop. 11.3 Låt det göra ett, som ΕΖ. Alltså omsluter de två räta linjerna ΕΗΖ och ΕΖ ett område, vilket är omöjligt. Alltså ligger inte den räta linjen, som förbinder Ε och Ζ, i ett övre plan, alltså ligger den räta linjen, som förbinder Ε och Ζ, i planet genom de parallella räta linjerna ΑΒ och ΓΔ.

Om det alltså finns två parallella räta linjer och godtyckliga punkter har tagits på var och en av dem, ligger den räta linjen, som förbinder punkterna, i samma plan som de parallella linjerna. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.

8.

Om två räta linjer är parallella och den ena av dem är vinkelrät mot något plan, skall även den kvarvarande vara vinkelrät mot samma plan.

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΓΔ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.

Συμβαλλέτωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β, Δ σημεῖα, καὶ ἐπεζέυχθω ἡ ΒΔ· αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΒΔ ἄρα ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. ἤχθω τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὁρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΒ· ὀρθὴ ἄρα ~~ἐστὶν~~ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ, ΓΔΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ· ἡ ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΔ ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΒ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΑ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ· ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΑΔ ὀρθή ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ πρὸς τὴν ΔΒ ὀρθή· ἡ ΕΔ ἄρα καὶ τῲ διὰ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν. καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΕΔ. ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ἐστὶν ἡ ΔΓ, ἐπειδήπερ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ἐστὶν αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν ᾧ δὲ αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν τούτῳ ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ. ἡ ΕΔ ἄρα τῇ ΔΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς. ἡ ΓΔ ἄρα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ταῖς ΔΕ, ΔΒ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Δ τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν· ὥστε ἡ ΓΔ καὶ τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν· ἡ ΓΔ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.

Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[9]

Låt ΑΒ och ΓΔ vara de två parallella räta linjerna och den ena av dem, ΑΒ, är vinkelrät mot ett underliggande plan. Jag säger, att även den kvarvarande, ΓΔ, skall vara vinkelrät mot samma plan.

Ty låt ΑΒ och ΓΔ träffa det underliggande planet vid punkterna Β och Δ, låt den räta linjen ΒΔ ha förbundits. Alltså ligger ΑΒ, ΓΔ och ΒΔ i ett plan.Prop. 11.7 Låt ΔΕ ha dragits vinkelrät mot ΒΑ i det underliggande planet, låt ΔΕ ha satts lika med ΑΒ och låt ΒΕ, ΑΕ och ΑΔ ha förbundits. Och eftersom ΑΒ är vinkelrät mot det underliggande planet och är alltså i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i det underliggande planet.Def. 11.3 Alltså är var och en av vinklarna ΑΒΔ och ΑΒΕ rät. Och eftersom ΒΔ har dragits över de parallella räta linjerna ΑΒ och ΓΔ, är alltså vinklarna ΑΒΔ och ΓΔΒ lika med två räta.Prop. 1.29 Och ΑΒΔ är rät, alltså är även ΓΔΒ rät. Alltså är ΓΔ vinkelrät mot ΒΔ. Och eftersom ΑΒ är lika med ΔΕ och ΒΔ är gemensam, är de två ΑΒ och ΒΔ lika med de två ΕΔ och ΔΒ samt vinkeln ΑΒΔ är lika med vinkeln ΕΔΒ, ty de är båda räta, är alltså basen ΑΔ lika med basen ΒΕ.Prop. 1.4 Och eftersom ΑΒ är lika med ΔΕ och ΒΕ med ΑΔ, så är ΑΒ och ΒΕ lika med de två ΕΔ och ΔΑ, var och en med var och en. Och deras bas ΑΕ är gemensam, alltså är vinkeln ΑΒΕ lika med vinkeln ΕΔΑ. ΑΒΕ är rät, alltså är även ΕΔΑ rät, alltså är ΕΔ vinkelrät mot ΑΔ. Den är också vinkelrät mot ΔΒ, alltså är ΕΔ vinkelrät mot planet genom ΒΔ och ΔΑ.Prop. 11.4 Och alltså är ΕΔ i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i planet genom ΒΔΑ. I planet genom ΒΔΑ ligger ΔΓ, eftersom ΑΒ och ΒΔ ligger i planet genom ΒΔΑ.Prop. 11.2 Och i det plan ΑΒ och ΒΔ ligger, i det ligger även ΔΓ. Alltså är ΕΔ vinkelrät mot ΔΓ, så att även ΓΔ är vinkelrät mot ΔΕ. ΓΔ är även vinkelrät mot ΒΔ. Alltså har ΓΔ rests vinkelrät mot de två räta linjerna ΔΕ och ΔΒ kärande varandra vid snittet Δ, så att ΓΔ även är vinkelrät mot planet genom ΔΕ och ΔΒ.Prop. 11.4 Och planet genom ΔΕ och ΔΒ är det underliggande planet, alltså är ΓΔ vinkelrät mot det underliggande planet.

Om två räta linjer är parallella och en av dem är vinkelrät mot något plan, skall även den kvarvarande vara vinkelrät mot samma plan. Vilket skulle visas.

θʹ.

Αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.

9.

Räta linjer parallella med samma räta linje och vilka inte ligger i samma plan som denna, är även parallella med varandra.

Ἔστω γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ τῇ ΕΖ ἐν μὲν τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΘ, ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΖΕ, ΓΔ τῇ ΕΖ πάλιν πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, ΗΚ ὀρθή ἐστιν, ἡ ΕΖ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. καί ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ παράλληλος· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, παράλληλοί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[10]

Ty låt var och en av ΑΒ och ΓΔ vara parallell med ΕΖ, vilka inte ligger i samma plan som denna. Jag säger, att ΑΒ är parallell med ΓΔ.

Ty låt ha tagit den godtyckliga punkten Η på ΕΖ och låt från denna ha dragit ΗΘ, vinkelrät mot ΕΖ, i planet genom ΕΖ och ΑΒ samt ΗΚ, åter vinkelrät mot ΕΖ, i planet genom ΖΕ och ΓΔ. Och eftersom ΕΖ är vinkelrät mot var och en av ΗΘ och ΗΚ, är alltså ΕΖ även vinkelrät mot planet genom ΗΘ och ΗΚ.Prop. 11.4 Och eftersom ΕΖ är parallell med ΑΒ, är alltså även ΑΒ vinkelrät mot planet genom ΘΗΚ.Prop. 11.8 Och av samma skäl är även ΓΔ vinkelrät mot planet genom ΘΗΚ, alltså är var och en av ΑΒ och ΓΔ vinkelrät mot planet genom ΘΗΚ. Och om två räta linjer är vinkelräta mot samma plan, är de parallella räta linjer,Prop. 11.6 alltså är ΑΒ parallell med ΓΔ. Vilket skulle visas.

ιʹ.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἵσας γωνίας περιέξουσιν.

10.

Om två räta linjer förbundna med varandra är parallella med två räta linjer förbundna med varandra och de inte ligger i samma plan, skall de omsluta lika stora vinklar.

Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΕ, ΕΖ ἁπτομένας ἀλλήλων ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ.

Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΕΔ, ΕΖ ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ, ΑΓ, ΔΖ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΑ τῇ ΕΔ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος, καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΔ, ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος. αἱ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ καὶ ἴση. καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΑΓ, ΔΖ· καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῇ ΔΖ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.

Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἵσας γωνίας περιέξουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[11]

Ty låt två räta linjer förbundna med varandra, ΑΒ och ΒΓ, vara parallella med två räta linjer förbundna med varandra, ΔΕ och ΕΖ, och inte ligga i samma plan. Jag säger, att vinkeln ΑΒΓ är lika med vinkeln ΔΕΖ.

Ty låt ΒΑ, ΒΓ, ΕΔ och ΕΖ ha skurits av lika med varandra och låt ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ och ΑΓ ha förbundits. Och eftersom ΒΑ är lika med och parallell med ΕΔ, är alltså även ΑΔ lika med och parallell med ΒΕ.Prop. 1.33 Av samma skäl är också ΓΖ lika med och parallell med ΒΕ alltså är var och en av ΑΔ och ΓΖ lika med och parallell med ΒΕ. Och de räta linjer parallella med denna räta linje, vilka inte ligger i samma plan, är även parallella med varandra.Prop. 11.9 Alltså är ΑΔ parallell och lika med ΓΖ. Och ΑΓ och ΔΖ förbinder dem, alltså är även ΑΓ lika med och parallell med ΔΖ.Prop. 1.33 Och eftersom de två räta linjerna ΑΒ och ΒΓ är lika med de två ΔΕ och ΕΖ samt basen ΑΓ lika med basen ΔΖ, är alltså vinkeln ΑΒΓ lika med vinkeln ΔΕΖ.Prop. 1.8

Om alltså två räta linjer förbundna med varandra är parallella med två räta linjer förbundna med varandra och de inte ligger i samma plan, skall de omsluta lika stora vinklar. Vilket skulle visas.

ιαʹ.

Ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου μετεώρου ἐπὶ τὸ δοθὲν ἐπίπεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

11.

Att från en given övre punkt dra en vinkelrät rät linje till ett givet plan.

Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον μετέωρον τὸ Α, τὸ δὲ δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

Διήχθω γάρ τις ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΒΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ. εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΔ κάθετός ἐστι καὶ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν. εἰ δὲ οὔ, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΑ, ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, ἡ ΒΓ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΕΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. καί ἐστιν αὐτῇ παράλληλος ἡ ΗΘ· ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· καὶ ἡ ΗΘ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΗΘ. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΑΖ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ· ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΖΑ· ὥστε καὶ ἡ ΖΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΘΗ. ἔστι δὲ ἡ ΑΖ καὶ πρὸς τὴν ΔΕ ὀρθή· ἡ ΑΖ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, ΔΕ ὀρθή ἐστιν. ἐὰν δὲ εὐθεῖα δυσὶν εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ δι᾿ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ἡ ΖΑ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΗΘ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΔ, ΗΘ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ὑποκείμενον· ἡ ΑΖ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.

Ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου μετεώρου τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[12]

Låt Α vara den givna övre punkten och det givna planet det underliggande. Från punkten Α till det underliggande planet skall en vinkelrät rät linje dras.

Ty låt en rät linje ΒΓ godtyckligt ha dragits genom det underliggande planet och låt normalen ΑΔ ha dragits från punkten Α till ΒΓ.Prop. 1.12 Om så ΑΔ även är en normal till det underliggande planet, även vore det sökta givet. Om inte, låt ΔΕ ha dragits från punkten Δ vinkelrät mot ΒΓ i det underliggande planet,Prop. 1.11 låt även normalen ΑΖ ha dragits från Α till ΔΕProp. 1.12 och låt ΗΘ ha dragits genom punkten Ζ parallell med ΒΓ.Prop. 1.31

Och eftersom ΒΓ är vinkelrät mot var och en av ΔΑ och ΔΕ, är alltså ΒΓ även vinkelrät mot planet genom ΕΔΑ.Prop. 11.4 Och ΗΘ är parallell med den. Och om två räta linjer är parallella och en av dem är vinkelrät mot något plan, skall också den resterande vara vinkelrät mot samma plan.Prop. 11.8 Och alltså är ΗΘ vinkelrät mot planet genom ΕΔ och ΔΑ. Och alltså är ΗΘ i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i planet genom ΕΔ och ΔΑ.Prop. 11.3 ΑΖ, som ligger i planet genom ΕΔ och ΔΑ, är förbunden med den. Alltså är ΗΘ vinkelrät mot ΖΑ, så att även ΖΑ är vinkelrät mot ΘΗ. ΑΖ är även vinkelrät mot ΔΕ, alltså är ΑΖ vinkelrät mot var och en av ΗΘ och ΔΕ. Och om en rät linje rests vinkelrät mot två räta linjer skärande varandra vid snittet, skall den även vara vinkelrät mot planet genom dem.Prop. 11.4 Alltså är ΖΑ vinkelrät mot planet genom ΕΔ och ΗΘ. Och planet genom ΕΔ och ΗΘ är det underliggande planet, alltså är ΕΖ vinkelrät mot det underliggande planet.

Alltså har från en given övre punkt, Α, den vinkelräta räta linjen ΑΖ dragits till det underliggande planet. Vilket skulle göras.

ιβʹ.

Τῷ δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι.

12.

Att resa en vinkelrät rät linje på ett givet plan från en given punkt på detta.

Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον, τὸ δὲ πρὸς αὐτῷ σημεῖον τὸ Α· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι.

Νενοήσθω τι σημεῖον μετέωρον τὸ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ.

Ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν αἱ ΑΔ, ΓΒ, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἡ ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἐστιν.

Τῷ ἄρα δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ σημείου τοῦ Α πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΑΔ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[13]

Låt det underliggande planet vara det givna planet och Α punkten på detta. Från punkten Α i det underliggande planet skall en vinkelrät rät linje resas.

Låt en övre punkt Β ha antagits, låt normalen ΒΓ ha dragits från Β till det underliggande planetProp. 11.11 och låt ΑΔ ha dragits från punkten Α parallell med ΒΓ.Prop. 1.31

Eftersom då ΑΔ och ΓΒ är två räta linjer och en av dem, ΒΓ, är vinkelrät mot det underliggande planet, är även den resterande av dem, ΑΔ, vinkelrät mot det underliggande planet.Prop. 11.8

Alltså har den vinkelräta räta linjen ΑΔ rests på ett givet plan från punkten Α på detta. Vilket skulle göras.

ιγʹ.

Ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς οὐκ ἀναστήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.

13.

Från samma punkt i samma plan kan inte två vinkelräta räta linjer resas på samma sida.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Α τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, καὶ διήχθω τὸ διὰ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἐπὶπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει διὰ τοῦ Α ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. ποιείτω τὴν ΔΑΕ· αἱ ἄρα ΑΒ, ΑΓ, ΔΑΕ εὐθεῖαι ἐν ἑνι εἰσιν ἐπιπέδῳ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΔΑΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ γωνία ὀρθή ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ὀρθή ἐστιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ καί εἰσιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

Οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[14]

Ty om möjligt, låt de två räta linjerna ΑΒ och ΒΓ ha rests vinkelräta från samma punkt Α i det underliggande planet på samma sida. Låt även planet genom ΒΑ och ΑΓ ha dragits. Detta skall då göra ett snitt av en rät linje genom Α i det underliggande planet.Prop. 11.3 Låt det göra ΔΑΕ. Alltså ligger de räta linjerna ΑΒ, ΑΓ och ΔΑΕ i ett plan. Och eftersom ΓΑ är vinkelrät mot det underliggande planet, är den alltså också i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i det underliggande planet.Def. 11.3 ΔΑΕ, som ligger i det underliggande planet, är förbunden med den, alltså är vinkeln ΓΑΕ rät. Av samma skäl är också ΒΑΕ rät, alltså är ΓΑΕ lika med ΒΑΕ och ligger i samma plan, vilket är omöjligt.

Alltså kan två vinkelräta räta linjer inte resas från samma punkt i samma plan på samma sida. Vilket skulle visas.

ιδʹ.

Πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα.

14.

De plan som samma räta linje är vinkelrät mot, de planen skall vara parallella.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΔ, ΕΖ ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἔστω· λέγω, ὅτι παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα.

Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται. συμπιπτέτωσαν· ποιήσουσι δὴ κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν. ποιείτωσαν τὴν ΗΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΗΘ τυχὸν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΒΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς τὴν ΒΚ ἄρα εὐθεῖαν οὖσαν ἐν τῷ ΕΖ ἐκβληθέντι ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΚ γωνία ὀρθή ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΚ ὀρθή ἐστιν. τριγώνου δὴ τοῦ ΑΒΚ αἱ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΚ, ΒΑΚ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται· παράλληλα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα.

Πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἄρα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[15]

Ty låt ΑΒ vara en rät linje vinkelrät mot vart och ett av planen ΓΔ och ΕΖ. Jag säger, att planen är parallella.

Ty om inte, skall de utdragna sammanfalla. Låt dem sammanfalla, de gör ett gemensamt snitt av en rät linje.Prop. 11.3 Låt dem ha gjort ΗΘ, låt en godtycklig punkt Κ ha tagits på ΗΘ och låt ΑΚ och ΒΚ ha förbundits. Och eftersom ΑΒ är vinkelrät mot planet ΕΖ, är ΑΒ även vinkelrät mot ΒΚ, som är en rät linje i det utdragna planet ΕΖ,Def. 11.3 alltså är vinkeln ΑΒΚ rät. Av samma skäl är även ΒΑΚ rät. Då är två av triangeln ΑΒΚ:s vinklar, ΑΒΚ och ΒΑΚ, lika med två räta, vilket är omöjligt.Prop. 1.17 Alltså sammanfaller inte de utdragna planen ΓΔ och ΕΖ. Alltså är planen ΓΔ och ΕΖ parallella.Def. 11.8

De plan som alltså samma räta linje är vinkelrät mot, dessa plan skall vara parallella. Vilket skulle visas.

ιεʹ.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, παράλληλά ἐστι τὰ δι᾿ αὐτῶν ἐπίπεδα.

15.

Om två räta linjer förbundna med varandra är parallella med två räta linjer förbundna med varandra och de inte ligger i samma plan, är planen genom dem parallella.

Δύο γὰρ εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΑΒ, ΒΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΔΕ, ΕΖ ἔστωσαν μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι· λέγω, ὅτι ἐκβαλλόμενα τὰ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται ἀλλήλοις.

Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΒΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ μὲν ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΗΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΗ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΒΗΚ γωνιῶν. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΑ τῇ ΗΘ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΗΒΑ, ΒΗΘ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΑ· ἡ ΗΒ ἄρα τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΗΒ καὶ τῇ ΒΓ ἐστι πρὸς ὀρθάς. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΗΒ δυσὶν εὐθείαις ταῖς ΒΑ, ΒΓ τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν, ἡ ΗΒ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΑ, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΒΗ καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. τὸ δὲ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ· ἡ ΒΗ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ἐδείχθη δὲ ἡ ΗΒ καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς. πρὸς ἃ δὲ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα· παράλληλον ἄρα ἐστὶ τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπίπεδον τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ.

Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, παράλληλά ἐστι τὰ δι᾿ αὐτῶν ἐπίπεδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[16]

Ty låt två räta linjer förbundna med varandra, ΑΒ och ΒΓ, vara parallella med två räta linjer förbundna med varandra, ΔΕ och ΕΖ, och inte ligga i samma plan. Jag säger, att planen utdragna genom ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ och ΕΖ inte skall sammanfalla med varandra.

Ty låt normalen ΒΗ ha dragits från punkten Β till planet genom ΔΕ och ΕΖProp. 11.11 och låt den sammanfalla med planet vid punkten Η. Låt även ΗΘ ha dragits genom Η parallell med ΕΔ och ΗΚ med ΕΖ.Prop. 1.31 Och eftersom ΒΗ är vinkelrät mot planet genom ΔΕ och ΕΖ, och skall alltså även vara i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i planet genom ΔΕ och ΕΖ.Def. 11.3 Var och en av ΗΘ och ΗΚ, vilka ligger i planet genom ΔΕ och ΕΖ, förbinds med den, alltså är var och en av vinklarna ΒΗΘ och ΒΗΚ rät. Och eftersom ΒΑ är parallell med ΗΘ,Prop. 11.9 är alltså vinklarna ΗΒΑ och ΒΗΘ lika med två räta.Prop. 1.29 Och ΒΗΘ är rät, alltså är även ΗΒΑ rät. Alltså är ΗΒ vinkelrät mot ΒΑ. Av samma skäl är även ΗΒ vinkelrät mot ΒΓ. Eftersom då den räta linjen ΗΒ är rest vinkelrät mot de två räta linjerna ΒΑ och ΒΓ, vilka skär varandra, är alltså ΗΒ även vinkelrät mot planet genom ΒΑ och ΒΓ.Prop. 11.4 [Av samma skäl är även ΒΗ vinkelrät mot planet genom ΗΘ och ΗΚ. Och planet genom ΗΘ och ΗΚ är det genom ΔΕ och ΕΖ, alltså är ΒΗ vinkelrät mot planet genom ΔΕ och ΕΖ. Och ΗΒ har även visats vara vinkelrät mot planet genom ΑΒ och ΒΓ.] De plan som samma räta linje är vinkelrät mot, de planen skall vara parallella.Prop. 11.14 Alltså är planet genom ΑΒ och ΒΓ parallellt med det genom ΔΕ och ΕΖ.

Om alltså två räta linjer förbundna med varandra är parallella med två räta linjer förbundna med varandra och de inte ligger i samma plan, är planen genom dem parallella. Vilket skulle visas.

ιϛʹ.

Ἐὰν δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.

16.

Om två parallella plan skärs av ett plan, skall deras gemensamma snitt vara parallella.

Δύο γὰρ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΖΗΘ τεμνέσθω, κοιναὶ δὲ αὐτῶν τομαὶ ἔστωσαν αἱ ΕΖ, ΗΘ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.

Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΕΖ, ΗΘ ἤτοι ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Ε, Η συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν ὡς ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη καὶ συμπιπτέτωσαν πρότερον κατὰ τὸ Κ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖΚ ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ, καὶ πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ΕΖΚ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἓν δὲ τῶν ἐπὶ τῆς ΕΖΚ εὐθείας σημείων ἐστὶ τὸ Κ· τὸ Κ ἄρα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ Κ καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἐστιν ἐπιπέδῳ· τὰ ΑΒ, ΓΔ ἄρα ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται. οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παράλληλα ὑποκεῖσθαι· οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη συμπεσοῦνται. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι οὐδέ ἐπὶ τὰ Ε, Η μέρη ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.

Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνηται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[17]

Ty låt de två parallella planen ΑΒ och ΓΔ skäras av planet ΕΖΗΘ samt låt ΕΖ och ΗΘ vara deras gemensamma snitt. Jag säger, att ΕΖ är parallellt med ΗΘ.

Ty om inte, skall ΕΖ och ΗΘ utdragna sammanfalla antingen åt sidorna Ζ och Θ eller åt Ε och Η. Låt dem så ha dragits ut åt sidorna Ζ och Θ och låt dem först sammanfalla vid Κ. Och eftersom ΕΖΚ ligger i planet ΑΒ, ligger alltså även alla punkter på ΕΖΚ i planet ΑΒ.Prop. 11.1 Och Κ är en av punkterna på ΕΖΚ, alltså ligger Κ i planet ΑΒ. Av samma skäl ligger Κ även i planet ΓΔ, alltså sammanfaller de utdragna planen ΑΒ och ΓΔ. Men de sammanfaller inte, eftersom de antagits vara parallella. Alltså skall de räta linjerna ΕΖ och ΗΘ utdragna åt sidorna Ζ och Θ inte sammanfalla. På samma sätt skall vi visa, att de räta linjerna ΕΖ och ΗΘ utdragna åt sidorna Ε och Η inte heller skall sammanfalla. Och de som inte sammanfaller på någondera sida, är parallella.Prop. 1.23 Alltså är ΕΖ parallell med ΗΘ.

Om alltså två parallella plan skärs av ett plan, skall deras gemensamma snitt vara parallella. Vilket skulle visas.

ιζʹ.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπεδων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται.

17.

Om två räta linjer skärs av parallella plan, skall de skäras i samma förhållanden.

Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ Α, Ε, Β, Γ, Ζ, Δ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ, ΑΔ, καὶ συμβαλλέτω ἡ ΑΔ τῷ ΚΛ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΞ, ΞΖ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΛ, ΜΝ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΒΔΞ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΕΞ, ΒΔ παράλληλοί εἰσιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΗΘ, ΚΛ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΞΖΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΑΓ, ΞΖ παράλληλοί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΔ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΔ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΕΞ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ. πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΓ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΞΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ.

Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται· ὅπερ ἔδει δειξαι.^[18]

Ty låt de två räta linjerna ΑΒ och ΓΔ skäras av de parallella planen ΗΘ, ΚΛ och ΜΝ vid punkterna Α, Ε, Β, Γ, Ζ och Δ. Jag säger, att som den räta linjen ΑΕ är till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔ.

Ty låt ΑΓ, ΒΔ och ΑΔ ha förbundits, låt ΑΔ sammanfalla med planet ΚΛ vid punkten Ξ och låt ΕΞ och ΞΖ ha förbundits. Och eftersom de två parallella planen ΚΛ och ΜΝ skärs av planet ΕΒΔΞ, är deras gemensamma snitt ΕΞ och ΒΔ parallella.Prop. 11.16 Av samma skäl, eftersom de två parallella planen ΗΘ och ΚΛ skärs av planet ΑΞΖΓ, är deras gemensamma snitt ΑΓ och ΞΖ parallella.Prop. 11.16 Och eftersom den räta linjen ΒΔ dragits parallell med en av triangeln ΑΒΔ:s sidor, ΒΔ, alltså proportionellt som ΑΕ är till ΕΒ, så är ΑΞ till ΞΔ.Prop. 6.2 Åter, eftersom den räta linjen ΞΖ dragits parallell med en av triangeln ΑΔΓ:s sidor, ΑΓ, alltså proportionellt som ΑΞ är till ΞΔ, så är ΓΖ till ΖΔ.Prop. 6.2 Och det har även visats, att som ΑΞ är till ΞΔ, så är ΑΕ till ΕΒ och alltså som ΑΕ är till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔ.Prop. 5.11

Om alltså två räta linjer skärs av parallella plan, skall de skäras i samma förhållanden. Vilket skulle visas.

ιηʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ δι᾿ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.

18.

Om en rät linje är vinkelrät mot något plan, skall även alla plan genom den vara vinkelräta mot samma plan.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον τὸ ΔΕ, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ τοῦ ΔΕ ἐπιπέδου καὶ τοῦ ὑποκειμένου ἡ ΓΕ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΓΕ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΓΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἐν τῷ ΔΕ ἐπιπέδῳ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ· ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΓΕ ὀρθή ἐστιν· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ ὀρθὴ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ. ἡ δὲ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· καὶ ἡ ΖΗ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. καὶ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν, ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν. καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΓΕ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐδείχθη τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς· τὸ ἄρα ΔΕ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα ὀρθὰ τυγχανοντα πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ δι᾿ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[19]

Ty låt en rät linje ΑΒ vara vinkelrät mot det underliggande planet. Jag säger, att även alla plan genom ΑΒ är vinkelräta mot det underliggande planet.

Ty låt ha dragit ut planet ΔΕ genom ΑΒ, låt ΓΕ vara planet ΔΕ:s och det underliggande planets gemensamma snitt, låt punkten Ζ ha tagits godtyckligt på ΓΕ och låt ΖΗ ha dragits från Ζ vinkelrät mot ΓΕ i planet ΔΕ.Prop. 1.11 Och eftersom ΑΒ är vinkelrät mot det underliggande planet, alltså är ΑΒ även i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i det underliggande planet,Def. 11.3 så att den även är vinkelrät mot ΓΕ, alltså är vinkeln ΑΒΖ rät. Även ΗΖΒ är rät, alltså är ΑΒ parallell med ΖΗ.Prop. 1.28 ΑΒ är vinkelrät mot det underliggande planet, alltså är även ΖΗ vinkelrät mot det underliggande planet.Prop. 11.8 Och ett plan är vinkelrätt mot ett plan, när räta linjer i ett av planen, dragna vinkelräta mot planens gemensamma snitt, är vinkelräta mot det kvarvarande planet.Def. 11.4 Och ΖΗ, dragen i ett av planen, ΔΕ, vinkelrät mot planens gemensamma snitt, ΓΕ, har visats vara vinkelrät mot det underliggande planet, alltså är planet ΔΕ vinkelrätt mot det underliggande. På samma sätt skall det visas, att också alla godtyckliga plan genom ΑΒ är vinkelräta mot det underliggande planet.

Om alltså en rät linje är vinkelrät mot något plan, skall även alla plan genom den vara vinkelräta mot samma plan. Vilket skulle visas.

ιθʹ.

Ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.

19.

Om två plan, som skär varandra, är vinkelräta mot ett plan, skall deras gemensamma snitt också vara vinkelrätt mot samma plan.

Δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ, ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΒΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΒΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.

Μὴ γάρ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐν μὲν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῇ ΑΔ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ ἦκται ἡ ΔΕ, ἡ ΔΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ Δ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖα πρὸς ὀρθὰς ἀνεσταμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἀνασταθήσεται πρὸς ὀρθὰς πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδων.

Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[20]

Ty låt de två planen ΑΒ och ΒΓ vara vinkelräta mot det underliggande planet och låt ΒΔ vara deras gemensamma snitt. Jag säger, att ΒΔ är vinkelrätt mot det underliggande planet.

Ty om inte, låt ΔΕ ha dragits från punkten Δ vinkelrät mot ΑΔ i planet ΑΒ och ΔΖ i planet ΒΓ vinkelrät mot ΓΔ. Och eftersom planet ΑΒ är vinkelrätt mot det underliggande och ΔΕ har dragits vinkelrätt mot deras gemensamma snitt ΑΔ i planet ΑΒ, är alltså ΔΕ vinkelrät mot det underliggande planet.Def. 11.4 På samma sätt skall vi visa, att även ΔΖ är vinkel mot det underliggande planet. Alltså är två räta linjer, resta från samma punkt Δ vinkelräta mot det underliggande planet, på samma sida, vilket är omöjligt.Prop. 11.3 Alltså skall inte någon rät linje, förutom planen ΑΒ och ΒΓ:s gemensamma snitt ΔΒ, resas vinkelrätt mot det underliggande planet från punkten Δ.

Om två plan, som skär varandra, är vinkelräta mot ett plan, skall deras gemensamma snitt också vara vinkelrätt mot samma plan. Vilket skulle visas.

κʹ.

Ἐὰν στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.

20.

Om en rymdvinkel omsluts av tre plana vinklar, är vilka två som helst större än den kvarvarande i alla kombinationer.

Στερεὰ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ περιεχέσθω· λέγω, ὅτι τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ γωνιῶν δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.

Εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν. εἰ δὲ οὔ, ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπιπέδῳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου διαχθεῖσα ἡ ΒΕΓ τεμνέτω τὰς ΑΒ, ΑΓ εὐθείας κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ, ΔΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ, δύο δυσὶν ἴσαι· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΔΒ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΔ, ΔΓ τῆς ΒΓ μείζονές εἰσιν, ὧν ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ λοιπῆς τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσεως τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνάις τῆς ὑπὸ ΕΑΓ μείζων ἐστίν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση· αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζονές εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ σύνδυο λαμβανόμεναι τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.

Ἐὰν ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[21]

Ty låt rymdvinkeln vid Α omslutas av de tre plana vinklarna ΒΑΓ, ΓΑΔ och ΔΑΒ. Jag säger, att är vilka två som helst av vinklarna ΒΑΓ, ΓΑΔ och ΔΑΒ är större än den kvarvarande i alla kombinationer.

Om så vinklarna ΒΑΓ, ΓΑΔ och ΔΑΒ är lika med varandra, är det uppenbart, att vilka två som helst större än den kvarvarande. Och om inte, låt ΒΑΓ vara större, låt ha rest ΒΑΕ, mot den räta linjen ΑΒ och mot samma punkt Α i planet genom ΒΑΓ, lika med vinkeln ΔΑΒ, låt ha satt ΑΕ lika med ΑΔ, låt ΒΕΓ, som dragits ut genom punkten Ε, dela de räta linjerna ΑΒ och ΑΓ vind punkterna Β och Γ samt låt ΔΒ och ΔΓ ha förbundits. Och eftersom ΔΑ är lika med ΑΕ och ΑΒ är gemensam, är två räta linjer lika med två räta linjer. Och vinkeln ΔΑΒ är lika med vinkeln ΒΑΕ, alltså är basen ΔΒ lika med basen ΒΕ.Prop. 1.4 Och eftersom de två ΒΔ och ΔΓ är större än ΒΓ,Prop. 1.20 av vilka ΔΒ har visats vara lika med ΒΕ, alltså är den resterande ΔΓ större än den resterande ΕΓ. Och eftersom ΔΑ är lika med ΑΕ, ΑΓ är gemensam och basen ΔΓ större än basen ΕΓ, är alltså vinkeln ΔΑΓ större än vinkeln ΕΑΓ.Prop. 1.25 Och ΔΑΒ har visats vara lika med ΒΑΕ, alltså är ΔΑΒ och ΔΑΓ större än ΒΑΓ. På samma sätt skall vi visa, att även de resterande kombinationerna av två är större än den resterande.

Om alltså en rymdvinkel omsluts av tre plana vinklar, är vilka två som helst större än den kvarvarande i alla kombinationer. Vilket skulle visas.

καʹ.

Ἅπασα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται.

21.

Alla rymdvinklar omsluts av mindre än fyra räta plana vinklar.

Ἔστω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α περιεχομένη ὑπὸ ἐπιπέδων γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ· λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.

Εἰλήφθω γὰρ ἐφ᾿ ἑκάστης τῶν ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ τυχόντα σημεῖα τὰ Β, Γ, Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΓΒΔ, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΓΒΔ μείζονές εἰσιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ, ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΓΔ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ὑπὸ ΓΔΑ, ΑΔΒ τῆς ὑπὸ ΓΔΒ μείζονές εἰσιν· αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ τριῶν τῶν ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΓΑ, ΓΔΒ μείζονές εἰσιν. ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΔΓ, ΒΓΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· αἱ ἓξ ἄρα αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ δύο ὀρθῶν μείζονές εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἑκάστου τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΒ τριγώνων αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, αἱ ἄρα τῶν τριῶν τριγώνων ἐννέα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΓΑΔ, ΑΔΒ, ΔΒΑ, ΒΑΔ ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ, ΔΒΑ ἓξ γωνίαι δύο ὀρθῶν εἰσι μείζονες· λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τρεῖς ~~γωνίαι~~ περιέχουσαι τὴν στερεὰν γωνίαν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.

Ἅπασα ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἤ τεσσάρων ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[22]

Låt en rymdvinkel vid Α omslutas av de plana vinklarna ΒΑΓ, ΓΑΔ och ΔΑΒ. Jag säger, att ΒΑΓ, ΓΑΔ och ΔΑΒ är mindre än fyra räta.

Ty låt de godtyckliga punkterna Β, Γ och Δ ha tagits på var och en av ΑΒ, ΑΓ och ΑΔ samt låt ΒΓ, ΓΔ och ΔΒ ha förbundits. Och eftersom rymdvinkeln vid Β omsluts av de tre plana vinklarna ΓΒΑ, ΑΒΔ och ΓΒΔ, är vilka två som helst av vinklarna större än den kvarvarande,Prop. 11.20 alltså är ΓΒΑ och ΑΒΔ större än ΓΒΔ. Av samma skäl är även ΒΓΑ och ΑΓΔ större än ΒΓΔ och ΓΔΑ och ΑΔΒ är större än ΓΔΒ, alltså är de sex vinklarna ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ och ΑΔΒ större än de tre ΓΒΔ, ΒΓΑ och ΓΔΒ. Men de tre ΓΒΔ, ΒΔΓ och ΒΓΔ är lika med två räta,Prop. 1.32 alltså är de sex ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ och ΑΔΒ större än två räta. Och eftersom var och en av de tre trianglarna ΑΒΓ, ΑΓΔ och ΑΔΒ är lika med två räta, är alltså de tre trianglarnas nio vinklarna ΓΒΑ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΓΑΔ, ΑΔΒ, ΔΒΑ och ΒΑΔ av lika med sex räta, av vilka de sex vinklarna ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ och ΔΒΑ är större än två räta, alltså är de resterande tre ~~vinklarna~~ ΒΑΓ, ΓΑΔ och ΔΑΒ, som omsluter rymdvinkeln, mindre än fyra räta.

Alltså omsluts alla rymdvinklar av mindre än fyra räta plana vinklar. Vilket skulle visas.

κβʹ.

Ἐὰν ὧσι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, περιέχωσι δὲ αὐτὰς ἴσαι εὐθεῖαι, δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς ἴσας εὐθείας τρίγωνον συστήσασθαι.

22.

Om det finns tre plana vinklar, av vilka två är större än den resterande, i alla kombinationer, samt lika räta linjer omsluter dem, och det är möjligt att av de sammanbundna lika räta linjerna resa en triangel.

Ἔστωσαν τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΗΘΚ, αἱ δὲ ὑπὸ ΔΕΖ, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ εὐθεῖαι, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ· λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι, τουτέστιν ὅτι τῶν ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.

Εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ ἴσων γινομένων δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι. εἰ δὲ οὔ, ἔστωσαν ἄνισοι, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΘΚ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΘΛ· καὶ κείσθω μιᾷ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ἴση ἡ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, ΗΛ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΘ, ΘΛ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΚΛ ἴση. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΗΘΛ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΗΘ, ΘΛ δύο ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΘΛ γωνίας τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζων, βάσις ἄρα ἡ ΗΛ βάσεως τῆς ΔΖ μείζων ἐστίν. ἀλλὰ αἱ ΗΚ, ΚΛ τῆς ΗΛ μείζονές εἰσιν. πολλῷ ἄρα αἱ ΗΚ, ΚΛ τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν. ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΑΓ· αἱ ΑΓ, ΗΚ ἄρα τῆς λοιπῆς τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΓ, ΔΖ τῆς ΗΚ μείζονές εἰσιν, καὶ ἔτι αἱ ΔΖ, ΗΚ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[23]

Låt ΑΒΓ, ΔΕΖ och ΗΘΚ vara tre plana vinklar, av vilka två är större än den resterande, i alla kombinationer. ΑΒΓ och ΔΕΖ än ΗΘΚ, ΔΕΖ och ΗΘΚ än ΑΒΓ samt dessutom ΗΘΚ och ΑΒΓ än ΔΕΖ. Låt även ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ och ΘΚ vara lika räta linjer och låt ΑΓ, ΔΖ och ΗΚ ha förbundits. Jag säger, att det är möjligt att resa en triangel av räta linjer lika med ΑΓ, ΔΖ och ΗΚ. Det vill säga, att vilka två som helst av ΑΓ, ΔΖ och ΗΚ är större än den resterande.

Om alltså vinklarna ΑΒΓ, ΔΕΖ och ΗΘΚ är lika med varandra, är det uppenbart, att det är möjligt, sedan ΑΓ, ΔΖ och ΗΚ blivit lika, även att resa en triangel av räta linjer lika med ΑΓ, ΔΖ och ΗΚ. Och om inte, låt dem vara olika och låt ha rest ΚΘΛ lika med vinkeln ΑΒΓ mot den räta linjen ΘΚ och vid punkten Θ samt låt ΘΛ ha sats lika med en av ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ och ΘΚ. Låt även ΚΛ och ΗΛ ha förbundits. Och eftersom de två ΑΒ och ΒΓ är lika med de två ΚΘ och ΘΛ samt vinkeln vid Β lika med vinkeln ΚΘΛ, är alltså basen ΑΓ lika med basen ΚΛ.Prop. 1.4 Och eftersom ΑΒΓ och ΗΘΚ är större än ΔΕΖ samt ΑΒΓ är lika med ΚΘΛ, är alltså ΗΘΛ större än ΔΕΖ. Och eftersom de två ΗΘ och ΘΛ är lika med de två ΔΕ och ΕΖ samt vinkeln ΗΘΛ är större än vinkeln ΔΕΖ, är alltså basen ΗΛ större än basen ΔΖ.Prop. 1.24 Men ΗΚ och ΚΛ är större än ΗΛ.Prop. 1.20 Alltså är ΗΚ och ΚΛ mycket större än ΔΖ och ΚΛ är lika med ΑΓ, alltså är ΑΓ och ΗΚ större än den resterande ΔΖ. På samma sätt skall vi visa, att också ΑΓ och ΔΖ är större än ΗΚ och dessutom att ΔΖ och ΗΚ är större än ΑΓ. Alltså är det möjligt att av räta linjer lika med ΑΓ, ΔΖ och ΗΚ resa en triangel. Vilket skulle visas.

κγʹ.

Ἐκ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι· δεῖ δὴ τὰς τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσςονας εἶναι.

23.

Att av tre plana vinklar, av vilka två är större än den resterande i alla kombinationer, resa en rymdvinkel och de tre vinklarna skall vara mindre än fyra räta.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἔτι δὲ αἱ τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες· δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.

Låt ΑΒΓ, ΔΕΖ och ΗΘΚ vara de tre givna plana vinklarna, låt av dessa två vara större än den resterande i alla kombinationer och dessutom de tre vara mindre än fyra räta. En rymdvinkel skall så resas av vinklar lika med ΑΒΓ, ΔΕΖ och ΗΘΚ.

Ἀπειλήφθωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι. συνεστάτω τὸ ΛΜΝ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΓ τῇ ΛΜ, τὴν δὲ ΔΖ τῇ ΜΝ, καὶ ἔτι τὴν ΗΚ τῇ ΝΛ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον κύκλος ὁ ΛΜΝ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ μείζων ἐστὶ τῆς ΛΞ. εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἢ ἐλάττων. ἔστω πρότερον ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΞΛ τῇ ΞΜ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΛΞ, ΞΜ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΛΜ ὑπόκειται ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΞΜ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῇ ὑπὸ ΜΞΝ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΗΘΚ τῇ ὑπὸ ΝΞΛ· αἱ ἄρα τρεῖς αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ εἰσιν ἴσαι. ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ τέτταρσιν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι· καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τέτταρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὑπόκεινται δὲ καὶ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἴση ἐστίν. λέγω δή, ὅτι οὑδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΞΟ, τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ ΞΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΞΟ τῇ ΞΠ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΛΟ τῇ ΠΜ ἐστιν ἴση. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΟΠ, καὶ ἰσογώνιον τὸ ΛΜΞ τῷ ΟΠΞ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΞΛ πρὸς ΛΜ, οὕτως ἡ ΞΟ πρὸς ΟΠ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ, οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΟΠ. μείζων δὲ ἡ ΛΞ τῆς ΞΟ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῆς ΟΠ. ἀλλὰ ἡ ΛΜ κεῖται τῇ ΑΓ ἴση· καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΟΞ, ΞΠ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσεως τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΟΞΠ μεῖζων ἐστίν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΜΞΝ μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΝΞΛ. αἱ ἄρα τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τριῶν τῶν ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ μείζονές εἰσιν. ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες ὑπόκεινται· πολλῷ ἄρα αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. ἀλλὰ καὶ ἴσαι· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΛΞ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση· μείζων ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ. ἀνεστάτω δὴ ἀπὸ τοῦ Ξ σημείου τῷ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ, καὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΡΞ ὀρθὴ ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς ἑκάστην ἄρα τῶν ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ ὀρθή ἐστιν ἡ ΡΞ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΞΜ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ, βάσις ἄρα ἡ ΡΛ βάσει τῂ ΡΜ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΡΝ ἑκατέρᾳ τῶν ΡΛ, ΡΜ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον ὑπόκειται τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΡ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΛΞΡ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΡΛ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΡΛ. ἀλλὰ τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ, τῇ δὲ ΡΛ ἴση ἑκατέρα τῶν ΡΜ, ΡΝ· ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ἑκάστῃ τῶν ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΛΡ, ΡΜ δυσὶ ταῖς ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΛΜ βάσει τῇ ΑΓ ὑπόκειται ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΡΜ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΜΡΝ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΡΝ τῇ ὑπὸ ΗΘΚ.

Ἐκ τριῶν ἄρα γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, στερεὰ γωνία συνέσταται ἡ πρὸς τῷ Ρ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ γωνιῶν· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Låt ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ och ΘΚ ha skurits av lika och låt ΑΓ, ΔΖ och ΗΚ ha förbundits. Alltså är det möjligt, att av räta linjer lika med ΑΓ, ΔΖ och ΗΚ resa en triangel.Prop. 11.22 Låt ha rest ΛΜΝ, så att ΑΓ är lika med ΛΜ och ΔΖ med ΜΝ samt dessutom ΗΚ med ΝΛ. Låt dessutom cirkeln ΛΜΝ dragits kring triangeln ΛΜΝ,Prop. 4.5 låt dess medelpunkt ha funnits och låt den vara Ξ samt låt ΛΞ, ΜΞ och ΝΞ ha förbundits. Jag säger, att ΑΒ är större än ΛΞ. Ty om inte, är ΑΒ antingen lika med ΛΞ eller mindre. Låt den först vara lika. Och eftersom ΑΒ är lika med ΛΞ, men ΑΒ är lika med ΒΓ och ΞΛ med ΞΜ, så de två ΑΒ och ΒΓ är lika med de två ΛΞ och ΞΜ, var och en med var och en. Och basen ΑΓ har antagits vara lika med basen ΛΜ, alltså är vinkeln ΑΒΓ lika med vinkeln ΛΞΜ.Prop. 1.8 Av samma skäl är även ΔΕΖ lika med ΜΞΝ och dessutom ΗΘΚ med ΝΞΛ, alltså är de tre vinklarna ΑΒΓ, ΔΕΖ och ΗΘΚ lika med de tre ΛΞΜ, ΜΞΝ och ΝΞΛ. Men de tre ΛΞΜ, ΜΞΝ och ΝΞΛ är lika med fyra räta, alltså är även de tre ΑΒΓ, ΔΕΖ och ΗΘΚ lika med fyra räta. Och de antas vara mindre än fyra räta, vilket är orimligt. Alltså är ΑΒ inte lika med ΛΞ. Jag säger så, att ΑΒ inte heller är mindre än ΛΞ. Ty om möjligt, låt den vara det och låt ΞΟ ha satts lika med ΑΒ, ΞΠ lika med ΒΓ och låt ΟΠ ha förbundits. Och eftersom ΑΒ är lika med ΒΓ, är även ΞΟ lika med ΞΠ, så att även resten ΛΟ är lika med ΠΜ. Alltså är ΛΜ parallell med ΟΠProp. 6.2 och ΛΜΞ likvinklig med ΟΠΞ,Prop. 1.29 alltså som ΞΛ är till ΛΜ, så är ΞΟ till ΟΠProp. 6.4 och, alternerat, som ΛΞ är till ΞΟ, så är ΛΜ till ΟΠ.Prop. 5.16 Och ΛΞ är större än ΞΟ, alltså är även ΛΜ större än ΟΠ.Prop. 5.14 Men ΛΜ är satt lika med ΑΓ, alltså är även ΑΓ större än ΟΠ. Eftersom då de två ΑΒ och ΒΓ är lika med de två ΟΞ och ΞΠ samt basen ΑΓ är större än basen ΟΠ, alltså är vinkeln ΑΒΓ större än vinkeln ΟΞΠ.Prop. 1.25 På samma sätt skall vi visa, att även ΔΕΖ är större än ΜΞΝ och ΗΘΚ än ΝΞΛ. Alltså är de tre vinklarna ΑΒΓ, ΔΕΖ och ΗΘΚ större än de tre ΛΞΜ, ΜΞΝ och ΝΞΛ. Men de tre vinklarna ΑΒΓ, ΔΕΖ och ΗΘΚ antas vara mindre än fyra räta, alltså är ΛΞΜ, ΜΞΝ och ΝΞΛ mycket mindre än fyra räta. Men även lika, vilket är orimligt. Alltså är ΑΒ inte mindre än ΛΞ och har visats att inte vara lika, alltså är ΑΒ större än ΛΞ. Låt så ha rest ΞΡ vid punkten Ξ vinkelrät mot cirkeln ΛΜΝ:s planProp. 11.12 och låt kvadraten på ΞΡ vara lika med med det, som den på ΑΒ är större än den på ΛΞ.Prop. 11.23 lem. Låt även ΡΛ, ΡΜ och ΡΝ ha förbundits. Och eftersom ΡΞ är vinkelrät mot cirkeln ΛΜΝ:s plan, är alltså ΡΞ vinkelrät mot var och en av ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ. Och eftersom ΛΞ är lika med ΞΜ samt ΞΡ är gemensam och vinkelrät, är alltså basen ΡΛ lika med basen ΡΜ.Prop. 1.4 Av samma skäl är även ΡΝ lika med var och en av ΡΛ och ΡΜ, alltså är de tre ΡΛ, ΡΜ och ΡΝ lika med varandra. Och eftersom kvadraten på ΞΡ antas vara lika med det, som den på ΑΒ större än den på ΛΞ, alltså är kvadraten på ΑΒ lika med dem på ΛΞ och ΞΡ. Och kvadraten på ΛΡ är lika med dem på ΛΞ och ΞΡ, ty ΛΞΡ är rät,Prop. 1.47 alltså är kvadraten på ΑΒ lika med den på ΡΛ, alltså är ΑΒ lika med ΡΛ. Men ΑΒ är lika med var och en av ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ och ΘΚ samt var och en av ΡΜ och ΡΝ är lika med ΡΛ, alltså är var och en av ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ och ΘΚ lika med var och en av ΡΛ, ΡΜ och ΡΝ. Och eftersom de två ΛΡ och ΡΜ är lika med de två ΑΒ och ΒΓ samt basen ΛΜ antas vara lika med basen ΑΓ, är alltså vinkeln ΛΡΜ lika med vinkeln ΑΒΓ.Prop. 1.8 Av samma skäl är även ΜΡΝ lika med ΔΕΖ och ΛΡΝ med ΗΘΚ.

Av tre plana vinklar, ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ, vilka är lika med tre givna, ΑΒΓ, ΔΕΖ och ΗΘΚ, har en rymdvinkel rests vid Ρ omsluten av vinklarna ΛΡΜ, ΜΡΝ och ΛΡΝ. Vilket skulle göras.

Λῆμμα.

Ὃν δὲ τρόπον, ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον λαβεῖν ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, δείξομεν οὕτως. ἐκκείσθωσαν αἱ ΑΒ, ΛΞ εὐθεῖαι, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ γεγράφθω ἐπ᾿ αὐτῆς ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰς τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον ἐνηρμόσθω τῇ ΛΞ εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΒ διαμέτρου ἴση ἡ ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ. ἐπεὶ οὖν ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΑΓΒ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΛΞ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἐὰν οὖν τῇ ΒΓ ἴσην τὴν ΞΡ ἀπολάβωμεν, ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΞΡ· ὅπερ προέκειτο ποιῆσαι.^[24]

Hjälpsats.

Sättet att ta kvadraten på ΞΡ lika med med det, som den på ΑΒ är större än den på ΛΞ, skall vi sålunda visa. Låt sätta ut de räta linjerna ΑΒ och ΛΞ samt låt ΑΒ vara större. Låt ha ritat halvcirkeln ΑΒΓ på den och låt ΑΓ, lika med den räta linjen ΛΞ, som inte är större än diametern ΑΒ, ha passats in i halvcirkeln ΑΒΓ.Prop. 4.1 Låt även ΓΒ ha förbundits. Eftersom då ΑΓΒ är en vinkel i halvcirkeln ΑΓΒ, alltså är ΑΓΒ rät.Prop. 3.31 Alltså är kvadraten på ΑΒ lika med dem på ΑΓ och ΓΒ.Prop. 1.47 Så att kvadraten på ΑΒ är större än den på ΑΓ med den på ΓΒ. Så ΑΓ är lika med ΛΞ. Alltså är kvadraten på ΑΒ större än den på ΛΞ med den på ΓΒ. Om vi då tagit ΞΡ lika med ΒΓ, skall kvadraten på ΑΒ vara större än den på ΛΞ med den på ΞΡ. Vilket föresatts att göra.

κδʹ.

Ἐὰν στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν.

24.

Om en kropp omsluts av parallella plan, är dess motstående plan lika och parallella.

Στερεὸν γὰρ τὸ ΓΔΘΗ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιεχέσθω τῶν ΑΓ, ΗΖ, ΑΘ, ΔΖ, ΒΖ, ΑΕ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΗ, ΓΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ. πάλιν, ἑπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ, ΑΕ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΑΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ παράλληλος· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν ΔΖ, ΖΗ, ΗΒ, ΒΖ, ΑΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν.

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΔΖ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΓ, ΓΖ ἁπτομένας ἀλλήλων εἰσὶν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ· ἴσας ἄρα γωνίας περιέξουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΖ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΒΘ διπλάσιον τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΔΓΖ διπλάσιον τὸ ΓΕ παραλληλόγραμμον· ἴσον ἄρα τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΕ παραλληλογράμμῳ· ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν ΑΓ τῷ ΗΖ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΑΕ τῷ ΒΖ.

Ἐὰν ἄρα στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[25]

Ty låt kroppen ΓΔΘΗ omslutas av de parallella planen ΑΓ, ΗΖ, ΑΘ, ΔΖ, ΒΖ och ΑΕ. Jag säger, att dess motstående plan är lika och parallella.

Ty eftersom två parallella plan, ΒΗ och ΓΕ, skärs av planet ΑΓ, är deras gemensamma snitt parallella.Prop. 11.16 Alltså är ΑΒ parallell med ΔΓ. Åter, eftersom två parallella plan ΒΖ och ΑΕ skärs av planet ΑΓ, är deras gemensamma snitt parallella.Prop. 11.16 Alltså är ΒΓ parallell med ΑΔ. Och ΑΒ har visats vara parallell med ΔΓ, alltså är ΑΓ en parallellogram. På samma sätt skall vi visa, att också vart och ett av ΔΖ, ΖΗ, ΗΒ, ΒΖ och ΑΕ är en parallellogram.

Låt ΑΘ och ΔΖ ha förbundits. Och eftersom ΑΒ är parallell med ΔΓ och ΒΘ med ΓΖ, så de två ΑΒ och ΒΘ, förbundna med varandra, är parallella med de två räta linjerna ΔΓ och ΓΖ, förbundna med varandra, och ligger inte i samma plan. Alltså är omsluter de lika vinklar, alltså är vinkeln ΑΒΘ lika med ΔΓΖ.Prop. 11.10 Och eftersom de två ΑΒ och ΒΘ är lika med de två ΔΓ och ΓΖProp. 1.34 samt vinkeln ΑΒΘ är lika med vinkeln ΔΓΖ, alltså är basen ΑΘ lika med basen ΔΖ samt triangeln ΑΒΘ är lika med triangeln ΔΓΖ.Prop. 1.4 Och parallellogrammen ΒΗ är dubbla ΑΒΘ och parallellogrammen ΓΕ är dubbla ΔΓΖ,Prop. 1.34 alltså är parallellogrammen ΒΗ lika med parallellogrammen ΓΕ. På samma sätt skall vi visa, att även ΑΓ är lika med ΗΖ och ΑΕ med ΒΖ.

Om alltså en kropp omsluts av parallella plan, är dess motstående plan lika och parallella. Vilket skulle visas.

κεʹ.

Ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, οὕτως τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν.

25.

Om en parallellepiped skurits med ett plan, som är parallellt med de motstående planen, så skall som basen är till basen, kroppen vara till kroppen.

Στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΖΗ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΡΑ, ΔΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕΖΦ βάσις πρὸς τὴν ΕΘΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΖΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΗΓΔ στερεόν.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΘ ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΑΕ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΑΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΘ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΘΜ, ΜΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΛΟ, ΚΦ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλόγραμμα καὶ τὰ ΛΠ, ΚΡ, ΔΜ, ΜΤ στερεά. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΛΚ, ΚΑ, ΑΕ εὐθεῖαι ἀλλήλαις, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ μὲν ΛΟ, ΚΦ, ΑΖ παραλληλόγραμμα ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΚΞ, ΚΒ, ΑΗ ἀλλήλοις καὶ ἔτι τὰ ΛΨ, ΚΠ, ΑΡ ἀλλήλοις· ἀπεναντίον γάρ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ μὲν ΕΓ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλόγραμμα ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΘΗ, ΘΙ, ΙΝ ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, καὶ ἔτι τὰ ΔΘ, ΜΩ, ΝΤ· τρία ἄρα ἐπίπεδα τῶν ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ στερεῶν τρισὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν ἴσα. ἀλλὰ τὰ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἐστὶν ἴσα· τὰ ἄρα τρία στερεὰ τὰ ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ τρία στερεὰ τὰ ΕΔ, ΔΜ, ΜΤ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΑΖ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΑΥ στερεοῦ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΖ βάσις τῆς ΖΘ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΝΥ στερεὸν τοῦ ΘΥ στερεοῦ. καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῇ ΝΖ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τῷ ΝΥ στερεῷ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΝΖ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ στερεοῦ, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν βάσεων τῶν ΑΖ, ΖΘ, δύο δὲ στερεῶν τῶν ΑΥ, ΥΘ, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΑΖ βάσεως καὶ τοῦ ΑΥ στερεοῦ ἥ τε ΛΖ βάσις καὶ τὸ ΛΥ στερεόν, τῆς δὲ ΘΖ βάσεως καὶ τοῦ ΘΥ στερεοῦ ἥ τε ΝΖ βάσις καὶ τὸ ΝΥ στερεόν, καὶ δέδεικται, ὅτι εἱ ὑπερέχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΖΝ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ ~~στερεοῦ~~, καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΥΘ στερεόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[26]

Ty låt parallellogrammen ΑΒΓΔ ha delats av planet ΖΗ, parallellt med de motstående planen ΡΑ och ΔΘ. Jag säger, att som basen ΑΕΖΦ är till basen ΕΘΓΖ, så är kroppen ΑΒΖΥ till kroppen ΕΗΓΔ.

Ty låt ΑΘ ha dragits ut åt båda sidorna, låt ΑΚ, ΚΛ och hur många som helst ha satts lika med ΑΕ samt ΘΜ, ΜΝ och hur många som helst ha satts lika med ΕΘ. Låt även parallellogrammerna ΛΟ, ΚΦ, ΘΧ och ΜΣ samt kropparna ΛΠ, ΚΡ, ΔΜ och ΜΤ ha fullbordats. Och eftersom de räta linjerna ΛΚ, ΚΑ och ΑΕ är lika med varandra, är även parallellogrammerna ΛΟ, ΚΦ och ΑΖ lika med varandra. Och ΚΞ, ΚΒ och ΑΗ är lika med varandra och dessutom ΛΨ, ΚΠ och ΑΡ med varandra, ty de är motstående.Prop. 11.24 Av samma skäl är även parallellogrammerna ΕΓ, ΘΧ och ΜΣ lika med varandra samt ΘΗ, ΘΙ och ΙΝ är lika med varandra och dessutom ΔΘ, ΜΩ, ΝΤ, alltså är tre av kropparna ΛΠ, ΚΡ och ΑΥ:s sidor lika med tre sidor i dessa. Men de tre sidorna är lika med tre motstående,Prop. 11.24 alltså är de tre kropparna ΛΠ, ΚΡ och ΑΥ lika med varandra.Def. 11.10 Av samma skäl är även de tre kropparna ΕΔ, ΔΜ och ΜΤ lika med varandra, alltså så många som multiplar basen ΛΖ är av basen ΑΖ, så många multiplar är även kroppen ΛΥ av kroppen ΑΥ. Av samma skäl så många multiplar basen ΝΖ är av basen ΖΘ, så många multiplar är även kroppen ΝΥ av kroppen ΘΥ. Och om basen ΛΖ är lika med basen ΝΖ, är även kroppen ΛΥ lika med kroppen ΝΥ, och om basen ΛΖ överstiger basen ΝΖ, överstiger även kroppen ΛΥ kroppen ΝΥ och om en bas är mindre, är en kropp mindre. Av de fyra storheterna, som finns, de två baserna ΑΖ och ΖΘ samt de två kropparna ΑΥ och ΥΘ, har lika många multiplar tagits av basen ΑΖ och kroppen ΑΥ, basen ΛΖ och kroppen ΛΥ, samt av basen ΘΖ och kroppen ΘΥ, basen ΝΖ och kroppen ΝΥ. Och det har visats, att om basen ΛΖ överstiger basen ΖΝ, överstiger även kroppen ΛΥ ~~kroppen~~ ΝΥ, om baserna är lika, är kropparna lika, och om en bas är mindre, är en kropp mindre. Alltså som basen ΑΖ är till basen ΖΘ, så är kroppen ΑΥ till kroppen ΥΘ.Def. 5.5 Vilket skulle visas.

κϛʹ.

Πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.

26.

Att på en given rät linje och vid en punkt på den konstruera en rymdvinkel lika med en given rymdvinkel.

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Δ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ γωνιῶν ἐπιπέδων· δεῖ δὴ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.

Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΔΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΓ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΖΗ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ μὲν ὑπὸ ΕΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΛ, τῇ δὲ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΚ, καὶ κείσθω τῇ ΔΗ ἴση ἡ ΑΚ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ διὰ τῶν ΒΑΛ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΘ, καὶ κείσθω ἴση τῇ ΗΖ ἡ ΚΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ· λέγω, ὅτι ἡ πρὸς τῷ Α στερεὰ γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΛ, ΒΑΘ, ΘΑΛ γωνιῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ γωνιῶν.

Ἀπειλήφθωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΒ, ΚΒ, ΖΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΗ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΖΗΔ, ΖΗΕ γωνιῶν. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΘΚΑ, ΘΚΒ γωνιῶν ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΗΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΗΕ ἴση ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΗΖ ἴση· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΖΕ. πάλιν ἐπεὶ δύο αἱ ΑΚ, ΚΘ δυσὶ ταῖς ΔΗ, ΗΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΖΔ ἴση ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση· δύο δὴ αἱ ΘΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΔΖ, ΔΕ ἴσαι εἰσίν. καὶ βάσις ἡ ΘΒ βάσει τῇ ΖΕ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΛ τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση. ἐπειδήπερ ἐὰν ἀπολάβωμεν ἴσας τὰς ΑΛ, ΔΓ καὶ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΚΛ, ΘΛ, ΗΓ, ΖΛ, ἐπεὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΒΑΛ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΕΔΓ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ ὑπὸ ΕΔΗ ὑπόκειται ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑΛ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΔΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ, ΑΛ δυσὶ ταῖς ΗΔ, ΔΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσασ περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΚΛ βάσει τῇ ΗΓ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΗΖ ἴση· δύο δὴ αἱ ΛΚ, ΚΘ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΖ εἰσιν ἴσαι· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΘΛ βάσει τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΘΑ, ΑΛ δυσὶ ταῖς ΖΔ, ΔΓ εἰσιν ἴσαι, καὶ βάσις ἡ ΘΛ βάσει τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΛ τῇ ὑπὸ ΕΔΓ ἴση.

Πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση συνέσταται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[27]

Låt den givna räta linjen vara ΑΒ, den givna punkten på den Α samt den givna rymdvinkeln den vid Δ, omsluten av de plana vinklarna ΕΔΓ, ΕΔΖ och ΖΔΓ. På den räta linjen ΑΒ, vid punkten Α på den, skall en rymdvinkel, lika med rymdvinkeln vid Δ, resas.

Ty låt låt punkten Ζ godtyckligt ha tagits på ΔΖ, låt normalen ΖΗ ha dragits från Ζ till planet genom ΕΔ och ΔΓProp. 11.11 och låt den möta planet vid Η samt låt ΔΗ ha förbundits. Låt ha rest ΒΑΛ lika med vinkeln ΕΔΓ mot den räta linjen ΑΒ och vid punkten Α på den samt ΒΑΚ lika med ΕΔΗ.Prop. 1.23 Låt ΑΚ ha satts lika med ΔΗ och låt resa ΚΘ vid punkten Κ vinkelrät mot planet genom ΒΑΛ,Prop. 11.12 sätt ΚΘ lika med ΗΖ och låt ΘΑ ha förbundits. Jag säger, att rymdvinkeln vid Α, omsluten av vinklarna ΒΑΛ, ΒΑΘ och ΘΑΛ, är lika med rymdvinkeln vid Δ, omsluten av vinklarna ΕΔΓ, ΕΔΖ och ΖΔΓ.

Ty låt ΑΒ och ΔΕ ha skurits av lika och låt ΘΒ, ΚΒ, ΖΕ och ΗΕ ha förbundits. Och eftersom ΖΗ är vinkelrät mot det underliggande planet, alltså är ΖΗ även i rät vinkel mot alla räta linjer förbundna med den och vilka ligger i det underliggande planet.Def. 11.3 Alltså är var och en av vinklarna ΖΗΔ och ΖΗΕ rät. Av samma skäl är även var och en av vinklarna ΘΚΑ och ΘΚΒ rät. Och eftersom de två ΚΑ och ΑΒ är lika med de två ΗΔ och ΔΕ, var och en med var och en, samt omsluter lika vinklar, är alltså basen ΚΒ lika med basen ΗΕ.Prop. 1.4 Och ΚΘ är lika med ΗΖ och omsluter lika vinklar, alltså är även ΘΒ lika med ΖΕ.Prop. 1.4 Åter, eftersom de två ΑΚ och ΚΘ är lika med de två ΔΗ och ΗΖ samt omsluter räta vinklar, alltså är basen ΑΘ lika med basen ΖΔ.Prop. 1.4 Och ΑΒ är lika med ΔΕ, så de två ΘΑ och ΑΒ är lika med de två ΔΖ och ΔΕ. Och basen ΘΒ är lika med basen ΖΕ, alltså är vinkeln ΒΑΘ lika med vinkeln ΕΔΖ.Prop. 1.8 Av samma skäl är även ΘΑΛ lika med ΖΔΓ. [Eftersom om vi tagit av ΑΛ och ΔΓ lika och vi förbundit ΚΛ, ΘΛ, ΗΓ och ΖΛ, eftersom hela ΒΑΛ är lika med hela ΕΔΓ, av vilken ΒΑΚ antas vara lika med ΕΔΗ, alltså är resten ΚΑΛ lika med resten ΗΔΓ. Och eftersom de två ΚΑ och ΑΛ är lika med de två ΗΔ och ΔΓ samt omsluter lika vinklar, är alltså basen ΚΛ lika med basen ΗΓ. Även ΚΘ är lika med ΗΖ, så de två ΛΚ och ΚΘ är lika med de två ΓΗ och ΗΖ samt omsluter räta vinklar, alltså är basen ΘΛ lika med basen ΖΓ. Och eftersom de två ΘΑ och ΑΛ är lika med de två ΖΔ och ΔΓ och basen ΘΛ är lika med basen ΖΓ, är alltså vinkeln ΘΑΛ lika med vinkeln ΖΔΓ.] Även ΒΑΛ är lika med ΕΔΓ.

Alltså har en rymdvinkel konstruerats på den givna räta linjen ΑΒ och vid punkten Α på den lika med den givna rymdvinkeln vid Δ. Vilket skulle göras.

κζʹ.

Ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.

27.

Att på en given rät linje upprita en parallellepiped, likformig och lika ställd med en given parallellepiped.

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΔ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἀναγράψαι.

Συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Γ στερεᾷ γωνίᾳ ἴση ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΘ, ΘΑΚ, ΚΑΒ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ὑπὸ ΒΑΘ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ ὑπὸ ΕΓΗ, τὴν δὲ ὑπὸ ΚΑΘ τῇ ὑπὸ ΗΓΖ· καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ, ὡς δὲ ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ. καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΘ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΒ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΑΛ στερεόν.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΓΗ, ΒΑΚ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΕ παραλληλόγραμμον τῷ ΚΒ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΘ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΖ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστι καὶ ἔτι τὸ ΖΕ τῷ ΘΒ· τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΓΔ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΑΛ στερεοῦ ὅμοιά ἐστιν. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια· ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΑΛ στερεῷ ὅμοιόν ἐστιν.

Ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον ἀναγέγραπται τὸ ΑΛ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[28]

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen och ΓΔ den givna parallellepipeden. På den givna räta linjen ΑΒ skall en parallellepiped uppritas, likformig och lika ställd med parallellepipeden ΓΔ.

Ty låt ha rest en rymdvinkel mot den räta linjen ΑΒ, vid punkten Α på den, lika med rymdvinkeln omsluten av ΒΑΘ, ΘΑΚ och ΚΑΒ,Prop. 11.26 så att vinkeln ΒΑΘ är lika med ΕΓΖ, ΒΑΚ med ΕΓΗ och ΚΑΘ med ΗΓΖ. Och låt som ΕΓ är till ΓΗ, ΒΑ bli till ΑΚ, som ΗΓ till ΓΖ, så ΚΑ till ΑΘ.Prop. 6.12 Och alltså, ex aequali, som ΕΓ är till ΓΖ, så är ΒΑ till ΑΘ.Prop. 5.22 Och låt parallellogrammen ΘΒ och kroppen ΑΛ ha fullbordats.

Och då som ΕΓ är till ΓΗ, så är ΒΑ till ΑΚ och sidorna kring de lika vinklarna ΕΓΗ och ΒΑΚ är proportionella, alltså är parallellogrammen ΗΕ likformig med parallellogrammen ΚΒ. Av samma skäl är även parallellogrammen ΚΘ likformig med parallellogrammen ΗΖ och dessutom ΖΕ med ΘΒ. Alltså är tre av kroppen ΓΔ:s parallellogrammer likformiga med tre av kroppen ΑΛ:s parallellogrammer. Men de tre förra är lika och likformiga med tre motstående och de tre senare är lika och likformiga med tre motstående. Alltså är hela kroppen ΓΔ likformig med hela kroppen ΑΛ.Def. 11.9

Alltså har en parallellepiped uppritats på en given rät linje ΑΒ, likformig och lika ställd med den givna parallellepipeden ΓΔ. Vilket skulle göras.

κηʹ.

Ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων, δίχα τμηθήσεται τὸ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου.

28.

Om en parallellepiped skärs av ett plan vid genom de motstående sidornas diagonaler, skall kroppen delas i hälften av planet.

Στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῷ ΓΔΕΖ τετμήσθω κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τὰς ΓΖ, ΔΕ· λέγω, ὅτι δίχα τμηθήσεται τὸ ΑΒ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου.

Ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΓΗΖ τρίγωνον τῷ ΓΖΒ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΑΔΕ τῷ ΔΕΘ, ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ΓΑ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΒ ἴσον· ἀπεναντίον γάρ· τὸ δὲ ΗΕ τῷ ΓΘ, καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΗΖ, ΑΔΕ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΗΕ, ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΖΒ, ΔΕΘ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ· ὑπὸ γὰρ ἴσων ἐπιπέδων περιέχονται τῷ τε πλήθει καὶ τῷ μεγέθει. ὥστε ὅλον τὸ ΑΒ στερεὸν δίχα τέτμηται ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[29]

Ty låt parallellepipeden ΑΒ ha skurits av planet ΓΔΕΖ genom de motstående sidornas diagonaler ΓΖ och ΔΕ. Jag säger, att kroppen ΑΒ har delats i hälften av planet ΓΔΕΖ.

Ty eftersom triangeln ΓΗΖ är lika med triangeln ΓΖΒ och ΑΔΕ med ΔΕΘ,Prop. 1.34 är även parallellogrammen ΓΑ lika med ΕΒ, ty de är motstående,Prop. 11.24 och ΗΕ med ΓΘ, alltså är även prismat omslutet av de två trianglarna ΓΗΖ och ΑΔΕ samt de tre parallellogrammerna ΗΕ, ΑΓ och ΓΕ lika med prismat omslutet av de två trianglarna ΓΖΒ och ΔΕΘ samt de tre parallellogrammerna ΓΘ, ΒΕ och ΓΕ, ty de omsluts av plan lika till antal och storlek.Def. 11.10 Därför har hela kroppen ΑΒ delats i hälften av planet ΓΔΕΖ. Vilket skulle visas.

κθʹ.

Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

29.

Parallellepipeder, vilka ligger på samma bas, har samma höjd och vars kanter är resta på samma räta linjer, är lika med varandra.

Ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΗ, ΑΖ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἔστωσαν τῶν ΖΝ, ΔΚ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.

Ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΓΘ, ΓΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΘ, ΕΚ· ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΕΚ ἐστιν ἴση. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΘ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση. ὥστε καὶ τὸ μὲν ΔΓΕ τρίγωνον τῷ ΘΒΚ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ ΔΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΝ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΖΗ τρίγωνον τῷ ΜΛΝ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ΓΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΜ παραλληλογράμμῳ ἴσον, τὸ δὲ ΓΗ τῷ ΒΝ· ἀπεναντίον γάρ· καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΑΖΗ, ΔΓΕ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΑΔ, ΔΗ, ΓΗ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΜΛΝ, ΘΒΚ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΒΜ, ΘΝ, ΒΝ. κοινὸν προσκείσθω τὸ στερεὸν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΘΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΓΝ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν.

Τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[30]

Låt parallellepipederna ΓΜ och ΓΝ ligga på samma bas, ΑΒ, ha samma höjd och deras kanter, ΑΗ, ΑΖ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ och ΒΚ, är resta på samma räta linjer ΖΝ och ΔΚ. Jag säger, att kroppen ΓΜ är lika med kroppen ΓΝ.

Ty eftersom var och en av ΓΘ och ΓΚ är en parallellogram, är ΓΒ lika med var och en av ΔΘ och ΕΚ,Prop. 1.34 så att ΔΘ även är lika med ΕΚ. Låt ΕΘ ha dragits bort från båda, alltså är resten ΔΕ lika med resten ΘΚ. Därför är triangeln ΔΓΕ lika med triangeln ΘΒΚProp. 1.4 Prop. 1.8 och parallellogrammen ΔΗ med parallellogrammen ΘΝ.Prop. 1.36 Av samma skäl är också triangeln ΑΖΗ lika med triangeln ΜΛΝ. Även parallellogrammen ΓΖ är lika med parallellogrammen ΒΜ och ΓΗ med ΒΝ,Prop. 11.24 ty de är motstående, alltså är även prismat omslutet av de två trianglarna ΑΖΗ och ΔΓΕ samt de tre parallellogrammerna ΑΔ, ΔΗ och ΓΗ lika med prismat omslutet av de två trianglarna ΜΛΝ och ΘΒΚ samt de tre parallellogrammerna ΒΜ, ΘΝ och ΒΝ. Lägg kroppen, vars bas är parallellogrammen ΑΒ och vars motstående sida är ΗΕΘΜ, till båda, alltså är hela parallellepipeden ΓΜ lika med hela parallellepipeden ΓΝ.

Alltså är parallellepipeder, vilka ligger på samma bas, har samma höjd och deras kanter är resta på samma räta linjer, lika med varandra. Vilket skulle visas.

λʹ.

Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

30.

Parallellepipeder, vilka ligger på samma bas, har samma höjd och vars kanter inte är resta på samma räta linjer, är lika med varandra.

Ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΖ, ΑΗ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ μὴ ἔστωσαν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν τῷ ΓΝ στερεῷ.

Ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ αἱ ΝΚ, ΔΘ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἔτι ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΜ, ΗΕ ἐπὶ τὰ Ο, Π, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΞ, ΛΟ, ΓΠ, ΒΡ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΓΜ στερεόν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΖΔΘΜ, τῷ ΓΟ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΞΠΡΟ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΖ, ΑΞ, ΛΜ, ΛΟ, ΓΔ, ΓΠ, ΒΘ, ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΖΟ, ΔΡ. ἀλλὰ τὸ ΓΟ στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΞΠΡΟ, ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΚΝ· ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΗ, ΑΞ, ΓΕ, ΓΠ, ΛΝ, ΛΟ, ΒΚ, ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΗΠ, ΝΡ. ὥστε καὶ τὸ ΓΜ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ.

Τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[31]

Låt parallellepipederna ΓΜ och ΓΝ ligga på samma bas, ΑΒ, ha samma höjd och deras kanter, ΑΖ, ΑΗ, ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ och ΒΚ inte är resta på samma räta linjer. Jag säger, att kroppen ΓΜ är lika med kroppen ΓΝ.

Ty låt ΝΚ och ΔΘ ha dragits ut och låt dem sammanfalla med varandra vid Ρ. Låt dessutom ΖΜ och ΗΕ ha dragits ut till Ο och Π samt låt ΑΞ, ΛΟ, ΓΠ och ΒΡ ha förbundits. Då är kroppen ΓΜ, vars bas är parallellogrammen ΑΓΒΛ och ΖΔΘΜ är motstående sida, lika med kroppen ΓΟ, vars bas är parallellogrammen ΑΓΒΛ och ΞΠΡΟ är motstående sida, ty de ligger på samma bas ΑΓΒΛ, har samma höjd och deras kanter ΑΖ, ΑΞ, ΛΜ, ΛΟ, ΓΔ, ΓΠ, ΒΘ och ΒΡ ligger på samma räta linjer ΖΟ och ΔΡ.Prop. 11.29 Men kroppen ΓΟ, vars bas är parallellogrammen ΑΓΒΛ och ΞΠΡΟ är motstående sida, är lika med kroppen ΓΝ, vars bas är parallellogrammen ΑΓΒΛ och ΗΕΚΝ är motstående sida, ty åter ligger de på samma bas ΑΓΒΛ, har samma höjd och deras kanter ΑΗ, ΑΞ, ΓΕ, ΓΠ, ΛΝ, ΛΟ, ΒΚ och ΒΡ ligger på samma räta linjer ΗΠ och ΝΡ.Prop. 11.29 Därför är även kroppen ΓΜ lika med kroppen ΓΝ.

Alltså är parallellepipeder, vilka ligger på samma bas, har samma höjd och vars kanter inte är resta på samma räta linjer, lika med varandra. Vilket skulle visas.

λαʹ.

Τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

31.

Parallellepipeder, vilka ligger på samma bas och har samma höjd, är lika med varandra.

Ἔστω ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΕ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος. λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.

Ἔστωσαν δὴ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, ΛΜ, ΟΠ, ΔΖ, ΓΞ, ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσεσιν, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ᾿ εὐθείας τῇ ΓΡ εὐθεῖα ἡ ΡΤ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΡΤ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ρ τῇ ὑπὸ ΑΛΒ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΤΡΥ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΛ ἴση ἡ ΡΤ, τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΡΥ, καὶ συμπεπληρώσθω ἥ τε ΡΧ βάσις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν. Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΤΡ, ΡΥ δυσὶ ταῖς ΑΛ, ΛΒ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΡΧ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΛ παραλληλογράμμῳ. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση μὲν ἡ ΑΛ τῇ ΡΤ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΡΣ, καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΜ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΛΕ τῷ ΣΥ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον· τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΑΕ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΨΥ στερεοῦ ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΨΥ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν. διήχθωσαν αἱ ΔΡ, ΧΥ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ω, καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΔΩ παράλληλος ἤχθω ἡ αΤϡ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΟΔ κατὰ τὸ α, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΩΨ, ΡΙ στερεά. ἴσον δή ἐστι τὸ ΨΩ στερεόν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ Ωϟ, τῷ ΨΥ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΥΦ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΨ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΡΩ, ΡΥ, Τϡ, ΤΧ, Σϛ, Σο͂, Ψϟ, ΨΦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΩΧ, ϛΦ. ἀλλὰ τὸ ΨΥ στερεὸν τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΨΩ ἄρα στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΡΥΧΤ παραλληλόγραμμον τῷ ΩΤ παραλληλογράμμῳ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΤ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΡΤ, ΩΧ· ἀλλὰ τὸ ΡΥΧΤ τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ τῷ ΑΒ, καὶ τὸ ΩΤ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον. ἄλλο δὲ τὸ ΔΤ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ, οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ. καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΖ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ βάσιν, οὕτως τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν. διὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΩΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΨ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ὡς ἡ ΩΤ βάσις πρὸς τὴν ΤΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ. ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ, οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν, οὕτως τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΓΖ, ΩΨ στερεῶν πρὸς τὸ ΡΙ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΖ στερεὸν τῷ ΩΨ στερεῷ. ἀλλὰ τὸ ΩΨ τῷ ΑΕ ἐδείχθη ἴσον· καὶ τὸ ΑΕ ἄρα τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον.

Låt parallellepipederna ΑΕ och ΓΖ ligga på de lika baserna, ΑΒ och ΓΔ, och ha samma höjd. Jag säger, att kroppen ΑΕ är lika med kroppen ΓΖ.

Låt så först kanterna ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, ΛΜ, ΟΠ, ΔΖ, ΓΞ och ΡΣ vara resta vinkelräta mot baserna ΑΒ och ΓΔ, låt den räta linjen ΡΤ ha dragits ut i linje med ΓΡ och låt ha rest ΤΡΥ, lika med vinkeln ΑΛΒ, mot den räta linjen ΡΤ och vid punkten Ρ på den.Prop. 1.23 Sätt även ΡΤ lika med ΑΛ och ΡΥ med ΛΒ samt låt basen ΡΧ och kroppen ΨΥ ha fullbordats. Och eftersom de två ΤΡ och ΡΥ är lika med de två ΑΛ och ΛΒ samt omsluter lika vinklar, är alltså parallellogrammen ΡΧ lika och likformig med parallellogrammen ΘΛ.Prop. 6.14 Och åter eftersom ΑΛ är lika med ΡΤ och ΛΜ med ΡΣ samt omsluter räta vinklar, är alltså även parallellogrammen ΡΨ lika och likformig med parallellogrammen ΑΜ.Prop. 6.14 Av samma skäl är också ΛΕ lika och likformig med ΣΥ, alltså är tre av kroppens ΑΕ:s parallellogrammer lika och likformiga med tre av kroppens ΨΥ:s parallellogrammer. Men de tre förra är lika och likformiga med de tre motstående samt de tre senare är lika med de tre motstående,Prop. 11.24 alltså är hela parallellepipeden ΑΕ lika med hela parallellepipeden ΨΥ.Def. 11.10 Låt ΔΡ och ΧΥ ha dragits och låt dem sammanfalla med varandra vid Ω, låt αΤϡ ha dragits genom Τ parallell med ΔΩ, låt ΟΔ ha dragits ut mot α samt låt kropparna ΩΨ och ΡΙ ha fullbordats. Då är kroppen ΨΩ, vars bas är parallellogrammen ΡΨ och Ωϟ är motstående sida, lika med kroppen ΨΥ, vars bas är parallellogrammen ΡΨ och ΥΦ är motstående sida, ty de ligger på samma bas, ΡΨ, har samma höjd och deras kanter ΡΩ, ΡΥ, Τϡ, ΤΧ, Σϛ, Σο͂, Ψϟ och ΨΦ rests på samma räta linjer ΩΧ och ϛΦ.Prop. 11.29 Men kroppen ΨΥ är lika med ΑΕ, alltså är även kroppen ΨΩ lika med kroppen ΑΕ. Och eftersom parallellogrammen ΡΥΧΤ är lika med parallellogrammen ΩΤ, ty de ligger på samma bas, ΡΤ, och mellan samma paralleller, ΡΤ och ΩΧ.Prop. 1.35 Men ΡΥΧΤ är lika med ΓΔ, eftersom den är lika med ΑΒ, alltså är även parallellogrammen ΩΤ lika med ΓΔ. ΔΤ är ytterligare en, alltså som basen ΓΔ är till ΔΤ, så är ΩΤ till ΔΤ.Prop. 5.7 Och eftersom parallellepipeden ΓΙ har skurits av planet ΡΖ, som är parallellt med de motstående sidorna, så som basen ΓΔ är till basen ΔΤ, så är kroppen ΓΖ till kroppen ΡΙ.Prop. 11.25 Av samma skäl, eftersom parallellepipeden ΩΙ har skurits av planet ΡΨ, som är parallellt med de motstående sidorna, så som basen ΩΤ är till basen ΤΔ, så är kroppen ΩΨ till ΡΙ.Prop. 11.25 Men som basen ΓΔ är till ΔΤ, så är ΩΤ till ΔΤ, alltså som kroppen ΓΖ är till kroppen ΡΙ, så är även kroppen ΩΨ till ΡΙ. Alltså har var och en av kropparna ΓΖ och ΩΨ samma förhållande till ΡΙ,Prop. 5.11 alltså är kroppen ΓΖ lika med kroppen ΩΨ.Prop. 5.9 Men ΩΨ har visats vara lika med ΑΕ, alltså är även ΑΕ lika med ΓΖ.

Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ, ΘΚ, ΒΕ, ΛΜ, ΓΝ, ΟΠ, ΔΖ, ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσεσιν· λέγω πάλιν, ὅτι ἵσον τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ. ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Κ, Ε, Η, Μ, Π, Ζ, Ν, Σ σημείων ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετοι αἱ ΚΞ, ΕΤ, ΗΥ, ΜΦ, ΠΧ, ΖΨ, ΝΩ, ΣΙ, καὶ συμβαλλέτωσαν τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Ξ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, Ι σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΤ, ΞΥ, ΥΦ, ΤΦ, ΧΨ, ΧΩ, ΩΙ, ΙΨ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΚΦ στερεὸν τῷ ΠΙ στερεῷ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΚΜ, ΠΣ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι πρὸς ὀρθάς εἰσι ταῖς βάσεσιν. ἀλλὰ τὸ μὲν ΚΦ στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΠΙ τῷ ΓΖ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὔκ εἰσιν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν. καὶ τὸ ΑΕ ἄρα στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ ἐστιν ἴσον.

Τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[32]

Låt så kanterna ΑΗ, ΘΚ, ΒΕ, ΛΜ, ΓΝ, ΟΠ, ΔΖ och ΡΣ inte vara resta vinkelräta mot baserna ΑΒ och ΓΔ. Jag säger åter, att kroppen ΑΕ är lika med kroppen ΓΖ. Ty låt normalerna ΚΞ, ΕΤ, ΗΥ, ΜΦ, ΠΧ, ΖΨ, ΝΩ och ΣΙ ha dragits från punkterna Κ, Ε, Η, Μ, Π, Ζ, Ν och Σ till det underliggande planet. Och låt dem möta planet vid punkterna Ξ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω och Ι samt låt ΞΤ, ΞΥ, ΥΦ, ΤΦ, ΧΨ, ΧΩ, ΩΙ och ΙΨ ha förbundits. Då är kroppen ΚΦ lika med kroppen ΠΙ, ty de ligger på samma baser, ΚΜ och ΠΣ, har samma höjd och deras kanter är vinkelräta mot baserna. Men kroppen ΚΦ är lika med kroppen ΑΕ och ΠΙ med ΓΖ, ty de ligger på samma bas, har samma höjd och deras kanter är inte resta från samma räta linjer.Prop. 11.30 Alltså är även kroppen ΑΕ lika med kroppen ΓΖ.

Alltså är parallellepipeder, vilka ligger på samma bas och har samma höjd, lika med varandra. Vilket skulle visas.

λβʹ.

Τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.

32.

Parallellepipeder, vilka har samma höjd, är till varandra som baserna.

Ἔστω ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις, τουτέστιν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεόν.

Παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΖΗ τῷ ΑΕ ἴσον τὸ ΖΘ, καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΖΘ, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΓΔ στερεὸν παραλληλεπίπεδον συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΗΚ στερεῷ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΑΕ, ΖΘ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτο ὕψος. καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΚ ἐπιπέδῳ τῷ ΔΗ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΔΘ στερεόν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΘ βάσις τῇ ΑΕ βάσει, τὸ δὲ ΗΚ στερεὸν τῷ ΑΒ στερεῷ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεόν.

Τὰ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[33]

Låt ΑΒ och ΓΔ vara parallellepipeder, vilka har samma höjd. Jag säger, att parallellepipederna ΑΒ och ΓΔ är till varandra som baserna, det vill säga, att som basen ΑΕ är till basen ΓΖ, så är kroppen ΑΒ till kroppen ΓΔ.

Ty låt ΖΘ, lika med ΑΕ, ha applicerats på ΖΗProp. 1.45 och låt parallellepipeden ΗΚ ha fullbordats på basen ΖΘ med samma höjd som ΓΔ. Då är kroppen ΑΒ lika med kroppen ΗΚ, ty deras baser ΑΕ och ΖΘ är lika och de har samma höjd.Prop. 11.31 Och eftersom parallellepipeden ΓΚ har skurits med planet ΔΗ, som är parallellt med de motstående sidorna, alltså som basen ΓΖ är till basen ΖΘ, så är kroppen ΓΔ till kroppen ΔΘ.Prop. 11.25 Och basen ΖΘ är lika med basen ΑΕ och kroppen ΗΚ med kroppen ΑΒ, alltså som basen ΑΕ är till basen ΓΖ, så är även kroppen ΑΒ till kroppen ΓΔ.

Alltså är parallellepipeder, vilka har samma höjd, till varandra som baserna. Vilket skulle visas.

λγʹ.

Τὰ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλα ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.

33.

Likformiga parallellepipeder har ett triplicerat förhållande till varandra än de homologa sidornas.

Ἔστω ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ.

Ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπ᾿ εὐθείας ταῖς ΑΕ, ΗΕ, ΘΕ αἱ ΕΚ, ΕΛ, ΕΜ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΓΖ ἴση ἡ ΕΚ, τῇ δὲ ΖΝ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ ἔτι τῇ ΖΡ ἴση ἡ ΕΜ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΚΟ στερεόν.

Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΕ, ΕΛ δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΝ ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΕΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν, ἴσον ἄρα ἐστὶ ~~καὶ ὅμοιον~~ τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΝ παραλληλογράμμῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΜ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον τῷ ΓΡ ~~παραλληλογράμμῳ~~ καὶ ἔτι τὸ ΕΟ τῷ ΔΖ· τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΚΟ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΓΔ στερεοῦ ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια. ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια· ὅλον ἄρα τὸ ΚΟ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον. συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, καὶ ἀπὸ βάσεων μὲν τῶν ΗΚ, ΚΛ παραλληλόγραμμων, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΑΒ στερεὰ συμπεπληρώσθω τὰ ΕΞ, ΛΠ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΝ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΡ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΖ τῇ ΕΚ, ἡ δὲ ΖΝ τῇ ΕΛ, ἡ δὲ ΖΡ τῇ ΕΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΛ καὶ ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΜ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως τὸ ΑΗ ~~παραλληλόγραμμον~~ πρὸς τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ, ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΜ, οὕτως τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ καὶ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως τὸ ΞΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΠΛ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ, οὕτως τὸ ΠΛ στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ στερεόν· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ, οὕτως τὸ ΕΞ πρὸς τὸ ΠΛ καὶ τὸ ΠΛ πρὸς τὸ ΚΟ. ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον· τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΞ. ἀλλ᾿ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΞ, οὕτως τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΚ καὶ ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΚ· ὥστε καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ. ἴσον δὲ τὸ ~~μὲν~~ ΚΟ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἡ δὲ ΕΚ εὐθεῖα τῇ ΓΖ· καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος αὐτοῦ πλευρὰ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΓΖ.

Låt ΑΒ och ΓΔ vara likformiga parallellepipeder där ΑΕ är homolog med ΓΖ. Jag säger, att kroppen ΑΒ har ett triplicerat förhållande till kroppen ΓΔ än ΑΕ till ΓΖ.

Ty låt ΕΚ, ΕΛ och ΕΜ ha dragits ut i linje med ΑΕ, ΗΕ och ΘΕ. Låt ΕΚ ha satts lika med ΓΖ, ΕΛ lika med ΖΝ och dessutom ΕΜ lika med ΖΡ. Låt även parallellogrammen ΚΛ och kroppen ΚΟ ha fullbordats.

Och eftersom de två ΚΕ och ΕΛ är lika med de två ΓΖ och ΖΝ, men också vinkeln ΚΕΛ är lika med vinkeln ΓΖΝ, eftersom också ΑΕΗ är lika med ΓΖΝ på grund av kropparna ΑΒ och ΓΔ:s likformighet, alltså är parallellogrammen ΚΛ lika ~~och likformig~~ med parallellogrammen ΓΝ. Av samma skäl är även parallellogrammen ΚΜ lika och likformig med ~~parallellogrammen~~ ΓΡ och dessutom ΕΟ med ΔΖ. Alltså tre av kroppen ΚΟ:s parallellogrammer lika och likformiga med tre av kroppen ΓΔ:s parallellogrammer. Men de tre förra är lika och likformiga med tre motstående och de tre senare är lika och likformiga med tre motstående,Prop. 11.24 alltså är hela kroppen ΚΟ lika och likformig med hela kroppen ΓΔ.Def. 11.10 Låt parallellogrammen ΗΚ ha fullbordats och låt kropparna ΕΞ och ΛΠ ha fullbordats på baserna av parallellogrammerna ΗΚ och ΚΛ och med samma höjd som parallellepipeden ΑΒ. Och då, på grund av kropparna ΑΒ och ΓΔ:s likformighet, som ΑΕ är till ΓΖ, så är ΕΗ till ΖΝ och ΕΘ till ΖΡDef. 6.1 Def. 11.9 samt ΓΖ är lika med ΕΚ, ΖΝ med ΕΛ och ΖΡ med ΕΜ, alltså som ΑΕ är till ΕΚ, så är ΗΕ till ΕΛ och ΘΕ till ΕΜ. Men som ΑΕ är till ΕΚ, så är ~~parallellogrammen~~ ΑΗ till parallellogrammen ΗΚ, som ΗΕ till ΕΛ, så ΗΚ till ΚΛ och som ΘΕ till ΕΜ, så ΠΕ till ΚΜ.Prop. 6.1 Och alltså som parallellogrammen ΑΗ är till ΗΚ, så är ΗΚ till ΚΛ och ΠΕ till ΚΜ. Men som ΑΗ är till ΗΚ, så är kroppen ΑΒ till kroppen ΕΞ, som ΗΚ till ΚΛ, så kroppen ΞΕ till kroppen ΠΛ, som ΠΕ till ΚΜ, så kroppen ΠΛ till kroppen ΚΟ.Prop. 11.32 Och alltså som kroppen ΑΒ är till kroppen ΕΞ, så är ΕΞ till ΠΛ och ΠΛ till ΚΟ. Och om fyra storheter är proportionellt sammanhängande, har den första ett trefalt förhållande till den fjärde än till den andra,Def. 5.10 alltså har kroppen ΑΒ ett trefalt förhållande till ΚΟ än ΑΒ till ΕΞ. Men som ΑΒ är till ΕΞ, så är parallellogrammen ΑΗ till ΗΚ och den räta linjen ΑΕ till ΕΚ,Prop. 6.1 så att också kroppen ΑΒ har ett trefalt förhållande till ΚΟ än ΑΕ till ΕΚ. Och kroppen ΚΟ är lika med kroppen ΓΔ och den räta linjen ΕΚ med ΓΖ, alltså har även kroppen ΑΒ ett trefalt förhållande till kroppen ΓΔ än den homologa sida ΑΕ till den homologa sidan ΓΖ.

Τὰ ἄρα ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, οὕτω τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν παραλληλεπίπεδον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον, ἐπείπερ καὶ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν δευτέραν.^[34]

Alltså har likformiga parallellepipeder har ett triplicerat förhållande än de homologa sidornas. Vilket skulle visas.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om fyra räta linjer är proportionella, skall den första vara till den fjärde, som parallellepipeden av den första till den likformiga och på samma sätt uppritade av den andra, eftersom även den första har ett triplicerat förhållande till den tredje än till den andra.

λδʹ.

Τῶν ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἵσα ἐστὶν ἐκεῖνα.

34.

Lika parallellepipeders baser är omvänt proportionella mot höjderna och de parallellepipeder vars baser är omvänt proportionella mot höjderna, är lika med varandra.

Ἔστω ἴσα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.

Ἔστωσαν γὰρ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ, ΕΖ, ΛΒ, ΘΚ, ΓΜ, ΝΞ, ΟΔ, ΠΡ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ.

Εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ βάσιν τῇ ΝΠ βάσει, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον, ἔσται καὶ ἡ ΓΜ τῇ ΑΗ ἴση. τὰ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις εἰ γὰρ τῶν ΕΘ, ΝΠ βάσεων ἴσων οὐσῶν μὴ εἴη τὰ ΑΗ, ΓΜ ὕψη ἴσα, οὐδ᾽ ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν ἴσον ἔσται τῷ ΓΔ. ὑπόκειται δὲ ἴσον· οὐκ ἄρα ἄνισόν ἐστι τὸ ΓΜ ὕψος τῷ ΑΗ ὕψει· ἴσον ἄρα. καὶ ἔσται ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ, καὶ φανερόν, ὅτι τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

Μὴ ἔστω δὴ ἴση ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, ἀλλ᾿ ἔστω μείζων ἡ ΕΘ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΜ τῆς ΑΗ ~~εἰ γὰρ μή, οὐδ᾽ ἄρα πάλιν τὰ ΑΒ, ΓΔ στερεὰ ἴσα ἔσται· ὑπόκειται δὲ ἴσα~~. κείσθω οὖν τῇ ΑΗ ἴση ἡ ΓΤ, καὶ συμπεπληρώσθω ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΝΠ, ὕψους δὲ τοῦ ΓΤ, στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΦΓ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἔξωθεν δὲ τὸ ΓΦ, τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν· ἰσοϋψῆ γὰρ τὰ ΑΒ, ΓΦ στερεά· ὡς δὲ τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΤΠ βάσιν καὶ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΓΤ. ἴση δὲ ἡ ΓΤ τῇ ΑΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

Πάλιν δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.

Ἔστωσαν ~~γὰρ~~ πάλιν αἱ ἐφεστηκυῖαι πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν. καὶ εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος τῷ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψει. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεά παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.

Μὴ ἔστω δὴ ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ ~~βάσει~~ ἴση, ἀλλ᾿ ἔστω μείζων ἡ ΕΘ· μεῖζον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος τοῦ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψους, τουτέστιν ἡ ΓΜ τῆς ΑΗ. κείσθω τῇ ΑΗ ἴση πάλιν ἡ ΓΤ, καὶ συμπεπληρώσθω ὁμοίως τὸ ΓΦ στερεόν. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ, ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΓΤ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΕΘ ~~βάσις~~ πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν· ἰσοϋψῆ γάρ ἐστι τὰ ΑΒ, ΓΦ στερεά· ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ, οὕτως ἥ τε ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΠΤ βάσιν καὶ τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ πρὸς τὸ ΓΦ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ~~ὅπερ ἔδει δεῖξαι~~.

Låt ΑΒ och ΓΔ vara lika parallellepipeder. Jag säger, att parallellepipederna ΑΒ och ΓΔ:s baser är omvänt proportionella mot höjderna och som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är kroppen ΓΔ:s höjd till kroppen ΑΒ:s höjd.

Ty låt först kanterna ΑΗ, ΕΖ, ΛΒ, ΘΚ, ΓΜ, ΝΞ, ΟΔ och ΠΡ vara räta mot deras baser. Jag säger, att som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är ΓΜ till ΑΗ.

Om så basen ΕΘ är lika med basen ΝΠ och är kroppen ΑΒ är lika med kroppen ΓΔ, skall även ΓΜ vara lika med ΑΗ, ty parallellepipeder med samma höjd är till varandra som baserna.Prop. 11.32 [Ty om baserna, vilka är lika, ΕΘ och ΝΠ:s höjder, ΑΗ och ΓΜ, inte är lika, är alltså inte heller kroppen ΑΒ lika med ΓΔ, men den antas vara lika, alltså är höjden ΓΜ inte olika med höjden ΑΗ, utan lika.] Och som basen ΕΘ skall vara till ΝΠ, så skall ΓΜ vara till ΑΗ, och det är uppenbart, att parallellepipederna ΑΒ och ΓΔ:s baser är omvänt proportionella mot höjderna.

Låt så basen ΕΘ inte vara lika med basen ΝΠ, utan låt ΕΘ vara större. Då är även kroppen ΑΒ lika med kroppen ΓΔ, alltså är även ΓΜ större än ΑΗ [Ty om inte, är alltså åter kropparna ΑΒ och ΓΔ inte lika, men de antas vara lika] Låt alltså ΓΤ ha satts lika med ΑΗ och låt parallellepipeden ΦΓ ha fullbordats på basen ΝΠ med höjden ΓΤ. Och eftersom kroppen ΑΒ är lika med kroppen ΓΔ, ΓΦ är tillförd och lika har samma förhållande till detsamma,Prop. 5.7 alltså som kroppen ΑΒ är till kroppen ΓΦ, så är kroppen ΓΔ till kroppen ΓΦ. Men som kroppen ΑΒ är till kroppen ΓΦ, så är basen ΕΘ till basen ΝΠ, ty kropparna ΑΒ och ΓΦ är lika höga.Prop. 11.32 Och som kroppen ΓΔ är till kroppen ΓΦ, så är basen ΜΠ till basen ΤΠProp. 11.25 och som ΓΜ till ΓΤ,Prop. 6.1 alltså som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är även ΜΓ till ΓΤ. Och ΓΤ är lika med ΑΗ, alltså som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är ΜΓ till ΑΗ. Alltså är parallellepipederna ΑΒ och ΓΔ:s baser omvänt proportionella mot höjderna.

Låt så åter parallellepipederna ΑΒ och ΓΔ:s baser vara omvänt proportionella mot höjderna och som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, låt så kroppen ΓΔ:s höjd vara till kroppen ΑΒ:s höjd. Jag säger, att kroppen ΑΒ är lika med kroppen ΓΔ.

Ty låt åter kanterna vara räta mot baserna. Och om basen ΕΘ är lika med basen ΝΠ och som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är kroppen ΓΔ:s höjd till kroppen ΑΒ:s höjd, är alltså kroppen ΓΔ:s höjd lika med kroppen ΑΒ:s höjd. Och parallellepipeder med samma baser och samma höjd är lika med varandra,Prop. 11.31 alltså är kroppen ΑΒ lika med kroppen ΓΔ.

Låt så basen ΕΘ inte vara lika med ~~basen~~ ΝΠ, utan låt ΕΘ vara större. Då är även kroppen ΓΔ:s höjd större än kroppen ΑΒ:s höjd, det vill säga ΓΜ än ΑΗ. Låt alltså åter ΓΤ ha satts lika med ΑΗ och låt kroppen ΦΓ ha fullbordats på samma sätt. Då som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är ΜΓ till ΑΗ och ΑΗ är lika med ΓΤ, alltså som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är ΓΜ till ΓΤ. Men som ~~basen~~ ΕΘ är till basen ΝΠ, så är kroppen ΑΒ till kroppen ΓΦ, ty kropparna ΑΒ och ΓΦ har samma höjd,Prop. 11.32 och som ΓΜ är till ΓΤ, så är både basen ΜΠ till basen ΠΤProp. 6.1 och kroppen ΓΔ till kroppen ΓΦ.Prop. 11.25 Och alltså som kroppen ΑΒ är till kroppen ΓΦ, så är kroppen ΓΔ till kroppen ΓΦ, alltså har var och en av ΑΒ och ΓΔ samma förhållande till ΓΦ. Alltså är kroppen ΑΒ lika med kroppen ΓΔ.Prop. 5.9 ~~Vilket skulle visas.~~

Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΖΕ, ΒΛ, ΗΑ, ΚΘ, ΞΝ, ΔΟ, ΜΓ, ΡΠ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Ζ, Η, Β, Κ, Ξ, Μ, Ρ, Δ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΕΘ, ΝΠ ἐπίπεδα κάθετοι καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, ϛ, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΖΦ, ΞΩ στερεά· λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἴσων ὄντων τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βἁσιν πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.

Ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΒΤ ἐστιν ἴσον· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος· ~~ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν~~· τὸ δὲ ΓΔ στερεὸν τῷ ΔΨ ἐστιν ἴσον· ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΞ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ~~ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν~~· καὶ τὸ ΒΤ ἄρα στερεὸν τῷ ΔΨ στερεῷ ἴσον ἐστίν τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων, ὧν τὰ ὕψη πρὸς ὀρθάς ἐστι ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΚ βάσις τῇ ΕΘ βάσει, ἡ δὲ ΞΡ βάσις τῇ ΝΠ βάσει· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος. τὰ δ᾿ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΔΨ, ΒΤ στερεῶν καὶ τῶν ΔΓ, ΒΑ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΓ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος. τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΘ βάσις τῇ ΖΚ βάσει, ἡ δὲ ΝΠ τῇ ΞΡ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος. τὰ δ᾿ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν καὶ τῶν ΒΤ, ΔΨ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος. τῶν ΒΤ, ΔΨ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων τὰ ὕψη πρὸς ὀρθάς ἐστι ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, ἀντιπεπόνθασι δὲ αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΤ στερεὸν τῷ ΔΨ στερεῷ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΒΤ τῷ ΒΑ ἴσον ἐστίν· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως ~~εἰσι~~ τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ~~ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν~~. τὸ δὲ ΔΨ στερεὸν τῷ ΔΓ στερεῷ ἴσον ἐστίν ~~ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΞΡ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος καὶ οὐκ ἐν ταῖς αὐταῖς εὐθείαις~~. καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἐστιν ἴσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[35]

Låt så kanterna ΖΕ, ΒΛ, ΗΑ, ΚΘ, ΞΝ, ΔΟ, ΜΓ och ΡΠ inte vara räta mot deras baser. Låt även normaler ha dragits från punkterna Ζ, Η, Β, Κ, Ξ, Μ, Ρ och Δ till planen genom ΕΘ och ΝΠ samt låt dem möta planen vid Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω och ϛ. Och låt kropparna ΖΦ och ΞΩ ha fullbordats. Jag säger, att även i detta fall är baserna till parallellepipeder, som är lika, omvänt proportionella till höjderna och som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är kroppen ΓΔ:s höjd till kroppen ΑΒ:s höjd.

Eftersom kroppen ΑΒ är lika med kroppen ΓΔ, men ΑΒ är lika med ΒΤ, ty de ligger på samma bas, ΖΚ, och har samma höjd,Prop. 11.29 Prop. 11.30 ~~deras kanter har inte rests på samma räta linjer,~~ samt kroppen ΓΔ är lika med kroppen ΔΨ, ty åter ligger de på samma bas, ΡΞ, och har samma höjd,Prop. 11.29 Prop. 11.30 ~~deras kanter har inte rests på samma räta linjer,~~ alltså är även kroppen ΒΤ lika med kroppen ΔΨ [baserna till lika parallellepipeder, vars höjder är vinkelräta till deras baser, är omvänt proportionella mot höjderna]. Som basen ΖΚ är till basen, så är kroppen ΔΨ:s höjd till kroppen ΒΤ:s höjd. Och basen ΖΚ är lika med basen ΕΘ och basen ΞΡ med basen ΝΠ, alltså som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är kroppen ΔΨ:s höjd till kroppen ΒΤ:s höjd. Kropparna ΔΨ och ΒΤ:s höjder är desamma samt ΔΓ och ΒΑ:s, alltså som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är kroppen ΔΓ:s höjd till kroppen ΑΒ:s höjd. Alltså är parallellepiperna ΑΒ och ΓΔ:s baser omvänt proportionella till höjderna.

Ty efter samma uppställning, då som basen ΕΘ är till basen ΝΠ, så är kroppen ΓΔ:s höjd till kroppen ΑΒ:s höjd samt basen ΕΘ är lika med basen ΖΚ och ΝΠ med ΞΡ, alltså som basen ΖΚ är till basen ΞΡ, så är kroppen ΓΔ:s höjd till kroppen ΑΒ:s höjd. Kropparna ΑΒ och ΓΔ:s höjder är desamma samt ΒΤ och ΔΨ:s, alltså som basen ΖΚ är till basen ΞΡ, så är kroppen ΔΨ:s höjd till kroppen ΒΤ:s höjd. Alltså är parallellepiperna ΒΤ och ΔΨ:s baser omvänt proportionella till höjderna. [De parallellepipeder vars höjder är vinkelräta mot baserna och baserna är omvänt proportionella mot höjderna, är lika med varandra.] Alltså är kroppen ΒΤ lika med kroppen ΔΨ. Men ΒΤ är lika med ΒΑ, ty de ~~ligger~~ på samma bas, ΖΚ, och har samma höjd,Prop. 11.29 Prop. 11.30 ~~deras kanter har inte rests på samma räta linjer~~. Och kroppen ΔΨ är lika med kroppen ΔΓ, [ty åter ligger de på samma bas, ΞΡ, har samma höjd och inte på samma räta linjer]. Och alltså är kroppen ΑΒ lika med kroppen ΓΔ. Vilket skulle visas.

λεʹ.

Ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπὶ δὲ τῶν κορυφῶν αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐπισταθῶσιν ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἐπὶ δὲ τῶν μετεώρων ληφθῇ τυχόντα σημεῖα, καὶ ἀπ᾿ αὐτῶν ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι, κάθετοι ἀχθῶσιν, ἀπὸ δὲ τῶν γενομένων σημείων ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐπὶ τὰς ἐξ ἀρχῆς γωνίας ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἴσας γωνίας περιέξουσι μετὰ τῶν μετεώρων.

35.

Om det finns två lika plana vinklar och från deras spetsar uppräta räta linjer rests omslutande lika vinklar med de ursprungliga räta linjerna, var och en med var och en. Har godtyckliga punkter tagits på de uppräta räta linjerna och normaler dragits från dem till planet, i vilket de ursprungliga vinklarna ligger, samt räta linjer förbundits från de resulterande punkterna i planet till spetsarna av de ursprungliga vinklarna, skall de omsluta lika vinklar med de uppräta räta linjerna.

Ἔστωσαν δύο γωνίαι εὐθύγραμμοι ἴσαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ, ἀπὸ δὲ τῶν Α, Δ σημείων μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστάτωσαν αἱ ΑΗ, ΔΜ ἴσας γωνίας περιέχουσιν μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ὑπὸ ΜΔΕ τῇ ὑπὸ ΗΑΒ, τὴν δὲ ὑπὸ ΜΔΖ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῶν ΑΗ, ΔΜ τυχόντα σημεῖα τὰ Η, Μ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Μ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΒΑΓ, ΕΔΖ ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΛ, ΜΝ, καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Λ, Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΑ, ΝΔ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ γωνία τῇ ὑπὸ ΜΔΝ γωνίᾳ.

Κείσθω τῇ ΔΜ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ σημείου τῇ ΗΛ παράλληλος ἡ ΘΚ. ἡ δὲ ΗΛ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον. ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Κ, Ν σημείων ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΑΓ, ΔΖ, ΔΕ εὐθείας κάθετοι αἱ ΚΓ, ΝΖ, ΚΒ, ΝΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ, ΓΒ, ΜΖ, ΖΕ. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΚΓ, ΓΑ, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ ἄρα ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΓ, ΓΑ. ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΜ γωνία ὀρθή ἐστιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΜ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΜΔΖ ἴση. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΜΔΖ, ΘΑΓ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΘΑ τῇ ΜΔ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκαρέρᾳ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἐστιν ἴση οὕτως· ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΒ, ΜΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΚ, ΚΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΚ, ΚΘ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΘ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΚ, ΚΘ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΘ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΘΚΒ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΘΚ κάθετον εἶναι ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΕΜ γωνία ὀρθή ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΔΜ ἴση· ὑπόκεινται γάρ· καὶ ἔστιν ἡ ΑΘ τῇ ΔΜ ἴση· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΓΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖς ΖΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΔΕ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστὶ καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΝ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΚ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΖΝ ἐστιν ἴση. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ τῇ ὑπὸ ΖΕΝ ἐστιν ἴση. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΓΚ, ΕΖΝ ~~τὰς~~ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΖΝ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΚ δυσὶ ταῖς ΔΖ, ΖΝ ἴσαι εἰσίν· καὶ ὀρθὰς γωνίας περιέχουσιν. βάσις ἄρα ἡ ΑΚ βάσει τῇ ΔΝ ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΔΜ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΜ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΚ, ΚΘ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΚΘ· τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΜ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΔΝ, ΝΜ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΔΝΜ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΚ, ΚΘ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΝ, ΝΜ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΝ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ· ἴση ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΜΝ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΘΑ, ΑΚ δυσὶ ταῖς ΜΔ, ΔΝ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΘΚ βάσει τῇ ΜΝ ἐδείχθη ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΜΔΝ ἐστιν ἴση.

Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως ~~ὅπερ ἔδει δεῖξαι~~.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἑὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπισταθῶσι δὲ ἐπ᾿ αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἴσαι ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ ἀπ᾿ αὐτῶν κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[36]

Låt ΒΑΓ och ΕΔΖ vara två lika rätlinjiga vinklar, låt ha rest de uppräta räta linjerna ΑΗ och ΔΜ från punkterna Α och Δ, omslutande lika vinklar med de ursprungliga räta linjerna, var och en med var och en. ΜΔΕ med ΗΑΒ och ΜΔΖ med ΗΑΓ. Låt även de godtyckliga punkterna Η och Μ ha tagits på ΑΗ och ΔΜ, låt normalerna ΗΛ och ΜΝ ha dragits från punkterna Η och Μ till planen genom ΒΑΓ och ΕΔΖ samt låt dem träffa planen vid Λ och Ν. Låt ΛΑ och ΝΔ ha förbundits. Jag säger, att vinkeln ΗΑΛ är lika med vinkeln ΜΔΝ.

Låt ΑΘ ha satts lika med ΔΜ och låt ΘΚ ha dragits genom punkten Θ parallell med ΗΛ. Och ΗΛ är vinkelrät mot planet genom ΒΑΓ, alltså är även ΘΚ vinkelrät mot planet genom ΒΑΓ.Prop. 11.8 Låt ΚΓ, ΝΖ, ΚΒ och ΝΕ ha dragits vinkelräta från punkterna Κ och Ν till de räta linjerna ΑΒ, ΑΓ, ΔΖ och ΔΕ samt låt ΘΓ, ΓΒ, ΜΖ och ΖΕ ha förbundits. Eftersom kvadraten på ΘΑ är lika med dem på ΘΚ och ΚΑProp. 1.47 samt den på ΚΑ är lika med dem på ΚΓ och ΓΑ,Prop. 1.47 är alltså även den på ΘΑ lika med dem på ΘΚ, ΚΓ och ΓΑ. Och kvadraten på ΘΓ är lika med dem på ΘΚ och ΚΓ,Prop. 1.47 alltså är den på ΘΑ är lika med dem på ΘΓ och ΓΑ. alltså är vinkeln ΘΓΑ rät.Prop. 1.48 Av samma skäl är även vinkeln ΔΖΜ rät. Alltså är vinkeln ΑΓΘ lika med ΔΖΜ. Även ΘΑΓ är lika med ΜΔΖ. Alltså är ΜΔΖ och ΘΑΓ två trianglar, vilka har två vinklar lika med två vinklar, var och en med var och en, samt en sida lika med en sida, den som ligger under en av de lika vinklarna, ΘΑ med ΜΔ. Alltså skall de även ha resterande sidor lika med resterande sidor, var och en med var och en.Prop. 1.26 Alltså är ΑΓ lika med ΔΖ. På samma sätt skall vi visa, att även ΑΒ är lika med ΔΕ. [Sålunda. Låt ΘΒ och ΜΕ ha förbundits. Och eftersom kvadraten på ΑΘ är lika med dem på ΑΚ och ΚΘ samt de ΑΒ och ΒΚ på är lika med den på ΑΚ, alltså är de på ΑΒ, ΒΚ och ΚΘ lika med den på ΑΘ. Men kvadraten på ΒΘ är lika med dem på ΒΚ och ΚΘ, ty vinkeln ΘΚΒ är rät, på grund av att ΘΚ är vinkelrät mot det underliggande planet. Alltså är kvadraten på ΑΘ lika med dem på ΑΒ och ΒΘ, alltså är vinkeln ΑΒΘ rät.Prop. 1.48 Av samma skäl är även vinkeln ΔΕΜ rät. Och även vinkeln ΒΑΘ är lika med ΕΔΜ, ty detta antas, och ΑΘ är lika med ΔΜ, alltså är även ΑΒ lika med ΔΕ.] Eftersom då ΑΓ är lika med ΔΖ och ΑΒ med ΔΕ, är de två ΓΑ och ΑΒ lika med de två ΖΔ och ΔΕ. Men också vinkeln ΓΑΒ är lika med vinkeln ΖΔΕ, alltså är basen ΒΓ lika med basen ΕΖ, triangeln med triangeln och resterande vinklar med resterande vinklar,Prop. 1.4 alltså är vinkeln ΑΓΒ lika med ΔΖΕ. Även den räta ΑΓΚ är lika med den räta ΔΖΝ, alltså är även den resterande ΒΓΚ lika med den resterande ΕΖΝ. Av samma skäl är även ΓΒΚ lika med ΖΕΝ. Då är de två trianglarna ΒΓΚ och ΕΖΝ, vilka har två vinklar lika med två trianglar, var och en med var och en, samt en sida lika med en sida, den som ligger mot de lika vinklarna, ΒΓ med ΕΖ. Alltså skall de även ha resterande sidor lika med resterande sidor.Prop. 1.26 Alltså är ΓΚ lika med ΖΝ. Och även ΑΓ är lika med ΔΖ, då är de två ΑΓ och ΓΚ lika med de två ΔΖ och ΖΝ och de omsluter räta vinklar. Alltså är basen ΑΚ lika med basen ΔΝ.Prop. 1.4 Och eftersom ΑΘ är lika med ΔΜ, är även kvadraten på ΑΘ lika med den på ΔΜ. Men kvadraterna ΑΚ och ΚΘ på är lika med den på ΑΘ, ty ΑΚΘ är rät,Prop. 1.47 och den på ΔΜ är lika med dem på ΔΝ och ΝΜ, ty ΔΝΜ är rät,Prop. 1.47 alltså är kvadraterna på ΑΚ och ΚΘ lika med dem på ΔΝ och ΝΜ, av vilka den på ΑΚ är lika med den på ΔΝ, alltså är resterande kvadrat på ΚΘ lika med den på ΝΜ, alltså är ΘΚ lika med ΜΝ. Och eftersom de två ΘΑ och ΑΚ är lika med de två ΜΔ och ΔΝ, var och en med var och en, samt basen ΘΚ har visast vara lika med basen ΜΝ, alltså är vinkeln ΘΑΚ lika med vinkeln ΜΔΝ.Prop. 1.8

Om alltså det finns två lika plana vinklar och försatsens fortsättning. ~~Vilket skulle visas.~~

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om de finns två lika plana vinklar och på dem uppräta räta linjer rests omslutande lika vinklar med de ursprungliga räta linjerna, var och en med var och en, är normalerna, som dragits från dem till planet, i vilket de ursprungliga vinklarna ligger, lika med varandra. Vilket skulle visas.

λϛʹ.

Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ἐκ τῶν τριῶν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.

36.

Om tre räta linjer är proportionella, är parallellepipeden av de tre lika med den liksidiga parallellepipeden av den mellersta räta linjen och som är likvinklig med den förutnämnda.

Ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ· λέγω, ὅτι τὸ ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ.

Ἐκκείσθω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Ε περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ ΔΕΗ, ΗΕΖ, ΖΕΔ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση ἑκάστη τῶν ΔΕ, ΗΕ, ΕΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΕΚ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, τῇ δὲ Α ἴση ἡ ΛΜ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΛΜ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Λ τῇ πρὸς τῷ Ε στερεᾷ γωνίᾳ ἴση στερεὰ γωνία ἡ περειχομένη ὑπὸ τῶν ΝΛΞ, ΞΛΜ, ΜΛΝ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση ἡ ΛΞ, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΛΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ μὲν Α τῇ ΛΜ, ἡ δὲ Β ἑκατέρᾳ τῶν ΛΞ, ΕΔ, ἡ δὲ Γ τῇ ΛΝ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΛΝ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΝΛΜ, ΔΕΖ αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνθασιν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΖ παραλληλογραμάμμῳ. καὶ ἐπεὶ δύο γωνίαι ἐπίπεδοι εὐθύγραμμοι ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΔΕΖ, ΝΛΜ, καὶ ἐπ᾿ αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστᾶσιν αἱ ΛΞ, ΕΗ ἴσαι τε ἀλλήλαις καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ ἄρα ἀπὸ τῶν Η, Ξ σημείων κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΝΛΜ, ΔΕΖ ἐπίπεδα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὥστε τὰ ΛΘ, ΕΚ στερεὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστίν. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛ στερεὸν τῷ ΕΚ στερεῷ. καί ἐστι τὸ μὲν ΛΘ τὸ ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεόν, τὸ δὲ ΕΚ τὸ ἀπὸ τῆς Β στερεόν· τὸ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[37]

Låt Α, Β och Γ vara tre proportionella räta linjer, som Α är till Β, så är Β till Γ. Jag säger, att kroppen av Α, Β och Γ är lika med den liksidiga kroppen av Β och som är likvinklig med den förutnämnda.

Låt en rymdvinkel ha satts ut vid Ε, som omsluts av ΔΕΗ, ΗΕΖ och ΖΕΔ. Låt var och en av ΔΕ, ΗΕ och ΕΖ ha satts lika med Β. Låt parallellepipeden ΕΚ ha fullbordats, ΛΜ lika med Α. Låt en rymdvinkel omsluten av ΝΛΞ, ΞΛΜ och ΜΛΝ, lika med rymdvinkeln vid Ε, ha rests på den räta linjen ΛΜ vid punkten Λ på den.Prop. 11.23 Låt även ΛΞ ha satts lika med Β och Γ med ΛΝ. Och då som Α är till Β, så är Β till Γ, och Α är lika med ΛΜ, Β med var och en av ΛΞ och ΕΔ, samt Γ med ΛΝ, alltså som ΛΜ är till ΕΖ, så är ΔΕ till ΛΝ. Och kring de lika vinklarna ΝΛΜ och ΔΕΖ är sidorna omvänt proportionella, alltså är parallellogrammen ΜΝ lika med parallellogrammen ΔΖ.Prop. 6.14 Och eftersom två rätlinjiga plana vinklar ΔΕΖ och ΝΛΜ är lika samt de på dem uppräta resta räta linjerna, ΛΞ och ΕΗ, är lika med varandra och omsluter lika vinklar med de ursprungliga räta linjerna, var och en med var och en, är alltså normalerna dragna från punkterna Η och Ξ till planen genom ΝΛΜ och ΔΕΖ lika med varandra,Prop. 11.35 cor. så att kropparna ΛΘ och ΕΚ har samma höjd. Parallellepipeder på lika baser och med samma höjd är lika med varandra,Prop. 11.31 alltså är kroppen ΘΛ lika med kroppen ΕΚ. Och ΛΘ är kroppen av Α, Β och Γ samt ΕΚ kroppen av Β, alltså är parallellepipeden av Α, Β och Γ lika med den liksidiga kroppen av Β, som är likvinklig med den förutnämnda. Vilket skulle visas.

λζʹ.

Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον ἔσται· καὶ ἐὰν τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.

37.

Om fyra räta linjer är proportionella, skall parallellepipederna av dem, likformiga och på samma sätt uppritade, vara proportionella. Och om parallellepipederna av dem, såväl likformiga som på samma sätt uppritade, är proportionella, skall även de räta linjerna själva vara proportionella.

Ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΚΑ, ΛΓ, ΜΕ, ΝΗ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ.

Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΑ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΛΓ, τὸ ΚΑ ἄρα πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ.

Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΛΓ στερεόν, οὕτως τὸ ΜΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΝΗ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.

Ἐπεὶ γὰρ πάλιν τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, ἔχει δὲ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καί ἐστιν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.

Ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[38]

Låt ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ och ΗΘ vara fyra proportionella räta linjer, som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΗΘ, och låt parallellepipederna ΚΑ, ΛΓ, ΜΕ och ΝΗ ha uppritats, likformiga och på samma sätt, på ΑΒ, ΓΔ och ΕΖ, ΗΘ. Jag säger, att som ΚΑ är till ΛΓ, så är ΜΕ till ΝΗ.

Ty eftersom parallellepipeden ΚΑ är likformig med ΛΓ, har alltså ΚΑ ett triplicerat förhållande till ΛΓ än ΑΒ till ΓΔ.Prop. 11.33 Av samma skäl har också ΜΕ ett triplicerat förhållande till ΝΗ än ΕΖ till ΗΘ.Prop. 11.33 Och som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΗΘ. Och alltså som ΑΚ är till ΛΓ, så är ΜΕ till ΝΗ.

Men låt då som kroppen ΑΚ är till kroppen ΛΓ, som kroppen ΜΕ vara till ΝΗ. Jag säger, att som den räta linjen ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΗΘ.

Ty eftersom åter ΚΑ har ett triplicerat förhållande till ΛΓ än ΑΒ till ΓΔ,Prop. 11.33 har även ΜΕ ett triplicerat förhållande till ΝΗ än ΕΖ till ΗΘ,Prop. 11.33 och som ΚΑ är till ΛΓ, så är ΜΕ till ΝΗ, och alltså som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΕΖ till ΗΘ.

Om fyra räta linjer är proportionella, och försatsens fortsättning. Vilket skulle visas.

ληʹ.

Ἐὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα τμηθῶσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας.

38.

Om sidorna av en kubs motstående plan delats i hälften och planen genom snitten dragits ut, delar det gemensamma snittet av planen och kubens diagonal varandra i hälften.

Κύβου γὰρ τοῦ ΑΖ τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τῶν ΓΖ, ΑΘ αἱ πλευραὶ δίχα τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Π, Ο, Ρ σημεῖα, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω τὰ ΚΝ, ΞΡ, κοινὴ δὲ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἔστω ἡ ΥΣ, τοῦ δὲ ΑΖ κύβου διαγώνιος ἡ ΔΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΥΤ τῇ ΤΣ, ἡ δὲ ΔΤ τῇ ΤΗ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΔΥ, ΥΕ, ΒΣ, ΣΗ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΞ τῇ ΟΕ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΞΥ, ΥΟΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΞ τῇ ΟΕ, ἡ δὲ ΞΥ τῇ ΥΟ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΔΥ τῇ ΥΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΞΥ τρίγωνον τῷ ΟΥΕ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΞΥΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΟΥΕ γωνίᾳ. διὰ δὴ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΔΥΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ΒΣΗ εὐθεῖά ἐστιν, καὶ ἴση ἡ ΒΣ τῇ ΣΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος, ἀλλὰ ἡ ΓΑ καὶ τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος. καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΒΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΗ. ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΔΤ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΤ· ἐναλλὰξ γάρ· ἡ δὲ ὑπὸ ΔΤΥ τῇ ὑπὸ ΗΤΣ. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΔΤΥ, ΗΤΣ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΔΥ τῇ ΗΣ· ἡμίσειαι γάρ εἰσι τῶν ΔΕ, ΒΗ· καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΤ τῇ ΤΗ, ἡ δὲ ΥΤ τῇ ΤΣ.

Ἐὰν ἄρα κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα τμηθῶσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[39]

Ty låt sidorna av kuben ΑΖ:s motstående plan, ΓΖ och ΑΘ, ha delats i hälften vid punkterna Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Π, Ο och Ρ, låt planen genom snitten, ΚΝ och ΞΡ, ha dragits ut samt låt planens gemensamma snitt vara ΥΣ och kuben ΑΖ:s diagonal ΔΗ. Jag säger, att ΥΤ är lika med ΤΣ och ΔΤ med ΤΗ.

Ty låt ΔΥ, ΥΕ, ΒΣ och ΣΗ ha förbundits. Och eftersom ΔΞ är parallell med ΟΕ, är de alternerande vinklarna ΔΞΥ och ΥΟΕ lika med varandra.Prop. 1.29 Och eftersom ΔΞ är lika med ΟΕ, ΞΥ med ΥΟ och de omsluter lika vinklar, är alltså basen ΔΥ lika med ΥΕ, triangeln ΔΞΥ är lika med triangeln ΟΥΕ och resterande vinklar är lika med resterande vinklar,Prop. 1.4 är alltså vinkeln ΞΥΔ lika med vinkeln ΟΥΕ. På grund av detta är ΔΥΕ en rät linje.Prop. 1.14 Av samma skäl är även ΒΣΗ en rät linje och ΒΣ är lika med ΣΗ. Och eftersom ΓΑ är lika och parallell med ΔΒ, men ΓΑ är även lika och parallell med ΕΗ, alltså är även ΔΒ lika och parallell med ΕΗ.Prop. 11.9 Och de räta linjerna ΔΕ och ΒΗ förbinder dem, alltså är ΔΕ parallell med ΒΗ.Prop. 1.33 Alltså är vinkeln ΕΔΤ lika med ΒΗΤ, ty de är alternerande,Prop. 1.29 och ΔΤΥ med ΗΤΣ. Så ΔΤΥ och ΗΤΣ är två trianglar, som har två vinklar lika med två vinklar och en sida lika med en sida, den som ligger under en av de lika vinklarna, ΔΥ med ΗΣ, ty de är halvor av ΔΕ och ΒΗ, så de skall ha resterande sidor lika med resterande sidor.Prop. 1.26 Alltså är ΔΤ lika med ΤΗ och ΥΤ med ΤΣ.

Om alltså sidorna av en kubs motstående plan delats i hälften och planen genom snitten dragits ut, delar det gemensamma snittet av planen och kubens diagonal varandra i hälften. Vilket skulle visas.

λθʹ.

Ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῇ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα.

39.

Om det finns två lika höga prismor, där en har en parallellogram som bas och en en triangel samt parallellogrammen är dubbla triangeln, skall prismorna vara lika.

Ἔστω δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ τὰ ΑΒΓΔΕΖ, ΗΘΚΛΜΝ, καὶ τὸ μὲν ἐχέτω βάσιν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τὸ ΗΘΚ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ἔστω τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι.

Συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΑΞ, ΗΟ στερεά. ἐπεὶ διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΘΚ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΞ στερεὸν τῷ ΗΟ στερεῷ. καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΞ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα, τοῦ δὲ ΗΟ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΗΘΚΛΜΝ πρίσμα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι.

Ἐὰν ἄρα ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῇ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἔστὶ τὰ πρίσματα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[40]

Låt ΑΒΓΔΕΖ och ΗΘΚΛΜΝ vara två lika höga prismor, låt en ha parallellogrammen ΑΖ som bas och en triangeln ΗΘΚ samt låt parallellogrammen vara dubbla triangeln. Jag säger, att prismat ΑΒΓΔΕΖ är lika med prismat ΗΘΚΛΜΝ.

Låt kropparna ΑΞ och ΗΟ ha fullbordats. Eftersom parallellogrammen ΑΖ är dubbla triangeln ΗΘΚ, är även parallellogrammen ΘΚ dubbla triangeln ΗΘΚ,Prop. 1.34 är alltså parallellogrammen ΑΖ lika parallellogrammen ΘΚ. Parallellepipeder på lika baser och med samma höjd är lika med varandra,Prop. 11.31 alltså är kroppen ΑΞ lika med kroppen ΗΟ. Och kroppen ΑΞ är halva prismat ΑΒΓΔΕΖ och kroppen ΗΟ halva prismat ΗΘΚΛΜΝ,Prop. 11.28 alltså är prismat ΑΒΓΔΕΖ lika med prismat ΗΘΚΛΜΝ.

Om det finns två lika höga prismor, där en har en parallellogram som bas och en en triangel samt parallellogrammen är dubbla triangeln, skall prismorna vara lika. Vilket skulle visas.