Elementas Bok X

Στοιχείων ιʹ.

Ὁροι.

αʹ. Σύμμετρα μεγέθη λέγεται τὰ τῷ αὐτῷ μετρῳ μετρούμενα, ἀσύμμετρα δέ, ὧν μηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν μέτρον γενέσθαι.
βʹ. Εὐθεῖαι δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ὅταν τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται, ἀσύμμετροι δέ, ὅταν τοῖς ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται χωρίον κοινὸν μέτρον γενέσθαι.
γʹ. Τούτων ὑποκειμένων δείκνυται, ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ ὑπάρχουσιν εὐθεῖαι πλήθει ἄπειροι σύμμετροί τε καὶ ἀσύμμετροι αἱ μὲν μήκει μόνον, αἱ δὲ καὶ δυνάμει. καλείσθω οὖν ἡ μὲν προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή, καὶ αἱ ταύτῃ σύμμετροι εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον ῥηταί, αἱ δὲ ταύτῃ ἀσύμμετροι ἄλογοι καλείσθωσαν.
δʹ. Καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς προτεθείσης εὐθείας τετράγωνον ῥητόν, καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα ῥητά, τὰ δὲ τούτῳ ἀσύμμετρα ἄλογα καλείσθω, καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ ἄλογοι, εἰ μὲν τετράγωνα εἴη, αὐταὶ αἱ πλευραί, εἰ δὲ ἕτερά τινα εὐθύγραμμα, αἱ ἴσα αὐτοῖς τετράγωνα ἀναγράφουσαι.^[1]

Definitioner.

1. Kommensurabla storheter kallas de, som mäts av samma mått och inkommensurabla de, vars gemensamma mått inte är möjligt att finna.
2. Räta linjer är kommensurabla i kvadrat,^A A) Se Vitrac, B. Les formules de la puissance (dunamis, dunasthai) dans les mathématiques grecques et dans les dialogues de Platon. Chez HAL. när kvadraterna på dem mäts av samma område och inkommensurabla, när ett gemensamt mått inte är möjligt att finna för kvadraterna på dem.
3. Sedan detta antagits, visas det, att det till den framställda räta linjen finns kommensurabla och inkommensurabla räta linjer i obegränsade antal: de endast i längd och de också i kvadrat. Låt sålunda den framställda räta linjen kallas uttryckbar och dem med denna kommensurabla, antingen i längd och i kvadrat eller endast i kvadrat, uttryckbara,^B B) Kanske kan ῥητός också läsas som uttalad, se även Les éléments. Volume III, tr. Vitrac, ss. 35-36. men låt dem kallas inkommensurabla med denna irrationella.^C C) Kanske kan ἄλογος också läsas som förhållandelös, se även Les éléments. Volume III, tr. Vitrac, ss. 36-37.
4. Och låt kvadraten på den framställda räta linjen kallas uttryckbar och områdena kommensurabla med denna uttryckbara, men områdena inkommensurabla med denna irrationella och de möjliggörande^D D) Jmf Def. 2 ovan. Rundbäck använder rot. områdena irrationella; om de är kvadrater, sidorna, men om de är några andra rätlinjiga figurer, områdena omskrivande kvadrater lika med dem.

αʹ.

Δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους.

1.

Sedan två olika storheter ställts upp samt om från den större mer än hälften tas bort och från det kvarlämnade mer än hälften tas bort samt gör detta oupphörligen, skall någon storhet lämnas kvar, som är mindre än den mindre uppställda storheten.

Ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ· λέγω, ὅτι, ἐαν ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ Γ μεγέθους.

Τὸ Γ γὰρ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον. πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΔΕ τοῦ μὲν Γ πολλαπλάσιον, τοῦ δὲ ΑΒ μεῖζον, καὶ διῃρήσθω τὸ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΘ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γιγνέσθω, ἕως ἂν αἱ ἐν τῷ ΑΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς γένωνται ταῖς ἐν τῷ ΔΕ διαιρέσεσιν.

Ἔστωσαν οὖν αἱ ΑΚ, ΚΘ, ΘΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς οὖσαι ταῖς ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ· καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΔΕ τοῦ ΑΒ, καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μὲν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεως τὸ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΔ λοιποῦ τοῦ ΘΑ μεῖζόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΔ τοῦ ΘΑ, καὶ ἀφῄρηται τοῦ μὲν ΗΔ ἥμισυ τὸ ΗΖ, τοῦ δὲ ΘΑ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΔΖ λοιποῦ τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν. ἴσον δὲ τὸ ΔΖ τῷ Γ· καὶ τὸ Γ ἄρα τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν. ἔλασσον ἄρα τὸ ΑΚ τοῦ Γ.

Καταλείπεται ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΚ μέγεθος ἔλασσον ὂν τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους τοῦ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. - ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, κἂν ἡμίση ᾖ τὰ ἀφαιρούμενα.^[2]

Låt ΑΒ och Γ vara två olika storheter, av vilka ΑΒ är den större. Jag säger, att samt om från ΑΒ mer än hälften tas bort och från det kvarlämnade mer än hälften tas bort samt gör detta oupphörligen, skall någon storhet lämnas kvar, som är mindre än storheten Γ.

Ty Γ mångfaldigad skall någon gång bli större än ΑΒ.Def. 5.4 Låt den ha mångfaldigats och låt den vara ΔΕ, en multipel av Γ och större än ΑΒ. Låt ΔΕ ha delats i ΔΖ, ΖΗ och ΗΕ, lika med Γ. Låt ΒΘ, större än hälften, ha dragits bort från ΑΒ och ΘΚ, större än hälften, från ΑΘ samt ha gjort detta oupphörligen, tills delningarna i ΑΒ blir lika många som delningarna i ΔΕ.

Låt alltså delningarna ΑΚ, ΚΘ och ΘΒ vara lika många som ΔΖ, ΖΗ och ΗΕ är. Och eftersom ΔΕ är större än ΑΒ samt ΕΗ, mindre än hälften, har tagits bort från ΔΕ och ΒΘ, större än hälften, från ΑΒ, alltså är resten ΗΔ större än resten ΘΑ. Och eftersom ΗΔ är större än ΘΑ samt hälften ΗΖ har tagits bort från ΗΔ och ΘΚ, större än hälften, från ΘΑ, alltså är resten ΔΖ större än resten ΑΚ. Men ΔΖ är lika med Γ och alltså är Γ också större än ΑΚ. Sålunda är ΑΚ mindre än Γ.

Alltså återstår av storheten ΑΒ storheten ΑΚ, som är mindre än den mindre uppställda storheten Γ. Vilket skulle visas. - På liknande sätt skall detta visas, också om de borttagna är halvor.

βʹ.

Ἐὰν δύο μεγεθῶν ~~ἐκκειμένων~~ ἀνίσων ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ καταλειπόμενον μηδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.

2.

Sedan två olika storheter ~~ställts upp~~ samt oupphörligen och i tur och ordning det mindre tagits bort från det större samt resten aldrig mäter upp^E E) Se not till Def. 5.1. föregående storhet, skall de ursprungliga storheterna vara inkommensurabla.

Δύο γὰρ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῶν ΑΒ, ΓΔ καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΒ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ περιλειπόμενον μηδέποτε καταμετρείτω τὸ πρὸ ἑαυτοῦ· λέγω, ὅτι ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη.

Εἰ γάρ ἐστι σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος. μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Ε· καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΖΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΓΖ, τὸ δὲ ΓΖ τὸ ΒΗ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΗ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἕως οὗ λειφθῇ τι μέγεθος, ὅ ἐστιν ἔλασσον τοῦ Ε. γεγονέτω, καὶ λελείφθω τὸ ΑΗ ἔλασσον τοῦ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΖ μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΖΔ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΖ μετρήσει. ἀλλὰ τὸ ΓΖ τὸ ΒΗ μετρεῖ· καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΒΗ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΗ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη μετρήσει τι μέγεθος· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη. Ἐὰν ἄρα δύο μεγεθῶν ἀνίσων, καὶ τὰ ἑξῆς.^[3]

Ty då ΑΒ och ΓΔ är två olika storheter, ΑΒ är den mindre, samt låt - då oupphörligen och i tur och ordning det mindre tagits bort från det större - resten aldrig mäta upp föregående storhet. Jag säger, att ΑΒ och ΓΔ är inkommensurabla storheter.

Ty om de är kommensurabla, skall någon storhet mäta dem. Låt en, om möjligt, mäta och låt den vara Ε. Samt låt ΑΒ lämna ΓΖ, mindre än sig själv, mätande ΖΔ och låt ΓΖ lämna ΑΗ, mindre än sig själv, mätande ΒΗ. Och låt detta oupphörligen ske, tills dess en storhet lämnats, som är mindre än Ε. Låt detta ske och låt ha lämnat kvar ΑΗ mindre än Ε. Eftersom Ε då mäter ΑΒ, men ΑΒ mäter ΔΖ, alltså skall även Ε mäta ΖΔ. Ε mäter även hela ΓΔ och skall alltså även mäta resten ΓΖ. Men ΓΖ mäter ΒΗ och Ε mäter alltså ΒΗ. Ε mäter även hela ΑΒ och skall alltså även mäta resten ΑΗ, den större den mindre, vilket är omöjligt. Alltså skall inte någon storhet mäta storheterna ΑΒ och ΓΔ. Alltså är ΑΒ och ΓΔ inkommensurabla storheter. Om alltså två olika storheter och så vidare.

γʹ.

Δύο μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.

3.

Att sedan två kommensurabla storheter givits, finna deras största gemensamma mått.

Ἔστω τὰ δοθέντα δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὧν ἔλασσον τὸ ΑΒ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.

Τὸ ΑΒ γὰρ μέγεθος ἤτοι μετρεῖ τὸ ΓΔ ἢ οὔ. εἰ μὲν οὖν μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό, τὸ ΑΒ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν· καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον. μεῖζον γὰρ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΒ οὐ μετρήσει.

Μὴ μετρείτω δὴ τὸ ΑΒ τὸ ΓΔ. καὶ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, τὸ περιλειπόμενον μετρήσει ποτὲ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ διὰ τὸ μὴ εἶναι ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ· καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΕΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΕΓ, τὸ δὲ ΕΓ τὸ ΖΒ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΖ, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρείτω.

Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ, καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒ μετρήσει τὸ ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΕ μετρεῖ· καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΓΕ· καί ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ μετρεῖ· τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή, ἔσται τι μέγεθος μεῖζον τοῦ ΑΖ, ὃ μετρήσει τὰ ΑΒ, ΓΔ. ἔστω τὸ Η. ἐπεὶ οὖν τὸ Η τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΕΔ μετρεῖ, καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΕ μετρήσει τὸ Η. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ· καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ, καὶ λοιπὸν τὸ ΑΖ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μεῖζόν τι μέγεθος τοῦ ΑΖ τὰ ΑΒ, ΓΔ μετρήσει· τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν.

Δύο ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος δύο μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.^[4]

Låt ΑΒ och ΓΔ vara de två givna kommensurabla storheterna, av vilka ΑΒ är mindre. Det är så nödvändigt, att finna ΑΒ och ΓΔ:s största gemensamma mått.

Ty storheten ΑΒ antingen mäter ΓΔ eller ej. Om den sålunda mäter, mäter den också sig själv och alltså är ΑΒ ΑΒ och ΓΔ:s gemensamma mått. Det är även uppenbart det största, ty en större än ΑΒ skall inte mäta ΑΒ.

Låt så ΑΒ inte mäta ΓΔ samt sedan oupphörligen i tur och ordning det mindre tagits bort från det större, skall resten någon gång mäta upp den före sig, eftersom ΑΒ och ΓΔ inte är inkommensurabla.Prop. 10.2 Låt även ΑΒ mätande ΕΔ lämna kvar ΕΓ, mindre än sig själv, och låt ΕΓ mätande ΖΒ lämna kvar ΑΖ, mindre än sig själv, samt låt ΑΖ mäta ΓΕ.

Eftersom då ΑΖ mäter ΓΕ, men ΓΕ mäter ΖΒ, alltså skall även ΑΖ mäta ΖΒ och den mäter också sig själv. Alltså skall även hela ΑΒ mäta ΑΖ. Men ΑΒ mäter ΔΕ och alltså skall ΑΖ mäta ΕΔ. Den mäter även ΓΕ, alltså mäter den även hela ΓΔ. Alltså är ΑΖ ΑΒ och ΓΔ:s gemensamma mått. Jag säger så, att det också är det största. Ty om inte, skall någon storhet större än ΑΖ finnas, som mäter ΑΒ och ΓΔ. Låt den vara Η. Eftersom då Η mäter ΑΒ, men ΑΒ mäter ΕΔ, skall alltså även Η mäta ΕΔ. Den mäter även hela ΓΔ och alltså skall Η även mäta resten ΓΕ. Men ΓΕ mäter ΖΒ och alltså skall även Η mäta ΖΒ. Den mäter även hela ΑΒ och skall mäta resten ΑΖ, den större den mindre, vilket är omöjligt. Alltså skall inte någon storhet större än ΑΖ mäta ΑΒ och ΓΔ. ΑΖ är alltså ΑΒ och ΓΔ:s största gemensamma mått.

Alltså har två givna kommensurabla storheters största gemensamma mått funnits. Vilket skulle visas.^F F) Det står faktiskt visas här, även om göras är det vanliga och detta brukar stå efter följdsatsen. Men det är ju i alla fall mer än och så vidare.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om en storhet mäter två storheter, skall den också mäta deras största gemensamma mått.

δʹ.

Τριῶν μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.

4.

Att sedan tre kommensurabla storheter givits, finna deras största gemensamma mått.

Ἔστω τὰ δοθέντα τρία μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Δ· τὸ δὴ Δ τὸ Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὔ ~~μετρεῖ~~. μετρείτω πρότερον. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὸ Γ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ τὰ Α, Β, τὸ Δ ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ· τὸ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον· μεῖζον γὰρ τοῦ Δ μεγέθους τὰ Α, Β οὐ μετρεῖ.

Μὴ μετρείτω δὴ τὸ Δ τὸ Γ. λέγω πρῶτον, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Γ, Δ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, Γ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος, ὃ δηλαδὴ καὶ τὰ Α, Β μετρήσει· ὥστε καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ· ὥστε τὸ εἰρημένον μέγεθος μετρήσει τὰ Γ, Δ· σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Γ, Δ. εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ Δ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ Δ τὰ Α, Β μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ. τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ· τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τι τοῦ Ε μεῖζον μέγεθος τὸ Ζ, καὶ μετρείτω τὰ Α, Β, Γ. καὶ ἐπεὶ τὸ Ζ τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τὰ Α, Β ἄρα μετρήσει καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶ τὸ Δ· τὸ Ζ ἄρα τὸ Δ μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ· τὸ Ζ ἄρα τὰ Γ, Δ μετρεῖ· καὶ τὸ τῶν Γ, Δ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει τὸ Ζ. ἔστι δὲ τὸ Ε· τὸ Ζ ἄρα τὸ Ε μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μεῖζόν τι τοῦ Ε μεγέθους ~~μέγεθος~~ τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ· τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν, ἐὰν μὴ μετρῇ τὸ Δ τὸ Γ, ἐὰν δὲ μετρῇ, αὐτὸ τὸ Δ.

Τριῶν ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται ~~ὅπερ ἔδει δεῖξαι~~.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος τρία μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.

Ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πλειόνων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ληφθήσεται, καὶ τὸ πόρισμα προχωρήσει. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[5]

Låt Α, Β och Γ vara de tre givna kommensurabla storheterna, Det är så nödvändigt, att finna Α, Β och Γ:s största gemensamma mått. Ty låt ha tagit Α och Β:s största gemensamma måttProp. 10.3 och låt det vara Δ. Antingen mäter Δ då Γ eller ~~mäter~~ inte. Låt den först mäta. Eftersom då Δ mäter Γ, mäter den även Α och Β, Δ mäter alltså Α, Β och Γ. Δ är alltså Α, Β och Γ:s gemensamma mått. Det är även uppenbart, att det också är störst. Ty en storhet större än storheten Δ mäter inte Α och Β.

Låt så Δ inte mäta Γ. Jag säger först, att Γ och Δ är inkommensurabla. Ty eftersom Α, Β och Γ är kommensurabla, skall någon storhet mäta dem, vilken självklart också skall mäta Α och Β. Därför skall den också mäta Α och Β:s största gemensamma mått Δ.Prop. 10.3 cor. Den mäter även Γ, på så sätt skall nämnda storhet mäta Γ och Δ, alltså är Γ och Δ kommensurabla.Def. 10.1.1 Låt alltså ha tagit deras största gemensamma måttProp. 10.3 och låt det vara Ε. Eftersom Ε då mäter Δ, men Δ mäter Α och Β, skall alltså även Ε mäta Α och Β. Ε mäter även Γ, Ε mäter alltså Α, Β och Γ. Ε är alltså Α, Β och Γ:s gemensamma mått. Jag säger så, att det också är det största. Ty låt, om möjligt, Ζ vara en storhet större än Ε och låt den mäta Α, Β och Γ. Och eftersom Ζ mäter Α, Β och Γ, skall den alltså även mäta Α och Β samt mäta Α och Β:s största gemensamma mått.Prop. 10.3 cor. Δ är Α och Β:s största gemensamma mått, Ζ mäter alltså Δ. Ζ mäter även Γ, Ζ mäter sålunda Γ och Δ, alltså skall Ζ även mäta Γ och Δ:s största gemensamma mått.Prop. 10.3 cor. Detta är Ε och alltså skall Ζ mäta Ε, den större den mindre, vilket är omöjligt. Alltså mäter inte någon ~~storhet~~, större än storheten Ε, Α, Β och Γ. Om Δ inte mäter Γ, är Ε alltså Α, Β och Γ:s största gemensamma mått och om den mäter, är det Δ själv.

Alltså har tre givna kommensurabla storheters största gemensamma mått funnits ~~vilket skulle visas~~.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om en storhet mäter tre storheter, skall den också mäta deras största gemensamma mått.

På liknande sätt skall även fleras största gemensamma mått tas - även följdsatsen skall utvidgas - vilket skulle visas.

εʹ.

Τὰ σύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.

5.

Kommensurabla storheter har ett förhållande till varandra, som ett tal har till ett tal.

Ἔστω σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.

Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Γ. καὶ ὁσάκις τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκις δὲ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.

Ἐπεὶ οὖν τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Δ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Δ μετρεῖ ἀριθμὸν καὶ τὸ Γ μέγεθος τὸ Α· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ· ἀνάπαλιν ἄρα, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα. πάλιν ἐπεὶ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Ε κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Ε μετρεῖ καὶ τὸ Γ τὸ Β· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα· δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε.

Τὰ ἄρα σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[6]

Låt Α och Β vara kommensurabla storheter. Jag säger, att Α har ett förhållande till Β, som ett tal har till ett tal.

Ty eftersom Α och Β är kommensurabla, skall någon storhet dem. Låt det mäta och låt det vara Γ. Samt så många gånger Γ mäter Α, låt så många enheter vara i Δ och så många gånger Γ mäter Β, låt så många enheter vara i Ε.

Eftersom då Γ mäter Α med enheterna i Δ och enheten dessutom mäter Δ med enheterna i den, mäter alltså enheten talet Δ lika många gånger som storheten Γ mäter Α. Alltså som Γ är till Α, så är enheten till Δ.Def. 7.21 Alltså omvänt, som Α är till Γ, så är Δ till enheten.Prop. 5.7 cor. Åter, eftersom Γ mäter Β med enheterna i Ε och dessutom enheten mäter Ε med enheterna i det, mäter alltså enheten Ε lika många gånger som Γ mäter Β. Alltså som Γ är till Β, så är enheten till Ε.Def. 7.21 Det har även visats, att som Α är till Γ, så Δ till enheten. Alltså, ex aequali, som Α är till Β, så är talet Δ till talet Ε.Prop. 5.22

Alltså har de kommensurabla storheterna Α och Β ett förhållande till varandra, som talet Δ till talet Ε. Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.

6.

Om två storheter har ett förhållande till varandra, som ett tal till ett tal, skall storheterna vara kommensurabla.

Δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε· λέγω, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β μεγέθη.

Ὅσαι γάρ εἰσιν ἐν τῷ Δ μονάδες, εἰς τοσαῦτα ἴσα διῃρήσθω τὸ Α, καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔστω τὸ Γ· ὅσαι δέ εἰσιν ἐν τῷ Ε μονάδες, ἐκ τοσούτων μεγεθῶν ἴσων τῷ Γ συγκείσθω τὸ Ζ.

Ἐπεὶ οὖν, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Δ μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Α μεγέθη ἴσα τῷ Γ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ μονὰς τοῦ Δ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τὸ Γ τοῦ Α· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ. μετρεῖ δὲ ἡ μονὰς τὸν Δ ἀριθμόν· μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Γ τὸ Α. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ ~~ἀριθμόν~~, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὴν μονάδα. πάλιν ἐπεί, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Ζ ἴσα τῷ Γ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε ~~ἀριθμόν~~. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα· δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. ἀλλ᾿ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ἐστὶ τὸ Α πρὸς τὸ Β· καὶ ὡς ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως καὶ πρὸς τὸ Ζ. τὸ Α ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Β, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τῷ Ζ. μετρεῖ δὲ τὸ Γ τὸ Ζ· μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Β. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Α· τὸ Γ ἄρα τὰ Α, Β μετρεῖ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆς.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοί, ὡς οἱ Δ, Ε, καὶ εὐθεῖα, ὡς ἡ Α, δύνατόν ἐστι ποιῆσαι ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὴν εὐθεῖαν πρὸς εὐθεῖαν. ἐὰν δὲ καὶ τῶν Α, Ζ μέση ἀνάλογον ληφθῇ, ὡς ἡ Β, ἔσται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον. ἀλλ᾿ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἐστὶν ὁ Δ ἀριθμος πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν· γέγονεν ἄρα καὶ ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α εὐθείας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β εὐθείας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[7]

Ty låt två storheter Α och Β ha ett förhållande till varandra, som talet Δ till talet Ε. Jag säger, att Α och Β är kommensurabla storheter.

Ty så många enheter är i Δ, låt Α ha delats i lika många lika stora delar och låt en av dem vara Δ. Så många enheter som är i Ε, låt Ζ vara sammansatt av lika många storheter lika med Γ.

Eftersom då, så många enheter är i Δ, lika många, lika med Γ, är också i storheten Α, alltså är den del enheten är av Δ, samma del Γ också är av Α. Alltså som Γ är till Α, så är enheten till Δ.Def. 7.21 Enheten mäter talet Δ, alltså mäter Γ även Α. Och då som Γ är till Α, så är enheten till ~~talet~~ Δ, alltså, omvänt, som Α är till Γ, så är talet Δ till enheten.Prop. 5.7 cor. Åter, eftersom så många enheter som är i Ε, så många, lika med Γ, är också i Ζ, alltså som Γ är till Ζ, så är enheten till ~~talet~~ Ε.Def. 7.21 Det har även visats, att som Α är till Γ, så är också Δ till enheten. Alltså, ex aequali, som Α är till Ζ, så är Δ till Ε.Prop. 5.22 Men som Δ är till Ε, så är Α till Β och alltså som Α är till Β, så är den även till Ζ.Prop. 5.11 Sålunda har Α till var och en av Β och Ζ samma förhållande, alltså är Β lika med Ζ.Prop. 5.9 Γ mäter Ζ, alltså mäter den även Β, men också Α. Γ mäter alltså Α och Β. Alltså är Α och Β kommensurabla.Def. 10.1.1

Om två storheter till varandra och så vidare.

Följdsats. Av detta är det uppenbart, att om det finns två tal, som Δ och Ε, och en rät linje, som Α, är det möjligt att göra så talet Δ är till talet Ε, som den räta linjen är till en rät linje Ζ. Och om Α och Ζ:s medelproportional tagits, som Β, skall som Α är till Ζ, figuren på Α vara till den på Β, det vill säga som den första är till den tredje, så är figuren på den första till den likformiga och på samma sätt uppritade på den andra.Prop. 6.19 cor. Men som Α är till Ζ, så är talet Δ till talet Ε. Alltså har det även blivit, att som talet Δ är till talet Ε, så är den på den räta linjen Α till den på den räta linjen Β. Vilket skulle visas.

ζʹ.

Τὰ ἀσύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.

7.

Inkommensurabla storheter har inte ett förhållande till varandra, som ett tal till ett tal.

Ἔστω ἀσύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.

Εἰ γὰρ ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρον ἔσται τὸ Α τῷ Β. οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.

Τὰ ἄρα ἀσύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, καὶ τὰ ἑξῆς.^[8]

Låt Α och Β vara inkommensurabla storheter. Jag säger, att Α inte har ett förhållande till Β, som ett tal till ett tal.

Ty om Α har ett förhållande till Β, som ett tal till ett tal, skall Α vara kommensurabel med Β.Prop. 10.6 Det är det inte, alltså har Α inte ett förhållande till Β, som ett tal till ett tal.

Alltså har inkommensurabla storheter inte ett förhållande till varandra och så vidare.

ηʹ.

Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.

8.

Om två storheter inte har ett förhållande till varandra, som ett tal till ett tal, skall storheterna vara inkommensurabla.

Δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· λέγω, ὅτι ἀσύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β μεγέθη.

Εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἕξει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. οὐκ ἔχει δέ. ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Α, Β μεγέθη.

Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆς.^[9]

Ty låt de två storheterna Α och Β inte ha ett förhållande till varandra, som ett tal till ett tal. Jag säger, att storheterna Α och Β är inkommensurabla.

Ty om de skall vara kommensurabla, skall Α ha ett förhållande till Β, som ett tal till ett tal.Prop. 10.5 Det har den inte. Alltså är Α och Β inkommensurabla storheter.

Om alltså två storheter till varandra och så vidare.

θʹ.

Τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν μήκει ἀσυμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, ὅνπερ τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους.

9.

Kvadrater på linjer kommensurabla i längd har ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.^G G) Här gäller det, att skilja på maskulina kvadrater, tal, och kvadrater i neutrum, figurer. Kvadraterna har också ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal och de skall ha sidorna kommensurabla i längd. Däremot har inte kvadrater på linjer inkommensurabla i längd ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Kvadraterna har heller inte ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal och de skall inte ha sidorna kommensurabla i längd.

Ἔστωσαν γὰρ αἱ Α, Β μήκει σύμμετροι· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.

Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει, ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. ἐχέτω, ὃν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον· τὰ γὰρ ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· τοῦ δὲ τοῦ Γ ~~ἀριθμοῦ~~ πρὸς τὸν Δ ~~ἀριθμὸν~~ λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον· δύο γὰρ τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καί ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον ~~ἀριθμὸν~~ διπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος ~~ἀριθμὸς~~ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ ~~ἀριθμοῦ~~ τετράγωνον ~~ἀριθμόν~~.

Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ ~~τετράγωνον~~· λέγω, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β ~~τετράγωνον~~, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ ~~τετράγωνον~~, ἀλλ᾿ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β ~~τετράγωνον~~ λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τοῦ Γ ~~ἀριθμοῦ~~ τετραγώνου ~~ἀριθμοῦ~~ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ ~~ἀριθμοῦ~~ τετράγωνον ~~ἀριθμὸν~~ λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τοῦ Γ ~~ἀριθμοῦ~~ πρὸς τὸν Δ ~~ἀριθμὸν~~ λόγου, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ ~~ἀριθμὸς~~ πρὸς τὸν Δ ~~ἀριθμόν~~. ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Δ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Β μήκει.

Ἀλλὰ δὴ ἀσύμμετρος ἔστω ἡ Α τῇ Β μήκει· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β ~~τετράγωνον~~ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.

Εἰ γὰρ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β ~~τετράγωνον~~ λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, σύμμετρος ἔσται ἡ Α τῇ Β. οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β ~~τετράγωνον~~ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.

Πάλιν δὴ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β ~~τετράγωνον~~ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· λέγω, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.

Εἰ γάρ ἐστι σύμμετρος ἡ Α τῇ Β, ἕξει τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.

Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.

Πόρισμα.

Καὶ φανερὸν ἐκ τῶν δεδειγμένων ἔσται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει [εἴπερ τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτερων εὐθειῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθόν, σύμμετρά ἐστιν. ὥστε αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι οὐ μόνον ~~εἰσὶ~~ μήκει σύμμετροι, ἀλλὰ καὶ δυνάμει.

πάλιν ἐπεί, ὅσα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριτημὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, μήκει ἐδείχθη σύμμετρα καὶ δυνάμει ὄντα σύμμετρα τῷ τὰ τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ὅσα ἄρα τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωονον ἀριθμόν, ἀλλὰ ἁπλῶς, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα μὲν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνάμει, οὐκέτι δὲ καὶ μήκει· ὥστε τὰ μὲν μήκει σύμμετρα πάντως καὶ δυνάμει, τὰ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωονον ἀριθμόν.

λέγω δή, ὅτι ~~καὶ~~ αἱ μήκει ἀσύμμετροι δύνανται λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωονον ἀριθμόν, καὶ διὰ τοῦτο δυνάμει οὖσαι σύμετροι μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι. ὥστε οὐχ αἱ τῷ μήκει οὖσαι ἀσύμμετροι δυνάμει εἶναι καὶ ἀσύμμετροι καὶ σύμμετροι.

αἱ δὲ δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει ἀσύμμετροι· εἰ γὰρ ~~εἰσι~~ μήκει σύμμετροι, ἔσονται καὶ δυνάμει σύμμετροι. ὑπόκεινται δὲ καὶ ἀσύμμετροι· ὅπερ ἄτοπον. αἱ ἄρα συνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει].

Λῆμμα.

Δέδεικται ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς, ὅτι οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριημοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωονος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωονον ἀριθμόν, καὶ ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωονος πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί, τουτέστιν οἱ μὴ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. εἰ γὰρ ἕξουσιν, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται· ὃπερ οὐχ ὑπόκειταο. οἱ ἄρα μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.^[10]

Kvadrater på linjer kommensurabla i längd har ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Kvadraterna har också ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal och de skall ha sidorna kommensurabla i längd. Däremot har inte kvadrater på linjer inkommensurabla i längd ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Kvadraterna har heller inte ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal och de skall inte ha sidorna kommensurabla i längd.

Ty låt Α och Β vara kommensurabla i längd. Jag säger, att kvadraten på Α har ett förhållande till kvadraten på Β, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.

Ty eftersom Α och Β är kommensurabla i längd, alltså har Α ett förhållande till Β, som ett tal till ett tal.Prop. 10.5 Låt den ha ett, som Γ till Δ. Eftersom Α då är till Β, som Γ är till Δ, men förhållandet av kvadraten på Α till kvadraten på Β är Α:s förhållande till Β duplicerat. Ty likformiga figurer är i korresponderande sidors duplicerade förhållandeProp. 6.20 cor. och förhållandet av Γ i kvadrat till Δ i kvadrat är talet Γ:s förhållande till talet Δ duplicerat. Ty två kvadratiska tal har ett tal i mellersta förhållandet och ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt ~~tal~~ har ett duplicerat förhållande, än sidan till sidan.Prop. 8.11 Alltså även som kvadraten på Α är till kvadraten på Β, så är det kvadratiska ~~talet~~ av talet Γ till det kvadratiska ~~talet~~ av ~~talet~~ Δ.

Men låt kvadraten på Α vara till den på Β, som Γ i kvadrat till Δ i ~~kvadrat~~. Jag säger, att Α är kommensurabel i längd med Β.

Ty då som kvadraten på Α är till ~~kvadraten~~ på Β, så är Γ i kvadrat till Δ i ~~kvadrat~~, men förhållandet av av kvadraten på Α till ~~kvadraten~~ på Β duplicerat är förhållandet av Α till Β.Prop. 6.20 cor. Förhållandet av kvadratiska ~~talet~~ av ~~talet~~ Γ till kvadratiska ~~talet~~ av ~~talet~~ Δ duplicerat är ~~talet~~ Γ:s förhållande till ~~talet~~ Δ,Prop. 8.11 alltså som Α är till Β, så är ~~talet~~ Γ till ~~talet~~ Δ. Alltså har Α ett förhållande till Β, som talet Γ till talet Δ, alltså är Α kommensurabel i längd med Β.Prop. 10.6

Men låt Α och Β vara kommensurabla i längd. Jag säger, att kvadraten på Α inte har ett förhållande till ~~kvadraten~~ på Β, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.

Ty om kvadraten på Α har ett förhållande till ~~kvadraten~~ på Β, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, skall Α vara kommensurabel med Β. Det är den inte, alltså har kvadraten på Α inte ett förhållande till ~~kvadraten~~ på Β, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.

Åter, låt kvadraten på Α har ett förhållande till ~~kvadraten~~ på Β, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Jag säger, att Α är kommensurabel i längd med Β.

Ty om Α är kommensurabel i längd med Β, skall kvadraten på Α ha ett förhållande till kvadraten på Β, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Det har den inte, alltså är Α inte kommensurabel i längd med Β.

Kvadrater på linjer kommensurabla i längd och så vidare.

Följdsats.

Och det skall vara tydligt av det som har visats, att de kommensurabla i längd i alla fall även är så i kvadrat, men de i kvadrat inte i alla fall även är så i längd, [om kvadraterna på de i längd kommensurabla räta linjerna har ett förhållande, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal och de som har ett förhållande, som ett tal till ett tal, är kommensurabla. Så att de i längd kommensurabla räta linjerna inte endast är kommensurabla i längd, utan också i kvadrat.

Åter, eftersom endast kvadrater har ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har visats vara kommensurabla i längd och då de är kommensurabla i kvadrat har de ett förhållande genom kvadraterna, som ett tal till ett tal. Vad så gäller kvadrater som inte har ett förhållande, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, utan endast som ett tal till ett tal, skall dessa kvadrater vara kommensurabla i kvadrat, men inte vidare också i längd. Så att de kommensurabla i längd också är det i kvadrat, men de i kvadrat inte i alla fall också är det i längd, om de inte också har ett förhållande, som kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.

Jag säger så, att ~~även~~ de i längd inkommensurabla kan inte ha ett förhållande, som kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal och på grund av detta är de som är kommensurabla i kvadrat inkommensurabla i längd. Så att inte de som är inkommensurabla i längd i alla fall också är det i kvadrat, men inkommensurabla i längd kan de vara det, både inkommensurabla och kommensurabla.

De inkommensurabla i kvadrat är i alla fall också inkommensurabla i längd, ty om ~~de är~~ kommensurabla i längd, skall de också vara kommensurabla i kvadrat. De har även antagits vara inkommensurabla, vilket är orimligt. Alltså är de inkommensurabla i kvadrat också inkommensurabla i längd].^H H) Till detta säger Heiberg bl.a. et superflua est et a sermone Euclidis abhorret och översätter det därför inte.

Hjälpsats.

Det har visats i de aritmetiska böckerna, att likformiga plana tal har ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal,Prop. 8.26 och att, om två tal har ett förhållande till varandra, som som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, är de likformiga plana tal. Det vill säga, de som inte har proportionella sidor,Def. 7.22 de har inte ett förhållande till varandra, som som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Ty om de skall ha det, skall de vara likformiga plan, vilket inte antagits. Alltså har inte likformiga plana tal ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.

ιʹ.

Τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ προσευρεῖν δύο εὐθείας ἀσυμμέτρους, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ δυνάμει.

10.

Sedan en rät linje satts ut, därtill finna två inkommensurabla räta linjer, en endast i längd och en även i kvadrat.

Ἔστω ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ Α· δεῖ δὴ τῇ Α προσευρεῖν δύο εὐθείας ἀσυμμέτρους, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ δυνάμει.

Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο αριθμοὶ οἱ Β, Γ πρὸς ἀλλήλους λόγον μὴ ἔχοντες, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τουτέστι μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ τετράγωνον· ἐμάθομεν γάρ· σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Β πρὸς τὸν Γ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Δ μήκει. εἰλήφθω τῶν Α, Δ μέση ἀνάλογον ἡ Ε· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε. ἀσύμμετρος δέ ἐστιν ἡ Α τῇ Δ μήκει· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς Ε τετραγώνῳ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ Ε δυνάμει.

Τῂ ἄρα προτεθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Α προσεύρηνται δύο εὐθεῖαι ἀσύμμετροι αἱ Δ, Ε, μήκει μὲν μόνον ἡ Δ, δυνάμει δὲ καὶ μήκει δηλαδὴ ἡ Ε ~~ὅπερ ἔδει δεῖξαι~~.^[11]

Låt Α vara den utsatta räta linjen. Till Α skall två inkommensurabla räta linjer finnas, en endast i längd och en även i kvadrat.

Låt två tal ha satts ut, Β och Γ, vilka inte har ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, det vill säga de är inte likformiga plan, och låt Β ha blivit till Γ, som kvadraten på Α är till kvadraten på Δ, som vi har förstått,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på Α kommensurabel med den på Δ.Prop. 10.6 Och eftersom Β inte har ett förhållande till Γ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har alltså kvadraten på Α heller inte ett förhållande till kvadraten på Δ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är Α inkommensurabel i längd med Δ.Prop. 10.9 Låt ha tagit medelproportionalen Ε av Α och Δ,Prop. 6.13 alltså som Α är till Δ, så är kvadraten på Α till den på Ε.Def. 5.9 Då Α är inkommensurabel i längd med Δ, är alltså även kvadraten på Α inkommensurabel med den på Ε, alltså är Α inkommensurabel i kvadrat med Ε.

Alltså har, sedan en rät linje Α satts ut, därtill två inkommensurabla räta linjer Δ och Ε funnits, Δ endast i längd och E i kvadrat uppenbarligen även i längd ~~Vilket skulle visas~~.

ιαʹ.

Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τῷ δευτέρῳ σύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ σύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ πρῶτον τῷ δευτέρῳ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ ἀσύμμετρον ἔσται.

11.

Om fyra storheter är proportionella och den första är kommensurabel med den andra, skall också den tredje vara kommensurabel med den fjärde och om den första är inkommensurabel med den andra, skall också den tredje vara inkommensurabel med den fjärde.

Ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, τὸ Α δὲ τῷ Β σύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ σύμμετρον ἔσται.

Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ.

Ἀλλὰ δὴ τὸ Α τῷ Β ἀσύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ ἀσύμμετρον ἔσται. ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· οὐδὲ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ.

Ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.^[12]

Låt Α, Β, Γ och Δ vara fyra proportionella storheter, att som Α är till Β, så är Γ till Δ och Α är kommensurabel med Β. Jag säger, att även Γ skall vara kommensurabel med Δ.

Ty eftersom Α är kommensurabel med Β, har alltså Α ett förhållande till Β, som ett tal till ett tal.Prop. 10.5 Och som Α är till Β, så är Γ till Δ och alltså har Γ ett förhållande till Δ, som ett tal till ett tal. Alltså är Γ kommensurabel med Δ.Prop. 10.6

Men låt så Α vara inkommensurabel till Β. Jag säger, att även Γ skall vara inkommensurabel med Δ. Ty eftersom Α är inkommensurabel med Β, har Α alltså inte ett förhållande till Β, som ett tal till ett talProp. 10.7. Och som Α är till Β, så är Γ till Δ, och alltså har Γ inte ett förhållande till Δ, som ett tal till ett tal. Alltså är Γ inkommensurabel med Δ.Prop. 10.8

Om alltså fyra storheter och så vidare.

ιβʹ.

Τὰ τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα.

12.

Storheter kommensurabla med samma storhet är även kommensurabla med varandra.

Ἐκάτερον γὰρ τῶν Α, Β τῷ Γ ἔστω σύμμετρον. λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστι σύμμετρον.

Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Γ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. ἐχέτω, ὃν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ Γ τῷ Β, τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. ἐχέτω, ὃν ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. καὶ λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν τοῦ τε, ὃν ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, καὶ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις οἱ Θ, Κ, Λ· ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ, ὡς δὲ τὸν Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως τὸν Κ πρὸς τὸν Λ.

Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἀλλ᾿ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ἀλλ᾿ ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ~~οὕτως~~ ὁ Κ πρὸς τὸν Λ, καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Λ. τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Θ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Λ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.

Τὰ ἄρα τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[13]

Ty låt var och en av Α och Β vara kommensurabel med Γ. Jag säger, att Α även är kommensurabel med Β.

Ty eftersom Α är kommensurabel med Γ, har alltså Α ett förhållande till Γ, som ett tal till ett tal.Prop. 10.5 Låt den ha ett, som Δ till Ε. Åter, eftersom Γ är kommensurabel med Β, har alltså Γ ett förhållande till Β, som att tal till ett tal.Prop. 10.5 Låt den ha ett, som Ζ till Η. Och sedan det av ett antal förhållanden, vilket Δ har till Ε och Ζ till Η, givits, låt ha tagit talen Θ, Κ och Λ proportionellt sammanhängande med de givna förhållandena,Prop. 8.4 så att som Δ är till Ε, så är Θ till Κ, som Ζ är till Η, så är Κ till Λ.

Eftersom som Α då är till Γ, är Δ så till Ε, men som Δ är till Ε, så är Θ till Κ, alltså som Α är till Γ, så är även Θ till Κ.Prop. 5.11 Åter som Γ då är till Β, är Ζ så till Η, men som Ζ är till Η, så är Κ till Λ, och alltså som Γ är till Β, så är Κ till Λ.Prop. 5.11 Och som Α är till Γ, så är Θ till Κ. Alltså, ex aequali, som Α är till Β, så är Θ till Λ.Prop. 5.22 Alltså har Α ett förhållande till Β, som talet Θ till talet Λ. Alltså är Α kommensurabel med Β.Prop. 10.6

Alltså är storheter kommensurabla med samma storhet även kommensurabla med varandra. Vilket skulle visas.

ιγʹ.

Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν μεγέθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμμετρον ἔσται.

13.

Om två storheter är kommensurabla och den ena av dem är inkommensurabel med någon storhet, skall även den återstående vara inkommensurabel med denna.

Ἔστω δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν τὸ Α ἄλλῳ τινὶ τῷ Γ ἀσύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ λοιπὸν τὸ Β τῷ Γ ἀσύμμετρόν ἐστιν.

Εἰ γάρ ἐστι σύμμετρον τὸ Β τῷ Γ, ἀλλὰ καὶ τὸ Α τῷ Β σύμμετρόν ἐστιν, καὶ τὸ Α ἄρα τῷ Γ σύμμετρόν ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἀσύμμετρον· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα σύμμετρόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ· ἀσύμμετρον ἄρα.

Ἐὰν ἄρα ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, καὶ τὰ ἑξῆς.

Λῆμμα.

Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος.

Låt Α och Β vara två kommensurabla storheter och låt den ena av dem, Α, vara inkommensurabel med någon annan, Γ. Jag säger, att också den återstående, Β, är inkommensurabel med Γ.

Ty om Β är kommensurabel med Γ, men också Α är kommensurabel med Β, och alltså är Α kommensurabel med Γ. Men den är också inkommensurabel, vilket är omöjligt. Alltså är Β inte kommensurabel med Γ, alltså är den inkommensurabel.

Om alltså två storheter är kommensurabla och så vidare.

Hjälpsats.

Att sedan två olika räta linjer givits hitta, med hur mycket, i kvadrat, den större är större än den mindre.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο ἄνισοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται ἡ ΑΒ τῆς Γ.

Γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ εἰς αὐτὸ ἐνηρμόσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. φανερὸν δή, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία, καὶ ὅτι ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ, τουτέστι τῆς Γ, μεῖζον δύναται τῇ ΔΒ.

Ὁμοίως δὲ καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἡ δυναμένη αὐτὰς εὑρίσκεται οὕτως.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ, καὶ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν δυναμένην αὐτάς. κείσθωσαν γάρ, ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ· φανερὸν πάλιν, ὅτι ἡ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[14]

Låt ΑΒ och Γ vara de två olika givna räta linjerna, av vilka ΑΒ är större. Det skall hittas ut, med hur mycket, i kvadrat, ΑΒ är större än Γ.

Låt halvcirkeln ΑΔΒ ha ritats på ΑΒ, låt ha passat in ΑΔ lika med ΓProp. 4.1 och låt ΔΒ ha förbundits. Det är uppenbart, att vinkeln ΑΔΒ är rätProp. 3.31 och att ΑΒ är större i kvadrat än ΑΔ, det vill säga Γ, med ΔΒ.Prop. 1.47

Av liknande skäl hittas också, sedan två räta linjer givits, möjliggöraren^I I) Jmf Def. 2 ovan. till dem på detta sätt.

Låt ΑΔ och ΔΒ vara de två givna räta linjerna och låt det vara nödvändigt, att finna möjliggöraren till dem. Ty låt ha satt dem, så att vinkeln under ΑΔ och ΔΒ omsluter en rät vinkel och låt ha förbundit ΑΒ. Det är åter uppenbart, att ΑΒ möjliggör ΑΔ och ΔΒ.Prop. 1.47 Vilket skulle visas.

ιδʹ.

Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, δύνηται δὲ ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ~~μήκει~~, καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ~~μήκει~~. καὶ ἐὰν ἡ πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ ~~μήκει~~, καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ ~~μήκει~~.

14.

Om fyra räta linjer som är proportionella och den första är i kvadrat större, med kvadraten på en med den ~~i längd~~ kommensurabel rät linje, än den andra, skall också den tredje vara i kvadrat större, med kvadraten på en med den ~~i längd~~ kommensurabel rät linje, än den fjärde. Och om den första är i kvadrat större, med kvadraten på en med den ~~i längd~~ inkommensurabel rät linje, än den andra, skall också den tredje vara i kvadrat större, med kvadraten på en med den ~~i längd~~ inkommensurabel rät linje, än den fjärde.

Ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, καὶ ἡ Α μὲν τῆς Β μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ε, ἡ δὲ Γ τῆς Δ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ζ· λέγω, ὅτι, εἴτε σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ὁ Γ τῇ Ζ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Γ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ· διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Ζ πρὸς τὴν Δ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ζ. εἴτε οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, συμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ.

Ἐὰν ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆς.^[15]

Låt Α, Β, Γ och Δ vara fyra proportionella räta linjer, så som Α är till Β, så är Γ till Δ och Α är i kvadrat större, med kvadraten på Ε, än Β, och låt Γ vara i kvadrat större, med kvadraten på Ζ, än Δ. Jag säger, att antingen är Α kommensurabel med Ε och Γ också kommensurabel med Ζ, eller är Α inkommensurabel med Ε och Γ också inkommensurabel med Ζ.

Ty då som Α är till Β, så är Γ till Δ, alltså är även kvadraten på Α till den på Β, som kvadraten på Γ till den på Δ.Prop. 6.22 Men kvadraten på Α är lika med dem på Ε och Β samt kvadraterna på Δ och Ζ är lika med den på Γ. Alltså som kvadraterna på Ε och Β är till den på Β, så är kvadraterna på Δ och Ζ till den på Δ. Alltså är kvadraten på Ε genom separation till den på Β, som kvadraten på Ζ till den på Δ.Prop. 5.17 Alltså som Ε är till Β, så är även Ζ till Δ.Prop. 6.22 Alltså, omvänt, som Β är till Ε, så är Δ till Ζ.Prop. 5.7 cor. Då även som Α är till Β, så är Γ till Δ. Alltså, ex aequali, som Α är till Ε, så är Γ till Ζ. Sålunda är Α antingen kommensurabel med Ε och Γ även kommensurabel med Ζ, eller är Α inkommensurabel med Ε och Γ även inkommensurabel med Ζ.Prop. 10.11

Om alltså och så vidare.

ιεʹ.

Ἐὰν δύο μεγέθη σύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν σύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρα ἔσται.

15.

Om två kommensurabla storheter lagts samman, skall också hela vara kommensurabel med var och en. Och om hela är kommensurabel med en av dem, skall även de ursprungliga storheterna vara kommensurabla.

Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι σύμμετρον.

Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΒΓ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον τὸ ΑΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ. τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ μετρεῖ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ.

Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἔστω σύμμετρον τῷ ΑΒ· λέγω δή, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ σύμμετρά ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΓ, ΑΒ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει· σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.

Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς. ^[16]

Ty låt de två kommensurabla storheterna ΑΒ och ΒΓ ha lagts samman. Jag säger, att också hela ΑΓ är kommensurabel med var och en av ΑΒ och ΒΓ.

Ty eftersom ΑΒ och ΒΓ är kommensurabla, skall någon storhet mäta dem. Låt en mäta dem och låt den vara Δ. Eftersom Δ då mäter ΑΒ och ΒΓ, skall den också mäta hela ΑΓ och mäter även ΑΒ och ΒΓ. Alltså mäter Δ ΑΒ, ΒΓ och ΑΓ, sålunda är ΑΓ kommensurabel med var och en av ΑΒ och ΒΓ.Def. 10.1.1

Men låt ΑΓ vara kommensurabel med ΑΒ. Jag säger, så, att också ΑΒ och ΒΓ är kommensurabla.

Ty eftersom ΑΒ och ΒΓ är kommensurabla, skall någon storhet mäta dem. Låt en mäta dem och låt den vara Δ. Eftersom Δ då Δ mäter ΓΑ och ΑΒ, skall alltså den även mäta resten ΒΓ och den mäter även ΑΒ. Alltså skall Δ mäta ΑΒ och ΒΓ, sålunda är ΑΒ och ΒΓ kommensurabla.Def. 10.1.1

Om två kommensurabla storheter och så vidare.

ιϛʹ.

Ἐὰν δύο μεγέθη ἀσύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται.

16.

Om två inkommensurabla storheter lagts samman, skall också hela vara inkommensurabel med var och en. Och om hela är inkommensurabel med en av dem, skall även de ursprungliga storheterna vara inkommensurabla.

Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἀσύμμετρα τὰ ΓΑ, ΑΒ, μετρήσει τι ~~αὐτὰ~~ μέγεθος. μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ. σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ· ὑπέκειντο δὲ καὶ ἀσύμμετρα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρήσει τι μέγεθος· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὰ ΑΓ, ΓΒ ἀσύμμετρά ἐστιν. τὸ ΑΓ ἄρα ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν.

Ἁλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἑνὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρον ἔστω. ἔστω δὴ πρότερον τῷ ΑΒ· λέγω, ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρά ἐστιν. εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος. μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ μετρήσει. μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ. σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ· ὑπέκειτο δὲ καὶ ἀσύμμετρα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει τι μέγεθος· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.

Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.

Λῆμμα.

Ἐὰν παρά τινα εὐθεῖαν παραβληθῇ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβληθὲν ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ἐκ τῆς παραβολής γενομένων τμημάτων τῆς εὐθείας.

Ty låt de två inkommensurabla storheterna ΑΒ och ΒΓ ha lagts samman. Jag säger, att också hela ΑΓ är inkommensurabel med var och en av ΑΒ och ΒΓ.

Ty om ΓΑ och ΑΒ inte är inkommensurabla, skall någon storhet mäta ~~dem~~. Låt en, om möjligt, mäta dem och låt den vara Δ. Eftersom Δ då mäter ΓΑ och ΑΒ, skall den alltså även mäta resten ΒΓ. Den mäter också ΑΒ och Δ mäter sålunda ΑΒ och ΒΓ. Sålunda är ΑΒ och ΒΓ kommensurabla,Def. 10.1.1 men de har antagits vara inkommensurabla, vilket är omöjligt. Alltså skall inte någon storhet mäta ΓΑ och ΑΒ, sålunda är ΓΑ och ΑΒ inkommensurabla.Def. 10.1.1 På liknande sätt skall vi visa, att även ΑΓ och ΓΒ är inkommensurabla. Alltså är ΑΓ inkommensurabel med var och en av ΑΒ och ΒΓ.

Men låt så ΑΓ vara inkommensurabel med en av ΑΒ och ΒΓ. Låt den först vara det med ΑΒ. Jag säger, att den även är inkommensurabel med ΑΒ och ΒΓ. Ty om den är kommensurabel, skall någon storhet mäta dem. Låt en mäta dem och låt den vara Δ. Eftersom Δ då mäter ΑΒ och ΒΓ, skall den sålunda även mäta hela ΑΓ. Den mäter också ΑΒ och Δ mäter sålunda ΓΑ och ΑΒ. Sålunda är ΓΑ och ΑΒ kommensurabla,Def. 10.1.1 men de har antagits vara inkommensurabla, vilket är omöjligt. Alltså skall inte någon storhet mäta ΑΒ och ΒΓ, sålunda är ΑΒ och ΒΓ inkommensurabla.Def. 10.1.1

Om alltså två storheter och så vidare.

Hjälpsats.

Om en parallellogram applicerats på någon rät linje med en brist av en kvadratisk figur, är den applicerade parallellogrammen lika med rektangeln av den räta linjens snitt givna av applikationen.

Παρὰ γὰρ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΔ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ΔΒ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.

Καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν· ἐπεὶ γὰρ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΒ, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ, καί ἐστι τὸ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.

Ἐὰν ἄρα παρά τινα εὐθεῖαν, καὶ τὰ ἑξῆς. ^[17]

Ty låt en parallellogram ΑΔ ha applicerats på den räta linjen ΑΒ med en brist av en kvadratisk figur ΔΒ. Jag säger, att ΑΔ är lika med rektangeln av ΑΓ och ΓΒ.

Och detta är omedelbart uppenbart, eftersom då ΔΒ är en kvadrat, är ΔΓ lika med ΓΒ och ΑΔ är rektangeln av ΑΓ och ΓΔ, det vill säga av ΑΓ och ΓΒ.

Om alltså på någon rät linje och så vidare.

ιζʹ.

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετράτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ μήκει, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτου ἑαυτῇ ~~μήκει~~. καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ~~μήκει~~, τῷ δὲ τετράρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ μήκει.

17.

Om två räta linjer är olika samt parallellogrammen applicerad på den större, med en brist av en kvadratisk figur, är lika med en fjärdedel av kvadraten på den mindre och denna delas i delar kommensurabla i längd, är den större större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje kommensurabel ~~i längd~~ med den. Och om den större är större, i kvadrat, än den mindre med kvadraten på en rät linje kommensurabel ~~i längd~~ med den samt en parallellogrammen applicerad på den större, med en brist av en kvadratisk figur, är lika med en fjärdedel av kvadraten på den mindre, delas denna i delar kommensurabla i längd.

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς Α, ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ, σύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει· λέγω, ὃτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.

Τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΒΖ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΒΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔ, ΔΓ περειχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ· καὶ τὰ τετραπλάσια· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ τετραπλασίου τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ μὲν τετραπλασίῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον, τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον· διπλασίων γάρ ἐστιν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ. τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον· διπλασίων γάρ ἐστι πάλιν ἡ ΒΓ τῆς ΓΕ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν Α, ΔΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνῳ· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς Α μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ· ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῇ ΔΖ. δεικτέον, ὅτι καὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει. ἀλλὰ ἡ ΓΔ ταῖς ΓΔ, ΒΖ ἐστι σύμμετρος μήκει· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ. καὶ ἡ ΒΓ ἄρα σύμμετρός ἐστι ταῖς ΒΖ, ΓΔ μήκει· ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει· ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.

Ἀλλὰ δὴ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετράτρῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δύναται δὲ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει· ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΓ ~~μήκει~~. ὥστε καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ σύμμετρός ἐστι μήκει· καὶ διελόντι ἄρα ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἐστι σύμμετρος μήκει.

Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, καὶ τὰ ἑξῆς.^[18]

Låt Α och ΒΓ vara två olika räta linjer, av vilka ΒΓ är den större. Och låt ett område, lika med en fjärdedel av kvadraten på den mindre Α, det vill säga kvadraten på halva Α, ha applicerats på ΒΓ, med en brist av en kvadratisk figur. Låt den vara parallellogrammen av ΒΔ och ΔΓ. Låt även ΒΔ vara kommensurabel i längd med ΔΓ. Jag säger, att ΒΓ är större i kvadrat än Α med kvadraten på en rät linje kommensurabel med ΒΓ.

Ty låt ΒΓ ha delats i hälften vid punkten ΕProp. 1.10 och ΕΖ ha dragits ut lika med ΔΕ.Prop. 1.3 Alltså är resten ΔΓ lika med ΒΖ. Och eftersom den räta linjen ΒΓ delats i lika delar vid Ε och i olika vid Δ, är alltså rektangeln omsluten av ΒΔ och ΔΓ inklusive kvadraten på ΕΔ lika med kvadraten på ΕΓ.Prop. 2.5 Även kvadruplarna, alltså är fyra gånger rektangeln av ΒΔ och ΔΓ inklusive kvadraten på ΔΕ lika med fyra gånger kvadraten på ΕΓ. Men kvadraten på Α är lika med med fyra gånger rektangeln av ΒΔ och ΔΓ samt kvadraten på ΔΖ är lika med fyra gånger den på ΔΕ, ty ΔΖ är dubbla ΔΕ. Kvadraten på ΒΓ är lika med fyra gånger kvadraten på ΕΓ, ty åter är ΒΓ dubbla ΓΕ. Alltså är kvadraterna på Α och ΔΖ lika med kvadraten på ΒΓ, så att den på ΒΓ är större än den på Α med den på ΔΖ. Alltså är ΒΓ större i kvadrat än Α med ΔΖ. Det bör visas, att ΒΓ också är kommensurabel med ΔΖ. Ty eftersom ΒΔ är kommensurabel i längd med ΔΓ, är sålunda också ΒΓ kommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.15 Men ΓΔ är kommensurabel i längd med ΓΔ och ΒΖ, ty ΓΔ är lika med ΒΖ.Prop. 10.6 Alltså är även ΒΓ kommensurabel i längd med ΒΖ och ΓΔ,Prop. 10.12 så att ΒΓ även är kommensurabel i längd med resten ΖΔ.Prop. 10.15 Alltså är ΒΓ större i kvadrat än Α med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.

Men låt ΒΓ vara större i kvadrat än Α med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den samt låt ha applicerat en parallellogram på ΒΓ, med en brist av en kvadratisk figur och lika med en fjärdedel av kvadraten på Α. Låt den vara parallellogrammen av ΒΔ och ΔΓ. Det är nödvändigt, att visa, att ΒΔ är kommensurabel med ΔΓ.

Ty efter samma uppställning, skall vi på liknande sätt visa, att ΒΓ är större i kvadrat än Α med kvadraten på ΖΔ. ΒΓ är större i kvadrat än Α med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den. Alltså är ΒΓ kommensurabel i längd med ΖΔ, så att ΒΓ också är kommensurabel i längd med resten ΒΖ och ΔΓ båda sammanslagna.Prop. 10.15 Men ΒΖ och ΔΓ båda sammanslagna är kommensurabla ~~i längd~~ med ΔΓ,Prop. 10.6 så att också ΒΓ är kommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.12 Och alltså är ΒΔ genom separation kommensurabel i längd med ΔΓ.Prop. 10.15

Om två räta linjer är olika och så vidare.

ιηʹ.

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ εἰς ἀσυμμετρα αὐτὴν διαιρῇ ~~μήκει~~, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετράρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ ~~μήκει~~.

18.

Om två räta linjer är olika samt parallellogrammen applicerad på den större, med en brist av en kvadratisk figur, är lika med en fjärdedel av kvadraten på den mindre och denna delas i delar inkommensurabla ~~i längd~~, är den större större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den. Och om den större är större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den samt en parallellogrammen applicerad på den större, med en brist av en kvadratisk figur, är lika med en fjärdedel av kvadraten på den mindre, delas denna i delar inkommensurabla ~~i längd~~.

Ἐστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ ~~μέρει~~ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ, ἀσύμμετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει· λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων τῷ πρότερον ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δεικτέον ~~οὖν~~, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ μήκει. ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει. ἀλλὰ ἡ ΔΓ σύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ. ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ ἀσύμμετρός ἔστιν ἡ ΒΓ μήκει. καὶ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ· ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.

Δυνάσθω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ἀλλὰ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει· ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ. ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ τῇ ΔΓ σύμμετρός ἐστι μήκει· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει· ὥστε καὶ διελόντι ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.

Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ τὰ ἑξῆς.

Λῆμμα.

Ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει ~~εἰσὶ σύμμετροι~~, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, ἀλλὰ δὴ δύνανται μήκει καὶ σύμμετροι εἶναι καὶ ἀσύμμετροι, φανερόν, ὅτι, ἐὰν τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ μήκει, λέγεται ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ οὐ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπεὶ αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει. ἐὰν δὲ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ μήκει καὶ δυνάμει· εἰ δὲ τῇ ἐκκειμένῃ πάλιν ῥητῇ σύμμετρός τις οὖσα δυνάμει μήκει αὐτῇ ᾖ ἀσύμμετρος, λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος.^[19]

Låt Α och ΒΓ vara två olika räta linjer, av vilka ΒΓ är den större. Och låt ett område, lika med en fjärdedel av kvadraten på den mindre Α, ha applicerats på ΒΓ, med en brist av en kvadratisk figur. Låt den vara parallellogrammen av ΒΔΓ. Låt även ΒΔ vara inkommensurabel i längd med ΔΓ. Jag säger, att ΒΓ är större i kvadrat än Α med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med ΒΓ.

Ty med samma uppställning skall vi på samma sätt först visa, att ΒΓ är större i kvadrat än Α med kvadraten på ΖΔ. Det är ~~sålunda~~ nödvändigt att visa, att ΒΓ är inkommensurabel i längd med ΔΖ. Ty eftersom ΒΔ är inkommensurabel i längd med ΔΓ, är alltså även ΒΓ inkommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.16 Men ΔΓ är kommensurabel med ΒΖ och ΔΓ båda sammantagnaProp. 10.6 och alltså är ΒΓ inkommensurabel med ΒΖ och ΔΓ båda sammantagna,Prop. 10.13 så att ΒΓ också är inkommensurabel i längd med resten ΖΔ.Prop. 10.16 Och ΒΓ är större i kvadrat än Α med kvadraten på ΖΔ, alltså är ΒΓ större i kvadrat än Α med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den.

Låt åter ΒΓ vara större i kvadrat än Α med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den. Och låt ett område, lika med en fjärdedel av kvadraten på Α, ha applicerats på ΒΓ med en brist av en kvadratisk figur. Låt den vara parallellogrammen av ΒΔ och ΔΓ. Det är nödvändigt, att visa, att ΒΔ är inkommensurabel i längd med ΔΓ.

Ty med samma uppställning skall vi på liknande sätt visa, att ΒΓ är större i kvadrat än Α med kvadraten på ΖΔ. Men ΒΓ är större i kvadrat än Α med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den. Alltså är ΒΓ inkommensurabel i längd med ΖΔ, så att ΒΓ även är inkommensurabel med resten ΒΖ och ΔΓ sammantagen.Prop. 10.16 Men ΒΖ och ΔΓ är båda sammantagna kommensurabla i längd med ΔΓ,Prop. 10.6 alltså är också ΒΓ inkommensurabel i längd med ΔΓ,Prop. 10.13 så att ΒΔ genom separation är inkommensurabel i längd med ΔΓ.Prop. 10.16

Om två räta linjer är olika och så vidare.

Hjälpsats.

Eftersom det visats,Prop. 10.9 cor. att de kommensurabla i längd i alla fall även ~~är kommensurabla~~ i kvadrat, men de i kvadrat inte i alla fall även är så i längd, utan de kan vara både kommensurabla och inkommensurabla. Det är uppenbart, att, om någon rät linje är kommensurabel i längd med den uppställda uttryckbara räta linjen, kallas den uttryckbar och kommensurabel med den inte bara i längd, utan även i kvadrat, eftersom de kommensurabla i längd i alla fall även är detta i kvadrat. Och om någon rät linje är kommensurabel i kvadrat med den uppställda uttryckbara räta linjen, om även i längd, kallas den både uttryckbar och kommensurabel med den i längd och i kvadrat, men om åter någon rät linje, som är kommensurabel i kvadrat med den uppställda uttryckbara räta linjen, är inkommensurabel i längd med den, kallas den både uttryckbar och kommensurabel endast i kvadrat.

ιθʹ.

Τὸ ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων^J J) κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων förmodas vara en interpolation, men Heiberg behåller texten. εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ῥητόν ἐστιν.

19.

Rektangeln omsluten av räta linjer uttryckbara och kommensurabla i längd, enligt något av nämnda sätt, är uttryckbar.

Ὑπὸ γὰρ ῥητῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι ῥητόν ἐστι τὸ ΑΓ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ μήκει. καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΓ.

Τὸ ἄρα ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς. ^[20]

Ty låt rektangeln ΑΓ vara omsluten av de uttryckbara räta linjerna kommensurabla i längd, ΑΒ och ΒΓ. Jag säger, att ΑΓ är uttryckbar.

Ty låt kvadraten ΑΔ ha ritats upp på ΑΒ, alltså är ΑΔ uttryckbar.Def. 10.1.4 Och eftersom ΑΒ är kommensurabel i längd med ΒΓ och ΑΒ är lika med ΒΔ, är alltså ΒΔ kommensurabel i längd med ΒΓ. Och som ΒΔ är till ΒΓ, så är ΔΑ till ΑΓ.Prop. 6.1 Alltså är ΔΑ kommensurabel med ΑΓ.Prop. 10.11 Och ΔΑ är uttryckbar, alltså är också ΑΓ uttryckbar.Def. 10.1.4

Omsluten av uttryckbara och i längd kommensurabla och så vidare.

κʹ.

Ἐὰν ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ σύμμετρον τῇ, παρ᾿ ἣν παράκειται, μήκει.

20.

Om ett uttryckbart område applicerats på en uttryckbar rät linje,^K K) Såväl område som linje fås ur en genusstudie. resulterar den i en bredd^L L) Där bredd är en rät linje. uttryckbar och kommensurabel i längd med den, som den appliceras på.

Ῥητὸν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ ῥητὴν κατά τινα πάλιν τῶν προειρημένων τρόπων τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΒΓ· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΑ μήκει.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ΑΓ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ. σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ· ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ· σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΑΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει.

Ἐὰν ἄρα ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, καὶ τὰ ἑξῆς.^[21]

Ty låt det uttryckbara området ΑΓ ha applicerats på den uttryckbara räta linjen ΑΒ, åter enligt något av nämnda sätt,^M M) Jmf not till 10.19 ovan. resulterande i bredden ΒΓ. Jag säger, att ΒΓ är uttryckbar och kommensurabel i längd med ΒΑ.

Ty låt kvadraten ΑΔ ha ritats upp på ΑΒ, alltså är ΑΔ uttryckbar.Def. 10.1.4 Även ΑΓ är uttryckbar, alltså är ΔΑ kommensurabel med ΑΓ. Och som ΔΑ är till ΑΓ, så är ΔΒ till ΒΓ.Prop. 6.1 Alltså är ΔΒ kommensurabel med ΒΓProp. 10.11 och ΔΒ är lika med ΒΑ, alltså är även ΑΒ kommensurabel med ΒΓ. ΑΒ är uttryckbar, alltså är ΒΓ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΑΒ.Def. 10.1.3

Om alltså ett uttryckbart område applicerats på en uttryckbar rät linje och så vidare.

καʹ.

Τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση.

21.

Rektangeln omsluten av räta linjer uttryckbara och kommensurabla endast i kvadrat är irrationell och möjliggöraren är irrationell. Låt den kallas medial.

Ὑπὸ γὰρ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι ἄλογόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον ὑπόκεινται σύμμετροι· ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει. καί ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΑΓ· ἀσύμμετρον ἄρα ~~ἐστὶ~~ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ· ὥστε καὶ ἡ δυναμένη τὸ ΑΓ ~~τουτέστιν ἡ ἴσον αὐτῷ τετράγωνον δυναμένη~~ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δε μέση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν.

Ty låt rektangeln vara omsluten av de räta linjerna ΑΒ och ΒΓ uttryckbara och kommensurabla endast i kvadrat. Jag säger, att ΑΓ är irrationell och möjliggöraren är irrationell. Låt den kallas medial.

Ty låt kvadraten ΑΔ ha ritats upp på ΑΒ, alltså är ΑΔ uttryckbar.Def. 10.1.4 Och eftersom ΑΒ är inkommensurabel i längd med ΒΓ, ty de har antagits att endast vara kommensurabla i kvadrat, och ΑΒ är lika med ΒΔ, är alltså ΑΒ inkommensurabel i längd med ΒΓ. Och som ΔΒ är till ΒΓ, så är ΑΔ till ΑΓ,Prop. 6.1 alltså är ΔΑ inkommensurabel med ΑΓ.Prop. 10.11 ΔΑ är uttryckbar, alltså är ΑΓ irrationell,Def. 10.1.4 så att också möjliggöraren ΑΓ ~~det vill säga möjliggöraren som i kvadrat är lika med denna~~ är irrationell.Def. 10.1.4 Låt den kallas medial. Vilket skulle visas.

Hjälpsats.

Om det finns två räta linjer, då som den första är till den andra, så är kvadraten på den första till rektangeln omsluten av de två räta linjerna.

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, ΕΗ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετράγωνον τὸ ΔΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΔ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ, καί ἐστι τὸ μὲν ΖΔ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὸ δὲ ΔΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΗ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΕ, ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τουτέστιν ὡς τὸ ΗΔ πρὸς τὸ ΖΔ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[22]

Låt ΖΕ och ΕΗ vara två räta linjer. Jag säger att som ΖΕ är till ΕΗ, så är kvadraten på ΖΕ till rektangeln omsluten av ΖΕ och ΕΗ.

Ty låt kvadraten ΔΖ ha ritats upp på ΖΕ och låt ΗΔ ha fullbordats. Eftersom då som ΖΕ är till ΕΗ, så är ΖΔ till ΔΗ,Prop. 6.1 dessutom är ΖΔ kvadraten på ΖΕ samt ΔΗ är rektangeln omsluten av ΔΕ och ΕΗ, det vill säga den omsluten av ΖΕ och ΕΗ, alltså som ΖΕ är till ΕΗ, så är kvadraten på ΖΕ till rektangeln omsluten av ΖΕ och ΕΗ. På liknande sätt som rektangeln omsluten av ΗΕ och ΕΖ är till kvadraten på ΕΖ, det vill säga som ΗΔ är till ΖΔ, så är ΗΕ till ΕΖ. Vilket skulle visas.

κβʹ.

Τὸ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρ᾿ ἣν παράκειται, μήκει.

22.

Kvadraten på en medial, som appliceras på en uttryckbar rät linje, resulterar i en bredd uttryckbar och inkommensurabel i längd med den, på vilken den appliceras.

Ἔστω μέση μὲν ἡ Α, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΒ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΔ· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει.

Ἐπεὶ γὰρ μέση ἐστὶν ἡ Α, δύναται χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων. δυνάσθω τὸ ΗΖ. δύναται δὲ καὶ τὸ ΒΔ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔ τῷ ΗΖ. ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον· τῶν δὲ ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ· ῥητὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἀσύμμετρον ἄρα ~~ἐστὶ~~ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΖ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ῥηταὶ γάρ εἰσι δυνάμει· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ σύμμετρόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ· ἴσα γάρ ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς Α· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ μήκει. ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[23]

Låt Α vara en medial, ΓΒ en uttryckbar rät linje och låt det rätvinkliga området ΒΔ, lika med kvadraten på Α, ha applicerats på ΒΓ resulterande i bredden ΓΔ. Jag säger, att ΓΔ är en uttryckbar rät linje och inkommensurabel i längd med ΓΒ.

Ty eftersom Α är en medial, möjliggör den ett område omslutet av uttryckbara räta linjer kommensurabla endast i kvadrat.Prop. 10.21 Låt den möjliggöra ΗΖ. Den möjliggör även ΒΔ, alltså är ΒΔ lika med ΗΖ och är likvinklig med den. Och lika och likvinkliga parallellogrammers sidor kring de lika vinklarna är omvänt proportionella.Prop. 6.14 Alltså proportionellt som ΒΓ är till ΕΗ, så är ΕΖ till ΓΔ. Alltså som kvadraten på ΒΓ är till den på ΕΗ, så är kvadraten på ΕΖ till den på ΓΔ.Prop. 6.22 Kvadraten på ΓΒ är kommensurabel med den på ΕΗ, ty var och en av dem är uttryckbar. Alltså är också kvadraten på ΕΖ kommensurabel med den på ΓΔ.Prop. 10.11 Kvadraten på ΕΖ är uttryckbar, alltså är också kvadraten på ΓΔ uttryckbarDef. 10.1.4 och alltså är ΓΔ uttryckbar. Och eftersom ΕΖ är inkommensurabel i längd med ΕΗ, ty de är endast kommensurabla i kvadrat, som ΕΖ är till ΕΗ, så är kvadraten på ΕΖ till rektangeln omsluten av ΖΕ och ΕΗ.Prop. 10.21 Alltså är kvadraten på ΕΖ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΖΕ och ΕΗ.Prop. 10.11 Men kvadraten på ΕΖ är kommensurabel med den på ΓΔ, ty de är uttryckbara i kvadrat,^N N) Enda förekomsten av uttryckbar i kvadrat i Elementa. Se Les éléments. Volume III, tr. Vitrac, s. 155. och rektangeln omsluten av ΖΕ och ΕΗ är kommensurabel med rektangeln omsluten av ΔΓ och ΓΒ, ty de är lika med kvadraten på Α, alltså är kvadraten på ΓΔ också inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΔΓ och ΓΒ.Prop. 10.13 Som kvadraten på ΓΔ är till rektangeln omsluten av ΔΓ och ΓΒ, så är ΔΓ till ΓΒ,Prop. 10.21 lem. alltså är ΔΓ inkommensurabel i längd med ΓΒ.Prop. 10.11 Alltså är ΓΔ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΓΒ. Vilket skulle visas.

κγʹ.

Ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος μέση ἐστίν.

23.

En rät linje kommensurabel med en medial är en medial.

Ἔστω μέση ἡ Α, καὶ τῇ Α σύμμετρος ἔστω ἡ Β· λέγω, ὅτι καὶ ἡ Β μέση ἐστίν.

Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῂ ΓΔ μήκει. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Β. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ μήκει. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει· αἱ ΓΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἡ δὲ τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων δυναμένη μέση ἐστίν. ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ δυναμένη μέση ἐστίν· καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΔΖ ἡ Β· μέση ἄρα ἐστὶν ἡ Β.

Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τὸ τῷ μέσῳ χωρίῳ σύμμετρον μέσον ἐστίν ~~δύνανται γὰρ αὐτὰ εὐθεῖαι, αἵ εἰσι δυνάμει σύμμετροι, ὧν ἡ ἑτέρα μέση· ὥστε καὶ ἡ λοιπὴ μέση ἐστίν~~.

Ὡσαύτως δὲ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν εἰρημένοις καὶ ἐπὶ τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ, τὴν τῇ μέσῃ μήκει σύμμετρον λέγεσθαι μέσην καὶ σύμμετρον αὐτῇ μὴ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ καθόλου αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει. ἐὰν δὲ τῇ μέσῃ σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγονται καὶ οὕτως μέσαι καὶ σύμμετροι μήκει καὶ δυνάμει, εἰ δὲ δυνάμει μόνον, λέγονται μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι.^[24]

Låt Α vara en medial och låt Β vara kommensurabel med Α. Jag säger, att även Β är en medial.

Låt den uttryckbara ΓΔ ha satts ut och låt det rätvinkliga området ΓΕ, lika med kvadraten på Α, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΕΔ. Alltså är ΕΔ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.22 Låt även det rätvinkliga området ΓΖ, lika med kvadraten på Β, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΔΖ. Eftersom Α då är kommensurabel med Β, är också kvadraten på Α kommensurabel med kvadraten på Β. Men kvadraten på Α är lika med ΕΓ och den på Β är lika med ΓΖ, alltså är ΕΓ kommensurabelt med ΓΖ. Och som ΕΓ är till ΓΖ, så är ΕΔ till ΔΖ,Prop. 6.1 alltså är ΕΔ kommensurabel i längd med ΔΖ.Prop. 10.11 ΕΔ är uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΓ, alltså är ΔΖ uttryckbarDef. 10.1.3 och inkommensurabel i längd med ΔΓ.Prop. 10.13 Alltså är ΓΔ och ΔΖ uttryckbara och endast kommensurabla i kvadrat. Möjliggöraren till rektangeln omsluten av räta linjer uttryckbara och kommensurabla endast i kvadrat är en medial.Prop. 10.21 Alltså är möjliggöraren till rektangeln omsluten av ΓΔ och ΔΖ en medial samt Β är i kvadrat lika med rektangeln omsluten av ΓΔ och ΔΖ. Alltså är Β en medial.

Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att ett område kommensurabelt med ett område av en medial är en medial. ~~Ty räta linjer, som är kommensurabla i kvadrat, möjliggör dessa, av vilka den ena är en medial. Därför är även den andra en medial.~~

På samma sätt som det är med dem omtalade apropå uttryckbara räta linjer, skall det även följa apropå medialer. En rät linje kommensurabel i längd med en medial, kallas medial och är kommensurabel med den inte bara i längd, utan även i kvadrat, eftersom, generellt, Räta linjer som är kommensurabla i längd är i alla fall även detta i kvadrat. Och om någon rät linje är kommensurabel i kvadrat med en medial och om dessutom också i längd, kallas de på detta sätt medialer kommensurabla i längd och i kvadrat, eller om endast i kvadrat, kallas de medialer kommensurabla endast i kvadrat.

κδʹ.

Τὸ ὑπὸ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον μέσον ἐστίν.

24.

Rektangeln omsluten av mediala räta linjer kommensurabla i längd är medial.

Ὑπὸ γὰρ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχέσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ μέσον ἐστίν.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει· ὥστε καὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ σύμμετρόν ἐστιν. μέσον δὲ τὸ ΔΑ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[25]

Ty låt rektangeln ΑΓ omslutas av de mediala räta linjerna ΑΒ och ΒΓ, kommensurabla i längd. Jag säger, att ΑΓ är medial.

Ty låt kvadraten ΑΔ ha ritats upp på ΑΒ, alltså är ΑΔ medial. Och eftersom ΑΒ är kommensurabel i längd med ΒΓ, är ΑΒ lika med ΒΔ, alltså är också ΔΒ kommensurabel i längd med ΒΓ, så att även ΔΑ är kommensurabel med ΑΓ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 ΔΑ är medial, alltså är också ΑΓ medial.Prop. 10.23 cor. Vilket skulle visas.

κεʹ.

Τὸ ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.

25.

Rektangeln omsluten av mediala räta linjer kommensurabla endast i kvadrat är antingen uttryckbar eller medial.

Ὑπὸ γὰρ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τὰ ΑΔ, ΒΕ· μέσον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΑΔ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΘΜ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΜΚ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ, καὶ ἔτι τῷ ΒΕ ἴσον ὁμοίως παρὰ τὴν ΚΝ παραβεβλήσθω τὸ ΝΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΕ τῷ ΝΛ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΗΘ, ΝΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΚΛ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΔ τῷ ΒΕ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ ΝΛ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΚΛ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ μήκει. αἱ ΖΘ, ΚΛ ἄρα ῥηταί εἰσι μήκει σύμμετροι· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΞΒ τῇ ΒΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ· ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ. ἴσον δέ ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΜΚ, τὸ δὲ ΓΞ τῷ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΜΚ, οὕτως τὸ ΜΚ πρὸς τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΛ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΚ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΘΝ· εἰ δὲ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, αἱ ΚΘ, ΘΜ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα τὸ ΘΝ. τὸ ΘΝ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν. ἴσον δὲ τὸ ΘΝ τῷ ΑΓ· τὸ ΑΓ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.

Τὸ ἄρα ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων, καὶ τὰ εξῆς.^[26]

Ty låt rektangeln ΑΓ omslutas av de mediala räta linjerna ΑΒ och ΒΓ, kommensurabla endast i kvadrat. Jag säger, att ΑΓ antingen är uttryckbar eller medial.

Ty låt kvadraterna ΑΔ och ΒΕ ha ritats upp på ΑΒ och ΒΓ, alltså är var och en av ΑΔ och ΒΕ medial. Låt den uttryckbara räta linjen ΖΗ ha satts ut, låt den rätvinkliga parallellogrammen ΗΘ, lika med ΑΔ, ha applicerats på ΖΗ resulterande i bredden ΖΘ, låt den rätvinkliga parallellogrammen ΜΚ, lika med ΑΓ, ha applicerats på ΘΜ resulterande i bredden ΘΚ och låt dessutom på liknande sätt den rätvinkliga parallellogrammen ΝΛ, lika med ΒΕ, ha applicerats på ΚΝ resulterande i bredden ΚΛ, alltså är ΖΘ, ΘΚ och ΚΛ i rät linje.Prop. 1.14 Eftersom då var och en av ΑΔ och ΒΕ är medial samt ΑΔ är lika med ΗΘ och ΒΕ med ΝΛ, är alltså var och en av ΗΘ och ΝΛ även medial. Och de ligger längs den uttryckbara ΖΗ, alltså är var och en av ΖΘ och ΚΛ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΖΗ.Prop. 10.22 Och eftersom ΑΔ är kommensurabel med ΒΕ, är alltså också ΗΘ kommensurabel med ΝΛ och som ΗΘ är till ΝΛ, så är ΖΘ till ΚΛ.Prop. 6.1 Alltså är ΖΘ kommensurabel i längd med ΚΛ.Prop. 10.11 Alltså är ΖΘ och ΚΛ uttryckbara räta linjer kommensurabla i längd, alltså är rektangeln omsluten av ΖΘ och ΚΛ uttryckbar.Prop. 10.19 Och eftersom ΔΒ är lika med ΒΑ och ΞΒ med ΒΓ, alltså som ΔΒ är till ΒΓ, så är ΑΒ till ΒΞ. Men som ΔΒ är till ΒΓ, så är ΔΑ till ΑΓProp. 6.1 och som ΑΒ är till ΒΞ, så är ΑΓ till ΓΞ,Prop. 6.1 alltså som ΔΑ är till ΑΓ, så är ΑΓ till ΓΞ. ΑΔ är lika med ΗΘ, ΑΓ med ΜΚ och ΓΞ med ΝΛ, alltså som ΗΘ är till ΜΚ, så är ΜΚ till ΝΛ och alltså som ΖΘ är till ΘΚ, så är ΘΚ till ΚΛ,Prop. 6.1 Prop. 5.11 alltså är rektangeln omsluten av ΖΘ och ΚΛ lika med kvadraten på ΘΚ.Prop. 6.17 Och rektangeln omsluten av ΖΘ och ΚΛ är uttryckbar, alltså är kvadraten på ΘΚ uttryckbar och alltså är ΘΚ uttryckbar. Och om den är kommensurabel i längd med ΖΗ, är ΘΝ uttryckbar.Prop. 10.19 Och om den är inkommensurabel i längd med ΖΗ, är ΚΘ och ΘΜ uttryckbara räta linjer kommensurabla endast i kvadrat. Alltså är ΘΝ medial.Prop. 10.21 Alltså är ΘΝ antingen uttryckbar eller medial. Och ΘΝ är lika med ΑΓ, alltså är ΑΓ antingen uttryckbar eller medial.

Alltså är rektangeln omsluten av mediala räta linjer kommensurabla endast i kvadrat och så vidare. eller medial.

κϛʹ.

Μέσον μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.

26.

Ett medialt område överstiger inte ett medialt område med ett uttryckbart område.

Εἰ γὰρ δυνατόν, μέσον τὸ ΑΒ μέσου τοῦ ΑΓ ὑπερεχέτω ῥητῷ τῷ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΖΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΖΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΔ λοιπῷ τῷ ΚΘ ἐστιν ἴσον. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ΔΒ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΑΓ, καί ἐστι τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΖΘ ἴσον, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΖΗ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΖΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΚΘ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. ἀλλά καὶ ἡ ΕΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τετράγωνα· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· διπλάσιον γάρ ἐστιν αὐτοῦ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· καὶ συναμφότερα ἄρα τά τε ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, ἀσύμμετρόν ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ. ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. ἀλλὰ καὶ ῥηρή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

Μέσον ἄρα μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[27]

Ty, om möjligt, låt det mediala området ΑΒ överstiga det mediala området ΑΓ med det uttryckbara området ΔΒ. Låt den uttryckbara räta linjen ΕΖ ha satts ut. Låt den rätvinkliga parallellogrammen ΖΘ, lika med ΑΒ, ha applicerats på ΕΖ resulterande i bredden ΕΘ. Låt ΖΗ, lika med ΑΓ, ha dragits bort från ΖΘ. Alltså är resten ΒΔ lika med ΚΘ. ΔΒ är uttryckbar, alltså är även ΚΘ uttryckbar. Eftersom då vart och ett av ΑΒ och ΑΓ är medialt samt ΑΒ är lika med ΖΘ och ΑΓ med ΖΗ, är alltså även vart och ett av ΖΘ och ΖΗ medialt. Och de ligger längs den uttryckbara ΕΖ, alltså är var och en av ΘΕ och ΕΗ uttryckbar och inkommensurabla i längd med ΕΖ.Prop. 10.22 Och eftersom ΔΒ uttryckbart och är lika med ΚΘ, är alltså även ΚΘ uttryckbar och ligger längs den uttryckbara ΕΖ, alltså är ΗΘ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.20 Men ΕΗ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ, alltså är ΕΗ inkommensurabel i längd med ΗΘ.Prop. 10.13 Och som ΕΗ är till ΗΘ, så är kvadraten på ΕΗ till rektangeln omsluten av ΕΗ och ΗΘ,Prop. 10.13 lem. alltså är den på ΕΗ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΕΗ och ΗΘ.Prop. 10.11 Men kvadraten på ΕΗ är kommensurabel med kvadraterna på ΕΗ och ΗΘ, ty de är båda uttryckbara. Dubbla rektangeln omsluten av ΕΗ och ΗΘ är kommensurabel med rektangeln omsluten av ΕΗ och ΗΘ,Prop. 10.6 ty den är dess tvåfald. Alltså är kvadraterna på ΕΗ och ΗΘ inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΕΗ och ΗΘProp. 10.13 Alltså är kvadraterna på ΕΗ och ΗΘ tillsammans med dubbla rektangeln omsluten av ΕΗ och ΗΘ, vilket är kvadraten på ΕΘ,Prop. 2.4 inkommensurabel med kvadraterna på ΕΗ och ΗΘ.Prop. 10.16 Men kvadraterna på ΕΗ och ΗΘ är uttryckbara, alltså är kvadraten på ΕΘ irrationell.Def. 10.1.4 Alltså är ΕΘ irrationell.Def. 10.1.4 Men också uttryckbar, vilket är omöjligt.

Alltså överstiger inte ett medialt område ett medialt område med ett uttryckbart område. Vilket skulle visas.

κζʹ.

Μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας.

27.

Att finna mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, vilka omsluter ett uttryckbart område.

Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Γ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ.

Καὶ ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Γ, μέσον ἐστίν. μέση ἄρα ἡ Γ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ~~οὕτως~~ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, αἱ δὲ Α, Β δυνάμει μόνον ~~εἰσὶ~~ σύμμετροι, καὶ αἱ Γ, Δ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. καί ἐστι μέση ἡ Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. αἱ Γ, Δ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. λέγω, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Β πρὸς τὴν Δ. ἀλλ᾿ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς τὴν Β· καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β· ῥητὸν ἄρα ~~ἐστὶ~~ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ.

Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[28]

Låt två tal ha satts ut, Β och Γ, uttryckbara och endast kommensurabla i kvadrat, låt ha tagit Α och Β:s mellersta proportional,Prop. 6.13 Γ, och låt Α ha blivit till Β, som Γ blivit till Δ.Prop. 6.12

Och eftersom Α och Β är uttryckbara och endast kommensurabla i kvadrat, är alltså rektangeln omsluten av Α och Β, det vill säga kvadraten på Γ,Prop. 6.17 medial.Prop. 10.21 Alltså är Γ medial.Prop. 10.21 Och då som Α är till Β, så är Γ till Δ, är Α och Β endast kommensurabla i kvadrat och alltså är Γ och Δ endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.11 Och Γ är medial, alltså är även Δ medial.Prop. 10.23 Alltså är Γ och Δ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Jag säger, att de även omsluter ett uttryckbart område. Ty då som Α är till Β, så är Γ till Δ, alltså, alternerat, som Α är till Γ, så är Β till Δ.Prop. 5.16 Men som Α är till Γ, så är Γ till Β och alltså som Γ är till Β, så är Β till Δ.Prop. 5.11 Alltså rektangeln omsluten av Γ och Δ är lika med kvadraten på Β.Prop. 6.17 kvadraten på Β är uttryckbar, alltså är även rektangeln omsluten av Γ och Δ uttryckbar.

Alltså har mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, vilka omsluter ett uttryckbart område, funnits. Vilket skulle visas.

κηʹ.

Μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον πειριεχούσας.

28.

Att finna mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, vilka omsluter ett medialt område.

Ἐκκείσθωσαν ~~τρεῖς~~ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, Γ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε.

Ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Δ, μέσον ἐστὶν. μέση ἄρα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ αἱ Β, Γ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καί ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, καὶ αἱ Δ, Ε ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. μέση δὲ ἡ Δ· μέση ἄρα καὶ ἡ Ε· αἱ Δ, Ε ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε. ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Δ πρὸς τὴν Α· καὶ ὡς ἅρα ἡ Δ πρὸς τὴν Α, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.

Ἐὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Εὑρειν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε καὶ τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν εἶναι τετράγωνον.

Låt de ~~tre~~ uttryckbara räta linjerna Α, Β och Γ, endast kommensurabla i kvadrat, ha satts ut. Låt ha tagit Α och Β:s mellersta proportional, Δ,Prop. 6.13 och låt Α ha blivit till Β, som Δ blivit till Ε.Prop. 6.12

Eftersom de uttryckbara räta linjerna Α och Β endast är kommensurabla i kvadrat, är alltså rektangeln omsluten av Α och Β, det vill säga kvadraten på Δ,Prop. 6.17 medial.Prop. 10.21 Alltså är Δ medial. Och eftersom Α och Β endast är kommensurabla i kvadrat samt som Β är till Γ, så är Δ till Ε och alltså är Δ och Ε endast är kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.11 Δ är medial, alltså är även Ε medial.Prop. 10.23 Alltså är Δ och Ε endast kommensurabla i kvadrat. Jag säger så, att de omsluter ett medialt område. Ty så som Β är till Γ, så är Δ till Ε, alltså, alternerat, som Β är till Δ, så är Γ till Ε.Prop. 5.16 Och som Β är till Δ, så är Δ till Α och alltså som Δ är till Α, så är Γ till Ε. Alltså är rektangeln omsluten av Α och Γ lika med rektangeln omsluten av Δ och Ε.Prop. 6.16 Rektangeln omsluten av Α och Γ är medial,Prop. 10.21 alltså är även rektangeln omsluten av Δ och Ε medial.

Alltså har mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, vilka omsluter ett medialt område, funnits. Vilket skulle visas.

Hjälpsats I.

Att finna två kvadratiska tal, så att även det komponerat av dem är kvadratiskt.

Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔστωσαν δὲ ἤτοι ἄρτιοι ἢ περιττοί. καὶ ἐπεὶ, ἐάν τε ἀπὸ ἀρτίου ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ἐάν τε ἀπὸ περισσοῦ περισσός, ὁ λοιπὸς ἄρτιός ἐστιν, ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ ἄρτιός ἐστιν. τετμήσθω ὁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ. ἔστωσαν δὲ καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ ἤτοι ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἢ τετράγωνοι, οἳ καὶ αὐτοὶ ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετραγώνῳ. καί ἐστι τετράγωνος ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπειδήπερ ἐδείχθη, ὅτι, ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσι τινα, ὁ γενόμενος τετράγωνός ἐστιν. εὕρηνται ἄρα δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ ὅ τε ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, οἳ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετράγωνον.

Καὶ φανερόν, ὅτι εὕρηνται πάλιν δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ εἶναι τετράγωνον, ὅταν οἱ ΑΒ, ΒΓ ὅμοιοι ὦσιν ἐπίπεδοι. ὅταν δὲ μὴ ὦσιν ὅμοιοι ἐπίπεδοι, εὕρηνται δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΓ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγωνος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν συγκείμενον μὴ εἶναι τετράγωνον.

Låt de två talen ΑΒ och ΒΓ ha satts ut samt låt dem båda vara antingen jämna eller udda. Och eftersom resten är jämn, både om ett jämnt tal tagits bort från ett jämnt tal och om ett udda tal tagits bort från ett udda tal.Prop. 9.24 Prop. 9.26 Alltså är resten ΑΓ jämn. Låt ΑΓ ha delats i hälften vid Δ. Låt också ΑΒ och ΒΓ vara antingen likformiga plana eller kvadratiska tal, vilka själva också är likformiga plana tal. Alltså produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΔ är lika med kvadraten på ΒΔ.Prop. 2.6 Och produkten av ΑΒ och ΒΓ är en kvadrat, eftersom det visats att om två likformiga plana tal multiplicerade med varandra resulterar i något, är produkten en kvadrat.Prop. 9.1 Alltså har två kvadratiska tal funnits, produkten av ΑΒ och ΒΓ samt kvadraten på ΓΔ, vilka komponerade resulterar i kvadraten på ΒΔ.

Och det är uppenbart, att åter två kvadratiska tal funnits, kvadraten på ΒΔ och kvadraten på ΓΔ, så att deras skillnad, produkten av ΑΒ och ΒΓ, är en kvadrat, då ΑΒ och ΒΓ är likformiga plana tal. Men då de inte är likformiga plana tal, har två kvadratiska tal funnits, kvadraten på ΒΔ och kvadraten på ΓΔ, vars skillnad, produkten av ΑΒ och ΒΓ, inte är en kvadrat. Vilket skulle visas.

Hjälpsats II.

Att finna två kvadratiska tal, så att även det komponerat av dem inte är kvadratiskt.

Ἔστω γὰρ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὡς ἔφαμεν, τετράγωνος, καὶ ἄρτιος ὁ ΓΑ, καὶ τετμήσθω ὁ ΓΑ δίχα τῷ Δ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΒΔ τετραγώνῳ. ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΔΕ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΓΕ ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΒΔ τετραγώνου. λέγω οὖν, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΓΕ οὐκ ἔσται τετράγωνος.

Εἰ γὰρ ἔσται τετράγωνος, ἤτοι ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΒΕ ἢ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΒΕ, οὐκέτι δὲ καὶ μείζων, ἵνα μὴ τμηθῇ ἡ μονάς. ἔστω, εἰ δυνατόν, πρότερον ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΕ, καὶ ἔστω τῆς ΔΕ μονάδος διπλασίων ὁ ΗΑ. ἐπεὶ οὖν ὅλος ὁ ΑΓ ὅλου τοῦ ΓΔ ἐστι διπλασίων, ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ ἐστι διπλασίων, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ ἐστι διπλασίων· δίχα ἄρα τέτμηται ὁ ΗΓ τῷ Ε. ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ. ἀλλὰ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ὑπόκειται τῷ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΒΕ τετραγώνῳ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ συνάγεται ὁ ΑΒ ἴσος τῷ ΗΒ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ~~τοῦ~~ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τῷ ἀπὸ ΒΖ ἴσος, καὶ τοῦ ΔΖ διπλασίων ὁ ΘΑ. καὶ συναχθήσεται πάλιν διπλασίων ὁ ΘΓ τοῦ ΓΖ· ὥστε καὶ τὸν ΓΘ δίχα τετμῆσθαι κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦτο τὸν ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἴσον γίνεσθαι τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΖ. ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσος ἔσται τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐλάσσονι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ~~αὐτῷ~~ τῷ ἀπὸ ΒΕ. οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνός ἐστιν δυνατοῦ δὲ ὄντος καὶ κατὰ πλείονας τρόπους τοὺς εἰρημένους ἀριθμοὺς ἐπιδεικνύειν, ἀρκείσθωσαν ἡμῖν οἱ εἰρημένοι, ἵνα μὴ μακροτέρας οὔσης τῆς πραγματείας ἐπὶ πλέον αὐτὴν μηκύνωμεν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[29]

Ty låt produkten av ΑΒ och ΒΓ, som sagt, vara kvadratisk och ΓΑ vara jämn. Låt även ΓΑ ha delats i hälften vid Δ. Det är uppenbart, att den kvadratiska produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΔ är lika med kvadraten på ΒΔ. Låt enheten ΔΕ ha dragits bort från ΒΔ, alltså är produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ mindre än kvadraten på ΒΔ. Jag säger alltså, att den kvadratiska produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ inte skall vara kvadratisk.

Ty om det skall vara kvadratiskt, är det antingen lika med kvadraten på ΒΕ eller mindre än kvadraten på ΒΕ, men inte vidare större, för att inte dela enheten. Låt det, om möjligt, först produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ vara lika med kvadraten på ΒΕ och låt ΗΑ vara dubbla enheten ΔΕ. Eftersom då hela ΑΓ är dubbla hela ΓΔ, av vilken ΑΗ är dubbla ΔΕ, alltså är också resten ΗΓ dubbla resten ΕΓ, alltså delas ΗΓ i hälften vid Ε. Alltså är produkten av ΗΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ lika med kvadraten på ΒΕ.Prop. 2.6 Men även produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ har antagits vara lika med kvadraten på ΒΕ, alltså är produkten av ΗΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ lika med produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ. Och sedan kvadraten på ΓΕ har tagits bort från båda, följer, att ΑΒ är lika med ΗΒ, vilket är orimligt. Alltså är produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ inte lika med kvadraten på ΒΕ. Jag säger så, att den heller inte är mindre än kvadraten på ΒΕ. Ty om möjligt, låt den vara lika med kvadraten på ΒΖ och låt ΘΑ vara dubbla ΔΖ samt åter följer det, att ΘΓ är dubbla ΓΖ, så att även ΓΘ har delats i hälften vid Ζ och därför blir produkten av ΘΒ och ΒΓ med kvadraten på ΖΓ lika med kvadraten på ΒΖ.Prop. 2.6 Produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ har antagits vara lika med kvadraten på ΒΖ, så att även produkten av ΘΒ och ΒΓ med kvadraten på ΖΓ skall vara lika med produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ, vilket är orimligt. Alltså är produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ inte lika med ~~det~~ mindre än kvadraten på ΒΕ. Det har även visats, att den är heller inte lika med ~~själva~~ kvadraten på ΒΕ. Alltså är produkten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΕ inte en kvadrat ~~möjligheten finns, att även på fler sätt visa detta, så många som nämnts är nog för oss, för att vi inte drar ut för långt på detta långa arbete~~. Vilket skulle visas.

κθʹ.

Εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.

29.

Att finna två uttryckbara räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, så att den större är större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den.

Ἐκκείσθω γάρ τις ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΔ, ΔΕ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ΓΕ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ.

Ἐπεὶ ~~οὖν~~ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, οὕτως ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὅν ἀριθμὸς ὁ ΔΓ πρὸς ἀριθμὸν τὸν ΓΕ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΖ μήκει· αἱ ΒΑ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ἐπεί ~~ἐστιν~~ ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει. καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῇ ΒΖ συμμέτρῳ ἑαυτῇ.

Εὕρηνται ἄρα δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΒΑ, ΑΖ, ὥστε τὴν μεῖζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΑΖ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[30]

Ty låt någon uttryckbar rät linje ΑΒ ha satts ut och två kvadratiska tal ΓΔ och ΔΕ, så att deras skillnad ΓΕ inte är en kvadrat.Prop. 10.28 lem. 1 Låt även ha ritat halvcirkeln ΑΖΒ på ΑΒ och låt ha gjort ΔΓ till ΓΕ, som kvadraten på ΒΑ till kvadraten på ΑΖProp. 10.6 cor. samt låt ha förbundit ΖΒ.

Eftersom då kvadraten på ΒΑ är till den på ΑΖ, som ΔΓ är till ΓΕ och alltså har kvadraten på ΒΑ ett förhållande till den på ΑΖ, som talet ΔΓ till talet ΓΕ. Alltså är kvadraten på ΒΑ kommensurabel med den på ΑΖ.Prop. 10.6 ΑΒ är uttryckbar,Def. 10.1.4 alltså är även kvadraten på ΑΖ uttryckbar och alltså är även ΑΖ uttryckbar. Och eftersom ΔΓ inte har ett förhållande till ΓΕ, som ett kvadratiskt tal till kvadratiskt tal, har alltså inte heller kvadraten på ΒΑ ett förhållande till den på ΑΖ, som ett kvadratiskt tal till kvadratiskt tal. Alltså är ΑΒ inkommensurabel i längd med ΑΖProp. 10.9 och alltså är de uttryckbara räta linjerna ΒΑ och ΑΖ endast kommensurabla i kvadrat. Och som då ΔΓ är till ΓΕ, så är kvadraten på ΒΑ till den på ΑΖ, alltså, genom omvändning, som ΓΔ är till ΔΕ, så är kvadraten på ΑΒ till den på ΒΖ.Prop. 5.19 cor. Prop. 3.31 Prop. 1.47 Och ΓΔ har ett förhållande till ΔΕ, som ett kvadratiskt tal till kvadratiskt tal, och kvadraten på ΑΒ ett förhållande till den på ΒΖ, som ett kvadratiskt tal till kvadratiskt tal. Alltså är ΑΒ kommensurabel i längd med ΒΖ.Prop. 10.9 Och kvadraten på ΑΒ är lika med dem på ΑΖ och ΖΒ,Prop. 1.47 alltså är ΑΒ större i kvadrat än ΑΖ med ΒΖ kommensurabel i längd med den.

Alltså har två uttryckbara räta linjer, ΒΑ och ΑΖ, endast kommensurabla i kvadrat, funnits, så att den större, ΑΒ, är större i kvadrat än den mindre, ΑΖ, med kvadraten på ΒΖ kommensurabel i längd med den. Vilket skulle visas.

λʹ.

Εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.

30.

Att finna två uttryckbara räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, så att den större är större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den.

Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΕ, ΕΔ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΓΔ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν τῷ πρὸ τούτου, ὅτι αἱ ΒΑ, ΑΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.

Αἱ ΑΒ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[31]

Ty låt någon uttryckbar rät linje ΑΒ ha satts ut och två kvadratiska tal ΓΕ och ΕΔ, så att ΓΔ, komponerat av dem, inte är en kvadrat.Prop. 10.28 lem. 2 Låt även ha ritat halvcirkeln ΑΖΒ på ΑΒ och låt ha gjort ΔΓ till ΓΕ, som kvadraten på ΒΑ till kvadraten på ΑΖProp. 10.6 cor. samt låt ha förbundit ΖΒ.

Vi skall visa på liknande sätt som i den föregående, att ΒΑ och ΑΖ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Och då som ΔΓ är till ΓΕ, så är kvadraten på ΒΑ till den på ΑΖ, alltså, genom omvändning, som ΓΔ är till ΔΕ, så är kvadraten på ΑΒ till den på ΒΖ.Prop. 5.19 cor. Prop. 3.31 Prop. 1.47 Och ΓΔ har inte ett förhållande till ΔΕ, som ett kvadratiskt tal till kvadratiskt tal, alltså har heller inte kvadraten på ΑΒ ett förhållande till den på ΒΖ, som ett kvadratiskt tal till kvadratiskt tal. Alltså är ΑΒ inkommensurabel i längd med ΒΖ.Prop. 10.9 Och ΑΒ är större i kvadrat än ΑΖ med kvadraten på ΖΒProp. 1.47 inkommensurabel med den.

Alltså är ΑΒ och ΑΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och ΑΒ är större i kvadrat än ΑΖ med kvadraten på ΖΒ, inkommensurabel i längd med den. Vilket skulle visas.

λαʹ.

Εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.

31.

Att finna två mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, vilka omsluter ett uttryckbart område, så att den större är större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.

Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, ὥστε τὴν Α μείζονα οὖσαν τῆς ἐλάσσονος τῆς Β μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β· μέσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Γ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ· ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Β δυνάμει μόνον· σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ Δ δυνάμει μόνον. καί ἐστι μέση ἡ Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἡ δὲ Α τῆς Β μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Γ ἄρα τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.

Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Γ, Δ ῥητὸν περιέχουσαι, καὶ ἡ Γ τῆς Δ μεῖζον δυνάται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.

Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Β μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.^[32]

Ty låt två uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat sättas ut, Α och Β, så att Α, som är större, är större i kvadrat än den mindre Β med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den.Prop. 10.29 Låt kvadraten på Γ vara lika med rektangeln omsluten av Α och Β. Rektangeln omsluten av Α och Β är medial,Prop. 10.21 alltså är kvadraten på Γ medial och alltså är Γ medial.Prop. 10.21 Låt rektangeln omsluten av Γ och Δ vara lika med kvadraten på Β, kvadraten på Β är uttryckbar och alltså är rektangeln omsluten av Γ och Δ uttryckbar. Och då som Α är till Β, så är rektangeln omsluten av Α och Β till kvadraten på Β,Prop. 10.21 lem. men kvadraten på Γ är lika med rektangeln omsluten av Α och Β samt rektangeln omsluten av Γ och Δ är lika med kvadraten på Β, alltså som Α är till Β, så är kvadraten på Γ till rektangeln omsluten av Γ och Δ. Som kvadraten på Γ är till rektangeln omsluten av Γ och Δ, så är Γ till ΔProp. 10.21 lem. och alltså som Α är till Β, så är Γ till Δ. Α är endast kommensurabel i kvadrat med Β, alltså är Γ endast kommensurabel i kvadrat med Δ.Prop. 10.11 Och Γ är medial, alltså är även Δ medial.Prop. 10.23 Och då som Α är till Β, så är Γ till Δ och Α är större i kvadrat än Β med kvadraten på rät linje kommensurabel med den, är alltså även Γ större i kvadrat än Δ med kvadraten på rät linje kommensurabel i längd med den.

Alltså har två mediala räta linjer Γ och Δ funnits, endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett uttryckbart område, och Γ är större i kvadrat än Δ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den.

På liknande sätt skall detta också visas för kvadraten till en inkommensurabel rät linje, när Α är större i kvadrat än Β med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den.Prop. 10.30

λβʹ.

Εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.

32.

Att finna två mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, vilka omsluter ett medialt område, så att den större är större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.

Ἐκκείσθωσαν τρεῖς ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, Γ, ὥστε τὴν Α τῆς Γ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τὴς Δ. μέσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Δ· καὶ ἡ Δ ἄρα μέση ἐστίν. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε. σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Γ δυνάμει ~~μόνον~~. σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Δ τῇ Ε δυνάμει μόνον. μέση δὲ ἡ Δ· μέση ἄρα καὶ ἡ Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἡ δὲ Α τῆς Γ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Δ ἄρα τῆς Ε μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ ~~αἱ γὰρ Β, Γ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι~~, μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.

Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Δ, Ε μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.

Ὁμοίως δὴ πάλιν διεχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Γ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῃ.

Λῆμμα.

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν Α, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ~~ἐστὶ~~ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ.

Ty lått Α, Β och Γ, tre uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat sättas ut, så att Α är större i kvadrat än Γ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med denProp. 10.29 och låt kvadraten på Δ vara lika med rektangeln omsluten av Α och Β. Alltså är kvadraten på Δ medial och alltså är Δ medial.Prop. 10.21 Låt rektangeln omsluten av Δ och Ε vara lika med rektangeln omsluten av Β och Γ. Och då som rektangeln omsluten av Α och Β är till den omsluten av Β och Γ, så är Α till Γ,Prop. 10.21 lem. men kvadraten på Δ är lika med rektangeln omsluten av Α och Β och rektangeln omsluten av Δ och Ε är lika med rektangeln omsluten av Β och Γ, alltså som Α är till Γ, så är kvadraten på Δ till rektangeln omsluten av Δ och Ε. Och som kvadraten på Δ är till rektangeln omsluten av Δ och Ε, så är Δ till Ε och alltså som Α är till Γ, så är Δ till Ε.Prop. 10.21 lem. Och Α är ~~endast~~ kommensurabel i kvadrat med Γ, alltså är också Δ endast kommensurabel i kvadrat med Ε.Prop. 10.11 Och Δ är medial, alltså är även Ε medial.Prop. 10.23 Och då som Α är till Γ, så är Δ till Ε samt Α är större i kvadrat än Γ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den, alltså är även Δ större i kvadrat än Ε med kvadraten på en rät linje.Prop. 10.14 Jag säger så, att rektangeln omsluten av Δ och Ε är medial. Ty eftersom rektangeln omsluten av Β och Γ är lika med den omsluten av Δ och Ε samt rektangeln omsluten av Β och Γ är medial ~~ty Β och Γ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat~~,Prop. 10.21 alltså är även rektangeln omsluten av Δ och Ε medial.

Alltså har de två mediala räta linjerna Δ och Ε funnits, endast kommensurabla i kvadrat, vilka omsluter ett medialt område, så att den större är större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.

På liknande sätt skall åter detta också visas för kvadraten till en inkommensurabel rät linje, när Α är större i kvadrat än Γ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den.Prop. 10.30

Hjälpsats.

Låt ΑΒΓ vara en rät vinkel, som har vinkeln Α rät, och låt ha dragit en vinkelrät rät linje ΑΔ. Jag säger, att rektangeln omsluten av ΓΒΑ är lika med kvadraten på ΒΑ och att rektangeln omsluten av ΒΓΑ är lika med kvadraten på ΓΑ och rektangeln omsluten av ΒΔ och ΔΓ lika med kvadraten på ΑΔ och dessutom är rektangeln omsluten av ΒΓ och ΑΔ lika med rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΓ.

Καὶ πρῶτον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ~~ἐστὶ~~ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ.

Ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ ἄρα τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.

Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.

Καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ.

Λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. ἐπεὶ γὰρ, ὡς ἔφαμεν, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ ~~ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων~~. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[33]

Och först, att rektangeln omsluten av ΓΔΒ är lika med kvadraten på ΒΑ.

Ty eftersom den vinkelräta linjen ΑΔ dragits i en rätvinklig triangel från den räta vinkeln till basen, är alltså trianglarna ΑΒΔ och ΑΔΓ vid den vinkelräta vinkeln likformiga med hela ΑΒΓ och med varandra.Prop. 6.8 Och eftersom triangeln ΑΒΔ är likformig med triangeln ΑΔΓ, som då ΓΒ är till ΒΑ, så är ΒΑ till ΒΔ,Prop. 6.4 alltså är rektangeln omsluten av ΓΒΔ är lika med kvadraten på ΑΒ.Prop. 6.17

Av samma skäl bör även rektangeln omsluten av ΒΓΔ vara lika med kvadraten på ΑΓ.

Och eftersom, om en vinkelrät linje dragits i en rätvinklig triangel från den räta vinkeln till basen, är den dragna linjen medelproportionalen av basens delar.Prop. 6.8 cor. Alltså som ΒΑ är till ΔΑ, så är ΑΔ till ΔΓ, alltså är rektangeln omsluten av ΒΔ och ΔΓ lika med kvadraten på ΔΑ.Prop. 6.17

Jag säger, att också rektangeln omsluten av ΒΓ och ΑΔ är lika med rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΓ. Ty eftersom, som sagt, ΑΒΓ är likformig med ΑΒΔ, alltså ΒΓ är till ΓΑ, så är ΒΑ till ΑΔProp. 6.4 ~~om fyra räta linjer är proportionella, är rektangeln omsluten av de yttre lika med rektangeln omsluten av de emellan~~.Prop. 6.16 Alltså är rektangeln omsluten av ΒΓ och ΑΔ lika med rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΓ. Vilket skulle visas.

λγʹ.

Εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον.

33.

Att finna två räta linjer inkommensurabla i kvadrat, vilka gör området komponerat av kvadraterna på dem uttryckbart och rektangeln omsluten av dem medial.

Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΒΓ μείζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ τῷ ἀφ᾿ ὁποτέρας τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ημικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ.

Καὶ ἐπεὶ ~~δύο~~ εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας αὐτῆς, ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβέβληται παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ποιεῖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τῷ ἁπὸ τῆς ΒΖ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ· αἱ ΑΖ, ΖΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ῥητή ἐστιν, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ῥητόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ὑπόκειται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἴσον, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΒΔ· διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τὴς ΖΕ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ῥητὸν τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων.

Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΖ, ΖΒ ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[34]

Ty låt de två uttryckbara räta linjerna ΑΒ och ΒΓ endast kommensurabla i kvadrat ha satts ut, så att den större ΑΒ är större i kvadrat än den mindre ΒΓ med kvadraten på en med den inkommensurabel rät linje.Prop. 10.30 Låt ΒΓ ha delats i hälften vid Δ. Låt en rätvinklig parallellogram, lika med kvadraten på endera av ΒΔ och ΔΓ, ha applicerats på ΑΒ med en brist av en kvadratisk figurProp. 6.28 och låt den vara rektangeln omsluten av ΑΕΒ. Låt ha dragit halvcirkeln ΑΖΒ på ΑΒ. Låt ha dragit ΕΖ vinkelrät mot ΑΒ. Låt även ha förbundit ΑΖ och ΖΒ.

Och eftersom ΑΒ och ΒΓ är ~~två~~ olika räta linjer och ΑΒ är större i kvadrat än ΒΓ med kvadraten på en med den inkommensurabel rät linje och en rätvinklig parallellogram, lika med en fjärdedel av kvadraten på ΒΓ, det vill säga den på dess hälft, har applicerats på ΑΒ med en brist av en kvadratisk figur och utgör rektangeln omsluten av ΑΕΒ, alltså är ΑΕ inkommensurabel med ΕΒ.Prop. 10.18 Och som ΑΕ är till ΕΒ, så är rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΕ till den omsluten av ΑΒ och ΒΕ. Rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΕ är lika med kvadraten på ΑΖ och den omsluten av ΑΒ och ΒΕ med den på ΒΖ,Prop. 10.32 lem. alltså är den på ΑΖ inkommensurabel med den på ΖΒProp. 10.11 och alltså är ΑΖ och ΖΒ inkommensurabla i kvadrat. Och eftersom ΑΒ är uttryckbar, är alltså även kvadraten på ΑΒ uttryckbar, så att även området komponerat av kvadraterna på ΑΖ och ΖΒ är uttryckbart.Prop. 1.47 Och eftersom åter rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ är lika med kvadraten på ΕΖ och rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ har även antagits vara lika med kvadraten på ΒΔ, är alltså ΖΕ lika med ΒΔ. ΒΓ är alltså dubbla ΖΕ, så att även rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är kommensurabel med den omsluten av ΑΒ och ΕΖ.Prop. 10.6 Rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är medial,Prop. 10.21 alltså är även den omsluten av ΑΒ och ΕΖ medial.Prop. 10.23 cor. Rektangeln omsluten av ΑΒ och ΕΖ är lika med den omsluten av ΑΖ och ΖΒ,Prop. 10.32 lem. alltså är den omsluten av ΑΖ och ΖΒ medial. Och området komponerat av kvadraterna på dem har visats vara uttryckbart.

Alltså har de två räta linjerna ΑΖ och ΖΒ, inkommensurabla i kvadrat, funnits, vilka gör området komponerat av kvadraterna på dem uttryckbart och rektangeln omsluten av dem medial. Vilket skulle visas.

λδʹ.

Εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν.

34.

Att finna två räta linjer inkommensurabla i kvadrat, vilka gör området komponerat av kvadraterna på dem medialt och rektangeln omsluten av dem uttryckbar.

Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπ᾿ αὐτῶν, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔΒ ἡμικύκλιον, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ· ἀσύμμετρος ἄρα ~~ἐστὶν~~ ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ.

Ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ τῆς ΔΖ, διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν ἐστιν.

Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΔ, ΔΒ ποιοῦσαι τὸ ~~μὲν~~ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[35]

Ty låt de två mediala räta linjerna ΑΒ och ΒΓ endast kommensurabla i kvadrat, vilka omsluter ett uttryckbart område, ha satts ut, så att ΑΒ är större i kvadrat än ΒΓ med kvadraten på en med den inkommensurabel rät linje.Prop. 10.31 Låt halvcirkeln ΑΔΒ ha ritats på ΑΒ och låt ΒΓ ha delats i hälften vid Ε. Låt en rätvinklig parallellogram, lika med kvadraten på ΒΕ, ha applicerats på ΑΒ med en brist av en kvadratisk figur, rektangeln omsluten av ΑΖΒ.Prop. 6.28 Alltså är ΑΖ inkommensurabel i längd med ΖΒ.Prop. 10.18 Låt även ha dragit ΖΔ från Ζ vinkelrät mot ΑΒ och låt ha förbundit ΑΔ och ΔΒ.

Eftersom ΑΖ är inkommensurabel med ΖΒ, är alltså även rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΖ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΖ.Prop. 10.11 Rektangeln omsluten av ΒΑ och ΑΖ är lika med kvadraten på ΑΔ och rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΖ är lika med kvadraten på ΔΒ,Prop. 10.32 lem. alltså är även kvadraten på ΑΔ inkommensurabel med kvadraten på ΔΒ. Och eftersom kvadraten på ΔΒ är medial, är alltså även området komponerat av kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ medialt.Prop. 3.31 Prop. 1.47 Och eftersom ΒΓ är dubbla ΔΖ, är alltså även rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΖΔ. Och rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är uttryckbar, alltså är även rektangeln omsluten av ΑΒ och ΖΔ uttryckbar.Prop. 10.6 Def. 10.1.4 Rektangeln omsluten av ΑΒ och ΖΔ är lika med rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ,Prop. 10.32 lem. så att också rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ är uttryckbar.

Alltså har de två räta linjerna ΑΔ och ΔΒ, inkommensurabla i kvadrat, funnits, vilka gör området komponerat av kvadraterna på dem medialt och rektangeln omsluten av dem uttryckbart. Vilket skulle visas.

λεʹ.

Εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνῳ.

35.

Att finna två räta linjer inkommensurabla i kvadrat, vilka gör området komponerat av kvadraterna på dem medialt samt rektangeln omsluten av dem medial och dessutom inkommensurabel med området komponerat av kvadraterna på dem.

Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ τὰ λοιπὰ γεγονέτω τοῖς ἐπάνω ὁμοίως.

Καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ δυνάμει. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀφ᾿ ἑκατέρας τῶν ΒΕ, ΔΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΔΖ· διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, σύμμετρος δὲ ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ, ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ μήκει· ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἀσύμμετρόν ἐστιν. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.

Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ τὸ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[36]

Ty låt de två mediala räta linjerna ΑΒ och ΒΓ endast kommensurabla i kvadrat, vilka omsluter ett medialt område, ha satts ut, så att ΑΒ är större i kvadrat än ΒΓ med kvadraten på en med den inkommensurabel rät linje.Prop. 10.32 Låt ha ritat halvcirkeln ΑΔΒ på ΑΒ. Och låt resten bli på lika med dem ovan.

Och eftersom ΑΖ är inkommensurabel i längd med ΖΒ,Prop. 10.18 är ΑΖ också inkommensurabel i kvadrat med ΖΒ.Prop. 10.11 Och eftersom kvadraten på ΑΒ är medial, är alltså även området komponerat av kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ medialt.Prop. 3.31 Prop. 1.47 Och eftersom rektangeln omsluten av ΑΖ och ΖΒ är lika med var och en av kvadraterna på ΒΕ och ΔΖ, är alltså ΒΕ lika med ΔΖ. Alltså är ΒΓ dubbla ΖΔ, så att också rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är dubbla den omsluten av ΑΒ och ΖΔ. Rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är medial, alltså är också den omsluten av ΑΒ och ΖΔ medial och den är lika med rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ.Prop. 10.32 lem. Alltså är även den omsluten av ΑΔ och ΔΒ medial. Och eftersom ΑΒ är inkommensurabel i längd med ΒΓ och ΓΒ är kommensurabel med ΒΕ, är alltså även ΑΒ kommensurabel i längd med ΒΕ,Prop. 10.13 så att även kvadraten på ΑΒ är inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΕ.Prop. 10.11 Men kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ är lika med kvadraten på ΑΒProp. 1.47 och rektangeln omsluten av ΑΒ och ΖΔ är lika med den omsluten av ΑΒ och ΒΕ, det vill säga den omsluten av ΑΔ och ΔΒ, alltså är området komponerat av kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ inkommensurabelt med rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ.

Alltså har de två räta linjerna ΑΔ och ΔΒ, inkommensurabla i kvadrat, funnits, vilka gör området komponerat av kvadraterna på dem medialt samt rektangeln omsluten av dem medial och dessutom inkommensurabel med området komponerat av kvadraterna på dem. Vilket skulle visas.

λϛʹ.

Ἐὰν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων.

36.

Om två uttryckbara räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, lagts samman, är den hela irrationell. Låt den kallas binomial.

Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· αἱ γὰρ ΑΒ, ΒΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ συνθέντι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ῥητὸν δὲ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα ~~ἐστὶ~~ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[37]

Ty låt de två uttryckbara räta linjerna ΑΒ och ΒΓ, endast kommensurabla i kvadrat, lägga samman. Jag säger att hela ΑΓ är irrationell.

Ty eftersom ΑΒ är inkommensurabel i längd med ΒΓ, ty den är endast kommensurabel i kvadrat, så är ΑΒ till ΒΓ, som rektangeln omsluten av ΑΒΓ till kvadraten på ΒΓ, alltså är rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ inkommensurabel med kvadraten på ΒΓ.Prop. 10.11 Men två gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är kommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓProp. 10.6 samt kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är kommensurabel med kvadraten på ΒΓ, ty ΑΒ och ΒΓ är endast kommensurabla i kvadrat,Prop. 10.15 alltså är två gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ inkommensurabel med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.13 Och genom komposition är två gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ, det vill säga den på ΑΓ,Prop. 2.4 inkommensurabla med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ sammanlagda.Prop. 10.16 Området sammanlagt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är uttryckbart,Prop. 10.16 alltså är kvadraten på ΑΓ irrationell,Def. 10.1.4 så att även ΑΓ är irrationell.Def. 10.1.4 Låt den kallas binomial. Vilket skulle visas.

λζʹ.

Ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη.

37.

Om två mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett uttryckbart område, lagts samman, är den hela irrationell. Låt den kallas första bimedialen.

Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι· λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ συνθέντι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ὑπόκεινται γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[38]

Ty låt de två mediala räta linjerna ΑΒ och ΒΓ, endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett uttryckbart område, läggas samman. Jag säger att hela ΑΓ är irrationell.

Ty eftersom ΑΒ är inkommensurabel i längd med ΒΓ, alltså är också kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ inkommensurabla med två gånger rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ. Och genom komposition är kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ med två gånger av rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, vilket är kvadraten på ΑΓ,Prop. 2.4 inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.16 Rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är uttryckbar, ty ΑΒ och ΒΓ har antagits omsluta ett uttryckbart område, alltså är kvadraten på ΑΓ irrationell. Alltså är ΑΓ irrationell.Def. 10.1.4 Låt den kallas första bimedialen. Vilket skulle visas.

ληʹ.

Ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι μέσον περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δυετέρα.

38.

Om två mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett medialt område, lagts samman, är den hela irrationell. Låt den kallas andra bimedialen.

Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι· λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.

Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, παραβεβλήσθω δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ παρὰ τὴν ΔΕ ἴσον τὸ ΕΘ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπεὶ μέση ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. μέσον δὲ ὑπόκειται καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΖΘ· μέσον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΘ, ΘΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΖ. ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΘ τῷ ΘΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΘΗ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει. αἱ ΔΘ, ΘΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ὥστε ἡ ΔΗ ἄλογός ἐστιν. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ· τὸ δὲ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΖ χωρίον, καὶ ἡ δυναμένη ~~αὐτὸ~~ ἄλογός ἐστιν. δύναται δὲ τὸ ΔΖ ἡ ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων δευτέρα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[39]

Ty låt de två mediala räta linjerna ΑΒ och ΒΓ, endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett medialt område, läggas samman.Prop. 10.28 Jag säger att ΑΓ är irrationell.

Ty låt den uttryckbara räta linjen ΔΕ ha satts ut och låt ΔΖ, lika med kvadraten ha applicerats på ΑΓ, på ΔΕ resulterande i bredden ΔΗ.Prop. 1.44 Och eftersom kvadraten på ΑΓ är lika med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ samt dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ,Prop. 2.4 låt så området ΕΘ, lika med kvadraterna ha applicerats på ΑΒ och ΒΓ, på ΔΕ. Alltså är resten ΘΖ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ. Och eftersom var och en av ΑΒ och ΒΓ är medial, är alltså även kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ mediala. Och dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ antas också vara medial. Och ΕΘ är lika med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ samt ΖΘ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, alltså är vart och ett av ΕΘ och ΘΖ medial och appliceras på den uttryckbara ΔΕ. Alltså är var och en av ΔΘ och ΘΗ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΕ.Prop. 10.22 Eftersom ΑΒ då är inkommensurabel i längd med ΒΓ och som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΑΒ till rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ,Prop. 10.21 lem. alltså är kvadraten på ΑΒ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.11 Men området komponerat av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är kommensurabelt med kvadraten på ΑΒProp. 10.15 och dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är kommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.6 Alltså är området komponerat av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är inkommensurabelt med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.13 Men ΕΗ är lika med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ samt ΘΖ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ. Alltså är ΕΘ inkommensurabelt med ΘΖ, så att även ΔΘ är inkommensurabel i längd med ΘΗ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Alltså är ΔΘ och ΘΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Därför är ΔΗ irrationell.Prop. 10.36 Men ΔΕ är uttryckbar och rektangeln omsluten av en irrationell och en uttryckbar är irrationell,Prop. 10.20 alltså är ΔΖ ett irrationellt område och möjliggöraren till ~~den~~ är irrationell.Def. 10.1.4 Och ΑΓ möjliggör ΔΖ, alltså är ΑΓ irrationell. Låt den kallas andra bimedialen. Vilket skulle göras.

λθʹ.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων.

39.

Om två räta linjer, inkommensurabla i kvadrat, som gör området sammanlagt av kvadraterna på dem uttryckbart och rektangeln omsluten av dem medial, lagts samman, är hela räta linjen irrationell. Låt den kallas större irrationalen.^O O) I avvaktan på Rundbäcks term.

Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, καὶ τὸ δὶς ~~ἄρα~~ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν. τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ~~ῥητὸν δὲ τὸ συγμείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ~~· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[40]

Ty låt de två räta linjerna ΑΒ och ΒΓ, endast kommensurabla i kvadrat, som uppfyller det föresatta, läggas samman .Prop. 10.33 Jag säger, att ΑΓ är irrationell.

Ty eftersom rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är medial, är ~~alltså~~ även dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är medial.Prop. 10.6 Prop. 10.23 cor. Området sammanlagt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är uttryckbart, alltså är dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ inkommensurabel med området sammanlagt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ.Def. 10.1.4 så att även området av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, vilket är kvadraten på ΑΓ,Prop. 2.4 är inkommensurabelt med det sammanlagt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓProp. 10.16 ~~och området sammanlagt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är uttryckbart~~. Alltså är kvadraten på ΑΓ irrationell. Så att även ΑΓ är irrationell.Def. 10.1.4 Låt den kallas större irrationalen. Vilket skulle visas.

μʹ.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦςαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.

40.

Om två räta linjer, inkommensurabla i kvadrat, som gör området sammanlagt av kvadraterna på dem medialt och rektangeln omsluten av dem uttryckbar, lagts samman, är hela den räta linjen irrationell. Låt den kallas möjliggöraren till ett uttryckbart plus ett medialt område.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ὥστε καὶ τὸ ἁπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ. ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[41]

Ty låt de två räta linjerna ΑΒ och ΒΓ, endast kommensurabla i kvadrat, som uppfyller det föresatta, läggas samman.Prop. 10.33 Jag säger, att ΑΓ är irrationell.

Ty eftersom området sammanlagt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är medialt och dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är uttryckbar, är alltså området sammanlagt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ inkommensurabelt med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, därför är även kvadraten på ΑΓ inkommensurabel med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.16 Dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är uttryckbar, alltså är kvadraten på ΑΓ irrationell. Alltså är ΑΓ irrationellDef. 10.1.4. Låt den kallas möjliggöraren till ett uttryckbart plus ett medialt område. Vilket skulle visas.

μαʹ.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦςαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη.

41.

Om två räta linjer, inkommensurabla i kvadrat, som gör området sammanlagt av kvadraterna på dem och rektangeln omsluten av dem mediala och dessutom är inkommensurabelt med området sammanlagt av kvadraterna på dem, lagts samman, är hela den räta linjen irrationell. Låt den kallas möjliggöraren till området av två mediala.

Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.

Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΔΖ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΗΘ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΖ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΗΖ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΔΖ τῷ ΗΘ· ὥστε καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ ἀσύμμετρός ἐστιν. καὶ εἰσι ῥηταί· αἱ ΔΗ, ΗΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΚ ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΘ καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν. δύναται δὲ τὸ ΘΔ ἡ ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Ὅτι δὲ αἱ εἰρημέναι ἄλογοι μοναχῶς διαιροῦνται εἰς τὰς εὐθείας, ἐξ ὧν σύγκεινται ποιουσῶν τὰ προκείμενα εἴδη, δείξομεν ἤδη προεκθέμενοι λημμάτιον τοιοῦτον·

Ty låt de två räta linjerna ΑΒ och ΒΓ, endast kommensurabla i kvadrat, som uppfyller det föresatta, läggas samman.Prop. 10.35 Jag säger, att ΑΓ är irrationell.

Ty låt den uttryckbara räta linjen ΔΕ sättas ut och låt området ΔΖ, lika med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ, och ΗΘ, lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, ha applicerats på ΔΕ. Alltså är hela ΔΘ lika med kvadraten på ΑΓ.Prop. 2.4 Och eftersom området sammansatt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är medialt och är lika med ΔΖ, är alltså även ΔΖ medialt och ligger längs den uttryckbara ΔΕ, alltså är ΔΗ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΕ.Prop. 10.22 Av samma skäl bör även ΗΚ vara uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΗΖ, det vill säga med ΔΕ. Och eftersom kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, är ΔΖ inkommensurabelt med ΗΘ, därför är även ΔΗ inkommensurabel med ΗΚProp. 6.1 Prop. 10.11 och de är uttryckbara. Alltså är ΔΗ och ΗΚ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΔΚ irrationell och kallas binomial.Prop. 10.36 ΔΕ är uttryckbar, alltså är ΔΘ och möjliggöraren till den irrationell.Def. 10.1.4 ΑΓ möjliggör ΘΔ, alltså är ΑΓ irrationell och kallas möjliggöraren till området av två mediala. Vilket skulle visas.

Hjälpsats.

Att de nämnda irrationella räta linjerna entydigt delas i räta linjer, av vilka de sammansatts, som uppfyller det föresatta typerna, skall vi visa när denna lilla hjälpsats förevisats.

Ἐκκείσθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἡ ὅλη εἰς ἄνισα καθ᾿ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ, ὑποκείσθω δὲ μείζων ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.

Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΔΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῆς τῆς ΓΒ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ· ἐλάττων ἄρα ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ· τὰ Γ, Δ ἄρα σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ· ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[42]

Ty låt den räta linjen ΑΒ sättas ut, låt hela delas i olika delar vid var och en av Γ och Δ samt låt ΑΓ antas vara större än ΔΒ. Jag säger, att kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är större än dem på ΑΔ och ΔΒ.

Ty låt ΑΒ ha delats vid Ε och eftersom ΑΓ är större än ΔΒ, låt ΔΓ gemensamt ha dragits bort, alltså är resten ΑΔ större än resten ΓΒ. Men ΑΕ är lika med ΕΒ, alltså är ΔΕ mindre än ΕΓ, alltså är punkterna Γ och Δ inte lika avlägsna från mittpunkten. Och eftersom rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ med kvadraten på ΕΓ är lika med kvadraten på ΕΒ,Prop. 2.5 men dessutom är rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ med kvadraten på ΔΕ lika med kvadraten på ΕΒ,Prop. 2.5 alltså är rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ med kvadraten på ΕΓ lika med rektangeln omsluten ΑΔ och ΔΒ med kvadraten på ΔΕ, av vilka kvadraten på ΔΕ är mindre är den på ΕΓ. Och alltså är resterande rektangel omsluten av ΑΓ och ΓΒ mindre än rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ. Så att också dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ är mindre än dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ. Och alltså är resterande kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ sammanlagda större än kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ sammanlagda. Vilket skulle visas.

μβʹ.

Ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατὰ^P P) καθ' b. ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα.

42.

Binomialen kan endast vid en punkt delas i beståndsdelarna.^Q Q) Ordagrant namnen, jmf X 36.

Ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ᾿ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται εἰς δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους.

Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ ῥητὰς εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους. φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. ἔσται δὴ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή· καὶ ἔσται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, καὶ ἔσται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ αὐτὸ τῇ κατὰ τὸ Γ διαιρέσει διαιρεθεῖσα καὶ κατὰ τὸ Δ· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἐστιν ἡ αὐτή. διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας. ᾧ ἄρα διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διὰ τὸ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσα εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διαφέρει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διαφέρει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἄτοπον· μέσον γὰρ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.

Οὐχ ἄρα ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατ᾿ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· καθ᾿ ἓν ἄρα μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[43]

Låt ΑΒ vara en binomial delad i beståndsdelarna vid Γ. Alltså är ΑΓ och ΓΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.36 Jag säger, att ΑΒ inte delas vid någon annan punkt i två uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.

Ty om möjligt, låt den också ha delats vid Δ, så att också ΑΔ och ΔΒ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Det är uppenbart, att ΑΓ inte är samma som ΔΒ. Ty om möjligt, låt den vara det. Då skall också ΑΔ vara samma som ΓΒ och ΑΓ skall vara till ΓΒ, som ΒΔ till ΔΑ. Och ΑΒ skall, på samma sätt som delningen vid Γ, vara delad också vid Δ, vilket inte antagits. Alltså är ΑΓ inte samma som ΔΒ. Av samma skäl bör också punkterna Γ och Δ inte vara lika avlägsna från mittpunkten. Alltså med det kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ skiljer sig från kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ, med det skiljer sig även d dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ från dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, eftersom såväl kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ som kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ med dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ är lika med kvadraten på ΑΒ.Prop. 2.4 Men kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ skiljer sig från kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ med ett uttryckbart område, ty båda är uttryckbara, och alltså skiljer sig dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ från dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ uttryckbart område, fast de är mediala,Prop. 10.21 vilket är orimligt. Ty ett medialt område överstiger inte ett medialt område med ett uttryckbart område.Prop. 10.26

Alltså delas inte en binomial vid den ena eller den andra punkten, utan endast vid en. Vilket skulle visas.

μγʹ.

Ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη καθ᾿ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.

43.

Den första bimedialen kan endast vid en punkt delas i beståndsdelarna.

Ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ᾿ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.

Εἰ γὰρ δυνατόν διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας. ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ῥητῷ δὲ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· ῥητῷ ἄρα διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσα ὄντα· ὅπερ ἄτοπον.

Οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη κατ᾿ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα· καθ᾿ ἓν ἄρα μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[44]

Låt ΑΒ vara en första bimedial delad vid Γ, så att ΑΓ och ΓΒ är mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett uttryckbart område.Prop. 10.37 Jag säger, att ΑΒ inte kan delas vid någon annan punkt.

Ty om möjligt, låt den även ha delats vid Δ, så att också ΑΔ och ΔΒ är mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett uttryckbart område. Eftersom då, med det dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ skiljer sig från dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ, med detta skiljer sig kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ från dem på ΑΔ och ΔΒ.Prop. 10.41 lem. Och med ett uttryckbart område skiljer sig dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ från dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ, ty båda är uttryckbara, alltså skiljer sig även kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ från dem på ΑΔ och ΔΒ, vilka är mediala, med ett uttryckbart område, vilket är orimligt.Prop. 10.26

Alltså delas inte en första bimedial vid den ena eller den andra punkten i beståndsdelarna, utan endast vid en. Vilket skulle visas.

μδʹ.

Ἡ ἐκ δύο μέσων δευτέρα καθ᾿ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.

44.

Den andra bimedialen kan endast vid en punkt delas i beståndsdelarna.

Ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας· φανερὸν δή, ὅτι τὸ Γ οὐκ ἔστι κατὰ τῆς διχοτομίας, ὅτι οὐκ εἰσὶ μήκει σύμμετροι. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ᾿ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.

Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθ᾿ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ· δῆλον δή, ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ὡς ἐπάνω ἐδείξαμεν, ἐλάσσονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον παραβεβλήσθω τὸ ΕΚ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ἅπερ ἐλάσσονα ἐδείχθη τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΜΚ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ~~καὶ~~ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει. ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· δυνάμει γάρ εἰσι σύμμετροι αἱ ΑΓ, ΓΒ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΚ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἐὰν δὲ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων· ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ ΕΜ, ΜΝ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ ἔσται ἡ ΕΝ ἐκ δύο ὀνομάτων κατ᾿ ἄλλο καὶ ἄλλο διῃρημένη τό τε Θ καὶ τὸ Μ, καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ· πολλῷ ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΕΗ, μεῖζόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι τοῦ ΜΚ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν. ἡ ἄρα ΕΘ τῇ ΜΝ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[45]

Låt ΑΒ vara en andra bimedial delad vid Γ, så att ΑΓ och ΓΒ är mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett medialt område.Prop. 10.38 Det är uppenbart, att Γ inte ligger vid mittpunkten och att ΑΓ och ΓΒ inte är kommensurabla i längd. Jag säger, att ΑΒ inte kan delas vid någon annan punkt.

Ty om möjligt, låt den även ha delats vid Δ, så att ΑΓ och ΔΒ inte är densamma, utan ΑΓ är större enligt antagande. Det är tydligt, att även kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ, som vi visat ovan, är mindre än dem på ΑΓ och ΓΒ.Prop. 10.41 lem. Och ΑΔ och ΔΒ är mediala räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett medialt område. Och låt den uttryckbara räta linjen ΕΖ sättas ut, låt den rätvinkliga parallellogrammen ΕΚ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΕΖ samt låt ΕΗ, lika med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ, ha dragits bort. Alltså är resten ΘΚ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ.Prop. 2.4 Låt så åter ΕΛ ha dragits bort, lika med kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ, vilka visats vara mindre än dem på ΑΓ och ΓΒ, alltså är resten ΜΚ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ. Och eftersom området av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är medialt, är alltså ~~även~~ ΕΗ medialt och ligger längs den uttryckbara ΕΖ, alltså är ΕΘ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.22 Av samma skäl bör även ΘΝ vara uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ. Och eftersom ΑΓ och ΓΒ endast är mediala räta linjer kommensurabla i kvadrat, är alltså ΑΓ inkommensurabel i längd med ΓΒ. Och som ΑΓ är till ΓΒ, så är kvadraten på ΑΓ till rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ,Prop. 10.21 lem. alltså är kvadraten på ΑΓ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ.Prop. 10.11 Men kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är kommensurabla med den på ΑΓ, ty ΑΓ och ΓΒ är kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.15 Dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ är kommensurabel med den omsluten av ΑΓ och ΓΒ.Prop. 10.6 Och alltså är kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ.Prop. 10.13 Men ΕΗ är lika med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ samt ΘΚ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, alltså är ΕΗ inkommensurabelt med ΘΚ, därför är även ΕΘ inkommensurabel i längd med ΘΝ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 De är även uttryckbara, alltså är ΕΘ och ΘΝ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Och om två uttryckbara räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, lagts samman, är den hela irrationell och den kallas binomial.Prop. 10.36 Alltså är ΕΝ en binomial delad vid Θ. Enligt detsamma skall det visas, att också ΕΜ och ΜΝ är uttryckbara räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, samt att ΕΝ skall vara en binomial delad vid olika punkter, Θ och Μ.Prop. 10.42 Och ΕΘ är inte densamma som ΜΝ, då kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är större än dem på ΑΔ och ΔΒ. Men kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ är större än dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ,Prop. 10.59 lem. alltså är också kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ, det vill säga ΕΗ, mycket större än dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ, det vill säga ΜΚ. Därför är även ΕΘ större än ΜΝ.Prop. 6.1 Alltså är ΕΘ inte densamma som ΜΝ. Vilket skulle visas.

μεʹ.

Ἡ μείζων κατὰ τὸ αὐτὸ μόνον σημεῖον διαιρεῖται.

45.

Den större irrationalen kan endast delas i beståndsdelarna vid en och samma punkt.

Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ᾿ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ᾿ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.

Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον. καὶ ἐπεί, ᾧ διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ μείζων κατ᾿ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· κατὰ τὸ αὐτὸ ἄρα μόνον διαιρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[46]

Låt ΑΒ vara en större irrational delad vid Γ, så att ΑΓ och ΓΒ är inkommensurabla i kvadrat och gör området sammanlagt av kvadraterna på dem uttryckbart och rektangeln omsluten av dem medial.Prop. 10.39 Jag säger, att ΑΒ inte kan delas vid någon annan punkt.

Ty om möjligt, låt den även ha delats vid Δ, så att ΑΓ och ΔΒ inkommensurabla i kvadrat och gör området sammanlagt av kvadraterna på dem uttryckbart och rektangeln omsluten av dem medial. Och eftersom, med det kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ skiljer sig från dem på ΑΔ och ΔΒ, med detta skiljer sig även dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ från dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ. Men kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ överstiger dem på ΑΔ och ΔΒ med ett uttryckbart område, ty de är båda uttryckbara. Och alltså överstiger dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ med ett uttryckbart område, fast de är mediala, vilket är omöjligt.Prop. 10.26 Alltså kan den större irrationalen inte kan delas vid någon annan punkt, utan kan endast delas vid en och samma punkt. Vilket skulle visas.

μϛʹ.

Ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη καθ᾿ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.

46.

Möjliggöraren till ett uttryckbart plus ett medialt område kan endast delas i beståndsdelarna vid en punkt.

Ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητόν· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ᾿ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.

Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν. ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη κατ᾿ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται. κατὰ ἓν ἄρα σημεῖον διαιρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[47]

Låt ΑΒ vara en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område delad vid Γ, så att ΑΓ och ΓΒ är inkommensurabla i kvadrat och gör området sammanlagt av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ medialt och dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ uttryckbar.Prop. 10.40 Jag säger, att ΑΒ inte kan delas vid någon annan punkt.

Ty om möjligt, låt den även ha delats vid Δ, så att ΑΔ och ΔΒ inkommensurabla i kvadrat och gör området sammanlagt av kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ och medialt rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ uttryckbar. Och eftersom, med det dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ skiljer sig från dubbla den på ΑΔ och ΔΒ, med detta skiljer sig även kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ från kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ. Men dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ överstiger dubbla den på ΑΔ och ΔΒ med ett uttryckbart område och alltså överstiger kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ dem på ΑΓ och ΓΒ med ett uttryckbart område, fast de är mediala, vilket är omöjligt.Prop. 10.26 Alltså kan en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område inte delas vid någon annan punkt, utan den delas vid en punkt. Vilket skulle visas.

μζʹ.

Ἡ δύο μέσα δυναμένη καθ᾿ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.

47.

En möjliggörare till området av två mediala kan endast delas i beståndsdelarna vid en punkt.

Ἔστω ~~δύο μέσα δυναμένη~~ ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ᾿ ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται ποιοῦσα τὰ προκείμενα.

Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω κατὰ τὸ Δ, ὥστε πάλιν δηλονότι τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθ᾿ ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ· ὅλον ἄρα τὸ ΕΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. πάλιν δὴ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ΕΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ λοιπῷ τῷ ΜΚ ἴσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ μέσον ὑπόκειται τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ ΕΗ ἄρα τῷ ΗΝ ἀσύμμετρόν ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστιν. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ κατὰ τὸ Μ διῄρηται. καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή· ἡ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων κατ᾿ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηται· ὅπερ ἐστίν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ δύο μέσα δυναμένη κατ᾿ ἀλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· καθ᾿ ἓν ἄρα μόνον ~~σημεῖον~~ διαιρεῖται.^[48]

Låt ΑΒ vara en möjliggörare till området av två mediala delad vid Γ, så att ΑΓ och ΓΒ är inkommensurabla i kvadrat och gör området sammanlagt av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ medialt, rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ medial och dessutom inkommensurabel med området sammanlagt av kvadraterna på dem.Prop. 10.41 Jag säger, att ΑΒ inte kan delas vid någon annan punkt, som uppfyller det föresatta

Ty om möjligt, låt den även ha delats vid Δ, så att ΑΓ och ΔΒ inte är densamma, utan ΑΓ är större enligt antagande. Låt den uttryckbara räta linjen ΕΖ sättas ut. Låt ΕΗ, lika med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ, och ΘΚ, lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, ha applicerats på ΕΖ. Alltså är hela ΕΚ lika med kvadraten på ΑΒ.Prop. 2.4 Låt så åter ΕΛ, lika med kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ, ha applicerats på ΕΖ. Alltså är resten dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ lika med resten ΜΚ. Och eftersom området sammanlagt av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ antagits vara medialt, är sålunda ΕΗ medialt och ligger längs den uttryckbara ΕΖ, alltså är ΘΕ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.22 Av samma skäl bör även ΘΝ vara uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ. Och eftersom kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, är alltså även ΕΗ inkommensurabel med ΗΝ, så att även ΕΘ är inkommensurabel med ΘΝ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Och de är uttryckbara, alltså är ΕΘ och ΘΝ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΕΝ en binomial delad vid Θ.Prop. 10.36 På liknande sätt skall vi visa, att den även har delats vid Μ. Och ΕΘ är inte densamma som ΜΝ, alltså har en binomial delats vid den ena eller den andra punkten, vilket är orimligt.Prop. 10.42 Alltså kan en möjliggörare till området av två mediala inte delas vid den ena eller den andra punkten, utan delas endast vid en ~~punkt~~.

Ὁροι δεύτεροι.

αʹ. Ὑποκειμένης ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα, ἧς τὸ μεῖζον ὄνομα τοῦ ἐλάσσονος μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν μὲν τὸ μεῖζον ὄνομα σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καλείσθω ~~ἡ ὅλη~~ ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτη.
βʹ. Ἐὰν δὲ τὸ ἐλάσσον ὄνομα σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα.
γʹ. Ἐὰν δὲ μηδέτερον τῶν ὀνομάτων σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτη.
δʹ. Πάλιν δὴ ἐὰν τὸ μεῖζον ὄνομα ~~τοῦ ἐλάσσονος~~ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν μὲν τὸ μεῖζον ὄνομα σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτη.
εʹ. Ἐὰν δὲ τὸ ἔλασσον, πέμπτη.
ϛʹ. Ἐὰν δὲ μηδέτερον, ἕκτη.^[49]

Definitioner 2.

1. Sedan en uttryckbar rät linje antagits och en bimedial delats i i beståndsdelarna, vars större beståndsdel är större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den. Om då den större beståndsdelen är kommensurabel i längd med den antagna uttryckbara räta linjen, låt kalla ~~hela~~ den räta linjen första binomialen.
2. Om den mindre beståndsdelen är kommensurabel i längd med den antagna uttryckbara räta linjen, låt kalla den andra binomialen.
3. Om ingendera av beståndsdelarna är kommensurabel i längd med den antagna uttryckbara räta linjen, låt kalla den tredje binomialen.
4. Åter, om den större beståndsdelen är större i kvadrat ~~än den mindre~~ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den. Om då den större beståndsdelen är kommensurabel i längd med den antagna uttryckbara räta linjen, låt kalla ~~hela~~ den räta linjen fjärde binomialen.
5. Om mindre, femte.
6. Om ingetdera, sjätte.

μηʹ.

Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.

48.

Att finna den första binomialen.

Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸς δὲ τὸν ΓΑ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· ὥστε σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. καὶ ἐστι ῥητὴ ἡ ΕΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει. αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ. λέγω, ὅτι καὶ πρώτη.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει· ἡ ΕΖ ἄρα τῆς ΖΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΕΖ, ΖΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΕΖ τῇ Δ μήκει.

Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[50]

Ty låt två tal ΑΓ och ΓΒ sättas ut, så att det sammanlagda av dem, ΑΒ, har ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, och inte har ett förhållande till ΓΑ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.Prop. 10.28 lem. 1 Låt någon uttryckbar rät linje Δ sättas ut och låt ΕΖ vara kommensurabel i längd med Δ. Alltså är även ΕΖ uttryckbar.Def. 10.1.3 Och låt talet ΒΑ bli till ΑΓ, som kvadraten på ΕΖ är till den på ΖΗ.Prop. 10.6 cor. Och ΑΒ har ett förhållande till ΑΓ, som ett tal till ett tal, och alltså har kvadraten på ΕΖ ett förhållande till den på ΖΗ, som ett tal till ett tal, så att kvadraten på ΕΖ är kommensurabel med den på ΖΗ.Prop. 10.6 Och ΕΖ är uttryckbar, alltså är även ΖΗ uttryckbar. Och eftersom ΒΑ inte har ett förhållande till ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har alltså inte heller kvadraten på ΕΖ ett förhållande till den på ΖΗ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΕΖ inkommensurabel i längd med ΖΗ.Prop. 10.9 Alltså är ΕΖ och ΖΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΕΗ en binomial.Prop. 10.36 Jag säger, att den även är en första.

Ty eftersom talet ΒΑ är till ΑΓ, som kvadraten på ΕΖ till den på ΖΗ, och ΒΑ är större än ΑΓ, är alltså även kvadraten på ΕΖ större än den på ΖΗ.Prop. 5.14 Låt sålunda kvadraterna på ΖΗ och Θ vara lika med den på ΕΖ. Och eftersom ΒΑ är till ΑΓ, som kvadraten på ΕΖ är till den på ΖΗ, är alltså, genom omvändning, ΑΒ till ΒΓ, som kvadraten på ΕΖ är till den på Θ.Prop. 5.19 cor. Och ΑΒ har ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och kvadraten på ΕΖ har ett förhållande till den på Θ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΕΖ kommensurabel i längd med Θ,Prop. 10.9 alltså är ΕΖ större i kvadrat än ΖΗ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den samt ΕΖ och ΖΗ är uttryckbara räta linjer och ΕΖ är kommensurabel i längd med Δ.

Alltså är ΕΗ en första binomial.Def. 10.2.1 Vilket skulle visas.

μθʹ.

Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.

49.

Att finna den andra binomialen.

Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω ἡ ΕΖ μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ. γεγονέτω δὴ καὶ ὡς ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ λὸγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει· αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ.

Δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.

Ἑπεὶ γὰρ ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα ~~καὶ~~ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, Θ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἀλλ᾿ ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει· ὥστε ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΖΗ, ΖΕ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ τὸ ΕΖ ἔλασσον ὄνομα τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρόν ἐστι τῇ Δ μήκει.

Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[51]

Ty låt två tal ΑΓ och ΓΒ sättas ut, så att det sammanlagda av dem, ΑΒ, har ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, och inte har ett förhållande till ΓΑ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.Prop. 10.28 lem. 1 Låt någon uttryckbar rät linje Δ sättas ut och låt ΕΖ vara kommensurabel i längd med Δ. Alltså är även ΕΖ uttryckbar. Och låt talet ΓΑ bli till ΑΒ, som kvadraten på ΕΖ är till den på ΖΗ,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på ΕΖ kommensurabel med den på ΖΗ.Prop. 10.6 Alltså är även ΖΗ uttryckbar. Och eftersom talet ΓΑ inte har ett förhållande till ΑΒ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har heller inte kvadraten på ΕΖ ett förhållande till den på ΖΗ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΕΖ inkommensurabel i längd med ΖΗ.Prop. 10.9 Alltså är ΕΖ och ΖΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och alltså är ΕΗ en binomial.Prop. 10.36

Det är så nödvändigt, att visa, att den också är en andra binomial.

Ty eftersom, omvänt, som talet ΒΑ är till ΑΓ, så är kvadraten på ΗΖ till den på ΖΕ,Prop. 5.7 cor. och ΒΑ är större än ΑΓ, alltså är ~~även~~ kvadraten på ΗΖ större än den på ΖΕ.Prop. 5.14 Låt kvadraterna på ΕΖ och Θ vara lika med den på ΗΖ, alltså, genom omvändning, som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΖΗ till den på Θ.Prop. 5.19 cor. Men ΑΒ har ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, och alltså har kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på Θ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΖΗ inkommensurabel i längd med Θ,Prop. 10.9 så att ΖΗ är större i kvadrat än ΖΕ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den. Samt ΖΗ och ΖΕ är uttryckbara räta linjer, endast kommensurabla i kvadrat, och den mindre beståndsdelen ΕΖ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjer Δ.

Alltså är ΕΗ en andra binomial.Def. 10.2.2 Vilket skulle visas.

νʹ.

Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.

50.

Att finna den tredje binomialen.

Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἐκκείσθω δέ τις καὶ ἄλλος μὴ τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Δ, καὶ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΒΑ, ΑΓ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει. γεγονέτω δὴ πάλιν ὡς ἡ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ· ἀναστρέψαντι ἄρα ~~ἐστὶν~~ ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ~~ἐστὶν~~ ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει. ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει.

Ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[52]

Ty låt två tal ΑΓ och ΓΒ sättas ut, så att det sammanlagda av dem, ΑΒ, har ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, och inte har ett förhållande till ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Låt ett annat ej kvadratiskt tal Δ sättas ut och låt det inte ha ett förhållande till till vart och ett av ΒΑ och ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, låt även en uttryckbar rät linje Ε sättas ut samt låt Δ bli till ΑΒ, som kvadraten på Ε till den på ΖΗ,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på Ε kommensurabel med den på ΖΗ.Prop. 10.6 Och Ε är uttryckbar, alltså är även ΖΗ uttryckbar. Och eftersom Δ inte har ett förhållande till ΑΒ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har heller inte kvadraten på Ε ett förhållande till den på ΖΗ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är Ε inkommensurabel i längd med ΖΗ.Prop. 10.9 Låt så åter talet ΒΑ bli till ΑΓ, som kvadraten på ΖΗ är till den på ΗΘ,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på ΖΗ kommensurabel med den på ΗΘ.Prop. 10.6 Och ΖΗ är uttryckbar, alltså är även ΗΘ uttryckbar. Och eftersom ΒΑ inte har ett förhållande till ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har heller inte kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på ΘΗ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΖΗ inkommensurabel i längd med ΗΘ.Prop. 10.9 Alltså är ΖΗ och ΗΘ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och alltså är ΖΘ en binomial.Prop. 10.36

Jag säger så, att den också är den tredje binomialen.

Ty då som Δ är till ΑΒ, så är kvadraten på Ε till den på ΖΗ, och som ΒΑ är till ΑΓ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ, alltså, ex aequali som Δ är till ΑΓ, så är kvadraten på Ε till den på ΗΘ.Prop. 5.22 Och Δ har inte ett förhållande till ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså har inte heller kvadraten på Ε ett förhållande till den på ΗΘ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är Ε inkommensurabel i längd med ΗΘ.Prop. 10.9 Och då som ΒΑ är till ΑΓ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ, alltså är kvadraten på ΖΗ större än den på ΗΘ.Prop. 5.14 Låt sålunda kvadraterna på ΗΘ och Κ vara lika med den på ΖΗ, alltså, genom omvändning, som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΖΗ till den på Κ.Prop. 5.19 cor. Och ΑΒ har ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, och alltså har kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på Κ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΖΗ kommensurabel i längd med Κ.Prop. 10.19 Alltså är ΖΗ större i kvadrat än ΗΘ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den. Och ΖΗ och ΗΘ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och ingendera av dem är kommensurabel i längd med Ε.

Alltså är ΖΘ en tredje binomial.Def. 10.2.3 Vilket skulle visas.

ναʹ.

Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.

51.

Att finna den fjärde binomialen.

Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον μὴ ἔχειν μήτε μὴν πρὸς τὸν ΑΓ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει. αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ὥστε ἡ ΕΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ~~μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ~~, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ· ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει· ἡ ΕΖ ἄρα τῆς ΗΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΕΖ, ΖΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΕΖ τῇ Δ σύμμετρός ἐστι μήκει.

Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[53]

Ty låt två tal ΑΓ och ΓΒ sättas ut, så att ΑΒ varken har ett förhållande till ΒΓ eller till ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.Prop. 10.28 lem. 1 Låt ett uttryckbar rät linje Δ sättas ut och låt den vara kommensurabel i längd med ΕΖ. Alltså är även ΕΖ uttryckbar. Samt låt talet ΒΑ bli till ΑΓ, som kvadraten på ΕΖ till den på ΖΗ,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på ΕΖ kommensurabel med den på ΖΗ.Prop. 10.6 Alltså är även ΖΗ uttryckbar. Och eftersom ΒΑ inte har ett förhållande till ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har heller inte kvadraten på ΕΖ ett förhållande till den på ΖΗ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΕΖ inkommensurabel i längd med ΖΗ.Prop. 10.9 Alltså är ΕΖ och ΖΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, därför är ΕΗ en binomial.Prop. 10.36

Jag säger så, att den också är den fjärde binomialen.

Ty då som ΒΑ är till ΑΓ, så är kvadraten på ΕΖ till den på ΖΗ ~~ΒΑ är större än ΑΓ~~, alltså är kvadraten på ΕΖ större än den på ΖΗ.Prop. 5.14 Låt alltså kvadraterna på ΖΗ och Θ vara lika med den på ΕΖ, alltså, genom omvändning, som talet ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΕΖ till den på Θ.Prop. 5.19 cor. ΑΒ har inte ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså har heller inte kvadraten på ΕΖ ett förhållande till den på Θ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΕΖ inkommensurabel i längd med ΘProp. 10.9 och alltså är ΕΖ större i kvadrat än ΗΖ med en rät linje inkommensurabel med den. Och ΕΖ och ΖΗ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och ΕΖ är kommensurabel i längd med Δ.

Alltså är ΕΖ en fjärde binomial.Def. 10.2.4 Vilket skulle visas.

νβʹ.

Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.

52.

Att finna den femte binomialen.

Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητή τις εὐθεῖα ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω ~~μήκει~~ ἡ ΕΖ· ῥητὴ ἄρα ἡ ΕΖ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ὁ δὲ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὑδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἀνάπαλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, Θ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει· ὥστε ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΗΖ, ΖΕ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ τὸ ΕΖ ἔλαττον ὄνομα σύμμετρόν ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Δ μήκει.

Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[54]

Ty låt två tal ΑΓ och ΓΒ sättas ut, så att ΑΒ inte har ett förhållande till var och en av dem, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.Prop. 10.38 lem. Låt någon uttryckbar rät linje Δ sättas ut och låt ΕΖ vara kommensurabel ~~i längd~~ med Δ, alltså är ΕΖ uttryckbar. Och låt talet ΓΑ bli till ΑΒ, som kvadraten på ΕΖ är till den på ΖΗ.Prop. 10.6 cor. Och ΓΑ har inte ett förhållande till ΑΒ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, och alltså har inte heller kvadraten på ΕΖ ett förhållande till den på ΖΗ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΕΖ och ΖΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.9 Alltså är ΕΗ en binomial.Prop. 10.36

Jag säger så, att den också är den femte binomialen.

Ty då som ΓΑ är till ΑΒ, så är kvadraten på ΕΖ till den på ΖΗ, och, omvänt, som ΒΑ är till ΑΓ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΖΕ.Prop. 5.7 cor. Alltså är kvadraten på ΗΖ större än den på ΖΕ.Prop. 5.14 Låt sålunda kvadraterna på ΕΖ och Θ vara lika med den på ΗΖ, och, genom omvändning, som talet ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΗΖ till den på Θ.Prop. 5.19 cor. Och ΑΒ har inte ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså har heller inte kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på Θ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΖΗ inkommensurabel i längd med Θ,Prop. 10.9 så att ΖΗ är större i kvadrat än ΖΕ med en rät linje kommensurabel med den. Och ΗΖ och ΖΕ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och den mindre beståndsdelen ΕΖ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjer Δ.

Alltså är ΕΖ en femte binomial.Def. 10.2.5 Vilket skulle visas.

νγʹ.

Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.

53.

Att finna den sjätte binomialen.

Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἔστω δὲ καὶ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ μὴ τετράγωνος ὢν μηδὲ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΒΑ, ΑΓ λόγον ἔχων, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Ε τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει. γεγονέτω δὴ πάλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΗ. ῥητὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ· ῥητὴ ἄρα ἡ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΖΘ.

Δεικτέον δή, ὅτι καὶ ἕκτη.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἔστι δὲ καὶ ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει. ἐδείχθη δὲ καὶ τῇ ΖΗ ἀσύμμετρος· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ ~~τῆς~~ ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ· ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ὥστε οὐδὲ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει· ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῃ τῇ Ε.

Ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λῆμμα.

Ἔστω δύο τετράγωνα τὰ ΑΒ, ΒΓ καὶ κείσθωσαν ὥστε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τὴν ΔΒ τῇ ΒΕ· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον· λέγω, ὅτι τετράγωνόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ, καὶ ἔτι τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ.

Ty låt två tal ΑΓ och ΓΒ sättas ut, så att ΑΒ inte har ett förhållande till vart och ett av dem, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Låt även Δ vara ett annat ej kvadratiskt tal, som inte har ett förhållande till till vart och ett av ΒΑ och ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal.Prop. 10.28 lem. 1 Låt även en uttryckbar rät linje Ε sättas ut samt låt Δ bli till ΑΒ, som kvadraten på Ε till den på ΖΗ,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på Ε kommensurabel med den på ΖΗ.Prop. 10.6 Och Ε är uttryckbar, alltså är även ΖΗ uttryckbar. Och eftersom Δ inte har ett förhållande till ΑΒ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har heller inte kvadraten på Ε ett förhållande till den på ΖΗ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är Ε inkommensurabel i längd med Ζ.Prop. 10.9 Låt så åter talet ΒΑ bli till ΑΓ, som kvadraten på ΖΗ är till den på ΗΘ,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på ΖΗ kommensurabel med den på ΘΗ.Prop. 10.6 Alltså är kvadraten på ΘΗ uttryckbar och alltså är ΘΗ uttryckbar. Och eftersom ΒΑ inte har ett förhållande till ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har heller inte kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på ΗΘ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΖΗ inkommensurabel i längd med ΗΘ.Prop. 10.9 Alltså är ΖΗ och ΗΘ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, därför är ΖΘ en binomial.Prop. 10.36

Det är så nödvändigt, att den också är den sjätte binomialen.

Ty då som Δ är till ΑΒ, så är kvadraten på Ε till den på ΖΗ, och som ΒΑ är till ΑΓ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ, alltså, ex aequali som Δ är till ΑΓ, så är kvadraten på Ε till den på ΗΘ.Prop. 5.22 Och Δ har inte ett förhållande till ΑΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså har inte heller kvadraten på Ε ett förhållande till den på ΗΘ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är Ε inkommensurabel i längd med ΗΘProp. 10.9 och har även visats vara inkommensurabel med ΖΗ. Alltså är var och en av ΖΗ och ΗΘ inkommensurabel i längd med Ε. Och då som ΒΑ är till ΑΓ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ, alltså är kvadraten på ΖΗ större än den på ΗΘ.Prop. 5.14 Låt sålunda kvadraterna på ΗΘ och Κ vara lika med den på ΖΗ, alltså, genom omvändning, som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΖΗ till den på Κ.Prop. 5.19 cor. Och ΑΒ har inte ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, och alltså har inte kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på Κ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΖΗ inkommensurabel i längd med Κ.Prop. 10.9 Alltså är ΖΗ större i kvadrat än ΗΘ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den. Och ΖΗ och ΗΘ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och ingendera av dem är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen Ε.

Alltså är ΖΘ en sjätte binomial.Def. 10.2.6 Vilket skulle visas.

Hjälpsats.

Låt ΑΒ och ΒΓ vara två kvadrater och låt sätta ut dem, så att ΔΒ ligger i linje med ΒΕ, alltså ligger också ΖΒ i linje med ΒΗ. Låt även parallellogrammen ΑΓ ha fullbordats. Jag säger, att ΑΓ är en kvadrat och att ΔΗ är ΑΒ och ΒΓ:s medelproportional, dessutom är även ΔΓ ΑΓ och ΒΓ:s medelproportional.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΒΗ, ὅλη ἄρα ἡ ΔΕ ὅλῃ τῇ ΖΗ ἐστιν ἴση. ἀλλ᾿ ἡ μὲν ΔΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΘ, ΚΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΘ, ΚΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον· ἔστι δὲ καὶ ὀρθογώνιον· τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ.

Καὶ ἐπεὶ ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ, ὡς δὲ ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ, οὕτως τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ. τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ~~ἐστι~~ τὸ ΔΓ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΓ· ἴση γάρ ~~ἐστιν~~ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΔ, ὡς δὲ ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς ΓΒ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΓ πρὸς ΔΓ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΒΓ. τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ· ἃ προέκειτο δεῖξαι.^[55]

Ty eftersom ΔΒ är lika med ΒΖ och ΒΕ med ΒΗ, är alltså hela ΔΕ lika med hela ΖΗ. Men ΔΕ är lika med var och en av ΑΘ och ΚΓ samt ΖΗ är lika med var och en av ΑΚ och ΘΓ,Prop. 1.34 alltså är även var och en av ΑΘ och ΚΓ lika med var och en av ΑΚ och ΘΓ. Alltså är paralellogrammen ΑΓ liksidig och den är också rätvinklig, alltså är ΑΓ en kvadrat.

Och då som ΖΒ är till ΒΗ, så är ΔΒ till ΒΕ, men som ΖΒ är till ΒΗ, så är ΑΒ till ΔΗ och som ΔΒ är till ΒΕ, så är ΔΗ till ΒΓ,Prop. 6.1 och alltså som ΑΒ är till ΔΗ, så är ΔΗ till ΒΓ.Prop. 5.11 Alltså är ΔΗ ΑΒ och ΒΓ:s medelproportional.

Jag säger så, att ΔΓ även är ΑΓ och ΓΒ:s medelproportional.

Eftersom då som ΑΔ är till ΔΚ, så är ΚΗ till ΗΓ, ty var och en är lika med var och en, och, genom komposition, som ΑΚ är till ΚΔ, så är ΚΓ till ΓΗ,Prop. 5.18 men som ΑΚ är till ΚΔ, så är ΑΓ till ΓΔ och som ΚΓ är till ΓΗ, så är ΔΓ till ΓΒ,Prop. 6.1 och alltså som ΑΓ är till ΔΓ, så är ΔΓ till ΒΓ.Prop. 5.11 Alltså är ΔΓ ΑΓ och ΓΒ:s medelproportional. Vilket var föresatt att visa.

νδʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων.

54.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en första binomial, är möjliggöraren till området irrationell och kallas binomial.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων.

Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη ἡ ΑΔ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω τὸ μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ. φανερὸν δή, ὅτι αἱ ΑΕ, ΕΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῃ, καὶ ἡ ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΒ μήκει. τετμήσθω δὴ ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΑΕ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ. παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει. καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Ε, Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλοι αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ· καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ παραλληλόγραμμον· τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΣΠ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΘ πρὸς ΕΛ, τὸ ΕΛ πρὸς ΚΗ· τῶν ΑΘ, ΗΚ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΝ, τὸ δὲ ΗΚ ἴσον τῷ ΝΠ· τῶν ΣΝ, ΝΠ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΛ. ἔστι δὲ τῶν αὐτῶν τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον ἀνάλογον καὶ τὸ ΜΡ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ τῷ ΜΡ· ὥστε καὶ τῷ ΟΞ ἴσον ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τὰ ΑΘ, ΗΚ τοῖς ΣΝ, ΝΠ ἴσα· ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν ὅλῳ τῷ ΣΠ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΜΞ τετραγώνῳ· τὸ ΑΓ ἄρα δύναται ἡ ΜΞ.

Λέγω, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.

Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρος· καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα τῇ ΑΒ σύμμετροί εἰσιν. καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΗ, ΗΕ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ, ΗΚ, καί ἐστι σύμμετρον τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ ΗΚ τῷ ΝΠ· καὶ τὰ ΣΝ, ΝΠ ἄρα, τουτέστι τὰ ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλ᾿ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΑΗ ἐστι σύμμετρος, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρος, ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ· ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΕΛ τῷ ΜΡ· καὶ τὸ ΣΝ ἄρα τῷ ΜΡ ἀσύμμετρόν ἐστιν. ἀλλ᾿ ὡς τὸ ΣΝ πρὸς ΜΡ, ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΡ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ ΝΡ τῇ ΝΞ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ. καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ σύμμετρον τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ, καὶ ῥητὸν ἑκάτερον· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.

Ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[56]

Ty låt området ΑΓ omslutas av den uttryckbara ΑΒ och binomialen ΑΔ. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΓ är irrationell och kallas binomial.

Ty eftersom ΑΔ är en första binomial, låt den ha delats i beståndsdelarna vid Ε och låt ΑΕ vara den större beståndsdelen. Det är så uppenbart, att ΑΕ och ΕΔ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, att ΑΕ är större i kvadrat än ΕΔ med kvadraten på rät linje kommensurabel med den samt att ΑΕ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΑΒ.Def. 10.2.1 Låt så ΕΔ ha delats i hälften vid punkten Ζ. Och eftersom ΑΕ är större i kvadrat än ΕΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den. Om alltså en rektangel, lika med en fjärdedel av kvadraten på den mindre, det vill säga den på ΕΖ, har applicerats på den större ΑΕ med en brist av en kvadratisk figur, delas den i delar kommensurabla.Prop. 10.17 Låt alltså rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΕ, lika med kvadraten på ΕΖ, ha applicerats på ΑΕ, alltså är ΑΗ och ΕΗ kommensurabla i längd. Låt även ΗΘ, ΕΚ och ΖΛ ha dragits från punkterna Η, Ε och Ζ, parallella med antingen ΑΒ eller ΓΔ. Låt även kvadraten ΣΝ, lika med parallellogrammen ΑΘ, och ΝΠ, lika med ΗΚ, ha ställts upp.Prop. 2.14 Låt även sätta ut ΜΝ så att den är i linje med ΝΞ, alltså är även ΡΝ i linje med ΝΟ. Och låt parallellogrammen ΣΠ ha fullbordats, alltså är ΣΠ en kvadrat.Prop. 10.53 lem. Och eftersom rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΕ är lika med kvadraten på ΕΖ, alltså som ΑΗ är till ΕΖ, så är ΖΕ till ΕΗ,Prop. 6.17 alltså som ΑΘ är till ΕΛ, så är även ΕΛ till ΚΗ.Prop. 6.1 ΕΛ är alltså ΑΘ och ΗΚ:s medelproportional. Men ΑΘ är lika med ΣΝ och ΗΚ är lika med ΝΠ, ΕΛ är alltså ΣΝ och ΝΠ:s medelproportional. Men även ΜΡ är dessas, ΣΝ och ΝΠ:s, medelproportional.Prop. 10.53 lem. Alltså är ΕΛ lika med ΜΡ och därför även lika med ΟΞ.Prop. 1.43 Även ΑΘ och ΗΚ är lika med ΣΝ och ΝΠ, alltså är hela ΑΓ lika med hela ΣΠ, det vill säga kvadraten på ΜΞ, alltså är ΜΞ möjliggöraren till ΑΓ.

Jag säger, att ΜΞ är en binomial.

Ty eftersom ΑΗ är kommensurabel med ΗΕ, är också ΑΕ kommensurabel med var och en av ΑΗ och ΗΕ.Prop. 10.15 ΑΕ antas vara kommensurabel med ΑΒ och alltså är ΑΗ och ΗΕ kommensurabla med ΑΒ.Prop. 10.12 Och ΑΒ är uttryckbar, alltså är även var och en av ΑΗ och ΗΕ uttryckbar och alltså är var och en av ΑΘ och ΗΚ uttryckbar samt ΑΘ är kommensurabel med ΗΚ.Prop. 10.19 Men ΑΘ är lika med ΣΝ och ΗΚ med ΝΠ, alltså är även ΣΝ och ΝΠ, det vill säga kvadraterna på ΜΝ och ΝΞ, uttryckbara och kommensurabla. Och eftersom ΑΕ är inkommensurabel i längd med ΕΔ, men ΑΕ är kommensurabel med ΑΗ och ΔΕ är kommensurabel med ΕΖ, är alltså även ΑΗ inkommensurabel med ΕΖ,Prop. 10.13 så att även ΑΘ är inkommensurabel med ΕΛ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Men ΑΘ är lika med ΣΝ och ΕΛ med ΜΡ,Prop. 6.1 alltså är även ΣΝ inkommensurabel med ΜΡ. Men som ΣΝ är till ΜΡ, så är ΟΝ till ΝΡ,Prop. 6.1 alltså är ΟΝ inkommensurabel med ΝΡ.Prop. 10.11 Men ΟΝ är lika med ΜΝ och ΝΡ med ΝΞ, alltså är ΜΝ inkommensurabel med ΝΞ. Och kvadraten på ΜΝ är kommensurabel med den på ΝΞ och de är båda uttryckbara, alltså är ΜΝ och ΝΞ utryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.

Alltså är ΜΞ en binomialProp. 10.36 och möjliggöraren till området ΑΓ. Vilket skulle göras.

νεʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὁνομάτων δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη.

55.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en andra binomial, är möjliggöraren till området irrationell och kallas första bimedialen.

Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒΓΔ ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δυετέρας τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη ἐστίν.

Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΔ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ· αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ ἔλαττον ὄνομα ἡ ΕΔ σύμμετρόν ἐστι τῇ ΑΒ μήκει. τετμήσθω ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ· σύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει. καὶ διὰ τῶν Η, Ε, Ζ παράλληλοι ἤχθωσαν ταῖς ΑΒ, ΓΔ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τετράγωνον τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ~~ἐστὶ~~ καὶ ἡ ΡΝ τῆ ΝΟ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ τετράγωνον· φανερὸν δὴ ἐκ τοῦ προδεδειγμένου, ὅτι τὸ ΜΡ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΣΝ, ΝΠ, καὶ ἴσον τῷ ΕΛ, καὶ ὅτι τὸ ΑΓ χωρίον δύναται ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη. Ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, σύμμετρος δὲ ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ. ἀλλὰ ἡ ΑΕ ἀσύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει· καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι τῇ ΑΒ. αἱ ΒΑ, ΑΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ὥστε μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ, ΗΚ. ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον ἐστίν. καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσίν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρος ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ ~~ὥστε δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι αἱ ΜΝ, ΝΞ~~. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλ᾿ ἡ μὲν ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΗ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΖ σύμμετρος, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ· ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΜΡ, τουτέστιν ὁ ΟΝ τῇ ΝΡ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει. ἐδείχθησαν δὲ αἱ ΜΝ, ΝΞ καὶ μέσαι οὖσαι καὶ δυνάμει σύμμετροι· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. λέγω δή, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΔΕ ὑπόκειται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ σύμμετρος, σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ. καὶ ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν· ῥητὸν ἄρα τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ· τὸ δὲ ΜΡ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. ἐὰν δὲ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη.

Ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[57]

Ty låt området ΑΒΓΔ omslutas av den uttryckbara räta linjen ΑΒ och andra binomialen ΑΔ. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΓ är en första bimedial.

Ty eftersom ΑΔ är en andra binomial, låt den ha delats i beståndsdelarna vid Ε, så att ΑΕ är den större beståndsdelen. Alltså är ΑΕ och ΕΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och ΑΕ är större i kvadrat än ΕΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den samt den mindre beståndsdelen ΕΔ är kommensurabel i längd med ΑΒ.Def. 10.2.2 Låt ΕΔ ha delats i hälften vid Ζ och låt rektangeln omsluten av ΑΗΕ, lika med kvadraten på ΕΖ, ha applicerats på ΑΕ med en brist av en kvadratisk figur. Alltså är ΑΗ kommensurabel i längd med ΗΕ.Prop. 10.17 Och låt ha dragit ΗΘ, ΕΚ och ΖΛ parallella med ΑΒ och ΓΔ och genom punkterna Η, Ε och Ζ. Låt även kvadraten ΣΝ, lika med parallellogrammen ΑΘ, och kvadraten ΝΠ, lika med ΗΚ, ha ställts upp. Låt även sätta ut ΜΝ så att den är i linje med ΝΞ, alltså är även ΡΝ i linje med ΝΟ. Och låt kvadraten ΣΠ ha fullbordats, det är så av det förevisadeProp. 10.53 lem. uppenbart, att ΜΡ är ΣΝ och ΝΠ:s medelproportional och är lika med ΕΛ samt att ΜΞ är möjliggöraren till området ΑΓ. Det är så nödvändigt, att ΜΞ är en första bimedial. Eftersom ΑΕ är inkommensurabel i längd med ΕΔ och ΕΔ är kommensurabel med ΑΒ, är alltså ΑΕ inkommensurabel med ΑΒ.Prop. 10.13 Och eftersom ΑΗ är kommensurabel med ΕΗ, är även ΑΕ kommensurabel med var och en av ΑΗ och ΗΕ.Prop. 10.15 Men ΑΕ är inkommensurabel i längd med ΑΒ och alltså är ΑΗ och ΗΕ inkommensurabla med ΑΒ.Prop. 10.13 Alltså är ΒΑ, ΑΗ och ΗΕ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat,^R R) Dvs. ΒΑ och ΑΗ samt ΒΑ och ΗΕ. så att vart och ett av ΑΘ och ΗΚ är medialt.Prop. 10.21 Därför är även vart och ett av ΣΝ och ΝΠ medialt och alltså är ΜΝ och ΝΞ mediala. Och eftersom ΑΗ är kommensurabel i längd med ΗΕ, är även ΑΘ kommensurabel med ΗΚ, det vill säga ΣΝ med ΝΠ, det vill säga kvadraten på ΜΝ med den på ΝΞ ~~så att ΜΝ och ΝΞ är kommensurabla i kvadrat~~.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Och eftersom ΑΕ är inkommensurabel i längd med ΕΔ, men ΑΕ är kommensurabel med ΑΗ och ΕΔ kommensurabel med ΕΖ, är alltså ΑΗ inkommensurabel med ΕΖ,Prop. 10.13 så att även ΑΘ är inkommensurabel med ΕΛ, det vill säga ΣΝ med ΜΡ, det vill säga ΟΝ med ΝΡ, det vill säga ΜΝ är inkommensurabel i längd med ΝΞ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Men ΜΝ och ΝΞ har även visats vara mediala och kommensurabla i kvadrat, alltså är ΜΝ och ΝΞ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Jag säger så, att de omsluter ett uttryckbart område. Ty eftersom ΔΕ antagits vara kommensurabel med var och en av ΑΒ och ΕΖ, är alltså även ΕΖ kommensurabel med ΕΚ.Prop. 10.12 Och var och en av dem är uttryckbar, alltså är ΕΛ, det vill säga ΜΡ, uttryckbarProp. 10.19 och ΜΡ är rektangeln omsluten av ΜΝΞ. Om två mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter ett uttryckbart område, lagts samman, är hela den räta linjen irrationell och kallas första bimedialen.Prop. 10.37

Alltså är ΜΞ en första bimedial. Vilket skulle visas.

νϛʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα.

56.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en tredje binomial, är möjliggöraren till området irrationell och kallas andra bimedialen.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα.

Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον. καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη ἡ ΑΔ, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΔ σύμμετρός ~~ἐστι~~ τῇ ΑΒ μήκει. ὁμοίως δὴ τοῖς προδεδειγμένοις δείξομεν, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· ὥστε ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστίν.

Δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.

~~Καὶ~~ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, σύμμετρος δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. μέσον ἄρα ~~ἐστὶ~~ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ· καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝΞ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ.

Ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ^[58]

Ty låt området ΑΒΓΔ omslutas av den uttryckbara räta linjen ΑΒ och tredje binomialen ΑΔ, delad i beståndsdelarna vid Ε, så att ΑΕ är den större. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΓ är irrationell och kallas andra bimedialen.

Ty låt detsamma ha ställts upp som tidigare. Och eftersom ΑΔ är en tredje binomial, är alltså ΑΕ och ΕΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och ΑΕ är större i kvadrat än ΕΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den samt ingendera av ΑΕ och ΕΔ är kommensurabel i längd med ΑΒ.Def. 10.2.3 På liknande sätt, som för de förevisade, skall vi visa, att ΜΞ är möjliggöraren till området ΑΓ samt ΜΝ och ΝΞ är mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, så att ΜΞ är en bimedial.

Det är så nödvändigt, att visa, att den är en andra bimedial.

~~Och~~ eftersom ΔΕ är inkommensurabel i längd med ΑΒ, det vill säga med ΕΚ, och ΔΕ är kommensurabel med ΕΖ, är alltså ΕΖ inkommensurabel i längd med ΕΚProp. 10.13 och de är uttryckbara. Alltså är ΖΕ och ΕΚ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΕΛ, det vill säga ΜΡ, medialtProp. 10.21 och omsluts av ΜΝΞ, alltså är rektangeln omsluten av ΜΝΞ medial.

Alltså är ΜΞ en andra medial. Vilket skulle visas.

νζʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.

57.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en fjärde binomial, är möjliggöraren till området irrationell och kallas större irrationalen.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζον ἔστω τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρός ~~ἐστι~~ μήκει. τετμήσθω ἡ ΔΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει. ἤχθωσαν παράλληλοι τῇ ΑΒ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου γεγονέτω· φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων. ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ· καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ· ῥητὸν ἄρα ~~ἐστὶ~~ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ~~ἐστιν~~ ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΕΖ, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει. αἱ ΕΚ, ΕΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα τὸ ΛΕ, τουτέστι τὸ ΜΡ. καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ῥητὸν τὸ ~~συγκείμενον~~ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, καί εἰσιν ἀσύμμετροι αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει. ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ μείζων.

Ἡ ΜΞ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων, καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[59]

Ty låt området ΑΓ omslutas av den uttryckbara räta linjen ΑΒ och fjärde binomialen ΑΔ, delad i beståndsdelarna vid Ε, så att ΑΕ är den större. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΓ är irrationell och kallas större irrationalen.

Ty eftersom ΑΔ är en fjärde binomial, är alltså ΑΕ och ΕΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, ΑΕ är större i kvadrat än ΕΔ med en rät linje inkommensurabel i kvadrat med den och ΑΕ är kommensurabel i längd med ΑΒ.Def. 10.2.4 Låt ΔΕ ha delats i hälften vid Ζ och låt parallellogrammen omsluten av ΑΗ och ΗΕ, lika med kvadraten på ΕΖ, ha applicerats på ΑΕ, alltså är ΑΗ inkommensurabel i längd med ΗΕ.Prop. 10.18 Låt ha dragit ΗΘ, ΕΚ och ΖΛ parallella med ΑΒ samt låt resten bli detsamma som i dem före denna. Det är så uppenbart, att ΜΞ är möjliggöraren till området ΑΓ. Det är så nödvändigt, att visa, att ΜΞ är den irrationella räta linje som kallas den större irrationalen. Eftersom ΑΗ är inkommensurabel i längd med ΕΗ, är också ΑΘ inkommensurabelt med ΗΚ, det vill säga ΣΝ med ΝΠ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Alltså är ΜΝ och ΝΞ inkommensurabla i kvadrat. Och eftersom ΑΕ är kommensurabel i längd med ΑΒ, är ΑΚ uttryckbarProp. 10.19 och är lika med kvadraterna på ΜΝ och ΝΞ. Alltså är också området sammansatt av kvadraterna på ΜΝ och ΝΞ uttryckbart. Och eftersom ΔΕ är inkommensurabel i längd med ΑΒ,Prop. 10.13 det vill säga ΕΚ, men ΔΕ är kommensurabel med ΕΖ, alltså är ΕΖ inkommensurabel i längd med ΕΚ.Prop. 10.13 Alltså är ΕΚ och ΕΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΛΕ, det vill säga ΜΡ, medialtProp. 10.21 och omsluts av ΜΝ och ΝΞ, alltså är rektangeln omsluten av ΜΝ och ΝΞ medial. Och området ~~sammansatt~~ av kvadraterna på ΜΝ och ΝΞ , samt ΜΝ och ΝΞ är inkommensurabla i kvadrat. Om två räta linjer, inkommensurabla i kvadrat, som gör området sammanlagt av kvadraterna på dem uttryckbart och rektangeln omsluten av dem medial, lagts samman, är hela räta linjen irrationell och kallas större irrationalen.Prop. 10.39

Alltså är ΜΞ irrationell och kallas större irrationalen samt möjliggör området ΑΓ. Vilket skulle visas.

νηʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.

58.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en femte binomial, är möjliggöraren till området irrationell och kallas möjliggöraren till ett uttryckbart plus ett medialt område.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ· λέγω δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.

Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον δεδειγμένοις· φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη. ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΘΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη, καί ~~ἐστιν~~ ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΕΔ, σύμμετρος ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει. ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ ἐστιν ἀσύμμετρος· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΑΕ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει ~~αἱ ΒΑ, ΑΕ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι~~· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρός ἐστιν, καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστιν. καὶ ῥητὴ ἡ ΕΚ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΜΝΞ· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν.

Ἡ ΜΞ ἄρα ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[60]

Ty låt området ΑΓ omslutas av den uttryckbara räta linjen ΑΒ och femte binomialen ΑΔ, delad i beståndsdelarna vid Ε, så att ΑΕ är den större. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΓ är irrationell och kallas möjliggöraren till ett uttryckbart plus ett medialt område.

Ty låt detsamma ha ställts upp som de tidigare förevisade. Det är så uppenbart, att ΜΞ är möjliggöraren till området ΑΓ. Det är så nödvändigt, att visa, att ΜΞ är möjliggöraren till ett uttryckbart plus ett medialt område. Ty eftersom ΑΗ är inkommensurabel med ΗΕ,Prop. 10.18 är alltså även ΑΘ inkommensurabelt med ΘΕ, det vill säga kvadraten på ΜΝ med den på ΝΞ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Alltså är ΜΝ och ΝΞ inkommensurabla i kvadrat. Och eftersom ΑΔ är en femte binomial och ΕΔ är dess mindre snitt, är alltså ΕΔ kommensurabel i längd med ΑΒ.Def. 10.2.5 Men ΑΕ är inkommensurabel med ΕΔ och alltså är ΑΒ inkommensurabel i längd med ΑΕ ~~ΒΑ och ΑΕ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat~~, alltså är ΑΚ, det vill säga området sammanlagt av kvadraterna på ΜΝ och ΝΞ, medialt.Prop. 10.21 Och eftersom ΔΕ är kommensurabel i längd med ΑΒ, det vill säga ΕΚ, men ΔΕ är kommensurabel med ΕΖ, och alltså är ΕΖ kommensurabel med ΕΚ.Prop. 10.12 Och ΕΚ är uttryckbar, alltså är även ΕΛ, det vill säga ΜΡ, det vill säga rektangeln omsluten av ΜΝΞ, uttryckbar.Prop. 10.19 Alltså är ΜΝ och ΝΞ inkommensurabla i kvadrat, som gör området sammansatt av kvadraterna på dem medialt, och rektangeln omsluten av dem uttryckbar.

Alltså är ΜΞ en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt områdeProp. 10.40 och möjliggör området ΑΓ. Vilket skulle visas.

νθʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη δύο μέσα δυναμένη.

59.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en sjätte binomial, är möjliggöraren till området irrationell och kallas möjliggöraren till området av två mediala.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.

Κατεσκευάσθω ~~γὰρ~~ τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις. φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ, καὶ ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ δυνάμει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ μήκει, αἱ ΕΑ, ΑΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΕΚ· αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρος ἡ ΑΕ τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν. ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΚ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, τὸ δὲ ΕΛ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝΞ τῷ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καί ἐστι μέσον ἑκάτερον αὐτῶν, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.

Ἡ ΜΞ ἄρα δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

[Λῆμμα.

Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τετράγωνα μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ἀνίσων περιεχομένου ὀρθογωνίου.

Ty låt området ΑΒΓΔ omslutas av den uttryckbara räta linjen ΑΒ och sjätte binomialen ΑΔ, delad i beståndsdelarna vid Ε, så att ΑΕ är den större beståndsdelen. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΓ är möjliggöraren till området av två mediala.

Ty låt detsamma ha ställts upp som de tidigare förevisade. Det är så uppenbart, att ΜΞ är möjliggöraren till området ΑΓ och att ΜΝ är inkommensurabel i kvadrat med ΝΞ. Och eftersom ΕΑ är inkommensurabel i längd med ΑΒ,Def. 10.2.6 är alltså ΕΑ och ΑΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΑΚ, det vill säga området sammanlagt av kvadraterna på ΜΝ och ΝΞ, medialt.Prop. 10.21 Åter, eftersom ΕΔ är inkommensurabel i längd med ΑΒ,Def. 10.2.6 är alltså även ΖΕ inkommensurabel med ΕΚ.Prop. 10.13 Alltså är ΖΕ och ΕΚ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΕΛ, det vill säga ΜΡ, det vill säga rektangeln omsluten av ΜΝΞ, medialt.Prop. 10.21 Och eftersom ΑΕ är inkommensurabel med ΕΖ, är även ΑΚ inkommensurabelt med ΕΛ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Men ΑΚ är sammansatt av kvadraterna på ΜΝ och ΝΞ samt ΕΛ är rektangeln omsluten av ΜΝΞ, alltså är området sammansatt av kvadraterna på ΜΝΞ inkommensurabelt med rektangeln omsluten av ΜΝΞ. Och vart och ett är medialt samt ΜΝ och ΝΞ är inkommensurabla i kvadrat.

Alltså är ΜΞ en möjliggörare till området av två medialaProp. 10.41 och möjliggör ΑΓ. Vilket skulle visas.

[Hjälpsats.

Om en rät linje delats i olika delar, är kvadraterna på de olika delarna större än dubbla rektangeln omsluten av de olika delarna.

Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.

Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα γραμμὴ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Δ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΔ· ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΔ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττον ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΔ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διπλάσιά ~~ἐστι~~ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.]^[61]

Låt ΑΒ vara en rät linje, låt den ha delats i olika delar vid Γ och låt ΑΓ vara större. Jag säger, att kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är större än dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ.

Låt ΑΒ ha delats i hälften vid Δ. Eftersom då den räta linjen delats i lika delar vid Δ, men i olika delar vid Γ, är alltså rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ med kvadraten på ΓΔ lika med kvadraten på ΑΔ,Prop. 2.5 så att rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ är mindre än kvadraten på ΑΔ. Alltså är dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ mindre än två gånger kvadraten på ΑΔ. Men kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är två gånger kvadraterna på ΑΔ och ΔΓ,Prop. 2.9 alltså är kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ större än dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ. Vilket skulle visas.]

ξʹ.

Τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.

60.

Kvadraten på en binomial applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en första binomial som bredd.

Ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕΖΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη.

Παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον τὸ ΚΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΖ. τετμήσθω ἡ ΜΗ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ ~~ἑκατέρᾳ τῶν ΜΛ, ΗΖ~~. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΜΞ, ΝΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα ἀλλήλοις· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ~~σύμμετρόν ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ~~. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΜΔ ῥητὴ καὶ τῇ ΔΕ μήκει σύμμετρος· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.

Δεικτέον δή, ὅτι καὶ πρώτη.

Ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, καὶ τῶν ΔΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΜΞ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΜΞ, οὕτως τὸ ΜΞ πρὸς τὸ ΚΛ, τουτέστιν ὡς ἡ ΔΚ πρὸς τὴν ΜΝ, ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΚ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ μείζονά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μείζων ἐστίν. καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ. ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΔΜ, ΜΗ, καὶ ἡ ΔΜ μεῖζον ὄνομα οὖσα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει.

Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[62]

Låt ΑΒ vara en binomial delad i beståndsdelarna vid Γ, så att ΑΓ är den större beståndsdelen, låt den uttryckbara räta linjen ΔΕ ha sättas ut och låt ΔΕΖΗ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΔΕ resulterande i bredden ΔΗ. Jag säger, att ΔΗ är en första binomial.

Ty låt ΔΘ, lika med kvadraten på ΑΓ, och ΚΛ, lika med kvadraten på ΒΓ, ha applicerats på ΔΕ. Alltså är resten, dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, lika med ΜΖ.Prop. 2.4 Låt ΜΗ ha delats i hälften vid Ν och låt ha dragit ΝΞ parallell ~~med var och en av ΜΛ och ΗΖ~~. Alltså är vart och ett av ΜΞ och ΝΖ lika med en gång av rektangeln omsluten av ΑΓΒ. Och eftersom ΑΒ är en binomial delad i beståndsdelarna vid Γ, är alltså ΑΓ och ΓΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.36 Alltså är kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ uttryckbara och kommensurabla med varandra, därför är också området sammansatt av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ ~~kommensurabelt med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ, alltså är området sammansatt av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ uttryckbart~~.Prop. 10.15 Och är lika med ΔΛ, alltså är ΔΛ uttryckbart och ligger längs den uttryckbara ΔΕ. Alltså är ΔΜ också kommensurabel i längd med ΔΕ.Prop. 10.20 Åter, eftersom ΑΓ och ΓΒ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, är alltså dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, det vill säga ΜΖ, medialProp. 10.21 och ligger längs den uttryckbara ΜΛ, alltså är även ΜΗ inkommensurabel i längd med ΜΛ, det vill säga ΔΕ.Prop. 10.22 Även ΜΔ är uttryckbar och kommensurabel i längd med ΔΕ, alltså är ΔΜ inkommensurabel i längd med ΜΗ.Prop. 10.13 De är också uttryckbara, alltså är ΔΜ och ΜΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΔΗ en binomial.Prop. 10.36

Det är så nödvändigt, att visa, att den också är en första binomial.

Eftersom rektangeln omsluten av ΑΓΒ är kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ:s medelproportional,Prop. 10.53 lem. är alltså även ΜΞ ΔΘ och ΚΛ:s medelproportional. Alltså som ΔΘ är till ΜΞ, så är ΜΞ till ΚΛ, det vill säga som ΔΚ är till ΜΝ, så är ΜΝ till ΜΚ.Prop. 6.1 Alltså är rektangeln omsluten av ΔΚ och ΚΜ lika med kvadraten på ΜΝ.Prop. 6.17 Och eftersom kvadraten på ΑΓ är kommensurabel med den på ΓΒ, är även ΔΘ kommensurabelt med ΚΛ, därför är även ΔΚ kommensurabel med ΚΜ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Och eftersom kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är större än dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ,Prop. 10.59 lem. är alltså även ΔΛ större än ΜΖ, därför är även ΔΜ större än ΜΗ.Prop. 6.1 Prop. 5.14 Och rektangeln omsluten av ΔΚ och ΚΜ är lika med kvadraten på ΜΝ, det vill säga med en fjärdedel av kvadraten på ΜΗ, och ΔΚ är kommensurabel med ΚΜ. Och om två räta linjer är olika samt parallellogrammen applicerad på den större, med en brist av en kvadratisk figur, är lika med en fjärdedel av kvadraten på den mindre och denna delas i kommensurabla delar, är den större större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.17 Alltså är ΔΜ större i kvadrat än ΜΗ på en rät linje kommensurabel med den. ΔΜ och ΜΗ är uttryckbara och ΔΜ, som är större beståndsdelen, är kommensurabel i längd med den utsatta utryckbara räta linjen ΔΕ.

Alltså är ΔΗ en första binomial.Def. 10.2.1 Vilket skulle visas.

ξαʹ.

Τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.

61.

Kvadraten på en första bimedial applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en andra binomial som bredd.

Ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ, ὧν μείζων ἡ ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.

Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσα ἐστίν. μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παραβέβληται· ῥητὴ ἄρα ἐστίν ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητόν ἐστι καὶ τὸ ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ~~ἐστὶ~~ καὶ ἡ ΜΗ καὶ μήκει σύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει. καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.

Δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.

Ἐπεὶ γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν. καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.

Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.^[63]

Låt ΑΒ vara en första bimedial delad i medialerna vid Γ, så att ΑΓ är den större, låt den uttryckbara räta linjen ΔΕ sättas ut och låt ΔΖ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΔΕ resulterande i bredden ΔΗ. Jag säger, att ΔΗ är en andra binomial.

Ty låt detsamma ha ställts upp som de före denna. Och eftersom ΑΒ är en första bimedial delad vid Γ, är alltså ΑΓ och ΓΒ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat omslutande ett uttryckbart område.Prop. 10.37 Därför är även kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ mediala.Prop. 10.21 Alltså är ΔΛ medialtProp. 10.15 Prop. 10.23 cor. och ligger längs den uttryckbara ΔΕ, alltså är ΜΔ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΕ.Prop. 10.22 Åter, eftersom dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ är uttryckbar, är även ΜΖ uttryckbart och ligger längs den uttryckbara ΜΛ, alltså är även ΜΗ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΜΛ, det vill säga med ΔΕ.Prop. 10.20 Alltså är ΔΜ inkommensurabel i längd med ΜΗProp. 10.13 och är uttryckbara, alltså är ΔΜ och ΜΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΔΗ en binomial.Prop. 10.36

Det är så nödvändigt, att visa, att den också är en andra binomial.

Ty eftersom kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är större än dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ,Prop. 10.59 är alltså även ΔΛ större än ΜΖ, därför också ΔΜ än ΜΗ.Prop. 6.1 Och eftersom kvadraten på ΑΓ är kommensurabel med den på ΓΒ, är även ΔΘ kommensurabelt med ΚΛ, så att även ΔΚ är kommensurabel med ΚΜ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Och rektangeln omsluten av ΔΚΜ är lika med kvadraten på ΜΝ, alltså är ΔΜ större i kvadrat än ΜΗ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.17 Och ΜΗ är kommensurabel i längd med ΔΕ.

Alltså är ΔΗ en andra binomial.Def. 10.2.2

ξβʹ.

Τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.

62.

Kvadraten på en andra bimedial applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en tredje binomial som bredd.

Ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον τμῆμα εἶναι τὸ ΑΓ, ῥητὴ δέ τις ἔστω ἡ ΔΕ, καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη.

Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις. καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ. καὶ παράκειται παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῷ ΜΗ ἀσύμμετρός ἐστιν. καί εἰσι ῥηταί· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.

Δεικτέον δή, ὅτι καὶ τρίτη.

Ὁμοίως δὴ τοῖς προτέροις ἐπιλογιούμεθα, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ. καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΕ μήκει.

Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ^[64]

Låt ΑΒ vara en första bimedial delad i medialerna vid Γ, så att ΑΓ är det större snittet, låt ha satt ut den uttryckbara räta linjen ΔΕ och låt ΔΖ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΔΕ resulterande i bredden ΔΗ. Jag säger, att ΔΗ är en tredje binomial.

Ty låt detsamma ha ställts upp som i de förevisade. Och eftersom ΑΒ är en andra bimedial delad vid Γ, är alltså ΑΓ och ΓΒ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat omslutande ett uttryckbart område,Prop. 10.38 så att även området sammanlagt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är medialtProp. 10.15 Prop. 10.23 cor. och är lika med ΔΛ. Alltså är ΔΛ medialt och ligger längs den uttryckbara ΔΕ. Alltså är även ΜΔ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΕ.Prop. 10.22 Av samma skäl bör även ΜΗ vara uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΜΛ, det vill säga med ΔΕ, alltså är var och en av ΔΜ och ΜΗ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΕ. Och eftersom ΑΓ är inkommensurabel i längd med ΓΒ och som ΑΓ är till ΓΒ, så är kvadraten på ΑΓ till rektangeln omsluten av ΑΓΒ,Prop. 10.21 lem. alltså är kvadraten på ΑΓ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΓΒ.Prop. 10.11 Därför är även området sammanlagt av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ inkommensurabelt med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓΒ, det vill säga ΔΛ med ΜΖ,Prop. 10.12 Prop. 10.13 så att även ΔΜ är inkommensurabel med ΜΗ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Och de är uttryckbara, alltså är ΔΗ en binomial.Prop. 10.36

Det är så nödvändigt, att visa, att den också är en tredje binomial.

Liksom för de tidigare kan vi sluta oss till, att ΔΜ är större än ΜΗ och ΔΚ är kommensurabel med ΚΜ. Och rektangeln omsluten av ΔΚΜ är lika med kvadraten på ΜΝ, alltså är ΔΜ större i kvadrat än ΜΗ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.17 Och ingendera av ΔΜ och ΜΗ är kommensurabel i längd med ΔΕ.

Alltså är ΔΗ en tredje binomial.Def. 10.2.3 Vilket skulle visas.

ξγʹ.

Τὸ ἀπὸ τῆς μείζονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.

63.

Kvadraten på en större irrationalen applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en fjärde binomial som bredd.

Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη.

Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον. ἐπεὶ οὖν ῥητόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΔΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, καὶ παρὰ ῥητήν ἐστι τὴν ΜΛ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει. αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.

Δεικτέον δή, ὅτι καὶ τετάρτη.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ, καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ. ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ· ὥστε ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ ἐστιν. ἐὰν δὲ ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παραλληλόγραμμον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσύμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΔΜ, ΜΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΜ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ.

Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[65]

Låt ΑΒ vara en större irrational delad vid Γ, så att ΑΓ är större än ΓΒ, och låt ΔΕ vara en uttryckbar rät linje. Låt även parallellogrammen ΔΖ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΔΕ resulterande i bredden ΔΗ. Jag säger, att ΔΗ är en fjärde binomial.

Ty låt detsamma ha ställts upp som i de förevisade. Och eftersom ΑΒ är en större irrational delad vid Γ, är ΑΓ och ΓΒ inkommensurabla i kvadrat och gör området sammanlagt av kvadraterna på dem uttryckbart och rektangeln omsluten av dem medial.Prop. 10.39 Eftersom då området sammanlagt av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är uttryckbart, är alltså ΔΛ uttryckbart. Alltså är även ΔΜ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΔΕ.Prop. 10.20 Åter, eftersom dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, det vill säga ΜΖ, är medial och ligger längs den uttryckbara ΜΛ, är alltså även ΜΗ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΕ,Prop. 10.22 alltså är även ΔΜ inkommensurabel i längd med ΜΗ.Prop. 10.13 Alltså är ΔΜ och ΜΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΔΗ en binomial.Prop. 10.36

Det är så nödvändigt, att visa, att den också är en fjärde binomial.

Liksom för de tidigare skall vi visa, att ΔΜ är större än ΜΗ och att rektangeln omsluten av ΔΚΜ är lika med kvadraten på ΜΝ. Eftersom då kvadraten på ΑΓ är inkommensurabel med den på ΓΒ, är alltså även ΔΘ inkommensurabelt med ΚΛ, så att också ΔΚ är inkommensurabel med ΚΜ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Om två räta linjer är olika samt parallellogrammen applicerad på den större, med en brist av en kvadratisk figur, är lika med en fjärdedel av kvadraten på den mindre och denna delas i delar inkommensurabla, är den större större i kvadrat än den mindre med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den.Prop. 10.18 Alltså är ΔΜ större i kvadrat än ΜΗ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den. Och ΔΜ och ΜΗ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och ΔΜ är kommensurabel med den utsatta uttryckbara räta linjen ΔΕ.

Alltså är ΔΗ en fjärde binomial.Def. 10.2.4 Viket skulle visas.

ξδʹ.

Τὸ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.

64.

Kvadraten på en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område applicerad på en uttryckbar resulterar i en femte binomial som bredd.

Ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη.

Κατεσκευάσθω τὰ αὐτα τοῖς πρὸ τούτου. ἐπεὶ οὖν ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ· ὥστε ῥητή ἐστιν ἡ ΔΜ καὶ μήκει ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ. πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, ῥητὴ ἄρα ἡ ΜΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ. ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ· αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.

Ὁμοίως γὰρ δειχθήσεται, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, καὶ ἀσύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί εἰσιν αἱ ΔΜ, ΜΗ ~~ῥηταὶ~~ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ἐλάσσων ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.

Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[66]

Låt ΑΒ vara en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område delad i räta linjer vid Γ, så att ΑΓ är större, och låt den uttryckbara ΔΕ sättas ut. Låt även parallellogrammen ΔΖ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΔΕ resulterande i bredden ΔΗ. Jag säger, att ΔΗ är en femte binomial.

Ty låt detsamma ha ställts upp som de före denna. Och eftersom ΑΒ vara en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område delad vid Γ, är alltså ΑΓ och ΓΒ inkommensurabla i kvadrat och de resulterar i ett område sammantaget av kvadraterna på dem, som är medialt, samt rektangeln omsluten av dem, som är uttryckbar.Prop. 10.40 Eftersom då området sammantaget av kvadraterna på dem är medialt, är alltså ΔΛ medialt, så att ΔΜ är uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΕ.Prop. 10.22 Åter, eftersom dubbla rektangeln omsluten av ΑΓΒ, det vill säga ΜΖ, är uttryckbar, är alltså ΜΗ uttryckbar och kommensurabel med ΔΕ.Prop. 10.20 Alltså är ΔΜ inkommensurabel med ΜΗ,Prop. 10.13 alltså är ΔΜ och ΜΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΔΗ en binomial.Prop. 10.36

Jag säger så, att den också är en femte binomial.

Ty liksom för de tidigare skall det visas, att rektangeln omsluten av ΔΚΜ är lika med kvadraten på ΜΝ och ΔΚ är inkommensurabel i längd med ΚΜ, alltså är ΔΜ större i kvadrat än ΜΗ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den.Prop. 10.18 Och ΔΜ och ΜΗ är ~~uttryckbara~~ räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och den mindre, ΜΗ, är kommensurabel i längd med ΔΕ.

Alltså är ΔΗ en femte binomial.Def. 10.2.5 Vilket skulle visas.

ξεʹ.

Τὸ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.

65.

Kvadraten på en möjliggörare till området av två mediala appliceras på en uttryckbar resulterar i en sjätte binomial som bredd.

Ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ῥητὴ δὲ ἔστω ἡ ΔΕ, καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη.

Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων συγκείμενον τῷ ὑπ᾿ αὐτῶν· ὥστε κατὰ τὰ προδεδειγμένα μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΔΛ, ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ. ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ· αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.

Ὁμοίως δὴ πάλιν δεῖξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, καὶ ὅτι ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει ἐστὶν ἀσύμμετρος· καὶ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει.

Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[67]

Låt ΑΒ vara en möjliggörare till området av två mediala delad vid Γ och låt ΔΕ vara en uttryckbar rät linje. Låt även parallellogrammen ΔΖ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΔΕ resulterande i bredden ΔΗ. Jag säger, att ΔΗ är en sjätte binomial.

Ty låt detsamma ha ställts upp som för de tidigare. Och eftersom ΑΒ är en möjliggörare till området av två mediala delad vid Γ, är alltså ΑΓ och ΓΒ inkommensurabla i kvadrat och de resulterar i ett område sammantaget av kvadraterna på dem, som är medialt, samt rektangeln omsluten av dem, som är medial. Dessutom är området sammantaget av kvadraterna på dem inkommensurabelt med rektangeln omsluten av dem,Prop. 10.41 så att, enligt det som har förevisats, är vart och ett av ΔΛ och ΜΖ medialt och ligger längs den uttryckbara ΔΕ, alltså är var och en av ΔΜ och ΜΗ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΕ.Prop. 10.22 Och eftersom området sammantaget av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är inkommensurabelt med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, är alltså ΔΛ inkommensurabelt med ΜΖ. Alltså är även ΔΜ inkommensurabel med ΜΗ,Prop. 6.1 Prop. 10.11 alltså är ΔΜ och ΜΗ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΔΗ en binomial.Prop. 10.36

Jag säger så, att den också är en sjätte binomial.

På liknande sätt skall vi så åter visa, att rektangeln omsluten av ΔΚΜ är lika med kvadraten på ΜΝ och att ΔΚ är inkommensurabel i längd med ΚΜ. Och av samma skäl bör ΔΜ vara större i kvadrat än ΜΗ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den.Prop. 10.18 Och ingendera av ΔΜ och ΜΗ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΔΕ.

Alltså är ΔΗ en sjätte binomial.Def. 10.2.6 Vilket skulle visas.

ξϛʹ.

Ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.

66.

En rät linje kommensurabel i längd med en binomial är också själv en binomial och är av samma ordning.

Ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.

Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει· σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΖΔ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ· ῥηταὶ ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ. καὶ ~~ἐπεί~~ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ, ἡ ΕΒ πρὸς ΖΔ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ. αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον ~~εἰσὶ~~ σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. καί εἰσι ῥηταί· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΓΔ.

Λέγω δή, ὅτι τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.

Ἡ γὰρ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται ἤτοι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται, καὶ διὰ τοῦτο ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη, τουτέστι τῇ τάξει ἡ αὐτή. εἰ δὲ ἡ ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ, καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τῇ τάξει ἡ αὐτὴ ἔσται τῇ ΑΒ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἔσται ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα. εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται, καί ἐστιν ἑκατέρα τρίτη. εἰ δὲ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τὴς ΖΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν ἡ ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῃ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ, καὶ ἐστιν ἑκατέρα τετάρτη. εἰ δὲ ἡ ΕΒ, καὶ ἡ ΖΔ, καὶ ἔσται ἑκατέρα πέμπτη. εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ τῶν ΓΖ, ΖΔ οὐδετέρα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἔσται ἑκατέρα ἕκτη.

Ὥστε ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[68]

Låt ΑΒ vara en binomial och låt ΓΔ vara kommensurabel i längd med ΑΒ. Jag säger, att ΓΔ är en binomial och av samma ordning som ΑΒ.

Ty eftersom ΑΒ är en binomial, låt den ha delats i beståndsdelarna vid Ε och låt ΑΕ vara större. Alltså är ΑΕ och ΕΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.36 Låt ΑΒ ha blivit till ΓΔ, som ΑΕ är till ΓΖ,Prop. 6.12 alltså är också resten ΕΒ till resten ΖΔ, som ΑΒ är till ΓΔ.Prop. 6.16 Prop. 5.19 cor. Och ΑΒ är kommensurabel i längd med ΓΔ, alltså är också ΑΕ kommensurabel med ΓΖ och ΕΒ med ΖΔ.Prop. 10.11 Och ΑΕ och ΕΒ är uttryckbara, alltså är också ΓΖ och ΖΔ uttryckbara. Och då som ΑΕ är till ΓΖ, så är ΕΒ till ΖΔ,Prop. 5.11 alltså, alternerat, som ΑΕ ät till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔ.Prop. 5.16 ΑΕ och ΕΒ är endast kommensurabla i kvadrat och alltså är ΓΖ och ΖΔ endast kommensurabla i kvadratProp. 10.11 och de är uttryckbara. Alltså är ΓΔ en binomial.Prop. 10.36

Jag säger så, att den är av samma ordning som ΑΒ.

Ty ΑΕ är större i kvadrat än ΕΒ antingen med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den eller med kvadraten på en inkommensurabel med den. Alltså, om ΑΕ är större i kvadrat än ΕΒ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den, är även ΓΖ större i kvadrat än ΖΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.14 Och om ΑΕ är kommensurabel med en utsatt uttryckbar rät linje, skall även ΓΖ vara kommensurabel med den.Prop. 10.12 Och av samma skäl är var och en av ΑΒ och ΓΔ en första binomial,Def. 10.2.1 det vill säga av samma ordning som den. Och om ΕΒ är kommensurabel med en utsatt uttryckbar rät linje, är även ΖΔ vara kommensurabel med den.Prop. 10.12 Och åter skall den av samma skäl vara av samma ordning som ΑΒ. Ty var och en av dem skall var en andra binomial.Def. 10.2.2 Om ingendera av ΑΕ och ΕΒ är kommensurabel med en utsatt uttryckbar rät linje, skall ingendera av ΓΖ och ΖΔ vara kommensurabel med denProp. 10.13 och var och en är en tredje binomial.Def. 10.2.3 Och om ΑΕ är större i kvadrat än ΕΒ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den, är även ΓΖ större i kvadrat än ΖΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.14 Och om ΑΕ är kommensurabel med en utsatt uttryckbar rät linje, är också ΓΖ kommensurabel med denProp. 10.12 och var och en av dem är en fjärde binomial.Def. 10.2.4 Men, om det är ΕΒ och ΖΔ, skall även var och en av dem vara en femte binomial.Def. 10.2.5 Och om ingendera av ΑΕ och ΕΒ är det, är heller ingendera av ΓΖ och ΖΔ kommensurabel med den utsatta uttryckbara räta linjen och var och en skall vara en sjätte binomial.Def. 10.2.6

Därför är en rät linje kommensurabel i längd med en binomial en binomial och av samma ordning. Vilket skulle visas.

ξζʹ.

Ἡ τῇ ἐκ δύο μέσων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.

67.

En rät linje kommensurabel i längd med en bimedial är också själv en bimedial och är av samma ordning.

Ἔστω ἐκ δύο μέσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.

Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο μέσων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει· σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσαι δὲ αἱ ΑΕ, ΕΒ· μέσαι ἄρα καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ~~ἄρα~~ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἐδείχθησαν δὲ καὶ μέσαι· ἡ ΓΔ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστίν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΑΒ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ· ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ ῥητόν ἐστιν ~~καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ἐκ δύο μέσων πρώτη~~. εἴτε μέσον, μέσον, καί ἐστιν ἑκατέρα δευτέρα.

Καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ἡ ΓΔ τῇ ΑΒ τῇ τάξει ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[69]

Låt ΑΒ vara en bimedial och låt ΓΔ vara kommensurabel i längd med ΑΒ. Jag säger, att ΓΔ är en bimedial och är av samma ordning som ΑΒ.

Ty eftersom ΑΒ är en bimedial, låt den ha delats i medialerna vid Ε. Alltså är ΑΕ och ΕΒ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.37 Prop. 10.38 Och som ΑΒ är till ΓΔ, låt så ΑΕ blivit till ΓΖ,Prop. 6.12 alltså är resten ΕΒ till resten ΖΔ, som ΑΒ är till ΓΔ.Prop. 5.19 cor. Prop. 6.16 Och ΑΒ är kommensurabel i längd med ΓΔ, alltså är även var och en av ΑΕ och ΕΒ kommensurabel med var och en av ΓΖ och ΖΔ.Prop. 10.11 Då ΑΕ och ΕΒ är mediala, är alltså även ΓΖ och ΖΔ mediala.Prop. 10.23 Och då som ΑΕ är till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔ samt ΑΕ och ΕΒ är endast kommensurabla i kvadrat, och ~~alltså~~ är även ΓΖ och ΖΔ endast kommensurabla i kvadratProp. 10.11 och har visats vara mediala, alltså är ΓΔ en bimedial.

Jag säger så, att den är av samma ordning som ΑΒ.

Ty då som ΑΕ är till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔ, och alltså som kvadraten på ΑΕ är till rektangeln omsluten av ΑΕΒ, så är kvadraten på ΓΖ till rektangeln omsluten av ΓΖΔ.Prop. 10.21 lem. Alternerat, som kvadraten på ΑΕ är till den på ΓΖ, så är rektangeln omsluten av ΑΕΒ till den omsluten av ΓΖΔ.Prop. 5.16 Och kvadraten på ΑΕ är kommensurabel med den på ΓΖ, alltså är även rektangeln omsluten av ΑΕΒ kommensurabel med den omsluten av ΓΖΔ.Prop. 10.11 Alltså är antingen rektangeln omsluten av ΑΕΒ uttryckbar och rektangeln omsluten av ΓΖΔ uttryckbar ~~och är på grund av detta en första bimedial~~. Eller så är den ena medial och den andra medial och var och en är en andra bimedial.Prop. 10.23 Prop. 10.37 Prop. 10.38

Och på grund av detta skall ΓΔ vara av samma ordning som ΑΒ. Viket skulle visas.

ξηʹ.

Ἡ τῇ μείζονι σύμμετρος καὶ αὐτὴ μείζων ἐστίν.

68.

En rät linje kommensurabel med en större irrational är också själv en större irrational.

Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ μείζων ἐστίν.

Διῃρήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον· καὶ γεγονέτω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἥ τε ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ· σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα ἑστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ· σύμμετρα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἅμα ῥητόν, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ἅμα ῥητόν ἐστιν. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι μέσον τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον· ὅλη ἄρα ἡ ΓΔ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.

Ἡ ἄρα τῇ μείζονι σύμμετρος μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[70]

Låt ΑΒ vara en större irrational och låt ΓΔ vara kommensurabel med ΑΒ. Jag säger, att ΓΔ är en större irrational.

Låt ΑΒ ha delats vid Ε, alltså är ΑΕ och ΕΒ, inkommensurabla i kvadrat samt gör området sammansatt av kvadraterna på dem uttryckbart och rektangeln omsluten av dem medial.Prop. 10.39 Låt även detsamma ha skett som i de tidigare. Och då som ΑΒ är till ΓΔ, så är både ΑΕ till ΓΖ och ΕΒ till ΖΔ, och alltså som ΑΕ är till ΓΖ, så är ΕΒ till ΖΔ.Prop. 5.11 Och ΑΒ är kommensurabel med ΓΔ, alltså är också var och en av ΑΕ och ΕΒ kommensurabel med var och en av ΓΖ och ΖΔ.Prop. 10.11 Och då som ΑΕ är till ΓΖ, så är ΕΒ till ΖΔ, och, alternerat, som ΑΕ är till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔ,Prop. 5.16 och genom komposition som ΑΒ alltså är till ΒΕ, så är ΓΔ till ΔΖ,Prop. 5.18 och alltså som kvadraten på ΑΒ är till den på ΒΕ, så är den på ΓΔ till den på ΔΖ.Prop. 6.20 På likande sätt skall vi så visa, att också som kvadraten på ΑΒ är till den på ΑΕ, så är den på ΓΔ till den på ΓΖ. Och alltså som kvadraten på ΑΒ är till dem på ΑΕ och ΕΒ, så är den på ΓΔ till dem på ΓΖ och ΖΔ, och, alternerat, som kvadraten på ΑΒ alltså är till den på ΓΔ, så är de på ΑΕ och ΕΒ till dem på ΓΖ och ΖΔ.Prop. 5.16 Och kvadraten på ΑΒ är kommensurabel med den på ΓΔ, alltså är kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ kommensurabla med dem på ΓΖ och ΖΔ.Prop. 10.11 Både kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ tillsammans är uttryckbara och de på ΓΖ och ΖΔ tillsammans är uttryckbara. Och, liknande, är dubbla rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ kommensurabel med dubbla den omsluten av ΓΖ och ΖΔ. Och dubbla rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ är medial, alltså är dubbla den omsluten av ΓΖ och ΖΔ medial.Prop. 10.23 cor. Alltså är de inkommensurabla i kvadratProp. 10.13 samt gör området sammansatt av kvadraterna på dem tillsammans uttryckbart och dubbla rektangeln omsluten av dem medial, alltså är hela ΓΔ den irrational som kallas den större.Prop. 10.39

Alltså är en rät linje kommensurabel med en större irrational är en större irrational. Vilket skulle visas.

ξθʹ.

Ἡ τῇ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένῃ σύμμετρος ~~καὶ αὐτὴ~~ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.

69.

En rät linje kommensurabel med en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område är ~~också själv~~ en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område.

Ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.

Διῃρήσθω ἡ ΑΒ εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν· καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω τοῖς πρότερον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ ~~μὲν~~ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων ἐστὶ μέσον, τὸ δ᾿ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ῥητόν.

Ῥητὸν ἄρα καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[71]

Låt ΑΒ vara en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område och låt ΓΔ vara kommensurabel med ΑΒ. Det är så nödvändigt, att visa, att också ΓΔ är en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område.

Låt ΑΒ ha delats i de räta linjerna vid Ε, alltså är ΑΕ och ΕΒ inkommensurabla i kvadrat och de resulterar i ett område sammantaget av kvadraterna på dem, som är medialt, samt rektangeln omsluten av dem, som är uttryckbar.Prop. 10.40 Och låt detsamma ha ställts upp som tidigare. På liknande sätt skall vi så visa, att också ΓΖ och ΖΔ är inkommensurabla i kvadrat, att området sammantaget av kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ är kommensurabelt med det sammantaget av kvadraterna på ΓΖ och ΖΔ samt rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ med den omsluten av ΓΖ och ΖΔ. Därför är också området sammantaget av kvadraterna på ΓΖ och ΖΔ medialt och rektangeln omsluten av ΓΖ och ΖΔ uttryckbar.

Alltså är ΓΔ en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område.Prop. 10.40 Vilket skulle visas.

οʹ.

Ἡ τῇ δύο μέσα δυναμένῃ σύμμετρος δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.

70.

En rät linje kommensurabel med en möjliggörare till området omslutet av två mediala är en möjliggörare till området omslutet av två mediala.

Ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.

Ἐπεὶ γὰρ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν ~~τετραγώνων~~ μέσον καὶ τὸ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.

Ἡ ἄρα ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[72]

Låt ΑΒ vara en möjliggörare till området omslutet av två mediala och ΓΔ kommensurabel med ΑΒ. Det är så nödvändigt, att visa, att också ΓΔ är en möjliggörare till området omslutet av två mediala.

Ty eftersom ΑΒ är en möjliggörare till området omslutet av två mediala, låt den ha delats i de räta linjerna vid Ε, alltså är ΑΕ och ΕΒ inkommensurabla i kvadrat och de resulterar i ett område sammantaget av ~~kvadraterna~~ på dem, som är medialt, samt rektangeln omsluten av dem, som är medial. Och dessutom är området sammantaget av ~~kvadraterna~~ på ΑΕ och ΕΒ inkommensurabelt med rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ.Prop. 10.41 Låt även detsamma ha ställts upp som tidigare. På liknande sätt skall vi så visa, att också ΓΖ och ΖΔ är inkommensurabla i kvadrat och att området sammantaget av kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ är kommensurabelt med det sammantaget av kvadraterna på ΓΖ och ΖΔ samt rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ med den omsluten av ΓΖ och ΖΔ. Därför är också området sammantaget av kvadraterna på ΓΖ och ΖΔ medialt och rektangeln omsluten av ΓΖ och ΖΔ medial. Dessutom är även området sammantaget av kvadraterna på ΓΖ och ΖΔ inkommensurabelt med rektangeln omsluten av ΓΖ och ΖΔ.

Alltså är ΓΔ en möjliggörare till området omslutet av två mediala.Prop. 10.41 Vilket skulle visas.

οαʹ.

Ῥητοῦ καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.

71.

Sedan ett uttryckbart och ett medialt område lagts samman uppstår , som möjliggörare till det sammanlagda området, fyra irrationella räta linjer, antingen en binomial, en första bimedial, en större irrational eller en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område.

Ἔστω ῥητὸν μὲν τὸ ΑΒ, μέσον δὲ τὸ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.

Τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον. ἔστω πρότερον μεῖζον· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τῷ ΑΒ ἴσον τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ· τῷ δὲ ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ. καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ, ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ~~ῥητὴν~~ τὴν ΕΖ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ· ἡ ΕΘ ἄρα ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΙ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΘΙ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ, ῥητὸν δὲ τὸ ΑΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ· ὥστε καὶ τὸ ΕΗ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ΘΙ. ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΚ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ τοῦ ΘΙ· καὶ ἡ ΕΘ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς ΘΚ. ἤτοι οὖν ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ· καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΘΕ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῃ τῇ ΕΖ· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν. ἡ ἄρα τὸ ΕΙ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν. ἀλλὰ δὴ δυνάσθω ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ· καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων. ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη μείζων ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη μείζων ἐστίν.

Låt ΑΒ vara uttryckbart och ΓΔ medialt. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΔ är antingen en binomial, en första bimedial, en större irrational eller en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område.

Ty ΑΒ är antingen större eller mindre än ΓΔ. Låt den först vara större och låt den uttryckbara ΕΖ sättas ut, låt ΕΗ, lika med ΑΒ, ha applicerats på ΕΖ resulterande i bredden ΕΘ samt låt ΘΙ, lika med ΔΓ, ha applicerats på ΕΖ resulterande i bredden ΘΚ. Och eftersom ΑΒ är uttryckbart och lika med ΕΗ, är alltså även ΕΗ uttryckbart och ligger längs den ~~uttryckbara~~ ΕΖ resulterande i bredden ΕΘ, alltså är ΕΘ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.20 Åter, eftersom ΓΔ är medialt och lika med ΘΙ, är alltså även ΘΙ medialt och ligger längs den uttryckbara ΕΖ resulterande i bredden ΘΚ, alltså är ΘΚ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.22 Och eftersom ΓΔ är medialt och ΑΒ uttryckbart, är alltså ΑΒ inkommensurabelt med ΓΔ, så att även ΕΗ är inkommensurabelt med ΘΙ. Och som ΕΗ är till ΘΙ, så är ΕΘ till ΘΚ,Prop. 6.1 alltså är även ΕΘ inkommensurabel i längd med ΘΚ.Prop. 10.11 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΕΘ och ΘΚ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΕΚ en binomial delad vid Θ.Prop. 10.36 Och eftersom ΑΒ är större än ΓΔ samt ΑΒ är lika med ΕΗ och ΓΔ med ΘΙ, är alltså även ΕΗ större än ΘΙ och alltså är ΕΘ större än ΘΚ.Prop. 5.14 Alltså är ΕΘ antingen större i kvadrat än ΘΚ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den eller med den på en inkommensurabel. Låt den först vara större i kvadrat med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den. Och den större, ΘΕ, är kommensurabel med den utsatta uttryckbara räta linjen ΕΖ, alltså är ΕΚ en första binomial.Def. 10.2.1 Och ΕΖ är uttryckbar och om ett område omsluts av en uttryckbar och en första binomial, är möjliggöraren till området en binomial.Prop. 10.54 Alltså är möjliggöraren till ΕΙ en binomial, så att även möjliggöraren till ΑΔ är en binomial. Men låt så ΕΘ vara större i kvadrat än ΘΚ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den. Och den större, ΕΘ, är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΕΖ, alltså är ΕΚ en fjärde binomial.Def. 10.2.4 Och ΕΖ är uttryckbar och om ett område omsluts av en uttryckbar och en fjärde binomial, är möjliggöraren till området den irrational som kallas den större.Prop. 10.57 Alltså är möjliggöraren till området ΕΙ en större irrational, så att även möjliggöraren till området ΑΔ är en större irrational.

Ἀλλὰ δὴ ἔστω ἔλασσον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ τὸ ΕΗ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΘΙ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΚ. ἤτοι δὲ ἡ ΘΚ τῆς ΕΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη. ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη. ἀλλὰ δὴ ἡ ΘΚ τῆς ΘΕ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν. ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.

Ῥητοῦ ἄρα καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[73]

Men låt så ΑΒ vara mindre än ΓΔ. Och alltså är ΕΗ mindre än ΘΙ, så att även ΕΘ är mindre än ΘΚ.Prop. 6.1 Prop. 5.14 Och ΘΚ är antingen större i kvadrat än ΕΘ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den eller med den på en inkommensurabel. Låt den först vara större i kvadrat med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den. Och den mindre, ΕΘ, är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΕΖ, alltså är ΕΚ en andra binomial.Def. 10.2.2 Och ΕΖ är uttryckbar och om ett område omsluts av en uttryckbar och en andra binomial, är möjliggöraren till området en första bimedial.Prop. 10.55 Alltså är möjliggöraren till området ΕΙ en första bimedial, så att även möjliggöraren till ΑΔ är en första bimedial. Men låt så ΘΚ vara större i kvadrat än ΘΕ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den. Och den mindre, ΕΘ, är kommensurabel med den utsatta uttryckbara räta linjen ΕΖ, alltså är ΕΚ en femte binomial.Def. 10.2.5 Och ΕΖ är uttryckbar och om ett område omsluts av en uttryckbar och en femte binomial, är möjliggöraren till området en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område.Prop. 10.58 Alltså är möjliggöraren till området ΕΙ en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område. Därför är även en möjliggöraren till området ΑΔ en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område.

Alltså uppstår, sedan ett uttryckbart och ett medialt område lagts samman , som möjliggörare till det sammanlagda området, fyra irrationella räta linjer, antingen en binomial, en första bimedial, en större irrational eller en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område. Vilket skulle visas.

οβʹ.

Δύο μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ ἡ δύο μέσα δυναμένη.

72.

Sedan två mediala områden, inkommensurabla med varandra, lagts samman uppstår, som möjliggörare till det sammanlagda området, de två resterande irrationalerna antingen andra bimedialen eller möjliggöraren till området av två mediala.

Συγκείσθω γὰρ δύο μέσα ἀσύμμετρα ἀλλήλοις τὰ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη.

Τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον. ἔστω, εἰ τύχον, πρότερον μεῖζον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΓΔ ἴσον τὸ ΘΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, μέσον ἄρα καὶ ἐκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΙ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὰς ΕΘ, ΘΚ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΘ, ΘΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΙ. ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει. αἱ ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ. ἤτοι δὲ ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· καὶ οὐδετέρα τῶν ΕΘ, ΘΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ΕΚ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη. ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα· ἡ ἄρα τὸ ΕΙ, τουτέστι τὸ ΑΔ, δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα. ἀλλὰ δὴ ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· καὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΕΘ, ΘΚ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη. ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.

Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἔλαττον ᾖ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ, ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἢ ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἐστὶν ἤτοι δύο μέσα δυναμένη.

Δύο ἄρα μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη.

Ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αἱ μετ᾿ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί. τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ παρ᾿ ἣν παράκειται μήκει. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μείζονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην. τὰ δ᾿ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ὅτι τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί· ὥστε καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων.^[74]

Ty låt de två mediala områdena ΑΒ och ΓΔ, inkommensurabla med varandra, läggas samman. Jag säger att möjliggöraren till området ΑΔ är antingen en andra bimedial eller en möjliggörare till området av två mediala.

Ty ΑΒ är antingen större eller mindre än ΓΔ. Låt, godtyckligt, ΑΒ först vara större än ΓΔ, låt den uttryckbara ΕΖ sättas och låt ΕΗ, lika med ΑΒ, ha applicerats på ΕΖ resulterande i bredden ΕΘ samt ΘΙ, lika med ΓΔ, resulterande i bredden ΘΚ. Och eftersom vart och ett av ΑΒ och ΓΔ är medialt, är alltså vart och ett av ΕΗ och ΘΙ medialt. Och de ligger längs den uttryckbara ΖΕ resulterande i ΕΘ och ΘΚ i längd, alltså är var och en av ΕΘ och ΘΚ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.22 Och eftersom ΑΒ är inkommensurabelt med ΓΔ samt ΑΒ är lika med ΕΗ och ΓΔ med ΘΙ, är alltså ΕΗ inkommensurabelt med ΘΙ. Och som ΕΗ är till ΘΙ, så är ΕΘ till ΘΚ,Prop. 6.1 alltså är ΕΘ inkommensurabel i längd med ΘΚ.Prop. 10.11 Alltså är ΕΘ och ΘΚ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΕΚ en binomial.Prop. 10.36 Antingen är ΕΘ större i kvadrat än ΘΚ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den eller med kvadraten på en inkommensurabel. Låt den först vara större i kvadrat med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den. Och ingendera av ΕΘ och ΘΚ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΕΖ, alltså är ΕΚ en tredje binomial.Def. 10.2.3 Och ΕΖ är uttryckbar och om ett område omsluts av en uttryckbar och en tredje binomial, är möjliggöraren till området en andra bimedial.Prop. 10.56 Alltså är möjliggöraren till ΕΙ, det vill säga ΑΔ, en andra bimedial. Men låt ΕΘ vara större i kvadrat än ΘΚ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den. Och var och en av ΕΘ och ΘΚ är inkommensurabel i längd med ΕΖ, alltså är ΕΚ en sjätte binomial.Def. 10.2.6 Om ett område omsluts av en uttryckbar och en sjätte binomial, är möjliggöraren till området en möjliggörare till ett område av två mediala.Prop. 10.59 Därför är också möjliggöraren till området ΑΔ en möjliggörare till ett område av två mediala.

~~På liknande sätt skall vi visa, att även om ΑΒ är mindre än ΓΔ, är möjliggöraren till området ΑΔ en andra bimedial eller en möjliggörare till området av två mediala~~.

Alltså uppstår, sedan två mediala områden, inkommensurabla med varandra, lagts samman, som möjliggörare till det sammanlagda området, de två resterande irrationalerna antingen andra bimedialen eller möjliggöraren till området av två mediala.

En binomial och irrationalerna efter den är varken desamma som medialen eller som varandra. Ty kvadraten på en medial applicerad på en uttryckbar resulterande i en bredd som är uttryckbar och som är inkommensurabel i längd med den, vilken ligger längs.Prop. 10.22 Kvadraten på en binomial applicerad på en uttryckbar resulterar i en första binomial som bredd.Prop. 10.60 Kvadraten på en första bimedial applicerad på en uttryckbar resulterar i en andra binomial som bredd.Prop. 10.61 Kvadraten på en andra bimedial applicerad på en uttryckbar resulterar i en tredje binomial som bredd.Prop. 10.62 Kvadraten på en större irrational applicerad på en uttryckbar resulterar i en fjärde binomial som bredd.Prop. 10.63 Kvadraten på en möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område applicerad på en uttryckbar resulterar i en femte binomial som bredd.Prop. 10.64 Kvadraten på en möjliggörare till området av två mediala applicerad på en uttryckbar resulterar i en sjätte binomial som bredd.Prop. 10.65 De nämnda bredderna skiljer sig från den första och varandra; den första, för att den är uttryckbar; varandra, för att de inte är av samma ordning. Därför skiljer sig också de irrationella från varandra.

ογʹ.

Ἐὰν ἀπὸ ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ ἀποτομή.

73.

Om från en uttryckbar rät linje en uttryckbar rät linje dras, som endast är kommensurabel i kvadrat med den hela, är resten en irrationell rät linje. Låt den kallas apotome.^S S) Inte att förväxla med apotem.

Ἀπὸ γὰρ ῥητῆς τῆς ΑΒ ῥητὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.

Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπειδήπερ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ ἀποτομή. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[75]

Ty låt från den uttryckbara räta linjen ΑΒ ha dragit den uttryckbara räta linjen ΒΓ, endast kommensurabel i kvadrat med den hela. Jag säger, att resten ΑΓ är den irrationella räta linjen, som kallas apotome.

Ty eftersom ΑΒ är inkommensurabel i längd med ΒΓ samt som ΑΒ är till ΒΓ, så är kvadraten på ΑΒ till rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ,Prop. 10.21 lem. är alltså kvadraten på ΑΒ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.11 Men kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är kommensurabla med den på ΑΒProp. 10.15 och dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är kommensurabel med den omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.6 Och därför är kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ med kvadraten på ΓΑ,Prop. 2.7 är alltså även kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ inkommensurabla med resten, kvadraten på ΑΓ.Prop. 10.13 Prop. 10.16 Kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är uttryckbara, alltså är ΒΓ irrationell.Def. 10.1.4 Låt den kallas apotome. Vilket skulle visas.

οδʹ.

Ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.

74.

Om från en medial rät linje en medial rät linje dras, som endast är kommensurabel i kvadrat med den hela och som med den hela omsluter ett uttryckbart område, är resten en irrationell rät linje. Låt den kallas första apotomen av en medial.

Ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆς ΑΒ ῥητὸν ποιοῦσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.

Ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσαι εἰσίν, μέσα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἀσύμμετρα ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπεὶ κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.^[76]

Ty låt från den mediala räta linjen ΑΒ ha dragit den mediala räta linjen ΒΓ, som endast är kommensurabel i kvadrat med ΑΒ och som med ΑΒ resulterar i den uttryckbara rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.27 Jag säger, att resten ΑΓ är en irrationell rät linje. Låt den kallas första apotomen av en medial.

Ty eftersom ΑΒ och ΒΓ är mediala, är även området av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ medialt. Dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är uttryckbar, alltså är området av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ inkommensurabelt med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, alltså är även dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ inkommensurabel med resterande kvadraten på ΑΓ,Prop. 2.7 eftersom om den hela är inkommensurabel med en av dem, skall även de ursprungliga storheterna vara inkommensurabla.Prop. 10.16 Dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är uttryckbar, alltså är kvadraten på ΑΓ irrationell, alltså är ΑΓ irrationell.Def. 10.1.4 Låt den kallas första apotomen av en medial.

οεʹ.

Ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλη, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα.

75.

Om från en medial rät linje en medial rät linje dras, som endast är kommensurabel i kvadrat med den hela och som med den hela omsluter ett medialt område, är resten en irrationell rät linje. Låt den kallas andra apotomen av en medial.

Ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης τῆς ΑΒ μέσον περιέχουσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα.

Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καὶ ἐπεὶ μέσα καὶ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ· καὶ τὸ ΔΘ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἴσον δὲ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τὸ ΔΕ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τὸ ΔΘ· ἀσύμμετρον ἄρα ~~ἐστὶ~~ τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ. ὡς δὲ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ, οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΔ τῇ ΔΖ. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΗΔ, ΔΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΖΗ ἄρα ἀποτομή ἐστιν. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΙ· τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀλόγου περιεχόμενον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν. καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ· ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[77]

Ty låt från den mediala räta linjen ΑΒ ha dragit den mediala räta linjen ΒΓ, som endast är kommensurabel i kvadrat med hela ΑΒ och som med ΑΒ resulterar i den mediala rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.28 Jag säger, att resten ΑΓ är en irrationell rät linje. Låt den kallas andra apotomen av en medial.

Ty låt den uttryckbara ΔΙ sättas ut, låt ΔΕ, lika med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ, ha applicerats på ΔΙ resulterande i bredden ΔΗ och låt ΔΘ, lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, ha applicerats på ΔΙ resulterande i bredden ΔΖ. Alltså är resten ΖΕ lika med kvadraten på ΑΓ.Prop. 2.7 Och eftersom kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är mediala och kommensurabla, är alltså även ΔΕ medialtProp. 10.15 Prop. 10.23 cor. och ligger längs den uttryckbara ΔΙ resulterande i bredden ΔΗ, alltså är ΔΗ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΙ.Prop. 10.22 Åter, eftersom rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är medial, är alltså även dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ medial.Prop. 10.23 cor. Den är även lika med ΔΘ, alltså är även ΔΘ medial och ligger längs den uttryckbara ΔΙ resulterande i bredden ΔΖ, alltså är ΔΖ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΙ.Prop. 10.22 Och eftersom ΑΒ och ΒΓ endast är kommensurabla i kvadrat, är alltså ΑΒ inkommensurabel i längd med ΒΓ, alltså är även kvadraten på ΑΒ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.21 lem. Prop. 10.11 Men kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är kommensurabla med den på ΑΒProp. 10.15 och dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är kommensurabel med den omsluten av ΑΒ och ΒΓ,Prop. 10.6 alltså är dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ inkommensurabel med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ.Prop. 10.13 ΔΕ är lika med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ samt ΔΘ med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, alltså är ΔΕ inkommensurabelt med ΔΘ. Och som ΔΕ är till ΔΘ, så är ΗΔ till ΔΖ,Prop. 6.1 alltså är ΗΔ inkommensurabel med ΔΖ.Prop. 10.11 Och båda är uttryckbara, alltså är ΗΔ och ΔΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΖΗ en apotome.Prop. 10.73 Och ΔΙ är uttryckbar och området omslutet av en uttryckbar och en irrationell är irrationelltProp. 10.20 och dess möjliggörare är irrationell. Och ΑΓ möjliggör ΖΕ, alltså är ΑΓ irrationellDef. 10.1.4 Låt den kallas andra apotomen av en medial. Vilket skulle visas.

οϛʹ.

Ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῂ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπ᾿ αὐτῶν ἅμα ῥητόν, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ ἐλάσσων.

76.

Om från en rät linje en rät linje dras, som är inkommensurabel i kvadrat med den hela samt som med den hela resulterar med sina kvadrater i ett uttryckbart område och med rektangeln omsluten av dem i ett medialt område, är resten en irrationell rät linje. Låt den kallas mindre irrationalen.

Ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα τὰ προκείμενα. λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ ἀναστρέψαντι λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ ἐλάσσων. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[78]

Ty låt från den räta linjen ΑΒ ha dragit den räta linjen ΒΓ, som är inkommensurabel i kvadrat med den hela och som uppfyller det föresatta.Prop. 10.33 Jag säger, att resten ΑΓ är en irrationell rät linje. Låt den kallas mindre irrationalen.

Ty eftersom området sammansatt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är uttryckbart och dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är medial, är alltså kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ. Och, genom omvändning, är kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ inkommensurabla med den resterande på ΑΓ.Prop. 2.7 Prop. 10.16 Och kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är uttryckbara, alltså är kvadraten på ΑΓ irrationell, alltså är ΑΓ irrationell.Def. 10.1.4 Låt den kallas mindre irrationalen. Vilket skulle visas.

οζʹ.

Ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.

77.

Om från en rät linje en rät linje dras, som är inkommensurabel i kvadrat med den hela samt som med den hela resulterar i ett område sammansatt av kvadraterna på dem, som är medialt och i ett område av dubbla rektangeln omsluten av dem, som är uttryckbart, är resten en irrationell rät linje. Låt den kallas den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.

Ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ προειρημένη.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄλογόν ἐστιν· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[79]

Ty låt från den räta linjen ΑΒ ha dragit den räta linjen ΒΓ, som är inkommensurabel i kvadrat med ΑΒ och som uppfyller det föresatta.Prop. 10.34 Jag säger, att resten ΑΓ är den nämnda irrationalen.

Ty eftersom området sammansatt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är medialt och dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är uttryckbar, är alltså kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ. Och alltså är resterande kvadraten på ΑΓ inkommensurabel med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ.Prop. 2.7 Prop. 10.16 Och dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är uttryckbar, alltså är kvadraten på ΑΓ irrationell, alltså är ΑΓ irrationell.Def. 10.1.4 Låt den kallas den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt. Vilket skulle visas.

οηʹ.

Ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.

78.

Om från en rät linje en rät linje dras, som är inkommensurabel i kvadrat med den hela samt som med den hela resulterar i ett område sammansatt av kvadraterna på dem, som är medialt och i ett område av dubbla rektangeln omsluten av dem, som är medialt, och dessutom är området sammansatt av kvadraterna på dem inkommensurabelt med dubbla rektangeln omsluten av dem, är resten en irrationell rät linje. Låt den kallas den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.

Ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.

Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΔΘ ~~πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ~~. λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ὥστε ἡ ΑΓ δύναται τὸ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΕ, μέσον ἄρα ~~ἐστὶ~~ τὸ ΔΕ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ, τὸ ἄρα ΔΘ μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ. ὡς δὲ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ, οὕτως ἐστὶ καὶ ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΔΖ· ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΗΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. ἀποτομὴ ἄρα ἐστίν ἡ ΖΗ· ῥητὴ δὲ ἡ ΖΘ. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς περιεχόμενον ~~ὀρθογώνιον~~ ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν· καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ· ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[80]

Ty låt från den räta linjen ΑΒ ha dragit den räta linjen ΒΓ, som är inkommensurabel i kvadrat med ΑΒ och som uppfyller det föresatta.Prop. 10.35 Jag säger, att resten ΑΓ är irrationalen, som kallas den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.

Ty låt den uttryckbara ΔΙ sättas ut, låt ΔΕ, lika med kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ, ha applicerats på ΔΙ resulterande i bredden ΔΗ och låt ΔΘ, lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ ha dragits bort ~~resulterande i bredden ΔΖ~~. Alltså är resten ΖΕ lika med kvadraten på ΑΓ,Prop. 2.7 så att ΑΓ möjliggör ΖΕ. Och eftersom området sammanlagt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är medialt och är lika med ΔΕ, är alltså ΔΕ medialt och ligger längs den uttryckbara ΔΙ resulterande i bredden ΔΗ, alltså är ΔΗ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΙ.Prop. 10.22 Åter, eftersom dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ är medial och är lika med ΔΘ, är alltså ΔΘ medialt. Och ligger längd den uttryckbara ΔΙ resulterande i bredden ΔΖ, alltså är även ΔΖ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΔΙ.Prop. 10.22 Och eftersom området sammansatt av kvadraterna på ΑΒ och ΒΓ är inkommensurabelt med dubbla rektangeln omsluten av ΑΒ och ΒΓ, är alltså även ΔΕ inkommensurabelt med ΔΘ. Och som ΔΕ är till ΔΘ, så är också ΔΗ till ΔΖ,Prop. 6.1 alltså är ΔΗ inkommensurabel med ΔΖ.Prop. 10.11 Och båda är uttryckbara, alltså är ΗΔ och ΔΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΖΗ en apotome. Och ΖΘ är uttryckbar och ~~rektangeln~~ omsluten av en uttryckbar och en apotome är irrationell.Prop. 10.20 Och dess möjliggörare är också irrationell och ΑΓ möjliggör ΖΕ, alltså är ΑΓ irrationell. Låt den kallas den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt. Vilket skulle visas.

οθʹ.

Τῇ ἀποτομῇ μία ~~μόνον~~ προσαρμόζει εὐθεῖα ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.

79.

Till apotomen passar ~~endast~~ en uttryckbar rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela.

Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῇ.

Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τῷ γὰρ αὐτῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀμφότερα ὑπερέχει· ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει ~~καὶ~~ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα. καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γὰρ ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ. τῇ ἄρα ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.

Μία ἄρα μόνη τῇ ἀποτομῇ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[81]

Låt ΑΒ vara en apotome och ΒΓ vara passande till den. Alltså är ΑΓ och ΓΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.73 Jag säger, att till ΑΒ passar inte någon annan uttryckbar rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela.

Ty om möjligt, låt ΒΔ passa och alltså är ΑΔ och ΔΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.73 Och eftersom, med det område kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ överstiger dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ, med detta överstiger även kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ. Ty båda överstiger med detsamma, kvadraten på ΑΒ.Prop. 2.7 Alltså, alternerat, med det område kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ överstiger dem på ΑΓ och ΓΒ, med detta överstiger ~~också~~ dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ. Och kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ överstiger dem på ΑΓ och ΓΒ med ett uttryckbart område, ty båda är uttryckbara. Och alltså överstiger dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ med ett uttryckbart område, vilket är omöjligt, ty båda är mediala,Prop. 10.21 ett medialt område överstiger inte ett medialt med ett uttryckbart.Prop. 10.26 Alltså passar till ΑΒ inte någon annan uttryckbar rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela.

Alltså passar till apotomen endast en uttryckbar rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela. Vilket skulle visas.

πʹ.

Τῇ μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.

80.

Till första apotomen av en medial passar endast en medial rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela och omsluter med den hela ett uttryckbart område.

Ἔστω γὰρ μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.

Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω καὶ ἡ ΔΒ· αἱ ἄρα ΑΔ, ΔΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τῷ γὰρ αὐτῷ ~~πάλιν~~ ὑπερέχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα. καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ~~τετραγώνων~~ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.

Τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ^[82]

Låt ΑΒ vara en första apotome av en medial och låt ΒΓ passa till ΑΒ. Alltså är ΑΓ och ΓΒ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter området omslutet av ΑΓ och ΓΒ.Prop. 10.74 Jag säger, att till ΑΒ passar inte någon annan medial rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela och omsluter med den hela ett uttryckbart område.

Ty om möjligt, låt även ΔΒ passa och alltså är ΑΔ och ΔΒ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter det uttryckbara området omslutet av ΑΔ och ΔΒ.Prop. 10.74 Och eftersom, med det område kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ överstiger dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ, med detta överstiger även kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ. Ty båda överstiger ~~åter~~ med detsamma, kvadraten på ΑΒ.Prop. 2.7 Alltså, alternerat, med det område kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ överstiger dem på ΑΓ och ΓΒ, med detta överstiger också dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ. Och alltså överstiger dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ med ett uttryckbart område, ty båda är uttryckbara. Och alltså överstiger kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ ~~kvadraterna~~ på ΑΓ och ΓΒ med ett uttryckbart område, vilket är omöjligt, ty båda är mediala,Prop. 10.15 Prop. 10.23 cor. ett medialt område överstiger inte ett medialt med ett uttryckbart.Prop. 10.26

Alltså passar till första apotomen av en medial endast en medial rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela och omsluter med den hela ett uttryckbart område. Vilket skulle visas.

παʹ.

Τῇ μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα.

81.

Till andra apotomen av en medial passar endast en medial rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela och omsluter med den hela ett medialt område.

Ἔστω μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα.

Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ· τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΘΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὥστε ἡ ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ. πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΝ· ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΛ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΙ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσαι εἰσὶν αἱ ΑΓ, ΓΒ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστιν ἴσα τῷ ΕΗ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ· καὶ τὸ ΘΗ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει. ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΗΘ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ. ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΜ πρὸς τὴν ΘΜ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΕΜ, ΜΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΘΝ αὐτῇ προσαρμόζει· τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

Τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[83]

Låt ΑΒ vara en andra apotome av en medial och låt ΒΓ passa till ΑΒ. Alltså är ΑΓ och ΓΒ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter det mediala området omslutet av ΑΓ och ΓΒ.Prop. 10.75 Jag säger, att till ΑΒ passar inte någon annan medial rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela och omsluter med den hela ett medialt område.

Ty om möjligt, låt ΒΔ passa och alltså är ΑΔ och ΔΒ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, som omsluter det mediala området omslutet av ΑΔ och ΔΒ.Prop. 10.75 Låt även den uttryckbara ΕΖ sättas ut, låt ΕΗ, lika med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ, ha applicerats på ΕΖ resulterande i bredden ΕΜ samt låt ΘΗ, lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, ha dragits bort resulterande i bredden ΘΜ, alltså är resten ΕΛ lika med kvadraten på ΑΒ,Prop. 2.7 så att ΑΒ möjliggör ΕΛ. Åter, låt ΕΙ, lika med kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ, ha applicerats på ΕΖ resulterande i bredden ΕΝ, så att även ΕΛ är lika med kvadraten på ΑΒ, alltså är resten ΘΙ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ.Prop. 2.7 Och eftersom ΑΓ och ΓΒ är mediala, är alltså även kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ mediala och är lika med ΕΗ, alltså är även ΕΗ medialtProp. 10.15 Prop. 10.23 cor. och ligger längs den uttryckbara ΕΖ resulterande i bredden ΕΜ, alltså är ΕΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.22 Åter, eftersom rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ är medial, är också dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ medialProp. 10.23 cor. och är lika med ΘΗ, alltså är även ΘΗ medialt och ligger längs den uttryckbara ΕΖ resulterande i bredden ΘΜ, alltså är även ΘΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.22 Och eftersom ΑΓ och ΓΒ endast är kommensurabla i kvadrat, är alltså ΑΓ inkommensurabel i längd med ΓΒ. Och som ΑΓ är till ΓΒ, så är kvadraten på ΑΓ till rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ,Prop. 10.21 cor. alltså är kvadraten på ΑΓ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ.Prop. 10.11 Men kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är kommensurabla med den på ΑΓ och dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ är kommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ,Prop. 10.6 alltså är kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ.Prop. 10.13 Och ΕΗ är lika med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ samt ΗΘ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, alltså är ΕΗ inkommensurabelt med ΘΗ. Och som ΕΗ är till ΘΗ, så är ΕΜ till ΘΜ,Prop. 6.1 alltså är ΕΜ inkommensurabel i längd med ΜΘ.Prop. 10.11 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΕΜ och ΜΘ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΕΘ en apotomeProp. 10.73 och ΘΜ passar till den. På samma sätt skall vi så visa, att även ΘΝ passar till den, alltså passar den ena och den andra räta linjen, endast kommensurabel i kvadrat med den hela, till en apotome, vilket är omöjligt.

Alltså passar till andra apotomen av en medial endast en medial rät linje, vilken endast är kommensurabel i kvadrat med den hela och omsluter med den hela ett medialt område. Vilket skulle visas.

πβʹ.

Τῇ ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα μετὰ τῆς ὅλης τὸ μὲν ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον.

82.

Till den mindre irrationalen passar endast en rät linje, vilken är inkommensurabel i kvadrat med den hela samt med den hela resulterar i området av kvadraterna på dem, som är uttryckbart och i dubbla rektangeln omsluten av dem, som är medial.

Ἔστω ἡ ἐλάσσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἔστω ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα εὐθεῖα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα.

Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα. καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα· καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα.

Τῇ ἄρα ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ καὶ ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπ᾿ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[84]

Låt ΑΒ vara den mindre irrationalen och låt ΒΓ passa till ΑΒ. Alltså är ΑΓ och ΓΒ inkommensurabla i kvadrat och de resulterar i ett område sammansatt av kvadraterna på dem, som är uttryckbart och i dubbla rektangeln omsluten av dem, som är medial.Prop. 10.76 Jag säger, att ingen annan rät linje passar till ΑΒ, som resulterar i detsamma.

Ty om möjligt, låt ΒΔ passa och alltså är ΑΔ och ΔΒ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, vilka resulterar i det nämnda.Prop. 10.76 Och eftersom, med det område kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ överstiger dem på ΑΓ och ΓΒ, med detta överstiger även dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ.Prop. 2.7 Och kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ överstiger kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ, med ett uttryckbart område, ty båda är uttryckbara. Och dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ överstiger dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ med ett uttryckbart område, ty båda är uttryckbara, vilket är omöjligt, ty de är båda mediala.Prop. 10.26

Alltså passar till den mindre irrationalen endast en rät linje, vilken är inkommensurabel i kvadrat med den hela samt resulterar i området av kvadraterna på dem, som är uttryckbart och i dubbla rektangeln omsluten av dem, som är medial. Vilket skulle visas.

πγʹ.

Τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν.

83.

Till en rät linje, som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt, passar endast en rät linje, vilken är inkommensurabel i kvadrat med den hela samt med den hela resulterar i området av kvadraterna på dem, som är medialt och i dubbla rektangeln omsluten av dem, som är uttryckbar.

Ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα.

Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα. ἐπεὶ οὐν, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἀκολούθως τοῖς πρὸ αὐτοῦ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα· καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα. οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ προειρημένα· μία ἄρα μόνον προσαρμόσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[85]

Låt ΑΒ vara en rät linje, som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt, och låt ΒΓ passa till ΑΒ. Alltså är ΑΓ och ΓΒ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, vilka uppfyller det föresatta. Jag säger, att till ΑΒ passar inte någon annan rät linje, som resulterar i detta.

Ty om möjligt, låt ΒΔ passa och alltså är ΑΔ och ΔΒ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, vilka resulterar i det nämnda.Prop. 10.77 Och eftersom, med det område kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ överstiger dem på ΑΓ och ΓΒ, med detta överstiger även dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ, enligt satserna före denna. Och dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ överstiger dubbla den omsluten av ΑΓ och ΓΒ med ett uttryckbart område, ty båda är uttryckbara. Och kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ överstiger alltså dem på ΑΓ och ΓΒ, med ett uttryckbart område, vilket är omöjligt, ty båda är mediala.Prop. 10.26 Alltså passar inte någon annan rät linje, vilken är inkommensurabel i kvadrat med den hela och med den hela, vilken resulterar i det nämnda. Alltså passar endast en. Vilket skulle visas.

πδʹ.

Τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν.

84.

Till en rät linje, som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt, passar endast en rät linje, vilken är inkommensurabel i kvadrat med den hela samt med den hela resulterar i området sammansatt av kvadraterna på dem, som är medialt, och i dubbla rektangeln omsluten av dem, som är medial och dessutom är inkommensurabel med området sammansatt av kvadraterna på dem.

Ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα. λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει ποιοῦσα προειρημένα.

Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τά τε ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΛ· ἡ ἄρα ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ. πάλιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΝ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τῷ ΕΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον ~~ἐστὶ~~ τῷ ΘΙ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ΘΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΕΜ, ΜΘ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΕΘ πάλιν ἀποτομή ἐστιν, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΝ. τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ· ὅπερ ἐδείχθη ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα.

Τῇ ἄρα ΑΒ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τά τε ἀπ᾿ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[86]

Låt ΑΒ vara en rät linje, som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt, och ΒΓ passar till den. Alltså är ΑΓ och ΓΒ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, vilka uppfyller det föresatta.Prop. 10.78 Jag säger, att till ΑΒ passar inte någon annan rät linje, som resulterar i det nämnda.

Ty om möjligt, låt ΒΔ passa och så att även ΑΔ och ΔΒ är räta linjer inkommensurabla i kvadrat, så att kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ tillsammans är mediala och dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ medial och dessutom är kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ.Prop. 10.78 Låt även ha den uttryckbara ΕΖ sättas ut, låt ΕΗ, lika med kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ, ha applicerats på ΕΖ resulterande i bredden ΕΜ och låt ΘΗ, lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, ha applicerats på ΕΖ resulterande i bredden ΔΖ. Alltså är resterande kvadraten på ΑΒ lika med ΕΛ.Prop. 2.7 Alltså är ΑΒ möjliggöraren till ΕΛ. Åter, låt ΕΙ, lika med kvadraterna på ΑΔ och ΔΒ, ha applicerats på ΕΖ resulterande i bredden ΕΝ, så att kvadraten på ΑΒ även är lika med ΕΛ, alltså är resten dubbla rektangeln omsluten av ΑΔ och ΔΒ lika med ΘΙ.Prop. 2.7 Och eftersom området sammansatt av kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är medialt och är lika med ΕΗ, är alltså även ΕΗ medialt och ligger längs den uttryckbara ΕΖ resulterande i bredden ΕΜ, alltså är ΕΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.22 Åter, eftersom dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ är medial och lika med ΘΗ, är alltså även ΘΗ medialt och ligger längs den uttryckbara ΕΖ resulterande i bredden ΘΜ, alltså är ΘΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.22 Och eftersom kvadraterna på ΑΓ och ΓΒ är inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΒ, är även ΕΗ inkommensurabelt med ΘΗ, alltså är ΕΜ inkommensurabel i längd med ΜΘ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΕΜ och ΜΘ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΕΘ en apotomeProp. 10.73 och ΘΜ passar till den. På samma sätt skall vi så visa, att ΕΘ åter är en apotome och att ΘΝ passar till den. Alltså passar den ena och den andra uttryckbara räta linjen, endast kommensurabel i kvadrat med den hela, till en apotome, vilket visats vara omöjligt.Prop. 10.79 Alltså passar inte någon annan rät linje till ΑΒ.

Alltså passar till ΑΒ endast en rät linje, vilken är inkommensurabel i kvadrat med den hela samt med den hela resulterar i området av kvadraterna på dem tillsammans, som är medialt, och i dubbla rektangeln omsluten av dem, som är medial och dessutom är kvadraterna på dem inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av dem. Vilket skulle visas.

Ὁροι τρίτοι.

αʹ. Ὑποκειμένης ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς, ἐὰν μὲν ἡ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, καὶ ἡ ὅλη σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καλείσθω ἀποτομὴ πρώτη.
βʹ. Ἐὰν δὲ ἡ προσαρμόζουσα σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καλείσθω ἀποτομὴ δευτέρα.
γʹ. Ἐὰν δὲ μηδετέρα σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, ἡ δὲ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καλείσθω ἀποτομὴ τρίτη.
δʹ. Πάλιν, ἐὰν ἡ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ ~~μήκει~~, ἐὰν μὲν ἡ ὅλη σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καλείσθω ἀποτομὴ τετάρτη.
εʹ. Ἐὰν δὲ ἡ προσαρμόζουσα, πέμπτη.
ϛʹ. Ἐὰν δὲ μηδετέρα, ἕκτη.^[87]

Definitioner 3.

1. Sedan en uttryckbar rät linje och en apotome antagits samt om den hela är större i kvadrat än en passande rät linje med kvadraten på en rät linje, kommensurabel i längd med den, och om den hela är kommensurabel i längd med en utsatt uttryckbar rät linje, låt denna apotome kallas en första apotome.
2. Och om den passande räta linjen är kommensurabel i längd med en utsatt uttryckbar rät linje samt om den hela är större i kvadrat än en passande rät linje med kvadraten på en rät linje, kommensurabel med den, låt denna apotome kallas en andra apotome.
3. Och om ingendera är kommensurabel i längd med en utsatt uttryckbar rät linje samt om den hela är större i kvadrat än en passande rät linje med kvadraten på en rät linje, kommensurabel med den, låt denna apotome kallas en tredje apotome.
4. Åter, om den hela är större i kvadrat än en passande rät linje med kvadraten på en rät linje, inkommensurabel ~~i längd~~ med den, och om den hela är kommensurabel i längd med en utsatt uttryckbar rät linje, låt denna apotome kallas en fjärde apotome.
5. Och om den passande räta linjen är kommensurabel, är apotomen en femte apotome.
6. Och om ingendera är kommensurabel, är apotomen en sjätte apotome.

πεʹ.

Εὑρεῖν τὴν πρώτην ἀποτομήν.

85.

Att finna en första apotome.

Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΒΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΖΔ μὴ ἔστω τετράγωνος· οὐδ᾿ ἄρα ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τὴς ΗΓ τετράγωνον· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστιν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη.

Ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἑκάτερος γὰρ τετράγωνός ἐστιν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι πρώτη.

Εὕρηται ἄρα ἡ πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.^[88]

Låt en uttryckbar rät linje Α sättas ut och låt ΒΗ vara kommensurabel i längd med Α, alltså är även ΒΗ en uttryckbar rät linje. Låt även två kvadratiska tal, ΔΕ och ΕΖ, sätta sut samt låt deras skillnad, ΖΔ, inte vara kvadratisk.Prop. 10.28 lem. 1 Alltså har inte heller ΕΔ till ΔΖ ett förhållande, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och låt ha gjort att som ΕΔ är till ΔΖ, så är kvadraten på ΒΗ till kvadraten på ΗΓ,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på ΒΗ kommensurabel med den på ΗΓ.Prop. 10.6 Och kvadraten på ΒΗ är uttryckbar, alltså är den på ΗΓ är uttryckbar, alltså är även ΗΓ uttryckbar. Och eftersom ΕΔ inte har ett förhållande till ΔΖ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har alltså inte heller ΒΗ ett förhållande till ΗΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΒΗ inkommensurabel i längd med ΗΓ.Prop. 10.9 Och båda är uttryckbara, alltså är ΒΗ och ΗΓ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΒΓ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den är en första apotome.

Ty med vad kvadraten på ΒΗ är större än den på ΗΓ, låt det vara kvadraten på Θ.Prop. 10.13 lem. Och då som ΕΔ är till ΖΔ, så är kvadraten på ΒΗ till den på ΗΓ, och alltså, genom omvändning, som ΔΕ är till ΕΖ, så är kvadraten på ΗΒ till den på Θ.Prop. 5.19 cor. Och ΔΕ har ett förhållande till ΕΖ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, ty var och en är en kvadratisk. Och alltså har kvadraten på ΗΒ ett förhållande till den på Θ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΒΗ kommensurabel i längd med Θ.Prop. 10.9 Och ΒΗ är större i kvadrat än ΗΓ med kvadraten på Θ, alltså är ΒΗ större i kvadrat än ΗΓ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den. Och hela ΒΗ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen Α. Alltså är ΒΓ en första apotome.Def. 10.3.1

Alltså har ΒΓ, en första apotome, funnits. Vilken skulle finnas.

πϛʹ.

Εὑρεῖν τὴν δευτέραν ἀποτομήν.

86.

Att finna en andra apotome.

Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α σύμμετρος μήκει ἡ ΗΓ. ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΔΖ μὴ ἔστω τετράγωνος. καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετράγωνον. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετραγώνῳ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ. ῥητὸν ἄρα ~~ἐστὶ~~ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΗΒ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΓΗ, ΗΒ ἄρα ρηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα.

Ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΕΔ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΔΖ ἀριθμόν, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ. καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΔΕ, ΕΖ τετράγωνος· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρος τῇ Α. ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστι δευτέτα.

Εὕρηται ἄρα δευτέρα ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ^[89]

Låt en uttryckbar rät linje Α sättas ut och en, med Α kommensurabel i längd, rät linje ΗΓ. Alltså är ΗΓ uttryckbar. Låt även två kvadratiska tal, ΔΕ och ΕΖ, sättas ut samt låt deras skillnad, ΔΖ, inte vara kvadratisk.Prop. 10.28 lem. 1 Och låt ha gjort att som ΖΔ är till ΔΕ, så är kvadraten på ΓΗ till kvadraten på ΗΒ,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på ΓΗ kommensurabel med kvadraten på ΗΒ.Prop. 10.6 Alltså är kvadraten på ΓΗ uttryckbar, alltså är även den på ΗΒ uttryckbar, alltså är ΒΗ uttryckbar. Och eftersom kvadraten på ΗΓ inte har ett förhållande till den på ΗΒ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, är alltså ΓΗ inkommensurabel i längd med ΗΒProp. 10.9 och båda är uttryckbara, alltså är ΓΗ och ΗΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΒΓ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den är en andra apotome.

Ty med vad kvadraten på ΒΗ är större än den på ΗΓ, låt det vara kvadraten på Θ.Prop. 10.13 lem. Och då som kvadraten på ΒΗ är till den på ΗΓ, så är talet ΕΔ till talet ΖΔ, och alltså, genom omvändning, som kvadraten på ΗΒ är till den på Θ, så är ΔΕ till ΕΖ.Prop. 5.19 cor. Och var och en av ΔΕ och ΕΖ är kvadratisk, alltså har kvadraten på ΒΗ ett förhållande till den på Θ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΒΗ kommensurabel i längd med Θ.Prop. 10.9 Och ΒΗ är större i kvadrat än ΗΓ med kvadraten på Θ, alltså är ΒΗ större i kvadrat än ΗΓ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den. Och ΓΗ, den passande, är kommensurabel med den utsatta uttryckbara räta linjen Α. Alltså är ΒΓ en andra apotome.

Alltså har ΒΓ, en andra apotome, funnits. Vilket skulle visas.

πζʹ.

Εὑρεῖν τὴν τρίτην ἀποτομήν.

87.

Att finna en tredje apotome.

Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ ἐκκείσθωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τὴς ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετραγώνῳ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ~~τετράγωνον~~ λόγον ἔχει, ὅν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ. ὁ δὲ Ε πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει. οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει. ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΒΓ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ τὸ ἁπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. σύμμετρός ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει, καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει· ἡ ΖΘ ἄρα ἀποτομή ἐστι τρίτη.

Εὕρηται ἄρα ἡ τρίτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[90]

Låt en uttryckbar rät linje Α sättas ut och låt tre tal sättas ut, Ε, ΒΓ och ΓΔ, som inte har ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och ΓΒ har ett förhållande till ΒΔ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och låt ha gjort, att som Ε är till ΒΓ, så är kvadraten på Α till kvadraten på ΖΗ, och som ΒΓ är till ΓΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ.Prop. 10.6 cor. Eftersom då som Ε är till ΒΓ, så är kvadraten på Α till kvadraten på ΖΗ, alltså är kvadraten på Α kommensurabel med kvadraten på ΖΗ.Prop. 10.6 Kvadraten på Α är uttryckbar, alltså är också den på ΖΗ uttryckbar, alltså är ΖΗ uttryckbar. Och eftersom Ε inte har ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har alltså inte heller kvadraten på Α ett förhållande till ~~kvadraten~~ på ΖΗ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är Α inkommensurabel i längd med ΖΗ.Prop. 10.9 Åter, då som ΒΓ är till ΓΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ, alltså är kvadraten på ΖΗ kommensurabel med den på ΗΘ.Prop. 10.6 Kvadraten på ΖΗ är uttryckbar, alltså är även den på ΗΘ uttryckbar, alltså är ΗΘ uttryckbar. Och eftersom ΒΓ inte har ett förhållande till ΓΔ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har alltså heller inte kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på ΗΘ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΖΗ inkommensurabel i längd med ΗΘ.Prop. 10.9 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΖΗ och ΗΘ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΖΘ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den är en tredje apotome.

Ty då som Ε är till ΒΓ, så är kvadraten på Α till den på ΖΗ och som ΒΓ är till ΓΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΘΗ, Alltså, ex aequali, som Ε är till ΓΔ, så är kvadraten på Α till den på ΘΗ.Prop. 5.22 Och Ε har inte ett förhållande till ΓΔ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså har inte heller kvadraten på Α ett förhållande till den på ΗΘ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är Α inkommensurabel i längd med ΗΘ.Prop. 10.9 Alltså är ingendera av ΖΗ och ΗΘ kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen Α. Låt sålunda kvadraten på Κ vara så stor, som kvadraten på ΖΗ är större än den på ΗΘ.Prop. 10.13 lem. Eftersom då som ΒΓ är till ΓΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ, alltså, genom omvändning, som ΒΓ är till ΒΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på Κ.Prop. 5.19 cor. Och ΒΓ har ett förhållande till ΒΔ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och alltså har kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på Κ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΖΗ kommensurabel i längd med ΚProp. 10.9 och ΖΗ är större i kvadrat än ΗΘ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den. Och ingendera av ΖΗ och ΗΘ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen Α, alltså är ΖΗ en tredje apotome.Def. 10.3.3

Alltså har ΖΗ, en tredje apotome, funnits. Vilket skulle visas.

πηʹ.

Εὑρεῖν τὴν τετάρτην ἀποτομήν.

88.

Att finna en fjärde apotome.

Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἡ ΒΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ ὅλον πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΕΖ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ

~~Λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη.~~

Ὧι οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ἄρα ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ ἐστιν ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.

Εὕρηται ἄρα ἡ τετάρτη ἀποτομή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[91]

Låt en uttryckbar rät linje Α sättas ut och ΒΗ kommensurabel i längd med Α, alltså är även ΒΗ uttryckbar. Låt även två tal sättas ut, ΔΖ och ΖΕ, så att hela ΔΕ inte har ett förhållande vart och ett av ΔΖ och ΕΖ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och låt ha gjort att som ΔΕ är till ΕΖ, så är kvadraten på ΒΗ till den på ΗΓ,Prop. 10.6 cor. alltså är kvadraten på ΒΗ kommensurabel med den på ΗΓ.Prop. 10.6 Och kvadraten på ΒΗ är uttryckbar, alltså är även den på ΗΓ uttryckbar. Och eftersom ΔΕ inte har ett förhållande till ΕΖ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har alltså inte heller ΒΗ ett förhållande till ΗΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΒΗ inkommensurabel i längd med ΗΓ.Prop. 10.9 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΒΗ och ΗΓ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΒΓ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den är en fjärde apotome.

Ty med vad kvadraten på ΒΗ är större än den på ΗΓ, låt det vara kvadraten på Θ.Prop. 10.13 lem. Och då som ΔΕ är till ΕΖ, så är kvadraten på ΒΗ till den på ΗΓ, och alltså, genom omvändning, som ΕΔ^T T) Notera ordningen på ΔΕ och ΕΔ, här och i t.ex. 85. är till ΔΖ, så är kvadraten på ΗΒ till den på Θ.Prop. 5.19 cor. Och ΕΔ har inte ett förhållande till ΔΖ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och alltså har heller inte kvadraten på ΗΒ ett förhållande till den på Θ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΒΗ inkommensurabel i längd med Θ.Prop. 10.9 Och ΒΗ är större i kvadrat än ΗΓ med kvadraten på Θ, alltså är ΒΗ större i kvadrat än ΗΓ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den. Och hela ΒΗ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen Α. Alltså är ΒΓ en fjärde apotome.Def. 10.3.4

Alltså har en fjärde apotome funnits. Vilket skulle visas.

πθʹ.

Εὐρεῖν τὴν πέμπτην ἀποτομήν.

89.

Att finna en femte apotome.

Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΗ· ῥητὴ ἄρα ~~ἐστὶν~~ ἡ ΓΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΖΕ λόγον πάλιν μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΕ πρὸς τὸν ΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.

Ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τὴς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ, ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ΗΒ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι πέμπτη.

Εὕρηται ἄρα ἡ πέμπτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[92]

Låt en uttryckbar rät linje Α sättas ut och en, med Α kommensurabel i längd, rät linje ΓΗ. Alltså är ΓΗ uttryckbar. Låt även två kvadratiska tal sättas ut, ΔΖ och ΖΕ, så att ΔΕ inte har ett förhållande till vart och ett av ΔΖ och ΖΕ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och låt ha gjort att som ΖΕ är till ΕΔ, så är kvadraten på ΓΗ till den på ΗΒ. Och alltså är kvadraten på ΗΒ uttryckbar,Prop. 10.6 alltså är även ΒΗ uttryckbar. Och då som ΔΕ är till ΕΖ, så är kvadraten på ΒΗ till den på ΗΓ. Och ΔΕ har inte ett förhållande till ΕΖ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså har heller inte kvadraten på ΒΗ ett förhållande till ΗΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΒΗ inkommensurabel i längd med ΗΓProp. 10.9 och de är båda uttryckbara, alltså är ΒΗ och ΗΓ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΒΓ en apotome.

Jag säger så, att den är en femte apotome.

Ty med vad kvadraten på ΒΗ är större än den på ΗΓ, låt det vara kvadraten på Θ.Prop. 10.13 lem. Och då som kvadraten på ΒΗ är till den på ΗΓ, så är ΔΕ till ΕΖ, och alltså, genom omvändning, som ΕΔ är till ΔΖ, så är kvadraten på ΒΗ är till den på Θ.Prop. 5.19 cor. Och ΕΔ har inte ett förhållande till ΔΖ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså har inte heller kvadraten på ΒΗ ett förhållande till den på Θ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΒΗ inkommensurabel i längd med Θ.Prop. 10.9 Och ΒΗ är större i kvadrat än ΗΓ med kvadraten på Θ, alltså är ΗΒ större i kvadrat än ΗΓ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den. Och ΓΗ, den passande, är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen Α. Alltså är ΒΓ en femte apotome.Def. 10.3.5

Alltså har ΒΓ, en femte apotome, funnits. Vilket skulle visas.

ϟʹ.

Εὑρεῖν τὴν ἕκτην ἀποτομήν.

90.

Att finna en sjätte apotome.

Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἔτι δὲ καὶ ὁ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον μὴ ἐχετώ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ.

Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῆ ΖΗ μήκει. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, δι᾿ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ὁ δὲ Ε πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει· οὐδετέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ Α ῥητῇ μήκει. ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ᾿ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει. καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Κ· ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α. ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη.

Εὕρηται ἄρα ἡ ἕκτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[93]

Låt en uttryckbar rät linje Α sättas ut och låt tre tal sättas ut, Ε, ΒΓ och ΓΔ, som inte har ett förhållande till varandra, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och dessutom har inte ΓΒ ett förhållande till ΒΔ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och låt ha gjort, att som Ε är till ΒΓ, så är kvadraten på Α till den på ΖΗ, och som ΒΓ är till ΓΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ.Prop. 10.6 cor.

Eftersom då som Ε är till ΒΓ, så är kvadraten på Α till den på ΖΗ, alltså är kvadraten på Α kommensurabel med den på ΖΗ.Prop. 10.6 Och kvadraten på Α är uttryckbar, alltså är även kvadraten på ΖΗ uttryckbar, alltså är även ΖΗ uttryckbar. Och eftersom Ε inte har ett förhållande till ΒΓ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har alltså heller inte kvadraten på Α ett förhållande till den på ΖΗ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är Α inkommensurabel i längd med ΖΗ.Prop. 10.9 Åter, eftersom då som ΒΓ är till ΓΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ, alltså är kvadraten på ΖΗ inkommensurabel med den på ΗΘ.Prop. 10.6 Och kvadraten på ΖΗ är uttryckbar, alltså är även den på ΗΘ uttryckbar, alltså är även ΗΘ uttryckbar. Och eftersom ΒΓ inte har ett förhållande till ΓΔ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, har alltså heller inte kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på ΗΘ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är ΖΗ inkommensurabel i längd med ΗΘ.Prop. 10.9 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΖΗ och ΗΘ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΖΘ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den är en sjätte apotome.

Ty då som Ε är till ΒΓ, så är kvadraten på Α till den på ΖΗ och som ΒΓ är till ΓΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ, Alltså, ex aequali, som Ε är till ΓΔ, så är kvadraten på Α till den på ΘΗ.Prop. 5.22 Och Ε har inte ett förhållande till ΓΔ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså har inte heller kvadraten på Α ett förhållande till den på ΗΘ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal, alltså är Α inkommensurabel i längd med ΗΘ.Prop. 10.9 Alltså är ingendera av ΖΗ och ΗΘ kommensurabel i längd med Α. Låt sålunda kvadraten på Κ vara så stor, som kvadraten på ΖΗ är större än den på ΗΘ.Prop. 10.13 lem. Eftersom då som ΒΓ är till ΓΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på ΗΘ, alltså, genom omvändning, som ΓΒ är till ΒΔ, så är kvadraten på ΖΗ till den på Κ.Prop. 5.19 cor. Och ΒΓ har inte ett förhållande till ΒΔ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Och alltså har inte heller kvadraten på ΖΗ ett förhållande till den på Κ, som ett kvadratiskt tal till ett kvadratiskt tal. Alltså är ΖΗ inkommensurabel i längd med ΚProp. 10.9 och ΖΗ är större i kvadrat än ΗΘ med kvadraten på Κ, alltså är ΖΗ är större i kvadrat än ΗΘ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den. Och ingendera av ΖΗ och ΗΘ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen Α, alltså är ΖΘ en sjätte apotome.Def. 10.3.6

Alltså har ΖΘ, en sjätte apotome, funnits. Vilket skulle visas.

ϟαʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἀπορομή ἐστιν.

91.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en första apotome, är möjliggöraren till området en apotome.

Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒ ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς πρώτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστι πρώτη ἡ ΑΔ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ὅλη ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ. τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. καὶ διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ.

Καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει. ἀλλὰ ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει. καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΓ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΖ, ΖΗ· ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ ῥητόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν.

Κείσθω δὴ τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω κοινὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΛΟΜ τὸ ΝΞ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΚΖ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΚΖ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, ὡς ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἐδείχθη, καί ἐστι τὸ ~~μὲν~~ ΑΙ τῷ ΛΜ τετραγώνῳ ἴσον, τὸ δὲ ΚΖ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΚ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ μὲν ΕΚ τῷ ΔΘ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΜΝ τῷ ΛΞ· τὸ ἄρα ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοις· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ. τὸ δὲ ΣΤ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἐστι τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΝ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ.

Λέγω δή, ὅτι ἡ ΛΝ ἀποτομή ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ, καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ, καὶ ἑκάτερον ἄρα τῶν ΛΜ, ΝΞ ῥητόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΛΟ, ΟΝ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητή ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΔΘ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΞ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΛΞ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΝΞ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ· ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς τὴν ΟΝ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΟ τῇ ΟΝ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον· ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.

Ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τὰ ἑξῆς.^[94]

Ty låt området ΑΒ omslutas av den uttryckbara ΑΓ och den första apotomen ΑΔ. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΒ är en apotome.

Ty eftersom ΑΔ är en första apotome, låt ΔΗ passa till den. Alltså är ΑΗ och ΗΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.73 Och hela ΑΗ är kommensurabel med den utsatta uttryckbara räta linjen ΑΓ samt ΑΗ är större i kvadrat än ΗΔ med en rät linje kommensurabel i längd med den.Def. 10.3.1 Alltså om ett område, lika med en fjärdedel av kvadraten på ΔΗ, applicerats på ΑΗ, med en brist av en kvadratisk figur, delas den i kommensurabla delar.Prop. 10.17 Låt ΔΗ ha delats i hälften vid Ε samt låt ett område, lika med kvadraten på ΕΗ, ha applicerats på ΑΗ, med en brist av en kvadratisk figur och låt denna vara den omsluten av ΑΖ och ΖΗ, alltså är ΑΖ kommensurabel med ΖΗ. Och låt ha dragit ΕΘ, ΖΙ och ΗΚ parallella med ΑΓ genom punkterna Ε, Ζ och Η.

Och eftersom ΑΖ är kommensurabel i längd med ΖΗ, är alltså även ΑΗ kommensurabel i längd med var och en av ΑΖ och ΖΗ.Prop. 10.15 Men ΑΗ är kommensurabel med ΑΓ, alltså är även var och en av ΑΖ och ΖΗ kommensurabel i längd med ΑΓ.Prop. 10.12 Och ΑΓ är uttryckbar, alltså är även var och en av ΑΖ och ΖΗ uttryckbar, så att också vart och ett av ΑΙ och ΖΚ är uttryckbart.Prop. 10.19 Och eftersom ΔΕ är kommensurabel i längd med ΕΗ, är alltså även ΔΗ kommensurabel i längd med var och en av ΔΕ och ΕΗ.Prop. 10.15 Och ΔΗ är uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΑΓ, alltså är även var och en av ΔΕ och ΕΗ inkommensurabel i längd med ΑΓ.Prop. 10.13 Alltså är vart och ett av ΔΘ och ΕΚ medialt.

Låt så kvadraten ΛΜ, lika med ΑΙ, sättas ut och låt kvadraten ΝΞ ha dragits bort, lika med ΖΚ och som har vinkeln ΛΟΜ gemensam med den. Alltså ligger kvadraterna ΛΜ och ΝΞ på samma diagonal.Prop. 6.26 Låt ΟΡ vara deras diagonal och ha slutfört figuren. Eftersom då rektangeln omsluten av ΑΖ och ΖΗ är lika med kvadraten på ΕΗ, alltså som ΑΖ är till ΕΗ, så är ΕΗ till ΖΗ.Prop. 6.17 Men som ΑΖ är till ΕΗ, så är ΑΙ till ΕΚ och som ΕΗ är till ΖΗ, så är ΕΚ till ΚΖ,Prop. 6.1 alltså är ΕΚ ΑΙ och ΚΖ:s medelproportional.Prop. 5.11 Och ΜΝ är ΛΜ och ΝΞ:s medelproportional, som visats i de föregående,Prop. 10.53 lem. samt ΑΙ är lika med kvadraten ΛΜ och ΚΖ med ΝΞ. Och alltså är ΜΝ lika med ΕΚ. Men ΕΚ är lika med ΔΘ och ΜΝ med ΛΞ,Prop. 1.43 alltså är ΔΚ lika med gnomonen ΥΦΧ och ΝΞ. Även ΑΚ är lika med kvadraterna ΛΜ och ΝΞ, alltså är resten ΑΒ lika med ΣΤ. Och ΣΤ är kvadraten på ΛΝ, alltså är kvadraten på ΛΝ lika med ΑΒ. Alltså möjliggör ΛΝ ΑΒ.

Jag säger så, att ΛΝ är en apotome.

Ty eftersom vart och ett av ΑΙ och ΖΚ är uttryckbart samt är lika med ΛΜ och ΝΞ, är alltså även vart och ett av ΛΜ och ΝΞ uttryckbart, det vill säga kvadraten på var och en av ΛΟ och ΟΝ, alltså är även var och en av ΛΟ och ΟΝ en uttryckbar rät linje. Åter, eftersom ΔΘ är medialt och är lika med ΛΞ, är alltså även ΛΞ medialt. Eftersom då ΛΞ är medialt och ΝΞ uttryckbart, är alltså ΛΞ inkommensurabelt med ΝΞ, som ΛΞ är till ΝΞ, så är ΛΟ till ΟΝ,Prop. 6.1 alltså är ΛΟ inkommensurabel i längd med ΟΝ.Prop. 10.11 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΛΟ och ΟΝ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΛΝ en apotomeProp. 10.73 och möjliggör området ΑΒ. Alltså är möjliggöraren till området ΑΒ är en apotome.

Om alltså ett område omsluts av en uttryckbar och så vidare.

ϟβʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.

92.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en andra apotome, är möjliggöraren till området en första apotome av en medial.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς δευτέρας τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε· καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστιν. ἀλλ᾿ ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει ~~ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει~~. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ ῥητόν ἐστιν.

Συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν τὰ ΑΙ, ΖΚ μέσα ἐστὶ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ ~~ἄρα~~ μέσα ἐστίν· καὶ αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ· ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ· ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ~~ἐστὶ~~ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΚ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον ~~ἐστὶ~~ τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον τὸ ΛΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ, ΝΞ, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΤΣ. τὸ δὲ ΤΣ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ· τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ χωρίῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Λέγω δή, ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.

Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. μέσον δὲ ἐδείχθη τὸ ΝΞ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ· ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι μήκει. αἱ ἄρα ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[95]

Ty låt området ΑΒ omslutas av den uttryckbara ΑΓ och den andra apotomen ΑΔ. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΒ är en första apotome av en medial.

Ty låt ΔΗ vara passande till ΑΔ. Alltså är ΑΗ och ΗΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat,Prop. 10.73 den passande, ΔΗ, är kommensurabel med den utsatta uttryckbara räta linjen ΑΓ och hela ΑΗ är större i kvadrat än den passande ΗΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den.Def. 10.3.2 Eftersom då ΑΗ är större i kvadrat än ΗΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den. Alltså om ett område lika med en fjärdedel av kvadraten på ΗΔ applicerats på ΑΗ med en brist av en kvadratisk figur, delas den i kommensurabla delar.Prop. 10.17 Låt så ΔΗ ha delats i hälften vid Ε samt låt ett område, lika med kvadraten på ΕΗ, ha applicerats på ΑΗ med en brist av en kvadratisk figur och låt denna vara den omsluten av ΑΖ och ΖΗ, alltså är ΑΖ kommensurabel i längd med ΖΗ. Och alltså är ΑΗ kommensurabel i längd var och en av ΑΖ och ΖΗ.Prop. 10.15 Och ΑΗ är uttryckbar och kommensurabel i längd med ΑΓ, alltså är även var och en av ΑΖ och ΖΗ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΑΓ,Prop. 10.13 alltså är vart och ett av ΑΙ och ΖΚ medialt.Prop. 10.21 Åter, eftersom ΔΕ är kommensurabel med ΕΗ, är alltså ΔΗ även kommensurabel med var och en av ΔΕ och ΕΗ.Prop. 10.15 Men ΔΗ är kommensurabel i längd med ΑΓ ~~alltså är även var och en av ΔΕ och ΕΗ uttryckbar och kommensurabel i längd med~~. Alltså är vart och ett av ΔΘ och ΕΚ uttryckbart.Prop. 10.19

Låt så ha ställt upp kvadraten ΛΜ, lika med ΑΙ, och låt ΝΞ, lika med ΖΚ och som har vinkeln ΛΟΜ gemensam med den, ha dragits bort. Alltså ligger kvadraterna ΛΜ och ΝΞ på samma diagonal.Prop. 6.26 Låt ΟΡ vara deras diagonal och ha slutfört figuren. Eftersom då ΑΙ och ΖΚ är mediala och är lika med kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ, är ~~alltså~~ även kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ mediala och alltså är ΛΟ och ΟΝ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Och eftersom rektangeln omsluten av ΑΖ och ΖΗ är lika med kvadraten på ΕΗ, alltså som ΑΖ är till ΕΗ, så är ΕΗ till ΖΗ,Prop. 10.17 men som ΑΖ är till ΕΗ, så är ΑΙ till ΕΚ och som ΕΗ är till ΖΗ, så är ΕΚ till ΖΚ,Prop. 6.1 alltså är ΕΚ ΑΙ och ΖΚ:s medelproportional.Prop. 5.11 ΜΝ är även kvadraterna ΛΜ och ΝΞ:s medelproportionalProp. 10.53 lem. samt ΑΙ är lika med ΛΜ och ΖΚ med ΝΞ, alltså är även ΜΝ lika med ΕΚ. Men ΕΚ är lika med ΔΘ och ΜΝ lika med ΛΞ,Prop. 1.43 alltså är hela ΔΚ lika med gnomonen ΥΦΧ och ΝΞ. Eftersom då hela ΑΚ är lika med ΛΜ och ΝΞ, där ΔΚ är lika med gnomonen ΥΦΧ och ΝΞ, alltså är resten ΑΒ lika med ΤΣ. Och ΤΣ är kvadraten på ΛΝ, alltså är kvadraten på ΛΝ lika med området ΑΒ. Alltså möjliggör ΛΝ området ΑΒ.

Jag säger så, att ΛΝ är en första apotome av en medial.

Ty eftersom ΕΚ är uttryckbar och är lika med ΛΞ, är alltså ΛΞ, det vill säga rektangeln omsluten av ΛΟ och ΟΝ, uttryckbart. Och ΝΞ har visats vara medialt, alltså är ΛΞ inkommensurabel med ΝΞ och som ΛΞ är till ΝΞ, så är ΛΟ till ΟΝ,Prop. 6.1 alltså är ΛΟ och ΟΝ inkommensurabla i längd.Prop. 10.11 Alltså är ΛΟ och ΟΝ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och omsluter ett uttryckbart område. Alltså är ΛΝ en första apotome av en medialProp. 10.74 och möjliggör området ΑΒ.

Alltså är möjliggöraren till området ΑΒ en första apotome av en medial. Vilket skulle visas.

ϟγʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.

93.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en tredje apotome, är möjliggöraren till området en andra apotome av en medial.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς τρίτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΗ, ΗΔ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τὴς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ. καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ· σύμμετροι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΖ, ΖΗ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ σύμμετροί εἰσι μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ὥστε καὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει. ῥητὴ δὲ ἡ ΗΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ. ἀλλ᾿ ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΑΖ σύμμετρός ἐστι μήκει ἡ δὲ ΔΗ τῇ ΕΗ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΕΗ μήκει. ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ.

Συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῇρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ· ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, οὕτως τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΜΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΞ, τὸ δὲ ΕΚ ἴσον ~~ἐστὶ~~ τῷ ΔΘ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.

Ἐπεὶ γὰρ μέσα ἐδείχθη τὰ ΑΙ, ΖΚ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· μέση ἄρα ἑκατέρα τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΜΝ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· ὥστε καὶ ἡ ΛΟ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.

Λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν.

Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· ὥστε αἱ ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι. ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[96]

Ty låt området ΑΒ omslutas av den uttryckbara ΑΓ och den tredje apotomen ΑΔ. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΒ är en andra apotome av en medial.

Ty låt ΔΗ vara passande till ΑΔ. Alltså är ΑΗ och ΗΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat,Prop. 10.73 ingendera av ΑΗ och ΔΗ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΑΓ och hela ΑΗ är större i kvadrat än den passande, ΗΔ, med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den.Def. 10.3.3 Eftersom då ΑΗ är större i kvadrat än ΗΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den. Alltså om ett område lika med en fjärdedel av kvadraten på ΔΗ applicerats på ΑΗ med en brist av en kvadratisk figur, delas den i kommensurabla delar.Prop. 10.17 Låt så ΔΗ ha delats i hälften vid Ε samt låt ett område, lika med kvadraten på ΕΗ, ha applicerats på ΑΗ med en brist av en kvadratisk figur och låt denna vara den omsluten av ΑΖ och ΖΗ. Och låt ha dragit ΕΘ, ΖΙ och ΗΚ parallella med ΑΓ genom punkterna Ε, Ζ och Η. Alltså är ΑΖ och ΖΗ kommensurabla, alltså är även ΑΙ kommensurabelt med ΖΚ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Och eftersom ΑΖ och ΖΗ är kommensurabel i längd, är alltså var och en av ΑΖ och ΖΗ kommensurabel i längd.Prop. 10.15 Och ΑΗ är uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΑΓ, därför är även ΑΖ och ΖΗ det.Prop. 10.13 Alltså är vart och ett av ΑΙ och ΖΚ medialt. Prop. 10.21 Åter, eftersom ΔΕ är kommensurabel i längd med ΕΗ, är alltså även ΔΗ kommensurabel i längd med var och en av ΔΕ och ΕΗ.Prop. 10.15 Och ΗΔ är uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΑΓ, alltså är även var och en av ΔΕ och ΕΗ inkommensurabel i längd med ΑΓ,Prop. 10.13 alltså är vart och ett av ΔΘ och ΕΚ medialt.Prop. 10.21 Och eftersom ΑΗ och ΗΔ endast är kommensurabla i kvadrat, är alltså ΑΗ inkommensurabel i längd med ΗΔ. Men ΑΗ är kommensurabel i längd med ΑΖ och ΔΗ med ΕΗ, alltså är ΑΖ inkommensurabel i längd med ΕΗ.Prop. 10.13 Och som ΑΖ är till ΕΗ, så är ΑΙ till ΕΚ,Prop. 6.1 alltså är ΑΙ inkommensurabelt med ΕΚ.Prop. 10.11

Låt så ha ställt upp kvadraten ΛΜ, lika med ΑΙ, och låt ΝΞ, lika med ΖΚ och som har vinkeln ΛΜ gemensam med den, ha dragits bort. Alltså ligger ΛΜ och ΝΞ på samma diagonal.Prop. 6.26 Låt ΟΡ vara deras diagonal och ha slutfört figuren. Eftersom då rektangeln omsluten av ΑΖ och ΖΗ är lika med kvadraten på ΕΗ, alltså som ΑΖ är till ΕΗ, så är ΕΗ till ΖΗ.Prop. 6.17 Men som ΑΖ är till ΕΗ, så är ΑΙ till ΕΚProp. 6.1 och som ΕΗ är till ΖΗ, så är ΕΚ till ΖΚ,Prop. 6.1 och alltså som ΑΙ är till ΕΚ, så är ΕΚ till ΖΚ,Prop. 5.11 alltså är ΕΚ ΑΙ och ΖΚ:s medelproportional. Men ΜΝ är även kvadraterna ΛΜ och ΝΞ:s medelproportional.Prop. 10.53 lem. Och ΑΙ är lika med ΛΜ och ΖΚ med ΝΞ, alltså är även ΕΚ lika med ΜΝ. Men ΜΝ är lika med ΛΞ och ΕΚ är lika med ΔΘ,Prop. 1.43 alltså är även hela ΔΚ lika med gnomonen ΥΦΧ och ΝΞ. Och ΑΚ är lika med ΛΜ och ΝΞ, alltså är resten ΑΒ lika med ΣΤ, det vill säga med kvadraten på ΛΝ. Alltså möjliggör ΛΝ området ΑΒ.

Jag säger så, att ΛΝ är en andra apotome av en medial.

Ty eftersom ΑΙ och ΖΚ visats vara mediala och är lika med kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ, är alltså även var och en av kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ medial. Alltså är var och en av ΛΟ och ΟΝ medial. Och eftersom ΑΙ är kommensurabelt med ΖΚ,Prop. 6.1 Prop. 10.11 är alltså även kvadraten på ΛΟ kommensurabel med den på ΟΝ. Åter, eftersom ΑΙ visats vara inkommensurabelt med ΕΚ, är alltså även ΛΜ inkommensurabel med ΜΝ, det vill säga kvadraten på ΛΟ med rektangeln omsluten av ΛΟ och ΟΝ, så att även ΛΟ är inkommensurabel i längd med ΟΝ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Alltså är ΛΟ och ΟΝ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.

Jag säger så, att de omsluter ett medialt område.

Ty eftersom ΕΚ visats vara medialt och är lika med rektangeln omsluten av ΛΟ och ΟΝ, är alltså även rektangeln omsluten medial, så att ΛΟ och ΟΝ är mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och omsluter ett medialt område. Alltså är ΛΝ en andra apotome av en medialProp. 10.75 och möjliggör området ΑΒ.

Alltså är möjliggöraren till området ΑΒ en andra apotome av en medial. Vilket skulle visas.

ϟδʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν.

94.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en fjärde apotome, är möjliggöraren till området en mindre irrational.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς τετάρτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ. ἤχθωσαν οὖν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η παράλληλοι ταῖς ΑΓ, ΒΔ αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ. ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ ΑΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει, ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ὅλον τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΗ τῇ ΑΓ μήκει, καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ τὸ ΝΞ. περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον ἐστὶ τὸ ΛΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἐπεὶ οὐν ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοις, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ τετραγώνῳ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.

Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετράγωνοις, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητόν ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ τὸ ΔΚ μέσον ἐστίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ ΔΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ τετραγώνῳ. αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον. ἡ ΛΝ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[97]

Ty låt området ΑΒ omslutas av den uttryckbara ΑΓ och den fjärde apotomen ΑΔ. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΒ är en mindre irrational.

Ty låt ΔΗ vara passande till ΑΔ. Alltså är ΑΗ och ΗΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat,Prop. 10.73 ΑΗ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΑΓ och hela ΑΗ är större i kvadrat än den passande, ΗΔ, med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den.Def. 10.3.4 Eftersom då ΑΗ är större i kvadrat än ΗΔ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den. Alltså om ett område lika med en fjärdedel av kvadraten på ΔΗ applicerats på ΑΗ med en brist av en kvadratisk figur, delas den i inkommensurabla delar.Prop. 10.18 Låt så ΔΗ ha delats i hälften vid Ε samt låt ett område, lika med kvadraten på ΕΗ, ha applicerats på ΑΗ med en brist av en kvadratisk figur och låt denna vara den omsluten av ΑΖ och ΖΗ. Alltså är ΑΖ inkommensurabel i längd med ΖΗ. Och låt ha dragit ΕΘ, ΖΙ och ΗΚ parallella med ΑΓ och ΒΔ genom punkterna Ε, Ζ och Η. Eftersom då ΑΗ är uttryckbar och kommensurabel i längd med ΑΓ, är alltså hela ΑΚ uttryckbar.Prop. 10.19 Åter, eftersom ΔΗ är inkommensurabel i längd med ΑΓ och båda är uttryckbara, är alltså ΔΚ medialt.Prop. 10.21 Åter, eftersom ΑΖ är inkommensurabel i längd med ΖΗ, är alltså även ΑΙ inkommensurabelt med ΖΚ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Låt så ha ställt upp kvadraten ΛΜ, lika med ΑΙ, och låt ΝΞ, lika med ΖΚ och som har vinkeln ΛΟΜ gemensam med den, ha dragits bort. Alltså ligger kvadraterna ΛΜ och ΝΞ på samma diagonal.Prop. 6.26 Låt deras diagonal vara ΟΡ och ha slutfört figuren. Eftersom då rektangeln omsluten av ΑΖ och ΖΗ är lika med kvadraten på ΕΗ, alltså proportionellt som ΑΖ är till ΕΗ, så är ΕΗ till ΖΗ.Prop. 6.17 Men som ΑΖ är till ΕΗ, så är ΑΙ till ΕΚ och som ΕΗ är till ΖΗ, så är ΕΚ till ΖΚ,Prop. 6.1 alltså är ΕΚ ΑΙ och ΖΚ:s medelproportional.Prop. 5.11 ΜΝ är även kvadraterna ΛΜ och ΝΞ:s medelproportional.Prop. 10.13 lem. Och ΑΙ är lika med ΛΜ och ΖΚ med ΝΞ, alltså är även ΕΚ lika med ΜΝ. Men ΔΘ är lika med ΕΚ och ΛΞ är lika med ΜΝ,Prop. 1.43 alltså är hela ΔΚ lika med gnomonen ΥΦΧ och ΝΞ. Eftersom då hela ΑΚ är lika med kvadraterna ΛΜ och ΝΞ, där ΔΚ är lika med gnomonen ΥΦΧ och kvadraten ΝΞ, är alltså resten ΑΒ lika med ΣΤ, det vill säga kvadraten på ΛΝ. Alltså möjliggör ΛΝ området ΑΒ.

Jag säger så, att ΛΝ är den irrational, som kallas den mindre.

Ty eftersom ΑΚ är uttryckbar och är lika med kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ, alltså är området sammansatt av kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ uttryckbart. Åter, eftersom ΔΚ är medialt och ΔΚ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΛΟ och ΟΝ, är alltså dubbla rektangeln omsluten av ΛΟ och ΟΝ medial. Och eftersom ΑΙ visats vara inkommensurabelt med ΖΚ, är alltså även kvadraten på ΛΟ inkommensurabel med kvadraten på ΟΝ. Alltså är ΛΟ och ΟΝ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som resulterar i området sammansatt av kvadraterna på dem, som är uttryckbart och dubbla rektangeln omsluten av dem, som är medial. Alltså är ΛΝ den irrational, som kallas den mindreProp. 10.76 och möjliggör området ΑΒ.

Alltså är möjliggöraren till området ΑΒ en mindre irrational. Vilket skulle visas.

ϟεʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

95.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en femte apotome, är möjliggöraren till området den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς πέμπτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΗΔ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΓΑ μήκει, καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ ΔΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΛΟΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ αὑτὸ ῥητόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν. ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Ἡ τὸ ΑΒ ἄρα χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[98]

Ty låt området ΑΒ omslutas av den uttryckbara ΑΓ och den femte apotomen ΑΔ. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΒ är den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.

Jag säger, att ΛΝ är den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.

Ty eftersom ΑΚ visats vara medial och är lika lika med kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ, är alltså området sammanställt av kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ medialt. Åter, eftersom ΔΚ är uttryckbart och ΔΚ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΛΟ och ΟΝ, är även denna uttryckbar. Och eftersom ΑΙ är inkommensurabelt med ΖΚ, är alltså även kvadraten på ΛΟ inkommensurabel med den på ΟΝ. Alltså är ΛΟ och ΟΝ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som resulterar i området sammansatt av kvadraterna på dem, som är medialt och dubbla rektangeln omsluten av dem, som är uttryckbar. Alltså är resten ΛΝ den irrational, som kallas den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt heltProp. 10.77 och möjliggör området ΑΒ.

Alltså är möjliggöraren till området ΑΒ den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt. Vilket skulle visas.

ϟϛʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

96.

Om ett område omsluts av en uttryckbar rät linje och en sjätte apotome, är möjliggöraren till området den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.

Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς ἕκτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἁσυμμέτρου ἐαυτῇ μήκει, ἑὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ. τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε ~~σημεῖον~~, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει. ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΖΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΑΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἐστὶ τὸ ΑΚ. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΔΗ ῥηταί εἰσι καὶ ἀσύμμετροι μήκει, μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ΔΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ μήκει. ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΚΔ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΚΔ. συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὸ ΝΞ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐδείχθη τὸ ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΚ τῷ ΔΚ, ἀσύμμετρα ~~ἄρα~~ ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετράγωνα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον ἔτι τε τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν. ἡ ἄρα ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμέμη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.

Ἡ ἄρα τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[99]

Ty låt området ΑΒ omslutas av den uttryckbara ΑΓ och den sjätte apotomen ΑΔ. Jag säger, att möjliggöraren till området ΑΒ är den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.

Ty låt ΔΗ vara passande till ΑΔ. Alltså är ΑΗ och ΗΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat,Prop. 10.73 ingendera av dem är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΑΓ och hela ΑΗ är större i kvadrat än den passande, ΔΗ, med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den.Def. 10.3.6 Eftersom då ΑΗ är större i kvadrat än ΗΔ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel i längd med den. Alltså om ett område lika med en fjärdedel av kvadraten på ΔΗ applicerats på ΑΗ med en brist av en kvadratisk figur, delas den i kommensurabla delar.Prop. 10.18 Låt så ΔΗ ha delats i hälften vid ~~punkten~~ Ε samt låt ett område, lika med kvadraten på ΕΗ, ha applicerats på ΑΗ med en brist av en kvadratisk figur och låt denna vara den omsluten av ΑΖ och ΖΗ. Alltså är ΑΖ inkommensurabel i längd med ΖΗ. Och som ΑΖ är till ΖΗ, så är ΑΙ till ΖΚ,Prop. 6.1 alltså är ΑΙ inkommensurabelt med ΖΚ.Prop. 10.11 Och eftersom ΑΗ och ΑΓ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, är alltså ΑΚ medialt.Prop. 10.21 Åter, eftersom ΑΓ och ΔΗ är uttryckbara räta linjer inkommensurabla i längd, är också ΔΚ medialt.Prop. 10.21 Eftersom då ΑΗ och ΗΔ endast är kommensurabla i kvadrat, är alltså ΑΗ inkommensurabel i längd med ΗΔ. Och som ΑΗ är till ΗΔ, så är ΑΚ till ΚΔ,Prop. 6.1 alltså är ΑΚ inkommensurabelt med ΚΔ.Prop. 10.11 Låt så ha ställt upp kvadraten ΛΜ, lika med ΑΙ, och låt kvadraten ΝΞ, lika med ΖΚ och som har vinkeln gemensam med den, ha dragits bort. Alltså ligger kvadraterna ΛΜ och ΝΞ på samma diagonal.Prop. 6.26 Låt deras diagonal vara ΟΡ och ha slutfört figuren. På samma sätt skall vi så visa, att ΛΝ möjliggör området ΑΒ.

Jag säger, att ΛΝ är den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.

Ty eftersom ΑΚ visats vara medial och är lika lika med kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ, är alltså området sammanställt av kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ medialt. Åter, eftersom ΔΚ visats vara medialt och ΔΚ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΛΟ och ΟΝ, är även dubbla rektangeln omsluten av ΛΟ och ΟΝ medial. Och eftersom ΑΚ visats vara inkommensurabel med ΔΚ, är ~~alltså~~ även kvadraterna på ΛΟ och ΟΝ inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΛΟ och ΟΝ. Och eftersom ΑΙ är inkommensurabelt med ΖΚ, är alltså även kvadraten på ΛΟ inkommensurabel med den på ΟΝ. Alltså är ΛΟ och ΟΝ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som resulterar i området sammansatt av kvadraterna på dem, som är medialt och dubbla rektangeln omsluten av dem, som är medial dessutom är kvadraterna på dem inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av dem. Alltså är ΛΝ den irrational, som kallas den som med ett medialt område resulterar i ett medialt heltProp. 10.78 och möjliggör området ΑΒ.

Alltså är möjliggöraren till området den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt. Vilket skulle visas.

ϟζʹ.

Τὸ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην.

97.

Kvadraten på en apotome applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en första apotome som bredd.

Ἔστω ἀποτομὴ ὴ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ. ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, καί ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΔΜ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, μέσον ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΔΜ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη.

Ἐπεὶ γὰρ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὐπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ· ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. καὶ επεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, σύμμετρόν ~~ἐστι~~ καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ, καί ἐστι σύμμετρος ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ ΓΜ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ μήκει· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη.

Τὸ ἄρα ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[100]

Låt ΑΒ vara en apotome, ΓΔ en uttryckbar rät linje och låt ΓΕ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΖ. Jag säger, att ΓΖ är en första apotome.

Ty låt ΒΗ vara passande till ΑΒ, alltså är ΑΗ och ΗΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.73 Låt ΓΘ, lika med kvadraten på ΑΗ, och ΚΛ, lika med kvadraten på ΒΗ, ha applicerats på ΓΔ. Alltså är hela ΓΛ lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, där ΓΕ är lika med kvadraten på ΑΒ, alltså är resten ΖΛ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ.Prop. 2.7 Låt ΖΜ ha delats i hälften vid punkten Ν och ha dragit ΝΞ, parallell med ΓΔ, genom Ν. Alltså är vart och ett av ΖΞ och ΛΝ lika med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ. Och eftersom kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är uttryckbara och ΔΜ är lika med dem på ΑΗ och ΗΒ, är alltså ΔΜ uttryckbart. Och har applicerats på den uttryckbara ΓΔ resulterande i ΓΜ som bredd, alltså är ΓΜ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.20 Åter, eftersom dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är medial och ΖΛ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, är alltså ΖΛ medialt. Och ligger längs den uttryckbara ΓΔ resulterande i bredden ΖΜ, alltså är ΖΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.22 Och eftersom kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är uttryckbara och dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är medial, är alltså kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ inkommensurabla med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ. Och ΓΛ är lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, Och ΖΛ är lik med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, alltså är ΔΜ inkommensurabelt med ΖΛ. Och som ΔΜ är till ΖΛ, så är ΓΜ till ΖΜ.Prop. 6.1 Alltså är ΓΜ inkommensurabel i längd med ΖΜ.Prop. 10.11 Och båda är uttryckbara, alltså är ΓΜ och ΜΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΓΖ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den även är en första apotome.

Ty eftersom rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ:s medelproportionalProp. 10.21 lem. och ΓΘ är lika med kvadraten på ΑΗ och ΚΛ lika med kvadraten på ΒΗ, ΝΛ med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, är alltså ΝΛ även ΓΘ och ΚΛ:s medelproportional, alltså som ΓΘ är till ΝΛ, så är ΝΛ till ΚΛ. Men som ΓΘ är till ΝΛ, så är ΓΚ till ΝΜ och som ΝΛ är till ΚΛ, så är ΝΜ till ΚΜ,Prop. 6.1 alltså är rektangeln omsluten av ΓΚ och ΚΜ lika med kvadraten på ΝΜ, det vill säga med en fjärdedel av den på ΖΜ.Prop. 6.17 Och eftersom kvadraten på ΑΗ är kommensurabel med den på ΗΒ, är även ΓΘ kommensurabelt med ΚΛ. Och som ΓΘ är till ΚΛ, så är ΓΚ till ΚΜ,Prop. 6.1 alltså är ΓΚ kommensurabel med ΚΜ.Prop. 10.11 Eftersom då ΓΜ och ΜΖ är två olika räta linjer, rektangeln omsluten av ΓΚ och ΚΜ, lika med en fjärdedel av kvadraten på ΖΜ, har applicerats på ΓΜ samt ΓΚ är kommensurabel med ΚΜ, är alltså ΓΜ större i kvadrat än ΜΖ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den.Prop. 10.17 Och ΓΜ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΓΔ, alltså är ΓΖ en första apotome.Def. 10.3.1

Alltså resulterar kvadraten på en apotome applicerad på en uttryckbar rät linje i en första apotome som bredd. Vilket skulle visas.

ϟηʹ.

Τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν.

98.

Kvadraten på en första apotome av en medial applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en andra apotome som bredd.

Ἔστω μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΛ. ῥητὸν δέ ~~ἐστι~~ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ῥητὸν ἄρα τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. ἐπεὶ οὖν τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΓΛ, μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΖΛ, ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ· ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα.

Τετμήσθω γὰρ ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ΚΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΜΚ· ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΗ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάτρῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι δευτέρα.

Τὸ ἄρα ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[101]

Låt ΑΒ vara en första apotome av en medial, ΓΔ en uttryckbar rät linje och låt ΓΕ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΖ. Jag säger, att ΓΖ är en andra apotome.

Ty låt ΒΗ vara passande till ΑΒ, alltså är ΑΗ och ΗΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat omslutande ett uttryckbart område.Prop. 10.74 Låt även ΓΘ, lika med kvadraten på ΑΗ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΚ. och ΚΛ, lika med kvadraten på ΗΒ, resulterande i bredden ΚΜ. Alltså är hela ΓΛ lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, alltså är även ΓΛ medialtProp. 10.15 Prop. 10.23 cor. och det ligger längs den uttryckbara ΓΔ resulterande i bredden ΓΜ, alltså är ΓΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.22 Och eftersom ΓΛ är lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, där kvadraten på ΑΒ är lika med ΓΕ, är alltså resten, dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, lika med ΖΛ.Prop. 2.7 Och dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är uttryckbar, alltså är ΖΛ uttryckbart och det ligger längs den uttryckbara ΖΕ resulterande i bredden ΖΜ, alltså är ΖΜ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.20 Eftersom då kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, det vill säga ΓΛ, är mediala och dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, det vill säga ΖΛ, är uttryckbar, är alltså ΓΛ inkommensurabelt med ΖΛ. Och som ΓΛ är till ΖΛ, så är ΓΜ till ΖΜProp. 6.1, alltså är ΓΜ inkommensurabel i längd med ΖΜ.Prop. 10.11 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΓΜ och ΜΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΓΖ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den även är en andra apotome.

Ty låt ΖΜ ha delats i hälften vid Ν och ha dragit ΝΞ parallell med ΓΔ genom Ν. Alltså är vart och ett av ΖΞ och ΝΛ lika med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ. Och eftersom rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ:s medelproportionalProp. 10.21 lem. samt kvadraten på ΑΗ är lika med ΓΘ, rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ med ΝΛ och kvadraten på ΒΗ med ΚΛ, alltså är ΝΛ även ΓΘ och ΚΛ:s medelproportional. Alltså som ΓΘ är till ΝΛ, så är ΝΛ till ΚΛ.Prop. 5.11 Men som ΓΘ är till ΝΛ, så är ΓΚ till ΝΜ och som ΝΛ är till ΚΛ, så är ΝΜ till ΜΚ,Prop. 6.1 alltså som ΓΚ är till ΝΜ, så är ΝΜ till ΚΜ,Prop. 5.11 alltså är rektangeln omsluten av ΓΚ och ΚΜ lika med kvadraten på ΝΜ,Prop. 6.17 det vill säga en fjärdedel av kvadraten på ΖΜ ~~och eftersom kvadraten på ΑΗ är kommensurabel med den på ΒΗ, är även ΓΘ kommensurabelt med ΚΛ, det vill säga ΓΚ med ΚΜ~~. Eftersom då ΓΜ och ΜΖ är två olika räta linjer och rektangeln omsluten av ΓΚ och ΚΜ, lika med en fjärdedel av kvadraten på ΜΖ, har applicerats på den större, ΓΜ, med en brist av en kvadratisk figur, delas den i kommensurabla delar. Alltså är ΓΜ större i kvadrat än ΜΖ med kvadraten på en rät linje kommensurabel i längd med den.Prop. 10.17 Och den passande ΖΜ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΓΔ. Alltså är ΓΖ en andra apotome.Def. 10.3.2

Alltså resulterar kvadraten på en första apotome av en medial applicerad på en uttryckbar rät linje i en andra apotome som bredd. Vilket skulle visas.

ϟθʹ.

Τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην.

99.

Kvadraten på en andra apotome av en medial applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en tredje apotome som bredd.

Ἔστω μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον παρὰ τὴν ΚΘ παραβεβλήσθω τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ~~καί ἐστι μέσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ~~· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΛΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, ἀσύμμετρος ἄρα ~~ἐστὶ~~ μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.

Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ· ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ~~ἀπὸ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῷ~~ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ΓΜ ἄρα τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΜ, ΜΖ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τρίτη.

Τὸ ἄρα ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[102]

Låt ΑΒ vara en andra apotome av en medial, ΓΔ en uttryckbar rät linje och låt ΓΕ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΖ. Jag säger, att ΓΖ är en tredje apotome.

Ty låt ΒΗ vara passande till ΑΒ, alltså är ΑΗ och ΗΒ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat omslutande ett medialt område.Prop. 10.75 Låt även ΓΘ, lika med kvadraten på ΑΗ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΚ och ΚΛ, lika med kvadraten på ΒΗ, på ΚΘ resulterande i bredden ΚΜ. Alltså är hela ΓΛ lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ ~~och kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är mediala~~, alltså är även ΓΛ medialtProp. 10.15 Prop. 10.23 cor. och det ligger längs den uttryckbara ΓΔ resulterande i bredden ΓΜ, alltså är ΓΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.22 Och eftersom hela ΓΛ är lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, där ΓΕ är lika med kvadraten på ΑΒ, är alltså resten ΖΛ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ.Prop. 2.7 Låt så ΖΜ ha delats i hälften vid punkten Ν och ha dragit ΝΞ, parallell med ΓΔ, genom Ν. Alltså är vart och ett av ΖΞ och ΛΝ lika med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ. Och rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är medial, alltså är även ΖΛ medialt. Och det ligger längs den uttryckbara ΕΖ resulterande i bredden ΖΜ, alltså är även ΖΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.22 Och eftersom ΑΗ och ΗΒ endast är kommensurabla i kvadrat, är alltså ΑΗ inkommensurabel i längd med ΗΒ, alltså är även kvadraten på ΑΗ inkommensurabel med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Men kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är kommensurabla med den på ΑΗ och dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, alltså är kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ.Prop. 10.13 Men ΓΛ är lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ samt ΖΛ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, alltså är ΓΛ inkommensurabelt med ΖΛ. Och som ΓΛ är till ΖΛ, så är ΓΜ till ΖΜ,Prop. 6.1 alltså är ΓΜ inkommensurabel i längd med ΖΜ.Prop. 10.11 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΓΜ och ΜΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΓΖ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den även är en tredje apotome.

Ty eftersom kvadraten på ΑΗ är kommensurabel med den på ΗΒ, är alltså även ΓΘ kommensurabelt med ΚΛ, därför även ΓΚ med ΚΜ.Prop. 6.1 Prop. 10.11 Och eftersom rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är medelproportional till kvadraterna på ΑΗ och ΗΒProp. 10.21, ΓΘ är lika med kvadraten på ΑΗ, ΚΛ lika med kvadraten på ΗΒ samt ΝΛ med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, är alltså ΝΛ ΓΘ och ΚΛ:s medelproportional, alltså som ΓΘ är till ΝΛ, så är ΝΛ till ΚΛ. Men som ΓΘ är till ΝΛ, så är ΓΚ till ΝΜ och som ΝΛ är till ΚΛ, så är ΝΜ till ΚΜ,Prop. 6.1 alltså som ΓΚ är till ΜΝ, så är ΜΝ till ΚΜ,Prop. 5.11 alltså är rektangeln omsluten av ΓΚ och ΚΜ lika med ~~kvadraten på ΜΝ, det vill säga~~ en fjärdedel av kvadraten på ΖΜ.Prop. 6.17 Eftersom då ΓΜ och ΜΖ är två olika räta linjer samt ett område, lika med en fjärdedel av kvadraten på ΖΜ, har applicerats på ΓΜ, med en brist av en kvadratisk figur, och delar denna i kommensurabla delar, är alltså ΓΜ större i kvadrat än ΜΖ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.17 Och ingendera av ΓΜ och ΜΖ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΓΔ. Alltså är ΓΖ en tredje apotome.Def. 10.3.3

Alltså resulterar kvadraten på en andra apotome av en medial applicerad på en uttryckbar rät linje i en tredje apotome som bredd. Vilket skulle visas.

ρʹ.

Τὸ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην.

100.

Kvadraten på en mindre irrational applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en fjärde apotome som bredd.

Ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον. καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω δὶα τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΖΛ, καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα ~~ἄρα~~ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἴσον δέ ~~ἐστι~~ τὸ ΓΛ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ~~ἐστὶ~~ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη.

Ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ τῷ ΚΛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστίν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ· ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετράρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ὅλη ἡ ΓΜ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.

Τὸ ἄρα ἀπὸ ἐλάσσονος καὶ τὰ ἑξῆς.^[103]

Låt ΑΒ vara en minde irrational, ΓΔ en uttryckbar rät linje och låt ΓΕ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΖ. Jag säger, att ΓΖ är en fjärde apotome.

Ty låt ΒΗ vara passande till ΑΒ, alltså är ΑΗ och ΗΒ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som resulterar i området sammansatt av kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, som är uttryckbart och dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, som är medial.Prop. 10.76 Låt även ΓΘ, lika med kvadraten på ΑΗ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΚ och ΚΛ, lika med kvadraten på ΒΗ, på ΚΘ resulterande i bredden ΚΜ. Alltså är hela ΓΛ lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ och området sammansatt av kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är uttryckbart, alltså är även ΓΛ uttryckbart och det ligger längs den uttryckbara ΓΔ resulterande i bredden ΓΜ, alltså är ΓΜ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.20 Och eftersom hela ΓΛ är lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, där ΓΕ är lika med kvadraten på ΑΒ, är alltså resten ΖΛ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ.Prop. 2.7 Låt så ΖΜ ha delats i hälften vid punkten Ν och ha dragit ΝΞ, parallell med endera ΓΔ eller ΜΛ, genom Ν. Alltså är vart och ett av ΖΞ och ΛΝ lika med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ. Och dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är medial och är lika med ΖΛ, är alltså även ΖΛ medialt. Och det ligger längs den uttryckbara ΕΖ resulterande i bredden ΖΜ, alltså är även ΖΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.22 Och eftersom området sammansatt av kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är uttryckbart och dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ medial, är ~~alltså~~ kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ. Och ΓΛ är lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ samt ΖΛ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, alltså är ΓΛ inkommensurabelt med ΖΛ.Prop. 6.1 Och som ΓΛ är till ΖΛ, så är ΓΜ till ΜΖ, alltså är ΓΜ inkommensurabel i längd med ΜΖ. Och de är båda uttryckbara, alltså är ΓΜ och ΜΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΓΖ en apotome.

Jag säger så, att den även är en fjärde apotome.

Ty eftersom ΑΗ och ΗΒ är inkommensurabla i kvadrat, är alltså även kvadraten på ΑΗ inkommensurabel med den på ΗΒ. Och ΓΘ är lika med kvadraten på ΑΗ och ΚΛ lika med den på ΗΒ ΚΛ, alltså är ΓΘ inkommensurabelt med ΚΛ. Och som ΓΘ är till ΚΛ, så är ΓΚ till ΚΜ,Prop. 6.1 alltså är ΓΚ inkommensurabel i längd med ΚΜ.Prop. 10.11 Och eftersom rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ:s medelproportional,Prop. 10.21 lem. kvadraten på ΑΗ är lika med ΓΘ, den på ΗΒ med ΚΛ samt rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ med ΝΛ, alltså är ΝΛ ΓΘ och ΚΛ:s medelproportional. Alltså som ΓΘ är till ΝΛ, så är ΝΛ till ΚΛ. Men som ΓΘ är till ΝΛ, så är ΓΚ till ΝΜ och som ΝΛ är till ΚΛ, så är ΝΜ till ΚΜ,Prop. 6.1 alltså som ΓΚ är till ΜΝ, så är ΜΝ till ΚΜ,Prop. 5.11 alltså är rektangeln omsluten av ΓΚ och ΚΜ lika med kvadraten på ΜΝ, det vill säga en fjärdedel av den på ΖΜ.Prop. 6.17 Eftersom då ΓΜ och ΜΖ är två olika räta linjer samt rektangeln omsluten av ΓΚ och ΚΜ, lika med en fjärdedel av kvadraten på ΖΜ, har applicerats på ΓΜ, med en brist av en kvadratisk figur, och delar denna i inkommensurabla delar, är alltså ΓΜ större i kvadrat än ΜΖ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.18 Och hela ΓΜ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΓΔ, alltså är ΓΖ en fjärde apotome.Def. 10.3.4

Kvadraten på en mindre irrational och så vidare.

ραʹ.

Τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην.

101.

Kvadraten på en som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en femte apotome som bredd.

Ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἵσον τὸ ΚΛ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἅμα μέσον ἐστίν· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστι καί ~~ἐστιν~~ ἴσον τῷ ΖΛ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ΓΛ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΖΛ ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.

Λὲγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.

Ὁμοίως γὰρ δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ τῷ ΚΛ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ· ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει. ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσύμμέτρου ἑαυτῇ. καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[104]

Låt ΑΒ vara en som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt, ΓΔ en uttryckbar rät linje och låt ΓΕ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΖ. Jag säger, att ΓΖ är en femte apotome.

Ty låt ΒΗ vara passande till ΑΒ, alltså är ΑΗ och ΗΒ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som resulterar i området sammansatt av kvadraterna på dem, som är medialt och dubbla rektangeln omsluten av dem, som är uttryckbar.Prop. 10.77 Låt även ΓΘ, lika med kvadraten på ΑΗ, ha applicerats på ΓΔ och ΚΛ, lika med kvadraten på ΗΒ. Alltså är hela ΓΛ lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ och området sammansatt av kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är medialt, alltså är även ΓΛ medialt och det ligger längs den uttryckbara ΓΔ resulterande i bredden ΓΜ, alltså är ΓΜ uttryckbar och inkommensurabel med ΓΔ.Prop. 10.22 Och eftersom hela ΓΛ är lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, där ΓΕ är lika med kvadraten på ΑΒ, är alltså resten ΖΛ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ.Prop. 2.7 Låt så ΖΜ ha delats i hälften vid Ν och ha dragit ΝΞ, parallell med endera ΓΔ eller ΜΛ, genom Ν. Alltså är vart och ett av ΖΞ och ΛΝ lika med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ. Och eftersom dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är uttryckbar och är lika med ΖΛ, är alltså även ΖΛ uttryckbart. Och det ligger längs den uttryckbara ΕΖ resulterande i bredden ΖΜ, alltså är även ΖΜ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.20 Och eftersom ΓΛ är medialt och ΖΛ uttryckbart, är alltså ΓΛ inkommensurabelt med ΖΛ. Och som ΓΛ är till ΖΛ, så är ΓΜ till ΜΖ,Prop. 6.1 alltså är ΓΜ inkommensurabel i längd med ΜΖ.Prop. 10.11 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΓΜ och ΜΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΓΖ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den även är en femte apotome.

Ty på samma sätt skall vi visa, att rektangeln omsluten av ΓΚΜ är lika med kvadraten på ΝΜ, det vill säga en fjärdedel av den på ΖΜ. Och eftersom kvadraten på ΑΗ är inkommensurabel med den på ΗΒ, kvadraten på ΑΗ är lika med ΓΘ och den på ΗΒ med ΚΛ, är alltså ΓΘ inkommensurabel med ΚΛ. Och som ΓΘ är till ΚΛ, så är ΓΚ till ΚΜ,Prop. 6.1 alltså är ΓΚ inkommensurabel i längd med ΚΜ.Prop. 10.11 Eftersom då ΓΜ och ΜΖ är två olika räta linjer samt ett område, lika med en fjärdedel av kvadraten på ΖΜ, har applicerats på ΓΜ, med en brist av en kvadratisk figur, och delar denna i inkommensurabla delar, är alltså ΓΜ större i kvadrat än ΜΖ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den.Prop. 10.18 Och den passande ΖΜ är kommensurabel med den utsatta uttryckbara räta linjen ΓΔ. Alltså är ΓΖ en femte apotome.Def. 10.3.5 Vilket skulle visas.

ρβʹ.

Τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην.

102.

Kvadraten på en som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt applicerad på en uttryckbar rät linje resulterar i en sjätte apotome som bredd.

Ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον καὶ ἀσύμμετρον τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΓΔ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα ~~ἐστὶ~~ καὶ τὸ ΓΛ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον· καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, ἀσύμμετρος ἄρα ~~ἐστὶ~~ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί. αἱ ΓΜ, ΜΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τετμήσθω δίχα ἡ ΖΜ κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ. ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καὶ ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἕκτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[105]

Låt ΑΒ vara en som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt, ΓΔ en uttryckbar rät linje och låt ΓΕ, lika med kvadraten på ΑΒ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΖ. Jag säger, att ΓΖ är en sjätte apotome.

Ty låt ΒΗ vara passande till ΑΒ, alltså är ΑΗ och ΗΒ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som resulterar i området sammansatt av kvadraterna på dem, som är medialt och dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, som är medial och inkommensurabel med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ.Prop. 10.78 Låt så ΓΘ, lika med kvadraten på ΑΗ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΓΚ och ΚΛ, lika med kvadraten på ΒΗ. Alltså är hela ΓΛ lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, alltså är även ΓΛ medialt och det ligger längs den uttryckbara ΓΔ resulterande i bredden ΓΜ, alltså är ΓΜ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.22 Eftersom då hela ΓΛ är lika med kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ, där ΓΕ är lika med kvadraten på ΑΒ, är alltså resten ΖΛ lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ.Prop. 2.7 Och dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är medial, alltså är även ΖΛ medialt och ligger längs den uttryckbara ΖΕ resulterande i bredden ΖΜ, alltså är ΖΜ uttryckbart och inkommensurabelt i längd med ΓΔ.Prop. 10.22 Och eftersom kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är inkommensurabla med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ är lika med ΓΛ samt dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är lika med ΖΛ, är alltså ΓΛ inkommensurabelt med ΖΛ. Och som ΓΛ är till ΖΛ, så är ΓΜ till ΜΖ,Prop. 6.1 alltså är ΓΜ inkommensurabel i längd med ΜΖ.Prop. 10.11 Och de är båda uttryckbara, alltså är ΓΜ och ΜΖ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Alltså är ΓΖ en apotome.Prop. 10.73

Jag säger så, att den även är en sjätte apotome.

Ty eftersom hela ΖΛ är lika med dubbla rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, låt ΖΜ ha delats i hälften vid Ν och ha dragit ΝΞ parallell med ΓΔ genom Ν. Alltså är vart och ett av ΖΞ och ΝΛ lika med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ. Och eftersom ΑΗ och ΗΒ är inkommensurabla i kvadrat, är alltså kvadraten på ΑΗ inkommensurabel med den på ΗΒ. Men ΓΘ är lika med kvadraten på ΑΗ och ΚΛ är lika med den på ΗΒ, alltså är ΓΘ inkommensurabelt med ΚΛ. Och som ΓΘ är till ΚΛ, så är ΓΚ till ΚΜ,Prop. 6.1 alltså är ΓΚ inkommensurabel med ΚΜ.Prop. 10.11 Och eftersom rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ är kvadraterna på ΑΗ och ΗΒ:s medelproportional,Prop. 10.21 lem. ΓΘ är lika med kvadraten på ΑΗ, ΚΛ lika med den på ΗΒ samt ΝΛ lika med rektangeln omsluten av ΑΗ och ΗΒ, är alltså även ΝΛ ΓΘ och ΚΛ:s medelproportional. Alltså som ΓΘ är till ΝΛ, så är ΝΛ till ΚΛ. Och av samma skäl är ΓΜ större i kvadrat än ΜΖ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den.Prop. 10.18 Och ingendera är kommensurabel med den utsatta uttryckbara räta linjen ΓΔ. Alltså är ΓΖ en sjätte apotome.Def. 10.3.6 Vilket skulle visas.

ργʹ.

Ἡ τῇ ἀποτομῇ μήκει σύμμετρος ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.

103.

En rät linje kommensurabel i längd med en apotome är en apotome och är av samma ordning.

Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.

Ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ λόγῳ ὁ αὐτὸς γεγονέτω ὁ τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ὡς ἓν ἄρα πρὸς ἕν, πάντα ~~ἐστὶ~~ πρὸς πάντα· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ὅλη ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει· σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΕ μὲν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. καὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι [ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ].

Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ. ἤτοι δὴ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου. εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἰ δὲ ἡ ΑΕ ~~τῆς ΕΒ~~ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ.

Ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[106]

Låt ΑΒ vara en apotome och låt ΓΔ vara en rät linje kommensurabel i längd med den. Jag säger, att också ΓΔ är en apotome och är av samma ordning som ΑΒ.

Ty eftersom ΑΒ är en apotome, låt ΒΕ vara passande till den, alltså är ΑΕ och ΕΒ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.73 Och låt ΒΕ:s förhållande till ΔΖ ha blivit samma som ΑΒ:s till ΓΔ.Prop. 6.12 Och alltså som ett är till ett, så är alla till alla,Prop. 5.12 alltså som hela ΑΕ är till hela ΓΖ, så är också ΑΒ till ΓΔ. Och ΑΒ är kommensurabel i längd med ΓΔ, alltså är även ΑΕ kommensurabel med ΓΖ och ΒΕ med ΔΖ.Prop. 10.11 Och ΑΕ och ΕΒ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är även ΓΖ och ΖΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat. Prop. 10.13 [Alltså är ΓΔ en apotome.

Jag säger så, att den även är av samma ordning som ΑΒ.]

Eftersom då som ΑΕ är till ΓΖ, så är ΒΕ till ΔΖ, alltså, alternerat, som ΑΕ är till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔ.Prop. 5.16 Faktiskt är ΑΕ större i kvadrat än ΕΒ med kvadraten på en rät linje kommensurabel eller inkommensurabel med den. Om ΑΕ så är större i kvadrat än ΕΒ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den, skall också ΓΖ vara större i kvadrat än ΖΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.14 Och om ΑΕ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen, så också ΓΖ.Prop. 10.12 Och om ΒΕ, så också ΔΖ. Och om ingendera av ΑΕ och ΕΒ, så heller ingendera av ΓΖ och ΖΔ.Prop. 10.13 Och om ΑΕ är större i kvadrat ~~än ΕΒ~~ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den, är ΓΖ också större i kvadrat än ΖΔ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den.Prop. 10.14 Och om ΑΕ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen, så också ΓΖ.Prop. 10.12 Och om ΒΕ, så också ΔΖ. Och om ingendera av ΑΕ och ΕΒ, så heller ingendera av ΓΖ och ΖΔ.Prop. 10.13

Alltså är ΓΔ en apotome och av samma ordning som ΑΒ. Vilket skulle visas.

ρδʹ.

Ἡ τῇ μέσης ἀποτομῇ σύμμετρος μέσης ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.

104.

En rät linje kommensurabel i längd med en apotome av en medial är en apotome av en medial och är av samma ordning.

Ἔστω μέσης ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μέσης ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.

Ἐπεὶ γὰρ μέσης ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΒ. αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ· σύμμετρος ἄρα ~~ἐστὶ~~ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ. αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ.

Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.

Ἐπεὶ ~~γάρ~~ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ~~καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ~~. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ῥητὸν ἔσται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, εἴτε μέσον ~~ἐστὶ~~ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, μέσον ~~ἐστὶ~~ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.

Μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[107]

Låt ΑΒ vara en apotome av en medial och låt ΓΔ vara en rät linje kommensurabel i längd med den. Jag säger, att också ΓΔ är en apotome av en medial och är av samma ordning som ΑΒ.

Ty eftersom ΑΒ är en apotome av en medial, låt ΒΕ vara passande till den, alltså är ΑΕ och ΕΒ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.74 Prop. 10.75 Och låt ΑΒ ha blivit till ΓΔ som ΒΕ till ΔΖ.Prop. 6.12 Alltså är ΑΗ kommensurabel med ΓΖ och ΒΕ med ΔΖ.Prop. 5.12 Prop. 10.11 Och ΑΕ och ΕΒ är mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och alltså är ΓΖ och ΖΔ mediala räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.23 Prop. 10.13 Alltså är ΓΔ en apotome av en medial.Prop. 10.74 Prop. 10.75

Jag säger så, att den även är av samma ordning som ΑΒ.

Ty eftersom som ΑΕ är till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔProp. 5.12 Prop. 5.16 ~~men som ΑΕ är till ΕΒ, så är kvadraten på ΑΕ till rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ och som ΓΖ är till ΖΔ, så är kvadraten på ΓΖ till rektangeln omsluten av ΓΖ och ΖΔ~~, alltså är även kvadraten på ΑΕ till rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ, som kvadraten på ΓΖ till rektangeln omsluten av ΓΖ och ΖΔProp. 10.21 lem. ~~och, alternerat, som kvadraten på ΑΕ till den på ΓΖ, så är rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ till den omsluten av ΓΖ och ΖΔ~~. Och kvadraten på ΑΕ är kommensurabel med den på ΓΖ, alltså är även rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ kommensurabel med den omsluten av ΓΖ och ΖΔ.Prop. 5.16 Prop. 10.11 Sålunda är antingen rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ uttryckbar och den omsluten av ΓΖ och ΖΔ skall också vara uttryckbarDef. 10.1.4 eller är den omsluten av ΑΕ och ΕΒ medial och den omsluten av ΓΖ och ΖΔ är också medial.Prop. 10.23 cor.

Alltså är ΓΔ en apotome av en medial och av samma ordning som ΑΒ.Prop. 10.74 Prop. 10.75 Vilket skulle visas.

ρεʹ.

Ἡ τῇ ἐλάσσονι σύμμετρος ἐλάσσων ἐστίν.

105.

En rät linje kommensurabel i längd med en mindre irrational är en mindre irrational.

Ἔστω γὰρ ἐλάσσων ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἐλάσσων ἐστίν.

Γεγονέτω γὰρ τὰ αὐτά· καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ. συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ ~~καὶ ἐναλλάξ~~· σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. ῥητὸν δέ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγώνῳ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον.

Ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[108]

Ty låt ΑΒ vara en mindre irrational och vara kommensurabel med ΓΔ. Jag säger, att också ΓΔ är en mindre irrational.

Ty låt detsamma ha skett och eftersom ΑΕ och ΕΒ är inkommensurabla i kvadrat,Prop. 10.76 är alltså även ΓΖ och ΖΔ inkommensurabla i kvadrat.Prop. 10.13 Eftersom då som ΑΕ är till ΕΒ, så är ΓΖ till ΖΔProp. 5.12 Prop. 5.16 och alltså som kvadraten på ΑΕ är till den på ΕΒ, så är den på ΓΖ till den på ΖΔ.Prop. 6.22 Alltså, genom komposition, som kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ är till den på ΕΒ, så är de på ΓΖ och ΖΔ till den på ΖΔ,Prop. 5.18 ~~även alternerat~~. Och kvadraten på ΒΕ är kommensurabel med den på ΔΖ,Prop. 10.104 alltså är även området sammansatt av kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ kommensurabelt med det sammansatt av kvadraterna på ΓΖ och ΖΔ.Prop. 5.16 Prop. 10.11 Och området sammansatt av kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ är uttryckbart,Prop. 10.76 alltså är det sammansatt av kvadraterna på ΓΖ och ΖΔ uttryckbart.Def. 10.1.4 Åter, då som kvadraten på ΑΕ är till rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ, så är kvadraten på ΓΖ till rektangeln omsluten av ΓΖ och ΖΔProp. 10.21 lem. samt då kvadraten på ΑΕ är kommensurabel med kvadraten på ΓΖ, är alltså även rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ kommensurabel med den omsluten av ΓΖ och ΖΔ. Rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ är medial,Prop. 10.76 alltså är den omsluten av ΓΖ och ΖΔ också medial.Prop. 10.23 cor. Alltså är ΓΖ och ΖΔ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som gör området sammansatt av kvadraterna på dem uttryckbart och rektangeln omsluten av dem medial.

Alltså är ΓΔ en mindre irrational.Prop. 10.76 Vilket skulle visas.

ρϛʹ.

Ἡ τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

106.

En rät linje kommensurabel med en rät linje, som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt, är en rät linje, som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.

Ἔστω μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν. καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω. ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι αἱ ΓΖ, ΖΔ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ ταῖς ΑΕ, ΕΒ, καὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον, τὸ δ᾿ ὑπ᾿ αὐτῶν ῥητόν.

Ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[109]

Låt ΑΒ vara en rät linje, som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt och ΓΔ vara kommensurabel med ΑΒ. Jag säger, att ΓΔ är en rät linje, som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.

Ty låt ΒΕ vara passande till ΑΒ, alltså är ΑΕ och ΕΒ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som resulterar i området sammansatt av kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ, som är medialt och rektangeln omsluten av dem, som är uttryckbar.Prop. 10.77 Låt även detsamma ha ställts upp. Liksom för de tidigare skall vi visa, att ΓΖ och ΖΔ är i samma förhållande som ΑΕ och ΕΒ, området sammansatt av kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ är kommensurabelt med området sammansatt av kvadraterna på ΓΖ och ΓΔ och rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ med rektangeln omsluten av ΓΖ och ΓΔ, så att även ΓΖ och ΖΔ är räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som resulterar i området sammansatt av kvadraterna på ΓΖ och ΓΔ, som är medialt och rektangeln omsluten av dem, som är uttryckbar.

Alltså är ΓΔ är en rät linje, som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.Prop. 10.77 Vilket skulle visas.

ρζʹ.

Ἡ τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος καὶ αὐτὴ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

107.

En rät linje kommensurabel med en som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt, är en som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.

Ἔστω μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ ἔστω σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.

Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ, καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἱσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ᾿ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκέιμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων τῷ ὑπ᾿ αὐτῶν. καί εἰσιν, ὡς ἐδείχθη, αἱ ΑΕ, ΕΒ σύμμετροι ταῖς ΓΖ, ΖΔ, καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ᾿ ἀὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ᾿ αὐτῶν ~~τετραγώνων~~ τῷ ὑπ᾿ αὐτῶν.

Ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[110]

Låt ΑΒ vara en som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt och ΓΔ vara kommensurabel med ΑΒ. Jag säger, att ΓΔ är en som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.

Ty låt ΒΕ vara passande till ΑΒ. Låt även detsamma ha ställts upp. Alltså är ΑΕ och ΕΒ räta linjer inkommensurabla i kvadrat, som resulterar i området sammansatt av kvadraterna på dem, som är medialt och rektangeln omsluten av dem, som är medial. Och dessutom är området sammansatt av kvadraterna på dem inkommensurabelt med rektangeln omsluten av dem.Prop. 10.78 Och, vilket visats, ΑΕ och ΕΒ är kommensurabla med ΓΖ och ΖΔ, området sammansatt av kvadraterna på ΑΕ och ΕΒ med det sammansatt av dem på ΓΖ och ΖΔ samt rektangeln omsluten av ΑΕ och ΕΒ med dem omslutna av ΓΖ och ΖΔ. Alltså är även ΓΖ och ΖΔ räta linjer inkommensurabla i kvadrat resulterande i i området sammansatt av kvadraterna på dem, som är medialt och rektangeln omsluten av dem, som är medial. Och dessutom är området sammansatt av ~~kvadraterna~~ på dem inkommensurabelt med rektangeln omsluten av dem.Prop. 10.78

Alltså är ΓΔ en rät linje som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.Prop. 10.78 Vilket skulle visas.

ρηʹ.

Ἀπὸ ῥητοῦ μέσου ἀφαιρουμένου ἡ τὸ λοιπὸν χωρίον δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων.

108.

Sedan ett medialt område dragits bort från ett uttryckbart, blir möjliggöraren till det resterande området en av två irrationaler: antingen en apotome eller en mindre irrational.

Ἀπὸ γὰρ ῥητοῦ τοῦ ΒΓ μέσον ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν δυναμένη τὸ ΕΓ μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων.

Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ, τῷ δὲ ΔΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΘ. ἐπεὶ οὖν ῥητὸν μέν ἐστι τὸ ΒΓ, μέσον δὲ τὸ ΒΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΒΓ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΔ τῷ ΗΚ, ῥητὸν μὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘ, μέσον δὲ τὸ ΗΚ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται· ῥητὴ μὲν ἄρα ἡ ΖΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΖΚ μήκει. αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΚΖ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ οὔ.

Δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου. καί ἐστιν ὅλη ἡ ΘΖ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ· ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δ᾿ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πρώτης περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἀποτομή ἐστιν. ἡ ἄρα τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.

Εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τετάρτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δ᾿ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[111]

Ty låt det mediala området ΒΔ ha dragits bort från det uttryckbara ΒΓ. Jag säger, att möjliggöraren till det resterande området ΕΓ blir en av två irrationaler: antingen en apotome eller en mindre irrational.

Ty låt den uttryckbara ΖΗ sättas ut samt den rätvinkliga parallellogrammen ΗΘ, lika med ΒΓ, ha applicerats på ΖΗ och låt ΗΚ, lika med ΔΒ, ha dragits bort. Alltså är resten ΕΓ lika med ΛΘ. Eftersom då ΒΓ är uttryckbart, ΒΔ är medialt, ΒΓ lika med ΗΘ och ΒΔ med ΗΚ, är alltså ΗΘ uttryckbart och ΗΚ medialt. Och de ligger längs den uttryckbara ΖΗ, alltså är ΖΘ även kommensurabel i längd med ΖΗProp. 10.20 samt ΖΚ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΖΗ.Prop. 10.22 Alltså är ΖΘ inkommensurabel i längd med ΖΚ.Prop. 10.13 Alltså är ΖΘ och ΖΚ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΚΘ en apotomeProp. 10.73 och ΚΖ är passande till den. Sålunda är ΘΖ större i kvadrat än ΖΚ med kvadraten på en rät linje kommensurabel eller ej med den.

Låt den först vara större i kvadrat med kvadraten på en kommensurabel. Och hela ΘΖ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΖΗ, alltså är ΚΘ en första apotome.Def. 10.3.1 Möjliggöraren till ett område omslutet av en uttryckbar rät linje och en första apotome är en apotome.Prop. 10.91 Alltså är möjliggöraren till ΛΘ, det vill säga ΕΓ, en apotome.

Om ΘΖ är större i kvadrat än ΖΚ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den och hela ΖΘ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΖΗ, är ΚΘ en fjärde apotome.Prop. 10.14 Möjliggöraren till ett område omslutet av en uttryckbar rät linje och en fjärde apotome är en mindre irrational.Prop. 10.94 Vilket skulle visas.

ρθʹ.

Ἀπὸ μέσου ῥητοῦ ἀφαιρουμένου ἄλλαι δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.

109.

Sedan ett uttryckbart område dragits bort från ett medialt, blir möjliggöraren två andra irrationaler: antingen en första apotome av en medial eller den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.

Ἀπὸ γὰρ μέσου τοῦ ΒΓ ῥητὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ. λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν τὸ ΕΓ δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.

Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ παραβεβλήσθω ὁμοίως τὰ χωρία. ἔστι δὴ ἀκολούθως ῥητὴ μὲν ἡ ΖΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.

Εἰ μὲν οὖν ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἐστίν.

Εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ πέμπτη ἐστὶν ἡ ΚΘ· ὥστε ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[112]

Ty låt det uttryckbara området ΒΔ ha dragits bort från det mediala ΒΓ. Jag säger, att möjliggöraren till det resterande området ΕΓ blir en av två irrationaler: antingen en första apotome av en medial eller den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.

Ty låt den uttryckbara ΖΗ sättas ut och områden ha applicerats på samma sätt. Följaktligen är ΖΘ uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΖΗ samt ΚΖ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΖΗ. Alltså är ΖΘ och ΖΚ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat,Prop. 10.13 alltså är ΚΘ en apotomeProp. 10.73 och ΖΚ passande till den. Då är ΘΖ antingen större i kvadrat än ΖΚ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den eller med kvadraten på en inkommensurabel.

Om så ΘΖ är större i kvadrat än ΖΚ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den och den passande ΖΚ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΖΗ, är ΚΘ en andra apotome.Def. 10.3.2 Och ΖΗ är uttryckbar, så att möjliggöraren till ΛΘ, det vill säga ΕΓ, är en första apotome av en medial.Prop. 10.92

Om så ΘΖ är större i kvadrat än ΖΚ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den och den passande ΖΚ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΖΗ, är ΚΘ en femte apotome,Def. 10.3.5 så att möjliggöraren till ΕΓ är den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt.Prop. 10.95 Vilket skulle visas.

ριʹ.

Ἀπὸ μέσου μέσου ἀφαιρουμένου ἀσυμμέτρου τῷ ὅλῳ αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.

110.

Sedan ett medialt område, inkommensurabelt med det hela, dragits bort från ett medialt, blir möjliggöraren två resterande irrationaler: antingen en andra apotome av en medial eller den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.

Ἀφῃρήσθω γὰρ ὡς ἐπὶ τῶν προκειμένων καταγραφῶν ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ μέσον τὸ ΒΔ ἀσύμμετρον τῷ ὅλῳ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μία ἐστὶ δύο ἀλόγων ἤτοι μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.

Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΓ, ΒΔ, καὶ ἀσύμμετρον τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, ἔσται ἀκολούθως ῥητὴ ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, τουτέστι τὸ ΗΘ τῷ ΗΚ, ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΖΚ· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ ~~προσαρμόζουσα δὲ ἡ ΖΚ. ἤτοι δὴ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ~~.

Εἰ μὲν δὴ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμέμνῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τρίτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΚΛ, τὸ δ᾿ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τρίτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα· ὥστε ἡ τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτερά.

Εἰ δὲ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ ~~μήκει~~, καὶ οὐθετέρα τῶν ΘΖ, ΖΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ἀποτομὴ ἕκτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δ᾿ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης ἡ δυναμένη ἐστὶ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα. ἡ τὸ ΛΘ ἄρα, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[113]

Ty låt, som i de tidigare figurerna, ΒΔ, inkommensurabelt med det hela, ha dragits bort från det mediala ΒΓ. Jag säger, att möjliggöraren till ΕΓ är en av två irrationaler: antingen en andra apotome av en medial eller den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.

Ty eftersom vart och ett av ΒΓ och ΒΔ är medialt samt ΒΓ är inkommensurabelt med ΒΔ,Prop. 6.1 Prop. 10.11 skall följaktligen var och en av ΖΘ och ΖΚ vara uttryckbar och inkommensurabel i längd med ΖΗ.Prop. 10.22 Och eftersom ΒΓ är inkommensurabelt med ΒΔ, det vill säga ΗΘ med ΗΚ och ΘΖ inkommensurabel med ΖΚ, är alltså ΖΘ och ΖΚ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΚΘ en apotomeProp. 10.73 ~~och ΖΚ är passande till den. Och ΖΘ är större i kvadrat än ΖΚ med kvadraten på en rät linje kommensurabel eller kvadraten på en inkommensurabel med den~~.

Om så ΖΘ är större i kvadrat än ΖΚ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den och ingendera av ΖΘ och ΖΚ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΖΗ, är ΚΘ en tredje apotome.Def. 10.3.3 Och ΚΛ är uttryckbar och en rektangel omsluten av en uttryckbar och en tredje apotome är irrationell. Även dess möjliggörare är irrationell och kallas en andra apotome av en medial,Prop. 10.93 så att möjliggöraren till ΛΘ, det vill säga ΕΓ, är en andra apotome av en medial.

Om så ΖΘ är större i kvadrat än ΖΚ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel ~~i längd~~ med den och ingendera av ΖΘ och ΖΚ är kommensurabel i längd med ΖΗ, är ΚΘ en sjätte apotome.Def. 10.3.6 Och möjliggöraren till en rektangel omsluten av en uttryckbar och en sjätte apotome är den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt.Prop. 10.96 Alltså är möjliggöraren till ΛΘ, det vill säga ΕΓ, den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt. Vilket skulle visas.

ριαʹ.

Ἡ ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.

111.

En apotome är inte detsamma som en binomial.

Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἀποτομὴ πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΖ· αἱ ΔΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΔΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΔΗ· αἱ ΔΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΗ τῆς ΗΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ μεῖζον ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. καὶ ἡ ΔΖ ἄρα τῇ ΔΗ σύμμετρός ἐστι μήκει· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΖ μήκει. ἐπεὶ οῦν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ, ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΔΖ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΖ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ μήκει ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΕΖ μήκει. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ μήκει. αἱ ΗΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί ~~εἰσι~~ δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ. ἀλλὰ καὶ ῥητή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

Ἡ ἄρα ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Πόρισμα.

Ἡ ἀποτομὴ καὶ αἱ μετ᾿ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί.

Τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρ᾿ ἣν παράκειται, μήκει, τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην, τὸ δὲ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην. ἐπεὶ οὖν τὰ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δὲ, ἐπεὶ τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί, δῆλον, ὡς καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ἀποτομὴ οὐκ οὖσα ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων, ποιοῦσι δὲ πλάτη παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμεναι αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν ἀποτομὰς ἀκολούθως ἑκάστη τῇ τάξει τῇ καθ᾿ αὑτήν, αἱ δὲ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τὰς ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αὐταὶ τῇ τάξει ἀκολούθως, ἕτεραι ἄρα εἰσὶν αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν καὶ ἕτεραι αἱ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ὡς εἶναι τῇ τάξει πάσας ἀλόγους $\bar{ιγ}$ ,

Μέσην,
Ἐκ δύο ὀνομάτων,
Ἐκ δύο μέσων πρώτην,
Ἐκ δύο μέσων δευτέραν,
Μείζονα,
Ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην,
Δύο μέσα δυναμένην,
Ἀποτομήν,
Μἑσης ἀποτομὴν πρώτην,
Μἑσης ἀποτομὴν δευτέραν,
Ἐλάσσονα,
Μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν,
Μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν.^[114]

Låt ΑΒ vara en apotome. Jag säger, att ΑΒ inte är densamma som en binomial.

Ty om möjligt låt den vara det, låt den uttryckbara ΔΓ sättas ut och låt rektangeln ΓΕ, lika med ΑΒ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΔΕ. Då, eftersom ΑΒ är en apotome, är ΔΕ en första apotome.Prop. 10.97 Låt ΕΖ vara passande till den, alltså är ΔΖ och ΖΕ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat samt ΔΖ är större i kvadrat än ΖΕ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den och ΔΖ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΔΓ.Def. 10.3.1 Åter, eftersom ΑΒ är en binomial, är alltså ΔΕ en första binomial.Prop. 10.60 Låt den ha delats i beståndsdelarna vid Η och låt ΔΗ vara den större delen, alltså är ΔΗ och ΗΕ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat och ΔΗ är större i kvadrat än ΗΕ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den och den större ΔΗ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen ΔΓ.Def. 10.2.1 Och alltså är ΔΖ kommensurabel i längd med ΔΗ,Prop. 10.12 alltså är resten ΗΖ kommensurabel i längd med ΔΖ.Prop. 10.15 ~~Då, eftersom ΔΖ är kommensurabel med ΗΖ och ΔΖ är uttryckbar, är alltså även ΗΖ uttryckbar. Då, eftersom ΔΖ är kommensurabel i längd med ΗΖ,~~ är ΔΖ inkommensurabel i längd med ΕΖ. Alltså är även ΖΗ inkommensurabel i längd med ΕΖ.Prop. 10.13 Alltså är ΗΖ och ΖΕ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΕΗ en apotome,Prop. 10.73 men är även uttryckbar, vilket är omöjlig.

Alltså är en apotome inte detsamma som en binomial. Vilket skulle visas.

Följdsats.

Apotomen och irrationalerna efter den är varken desamma som en medial eller som varandra.

Ty kvadraten på en medial applicerad på en uttryckbar resulterar i en uttryckbar bredd inkommensurabel i längd med den, på vilken den applicerats.Prop. 10.22 Kvadraten på en apotome applicerad på en uttryckbar resulterar i en bredd av en första apotome.Prop. 10.97 Kvadraten på en första apotome av en medial applicerad på en uttryckbar resulterar i en bredd av en andra apotomeProp. 10.98 Kvadraten på en andra apotome av en medial applicerad på en uttryckbar resulterar i en bredd av en tredje apotomeProp. 10.99 Kvadraten på en mindre irrational applicerad på en uttryckbar resulterar i en bredd av en fjärde apotomeProp. 10.100 Kvadraten på en som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt applicerad på en uttryckbar resulterar i en bredd av en femte apotomeProp. 10.101 Kvadraten på en som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt applicerad på en uttryckbar resulterar i en bredd av en sjätte apotomeProp. 10.102 De nämnda bredderna skiljer sig från den första och varandra; den första, för att den är uttryckbar; varandra, eftersom de inte är av samma ordning. Det är tydligt, även hur de irrationella skiljer sig också från varandra.^U U) Jmf slutet av 72 ovan. Och eftersom en apotome har visats inte vara detsamma som en binomial,Prop. 10.111 kvadrater på irrationella räta linjer efter apotomen, applicerade på en uttryckbar rät linje, resulterar i apotomer som bredder, envar följande i ordning på envar och de efter binomialen i binomialer och de följer i ordning, alltså är en del är efter apotomen och en del efter binomialen, så att irrationalerna är, i ordning, totalt 13:

medial
binomial
första bimedial
andra bimedial
större irrational
möjliggörare till ett uttryckbart plus ett medialt område
möjliggörare till området omslutet av två mediala
apotome
första apotomen av en medial
andra apotomen av en medial
mindre irrational
den som med ett uttryckbart område resulterar i ett medialt helt
den som med ett medialt område resulterar i ett medialt helt

ριβʹ.

Τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομήν, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι καὶ ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ γινομένη ἀποτομὴ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.

112.

Kvadraten på en uttryckbar applicerad på en binomial resulterar i en apotome som bredd, vars beståndsdelar är kommensurabla med binomialens beståndsdelar, och är dessutom i samma förhållande, dessutom är den skapade apotomen även av samma ordning som binomialen.

Ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἐκ δύο ὀνομάτων δὲ ἡ ΒΓ, ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἀποτομή ἐστιν, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς ΓΔ, ΔΒ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΕΖ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ΒΓ.

Ἔστω γὰρ πάλιν τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, Η, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ Η πρὸς τὴν ΕΖ. μείζων δὲ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Η τῆς ΕΖ. ἔστω τῇ Η ἴση ἡ ΕΘ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ· διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ. γεγονέτω ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΚΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ὅλην τὴν ΚΖ ἐστιν, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ· ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΖ. καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΕ, ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΘΚ, ΚΖ, ΚΕ ἀνάλογόν εἰσιν. σύμμετρος ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΚΕ μήκει. ὥστε καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστι μήκει. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ, ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς Α, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΔ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει· ὥστε καὶ ἡ σύμμετρος αὐτῇ ἡ ΕΚ ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, αἱ δὲ ΓΔ, ΔΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καὶ αἱ ΖΚ, ΚΕ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ. αἱ ΖΚ, ΚΕ ἄρα ῥηταὶ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ.

Ἤτοι δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.

Εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ~~ἑαυτῇ~~, καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ.

Εἰ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ· ὥστε ἀποτομή ἐστιν ἡ ΖΕ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΖΚ, ΚΕ σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΔ, ΔΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ τὴν αὐτῆν τάξιν ἔχει τῇ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[115]

Låt Α vara en uttryckbar rät linje och ΒΓ en binomial, vars större beståndsdel är ΔΓ. Låt även rektangeln omsluten av ΒΓ och ΕΖ vara lika med kvadraten på Α. Jag säger, att ΕΖ är en apotome, vars beståndsdelar är kommensurabla med ΓΔ och ΔΒ samt i samma förhållande, dessutom är ΕΖ även av samma ordning som ΒΓ.

Ty låt åter rektangeln omsluten av ΒΔ och Η var lika med kvadraten på Α. Då, eftersom rektangeln omsluten av ΒΓ och ΕΖ är lika med den omsluten av ΒΔ och Η, alltså som ΓΒ är till ΒΔ, så är Η till ΕΖ.Prop. 6.16 Och ΓΒ är större än ΒΔ, alltså är även Η större än ΕΖ.Prop. 5.16 Prop. 5.14 Låt ΕΘ vara lika med Η, alltså som ΓΒ är till ΒΔ, så är ΘΕ till ΕΖ, alltså, genom separation, som ΓΔ är till ΒΔ, så är ΘΖ till ΖΕ.Prop. 5.17 Låt som ΘΖ är till ΖΕ, ΖΕ bli till ΚΕ och alltså är hela ΘΚ till hela ΚΖ, som ΖΚ till ΚΕ, ty som en av de föregående är till en av de efterföljande, så är alla föregående till alla efterföljande.Prop. 5.12 Och som ΖΚ är till ΚΕ, så är ΓΔ till ΔΒ och alltså som ΘΚ är till ΚΖ, så är ΓΔ till ΔΒ.Prop. 5.11 Och kvadraten på ΓΔ är kommensurabel med den på ΔΒ,Prop. 10.36 alltså är även den på ΘΚ kommensurabel med den på ΚΖ.Prop. 6.22 Prop. 10.11 Och som kvadraten på ΘΚ är till den på ΚΖ, så är ΘΚ till ΚΕ, eftersom de tre räta linjerna ΘΚ, ΚΖ och ΚΕ är proportionella.Def. 5.9 Alltså är ΘΚ kommensurabel i längd med ΚΕ.Prop. 10.11 Så att även ΘΕ är kommensurabel i längd med ΕΚ.Prop. 10.15 Och eftersom kvadraten på Α är lika med rektangeln omsluten av ΕΘ och ΒΔ samt kvadraten på Α är uttryckbar, är alltså även rektangeln omsluten av ΕΘ och ΒΔ uttryckbar och den ligger längs den uttryckbara ΒΔ, alltså är ΕΘ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΒΔ,Prop. 10.20 så att även den räta linjen kommensurabel med den, ΕΚ, är uttryckbarDef. 10.1.3 och kommensurabel i längd med ΒΔ.Prop. 10.12 Eftersom då som ΓΔ är till ΔΒ, så är ΖΚ till ΚΕ, ΓΔ och ΔΒ är endast kommensurabla i kvadrat samt ΖΚ och ΚΕ är endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.11 Och ΚΕ är uttryckbar, är alltså även ΖΚ uttryckbar. Alltså är ΖΚ och ΚΕ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är ΕΖ en apotome.Prop. 10.73

Och ΓΔ är större i kvadrat än ΔΒ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den eller med kvadraten på en inkommensurabel.

Om så ΓΔ är större i kvadrat än ΔΒ med kvadraten på en rät linje kommensurabel ~~med den~~, är ΖΚ större i kvadrat än ΚΕ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.14 Och om ΓΔ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen, så även ΖΚ.Prop. 10.11 Prop. 10.12 Och om ΒΔ, så även ΚΕ.Prop. 10.12 Och om ingendera av ΓΔ och ΔΒ, så även ingendera av ΖΚ och ΚΕ.

Om så ΓΔ är större i kvadrat än ΔΒ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den, är ΖΚ större i kvadrat än ΚΕ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den.Prop. 10.14 Och om ΓΔ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen, så även ΖΚ.Prop. 10.11 Prop. 10.12 Och om ΒΔ, så även ΚΕ.Prop. 10.12 Och om ingendera av ΓΔ och ΔΒ, så även ingendera av ΖΚ och ΚΕ. Därför är ΖΕ en apotome, vars beståndsdelar ΖΚ och ΚΕ är kommensurabla med binomialens beståndsdelar, ΓΔ och ΔΒ, är i samma föhållande och är av samma ordning som ΒΓ. Vilket skulle visas.

ριγʹ.

Τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔτι δὲ ἡ γινομένη ἐκ δύο ὀνομάτων τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ἀποτομῇ.

113.

Kvadraten på en uttryckbar rät linje applicerad på en apotome resulterar i en binomial som bredd, vars beståndsdelar är kommensurabla med apotomens beståndsdelar och är i samma förhållande som den, dessutom är den skapade binomialen även av samma ordning som apotomen.

Ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἀποτομὴ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς Α ῥητῆς παρὰ τὴν ΒΔ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ΚΘ· λέγω, ὅτι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ΒΔ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τὴν αὐτὴν ἔχει τάξιν τῇ ΒΔ.

Ἔστω γὰρ τῇ ΒΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΓ· αἱ ΒΓ, ΓΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι. καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΓ παραβέβληται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς Η. μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΒΔ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς Η. κείσθω τῇ Η ἴση ἡ ΚΕ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΒΓ μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ. γεγονέτω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ. αἱ δὲ ΒΓ, ΓΔ δυνάμει μόνον ~~εἰσὶ~~ σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι· καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ· ὥστε καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ· αἱ γὰρ ΚΖ, ΖΘ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι· σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΚΖ τῇ ΖΕ μήκει· ὥστε ἡ ΚΖ καὶ τῇ ΚΕ σύμμετρός ~~ἐστι~~ μήκει. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει. ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς ΖΘ. σύμμετρος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΚΖ· σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΓΔ μήκει. αἱ ΒΓ, ΓΔ δὲ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἄρα ἡ ΚΘ.

Εἰ μὲν οὖν ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.

Εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.

Ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΚΖ, ΖΘ σύμμετρά ~~ἐστι~~ τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΒΓ, ΓΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τῇ ΒΓ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[116]

Låt Α vara en uttryckbar rät linje och ΒΓ en apotome och rektangeln omsluten av ΒΔ och ΚΘ är lika med kvadraten på Α, så att kvadraten på den uttryckbara Α applicerad på apotomen ΒΔ resulterar i bredden ΚΘ. Jag säger, att ΚΘ är en binomial, vars beståndsdelar är kommensurabla med ΒΔ:s beståndsdelar och är i samma förhållande som den, dessutom är ΚΘ även av samma ordning som ΒΔ.

Ty låt ΔΓ vara passande till ΒΔ, alltså är ΒΓ och ΓΔ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.73 Låt även rektangeln omsluten av ΒΓ och Η vara lika med kvadraten på Α. Och kvadraten på Α är uttryckbar, alltså är även rektangeln omsluten av ΒΓ och Η uttryckbar. Och den har applicerats på den uttryckbara ΒΓ, alltså är Η uttryckbar och kommensurabel i längd med ΒΓ.Prop. 10.20 Eftersom då rektangeln omsluten av ΒΓ och Η är lika med den omsluten av ΒΔ och ΚΘ, alltså proportionellt som ΓΒ är till ΒΔ, så är ΚΘ till Η.Prop. 6.16 Och ΒΓ är större än ΒΔ, alltså är även ΚΘ större än Η.Prop. 5.16 Prop. 5.14 Låt ΚΕ ha satts lika med Η, alltså är ΚΕ kommensurabel i längd med ΒΓ. Och då som ΓΒ är till ΒΔ, så är ΘΚ till ΚΕ, alltså, genom omvändning, som ΒΓ är till ΓΔ, så är ΚΘ till ΘΕ.Prop. 5.19 cor. Och som ΚΘ är till ΘΕ, låt så ΘΖ blivit till ΖΕ, alltså är resten ΚΖ till ΖΘ, som ΚΘ är till ΘΕ, det vill säga ~~som~~ ΒΓ till ΓΔ.Prop. 5.19 Och ΒΓ och ΓΔ är räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är även ΚΖ och ΖΘ räta linjer endast kommensurabla i kvadrat.Prop. 10.11 Och då som ΚΘ är till ΘΕ, så är ΚΖ till ΖΘ, men som ΚΘ är till ΘΕ, så är ΘΖ till ΖΕ, och alltså som ΚΖ är till ΖΘ, så är ΘΖ till ΖΕ.Prop. 5.11 Så att också som den första är till den tredje, så är kvadraten på den första till den på den andra.Def. 5.9 Och alltså som ΚΖ är till ΖΕ, så är kvadraten på ΚΖ till den på ΖΘ. Och kvadraten på ΚΖ är kommensurabel med den på ΖΘ, ty ΚΖ och ΖΘ är kommensurabla i kvadrat, alltså är även ΚΖ kommensurabel i längd med ΖΕ,Prop. 10.11 så att även ΚΖ är kommensurabel i längd med ΚΕ.Prop. 10.15 Och ΚΕ är uttryckbar och kommensurabel i längd med ΒΓ. Alltså är även ΚΖ uttryckbar och kommensurabel i längd med ΒΓ.Prop. 10.12 Och då som ΒΓ är till ΓΔ, så är ΚΖ till ΖΘ, alternerat, som ΒΓ är till ΚΖ, så är ΔΓ till ΖΘ.Prop. 5.16 Och ΒΓ är kommensurabel med ΚΖ, alltså är även ΖΘ kommensurabel i längd med ΓΔ.Prop. 10.11 Och ΒΓ och ΓΔ är uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat, alltså är även ΚΖ och ΖΘ uttryckbara räta linjer endast kommensurabla i kvadrat,Def. 10.1.3 Prop. 10.13 alltså är ΚΘ en binomial.Prop. 10.36

Om så ΒΓ är större i kvadrat än ΓΔ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den, är ΚΖ större i kvadrat än ΖΘ med kvadraten på en rät linje kommensurabel med den.Prop. 10.14 Och om ΒΓ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen, så även ΚΖ.Prop. 10.12 Och om ΓΔ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen, så även ΖΘ.Prop. 10.12 Och om ingendera av ΒΓ och ΓΔ, ingendera av ΚΖ och ΖΘ.Prop. 10.13

Om så ΒΓ är större i kvadrat än ΓΔ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den, är ΚΖ större i kvadrat än ΖΘ med kvadraten på en rät linje inkommensurabel med den.Prop. 10.14 Och om ΒΓ är kommensurabel i längd med den utsatta uttryckbara räta linjen, så även ΚΖ.Prop. 10.12 Och om ΓΔ, så även ΖΘ.Prop. 10.12 Och om ingendera av ΒΓ och ΓΔ, ingendera av ΚΖ och ΖΘ.Prop. 10.13

Alltså är ΚΘ en binomial, vars beståndsdelar, ΚΖ och ΖΘ, är kommensurabla med apotomens beståndsdelar, ΒΓ och ΓΔ samt är i samma förhållande, dessutom är ΚΘ även av samma ordning som ΒΔ.Def. 10.1.2 Def. 10.1.3 Vilket skulle visas.

ριδʹ.

Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά τέ ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν.

114.

Om ett område omsluts av en apotome och en binomial, vars beståndsdelar är kommensurabla med apotomens beståndsdelar och är i samma förhållande, är möjliggöraren till området en uttryckbar rät linje.

Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἀποτομῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς ΓΔ, ἧς μεῖζον ὄνομα ἔστω τὸ ΓΕ, καὶ ἔστω τὰ ὀνόματα τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τὰ ΓΕ, ΕΔ σύμμετρά τε τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔστω ἡ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ δυναμένη ἡ Η· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ Η.

Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ Θ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Θ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ, ἧς τὰ ὀνόματα ἔστω τὰ ΚΜ, ΜΛ σύμμετρα τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι τοῖς ΓΕ, ΕΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. ἀλλὰ καὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ σύμμετροί τέ εἰσι ταῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΚΜ πρὸς ΜΛ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΚΜ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΛΜ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΚΛ ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΚΜ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΚΜ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΚΛ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΚΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ τῷ ἀπὸ τῆς Θ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς Θ. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η τῷ ἀπὸ τῆς Θ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Θ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η. καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ.

Ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητή ἐστιν.

Πόρισμα.

Καὶ γέγονεν ἡμῖν καὶ διὰ τούτου φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστι ῥητὸν χωρίον ὑπὸ ἀλόγων εὐθειῶν περιέχεσθαι. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[117]

Ty låt området, rektangeln omsluten av ΑΒ och ΓΔ, omslutas av apotomen ΑΒ och binomialen ΓΔ, vars större beståndsdel är ΓΕ, och låt binomialens beståndsdelar, ΓΕ och ΕΔ, vara kommensurabla med apotomens beståndsdelar, ΑΖ och ΖΒ, samt vara i samma förhållande. Låt även Η vara möjliggöraren till rektangeln omsluten av ΑΒ och ΓΔ. Jag säger, att Η är uttryckbar.

Ty låt den uttryckbara räta linjen Θ sättas ut och låt området, lika med kvadraten på Θ, ha applicerats på ΓΔ resulterande i bredden ΚΛ. Alltså är ΚΛ en apotome, låt dess beståndsdelar, ΚΜ och ΜΛ, vara kommensurabla med binomialens beståndsdelar, ΓΕ och ΕΔ, samt vara i samma förhållande.Prop. 10.112 Men även ΓΕ och ΕΔ är kommensurabla med ΑΖ och ΖΒ samt i samma förhållande, alltså som ΑΖ är till ΖΒ, så är ΚΜ till ΜΛ. Alltså, alternerat, som ΑΖ är till ΚΜ, så är ΒΖ till ΛΜ,Prop. 5.16 alltså är även resten ΑΒ till resten ΚΛ, som ΑΖ är till ΚΜ.Prop. 5.19 Och ΑΖ är kommensurabel med ΚΜ,Prop. 10.12 alltså är även ΑΒ kommensurabel med ΚΛ.Prop. 10.11 Och som ΑΒ är till ΚΛ, så är rektangeln omsluten av ΓΔ och ΑΒ till den omsluten av ΓΔ och ΚΛ,Prop. 6.1 alltså är även den omsluten av ΓΔ och ΑΒ kommensurabel med den omsluten av ΓΔ och ΚΛ.Prop. 10.11 Och rektangeln omsluten av ΓΔ och ΚΛ är lika med kvadraten på Θ, alltså är rektangeln omsluten av ΓΔ och ΑΒ kommensurabel med kvadraten på Θ. Och kvadraten på Η är lika med rektangeln omsluten av ΓΔ och ΑΒ, alltså är kvadraten på Η kommensurabel med kvadraten på Θ. Och kvadraten på Θ är uttryckbar, alltså är även kvadraten på Η uttryckbar, alltså är Η uttryckbar och möjliggör ärektangeln omsluten av ΓΔ och ΑΒ.

Om alltså ett område omsluts av en apotome och en binomial, vars beståndsdelar är kommensurabla med apotomens beståndsdelar och i samma förhållande, är möjliggöraren till området uttryckbar.

Följdsats.

Och det har blivit uppenbart för oss genom detta, att det är möjligt för ett uttryckbart område att omslutas av irrationella räta linjer. Vilket skulle visas.

ριεʹ.

Ἀπὸ μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.

115.

Från en medial rät linje ges ett obegränsat antal irrationella räta linjer och ingen är densamma som någon av de föregående.

Ἔστω μέση ἡ Α· λέγω, ὅτι ἀπὸ τῆς Α ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.

Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Β, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Α ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Γ· τὸ γὰρ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς ἄλογόν ἐστιν. καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· τὸ γὰρ ἀπ᾿ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ μέσην. πάλιν δὴ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Δ· καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· τὸ γὰρ ἀπ᾿ οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν Γ. ὁμοίως δὴ τῆς τοιαύτης τάξεως ἐπ᾿ ἄπειρον προβαινούσης φανερόν, ὅτι ἀπὸ τῆς μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[118]

Låt Α vara en medial rät linje. Jag säger, att från Α ges ett obegränsat antal irrationella räta linjer och ingen är densamma som någon av de föregående.

Ty låt den uttryckbara räta linjen Β sättas ut och låt kvadraten på Γ vara lika med rektangeln omsluten av Β och Α, alltså är Γ irrationell,Def. 10.1.4 ty området omslutet av en irrationell och en uttryckbar är irrationelltProp. 10.20 Och Γ är inte densamma som någon av de föregående räta linjerna, ty på ingen av de föregående resulterar kvadraten applicerad på en uttryckbar i en medial som bredd. Och låt, åter, kvadraten på Δ vara lika med rektangeln omsluten av Β och Γ, alltså är kvadraten på Δ irrationell,Prop. 10.20alltså är Δ irrationellDef. 10.1.4 och är inte densamma som någon av de föregående räta linjerna, ty på ingen av de föregående resulterar kvadraten applicerad på en uttryckbar i Γ som bredd. Och på samma sätt, fortsätts detta förfarande i det oändliga, är det uppenbart, att från en medial rät linje ges ett obegränsat antal irrationella räta linjer och ingen är densamma som någon av de föregående. Vilket skulle visas.