Elementas Bok I

Στοιχείων αʹ.

Ὅροι.

αʹ. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
βʹ. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
γʹ. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
δʹ. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
εʹ. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
ϛʹ. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
ζʹ. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται.
ηʹ. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ᾿ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
θʹ. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία.
ιʹ. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ᾿ ἣν ἐφέστηκεν.
ιαʹ. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.
ιβʹ. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.
ιγʹ. Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
ιδʹ. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
ιεʹ. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον ~~ἣ καλεῖται περιφέρεια~~, πρὸς ἣν ἀφ᾿ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ~~πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν~~ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
ιϛʹ. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.
ιζʹ. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.
ιηʹ. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ᾿ αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.
ιθʹ. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα.
κʹ. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς.
καʹ. Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.
κβʹ. Τὼν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον· τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.
κγʹ. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.^[1]

Definitioner.

1. En punkt är, vars del intet är.
2. En linje är längd utan bredd.
3. Linjens ändar är punkter.
4. Rät är en linje, som ligger likartat på sina punkter.
5. Yta är, vilket endast har längd och bredd.
6. Ytans ändar är linjer.
7. Ett plan är en yta, som ligger likartat på sina räta linjer.
8. En plan vinkel är två linjers lutning till varandra i planet och vilka skär varandra och ej ligger i rät linje.
9. När linjerna som utgör vinkeln är räta, kallas vinkeln rätlinjig.
10. När en rät linje ställts mot en rät linje och de intilliggande vinklarna görs lika varandra, är var och en av de lika vinklarna rät och den upprättstående linjen kallas vinkelrät mot den den står på.
11. En trubbig vinkel är den som är större än en rät.
12. En spetsig vinkel är den som är mindre än en rät.
13. Rand är det som är gräns till något.
14. En figur är det begränsas av en eller flera ränder.
15. En cirkel är en plan figur som begränsas av en linje ~~som kallas omkrets~~, för vilken från en punkt, av alla liggande i figuren, alla utdragna räta linjer ~~till cirkelns omkrets~~ är lika med varandra.
16. Cirkelns medelpunkt kallas punkten.
17. Cirkelns diameter är någon rät linje som dragits genom medelpunkten och begränsas på vardera sidan av cirkelns omkrets, vilken även delar cirkeln i två.
18. Halvcirkeln är den begränsade figuren utskuren av diametern och av sin omkrets. Halvcirkelns medelpunkt är densamma, som också är cirkelns.
19. Rätlinjiga figurer är de som begränsas av räta linjer; tresidiga är begränsade av tre, fyrsidiga av fyra, mångsidiga av fler än fyra räta linjer.
20. Av de tresidiga figurerna är liksidig den triangel som har tre lika sidor, likbent den som bara har två lika, oliksidig den som har tre olika sidor.
21. Dessutom är bland de tresidiga figurerna en rätvinklig triangel den som har en rät vinkel, trubbvinklig den som har en trubbig vinkel, spetsvinklig den som har tre spetsiga vinklar.
22. Bland de fyrsidiga figurerna är kvadraten den som är liksidig och rätvinklig, rektangel den som är rätvinklig men inte liksidig, romb den som är liksidig men inte rätvinklig, romboid den som har motstående sidor och vinklar lika med varandra och varken är liksidig eller rätvinklig; fyrsidiga figurer därutöver kallas trapetsoider.
23. Parallella linjer är räta linjer, vilka befinner sig i samma plan och obegränsat utdragna åt båda håll och på ingetdera möter varandra.

Αἰτήματα.

αʹ. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
βʹ. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ᾿ εὐθείας ἐκβαλεῖν.
γʹ. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
δʹ. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
εʹ. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ᾿ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ᾿ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. ^[2]

Postulat.

1. Låt det vara självklart postulerat, att från varje punkt till varje punkt kan en linje dras.
2. Och att dra ut en ändlig rät linje kontinuerligt i en rät linje.
3. Och att rita cirklar med alla medelpunkter och diametrar.
4. Och att alla räta vinklar är lika med varandra.
5. Och om en rät linje skär två räta linjer och vinklarna på insidan och på samma sida utgör mindre än två räta, då sammanfaller de två räta linjerna obegränsat utdragna, på den sida där de mindre än två räta finns.

Κοιναὶ ἔννοιαι.

αʹ. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
βʹ. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
γʹ. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
[δʹ. Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστιν ἄνισα.
εʹ. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ϛʹ. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
ζʹ. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ᾿ ἀλλήλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ηʹ. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν ~~ἐστιν~~.
~~θʹ. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.~~ ^[3]

Axiom.

1. Det som är lika med detsamma är också inbördes lika.
2. Och om lika läggs till lika, är de hela lika.
3. Och om lika dras från lika, är resterna lika.
[4. Och om lika läggs till olika, så är det hela olika.
5. Och de dubbla av detsamma är lika med varandra.
6. Och hälfterna av detsamma är lika med varandra.]
7. Och de inbördes sammanfallande är lika med varandra.
8. Och det hela är större än delen.
~~9. Och två räta omsluter inget område.~~

αʹ.

Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.

1.

På den givna ändliga räta linjen konstrueras en liksidig triangel.^A A) Svenska studenter känner igen denna sats från stycke 25 i Ponténs Grekisk läsebok för nybörjare.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ.

Δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.

Κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ, καὶ πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου, καθ᾿ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι, ἐπί τὰ Α, Β σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΓΒ.

Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΒ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ· πάλιν, ἐπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΑΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ ἴση· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΓΑ, ΓΒ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

Ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. καὶ συνέσταται ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τῆς ΑΒ.

~~Ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συνέσταται~~ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[4]

Låt ΑΒ vara den givna ändliga räta linjen.

På den räta linjen ΑΒ skall en liksidig triangel konstrueras.

Med centrum i Α och med radien ΑΒ dras cirkeln ΒΓΔPost. 3 och igen, med centrum i Β och med radien ΒΑ, dras cirkeln ΑΓΕPost. 3 och från punkten Γ, just där cirklarna skär varandra, dras till punkterna Α och Β de räta linjerna ΓΑ och ΓΒ.Post. 1

Eftersom punkten Α är centrum för cirkeln ΓΔΒ, är ΑΓ lika med ΑΒ;Def. 1.15 dessutom, eftersom Β är centrum för cirkeln ΓΑΕ, är ΒΓ lika med ΒΑ. Det har även visats att ΓΑ är lika med ΑΒ; alltså är var och en av ΓΑ och ΓΒ lika med ΑΒ. De som är lika med detsamma är också lika med varandra.Ax. 1 Och alltså är ΓΑ lika med ΓΒ; alltså är de tre ΓΑ, ΑΒ och ΒΓ lika med varandra.

Alltså är triangeln ΑΒΓ liksidig. Och har konstruerats på den givna ändliga räta linjen, ΑΒ.

~~På den givna ändliga räta linjen har en liksidig triangel konstruerats.~~ Vilket skulle göras.

βʹ.

Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.

2.

Att vid en given punkt placera en rät linje lika med en given rät linje.

῎Εστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπί τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπ᾿ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ᾿ εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ.

Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΗΚΛ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστιν ἴση. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση.

Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[5]

Låt Α vara den givna punkten, ΒΓ den givna räta linjen; Vid punkten Α skall en rät linje placeras lika med den givna räta linjen ΒΓ.^B B) Av historiska skäl finns figuren även i en animerad variant.

Ty låt den räta linjen ΑΒ ha förenats från punkten Α till punkten ΒPost. 1 och låt på denna ha konstruerat den liksidiga triangeln ΔΑΒ.Prop. 1.11 Drag ut de räta linjerna ΑΕ och ΒΖ från ΔΑ och ΔΒ.Post. 2 Med centrum i Β och med radien ΒΓ rita cirkeln ΓΗΘPost. 3 och igen med centrum i Δ och med radien ΔΗ rita cirkeln ΗΚΛ.Post. 3

Eftersom då punkten Β är ΓΗΘ:s centrum, är ΒΓ lika med ΒΗ.Def. 1.15 Åter, eftersom punkten Δ är cirkeln ΗΚΛ:s centrum, är ΔΛ lika med ΔΗ,Def. 1.15 vars delar ΔΑ och ΔΒ är lika. Alltså är resten ΑΛ lika med resten ΒΗ.Ax. 3 ΒΓ har också visats vara lika med ΒΗ; alltså är var och en av ΑΛ och ΒΓ lika med ΒΗ. De som är lika med detsamma är också lika med varandra;Ax. 1 och alltså är ΑΛ lika med ΒΓ.

Sålunda ligger linjen ΑΛ vid den givna punkten Α och är lika med den räta linjen ΒΓ. Vilket skulle göras.

γʹ.

Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν.

3.

Sedan två olika räta linjer givits, av den större skära av en rät linje lika med den mindre.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν.

Κείσθω πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΑΔ· καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΕΖ.

Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΔ· ἀλλὰ καὶ ἡ Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση. ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕ, Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση.

Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ, Γ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴση ἀφῄρηται ἡ ΑΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[6]

Låt de två olika räta linjerna vara ΑΒ och Γ; ΑΒ är den större. Från den större, ΑΒ skall en rät linje lika med den mindre, Γ, skäras bort.

Placera vid punkten Α, lika med den räta linjen Γ, ΑΔ;Prop. 1.2 och med medelpunkten Α rita cirkeln ΔΕΖ med radien ΑΔ.Post. 3

Och eftersom Α är cirkeln ΔΕΖ:s medelpunkt, är ΑΕ lika med ΑΔ.Def. 1.15 Men även Γ är lika med ΑΔ, sålunda är också ΑΕ lika med Γ.Ax. 1

Sedan två givna räta linjer givits, ΑΒ och Γ, har av den större, ΑΒ, en rät linje, ΑΕ, skurits av lika med den mindre, Γ. Vilket skulle göras.

δʹ.

Ἑὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ~~ταῖς~~ δυσὶ^C C) Observera δυσὶ här, men δύο i superasmat. πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῂ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.

4.

Om två trianglar har två sidor lika med två sidor, var och en av sidorna med var och en av sidorna, och har vinkeln lika med vinkeln som är uppspänd av de lika räta linjerna, skall då även ha basen lika med basen och triangeln är lika med triangeln och resterande vinklar skall vara lika med resterande vinklar, var och en av vinklarna med var och en av vinklarna, vilka ligger mellan de lika sidorna.

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην. λέγω, ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.

Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΔΕ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΔΕ· ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΑΒ ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐφαρμόσει καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΔΖ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· ὥστε καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον ἐφαρμόσει διὰ τὸ ἴσην πάλιν εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφηρμόκει· ὥστε βάσις ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει. εἰ γὰρ τοῦ μὲν Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφαρμόσαντος τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ οὐκ ἐφαρμόσει, δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ἐφαρμόσει ἄρα ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται· ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπὶ ὅλον τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἐφαρμόσει καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἐπὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ἐφαρμόσουσι καὶ ἴσαι αὐταῖς ἔσονται, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ~~ταῖς~~ δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῂ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[7]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara två trianglar som har de två sidorna ΑΒ och ΑΓ lika med de två sidorna ΔΕ och ΔΖ, var och en med var och en, ΑΒ med ΔΕ och ΑΓ med ΔΖ, samt vinkel ΒΑΓ lika med ΕΔΖ. Jag säger, att även basen ΒΓ är lika med ΕΖ och att triangeln ΑΒΓ är lika med triangeln ΔΕΖ samt att de resterande vinklarna är lika med de resterande vinklarna, var och en med var och en, vilka ligger mellan de lika sidorna, den i ΑΒΓ med den i ΔΕΖ och den i ΑΓΒ med den i ΔΖΕ.

Ty placeras triangeln ΑΒΓ på triangeln ΔΕΖ och punkten Α sätts på punkten Δ och linjen ΑΒ på ΔΕ, då skall punkten Β sammanfalla med Ε, eftersom ΑΒ är lika med ΔΕ; har ΑΒ sammanfallit på ΔΕ skall även sammanfalla linjen ΑΓ på ΔΖ eftersom vinkeln ΒΑΓ är lika med ΕΔΖ. På detta sätt skall även punkten Γ sammanfalla med punkten Ζ eftersom ΑΓ i sin tur är lika med ΔΖ. Men dessutom har Β sammanfallit med Ε, så att basen ΒΓ skall sammanfalla med ΕΖ. Ty om Β sammanfaller med Ε, och Γ med Ζ och basen ΒΓ inte inte kommer att sammanfalla med ΕΖ, skall två räta linjer omge ett område; vilket är omöjligt.Post. 1 Alltså skall basen ΒΓ sammanfalla med ΕΖ och vara lika med denna.Ax. 7 Sålunda skall hela triangeln ΑΒΓ sammanfalla med hela triangeln ΔΕΖ och skall vara lika med denna.Ax. 7 Dessutom skall resterande vinklar sammanfalla med resterande vinklar och vara lika med dessa,Ax. 7 ΑΒΓ på ΔΕΖ och ΑΓΒ på ΔΖΕ.

Om alltså två trianglar har två sidor lika med två sidor, var och en av sidorna med var och en av sidorna, och har vinkeln lika med vinkeln som är uppspänd av de lika räta linjerna, skall då även ha basen lika med basen och triangeln är lika med triangeln och resterande vinklar skall vara lika med resterande vinklar, var och en av vinklarna med var och en av vinklarna, vilka ligger mellan de lika sidorna. Vilket skulle visas.

εʹ.

Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.

5.

Den likbenta triangelns vinklar mot basen är lika med varandra och när de lika benen utdragits skall vinklarna under basen vara lika med varandra.^D D) Denna sats brukar kallas åsnebryggan, vilket syftar på att mindre begåvade studenter ofta inte kom längre i sina matematikstudier. I fransk tradition avses med le pont-aux-ânes I 47. Denna är i sin tur även känd som magister matheseos. Åsnebrygga kan även avse en alltför välkommenterad klassisk text.

Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπ᾿ εὐθείας ταῖς ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΓΕ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΕ.

Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΕ τῇ ἐλάσσονι τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΗΒ εὐθεῖαι.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΗΑ, ΑΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΖΑΗ· βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΖΓ τρίγωνον τῷ ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΑΗ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ λοιπῇ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΗΒ ἴση· δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΓ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίᾳ τῃ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση, καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ· καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΓΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· καί εἰσι πρὸς τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἴση· καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν.

Τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ τρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[8]

Låt ΑΒΓ vara den likbenta triangeln som har sidan ΑΒ lika med sidan ΑΓ och, utdragna i linje med ΑΒ och ΑΓ, de räta linjerna ΒΔ och ΓΕ;Post. 2 jag säger, att vinkeln ΑΒΓ är lika med ΑΓΒ och ΓΒΔ med ΒΓΕ.

Ty låt punkten Ζ ha tagits godtyckligt på ΒΔ och ΑΗ skurits av från den större ΑΕ men lika med den mindre ΑΖProp. 1.3 samt förbind de räta linjerna ΖΒ och ΗΓ.Post. 1

Eftersom då ΑΖ är lika med ΑΗ och ΑΒ med ΑΓ, är var och en av de två räta linjerna ΖΑ och ΑΓ lika med var och en av de två räta linjerna ΗΑ och ΑΒ och har vinkeln ΖΑΗ gemensam; basen ΖΓ är lika med basen ΗΒ och triangeln ΑΖΓ blir lika med triangeln ΑΗΒ och resterande vinklar skall vara lika med resterande vinklar var och en med var och en,Prop. 1.4 vilka spänns upp av motsvarande sidor: den av ΑΓΖ är lika med den av ΑΒΗ och den av ΑΖΓ är lika med den av ΑΗΒ. Eftersom också hela ΑΖ är lika med hela ΑΗ, för vilka ΑΒ är lika med ΑΓ, är alltså resten ΒΖ lika med resten ΖΗ.Ax. 3 ΖΓ har även visats vara lika med ΗΒ, så var och en av de två räta linjerna ΒΖ och ΖΓ är lika med var och en av de två räta linjerna ΓΗ och ΗΒ, vinkeln ΒΖΓ är lika med vinkeln ΓΗΒ, basen ΒΓ är deras gemensamma, alltså är triangeln ΒΖΓ lika med triangeln ΓΗΒ och resterande vinklar skall vara lika med resterande vinklar, var och en med var och en, vilka spänns upp av motsvarande sidor:Prop. 1.4 den av ΖΒΓ är lika med den av ΗΓΒ och den av ΒΓΖ är lika med den av ΓΒΗ. Eftersom också hela vinkeln ΑΒΗ visats vara lika med ΑΓΖ, för vilka vinkeln ΓΒΗ är lika med ΒΓΖ, är alltså resten av ΑΒΓ lika med resten av ΑΓΒ.Ax. 3 De ligger mot triangeln ΑΓΒ:s bas och ligger under basen.

Alltså är den likbenta triangelns vinklar mot basen lika med varandra och när de lika benen utdragits skall vinklarna under basen vara lika med varandra Vilket skulle visas.

ϛʹ.

Ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.

6.

Om två vinklar i en triangel är lika med varandra, är även de två sidor som spänner upp vinklarna lika med varandra.

Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ· λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση.

εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, ἡ ἑτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, τὸ ἔλασσον τῷ μείζονι· ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ· ἴση ἄρα.

Ἐὰν ἄρα τριγώνου αἱ δὑο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[9]

Låt ΑΒΓ vara en triangel som har vinkeln ΑΒΓ lika med vinkeln ΑΓΒ; jag säger, att sidan ΑΒ är lika med sidan ΑΓ.

Ty om ΑΒ och ΑΓ är olika, är en av dem större. Låt ΑΒ vara större och låt ΔΒ vara skuren från den större ΑΒProp. 1.3 och lika med den mindre ΑΓ samt förbind ΔΓ.Post. 1

Alltså, eftersom ΔΒ är lika med ΑΓ och ΒΓ är gemensam, är var och en av de två räta linjerna ΔΒ och ΒΓ lika med var och en av de två räta linjerna ΑΓ och ΓΒ och vinkeln ΔΒΓ är lika med vinkeln ΑΓΒ; alltså är basen ΔΓ lika med basen ΑΒ och triangeln ΔΒΓ triangeln lika med triangeln ΑΓΒ;Prop. 1.4 den mindre med den större - vilket är absurt.Ax. 8 Alltså är ΑΒ och ΑΓ inte olika, utan lika.

Om sålunda två vinklar i en triangel är lika med varandra, är även de två sidor som spänner upp vinklarna lika med varandra. Vilket skulle visas.

ζʹ.

Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ οὐ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις.

7.

På samma räta linje kan två andra räta linjer - lika med två givna räta linjer, var och en med respektive - inte resas mot var sin punkt på samma sida och har samma ändpunkter som de tidigare linjerna.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἄλλαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συνεστάτωσαν πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ τῷ τε Γ καὶ Δ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΑ τῇ ΔΑ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Α, τὴν δὲ ΓΒ τῇ ΔΒ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ· πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΔΒ μείζων ἐστί τῆς ὑπὸ ΔΓΒ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΔΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ. ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

Οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συσταθήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[9]

Ty, om möjligt, på samma räta linje, ΑΒ, två andra räta linjer, ΑΔ och ΔΒ, lika med två givna räta linjer, ΑΓ och ΓΒ, var och en med respektive, resa mot var sin punkt, Γ och Δ, på samma sida och har samma ändpunkter, så att ΓΑ är lika med ΔΑ och har samma ändpunkt, Α, som den, ΓΒ är lika med ΔΒ och har samma ändpunkt, Β, som den och ΓΔ har förbundits.Post. 1

Eftersom alltså ΑΓ är lika med ΑΔ, är även vinkeln ΑΓΔ lika med ΑΔΓ;Ax. 8 då är ΑΔΓ större än ΑΓΒ;Ax. 8 alltså är ΓΔΒ mycket större än ΔΓΒ. Eftersom i sin tur ΓΒ är lika med ΔΒ, är även vinkel ΓΔΒ lika med ΔΓΒ.Prop. 1.5 Men det har visats att denna är mycket större, vilket är omöjligt.

Alltså kan inte på samma räta linje två andra räta linjer - lika med två givna räta linjer, var och en med respektive - resas mot var sin punkt på samma sida och har samma ändpunkter som de tidigare linjerna. Vilket skulle visas.

ηʹ.

Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ~~ταῖς~~ δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἔχῃ δὲ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.

8.

Om två trianglar har två sidor lika med två sidor, var och en med var och en, och har även basen lika med basen, skall också vinkeln vara lika med vinkeln som spänns upp av de räta linjerna.

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ· ἐχέτω δὲ καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴσην· λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.

Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Β σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΓΑ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ. εἰ γὰρ βάσις μὲν ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει, αἱ δὲ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ οὐκ ἐφαρμόσουσιν ἀλλὰ παραλλάξουσιν ὡς αἱ ΕΗ, ΗΖ, συσταθήσονται ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι. οὐ συνίστανται δέ· οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΒΓ βάσεως ἐπὶ τὴν ΕΖ βάσιν οὐκ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ. ἐφαρμόσουσιν ἄρα· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΔΖ ἐφαρμόσει καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται.

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ~~ταῖς~~ δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[11]

Låt de två trianglarna vara ΑΒΓ och ΔΕΖ, de två sidorna ΑΒ och ΑΓ är lika med de två sidorna ΔΕ och ΔΖ, var och en med var och en, ΑΒ med ΔΕ och ΑΓ med ΔΖ, och låt dem ha basen ΒΓ lika med basen ΕΖ. Jag säger, att vinkeln ΒΑΓ är lika med vinkeln ΕΔΖ.

Ty när triangeln ΑΒΓ placerats på triangeln ΔΕΖ och punkten Β satts på punkten Ε skall linjen ΒΓ sammanfalla med ΕΖ, och punkten Γ med Ζ eftersom ΒΓ är lika med ΕΖ; har ΒΓ sammanfallit på ΕΖ skall även linjerna ΒΑ och ΓΑ sammanfalla med ΕΔ och ΔΖ. Ty om basen ΒΓ placerats på basen ΕΖ, skall sidorna ΒΑ och ΑΓ inte sammanfalla med ΕΔ och ΔΖ, utan skall missa varandra liksom ΕΗ och ΗΖ, skall resas på samma räta linje, med två räta linjer lika - var och en med var och en - två andra räta linjer mot var sin punkt på samma sida och har samma ändpunkt. Sådana reses inte.Prop. 1.7 Alltså har inte basen ΒΓ placerats på basen ΕΖ, sammanfaller heller inte sidorna ΒΑ och ΑΓ med ΕΔ och ΔΖ. Alltså skall de sammanfalla, såsom vinkel ΒΑΓ skall sammanfalla med vinkeln ΕΔΖ och skall vara lika med den.Ax. 7

Om alltså två trianglar har två sidor lika med två sidor, var och en med var och en, och även har basen lika med basen, skall också vinkeln vara lika med vinkeln som spänns upp av de räta linjerna. Vilket skulle visas.

θʹ.

Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.

9.

Dela den givna rätlinjiga vinkeln i hälften.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν.

Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ, ΑΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν.

Ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[12]

Låt den givna rätlinjiga vinkeln vara ΒΑΓ. Denna skall delas i två.

Låt punkten Δ ha valts godtyckligt på ΑΒ och låt från ΑΓ, lika med ΑΔ, skära av ΑΕ.Prop. 1.3 Förbind även ΔΕ och res på ΔΕ den likbenta triangeln ΔΕΖProp. 1.1 samt förbind ΑΖ. Jag hävdar, att vinkeln ΒΑΓ delats i hälften av den räta linjen ΑΖ.

Ty eftersom ΑΔ är lika med ΑΕ är ΑΖ gemensam, de två räta ΔΑ och ΑΖ är lika med de två räta ΕΑ och ΑΖ, var och en med var och en. Dessutom är basen ΔΖ lika med basen ΕΖ. Alltså är vinkeln ΔΑΖ lika med ΕΑΖ.Prop. 1.8

Den givna rätlinjiga vinkeln ΒΑΓ har delats i två av den räta linjen ΑΓ. Vilket skulle göras.

ιʹ.

Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.

10.

Att dela den givna ändliga räta linjen i hälften.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.

Συνεστάτω ἐπ᾿ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία δίχα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ εὐθεῖα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστίν· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν.

Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[13]

Låt ΑΒ vara den givna ändliga räta linjen; den givna räta linjen skall delas i hälften.

Res på linjen den liksidiga triangeln ΑΒΓProp. 1.1 och låt dela vinkeln ΑΓΒ i hälften med den räta linjen ΓΔ.Prop. 1.9 Jag säger, att den räta linjen ΑΒ delats i hälften vid punkten Δ.

Ty eftersom ΑΓ är lika med ΓΒ och ΓΔ är gemensam, är de två ΑΓ och ΓΔ lika med de två ΒΓ och ΓΔ, var och en med var och en, och vinkeln ΑΓΔ lika med vinkeln ΒΓΔ. Alltså är basen ΑΔ lika med basen ΒΔ.Prop. 1.4

Alltså har den givna ändliga räta linjen ΑΒ delats i hälften vid Δ. Vilket skulle göras.

ιαʹ.

Τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

11.

Att i rät vinkel mot en given rät linje, från en given punkt på denna, dra en rät linje.

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπ᾿ αὐτῆς τὸ Γ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΖΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ· λέγω, ὅτι τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΓ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΔΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΕΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΕ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ ἴση ἐστίν· καί εἰσιν ἐφεξῆς. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΓΖ, ΖΓΕ.

Τῇ ἄρα δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΓΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[14]

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen och Γ den givna punkten på den. Från punkten Γ på den räta linjen ΑΒ skall alltså, i rät vinkel, en rät linje dras.

Låt punkten Δ ha valts godtyckligt på ΑΒ, placera ΓΔ lika som ΓΕ,Prop. 1.3 res på ΔΕ den likbenta triangeln ΖΔΕProp. 1.1 och förbind ΖΓ. Jag hävdar, att i rät vinkel mot den givna räta linjen ΑΒ, från den givna punkten Γ på denna, en rät linje har dragits.

Ty eftersom ΑΓ är lika med ΓΕ, ΓΖ är gemensam, de två linjerna ΔΓ och ΓΖ är lika med de två linjerna ΕΓ och ΓΖ, var och en med var och en, och basen ΔΖ är lika med basen ΖΕ, är sålunda vinkeln ΔΓΖ lika med vinkeln ΕΓΖ;Prop. 1.8 och de är anslutande. När en rät linje rests på en rät linje och de anslutande vinklarna görs lika, är var och en av vinklarna rät;Def. 1.10 alltså är var och en av ΔΓΖ och ΖΓΕ rät.

Alltså har i rät vinkel mot den givna räta linjen ΑΒ, från en given punkt Γ på denna, en rät linje ΓΖ dragits. Vilket skulle göras.

ιβʹ.

Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

12.

Mot en given obegränsad linje från en given punkt, som inte ligger på linjen, föra en vinkelrät rät linje.

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς, τὸ Γ· δεῖ δὴ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ εὐθεῖα δίχα κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, ΓΘ, ΓΕ εὐθεῖαι· λέγω, ὅτι ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ, δύο δὴ αἱ ΗΘ, ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΓ ἴσαι εἱσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΓΗ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΓ ἐστιν ἴση. καί εἰσιν ἐφεξῆς. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται ἐφ᾿ ἣν ἐφέστηκεν.

Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[15]

Låt ΑΒ vara den givna obegränsade räta linjen och Γ vara den givna punkten, som inte ligger på linjen. Mot den givna obegränsade räta linjen ΑΒ - från den givna punkten Γ, som inte ligger på linjen - skall en vinkelrät rät linje dras.

Ty välj på motsatta sidan av den räta linjen ΑΒ punkten Δ godtyckligt och drag, med centrum i Γ och radien ΓΔ, cirkeln ΕΖΗ.Post. 3 Låt också dela linjen ΗΕ i hälften vid ΘProp. 1.10 och förbind linjerna ΓΗ, ΓΘ och ΓΕ. Jag säger, att mot den givna obegränsade räta linjen ΑΒ - från den givna punkten Γ, som inte ligger på linjen - har en vinkelrät rät linje dragits.

Ty eftersom ΗΘ är lika med ΘΕ och ΘΓ är gemensam, är de två linjerna ΗΘ och ΘΓ lika med de två linjerna ΕΘ och ΘΓ, var och en med var och en, samt basen ΓΗ är lika med basen ΓΕ. Alltså är vinkeln ΓΘΗ lika med vinkeln ΕΘΓ.Prop. 1.8 Och de är intilliggande. När en rät linje rests på en annan rät linje och de intilliggande vinklarna gjorts lika, är var och en av vinklarna rät samt den resta linjen kallas vinkelrät till den är rest på.Def. 1.10

Alltså har mot en given obegränsad linje ΑΒ - från en given punkt Γ, som inte ligger på linjen - förts en vinkelrät rät linje ΓΘ. Vilket skulle göras.

ιγʹ.

Ἐὰν εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.

13.

Om en rät linje ställd på en annan rät linje bildar vinklar, skall de faktiskt vara två räta eller vara lika med två räta.

Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἐπ᾿ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ σταθεῖσα γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ· λὲγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ γωνίαι ἤτοι δύο ὀρθαί εἰσιν ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι.

Εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΑ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, δύο ὀρθαί εἰσιν. εἰ δὲ οὔ, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΔ ~~εὐθείᾳ~~ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν· καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΕΒΔ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ, ΕΒΔ ἴσαι εἰσίν. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, ΕΒΑ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, ΕΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν. ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς αὐταῖς ἴσαι· τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ ἄρα ταῖς ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν· ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν· καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.

Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπ᾿ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[16]

Ty låt någon rät linje ΑΒ vara ställd på den räta linjen ΓΔ, bildande vinklarna ΓΒΑ och ΑΒΔ. Jag säger, att vinklarna ΓΒΑ och ΑΒΔ faktiskt skall vara två räta eller vara lika med två räta.

Ty om sålunda ΓΒΑ och ΑΒΔ är lika, är de två räta.Def. 1.10 Om inte, förbind från punkten Β, vinkelrät mot den ~~räta linjen~~ ΓΔ, ΒΕ.Prop. 1.11 Alltså är ΓΒΕ och ΕΒΔ lika med två räta och eftersom ΓΒΕ är lika med de två vinklarna ΓΒΑ och ΑΒΕ, lägg ihop tillsammans med ΕΒΔ. Alltså är vinklarna ΓΒΕ och ΕΒΔ lika med de tre vinklarna ΓΒΑ, ΑΒΕ och ΕΒΔ.Ax. 2 Igen, eftersom ΔΒΑ är lika med de två vinklarna ΔΒΕ och ΕΒΑ, lägg ihop tillsammans med ΑΒΓ. Alltså är vinklarna ΔΒΑ och ΑΒΓ lika med de tre vinklarna ΔΒΕ, ΕΒΑ och ΑΒΓ.Ax. 2 Vinklarna ΓΒΕ och ΕΒΔ har också visats vara lika med samma tre vinklar; de vilka är lika med detsamma, är lika med varandra.Ax. 1 Och vinklarna ΓΒΕ och ΕΒΔ är lika med ΔΒΑ och ΑΒΓ, men ΓΒΕ och ΕΒΔ är två räta; och alltså är vinklarna ΔΒΑ och ΑΒΓ lika med två räta.

Om sålunda en rät linje ställd på en annan rät linje bildar vinklar, skall de faktiskt vara två räta eller vara lika med två räta. Vilket skulle visas.

ιδʹ.

Ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπ᾿ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.

14.

Om, mot någon rät linje och vid en punkt på denna, två räta linjer - ej placerade på samma sida - bildar intilliggande vinklar lika med två räta, skall de räta linjerna ha varandra i linje.

Πρὸς γάρ τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΒΔ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιείτωσαν· λέγω, ὅτι ἐπ᾿ εὐθείας ἐστὶ τῇ ΓΒ ἡ ΒΔ.

Εἰ γὰρ μή ἐστι τῇ ΒΓ ἐπ᾿ εὐθείας ἡ ΒΔ, ἔστω τῇ ΓΒ ἐπ᾿ εὐθείας ἡ ΒΕ.

Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ ἐπ᾿ εὐθεῖαν τὴν ΓΒΕ ἐφέστηκεν, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ ἴσαι εἰσίν. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΓΒΑ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐπ᾿ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΒΔ· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ.

Ἐὰν ἄρα πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπ᾿ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[17]

Ty, mot någon rät linje ΑΒ och vid en punkt Β på denna, två räta linjer ΒΓ och ΒΔ - ej placerade på samma sida - de intilliggande vinklarna ΑΒΓ och ΑΒΔ gjorts lika med två räta; säger jag, att de räta linjerna ΓΒ och ΒΔ skall vara i linje.

Ty om ΒΔ inte är i linje med ΒΓ, låt ΒΕ vara i linje med ΓΒ.

Ty då den räta linjen ΑΒ rests på den räta linjen ΓΒΕ, så är vinklarna ΑΒΓ och ΑΒΕ lika med två räta;Prop. 1.13 också vinklarna ΑΒΓ och ΑΒΔ är lika med två räta. Då är ΓΒΑ och ΑΒΕ lika med ΓΒΑ och ΑΒΔ.Ax. 1 Drag bort ΓΒΑ från dem båda, då är resten ΑΒΕ lika med resten ΑΒΔ,Ax. 3 den mindre med den större; vilket är omöjligt. Alltså är inte ΒΕ i linje med ΓΒ. På samma sätt skulle vi kunnat visa, att inte heller någon annan är det, utom ΒΔ. Alltså är ΓΒ i linje med ΒΔ.

Om alltså, mot någon rät linje och vid en punkt på denna, två räta linjer - ej placerade på samma sida - bildar intilliggande vinklar lika med två räta, skall de räta linjerna ha varandra i linje. Vilket skulle visas.

ιεʹ.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν.

15.

Om två räta linjer skär varandra, bildar de vertikalt motstående vinklar lika med varandra.

Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ.

Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΕ ἐπ᾿ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΔΕ ἐπ᾿ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ ταῖς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ ἴσαι εἰσίν. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΕΔ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν· ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΒ, ΔΕΑ ἴσαι εἰσίν.

Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

[Πόρισμα.

Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνςσιν ἀλλήλας, τὰς πρὸς τῇ τομῇ γωνίας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσουσιν.]^[18]

Ty två räta linjer ΑΒ och ΓΔ skär varandra vid punkten Ε. Jag säger, att vinklarna ΑΕΓ och ΔΕΒ samt ΓΕΒ och ΑΕΔ är lika.

Ty eftersom ΑΕ är ställd på ΓΔ och bildat vinklarna ΓΕΑ och ΑΕΔ, är alltså vinklarna ΓΕΑ och ΑΕΔ lika med två räta.Prop. 1.13 Igen, eftersom ΔΕ är ställd på ΑΒ och bildat vinklarna ΑΕΔ och ΔΕΒ, är alltså vinklarna ΑΕΔ och ΔΕΒ lika med två räta.Prop. 1.13 Också ΓΕΑ och ΑΕΔ har visats vara lika med två räta, alltså är ΓΕΑ och ΑΕΔ lika med ΑΕΔ och ΔΕΒ.Ax. 1 Låt ha dragit bort ΑΕΔ från båda, alltså är resten ΓΕΑ lika med resten ΒΕΔ;Ax. 3 På samma sätt skulle vi kunnat visa, att även ΓΕΒ är lika med ΔΕΑ.

Om två räta linjer skär varandra, bildar de vertikalt motstående vinklar lika med varandra. Vilket skulle visas.

[Följdsats.

Av detta är det uppenbart, att om två räta linjer skär varandra, skall summan av vinklarna i skärningen vara lika med fyra räta.]

ιϛʹ.

Παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν.

16.

Varje triangels yttre vinkel, då en av sidorna dragits ut, är större än endera av de inre och motstående vinklarna.

Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ· λὲγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΓ γωνιῶν.

Τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΕ ἐκβεβλήσθω ἐπ᾿ εὐθείας ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, καὶ διήχθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Η.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΓ ἴση ἐστίν· κατὰ κορυφὴν γάρ· βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΕΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ. μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ. Ὁμοίως δὴ τῆς ΒΓ τετμημένης δίχα δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων καὶ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ.

Παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[19]

Låt ΑΒΓ vara triangeln och drag ut dess ena sida ΒΓ till Δ. Jag säger, att den yttre vinkeln ΑΓΔ är större än endera av de inre och motstående vinklarna ΓΒΑ och ΓΑΒ.

Låt dela ΑΓ mitt itu vid Ε,Prop. 1.10 ΒΕ är förbunden och förlängd i rät linje till Ζ, ΒΕ gjorts lika med ΕΖ,Prop. 1.3 förbind ΖΓ och fortsätt ΑΓ till Η.

Eftersom då ΑΕ är lika med ΕΓ och ΒΕ med ΕΖ, är de två ΑΕ och ΕΒ lika med ΓΕ och ΕΖ var och en med var och en. Också vinkeln ΑΕΒ är lika med vinkeln ΖΕΓ, ty de är vertikalt motstående.Prop. 1.15 Basen ΑΒ är lika med ΖΓ, triangeln ΑΒΕ är lika med triangeln ΖΕΓ och resterande vinklar är lika med resterande vinklar, var och en med var och en, vilka spänns upp av samma sidor.Prop. 1.4 Alltså är ΒΑΕ lika med ΕΓΖ. Men ΕΓΔ är större än ΕΓΖ, alltså är ΑΓΔ större än ΒΑΕ. På samma sätt kan det visas, då ΒΓ halverats, att ΒΓΗ - det vill säga ΑΓΔ - är större än ΑΒΓ.

Alltså är varje triangels yttre vinkel, då en av sidorna dragits ut, större än endera av de inre och motstående vinklarna. Vilket skulle visas.

ιζʹ.

Παντὸvς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι πάντῇ μεταλαμβανόμεναι.

17.

I varje triangel är två vinklar, utvalda på alla sätt, mindre än två räta.

Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ.

Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΑΒΓ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ μείζονές εἰσιν. ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ.

Παντὸvς ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσςονές εἰσι πάντῇ μεταλαμβανόμεναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[20]

Låt ΑΒΓ vara triangeln. Jag säger, att två sidor av triangeln ΑΒΓ, utvalda på alla sätt, är mindre än två räta.

Ty låt ΒΓ ha förlängts till Δ.

Och eftersom vinkeln ΑΓΔ är utanför triangeln ΑΒΓ, är den större än den inre och motstående vinkeln ΑΒΓ.Prop. 1.16 Låt lägga till vinkeln ΑΓΒ till båda, alltså ΑΓΔ tillsammans med ΑΓΒ större än ΑΒΓ tillsammans med ΒΓΑ. Men ΑΓΔ tillsammans med ΑΓΒ är lika med två räta,Prop. 1.13 alltså är ΑΒΓ tillsammans med ΒΓΑ mindre än två räta. På samma sätt kan vi visa, att också ΒΑΓ tillsammans med ΑΓΒ är mindre än två räta och dessutom ΓΑΒ tillsammans med ΑΒΓ.

Alltså är två sidor av varje triangel, utvalda på alla sätt, mindre än två räta. Vilket skulle visas.

ιηʹ.

Παντὸς τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει.

18.

Den största sidan i varje triangel spänner upp den största vinkeln.

Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΓ πλευρὰν τῆς ΑΒ· λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ·

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ, κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ.

Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΔ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΒ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΔΓΒ· ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση· μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ· πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ.

Παντὸς ἄρα τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[21]

Låt ΑΒΓ vara triangeln som har sidan ΑΓ större än ΑΒ. Jag säger, att också vinkeln ΑΒΓ är större än ΒΓΑ.

Ty eftersom ΑΓ är större än ΑΒ, låt ΑΔ göras lika med ΑΒProp. 1.3 och förbind ΒΔ.

Och eftersom vinkeln ΑΔΒ är utanför triangeln ΒΓΔ, är den större än den inre och motstående vinkeln ΔΓΒ.Prop. 1.16 ΑΔΒ är lika med ΑΒΔ, eftersom sidan ΑΒ är lika med sidan ΑΔ.Prop. 1.5 Alltså är även ΑΒΔ större än ΑΓΒ och då är ΑΒΓ mycket större än ΑΓΒ.

Alltså spänner den största sidan i varje triangel upp den största vinkeln. Vilket skulle visas.

ιθʹ.

Παντὸς τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει.

19.

I varje triangel breder under den största vinkeln den största sidan ut sig.

Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΓΑ· λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΓ πλευρᾶς τῆς ΑΒ μείζων ἐστίν.

Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ ἢ ἐλάσσων· ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ· ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ΑΒ. ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ· οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ. οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ· ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ· οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση ἐστίν. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ.

Παντὸς ἄρα τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[22]

Låt ΑΒΓ vara triangeln och ha vinkeln ΑΒΓ större än ΒΓΑ. Jag säger, att även sidan ΑΓ är större än ΑΒ.

Om inte, är ΑΓ faktiskt lika med ΑΒ eller mindre. Sålunda ΑΓ är inte lika med ΑΒ, ty då var också vinkeln ΑΒΓ lika med ΑΓΒ,Prop. 1.5 men det är den inte. Alltså är ΑΓ inte lika med ΑΒ. Inte heller är ΑΓ mindre än ΑΒ, ty då var också vinkeln ΑΒΓ mindre än ΑΓΒ,Prop. 1.18 men det är den inte. Alltså är ΑΒ inte mindre än ΑΓ. Det har visats, att de inte heller är lika. Alltså är ΑΓ större än ΑΒ.

Alltså breder i varje triangel under den största vinkeln den största sidan ut sig. Vilket skulle visas.

κʹ.

Παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.

20.

I varje triangel är två sidor, utvalda på alla sätt, större än den kvarvarande.

Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ, αἱ δὲ ΑΒ, ΒΓ τῆς ΑΓ, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.

Διήχθω γὰρ ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον, καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ τῆς ὑπὸ ΑΔΓ· καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΔΓΒ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΔΓ, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει, ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΓ ἐστι μείζων. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ· μείζονες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ· ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΒ, ΒΓ τῆς ΓΑ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.

Παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[23]

Ty låt ΑΒΓ vara triangeln. Jag säger, att i triangeln ΑΒΓ är två sidor, utvalda på alla sätt, större än den kvarvarande; ΒΑ och ΑΓ än ΒΓ, ΑΒ och ΒΓ än ΑΓ samt ΒΓ och ΓΑ än ΑΒ.

Drag ut ΑΒ till punkten Δ, sätt ΓΑ lika med ΑΔProp. 1.3 och förbind ΔΓ.

Ty eftersom ΔΑ är lika med ΑΓ, är även vinkeln ΑΔΓ lika med ΑΓΔ,Prop. 1.5 alltså är ΒΓΔ större än ΑΔΓ. Och eftersom ΔΓΒ är en triangel, har den vinkeln ΒΓΔ större än ΒΔΓ, under den större vinkeln ligger den större sidan,Prop. 1.19 alltså är ΔΒ större än ΒΓ. Men ΔΑ är lika med ΑΓ, alltså är ΒΑ och ΑΓ större än ΒΓ. På samma sätt kan vi visa, att även ΑΒ och ΒΓ är större än ΓΑ samt ΒΓ och ΓΑ än ΑΒ.

Alltså är i varje triangel två sidor, utvalda på alla sätt, större än den kvarvarande. Vilket skulle visas.

καʹ.

Ἐὰν τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν περάτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μὲν ἔσονται, μείζονα δὲ γωνίαν περιέξουσιν.

21.

Om från ändpunkterna på en av sidorna av en triangel två räta linjer har rests inuti, skall de resta linjerna vara mindre än triangelns två återstående sidor, men de skall spänna upp en större vinkel.

Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΒΓ ἀπὸ τῶν περάτων τῶν Β, Γ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάτωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ· λέγω, ὅτι αἱ ΒΔ, ΔΓ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τῶν ΒΑ, ΑΓ ἐλάσσονες μέν εἰσιν, μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΒΔΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.

Διήχθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, τοῦ ΑΒΕ ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΕ τῆς ΒΕ μείζονές εἰσιν· κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ· αἱ ἄρα ΒΑ, ΑΓ τῶν ΒΕ, ΕΓ μείζονές εἰσιν. πάλιν, ἐπεὶ τοῦ ΓΕΔ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ τῆς ΓΔ μείζονές εἰσιν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΔΒ· αἱ ΓΕ, ΕΒ ἄρα τῶν ΓΔ, ΔΒ μείζονές εἰσιν. ἀλλὰ τῶν ΒΕ, ΕΓ μείζονες ἐδείχθησαν αἱ ΒΑ, ΑΓ· πολλῷ ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῶν ΒΔ, ΔΓ μείζονές εἰσιν.

Πάλιν, ἐπεὶ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστίν, τοῦ ΓΔΕ ἄρα τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΕΔ. διὰ ταὐτὰ τοίνυν καὶ τοῦ ΑΒΕ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΓ· πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.

Ἐὰν ἄρα τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν περάτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μέν εἰσιν, μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[24]

Ty låt på en av sidorna ΒΓ av triangeln ΑΒΓ ha, från ändpunkterna Β och Γ, rest två räta linjer inuti ΒΔ och ΔΓ. Jag säger, att ΒΔ och ΔΓ är mindre än triangelns två återstående sidor ΒΑ, ΑΓ, men vinkeln de spänner upp ΒΔΓ är större än ΒΑΓ.

Ty låt ΒΔ dras ut till Ε. Och eftersom i varje triangel två sidor är större än den återstående,Prop. 1.20 är alltså i triangeln ΑΒΕ de två sidorna ΑΒ och ΑΕ större än ΒΕ. Lägg till ΑΒ till båda. Sålunda är ΓΕ och ΕΒ större än ΓΔ och ΔΒ. Åter, eftersom de två sidorna ΓΕ och ΕΔ i triangeln ΓΕΔ är större än ΓΔ, lägg till ΔΒ till båda. Sålunda är ΓΕ och ΕΒ större än ΓΔ och ΔΒ. Men ΒΑ och ΑΓ har visats vara större än ΒΕ och ΕΓ. Alltså är ΒΑ och ΑΓ mycket större än ΒΔ och ΔΓ.

Åter, eftersom i varje triangel en yttre vinkeln är större än en inre och motstående,Prop. 1.16 är alltså i triangeln ΓΔΕ den yttre vinkeln ΒΔΓ större än ΓΕΔ. På grund av detta är därför i triangeln ΑΒΕ den yttre vinkeln ΓΕΒ större än ΒΑΓ. Men ΒΔΓ har vistats vara större än ΓΕΒ, alltså är ΒΔΓ mycket större än ΒΑΓ.

Om från ändpunkterna på en av sidorna av en triangel två räta linjer har rests inuti, är de resta linjerna mindre än triangelns två återstående sidor och de spänner upp en större vinkel. Vilket skulle visas.

κβʹ.

Ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις ~~εὐθείαις~~, τρίγωνον συστήσασθαι· δεῖ δὲ τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας ~~διὰ τὸ καὶ παντὸς τριγώνου τὰς δύο πλευρὰς τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας~~.

22.

Att av tre räta linjer, vilka är lika med tre givna ~~räta linjer~~, konstruera en triangel. Det krävs, att två, utvalda på alla sätt, skall vara större än den kvarvarande ~~eftersom i varje triangel är två sidor, utvalda på alla sätt, större än den kvarvarande~~.Prop. 1.20

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν Α, Β τῆς Γ, αἱ δὲ Α, Γ τῆς Β, καὶ ἔτι αἱ Β, Γ τῆς Α· δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ τρίγωνον συστήσασθαι.

Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ Ε, καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΖ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΖΗ, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΗΘ· καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ, διαστήματι δὲ τῷ ΖΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΛ· πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΖ, ΚΗ· λέγω, ὅτι ἐκ τριῶν εὐθειῶν τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΚΛ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔ τῇ ΖΚ· ἀλλὰ ἡ ΖΔ τῇ Α ἐστιν ἴση. καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ Α ἐστιν ἴση. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΛΚΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ· ἀλλὰ ἡ ΗΘ τῇ Γ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΚΗ ἄρα τῇ Γ ἐστιν ἴση. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῇ Β ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ τρισὶ ταῖς Α, Β, Γ ἴσαι εἰσίν.

Ἐκ τριῶν ἄρα εὐθειῶν τῶν ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις εὐθείαις ταῖς Α, Β, Γ, τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[25]

Låt Α Β Γ vara de tre givna räta linjerna, av vilka två, utvalda på alla sätt, skall vara större än den kvarvarande. Α och Β än Γ, Α och Γ än Β, och dessutom Β och Γ än Α. Av de lika med Α Β Γ skall en triangel konstrueras.

Låt dra ut någon rät linje ΔΕ med slutpunkt i Δ och obegränsad i Ε. Gör också ΔΖ lika med Α, ΖΗ lika med Β och ΗΘ lika med Γ.Prop. 1.3 Och med centrum i Ζ och radien ΖΔ rita cirkeln ΔΚΛ. Igen med centrum i Η och radien ΗΘ rita cirkeln ΚΛΘ samt låt förbinda ΚΖ och ΚΗ. Jag säger, att av tre räta linjer lika med Α Β Γ har triangeln ΚΖΗ rests.

Ty eftersom punkten Ζ är cirkelns ΔΚΛ centrum, är ΖΔ lika med ΖΚ, men ΖΔ är lika med Α. Och alltså är ΚΖ lika med Α. Igen, eftersom punkten Η är cirkelns ΛΚΘ centrum, är ΗΘ lika med ΗΚ, men ΗΘ är lika med Γ. Och alltså är ΚΗ lika med Γ. Och ΖΗ är lika med Β. Alltså är de tre räta linjerna ΚΖ, ΖΗ och ΗΚ lika med Α, Β och Γ.

Alltså har av tre räta linjer ΚΖ, ΖΗ och ΗΚ, vilka är lika med tre givna räta linjer Α, Β och Γ, konstruerats en triangel ΚΖΗ. Vilket skulle göras.

κγʹ.

Πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι.

23.

Att på en given rät linje och vid en punkt på denna konstruera en rätlinjig vinkel lika med en given rätlinjig vinkel.

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΔΓΕ· δεῖ δὴ πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι.

Εἰλήφθω ἐφ᾿ ἑκατέρας τῶν ΓΔ, ΓΕ τυχόντα σημεῖα τὰ Δ, Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς ΓΔ, ΔΕ, ΓΕ, τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΑΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΔ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ΓΕ τῇ ΑΗ, καὶ ἔτι τὴν ΔΕ τῇ ΖΗ.

Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΔΓ, ΓΕ δύο ταῖς ΖΑ, ΑΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΔΕ βάσει τῇ ΖΗ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΑΗ ἐστιν ἴση.

Πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἴση γωνία εὐθύγραμμος συνέσταται ἡ ὑπὸ ΖΑΗ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[26]

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen, Α punkten på denna och ΔΓΕ den givna rätlinjiga figuren. Det skall på den givna räta linjen ΑΒ och vid punkten Α på denna konstrueras en rätlinjig vinkel lika med en given rätlinjig vinkel ΔΓΕ.

Låt på var och en av ΓΔ och ΓΕ godtyckligt välja punkterna Δ och Ε samt låt förbinda ΔΕ. Och res av tre räta linjer, som är lika med de tre ΓΔ, ΔΕ och ΓΕ, triangeln ΑΖΗ; så att ΓΔ är lika med ΑΖ, ΓΕ med ΑΗ och slutligen ΔΕ med ΖΗ.Prop. 1.8

Eftersom då de två ΔΓ och ΓΕ är lika med de två ΖΑ och ΑΗ, var och en med var och en, samt att basen ΔΕ är lika med basen ΖΗ, är alltså vinkeln ΔΓΕ lika med vinkeln ΖΑΗ.

Alltså konstrueras på den givna räta linjen ΑΒ och vid punkten Α på denna, lika med en given rätlinjig vinkel ΔΓΕ, den rätlinjiga vinkeln ΖΑΗ. Vilket skulle göras.

κδʹ.

Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ~~ταῖς~~ δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει.

24.

Om två trianglar skulle ha två sidor lika med två sidor, var och en med var och en, och en skulle ha vinkeln som spänns upp av de lika räta linjerna större än den andras vinkel, skall den också ha basen större än den andras bas.

῎Εστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Α γωνία τῆς πρὸς τῷ Δ γωνίας μείζων ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἐστίν.

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ γωνίας, συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΕ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Δ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΗ, καὶ κείσθω ὁποτέρᾳ τῶν ΑΓ, ΔΖ ἴση ἡ ΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΗ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΔΗ, δύο δὴ αἱ ΒΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΗ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΕΖΗ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΕΖΗ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΕΗΖ, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει, μείζων ἄρα καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΒΓ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ.

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[27]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara två trianglar med de två sidorna ΑΒ och ΑΓ lika med de två sidorna ΔΕ och ΔΖ, var och en med var och en, ΑΒ lika med ΔΕ och ΑΓ med ΔΖ. Vinkeln vid Α är större än vinkeln vid Δ. Jag säger, att dessutom är basen ΒΓ större än basen ΕΖ.

Ty eftersom vinkeln ΒΑΓ är större än vinkeln ΕΔΖ, låt ha konstruerat på den räta linjen ΔΕ och vid punkten Δ på denna vinkeln ΕΔΗ lika med ΒΑΓ.Prop. 1.23 Gör även ΔΗ lika med endera av ΑΓ och ΔΖ,Prop. 1.3 och förbind ΕΗ och ΖΗ.

Eftersom alltså ΑΒ är lika med ΔΕ och ΑΓ med ΔΗ, är de två ΒΑ och ΑΓ lika med de två ΕΔ och ΔΗ, var och en med var och en, samt vinkeln ΒΑΓ är lika med ΕΔΗ, är basen ΒΓ lika med basen ΕΗ.Prop. 1.4 Åter, eftersom ΔΖ är lika med ΔΗ, är även vinkeln ΔΗΖ lika med vinkeln ΔΖΗ.Prop. 1.5 Alltså är ΔΖΗ större än ΕΗΖ. Alltså är ΕΖΗ mycket större än ΕΗΖ. Och eftersom ΕΖΗ är en triangel och har vinkeln ΕΖΗ större än ΕΗΖ, spänns den större vinkeln upp av den större sidan,Prop. 1.19 alltså är också sidan ΕΗ större än ΕΖ. Alltså är även ΒΓ större än ΕΖ.

κεʹ.

Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.

25.

Om två trianglar skulle ha två sidor lika med två sidor, var och en med var och en, och en skulle ha en större bas än den andras bas, skall den också ha en större vinkel än den andras vinkel, som spänns upp av de lika räta linjerna.

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ· βάσις δὲ ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΔΖ μείζων ἐστίν.

Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν αὐτῇ ἢ ἐλάσσων· ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ· οὐκ ἔστι δέ. οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ· ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ· οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκάτερᾳ, τὴν δὲ βασίν τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[28]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara de två trianglarna, som har de två sidorna ΑΒ och ΑΓ lika med de två sidorna ΔΕ och ΔΖ, var och en med var och en, ΑΒ med ΔΕ och ΑΓ med ΔΖ. Låt basen ΒΓ vara större än ΕΖ. Jag säger, att även vinkeln ΒΑΓ skall vara större än ΕΔΖ.

Ty om inte, måste den vara lika med eller mindre än. Men ΒΑΓ är faktiskt inte lika med ΕΔΖ, ty då vore basen ΒΓ lika med basen ΕΖ.Prop. 1.4 Det är den inte. Alltså är inte vinkeln ΒΑΓ lika med ΕΔΖ och inte heller är vinkeln ΒΑΓ mindre än ΕΔΖ, ty då vore även basen ΒΓ mindre än basen ΕΖ.Prop. 1.24 Det är den inte. Alltså är ΒΑΓ inte mindre än vinkeln ΕΔΖ. Dessutom har det visats, att de inte är lika. Alltså är ΒΑΓ större än ΕΔΖ.

Om alltså två trianglar skulle ha två sidor lika med två sidor, var och en med var och en, och en skulle ha en större bas än den andras bas, skall den också ha en större vinkel än den andras vinkel, som spänns upp av de lika räta linjerna. Vilket skulle visas.

κϛʹ.

Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ~~ἑκατέραν ἑκατέρᾳ~~ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ.

26.

Om två trianglar har två vinklar lika med två vinklar, var och en med var och en, och har en sida lika med en sida - antingen en vid de lika vinklarna eller en som ligger under en av de lika vinklarna - skall både de resterande sidorna vara lika med de andra resterande sidorna, ~~var och en med var och en~~, och den resterande vinkeln med den andra resterande vinkeln.

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ· ἐχέτω δὲ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, πρότερον τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· λέγω, ὅτι καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ, καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ, τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.

Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΒΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ.

Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστίν· βάσις ἄρα ἡ ΗΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΗΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἴση ἐστίν, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ. ἴση ἄρα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι ἴσαι, ὡς ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ· λέγω πάλιν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσαι ἔσονται, ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ καὶ ἔτι ἡ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.

Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ, καὶ κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. καὶ ἐπὲι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΘ τῇ ΕΖ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκαρέρᾳ· καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσας πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΖΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἐστιν ἴση· τριγώνου δὴ τοῦ ΑΘΓ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΓΑ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ· ἴση ἄρα. ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση. δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῂ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση.

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις, ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[29]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara de två trianglarna, ΑΒΓ och ΒΓΑ vara lika med vinklarna ΔΕΖ och ΕΖΔ, var och en med var och en, ΑΒΓ med ΔΕΖ och ΒΓΑ med ΕΖΔ. Låt också en sida vara lik en annan sida, först den vid de lika vinklarna ΒΓ och ΕΖ. Jag säger, att de resterande sidorna skall vara lika med de andra resterande sidorna, var och en med var och en, ΑΒ med ΔΕ och ΑΓ med ΔΖ, och att den kvarvarande vinkeln med den andra kvarvarande vinkeln, ΒΑΓ med ΕΔΖ.

Ty om ΑΒ inte är lika med ΔΕ, är en av dem större. Låt ΑΒ vara större, gör ΒΗ lika med ΔΕProp. 1.3 och förbind ΗΓ.

Eftersom då ΒΗ är lika med ΔΕ, ΒΓ med ΕΖ, de två ΒΗ och ΒΓ är lika med de två ΔΕ och ΕΖ, var och en med var och en, och vinkeln ΗΒΓ är lika med vinkeln ΔΕΖ, är alltså basen ΗΓ lika med basen ΔΖ, triangeln ΗΒΓ lika med triangeln ΔΕΖ och de resterande vinklarna lika med de andra resterande vinklarna, som spänns upp av sidorna som är lika.Prop. 1.4 Alltså är vinkeln ΗΓΒ lika med ΔΖΕ. Men ΔΖΕ påstås vara lika med ΒΓΑ och sålunda att ΒΓΗ är lika med ΒΓΑ, den mindre med den större, vilket är omöjligt. Alltså är ΑΒ inte ΔΕ olika, utan lika. Även ΒΓ är lika med ΕΖ, de två ΑΒ och ΒΓ är lika med de två ΔΕ och ΕΖ, var och en med var och en, och vinkeln ΑΒΓ är lika med vinkeln ΔΕΖ. Alltså är basen ΑΓ lika med basen ΔΖ och den resterande vinkeln ΒΑΓ är lika med den resterande vinkeln ΕΔΖ.Prop. 1.4

Men igen, låt sidorna som ligger under de lika vinklarna vara lika, så som ΑΒ och ΔΕ. Jag säger åter, att de resterande sidorna skall vara lika med de andra resterande sidorna, ΑΓ med ΔΖ och ΒΓ med ΕΖ, och att resterande vinkeln ΒΑΓ är lika med resterande vinkeln ΕΔΖ.

Ty om ΒΓ och ΕΖ inte är lika, är en av dem större. Låt, om det är möjligt, ΒΓ vara större och gör ΒΘ lika med ΕΖProp. 1.3 samt förbind ΑΘ. Och eftersom ΒΘ är lika med ΕΖ och ΑΒ med ΔΕ, är det två ΑΒ och ΒΘ lika med de två ΔΕ och ΕΖ, var och en med var och en, så även vinklarna de omger. Alltså är basen ΑΒ lika med basen ΔΖ, triangeln ΑΒΘ är lika med triangeln ΔΕΖ och de resterande vinklarna är lika med de andra resterande vinklarna, som de lika sidorna spänner upp.Prop. 1.4 Alltså är vinkeln ΒΘΑ lika med ΕΖΔ, men ΕΔΖ är lika med ΒΓΑ. Då är triangelns ΑΒΓ yttre vinkel ΒΘΑ lika med den inre och motstående ΒΓΑ, vilket är omöjligt. Alltså är ΒΓ inte lika med ΕΖ, utan lika. Då är även ΑΒ lika med ΔΕ. De två ΑΒ och ΒΓ är lika med de två ΔΕ och ΕΖ, var och en med var och en, så även vinklarna de omger. Alltså är basen ΑΓ lika med basen ΔΖ, triangeln ΑΒΓ är lika med triangeln ΔΕΖ och resterande vinkeln ΒΑΓ är lika med resterande vinkeln ΕΔΖ.Prop. 1.4

Om två trianglar har två vinklar lika med två vinklar, var och en med var och en, och har en sida lika med en sida - antingen en vid de lika vinklarna eller en som ligger under en av de lika vinklarna - skall både de resterande sidorna vara lika med de andra resterande sidorna och den resterande vinkeln med den andra resterande vinkeln. Vilket skulle visas.

κζʹ.

Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.

27.

Om en rät linje som faller över två räta linjer gör alternerande vinklar lika med varandra, skall linjerna vara parallella med varandra.

Εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἀλλήλαις ποιείτω· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ συμπεσοῦνται ἤτοι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Α, Γ. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη κατὰ τὸ Η. τριγώνου δὴ τοῦ ΗΕΖ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΖΗ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα αἱ ΑΒ, ΔΓ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Α, Γ· αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[30]

Ty om den räta linjen ΕΖ som faller över två räta linjer ΑΒ och ΓΔ gör alternerande vinklar lika med varandra, säger jag, att ΑΒ och ΓΔ är parallella.

Ty om inte, skall ΑΒ och ΓΔ mötas utdragna, antingen på sidan vid Β och Δ eller på sidan vid Α och Γ.Def. 1.23 Drag ut dem och låt dem mötas vid Η på sidan vid Β och Δ. Triangelns ΗΕΖ yttre vinkel ΑΕΖ är lika med den inre och motstående ΕΖΗ, vilket är omöjligt.Prop. 1.16 Alltså möts inte ΑΒ och ΔΓ utdragna på sidan vid Β och Δ. På samma sätt skall det visas, att inte heller möts de på sidan vid Α och Γ. Men räta linjer som på ingendera sida möts är parallella.Def. 1.23 Alltså är ΑΒ och ΓΔ parallella.

Om alltså en rät linje faller över två räta linjer gör alternerande vinklar lika med varandra, skall linjerna vara parallella med varandra. Vilket skulle visas.

κηʹ.

Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.

28.

Om en rät linje faller över två räta linjer och bildar en yttre vinkel lika med den inre och motstående, på samma sida, eller bildar inre vinklar lika med två räta, på samma sida, skall de räta linjerna vara parallella med varandra.

Εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΕΖ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην ποιείτω ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν· κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

Ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[31]

Ty om en rät linje ΕΖ faller över två räta linjer ΑΒ och ΓΔ bildar en yttre vinkel ΕΗΒ lika med den inre och motstående ΗΘΔ, på samma sida, eller de inre vinklarna ΒΗΘ och ΗΘΔ är lika med två räta, på samma sida. Jag säger, att ΑΒ och ΓΔ är parallella.

Ty eftersom ΕΗΒ är lika med ΗΘΔ, men ΕΗΒ är lika med ΑΗΒProp. 1.15 och alltså är ΑΗΒ lika med ΗΘΔ. De är också alternerande. Alltså är ΑΒ och ΓΔ parallella.Prop. 1.27

Igen, eftersom ΒΗΘ och ΗΘΔ är lika med två räta samt ΑΗΘ och ΒΗΘ är lika med två räta,Prop. 1.13 är alltså ΑΗΘ och ΒΗΘ lika med ΒΗΘ och ΗΘΔ. Drag bort ΒΗΘ från båda, alltså är resten ΑΗΘ lika med resten ΗΘΔ och de är alternerande. Alltså är ΑΒ och ΓΔ parallella.Prop. 1.27

Om alltså en rät linje faller över två räta linjer och bildar en yttre vinkel lika med den inre och motstående, på samma sida, eller bildar inre vinklar lika med två räta, på samma sida, skall de räta linjerna vara parallella. Vilket skulle visas.

κθʹ.

Ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.

29.

Den räta linje som faller över parallella räta linjer gör både de alternerande vinklarna lika med varandra, den yttre lika med den inre och motstående, och de inre på samma sida lika med två räta.

Εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπιπτέτω ἡ ΕΖ· λέγω, ὅτι τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΗΘ, ΗΘΔ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.

Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ· κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ μείζονές εἰσιν. ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ~~καὶ~~ αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. αἱ δὲ ἀπ᾿ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπίπτουσιν· αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται· οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι· οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ· ἴση ἄρα. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση· κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.

Ἡ ἄρα εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[32]

Ty låt en rät linje ΕΖ falla över de parallella räta linjerna ΑΒ och ΓΔ, jag säger, att de alternerande vinklarna ΑΗΘ och ΗΘΔ görs lika med varandra, den yttre vinkeln ΕΗΒ lika med den inre och motstående ΗΘΔ, och de inre på samma sida ΒΗΘ och ΗΘΔ lika med två räta.

Ty är ΑΗΘ och ΗΘΔ inte lika, är en av dem större. Låt ΑΗΘ vara större, lägg ΒΗΘ till båda. Alltså är ΑΗΘ och ΒΗΘ större än ΒΗΘ och ΗΘΔ, men ΑΗΘ och ΒΗΘ är lika med två räta,Prop. 1.13 alltså är ΒΗΘ och ΗΘΔ mindre än två räta. De linjer med inre vinklar mindre än två räta som dras ut till oändligheten möts.Post. 5 Alltså möts ΑΒ och ΓΔ utdragna till oändligheten. Men de möts inte eftersom de antagits parallella.Def. 1.23 Alltså är ΑΗΒ och ΗΘΔ inte olika, utan lika. Men ΑΗΘ är lika med och ΕΗΒProp. 1.15 och sålunda är ΕΗΒ lika med ΗΘΔ. Lägg ΒΗΘ till båda, Alltså är ΕΗΒ och ΒΗΘ lika med ΒΗΘ och ΗΘΔ. Men ΕΗΒ och ΒΗΘ är lika med två rätaProp. 1.13 och alltså är ΒΗΘ och ΗΘΔ lika med två räta.

Alltså gör den räta linje som faller över parallella räta linjer både de alternerande vinklarna lika med varandra, den yttre lika med den inre och motstående, och de inre på samma sida lika med två räta. Vilket skulle visas.

λʹ.

Αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.

30.

De räta linjer som är parallella med samma räta linje är också parallella med varandra.

Ἔστω ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἐστι παράλληλος.

Ἐμπιπτέτω γὰρ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΗΚ.

Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. πάλιν, ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΖ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΘΖ τῇ ὑπὸ ΗΚΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴση. καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΚΔ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἐναλλάξ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.

~~Αἱ ἄρα τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι·~~ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[33]

Låt var och en av ΑΒ och ΓΔ vara parallell med ΕΖ. Jag säger, att också ΑΒ och ΓΔ är parallella.

Ty drag över dem den räta linjen ΗΚ.

Och eftersom ΗΚ dragits över de parallella räta linjerna ΑΒ och ΕΖ, är sålunda vinkeln ΑΗΚ lika med ΗΘΖ.Prop. 1.29 Igen, eftersom ΗΚ dragits över de parallella räta linjerna ΕΖ och ΓΔ, är sålunda vinkeln ΗΘΖ lika med ΗΚΔ.Prop. 1.29 Men det har även visats, att ΑΗΚ är lika med ΗΘΖ och alltså är ΑΗΚ lika med ΗΚΔ. Dessutom är de alternerande vinklar. Alltså är ΑΒ parallell med ΓΔ.Prop. 1.27

~~Alltså är de som är parallella med samma räta linje också parallella med varandra.~~ Vilket skulle visas.

λαʹ.

Διὰ τοῦ δοθέντος σημείου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

31.

Genom en given punkt dra en rät linje parallell med en given rät linje.

Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΑΕ· καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ᾿ εὐθείας τῇ ΕΑ εὐθεῖα ἡ ΑΖ.

Καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΑΔ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΑΔ, ΑΔΓ ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑΖ τῇ ΒΓ.

Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[34]

Låt Α vara den givna punkten och ΒΓ den givna räta linjen. Genom punkten Α skall en rät linje parallell med den räta linjen ΓΔ dras.

Välj punkten Δ godtyckligt på ΒΓ och förbind ΑΔ. Konstruera även vinkeln ΔΑΕ, lika med ΑΔΓ, på den räta linjen ΔΑ vid punkten Α på denna.Prop. 1.23 Drag även ut den räta linjen ΑΖ från den räta linjen ΕΑ.

Och eftersom ΑΔ, som dragits över de två räta linjerna ΒΓ och ΕΖ, har gjort de alternerande vinklarna ΕΑΔ och ΑΔΓ lika med varandra, är alltså ΕΑΖ parallell med ΒΓ.Prop. 1.27

Alltså har genom den givna punkten Α den räta linjen ΕΑΖ dragits parallell med den givna räta linjen ΒΓ. Vilket skulle göras.

λβʹ.

Παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.

32.

När en av sidorna i en triangel dragits ut, är den yttre vinkeln lika med de två inre motstående och triangelns tre inre vinklar är lika med två räta.

Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ· λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.

Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΓΕ.

Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ.

Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.

Παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[35]

Låt triangeln vara ΑΒΓ och drag ut dess ena sida ΒΓ till Δ. Jag säger, att yttre vinkeln ΑΓΔ är lika med de två inre motstående ΓΑΒ och ΑΒΓ samt att triangelns tre inre vinklar ΑΒΓ, ΒΓΑ och ΓΑΒ är lika med två räta.

Ty drag genom punkten Γ den räta linjen ΓΕ parallell med ΑΒ.Prop. 1.31

Eftersom både ΑΒ är parallell med ΓΕ och ΑΓ har dragits över dem, är de alternerande vinklarna ΒΑΓ och ΑΓΕ lika med varandra.Prop. 1.29 Igen, eftersom ΑΒ är parallell med ΓΕ och den räta linjen ΒΔ dragits över dem, är den yttre vinkeln ΕΓΔ lika med den inre och motstående ΑΒΓ.Prop. 1.29 Det har även visats, att ΑΓΕ är lika med ΒΑΓ, alltså är hela vinkeln ΑΓΔ lika med de två inre och motstående ΒΑΓ och ΑΒΓ.

Lägg ΑΓΒ till båda, alltså är ΑΓΔ och ΑΓΒ lika med de tre ΑΒΓ, ΒΓΑ och ΓΑΒ. Men ΑΓΔ och ΑΓΒ är lika med två rätaProp. 1.13 och alltså är ΑΓΒ, ΓΒΑ och ΓΑΒ lika med två räta.

Alltså är, när en av sidorna i en triangel dragits ut, den yttre vinkeln lika med de två inre motstående och triangelns tre inre vinklar är lika med två räta. Vilket skulle visas.

λγʹ.

Αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.

33.

Räta linjer som förbinder såväl lika som parallella räta linjer på samma sida är också själva såväl lika som parallella.

Ἔστωσαν ἴσαι τε καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἐπιζευγνύτωσαν αὐτὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ· λέγω, ὅτι καὶ αἱ ΑΓ, ΒΔ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ᾿ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΓ, ΒΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ ΒΓ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ. ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση.

Αἱ ἄρα τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[36]

Låt ΑΒ och ΓΔ vara lika och parallella och förbind dem på samma sida med de räta linjerna ΑΓ och ΒΔ. Jag säger, att också ΑΓ och ΒΔ är lika och parallella.

Låt ΒΓ ha förbundits och eftersom ΑΒ är parallell med ΓΔ samt ΒΓ dragits över dem, är de alternerande vinklarna ΑΒΓ och ΒΓΔ lika med varandra.Prop. 1.29 Och eftersom ΑΒ är lika med ΓΔ och ΒΓ är gemensam, är de två ΑΒ och ΒΓ lika med de två ΒΓ och ΓΔ. Dessutom är vinkeln ΑΒΓ lika med vinkeln ΒΓΔ, basen ΑΓ är lika med basen ΒΔ, triangeln ΑΒΓ är lika med triangeln ΒΓΔ och resterande vinklar skall vara lika med resterande vinklar, var och en med var och en, under vilka lika sidor ligger.Prop. 1.4 Alltså är vinkeln ΑΓΒ lika med vinkeln ΓΒΔ. Och eftersom den räta linjen ΒΓ är dragen över de två räta linjerna ΑΓ och ΒΔ och gjort alternerande vinklar lika med varandra, är ΑΓ parallell med ΒΔProp. 1.27 och har visats vara lika med denna.

Alltså är räta linjer som förbinder såväl lika som parallella räta linjer på samma sida också själva såväl lika som parallella.

λδʹ.

Τῶν παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.

34.

Parallellogrammers områdes motstående sidor och vinklar är lika med varandra och diametern delar dem i hälften.

Ἔστω παραλληλόγραμμον χωρίον τὸ ΑΓΔΒ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΓΔΒ παραλληλογράμμου αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ ΒΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.

Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΒΓΔ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΒΔ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΓ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ ἔτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἐστιν ἴση. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΒ ἴση.

Τῶν ἄρα παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

Λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΓΔ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση. καὶ βάσις ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἴση. καὶ τὸ ΑΒΓ ~~ἄρα~~ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.

Ἡ ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[37]

Låt ΑΓΔΒ vara parallellogrammens område, ΒΓ dess diagonalen. Jag säger, att parallellogrammen ΑΓΔΒ:s motstående sidor och vinklar är lika med varandra och diagonalen ΒΓ delar den i hälften.

Eftersom ΑΒ är parallell med ΓΔ och den räta linjen ΒΓ har dragits över dem, är de alternerande vinklarna ΑΒΓ och ΒΓΔ lika med varandra.Prop. 1.29 Åter, eftersom ΑΓ är parallell med ΒΔ och den räta linjen ΒΓ har dragits över dem, är de alternerande vinklarna ΑΓΒ och ΓΒΔ lika med varandra.Prop. 1.29 ΑΒΓ och ΒΓΔ är två trianglar som har de två vinklarna ΑΒΓ och ΒΓΑ lika med de två ΒΓΔ och ΓΒΔ, var och en med var och en, och en sida lika med en sida, den vid de lika vinklarna som är gemensam för dem, ΒΓ. Alltså skall de också ha resterande sidor lika med resterande sidor, var och en med var och en, och resterande vinkel lika med resterande vinkel.Prop. 1.26 Alltså är sidan ΑΒ lika med ΓΔ och ΑΓ lika med ΒΔ samt dessutom är vinkeln ΒΑΓ lika med ΓΔΒ. Och eftersom vinkeln ΑΒΓ är lika med ΒΓΔ och ΓΒΔ med ΑΓΒ, är hela ΑΒΔ lika med hela ΑΓΔ. ΒΑΓ har även visats vara lika med ΓΔΒ.

Alltså är parallellogrammers områdes motstående sidor och vinklar lika med varandra.

Jag säger även, att diametern delar dem i hälften. Ty eftersom ΑΒ är lika med ΓΔ, ΒΓ är gemensam, de två ΑΒ och ΒΓ är lika med de två ΓΔ och ΒΓ, var och en med var och en. Vinkeln ΑΒΓ är ~~alltså~~ också lika med vinkeln ΒΓΔ. Alltså är även basen ΑΓ lika med ΔΒ. Och alltså triangeln ΑΒΓ är lika med triangeln ΒΓΔ.

Alltså delar diagonalen ΒΓ parallellogrammen ΑΒΓΔ i hälften. Vilket skulle visas.

λεʹ.

Τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

35.

Parallellogrammer som har samma bas och ligger mellan samma paralleller är lika med varandra.

Ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΒΓΖ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΖ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ.

Ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση· καὶ κοινὴ ἡ ΔΕ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλῃ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ ἴση· δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΖΔ, ΔΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΔΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ ἐστιν ἴση ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· βάσις ἄρα ἡ ΕΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΕΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΖΓ τριγώνῳ ἴσον ἔσται· κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΗΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΗΔ τραπέζιον λοιπῷ τῷ ΕΗΓΖ τραπεζίῳ ἐστὶν ἴσον· κοινὸν προσκείσθω τὸ ΗΒΓ τρίγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ ἴσον ἐστίν.

Τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[38]

Låt ΑΒΓΔ och ΕΒΓΖ vara parallellogrammer på samma bas ΒΓ och mellan samma paralleller ΑΖ och ΒΓ. Jag säger, att ΑΒΓΔ är lika med parallellogrammen ΕΒΓΖ.

Ty eftersom ΑΒΓΔ är en parallellogram, är ΑΔ lika med ΒΓ.Prop. 1.34 Av samma skäl är ΕΖ lika med ΒΓ. På samma sätt är även ΑΔ lika med ΕΖ och ΔΕ är gemensam. Alltså är hela ΑΕ lika med hela ΔΖ. Också ΑΒ är lika med ΔΓ. De två ΕΑ och ΑΒ är lika med de två ΖΔ och ΔΓ, var och en med var och en, även vinkeln ΖΔΓ är lika med vinkeln ΕΑΒ, den yttre med den inre.Prop. 1.29 Alltså är basen ΕΒ lika med basen ΖΓ och triangeln ΕΑΒ är lika med triangeln ΔΖΓ.Prop. 1.4 Drag bort ΔΗΕ från båda och då är kvarvarande parallelltrapetsen ΑΒΗΔ lika med kvarvarande parallelltrapetsen ΕΗΓΖ. Lägg till triangeln ΗΒΓ till båda, då är hela parallellogrammen ΑΒΓΔ lika med hela parallellogrammen ΕΒΓΖ.

Alltså är parallellogrammer som har samma bas och ligger mellan samma paralleller lika med varandra. Vilket skulle visas.

λϛʹ.

Τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

36.

Parallellogrammer som har samma baser och ligger mellan samma paralleller är lika med varandra.

Ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα τῶν ΒΓ, ΖΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΘ, ΒΗ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΗ, ἀλλὰ ἡ ΖΗ τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση. εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι. καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΕΒ, ΘΓ· αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι ~~καὶ αἱ ΕΒ, ΘΓ ἄρα ἴσαι τέ εἰσι καὶ παράλληλοι~~. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓΘ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ΑΒΓΔ· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει τὴν ΒΓ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστὶν αὐτῷ ταῖς ΒΓ, ΑΘ. δὶα τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΖΗΘ τῷ αὐτῷ τῷ ΕΒΓΘ ἐστιν ἴσον· ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ ἐστιν ἴσον.

Τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[39]

Låt ΑΒΓΔ och ΕΖΗΘ vara parallellogrammer på samma baser ΒΓ och ΖΗ samt ligga mellan samma paralleller ΑΘ och ΒΗ. Jag säger, att ΑΒΓΔ är lika med parallellogrammen ΕΖΗΘ.

Ty låt ha förbundit ΒΕ och ΓΘ och eftersom ΒΓ är lika med ΖΗ, men ΖΗ är lika med ΕΘ,Prop. 1.34 är alltså också ΒΓ lika med ΕΘ. De är också parallella och ΕΒ och ΘΓ förbinder dem, men de som förbinder lika och parallella räta linjer på samma sida, är också lika och parallellaProp. 1.33 ~~och alltså är ΕΒ och ΘΓ lika och parallella~~. Alltså är ΕΒΓΘ en parallellogramProp. 1.34 och är lika med ΑΒΓΔ, ty den har samma bas som denna och ligger mellan samma paralleller som denna, ΒΓ och ΑΘ.Prop. 1.35 Av samma skäl är också ΕΖΗΘ lika med samma ΕΒΓΘ,Prop. 1.34 sålunda är också parallellogrammen ΑΒΓΔ lika med ΕΖΗΘ.

Alltså är parallellogrammer som har samma baser och ligger mellan samma paralleller lika med varandra. Vilket skulle visas.

λζʹ.

Τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

37.

Trianglar som ligger på bas och mellan samma paralleller är lika med varandra.

Ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΔ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ.

Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Ε, Ζ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ, δὶα δὲ τοῦ Γ τῇ ΒΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ· καί εἰσιν ἴσα· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΕΖ· καί ἐστι τοῦ μὲν ΕΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει· τοῦ δὲ ΔΒΓΖ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον· ἡ γὰρ ΔΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει. ~~τὰ δὲ τῶν ἴσων ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν~~. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ.

Τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[40]

Låt ΑΒΓ och ΔΒΓ vara trianglarna på samma bas, ΒΓ, och mellan samma paralleller, ΑΔ och ΒΓ. Jag säger, att triangeln ΑΒΓ är lika med triangeln ΔΒΓ.

Låt ha dragit ut ΑΔ åt vardera sidan till Ε och Ζ. Drag även ΒΕ genom Β parallell med ΓΑProp. 1.31 och drag ΓΖ genom Γ parallell med ΒΔ.Prop. 1.31 Alltså är var och en av ΕΒΓΑ och ΔΒΓΖ en parallellogram. De är även lika, eftersom de ligger på samma bas ΒΓ och mellan samma paralleller, ΒΓ och ΕΖ.Prop. 1.35 Och triangeln ΑΒΓ är hälften av parallellogrammen ΕΒΓΑ, ty diagonalen ΑΒ delar denna i hälftenProp. 1.34 och triangeln ΔΒΓ är hälften av parallellogrammen ΔΒΓΖ, ty diagonalen ΔΓ delar denna i hälften.Prop. 1.34 ~~Halvor av lika är lika med varandra.~~ Alltså är triangeln ΑΒΓ lika med triangeln ΔΒΓ.

Alltså är trianglar som ligger på samma bas och mellan samma paralleller lika med varandra. Vilket skulle visas.

ληʹ.

Τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

38.

Trianglar som ligger på lika baser och mellan samma paralleller är lika med varandra.

Ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΑΔ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΔ ἐφ᾿ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Η, Θ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, δὶα δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΘ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΗΒΓΑ, ΔΕΖΘ· καὶ ἴσον τὸ ΗΒΓΑ τῷ ΔΕΖΘ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΗΘ· καί ἐστι τοῦ μὲν ΗΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει· τοῦ δὲ ΔΕΖΘ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΖΕΔ τρίγωνον· ἡ γὰρ ΔΖ δίαμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει ~~τὰ δὲ τῶν ἴσων ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν~~. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.

Τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[41]

Låt ΑΒΓ och ΔΕΖ vara trianglarna som ligger på lika baser, ΒΓ och ΕΖ, och mellan samma paralleller, ΒΖ och ΑΔ. Jag säger, att triangeln ΑΒΓ är lika med triangeln ΔΕΖ.

Ty låt ha dragit ut ΑΔ åt vardera sidan till Η och Θ. Drag även ΒΗ genom Β parallell med ΓΑProp. 1.31 och drag ΖΘ genom Ζ parallell med ΔΕ.Prop. 1.31 Alltså är var och en av ΗΒΓΑ och ΔΕΖΘ en parallellogram. ΗΒΓΑ är även lika med ΔΕΖΘ, ty ΒΓ och ΕΖ är lika baser och ligger mellan samma paralleller, ΒΓ och ΗΘ.Prop. 1.36 Och triangeln ΑΒΓ är halva parallellogrammen ΗΒΓΑ. Ty diagonalen ΑΒ delar den i hälften.Prop. 1.34 Och triangeln ΖΕΔ är halva parallellogrammen ΔΕΖΘ. Ty diagonalen ΔΖ delar den i hälften.Prop. 1.34 ~~Halvor av lika är lika med varandra.~~ Alltså är triangeln ΑΒΓ lika med triangeln ΔΕΖ.

Alltså är trianglar som ligger på lika baser och mellan samma paralleller lika med varandra. Vilket skulle visas.

λθʹ.

Τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.

39.

Lika trianglar som ligger på samma bas och ligger på samma sida, ligger också mellan samma paralleller.

Ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῆς ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ.

Εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις. ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τῷ ΔΒΓ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΔΒΓ ἄρα τῷ ΕΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΒΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ᾿ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ· ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστι παράλληλος.

Τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[42]

Låt ΑΒΓ och ΔΒΓ vara de lika trianglarna som ligger på samma bas och ligger på samma sida av ΒΓ. Jag säger, att de även ligger mellan samma paralleller.

Låt ha förbundit ΑΔ. Jag säger, att ΑΔ är parallell med ΒΓ.

Ty om inte, drag ΑΕ genom punkten Α parallell med den räta linjen ΒΓProp. 1.31 och förbind ΕΓ. Alltså är triangeln ΑΒΓ lika med triangeln ΕΒΓ, eftersom den har samma bas som denna, ΒΓ, och ligger mellan samma paralleller.Prop. 1.37 Men ΑΒΓ är lika med ΔΒΓ och alltså är ΔΒΓ lika med ΕΒΓ. Den större med den mindre, vilket är omöjligt. Alltså är ΑΕ inte parallell med ΒΓ. På samma sätt kunde vi visat, att inte heller någon annan än ΑΔ är det. Alltså är ΑΔ parallell med ΒΓ.

Lika trianglar som ligger på samma bas och ligger på samma sida, ligger alltså även mellan samma paralleller. Vilket skulle visas.

μʹ.

Τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.

40.

Lika trianglar som ligger på lika baser och ligger på samma sida, ligger också mellan samma paralleller.^E E) Se Heiberg, i Hermes, XXXVIII, 1903, ss. 50-.

Ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΕ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη. λέγω, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ.

Εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, ΓΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΕ, ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΓΕ ~~τρίγωνῳ~~· καὶ τὸ ΔΓΕ ἄρα ~~τρίγωνον~~ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ᾿ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ· ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἐστι παράλληλος.

Τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[43]

Låt ΑΒΓ och ΓΔΕ vara de lika trianglarna som ligger på lika baser, ΒΓ och ΓΕ, och ligger på samma sida. Jag säger, att de även ligger mellan samma paralleller.

Låt ha förbundit ΑΔ. Jag säger, att ΑΔ är parallell med ΒΕ.

Ty om inte, drag ΑΖ genom punkten Α parallell med den räta linjen ΒΕProp. 1.31 och förbind ΖΕ. Alltså är triangeln ΑΒΓ lika med triangeln ΖΓΕ, eftersom de ligger på lika baser, ΒΓ och ΓΕ, och ligger mellan samma paralleller, ΒΕ och ΑΖ.Prop. 1.38 Men triangeln ΑΒΓ är lika med ~~triangeln~~ ΔΒΓ och alltså är ~~triangeln~~ ΔΓΕ lika med triangeln ΖΓΕ. Den större med den mindre, vilket är omöjligt. Alltså är ΑΖ inte parallell med ΒΕ. På samma sätt kunde vi visat, att inte heller någon annan än ΑΔ är det. Alltså är ΑΔ parallell med ΒΕ.

Lika trianglar som ligger på lika baser och ligger på samma sida, ligger också mellan samma paralleller. Vilket skulle visas.

μαʹ.

Ἐὰν παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστί τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου.

41.

Om en parallellogram har samma bas som en triangel och ligger mellan samma paralleller, är parallellogrammen dubbelt så stor som triangeln.

Παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ τριγώνῳ τῷ ΕΒΓ βάσιν τε ἐχέτω τὴν αὐτὴν τὴν ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἔστω ταῖς ΒΓ, ΑΕ· λέγω, ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τοῦ ΒΕΓ τριγώνου.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΕ. ἀλλὰ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· ἡ γὰρ ΑΓ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει· ὥστε τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τοῦ ΕΒΓ τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον.

Ἐὰν ἄρα παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστί τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[44]

Ty låt parallellogrammen ΑΒΓΔ ha samma bas, ΒΓ, som triangeln ΕΒΓ och ligga mellan samma paralleller, ΒΓ och ΑΕ. Jag säger, att parallellogrammen ΑΒΓΔ är dubbelt så stor som triangeln ΒΕΓ.

Ty låt ha förbundit ΑΓ. Triangeln ΑΒΓ är lika med triangeln ΕΒΓ, eftersom de har samma bas, ΒΓ, och ligger mellan samma paralleller, ΒΓ och ΑΕ.Prop. 1.37 Men parallellogrammen ΑΒΓΔ är dubbelt så stor som triangeln ΑΒΓ, ty diagonalen ΑΓ delar den i hälften,Prop. 1.34 sålunda är parallellogrammen ΑΒΓΔ dubbelt så stor som triangeln ΕΒΓ.

Alltså, om en parallellogram har samma bas som en triangel och ligger mellan samma paralleller, är parallellogrammen dubbelt så stor som triangeln. Vilket skulle visas.

μβʹ.

Τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.

42.

Att resa en parallellogram lika med en given triangel och med en given rätlinjig vinkel.

Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ· δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ Δ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.

Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΕΓ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΕΖ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΗ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΗ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΕ, ΕΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΗ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστιν αὐτῷ παραλλήλοις· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. καὶ ἔχει τὴν ὑπὸ ΓΕΖ γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ Δ.

Τῷ ἄρα δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΖΕΓΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΕΖ, ἥτις ἐστὶν ἴση τῇ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[45]

Låt ΑΒΓ vara den givna triangeln, Δ den givna rätlinjiga vinkeln. En parallellogram lika med en given triangel och med en given rätlinjig vinkel, Δ, skall resas.

Låt dela ΒΓ i hälften vid ΕProp. 1.10 och förbind ΑΕ. Låt också ha konstruerat ΓΕΖ, lika med vinkeln Δ, på den räta linjen ΕΓ och vid punkten Ε.Prop. 1.23 Drag även ΑΗ genom Α parallell med ΕΓProp. 1.31 och drag ΓΗ genom Γ parallell med ΕΖ.Prop. 1.31 Alltså är ΖΕΓΗ en parallellogram. Och eftersom ΒΕ är lika med ΕΓ, är också triangeln ΑΒΕ lika med triangeln ΑΕΓ, eftersom de ligger på lika baser, ΒΕ och ΕΓ, och mellan samma paralleller, ΒΓ och ΑΗ.Prop. 1.38 Alltså är triangeln ΑΒΓ dubbelt så stor som triangeln ΑΕΓ. Även parallellogrammen ΖΕΓΗ är dubbelt så stor som triangeln ΑΕΓ, ty för den är basen densamma och den ligger mellan samma paralleller.Prop. 1.41 Alltså är parallellogrammen ΖΕΓΗ lika med triangeln ΑΒΓ och har vinkeln ΓΕΖ lika med den givna vinkeln Δ.

Alltså har en parallellogram ΖΕΓΗ rests lika med den givna triangeln ΑΒΓ och med vinkeln ΓΕΖ, vilken är lika med Δ. Vilket skulle göras.

μγʹ.

Παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

43.

I varje parallellogram är komplementen till parallellogrammerna längs diagonalen lika med varandra.

Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα μὲν ἔστω τὰ ΕΘ, ΖΗ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΒΚ, ΚΔ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΚ παραπλήρωμα τῷ ΚΔ παραπληρώματι.

Ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ. πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΘ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΚΖΓ τρίγωνον τῷ ΚΗΓ ἐστιν ἴσον. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον, τὸ δὲ ΚΖΓ τῷ ΚΗΓ, τὸ ΑΕΚ τρίγωνον μετὰ τοῦ ΚΗΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ μετὰ τοῦ ΚΖΓ· ἔστι δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΑΔΓ ἴσον· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚ παραπλήρωμα λοιπῷ τῷ ΚΔ παραπληρώματί ἐστιν ἴσον.

Παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[46]

Låt ΑΒΓΔ vara parallellogrammen, ΑΓ dess diagonal. Låt ΕΘ och ΖΗ vara parallellogrammerna längs ΑΓ samt ΒΚ och ΚΔ de så kallade komplementen, Jag säger, att komplementet ΒΚ är lika med komplementet ΚΔ.

Ty eftersom ΑΒΓΔ är en parallellogram och ΑΓ dess diagonal, är triangeln ΑΒΓ lika med triangeln ΑΓΔ.Prop. 1.34 Igen, eftersom ΕΘ är en parallellogram och ΑΚ dess diagonal, är triangeln ΑΕΚ lika med triangeln ΑΘΚ.Prop. 1.34 Av samma skäl är också triangeln ΚΖΓ lika med triangeln ΚΗΓ. Alltså, eftersom triangeln ΑΕΚ är lika med triangeln ΑΘΚ och ΚΖΓ med ΚΗΓ, är triangeln ΑΕΚ och ΚΗΓ lika med triangeln ΑΘΚ och ΚΖΓ. Och hela triangeln ΑΒΓ är lika med hela ΑΔΓ. Alltså är återstående komplementet ΒΚ lika med återstående komplementet ΚΔ.

Alltså är i varje parallellogramfigur komplementen till parallellogrammerna längs diagonalen lika med varandra. Vilket skulle visas.

μγʹ.

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.

44.

Att till den givna linjen applicera en, med en triangel lika stor, parallellogram med i given rätlinjig vinkel.

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ Γ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν ἴσῃ τῇ Δ γωνίᾳ.

Συνεστάτω τῷ Γ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕΖΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΗ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ· καὶ κείσθω ὥστε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΑΒ, καὶ διήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΗ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΘ, ΕΖ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΖ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ, ΘΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ, ΗΖΕ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν· αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν· αἱ ΘΒ, ΖΕ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΑ, ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΘΑ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛΚΖ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΚ, περὶ δὲ τὴν ΘΚ παραλληλόγραμμα μὲν τὰ ΑΗ, ΜΕ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΛΒ, ΒΖ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ΒΖ τῷ Γ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ Δ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄρα τῇ Δ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.

Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΛΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[47]

Låt en rät linje, ΑΒ, vara given, den givna triangeln Γ, den rätlinjiga vinkeln Δ; Det är alltså nödvändigt att till den givna linjen ΑΒ applicera en, med en triangel Γ lika stor, parallellogram med en given rätlinjig vinkel Δ.

Konstruera, lika med triangeln Γ, parallellogrammen ΒΕΖΗ med vinkeln ΕΒΗ, som är lika med Δ;Prop. 1.42 Placera den så att ΒΕ är i rät linje med ΑΒ, förläng ΖΗ till Θ, och dra ΑΘ genom Α, parallell med endera ΒΗ eller ΕΖ,Prop. 1.31 samt förena ΘΒ.

Och eftersom den räta linjen ΘΖ skär parallellerna ΑΘ och ΕΖ, är alltså vinklarna ΑΘΖ och ΘΖΕ lika med två rätaProp. 1.29 och alltså är vinklarna ΒΘΗ och ΗΖΕ mindre än två räta - linjer som från en vinkel mindre än två räta obegränsat dras ut mötsPost. 5 - alltså skall ΘΒ och ΖΕ mötas om utdragna. Drag ut dem och låt dem mötas vid Κ och drag ΚΛ genom punkten Κ parallell med antingen ΕΑ eller ΖΘ,Prop. 1.31 samt drag ΘΑ och ΗΒ till punkterna Λ och Μ.

Då är ΘΛΚΖ en parallellogram, dess diagonal är ΘΚ, vid ΘΚ finns parallellogrammerna ΑΗ och ΜΕ, samt de så kallade komplementen ΛΒ och ΒΖ; Alltså är ΛΒ lika med ΒΖ;Prop. 1.43 men ΒΖ är lika med triangeln Γ, alltså är ΛΒ lika med Γ. Då är också vinkeln ΗΒΕ lika med vinkeln ΑΒΜ,Prop. 1.15 men ΗΒΕ är lika med Δ och då är ΑΒΜ lika med vinkeln Δ.

På den givna linjen ΑΒ har parallellogrammen ΛΒ, lika med den givna triangeln Γ, applicerats med vinkeln ΑΒΜ som är lika med Δ. Vilket skulle visas.

μεʹ.

Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.

45.

Att konstruera en parallellogram lika med en given rätlinjig figur och en given rätlinjig vinkel.

Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Ε· δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓΔ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ τῇ Ε.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ συνεστάτω τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΖΘ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε· καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε. καὶ ἐπεὶ ἡ Ε γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΖ, ΗΘΜ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστιν ἴση. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ ταῖς ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἴσαι εἰσίν. ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. πρὸς δή τινι εὐθεῖᾳ τῇ ΗΘ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ δύο εὐθεῖαι αἱ ΚΘ, ΘΜ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ· καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΚΜ, ΖΗ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΗ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ ταῖς ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἴσαι εἰσιν. ἀλλ᾿ αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΘΗ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΜΛ, καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ ΜΛ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν· καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΚΜ, ΖΛ· καὶ αἱ ΚΜ, ΖΛ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΖΛΜ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΘ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ ΔΒΓ τῷ ΗΜ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμον ὅλῳ τῷ ΚΖΛΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον.

Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓΔ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΚΖΛΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΚΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ τῇ Ε· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[48]

Låt ΑΒΓΔ vara den rätlinjiga figuren, Ε den givna rätlinjiga vinkeln. En parallellogram lika med den rätlinjiga figuren ΑΒΓΔ skall resas med den givna vinkeln Ε.

Låt ha förbundit ΔΒ och konstruera parallellogrammen ΖΘ lika med triangeln ΑΒΔ i vinkeln ΘΚΖ, vilken är lika med Ε.Prop. 1.42 Anbringa vid den räta linjen ΗΘ parallellogrammen ΗΜ lika med triangeln ΔΒΓ i vinkeln ΗΘΜ, vilken är lika med Ε.Prop. 1.44 Och eftersom vinkeln Ε är lika med var och en av ΘΚΖ och ΗΘΜ, är alltså även ΘΚΖ lika med ΗΘΜ. Lägg till ΚΘΗ till båda, alltså är ΖΚΘ och ΚΘΗ lika med ΚΘΗ och ΗΘΜ. Men ΖΚΘ och ΚΘΗ är lika med två rätaProp. 1.29 och alltså är ΚΘΗ och ΗΘΜ lika med två räta. De två räta linjerna ΚΘ och ΘΜ, som inte ligger på samma sida,bildar mot någon rät linje ΗΘ och vid någon punkt Θ på denna intilliggande vinklar lika med två räta. Alltså ligger ΚΘ i linje med ΘΜ.Prop. 1.14 Och eftersom den räta linjen ΘΗ faller över de två parallellerna ΚΜ och ΖΗ, är de alternerande vinklarna ΜΘΗ och ΘΗΖ lika med varandra.Prop. 1.29 Lägg till ΘΗΛ till båda. Alltså är ΜΘΗ och ΘΗΛ lika med ΘΗΖ och ΘΗΛ. Men ΜΘΗ och ΘΗΛ är lika med två rätaProp. 1.29, alltså är även ΘΗΖ och ΘΗΛ lika med två räta. Alltså ligger ΖΗ i linje med ΗΛ.Prop. 1.14 Och eftersom ΖΚ är lika med och parallell med ΘΗProp. 1.34, men även ΘΗ med ΜΛ,Prop. 1.34 är alltså även ΚΖ lika med och parallell med ΜΛ.Prop. 1.30 Och de räta linjerna ΚΜ och ΖΛ förbinder dem, alltså är även ΚΜ och ΖΛ lika och parallella.Prop. 1.33 Alltså är ΚΖΛΜ en parallellogram. Och eftersom triangeln ΑΒΔ är lika med parallellogrammen ΖΘ och ΔΒΓ med ΗΜ, är alltså hela den rätlinjiga figuren ΑΒΓΔ lika med hela parallellogrammen ΚΖΛΜ.

Alltså har parallellogrammen ΚΖΛΜ lika med den givna rätlinjiga figuren ΑΒΓΔ och med vinkeln ΖΚΜ, vilken är lika med Ε, konstruerats. Vilket skulle göras.

μϛʹ.

Ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι.

46.

Att på en given rät linje rita en kvadrat.

Låt ΑΒ vara den givna räta linjen. På den räta linjen ΑΒ skall en kvadrat ritas.

Ἤχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ σημείου τοῦ Α πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ· καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ, διὰ δὲ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΒΕ. ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση· αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ παραλληλόγραμμον. λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. ἐπεὶ γὰρ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΔΕ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΔΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΕ. τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, ΒΕΔ γωνιῶν· ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.

Τετράγωνον ἄρα ἐστίν· καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας ἀναγεγραμμένον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.^[49]

Låt ha dragit ΑΓ vinkelrätt mot den räta linjen ΑΒ vid punkten Α på dennaProp. 1.11 och gör ΑΔ lika med ΑΒ.Prop. 1.3 Drag även ΔΕ genom punkten Δ parallell med ΑΒ.Prop. 1.31 och drag ΒΕ genom Β parallell med ΑΔ.Prop. 1.31 Alltså är ΑΔΕΒ en parallellogram. Alltså är ΑΒ lika med ΔΕ och ΑΔ med ΒΕ.Prop. 1.34 Men ΑΒ är lika med ΑΔ, alltså är de fyra ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ och ΕΒ lika med varandra. Alltså är parallellogrammen ΑΔΕΒ liksidig. Jag säger, att den är även rätvinklig. Ty eftersom ΑΔ faller över parallellerna ΑΒ och ΔΕ, är alltså vinklarna ΒΑΔ och ΑΔΕ lika med två räta.Prop. 1.29 ΒΑΔ är rät, alltså är även ΑΔΕ rät. Motstående sidor och vinklar är lika med varandra i parallellogramfigurer.Prop. 1.34 Alltså är var och en av de motstående vinklarna ΑΒΕ och ΒΕΔ räta. Alltså är ΑΔΕΒ rätvinklig. Den har även visats vara liksidig.

Alltså är den en kvadratDef. 1.22 och den har ritats på den räta linjen ΑΒ. Vilket skulle göras.

μζʹ.

Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.

47.

Hos rätvinkliga trianglar är kvadraten på sidan som spänner upp den räta vinkeln lika med kvadraterna den räta vinkelns intilliggande sidor.

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾿ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ ~~ἐστιν~~ ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καί ~~ἐστι~~ τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. ~~τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·~~ ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.

Ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν ~~γωνίαν~~ περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[50]

Låt ΑΒΓ vara den rätvinkliga triangeln som har den räta vinkeln ΒΑΓ. Jag säger, att kvadraten på ΒΓ är lika med kvadraterna på ΒΑ och ΑΓ.

Ty låt kvadraten ΒΔΕΓ ha ritats upp på ΒΓ, på ΒΑ och ΑΓ ΗΒ och ΘΓProp. 1.46 och drag ΑΔ genom Α parallell med endera av ΒΔ och ΓΕ. Låt även ΑΔ och ΖΓ ha förbundits.Prop. 1.31 Och eftersom var och en av vinklarna ΒΑΓ och ΒΑΗ är räta, gör två räta linjer ΑΓ och ΑΗ, ej på samma sida, intilliggande vinklar lika med två räta mot någon rät linje ΒΑ vid punkten Α på denna. Alltså är ΓΑ i linje med ΑΗ.Prop. 1.14 Av samma skäl är även ΒΑ i linje med ΑΘ. Och eftersom vinkeln ΔΒΓ är lika med ΖΒΑ, ty de är båda räta, lägg till ΑΒΓ till båda, alltså är hela ΔΒΑ lika med hela ΖΒΓ. Och eftersom ΔΒ är lika med ΒΓ och ΖΒ med ΒΑ, är de två ΔΒ och ΒΑ lika med de två ΖΒ och ΒΓ, var och en med var och en. Och vinkeln ΔΒΑ är lika med vinkeln ΖΒΓ, alltså är basen ΑΔ lika med basen ΖΓ och triangeln ΑΒΔ är lika med triangeln ΖΒΓ.Prop. 1.4 Och parallellogrammen ΒΛ är dubbelt så stor som triangeln ΑΒΔ, ty de har samma bas ΒΔ och ligger mellan samma paralleller ΒΔ och ΑΛ.Prop. 1.41 Kvadraten ΗΒ är dubbelt så stor som triangeln ΖΒΓ, ty åter har de samma bas ΖΒ och ligger mellan samma paralleller ΖΒ och ΗΓ.Prop. 1.41 ~~Det dubbla av lika är lika med varandra.~~ Alltså är parallellogrammen ΒΛ lika med kvadraten ΗΒ. På samma sätt kan, sedan ΑΕ och ΒΚ förbundits, visas att också parallellogrammen ΓΛ är lika med kvadraten ΘΓ. Alltså är hela kvadraten ΒΔΕΓ lika med de två kvadraterna ΗΒ och ΘΛ. Och kvadraten ΒΔΕΓ är ritad på ΒΓ samt ΗΒ och ΘΓ på ΒΑ och ΑΓ. Alltså är kvadraten på sidan ΒΓ lika med kvadraterna på sidorna ΒΑ och ΑΓ.

Alltså är hos rätvinkliga trianglar kvadraten på sidan som spänner upp den räta ~~vinkeln~~ lika med kvadraterna den räta vinkelns intilliggande sidor. Vilket skulle visas.

μηʹ.

Ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν.

48.

Om kvadraten på en sida av en triangel är lika med kvadraterna på resterande två sidor, är vinkeln omgiven av triangelns resterande två sidor rät.

Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις· λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία.

Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΔ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ· ὑπόκειται γάρ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΔΓ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση· καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δύο ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ~~ἐστιν~~ ἴση. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ.

Ἐὰν ἄρα τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.^[51]

Ty låt i triangeln ΑΒΓ kvadraten på ena sidan ΒΓ vara lika med kvadraterna på sidorna ΒΑ och ΑΓ. Jag säger, att vinkeln ΒΑΓ är rät.

Ty drag ΑΔ från punkten Α i rät vinkel mot den räta linjen ΑΓProp. 1.11 och gör ΑΔ lika med ΒΑProp. 1.3 samt förbind ΔΓ. Eftersom ΔΑ är lika med ΑΒ, är också kvadraten på ΔΑ lika med kvadraten på ΑΒ. Lägg till kvadraten på ΑΓ till båda, alltså är kvadraterna på ΔΑ och ΑΓ lika med kvadraterna på ΒΑ och ΑΓ. Men kvadraterna på ΔΑ och ΑΓ är lika med den på ΔΓ, ty vinkeln ΔΑΓ är rät.Prop. 1.47 De på ΒΑ och ΑΓ är lika med den på ΒΓ, ty det var förutsatt. Alltså är kvadraten på ΔΓ lika med kvadraten på ΒΓ, sålunda är sidan ΔΓ lika med ΒΓ. Och eftersom ΔΑ är lika med ΑΒ och ΑΓ är gemensam, är de två ΔΑ och ΑΓ lika med de två ΒΑ och ΑΓ samt basen ΔΓ lika med basen ΒΓ. Alltså är vinkeln ΔΑΓ lika med vinkeln ΒΑΓ,Prop. 1.8 men ΔΑΓ är rät, alltså är även ΒΑΓ rät.

Om alltså kvadraten på en sida av en triangel är lika med kvadraterna på resterande två sidor, är vinkeln omgiven av triangelns resterande två sidor rät. Vilket skulle visas.