Diofantos

En av de sista

Personen

Diofantos var en av de sista stora grekiska matematikerna. Han verkade troligen i Alexandria omkring 250 e.Kr., men i övrigt är föga känt om honom. Ett epigram i Antologia PalatinaA A) Antologia palatina är en samling poem, mestadels epigram, omfattande såväl den antika som den byzantinska perioden. beskriver ett problem, vilket lär ha funnits på Diofantos gravsten, ur vilket man kan utröna Diofantos ålder vid dennes död.

Οὕτός τοι Διόφαντον ἔχει τάφος· ἆ μέγα θαῦμα·
καὶ τάφος ἐκ τέχνης μέτρα βίοιο λέγει.
ἕκτην κουρίζειν βιότου θεὸς ὤπασε μοίρην·
δωδεκάτην δ' ἐπιθείς, μῆλα πόρεν χνοάειν·
τῇ δ' ἄφ' ἐφ' ἐβδομάτῃ τὸ γαμήλιον ἥψατο φέγγος,
ἐκ δὲ γάμων πέμπτῳ παῖδ' ἐπένευσεν ἔτει.
αἰαῖ, τηλύγετον δειλὸν τέκος, ἥμισυ πατρὸς
τοῦδε καὶ ἡ κρυερὸς μέτρον ἑλὼν βιότου.
πένθος δ' αὖ πισύρεσσι παρηγορέων ἐνιαυτοῖς
τῇδε πόσου σοφίῃ τέρμ' ἐπέρησε βίου.[1]

Denna grav håller dig Diofantos. Ah, stora under! Och graven berättar enligt vetenskapen livets mått. En sjättedel av livet förlänade gud honom att vara barn; En tolftedel tillagd, att bära fjun på kinderna. Därefter en sjundedel till och han bröllopets fackla tände. Femte året efter bröllopet han skänkte honom ett barn. Ack, enda olyckliga barn, halva faderns livsmått uppnått, bränns dettas kalla lik. Han sorgen ytterligare fyra tröstande år räknade med denna kunskap, när han livets slut nådde.

Med modern notation kan problemet formuleras på följande sätt: 1 6 x + 1 12 x + 1 7 x + 5 + 1 2 x + 4 = x och därpå inses lösningen lätt för alla oss Diofantos' ättlingar.

Verket

Arithmetica

Diofantos skrev Arithmetica i tretton böcker. Böckerna I - III och VIII - X (numrerade I - VI i tidigare utgåvor) finns bevarade på grekiska[2], medan böckerna IV - VII upptäcktes ha bevarats på arabiska[3] under 1970-talet.

Diofantos utvecklade för sitt arbete, som en av de första, en enklare symbolisk notation. Med hjälp av denna kunde han effektivare formulera sina satser. Notationen går att undersöka med hjälp av ett verktyg på en sida här intill.

Man kan inte förbigå detta verk, utan att nämna den marginalanteckning som Pierre de FermatB B) Pierre de Fermat, 1601 - 1665, fransk domare och amatör­matematiker. gjorde till problem 8 i bok II. Denna anteckning kom att bli känd som Fermats sista satsC C) Enligt denna sats saknar den diofantiska ekvationen x n + y n = z n lösningar för n > 2. och har fått vänta på sin lösning till våra dagar.

Glimstedts översättning

Av Diofantos' stora verk Arithmetica finns första boken algebraiskt översatt till svenska. Översättningen är gjord av Peter Glimstedt, i dennes avhandling från 1855. Glimstedts avhandling. är på 22 sidor och är tillägnad Professor Carl Johan D:son Hill i LundD D) Carl Johan D:son Hill, 1793 - 1875, till en början fysiker och astronom, men senare professor i matematik..

Glimstedt stödjer sig i sitt förord på bl.a. MontuclaE E) Montucla, Jean-Étienne, 1725 - 1799, var en fransk matematiker, som gav ut ett arbete inom matematikens historia, Histoire des mathématiques (2 band, 1758). och nämner även, att epigrammet ovan återfinns mot slutet av Arithmeticas femte bok som problem nummer 19. Av detta kan man sluta sig till, att Glimstedt använt BachetsF F) Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, 1581 - 1638, fransk matematiker, poet och översättare. utgåva[4] för sin översättning. 1670 års utgåva av Bachets översättning innehåller i tryckt form Fermats ovan nämnda anteckning: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Ett exempel

Som ett exempel på Glimstedts översättning, följer här första problemet tillsammans med den grekiska texten:

α.

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ.

Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ ¯ , ἡ δὲ ὑπεροχὴ Μ ° μ ¯ . εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς.

Τετάχθω ὁ ἐλάσσων ς α ¯ · ὁ ἄρα μείζων ἔσται ς α ¯ Μ ° μ ¯ · συναμφότεροι ἄρα γίνονται ς β ¯ Μ ° μ ¯ · δέδονται δὲ Μ ° ρ ¯ .

Μ °  ἄρα  ρ ¯ ἴσαι εἰσὶν ς β ¯ Μ ° μ ¯ .

καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρ ¯ , Μ ° μ ¯ , [καὶ ἀπὸ τῶν β ¯ ἀριθμῶν καὶ τῶν μ ¯ μονάδων ὁμοίως μονάδας μ ¯ ·] λοιποὶ ς β ¯ ἴσοι Μ ° ξ ¯ . ἕκαστος ἄρα γίνε­ται ς , Μ ° λ ¯ .

ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ἐάσσων λ ¯ , ὁ δὲ μείζων ο ¯ , καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.[5]

1.

Att dela ett gifvet tal a i tvenne, hvars skilnad ð är given.

Sätt det mindre taletx, det större är då = x + ð, man har då x + x + ð = a, och således

det mindre x = ½ (a - ð)

det större = ½ (a + ð)

Ex. a = 100, ð = 40, de sökta talen: 30 och 70.

Anm. I stället för det af Diophantus för det obekanta talet använda tecknet ς brukas här den vanliga beteckningen x.

Om Polygontal

Av detta verk, vilket Diofantos själv refererar till, har ett fragment bevarats, men det bryts av mitt i åttonde satsen[6]. Möjligen rör det sig om en i övrigt förlorad del av Arithmetica.