Ptolemaios' kordaberäkningar

ιʹ. Περὶ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν.

Πρὸς μὲν οὖν τὴν ἐξ ἑτοίμου χρῆσιν κανονικήν H.31 10τινα μετὰ ταῦτα ἔκθεσιν ποιησόμεθα τῆς πηλικότητος αὐτῶν τὴν μὲν περίμετρου εἰς $\overline{\mathrm{\tau \xi }}$ τμήματα διελόντες, παρατιθέντες δὲ τὰς ὑπὸ τὰς καθ' ἡμιμοίριον παραυξή­σεις τῶν περιφερειῶν ὑποτεινομένας εὐθείας, τουτέστι πόσων εἰσὶν τμημάτων ὡς τῆς διαμέτρου διὰ τὸ ἐξ 15αὐτῶν τῶν ἐπιλογισμῶν φανησόμενον ἐν τοῖς ἀριθμοῖς εὔχρηστον εἰς $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$ τμήματα διῃρημένης. πρότερον δὲ δείξομεν, πῶς ἂν ὡς ἔνι μάλιστα δι' ὀλίγων καὶ τῶν αὐτῶν θεωρημάτων εὐμεθόδευτον καὶ ταχεῖαν τὴν ἐπιβολὴν τὴν πρὸς τὰς πηλικότητας αὐτῶν ποιοίμεθα, 20ὅπως μὴ μόνον ἐκτεθειμένα τὰ μεγέθη τῶν εὐθειῶν

H.32ἔχωμεν ἀνεπιστάτως, ἀλλὰ καὶ διὰ τῆς ἐκ τῶν γραμμῶν μεθοδικῆς αὐτῶν συστάσεως τὸν ἔλεγχον ἐξ εὐχεροῦς μεταχειριξώμεθα. καθόλου μέντοι χρησόμεθα ταῖς τῶν ἀριθμῶν ἐφόδοις κατὰ τὸν τῆς ἑξηκοντάδος τρόπον 5διὰ τὸ δύσχρηστον τῶν μοριασμῶν ἔτι τε τοῖς πολυ­πλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἀκολουθήσομεν τοῦ συνεγγί­ξοντος ἀεὶ καταστοχαξόμενοι, καὶ καθ' ὅσον ἂν τὸ παρα­λειπόμενον μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρῃ τοῦ πρὸς αἴσθη­σιν ἀκριβοῦς.

Ἔστω 10δὴ πρῶτον ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέ­τρον τῆς ΑΔΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΔΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ 15ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΖΔ δεκαγώνου ἐστὶν πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ πενταγώνου. ἐπεὶ γὰρ 20εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΔΓ τέτμηνται δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ πρόσκειταί τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΔΖ, τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώ-

H.33νιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳEuc.Prop.2.6, τουέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΖΕ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν 5ΕΔ καὶ ΔΒ τετράγωναEuc.Prop.1.47· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχάμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ, ΔΒ τετραγώνοις. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ 10ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ της ΔΓ· ἡ ΖΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ ΔEuc.Def.6.3. ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ ἑξαγώνου καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένοων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον 15λόγον τέμνονταιEuc.Prop.13.9, ἡ δὲ ΓΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιέχει πλευράνEuc.Prop.4.15cor., ἡ ΔΖ ἄρα ἐστὶν ἴση τῇ τοῦ δεκαγώνου πλεθρᾷ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ τοῦ πενταγώ­νου πλευρὰ δύναται τὴν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ 20δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένωνEuc.Prop.13.10, τοῦ δὲ ΒΔΖ ὀρηογωνίου τὸ ἀπὸ

H.34τῆς ΒΖ τετράγωνου ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἥτις ἐστὶν ἑξαγώνου πλευρά, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖEuc.Prop.1.47, ἥτισ ἐστὶν δεκαγώνου πλευρά, ἡ ΒΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.

ἐπεὶ 5οὖν, ὡς ἔφην, ὑποτιθέμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τμημάτων $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$, γίγνεται διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν ΔΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων $\overline{\lambda }$ καὶ τὸ ἀπ' αὐτῆς $\overline{ϡ}$, ἡ δὲ ΒΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τμημάτων $\overline{\xi }$ καὶ τὸ ἀπὸ αὐτῆς $\text{͵}\overline{\mathrm{\gamma \chi }}$, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΒ, 10τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τῶν ἐπὶ τὸ αὐτὸ $\text{͵}\overline{\mathrm{\delta \phi }}$· μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΖ τμημάτων $\overline{\mathrm{\xi \zeta }}\overline{\delta }\overline{\mathrm{\nu \epsilon }}$ ἔγγιστα, καὶ λοιπὴ ἡ ΔΖ τῶν αὐτῶν $\overline{\mathrm{\lambda \zeta }}\overline{\delta }\overline{\mathrm{\nu \epsilon }}$. ἡ ἄρα τοῦ δεκαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ περιφέρειαν τοιούτων $\overline{\mathrm{\lambda ϛ}}$, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος $\overline{\mathrm{\tau \xi }}$, τοιούτων ἔσται $\overline{\mathrm{\lambda \zeta }}\overline{\delta }\overline{\mathrm{\nu \epsilon }}$, οἵων ἡ 15διάμετρος $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$. πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΔΖ τμημάτων ἐστὶ $\overline{\mathrm{\lambda \zeta }}\overline{\delta }\overline{\mathrm{\nu \epsilon }}$, τὸ δὲ ἀπὸ αὐτῆς $\text{͵}\overline{\mathrm{\alpha \tau o\epsilon }}\overline{\delta }\overline{\mathrm{\iota \epsilon }}$, ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῶν αὐτῶν $\text{͵}\overline{\mathrm{\gamma \chi }}$, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον $\text{͵}\overline{\mathrm{\delta ϡo\epsilon }}\overline{\delta }\overline{\mathrm{\iota \epsilon }}$, μήκει ἄρα ἔσται

H.35ἡ ΒΖ τμημάτων $\overline{o}\overline{\mathrm{\lambda \beta }}\overline{\gamma }$ ἔγγιστα. καὶ ἡ τοῦ πεντα­γώνου ἄρα πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας $\overline{\mathrm{o\beta }}$, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος $\overline{\mathrm{\tau \xi }}$, τοιούτων ἐστὶν $\overline{o}\overline{\mathrm{\lambda \beta }}\overline{\gamma }$, οἵων ἡ διάμετρος $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$. φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι καὶ ἡ τοῦ 5ἑξαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας $\overline{\xi }$, καὶ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν $\overline{\xi }$. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ μὲν τοῦ τετραγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας $\overline{ϟ}$, δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ 10μοίρας $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$, δυνάμει τῆς αὐτῆς ἐστιν τριπλασίων, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν $\text{͵}\overline{\mathrm{\gamma \chi }}$, συναχθή­σεται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς $\text{͵}\overline{\mathrm{\zeta \sigma }}$, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τοῦ τριγώνου $\stackrel{\alpha }{{\rm M}}\overline{\omega }$. ὥστε καὶ μήκει ἡ μὲν τὰς $\overline{ϟ}$ μοίρας ὑποτείνουσα εὐθεῖα τοιούτων ἔσται 15$\overline{\mathrm{\pi \delta }}\overline{\mathrm{\nu \alpha }}\overline{\iota }$ ἔγγιστα, οἷων ἡ διάμετρος $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$, ἡ δὲ τὰς $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$ τῶν αὐτῶν $\overline{\mathrm{\rho \gamma }}\overline{\mathrm{\nu \epsilon }}\overline{\mathrm{\kappa \gamma }}$.

αἵδε μὲν οὕτως ἡμῖν ἐκ προχείρου καὶ καθ' αὐτὰς εἰλήφθωσαν, καὶ ἔσται φανερὸν ἐντεῦθεν, ὅτι τῶν διδομένων εὐθειῶν ἐξ εὐχεροῦς δίδονται καὶ αἱ ὑπὸ 20τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἠμικύκλιον περιφερείας ὑποτεί-

H.36νουσαι διὰ τὸ τὰ ἀπ' αὐτῶν συντιθέμενα ποιεῖν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον· οἷον, ἐπειδὴ ἡ ὑπὸ τὰς $\overline{\mathrm{\lambda ϛ}}$ μοίρας εὐθεῖα τμημάτων ἐδείχθη $\overline{\mathrm{\lambda \zeta }}\overline{\delta }\overline{\mathrm{\nu \epsilon }}$ καὶ τὸ ἀπ'αὐτῆς $\text{͵}\overline{\mathrm{\alpha \tau o\epsilon }}\overline{\delta }\overline{\mathrm{\iota \epsilon }}$, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου 5τμημάτων ἐστὶν $\stackrel{\alpha }{{\rm M}}\text{͵}\overline{\mathrm{\delta \upsilon }}$, ἔσται καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον μοίρας $\overline{\mathrm{\rho \mu \delta }}$ τῶν λοιπῶν $\stackrel{\alpha }{{\rm M}}\text{͵}\overline{\mathrm{\gamma \kappa \delta }}\overline{\mathrm{\nu \epsilon }}\overline{\mathrm{\mu \epsilon }}$, αὐτὴ δὲ μήκει τῶν αὐτῶν $\overline{\mathrm{\rho \iota \delta }}\overline{\zeta }\overline{\mathrm{\lambda \zeta }}$ ἔγγιστα, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως.

ὃν δὲ τρόπον ἀπὸ τούτων καὶ αἱ λοιπαὶ τῶν κατὰ 10μέρος δοθήσονται, δείξομεν ἐφεξῆς προεκθέμενοι λημ­μάτιον εὔχρηστον πάνυ πρὸς τὴν παροῦσαν πραγ­ματείαν.

ἔστω γὰρ κύκλος ἐγγεγσαμμένον ἔχων τετράπλευρον τυχὸν τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ καί ΒΔ. 15δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ. κείσθω γὰρ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΕ. ἐὰν οὗν κοινὴν προσθῶμεν τὴν ὑπὸ ΕΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ 20γωνία ἵση τῇ ὸ ΕΒΓ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ

H.37τῇ ὑπὸ ΒΓΕ ἴσηEuc.Prop.3.21· τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνουσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῷ. ὥστε καὶ ἀνάλογόν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς 5τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑEuc.Prop.6.4· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶιν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕEuc.Prop.6.16. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία 10τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ, ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΔΓ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑ, ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΑΕ. ἐδείχθη 15δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ, ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ· καὶ ὅλονEuc.Prop.2.1 ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

τούτου προεκτεθέντος ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓΔ 20ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α δύο διήχθω-

H.38σαν αἱ ΑΒ, ΑΓ, καὶ ἔστω ἑκατέρα αὐτῶν δοθεῖσα τῷ μεγέθει, οἵων ἡ διάμετρος δοθεῖσα $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι καὶ αὕτη δέδοται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΓΔ· δεδομέναι 5ἄρα εἰσὶν δηλονότι καὶ αὗται διὰ τὸ λείπειν ἐκείνων εἰς τὸ ἡμικύκλιον. ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἑστιν τὸ ΑΒΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ μετὰ τοῦ 10ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ. καὶ ἐστιν τό τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ δοθὲν καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ δοθέν ἐστιν. καί ἐστιν ἡ ΑΔ διάμετρος· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΓ εὑθεῖα. 15καὶ φανερὸν ἡμῖν γέγονεν, ὅτι, ἐὰν δοθῶσιν δύο περι­φέρειαι καὶ αἱ ὑπ' αὑτὰς εὐθεῖαι, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ τὴν ὑπεροχὴν τῶν δύο περιφερειῶν ὑποτείνουσα εὐθεῖα. δῆλον δέ, ὅτι διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος ἄλλας τε οὐκ ὁλίγας εὐθείας ἐγγράψομεν ἀπὸ τῶν ἐν ταῖς καθ' αὑτὰς

H.39δεδομένων ὑπεροχῶν καὶ δὴ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς δώδεκα μοίρας, ἐπειδήπερ ἔχομεν τήν τε ὑπὸ τὰς $\overline{\xi }$ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς $\overline{\mathrm{o\beta }}$.

πάλιν προκείσθω δοθείσης τινὸς εὐθείας ἐν κύκλῳ τὴν 5ὑπὸ τὸ ἥμισυ τῆς ὑποτεινομένης περιφερείας εὐθεῖαν εὐρεῖν. καὶ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ καὶ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια δίχα τε­τμήσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπε­10ζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΔ, ΒΔ, ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡΔΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ ἡμίσειά ἐστι τῆς τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ ὑπερ­οχῆς. κείσθω γὰρ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπε­15ζεύχθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΑΔ δύο ταῖς ΑΕ, ΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΔ ἴση ἐστίνEuc.Prop.3.27· καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΔ βάσει τῇ ΔΕ ἴση ἐστίνEuc.Prop.1.420. ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ η ἐστίν· καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελοῦς ὄντος τριγώ­νου τοῦ ΔΕΓ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος

H.40ἦκται ἡ ΔΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΓEuc.Prop.1.26. ἀλλ' ἡ ΕΓ ὅλη ἡ ὑπεροχή ἐστιν τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ εὐθειῶν· ἡ ἄρα ΖΓ ἡμίσειά ἐστιν τῆς τῶν αὐτῶν ὑπεροχῆς. ὥστε, ἐπεὶ τῆς ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρειαν εὐθείας 5ὑποκειμένης αὐτόθεν δέδοται καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΑΒ, δοθήσεται καὶ ἡ ΖΓ ἡμίσεια οὖσα τῆς τῶν ΑΓ καὶ ΑΒ ὑπεροχῆς. ἀλλ' ἐπεὶ ἐν ὀρθο­γωνίῳ τῷ ΑΓΔ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΔΖ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΔΓ ὀρθογώνιον τῷ ΔΓΖEuc.Prop.6.8, 10καὶ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς ΓΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΖ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον. ὥστε καὶ μήκει ἡ ΓΔ εὐθεῖα δοθήσεται 15τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς ΒΓ περιφερείας.

καὶ διὰ τούτου δὴ πάλιν τοῦ θεωρήματος ἄλλαι τε ληφθήσονται πλεῖσται κατὰ τὰς ἡμισείας τῶν προεκ­τεθειμένων, καὶ δὴ καὶ ἀπὸ τῆς τὰς $\overline{\mathrm{\iota \beta }}$ μοίρας ὑποτει­νοῦσης εὐθείας ἥ τε ὑπὸ τὰς $\overline{ϛ}$ καὶ ἡ ὑπὸ τὰς $\overline{\gamma }$ καὶ 20ἡ ὑπὸ τὴν μίαν ἥμισυ καὶ ἡ ὑπὸ τὸ ἥμισυ τέταρτον τῆς μιᾶς μοίρας. εὑρίσκομεν δὲ ἐκ τῶν ἐπιλογισμῶν

H.41τὴν μὲν ὑπὸ τὴν ἥμισυ μοῖραν τοιούτων $\overline{\alpha }\overline{\mathrm{\lambda \delta }}\overline{\mathrm{\iota \epsilon }}$ ἔγγιστα, οἷων ἐστὶν ἡ διάμετρος $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$, τὴν δὲ ὑπὸ τὸ $𐅵\text{ʹ}\delta \text{ʹ}$ τῶν αὐτῶν $o\overline{\mathrm{\mu \zeta }}\overline{\eta }$.

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ διάμετρον μὲν 5τὴν ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀπειλήφθω­σαν δύο περιφέρειαι δοθεῖσαι κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ ὑπ' αὐτὰς εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ δεδομέναι. λέγω, 10ὅτι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΓ, δοθήσεται καὶ αὐτη. διήχθω γὰρ διὰ τοῦ Β διά­μετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, 15ΔΓ, ΓΕ, ΔΕ· δῆλον δὴ αὐτόθεν, ὅτι διὰ μὲν τὴν ΒΓ δοθήσεται καὶ ἡ ΓΕ, διὰ δὲ τὴν ΑΒ δοθή­σεται ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΔΕ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΒΓΔΕ, καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ, ΓΕ, τὸ ὑπὸ τῶν 20διηγμένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν συναμ­φοτέροις τοῖς ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον· ὥστε, ἐπεὶ δεδο­μένου τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΕ δέδοται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΔΕ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΓΔ. δέ-

H.42δοται δὲ καὶ ἡ Β Ε διάμετρος, καὶ λοιπὴ ἡ ΓΔ ἔσται δεδομένη, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύ­κλιον ἡ ΓΑ· ὥστε, ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπ' αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθήσεται καὶ ἡ συναμφοτέρας 5τὰς περιφερείας κατὰ σύνθεσιν ὑποτείνουσα εὐθεῖα διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος.

φανερὸν δὲ, ὅτι συντιθέντες ἀεὶ μετὰ τῶν προεκ­τεθειμένων πασῶν τὴν ὑπὸ τὴν $\overline{\alpha }𐅵\text{ʹ}$ μοῖραν καὶ τὰς συναπτομένας ἐπιλογιζόμενοι πάσας ἁπλῶς ἐγγράψομεν, 10ὅσαι δὶς γινόμεναι τρίτον μέρος ἕξουσιν, καὶ μόναι ἔτι περιλειφθήσονται αἱ μεταξὺ τῶν ἀνὰ $\overline{\alpha }𐅵\text{ʹ}$ μοῖραν διαστημάτων δύο καθ' ἕκαστον ἐσόμεναι, ἐπειδήπερ καθ' ἡμιμοίριον ποιούμεθα τὴν ἐγγραφήν. ὥστε, ἐὰν τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον εὐθεῖαν εὕρωμεν, αὕτη κατά 15τε τὴν σύνθεσιν καὶ τὴν ὑπεροχὴν τὴν πρὸς τὰς τὰ διαστήματα περιεχούσας καὶ δεδομένας εὐθείας καὶ τὰς λοιπὰς τὰς μεταξὺ πάσας ἡμῖν συναναπληρώσει. ἐπεὶ δὲ δοθείσης τινὸς εὐθείας ὡς τῆς ὑπὸ τὴν $\overline{\alpha }𐅵\text{ʹ}$ μοῖραν ἡ τὸ τρίτον τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσα 20διὰ τῶν γραμμῶν οὐ δίδοται πως· εἰ δέ γε δυνατὸν ἦν, εἴχομεν ἄν αὐτόθεν καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον·

H.43πρότερον μεθοδεύσομεν τὴν ὑπὸ τὴν $\overline{\alpha }$ μοῖραν ἀπὸ τε τῆς ὑπὸ τὴν $\overline{\alpha }𐅵\text{ʹ}$ μοῖραν καὶ τῆς ὑπὸ $𐅵\text{ʹ}\delta \text{ʹ}$ ὑποθέμενοι λημμάτιον, ὅ, κἂν μὴ πρὸς τὸ καθόλου δύνηται τὰς πηλικότητας ὁρίζειν, ἐπί γε τῶν οὕτως ἐλαχίστων τὸ 5πρὸς τὰς ὡρισμένας ἀπαράλλακτον δύναιτ' ἂν συντηρεῖν.

λέγω γάρ, ὅτι, ἐὰν ἐν κύκλῳ διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι, ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος εὐθείας περιφέρεια πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονοσ.

ἔστω 10γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσ­σονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ 15περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περο­φέρειαν. τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἤ τε ΑΕΓ καὶ ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΓΔ. 20καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΕΔ εὐθείας, ἴση μέν ἐστιν ἡ ΓΔ εὐθεῖα τῇ

H.44ΑΔEuc.Prop.3.26Euc.Prop.3.29, μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΕΑEuc.Prop.6.3. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΕΓ ἡ ΔΖ. ἐπεὶ τοίνυν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῆς ΕΔ, ἡ δὲ ΕΔ τῆς ΔΖ, ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν 5τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΕ γραφόμενος κύκλος τὴν μὲν ΑΔ τεμεῖ, ὑπερπεδεῖται δὲ τὴν ΔΖ. γεγρά­φθω δὴ ὁ ΗΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΖΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΔΕΘ τομεὺς μείζων ἐστὶν τοῦ ΔΕΖ τριγώνου, τὸ δὲ ΔΕΑ τρίγωνον μεῖζον τοῦ ΔΕΗ τομέως, τὸ 10ἄρα ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγωνον ἐλάσ­σονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τόν ΔΕΗ. ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγω­νον, οὕτως ἡ ΕΖ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑEuc.Prop.6.1, ὡς δὲ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα, οὕτως 15 ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ· ἡ ἄρα ΖΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. καὶ συνθέντι ἄρα ἡ ΖΑ εὐθεῖα πρὸος τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΑ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΔΕ· καὶ 20τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ἡ ΓΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνία πρὸς

H.45τὴν ὑπὸ ΕΔΑ· καὶ διελόντι ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. ἀλλα' ὡς μὲν ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑEuc.Prop.6.3, ὡς δὲ 5ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΔΑ, οὕτως ἡ ΓΒ περι­φέρεια πρὸς τὴν ΒΑEuc.Prop.6.33· ἡ ΓΒ ἄρα εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ περρι­φέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν.

τούτου δὴ οὖν ὑποκειμένου 10ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ δι­ήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΑΓ, ὑποκείσθω δὲ πρῶτον ἡ μὲν ΑΒ ὑπο­τείνουσα μιᾶς μοίρας $𐅵\text{ʹ}\delta \text{ʹ}$, ἡ 15δὲ ΑΓ μοῖραν $\overline{\alpha }$. ἐπεὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ δὲ ΑΓ περιφέρεια ἑπίτριτός ἐστιν τῆς ΑΒ, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. 20ἀλλὰ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐδείχθη τοιούτων $o\overline{\mathrm{\mu \zeta }}\overline{\eta }$, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$· ἡ ἄρα ΓΑ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶν τῶν αὐτῶν $\overline{\alpha }\overline{\beta }\overline{\nu }$· ταῦτα γὰρ ἐπίτριτά ἐστιν ἔγγιστα τῶν $o\overline{\mathrm{\mu \zeta }}\overline{\eta }$.

Πάλιν H.46ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα ὑποκείσθω ὑποτείνουσα μοῖραν $\overline{\alpha }$, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν $\overline{\alpha }𐅵\text{ʹ}$. κατὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΑΒ ἐστιν ἡμιολία, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ 5ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος. ἀλλὰ τὴν ΑΓ ἀπεδείξαμεν τοιούτων οὖσαν $\overline{\alpha }\overline{\mathrm{\lambda \delta }}\overline{\mathrm{\iota \epsilon }}$, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$· ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τῶν αὐτῶν $\overline{\alpha }\overline{\beta }\overline{\nu }$· τούτων γὰρ ἡμιόλιά ἐστιν τὰ προκείμενα $\overline{\alpha }\overline{\mathrm{\lambda \delta }}\overline{\mathrm{\iota \epsilon }}$. ὥστε, ἐπεὶ τῶν αὐτων ἐδείχθη καὶ μείζων καὶ ἐλάσσων 10ἡ τὴν μίαν μοῖραν ὑποτείνουσα εὐθεῖα, καὶ ταύτην δηλονότι ἕξομεν τοιούτων $\overline{\alpha }\overline{\beta }\overline{\nu }$ οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$, καὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον, ἥτις εὑρίσκεται τῶν αὐτῶν $o\overline{\mathrm{\lambda \alpha }}\overline{\mathrm{\kappa \epsilon }}$ ἔγγιστα. καὶ συναναπληρωθήσεται τὰ λοιπά, ὡς ἔφαμεν, 15διαστήματα ἐκ μὲν τῆς πρὸς τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν λόγου ἕνεκεν ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου διαστήματος συν­θέσεως τοῦ ἡμιμοιρίου δεικνυμένης τῆς ὑπὸ τὰς $\overline{\beta }$ μοίρας, ἐκ δὲ τῆς ὑπεροχῆς τῆς πρὸς τὰς $\overline{\gamma }$ μοίρας καὶ τῆς ὑπὸ τὰς $\overline{\beta }𐅵\text{ʹ}$ διδομένης· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ 20τῶν λοιπῶν.

ἡ μὲν οὖν πραγματεία τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν οὕτως ἂν οἶμαι ῥᾷστα μεταχειρισθείη. ἵνα δέ, ὡς ἔφην,

H.47ἐφ' ἑκάστης τῶν χρειῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς πηλικότητας ἔχωμεν τῶν εὐθειῶν ἐκκειμένας, κανόνια ὑποτάξομεν ἀνὰ στίχους $\overline{\mathrm{\mu \epsilon }}$ διὰ τὸ σύμμετρον, ὧν τὰ μὲν πρῶτα μέρη περιέξει τὰς πηλικότητας τῶν περιφερειῶν καθ' 5ἡμιμοίριον παρηυξημένας, τὰ δὲ δεύτερα τὰς τῶν παρακειμένων ταῖς περιφερείαις εὐθειῶν πηλικότητας ὡς τῆς διαμέτρου τῶν $\overline{\mathrm{\rho \kappa }}$ τμημάτων ὑποκειμένης, τὰ δὲ τρίτα τὸ $\lambda \text{ʹ}$ μέρος τῆς καθ' ἕκαστον ἡμιμοίριον τῶν εὐθειῶν παραυξήσεως, ἵνα ἔχοντες καὶ τὴν τοῦ ἑνὸς 10ἑξηκοστοῦ μέσην ἐπιβολὴν ἀδιαφοροῦσαν πρὸς αἴσθησιν τῆς ἀκριβοῦς καὶ τῶν μεταξὺ τοῦ ἡμίσους μερῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς ἐπιβαλλούσας πηλικότητας ἐπιλογίζεσθαι δυνώμεθα. εὐκατανόητον δʹ, ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν καὶ προκειμένων θεωρημάτον, κἂν ἐν δισταγμῷ γενώμεθα 15γραφικῆς ἁμαρτίας περί τινα τῶν ἐν τῷ κανονίῳ παρα­κειμένων εὐθειῶν, ῥᾳδίαν ποιησόμεθα τήν τε ἐξέτασιν καὶ τὴν ἐπανόρθωσιν ἤτοι ἀπὸ τῆς ὑπὸ τὴν διπλασίονα τῆς ἐπιζητουμένης ἢ τῆς πρὸς ἄλλας τινὰς τῶν δεδο­μένων ὑπεροχῆς ἢ τῆς τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκ­20λιον περιφέρειαν ὑποτεινούσης εὐθείας. καὶ ἐστιν ἡ τοῦ κανονίου καταγραφὴ τοιαύτη·^[2]