Ptolemaios' kordaberäkningar

apparatknapp

ιʹ. Περὶ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν.

Πρὸς μὲν οὖν τὴν ἐξ ἑτοίμου χρῆσιν κανονικήν [H.31] 10τινα μετὰ ταῦτα ἔκθεσιν ποιησόμεθα τῆς πηλικότητος αὐτῶν τὴν μὲν περίμετρου εἰς τξ ¯ τμήματα διελόντες, παρατιθέντες δὲ τὰς ὑπὸ τὰς καθ' ἡμιμοίριον παραυξή­σεις τῶν περιφερειῶν ὑποτεινομένας εὐθείας, τουτέστι πόσων εἰσὶν τμημάτων ὡς τῆς διαμέτρου διὰ τὸ ἐξ 15αὐτῶν τῶν ἐπιλογισμῶν φανησόμενον ἐν τοῖς ἀριθμοῖς εὔχρηστον εἰς ρκ ¯ τμήματα διῃρημένης. πρότερον δὲ δείξομεν, πῶς ἂν ὡς ἔνι μάλιστα δι' ὀλίγων καὶ τῶν αὐτῶν θεωρημάτων εὐμεθόδευτον καὶ ταχεῖαν τὴν ἐπιβολὴν τὴν πρὸς τὰς πηλικότητας αὐτῶν ποιοίμεθα, 20ὅπως μὴ μόνον ἐκτεθειμένα τὰ μεγέθη τῶν εὐθειῶν

7 ιʹ] om. A C D τῆς πηλικότγτος] om. D τῷ] om. D 8 εὐθειῶν ] εὐθειῶν καὶ ἔκθεσις κανονική D 12 τὰς ὑπὸ τάς] scripsi, τάς A B C D ἡμιμοιρίαν D παραυξήσεις] mut. in παραύξησιν D³ Deinde add. καὶ τάς B³ 13 ὑποτεινομένας] corr. ex ὑποτινομένας A τουτέστιν C, comp. B 14 πόσων] ὅσων B C εἰσί D, comp. B 17 μάλιστα] -ι- et -τ- e corr. D³ 18 εὐμεθόδευτον] -μ- et -δ- e corr. D³ 19 τήν] om. D πηλικότητας] -ας in ras. D 20 ὅπως] -π- in ras. D³

[H.32]ἔχωμεν ἀνεπιστάτως, ἀλλὰ καὶ διὰ τῆς ἐκ τῶν γραμμῶν μεθοδικῆς αὐτῶν συστάσεως τὸν ἔλεγχον ἐξ εὐχεροῦς μεταχειριξώμεθα. καθόλου μέντοι χρησόμεθα ταῖς τῶν ἀριθμῶν ἐφόδοις κατὰ τὸν τῆς ἑξηκοντάδος τρόπον 5διὰ τὸ δύσχρηστον τῶν μοριασμῶν ἔτι τε τοῖς πολυ­πλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἀκολουθήσομεν τοῦ συνεγγί­ξοντος ἀεὶ καταστοχαξόμενοι, καὶ καθ' ὅσον ἂν τὸ παρα­λειπόμενον μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρῃ τοῦ πρὸς αἴσθη­σιν ἀκριβοῦς.

Ἔστω 10δὴ πρῶτον ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέ­τρον τῆς ΑΔΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς γωνίας Objects are not supported by your browser! ἤχθω ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΔΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ 15ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΖΔ δεκαγώνου ἐστὶν πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ πενταγώνου. ἐπεὶ γὰρ 20εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΔΓ τέτμηνται δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ πρόσκειταί τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΔΖ, τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώ-

1 ἔχωμεν] ἔχω- e corr. C³ τῶν] τ- e corr. D 3 μεταχειριζώμεθα] μεταχειριζόμεθα B, corr. in μεταχειριζοίμεθα D³ χρησόμεθα] corr. ex χρησώμεθα C² 5 ἔτι-] post ἔ- ras. 1 litt. D τε] τ- ins. D³ 8 διαφέρει C 10 δή] eras. D 11 ΑΔΓ] e corr. D Δ(pr.)] corr. ex A D³ 13 διήχθω D 15 ἐπεζεύχθω ἡ] mut. in ἐπεζευχθείσης τῆς B³; ἐπεζευχθείσης τῆς, -ει- e corr., D καὶ] om. D, eras. B 16 αὐτῇ] αὐ|αυτῆς A, αὕτηι corr. in ταύτηι C³ καὶ - 17 ΖΒ] supra scr. D² 16 ἐπεζεύχθω] corr. ex ἐπιζεύχθω C² 17 ΖΒ] Ζ in ras. A λέγω] seq. ras. 1 litt. A ἡ] in ras. D³ 18 δεκαγώνου] e corr. D³ 19 ΒΖ] Β- in ras. BC³, Ζ Β D 21 Ε] seq. ras. 1 litt. C 22 ΓΖ] Γ in ras. D³ ὀρθοιγώνιον A

[H.33]νιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳEuc.Prop.2.6, τουέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΖΕ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν 5ΕΔ καὶ ΔΒ τετράγωναEuc.Prop.1.47· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχάμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ, ΔΒ τετραγώνοις. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ 10ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ της ΔΓ· ἡ ΖΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ ΔEuc.Def.6.3. ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ ἑξαγώνου καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένοων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον 15λόγον τέμνονταιEuc.Prop.13.9, ἡ δὲ ΓΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιέχει πλευράνEuc.Prop.4.15cor., ἡ ΔΖ ἄρα ἐστὶν ἴση τῇ τοῦ δεκαγώνου πλεθρᾷ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ τοῦ πενταγώ­νου πλευρὰ δύναται τὴν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ 20δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένωνEuc.Prop.13.10, τοῦ δὲ ΒΔΖ ὀρηογωνίου τὸ ἀπὸ

1 μετὰ τοῦ ἀ-] in ras. C ΕΔ] ΔΕ D ἐστίν] ἐστί B, om. D 2 τῷ - τουτέστιν] ins. Β³, om. C τουτέστι B 3 τῷ] corr. ex τό C³ ἐπεί] mut. in ἐπειδήπερ D³ ἡ ΕΒ] supra scr. D³ 4 τῷ] corr. ex τό C³ ἐστίν D τά] corr. ex τό C³ 5 τετράγωνα] comp. supra scr. D³ 7 ΔΕ] ΕΔ D ἐστί B 8 ΔΒ] καὶ ΔΒ D τετραγώνοις. καί] supra scr. D³ 9 τερταγώνου] ins. D³ τό] seq. ras. 1 litt. D ὐπό] ὑ- e corr. D³ τῶν] corr. ex τῶ C ΖΔ] Ζ ins. C 10 τῷ(pr.)] corr. ex τό B²C³ 11 ΖΓ] corr. ex ΖΙ C² ἄρα] ἄρα εὐθεῖα D 12 Δ] Δ. καὶ ἐστιν τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΔΓ D ἡ] supra scr. A², ins. B³ 13 εἰς] e corr. C², corr ex ἐκ B² 14 ἐγγραφομένοων] pr. γ supra scr. Α² 17 ἴση ἐστίν D

[H.34]τῆς ΒΖ τετράγωνου ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἥτις ἐστὶν ἑξαγώνου πλευρά, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖEuc.Prop.1.47, ἥτισ ἐστὶν δεκαγώνου πλευρά, ἡ ΒΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.

ἐπεὶ 5οὖν, ὡς ἔφην, ὑποτιθέμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τμημάτων ρκ ¯ , γίγνεται διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν ΔΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων λ ¯ καὶ τὸ ἀπ' αὐτῆς ϡ ¯ , ἡ δὲ ΒΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τμημάτων ξ ¯ καὶ τὸ ἀπὸ αὐτῆς ͵ γχ ¯ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΒ, 10τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τῶν ἐπὶ τὸ αὐτὸ ͵ δφ ¯ · μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΖ τμημάτων ξζ ¯ δ ¯ νε ¯ ἔγγιστα, καὶ λοιπὴ ἡ ΔΖ τῶν αὐτῶν λζ ¯ δ ¯ νε ¯ . ἡ ἄρα τοῦ δεκαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ περιφέρειαν τοιούτων λϛ ¯ , οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ ¯ , τοιούτων ἔσται λζ ¯ δ ¯ νε ¯ , οἵων ἡ 15διάμετρος ρκ ¯ . πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΔΖ τμημάτων ἐστὶ λζ ¯ δ ¯ νε ¯ , τὸ δὲ ἀπὸ αὐτῆς ͵ ατοε ¯ δ ¯ ιε ¯ , ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῶν αὐτῶν ͵ γχ ¯ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον ͵ δϡοε ¯ δ ¯ ιε ¯ , μήκει ἄρα ἔσται

1 ἴσον] supra scr. D³ 2 ἑξαγώνου πλευρά] in ras. A 3 ἐστί B 4 ἴση ἐστίν D τοῦ] supra scr. D³ 5 ἐπεί] inc. fol. 15 alia manu D ἔφην] mut. in ἔφαμεν B³, sed euan 8 ἀπ'] ἀπό B ΒΔ] ΔΓ, Δ in ras., C³ οὖσα] om. D 9 ἀπό(pr.)] A, ἀπ' BCD 10 ΕΖ] corr. ex ΕΞ D 11 ἔσται] A, ἐστίν BCD ἡ] ins. C³ ΕΖ] corr. ex ΕΞ D Post ἔγγιστα add. ⁒ C, mg. (pro scholio); ⁒ ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΕ λ' 12 ΔΖ] corr. ex ΔΞ D 13 τοιούτων] -ων e corr. C οἵων] -ω- corr. ex ο C³ 14 τοιούτων] corr. ex τοιοῦτον C³ ἔσται] comp. B, omnibus litteris mg. B²; similiter saepius; seq. ras. D δ¯ ] ins. D³ οἵων] corr. ex οἷον C³ 15 διάμετρος] ante μ ras 1 litt. A πάλιν - 16. νε¯ ] BD, mg. A³ (κείμενον) et pro scholio C 15 ἐπεί] δὲ ἐπεί A³ ἐστί] ἐστίν D, comp. BC 16 ἀπό] ἀπ' D ιε¯ ] inter ι et ε ras. A, mg. γρ. κε¯ A², supra ε scr. δ B² ἔστιν D 17 ΔΒ] ΒΔ D τῶν] corr. ex τῶ A² συντεθέντα] alt. ν supra scr. D³ 18 ΒΖ] supra Ζ ras. D ιε¯ ] supra ε scr. δ B², ε in ras. D Supra μήκει ras. D

[H.35]ἡ ΒΖ τμημάτων ο ¯ λβ ¯ γ ¯ ἔγγιστα. καὶ ἡ τοῦ πεντα­γώνου ἄρα πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας οβ ¯ , οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ ¯ , τοιούτων ἐστὶν ο ¯ λβ ¯ γ ¯ , οἵων ἡ διάμετρος ρκ ¯ . φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι καὶ ἡ τοῦ 5ἑξαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ξ ¯ , καὶ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν ξ ¯ . ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ μὲν τοῦ τετραγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ϟ ¯ , δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ 10μοίρας ρκ ¯ , δυνάμει τῆς αὐτῆς ἐστιν τριπλασίων, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν ͵ γχ ¯ , συναχθή­σεται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ͵ ζσ ¯ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τοῦ τριγώνου Μ α ω ¯ . ὥστε καὶ μήκει ἡ μὲν τὰς ϟ ¯ μοίρας ὑποτείνουσα εὐθεῖα τοιούτων ἔσται 15 πδ ¯ να ¯ ι ¯ ἔγγιστα, οἷων ἡ διάμετρος ρκ ¯ , ἡ δὲ τὰς ρκ ¯ τῶν αὐτῶν ργ ¯ νε ¯ κγ ¯ .

αἵδε μὲν οὕτως ἡμῖν ἐκ προχείρου καὶ καθ' αὐτὰς εἰλήφθωσαν, καὶ ἔσται φανερὸν ἐντεῦθεν, ὅτι τῶν διδομένων εὐθειῶν ἐξ εὐχεροῦς δίδονται καὶ αἱ ὑπὸ 20τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἠμικύκλιον περιφερείας ὑποτεί-

1 ο¯ λβ¯ ] ολ¯ β¯ C 2 οβ¯ ] supra rasuram D³ 4 δέ] δὲ καί D καί] om. D 5 μοίρας] μο AB, ut saepe; μοι D semper fere 8 μοίρας] μο ABC, μοι D διπλασία] mut. in διπλασίων B², διπλασίων D 9 τοῦ] τοῦ ἰσοπλεύρου D 12 τοῦ] om. D 13 δέ] δ' D τοῦ] om. D τριγώνου] τρι- in ras. D Μα ] C, corr. ex Μο AB², μοι¯ corr. ex μῦ post ras. 7 litt. D³; α̈ω add. mg. C³ 15 ἔγγιστα] -στα add. D³ 17 Post μέν add. οὖν comp. C² 18 Ante καί ras. 4 litt. D ἔσται] corr. ex ἔστι D³, mut. in ἔστω B² ἐντεῦθεν] αὐτόθεν, supra αὐτό- ras., D τῶν διδομένων] διδομένων τῶν edd.; sed genetiuus reconditiore quodam modo a λειπούσας περιφερείας pendet 19 αἵ] supra scr. B²C²

[H.36]νουσαι διὰ τὸ τὰ ἀπ' αὐτῶν συντιθέμενα ποιεῖν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον· οἷον, ἐπειδὴ ἡ ὑπὸ τὰς λϛ ¯ μοίρας εὐθεῖα τμημάτων ἐδείχθη λζ ¯ δ ¯ νε ¯ καὶ τὸ ἀπ'αὐτῆς ͵ ατοε ¯ δ ¯ ιε ¯ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου 5τμημάτων ἐστὶν Μ α ͵ δυ ¯ , ἔσται καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον μοίρας ρμδ ¯ τῶν λοιπῶν Μ α ͵ γκδ ¯ νε ¯ με ¯ , αὐτὴ δὲ μήκει τῶν αὐτῶν ριδ ¯ ζ ¯ λζ ¯ ἔγγιστα, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως.

ὃν δὲ τρόπον ἀπὸ τούτων καὶ αἱ λοιπαὶ τῶν κατὰ 10μέρος δοθήσονται, δείξομεν ἐφεξῆς προεκθέμενοι λημ­μάτιον εὔχρηστον πάνυ πρὸς τὴν παροῦσαν πραγ­ματείαν.

ἔστω γὰρ κύκλος ἐγγεγσαμμένον ἔχων τετράπλευρον τυχὸν τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ καί ΒΔ. 15δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ. κείσθω γὰρ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΕ. ἐὰν οὗν κοινὴν προσθῶμεν τὴν ὑπὸ ΕΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ 20γωνία ἵση τῇ ὸ ΕΒΓ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ

2 οἷον] corr. ex οἵων B²C 4 ιε¯ ] supra ε scr. δ B² 5 Μα ] corr. ex μο A, μα̈υρι e corr. D³ 6 μοίρας] Μο mut. in μοι¯ 7 Μα ] corr. ex μο A², μα̈υρι e corr. D³ ͵γ¯ ] corr. ex ͵δ¯ με¯ ] supra scr. ϛ B² 8 λζ¯ ] supra scr. ϛ B² 9 λοιπαί] -οι- e corr. C² τῶν] om. B 11 πάνυ] om. B 13 Mg. λῆμμα BC 14 τυχόν] om. D ΑΓ] corr. ex ΑΒΓ D 15 δεικτέον - ΒΔ] supra scr. D³ ὅτι] οὖν ὅτι 16 τῷ] corr. ex τό C² 17 ΑΒ, ΔΓ] e corr. D τῷ] corr. ex τῶν D κείσθω - 18. ΑΒΓ] supra scr. D³ 18 τῶν] ἐστὶν ἡ (supra scr. D³) ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΕ D et mg. pro scholio BC; ⁒ add. C³ οὖν] om. D, del. C

[H.37]τῇ ὑπὸ ΒΓΕ ἴσηEuc.Prop.3.21· τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνουσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῷ. ὥστε καὶ Objects are not supported by your browser! ἀνάλογόν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς 5τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑEuc.Prop.6.4· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶιν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕEuc.Prop.6.16. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία 10τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ, ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΔΓ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑ, ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΑΕ. ἐδείχθη 15δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ, ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ· καὶ ὅλονEuc.Prop.2.1 ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

τούτου προεκτεθέντος ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓΔ 20ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α δύο διήχθω-

3 τῷ] e corr. D³ 5 τήν (alt.)] om. D 7 ΒΓ] τῶν ΓΒ D 8 ΒΔ] ΔΒ C, τῶν ΒΔ corr. ex τὸ ΒΔ D³ 10 γωνίᾳ] om. D 11 -πὸ ΒΔΓ - 12 τρίγωνον] mg. B¹ 11 ἰσογώνιον - αβ. τριγώνῳ] mg. C³ 11 ἐστί C³, comp. B 12 ΑΒΕ] ΒΑΕ C³ τῷ] corr. ex πό B¹, ex τό D³ ΒΓΔ] ΒΔΓ B C³ τριγώνῳ] τριγωνώνωι etiam in textu C 14 Ante ΒΑ ins. τῶν D³ ΔΓ] ΓΔ D ἐστί B τῷ] corr. ex τό D³ ΑΕ] ΕΑ D 15 τό] corr. ex τῷ B¹ C³ ὑπό (pr.)] ὑπὸ τῶν B¹ D ΒΓ - ὑπό] om. C ΒΓ - ΓΕ] mg. B¹, in textu ras. 4 litt ΒΓ, ΑΔ] ΒΔ, ΓΕ B¹ D ἴσον] -ον in ras. A² τῷ] corr. ex τό D³ ΒΔ, ΓΕ] τῶν ΒΓ, ΑΔ B¹ D 16 ΑΓ] τῶν ΑΓ D ἐστί D 17 συναμφοτέροις] σ- corr. ex ν in scrib. D ΔΓ] ΓΔ D 18 ΒΓ] ΓΒ D 19 τοῦτο τὸ θεώρημα καθ' ὺπεροχὴν λέγεται mg. B pro scholio, γ mg. D 20 Α] seq. ras. 1 litt. B

[H.38]σαν αἱ ΑΒ, ΑΓ, καὶ ἔστω ἑκατέρα αὐτῶν δοθεῖσα τῷ μεγέθει, οἵων ἡ διάμετρος δοθεῖσα ρκ ¯ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι καὶ αὕτη δέδοται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΓΔ· δεδομέναι Objects are not supported by your browser! 5ἄρα εἰσὶν δηλονότι καὶ αὗται διὰ τὸ λείπειν ἐκείνων εἰς τὸ ἡμικύκλιον. ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἑστιν τὸ ΑΒΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ μετὰ τοῦ 10ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ. καὶ ἐστιν τό τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ δοθὲν καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ δοθέν ἐστιν. καί ἐστιν ἡ ΑΔ διάμετρος· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΓ εὑθεῖα. 15καὶ φανερὸν ἡμῖν γέγονεν, ὅτι, ἐὰν δοθῶσιν δύο περι­φέρειαι καὶ αἱ ὑπ' αὑτὰς εὐθεῖαι, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ τὴν ὑπεροχὴν τῶν δύο περιφερειῶν ὑποτείνουσα εὐθεῖα. δῆλον δέ, ὅτι διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος ἄλλας τε οὐκ ὁλίγας εὐθείας ἐγγράψομεν ἀπὸ τῶν ἐν ταῖς καθ' αὑτὰς

1 αὐτῶν] om. D 2 ρκ¯ ] supra scr. D¹ 4 ΒΔ] corr. ex. ΒΛ C³ 5 ἄρα εἰσίν] om. D 8 τετράπλευρον] -πλευ- supra ras. 2 litt. D 9 ἄρα] supra scr. D Post ὑπό add. τῶν D³ 10 τῶν] om. D ΒΓ] Β e corr. B 11 ΒΔ] ΒΔ 🜚 C, ΔΒ D καί - 12. δοθέν] B D, mg. C³, om. A 11 ἐστιν D, comp. B 12 τε] om. A τῶν ΑΓ, ΒΔ] ΑΒ, ΓΔ D 13 δοθέν ἐστιν] -ν del. C, ἐστιν δοθέν D καὶ] ins. D³ ἐστιν] mut. in ἔτι B³, ἔτι D 14 Post διάμετρος add. δοθεῖσα B¹C² ἐστίν] ἔσται D 16 αἱ ὑπ'] corr. ex ἐπ' D³ δοθεῖσα ἔσται] δοθεῖσαι ὦσιν ἔσται δοθεῖσα D ἔσται] mut. in ὦσι C² 17 ὑπεροχήν] post ρ ras. 1 litt. A 18 ὅτι] ὅτι καί D τε] mg. B¹ οὐκ] in ras. B¹ 19 ὀλίγας] -λίγ- in ras. D³ ἐγγράψομεν] pr. γ in ras. D³ καθ' αὐτάς] κατ' αὑτάς D

[H.39]δεδομένων ὑπεροχῶν καὶ δὴ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς δώδεκα μοίρας, ἐπειδήπερ ἔχομεν τήν τε ὑπὸ τὰς ξ ¯ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς οβ ¯ .

πάλιν προκείσθω δοθείσης τινὸς εὐθείας ἐν κύκλῳ τὴν 5ὑπὸ τὸ ἥμισυ τῆς ὑποτεινομένης περιφερείας εὐθεῖαν εὐρεῖν. καὶ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ καὶ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΓΒ, Objects are not supported by your browser! καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια δίχα τε­τμήσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπε­10ζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΔ, ΒΔ, ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡΔΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ ἡμίσειά ἐστι τῆς τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ ὑπερ­οχῆς. κείσθω γὰρ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπε­15ζεύχθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΑΔ δύο ταῖς ΑΕ, ΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΔ ἴση ἐστίνEuc.Prop.3.27· καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΔ βάσει τῇ ΔΕ ἴση ἐστίνEuc.Prop.1.420. ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ η ἐστίν· καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελοῦς ὄντος τριγώ­νου τοῦ ΔΕΓ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος

1 δεδομένων] δεδομέναις D, -αις eras δώδεκα] ιβ¯ D 2 μοίρας] μο ὑποτείνουσαν D 3 Post οβ¯ add. ο¯ D, ὅπερ ἔδει δεῖξαι D³ 4 δ mg. D εὐθείας τινός D 5 ὑπό] ὑ- e corr. D 6 καί] om. D 7 εὐθεῖα ἡ ΓΒ καί] ins. D³ ΓΒ] ΒΓ D 10 αἱ] om. C 13 ἐστιν D 16 ΑΒ] ΒΑ D δύο] δυσί D ΑΕ] ΕΑ D 17 ἴσαι] corr. ex ἴσα D ἑκατέρα] seq. ras. 3 litt. B 18 ΒΑΔ] corr. ex ΑΒΓ D³ ἐστίν - 20. ἐστίν] om. C 19 ἐστιν ἴση B 20 ἀλλά] ἀλλὰ καί B D ΔΓ] ΓΔ D ἴση ἐστίν] A, ἑστιν ἴση B D Seq. καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν mg. B¹, del. B² ΔΓ] ΓΔ D 22 ΔΕΓ] ΓΔΕ D

[H.40]ἦκται ἡ ΔΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΓEuc.Prop.1.26. ἀλλ' ἡ ΕΓ ὅλη ἡ ὑπεροχή ἐστιν τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ εὐθειῶν· ἡ ἄρα ΖΓ ἡμίσειά ἐστιν τῆς τῶν αὐτῶν ὑπεροχῆς. ὥστε, ἐπεὶ τῆς ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρειαν εὐθείας 5ὑποκειμένης αὐτόθεν δέδοται καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΑΒ, δοθήσεται καὶ ἡ ΖΓ ἡμίσεια οὖσα τῆς τῶν ΑΓ καὶ ΑΒ ὑπεροχῆς. ἀλλ' ἐπεὶ ἐν ὀρθο­γωνίῳ τῷ ΑΓΔ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΔΖ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΔΓ ὀρθογώνιον τῷ ΔΓΖEuc.Prop.6.8, 10καὶ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς ΓΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΖ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον. ὥστε καὶ μήκει ἡ ΓΔ εὐθεῖα δοθήσεται 15τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς ΒΓ περιφερείας.

καὶ διὰ τούτου δὴ πάλιν τοῦ θεωρήματος ἄλλαι τε ληφθήσονται πλεῖσται κατὰ τὰς ἡμισείας τῶν προεκ­τεθειμένων, καὶ δὴ καὶ ἀπὸ τῆς τὰς ιβ ¯ μοίρας ὑποτει­νοῦσης εὐθείας ἥ τε ὑπὸ τὰς ϛ ¯ καὶ ἡ ὑπὸ τὰς γ ¯ καὶ 20ἡ ὑπὸ τὴν μίαν ἥμισυ καὶ ἡ ὑπὸ τὸ ἥμισυ τέταρτον τῆς μιᾶς μοίρας. εὑρίσκομεν δὲ ἐκ τῶν ἐπιλογισμῶν

2 ἀλλά D 4 εὐθείας] εὐθείας δοθείης B 5 ὑποκειμένης] del. D Supra scr. ἥτοι δεδομένης B², δεδομένης mg. C² δέδοται] corr. ex δίδοται D 6 Ante pr. ἡ ras. 1 litt. D καί] postea ins. D³ 7 ἐπεί] om. D 8 τῷ ΑΓΔ] τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ D 9 ΑΔΓ] ΑΓΔ D ΔΓΖ] ΓΔΖ corr. ex ΔΖ D³ 10 ΓΔ(alt.)] mut. in ΔΓ C³ 11 ἴσον] add. D³ 12 δοθὲν δέ - 14. τετράγωνον] om. A 12 δέ] δέ ἐστιν D 13 ΓΖ] ΓΖ περιεχόμενον D 15 τήν] e corr. A ΒΓ] e corr. D³ περιφερείας] -ς e corr. C, περιφερείας ὅπερ ἔδει δεῖξαι D 16 ε mg. D 17 προεκτιθεμένων D 19 ϛ¯ ] ἕξ B 20 ἥμισυ (utrumque)] comp. BD τό] τήν D τέταρτν] δ' D (similia posthac non notabo)

[H.41]τὴν μὲν ὑπὸ τὴν ἥμισυ μοῖραν τοιούτων α ¯ λδ ¯ ιε ¯ ἔγγιστα, οἷων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ ¯ , τὴν δὲ ὑπὸ τὸ 𐅵 ʹ δ ʹ τῶν αὐτῶν ο μζ ¯ η ¯ .

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ διάμετρον μὲν 5τὴν ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀπειλήφθω­σαν δύο περιφέρειαι δοθεῖσαι κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Objects are not supported by your browser! ΑΒ, ΒΓ ὑπ' αὐτὰς εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ δεδομέναι. λέγω, 10ὅτι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΓ, δοθήσεται καὶ αὐτη. διήχθω γὰρ διὰ τοῦ Β διά­μετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, 15ΔΓ, ΓΕ, ΔΕ· δῆλον δὴ αὐτόθεν, ὅτι διὰ μὲν τὴν ΒΓ δοθήσεται καὶ ἡ ΓΕ, διὰ δὲ τὴν ΑΒ δοθή­σεται ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΔΕ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΒΓΔΕ, καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ, ΓΕ, τὸ ὑπὸ τῶν 20διηγμένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν συναμ­φοτέροις τοῖς ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον· ὥστε, ἐπεὶ δεδο­μένου τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΕ δέδοται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΔΕ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΓΔ. δέ-

1 Supra α¯ scr. ἑνός B³ 2 τό] τήν D 3 𐅵ʹ] in ras. A ο] A, ο¯ B C D, οὐδέν comp. A³D³ 7 ἐπιζεύχθωσαν BC; ἐπιζεύ| D, Θ1ω add. D³ 8 εὐθεῖαι] corr. ex εὐθείας D³ 12 διά] ἀπό D 14 ἐπιζεύχθωσαν B C 15 ΔΓ] ΓΔ D δή] δέ D αὐτόθεν] post -ό- del ι C δία] in ras. D³ 16 δοθήσεται(alt.)] δοθήσονται D 17 τά] corr. ex τ D³ 18 ἐν] -ν in ras. D³ 19 ΒΔ, ΓΕ] in ras. A 20 ἐστίν] -ν eras. D 21 ὑπό] ὑ- in ras. D³ 22 ΒΓ] mut. in ΒΔ C²; ΒΕ, ΓΔ supra scr. D³ δέδοται (pr.) - ΓΔ] om. D -δοται - δέ-] mg. A¹ δέδοται(alt.)] δέδονται D, sed ν eras

[H.42]δοται δὲ καὶ ἡ Β Ε διάμετρος, καὶ λοιπὴ ἡ ΓΔ ἔσται δεδομένη, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύ­κλιον ἡ ΓΑ· ὥστε, ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπ' αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθήσεται καὶ ἡ συναμφοτέρας 5τὰς περιφερείας κατὰ σύνθεσιν ὑποτείνουσα εὐθεῖα διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος.

φανερὸν δὲ, ὅτι συντιθέντες ἀεὶ μετὰ τῶν προεκ­τεθειμένων πασῶν τὴν ὑπὸ τὴν α ¯ 𐅵 ʹ μοῖραν καὶ τὰς συναπτομένας ἐπιλογιζόμενοι πάσας ἁπλῶς ἐγγράψομεν, 10ὅσαι δὶς γινόμεναι τρίτον μέρος ἕξουσιν, καὶ μόναι ἔτι περιλειφθήσονται αἱ μεταξὺ τῶν ἀνὰ α ¯ 𐅵 ʹ μοῖραν διαστημάτων δύο καθ' ἕκαστον ἐσόμεναι, ἐπειδήπερ καθ' ἡμιμοίριον ποιούμεθα τὴν ἐγγραφήν. ὥστε, ἐὰν τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον εὐθεῖαν εὕρωμεν, αὕτη κατά 15τε τὴν σύνθεσιν καὶ τὴν ὑπεροχὴν τὴν πρὸς τὰς τὰ διαστήματα περιεχούσας καὶ δεδομένας εὐθείας καὶ τὰς λοιπὰς τὰς μεταξὺ πάσας ἡμῖν συναναπληρώσει. ἐπεὶ δὲ δοθείσης τινὸς εὐθείας ὡς τῆς ὑπὸ τὴν α ¯ 𐅵 ʹ μοῖραν ἡ τὸ τρίτον τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσα 20διὰ τῶν γραμμῶν οὐ δίδοται πως· εἰ δέ γε δυνατὸν ἦν, εἴχομεν ἄν αὐτόθεν καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον·

1 δέ] corr. ex δι D³ λοιπή] ἡ λοιπή A Deinde add. ἄρα D³ ἡ] BC ἡ ὑπὸ τήν A D, ὑπὸ τήν reas. D 3 ΓΑ] ΑΓ ὅπερ ἔδει δεῖξαι D 4 ὑπό D δοθήσεται] corr. ex δοθήσονται D³ 6 τούτου] τού|τούτου C, om. D τοῦ] τοῦ τοιούτου D 7 𐅳 mg. D et in textu D² δέ] mut. in δή B³D³ προεκτιθεμένων D 9 συναπτομένας] -π- in ras. D³ ἐγγράψομεν] pr. γ in ras. D³ 10 ὅσαι] corr. ex ὅσ αἱ C²D³ γενόμεναι D 11 περιλειφθήσονται corr. ex περιληφθήσονται C²D³ τῶν] post ras. 3 litt. D 13 καθ'] καὶ καθ' D 14 αὕτη] BC², αὐτῆ A et corr. in αὐτή D, αυτη C 15 τάς] corr. ex τά A 16 δεδομένας] -μέ- supra scr. A¹ 17 τάς (alt.)] καὶ τάς corr. ex κατά D 19 μοῖραν] sic AC ἡ τό] corr. ex ἤτοι D τῆς αὐτῆς] corr. ex τῆς D³ 20 δίδοται] δέδοται corr. ex δέδωται D

[H.43]πρότερον μεθοδεύσομεν τὴν ὑπὸ τὴν α ¯ μοῖραν ἀπὸ τε τῆς ὑπὸ τὴν α ¯ 𐅵 ʹ μοῖραν καὶ τῆς ὑπὸ 𐅵 ʹ δ ʹ ὑποθέμενοι λημμάτιον, ὅ, κἂν μὴ πρὸς τὸ καθόλου δύνηται τὰς πηλικότητας ὁρίζειν, ἐπί γε τῶν οὕτως ἐλαχίστων τὸ 5πρὸς τὰς ὡρισμένας ἀπαράλλακτον δύναιτ' ἂν συντηρεῖν.

λέγω γάρ, ὅτι, ἐὰν ἐν κύκλῳ διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι, ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος εὐθείας περιφέρεια πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονοσ.

ἔστω 10γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΒ εὐθεῖα Objects are not supported by your browser! πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσ­σονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ 15περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περο­φέρειαν. τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἤ τε ΑΕΓ καὶ ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΓΔ. 20καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΕΔ εὐθείας, ἴση μέν ἐστιν ἡ ΓΔ εὐθεῖα τῇ

1 μεθοδεύσομεν] corr. ex μεθοδεύσαμεν C² 2 μοῖραν] om. D ὑπό] ὑπὸ τό D 3 λημμάτιον] -τι- in ras. A μή] corr. ex μοι C³ 4 πηλικότητας] corr. ex πηληκκότητας C ἐλαχίστων] corr. ex ἐλάχιστον C³ 5 ὡρισμένας] ὡρι|σμένας corr. ex ὡρισ|μένας A¹ δύναιτ' ἄν] δύναται D 6 λῆμμα mg. BC ἄνισοι δύο] β¯ ἄνισοι D 7 ἐλάσσονα(pr)] ante ν ras. 2 litt. A ἐλάσσονα(alt.)] AD, om.. BC, add. C³ et mg. B¹ 8 μείζονος] -ς in ras. D³ 9 ἐπί] ἀπό B ἐλάττονος D 11 ἄνισοι εὐθεῖαι D 12 ΓΒ] ΒΓ D 13 πρός - 15. περιφέρεια] mg. B¹C³ 13 εὐθεῖαν] om. B¹ D ἐλάττονα C 14 ἤπερ] ἤ C³ ΒΓ] ΓΒ B¹ D 15 πρός - περιφέρειαν] et in textuC et in mg. C³ 16 ϛ¯ mg. D 17 δίχα γωνία D 20 καὶ ἐπεί] ἐπεὶ οὖν D

[H.44]ΑΔEuc.Prop.3.26Euc.Prop.3.29, μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΕΑEuc.Prop.6.3. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΕΓ ἡ ΔΖ. ἐπεὶ τοίνυν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῆς ΕΔ, ἡ δὲ ΕΔ τῆς ΔΖ, ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν 5τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΕ γραφόμενος κύκλος τὴν μὲν ΑΔ τεμεῖ, ὑπερπεδεῖται δὲ τὴν ΔΖ. γεγρά­φθω δὴ ὁ ΗΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΖΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΔΕΘ τομεὺς μείζων ἐστὶν τοῦ ΔΕΖ τριγώνου, τὸ δὲ ΔΕΑ τρίγωνον μεῖζον τοῦ ΔΕΗ τομέως, τὸ 10ἄρα ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγωνον ἐλάσ­σονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τόν ΔΕΗ. ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγω­νον, οὕτως ἡ ΕΖ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑEuc.Prop.6.1, ὡς δὲ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα, οὕτως 15 ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ· ἡ ἄρα ΖΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. καὶ συνθέντι ἄρα ἡ ΖΑ εὐθεῖα πρὸος τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΑ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΔΕ· καὶ 20τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ἡ ΓΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνία πρὸς

4 ὁ ἄρα] ὁ ἄ- e corr. D² μέν] om. D 5 διαστήματι δέ] καὶ διαστήματι D 6 τεμεῖ] corr. ex τέμνει D ΔΖ] corr. ex ΑΖ B¹, ΑΖ C 7 ΗΕΘ] corr. ex ΕΘ D, supra Θ ras. 1 litt καὶ ἐπεί] ἐπεὶ οὖν D 8 ἐστίν - 9. μεῖζον] supra scr. D³ (ἐστί) 10 Τὸ ΔΕΖ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸον ΔΕΘ τομέα ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕΑ τρίγωνον πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα· ἐναλλάξ mg. pro scholio B et nonnullis uerbis recisis C ΔΕΑ τρίγωνον] Δε¯ ατρίγωνον D 13 ΕΑ] ΑΕ B, corr. B¹ 14 τομέα] om. D 15 Post pr. ὑπό ras. 1 litt. C 16 ἡ] add. D³ 17 ΖΔΕ - ὑπό] supra scr. D³ ΕΔΑ] ΕΔΑ γωνίαν D 20 ΓΑ] ΓΑ ἄρα D 21 ΓΔΑ] seq. ras. 1 litt. A

[H.45]τὴν ὑπὸ ΕΔΑ· καὶ διελόντι ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. ἀλλα' ὡς μὲν ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑEuc.Prop.6.3, ὡς δὲ 5ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΔΑ, οὕτως ἡ ΓΒ περι­φέρεια πρὸς τὴν ΒΑEuc.Prop.6.33· ἡ ΓΒ ἄρα εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ περρι­φέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν.

τούτου δὴ οὖν ὑποκειμένου Objects are not supported by your browser! 10ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ δι­ήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΑΓ, ὑποκείσθω δὲ πρῶτον ἡ μὲν ΑΒ ὑπο­τείνουσα μιᾶς μοίρας 𐅵 ʹ δ ʹ , ἡ 15δὲ ΑΓ μοῖραν α ¯ . ἐπεὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ δὲ ΑΓ περιφέρεια ἑπίτριτός ἐστιν τῆς ΑΒ, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. 20ἀλλὰ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐδείχθη τοιούτων ο μζ ¯ η ¯ , οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ ¯ · ἡ ἄρα ΓΑ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶν τῶν αὐτῶν α ¯ β ¯ ν ¯ · ταῦτα γὰρ ἐπίτριτά ἐστιν ἔγγιστα τῶν ο μζ ¯ η ¯ .

1 ΕΔΑ] ΑΔΕ D διελόντι ἡ] διελόντηι D, ι supra scr. D³ 3 ΕΔΑ] Α e corr. C² εὐθεῖα] om. D 4 εὐηεῖα] om. D 5 ἡ(pr.)] om. C ΒΔΑ] -Β e corr. D³ 6 τήν - 7. πρός] mg. B¹ 6 ἡ - 7. ΒΑ] add. C² 8 περιφέρειαν ὅπερ δεῖ (ἔδει D³) δεῖξαι D 9 ζ mg. D οὖν] om. D 13 ἡ μέν] μὲν ἡ D 14 μιᾶς] supra scr. D³ 15 α¯ ] mut. in α¯ν 17 ἡ] supra scr. Α4, om. C Mg. τὸ λῆμμα pro scholio BC 20 ο] ο7 C, ut saepius 21 ΓΑ] ΑΓ D 22 ἐπίτριϲτα C 23 η¯ ] supra scr. D³

Πάλιν [H.46]ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα ὑποκείσθω ὑποτείνουσα μοῖραν α ¯ , ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν α ¯ 𐅵 ʹ . κατὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΑΒ ἐστιν ἡμιολία, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ 5ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος. ἀλλὰ τὴν ΑΓ ἀπεδείξαμεν τοιούτων οὖσαν α ¯ λδ ¯ ιε ¯ , οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ ¯ · ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τῶν αὐτῶν α ¯ β ¯ ν ¯ · τούτων γὰρ ἡμιόλιά ἐστιν τὰ προκείμενα α ¯ λδ ¯ ιε ¯ . ὥστε, ἐπεὶ τῶν αὐτων ἐδείχθη καὶ μείζων καὶ ἐλάσσων 10ἡ τὴν μίαν μοῖραν ὑποτείνουσα εὐθεῖα, καὶ ταύτην δηλονότι ἕξομεν τοιούτων α ¯ β ¯ ν ¯ οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ ¯ , καὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον, ἥτις εὑρίσκεται τῶν αὐτῶν ο λα ¯ κε ¯ ἔγγιστα. καὶ συναναπληρωθήσεται τὰ λοιπά, ὡς ἔφαμεν, 15διαστήματα ἐκ μὲν τῆς πρὸς τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν λόγου ἕνεκεν ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου διαστήματος συν­θέσεως τοῦ ἡμιμοιρίου δεικνυμένης τῆς ὑπὸ τὰς β ¯ μοίρας, ἐκ δὲ τῆς ὑπεροχῆς τῆς πρὸς τὰς γ ¯ μοίρας καὶ τῆς ὑπὸ τὰς β ¯ 𐅵 ʹ διδομένης· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ 20τῶν λοιπῶν.

ἡ μὲν οὖν πραγματεία τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν οὕτως ἂν οἶμαι ῥᾷστα μεταχειρισθείη. ἵνα δέ, ὡς ἔφην,

3 περιφέρεια - 5. ΑΓ] mg. D³ (κείμενον) 4 ἡμιόλιός ἐστιν D³ ΓΑ ἄρα] ΑΓ D³ ΒΑ] ΑΒ D³ 6 οὖσαν] supra scr. D 7 ΑΒ] ΒΑ D 8 α¯λδ¯ιε¯ ] corr. ex αλ¯διε¯ 9 ὥστ' D 12 προυποδειγμένα D 14 ὡς ἔφαμεν τὰ λοιπά D 16 πρώτου] corr. ex α¯ συνθέσεως] D (-ς e corr.), τῆς συνθέσεως ABC 19 καί (pr.)] eras. D 22 δέ] δ' D ἔφην] corr. ex ἔφη C², ἔφη B

[H.47]ἐφ' ἑκάστης τῶν χρειῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς πηλικότητας ἔχωμεν τῶν εὐθειῶν ἐκκειμένας, κανόνια ὑποτάξομεν ἀνὰ στίχους με ¯ διὰ τὸ σύμμετρον, ὧν τὰ μὲν πρῶτα μέρη περιέξει τὰς πηλικότητας τῶν περιφερειῶν καθ' 5ἡμιμοίριον παρηυξημένας, τὰ δὲ δεύτερα τὰς τῶν παρακειμένων ταῖς περιφερείαις εὐθειῶν πηλικότητας ὡς τῆς διαμέτρου τῶν ρκ ¯ τμημάτων ὑποκειμένης, τὰ δὲ τρίτα τὸ λ ʹ μέρος τῆς καθ' ἕκαστον ἡμιμοίριον τῶν εὐθειῶν παραυξήσεως, ἵνα ἔχοντες καὶ τὴν τοῦ ἑνὸς 10ἑξηκοστοῦ μέσην ἐπιβολὴν ἀδιαφοροῦσαν πρὸς αἴσθησιν τῆς ἀκριβοῦς καὶ τῶν μεταξὺ τοῦ ἡμίσους μερῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς ἐπιβαλλούσας πηλικότητας ἐπιλογίζεσθαι δυνώμεθα. εὐκατανόητον δʹ, ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν καὶ προκειμένων θεωρημάτον, κἂν ἐν δισταγμῷ γενώμεθα 15γραφικῆς ἁμαρτίας περί τινα τῶν ἐν τῷ κανονίῳ παρα­κειμένων εὐθειῶν, ῥᾳδίαν ποιησόμεθα τήν τε ἐξέτασιν καὶ τὴν ἐπανόρθωσιν ἤτοι ἀπὸ τῆς ὑπὸ τὴν διπλασίονα τῆς ἐπιζητουμένης ἢ τῆς πρὸς ἄλλας τινὰς τῶν δεδο­μένων ὑπεροχῆς ἢ τῆς τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκ­20λιον περιφέρειαν ὑποτεινούσης εὐθείας. καὶ ἐστιν ἡ τοῦ κανονίου καταγραφὴ τοιαύτη·[2]

1 χρειῶν] mut. in χρήσεων D³ 3 ά] ins. D³ στίχους] ἀστίχους, -ί- corr. ex ο, D 5 ἡμιμόιριον D 6 περιφερείαις] -ις e corr. C 8 λʹ] λ¯ A B C, τριακοστσον D ἡμιμόιριον D 9 ἵνα ἔχοντες] bis D, sed corr 10 ἀδιαφοροῦσαν] mut. in ἀδιαφόρους ἄν A² αἴσθησιν] -σιν in ras. B¹ 11 ἐξ ἑτοίμου] om. C 12 ἐπιβαλλούσας] -πι- in ras. B² 13 δυνάμεθα B C δ'] δέ D 14 γενόμεθα C 16 τήν] τῆ extr. lin A, τήν A4 20 καί ἐστιν] ἔστιν δέ D 21 καταγραφή] διαγραφή D ταύτη D

10. Om kordors storlek.

Alltså skall vi för det omedelbara behovet göra en tabell uppställd enligt detta av deras storlekar. Vi delar omkretsen i 360 snitt[1] och placerar intill de räta linjerna, som spänns upp av cirkelbågarna, vilka ökas i halvdelar, det vill säga hur många snitten är, såsom de 120 snitt diametern delats i, på grund av enkelheten i talen, vilket skall bli uppenbart ur deras beräkningar. Men dessförinnan skall vi visa, hur vi bäst, med hjälp av några enstaka teorem, skulle göra en god metod och en snabb uppställning av deras storlekar, så att vi inte endast slarvigt har uppvisat de räta linjernas storlekar, utan också genom en verifikation efter en strikt geometrisk metod må vi behändigt ha genomfört prövningen. Generellt skall vi bruka aritmetikens tillvägagångssätt efter den sexagesimala varianten,A A) Det sexagesimala talsystemt används även idag flitigt, t.ex. vid beräkningar i grader/minuter/sekunder eller timmar/minuter/sekunder. Noteras bör, att detta är ett positionssystem och kräver då någon form av nolla, men denna hade en annorlunda innebörd på Ptolemaios tid. på grund av oanvändbarheten av bråk - särskilt i multiplikationer och divisioner skall vi vara konsekventa, för att eftersträva att komma allt närmare och så långt, att det utelämnade med inget noterbart skiljer sig från det för sinnet exakta.

Låt så först ΑΒΓ vara en halvcirkel på diametern ΑΔΓ kring medelpunkten Δ, låt ha dragit ΔΒ från Δ med rät vinkel mot ΑΓ, låt ha delat ΔΓ i hälften vid Ε, låt ha förenat ΕΒ, låt ha satt ΕΖ lika med den och låt ha förenat ΖΒ. Jag säger, att ΖΔ är sidan av en tiohörning och ΒΖ av en femhörning. Ty eftersom den räta linjen ΔΓ delats i hälften vid Ε och den räta linjen ΔΖ ligger intill den, är den av ΓΖ och ΖΔ omslutna rektangeln med kvadraten på ΕΔ lika med kvadraten på ΕΖ, det vill säga den på ΒΕ, eftersom ΕΒ är lika med ΖΕ. Men lika med kvadraten på ΕΒ är kvadraterna på ΕΔ och ΔΒ. Alltså är den av ΓΖ och ΖΔ omslutna rektangeln med kvadraten på ΔΕ lika med kvadraterna på ΕΔ och ΔΒ. Och, sedan den gemensamma kvadraten på ΕΔ tagits bort, är den av ΓΖ och ΖΔ lika med den på ΔΒ, det vill säga den på ΔΓ. Alltså har ΖΓ delats i yttersta och mellersta förhållandet vid Δ. Eftersom då sidan av sexhörningen och av tiohörningen, av dem inskrivna i samma cirkel, av samma räta linje delas i yttersta och mellersta förhållandet samt då ΓΔ, som är en radie, utgör en sida av sexhörningen, är alltså ΔΖ lika med tiohörningens sida. Och, på samma sätt, eftersom femhörningens sida är i kvadrat lika med dem på sexhörningen och tiohörningen, av dem inskrivna i samma cirkel, samt kvadraten på ΒΖ i rätvinkeln ΒΔΖ är lika med dem på ΒΔ, som är sexhörningens sida, och på ΔΖ, som är tiohörningens sida, alltså är ΒΖ lika med femhörningens sida.

Eftersom då, som jag sade, vi antar cirkelns diameter vara 120 snitt, ges enligt det föregående att ΔΕ, som är hälften av radien, är 30 snitt och kvadraten på den 900. ΒΔ, som är radien, är 60 snitt och kvadraten på den 3600. kvadraten på ΕΒ, det vill säga ΕΖ, är densamma som deras tillsammans 4500. Alltså är ΕΖ ungefär 67;4,55 och skillnaden, ΔΖ, dem emellan är 37;4,55. Alltså skall tiohörningens sida, som spänner upp 36 sådana, av vilka cirkeln är 360, vara 37;4,55 sådana, av vilka diametern är 120. Åter, eftersom ΔΖ 37;4,55 snitt och dess kvadrat 1375;4,15, och den på ΔΒ 3600 snitt, som tillsammans gör kvadraten på ΒΖ 4975;4,15, alltså är ΒΖ ungefär 70;32,3 i längd. Och alltså är femhörningens sida, som spänner upp 72 delar, av vilka cirkeln är 360, 70;32,3 sådana, av vilka diametern är 120. Och genast, är det uppenbart, att även sexhörningens sida, som spänner upp 60 delar, och är lika med radien, är 60 snitt. Och på samma sätt, eftersom fyrhörningens sida, som spänner upp 90 delar, i kvadrat är två gånger den på radien, triangelns sida, som spänner upp 120 delar, är i kvadrat tre gånger densamma och kvadraten på radien är 3600 snitt. Den på kvadratens sida skall härledas till 7200 och den på trianglens 10800. Så att också den räta linje som spänner upp 90 delar skall i längd vara ungefär 84;51,10 sådana, av vilka diametern är 120, och 120 av desamma 103;55,23.

Låt sålunda dessa vara behändigt och självständigt framtagna för oss, det skall därför även bli uppenbart, att från de givna räta linjerna skall även de ges behändigt, som spänner upp de återstående cirkelbågarna i halvcirkeln, eftersom det, som kvadraterna av dem sammanlagda är, blir det, som kvadraten på diametern är. Till exempel, eftersom de 36 delarnas räta linje visades vara 37;4,55 snitt, dess kvadrat 1375;4,15 och den på diametern är 14400 snitt, skall också kvadraten på den, som spänner upp de återstående 144 av de resterande delarna i halvcirkeln, vara 13024;55,45, och den räta linjen själv blir ungefär 114;7,37 i längd av dem och för de andra på samma sätt.

Det sätt, som även de resterande av dem efter delar ur dessa skall ges, skall vi visa efterhand och förbereder oss med en hjälpsats, som är mycket användbar för de närvarande studierna.

Ty låt det finnas en cirkel med en inskriven godtycklig fyrhörning, ΑΒΓΔ, och låt ha förbundit ΑΓ och ΒΔ. Det måste bevisas, att rektangeln omsluten av ΑΓ och ΒΔ är lika med den omsluten av ΑΒ och ΔΓ tilsammans med den omsluten av ΑΔ och ΒΓ. Ty låt ha satt ΑΒΕ lika med vinkeln ΔΒΓ, om så den gemensamma vinkeln ΕΒΔ lagts till, skall ΕΒΓ vara lika med vinkeln ΑΒΔ. Men också ΒΔΑ är lika med ΒΓΕ, ty de spänner upp samma snitt, alltså är triangeln ΑΒΔ likvinklig med triangeln ΒΓΕ. Och är därför en analogi, som ΒΓ är till ΓΕ, så är ΒΔ till ΔΑ, alltså är rektangeln omsluten av ΒΓ och ΑΔ lika med den omsluten av ΒΔ och ΓΕ. Åter eftersom vinkeln ΑΒΕ är lika med vinkeln ΔΒΓ och vinkeln ΒΑΕ är lika med vinkeln ΒΔΓ, är alltså triangeln ΑΒΕ likvinklig med triangeln ΒΓΔ och alltså en analogi, som ΒΑ är till ΑΕ, så är ΒΔ till ΔΓ. Alltså är rektangeln omsluten av ΒΑ och ΔΓ lika med den omsluten av ΒΔ och ΑΕ. Och rektangeln omsluten av ΒΓ och ΑΔ har visats vara lika med den omsluten av ΒΔ och ΓΕ, alltså är även hela rektangeln omsluten av ΑΓ och ΒΔ lika med dem omslutna av ΑΒ och ΔΓ samt ΑΔ och ΒΓ tillsammans, vilket skulle visas.

Låt, sedan vi förberett oss, ΑΒΓΔ, vara en halvcirkel på ΑΔ, låt från Α ha dragit ut de två ΑΒ och ΑΓ, låt var och en av dem vara given i storlek, i sådana, som diametern har givits 120, och låt ha förbundit ΒΓ. Jag säger, att även denna är given. Ty låt ha förbundit ΒΔ och ΓΔ, alltså är uppenbart även dessa givna, eftersom de är resterna av varandra i halvcirkeln. Eftersom då ΑΒΓΔ är en fyrhörning i en cirkel, alltså är rektangeln omsluten ΑΒ och ΓΔ med den omsluten av ΑΔ och ΒΓ lika med den omsluten av ΑΓ och ΒΔ. Och även den omsluten av ΑΓ och ΒΔ samt den omsluten av ΑΒ och ΓΔ är givna, och den omsluten av ΑΔ och ΒΓ är given som rest. Och ΑΔ är diametern, alltså är även den räta linjen ΒΓ given. Och det har blivit uppenbart för oss, att om två cirkelbågar är givna och de räta linjerna under dem, skall också den räta linje, som spänner upp de två cirkelbågarnas skillnad, vara given. Och det är tydligt, att med hjälp av denna sats skall vi föra in inte så få andra räta linjer ur skillnaderna mellan de givna, bland dem beräknade för sig själva och då även den under 12 delar, eftersom vi har både den för 60 och den för 72 delar.

Åter låt det vara föresatt, sedan en rät linje givits i en cirkel, att finna den räta linjen under hälften av den uppspända cirkelbågen. Låt ΑΒΓ vara en halvcirkel på diametern ΑΓ, låt ΓΒ vara den givna räta linjen, låt cirkelbågen ΓΒ ha delats i hälften vid Δ, låt ha förenat ΑΒ, ΑΔ, ΒΔ och ΔΓ samt låt från Δ mot ΑΓ ha dragit ut den vinkelräta ΔΖ. Jag säger, att ΖΓ är hälften av skillnaden mellan ΑΒ och ΑΓ. Ty sätt ΑΕ lika med ΑΒ och förbind ΔΕ. Eftersom ΑΒ är lika med ΑΕ, ΔΕ är gemensam, är de två ΑΒ och ΑΔ lika med ΑΕ och ΑΔ var och en med var och en. Och vinkeln ΒΑΔ är lika med vinkeln ΕΑΔ, är alltså basen ΒΔ lika med basen ΔΕ. Men ΒΔ är lika med ΔΓ och alltså är ΔΓ lika med ΔΕ. Eftersom den vinklräta ΔΖ har dragits från spetsen till basen i den likbenta triangeln ΔΕΓ, är ΕΖ lika med ΖΓ. Men hela ΕΓ är skillnaden mellan de räta linjerna ΑΒ och ΑΓ, alltså är ΖΓ hälften av skillnaden mellan desamma. Sålunda, eftersom också resten i halvcirkeln, ΑΒ, direkt ges från den räta linjen under cirkelbågen ΒΓ, skall också ΖΓ ges, som är hälften av skillnaden mellan ΑΓ och ΑΒ. Men eftersom ΔΖ har dragits vinkelrät i den rätvinkliga triangeln ΑΓΔ, blir den rätvinkliga triangeln ΑΓΔ likvinklig med ΔΓΖ, och som ΑΓ är till ΓΔ, är ΓΔ till ΓΖ, alltså är den av ΑΓ och ΓΖ omslutna rektangeln lika med kvadraten ΓΔ. Men rektangeln omsluten av ΑΓ och ΓΖ är given, alltså är även kvadraten på ΓΔ given. Sålunda skall även längden av den räta linjen ΓΔ, som spänner upp hälften av cirkelbågen ΒΓ, ges.

Och genom denna sats skall så åter många andra hittas ur hälfterna av de redan funna. Särskilt då från den räta linjen, som spänner upp 12 delar, den för 6, den för 3, den för en och en halv samt den för en halv och en fjärdedel av en del. Vi finner även ur beräkningarna den för en halv del vara ungefär 1;34,15 sådana, som diametern är 120, och den för ¾ vara 0;47,8 av desamma.

Låt åter ΑΒΓΔ vara en cirkel kring diametern ΑΔ och centrum Ζ, låt från Α ha tagit bort två givna cirkelbågar i följd, ΑΒ och ΒΓ, låt ha förenat de räta linjerna under dessa, ΑΒ och ΒΓ, även dessa är givna. Jag säger, att, om vi förenar ΑΓ, är även denna given. Ty låt ha dragit cirkelns diameter ΒΖΕ genom Β samt låt ha förbundit ΒΔ, ΔΓ, ΓΕ och ΔΕ. Det är då genast uppenbart, att, på grund av ΒΓ, skall även ΓΕ vara given, och på grund av ΑΒ, skall både ΒΔ och ΔΕ vara givna. Och på grund av detsamma, som för dem tidigare, eftersom ΒΓΔΕ är en fyrhörning i en cirkel samt ΒΔ och ΓΕ är diagonaler, är rektangeln omsluten av diagonalerna lika med dem omslutna av de motstående. Sålunda, eftersom den omsluten av ΒΔ och ΓΕ är given, ges även den omsluten av ΒΓ och ΔΕ, alltså ges även den omsluten av ΒΕ och ΓΔ. Men även diametern ΒΕ är given och resten ΓΔ skall vara given, och på grund av detta även resten ΓΑ i halvcirkeln. Sålunda, om två cirkelbågar och de räta linjerna under dem är givna, skall den räta linje, som spänner upp de båda cirkelbågarna tillsammans, ges, genom denna sats.

Det är uppenbart, att sammanställande den räta linjen för 1½ delar med alla redan funna, skall vi beräknande enkelt även föra in alla, vilka dubblade skall ha en tredje delB B) Dvs. är dubblad delbar med tre., dessutom skall enbart de ha lämnats kvar inom dessa intervall över 1½ delar, i varje kommer två att finnas, eftersom vi gör införandet efter halvdelar. Så att, om vi finner den räta linjen för ½ delar, skall denna med summan och skillnaden av de räta linjerna, som omfattar intervallen och är givna, även fullborda alla de resterande mellanliggande för oss. Eftersom, sedan någon rät linje givits, såsom den för 1½ delar, den räta linje, som spänner upp en tredjedel av dess cirkelbåge, inte alls skall ges med hjälp av geometri och vore det möjligt, hade vi genast den för ½ delar. Först skall vi metodiskt behandla den räta linjen för 1 delar från den för 1½ delar och den för ¾ delar och ställer upp en hjälpsats, som, även om den inte generellt kan bestämma storlekarna, ändå för dessa i detta avseende små går skillnaden i bestämmandena att bemästra.

Ty jag säger, att om i en cirkel två olika räta linjer dras igenom, har den större ett mindre förhållande till den mindre än cirkelbågen på den större räta linjen har till den på den mindre.

Ty låt ΑΒΓΔ vara en cirkel och drag igenom den två olika räta linjer, en mindre, ΑΒ, och en större, ΒΓ. Jag säger, att den räta linjen, ΓΒ, har ett mindre förhållande till den räta linjen, ΒΑ, än cirkelbågen ΒΓ till cirkelbågen ΒΑ. Ty låt ha delat vinkeln ΑΒΓ i hälften av ΒΔ och låt ha förenat ΑΕΓ, ΑΔ och ΓΔ. Och eftersom vinkeln ΑΒΓ delas i hälften av den räta linjen ΒΕΔ, är den räta linjen ΓΔ lika med ΑΔ och ΓΕ är större än ΕΑ. Låt så ΔΖ ha dragits från Δ vinkelrät mot ΑΕΓ. Eftersom nu ΑΔ är större än ΕΔ och ΕΔ än ΔΖ, alltså skär cirkeln med medelpunkten i Δ och dragen med radien ΔΕ ΑΔ och når bortom ΔΖ. Låt ΗΕΘ ha dragits och låt ΔΖΘ ha dragits ut. Och eftersom cirkelsektorn ΔΕΘ är större än triangeln ΔΕΖ och triangeln ΔΕΑ är större än cirkelsektorn ΔΕΗ, har alltså triangeln ΔΕΖ ett mindre förhållande till triangeln ΔΕΑ än cirkelsektorn ΔΕΘ har till ΔΕΗ. Men som triangeln ΔΕΖ är till triangeln ΔΕΑ, så är den räta linjen ΕΖ till ΕΑ och som cirkelsektorn ΔΕΘ är till ΕΔΑ, så är vinkeln ΖΔΕ till ΕΔΑ, alltså har den räta linjen ΖΕ ett mindre förhållande till ΕΑ än vinkeln ΖΔΕ till ΕΔΑ. och alltså, genom komposition, har den räta linjen ΖΑ ett mindre förhållande till ΕΑ än vinkeln ΖΔΑ till ΑΔΕ och dubblerande de föregående, har den räta linjen ΓΑ ett mindre förhållande till ΑΕ än vinkeln ΓΔΑ till ΕΔΑ. Och genom fördelning har den räta linjen ΓΕ ett mindre förhållande till ΕΑ än vinkeln ΓΔΕ till ΕΔΑ. Men som den räta linjen ΓΕ är till ΕΑ, så är den räta linjen ΓΒ till ΒΑ och som vinkeln ΓΔΒ är till ΒΔΑ, så är cirkelbågen ΓΒ till ΒΑ, alltså har den räta linjen ΓΒ ett mindre förhållande till ΒΑ än cirkelbågen ΓΒ till cirkelbågen ΒΑ.

Låt, sedan detta så antagits, ΑΒΓ vara en cirkel och låt i den två räta linjer ha dragits, ΑΒ och ΒΓ. Låt så först anta, att ΑΒ spänner upp ¾ av en del och ΑΓ 1 del. Eftersom den räta linjen ΑΓ har ett mindre förhållande till den räta linjen ΒΑ än cirkelbågen ΑΓ till ΑΒ, och cirkelbågen ΑΓ är en och en tredjedel av ΑΒ, är alltså den räta linjen ΓΑ mindre än en och en tredjedel av ΒΑ. Men den räta linjen ΑΒ har visats vara 0;47,8 sådana, som diametern är 120, alltså är den räta linjen ΓΑ mindre än 1;2;50 av desamma, ty detta är ungefär en och en tredjedel av 0;47,8.

Låt åter, enligt samma figur, den räta linjen ΑΒ spänna upp 1 del och ΑΓ 1½ delar. Då på grund av detsamma, eftersom cirkelbågen ΑΓ är 1½ av ΑΒ, alltså är den räta linjen ΓΑ mindre än 1½ ΒΑ. Men vi har visat ΑΓ vara 1;34,15 sådana, som diametarn är 120. Alltså är den räta linjen ΑΒ större än 1;2,50 av dem, ty av dessa är den föregående 1½ av 1;34,15. Så att, eftersom den räta linjen, som spänner upp 1 del, har visats vara både större och mindre än dessa, skall vi klart ha denna såsom 1;2,50 sådana, som diametern är 120. Och med hjälp av det förevisade också den för ½ del, som skall finnas vara ungefär 0;31,25 av desamma. Och de resterande intervallen, som vi sagt, fylls i, ur summan av den för en och en halv delar - såsom exempel ur det första intervallet - och den för en halv del visade fylls 2 delar i, samt ur skillnaden mellan denna och den för 3 delar ges den för 2½ delar och så vidare för de resterande.

Sålunda, anser jag, behandlas studiet av räta linjer i cirklar mycket enkelt. Och för att, som jag sade, vi för varje behov må ha de räta linjernas värden behändigt samlade, skall vi sätta upp en tabell med 45 rader, för symmetrinsC C) Tabellen är alltså anpassad till det normala antalet rader på papyrusrullar. skull, vars första del skall innehålla storlekarna av cirkelbågarna stigande med en halv del, den andra storlekarna av de räta linjerna liggande intill cirkelbågarna, såsom diametern spänns upp av 120 snitt, den tredje 30:e-delar av inkrementet av de räta linjerna efter varje halvdel, för att, har vi en uppskattning av sextiondedelens medelvärde, som för sinnet är oskiljbar från det exakta, kan vi behändigt även beräkna storlekarna tillhörande delarna mellan de halva. Och det inses lätt, att tack vare dessa och de förevisade satserna, även om vi genom skrivfel hamnat i tvekan över någon av de i tabellen införda räta linjerna, skall vi enkelt göra både undersökningen och rättelsen, antingen från den för den dubbla av den sökta, från skillnaden mellan några andra av de givna, eller från den räta linjen, som spänner upp resten av halvcirkeln. Och sådan är tabellens nedskrift: