Diofantos' notation

apparatknappSpråkval

ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Α.

Τὴν εὕρεσιν τῶν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς προβλημάτων, [T.2] τιμιώτατέ μοι Διονύσιε, γιγώσκων δε σπουδαίως ἔχοντα 5μαθεῖν, ὀργανῶσαι τὴν μέθοδον ἐπιράθην. ἀρξ­άμενος ἀφ' ὧν συνέστηκε τὰ πράγματα θεμελίων, ὑπο­στῆσαι τὴν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς φύσιν τε καὶ δύναμιν.

Ἴσως μὲν οὖν δοκεῖ τὸ πρᾶγμα δυσχερέστερον, ἐπειδὴ μήπω γνώριμόν ἐστιν, συσέλπιστοι γὰρ εἰς 10κατόρθωσίν εἰσιν αἱ τῶν ἀρχομένων ψυχαί, ὅμως δ' εὐκατάληπτόν σοι γενήσεται, διά τε τὴν σὴν προθυ­μίαν καὶ τὴν ἐμὴν ἀπόδειξιν· ταχεῖα γὰρ εἰς μάθησιν ἐπιθυμία προσλαβοῦσα διδαχήν.

Ἀλλα καὶ πρὸς τοῖσδε γινώσκοντί σοι πάντας τοὺς 15ἀριθμοὺς συγκειμένους ἐκ μονάδων πλήθους τινός, φανερὸν καθέστηκεν εἰς ἄπειρον ἔειν τὴν ὕπαρξιν. τυγχανόντων δὴ οὖν ἐν τούτοις

ὧν μὲν τετραγώνων, οἵ εἰσιν ἐξ ἀριθμοῦ τινος ἐφ' ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος· οὗτος δὲ ὁ ἀριθμὸς καλεῖ­20ται πλευρὰ τοῦ τετραγώνου·

ὧν δὲ κύβων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐπὶ τὰς αὐ­τῶν πλευρὰς πολυπλασιασθέντων,

1-2 Titulum om. Ba. 5 ὀργανῶσαι τὴν μέθοδον om. A. 9 ἐστιν in compend. A, ἐστι B. 11 τε om. Ba. 19 πολλαπλ. B (item infra 22, p.4, 2, 4, 7, 8). 21/22 αὐτῶν A Ba ἑαυτῶν B.

ὧν δὲ δυναμοδυνάμεων, οἵ εἰσιν ἐκ τετργώνων [T.4] ἐφ' ἑατοὺς πολυπλασιασθέντων,

ὧν δὲ δυναμοκύβων, οἵ εἰσιν τετραγώνων ἐπὶ τοὺς ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτοῖς πλευρᾶς κύβους πολυπλα­5σιασθέντων,

ὧν δὲ κυβοκύβων, οἵ εἰσιν ἐκ κύβων ἐφ' ἑαυτοὺς πολυπλασιασθέντων, ἔκ τε τῆς τούτων ἤτοι συνθέσεως ἢ ὑπεροχῆς ἢ πολυπλασιασμοῦ ἢ λόγου τοῦ πρὸς ἀλλή­λους ἢ καὶ ἑκάστων πρὸς τὰς ἰδίας πλευρὰς συμβαίνειν 10πλέκεσθαι πλεῖστα προβλήματα ἀριθμητικα· λύεται δὲ βαδίζοντός σου τὴν ὑποδειχθησομένην ὁδόν.

Ἐδοκιμάσθη οὖν ἕκαστος τούτων τῶν ἀριθμῶν συντομωτέραν ἐπωνυμίαν κτησάμενος στοιχεῖον τῆς ἀριθμητικῆς θεωρίας εἶναι· καλεῖται οὖν ὁ μὲν τετρά­15γωνος δύναμις καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Δ ἐπίση- μον ἔχον Υ, ΔΥ δύναμις·

ὁ δὲ κύβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον Κ ἐπίσημον ἔχον Υ, ΚΥ κύβος·

ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐφ' ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος 20δυναμοδύναμις καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δέλτα δύο ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΔΥΔ δυναμοδύναμις·

ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτῷ πλευρᾶς κύνβου πολυπλασιασθέντος δυναμόκυβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὰ ΔΚ ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΔΚΥ 25δυναμόκυβος·

ὁ δὲ ἐκ κύβου ἑαυτὸν πολυπλασιάσαντος κυβό-

4 πολυπλασιασθέντων A hic ut B. 7 συνθέσεος Ba. 9 ἢ καὶ ἑκάστου ἢ καὶ ἑκάστων A B. 12 ἐδοκιμάσθη ... εἶναι (14) om. Ba. 15 αὐτῆς B, αὐτῆ A, αὐτῇ Ba. 16 δύναμις habet A ante ΔΥ, om. B. 17 ὁ δὲ] ἐκ τετραγώνου ἐπὶ τὸν αὐτοῦ πλευρὰν πολλαπλασιασθέντος supplet Ba. 18 κύβος (post ΚΥ) om. B. 19 πολλαπλ. A B. 21 ἔχοντα om. Ba. 23 πολυπλασιασθεὶς A, πολλαπλασιασθεὶς B, πολλαπλασιασθέντος corr. Ba. 24 τὰ] τὸ A Ba, om. B. ἔχοντα] ἔχον τὸ Ba. 25 δυναμόκυβος om. B. 26 πολλαπλ. B.

[T.6]κυβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δύο κάππα ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΚΥΚ κυβόκυβος.

ὁ δὲ μηδὲν τούτων τῶν ἰδιωμάτων κτησάμενος, ἔχων δὲ ἐν ἑαυτῷ πλῆθος μονάδων ἀόριστον, ἀριθμὸς, 5καλεῖται καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὸ ϧ.

ἔστι δὲ καὶ ἕτερον σημεῖον τὸ ἀμετάθετον τῶν ὡρισμένων ἡ μονὰς καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Μ ἐπίσημον ἔχον τὸ Ο, Μ ° .

Ὥσπερ δὲ τῶν ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια παρο- 10μοίως καλεῖται τοῖς ἀριθμοῖς, τοῦ μὲν τρία τὸ τρίτρον, τοῦ δὲ τέσσαρα τὸ τέταρτον, οὕτως καὶ τῶν νῦν ἐπ- ονομασηέντων ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια κληθήσεται παρομοίως τοῖς ἀριξμοῖς·

τοῦ μὲν ἀριημοῦ,τὸ ἀριημοστόν,
15τῆς δὲ δυνάμεως,τὸ δυναμοστόν,
τοῦ δὲ κύβου,τὸ κυβοσόν,
τῆς δὲ δυναμοδυνάμεως,τὸ δυναμοδυναμοστόν,
τοῦ δὲ δυναμοκύβου,τὸ δυναμοκυβοστόν,
τοῦ δὲ κυβοκύβου,τὸ κυβοκυβοστόν,

20ἕξει δὲ ἕκαστον αὐτῶν ἐπὶ τὸ ὁομωνύμου ἀριθμοῦ σημεῖον γραμμὴν ˟ διαστέλλουσαν τὸ εἶδος.

Ἐκθέμενος οὖν σοι τὴν ἑκάστου τῶν ἀριθμῶν ἐπωνυμίαν, ἐπὶ τοὺς πολυπλασιασμοὺς αὐτῶν μετα- βήσομαι· ἔσονται δέ σοι καταφανεῖς διὰ τὸ προδεδη- λῶνσθαι σχεδὸν διὰ τῆς ὀνομασίας.

2 κυβόκυβος om. B. 4 ἑαυτῷ] αὐτῷ A. ἀόριστον, ἀσιθμὸς Psellus, ἄλογος ς (ἄλογον propos. Ba). 7 ὡρισμίων male Ba. αὐτῆς B, αὐτῆ A, αὐτῇ Ba. 9/10 παραμοίως] παρονύμως Ba (item 13). 17 δὲ om. Ba. 21 signum ϧ restetui: ἔχον A B. 23 πολλαπλ. A B. μεταβλήσομαι Ba. 25 διὰ τῆς] ἀπὸ τῆς B.

[...]

[...][T.12]

Λεῖψις ἐπὶ λεῖψιν πολλαπλασιασθεῖσα ποιεῖ ὕπαρξιν, 20λεῖψισ δὲ ἐπὶ ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν, καὶ τῆς λείψεως σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον, 𐅢.[1]

21 ἐλλειπὲϛ A.

Diofantos från Alexandria

Arithmetika I

Då jag vet, min mest värderade Dionysios, att du utmärkt klarar att lära dig lösa problem inom aritmetiken, har jag vågat mig på, att lära ut det, som utgör naturen och kraften inom aritmetiken, med början i grunderna, vilka satt samman ämnet.

Likväl tycks kanske saken svårhanterlig, eftersom den ännu inte är välkänd, ty sinnena är oförberedda på framgång i början, ändå skall det bli lättförståeligt för dig, genom din iver och min framställan. Ty iver stödd av undervisning är en snabb väg till kunskap.

Fast utöver detta, som du känner till, är alla tal sammansatta av någon mångfald av enheten och är uppenbart satta, att ha existens i det oändliga. Man råkar alltså bland just dessa på:

kvadraterna, vilka skapas av något tal multiplicerat med sig självt och detta tal kallas kvadratens sida,

kuber, vilka skapas av kvadrater multiplicerade med sina sidor,

kvadratkvadrater, vilka skapas av kvadrater multiplicerade med sig själva,

kvadratkuber, vilka skapas av kvadrater multiplicerade med kuber med samma sida som dem,

kubkuber, vilka skapas av kuber multiplicerade med sig själva. Och antingen av dessas summa, rest, produkt eller förhållande - till varandra eller till och med var och en till de egna sidorna - som de resulterar i, konstrueras de flesta aritmetiska problemen. Och dessa löses sedan du följt den nedan redovisade vägen.

Alltså har vart och ett av dessa tal, givet en förkortad beteckning, erkänts tillhöra den aritmetiska teorins elementa. Sålunda kallas kvadraten på det okändaA A) I princip är δύναμις kvadraten på det okända och τετράγωνος kvadraten på ett tal. kvadrat och dess tecken är ett Δ, som har särtecknet Υ, ΔΥ kvadrat,

kub och dess tecken är ett Κ, som har särtecknet Υ, ΚΥ kub,

det av en kvadrat multiplicerad med sig själv, kvadratkvadrat och dess tecken är två delta, som har särtecknet Υ, ΔΥΔ kvadratkvadrat,

det av en kvadrat multiplicerad med kuben med samma sida som den kvadratkub och dess tecken är ΔΚ, som har särtecknet Υ, ΔΚΥ kvadratkub,

det av en kub multiplicerad med sig själv, kubkub och dess tecken är två kappa, som har särtecknet Υ, ΚΥΚ kubkub,

det, som inte har givits någon av dessa egenskaper och i sig har en obestämd mångfald av enheter, kallas okändB B) Diofantos låter ἀριθμὸς beteckna såväl tal som det okända. och dess tecken är x.

Dessutom har det oföränderliga av de bestämda talen, enheten, ett annat tecken och detta tecken är ett Μ, som har särtecknet Ο, Μ ° .

Såsom talens likabenämnda delar benämns snarligt med talen, treans del tredjedel och fyrans fjärdedel, på samma sätt benämns även de nu nämnda talens likabenämnda delar snarlikt med talen:

Den okändas,okänddelen,
kvadratens,kvadratdelen,
kubens,kubdelen,
kvadratkvadratens,kvadratkvadratdelen,
kvadratkubens,kvadratkubdelen,
kubkubens,kubkubdelen,

och vart och ett av dem kommer att på det likabenämnda talets tecken ha figuren ˟, som preciserar egenskapen.

Då jag förklarat för dig beteckningen av vart och ett av talen, skall jag gå över till deras multiplikationer, vilka skall vara uppenbara för dig genom det nyss förevisade avseende namnen.

[...]

[...]

Ett negativt tal multiplicerat med ett negativt blir positivt och ett negativt med ett positivt blir negativt. Tecknet för negativa tal är ett Ψ avhugget och vänt neråt, 𐅢.