Archimedes

Antikens störste matematiker

Hans liv

Hans födelse kan bestämmas till 287 f.Kr., eftersom han sägs[1] vara 75 år gammal, när han dödas vid Syrakusas stormning 212 f.Kr. Samstämmigt sägs han komma från Syrakusa och dessutom från enklare omständigheter, fast en del hävdar,[2] att Archimedes familj umgicks i de välbeställda kretsarna kring Syrakusas dåvarande kung Hieron II.A A) Hieron II, ca 308–215, kung i Syrakusa 270-215. Archimedes säger själv i Sandräknaren,[3] att han var son till astronomen Phidias, om vilken vi bara vet vad Archimedes nämner i samma passage, att han bestämde förhållandet mellan solen och månens diametrar.

Ett kuriosum för svenskt vidkommande är vad som nämns i en latinsk översättning av Archimedes verk[4], nämligen, att Sankta LuciaB B) Lucia, ca 283-304, martyr och helgon inom romersk-katolska och ortodoxa kyrkorna, med festdag 13 December. är en släkting till Archimedes, vilket förmodligen är sant, då de flesta syrakusabor som levde så långt efter Archimedes på något sätt torde vara släkt med honom.

Archimedes har med all säkerhet spenderat en tid i Alexandria och där lär han även uppfunnit sin berömda skruv.[5] Dessutom framgår det i Archimedes egna förord till sina verk, att han hade kontakter med kollegor Alexandria, däribland Eratosthenes.C C) Eratosthenes, 276-194, matematiker, geograf m.m.. Några rykten säger också, att Archimedes efter sin tid i Egypten även besökte Spanien, dit han också medfört sin skruv. Eventuellt skall han därpå åter ha besökt Egypten.

Ur källornaD D) Ett klick på en ikon som Källtext visar/döljer käll­texter - JavaScript förutsatt. framgår,[6] att Archimedes, när han var försjunken i något intressant problem, kunde glömma att både äta och tvätta sig. Man lär då med våld tagit med honom för att bada och, enligt dåtidens bruk, smörja in honom med olja, Archimedes skall då ha börjat rita geometriska figurer i oljan på sin kropp, för att kunna fortsätta med sitt problem.

Plundringen av Syrakusa i det andra puniska kriget - en plundring som MarcellusE E) M. Claudius Marcellus, ca 268–208, fem gånger konsul och bl.a. militär befälhavare i andra puniska kriget. i tårar gått med på[7] - förde med sig slutet på även Archimedes' liv, trots att det utgått order om att skona just honom.[8] Det är hos Valerius MaximusF F) Valerius Maximus, författare av bl.a. en samling historiska anektdoter skriven under kejsar Tiberius. som ett yttrande av Archimedes först återges, noli obsecro istum disturbare, vilket senare skulle bli det kända noli turbare circulos meos.[9] I en version[10] återges ett yttrande på grekiska Ἀπόστηθι, ὦ ἄνθροπε, τοῦ διαγράμματός μου och alltså inte på sin egen doriska dialekt. Att Archimedes skulle ha ritat sina figurer i markens sand, får tillskrivas Valerius Maximus sammanblandning av in terra och in pulvere.[11] Det senare, pulvis, vilket avser den finkorniga sand som matematiker då använde i den låda de ritade sina komplicerade figurer i - figurer ritade i markens sand skulle ha fört en alltför osäker tillvaro - används i flera källor, t.ex. som en homunculum e pulvere et radio.[12] källknapp Därför torde Archimedes blivit störd i sitt hem och där bryskt avvisat den romerske soldaten, som kommit för att hämta honom och sålunda stötte sitt svärd i Archimedes.

Archimedes skall ha uttryckt en önskan,[13] källknapp att på sin gravsten få inristat en cylinder omskrivande en sfär samt förhållandet mellan deras volymer och ytor, 3:2, vars upptäckt han höll för sin främsta bedrift.[14] Denna önskan förefaller ha blivit bönhörd, då CiceroG G) M. Tullius Cicero, 106-43, konsul m.m.. som kvestor besökte Syrakusa 75 f.Kr. återfann denna gravsten och kunde bekräfta dess utformning.[15] källknapp

Vita Marcelli, XVII [7] πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς γεγονώς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον, ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεροχῆς τοῦ περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον.

Tusc. V. 23. [64] Non ego iam cum huius vita, qua taetrius miserius detestabilius escogitare nihil possum, Platonis aut Archytae vitam comparabo, doctorum hominum et plane sapientium: ex eadem urbe humilem homunculum a pulvere et radio excitabo, qui multis annis post fuit, Archimedem. Cuius ego quaestor ignoratum ab Syracusanis, cum esse omnino negarent, saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis indagavi sepulcrum. Tenebam enim quosdam senariolos, quos in eius monumento esse inscriptos acceperam, qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro.

Hans praktiska verk

Detta är det område som Archimedes är mest berömd för, både i sin samtid och senare. Många är de anekdoter som är knutna till denna sida av hans gärning, medan hans övriga verk, om det överhuvudtaget är känt, har lämnats till de särskilt intresserade, att tränga djupare in i.

Mekanik

Hierons skrytbygge fartyget Syrakusa byggt av Archias från Korinth under överinseende av Archimedes, kunde på grund av sin storlek inte sjösättas. Detta lyckades emellertid Archimedes med och Hieron lär då ha utropat: Ἀπὸ ταύτης τῆς ἡμέρας περὶ παντὸς Ἀρχιμήδει λέγοντι πιστευτέον.[16]

Det är vid detta tillfälle som Archimedes lär ha sagt πᾶ βῶ, καὶ χαριστίωνι τὰν γᾶν χινήσς πάσαν.[17] Om nu han använde en polyspaston, t.ex. en trispaston, vid detta tillfälle eller om han använde en chariston är inte klarlagt. Den förstnämnda är en talja, egentligen en gina, t.ex. med treskiviga block, vad en chariston är är däremot osäkert, men brukar tolkas som en kranarm på någon sorts cardansk upphängning.

Kransproblemet

Det berättas,[18] att Kung Hieron ville helga en krans (sic!) av guld till de odödliga gudarna och att när kransen är klar finner man riktigt, att den vägde lika mycket som det ursprungliga guldet, men det kvarstod en misstanke, att guld har bytts mot silver i kransen. När kungen misslyckats med att få ut en bekännelse från guldsmeden, tillkallas Archimedes, för att avgöra, hur det ligger till.

Detta problem sysselsätter Archimedes och en dag tar han ett bad - frivilligt eller ej - då han noterar, att ju mer han stiger ned i det fulla karet desto mer vatten rinner över. Detta leder honom till hur han skall lösa kransproblemet och exalterad springer han naken genom Syrakusas gator skrikande εὕρηκα εὕρηκα!

Så som kransproblemet har återgivits, källknapp används inte Archimedes' princip, utan en enkel volymmätning - som dessutom kräver en noggrannhet som är svår att uppnå även idag. Snarare har Archimedes använt sig av sin princip och sin kunskap om hävstänger, genom att hänga upp kransen i på ena sidan av en balansvåg och på andra sidan guld med samma tyngd. Sänks dessa vikter ned i vatten, uppstår en skillnad i skenbar tyngd, om kransen skulle vara uppblandad med silver. Denna skillnad skulle även kunna noteras med en antik balansvåg.

De Architectura, IX, Praefatio, 9 Archimedis vero cum multa miranda inventa et varia fuerint, ex omnibus etiam infinita sollertia id, quod exponam, videtur esse expressum. Nimium Hiero enim Syracusis auctus regia potestate, rebus bene gestis cum auream coronam votivam diis inmortalibus in quodam fano constituisset ponendam, manupretio locavit faciendam et aurum ad sacomam adpendit redemptori. Is ad tempus opus manu factum subtiliter regi adprobavit et ad sacomam pondus coronae visus est praestitisse. [10] Posteaquam indicium est factum dempto auro tantundem argenti in id coronarium opus admixtum esse, indignatus Hiero se contemptum esse neque inveniens, qua ratione id furtum reprehenderet, rogavit Archimeden, uti in se sumeret sibi de eo cogitationem. Tunc is, cum haberet eius rei curam, casu venit in balineum, ibique cum in solium descenderet, animadvertit, quantum corporis sui in eo insideret, tantum aquae extra solium effluere. Itaque cum eius rei rationem explicationis ostendisset, non est moratus, sed exiluit gaudio motus de solio et nudus vadens domum verius significabat clara voce invenisse, quod quaereret; nam currens identidem graece clamabat: εὕρεκα εὕρεκα.

[11] Tum vero ex eo inventionis ingressu duas fecisse dicitur massas aequo pondere, quo etiam fuerat corona, unam ex auro et alteram ex argento. Cum ita fecisset, vas amplum ad summa labra implevit aquae, in quo dimisit argenteam massam. Cuius quanta magnitudo in vasum depressa est, tantum aquae effluxit. Ita exempta massa quanto minus factum fuerat, refudit sextario mensus, ut eodem modo, quo prius fuerat, ad labra aequaretur. Ita ex eo invenit, quantum ad certum pondus argenti ad certam aquae mensuram responderet.

[12] Cum id expertus esset, tum auream massam similiter pleno vaso demisit et ea exempta, eadem ratione mensura addita invenit ex aquae numero non tantum esse: minore quanto minus magno corpore eodem pondere auri massa esset quam argenti. Postea vero repleto vaso in eadem aqua ipsa corona demissa invenit plus aquae defluxisse in coronam quam in auream eodem pondere massam, et ita ex eo, quod fuerit plus aquae in corona quam in massa, ratiocinatus reprehendit argenti in auro mittionem et manifestum furtum redemptoris.

Archimedes' skruv

Huruvida Archimedes är upphovsmannen till denna pump, är omstritt. Somliga håller honom dess ursprung tillgodo,[19] medan flera andra undviker, att nämna honom när de skriver om skruven.[20] Det finns en längre och omständlig beskrivning[21] av dess konstruktion - beskrivningen saknar dessutom klargörande illustrationer.

Planetarium

Archimedes skall enligt många vittnesmål[22] (bl.a. Cicero i De natura deorum II, 34 källknapp, De re publica I 14 källknapp och Tusculanae disputationes I 25 källknapp) ha konstruerat planetarier, vilket han troligen beskrev i sin förlorade skrift περὶ σφαιροποΐτας. I ett av de beskrivna planetarierna rör sig planeterna, solen och månen relativt varandra och fixstjärnorna så som de gör i verkligheten. Genom konstruktioner som dessa fick Archimedes ett närmast övernaturligt rykte som konstruktör.

De natura deorum II, 34. [88] Quod si in Scythiam aut in Brittanniam sphaeram aliquis tulerit hanc, quam nuper familiaris noster effecit Posidonius, cuius singulae conversiones idem efficiunt in sole et in luna et in quinque stellis errantibus, quod efficitur in caelo singulis diebus et noctibus, quis in illa barbaria dubitet, quin ea sphaera sit perfecta ratione; hi autem dubitant de mundo, ex quo et oriuntur et fiunt omnia, casune ipse sit effectus aut necessitate aliqua an ratione ac mente divina, et Archimedem arbitrantur plus valuisse in imitandis sphaerae conversionibus quam naturam in efficiendis; praesertim cum multis partibus sint illa perfecta quam haec simulata sollertius.

De re publica I 14. (21) Tum Philus: 'nihil novi vobis adferam, neque quod a me sit ex cogitatum aut inventum; nam memoria teneo C. Sulpicium Gallum, doctissimum ut scitis hominem, cum idem hoc visum diceretur et esset casu apud M. Marcellum, qui cum eo consul fuerat, sphaeram quam M. Marcelli avus captis Syracusis ex urbe locupletissima atque ornatissima sustulisset, cum aliud nihil ex tanta praeda domum suam deportavisset, iussisse proferri; cuius ego sphaerae cum persaepe propter Archimedi gloriam nomen audissem, speciem ipsam non sum tanto opere admiratus; erat enim illa venustior et nobilior in volgus, quam ab eodem Archimede factam posuerat in templo Virtutis Marcellus idem. (22) sed posteaquam coepit rationem huius operis scientissime Gallus exponere, plus in illo Siculo ingenii quam videretur natura humana ferre potuisse iudicabam fuisse. dicebat enim Gallus sphaerae illius alterius solidae atque plenae vetus esse inventum, et eam a Thalete Milesio primum esse tornatam, post autem ab Eudoxo Cnidio, discipulo ut ferebat Platonis, eandem illam astris quae caelo inhaererent esse descriptam; cuius omnem ornatum et descriptionem sumptam ab Eudoxo multis annis post non astrologiae scientia sed poetica quadam facultate versibus Aratum extulisse. hoc autem sphaerae genus, in quo solis et lunae motus inessent et earum quinque stellarum quae errantes et quasi vagae nominarentur, in illa sphaera solida non potuisse finiri, atque in eo admirandum esse inventum Archimedi, quod excogitasset quem ad modum in dissimillimis motibus inaequabiles et varios cursus servaret una conversio. hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione (***)

Tusc I 25. 63 nam cum Archimedes lunae, solis, quinque errantium motus in sphaeram inligavit, effecit idem quod ille, qui in Timaeo mundum aedificavit, Platonis deus, ut tarditate et celeritate dissimillimos motus una regeret conversio. quod si in hoc mundo fieri sine deo non potest, ne in sphaera quidem eosdem motus Archimedes sine divino ingenio potuisset imitari.

Krigsmaskiner

Till Syrakusas försvar konstruerade Archimedes ett antal olika maskiner. Mycket omtalade blev de kranar som lyte upp skepp för att därpå släppa dem eller släppa stenar på skeppen. Dessa kranar var försedda med krokar, som i dessa sammanhang under antiken kallades järnhänder (i källorna kallade χεῖρα σιδηρᾶν respektive ferrea manus). Livius beskriver, hur en glidande motvikt av bly användes på kranarna, ligger förmodligen närmare sanningen, eftersom en motvikt, till skillnad från användandet av taljor, ger järnhanden den snabbhet som krävs, så att inte fienden hinner vidta motåtgärder. Dessa kranar resulterade i att romarna övergav försöken på en stormning från havet, utan inriktade sig på en långvarig belägring i stället.[23]. Archimedes hade dessutom konstruerat kraftfulla katapulter, som kunde överösa fienden med stenar från långt håll.

På medeltiden dök det även upp uppgifter, att Archimedes' till stadens försvar hade använt sig av speglar, för att sätta eld på de anfallande skeppen. Detta är något som inte nämns av vare sig Polybios, Livius eller Plutarchos. Archimedes har heller inte beskrivit något om t.ex. paraboliska speglars egenskaper, vilket senare kom att behandlas av DioklesH H) Diokles, ca240-180, matematiker och geometriker. i Om brännspeglar.[24] Dessutom tillkommer praktiska problem, som att fartygen inte låg särskilt stilla, besättningen kunde enkelt släcka små uppflammande eldar och att den avgörande attacken från havet skedde på natten.

Beskrivningar av Archimedes' maskiners - utom speglars - roll vid belägringen av Syrakusa finns hos Polybios Polybii Historiae, VIII, 5 et seq. ed F. Hultsch (1868)källknapp, Livius (Ab urbe condita, XXIV, 34) och Plutarchos (Vita Marcelli, XV-XVII, (306-8))[25].

Historiae, VIII, 5 et seq Πλὴν οὗτοι μὲν τὸν τρόπον τοῦτον διηρμοσμένοι προσάγειν διενοοῦντο τοῖς πύργοις· [2] ὁ δὲ προειρημένος ἀνήρ, παρεσκευασμένος ὄργανα πρὸς ἅπαν ἐμβελὲς διάστημα, πόρρωθεν μὲν ἐπιπλέοντας τοῖς εὐτονωτέροις καὶ μείζοσι λιθοβόλοις καὶ βέλεσι τιτρώσκων εἰς ἀπορίαν ἐνέβαλε καὶ δυσχρηστίαν, [3] ὅτε δὲ ταῦθ᾽ ὑπερπετῆ γίνοιτο, τοῖς ἐλάττοσι κατὰ λόγον ἀεὶ πρὸς τὸ παρὸν ἀπόστημα χρώμενος εἰς τοιαύτην ἤγαγε διατροπὴν ὥστε καθόλου κωλύειν αὐτῶν τὴν ὁρμὴν καὶ τὸν ἐπίπλουν, [4] ἕως ὁ Μάρκος δυσθετούμενος ἠναγκάσθη λάθρᾳ νυκτὸς ἔτι ποιήσασθαι τὴν παραγωγήν. [5] γενομένων δ᾽ αὐτῶν ἐντὸς βέλους πρὸς τῇ γῇ, πάλιν ἑτέραν ἡτοιμάκει παρασκευὴν πρὸς τοὺς ἀπομαχομένους ἐκ τῶν πλοίων. [6] ἕως ἀνδρομήκους ὕψους κατεπύκνωσε τρήμασι τὸ τεῖχος ὡς παλαιστιαίοις τὸ μέγεθος κατὰ τὴν ἐκτὸς ἐπιφάνειαν· οἷς τοξότας καὶ σκορπίδια παραστήσας ἐντὸς τοῦ τείχους, καὶ βάλλων διὰ τούτων, ἀχρήστους ἐποίει τοὺς ἐπιβάτας. [7] ἐξ οὗ καὶ μακρὰν ἀφεστῶτας καὶ σύνεγγυς ὄντας τοὺς πολεμίους οὐ μόνον ἀπράκτους παρεσκεύαζε πρὸς τὰς ἰδίας ἐπιβολάς, ἀλλὰ καὶ διέφθειρε τοὺς πλείστους αὐτῶν. [8] ὅτε δὲ τὰς σαμβύκας ἐγχειρήσαιεν ἐξαίρειν, ὄργανα παρ᾽ ὅλον τὸ τεῖχος ἡτοιμάκει, τὸν μὲν λοιπὸν χρόνον ἀφανῆ, κατὰ δὲ τὸν τῆς χρείας καιρὸν ἐκ τῶν ἔσω μερῶν ὑπὲρ τοῦ τείχους ἀνιστάμενα καὶ προπίπτοντα πολὺ τῆς ἐπάλξεως ταῖς κεραίαις· [9] ὧν τινὰ μὲν ἐβάσταζε λίθους οὐκ ἐλάττους δέκα ταλάντων, τινὰ δὲ σηκώματα μολίβδινα. [10] λοιπὸν ὅτε συνεγγίζοιεν αἱ σαμβῦκαι, τότε περιαγόμεναι καρχησίῳ πρὸς τὸ δέον αἱ κεραῖαι διά τινος σχαστηρίας ἠφίεσαν εἰς τὸ κατασκεύασμα τὸν λίθον· [11] ἐξ οὗ συνέβαινε μὴ μόνον αὐτὸ συνθραύεσθαι τοὔργανον, ἀλλὰ καὶ τὴν ναῦν 6 καὶ τοὺς ἐν αὐτῇ κινδυνεύειν ὁλοσχερῶς. τινά τε τῶν μηχανημάτων πάλιν ἐπὶ τοὺς ἐφορμῶντας καὶ προβεβλημένους γέρρα καὶ διὰ τούτων ἠσφαλισμένους πρὸς τὸ μηδὲν πάσχειν ὑπὸ τῶν διὰ τοῦ τείχους φερομένων βελῶν, ἠφίει μὲν καὶ λίθους συμμέτρους πρὸς τὸ φεύγειν ἐκ τῆς πρώρρας τοὺς ἀγωνιζομένους, [2] ἅμα δὲ καὶ καθίει χεῖρα σιδηρᾶν ἐξ ἁλύσεως δεδεμένην, ᾗ δραξάμενος ὁ τὴν κεραίαν οἰακίζων ὅθεν ἐπιλάβοιτο τῆς πρώρρας, κατῆγε τὴν πτέρναν τῆς μηχανῆς ἐντὸς τοῦ τείχους. [3] ὅτε δὲ κουφίζων τὴν πρῶρραν ὀρθὸν ποιήσειε τὸ σκάφος ἐπὶ πρύμναν, τὰς μὲν πτέρνας τῶν ὀργάνων εἰς ἀκίνητον καθῆπτε, τὴν δὲ χεῖρα καὶ τὴν ἅλυσιν ἐκ τῆς μηχανῆς ἐξέρραινε διά τινος σχαστηρίας. [4] οὗ γινομένου τινὰ μὲν τῶν πλοίων πλάγια κατέπιπτε, τινὰ δὲ καὶ κατεστρέφετο, τὰ δὲ πλεῖστα τῆς πρώρρας ἀφ᾽ ὕψους ῥιφθείσης βαπτιζόμενα πλήρη θαλάττης ἐγίνετο καὶ ταραχῆς. [5] Μάρκος δὲ δυσχρηστούμενος ἐπὶ τοῖς ἀπαντωμένοις ὑπ᾽ Ἀρχιμήδους, καὶ θεωρῶν μετὰ βλάβης καὶ χλευασμοῦ τοὺς ἔνδον ἀποτριβομένους αὑτοῦ τὰς ἐπιβολάς, [6] δυσχερῶς μὲν ἔφερε τὸ συμβαῖνον, ὅμως δ᾽ ἐπισκώπτων τὰς αὑτοῦ πράξεις ἔφη ταῖς μὲν ναυσὶν αὐτοῦ κυαθίζειν ἐκ θαλάττης Ἀρχιμήδη, τὰς δὲ σαμβύκας ῥαπιζομένας ὥσπερ ἐκσπόνδους μετ᾽ αἰσχύνης ἐκπεπτωκέναι. [7] καὶ τῆς μὲν κατὰ θάλατταν πολιορκίας τοιοῦτον ἀπέβη τὸ τέλος.

7 Οἱ δὲ περὶ τὸν Ἄππιον εἰς παραπλησίους ἐμπεσόντες δυσχερείας ἀπέστησαν τῆς ἐπιβολῆς. [2] ἔτι μὲν γὰρ ὄντες ἐν ἀποστήματι τοῖς τε πετροβόλοις καὶ καταπέλταις τυπτόμενοι διεφθείροντο, διὰ τὸ θαυμάσιον εἶναι τὴν τῶν βελῶν κατασκευὴν καὶ κατὰ τὸ πλῆθος καὶ κατὰ τὴν ἐνέργειαν, ὡς ἂν Ἱέρωνος μὲν χορηγοῦ γεγονότος, ἀρχιτέκτονος δὲ καὶ δημιουργοῦ τῶν ἐπινοημάτων Ἀρχιμήδους. [3] συνεγγίζοντές γε μὴν πρὸς τὴν πόλιν οἱ μὲν ταῖς διὰ τοῦ τείχους τοξότισιν, ὡς ἐπάνω προεῖπον, κακούμενοι συνεχῶς εἴργοντο τῆς προσόδου: οἱ δὲ μετὰ τῶν γέρρων βιαζόμενοι ταῖς τῶν κατὰ κορυφὴν λίθων καὶ δοκῶν ἐμβολαῖς διεφθείροντο. [4] οὐκ ὀλίγα δὲ καὶ ταῖς χερσὶ ταῖς ἐκ τῶν μηχανῶν ἐκακοποίουν, ὡς καὶ πρότερον εἶπα: σὺν αὐτοῖς γὰρ τοῖς ὅπλοις τοὺς ἄνδρας ἐξαιροῦντες ἐρρίπτουν. [5] τὸ δὲ πέρας, ἀναχωρήσαντες εἰς τὴν παρεμβολὴν καὶ συνεδρεύσαντες μετὰ τῶν χιλιάρχων οἱ περὶ τὸν Ἄππιον, ὁμοθυμαδὸν ἐβουλεύσαντο πάσης ἐλπίδος πεῖραν λαμβάνειν πλὴν τοῦ διὰ πολιορκίας ἑλεῖν τὰς Συρακούσας, ὡς καὶ τέλος ἐποίησαν: [6] ὀκτὼ γὰρ μῆνας τῇ πόλει προσκαθεζόμενοι τῶν μὲν ἄλλων στρατηγημάτων ἢ τολμημάτων οὐδενὸς ἀπέστησαν, τοῦ δὲ πολιορκεῖν οὐδέποτε πεῖραν ἔτι λαβεῖν ἐθάρρησαν. [7] οὕτως εἷς ἀνὴρ καὶ μία ψυχὴ δεόντως ἡρμοσμένη πρὸς ἔνια τῶν πραγμάτων μέγα τι χρῆμα φαίνεται γίνεσθαι καὶ θαυμάσιον. [8] ἐκεῖνοι γοῦν τηλικαύτας δυνάμεις ἔχοντες καὶ κατὰ γῆν καὶ κατὰ θάλατταν, εἰ μὲν ἀφέλοι τις πρεσβύτην ἕνα Συρακοσίων, παραχρῆμα τῆς πόλεως κυριεύσειν ἤλπιζον, [9] τούτου δὲ συμπαρόντος οὐκ ἐθάρρουν οὐδ᾽ ἐπιβαλέσθαι κατά γε τοῦτον τὸν τρόπον, καθ᾽ ὃν ἀμύνασθαι δυνατὸς ἦν Ἀρχιμήδης. [10] οὐ μὴν ἀλλὰ νομίσαντες μάλιστ᾽ ἂν ὑπὸ τῆς τῶν ἀναγκαίων ἐνδείας διὰ τὸ πλῆθος τοὺς ἔνδον ὑποχειρίους σφίσι γενέσθαι, ταύτης ἀντείχοντο τῆς ἐλπίδος: καὶ ταῖς μὲν ναυσὶ τὰς κατὰ θάλατταν ἐπικουρίας αὐτῶν ἐκώλυον, τῷ δὲ πεζῷ στρατεύματι τὰς κατὰ γῆν. βουλόμενοι δὲ μὴ ποιεῖν ἄπρακτον τὸν χρόνον, [11] ἐν ᾧ προσεδρεύουσι ταῖς Συρακούσαις, ἀλλ᾽ ἅμα τι καὶ τῶν ἐκτὸς χρησίμων κατασκευάζεσθαι, διεῖλον οἱ στρατηγοὶ σφᾶς αὐτοὺς καὶ τὴν δύναμιν, [12] ὥστε τὸν μὲν Ἄππιον ἔχοντα δύο μέρη προσκαθῆσθαι τοῖς ἐν τῇ πόλει, τὸ δὲ τρίτον ἀναλαβόντα Μάρκον ἐπιπορεύεσθαι τοὺς τὰ Καρχηδονίων αἱρουμένους κατὰ τὴν Σικελίαν.

Ab urbe condita, XXIV, 34 [34] Et habuisset tanto impetu coepta res fortunam, nisi unus homo Syracusis ea tempestate fuisset. Archimedes is erat, unicus spectator caeli siderumque, mirabilior tamen inuentor ac machinator bellicorum tormentorum operumque quibus si quid hostes ingenti mole agerent ipse perleui momento ludificaretur. murum per inaequales ductum colles, pleraque alta et difficilia aditu, summissa quaedam et quae planis uallibus adiri possent, ut cuique aptum uisum est loco, ita genere omni tormentorum instruxit. Achradinae murum, qui, ut ante dictum est, mari adluitur, sexaginta quinqueremibus Marcellus oppugnabat. ex ceteris nauibus sagittarii funditoresque et uelites etiam, quorum telum ad remittendum inhabile imperitis est, uix quemquam sine uolnere consistere in muro patiebantur; hi, quia spatio missilibus opus est, procul muro tenebant naues: iunctae aliae binae quinqueremes demptis interioribus remis ut latus lateri applicaretur, cum exteriore ordine remorum uelut una nauis agerentur, turres contabulatas machinamentaque alia quatiendis muris portabant. aduersus hunc naualem apparatum Archimedes uariae magnitudinis tormenta in muris disposuit. in eas quae procul erant naues saxa ingenti pondere emittebat; propiores leuioribus eoque magis crebris petebat telis; postremo, ut sui uolnere intacti tela in hostem ingererent, murum ab imo ad summum crebris cubitalibus fere cauis aperuit, per quae caua pars sagittis, pars scorpionibus modicis ex occulto petebant hostem. quae propius quaedam subibant naues quo interiores ictibus tormentorum essent; in eas tollenone super murum eminente ferrea manus firmae catenae inligata cum iniecta prorae esset grauique libramento plumbum recelleret ad solum, suspensa prora nauem in puppim statuebat; dein remissa subito uelut ex muro cadentem nauem cum ingenti trepidatione nautarum ita undae adfligebant ut etiamsi recta recciderat, aliquantum aquae acciperet. ita maritima oppugnatio est elusa omnisque spes eo uersa ut totis uiribus terra adgrederentur. sed ea quoque pars eodem omni apparatu tormentorum instructa erat Hieronis impensis curaque per multos annos, Archimedis unica arte. natura etiam adiuuabat loci, quod saxum, cui imposita muri fundamenta sunt, magna parte ita procliue est ut non solum missa tormento sed etiam quae pondere suo prouoluta essent, grauiter in hostem inciderent. eadem causa ad subeundum arduum aditum instabilemque ingressum praebebat. ita consilio habito, quando omnis conatus ludibrio esset, absistere oppugnatione atque obsidendo tantum arcere terra marique commeatibus hostem placuit.

Vita Marcelli, XV ὡς οὖν προσέβαλον οἱ Ῥωμαῖοι διχόθεν, ἔκπληξις ἦν τῶν Συρακουσίων καὶ σιγὴ διὰ δέος, μηδὲν ἂν ἀνθέξειν πρὸς βίαν καὶ δύναμιν οἰομένων τοσαύτην. σχάσαντος δὲ τὰς μηχανὰς τοῦ Ἀρχιμήδους ἅμα τοῖς μὲν πεζοῖς ἀπήντα τοξεύματά τε παντοδαπὰ καὶ λίθων ὑπέρογκα μεγέθη, ῥοίζῳ καὶ τάχει καταφερομένων ἀπίστῳ, καὶ μηδενὸς ὅλως τὸ βρῖθος στέγοντος ἀθρόους ἀνατρεπόντων τοὺς ὑποπίπτοντας καὶ τὰς τάξεις συγχεόντων, [2] ταῖς δὲ ναυσὶν ἀπὸ τῶν τειχῶν ἄφνω ὑπεραιωρούμεναι κεραῖαι τὰς μὲν ὑπὸ βρίθους στηρίζοντος ἄνωθεν ὠθοῦσαι κατέδυον εἰς βυθόν, τὰς δὲ χερσὶ σιδηραῖς ἢ στόμασιν εἰκασμένοις γεράνων ἀνασπῶσαι πρῴραθεν ὀρθὰς ἐπὶ πρύμναν ἐβάπτιζον, ἢ δι᾽ ἀντιτόνων ἔνδον ἐπιστρεφόμεναι καὶ περιαγόμεναι τοῖς ὑπὸ τὸ τεῖχος πεφυκόσι κρημνοῖς καὶ σκοπέλοις προσήρασσον, ἅμα φθόρῳ πολλῷ τῶν ἐπιβατῶν συντριβομένων, [3] πολλάκις δὲ μετέωρος ἐξαρθεῖσα ναῦς ἀπὸ τῆς θαλάσσης δεῦρο κἀκεῖσε περιδινουμένη καὶ κρεμαμένη θέαμα φρικῶδες ἦν, μέχρι οὗ τῶν ἀνδρῶν ἀπορριφέντων καὶ διασφενδονηθέντων κενὴ προσπέσοι τοῖς τείχεσιν ἢ περι· ολίσθοι τῆς λαβῆς ἀνείσης. ἣν δὲ ὁ Μάρκελλος ἀπὸ τοῦ ζεύγματος ἐπῆγε μηχανήν, σαμβύκη μὲν ἐκαλεῖτο δι᾽ ὁμοιότητά τινα σχήματος πρὸς τὸ μουσικὸν ὄργανον, [4] ἔτι δὲ ἄπωθεν αὐτῆς προσφερομένης πρὸς τὸ τεῖχος ἐξήλατο λίθος δεκατάλαντος ὁλκήν, εἶτα ἕτερος ἐπὶ τούτῳ καὶ τρίτος, ὧν οἱ μὲν αὐτῇ ἐμπεσόντες μεγάλῳ κτύπῳ καὶ κλύδωνι τῆς μηχανῆς τήν τε βάσιν συνηλόησαν καὶ τὸ γόμφωμα διέσεισαν καὶ διέσπασαν τοῦ ζεύγματος, ὥστε2 τὸν Μάρκελλον ἀπορούμενον αὐτόν τε ταῖς ναυσὶν ἀποπλεῖν κατὰ τάχος καὶ τοῖς πεζοῖς ἀναχώρησιν παρεγγυῆσαι.

[5] βουλευομένοις δὲ ἔδοξεν αὐτοῖς ἔτι νυκτὸς, ἂν δύνωνται, προσμῖξαι τοῖς τείχεσι· τοὺς γὰρ τόνους, οἷς χρῆσθαι τὸν Ἀρχιμήδην, ῥύμην ἔχοντας ὑπερπετεῖς ποιήσεσθαι τὰς τῶν βελῶν ἀφέσεις, ἐγγύθεν δὲ καὶ τελέως ἀπράκτους εἶναι διάστημα τῆς πληγῆς οὐκ ἐχούσης. ὁ δ᾽ ἦν, ὡς ἔοικεν, ἐπὶ ταῦτα πάλαι παρεσκευασμένος ὀργάνων τε συμμέτρους πρὸς πᾶν διάστημα κινήσεις καὶ βέλη βραχέα, καὶ διὰ τὸ τεῖχος3 οὐ μεγάλων, πολλῶν δὲ καὶ συνεχῶν τρημάτων ὄντων,4 οἱ σκορπίοι βραχύτονοι μέν, ἐγγύθεν δὲ πλῆξαι παρεστήκεσαν ἀόρατοι τοῖς πολεμίοις.

XVI ὡς οὖν προσέμιξαν οἰόμενοι λανθάνειν, αὖθις αὖ βέλεσι πολλοῖς ἐντυγχάνοντες καὶ πληγαῖς, πετρῶν μὲν ἐκ κεφαλῆς ἐπ᾽ αὐτοὺς φερομένων ὥσπερ πρὸς κάθετον, τοῦ δὲ τείχους τοξεύματα πανταχόθεν ἀναπέμποντος, ἀνεχώρουν ὀπίσω. [2] κἀνταῦθα πάλιν αὐτῶν εἰς μῆκος ἐκτεταγμένων, βελῶν ἐκθεόντων καὶ καταλαμβανόντων ἀπιόντας ἐγίνετο πολὺς μὲν αὐτῶν φθόρος, πολὺς δὲ τῶν νεῶν συγκρουσμός, οὐδὲν ἀντιδρᾶσαι τοὺς πολεμίους δυναμένων, τὰ γὰρ πλεῖστα τῶν ὀργάνων ὑπὸ τὸ τεῖχος ἐσκευοποίητο τῷ Ἀρχιμήδει, καὶ θεομαχοῦσιν ἐῴκεσαν οἱ Ῥωμαῖοι, μυρίων αὐτοῖς κακῶν ἐξ ἀφανοῦς ἐπιχεομένων.

XVII οὐ μὴν ἀλλ᾽ ὁ Μάρκελλος ἀπέφυγέ τε καὶ τοὺς σὺν ἑαυτῷ σκώπτων τεχνίτας καὶ μηχανοποιοὺς ἔλεγεν ‘οὐ παυσόμεθα πρὸς τὸν γεωμετρικὸν τοῦτον Βριάρεων πολεμοῦντες, ὃς ταῖς μὲν ναυσὶν ἡμῶν κυαθίζει ἐκ τῆς θαλάσσης, τὴν δὲ σαμβύκην ῥαπίζων μετ᾽ αἰσχύνης ἐκβέβληκε, τοὺς δὲ μυθικοὺς ἑκατόγχειρας ὑπεραίρει τοσαῦτα βάλλων ἅμα βέλη καθ᾽ ἡμῶν·’ [2] τῷ γὰρ ὄντι πάντες οἱ λοιποὶ Συρακούσιοι σῶμα τῆς Ἀρχιμήδους παρασκευῆς ἦσαν, ἡ δὲ κινοῦσα πάντα καὶ στρέφουσα ψυχὴ μία, τῶν μὲν ἄλλων ὅπλων ἀτρέμα κειμένων, μόνοις δὲ τοῖς ἐκείνου τότε τῆς πόλεως χρωμένης καὶ πρὸς ἄμυναν καὶ πρὸς ἀσφάλειαν. [3] τέλος δὲ τοὺς Ῥωμαίους οὕτω περιφόβους γεγονότας ὁρῶν ὁ Μάρκελλος ὥστ᾽, εἰ καλῴδιον ἢ ξύλον ὑπὲρ τοῦ τείχους μικρὸν ὀφθείη προτεινόμενον, τοῦτο ἐκεῖνο, μηχανήν τινα κινεῖν ἐπ᾽ αὐτοὺς Ἀρχιμήδη βοῶντας ἀποτρέπεσθαι καὶ φεύγειν, ἀπέσχετο μάχης ἁπάσης καὶ προσβολῆς, τὸ λοιπὸν ἐπὶ τῷ χρόνῳ τὴν πολιορκίαν θέμενος.

τηλικοῦτον μέντοι φρόνημα καὶ βάθος ψυχῆς καὶ τοσοῦτον ἐκέκτητο θεωρημάτων πλοῦτον Ἀρχιμήδης ὥστε, ἐφ᾽ οἷς ὄνομα καὶ δόξαν οὐκ ἀνθρωπίνης, ἀλλὰ δαιμονίου τινὸς ἔσχε συνέσεως, [4] μηθὲν ἐθελῆσαι σύγγραμμα περὶ τούτων ἀπολιπεῖν, ἀλλὰ τὴν περὶ τὰ μηχανικὰ πραγματείαν καὶ πᾶσαν ὅλως τέχνην χρείας ἐφαπτομένην ἀγεννῆ καὶ βάναυσον ἡγησάμενος, εἰς ἐκεῖνα καταθέσθαι μόνα τὴν αὐτοῦ φιλοτιμίαν οἷς τὸ καλὸν καὶ περιττὸν ἀμιγὲς τοῦ ἀναγκαίου πρόσεστιν, ἀσύγκριτα μὲν ὄντα τοῖς ἄλλοις, ἔριν δὲ παρέχοντα πρὸς τὴν ὕλην τῇ ἀποδείξει, τῆς μὲν τὸ μέγεθος καὶ τὸ κάλλος, τῆς δὲ τὴν ἀκρίβειαν καὶ τὴν δύναμιν ὑπερφυῆ παρεχομένης· [5] οὐ γὰρ ἔστιν ἐν γεωμετρίᾳ χαλεπωτέρας καὶ βαρυτέρας ὑποθέσεις ἐν ἁπλουστέροις λαβεῖν καὶ καθαρωτέροις στοιχείοις γραφομένας, καὶ τοῦθ᾽ οἱ μὲν εὐφυΐᾳ τοῦ ἀνδρὸς προσάπτουσιν, οἱ δὲ ὑπερβολῇ τινι πόνου νομίζουσιν ἀπόνως πεποιημένῳ καὶ ῥᾳδίως ἕκαστον ἐοικὸς γεγονέναι· ζητῶν μὲν γὰρ οὐκ ἄν τις εὕροι δι᾽ αὐτοῦ τὴν ἀπόδειξιν, ἅμα δὲ τῇ μαθήσει παρίσταται δόξα τοῦ κἂν αὐτὸν εὑρεῖν οὕτω λείαν ὁδὸν ἄγει καὶ ταχεῖαν ἐπὶ τὸ δεικνύμενον. [6] οὔκουν οὐδὲ ἀπιστῆσαι τοῖς περὶ αὐτοῦ λεγομένοις ἐστίν, ὡς ὑπ᾽ οἰκείας δή τινος καὶ συνοίκου θελγόμενος ἀεὶ σειρῆνος ἐλέληστο καὶ σίτου καὶ θεραπείας σώματος ἐξέλειπε, βίᾳ δὲ πολλάκις ἑλκόμενος ἐπ᾽ ἄλειμμα καὶ λουτρόν, ἐν ταῖς ἐσχάραις ἔγραφε σχήματα τῶν γεωμετρικῶν, καὶ τοῦ σώματος ἀληλιμμένου διῆγε τῷ δακτύλῳ γραμμάς, ὑπὸ ἡδονῆς μεγάλης κάτοχος ὢν καὶ μουσόληπτος ἀληθῶς. [7] πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς γεγονώς λέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶν συγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴν ἐπιστήσωσι τῷ τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον, ἐπιγράψαντες τὸν λόγον τῆς ὑπεροχῆς τοῦ περιέχοντος στερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον.

Hans matematiska verk

Detta är det område som Archimedes främst sysselsatte sig med och vilket flertalet av hans skrifter behandlar. Matematik såg han som sin huvudsyssla - det övriga förblev bisysslor.[26] Han behandlade ett flertal områden inom matematiken, varav huvudsakligen följande arbeten finns bevarade:

Om sfären och cylindern

Även Περὶ σφαίρασ καὶ κυλίνδρου eller De Sphaera et Cylindro.

I detta arbete härleder Archimedes vad han ansåg vara sin främsta bedrift, förhållandena mellan volymen respektive ytan av sfären och cylindern. Dessa förhållanden visade sig vara detsamma, nämligen 2:3.

Cirkelns mätning

Även Κύκλου μέτρησισ eller Dimensio Circuli.

I detta korta arbete, vilket troligen är en del av ett större,[27] visar Archimedes, att cirkelns omkrets är tre och mindre än en sjundedel, men mer än 1071, gånger diametern. En utgångspunkt i arbetet är ett rationellt tal inte större än 3, vilket Archimedes utan härledning mycket riktigt anger som 265153.

Läs Archimedes' arbete om cirkelns mätning. Detta verk är ett av dem, som Eutokios kommenterade.

Om konoider och sfäroider

Även Περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων eller De Conoidibus et Sphaeroidibus.

I detta arbete behandlar Archimedes volymen av kroppar, vilka framställts som snitt mellan ett plan och rotationskroppar. Han låter sålunda rotera parabler, hyperbler och ellipser, vilka då ger paraboloider, hyperboloider och ellipsoider (dvs. tillplattade eller utdragna sfäroider). Dessa skär han sedan av med ett plan, först vinkelrätt mot deras rotationsaxel och därefter snett.

Om spiraler

Även Περὶ ἑλίκων eller De Lineis Spiralibus.

I detta arbete behandlar Archimedes den kurva, spiral, som bär hans namn. Dess konstruktion beskrivs en bra bit in i arbetet, på Archimedes doriska dialekt:

Språkval

αʹ. Εἴ κα εὐθεῖα ἐπιζευχθῇ γραμμὰ ἐν ἐπιπέδῳ καὶ μένοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος αὐτας ἰσοταχέως περιενεχθεῖσα ἀποκατασταθῇ πάλιν, ὅθεν ὥρμασεν, ἁμὰ δὲ τᾷ γραμμᾷ περιαγομένᾳ φέρηταί τι σαμεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ κατὰ τᾶς εὐθείας ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος, τὸ σαμεῖον ἕλικα γράψει ἐν τῷ ἐπιπέδῳ.[28]

1. Om en rätlinjig figur förbundits i planet och, dess ena ände fasthållen, jämsnabbt förts runt samt återtagit ursprungsläget och medan figuren förts runt, en punkt rör sig jämsnabbt av sig själv längs den räta linjen från den fasthållna änden, då skall punkten beskriva en spiral i planet.

Plans jämvikt eller plans tyngdpunkter

Även Ἐπιπέδων ἰσορροπιῶν ἢ κέντρα βαρῶν ἐπιπέδων eller De Planorum Aequilibriis sive de Centris Gravitatis Planorum.

I detta arbete i två delar fjärmar sig Archimedes den rena matematiken något, när han behandlar först jämvikt och därigenom hävstången, för att därefter komma in på tyngdpunktsbestämningar för olika plana figurer: parallellogrammer, trianglar och parabler. Hävstångsprincipen formuleras på Archimedes doriska dialekt i en av de inledande satserna:

Språkval

ϛʹ. Τὰ σύμμετρα μεγέθεα ἰσορροπέοντι ἀπὸ μακέων ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντον τοῖς βά­ρεσιν.[29]

6. Kommensurabla storheter är i jämvikt på avstånd som omvänt har samma förhållande som vikterna.

Läs Archimedes' arbete Plans jämvikt eller plans tyngdpunkter del 1 och del 2.

Sandräknaren

Även Ψαμμίτης eller Arenarius.

Detta arbete använder sig Archimedes av, för att beskriva att effektivt sätt att notera stora tal. Det grekiska systemet att skriva tal lämpade sig dittills inte till sådant. För att få något att beskriva med stora tal tänker sig Archimedes, att beräkna antalet sandkorn som ryms i kosmos. En uppgift som visar en annars okänd sida av Archimedes arbeten, nämligen astronomin. Det är i förordet till detta arbete han omtalar sin far astronomen Phidias. Han nämner i det även Aristarchos' från SamosI I) Aristarchos från Samos, ca310-230, astronom och matematiker känd som en tidig förespråkare av den heliocentriska världsbilden samt för sina beräkningar av månens och solens storlekar. heliocentriska världsbild och samtida uppfattningar om storleken på kosmos.

Läs Archimedes' arbete Sandräknaren.

Parabelns kvadratur

Även Τετραγωνισμὸς παραβολῆς eller Quadratura Parabolae.

Objects are not supported by your browser!

I detta arbete visar Archimedes två sätt att beräkna arean av ett snitt mellan en linje och en parabel. Han visar att dess area är lika med 43 av triangeln med samma bas (AC) och samma höjd (från basen till tangeringspunkten B). Han använder sig först av exhaustionsprincipen, vilken han även i andra arbeten använt sig av, och därpå av en rent geometrisk lösning, där han utnyttjar, att 1 + 14 + 142 + ... + 14n-1 + 14n + 13 · 14n = 43 , då n går mot oändligheten, som man säger idag.

Om flytande kroppar

Även Ὀχουμένων och Περὶ τῶν ὕδατι ἐφισταμένων ἢ περὶ ὀχουμένων eller De Corporibus Fluitantibus och De Iis, Quae in Humido Vehuntur.

Det är i detta arbetes första del vi finner Archimedes' formulering av sin hydrostatiska princip.

εʹ. Τῶν στερεῶν μεγεθῶν τὰ τοῦ ὑγδοῦ κουφότερα εἰς τὸ ὑγρὸν καθειμένα ἐπὶ τοσοῦτον βαπτισθήσεται, ἐφ' ὅσον τοσοῦτον τοῦ ὑγδροῦ ὄγκον, ὅσος ἐστὶν ὁ τοῦ βαπτισθέντος μέρους, ἰσοβαρεῖ εἶναι τῷ ὅλῳ μεγέθει.[30]

5. Solida kroppar lättare än en vätska, som har lagts ned i vätskan, sjunker ned ända tills vikten av vätskan, som den sjunkna delen rymmer, har samma vikt som hela kroppen.

Den andra delen ägnar Archimedes åt paraboloidsegments stabilitet, när dessa flyter i vätskor. Detta anses av många vara hans mest mogna arbete.

Boskapsproblemet

Även Πρόβλημα βοεικόν eller Problema Bovinum.

Att Solen, Helios, hade boskap på Sicilien, Treuddsön, var åtminstone känt från Homeros Sången om Odysseus. Där beskrivs boskapen på följande sätt:

127Θρινακίην δ᾽ ἐς νῆσον ἀφίξεαι· ἔνθα δὲ πολλαὶ
βόσκοντ᾽ Ἠελίοιο βόες καὶ ἴφια μῆλα,
ἑπτὰ βοῶν ἀγέλαι, τόσα δ᾽ οἰῶν πώεα καλά,
πεντήκοντα δ᾽ ἕκαστα.[31]

Till Treuddsön till skall du komma, där Helios' många kor och feta får betar, sju är kornas hjordar och så många fårens sköna flockar, femtio i var och en.

Hos Homeros fanns det alltså trehundrafemtio djur i hjordarna, men i det epigram som återfanns av LessingJ J) Gotthold Ephraim Lessing, 1729-1781, tysk dramatiker, kritiker och författare. 1773 beskrivs hjordarnas sammansättning annorlunda och det är upp till mottagaren av epigrammet, Eratosthenes, att beräkna hjordarnas storlekar. Nu räckte inte dennes livslängd till, utan det dröjde närmare tjugotvå sekler innan en lösning kunde presenteras. Några lösningar av problemet presenteras på Archimedes Home Page.

Läs Lessings artikel om boskapsproblemet.

Om Metoden

Även Περὶ τῶν μηχανικῶν θεωρημάτων προς Ἐρατοσθένην ἐφόδιον eller De mechanicis propositionibus ad Eratosthenem methodus.

Det är i detta arbete som Archimedes kommer snubblande nära vår nutida integrationsteori, men i avsaknad av ett gränsvärdesbegrepp, når han inte ända fram och kan därför bara se metoden som ett inte helt bevisat alternativ till exhaustionsprincipen.

Stomachion

Även Στομάχιον eller Loculus Archimedius.

Objects are not supported by your browser!

Det som finns kvar av Archimedes' arbete kring detta antika pussel har kompletterats, sedan det omtalade archimedespalimpsestet började studeras med nutida metoder. Dessa studier har resulterat i intressanta teorier om syftet med Archimedes' egna arbete kring pusslet. Rekonstruktionen av just detta arbete pågår som en del av rekonstruktionen av hela palimpsestet.[32]

Om man inte nöjer sig med, att pussla ihop olika figurer föreställande olika växter, djur m.m., kan man försöka hitta några av de 17152 olika kombinationer som resulterar i en kvadrat, egentligen 536 olika som efter speglingar och rotationer blir många fler.

Läs Archimedes' Stomachion genom Heibergs och Suters texter.