Plans jämvikt II

Archimedes

H.188

Ἐπιπέδων ἰσορροπιῶν βʹ.

Plans jämvikt II.

αʹ.

Εἴ κα δύο χωρία περιεχόμενα ὑπὸ τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνον τομᾶς, ἃ δυνάμεθα παρὰ τὰν δο­θεῖαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν, μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἔχωντι, τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων αὐτῶν συκειμένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται ἐπὶ τᾶς εὐ­θείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ βάρεος αὐτῶν διαιρέον οὕτως τὰν εἰρημέναν εὐθεῖαν, ὥστε τὰ τμά­ματα αὐτᾶς ἀντιπεπονθότως τὸν αὐτὸν λόγον ἔχειν τοῖς χωρίοις.

ἔστω δύο χωρία τὰ ΑΒ, ΓΔ, οἷα εἰρήται· κένν­τρα δὲ αὐτῶν τοῦ βάρεος ἔστω τὰ Ε, Ζ σαμεῖα, καὶ ὃν ἔχει λόγον τὸ ΑΒ ποτὶ τὸ ΓΔ, τοῦτον ἐχέτω ἁ Objects are not supported by your browser! ΖΘ ποτὶ ΘΕ. δεικτέον, ὅτι τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν H.190 ΑΒ, ΓΔ χωρίων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ σαμεῖον.

ἔστω δὲ τᾷ μὲν ΕΘ ἑκατέρα ἴσα τᾶν ΖΗ, ΖΚ, τᾷ δὲ ΖΘ, τοθτέστιν τᾷ ΗΕ, ἴσα ἁ ΕΛ. ἐσσείται ἄρα καὶ ἁ ΛΘ τᾷ ΚΘ ἴσα, καὶ ἔτι, ὡς ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ, οὕτως τὸ ΑΒ ποτὶ ΓΔ· διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας. παραβεβλήσθω δὴ παρὰ τὰν ΛΗ τὸ χωρίον τοῦ ΑΒ ἐφ' ἑκάτερα τᾶς ΛΗ, ὥστε εἶμεν τὸ ΜΝ ἴσον τῷ ΑΒ. ἐσσείται δὴ τοῦ ΜΝ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ε σα­μεῖον. συμπεπληρώσθω δὴ τὸ ΝΞ. ἕξει δὴ τὸ ΜΝ ποτὶ τὸ ΝΞ λόγον, ὃν ἁ ΛΗ ποτὶ ΗΚ. ἔχει δὲ καὶ τὸ ΑΒ ποτὶ τὸ ΓΔ τὸν τᾶς ΛΗ ποτὶ ΗΚ λόγον. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ ποτὶ ΓΔ, οὓτως τὸ ΜΝ ποτὶ ΝΞ. κεὶ ἐναλλάξ. ἴσον δὲ τὸ ΑΒ τῷ ΜΝ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΓΔ τῷ ΝΞ. καὶ κέντρον ἐστὶν αὐτοῦ τοῦ βάρεος τὸ Ζ σαμεῖον. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶν ἁ ΛΘ τᾷ ΘΚ, καὶ ὅλα ἁ ΛΚ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς δίχα τέμνει, τοῦ ὅλου τοῦ ΠΜ κέντρον τοῦ βάρεος ἐστι τὸ Θ σαμεῖον. ἀλλὰ τὸ ΜΠ ἴσον τῷ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΜΝ, ΝΞ. ὥστε καὶ τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΒ, ΓΔ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος τὸ Θ σαμεῖον.

1.

Om två områden är omskrivna av en rät linje och snittet av en rätvinklig kon,A A) Archimedes använder inte beteckningen παραβολή, när han talar om parabeln, utan använder en beskrivning av hur den åstadkoms, dvs. så som den åstadkoms före Apollonios. vilka vi kan applicera på en given rät linje, och de inte har samma tyngdpunkt, skall den, av dem båda sammanlagda storhetens tyngdpunkt, ligga på den räta linjen, som förbinder deras tyngdpunkter, och sålunda dela den nämnda räta linjen, så att snitten omvänt har samma förhållande som områdena.

Låt ΑΒ och ΓΔ vara de två områden, som nämnts. Låt också deras tyngdpunkter vara punkterna Ε och Ζ samt det förhållande ΑΒ har till ΓΔ, låt ΖΘ ha detta till ΘΕ. Det skall visas, att storhetens av både ΑΒ och ΓΔ sammanlagda tyngdpunkt är punkten Θ.

Låt var och en av ΖΗ och ΖΚ vara lika med ΕΘ samt ΕΛ lika med ΖΘ, det vill säge ΗΕ. Alltså skall även ΛΘ vara lika med ΚΘ och dessutom, som ΛΗ är till ΗΚ, så är ΑΒ till ΓΔ, ty var och en är dubbla var och en. Låt så ha applicerat området ΑΒ på ΛΗ - på båda sidorna av ΛΗ, så att ΜΝ är lika med ΑΒ. Då skall ΜΝ:s tyngdpunkt vara punkten Ε.Euc.Prop.1.10 Låt så rektangeln ΝΞ ha fullbordats. Då skall ΜΝ ha ett förhållande till ΝΞ, som det ΛΗ har till ΗΚ.Euc.Prop.6.1 Och även ΑΒ har ΛΗ:s förhållande till ΗΚ till ΓΔ. Och alltså som ΑΒ är till ΓΔ, så är ΜΝ till ΝΞ. och alternerat.Euc.Prop.5.16 Och ΑΒ är lika med ΜΝ. Alltså även ΓΔ lika med ΝΞ. Och dess tyngdpunkt är punkten Ζ. Och eftersom ΛΘ är lika med ΘΚ och hela ΛΚ delar motstående sidorna i hälften, är punkten Θ hela ΠΜ:s tyngdpunkt.Euc.Prop.1.10 Men ΜΠ är lika med storhetens av de båda ΜΝ och ΝΞ. Därför är även storhetens av de båda ΑΒ och ΓΔ tyngdpunkt punkten Θ.

H.192

βʹ.

Εἴ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου χώρου τομᾶς τρίγωνον ἐγγραφῇ τὰν αὐ­τὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον, καὶ πάλιν εἰς τὰ καταλειπόμενα τμάματα τρίγωονα ἐγγραφέωντι τὰς αὐτὰς βασίας ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος ἴσον, καὶ ἀεὶ εἰς τὰ καταλειπόμενα τμάματα τρίγωονα ἐγγραφέωντι τὸν αὐτὸν τρόπον, τὸ γενόμενον σχῆμα ἐν τῷ τμάματι γνωρίμως ἐγγραφέντος λεγέσθω. φανε­ρὸν δέ, ὅτι τοῦ οὕτως ἐγγραφέντος σχήματος αἱ τὰς γωνίας ἐπιζευγνυούσαι τάς τε ἔγγιστα ἀπὸ τᾶς κορυ­φᾶς τοῦ τμάματος καὶ τὰς ἑξῆς παρὰ τὰν βάσιν ἐσ­σούνται τοῦ τμάματος, καὶ δίχα τμαθησόνται ὑπὸ τᾶς τοῦ τμάματος διαμέτρου, καὶ τὰν διάμετρον τεμοῦντι εἰς τοὺς τῶν ἑξῆς περισσῶν ἀριθμῶν λόγους, ἑνὸς λεγομένου ποτὶ τᾷ κορυφᾷ τοῦ τμάματος. ταῦτα δὲ δεικτέον ἐν ταῖς τάξεσιν.

Εἰ δ' κα εἰς τμᾶμα περιεχενον ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς εὐθύγραμμον γνωρίμως ἐγγραφῇ, τὸ τοῦ ἐγγραφέντος κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσείται ἐπὶ τᾶς τοῦ τμάματος διαμέτρου.

ἔστω τμᾶμα τὸ ΑΒΓ, οἷον εἰρήται, καὶ ἐγγράφθω εἰς αὐτὸ εὐθύγραμμον γνωρίμως τὸ ΑΕΖΗΒΘΙΚΓ. δεικτέον, ὅτι τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ εὐθυγράμμου ἐστὶν ἐπὶ τᾶς ΒΔ.

H.194

ἐπεὶ γὰρ τοῦ μὲν ΑΕΚΓ τραπεζίου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΛΔ ἐστι, τοῦ δὲ ΕΖΙΚ τρα­πεζίου Objects are not supported by your browser! τὸ κέντρον ἐπὶ τᾶς ΜΝ, ἔτι δὲ καὶ τοῦ ΗΒΘ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΒΝ, δῆλον, ὄτι καὶ τοῦ ὅλου εὐθυγράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΒΔ ἐστιν.

2.

Om i ett snitt, som är omslutet av en rät linje och en rätvinklig kons snitt, en triangel skrivs in, vilken har samma bas som snittet och höjden lika, och i de efterlämnade snitten åter trianglar inskrivs, vilka har samma baser som snitten och höjden lika, och kontinuerligt trianglar skrivs in på samma sätt i de efterlämnade snitten, låt då den resulterande figuren sägas vara särskilt inskriven i snittet. Det är också uppenbart i en figur, som inskrivits på detta sätt, att de räta linjer, som sammanbinder vinklarna, såväl de närmast toppen av snittet som de därpå, skall vara parallella med basen av snittet, att de räta linjerna skall delas i hälften av snittets diameter och att de räta linjerna delar diametern i förhållanden som mellan de udda talen i följd - där ett ligger vid toppen av snittet. Även detta skall visas i sin tur.

Och om i ett snitt, som är omslutet av en rät linje och en rätvinklig kons snitt, en rätlinjig figur särskilt skrivs in, skall den inskrivna figurens tyngdpunkt ligga på snittets diameter.

Låt ΑΒΓ vara snittet, som nämnts, och låt särskilt ha skrivit in den rätlinjiga figuren ΑΕΖΗΒΘΙΚΓ i den. Det skall visas, att den rätlinjiga figurens tyngdpunkt ligger på ΒΔ.

Ty eftersom trapetsen ΑΕΚΓ:s tyngdpunkt ligger på ΛΔ och trapetsen ΕΖΙΚ:s tyngdpunkt på ΜΝ och dessutom triangeln ΗΒΘ:s tyngdpunkt på ΒΝ, är det uppenbart, att även hela den rätlinjiga figurens tyngdpunkt ligger på ΒΔ.

γʹ.

Εἴ κα δύο τμαμάτων ὁμοίων περιεχομένων ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς εἰς ἑκάτερον εὐθύγραμμον ἐγγραφῇ γνωρίμως, ἔχωντι δὲ τὰ ἐγγρα­φέντα εὐθύγραμμα τὰς πλευρὰς ἴσας τῷ πλήθει ἀλλά­λαις, τῶν εὐθυγράμμων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως τέμνοντι τὰς διαμέτρους τῶν τμαμάτων.

ἔστω δύο τμάματα τὰ ΑΒΓ, ΞΟΠ, καὶ ἐγγράφθω εἰς αὐτὰ εὐθύγραμμα γνωρίμως, καὶ τᾶν πασᾶν πλευ­ρᾶν τὸν ἀριθμὸν ἐχόντων ἀλλάλοις ἴσον. διαμέτροι δὲ ἔστωσαν τῶν τμαμάτων αἱ ΒΔ, ΟΡ, καὶ ἐπεζεύχ­θωσαν αἱ ΕΚ, ΖΙ, ΗΘ καὶ ΣΤ, ΥΦ, ΧΨ. ἐπεὶ H.196 οὖν ἅ τε ΒΔ διαιρείται ὑπὸ τᾶν παραλλήλων εἰς τοὺς τῶν ἑξῆς ἀριθμῶν περισσῶν λόγους, καὶ ἁ ΡΟ, καὶ τῷ πλήθει τὰ τμὰματα αὐτᾶν ἴσα ἐντί, δῆλον, ὡς τά Objects are not supported by your browser! τε τμάματα τᾶν διαμέτρων ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοῖς ἐσ­σείται, καὶ αἱ παραλλήλοι τοὺς αὐτοὺς λόγους ἑξοῦντι. καὶ τῶν τραπεζίων τοῦ τε ΑΕΚΓ καὶ τοῦ ΞΣΤΠ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐσσείται ἐπὶ τᾶν ΛΔ, ΩΡ εὐθειᾶν ὁμοίως κείμενα, ἐπεὶ τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον αἱ ΑΓ, ΕΚ ταῖς ΧΠ, ΣΤ. πάλιν δὲ καὶ τῶν ΕΖΙΚ, ΣΥΦΤ τραπεζίων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐσσούνται ὁμοίως διαιρέοντα τὰς ΛΜ, ΩϠ, καὶ τῶν ΖΗΘΙ, ΥΧΨΦ τραπεζίων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐσσούνται H.198 ὁμοίως διαιρέοντα τὰς ΜΝ, Ϡϙ. ἐσσείται δὲ καὶ τῶν ΗΒΘ, ΧΟΨ τριγώνων τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐπὶ τᾶν ΒΝ, Οϙ ὁμοίως κείμενα. ἔχοντι δὴ τὸν αὐτὸν λόγον τὰ τραπέζια καὶ τὰ τρίγωνα. δῆλον οὖν, ὅτι τοῦ ὅλου εὐθυγράμμου τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓ τμάματι ἐγγε­γραμμένου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ὁμοίως διαιρεῖ τὰν ΒΔ, καὶ τοῦ ἐν τῷ ΞΟΠ τμάματι ἐγγεγραμμένου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὰν ΟΡ. ὅπερ ἔδει δείξαι.

3.

Om i var och en av två likformiga snitt,Prop.1.13 vilka är omslutna av en rät linje och en rätvinklig kons snitt, en rätlinjig figur särskilt skrivs in, och de inskrivna rätlinjiga figurerna har sidornas antal lika med varandra, delar de rätlinjiga figurernas tyngdpunkter snittens diametrar på samma sätt.

Låt ΑΒΓ och ΞΟΠ vara två snitt, låt särskilt ha skrivit in den rätlinjiga figuren och de har alla sidors antal lika med varandra. Låt så snittens diametrar vara ΒΔ och ΟΡ samt låt ha förbundit ΕΚ, ΖΙ och ΗΘ respektive ΣΤ, ΥΦ och ΧΨ. Eftersom då både ΒΔ och ΡΟ delas av de parallella i förhållanden som mellan de udda talen i följd och deras snitt är lika till antalet, är det uppenbart, att diametrarnas snitt skall ha samma förhållande och att parallellerna skall ha samma förhållande. Och hos trapetserna skall både ΑΕΚΓ:s och ΞΣΤΠ:s tyngdpunkter ligga på samma sätt på de räta linjerna ΛΔ och ΩΡ, eftersom ΑΓ och ΕΚ har samma förhållande som ΧΠ och ΣΤ. Åter även trapetserna ΕΖΙΚ:s och ΣΥΦΤ:s tyngdpunkter skall ligga på samma sätt delande ΛΜ och ΩϠ samt trapetserna ΖΗΘΙ:s och ΥΧΨΦ:s tyngdpunkter skall ligga på samma sätt delande ΜΝ och Ϡϙ. Också trianglarna ΗΒΘ:s och ΧΟΨ:s tyngdpunkter skall ligga på ΒΝ och Οϙ, placerade på samma sätt. Sålunda har trapetserna och trianglarna samma förhållande. Alltså är det uppenbart, att hela den i snittet ΑΒΓ inskrivna rätlinjiga figurens tyngdpunkt på samma sätt delar ΒΔ som den i snittet ΞΟΠ inskrivna rätlinjiga figurens tyngdpunkt delar ΟΡ. Vilket skulle visas.

δʹ.

Παντὸς τμάματος περιεχομένου ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς τοῦ τμάματος διασμέτρου.

ἔστω τμᾶμα, ὡς εἰρήται, τὸ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἔστω ἁ ΒΔ. δεικτέον, ὅτι τοῦ εἰρημένου τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΒΔ.

εἰ γὰρ μὴ, ἔστω τὸ Ε, καὶ δι' αὐτοῦ ἄχθω παρὰ τὰν ΒΔ ἁ ΕΖ. καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τμᾶμα τρί­γωνον τὸ ΑΒΓ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον καὶ ὕψος ἴσον· καὶ ὃν ἔχει λόγον ἁ ΓΖ ποτὶ ΔΖ, τοῦτου ἐχέτω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ Κ χωρίον. ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εὐθύγραμμον εἰς τὸ τμᾶμα γνωρίμως, ὥστε τὰ περιλειπόμενα τμάματα ἐλάσσονα εἶμεν τοῦ Κ. τοῦ δὴ ἐγγραφομένου εὐθυγράμμου τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΒΔ. ἔστω τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΘΕ H.200 καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ παρὰ τὰν ΒΔ ἄχθω ἁ ΓΑ. δῆ­λον, δέ, ὅτι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ἐγγεγραμμένον εὐ­θύγραμμον ἐν τῷ τμάματο ποτὶ τὰ λειπόμενα τμάμαντα, Objects are not supported by your browser! ἤ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ Κ. ἀλλ' ἔστι, ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ Κ, οὕτως ἁ ΓΖ ποτὶ ΖΔ. καὶ τὸ ἐγγεγραμμένον ἄρα εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περι­λειπόμενα τμάματα μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ἁ ΓΖ ποτὶ ΖΔ, τουτέστιν ἁ ΛΕ ποτὶ ΕΘ. ἐχέτω οὖν ἁ ΜΕ ποτὶ ΕΘ τὸν αὐτὸν λόγον τὸν τοῦ εὐθυγράμμου ποτὶ τὰ τμάματα. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν Ε κέντρον τοῦ ὅλου τμάματος, τοῦ δὲ ἐγγεγραμμένου ἐν αὐτῷ εὐθυγράμ­μου τὸ Θ, δῆλον, ὅτι λοιποῦ τοῦ συγκειμένου μεγέ­θεος ἐκ τῶν περιλειπομενων τμαμάτων τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐκβληθείσας τᾶς ΘΕ καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς εὐθείας, ἣ λόγον ἔχει ποτὶ τὰν ΘΕ, ὃν τὸ ἐγγε­γραμμένον εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμά­ματα. ὥστε εἴη κα τοῦ συγκειμένου μεγέθεος ἐκ τῶν περιλειπομένων τμαμάτων κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ σαμεῖον· ὅπερ ἄτοπον. τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Μ παρὰ τὰν ΒΔ ἀγομένας ἐπὶ ταὐτὰ ἐσσεούνται πάντα τὰ περι­λειπόμενα H.202 τμάματα. δῆλον οὖν, ὅτι ἐπὶ τᾶς ΒΔ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρεος.

4.

För varje snitt, som är omslutet av en rät linje och en rätvinklig kons snitt, ligger tyngdpunkten på snittets diameter.

Låt ΑΒΓ vara det nämnda snittet och låt ΒΔ vara dess diameter. Det skall visas, att nämnda snitts tyngdpunkt ligger på ΒΔ.

Ty om inte, låt den vara Ε och låt ha dragit ΕΖ genom den paralell med ΒΔ. Låt även ha skrivit in triangeln ΑΒΓ, som har samma bas och höjden lika, i snittet. Och det förhållande som ΓΖ har till ΔΖ, låt triangeln ΑΒΓ ha detta till området Κ. Låt så särskilt ha skrivit in en rätlinjig figur i snittet, så att de kvarvarande snitten är mindre än Κ. Den inskrivna rätlinjiga figurens tyngdpunkt ligger då på ΒΔ.Prop.2.2 Låt den vara Θ, låt ha förundit ΘΕ, låt ha dragit ut denna och låt ha dragit ΓΑ parallell med ΒΔ. Det är uppenbart, att den i snittet inskrivna rätlinjiga figuren har ett förhållande till de kvarvarande snitten större än triangeln ΑΒΓ har till Κ. Men som triangeln ΑΒΓ är till Κ, så som ΓΖ är till ΖΔ. Och alltså har den inskrivna rätlinjiga figuren ett förhållande till de kvarvarande snitten större än ΓΖ till ΖΔ, det vill säga än ΛΕ till ΕΘ. Låt alltså ΜΕ ha samma förhållande till ΕΘ som den rätlinjiga figuren har till snitten. Eftersom Ε då är hela snittets tyngdpunkt och den i detta inskrivna rätlinjiga figurens är Θ, är det uppenbart,Prop.1.8 att resterande sammanlagda storhets, den av de kvarvarande snitten, tyngdpunkt ligger på den utdragna ΘΕ och då skurit av en rät linje, som har ett förhållande till ΘΕ, som den inskrivna rätlinjiga figuren till de kvarvarande snitten. Så att resterande sammanlagda storhets, den av de kvarvarande snitten, tyngdpunkt vore punkten Μ. Vilket är orimligt. Ty sedan en rät linje parallell med ΒΔ dragits genom Μ, skall alla kvarvarande snitten ligga på samma sida. Alltså är det uppenbart, att tyngdpunkten ligger på ΒΔ.Def.7 Prop.1.13

εʹ.

Εἴ κα εἰς τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς εὐθύγραμμον ἐγγραφῇ γνω­ρίμως, τοῦ ὅλου τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐγ­γύτερόν ἐστι τᾶς κορυφᾶς τοῦ τμάματος ἢ τὸ τοῦ ἐγγραφέντος εὐθυγράμμου κέντρον.

ἔστω τὸ ΑΒΓ τμᾶμα, οἷον εἰρήται, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἁ ΔΒ. καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ τρίγωνον πρῶτον γνωρίμως τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμάσθω ἁ ΒΔ κατὰ Objects are not supported by your browser! τὸ Ε, ὥστε εἶμεν διπλασίαν τὰν ΒΕ τᾶς ΕΔ. ἔστιν οὖν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τῦ βάρεος τὸ Ε σαμεῖον. τετμάσθω δὴ δίχα ἑκατέρα τᾶν ΑΒ, ΒΓ κατὰ Ζ, Η, καὶ διὰ τῶν Ζ, Η παρὰ τὰν ΒΔ ἄχθωσαν αἱ ΖΚ, ΛΗ. ἐσσείται ἄρα τοῦ μὲν ΑΚΒ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΖΚ, τοῦ δὲ ΒΓΛ τμάματοσ τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΗΛ. H.204 ἔστω δὲ τὰ Θ, Ι, καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΘΙ. καὶ ἐπεὶ παρ­αλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΘΖΗΙ, καὶ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΖΝ ἁ ΝΗ, ἔστιν ἄρα καὶ ἁ ΧΘ ἴσα τᾷ ΧΙ. ὥστε τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμαμάτων συγκειμέ­νου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ μέσας τᾶς ΘΙ, ἐπειδήπερ ἴσα ἐντὶ τὰ τμάματα, τουτέστιν τὸ Χ σαμεῖον. ἐπεὶ δὲ τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε σαμεῖον, τοῦ δὲ συγκειμένου ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τὸ Χ, δῆλον οὖν, ὅτι ὅλου τοῦ τμάματος τοῦ ΑΒΓ τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΧΕ, τοθτέστι μεταξὺ τῶν Χ, Ε σαμείων. ὥστ' εἴη κα ἐγγύτερον τᾶς τοῦ τμάματος κορυφᾶς τὸ κέντρον τοῦ ὅλου τμάματος ἢ τὸ τοῦ ἐγγραφομένου τριγώνου γνωρίμως.

ἐγγεγράφθω πάλιν εἰς τὸ τμᾶμα πεντάγωνον εὐθύ­γραμμον γνωρίμως τὸ ΑΚΒΛΓ. καὶ ἔστω τοῦ μὲν ὅλου τμάματος διάμετρος ἁ ΒΔ, ἑκατέρου δὲ τῶν τμαμάτων ἑκατέρα τᾶν ΚΖ, ΛΗ διάμετρος. καὶ ἐπεὶ ἐν τῷ ΑΚΒ τμάματι ἐγγεγράπται εὐθύγραμμον γνωρίμως, τοῦ ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐγγύτερον τᾶς κορυφᾶς ἢ τὸ τοῦ εὐθυγράμμου. ἔστω οὖν τοῦ μὲν τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Θ, τοῦ δὲ τρι­γώνου H.206 τὸ Ι. πάλιν δὲ ἔστω τοῦ μὲν ΒΛΓ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ, τοῦ δὲ τριγώνου τὸ Ν Objects are not supported by your browser! καὶ ἐπεζεύχθω τὰ Θ, Μ, Ι, Ν. ἴσα ἄρα ἐστὶν ἁ ΘΧ τᾷ ΧΜ, ἁ δὲ ΙΤ τᾷ ΤΝ. ἀλλὰ καὶ τριγώνῳ τῷ ΑΚΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΛΓ, τμᾶμα δὲ τὸ ΑΚΒ τμάματι τῷ ΒΛΓ. δεδείκται γὰρ ἐν ἄλλοις, τὰ τμάματα ἐπί­τριτα εἶμεν τῶν τριγώνων. ἐσσείται δὴ τοῦ μὲν ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμαμάτων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Χ, τοῦ δὲ ἐξ ἀμ­φοτέρων τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τριγώνων τὸ Τ. πάλιν οὖν ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Ε, τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμα­μάτων τὸ Χ, δῆλον, ὡς τοῦ ὅλου τοῦ ΑΒΓ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΧΕ τμαθείσας οὕτως, ὥστε, ὃν ἔχει λόγον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὰ συναμφότερα τὰ ΑΚΒ, ΒΛΓ τμάματα, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα αὐτᾶς τὸ πέρας ἔχον τὸ Χ ποτὶ τὸ ἔλασσον τμᾶμα. τοῦ δὲ ΑΚΒΛΓ πενταγώνου κέν­τρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΕΤ εὐθείας τμαθείσας οὕτως, ὥστε, ὃν ἔχει λόγον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὰ ΑΚΒ, ΒΛΓ τρίγωνα, τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον τὸ H.208 τμᾶμα αὐτᾶς τὸ πέρας ἔχον τὸ Τ ποτὶ τὸ λοιπόν. ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὰ ΚΑΒ, ΛΒΓ τρίγωνα ἢ ποτὶ τὰ τμάματα, δῆλον οὖν, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐγγύτερόν ἐστι τᾶς Β κορυφᾶς ἢ τοῦ ἐγγραφομένου εὐθυγράμμου. καὶ ἐπὶ πάντων εὐθυγράμμων τῶν ἐγγραφομένων ἐς τὰ τμάματα γνωρίμως ὁ αὐτὸς λόγος.

5.

Om i ett snitt, som är omslutet av en rät linje och en rätvinklig kons snitt, en rätlinjig figur särskilt skrivs in, ligger hela snittets tyngdpunkt närmre snittets topp än den inskrivna rätlinjiga figurens tyngdpunkt.

Låt ΑΒΓ vara snittet, som nämnts, och ΔΒ dess diameter. Låt även i den särskilt ha skrivit in en FÖRSTA triangel ΑΒΓ samt låt ha delat ΒΔ vid Ε, så att ΒΕ är dubbla ΕΔ. Alltså är punkten Ε triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt.Prop.1.14 Låt så ha delat var och en av ΑΒ och ΒΓ i hälften vid Ζ och Η samt låt ha dragit ΖΚ och ΛΗ genom Ζ och Η parallella med ΒΔ. Alltså skall snittet ΑΚΒ:s tyngdpunkt ligga på ΖΚProp.2.4 och snittet ΒΓΛ:s tyngdpunkt på ΗΛ. Låt dem vara Θ och Ι samt låt ha förbundit ΘΙ. Och eftersom ΘΖΗΙ är en parallellogram och ΝΗ är lika med ΖΝ, är alltså även ΧΘ lika med ΧΙ. Därför ligger den av de båda snitten ΑΚΒ och ΒΛΓ sammanlagda storhetens tyngdpunkt på mitten av ΘΙ, eftersom snitten är lika, det vill säga vid punkten Χ. Och eftersom triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt är punkten Ε och för de båda sammanlagda ΑΚΒ och ΒΛΓ är punkten Χ, alltså är det uppenbart, att hela snittet ΑΒΓ:s tyngdpunkt ligger på ΧΕ, det vill säga mellan punkterna Χ och Ε. Sålunda skulle hela snittets tyngdpunkt ligga närmare snittets topp än den särskilt inskrivna triangelns.

Låt så ha särskilt skrivit in den rätlinjiga femsidingen ΑΚΒΛΓ i snittet. Låt även ΒΔ vara hela snittets diameter och för vart och ett av snitten är var och en av ΚΖ och ΛΗ diametern. Och eftersom en triangel särskilt skrivits in i snittet ΑΚΒ, ligger hela snittets tyngdpunkt närmare toppen än den inskrivna triangelns. Låt alltså Θ vara snittet ΑΚΒ:s tyngdpunkt och Ι triangelns. Och låt så Μ vara snittet ΒΛΓ:s tyngdpunkt och Ν triangelns. Låt även Θ, Μ, Ι och Ν ha förbundits. Alltså är ΘΧ lika med ΧΜ och ΙΤ med ΤΝ. Men triangeln ΒΛΓ är också lika med ΑΚΒ och snittet ΑΚΒ med snittet ΒΛΓ. Ty det har visats på andra ställen, att snitt är fyra tredjedelar av trianglar. Då skall den av de båda snitten ΑΚΒ och ΒΛΓ sammanlagda storhetens tyngdpunkt vara Χ och Τ den av de båda trianglarna ΑΚΒ och ΒΛΓ. Alltså åter eftersom Ε är triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt och Χ den för de båda snitten ΑΚΒ och ΒΛΓ sammanlagda, är det uppenbart, att hela snittet ΑΒΓ:s tyngdpunkt ligger på ΧΕ, som delats på det sätt, så att det förhållande triangeln ΑΒΓ har till snitten ΑΚΒ och ΒΛΓ sammanlagda, samma förhållande har delen av ΧΕ med änden i Χ till den mindre delen.Prop.1.8 Och femhörningen ΑΚΒΛΓ:s tyngdpunkt ligger på den räta linjen ΕΤ, som delats på det sätt, så att det förhållande triangeln ΑΒΓ har till trianglarna ΑΚΒ och ΒΛΓ, det förhållandet har delen av ΕΤ med änden i Τ till resten.Prop.1.8 Alltså eftersom triangeln ΑΒΓ har ett större förhållande till trianglarna ΚΑΒ och ΛΒΓ än till snitten, är det alltså uppenbart, att snittet ΑΒΓ:s tyngdpunkt ligger närmare toppen Β än den inskrivna rätlinjiga figuren. Och samma resonemang gäller för alla rätlinjiga figurer särskilt inskrivna i snitt.

ϛʹ.

Τμάματος δοθέντος περιεχομένου ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς δυνατόν ἐστιν ἐς τὸ τμᾶμα εὐθύγραμμον γνωρίμως ἐγγράψαι, ὥστε τὰν μεταξὺ εὐθεῖαν τῶν κέντρων τοῦ βάρεος τοῦ τμάματος καὶ τοῦ ἐγγραφέντος εὐθυγράμμου ἐλάσσονα εἶμεν πάσας τᾶς προτεθείσας εὐθείας.

δεδόσθω τμᾶμα τὸ ΑΒΓ, οἷον εἰρήται, οὗ κέν­τρον ἔστω τοῦ βάρεος τὸ Θ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ τρίγωνον γνωρίμως τὸ ΑΒΓ. καὶ ἔστω ἁ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἁ Ζ, καὶ ὃν λόγον ἔχει ἁ ΒΘ ποτὶ Ζ, τοῦτον τὸν λόγον ἐχέτω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὸ Κ χωρίον. ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα εὐθύγραμμον γνωρίμως τὸ ΑΚΒΛΓ, ὥστε τὰ περιλειπόμενα τμά­ματα ἐλάσσονα εἶμεν τοῦ Κ. καὶ ἔστω τοῦ ἐγγρα­φέντος εὐθυγράμμου κέντρον τοῦ βαρεος τὸ Ε. φαμὶ δὴ τὰν ΘΕ ἐλάσσονα εἶμεν τᾶς Ζ.

εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ μείζων. ἐπεὶ δὲ τὸ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμά­ματα μείζονα λόγον ἔχει, ἢ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ H.210 Κ, τουτέστιν ἁ ΘΒ ποτὶ Ζ, ἔχει δὲ καὶ ἁ ΒΘ ποτὶ Ζ οὐκ ἐλάσσονα λόγον, ἢ ὃν ἔχει ποτὶ ΘΕ, διὰ τὸ μὴ Objects are not supported by your browser! ἐλάσσονα εἶμεν τὰν ΘΕ τᾶς Ζ, πολλῷ ἄρα τὸ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμμον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμάματα μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ἁ ΒΘ ποτὶ ΘΕ. ὥστε ἐὰν ποιέωμες, ὡς τὸ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμ­μον ποτὶ τὰ περιλεπόο­μενα τμάματα, οὕτως ἄλλαν τινὰ ποτὶ ΘΕ, ἐπειδὴ τοῦ ΑΒΓ τμά­ματος τὸ κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ, ἐκβληθεί­σας τᾶς ΕΘ καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς εὐθείας ἐχού­σας λόγον ποτὶ τὰν ΕΘ, ὃν τὸ ΑΚΒΛΓ εὐθύγραμ­μον ποτὶ τὰ περιλειπόμενα τμάματα, ἐσσείται μείζων τᾶς ΘΒ. ἐχέτω οὖν ἁ ΗΘ ποτὶ ΘΕ. τὸ Η ἄρα κέν­τρον τοῦ βάρεος τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν περιλειπομέ­νων τμαμάτων· ὅπερ ἀδύνατον. τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Η ἀχθείσας παρὰ τὰν ΑΓ ἐπὶ τὰ αὐτά ἐστιν τὰ τμὰματα. δῆλον οὖν, ὅτι ἁ ΘΕ ἐλάσσοων ἐστὶ τᾶς Ζ. ἔδει δὲ τοῦτο δείξαι.

6.

I ett givet snitt, som är omslutet av en rät linje och en rätvinklig kons snitt, är det möjligt, att i snittet särskilt skriva in en rätlinjig figur, så att den räta linjen mellan snittets och den inskrivna rätlinjiga figurens tyngdpunkter är mindre än varje angiven rät linje.

Låt ΑΒΓ vara det givna snittet, som nämnts, låt dess tyngdpunkt vara Θ och låt särskilt ha skrivit in triangeln ΑΒΓ i det. Låt även Ζ vara den angivna räta linjen och det förhållande ΒΘ har till Ζ, låt triangeln ΑΒΓ ha detta till området Κ. Låt så särskilt ha skrivit in den rätlinjiga figuren ΑΚΒΛΓ i snittet ΑΒΓ, så att de kvarvarande snitten är mindre än Κ. Och låt den inskrivna rätlinjiga figurens tyngdpunkt vara Ε. Jag säger då, att ΘΕ är mindre än Ζ.

Ty om inte, är ΘΕ antingen lika eller större än Ζ. Och eftersom den rätlinjiga figuren ΑΚΒΛΓ har ett större förhållande till de kvarvarande snitten än triangeln ΑΒΓ har till Κ, det vill säga än ΘΒ till Ζ, och ΒΘ har heller inte ett mindre förhållande till Ζ än det ΒΘ har till ΘΕ, eftersom ΘΕ inte är mindre än Ζ,Euc.Prop.5.8 alltså har den rätlinjiga figuren ΑΚΒΛΓ ett mycket större förhållande till de kvarvarande snitten än ΒΘ har till ΘΕ. Så att om vi gjorde, så som den rätlinjiga figuren ΑΚΒΛΓ är till de kvarvarande snitten, så vore någon annan rät linje till ΘΕ, den räta linjen ΕΘ har dragits ut, eftersom Θ är snittet ΑΒΓ:s tyngdpunkt, och någon rät linje skurits av, som har ett förhållande till ΕΘ, som den rätlinjiga figuren ΑΚΒΛΓ har till de kvarvarande snitten, skall denna räta linje vara större än ΘΒ.Euc.Prop.5.8 Låt förhållandet vara ΗΘ till ΘΕ. Alltså är Η de sammanlagda kvarvarande snittens tyngdpunkt, vilket är omöjligt. Ty snitten ligger på samma sida om en rät linje dragen genom Η parallell med ΑΓ.Def.7 Alltså är det uppenbart, att ΘΕ är mindre än Ζ. Och detta skulle visas.

ζʹ.

Δύο τμαμάτων ὁμοίων περιεχομένων ὑπὸ τε εὐ­θείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τὰ κέντρα τῶν βαρέων εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τέμνοντι τὰς διαμέτρους.

H.212

ἔστω δύο τμάματα, οἷα εἰρήται, τὰ ΑΒΓ, ΕΖΗ, ὧν διαμέτροι αἱ ΒΔ, ΖΘ. καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓ τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Κ σαμεῖον, τοῦ δὲ ΕΖΗ τὸ Λ. δεικτέον, ὅτι εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τέμ­νοντι τᾶς διαμέτρους τὰ Κ, Λ.

εἰ γὰρ μή, ἔστω ὡς ἁ ΚΒ ποτὶ ΚΔ, οὕτως ἁ ΖΜ ποτὶ ΘΜ, καὶ ἐγγεγράυθω εἰς τὸ ΕΖΗ τμᾶμα εὐθύγραμμον γνωρίμως, ὥστε τὰν μεταξὺ τοῦ κέντρου Objects are not supported by your browser! τοῦ τμάματος καὶ τοῦ ἐγγραφομένου εὐθυ­γράμμου ἐλάσσονα εἶ­μεν τᾶς ΛΜ. καὶ ἔστω τοῦ ἐγγραφέντος εὐθυ­γράμμου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ξ σαμεῖον. ἐγγεγράφθω δὲ εἰς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα τῷ ἐν τῷ ΕΖΗ ἐγγεγραμμένῳ εὐθυγράμμῳ ὁμοῖον εὐθύγραμμον, τουτ­έστιν ὁμοίως γνωρίμως, οὗ κέντρον τοῦ βάρεος τᾶς κορυ­φᾶς ἐγγύτερον ἤπερ τὸ τοῦ τμάματος· ὅπερ ἀδύνα­τον. δῆλον οὖν, ὅτι τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΒΚ ποτὶ ΚΔ, ὃν ἁ ΖΛ ποτὶ ΛΘ.

7.

I två likformiga snitt, som är omslutna av en rät linje och en rätvinklig kons snitt, delar tyngdpunkterna diametrarna i samma förhållande.

Låt ΑΒΓ och ΕΖΗ vara två snitt, som nämnts, vars diamterar är ΒΔ och ΖΘ. Låt även snittet ΑΒΓ:s tyngdpunkt vara punkten Κ och ΕΖΗ:s Λ. Det skall visas, att Κ och Λ delar diametrarna i samma förhållande.

Ty om inte, låt så som ΚΒ är till ΚΔ, ΖΜ vara till ΘΜ och låt en rätlinjig figur särskilt ha skrivits in i snittet ΕΖΗ, så att den räta linjen mellan snittets tyngdpunkt och den inskrivna rätlinjiga figurens är mindre än ΛΜ.Prop.2.6 Och låt den inskivna rätlinjiga figurens tyngdpunkt vara punkten Ξ. Låt en rätlinjig figur, likformig, det vill säga särskilt likformig, med den i snittet ΕΖΗ inskrivna rätlinjiga figuren, ha skrivits in i snittet ΑΒΓ, vars tyngdpunkt ligger närmare toppen än snittets tyngdpunkt, vilket är omöjligt.Prop.2.5 Alltså är det uppenbart, att det förhållande ΒΚ har till ΚΔ, är det ΖΛ har till ΛΘ.

ηʹ.

Παντός τμάματος περιεχομένου ὑπο εὐθείας τε καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς τὸ κέντρον τοῦ βάρεος διαι­ρεῖ H.214 τὰν τοῦ τμάματος διάμετρον, ὥστε εἶμεν ἁμιόλιον τὸ μέρος αὐτᾶς τὸ ποτὶ τᾷ κορυφᾶ τοῦ τμάματος τοῦ ποτὶ τᾷ βάσει.

ἔστω τὸ ΑΒΓ τμᾶμα, οἷον εἰρήται, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἁ ΒΔ, κέντρον δὲ τοῦ βάρεος τὸ Θ σα­μεῖον. δεικτέον, ὅτι ἁμιολία ἐστὶν ἁ ΒΘ τᾶς ΘΔ.

ἐγγεγράφθω ἐς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα γνωρίμως τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τοῦ βάρεος ἔστω τὸ Ε. καὶ τε­τμάσθω δίχα ἑκατέρα τᾶν ΒΑ, ΒΓ, καὶ ἄχθω αἱ ΚΖ, ΗΛ παρὰ τᾶν ΒΔ. διαμέτροι ἄρα ἐντὶ τῶν ΑΚΒ, Objects are not supported by your browser! ΒΔΓ τμαμάτων. ἔστω οὖν τοῦ μὲν ΑΚΒ τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Μ, τοῦ δὲ ΒΛΓ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΗ, ΜΝ, ΚΛ. τοῦ ἄρα ἐξ ἀμ­φοτέρων τῶν τμαμάτων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Χ. καὶ ἐπεὶ ἐστιν, ὡς ἁ ΒΘ ποτὶ ΘΔ, οὕτως ἁ ΚΜ ποτὶ ΜΖ, καὶ συνθέντι καὶ ἐναλ­λάξ, ὡς ἁ ΒΔ ποτὶ τᾶς ΚΖ· τοῦτο γὰρ ἐπὶ τέλει δεικνύται, οὗ σαμεῖον 🜚· τετραπλασίων ἄρα καὶ ἁ ΔΘ τᾶς ΜΖ. ὥστε καὶ λοιπὰ ἁ ΒΘ λοιπᾶς τᾶς ΚΜ, H.216 τουτέστι τᾶς ΣΧ τετραπλασίων. καὶ λοιπὰ ἄρα συν­αμφοτέρα ἁ ΒΣ, ΧΘ τριπλασίων τᾶς ΣΧ. ἔστω τρι­πλασία ἁ ΒΣ τᾶς ΣΞ. καὶ ἁ ΧΘ ἄρα τᾶς ΞΧ ἐστι τριπλασία. καὶ ἐπεὶ τετραπλασίων ἁ ΒΔ τᾶς ΒΣ· καὶ γὰρ τοῦτο δεικνύται· ἁ δὲ ΒΣ τᾶς ΣΞ τριπλασίων, ἁ ΞΒ ἄρα τᾶς ΒΔ τρίτον μέρος ἐστίν. ἔστιν δὲ καὶ ἁ ΕΔ τᾶς ΔΒ τρίτον μέρος, ἐπειδήπερ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐστὶ τὸ Ε. καὶ λοιπὰ ἄρα ἁ ΞΕ τρίτον μέρος τᾶς ΒΔ. καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεός ἐστι τὸ Θ σαμεῖον, τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμαμάτων συγκει­μένου μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Χ, τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Ε, ἐσσείται, ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ποτὶ τὰ καταλειπόμενα τμάματα, οὕτως ἁ ΧΘ ποτὶ ΘΕ. τριπλάσιον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῶν τμαμάτων ἐπειδήπερ τὸ ὅλον τμᾶμα ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τριπλασία ἄρα καὶ ἁ ΧΘ τᾶς ΘΕ. ἐδείχθη δὲ ἁ ΧΘ τριπλασία καὶ τᾶς ΧΞ. πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἁ ΞΕ τᾶς ΕΘ, τουτέστιν ἁ ΔΕ τᾶς ΕΘ. ἴσα γάρ ἐστιν αὐτᾳ. ὥστε ἑξαπλασία ἐστὶν ἁ ΔΘ τᾶς ΘΕ. καί ἐντι τᾶς ΔΕ τριπλασία ἁ ΒΔ. ἁμιολία ἄρα ἐντὶ ἁ ΒΘ τᾶς ΘΔ· ὅπερ ἔδει δείξαι.

8.

I alla snitt, som är omslutet av en rät linje och en rätvinklig kons snitt, delar tyngdpunkten snittets diameter, så att delen av den vid toppen av snittet är en och en halv gång den vid basen.

Låt ΑΒΓ vara snittet, som nämnts, låt även ΒΔ vara dess diameter och punkten Θ tyngdpunkten.

Låt triangeln ΑΒΓ särskilt ha skrivits in i snittet ΑΒΓ och låt dess tyngdpunkt vara Ε. Låt även var och en av ΒΑ och ΒΓ ha delats i hälften samt låt ha dragit ΚΖ och ΗΛ parallella med ΒΔ. Alltså är de snitten ΑΚΒ och ΒΔΓ:s diametrar. Låt alltså Μ vara snittet ΑΚΒ:s tyngdpunktProp.2.4 och Ν ΒΛΓ:s samt låt ΖΗ, ΜΝ och ΚΛ ha förbundits. Alltså är den av båda snitten sammanlagda storhetens tyngdpunkt Χ. Och eftersom som ΒΘ är till ΘΔ, så är ΚΜ till ΜΖProp.2.7 och, genom kompositionEuc.Prop.5.18 och alternerat,Euc.Prop.5.16 som ΒΔ till ΚΖ (ty detta visas mot slutet, vid tecknet 🜚). Alltså är även ΔΘ fyra gånger ΜΖ. Så att även resterande ΒΘ är fyra gånger resterande ΜΖ, det vill säga ΣΧ. Och alltså är resterande ΒΣ och ΧΘ sammanlagda tre gånger ΣΧ. Låt ΒΣ vara tre gånger ΣΞ. Och alltså är ΧΘ tre gånger ΞΧ. Och eftersom ΒΔ är fyra gånger ΒΣ, ty detta har visats, och ΒΣ är tre gånger ΣΞ, är alltså ΞΒ en tredjedel av ΒΔ. Också ΕΔ är en tredjedel av ΔΒ, eftersom Ε är triangeln ΑΒΓ:s tyngdpunkt.Prop.1.14 Alltså är även resterande ΞΕ en tredjedel av ΒΔ. Och eftersom hela snittets tyngdpunkt är punkten Θ, de båda snitten ΑΚΒ och ΒΛΓ:s sammanlagda storhets tyngdpunkt är Χ och triangeln ΑΒΓ:s är Ε, skall ΧΘ vara till ΘΕ, som triangeln ΑΒΓ är till de efterlämnade snitten.Prop.1.8 Men triangeln ΑΒΓ är tre gånger snitten, eftersom hela snittet är fyra tredjedelar av triangeln ΑΒΓ. Alltså är även ΧΘ tre gånger ΘΕ. Men ΧΘ har visats vara tre gånger ΧΕ. Alltså är ΞΕ fem gånger ΕΘ, det vill säga ΔΕ är fem gånger ΕΘ, ty ΞΕ är lika med denna. Därför är ΔΘ sex gånger ΘΕ. Och ΒΔ är tre gånger ΔΕ. Alltså är ΒΘ en och en halv gång ΘΔ, vilket skulle visas.

θʹ.

Εἴ κα τέσσαρες γραμμαὶ ἀνάλογον ἔωντι ἐν τᾷ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, καὶ ὃν ἔχει λόγον ἁ ἐλαχίστα ποτὶ τὰν ὑπεροχάν, ᾇ ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶς ἐλαχίστας, H.218 τοῦτον ἔχουσά τις λαφθῇ ποτὶ τὸ τρία πεμπταμόρια τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶν ἀνάλογον τᾶς τρίτας, ὃν δὲ ἔχει λόγον ἁ ἴσα τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς μεγίστας τᾶν ἀνάλογον καὶ τᾷ τετραπλασίᾳ τᾶς δευ­τέρας καὶ τᾷ ἑξαπλασίᾳ τᾶς τρίτας καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς τετάρτας ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ τε πενταπλασίᾳ τᾶς μεγίστας καὶ τᾷ δεκαπλασίᾳ τᾶς δευτέρας καὶ τᾷ δεκα­πλασίᾳ τᾶς τρίτας καὶ τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς τετάρτας, τοῦτον ἔχουσά τις λαφθῇ ποτὶ τὰν ὑπεροχάν, ἇ ὑπερ­έχει ἁ μεγίστα τᾶν ἀνάλογον τᾶς τρίτας, συναμφοτέραι αἱ λαφθείσαι ἐσσούνται δύο πεμπταμόρια τᾶς μεγίστας.

Objects are not supported by your browser!

ἔστωσαν τέσσαρες γραμμαὶ ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ, καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἁ ΒΕ ποτὶ ΕΑ, τοῦτον ἐχέτω ἁ ΖΗ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς ΑΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ἴσα τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ τετραπλασίᾳ τᾶς ΒΓ καὶ ἑξαπλασίᾳ τᾶς ΒΔ καὶ τριπλασίᾳ τᾶς ΒΕ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ δεκαπλασίᾳ τᾶς ΓΒ καὶ δεκαπλασίᾳ τᾶς ΒΔ καὶ πενταπλασίᾳ τᾶς ΒΕ, τοῦτον ἐχέτω τὸν λόγον ἁ ΗΘ ποτὶ τὰν ΑΔ. δεικτέον, ὅτι ἁ ΖΘ δύο πεμπταμόριά ἐντι τᾶς ΑΒ.

ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν ἐντι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ, καὶ αἱ ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐντί. καὶ συναμφότερος ἁ ΑΒ, ΒΓ ποτὶ τὰν ΒΔ, τουτέστιν ἁ διπλασία συν­αμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΓ ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς H.220 ΒΔ ἔχει τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ ΑΔ ποτὶ τὰν ΔΕ, καὶ συναμφότερος ἁ ΔΒ, ΒΓ ποτὶ τὰν ΕΒ, καὶ πάντα ποτὶ πάντα. τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΑΔ ποτὶ τὰν ΔΕ, ὃν ἁ ἴσα τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς ΓΒ καὶ τᾷ ΔΒ ποτὶ τὰν ἵσαν τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ΒΔ καὶ τᾷ ΒΕ. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ἴσα τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ τᾷ τετραπλασίᾳ τᾶς ΒΓ καὶ τᾷ τετραπλασίᾳ τᾶς ΒΔ καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ΒΕ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ΔΒ καὶ τᾷ ΕΒ, τοῦτον ἕξει ἁ ΔΑ ποτὶ ἐλάσσονα τᾶς ΔΕ. ἐχέτω οὖν ποτὶ ΔΟ. καὶ ἀμφοτέραι δὲ ποτὶ τᾶς πρώ­τας τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λὸγον. ἕξει οὖν ἁ ΟΑ ποτὶ ΑΔ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ ἴσα τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ΑΒ καὶ τετραπλασίᾳ τᾶς ΓΒ καὶ ἑξαπλασίᾳ τᾶς ΒΔ καὶ τριπλασίᾳ τᾶς ΒΕ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρας τᾶς ΑΒ, ΕΒ καὶ τετραπλα­σίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ. ἔχει δὲ καὶ ἁ ΑΔ ποτὶ ΗΘ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ πενταπλασία συν­αμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ μετὰ τᾶς δεκαπλασίας συν­αμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ ποτὶ ταν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΑΒ καὶ τᾶς τετραπλασίας τᾶς ΓΒ καὶ τᾶς τριπλασίας τᾶς ΕΒ καὶ ἑξαπλασίας τᾶς ΒΔ. ἀνομοίως δὲ τῶν λόγων τεταγμένων, τουτέστιν ἐν τε­ταραγμένᾳ ἀναλογίᾳ, δι' ἴσου τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἁ ΟΑ ποτὶ ΗΘ, ὃν ἁ πενταπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ μετὰ τᾶς δεκαπλασίας τᾶν ΓΒ, ΒΔ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ καὶ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ. ἀλλ' ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς πενταπλασίας H.222 συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ μετὰ τᾶς δεκαπλασίας συν­αμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ καὶ τετρα­πλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν πέντε ποτὶ δύο. καὶ ἁ ΑΟ ἄρα ποτὶ ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν πέντε ποτὶ δύο. πάλιν ἐπεὶ ἁ ΟΔ ποτὶ ΔΑ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ ΕΒ μετὰ τᾶς διπλασίας τᾶς ΒΔ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ συγκειμένᾳ ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ ἔστιν δὲ καὶ, ὡς ἁ ΑΔ ποτὶ ΔΕ, οὕτως ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΑΒ καὶ τριπλασίας τᾶς ΓΒ καὶ τᾶς ΒΔ ποτὶ τὰν ἴσαν τᾷ τε ΕΒ καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ΒΔ, ἀνομοίως οὖν τῶν λόγων τεταγμένων, τουτέστιν τεταραγμένας ἐούσας τᾶς ἀναλογίας, δι' ἴσου ἐστίν, ὡς ἁ ΟΔ ποτὶ ΔΕ, οὓτως ἁ διπλασία τᾶς ΑΒ μετὰ τᾶς τριπλασίας τᾶς ΒΓ καὶ ἁ ΒΔ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἐκ τᾶς δι­πλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ καὶ τᾶς τετρα­πλασίας τᾶν ΓΒ, ΒΔ. ὥστε καὶ ὡς ἁ ΟΕ ποτὶ ΕΔ ἐστιν, οὕτως ἁ ΓΒ μετὰ τᾶς τριπλασίας τᾶς ΒΔ καὶ διπλασίας τᾶς ΕΒ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ καὶ τετραπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ. ἔστιν δὲ καὶ, ὡς ἁ ΔΕ ποτὶ ΕΒ, οὕτως ἅ τε ΑΓ ποτὶ ΓΒ· ἐπεὶ καὶ κατὰ σύνθεσιν· καὶ ἁ τρι­πλασία τᾶς ΓΔ ποτὶ τὰν τριπλασίαν τᾶς ΔΒ, καὶ ἁ διπλασία τᾶς ΔΕ ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς ΕΒ. ὥστε καὶ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς ΑΓ καὶ τριπλασίας τᾶς ΓΔ καὶ διπλασίας τᾶς ΔΕ ποτὶ τὰν συγκεμέναν ἔκ τε τᾶς ΓΒ καὶ τριπλασίας τᾶς ΔΒ καὶ διπλασίας τᾶς H.224 ΕΒ. ἀνομοίως οὖν πάλιν τῶν λόγων τεταγμένων, τουτέστιν ἐν τεταραγμένᾳ ἀναλογίᾳ, δι' ἴσου τὸν αὐ­τὸν ἕξει λόγον ἁ ΕΟ ποτὶ ΕΒ, ὃν ἁ ΑΓ μετὰ τᾶς τριπλασίας τᾶς ΓΔ καὶ διπλασίας τᾶς ΔΕ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ μετὰ τᾶς τε­τραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ. ὅλα οὖν ἁ ΟΒ ποτὶ ΒΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ ἴσα τᾷ τε τριπλασίᾳ τᾶς ΑΒ μετὰ τᾶς ἑξαπλασίας τᾶς ΓΒ καὶ τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς ΒΔ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ. καὶ ἐπεὶ αἵ τε ΕΔ, ΔΓ, ΓΑ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῷ ἐντὶ καὶ συναμφότερος ἑκάστα τὰν ΕΒ, ΒΔ, ΔΒ, ΒΓ, ΓΒ, ΒΑ, ἐσσείται καὶ, ὡς ἁ ΕΔ ποτὶ ΔΑ, οὕτως συναμφότερος ἁ ΕΒ, ΒΔ ποτὶ συναμφό­τερον τὰν ΔΒ, ΒΓ μετὰ τᾶς συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΑ. καὶ συνθέντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἁ ΑΕ ποτὶ ΑΔ, οὕτως συναμφότερος ἁ ΕΒ, ΒΔ μετὰ συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΓ καὶ συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ, ὅ ἐστι συναμφότερος ἁ ΕΒ, ΒΑ μετὰ τᾶς διπλασίας συν­αμφοτέρου τᾶς ΔΒ, ΒΓ ποτὶ συναμφότερον τὰν ΒΔ, ΒΑ μετὰ τᾶς διπλασίας τᾶς ΒΓ. ὥστε καὶ ἁ διπλασία ποτὶ τὰν διπλασίαν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, τουτέστιν ὡς ἁ ΕΑ ποτὶ ΑΔ, οὕτως ἁ διπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΕΒ, ΒΑ μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΔ μετὰ τᾶς τετραπλασίας τᾶς ΓΒ. ὥστε καὶ H.226 ὡς ἁ ΕΑ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς ΑΔ, οὕτως ἁ συγ­κειμένα ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ καὶ τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς συγκειμένας ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΔ καὶ τετραπλασίας τᾶς ΓΒ. ἀλλ' ὡς ἁ ΕΑ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς ΑΔ, οὕτως ἐστὶν ἁ ΕΒ ποτὶ ΖΗ. καὶ ὡς ἄρα ἁ ΕΒ ποτὶ ΖΗ, οὕτως ἁ διπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ μετὰ τᾶς τετραπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΔΒ, ΒΓ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς συγκειμένας ἔκ τε τᾶς διπλασίας συν­αμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΔ μετὰ τᾶς τετραπλασίας τᾶς ΓΒ. ἐδείχθη δὲ καί, ὡς ἁ ΟΒ ποτὶ ΕΒ, οὕτως ἁ τριπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΔ μετὰ τᾶς ἑξα­πλασίας τᾶς ΓΒ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΕ καὶ τετραπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΓΒ, ΒΔ. καὶ δι' ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἁ ΟΒ ποτὶ ΖΗ, οὕ­τως ἁ συκειμένα ἔκ τε τᾶς τριπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΔ καὶ ἑξαπλασίας τᾶς ΓΒ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς συγκειμένας ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφο­τέρου τᾶς ΑΒ, ΒΔ καὶ τετραπλασίας τᾶς ΓΒ. ἀλλὰ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς τριπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΔ καὶ ἑξαπλασίας τᾶς ΓΒ ποτὶ μὲν τὰν συγ­κειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΑΒ, ΒΔ καὶ τετραπλασίας τᾶς ΓΒ λόγον ἔχει, ὃν τρία ποτὶ δύο, ποτὶ δὲ τὰ τρία πέμπτα τᾶς αὐτᾶς λόγον ἔχει, ὃν H.228 πέντε ποτὶ δύο. ἐδείχθη δὲ καὶ ἁ ΑΟ ποτὶ ΗΘ λόγον ἔχουσα, ὃν πέντε ποτὶ δύο. καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΒΑ ποτὶ ὅλαν τὰν ΖΘ λόγον ἔχει, ὃν πέντε ποτὶ δύο. εἰ δὲ τοῦτο, δύο πεμπταμόριά ἐντι ἁ ΖΘ τᾶς ΑΒ. ὅπερ ἔδει δείξαι.

9.

Om fyra linjer är proportionella i sammanhängande proportion och det förhållande, som den minsta har till skillnaden, som skiljer den största från den minsta, detta har en linje, som valts, till tre femtedelar av skillnaden, som skiljer den största i proportionen från den tredje, och det förhållande en linje lika med dubbla den största i proportionen plus fyra gånger den andra plus sex gånger den tredje plus tre gånger den fjärde har till en linje lika med fem gånger den största plus tio gånger den andra plus tio gånger den tredje plus fem gånger den fjärde, detta har en linje, som valts, till skillnaden, som skiljer den största i proportionen från den tredje, skall dessa båda valda tillsammans bli två femtedelar av den största.B B) Nuförtiden kan vi lyckligtvis skriva detta: Om a b = b c = c d och för λ och μ d a - d = λ 3 5 ( a - c ) och μ a - c = 2 a + 4 b + 6 c + 3 d + 5 a + 10 b + 10 c + 5 d + skall λ + μ = 2 5 a .

Låt ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ och ΒΕ vara fyra proportionella linjer och det förhållande ΒΕ har till ΕΑ, låt också ΖΗ ha detta till tre femtedelar av ΑΔ, och förhållandet av linjen lika med två gånger ΑΒ plus fyra gånger ΒΓ plus sex gånger ΒΔ plus tre gånger ΒΕ till linjen lika med fem gånger ΑΒ plus tio gånger ΓΒ plus tio gånger ΒΔ plus fem gånger ΒΕ, låt ΗΘ ha detta förhållande till ΑΔ. Det skall visas, att ΖΘ är två femtedelar av ΑΒ.

Ty eftersom ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ och ΒΕ är proportionella, har även ΑΓ, ΓΔ och ΔΕ samma förhållande. Och ΑΒ och ΒΓ tillsammans har till ΒΔ, det vill säga två gånger ΑΒ och ΒΓ tillsammans till två gånger ΒΔ, har samma förhållande, som ΑΔ till ΔΕ och som ΔΒ tillsammans med ΒΓ till ΕΒ, samt alla föregående till alla efterföljande. Alltså har ΑΔ samma förhållande till ΔΕ, som linjen lika med två gånger ΑΒ plus tre gånger ΓΒ plus ΔΒ till linjen lika med två gånger ΒΔ plus ΒΕ. Det förhållande som linjen lika med två gånger ΑΒ plus fyra gånger ΒΓ plus fyra gånger ΒΔ plus två gånger ΒΕ har till linjen lika med två gånger ΔΒ plus ΕΒ, det har ΔΑ till en linje mindre än ΔΕ.Euc.Prop.5.8 Låt den alltså ha detta till ΔΟ. Men dessa båda kommer att ha samma förhållande till de första. Alltså skall ΟΑ ha samma förhållande till ΑΔ, som linjen lika med två gånger ΑΒ plus fyra gånger ΓΒ plus sex gånger ΒΔ plus tre gånger ΒΕ till den sammanlagd av två gånger ΑΒ och ΕΒ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans. Men även ΑΔ har samma förhållande till ΗΘ, som linjen av fem gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus tio gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans till linjen sammansatt av två gånger ΑΒ plus fyra gånger ΓΒ plus tre gånger ΕΒ plus sex gånger ΒΔ. Men förhållandena är olikt ordnade, det vill säga de är i omordnad proportion, ex aequali har ΟΑ samma förhålllande till ΗΘ, som en linje fem gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus tio gånger ΓΒ och ΒΔ till linjen sammansatt av två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans.Euc.Prop.5.23 Men den sammansatt av fem gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus tio gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans har ett förhållande till den sammansatt av två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ, som fem till två. Och alltså har ΑΟ ett förhållande till ΗΘ, som fem till två. Åter eftersom ΟΔ har samma förhållande till ΔΑ, som ΕΒ plus två gånger ΒΔ har till linjen lika med den sammansatt av två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammansEuc.Prop.5.7cor. och som ΑΔ är till ΔΕ, så är linjen sammansatt av två gånger ΑΒ plus tre gånger ΓΒ plus ΒΔ till linjen lika med ΕΒ plus två gånger ΒΔ, Alltså är förhållandena olikt ordnade, det vill säga de är i omordnad proportion, ex aequali som ΟΔ är till ΔΕ, så är två gånger ΑΒ plus tre gånger ΒΓ plus ΒΔ till linjen sammansatt av två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ.Euc.Prop.5.23 Därför som ΟΕ är till ΕΔ, så är också ΓΒ plus tre gånger ΒΔ plus två gånger ΕΒ till två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans. Och som ΔΕ är till ΕΒ, så är även ΑΓ till ΓΒ samt, genom sammansättning, tre gånger ΓΔ till tre gånger ΔΒ och två gånger ΔΕ till två gånger ΕΒ. Därför även linjen sammansatt av ΑΓ plus tre gånger ΓΔ plus två gånger ΔΕ till linjen sammansatt av ΓΒ plus tre gånger ΔΒ plus två gånger ΕΒ. Alltså är förhållandena åter olikt ordnade, det vill säga de är i omordnad proportion, ex aequali skall ΕΟ ha samma förhållande till ΕΒ, som ΑΓ plus tre gånger ΓΔ plus två gånger ΔΕ till två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans.Euc.Prop.5.23 Alltså har hela ΟΒ samma förhålllande till ΒΕ, som linjen lika med tre gånger ΑΒ plus sex gånger ΓΒ plus tre gånger ΒΔ till två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans.Euc.Prop.5.18 Och eftersom både ΕΔ, ΔΓ och ΓΑ samt vart och ett av paren ΕΒ, ΒΔ, ΔΒ, ΒΓ, ΓΒ och ΒΑ, har samma förhållanden, skall som ΕΔ är till ΔΑ, så även ΕΒ och ΒΔ tillsammans vara till ΔΒ och ΒΓ tillsammans plus ΓΒ och ΒΑ tillsammans. Alltså, genom sammansättning, som ΑΕ är till ΑΔ, så är ΕΒ och ΒΔ tillsammans plus ΑΒ och ΒΓ tillsammans plus ΓΒ och ΒΔ tillsammans - som är ΕΒ och ΒΑ tillsammans plus två gånger ΔΒ och ΒΓ tillsammans - till ΒΔ och ΒΑ tillsammans plus två gånger ΒΓ. Därför har det dubbla samma förhålllande till det dubbla, det vill säga som ΕΑ är till ΑΔ, så är två gånger ΕΒ och ΒΑ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans til två gånger ΑΒ och ΒΔ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ. Så att även som ΕΑ är till tre femtedelar av ΑΔ, så är linjen sammansatt av två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans till tre femtedelar av linjen sammansatt av två gånger ΑΒ och ΒΔ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ. men som ΕΑ är till tre femtedelar av ΑΔ, så är ΕΒ till ΖΗ. Och alltså som ΕΒ är till ΖΗ, så är två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΔΒ och ΒΓ tillsammans till tre femtedelar av linjen sammansatt av två gånger ΑΒ och ΒΔ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ. Men det har även visats, att som ΟΒ är till ΕΒ, så är linjen tre gånger ΑΒ och ΒΔ tillsammans plus sex gånger ΓΒ till linjen två gånger ΑΒ och ΒΕ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ och ΒΔ tillsammans. Men ex aequali som ΟΒ är till ΖΗ, så är linjen sammansatt av tre gånger ΑΒ och ΒΔ tillsammans plus sex gånger ΓΒ till tre femtedelar av linjen sammansatt av två gånger ΑΒ och ΒΔ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ.Euc.Prop.5.22 Men linjen sammansatt av tre gånger ΑΒ och ΒΔ tillsammans plus sex gånger ΓΒ har ett förhållande till linjen sammansatt av två gånger ΑΒ och ΒΔ tillsammans plus fyra gånger ΓΒ, som tre till tvåEuc.Prop.6.16 och den har ett förhållande till tre femtedelar av den senare som fem till två. Och ΑΟ har visats ha ett förhållande till ΗΘ, som fem till två. Alltså har även hela ΒΑ ett förhållande till hela ΖΘ, som fem till två.Euc.Prop.5.12 Och är det så, är ΖΘ två femtedelar av ΑΒ. Vilket skulle visas.

ιʹ.

Παντὸς τόμου ἀπὸ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ἀφ­αιρουμένου τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας ἐστίν, ἃ διάμετρός ἐστι τοῦ τόμου, τόνδε τὸν τρόπον κείμενον· διαιρεθείσας τᾶς εὐθείας εἰς ἴσα πέντε ἐπὶ μέσου πεμπταμορίου, ὥστε τὸ τμᾶμα αὐτοῦ τὸ ἐγγύ­τερον τᾶς ἐλάσσονος βάσιος τοῦ τόμου ποτὶ τὸ λοιπὸν τμᾶμα τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν ἔξει τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μείζονος τᾶν βασίων τοῦ τόμου, ὕψος δὲ τὰν ἴσαν συναμφοτέρᾳ τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ἐλάσσονος τᾶν βασίων καὶ τᾷ μεί­ζονι ποτὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ τετρά­γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐλάσσονος τᾶν βασίων τοῦ τόμου, ὕψος δὲ τὰν ἴσαν ἀμφοτέρᾳ τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς μεί­ζονος καὶ τᾷ ἐλάσσονι αὐτᾶν.

ἔστωσαν ἐν ὀρθογωνίου κώνου τομᾷ δύο εὐθείαι ἁι ΑΓ, ΔΕ. διάμετρος δὲ ἔστω οῦ ΑΒΓ τμάματος ἁ ΒΖ. φανερὸν δή, ὅτι καὶ τοῦ ΑΔΕΓ τόμου διά­μετρός H.230 ἐστιν ἁ ΖΗ, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΔΕ παραλλήλοι ἐντὶ τᾷ κατὰ τὸ Β ἐφαπτομένᾳ τᾶς τομᾶς. καὶ τᾶς ΗΖ εὐθείας διαιρεθείσας εἰς πέντε ἴσα μέσον ἔστω πεμπτα­μόριον ἁ ΘΚ. ἁ δὲ ΘΙ ποτὶ τὰν ΙΚ αὐτὸν ἐχέτω λόγον, ὃν ἔχει τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν ἴσαν ἀμφοτέραις τᾷ τε διπλασίᾳ τᾶς ΔΗ καὶ τᾷ ΑΖ ποτὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ τᾶς ΔΗ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν ἴσαν ἀμφοτέραις τᾷ διπλασίᾳ τᾶς ΑΖ καὶ τᾷ ΔΗ. δεικτέον, ὅτι τοῦ ΑΔΕΓ τόμου κέντρον ἐστὶ τοῦ βά­ρεος τὸ Ι σαμεῖον.

ἔστω δὴ τᾷ μὲν ΖΒ ἴσα ἁ ΜΝ, τᾷ δὲ ΗΒ ἴσα ἁ ΝΟ, καὶ λελάφθω τᾶν μὲν ΜΝ, ΝΟ μέσα ἀνά­λογον ἁ ΝΞ, τετάρτα δὲ ἀνάλογον ἁ ΤΝ. καὶ ὡς ἁ ΤΜ ποτὶ ΤΝ, οὕτως ἁ ΖΘ ποτὶ τινα ἀπὸ τοῦ Ι, ὅπου ἂν ἐρχήται τὸ ἕτερον σαμεῖον· οὐδὲν γὰρ δια­φέρει, εῖτε καὶ μεταξὺ τῶν Ζ, Η εῖτε καὶ μεταξὺ τῶν Η, Β· τὰν ΙΡ. καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίου κώνου τομᾷ διάμετρός ἐστι τοῦ τμάματος ἁ ΖΒ, ἁ ΒΖ ἤτοι ἀρχικά ἐστι τᾶς τομᾶς ἢ παρὰ τὰν διάμετρον ἄκται, αἱ δὲ ΑΖ, ΔΗ εἰς αὐτὰν τεταγμένως ἐντὶ καταγμέναι, ἐπειδὴ παραλλήλοι ἐντὶ τᾷ ἐπὶ τοῦ Β τᾶς τομᾶς ἐφαπτομένα. H.232 εἰ δὲ τοῦτο, ἔστιν ὡς ἁ ΑΖ ποτὶ ΔΗ δυνάμει, οὕτως ἁ ΖΒ ποτὶ ΒΗ μάκει, τουτέστιν ἁ ΜΝ ποτὶ ΝΞ δυνάμει. καὶ ὡς ἄρα ἁ ΑΖ ποτὶ ΔΗ δυνάμει, οὕτως ἁ ΜΝ ποτὶ ΝΞ δυνάμει. ὥστε καὶ μάκει ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. καὶ ὡς ἄρα ἁ ἀπὸ ΑΖ κύβος ποτὶ τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον, οὕτως ὁ ἀπὸ ΜΝ κύβος ποτὶ τὸν ἀπὸ ΝΞ κύβον. ἀλλ' ὡς μὲν ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος ποτὶ τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον, οὕτως τὸ ΒΑΓ τμᾶμα ποτὶ τὸ ΔΒΕ τμᾶμα, ὡς δὲ ὁ ἀπὸ ΜΝ κυβος ποτὶ τὸν ἀπὸ ΝΞ κύβον, οὕτως ἁ ΜΝ ποτὶ ΝΤ. ὥστε καὶ διελόντι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΔΓΕ τόμος ποτὶ τὸ ΔΒΕ τμᾶμα, οὕ­τως ἁ ΜΤ ποτὶ ΝΤ, τουτέστι τὰ τρία πέμπτα τᾶς ΗΖ ποτὶ ΙΡ. καὶ ἐπεὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΔΗ καὶ τᾶς ΑΖ ποτὶ τὸν ἀπὸ ΑΖ κύβον λόγον ἔχει, ὃν ἁ διπλασία τᾶς ΔΗ μετὰ τᾶς ΑΖ ποτὶ ΖΑ, ὥστε καὶ, ὃν ἁ διπλασία τᾶς ΝΞ μετὰ τᾶς ΝΜ ποτὶ ΝΜ, ἔστι δὲ καί, ὡς ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος ποτὶ τὸν ἀπὸ ΔΗ κύβον, οὕτως ἁ ΜΝ ποτὶ ΝΤ, ὡς δὲ ἁ ἀπὸ ΔΗ κύβος ποτὶ τὸ στερεὸν τὸ βά­σιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΗ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΑΖ μετὰ τᾶς ΔΗ, οὕτως ἁ ΔΗ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΑΖ καὶ τᾶς ΔΗ, ὥστε καὶ ἁ ΤΝ ποτὶ Objects are not supported by your browser! H.233 τὰν H.234 συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΟΝ καὶ τᾶς ΤΝ, γέγονεν οὖν τέσσαρα μεγέθεα, τὸ στερεὸν τὸ βά­σιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τἀν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας ΔΗ καὶ τᾶς ΑΖ, καὶ ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος, καὶ ὁ ἀπὸ ΔΗ κύβος, καὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΗ τετάργωνον, ὕψος δὲ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΑΖ καὶ τᾶς ΔΗ, τέτταρσι μεγέθεσιν ἀνάλογον σὺν δύο λαμβανομένοις τᾷ τε συγκειμένᾳ ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ΝΜ καὶ ἑτέρῳ μεγέθει τᾷ ΜΝ καὶ ἄλλῳ ἑξῆς τᾷ ΝΤ καὶ τελευταῖον τᾷ συγκειμένᾳ ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΝΟ καὶ τᾶς ΝΤ. δι' ἴσου ἄρα γενησέται, ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΔΗ καὶ τᾶς ΑΖ ποτὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΗ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΑΖ καὶ τᾶς ΔΗ, οὕτως ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ΜΝ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς διπλα­σίας τᾶς ΝΟ καὶ τᾶς ΝΤ. ἀλλ' ὡς τὸ εἰρημένον στερεὸν ποτὶ τὸ εἰρημένον στερεὸν, οὕτως ἁ ΘΙ ποτὶ ΙΚ. καὶ ὡς ἄρα ἁ ΘΙ ποτὶ ΙΚ, οὕτως ἁ συγκειμένα ποτὶ τὰν συγκειμέναν. ὥστε καὶ συνθέντι καὶ τῶν ἁγουμένων τὰ πενταπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς ἁ ΖΗ ποτὶ ΙΚ, οὕτως ἁ πενταπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΜΝ, ΝΤ καὶ δεκαπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΝΞ, ΝΟ ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς ΟΝ καὶ τὰν ΝΤ. καὶ ὡς ἁ ΖΗ ποτὶ ΖΚ ἐοῦσαν αὐτᾶς δύο πέμπτα, οὕτως ἁ πενταπλασία H.236 συναμφοτέρου τᾶς ΜΝ, ΝΤ καὶ δεκαπλασία συναμ­φοτέρου τᾶς ΝΞ, ΝΟ ποτὶ τὰν διπλασίαν συναμφο­τέρου τᾶς ΜΝ, ΝΤ καὶ τετραπλασίαν συναμφοτέρου τᾶς ΝΞ, ΝΟ. ἐσσείται οὖν, ὡς ΖΗ ποτὶ ΖΙ, οὕτως ἁ πενταπλασία συναμφοτέρου τᾶς ΜΝ, ΝΤ καὶ δεκα­πλασία συναμφοτέρου τᾶς ΞΝ, ΝΟ ποτὶ τὰν συγκει­μέναν ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΜΝ καὶ τετραπλασίας τᾶς ΝΞ καὶ ἑξαπλασίας τᾶς ΟΝ καὶ τριπλασίας τᾶς ΝΤ. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐθείαι ἑξῆς ἀνάλογον αἱ ΜΝ, ΝΞ, ΟΝ, ΝΤ, καί ἐστιν ὡς μὲν ἁ ΝΤ ποτὶ ΤΜ, οὕτως λελαμμένα τις ἁ ΡΙ ποτὶ τὰ τρία πέμπτα τᾶς ΖΗ, τουτέστι τᾶς ΜΟ, ὡς δὲ ἁ συγκειμένα ἔκ τε τᾶς διπλασίας τᾶς ΝΜ καὶ τετραπλασίας τᾶς ΝΞ καὶ ἑξαπλασίας τᾶς ΝΟ καὶ τριπλασίας τᾶς ΝΤ ποτὶ τὰν συγκειμέναν ἔκ τε τᾶς πενταπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΜΝ, ΝΤ καὶ δεκαπλασίας συναμφοτέρου τᾶς ΞΝ, ΝΟ, οὕτως ἑτέρα τις λελαμμένα ἁ ΙΖ ποτὶ τὰν ΖΗ, τουτέστιν ποτὶ τὰν ΜΟ, ἐσσείται διὰ τὸ πρότερον ἁ ΡΖ δύο πέμπτα τᾶς ΜΝ, τουτέστι τᾶς ΖΒ. ὥστε κέντρον βάρεός ἐστι τοῦ ΑΒΓ τμάματος τὸ Ρ σαμεῖον. ἔστω δὴ καὶ τοῦ ΔΒΕ τμάματος κέντρον βάρεος τὸ Χ σαμεῖον. τοῦ ἄρα ΑΔΕΓ τόμου ἐσσείται τὸ κέν­τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ἐπ' εὐθείας τᾷ ΧΡ τὸν αὐ­τὸν ποτὶ αὐτὰν λόγον ἐχούσας, ὃν ἔχει ὁ τόμος ποτὶ τὸ λοιπὸν τμᾶμα. ἔστιν δὲ τὸ Ι σαμεῖον. ἐπεὶ γὰρ τᾶς μὲν ΖΒ τρία πέμπτα ἐστὶν ἁ ΒΡ, τᾶς δὲ ΗΒ H.238 τρία πέμπτα ἐστὶν ἁ ΒΧ, καὶ λοιπᾶς ἄρα τᾶς ΗΖ τρία πέμπτα ἐστὶν ἁ ΧΡ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν ὁ ΑΔΕΓ τόμος ποτὶ τὸ ΔΒΕ τμᾶμα, οὕτως ἁ ΜΤ ποτὶ ΝΤ, ὡς δὲ ἁ ΜΤ ποτὶ τὰν ΤΝ, οὕτως τὰ τρία πέμπτα τᾶς ΗΖ, ἅτις ἐστὶν ἁ ΧΡ, ποτὶ ΡΙ, ἐσ­σείται ἄρα καὶ ὡς ἁ ΑΔΕΓ τόμος ποτὶ τὸ ΔΒΕ τμᾶμα, οὕτως ἁ ΧΡ ποτὶ ΡΙ. καὶ ἐστι τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ρ σαμεῖον, τοῦ δὲ ΔΒΕ κέντρον βάρεος τὸ Χ. φανερὸν οὖν, ὅοτι καὶ τοῦ ΑΔΕΓ τόμου κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ι σαμεῖον.[1]

10.

I varje snitt, som skurits av från en rätvinklig kons snitt, ligger tyngdpunkten på den räta linje, vilken är snittets diameter och ligger på detta sätt: sedan den räta linjen delats i fem lika delar, ligger den på femtedelen i mitten, så att del av denna närmare snittets mindre bas skall ha samma förhållande till resterande snitt, som kroppen, som har basen av kvadraten av den större av snittets baser och höjden lika med två gånger de mindre av baserna plus den större, skall ha till kroppen, som har basen av kvadraten av den mindre av snittets baser och höjden lika med två gånger den större av baserna plus den mindre av dem.

Låt ΑΓ och ΔΕ vara två räta linjer i en rätvinklig kons snitt. Och låt ΒΖ vara snittet ΑΒΓ:s diameter. Det är då uppenbart, att även ΖΗ är snittet ΑΔΕΓ:s diameter, eftersom ΑΓ och ΔΕ är parallella med linjen som tangerar snittet vid Β. Och sedan den räta linjen ΗΖ delats i fem lika delar, låt ΘΚ vara femtedelen i mitten. Och låt ΘΙ ha samma förhållande till ΙΚ, som kroppen, som har basen av kvadraten av ΑΖ och höjden lika med två gånger ΔΗ plus ΑΖ, har till kroppen, som har basen av kvadraten av ΔΗ och höjden lika med två gånger ΑΖ plus ΔΗ. Det skall visas, att snittet ΑΔΕΓ:s tyngdpunkt är punkten Ι.

Låt så ΜΝ vara lika med ΖΒ och ΝΟ lika med ΗΒ. Låt även ha tagit medelproportionalen ΝΞ av ΜΝ och ΝΟ samt fjärde proportionalen ΤΝ. Och som ΤΜ är till ΤΝ, så är ΖΘ till någon rät linje ΙΡ från Ι, var den når en annan punkt spelar igen roll, antingen punkten ligger mellan Ζ och Η eller mellan Η och Β. Och eftersom ΖΒ är diametern av ett snitt av en rätvinklig kons snitt, är ΒΖ antingen snittets axel(231n3) eller har dragits parallell med diametern, och ΑΖ och ΔΗ är dragna som ordinator till denna, eftersom de är parallella med tangenten punkten Β i snittet. Och är det så, som ΑΖ är till ΔΗ kvadrerade, så är ΖΒ till ΒΗ i längd, det vill säga ΜΝ till ΝΞ kvadrerade. Och alltså som ΑΖ är till ΔΗ i kvadrat, så är ΜΝ till ΝΞ i kvadrat. Därför också i längd i samma förhållande. Och alltså som ΑΖ i kub till kuben på ΔΗ, så är ΜΝ i kub till kuben på ΝΞ. Men som kuben på ΑΖ är till kuben på ΔΗ, så är snittet ΒΑΓ till snittet ΔΒΕ, och som kuben på ΜΝ är till kuben på ΝΞ, så är ΜΝ till ΝΤ. Därför är även snittet ΑΔΓΕ genom separation till snittet ΔΒΕ, så som ΜΤ är till ΝΤ,Euc.Prop.5.17 det vill säga tre femtedelar av ΗΖ till ΙΡ. Och eftersom kroppen, som har basen av kvadraten på ΑΖ och höjden lika med två gånger ΔΗ plus ΑΖ, har ett förhållande till kuben på ΑΖ, som två gånger ΔΗ plus ΑΖ till ΖΑ, därför också som två gånger ΝΞ plus ΝΜ till ΝΜ, och även som kuben av ΑΖ till kuben av ΔΗ, så är ΜΝ till ΝΤ, och som kuben på ΔΗ är till kroppen, som har basen av kvadraten på ΔΗ och höjden två gånget ΑΖ plus ΔΗ, så är ΔΗ till två gånger ΑΖ plus ΔΗ, där för även ΤΝ till två gånger ΟΝ plus ΤΝ, alltså ges fyra storheter, kroppen, som har basen av kvadraten på ΑΖ och höjden två gånger ΔΗ plus ΑΖ, kuben av ΑΖ, kuben av ΔΗ samt kroppen, som har basen av kvadraten på ΔΗ och höjden två gånger ΑΖ plus ΔΗ, proportionella med fyra andra storheter tagna två och två, två gånger ΝΞ plus ΝΜ, nästa storhet ΜΝ, därpå en annan ΝΤ och slutligen två gånger ΝΟ plus ΝΤ. Alltså ges ex aequali,Euc.Prop.5.22 att som kroppen, som har basen av kvadraten på ΑΖ och höjden två gånger ΔΗ plus ΑΖ, är till kroppen, som har basen av kvadraten på ΔΗ och höjden två gånger ΑΖ plus ΔΗ, så är den sammansatt av två gånger ΝΞ plus ΜΝ till den sammansatt av två gånger ΝΟ plus ΝΤ. Men som nämnda kropp är till nämnda kropp, så är ΘΙ till ΙΚ. Och alltså som ΘΙ är till ΙΚ, så är den sammansatta till den sammansatta. Därför är genom kompositionEuc.Prop.5.18 och fem gånger av de föregående, alltså som ΖΗ är till ΙΚ, så är fem gånger ΜΝ och ΝΤ tillsammans plus tio gånger ΝΞ och ΝΟ tillsammans till två gånger ΟΝ plus ΝΤ. Och som ΖΗ är till ΖΚ, som är två femtedelar av denna, så är fem gånger ΜΝ och ΝΤ tillsammans plus tio gånger ΝΞ och ΝΟ tillsammans till två gånger ΜΝ och ΝΤ tillsammans plus fyra gånger ΝΞ och ΝΟ tillsammans. Alltså som ΖΗ är till ΖΙ, så skall fem gånger ΜΝ och ΝΤ tillsammans plus tio gånger ΞΝ och ΝΟ tillsammans vara till den sammansatt av två gånger ΜΝ plus fyra gånger ΝΞ plus sex gånger ΟΝ plus tre gånger ΝΤ. Eftersom då de fyra räta linjerna ΜΝ, ΝΞ, ΟΝ och ΝΤ är proportionellt sammanhängande och som ΝΤ är till ΤΜ, så är den avsatta ΡΙ till tre femtedelar av ΖΗ, det vill säga av ΜΟ. Och som den sammansatt av två gånger ΝΜ plus fyra gånger ΝΞ plus sex gånger ΝΟ plus tre gånger ΝΤ är till den sammansatt av fem gånger ΜΝ och ΝΤ tillsammans plus tio gånger ΞΝ och ΝΟ tillsammans, så är nästa avsatta ΙΖ till ΖΗ, det vill säga till ΜΟ, så skall, på grund av det föregående,Prop.2.9 ΡΖ vara till två femtedelar av ΜΝ, det vill säga av ΖΒ. Därför är snittet ΑΒΓ:s tyngdpunkt punkten Ρ.Prop.2.8 Låt så punkten Χ vara snittet ΔΒΕ:s tyngdpunkt. Alltså skall snittet ΑΔΕΓ:s tyngdpunkt ligga på en rät linje i linje med ΧΡ, där denna har samma förhållande till ΧΡ, som snittet har till resterande snitt.Prop.1.8 Och punkten är då Ι. Ty eftersom ΒΡ är tre femtedelar av ΖΒ och ΒΧ är tre femtedelar av ΗΒ, är alltså även ΧΡ tre femtedelar av resten av ΗΖ. Eftersom då snittet ΑΔΕΓ är till snittet ΔΒΕ, så som ΜΤ är till ΝΤ, och som ΜΤ är till ΤΝ, så är tre femtedelar av ΗΖ, vilket är ΧΡ, till ΡΙ, Alltså skall även som snittet ΑΔΕΓ är till snittet ΔΒΕ, så ΧΡ vara till ΡΙ. Och hela snittets tyngdpunkt är punkten Ρ samt ΔΒΕ:s tyngdpunkt är Χ. Alltså är det även uppenbart, att snittet ΑΔΕΓ:s tyngdpunkt är punkten Ι.Prop.1.6 Prop.1.7